by ITALIANO MANUELby ITALIANO MANUEL

A3 GEOMETRI DIURNOA3 GEOMETRI DIURNO

A.S. 2000/2001A.S. 2000/2001

• Circonferenza goniometrica

• Seno di un angolo

• Coseno di un angolo

• Tangente di un angolo

• Cotangente di un angolo

• Segno delle funzioni goniometriche

• Relazioni fondamentali

Circonferenza con centro nell’origine e avente per raggio il segmento di misura 1; la sua equazione è:

x2 + y2 = 1.

Sia dato un angolo orientato (in senso antiorario) , chiameremo il punto B punto associato all’angolo sulla circonferenza goniometrica.

Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto associato ad nella circonferenza goniometrica.

Quindi:

sen = yB = BH.

Al variare dell’angolo il seno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

Il grafico della funzione y=senx si chiama

sinusoide.

Il seno è una funzione periodica con periodo

uguale a 360°, cioè:

sen( + k360°) = sen (k Z).

Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto associato ad nella circonferenza goniometrica. Quindi:

cos = xB = OH.

Al variare dell’angolo il coseno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

Il grafico della funzione y=cos x si chiama cosinusoide.

Il coseno è una funzione periodica con periodo 360°, cioè:

cos( + k360°) = cos (k Z)

Si definisce tangente dell’angolo l’ordinata del punto T d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A :

tg = yT = AT.

I triangoli OTA e OBH sono simili, quindi: AT : OA = HB : OH, Ma OA = 1, AT = tg , HB = sen e OH = cos ; perciò:

cos

sentg

Se cos = 0, quindi se = 90° + k180° (k Z) la tangente non esiste.

La tangente è una funzione periodica con periodo 180°, cioè:tg ( + k180°) = tg (k Z).

Si definisce cotangente dell’angolo l’ascissa del punto S d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto C :

cotg = xS = CSPoiché i triangoli OCS e OBH sono simili, risulterà che

sen

coscotg

Se sen = 0, quindi per = k180° (k Z), la cotangente

non esiste.

La funzione cotangente è periodica di periodo 180°, cioè:

cotg = cotg( + k180°) con k Z.

sen 45° = yB = HB e cos 45° = xB = OH; OA = OB = 1. Essendo OHB un triangolo rettangolo isoscele, è HB = OH.Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo OHB, si ha:

2

2HB

2

1HB

12HBOBOHHB

2

2222

1cos45

sen45tg45avràsiInfine

2

2cos45e

2

2sen45quindihaSi

0

00

00

sen cos tgBquad. + + +

Bquad. + - -Bquad. - - +Bquad. - + -

Consideriamo una circonferenza ed un angolo orientato (vedi D4). Sia B il punto ad esso associato. Poiché il punto B appartiene alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, le sue coordinate devono soddisfare a tale equazione. Si avrà dunque, qualunque sia l’angolo , (sen )2 + (cos )2 = 1, cioè: sen2 + cos2 = 1.

1) La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità.

2) Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è uguale alla tangente dell’angolo stesso.

• Angoli opposti

• Angoli supplementari

• Angoli che differiscono di 180°

• Angoli esplementari

• Angoli complementari

Due angoli sono opposti quando la loro somma è zero.cos(-x) = cos xsen(-x) = -sen xtg(-x) = -tg xcotg(-x) = -cotg xAngoli opposti hanno coseno uguale, seno, tangente e cotangente opposti.

Due angoli si dicono supplementari quando la somma delle loro misure è uguale a 180°.Le loro funzioni saranno pertanto:cos (180°- ) = -cos ,sen (180°- ) = sen ,tg (180°- ) = -tg ,cotg (180°- ) = -cotg .Angoli supplementari hanno seno uguale e coseno, tangente e cotangente opposti.

• sen (180° + ) = -sen • cos (180° + ) = -cos

• tg (180° + ) = tg

• sen (360° - ) = -sen

• cos (360° - ) = cos

• tg (360° - ) = -tg

Due angoli si dicono complementari quando la somma delle loro misure è uguale a 90°.sen (90° - x) = cos xcos (90° - x) = sen x tg (90° - x) = cotg xcotg (90° - x) = tg xIl coseno, il seno, la tangente e la cotangente di un angolo sono rispettivamente uguali al seno, coseno, cotangente e tangente del suo complementare.

gradi radianti seno coseno tg cotg0 0 0 1 0 non esiste

30 0,523598776 0,5 0,866025404 0,577350269 1,73205080845 0,785398163 0,707106781 0,707106781 1 160 1,047197551 0,866025404 0,5 1,732050808 0,57735026990 1,570796327 1 0 non esiste 0180 3,141592654 0 -1 0 non esiste270 4,71238898 -1 0 non esiste 0360 6,283185307 0 1 0 non esiste

• sen150° = sen (180°- 30°) = sen30° = 0,5

• cos120° = cos (180°- 60°) = - cos60° = - 0,5

• tg135° = tg (180°- 45°) = - tg45° = -1

• cos300° = cos (360°- 60°) = cos60° = 0,5

• cos1260° = cos (3 * 360°+ 180°) = cos180° = -1