IV MACI 2013 Vol. 4 (2013)

Matemca Aplicada,

Computacional e

Industrial

IV MACI 2013 4to Congreso de Matemca

Aplicada, Computacional

e Industrial4th Congress on Industrial,

Computaonal and Applied

Mathemacs

15 al 17 de mayo de 2013

May 15 to 17, 2013

Buenos Aires, ARGENTINA

MACI Vol. 4 (2013)

G. LA MURA, D. RUBIO y

E. SERRANO (Eds.)

ASOCIACIN ARGENTINA DE MATEMTICA APLICADA, COMPUTACIONAL E INDUSTRIAL

ISSN 2314-3282

MatemticaAplicada,ComputacionaleIndustrial

ISSN:23143282

Director

CristinaMacielUniversidadNacionaldelSur,BahaBlanca,Argentina

ComitEditorial/EditorialBoard

CarlosDAttellis UniversidadFavaloroUniversidadNacionaldeSanMartn,BuenosAiresPabloJacovkis UniversidadNacionaldeTresdeFebreroUBA,BuenosAiresSergioPreidikman CONICETUniversidadNacionaldeCrdobaDianaRubio UniversidadNacionaldeSanMartn,BuenosAiresRubnSpies IMALCONICET,UNL,SantaFeJuanSantos CONICET,InstitutodelGasydelPetrleoUniversidaddeBuenosAiresDomingoTarzia CONICET,FacultaddeCienciasEmpresariales,UniversidadAustral,RosarioCristinaTurner CONICET,FAMAFUniversidadNacionaldeCrdoba

ASAMACIAsociacinArgentinadeMatemticaAplicada,ComputacionaleIndustrialGemes3450,(3000)SantaFe,Argentina.http://asamaci.org.ar/Email:[email protected]

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i

PREFACIO

El presente volumen contiene los trabajos presentados y aceptados en el IV Congreso deMatemtica Aplicada, Computacional e Industrial (IV MACI 2013), realizado en la Ciudad deBuenos Aires, Argentina, entre el 15 y 17 de mayo de 2013 en dependencias de la Sede de la RegionalBuenosAiresdelaUniversidadTecnolgicaNacional(FRBAUTN).

Los Congresos MACI estn inspirados en el relevante papel que la Matemtica juega en eldesarrollocientficoytecnolgicolocalyregional.Enestemarcoyconestafinalidad,seconvocaacientficos, tecnlogos, profesionales y estudiantes a presentar y exponer trabajos en distintasreasdelaMatemticaAplicada,aparticipardeloscursos,conferenciasyactividadessobretemasselectosyacontactarseconotroscolegas.

Elobjetivodeestas reuniones consisteen ladifusindedesarrollosoriginalesoproblemticasabiertas,fomentarlainvestigacinymotivarlaformacinderecursoshumanosenlasdisciplinasdelaMatemticaAplicada,ComputacionaleIndustrial.

Estasactividadesseenmarcanen laspolticasgeneralesde laSeccinArgentinade laSocietyforIndustrialandAppliedMathematics(ARSIAM)ylaAsociacinArgentinadeMatemticaAplicadaComputacionale Industrial (ASAMACI),creadaspor iniciativadeprofesionales localesen2006y2008,respectivamente.

En lapresenteconvocatoriasepresentaronyseaceptaronparasuexposicin,oraloconposter,cientonoventa trabajos,publicadosenestevolumen.Laspresentacionesde lascomunicacionestcnicas fueronpreviamenteevaluadaspor revisoresannimosy, consecuentemente, revisadasporlosautoresenunasegundainstancia,redundandoencalidadyoriginalidad.

Lasexposiciones,segnsutemtica,seencuadraronenveintesesiones.

Asimismo, en elmarco del Congreso se dictaron cinco conferencias plenarias a cargo de losprofesoresDouglasArnold, ThomasHeldt,ArthurKrener, JuanMeza yGeraldoNunes Silva. Seofrecieroncuatrocursosparaestudiantesavanzadosdegradoydeposgrado, impartidospor losprofesoresAnaBianco,SergioPreidikman,HugoRufineryRicardoSnchezPea. Finalmente,serealizunconcursodeposterscuyo juradoestuvo integradopor losprofesoresCarlosDAttellis,RicardoArmentano,SergioElaskar,PabloJacovkis,CristinaTurneryAlejandraFigliola.

Laorganizacindel IVMACIestuvoacargodelComitOrganizadorLocalcon laparticipacinyapoyoinstitucionaldelaUniversidadTecnolgicaNacional,laUniversidadNacionaldeSanMartn,la Asociacin Argentina de Matemtica Aplicada Computacional e Industrial (ASAMACI) y laSeccinArgentinadeSIAM(ARSIAM).

La financiacin del Congreso se realiz con las contribuciones del Consejo Nacional deinvestigacionesCientficasyTcnicas(CONICET),delaAgenciaNacionaldePromocinCientficayTecnolgica(ANPCyT),de laSocietyfor IndustrialandAppliedMathematics(SIAM,EEUU), de laEscueladeCienciayTecnologadelaUniversidadNacionaldeSanMartn(ECyTUNSAM)ydelaUniversidadTecnolgicaNacional(UTN).

ii

LaComisinDirectivadeASAMACIylaComisinOrganizadoraLocalagradecenalasInstitucionesauspiciantes y patrocinadoras.Asimismo, agradecen a los Coordinadores de las Sesiones, a losevaluadoresdeartculosyatodosaquellosquecontribuyerona lapreparacinyrealizacindeleventoconsudesinteresadoyvaliosoesfuerzo.

GuillermoLaMura,DianaRubioyEduardoSerranoBuenosAires,mayode2013

iii

PREFACE

This volume contains the articles accepted for presentations at the IV Congress on Industrial,Computational and Applied Mathematics (IV MACI 2013), held at the Universidad TecnolgicaNacional,FRBAUTN,inthecityofBuenosAires,Argentina,fromMay15to17,2013.

MACI congresses are inspired upon the conviction that mathematics plays a very important role in the scientific and technologic aspects of the local and regional developments. Taking this fact into account, students, scientist and professionals interested in different branches of Applied mathematics, are invited to participate in all the activities of this Congress: to present their work, to assist to the courses, conferences and interact with other colleagues.

The objective of these meetings are to spread out original results and open problems, to promote discussions and research and to motivate the training of human resources in the disciplines of industrial, computational and applied mathematics.

These activities fall under the general policies of the Argentinean Section of the Society for Industrial and Applied Mathematics (AR-SIAM) and the Argentinean Association of Industrial, Computational and Applied Mathematics (ASAMACI), founded in 2006 and 2008, respectively.

Inthiscongress,atotalofonehundredninety(190)articleswere accepter afterpassingareviewingprocess.Thepresentationsweredistributedintwentysessions.

Five plenary talks were offered by Professors Douglas Arnold, Thomas Heldt, Arthur Krener, Juan C. Meza y Geraldo Nunes Silva. Four courses for advanced undergraduate and graduate students were given by Professors Ana Bianco, Sergio Preidikman, Hugo Rufiner y Ricardo Snchez Pea. Finally, a student poster competition took place, being Professors Carlos DAttellis, Ricardo Armentano, Sergio Elaskar, Pablo Jacovkis, Cristina Turner and Alejandra Figliola the members of the jury.

The congress, hosted by the Escuela de Ciencia y Tecnologa de la Universidad Nacional de San Martn, was held at the Universidad Tecnolgica Nacional on behalf of the Argentinean Association of Industrial, Computational and Applied Mathematics (ASAMACI) and the Argentinean Section of the Society for Industrial and Applied Mathematics (AR-SIAM).

Financial support was received from the National Council of Scientific and Technical Research (CONICET), the National Agency for Scientific and Technologic Promotion (ANPCyT), the Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), the School of Science and Technology-Universidad Nacional de San Martn (ECyT-UNSAM) and the Universidad Tecnolgica Nacional (UTN).

The officers of ASAMACI and the Local Organizing Committee would like to thank all the institutions that have supported this congress, the coordinators and chairs of the Scientific Sessions and the reviewers and all those who have contributed to the preparation and realization of this event.

GuillermoLaMura,DianaRubioandEduardoSerranoBuenosAires,May2013

iv

IVMACI2013

CUARTOCONGRESODEMATEMTICAAPLICADA,COMPUTACIONALEINDUSTRIALFourthCongressonIndustrial,ComputationalandAppliedMathematics

15al17demayode2013,BuenosAires,ArgentinaMay1517,2013,BuenosAires,Argentina

ComitCientfico/ScientificCommitee

CarlosDAttellis,Univ.FavaloroUNSAM,BuenosAiresPabloJacovkis,UNTreF,BuenosAiresCristinaMaciel,UNS,BahaBlancaSergioPreidikman,CONICETUNC,CrdobaDianaRubio,UNSAM,BuenosAiresRubnSpies,IMAL(CONICETUNL),SantaFeJuanSantos,CONICETUBA,LaPlataDomingoTarzia,CONICETUA,RosarioCristinaTurner,CONICETUNC,Crdoba

ComitorganizadorLocal/LocalOrganizingCommittee

DianaRubio(Coordinadora)RicardoArmentanoCarlosDAttellisGuillermoDurnMarcelaFabioAlejandraFigliolaPabloJacovkisGuillermoLaMuraWalterLegnaniMarcelaMorvidoneEduardoSerranoMaraInsTroparevsky

Colaboradores/Contributors

JavierCebeiro,SilviaGigola,GuillermoUmbricht

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Coordinadores/Chairs

1. Biomatemtica/Biomathematics:RicardoArmentanoGabrielSoto

2. EconomaMatemtica/ MathematicalEconomics:FernandoTohmeMatasFuentes

3. EcuacionesDiferencialesyAplicaciones/DifferentialEquationsandApplications:CristinaTurnerNicolasSaintier

4. FinanzasCuantitativas/ QuantitativeFinance:ElsaCortinaRodolfoOviedo

5. FundamentosdeMtodosNumricosyAplicaciones/NumericalMethodsandApplications:

GabrielAcostaClaudioPadra6. InvestigacinOperativayAplicaciones/OperationsResearchandApplications:

GuillermoDurnJavierMarenco7. MatemticaIndustrialyAplicaciones/IndustrialMathematicsandApplications:

JavierEtcheverryAdrinWill8. MecnicaComputacional/ComputationalMechanics:

VictorioSonzogniAlejandroLimache9. ModelosMatemticosInterdisciplinarios/InterdisciplinaryMathematicalModels:

PabloJacovkisGabrielaSavioli10. Optimizacin:TeorayAplicaciones/OptimizationTheoryandApplications:

CristinaMacielLauraSchuverdt11. Probabilidad,EstadsticayProcesosEstocsticos/Probability,StatisticsandStochastic

Processes:BeatrizMarrnElinaMancinelli.

12. ProblemasdeFronteraLibreyAplicaciones/FreeBoundaryProblemsandApplications:ClaudiaLedermanAdrianaBriozzo

13. ProblemasInversosyAplicaciones/ InverseProblemsandApplications:KarinaTemperiniMaraInsTroparevsky

14. ProblemasMatemticosenMecnicadelContinuo/MathematicalProblemsinContinuumMechanics:

SergioPreidikmanSergioElaskar15. ProcesamientodeSealeseImgenes/ImageandSignalProcessing:

EduardoSerranoLilianaCastro16. SistemasDinmicos/DynamicalSystems:

RicardoSnchezPeaGuillermoLaMura17. TeoradeControlptimoyAplicaciones/OptimalControlTheoryandApplications:

LauraAragonePabloLotito18. TransferenciadeCaloryMateria/HeatandMassTransfer:

LuisVillaSaraviaEduardoSantillanMarcus.19. PostersdeEstudiantesdeGrado/ UndergraduateStudentPosters:

MarcelaMorvidoneMarcelaFabio20. PostersdeEstudiantesdePosgrado/GraduateStudentPosters:

MarcelaMorvidoneMarcelaFabio

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JuradodelConcursodePosters/JuryofthePosterCompetition:CarlosD'Attellis,RicardoArmentano,SergioElaskar,PabloJacovkis,CristinaTurneryAlejandraFigliola

Cursos/Courses:

IntroduccinalaEstimacinRobusta:AnaBianco(UBA)

IntroduccinalMtodosdelosElementosFinitos:SergioPreidikman(UNC)

AnlisisyModeladoDigitaldeVoz:HugoRufiner(UNL)

AplicacionesdeIdentificacinyControl:RicardoSnchezPea(ITBA)

Conferencistasplenarios/PlenarySpeakers:

DouglasArnold(UniversityofMinnesota,Minneapolis,USA)

ThomasHeldt(MassachusetsInstituteofTechnology,USA)

ArthurKrener(UniversityofCaliforniaDavis,USA)

JuanC.Meza(UniversityofCaliforniaMerced,USA)

GeraldoNunesSilva(UniversidadeEstadualPaulistaJliodeMesquitaFilho,Brasil)

vii

SESIN 1 Biomatemtica / Biomathematics

AParabolicDelayModelforGeneRegulationA.OmnArancibia.................................................................1

InferenciadeParmetrosdeBiodiversidadporMediodeSimulacinC.R.SantaMara,M.A.Soria........................................................5

CotasnoTrivialesenEstadosEstacionariosM.PrezMilln,A.Dickenstein.......................................................9

BoundsfortheTotalNumberofnCyclicPeptidesG.Soto..........................................................................13

EstabilidadporGrupoenJuegosdeAsignacinGeneralizadosP.Arribillaga,J.Mass,A.Neme......................................................17

RecognitionofBehaviorPatternsofPatientsF.M.deOliveira,R.dosSantosMansur,W.ValloryNunes,R.S.Lanzillotti,L.A.V.deCarvalho,R.Gonalves....................................................21

MtodosdeProgramacinDinmicaenlaReconstruccindeProcesosdeFuegoyHumedadparaelEstablecimientodeunPaisajedeFabianaImbricata

C.Biscayart.......................................................................25LaEntropadeOnditascomoIndicadordeProcesosIsqumicos

L.J.Cymberknop,W.Legnani,F.M.Pessana,R.L.Armentano............................29LaDimensin Fractalde laPresinArterial esun ndice IntegraldelAumento enPresinPulstil,ElasticidadArterialyReflexinPrecozdelaOndadelPulso

R.L.Armentano,L.J.Cymberknop,W.Legnani,F.M.Pessana............................33UnModeloparaelCrecimientoPoblacionaldelAedesAegypticonRetardodeTiempo

L.E.Lpez,A.MuozLoaiza,G.OlivarTost...........................................37SimulatedAnnealingAplicadoaunModelodeTransmisindeEnfermedadesenTiempoDiscreto

G.l.AlpzarBrenes.................................................................41ModelofVarroaDestructorMiteinApisMelliferaHives:Developments,CalibrationandNewApplications

M.A.Benavente,R.R.Deza,N.BulacioCagnolo,M.Eguaras..............................45Evaluacin de una Metodologa de Segmentacin por Agrupamiento para la Estimacin delMovimiento de Pared en Aneurismas Cerebrales a Partir de Angiografas Dinmicas MedianteMecnicaComputacionaldeFluidos

M.A.Castro,M.C.AhumadaOlivares,C.M.Putman,J.R.Cebral........................49ImmunologicalModelsofEpidemics

O.AnguloTorga,F.A.Milner,L.MirceaSega..........................................53

SESIN 2 Economa Matemtica / Mathematical Economics

ThePCOREJ.C.Cesco.......................................................................57

ProblemasdeEvolucinAsociadoaunModelodeSolowSwanconRezagosC.G.Averbuj,J.J.M.Martnez.......................................................61

AnlisisdeEficienciade losPoderes Judicialesde lasProvinciasArgentinasyCiudadAutnomadeBuenosAires

C.L.Alberto,M.A.Curchod,N.Azcona................................................65TwoSidedMatchingwithIndifferences

N.Juarez,J.Oviedo...............................................................69UnaExtensindelModelodeAdmisindeEstudiantesaColegios

P.B.Manasero,A.Neme..........................................................73

viii

SESIN 3 Ecuaciones Diferenciales / Differential Equations

OntheStabilityofInitialConditionsfortheParabolicGelfandProblemA.OmnArancibia................................................................77

EcuacionesDiferencialesImplcitas:AplicacinaCircuitosLCM.Etchechoury,C.Gonzlez,D.Kleiman.............................................81

Flujo de Hidrocarburos Ligeramente Compresibles en Reservorios con Variacin Radial de laPermeabilidad

S.A.Abrigo,D.A.Folmer,R.A.Prado................................................85OntheExistenceofExtremalsfortheCriticalSobolevImmersionwithVariableExponents

J.FernndezBonder,N.Saintier,A.Silva..............................................89DiferenciasFinitasMimticasAplicadasalaEcuacinDeDifusinenMallasconRefinamientoLocal

I.A.MannarinoS.................................................................93UnProblemadeContornoenelPrimerCuadranteparalaEcuacindeDifusinFraccionaria

G.Reyero,S.Roscani,E.SantillanMarcus.............................................97LaSingularidaddeHopfDobleResonante1:1enEcuacionesDiferencialesconRetardo

G.R.Itovich,J.L.Moiola........................................................101UnProblemadeCauchycomoModeloPredictivoAnalticodelaCurvaturadelaElipse

L.T.Villa,C.Albarracn,R.O.Grossi,G.Ryan........................................105Positive T Periodic Solutions of a Generalized Nicholsons Blowflies Model with a NonlinearHarvestingtermwithDelay

P.Amster,A.Dboli..............................................................109ConvergenceRateforQuasilinearEigenvalueHomogenization

J.FernndezBonder,J.P.Pinasco,A.M.Salort.......................................113WheldonModelofCMLRevisted

P.Amster,R.Balderrama,L.Idels....................................................117ExistenceandMultiplicityofSolutionsforaSuperlinearSecondOrderEquationArisinginaTwoIonElectrodiffusionModel

P.Amster,M.P.Kuna...........................................................121Series Hbridas para la Solucin Fuerte de un Problema Clsico no Separable de la IngenieraEstructural:FrecuenciasNaturalesdeunaPlacaRectangularEmpotrada

C.P.Filipich,C.A.Egidi..........................................................125DensityofZerosofEigenfunctionsofSturmLiouvilleProblems

J.P.Pinasco,C.Scarola.........................................................129LyapunovFunctionalsforFourthOrderLubricationEquations

M.Bukal,M.Maurette..........................................................133NonreactiveSoluteTransportinSoilColumns:ClassicalandFractionalCalculusModeling

M.A.Benavente,R.R.Deza,S.I.Grondona,S.Mascioli,D.E.Martnez....................137DosProblemasdeStefanEquivalentesparalaEcuacindeDifusinFraccionariaenelTiempo

S.Roscani,E.A.SantillanMarcus...................................................141MtodoNumricoparaelEstudiode lasSolucionesFundamentalesde laEcuacinUnidimensionalRelativistadeSchrdinger

J.P.Borgna.....................................................................145

SESIN 4 Finanzas Cuantitativas / Quantitative Finance

EstimacinnoParamtricadeCpulasenSeriesdeTiempoSimuladasJ.M.Bavio......................................................................149

ix

ModelodeMertonModificadoenunMercadoArtificialBasadoenAgentesJ.J.M.Martnez.................................................................153

InconsistencyoftheuseofDurationasanExplanatoryVariableforYTMinChartsandRegressionsanAlternativeMetric

R.Oviedo.......................................................................157

SESIN 5 Mtodos Numricos / Numerical Methods

AvancesRecientesenlaEvaluacindeCurvasySuperficiesPolinmicasenCAGDJ.Delgado,J.M.Pea...........................................................161

AnAdaptiveWaveletGalerkinMethodtoSolvetheBurgersEquationV.Vampa,M.T.Martn..........................................................165

AdaptiveFiniteElementsforEllipticProblemswithPointSourcesinWeightedSpacesJ.P.Agnelli,E.M.Garau,P.Morin.................................................169

UnEsquemaMimticoIterativotipoRichardsonparalaEcuacinBiarmnicaBicuadrticaA.GmezPolanco,J.M.GuevaraJordn............................................173

RefinamientoAnisotrpicoenPoliedros:EstimacionesdeErrorconDatoenL2T.Apel,A.L.Lombardi...........................................................177

PrecondicionamientoparaMatricesdeInterpolacindeHermiteUsandoFuncionesdeBaseRadialL.Arvelo,J.Arteaga............................................................179

MultilevelMethodsforElectronicStructureComputationsofMaterialsM.I.Espaol,S.Tsuei,M.Ortiz...................................................183

DynamicalPropertiesofExplicitLLRungeKuttaMethodsforOrdinaryDifferentialEquationsH.delaCruz...................................................................187

APrioriandaPosterioriErrorAnalysisofaVelocityPseudostressFormulation for theGeneralizedStokesProblem

T.P.Barrios,R.Bustinza,G.C.Garca,M.Gonzlez...................................191AnhpFiniteElementAdaptiveSchemeonCurvedDomains

M.G.Armentano,C.Padra,M.Scheble.............................................193AproximacinNumricadeunModelodeDifusinDisolucin

M.E.Castillo,P.Morin..........................................................197SolucinNumricade laEcuacindePrecursoresUsandoelCorrectorGeneralizadodelMtododeHamming

D.SuescnDaz,M.C.IbarguenGonzalez,J.H.FigueroaJimnez........................201MtodoNumricoparaResolver laEcuacin Inversade laCinticaPuntualEmpleandodosFiltrosDigitales

D.SuescnDaz,H.F.BonillaLondoo,J.H.FigueroaJimnez..........................205Mtodo AdamsBashforthMoulton Aplicado a las Ecuaciones Cintica Puntual en ReactoresNucleares

D.SuescnDaz,V.A.QuicenoRos,J.H.FigueroaJimnez............................209Un Mtodo Numrico Acelerado de Alta Precisin para el Scattering de Superficies de MediosNaturales

M.Maas,O.Bruno,A.FernndezLado,F.Grings,M.Barber...........................213CentralUpwindSchemes for theSystemofShallowWaterEquationswithHorizontalTemperatureGradients

A.Chertock.....................................................................217IsogeometricAnlisisinExternalCusps

G.Acosta,J.P.Borthagaray,A.Lombardi...........................................219

x

CentralUpwindSchemesforShallowWaterModelsA.Kurganov....................................................................223

UsingConstantCoefficientFactorizationsforVariableCoefficientProblemsP.Morin,M.Bergallo,N.Nigro,J.M.Jimnez,S.Idelsohn...............................227

SESIN 6 Investigacin Operativa / Operations Research

ProgramacinSemanaldePersonalconPolifuncionalidadBsicaparaelSectorRetailC.A.Henao,J.C.Muoz.........................................................231

OptimizacinLogsticaparaAgriculturaN.Merener,N.E.StierMoses,P.Watfi.............................................235

OptimizacinenParaleloparaEquiposdeProcesosJ.I.Ardenghi,N.B.Brignole.....................................................239

CodificadoMixtoEnteroLineandelHeursticodeBarridoparaelProblemadeRuteodeVehculos(VRP)

R.Dondo,J.Cerd.............................................................243EvaluacindeEficienciaenAsignaturasUniversitariasdeGradoUsandoDataEnvelopmentAnalysis

H.Rojo,S.A.Ramos,M.GilNavarro...............................................247ACombinatorialBendersApproachfortheLuckyLabelingProblem

J.Marenco,M.Mydlarz,D.Severn................................................251MathematicalProgramming forAutomaticDwellingSegmentation:The2010ArgentinianCensus inBuenosAiresProvinceasaCaseofStudy

D.DelleDonne,G.Durn,F.FernndezSlezak......................................255AsignacinEficientedeVotantesaEscuelasMedianteProgramacinMatemtica:ElCasodelaCiudaddePergamino

G.A.Durn,J.Lenzi,N.E.StierMoses.............................................259RangosNyN0deGrafosWebNearPerfectos

N.E.Aguilera,M.S.Escalante,P.G.Fekete.........................................263Production Schedule Joinedwith Cargo Consolidation andDelivery Vehicles Routing of a PackingIndustry

C.MartinsJunior,F.Horst,L.VidaldeSouza........................................267UnAlgoritmoHBMOVNSparaCARP

N.Figueroa,S.Comn,C.Martnez,S.Rodrguez.....................................271

SESIN 7 Matemtica Industrial / Industrial Mathematics

AplicacindeAnlisisdeComponentesPrincipalesalDiagnsticodeFallasenVigasUsandoRedesNeuronales

N.Ponso,A.Zapico,L.Molisani,Y.Ballesteros,J.C.DelReal............................275Optimal Planning and Scheduling of Multiproduct Batch Plants Operating Under ProductionCampaigninaMultiperiodContext

Y.Fumero,G.Corsano,M.S.Moreno,J.M.Montagna................................279ModeladodelProcesodeTempleporInmersin

D.N.Passarella,F.Varas,E.B.Martin..............................................283AnlisisdelaDependenciaFuncionaldelaEficienciadeunCicln

M.B.Cocconi,E.M.Rodriguez,C.Marinelli,R.Cepeda,M.R.Barbosa...................287

xi

SESIN 8 Mecnica Computacional / Computational Mechanics

SimulacinNumricadeFlujosCompresibles.EstabilizacinparaRegmenesSubsnicosH.P.Burbridge,A.M.Awruch,A.Scarabino.........................................291

AerodinmicayDinmicadelVuelodeAlasBatientesB.A.Roccia,S.Preidikman,J.C.Massa,D.T.Mook...................................295

SolucinNumrica de Sistemas de Ecuaciones Lineales Provenientes delMtodoMRDRL para laEcuacindeConveccinDifusin

L.PonzelliniMarinelli,M.Portapila,C.Sanziel.......................................299ComparacinEntreBasesdeFourieryBasesdeOnditasDaubechiesparalaIntegracinNumricadelaEcuacindeKortewegyDeVries

M.R.Alfonso,F.M.Pessana,W.E.Legnani.........................................303SimulacindeFluidosyTransferenciadeCalorMedianteSPHenTiempoReal

A.C.Limache,P.S.Rojas.........................................................307ContornosArtificialesenFlujonoEstacionarioconSuperficieLibre

L.Battaglia,M.Storti,J.DEla....................................................311ParametricStudyofthePlasticThresholdforGrainGrainCollisions

E.N.Millan,D.Tramontana,C.GarciaGarino,M.F.Piccoli,E.M.Bringa.................315Simulaciones Numricas el Comportamiento Aerodinmico de Aviones con Alas que Mutan:ResultadosPreliminares

M.Verstraete,S.Preidikman,B.Roccia,J.Massa....................................319UsodeMtodosNumricosparaModeladodeCorrientesDescendentes(Downburst)

J.P.Arroyo,G.Balbastro,V.Sonzogni...............................................323

SESIN 9 Modelos Matemticos / Mathematical Models

ModeladoMatemticodelaReaccindeCuradodeCopolmerosBioinspiradosS.A.Bortolato,D.M.Martino,C.Sarmoria,D.A.Estenoz.............................327

UnAnlisisdelaPrecisinyEfectividaddeFrmulasdeTomadeNutrientesporRacesdeCultivosJ.L.BlenginoAlbrieu,J.C.Reginato,D.A.Tarzia......................................331

SpectralNodalMethodfortheComputationalModelingofMonoenergeticNeutronDiffusionR.S.Mansur,F.M.Oliveira,C.S.SousaJunior........................................335

ModelacinMatemticadelosIncendiosenlaZonaSerranadelaProvinciadeCrdobaJ.F.Weber,P.T.Stehli,E.Jonquera...............................................339

ParalelizacindelClculoMoleculardelasIntegralesBielectrnicasenlaAproximacinSCFLCAOA.Rosso,C.Denner,G.Fraschetti,L.Tardivo,J.Prez,J.Cesco..........................343

UnDesarrolloenTrminosdeFuncionesdeLaguerreJ.Prez,A.Rosso,C.Denner,O.Taurian,C.Alturria..................................347

QuasiPeriodicityoftheMinorityGameG.Acosta,I.Caridi,S.Guala,J.Marenco............................................351

SeismicMonitoringofCO2StorageConsideringWaveAttenuationandDispersionEffectsG.B.Savioli,J.E.Santos,J.M.Carcione,D.Gei......................................355

ModeloMatemticoparaunaVigaconApoyosElsticosLimitadosJ.M.Gianfelice,M.N.OrtizdeLatierro.............................................359

xii

SESIN 10 Optimizacin / Optimization

MtodoQuasiNewtonparaOptimizacinMultiobjetivoG.A.Carrizo,P.A.Lotito,M.C.Maciel............................................363

AProximalPointTrustRegionLineSearchAlgorithmforUnconstrainedMinimizationS.A.Santos,R.C.M.Silva........................................................367

TrustRegionFilterMethodforNonlinearOptimizationProblems:ReviewandNewProposalM.C.Maciel,M.G.Mendoca......................................................369

UnAlgoritmodeFiltrosLibredeDerivadas:AnlisisdeConvergenciayExperimentacinNumricaN.Echebest,M.L.Schuverdt,R.P.Vignau.........................................373

La InversadeMoorePenrosePonderadaenelProblemadeMnimosCuadradosPonderadosparaMatricesEPPonderadas

A.Hernndez,M.Lattanzi,N.Thome...............................................377On the Relationship Between the Fritz John Non Linear System and the Fritz John Saddle PointProblemintheFrameworkofMultiobjectiveOptimization

M.C.Maciel,S.A.Santos,G.N.Sottosanto..........................................381Un Estudio Sobre la Convergencia Local de unMtodo de Lagrangiano Aumentado Utilizando laFuncindePenalidadExponencial

N.Echebest,M.D.Snchez,M.L.Schuverdt..........................................385ResultadosNumricosdelMtododeRestauracinInexactasinDerivadasIRDFO

M.B.Arouxt,N.E.Echebest,E.A.Pilotta...........................................389Anlisis de Convergencia Local de un Mtodo Libre de Derivadas para Resolver SistemasIndeterminadosdeEcuacionesnoLineales

M.M.Olea,M.L.Schuverdt,R.P.Vignau...........................................393ADerivativeFreeAlgorithmforFindingtheOptimalLengthofanAmmoniaReacto

E.P.Carvalho,C.Borges,D.Andrade,Y.JinYun......................................397ImplementacindeunAlgoritmoSelectivodeOptimizacindeEstructurasReticuladasEspaciales

J.L.Mroginski,P.A.Beneyto,G.J.Gutierrez........................................401UnaHeursticaparaelProblemadeEstimarlaMatrizODenunaReddeTransporte

J.Walpen,E.M.Macinelli,P.A.Lotito..............................................405MtodosHbridosyLibresdeDerivadasparaResolucindeSistemasnoLineales

R.Begiato,M.A.GomesRuggiero,S.A.Santos,A.L.Custdio...........................409Identificacinde laCapacidaddeTransporteenCanalesdeSeccinCompuestaenCondicionesdeFlujoTransitorio

J.V.Martorana,V.H.Cortnez....................................................413ProgramacinBilevelMultiobjetivoPropiamenteEficiente

V.A.Ramrez,R.Andreani,S.A.Santos............................................417EstrategiadeRestauracinInexactaparaProblemasdeOptimizacinadosNivelesenBioreactores

F.E.Buffo,M.C.Maciel,S.Diaz..................................................421ReformulacinConvexadeunProblemadeOptimizacinCombinatoriaAplicado aun EjemplodeOrdenamientoTerritorial

M.C.Vidal,P.A.Lotito,M.C.Maciel..............................................425AlgoritmosProximalesconMtricaVariableyTrminoLinealnoSimtrico

L.A.Parente,P.A.Lotito.........................................................429DeterminacindelosMximosVolmenesdeExtraccindeAguaenAcuferosCosteros

V.Cortnez,C.Stoklas............................................................433

xiii

SESIN 11 Probabilidad, Estadstica y Procesos Estocsticos / Probability, Statistics

UncertaintyQuantificationintheCollisionoftwoDiscsF.S.Buezas,M.B.Rosales,R.Sampaio.............................................437

MtodoEstadsticoEvolutivoparalaReduccindeIncertidumbreenProcesosdePrediccinG.Bianchini,P.CaymesScutari.....................................................441

EstimadoresRobustosenModelosdeRegresinSemiFuncionalesParcialmenteLinealesA.Vahnovan,G.Boente..........................................................445

EstimacinRobustaenelModelodeRiesgosAditivosE.E.lvarez,J.Ferrario...........................................................449

AMarkovModelofNonIndependentParallelQueuesJ.G.SpasianiRinaldi,L.C.Benini...................................................453

EstimacindelPuntoOperacionalparaelModelodeFlujoMarkovianoGeneralizadoJ.Bavio,B.Marrn...............................................................457

ModellingThroughaFuzzyInferenceSystemL.C.Benini,J.G.SpasianiRinaldi....................................................461

SpectralRepresentationMethodanditsApplicationtoWindLoadsonaGuyedTowerJ.S.Ballaben,M.B.Rosales.......................................................465

ModelizacinMatemticaconBaseMeteorolgicaparaPrediccindeEpidemiasVegetalesE.Bombelli,R.Moschini,E.R.Wright,M.V.Lopez,M.C.Fabrizio,G.Barberis,M.C.Rivera,Z.Cataldi..........................................................469

ModeloProbabilsticoparaFacebookyViabilidaddelaTeoradeMundoPequeoM.Guardiola,G.Perera,A.Tablar.................................................473

AHandySourceforInvestigationonNonGaussianNoiseInducedEffects,andSelectedApplicationsH.S.Wio,R.R.Deza,J.I.Deza,J.I.PeaRossello.......................................477

CrossoverTimeEstimationinKPZDynamicsbyMeansofPathIntegrals:ANovelProposalH.S.Wio,R.R.Deza,J.A.Revelli,C.Escudero.........................................481

SESIN 12 Problemas de Frontera Libre / Free Boundary Problems

ASingularPerturbationProblemforthep(x)LaplacianC.Lederman,N.Wolanski.........................................................485

Solucin de Similaridad en Procesos de Descongelamiento en un Medio Poroso con CondicinConvectivaenelBordeFijo

A.N.Ceretani,D.A.Tarzia....................................................489PrecisionofModelsofNutrientUptakebyRootstoLowandHighConcentration

J.C.Reginato,J.L.Blengino,D.A.Tarzia............................................493SolucinExplicitadeunProblemadeStefanadosFasesconCoeficientesTrmicosnoLineales

A.C.Briozzo,M.F.Natale.........................................................497RelacionesentrelasSolucionesdeNeumannparaDatosdeTemperaturayCondicinConvectivaenelBordeFijoenelProblemadeLamClapeyronStefanadosFases

D.A.Tarzia.....................................................................501

SESIN 13 Problemas Inversos / Inverse Problems

EcuacinenDerivadasParcialesdePoissoncomoProblemaInversodeMomentosM.B.Pintarelli,F.Verica..........................................................505

xiv

ExistenciadelaSolucindelProblemadelValorPropioInversoParaMatricesJHamiltonianasS.Gigola,L.Lebtahi,N.Thome.....................................................509

ApproximatedSolutionstoPseudodiferentialInverseProblemsbyWaveletDecompositionMethodsE.P.Serrano,M.I.Troparevsky....................................................513

Regularization of Inverse ILLPosed Problems with L2BV Penalizers and Applications to ImageRestoration

G.L.Mazzieri,R.D.Spies,K.G.Temperini...........................................517OptimalElectrodePositionsfortheInverseProblemofEEGinaSimplifiedModelin3D

H.T.Banks,D.Rubio,N.Saintier,M.I.Troparevsky....................................521EstimacindelosParmetrosdeunaFuncindeDistribucindeViajesUrbanosMedianteunModeloContinuodeTrficoMulticlase

P.N.Domnguez,V.H.Cortnez....................................................525

SESIN 14 Problemas Matemticos en Mecnica del Continuo / Continuum Mechanics

ConsideracionesSobreIntermitenciaTipoIG.Krause,S.Elaskar,E.delRo.....................................................529

ModeloNoLinealParaVigasconActuadoresPiezoelctricosIntegrados:ImplementacinNumricaM.Verstraete,S.Preidikman,B.Roccia,J.Massa......................................533

WaveWaveInteractionsofaGrasdynamicTypeL.F.Dinu......................................................................537

Clculo de PropiedadesMsicas de Superficies de Forma ArbitrariaMediante Elementos FinitosIsoparamtricos

B.A.Roccia,S.Preidikman,G.R.Bossio,J.C.Massa....................................541ANewRiemannSolver

S.Elaskar,O.Falcinelli,J.Tamago..................................................545NewProbabilityDensityoftheLaminarLengthFunctionsforTypeIIntermittency

S.Elaskar,E.delRo,G.Krause....................................................549

SESIN 15 Procesamiento de Seales e Imgenes / Signal and Image Processing

EliminacindeRuidoUtilizandoWavaletPacketenunaSealdeCorrientedeunCanalInicoL.Casal,G.LaMura.............................................................553

EncriptamientodeDatosMedianteConvolucinAritmticaD.Prelat,M.Maulhardt,T.Cordero,M.Cipriano.....................................557

AnlisisdelaCrisisdelaEurozonaUtilizandoelCalorEspecficoMultifractalA.Figliola,E.P.Serrano..........................................................561

ComplejidadEstadsticaWaveletLeadersPuntualAplicadaaunaSerieEconomtricaM.Rosenblatt,A.Figliola,E.Serrano................................................565

ConteodeColoresenLesionesdelaPielparalaDeteccindeMelanomaL.FalciolaMarichal,A.Ruedin,D.Acevedo,L.Coll....................................569

UnAlgoritmodeMarcadoReversibleparaImgenesFijasBasadoenRunLengthL.M.Vargas,E.Vera............................................................573

EvolucindelaCorrelacinFractalentrePreciosdeCommoditiesmedianteelUsodelasRedesComplejas

L.D.Catalano,A.Figliola..........................................................577

xv

ProposalfortheDeterminationofanAdequateSamplingRateforLaserPropagationThroughTurbulentMediabyMeansoftheWaveletTransform

C.Funes,A.Fernndez,D.Prez,L.Zunino,E.Serrano.................................581FamiliadeWaveletsAdaptadasaunCubrimientoHiperblicodelDominioTiempoFrecuencia

M.Fabio,E.Serrano.............................................................585KalmanUnscentedVs.MtododeGrilla:AnlisisdeunModeloLogsticoDiscreto

G.LaMura,E.P.Serrano,R.O.Sirne...............................................589Clasificacin de Segmentos Normales, Hyperkinticos e Hypokinticos en ImgenesVentriculogrficas,AplicandoelMtododeLneaCentral

H.Velandia,R.Medina,L.E.Mendoza,MuozL.BedoyaA..............................593AnlisisComparativodeConvergenciadeunAnfisLGeneradodeFormaAleatoriaoconelMtododelaPseudoinversaparaComprensndeImgenes

K.A.Nemer,G.Ames,A.G.Flesia...................................................597ProcesadodeRegistrosdeVibracinAmbientalparaIdentificarelPerodoFundamentaldelSuelo

R.J.Ritta,J.C.Massa,A.T.Brewer................................................601AlgebraicInversionTechniquefortheTVTransform

J.Cebeiro,M.Morvidone,D.Rubio.................................................605ShuntActiveFilterforHarmonicsCurrentsCompensation:OptimalEstimationandControl

C.DAttellis,M.Morvidone,F.Muio,M.Carbajal.....................................609MtodoHbridodeOptimizacinparalaRestauracindeImgenesDigitales

J.R.Guerrero...................................................................613Implementacin de un Filtro de Kalman en una Seal de Audio Contaminada con Ruido BlancoAditivodelCanaldeTelecomunicaciones

R.A.Canveri,G.LaMura.........................................................617WaveletsDefinidasSobreGrillasTetradricasIrregulares

L.B.Boscardn,L.R.Castro,S.M.Castro............................................621EjemplosdeMutiwaveletsNoSeparables,Ortogonales,enR3

G.B.Paolini,L.R.Castro..........................................................625SeleccindeunReconocedordeGneroBasadoenImgenesdeCarasparaunSistemaenTiempoReal

F.S.Iglesias,M.E.Buemi..........................................................629MtododeSegmentacinaColorparaSealesdeTrnsitodelaRepblicadelParaguay

F.Pisciotta,A.Invernizzi,J.L.VrzquezNoguera,H.LegalAyala.........................633

SESIN 16 Sistemas Dinmicos / Dynamical Systems

ObtencindeCiclosPeridicosporelMtododeAnlisisHomotpicoR.Cobiaga,W.Reartes...........................................................637

OnControlLyapunovFunctionsforControlledSwitchedSystemsR.A.Garca,J.L.MancillaAguilar..................................................641

CiclosIsocrnicosenunPnduloRotatorioRealimentadoconRetardoA.Bel,W.Reartes,A.Torresi.......................................................645

SolutionstoPredatorPreySystemsbyAdomianDecompositionMethodS.Seminara,M.I.Troparevsky....................................................649

AFormulafortheAmplitudPeriodofNonlinearOscillatorsA.G.Garca,O.E.Agamennoni...................................................653

OneCubicRauzyFractalJ.L.R.Bastos,AliMessaoudi,T.M.Rodrigues........................................657

xvi

MltiplesEquilibriosyOscilacionesenelModeloTridimensionalparaunCircuitoconunDiodoTnelP.Bonfili,A.Torresi,G.Calandrini,J.Moiola.........................................661

ControldeVibracionesenVasFrreasJ.E.Stuardi,J.F.Gir,A.J.Giudici.................................................665

EvaluacionesdeIndicadoresdeCalidadenlaIdentificacindeParmetrosdeSistemasDinmicosJ.Gir,A.Giudici,J.Stuardi,J.Massa...............................................669

AnlisisdeSistemasconRetardosDistribuidosmedianteTcnicasFrecuencialesF.S.Gentile,J.L.Moiola..........................................................673

SESIN 17 Teora de Control ptimo y Aplicaciones / Optimal Control

Controles ptimos Simultneos DistribuidoFrontera en Sistemas Gobernados por EcuacionesVariacionalesElpticas

C.M.Gariboldi,D.A.Tarzia......................................................678UnProblemadeControlptimoconControlesMontonos:DiscretizacinenTiempo

L.S.Aragone,E.M.Mancinelli,E.A.Philipp.........................................682Un Aporte a laDeterminacin del Factor de Consumo Equivalente para el Control Supervisor deVehculosElctricosHbridos

L.V.Prez,C.H.deAngelo,V.L.Pereyra.............................................686UnModeloparaelControlptimodelVIHSIDA

A.M.PulecioMontoya,A.MuozLoaiza,G.OlivarTost................................690OptimalControlAnalysisofDCDCConvertersUsingthePontryaginsPrinciple

M.DominguezLibrandi,A.Garca,J.Orsi............................................694OnThePlateBallOptimalControlProblem

L.Colombo....................................................................698AnlisisNumricodeunProblemadeControlptimoElpticoFronteraconCondicionesMixtas

D.A.Tarzia.....................................................................702ANecessaryOptimalityConditionforaDiscretTimeMinMaxProblem

L.S.Aragone,J.Gianatti,P.A.Lotito...............................................706

SESIN 18 Transferencia de Calor y Materia / Heat and Mass Transfer

Estudio Experimental y Numrico del Comportamiento Trmico de un Proceso de BiodigestionAnaerobicaconMezcladeDiversosSustratos

M.Morales,P.Martina,R.Aeberhard,J.Corace,A.Boucguez.........................710HeatTransferofanImpingingJetonaPlaneSurface

JianJunShu.....................................................................714PeculiarityofHeatTransferandTemperatureSelfOscillationsUnderStationaryIrradiation

P.Selyshchev...................................................................718AnlisisdeOndasdeCalorenelSueloUtilizandoDiferenciasFinitas

L.M.Iannelli,J.A.Fiora,S.Gil......................................................722

SESIN 19 Posters de Estudiantes de Grado / Undergraduate Students Posters

RelacinentrelaPluviometrayCasosdeDengueenlaCiudaddeFortalezaBrazilenelAode2011W.L.deSousa,M.C.JanurioXavier,K.VieiraMendona..............................726

xvii

SESIN 20 Posters de Estudiantes de Posgrado / Graduate Students Posters

IntroduccinalosANFISLK.A.Nemer.....................................................................730

TransferenciadeCalorenelEconomizadordelGeneradordeVaporde350MWJ.A.Jimnez,M.D.Durn,G.Jarquin..............................................734

PreprocesamientodeDatosparaelModeladodelaSegregacinenunProblemadeTransporteD.A.Cuch,C.D.ElHasi,D.Rubio,C.Urcola.........................................738

AlgoritmodePuntosInterioresdeBajoCostoconAplicacinalasMquinasdeVectoresdeSoporteE.J.GuevaraM.,M.D.GonzlezLima..............................................742

GeometricPropertiesofaKnottedProteinP.M.daSilva,A.R.deSouza......................................................746

Anexo: Estudio de la Variabilidad en el Fraccionamiento de Sdios G. Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

A PARABOLIC DELAY MODEL FOR GENE REGULATION

Alejandro Omon Arancibia

Departamento de Ingeniera Matematica, Universidad de La Frontera, Temuco-Chile, [email protected]

Abstract: It is studied a particular model of reaction diffusion system for the modelling of two species interactingwithin a cell; the biological meaning of the species is mRNA and a protein to be synthesized in the ribosome.

Keywords: Reaction-difusion with delay, periodic solutions.2000 AMS Subject Classification: 37N25, 39A28 and 39B72

1 INTRODUCTIONThe negative feedback system

x1(t) = g(x2(t r)) 1 x1(t), (1)x2(t) = x1 2 x2,

is used for modeling gene regulation, where x1 models intracellular mRNA and x2 a protein product of thegene, see [1] for more details.

In previous system, r represents the time for mRNA to leave the nucleus of the cell where it istranslated into a protein in the ribosome. The system has a feedback mechanism where the protein re-entersinto the nucleus and represses the production of its own mRNA. It is well accepted the use of a Hill functionon the modeling of the reaction term, this is the function

g(x) = gn1

1 +(xK

)p , (2)with both gn and K constants of the modeled phenomenon.

Solutions for system (1) can be of various type, where of course periodic solutions are very im-portant, as they represent the physical phenomenon within the cell. It is important to remark the complexcharacter on the study of delayed dynamics, which in general are far more complicated than instantaneousones, given by ordinary differential systems.

Although (1) gives a very good first insight on the gene regulation, see [7], a first important lim-itation of it comes from the fact that it only represents a dynamics on time, but no importance to spacephenomena is given, in particular to diffusion which is the main mechanism of space spread.

A better modelling of the same phenomenon is given then by the system

ut = u+ g(v(t r)) 1u in ]0, T ) ,vt = v + u 2v in ]0, T ) ,

u(0, x) = u0(x) in ,v(0, x) = v0(t, x) in] r, 0] ,

un = 0 on ]0, T ) vn = 0 on ]0, T ) ,

(I)

where now u and v takes the role of previous x1 and x2. Let us observe that now diffusion has been addedto the dynamics.

MACI 4 (2013) 1 - 4 G. La Mura, D. Rubio, E. Serrano (Eds.)

1

Previous system corresponds to reaction-diffusion systems with delay, which is a class of veryunstudied ones in Mathematics. Some of the few theoretical works on this type of problems is the one byMartin and Smith [5], which clearly is a pioneering one in this type of problems. Nowadays, there is abigger literature on them, but still reactions-diffusion problems with delay are very well unknown in theirbehaviour, although they provide a very good modeling on many problems in Biology, but also Acousticand Mechanics, see [2] as an excellent source of phenomenon to be modeled by delay.

The use of delay in Biology is quite well accepted, see for example the classical book by J.B.Murray [6] chapter six, but because of the theoretical difficulties that delay dynamics have they are oftenneglected or only corresponds to ordinary delay models. A first and pioneering study on parabolic PDEsinvolving delay in the reaction is given by [5], where the nonlinearities define a Monotonous Dynamical Sys-tem, and some examples from Biological models are given. After [5] the use and study of evolution PDEswith delayed reactions terms is more frequent, see for example [1]-[4], although they are still avoided inareas where they are natural as population dynamics, where pregnancy time is not taken into account, see[8].

In this work it is studied both from the theoretical and numerical point of view system (I). Aswas said before it models a gene regulation of two species, and the Neumann boundary condition gives anisolated character to the domain that simulated the cell.

One of the basic problems to study is the one concerning existence of solutions, at least locallyin time, following the ideas in [5]. Then, and because of its meaning, the seek of periodic solutions is veryinteresting as many of the phenomenon in a cell have a periodic character. It is interesting to mention thatsteady solutions of (I) correspond to solutions of an elliptic system, while on the other extreme only timedependent solutions correspond to solutions of (1). From the numerical simulations point of view but alsofrom the biological point of view, the shape of the domain which simulates the cell, the same as also thestructure and location of the reaction g, which corresponds to the mitochondria, has enormous significance.

Figure 1 shows a one dimensional simulation of the problem. The main parameters are 1 =2 = 1, the delay corresponds to r = 0.01, the space domain is the interval ]0, 1[. The initial function forthe species u is the constant value 0.5, while the species v is a sinusoidal function. The space integrationwas done with Finite Elements, implemented with polynomial of degree one, while the time integration wasdone with Euler Method. The nonlinear reaction term was integrated with Trapezium Formulae.

REFERENCES[1] S.F. Ellermeyer: Competition in the chemotax, asymptotic behaviour of a model with delayed response in growth; SIAM J.

Appl. Math. vol. 54, pp. 456-465 (1994).[2] T. Erneux: Applied Delay Differential Equations; Surveys and tutorials in the Applied Mathematical Sciences 3, Springer-

Verlag (1991).[3] J. Hale, S.M. Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differential Equations; Appl. Math. Sciences (99), Springer-Verlag

(1993).[4] W.-T. Li, G. Lin, S. Ruan: Existence of travelling wave solutions in delayed reaction-diffusion systems with applications to

diffusion-competition systems; Nonlinearity vol. 19 (2006), pp. 1253-1273.[5] R.H. Martin, H. Smith: Reaction-diffusion systems with time delays: monotonicity, invariance, comparison and convergence,

J. reine angew. Math. vol. 413, pp. 1-35 (1991).[6] J.B. Murray: Mathemtical Biology (second edition); Biomathematics Texts 19, Springer-Verlag (1993).[7] H. Smith: An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Science; Texts in Applied Mathematics

27, Springer-Verlag (2010).[8] H. Weiss: A Mathematical Introduction to Population Dynamics; Publicacoes Matematicas (27 Coloquio Brasileiro de

Matematicas) , IMPA-Brazil (2009)

MACI 4 (2013) G. La Mura, D. Rubio, E. Serrano (Eds.)

2

0 12 3

4 56

x 1040

0.20.4

0.60.8

10.5

0.52

0.54

0.56

0.58

timeFirst Species

0 12 3

4 56

x 1040

0.20.4

0.60.8

11

0.5

0

0.5

1

timeSecond Species

Figure 1: Dinamica sistema (I)


3

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ntio

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k


4

INFERENCIA DE PARMETROS DE BIODIVERSIDAD POR MEDIO DE SIMULACIN

Cristbal R. Santa Mara y Marcelo A. Soria

Departamento de Ingeniera e Investigaciones Tecnolgicas, Universidad Nacional de La Matanza, Florencio Varela

1903, 1754 San Justo, Argentina, [email protected], www.unlam.edu.ar Ctedra de Microbiologa, Facultad de Agronoma, Universidad de Buenos Aires. INBA-CONICET, Av. San Martn

4453, 1427 CABA, Argentina, [email protected], www.agro.uba.ar Resumen: En estudios metagenmicos sobre comunidades microbianas suele ocurrir que, pese a contar en trminos absolutos con un gran nmero de datos, stos resultan insuficientes para establecer estimaciones adecuadas de parmetros de biodiversidad. La subestimacin de la riqueza de especies producida por las tcnicas no paramtricas habitualmente utilizadas, motiva la construccin del Algoritmo de Recuento de Especies (ARE) que, sobre un modelo de simulacin, realiza una expansin de la muestra y logra as mejorar la estimacin. El procedimiento parte de la estimacin de la probabilidad de especie nueva construida por Turing y agrega, en cada iteracin, un individuo simulado a la muestra original, obteniendo un nuevo recuento de especies. Se aplica ARE sobre dos conjuntos muestrales y se comparan sus resultados con estrimaciones no paramtricas. Tambin se prueba su desempeo sobre una comunidad simulada segn la serie log de Fischer. Los resultados confirman la mejora producida en la estimacin de riqueza.

Palabras claves: riqueza, especie, estimacin, simulacin 1. INTRODUCCIN Para evaluar la biodiversidad de una comunidad es preciso determinar cuantas especies forman parte de la misma y en que proporcin se hallan. Una alternativa utilizada es el anlisis basado en el gen 16S rRNA, de alta conservacin a lo largo del proceso evolutivo, que permite apreciar con exactitud las diferencias taxonmicas [1]. Una vez secuenciadas las cadenas de ADN del gen, obtenidas de una muestra de material biolgico, cada secuencia representa a un individuo distinto. Las secuencias se alinean y filtran por procedimientos estndar y luego se miden sus distancias genticas a fin de realizar un agrupamiento segn el grado de similitud que revelen. Un umbral de disimilaridad entre el 3% y el 5% es propio de individuos de la misma especie que integrarn el mismo agrupamiento. Es decir, para contar cantidad de especies y averiguar su distribucin en la muestra de material, habr que contar clusters y cantidad de secuencias que los integran. Pero, cuando se desea inferir desde una muestra la riqueza de todo el medio biolgico se presentan dificultades de carcter estadstico que provienen de la gran cantidad de microorganismos que integran realmente la comunidad y de la existencia de una mayora de especies que se encuentran en muy baja proporcin y resultan entonces raras. El tamao de la comunidad y la rareza estadstica se suman a limitaciones tecnolgicas y/o econmicas que impiden aumentar la cantidad de individuos muestreados, introduciendo as un grado de incertidumbre en las estimaciones de la riqueza comunitaria que no puede tratarse con las tcnicas estadsticas habituales. Existen distintos modelos a partir de los cuales es posible abordar esta situacin, pero sus resultados suelen subestimar la real cantidad de taxones presentes en la comunidad [2] Un enfoque alternativo a la estimacin no paramtrica de la riqueza, es el que aportan las curvas de rarefaccin [3] El mtodo permite estimar la riqueza de un medio al aplicar una tcnica de remuestreo planteada por Efron en [4]. Consiste en ir contando la cantidad de especies diferentes, tomando cada vez un orden distinto y aleatorio de los individuos de la muestra y estableciendo el nmero acumulado promedio para cada cantidad i de individuos examinados. La curva resultante tiene un aspecto suave, creciente y asinttico con el valor de riqueza de la comunidad en la medida en que crece el tamao muestral. La idea del Algoritmo de Recuento de Especies (ARE) parte de dos conceptos. Por un lado se consider la existencia de una estimacin de la probabilidad de hallar una especie nueva cuando se selecciona un nuevo individuo para integrar la muestra. Por otro, se observ el hecho de que la curva de rarefaccin debe alcanzar un comportamiento asinttico horizontal para un tamao muestral suficientemente grande, por lo cual una curva de acumulacin de especies distintas debiera observar un comportamiento similar cuando aumenta la cantidad de individuos en la muestra.


5

2. EL MODELO EXPERIMENTAL

Al seleccionar aleatoriamente n individuos de una comunidad que contiene un nmero finito de especies S, las cantidades kr nnnn ,...,,...,, 21 son, en cada caso, el nmero de especies que

contabilizan r individuos entre los n seleccionados. De tal forma k

rr nrn

1

Es claro que 0n expresa la

cantidad de especies que no aparece representada por ninguno de los n individuos elegidos y que la

cantidad de especies en la comunidad es k

rrnS

0

Si se denomina nS a la cantidad de especies

contabilizadas al tomar n individuos resulta 0nSSn . Hay que observar que al agregar un nuevo individuo a una muestra, ste puede resultar perteneciente a una especie ya presente en la muestra, o a una nueva an no contabilizada. Para formalizar se define: Definicin 1: Dada una muestra de tamao n sea, para cada i, con ,...3,2,1i , la variable aleatoria iS que toma los valores 1ii SS y 11ii SS con probabilidades respectivas ip1 y ip siendo adems nSS0 . La sucesin de variables aleatorias ,...,, 321 SSS se denomina en adelante Proceso Aleatorio de Cantidad de Especies. Nota 1: La interpretacin que constituye el modelo experimental identifica a iS como la cantidad de especies distintas presentes en una muestra de tamao n+i. Adems ip se interpreta como la probabilidad de que al incorporar un nuevo individuo a una muestra de tamao n+ 1i , ste corresponda a una especie nueva no presente hasta ahora en la muestra. El siguiente paso es construir una estimacin de la probabilidad ip . En [5] Good prueba que la probabilidad de que, elegidos n individuos, al seleccionar uno nuevo ste resulte de una especie hasta

ahora no contabilizada, puede aproximarse por el cociente nnT 1 dnde 1n es el nmero de especies que

aparece una vez en la muestra elegida y que debe suponerse mayor estricto que 0. Esta idea, que se atribuye

a Turing, es la que aqu se utiliza para estimar ip . Se propone entonces 1insgletonesnTi como

frmula de clculo de la probabilidad de especie nueva asociada al proceso aleatorio de cantidad de especies. El nmero de singletones en cada muestra de tamao 1in refiere a los clusters formados por un solo individuo, cuando se realiza el procedimiento de agrupamiento de secuencias indicado en la introduccin y la consiguiente identificacin de cada cluster con una especie distinta. Teorema1 : 0lim ii T

Prueba. Se denota por )1(irn al nmero de especies que aparecen r veces en la muestra de tamao 1in . Claramente 0)1(irn para todo ,...2,1i con ikr ,...,1,0 La cantidad )1(0 in es el nmero

de especies no presentes en la muestra y )1(1 in el nmero de especies que aparecen una sola vez, es decir

la cantidad de singletones. Tambin es claro queik

rirnS

0)1( para todo i. Resulta as que

Sn i )1(10 . Por lo tanto se cumple que 110 )1(1

inS

inn i dnde n es el tamao inicial de la


6

muestra. Al pasar al lmite en cada miembro de la desigualdad se tiene 0lim1

lim )1(1 iii

iT

inn

Teorema 2: SSiilim

Prueba. Por construccin ii SS 1 para todo i. Resulta entonces que la sucesin de variables aleatorias

es montona creciente. Adems para cada i se cumple que SnnnSii k

rrii

k

rrii

10

1. Como

00in se tiene SSi para todo i. Por lo tanto SSiilim

Nota 2: El Teorema 2 muestra que la sucesin de los iS es convergente a un lmite en forma asinttica. Adems ese lmite no superar la cantidad S de especies presentes en la poblacin. 3. EL ALGORITMO DE RECUENTO DE ESPECIES El algoritmo realiza la simulacin por la tcnica de Monte Carlo. Dado el tamao

1in de la muestra se determina el valor del estimador de la probabilidad de especie nueva. Ese valor permite constituir los intervalos iT,0 y 1,iT de modo que al elegir un nmero aleatorio r tal que

10 r , si cae dentro del primer intervalo el nuevo individuo simulado corresponda a una especie nueva y si cae dentro del segundo intervalo es un ejemplar de una especie conocida. Si ocurre lo primero, la cantidad de especies en el medio se incrementa en 1 y si no, se utilizan las proporciones de cada especie, existentes en la muestra, para asignar por medio de un nuevo nmero aleatorio la especie ya conocida, a la cual pertenece el nuevo individuo. As se van agregando individuos hasta que el clculo se detiene cuando el valor de iT alcanza una cantidad suficientemente pequea prefijada. Para efectuar pruebas el algoritmo se ha programado utilizando el software libre R [6] Las pruebas realizadas sobre los conjuntos de muestras SRX008158 y ERR009564 extrados de la base de datos de NCBI [7] arrojaron estimaciones superiores a las obtenidas por los estimadores no paramtricos de uso habitual CHAO y ACE [8]. En este caso se utilizaron como valores de corte de la simulacin 03.0iT y 015.0iT respectivamente, que se consideraron umbrales no muy exigentes. Los resultados comparados se exhiben en la Figura 1.

Figura 1: Comparacin de estimaciones 4. PRUEBAS SOBRE UNA COMUNIDAD SIMULADA

Por causas tecnolgicas y econmicas no es posible contar con secuencias del gen 16S rRNA correspondientes a todos los individuos de una comunidad microbiana real. Por esta razn, para realizar una prueba sobre una poblacin completa, se construy una simulacin de la misma. Se utiliz para ello la


7

serie log analizada por Fischer en [9] x ,2

2x,

3

3x,,

mxm que modela la cantidad esperada de

especies que estn representadas por 1, 2,, m individuos en la poblacin. Como se prueba en [9] si N es el tamao de la poblacin y S la cantidad de especies en ella contenida, se cumplen las relaciones

)1ln(/1 xxxNS y

xxN )1( De acuerdo a esto pueden calcularse valores de S y

N a partir de cantidades y x cuya significacin ecolgica desarrolla Magurran en [10]. Se utilizaron entonces los valores y x=0.995 sugeridos en [10] para obtener una comunidad integrada por 898341 individuos distribuidos entre 26332 especies. La prueba experimental consisti en aplicar el algoritmo ARE, sobre una muestra inicial de 1000 individuos, realizando distintas cantidades de iteraciones. En cada corrida se obtuvo tambin el valor que alcanz la probabilidad de especie nueva iT al cortar la simulacin. La Tabla 1 exhibe los resultados.

ARE/60000 Iteraciones




14615 19271 24559 25327 091.060000T 026.0200000T 011.0500000T 005.0897541T

Tabla1: Estimacin ARE de la riqueza comunitaria segn cantidad de iteraciones La Tabla 2 evidencia las mejoras que ARE produce en la estimacin de riqueza conforme aumenta el nmero de iteraciones.

Real CHAO ACE ARE/45000 ARE/60000 ARE/200000 ARE/500000

26332 6699 6751 12821 14615 19271 24559 100% 25% 26% 49% 56% 73% 93%

Tabla 2: Comparacin del desempeo de estimadores de riqueza 5. CONCLUSIONES

El Algoritmo de Recuento de Especies presentado produce una mejora sensible en las estimaciones de riqueza comunitaria. Se plantea el desafo de optimizar sus tiempos de ejecucin computacional a fin de posibilitar su aplicacin, de forma estndar, en las evaluaciones de biodiversidad. 6. REFERENCIAS [1] N. YOUSSEF y M. ELSHAHED Species richness in soil bacterial communities: A proposed approach to overcome sample size bias. Journal of Microbiological Methods, 75 (2008), pp. 86-91 [2] J. HUGHES, J. HELLMAN, T. RICKETTS y B. BOHANNAN Counting the uncountable: statistical approaches to estimating microbial diversity. Appied and Environmental Microbiology, (2001), pp. 4399-4406. [3] J. HUGHES y J. HELLMAN The Application of Rarefaction Techniques to Molecular Inventories of Microbial Diversity. Methods in Enzymology. Vol 397 (2005). [4] B. EFRON Computers and theory of statistics: thinking the unthinkable. Technical Report N 39. Division of Biostatistics. Stanford University (1978) [5] I. J. GOOD The Population Frequencies of Species and Estimation of Population Parameters. Biometrika. Vol 40 N (1953), pp. 237-264 [6] http://www.r-project.org/ [7] http://www.ncbi.nlm.nih.gov/ [8] A. CHAO y S. LEE Estimating the Number of Classes via Sample Coverage. Journal of American Statistical Association. Vol 01. 87, N 417. (1992) [9] R. FISCHER, S. CORBETT y C. WILLIAMS. The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population. The Journal of Animal Ecology. British Ecological Society. Vol 12 N1 (1943) [10] A. E. MAGURRAN. Measuring Biological Diversity. Blackwell Science Ltd Access published February 3. The Oxford University Press. 2004


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COTAS NO TRIVIALES EN ESTADOS ESTACIONARIOSMercedes Perez Millana,b y Alicia Dickensteina,c

aDto. de Matematica, FCEN, Universidad de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pab. I, C1428EGA Buenos Aires,Argentina. [email protected], [email protected]

bDto. de Ciencias Exactas, CBC, Universidad de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pab. III, C1428EGA BuenosAires, Argentina.

cIMAS - CONICET, Ciudad Universitaria, Pab. I, C1428EGA Buenos Aires, Argentina.

Resumen: Desarrollamos herramientas de la geometra algebraica computacional para el estudio de redes de reac-ciones bioqumicas con cinetica de accion de masas y obtenemos cotas no triviales para concentraciones en estadosestacionarios. Aplicamos nuestros resultados a la red enzimatica secuencial estudiada en Markevich et al. (2004) [5].

Palabras clave: sistemas de reacciones qumicas, cinetica de accion de masas, estados estacionarios, cotas, resul-tante2000 AMS Subject Classification: 14H50 - 80A30

1. INTRODUCCIONUna red de reacciones qumicas es un grafo dirigido finito cuyos vertices estan etiquetados por com-

plejos (yi Ns), y cuyas aristas estan etiquetadas por parametros (constantes de reaccion). El conjunto dereacciones se llama R y cada elemento de R es una arista dirigida (i, j) que representa una reaccion desdeel complejo i-esimo hacia el complejo j-esimo. Cada arista esta etiquetada por un parametro positivo ijque representa la constante de reaccion. Los complejos yi se corresponden con monomios xyi compues-tos de s especies (variables x1, . . . , xs). Las concentraciones de las especies, x1, x2, . . . , xs, se consideranfunciones del tiempo t. La dinamica de cinetica de accion de masas especificada por la red es el siguientesistema autonomo de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dxkdt

= fk(x) =

(i,j)R

i,j xyi (yjk yik), k = 1, . . . , s, (1)

donde cada fk es un polinomio en R[x1, x2, . . . , xs]. Los estados estacionarios de un sistema de reaccionesqumicas bajo cinetica de accion de masas son los ceros reales no negativos del sistema dxdt = 0.

El subespacio estequiometrico S es el subespacio vectorial generado por los vectores de reaccion yjyipara todo (i, j) R. Como el vector dxdt en (1) esta en S para cualquier tiempo t, toda trayectoria x(t) quecomienza en un vector positivo x(0) = x0 Rs>0 permanece en la clase de compatibilidad estequiometrica(x0 + S) Rs0. Luego, podemos elegir r := s dim(S) relaciones de conservacion independientes

Lj(x) = `j(x) Cj = 0, j = 1, . . . , r,

donde `j es una forma lineal homogenea en las variables x1, . . . , xs y Cj R, que definen una clase dadade compatibilidad estequiometrica. Las constantes Cj estan determinadas por las concentraciones inicialesdel sistema.

Definicion 1 Decimos que D > 0 es una cota superior trivial para la especie i-esima si existe una relacionde conservacion de la forma a1x1+ a2x2+ + aixi+ + asxsC = 0 con todos los aj 0 y ai > 0

(luego C > 0) y D =C

ai.

Nuestro objetivo es mejorar estas cotas para concentraciones en estados estacionarios. Notemos que nohay en general una expresion analtica para describir estas concentraciones y podra haber multiestacio-nariedad, lo que hace que hallar cotas sea una tarea difcil. Damos condiciones suficientes para encontrarcotas superiores no triviales utilizando herramientas de la geometra algebraica computacional, en particulareliminacion de variables y la nocion de discriminante [3].


9

La multiestacionariedad en redes enzimaticas [1] ha sido estudiada con herramientas geometricas y alge-braicas por ejemplo en [2, 6]. En [4], se utilizan metodos algebraicos en la red bacteriana de regulacion de laosmolaridad EnvZ/OmpR para hallar cotas superiores robustas, es decir, que dependen solo de las constantesde reaccion y no de las condiciones iniciales o las concentraciones totales de sus especies. En este trabajo,nos concentraremos en hallar cotas superiores para especies especficas del sistema (que llamaremos sali-da). Aplicamos nuestros resultados dando cotas no triviales para la concentracion del sustrato doblementefosforilado, en el sistema de doble fosforilacion secuencial presentado en Markevich et al. (2004) [5]:

M + MAPKKk1k1

M-MAPKKk2 Mp + MAPKK

k3k3

Mp-MAPKKk4 Mpp + MAPKK

Mpp + MPK3h1h1

Mpp-MKP3h2 Mp-MPK3

h3h3

Mp + MKP3h4h4

Mp-MKP3h5 M-MPK3

h6h6

M + MKP3(2)

Hay 11 ecuaciones diferenciales del sistema bajo cinetica de accion de masas y 3 relaciones de conservacionindependientes:

L1 = [M-MAPKK] + [Mp-MAPKK] + [MAPKK]MAPKKtot = 0L2 = [Mpp-MKP3] + [Mp-MKP3] + [Mp-MKP3] + [M-MKP3] + [MKP3]MPK3tot = 0

L3 = [M] + [Mp] + [Mpp] + [M-MAPKK] + [Mp-MAPKK] + [Mpp-MKP3] + [Mp-MKP3] + [Mp-MKP3] + [M-MKP3]Mtot = 0.

La salida usual de esta red es la concentracion [Mpp] de sustrato doblemente fosforilado Mpp. Considerare-mos como entrada de esta red a la cantidad total MAPKKtot relacionada a la kinasa MAPKK. En la tercerarelacion de conservacion L3 = 0, vemos que Mtot es una cota superior trivial para [Mpp] a lo largo detoda la trayectoria. En la Seccion 3 encontraremos cotas no triviales para esta especie en estado estacionarioque son tambien independientes del valor de la entrada, utilizando los resultados de la seccion siguiente.Naturalmente, las cotas superiores no triviales obtenidas tienden a la cota trivial cuando la constante de de-fosforilacion h1 esta muy cerca de cero. Nuestro analisis indica como controlar o regular los parametrosdel sistema de manera mas sencilla y explcita que correr una simulacion del sistema completo.

2. RESULTADOSSin perdida de generalidad, queremos hallar cotas para la concentracion x1 en estado estacionario, que

sera nuestra salida. Asumiremos que el sistema tiene al menos dos relaciones de conservacion independien-tes dadas por L1 = `1 C1, L2 = `2 C2, que x1 aparece en L2 y que todos los coeficientes de `2 son nonegativos. Esto da una cota trivial para x1 en estado estacionario. Restando de L1 un multiplo de L2, pode-mos suponer que x1 no aparece en L1. Tomaremos C1 como nuestra entrada y encontraremos condicionespara obtener cotas superiores no triviales para x1 en estado estacionario que sean de hecho independientesde C1, una vez que se han fijado otras r 1 concentraciones totales correspondientes a relaciones deconservacion independientes de L1.

Asumiremos, como es mplicitamente asumido en general, que fijadas formas lineales `1, . . . , `r quedefinen S y constantes (C01 , C02 , . . . , C0r ) que definen una clase de compatibilidad estequiometrica, hay solofinitos estados estacionarios en esta clase. Mas explcitamente, asumiremos que el sistema f1 = f2 = =fs = `1 C01 = = `r C0r = 0 tiene finitas soluciones en Cs.

Por simplicidad, llamaremos desde este momento c := C1. Tambien llamaremos I(c) R[x1 . . . , xs]al ideal generado por f1, f2, . . . , fs, `1 c, `2 C02 , . . . , `r C0r . Notemos que los ceros no negativosde este ideal son los estados estacionarios en la clase de compatibilidad estequiometrica determinada porc, C02 , . . . , C

0r .

Lema 1 Con las notaciones e hipotesis anteriores, fijemos constantes reales C02 , . . . , C0r . Es posible encon-trar un polinomio no nulo

p = p(x1, c) I(c). (3)

que solo depende de x1 y c.


10

Notemos que un tal polinomio p puede calcularse efectivamente mediante tecnicas standard de eliminacionde la geometra algebraica computacional. A traves de p = p(x1, c) como en (3), podemos establecer cotaspara la concentracion de x1 en estado estacionario. Para poder encontrarlas, nos valdremos de la resultante

de p yp

cpensados como polinomios en R[x1][c].

Supongamos que el grado n de p en c es positivo y escribamos p =ni=0

pi(x1)ci. La resultante [3]

Rn := Resn,n1(p,p

c, c),

de p yp

cpensados como polinomios en R[x1][c], es un polinomio en R[x1]. Los ceros de Rn estan dados

por la union de las races de pn y las races del discriminante Dn de p como polinomio en la variable c.Notemos que si la recta x1 = es una asntota de la curva p(x1, c) = 0, entonces pn() = 0. Por otro lado,el discriminante de p en la variable c es un polinomio en x1 que se anula en un valor de x1, con pn(x1) 6= 0,

cuando es posible encontrar un valor de c tal que se anulen simultaneamente p(x1, c) =p

c(x1, c) = 0. La

resultante Rn puede calcularse como el determinante de la correspondiente matriz de Sylvester de tamano(2n 1) (2n 1) (o por matrices de menor tamano, involucrando al Bezoutiano).

Notemos que, si escribimos `1 = a2x2 + a3x3 + + asxs, la imagen de Rs0 por `1 dependera delos signos de ai para i = 2, . . . , s. Llamemos J a este conjunto imagen. Si ai 0 para todo i, tendremosJ = [0,+); si ai 0 para todo i, J = (, 0]; en otro caso sera J = R. Luego, en un estado estacionario(no negativo), c solo podra tomar valores en J .

Fijado R, denotaremos por X al conjunto X := {c R/p(, c) = 0}.

Proposicion 1 Dado p(x1, c) en I(c) tal que Rn 6 0, sea {1, 2, . . . , m} el conjunto de ceros reales deRn, con 1 > . . . > m. Si para algun ndice k existen 1, . . . , k R con 1 > 1 > 2 > 2 > . . . >k > k tales que para todo 1 i k, Xi = y Xi J = , entonces x1 < k en cualquier estadoestacionario. En otras palabras, k es una cota superior no trivial para x1 en estado estacionario.

Mas aun, denotemos por la mayor raz real positiva de pn y supongamos que < k. Si p(x1, 0) notiene races positivas mayores que y X J = para toda raz de Rn en el intervalo [, k], entonces es cota superior no trivial (mas precisa) para x1 en estado estacionario.

La primera parte de la proposicion es una consecuencia del siguiente lema, que a la vez es un resultadoinmediato del Teorema de la Funcion Implcita:

Lema 2 Sea p como en la proposicion anterior y U un conjunto abierto conexo de R contenido en elcomplemento de los ceros reales de Rn. Entonces existe un entero no negativo d tal que el cardinal delconjunto X es d, para todo U .

Las cotas no triviales que da la Proposicion 1 se pueden encontrar en el ejemplo que utilizamos en esteartculo y lo mostramos en la siguiente seccion.

3. COTAS NO TRIVIALES PARA LA RED ENZIMATICA SECUENCIALPara la red (2) con las constantes de reaccion fijadas segun la informacion suplementaria de [5], y las

concentraciones totales MKP3tot = 100 y Mtot = 500, podemos encontrar un polinomio p = p(x1, c) parala entrada c :=MAPKKtot y la salida x1 :=[Mpp]. El polinomio p que hallamos con metodos de eliminacionen el ideal I(c) tiene grado 4 en c, por lo que en nuestro caso n = 4.

La resultante R4 de p yp

cpensados como polinomios en R[x1][c] es un polinomio de grado 38 en

R[x1]. Sus races reales positivas se pueden aproximar por 1 = 454,0097365, 2 = 410,3677992, 3 =404,6731203 y 4 = 312,5652282. Si elegimos, por ejemplo, 1 = 470 y 2 = 420 que cumplen las


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desigualdades 1 > 1 > 2 > 2, podemos ver que p(1, c) y p(2, c) no tienen races reales, por lo que2 es una cota superior no trivial para x1 en estado estacionario.

Mas aun, las races reales de p4 son aproximadamente 27,45700308 y 404,6731203. Es decir, 3 es lamayor raz real de p4 y es menor que la cota no trivial 2.

Como los coeficientes no nulos de `1 = [M-MAPKK] + [Mp-MAPKK] + [MAPKK] son positivos,el conjunto de todos los posibles valores de c para estados estacionarios es J = [0,+). Los ceros dep(x1, 0) son aproximadamente 13,52564494, 11,84717846 y 0, que son claramente menores que 3, yp(2, c) = 0 para c = 70,4 < 0, que no esta en J . Luego, por la segunda parte de la Proposicion 1, 3 esuna cota superior no trivial (mas precisa) para x1 en estado estacionario.

En este ejemplo podemos ver que ademas estas cotas no triviales tienden a la cota trivial C2 = Mtotcuando la constante de defosforilacion h1 tiende a cero. Esto se deduce del hecho de que podemos escribira p4 en funcion de C2 y de h1 en la forma

p4(x1, h1, C2) = h1g(x1, h1, C2) + (x1 C2),

con g un polinomio (computable) en x1, h1 y C2.

AGRADECIMIENTOSAgradecemos la financiacion de los proyectos UBACYT 20020100100242, CONICET PIP 112-200801-

00483, y ANPCyT PICT 2008-0902, Argentina.

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BOUNDS FOR THE TOTAL NUMBER OF n-CYCLIC PEPTIDES

Gabriel Soto[,

[Departamento de Matematica, Facultad de Ingeniera, U.N.P.S.J.B., Argentina [email protected] de Qumica, Facultad de Ciencias Naturales, U.N.P.S.J.B., Argentina

Abstract: Since their discovery, there has been an increasing interest in the understanding of the conformationalbehaviour of cyclic peptides because of its potential use in drug engineering. Given the combinatorial complexity ofcomputing the total number of n-peptide cyclic chains, it is important to obtain estimates that would help to reducethe computational tasks. In this paper we use algebraic and geometrical ideas to compute such estimates and relatethem to the computational studies in [9].

Keywords: cyclic peptides, geometrical symmetries, computational chemistry2000 AMS Subject Classification: 92B99 - 92C40 - 92E10

1 INTRODUCTIONCyclic peptides (or cyclic proteins) are polypeptide chains whose amino and carboxyl termini are them-

selves linked together with a peptide bond, forming a circular chain. A number of cyclic peptides have beendiscovered in nature and they can range anywhere from just a few amino acids in length to hundreds. Theprocesses by which cyclic peptides are formed in cells are not yet fully understood. One interesting propertyof cyclic peptides is that they tend to be extremely resistant to digestion, allowing them to survive intact inthe human digestive tract. This trait makes cyclic peptides attractive to protein based drug designers for useas scaffolds which, in theory, could be engineered to incorporate any arbitrary protein domain of medicinalvalue, in order to allow those components to be delivered orally [5].

It is of great interest to understand the conformational behaviour of cyclic peptides for which techniquesfrom quantum chemistry are usually used [4]. With different levels of theoretical computation it is possibleto explore the conformational potential energy surface (PEHS) of cyclic peptides in order to obtain predic-tions on equilibrium structures, their stability and transition states [9]. Given the number of peptides thatconform a cyclic protein, the problem of computing the total number of n-peptide cyclic proteins that canbe obtained using k different peptides is of combinatorial nature. However, cyclic structures might havegeometrical symmetries thus it it necessary to consider them to avoid repetition, which in turns would po-tentially decrease the total number of structures that need to be analysed and hence reduce the computationaltasks.

In this paper we describe a way to compute such configurations using geometrical and algebraic tech-niques which give us the total number of possible n-peptide cycles given k different peptides. Then wecompare our results with the theoretical analysis of the cyclic-triglycine (CTG) [9].

2 COMBINATORIAL AND GEOMETRICAL CONFIGURATIONS OF n-PEPTIDE CYCLESThe problem

Given k different peptides how many different combinatorial n-cyclic configurations there are.

is equivalent to having to calculate the number of assignment of k labels to n sites and to find the totalnumber of non-negative integral solutions of the equation

x1 + x2 + + xk = n (1)

which results in the combinatorial number C(m+ k 1, k 1) = C(m+ k 1,m) [8].

Definition 1 The total number of different combinatorial n-peptide cycles obtained from k different peptidesis given by C(m+ k 1, k 1).


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In order to list all possible combinatorial configurations we introduce the following definition. For thatlet Z+ be the set of nonnegative integers and let Zk+ the cartesian product of k factors Zk+Zk+ Zk+.Let us enumerate the k labels l1, l2, , lk.

Definition 2 Skn Zk+ is the set of all combinatorial k-tuples representing the different n-peptide cycles.The j coordinate of a k-tuple in Skn represents the number that the label lj appears in the cycle. The cardinalof Skn, denoted by |Skn| gives us the total number of combinatorial configurations.

Tosso et al[9] studied the electrochemical properties of the cyclic-triglycine (CTG) which is composedof three peptides, each of them having four different characteristics, namely

TU TD CU CD. (2)

Hence, for the case of the CTG k = 4 and n = 3 and we obtain 20 different combinatorial configurations,which are listed in Table 1. For instance, the quadruple (0, 1, 2, 0) corresponds to the cycle TD CU CUwhich corresponds to the cycle trans-cis-cis with topology tCOdown-up-up as in Table 1 in [9]. The ele-ments of S43 are listed in Table 1.

TU TD CU CD3 0 0 02 1 0 02 0 1 02 0 0 11 2 0 01 0 2 01 0 0 2

TU TD CU CD1 1 1 01 0 1 11 1 0 10 3 0 00 2 0 10 1 2 0

TU TD CU CD0 1 0 20 1 1 10 0 3 00 1 2 00 0 2 10 0 1 20 0 0 3

Table 1: Total number of k-label assignment to n sites without considering the spatial symmetry with respect to thecentral plane in the case of CTG [9].

From the original formulation of the problem (equation 1), we want to calculate all different geometricalconfigurations which can be different from the combinatorial configurations. This is because these structurescan have geometrical symmetries [4] induced by the shape of the n-cycle. Such symmetries form a finitegroup which we denote by Gn. It is important to note that the elements of Gn would depend on the geometriccharacteristics of the k different peptides involved in the formation of the n-peptide cycle. Therefore, inorder to get the different configurations of a given n-cycle we need to calculate the orbits of the action ofthe group Gn on the set Skn[7].

Definition 3 The total number of different n-peptide cycles obtained from k different peptides is the cardinalof the quotient set Skn/Gn, where Skn is the set of all different k-tuples representing all possible combinatorialconfigurations, Gn is the group of symmetries of such n-peptide cycles and Gn acts on Skn.

For the CTG, G3 is generated by the dihedral group D3 (the group of symmetries of the equilateraltriangle [7]) and the symmetry with respect to the central plane of the CTG, Scp [9]. Because of the k-tuplenotation adopted for the elements of Skn, Scp can be represented by the matrix

Scp =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

. (3)


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and the action reduces to a matrix multiplication. It is easy to see that for the CTG case, Scp is the onlysymmetry that can produce non-trivial orbits on S43 ; i.e., G3 is isomorphic to Z2. The number of differentconfigurations for the CTG is 10, the cardinal of S43/G3 and a set of representative is listed on the left ofTable 2.

Note 1 From the experimental studies done on the CTG, it follows that it is always possible to define atleast one central-plane symmetry, and hence there will be at least one Scp in Gn. This also implies that thesize of Scp is even.

TU TD CU CD3 0 0 00 0 3 02 1 0 02 0 1 02 0 0 11 0 2 01 0 0 21 1 1 01 0 1 10 0 2 1

Conformer Corresponding Cuadruple1 (0, 1, 2, 0)2 (0, 0, 3, 0)3 (0, 0, 2, 1)4 (1, 1, 1, 0)5 (1, 0, 2, 0)6 (1, 0, 1, 1)7 (1, 2, 0, 0)8 (1, 1, 1, 0)9 (0, 2, 1, 0)10 (0, 2, 1, 0)11 (0, 2, 0, 1)12 (0, 3, 0, 0)

Table 2: Left panel: Total number of elements in S43/G3, which is 10. Right panel: correspondence among conformersin Table 1 in [9] and the quadruples of S43/G3.

If we consider k = 4 and n = 4 then S44 contains 35 combinatorial quadruples, which corresponds to thecase of the tetraglycine [?]. For instance, (1, 2, 1, 0) represents the cycle TU TD TD CU. We wantto obtain a set of representatives of the action of the group G4 on the set S44 .

The group G4 is generated by the dihedral group D4 (the group of symmetries of the square [7]) andScp defined as in (3). Considering the orbits induced by the action of Scp on S44 we obtain 19 differentquadruples. However, because of the geometry of D4 we need to distinguish two cases.

Quadruple (1, 1, 1, 1). The quadruple (1, 1, 1, 1) has 6 different geometrical configurations since ithas no symmetries with respect to D4.

Quadruples with coordinate 2. Any of the ten quadruples that contain a coordinate 2, would giverise to two different geometrical configurations because such structure has two identical peptides andcan be located either next to each other or opposite to each other on the square.

Therefore S44/G4 contains 34 different configurations.

DISCUSSIONIt is of great interest to study the conformational properties of cyclic peptides using computational

techniques[6]. Such conformational studies are very important in the context of drug design[2], bindingmechanisms[1, 3]. In this context it is of great interest to compute the total number of different configu-rations that need to be analysed in such computational studies. In this paper we describe how to calculatethe total number of different configurations of n-cyclic peptides, namely |Skk/Gn| and relate our theoreticalresults to particular computational studies.

From the topological explorations of the PEHS of CTG in [9] according to relative energy- and entropy-levels there found twelve different conformers, which are listed in the right panel of Table 2. If we compare


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with the elements of S34 we see that conformers 4 and 8 are equivalent and the same is true for conformers9 and 10. For the tetraglycine case, we only consider one central plane for the cyclic chain, but there is stilldebates about whether it will be necessary to consider more than one central plane, which potentially wouldreduce the number of possible configurations.

We conclude then that our theoretical calculations about the total number of n-peptide cycles can onlybe taken a priori to be lower bounds. Further studies need to be done in order to uncover the source of suchdifferences between the theoretical and computational ones.

ACKNOWLEDGMENTSI would like to thank Edgardo Saavedra for having given me this problem which since then has sparked

a synergistic collaboration.

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