İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROL

Sayılabilir değerler için kontrol şemaları

p-şeması veya np-şeması:Bir ürün veya hizmeti sadece uygun/uygunsuz, tatminkar/değil veya

iyi/kusurlu şeklinde nitelendirebiliyorsanız p şeması veya np şeması kullanın.

u-şeması veya c-şeması: Seçilen örnekteki her ürün (veya hizmet) için gözlenen hata/kusur sayısı

belirlenir ve her alt grupta birim başına düşen hata sayısı için u-şeması, her alt gruba düşen hata sayısı için ise c-şeması oluşturulur.

p şeması (Uygunsuzluk Oranı)

• Ürünlerin kusurları ile ilgili araştırma yaptığımızda kullanacak şemadır.• Kontrol edilen özelliklerin ortalamasını belirler.• Kusurlu ürün oranı ile değerlendirme yapılır.• Şemadaki noktalar her alt grup için kusurlu ürün oranını (pi)

gösterecektir.• Örnek hacminin farklı olduğu durumlarda kullanılması

uygundur.

p şeması(Uygunsuzluk Oranı)• pi: kusurlu ürün oranı• Tüm veriler için;

sayisi) urun kusurlu gruptaki (i.

/)1(

3

3

sayisi) grup oplamsayisi)/(T urun kusurlu Toplam(

i

ipi

pi

pi

p

npp

pLCL

pUCLpCL

p

np şeması

• Şekil olarak p şemasının aynısıdır.• Kusurlu oranları ile değil kusurlu sayıları ile ilgilenir.• Örnek hacminin sabit olduğu durumlarda tercih edilmelidir

(örnek hacmi farklı olduğunda da kullanılabilir ancak p tercih edilir). • Ana kütle kusurlu oranı “p”, örnek büyüklüğü “n” ise, örnekte

çıkması beklenen kusurlu sayısı “np” olacaktır.

np şeması (uygunsuz sayısı)

pi vep, p şeması için hesaplandığı gibi hesaplanır ancak burada n her grup için aynı olmalıdır.

)1(

3

3

ppn

npnLCLnpnUCL

pnCL

p

p

p

u şeması• Üretilen birimlerin kalite kontrolünde bir birimde rastlanan

kusur sayıları esas alındığında u grafikleri kullanılır. • Örnek hacmi birden çok ürün çeşidinden oluşuyorsa ve örnek

büyüklüğü değişken ise kullanılır.• Kusur sayısı için önceden standart belirlenmeyeceği için burada

standartların bilinmesi durumu yoktur.• Şemadaki noktalar her alt gruptaki (birim başına düşen)

ortalama kusur sayısını “ui” gösterecektir; her alt grup için farklı kontrol sınırları hesaplanmaktadır.

u şeması • u kontrol şeması için formüller:

iui nu /

sayisi kusurc

33

nc

u

uLCLuUCL

uCL

uii

uii

c şeması

• Parti başına düşen hatalı ürün sayısını gösterir. • Örnek hacmi tek bir ürün çeşidinden oluşuyorsa

kullanılır.• Standartların belli olması durumu söz konusu değildir. • Örnek büyüklüğü sabit olmalıdır.• p ve np şemalarına benzer.

c şeması

• c şeması için formüller:

c3cLCL

c3cUCL

cCLsayisi) grup alt oplamsayisi)/(t kusur Toplam(

c

Örnek 1

Alt örnek Hatali evrak (p) Incelenen evrak (n) 1 12 3002 9 3003 13 3004 7 3005 6 3006 10 3007 14 3008 7 3009 5 30010 6 30011 4 25012 9 25013 11 25014 18 25015 8 25016 6 25017 4 40018 6 40019 5 40020 8 40021 10 40022 7 40023 4 20024 5 20025 3 200

Örnek 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 250

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Prop

ortio

n

865455FB77E4FE4793465E4E02F39648ControlChartpChart

p Chart UCL = 0,053099 CL = 0,025694 LCL = 0,0

sayisi) urun kusurlu gruptaki (i.

/)1(

3

3

i

ipi

pi

pi

p

npp

pLCL

pUCLpCL

Örnek 2• Bir tekstil boya fabrikası örgü kumaş toplarını boyamaktadır.

Son zamanlarda müşterilerden mavi renge boyanan kumaş toplarında çok sayıda leke olduğuna dair şikayetlerin çoğaldığı gözleniyor. Durumu araştırmak için maviye boyanan 25 top kumaş dikkatle muayene edilerek leke sayıları tespit ediliyor ve aşağıdaki tabloda özetlenen veriler elde ediliyor. Kumaş topları farklı büyüklüktedir ve her kumaş topu farklı bir alt grup gibi düşünülmektedir.

Örnek 2Kumaş Top Numarası

Kumaş Miktarı (kg)

Toptaki Leke Sayısı (ci)

Kumaş Top Numarası

Kumaş Miktarı (kg)

Toptaki Leke Sayısı (ci)

1 180 28 14 280 562 190 38 15 300 303 170 22 16 290 714 370 42 17 380 415 470 52 18 400 476 230 25 19 250 287 280 37 20 260 358 260 45 21 290 729 270 24 22 310 44

10 380 42 23 190 2311 250 26 24 500 3412 240 35 25 420 5213 290 32 TOPLAM 7450 981

sayisi kusurc

33

nc

u

uLCLuUCL

uCL

uii

uii

iui nu /

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Coun

t per

uni

t

0B8572B580E3444394B4F0E7DA7F2047ControlChartuChart

Örnek 2• Mavi boyama sürecinin kontrol altında olmadığını görüyoruz,

çünkü 14, 16 ve 21 (hatta 24) nolu toplardaki kg başına düşen boya lekesi sayısı kontrol limitleri dışındadır. • Kontrol limitleri dışında çıkılmasının çeşitli nedenleri vardır. Bu

nedenler incelendiğinde şu sonuçlar ortaya çıkmıştır: su sertliğinin yüksek olması, elektrik kesintisi, kumaşların çok uzun süre ıslak kalması gibi.• Bu işlemler hesaplamalardan çıkarılarak yeniden u kontrol

şeması çizilir.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 18 19 20 22 23 24 250.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

0.17

0.19

Coun

t per

uni

t

7993827170EEEE478A9337492D1BAF79ControlChartuChart

Örnek 2

• Bu şemada da 2 ve 24 no’lu işlerin kontrol dışında olduğu görülmektedir. Bu, kontrol dışı olma durumunun altında yatan nedenin aslında daha özel bir sebep olduğunu göstermektedir. Yönetim yaptığı incelemeler sonucunda daha kaliteli bir boya kullanmaya, boyama öncesinde daha etkili bir leke çıkarıcı kullanmaya karar veriyor.

Örnek 4

• Paketlenmiş bir tür gıda maddesinin ağırlığı kontrol grafikleri yardımıyla araştırılacaktır. Bu amaçla belirli aralıklarla alınmış 25 adet 4’ er birimlik örneklerle ilgili ölçüm değerleri, ortalamalar ve aralık değerleri tabloda verilmiştir. Bu bilgilere dayalı olarak kontrol şemalarını çiziniz ve yorumlayınız.

örnek numarası 1 2 3 4 toplam X R

1 500,4 500,2 501,1 501,3 2003 500,75 1,1

2 500 500,1 500 501 2001,1 500,28 1

3 499,8 499,2 500,1 500,2 1999,3 499,83 1

4 499,3 500,6 500,3 499,5 1999,7 499,93 1,3

5 500,1 499,2 499,9 500,1 1999,3 499,83 0,9

6 500,2 498,1 499,8 500,3 1998,4 499,60 2,2

7 500,9 501,2 502,1 500,9 2005,1 501,28 1,2

8 499,8 500,1 500,2 500,4 2000,5 500,13 0,6

9 498,2 498,6 500,1 500,9 1997,8 499,45 2,7

10 500,6 500,7 500,3 499,2 2000,8 500,20 1,5

11 499,8 500,1 500,6 500,1 2000,6 500,15 0,8

12 499,7 500,1 499,6 500,2 1999,6 499,90 0,6

13 499,3 498,6 499,1 499,2 1996,2 499,05 0,7

14 500,2 500,9 501,3 501,6 2004 501,00 1,4

15 500,9 501,2 500,3 501,1 2003,5 500,88 0,9

16 500,1 500,3 500,2 500,1 2000,7 500,18 0,2

17 499,2 499,6 500,1 500,6 1999,5 499,88 1,4

18 501,3 501,6 500,3 500,6 2003,8 500,95 1,3

19 500,2 500,1 499,3 500,3 1999,9 499,98 0,5

20 500,8 501,1 500,6 500,7 2003,2 500,80 0,5

21 499,1 499,2 500,8 501,1 2000,2 500,05 2

22 501,1 501,9 500,2 500 2003,2 500,80 1,9

23 500 500,4 500,7 500,6 2001,7 500,43 0,7

24 499,8 499,1 500,4 500,1 1999,4 499,85 1,3

25 499,1 501,1 500,6 500,3 2001,1 500,28 1,5

Ortalama 500,2184 1,168

• X şeması için;

• R şeması için formüller;

ndA

22

3

RAxUCL

xCL

RAxLCL

2

2

RDUCL

RCL

RDLCL

4

3

2

34

2

33

1

1

ddD

ddD

Örnek 4

Xbar Chart UCL = 501,132 CL = 500,194 LCL = 499,255

Range Chart UCL = 2,9389 CL = 1,2882 LCL = 0,0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25498.9

499.4

499.9

500.4

500.9

Mea

n

1CF97AC4C377A04B8F500EE95E28DC52ControlChartXbarR

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Rang

e

1CF97AC4C377A04B8F500EE95E28DC52ControlChartRange

Örnek 5

• Bir fabrika plastikten mamul mutfak eşyası üretmektedir. Üretimin kontrol dahilinde sürdürülebilmesi amacıyla belirli aralıklarla 70’ er birimlik 25 örnek seçilerek bu örneklerin içindeki kusurlu sayıları ve örneklere ait kusurlu oranları belirlenmiştir. Verilerle ilgili kontrol grafiğini belirleyiniz.

Örnek 5

Örnek Numarası

Kusurlu Sayısı

Örnek Numarası

Kusurlu Sayısı

1 15 14 72 12 15 163 14 16 124 8 17 95 9 18 86 11 19 207 17 20 118 7 21 109 13 22 910 19 23 811 4 24 1212 6 25 1113 13

Örnek 5• Burada kusur oranı verildiği için p veya np şeması

kullanılacaktır. • p şeması için formüller;

sayisi urun kusurlu Ortalama :pCL

pipUCL 3

pipLCL 3

p Chart UCL = 0,28923 CL = 0,15833 LCL = 0,027437

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 250.02

0.07

0.12

0.17

0.22

0.27

Prop

ortio

n

E7573DEBC3A2A6409B557D3C6E43F11BControlChartpChart

Örnek 5

Örnek 6

• 5’ er metrekarelik 30 adet tesadüfi seçilmiş örnek üzerindeki leke sayısı tabloda verilmiştir. Bu verilere dayanarak kontrol grafiğini belirleyiniz.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

5

10

15

20

Coun

t

FDE6A6FF120EFF469B5F6769D7D857D6ControlChartcChart

c Chart UCL = 20,85 CL = 10,931 LCL = 1,0124

Örnek 6• c kontrol şeması çizilecektir.• c kontrol şeması için formüller;

sayisikusur ortalama)düşüş grubaalt Bir (cCL

)Sayisi GrupAlt Toplam/()sayisikusur Toplam(c

ccUCL 3

ccLCL 3

Örnek 7

• Bir üretim süreci ile ilgili olarak ana kitle ortalamasının 10.1 cm ve ana kitle standart sapmasının 0.04 cm olduğu bilinmektedir. İmalatın kontrolü esnasında 5’er birimlik örnekler seçileceği varsayımı altında, bu verilerden yararlanarak X ve R kontrol grafiklerine ait orta çizgi ile üst ve alt değerlerini hesaplayınız.

Örnek 7• Kontrol standartları bilinmektedir. Bu durumda;• X şeması için formüller

• R şeması için formüller;

CL AUCL

ALCL n/3A

322

321

33ddDddD

2

2

1

DULCdCLDLCL

örnek mevcudu sınırlar için katsayılar orta çizgi

için faktör sınırlar için katsayılar

A A1 A2 d2 D1 D2 D3 D4

2 2,121 3,761 1,88 1,128 0 3,686 0 3,267

3 1,732 2,394 1,023 1,693 0 4,358 0 2,575

4 1,5 1,88 0,729 2,059 0 4,698 0 2,282

5 1,342 1,596 0,577 2,326 0 4,918 0 2,115

6 1,225 1,41 0,483 2,534 0 5,078 0 2,004

7 1,134 1,277 0,419 2,704 0,205 5,203 0,076 1,924

8 1,061 1,175 0,373 2,847 0,387 5,307 0,136 1,864

9 1 1,094 0,337 2,97 0,546 5,394 0,184 1,816

10 0,949 1,028 0,308 3,078 0,687 5,469 0,223 1,777

11 0,905 0,973 0,285 3,173 0,812 5,534 0,256 1,744

12 0,866 0,925 0,266 3,258 0,924 5,592 0,284 1,716

13 0,832 0,884 0,249 3,336 1,026 5,646 0,308 1,692

14 0,80233 0,848 0,235 3,407 1,121 5,693 0,329 1,671

15 0,775 0,816 0,223 3,472 1,207 5,737 0,348 1,652

Kontrol Grafiği Çiziminde Kullanılan Sabitler