Istituto Statale di Istruzione SecondariaIstituto Statale di Istruzione SecondariaPier Luigi NerviPier Luigi Nervi

LentiniLentiniProf. Prof. Leonardo BrunettoLeonardo Brunetto

Lavoro realizzato da:Almirante SalvatoreCastiglia Giuseppe Spina Andrea

Teorema di PitagoraTeorema di Euclide

Teorema di PitagoraTeorema di PitagoraIl Il teorema di teorema di Pitagora è un teorema della geometria è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. lati di un triangolo rettangolo.

Quello che modernamente Quello che modernamente conosciamo come teorema di conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto ai dimostrazione) era già noto ai babilonesi, ed era conosciuto babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina e forse in India. La anche in Cina e forse in India. La dimostrazione del teorema è dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità invece con ogni probabilità successiva a Pitagora. successiva a Pitagora.

La somma La somma delle aree delle aree dei due dei due quadrati quadrati costruiti costruiti sui cateti è sui cateti è equivalentequivalente all'area e all'area del del quadrato quadrato costruito costruito sull'ipotensull'ipotenusa.usa.

Dimostrazione algebricaDimostrazione algebricaDato un triangolo rettangolo di lati a, b e Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:espresso dall'equazione:

                               o, in alternativa, risolvendolo per c:o, in alternativa, risolvendolo per c:

                                 Da cui si ricavano i rispettivi cateti:Da cui si ricavano i rispettivi cateti:                                  

ee                                  

Se la terna a,b,c è costituita da numeri Se la terna a,b,c è costituita da numeri interi essa si chiama terna pitagorica.interi essa si chiama terna pitagorica.Inversamente, ogni triangolo in cui i tre Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare negli Elementi dimostrazione, appare negli Elementi immediatamente dopo il teorema di immediatamente dopo il teorema di Pitagora stesso.Pitagora stesso.

Dimostrazione Dimostrazione graficagrafica

Molte sono le “dimostrazioni grafiche” del teorema di Pitagora. Spesso sono un felice connubio tra geometria e arte. Alcune sono molto efficaci per “vedere” intuitivamente il teorema.

Dimostrazione antica

Dimostrazione di Bhaskara

Dimostrazione di Leonardo da Vinci

Dimostrazione di Airy

Dimostrazione di Perigal

Dimostrazione di Dekker

Dimostrazione di Floor van Lamoen

Ma vediamo quella più tradizionale…

Dimostrazione tradizionale:Dimostrazione tradizionale:In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa

è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui catetiè equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui catetiSiano ACDE e CBFG i quadrati, rispettivamente del cateto AC e del cateto CB; il punto M la proiezione del punto C

sull’ipotenusa.Condotta la perpendicolare CM dal vertice

C all’ipotenusa AB, si prolunghi fino ad incontrare in M il lato NL del quadrato

costruito sull’ipotenusa. Il segmento HM divide il quadrato ANLB

in due rettangoli ANMH, HMLB, che per il primo Teorema di Euclide che dice che in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un

cateto è equivalente al rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto

sulla ipotenusa; sono rispettivamente equivalenti ai due quadrati ACDE, CBFG.E poiché la somma dei due triangoli dà il quadrato dell’ipotenusa, resta dimostrato

che il quadrato dell’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei

due cateti.

Dimostrazione anticaDimostrazione antica

E’ forse la dimostrazione più conosciuta. Il quadrato grande può essere E’ forse la dimostrazione più conosciuta. Il quadrato grande può essere formato o dal quadrato costruito sull’ipotenusa e da quattro triangoli formato o dal quadrato costruito sull’ipotenusa e da quattro triangoli rettangoli uguali o dai due quadrati costruiti sui cateti e da quattro rettangoli uguali o dai due quadrati costruiti sui cateti e da quattro triangoli rettangoli uguali.triangoli rettangoli uguali.

Dimostrazione di Dimostrazione di BhaskaraBhaskara

Questa bellissima dimostrazione è di Bhaskara (1114 - 1185), grande Questa bellissima dimostrazione è di Bhaskara (1114 - 1185), grande matematico e astronomo indiano.matematico e astronomo indiano.

Dimostrazione di Leonardo Dimostrazione di Leonardo da Vincida Vinci

La dimostrazione di Leonardo è geniale. Le due figure sono divise dalle La dimostrazione di Leonardo è geniale. Le due figure sono divise dalle diagonali verticali in parti uguali.diagonali verticali in parti uguali.

Dimostrazione di AiryDimostrazione di AiryE’ probabilmente la più elegante E’ probabilmente la più elegante dimostrazione. Traslando i triangoli dimostrazione. Traslando i triangoli rettangoli superiori, come indicatorettangoli superiori, come indicatodalle frecce, dal quadrato costruito dalle frecce, dal quadrato costruito sull’ipotenusa si ottengono i quadrati sull’ipotenusa si ottengono i quadrati costruiti sui cateti. Sembra (dacostruiti sui cateti. Sembra (da““Il giardino di Archimede”) che questa Il giardino di Archimede”) che questa dimostrazione sia stata ideata da G. dimostrazione sia stata ideata da G. B. Airy, astronomo dell’osservatorio di B. Airy, astronomo dell’osservatorio di Greenwich dal 1836 al 1881, intorno Greenwich dal 1836 al 1881, intorno al 1855. Nella parte centrale della al 1855. Nella parte centrale della figura Airy scrisse la poesia:figura Airy scrisse la poesia:I am, as you may see,I am, as you may see,a2 + b2 – ab.a2 + b2 – ab.When two triangles on me stand,When two triangles on me stand,Square of hypothenuse is plann’d;Square of hypothenuse is plann’d;But if I stand on them instead,But if I stand on them instead,The squares of both sides are read.The squares of both sides are read.

Dimostrazione di PerigalDimostrazione di Perigal

Fu proposta nel 1873 da Henry Perigal, agente di cambio inglese. Il punto A Fu proposta nel 1873 da Henry Perigal, agente di cambio inglese. Il punto A è il centro del quadrato.è il centro del quadrato.

Dimostrazione di DekkerDimostrazione di Dekker

Fu pubblicata nel 1888 dallo scrittore olandese Edward Douwes Dekker Fu pubblicata nel 1888 dallo scrittore olandese Edward Douwes Dekker con lo pseudonimo di Multatuli.con lo pseudonimo di Multatuli.

Dimostrazione di Floor van Dimostrazione di Floor van LamoenLamoen

Questa elegante dimostrazione è di Floor van Lamoen, brillante Questa elegante dimostrazione è di Floor van Lamoen, brillante matematico (e atleta) olandese.matematico (e atleta) olandese.

Pitagora nacque a Samo nel 572 a.C. La storia di Pitagora è avvolta nel mistero, di lui sappiamo pochissimo e la maggior parte delle testimonianze che lo riguardano sono di epoca più tarda.Alcuni autori antichi o suoi contemporanei come Senofane, Eraclito ed Erodoto ci danno testimonianze tali da far pensare alla effettiva esistenza storica di Pitagora pur se inserita nella tradizione leggendaria.Secondo queste fonti Pitagora nacque nell'isola di Samo nella prima metà del VI secolo a.C. dove fu scolaro di Ferecide e Anassimandro subendone l'influenza nel suo pensiero.Da Samo Pitagora si trasferì nella Magna Grecia dove fondò a Crotone, all'incirca nel 530 a.C., la sua scuola. Dei suoi presunti viaggi in Egitto e a Babilonia, narrati dalla tradizione dossografica, non vi sono fonti certe e sono ritenuti, almeno in parte, leggendari.Sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: essendo scoppiata una rivolta dei democratici contro il partito aristocratico pitagorico, la casa dove si erano riuniti gli esponenti più importanti della setta fu incendiata. Si salvarono solo Archippo e Liside che si rifugiò a Tebe. Secondo una versione, Pitagora prima della sommossa si era già ritirato nel Metaponto dove era morto. Secondo altri invece era casualmente assente alla riunione nella casa incendiata e quindi riuscì a salvarsi fuggendo prima a Locri, quindi a Taranto e da lì a Metaponto dove morì nel 495 a.C.

Teoremi di EuclideTeoremi di EuclideIl Il primo teoremaprimo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:•mediante l'equiestensione tra figure: mediante l'equiestensione tra figure:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

•mediante relazioni tra segmenti: mediante relazioni tra segmenti: In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Le due enunciazioni sono equivalenti.Le due enunciazioni sono equivalenti.

Il Il secondo teoremasecondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:•mediante l'equiestensione tra figure: mediante l'equiestensione tra figure:

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.dei due cateti sull'ipotenusa.

•mediante relazioni tra segmenti: mediante relazioni tra segmenti: In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Le due enunciazioni sono equivalenti Le due enunciazioni sono equivalenti

In un triangolo rettangolo il In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un quadrato costruito su un cateto è equivalente al cateto è equivalente al rettangolo avente per rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa. sull'ipotenusa stessa. (Primo (Primo teorema)teorema)

In un triangolo rettangolo, In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito il quadrato costruito sull'altezza relativa sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. dei cateti sull'ipotenusa. (Secondo teorema)(Secondo teorema)

Della vita di Euclide (circa 365-300 a. C.) la sola notizia certa è che insegnò geometria ad Alessandria d'Egitto, dove fondò una scuola di matematica. Euclide è il più importante matematico dell'antichità, conosciuto soprattutto per il suo trattato di geometria, gli Elementi (in greco Stocheia). E' composto da 13 libri concernenti la geometria piana, le proporzioni, la teoria dei numeri, le grandezze incommensurabili e la geometria solida. In quest'opera viene proposta una riorganizzazione in forma deduttiva delle conoscenze geometriche dell'epoca che divenne il fulcro dell'insegnamento della matematica per duemila anni e il modello di strutturazione logica di ogni branca del sapere scientifico. Gli Elementi si aprono con la definizione di teoremi, assiomi e postulati. Gli assiomi e i postulati sono indicati da Euclide come affermazioni di partenza da cui far discendere tutte le altre con un procedimento dimostrativo. Mentre gli assiomi indicano verità "evidenti" di carattere logico, i postulati hanno, invece, carattere geometrico. Tra i postulati il quinto, detto "postulato delle parallele", ha dato origine a molte controversie sulla possibilità o meno di ricavarlo come teorema a partire dagli altri quattro. A Euclide sono stati attribuiti anche i Dati, raccolta di teoremi in 95 proposizioni; i Fenomeni, una descrizione geometrica delle sfere celesti; l'Ottica, un trattato di ottica geometrica.

Salvatore Salvatore AlmiranteAlmirante

Andrea SpinaAndrea Spina

Giuseppe Giuseppe CastigliaCastiglia