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Capítulo IV Trabajo y Energía

Bernabé Mejía

bmejiac@pucp.pe

IFU- PUCP 1

Trabajo efectuado por una fuerza constante:

Cuando una fuerza constante 𝐹 actúa sobre una partícula que sufre un desplazamiento rectilíneo 𝑠 , el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula se define como el

producto escalar de 𝐹 y 𝑠 . La unidad de trabajo en el SI es 1 joule = 1 newton-metro (1 𝐽 = 1 𝑁 𝑚). El trabajo es una cantidad escalar, ya que puede ser positivo o negativo, pero no tiene dirección en el espacio.

FA 1-PUCP 2

Se pueden observar 3 situaciones notables: que F actúe en la dirección y sentido de la velocidad (V), o en sentido opuesto, o perpendicularmente a esta.

IFU- PUCP 3

Condiciones para que una fuerza realice trabajo sobre un objeto

La fuerza debe tener una componente en la dirección del movimiento del objeto.

Debe existir desplazamiento.

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TRABAJO TOTAL

Si sobre una partícula se aplican varias fuerzas, entonces el trabajo total es igual a la suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas aplicadas.

Sean las fuerzas F1, F2 y F3 aplicadas sobre una partícula tenemos:

Se puede demostrar que el trabajo total, realizado por varias fuerzas es igual al trabajo realizado por la fuerza resultante:

IFU- PUCP 5

Trabajo debido a varias fuerzas

Trabajo de todas las fuerzas aplicadas sobre el

cuerpo es:

IFU- PUCP

RFFFFT WWWWW ...321

mg

F fk

N

W fk= - fk ∆x

W N =0

W mg= 0

WF = F ∆ x

WT = (F-fk)∆x = WFR FR=F-fk

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LA ENERGÍA Y SU CONSERVACIÓN

La energía se encuentra íntimamente relacionada con el trabajo. La energía siempre demuestra su presencia haciendo trabajo.

“Un cuerpo o un sistema cualquiera poseen energía cuando es capaz de realizar un trabajo. La energía que encierra el sistema será medida por el trabajo que el sistema es capaz de realizar.”

IFU- PUCP 7

Energía cinética:

La energía que un cuerpo posee en virtud de su movimiento se denomina energía cinética (K).

La energía cinética es una cantidad escalar sin dirección en el espacio; siempre es positiva o cero, y sus unidades son las mismas que las del trabajo: 1 𝐽 = 1 𝑁 𝑚 = 1 𝑘𝑔 𝑚2/𝑠2.

FA 1-PUCP 8

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El teorema trabajo-energía:

Cuando actúan fuerzas sobre una partícula mientras sufre un desplazamiento, la energía cinética de la partícula cambia en una cantidad igual al trabajo total realizado sobre ella por todas las fuerzas. Esta relación, llamada teorema trabajo-energía, es válida para fuerzas tanto constantes como variables, y para trayectorias tanto rectas como curvas de la partícula; sin embargo, sólo es aplicable a cuerpos que pueden tratarse como partículas.

FA 1-PUCP 9

Sea una partícula de masa m que se desplaza una distancia d. Asumiendo que la fuerza neta de está tiene el mismo sentido que el desplazamiento, el trabajo total será:

Como la aceleración es constante cumple con:

Por lo tanto

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Energía potencial gravitacional :

La energía potencial (U) es la energía almacenada que tienen los cuerpos en función de su posición.

La energía potencial más común es la energía potencial gravitacional, que está relacionada con el peso y con la altura a la que se encuentra el cuerpo con respecto a un nivel de referencia horizontal.

𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑚𝑔𝑦

FA 1-PUCP

Nivel de referencia (NR)

𝑚𝑔

Observaciones:

1) La energía potencial gravitacional queda completamente determinada cuando se especifica el nivel de referencia horizontal.

2) Cuando se consideran cuerpos extensos, se emplea la altura a la cual se encuentra su centro de gravedad con respecto al nivel de referencia.

3) La energía potencial puede ser positiva o negativa dependiendo de si se encuentra encima o debajo del nivel de referencia elegido.

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Energía Mecánica Total (E)

La energía mecánica total de un cuerpo en un punto es la suma de la energía cinética más la energía potencial que posee el cuerpo en el punto considerado.

𝐸 = 𝐾 + 𝑈

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Observaciones:

1) La energía es la capacidad de hacer trabajo.

a) La energía tiene las mismas unidades que el trabajo (en el S.I., el joule).

b) Al igual que el trabajo, la energía es un escalar.

2) Independientemente de su forma, la energía mecánica es cinética o potencial. La energía potencial es la energía almacenada o energía de posición. La energía cinética es la energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.

IFU- PUCP 14

TEOREMA DE LA ENERGÍA MECÁNICA

El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, exceptuando su peso, es igual a la variación que experimenta su energía mecánica total.

𝑊′ = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = ∆𝐸

Donde W’ representa el trabajo realizado por todas las fuerzas exceptuando el trabajo realizado por el peso, dado que esta incluido en la energía potencial gravitatoria. Esto se demuestra:

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝐾 = 𝑊𝑝𝑒𝑠𝑜 + 𝑊′ como 𝑊𝑝𝑒𝑠𝑜 = −∆𝑈

Entonces 𝑊′ = ∆𝐾 + ∆𝑈 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 − (𝑈𝑖+𝐾𝑖)

Por lo tanto 𝑊′ = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = ∆𝐸

IFU- PUCP 15

Analizando la expresión: 𝑊′ = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = ∆𝐸

De la anterior expresión concluimos que:

a) W’>0, entonces la energía mecánica total aumenta.

b) W’<0, entonces la energía mecánica total disminuye.

c) W’=0, entonces la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final, es decir la energía mecánica total se conserva.

W’: Trabajo hecho por todas las fuerzas externas sin incluir el peso.

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CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

A partir del teorema de la energía mecánica se deduce que si el trabajo de las fuerzas diferentes al peso es nulo, es decir W’ = 0, entonces la energía mecánica se conserva (energía al inicio igual a la energía al final), simbólicamente:

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IFU- PUCP

Si no hay pérdidas debido a la fricción con el aire, la suma de K y U se mantiene constante e igual a la energía inicial.

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Ejemplos

¿Quién realiza más trabajo si mueven sus bloques de igual masa a una velocidad constante?

IFU- PUCP 19

a) Si el cuerpo es llevado verticalmente

b) Si el cuerpo es arrastrado 5m sobre un plano inclinado sin rozamiento, la fuerza se mantiene paralela al plano inclinado.

M

1m

F

a)

1m F

°

5m

M

b)

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Una persona levanta con velocidad constante un bloque de masa m a una altura h, y después camina horizontalmente una distancia d. Determinar el trabajo efectuado por la persona y por el peso en este proceso.

IFU- PUCP 21

Trabajo hecho por la persona:

hmghFWy ..

0xW

Trabajo hecho por el peso:

mghWy

0xW

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Gráfica fuerza vs posición

F es variable

D=10m

FX (N)

2

5

X(m)

10 0

W=35 J

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¿Puede tener trabajo un objeto?

No, a diferencia de la energía, el trabajo no es

algo que tiene un objeto. El trabajo es algo que

hace un objeto a otro objeto. Un objeto puede

hacer trabajo sólo si tiene energía.

Física conceptual, Paul Hewitt , 9° edición IFU- PUCP 24

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¿Puede tener energía un objeto?

Si, pero en sentido relativo. Por ejemplo un

objeto elevado puede poseer U relativa al suelo,

pero no relativa a un punto a la misma elevación.

De manera similar, la K que tiene un objeto es con

respecto a un marco de referencia, usualmente la

superficie terrestre.

Física conceptual, Paul Hewitt , 9° edición

IFU- PUCP 25

Ejercicio 1

Calcule la rapidez que la masa m tendrá al llegar al piso, si es que parte del reposo y todas las superficies son lisas.

IFU- PUCP 26

Ejercicio 2

Hallar la rapidez de cada una de las masas cuando hayan recorrido una distancia de 20 cm. Todas las superficies son lisas y la polea no tiene masa. Todas las masas se encuentran inicialmente en reposo.

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Ejercicio 3

Un péndulo de 1 m de longitud está fijo a la parte superior de un armario. La pesa se eleva hasta que el hilo forma con la vertical un ángulo de 30° y desde allí se suelta. Si el lado del armario mide 0,5 m de largo, ¿qué ángulo formará el hilo con la vertical cuando la pesa se encuentra en su punto más alto por debajo del armario? No considerar los efectos del rozamiento.

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Ejercicio 4

En el sistema, el bloque de 2 kg de masa parte del reposo del punto A, pasando inicialmente por el tramo liso AB y luego por un tramo rugoso BC, hasta detenerse en el punto C. Hallar el valor de la fuerza de fricción en el tramo horizontal BC.

IFU- PUCP 29

Ejercicio 5

La figura muestra una rampa. De la parte superior de la rampa parte del reposo una caja de 50 kg de masa. Se desea que cuando llegue a la parte inferior su rapidez sea de 4,6 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre la caja y la rampa es 0,3, encuentre el ángulo de inclinación que debe de tener la rampa empleando métodos de trabajo y energía.

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Ejercicio 6

Analizar la verdad o falsedad :

“El trabajo de la normal sobre un cuerpo siempre vale cero”.

“El trabajo de la fricción sobre un cuerpo siempre es negativo”.

“El trabajo de una fuerza distinta de cero siempre es diferente de cero”.

“Si el trabajo de una fuerza es cero, necesariamente dicha fuerza es cero”.

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Ejercicio 7

El sistema mostrado en la figura consta de dos bloques conectados por una cuerda ideal que pasa a través de una polea también ideal. Los bloques se sueltan del reposo cuando el bloque de 12 kg está a una altura de 2 m sobre el piso.

a) Utilice métodos de energía para determinar la rapidez con que el bloque de 12 kg golpea el piso.

b) Utilice cinemática y dinámica para determinar la rapidez con que el bloque de 12 kg golpea el piso.

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Ejercicio 8

Spiderman se lanza colgado de su tela de araña desde un punto A ubicado en la azotea de un edificio de 100m a otro de 120m. En el punto C se suelta de su telaraña y la única fuerza que actúa sobre él es su peso, en D no pierde energía y se desliza hasta E (altura del edificio) por una superficie sin fricción, llega sin rapidez, pero desde esa posición se da cuenta que un bloque muy pesado comienza a deslizarse por lo que lanza su telaraña y aplica una tensión constante de tal manera que detiene el bloque antes de caer desde el punto Q, se pide determinar:

IFU- PUCP 33

Determinar:

La rapidez en A, B y C sabiendo que los puntos P y C están en un mismo nivel de referencia con respecto a una horizontal.

El trabajo realizado por la tensión y la tensión de la tela de araña de spiderman sabiendo que la superficie inclinada por donde cae el bloque tiene un µC =0,5, la masa del bloque es 50kg y la rapidez inicial del bloque es 10m/s

IFU- PUCP 34

A

B

C

D

P

Q

60°

60°

30 m

20m 25m

20m

E

Liso µ

IFU- PUCP 35

Solución a. Si consideramos el nivel de referencia en la horizontal que pasa por Q podemos deducir del grafico

𝐸𝐴 =1

2𝑚 𝑣𝐴

2 + 𝑚 𝑔 ℎ𝐴 =1

2𝑚 𝑣𝐴

2 + 𝑚 𝑔 10

𝐸𝐵 =1

2𝑚 𝑣𝐵

2 + 𝑚 𝑔 ℎ𝐵 =1

2𝑚 𝑣𝐵

2 + 𝑚 𝑔 5

𝐸𝐶 =1

2𝑚 𝑣𝐶

2 + 𝑚 𝑔 ℎ𝐶 =1

2𝑚 𝑣𝐶

2 + 𝑚 𝑔 20

𝐸𝐷 =1

2𝑚 𝑣𝐷

2 + 𝑚𝑔 ℎ𝐷

𝐸𝐸 = 𝑚𝑔 ℎ𝐸 = 𝑚𝑔 30 Entonces dado que no actúan fuerzas diferentes del peso en la dirección del movimiento 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐸𝐶 = 𝐸𝐷 = 𝐸𝐸

𝑣𝐴 = 19,8 𝑚/𝑠 𝑣𝐵 = 22,136 𝑚/𝑠

𝑣𝐵 = 14 𝑚/𝑠

IFU- PUCP 36

b. Como el nivel de referencia en la horizontal pasa por Q

𝐸𝑃 =1

2𝑀 𝑣𝑃

2 + 𝑀 𝑔 ℎ𝑃 =1

250 102 + 50 𝑔 20 = 12300𝐽

𝐸𝑄 = 0𝐽 𝑊′ = ∆𝐸

−𝑇 − 𝑓𝑟 𝑑 = 𝑊𝑇 − 𝑓𝑟𝑑 = 𝐸𝑄 − 𝐸𝑃 = −12300𝐽 Del grafico se puede obtener que

𝑓𝑟 = 𝜇𝐶 50 𝑔 cos 60° = 122,5𝑁

𝑑 =20

sin 60°=

40

3𝑚

Reemplazando y despejando tenemos 𝑊𝑇 = 𝐸𝑄 − 𝐸𝑃 + 𝑓𝑟𝑑 = −9470,98 𝐽

𝑇 = 410,106 𝑁