15
METODE LELARAN TITIK TETAPLAPORAN PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK KE-3 Diajukan untuk memenuhi laporan praktikum Analisis Numerik Oleh Nama : Rauzan Sumara NIM : 135090501111014 Asisten 1 : Umi Faida Kusumawati Asisten 2 : Erlisa Cantika Herawati LABORATORIUM STATISTIKA PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2015

Iterasi Titip Tetap

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Analisis Numerik :Metode Iterasi Titip Tetap

Citation preview

Page 1: Iterasi Titip Tetap

“METODE LELARAN TITIK TETAP”

LAPORAN PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK KE-3

Diajukan untuk memenuhi laporan praktikum Analisis Numerik

Oleh

Nama : Rauzan Sumara

NIM : 135090501111014

Asisten 1 : Umi Faida Kusumawati

Asisten 2 : Erlisa Cantika Herawati

LABORATORIUM STATISTIKA

PROGRAM STUDI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2015

Page 2: Iterasi Titip Tetap
Page 3: Iterasi Titip Tetap

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode Analisis Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan

untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat diselesaikan

dengan operasi perhitungan. Sebelum komputer digunakan untuk

penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang

memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain:

- Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada

masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non

linier tidak dapat diselesaikan.

- Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan

penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini tidak

akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.

- Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual.

Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan

data.

Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai

kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami

pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi

digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit

diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian

pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari

hitung menghitung manual yang membosankan. Sehinggga waktu dapat

lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti

penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak

terjebak dalam rutinitas hitung menghitung.

Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan

solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi

yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Sayangnya, metode

analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu

persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra

rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali

nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai

praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode

analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya

masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.

Page 4: Iterasi Titip Tetap

1.2 Tujuan Manfaat mempelajari metode numerik diharapkan mahasiswa mampu :

1. mampu menangani sistem persamaan besar, Ketaklinieran dan

geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin

dipecahkan secara analitis.

2. Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang

mendasari paket program.

3. Mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang

dihadapi pada masalah rekayasa.

Page 5: Iterasi Titip Tetap

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Solusi Persamaan Nirlanjar

Persoalan mencari solusi persamaan yang lazim disebut akar

persamaan atau nilai-nilai nol yang berbentuk. Yaitu nilai sedemikian

sehingga sama dengan nol. Umumnya persamaan yang akan dipecahkan

muncul dalam bentuk nirlanjar (non linear) yang melibatkan bentuk

sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya.

bentuk persamaan yang rumit atau kompleks yang tidak dapat

dipecahkan secara analitik. Bila metode analitik tidak dapat

menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa mencari solusinya

dengan menggunakan metode numerik.

Dalam metode numerik, pencarian akar dilakukan secara lelaran

(iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dapat dikelompokkan

menjadi dua golongan besar :

1. Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method)

Metode Bagi Dua

Metode Regula Falsi (Titik Palsu)

2. Metode terbuka

Metode Lelaran titik-tetap

Metode Newton-Raphson

Metode Secant

Pada laporan kali ini, akan dibahas tentang Metode Lelaran Titik

Tetap. Metode Lelaran Titik Tetap merupakan salah satu metode pencarian

akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses

iterasi (pengulangan).

Metode Lelaran Titik Tetap merupakan salah satu metode terbuka

untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip

utama sebagai berikut :

Page 6: Iterasi Titip Tetap

2.2 Metode Lelaran Titik Tetap

Metode Lelaran Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar

suatu fungsi f(x)secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu

diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus

konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) =

x dan f(x) = 0.

Teorema : Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {Xn} adalah barisan yang terbetuk oleh

Fixed Point Iteration, maka Jika Xn = x maka x adalah Fixed

Point fungsi g(x).

Sumber gambar : karlcalculus

Prosedur Metode Titik Tetap

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka

untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu

mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal,

misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x)

sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik x2 yang diperoleh

substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis

iterasinya akan menjadi :

Page 7: Iterasi Titip Tetap

x1 (penetuan titik awal)

x2 = g(x1) (iterasi pertama)

x3 = g(x2) (iterasi kedua)

.

.

.

xn = g(xn-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai

error yang cukup kecil (|xn – xn-1| < ).

Anonymous.2012

Page 8: Iterasi Titip Tetap
Page 9: Iterasi Titip Tetap

BAB III

METODOLOGI

Langkah-langkah membuka Matlab :

Buka aplikasi Matlab, maka akan muncul kotak logo seperti berikut

Seteleah itu akan terlihat tampilan aplikasi Matlab, kemudian pilih

menu File -> New -> Script

Setelah itu akan tampil kolom editor kemudian isikan Source Code

sebagai berikut :

Page 10: Iterasi Titip Tetap
Page 11: Iterasi Titip Tetap

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

tic;%awal program clc;clear;%membersihkan commond window Xn=1;%deklarasi variabel dan inisialisasi Xn=1 eps=10^(-6);%galat toleransi galat=1;%inisialisasi nilai galat=1 k=1;%deklarasi variabel dan inisialisasi k=0 while galat>eps; Xn1=sqrt(4*Xn+log(Xn)); FXn=Xn1.^2-4*Xn1-log(Xn1); Xn=Xn1; galat=abs(FXn); k=k+1; end disp('Akar dari fungsi X^2-4*X-ln(X)dengan metode

iterasi titik tetap'); %menampilkan kalimat 'Akar dari fungsi X^2-4*X-

ln(X)dengan metode iterasi titik tetap' disp('-------------------------------------------------

--------------'); %menampilkan simbol '--------------------------------' fprintf('Akar Hampiran = %10.8f\n',Xn1); %menampilkan kalimat 'Akar Hampiran = ' serta nilai

pada Xn1 dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma fprintf('Nilai fungsi = %10.8f\n',FXn); %menampilkan kalimat 'Nilai fungsi = ' serta nilai pada

FXn dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma fprintf('Akar fungsi abs = %10.8f\n',galat); %menampilkan kalimat 'Akar fungsi abs = ' serta nilai

pada galat dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma fprintf('banyak iterasi = %4.0f\n',k); %menampilkan kalimat 'banyak iterasi =' serta nilai

pada k dengan 4 space dan 0 angka dibelakang koma fprintf('selang waktu konvergen = %10.8f\n',toc); %menampilkan kalimat 'selang waktu konvergen =' serta

nilai pada toc dengan 10 space dan 8 angka dibelakang

koma

}

Proses pencarian akar

apabila syarat memenuhi

yaitu galat>eps

Page 12: Iterasi Titip Tetap

Jadi dari output software Matlab di atas ditemukan akar persamaannya

adalah 4.33826293 dengan 26 kali iterasi dan selang waktu konvergen adalah

0.01987751 detik.

Page 13: Iterasi Titip Tetap

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Pencarian akar dengan metode Lelaran Titik Tetap akan lebih mudah

apabila menggunakan software Matlab. Estimasi waktu iterasi juga

akan jauh lebih cepat menggunakan software dibandingkan

perhitungan secara manual. Sehingga akan sangat mempermudah

statistikawan dalam menentukan solusi permasalahan yang kompleks

sekalipun.

5.2 Saran

1. Harus berhati-hati dalam menentukan inisialisasi nilai awal,

karena akan berpengaruh pada konvergensi atau tidaknya suatu

interasi.

2. Lebih memperdalam pemahaman tentang software Matlab agar

mudah dalam pembuatan sintak berbagai metode pencarian solusi

akar nirlanjar.

Page 14: Iterasi Titip Tetap
Page 15: Iterasi Titip Tetap

DAFTAR PUSTAKA

Rinaldi Munir., 2010. Metode Numerik : Penerbit INFORMATIKA

Bandung

Anam Syaiful, S.Si, MT., 2015. Modul Responsi Analisis Numerik : Prodi

Statistika Jurusan Matematika Universitas Brawijaya