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Zum Schluss noch eine geometrische Anregung1

1 http://www.cip.ifi.lmu.de/~zimmermc/sfc/zula/node3.html

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Wir wollen die natürlichen Zahlen nicht auf einem Zahlenstrahl, sonder

in im ganzen 1. Quadranten eines Koordinatensystems darstellen. Dazu

schreiben wir die natürlichen Zahlen zunächst dual, also im

Zweiersystem (siehe selbiges Kapitel), und gruppieren die Ziffern von

hinten angefangen bei den Einern angefangen in Paare (wir hätten sie

eigentlich auch gleich im Vierersystem schreiben können, was diesem

vorgehen entspricht). Für das Paar 00 nehmen wie das erste Quadrat

der Einheiten von x und y, für 0I = 1 das gleich große Quadrat

daneben, für I0 = 2 dasjenige darüber und schließlich für II = 4 das

alle zum großen Quadrat der doppelten Seitenlänge ergänzende.

II

← I0

00→

↑ 0I

Dualzahlenpaare „quadratisiert“ dargestellt

Start →

So sieht es aus, wenn man die Zentren der vier Quadrate der Reihe nach verbindet

Für die nächsten zwei Ziffernpaare verdoppeln wir das ganze Quadrat

um nun für die 16 möglichen Zahlen auch 16 Teilquadrate zum dort

Einquartieren der Zahlen zu haben.

↓ Ziel 15 ______

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II II

II I0

II I0

I0 I0

II I0

II 0I

I0 00

I0 0I

00 0I

00 I0

0I II

0I I0

00 00

00 II

0I 00

0I 0I

↑ Start bei 0

↓ Ziel 15

Start Überschneidungsfrei angeordneter Dualzahlenweg der 4² = 16 Zahlen

Für jedes weitere Paar verdoppelt sich das Quadrat wiederum, denn

jede Zahl ist ein neues Quadrat. Beispielsweise käme für die Zahl 20 =

I0I00 wegen 0I I0 00 das neuerliche Zahlenquadrat in die zweite

untere Hälfte des wiederum verdoppelten Quadrats mit insgesamt 64

Einheitsquadraten.

Durch weitere Verdoppelungen kommen wie auf 128, dann auf 256, schließlich nach dem fünften Mal auf 1024, dann 4096 Zahlen. Und nach zehn Schritten haben wir die erste Million, nach zwanzig die Milliarde und nach fünfzig Schritten haben wir über eine Trillion Zahlen erfasst. 63 255

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0 →

Verbundene Zentren der 43= 64 und 4

4= 256 Zahlen

Beim fünften Mal sind es 45 = 2

10= 1024 Zahlen.

↓ Ziel 4095

Start bei 0 ↑ ↑1000

Nach dem sechsten Mal sind 212

= 4096 Zahlen dargestellt (von 0 unten bis 4095 oben)

Interessant ist der Weg von der Zahl 1000 quer übers ganze Quadrat bis nach 3000

Wollen wir alle natürlichen Zahlen darstellen, füllen wir den ganzen

ersten Quadranten auf. Nun können wir unser natürlichen Zahle auch

noch auf alle positiven reellen (im Dualsystem dargestellten) Zahlen

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ausdehnen. Und diese im Dualsystem geschriebenen Kommastellen

analog dann innerhalb des jeweiligen Einheitsquadrates ihres größten

Ganzen durch Quadratviertelungen einbauen, denn nun werden gemäß

der Kommadualpaare auch umgekehrt die Quadrate einfach verkleinert

und die Seiten statt zu verdoppeln eben stetig halbieren. Ordnen wir

die Zahlen nun einfach den Quadratzentren zu und ändern die

Zahlengruppierung etwas ab (damit keine Überkreuzung stattfindet),

dann beschreiben unsere durch die Quadratmitten dargestellten Zahlen

eine Zackenlinie, die (durch das ewige Wiederholen) im Grenzfall

eine Kurve ist, welche die ganze Fläche ausfüllt.

Die Peano2-Kurve

2 Guiseppe Peano wurde am 27. August 1858 in Cuneo, Italien geboren und starb am 20. April 1932 in Turin. Als Sohn armer Bauern musste Guiseppe täglich 5 km zur Schule nach Spinetta und zurück laufen. Sein Onkel nahm ihn dann 1870 mit nach Turin, wo er eine weiterführende Schule besuchte, 1876 an die Universität ging und schließlich 1880 in Mathematik promovierte. Manche reden auch von Hilbert-Kurven, da Peano seine Konstruktionen nicht illustrierte, während Hilbert sie ein Jahr später als erster visualisierte! http://www.jasondavies.com/hilbert-curve/

David Hilbert wurde am 23. Januar 1862 in Königsberg, heute Kaliningrad, geboren und starb am 14. Februar 1943 in Göttingen. Er besuchte in Königsberg das Gymnasium und die Universität, wo er unter Lindemann

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füllt bei ständiger Fortsetzung in alle Ewigkeit das ganze Quadrat aus

II II 15

↓ II 0I 12

← II I0 11

← I0 I0

10 ↑

II I0

14

← II I0

13

→ I0 00 8

↑ I0 0I

9 →

00 0I

1

↓00 I0 2

↑ 0I II 7

← 0I I0

6 ↑

00 00 0

→00 II 3

→ 0I 00 4

↑ 0I 0I 5

Weg der natürlichen

Dezimalzahlen von Null bis 15

11,1875 11,00 ←←←← nach ↑ ↓ 11,125 ←11,0625

←←←← 10,9375

10,75

↓

←←←←

10,6875

10,625

↑ 10,875

10,8125

→ 10,5

↑

10,5625

→ 10,0625

10,125

↓

↑

10,49875

10,43625

←

↑ 10,00

↑

→ 10,1875

→ 10,25

↑ 10,375

von 10 -0.0625 = 9,9375

Mögliche Unterteilung des Quadrats für 10 (vergrößert dargestellt)

1884 seinen Doktortitel erwarb. Hurwitz und Lindemann, deren Lehrstühle Hilbert später innehatte, beeinflussten seine Arbeit.

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Indem wir nun die Kehrwerte nehmen3, lassen sich alle unendlich

vielen positiven Zahlen größer 1 auch im Einheitsquadrat darstellen.

Und es hat den Anschein als wollten wir damit alle Punkte des Quadrats

abzählen4, wobei die Punkte eine etwas quadratische Form

angenommen haben könnten.

Damit ist ein Viertel der Ebene (1. Quadrant ohne Einheitsquadrat) mit

den reziproken Zahlenwerten (der unendlich vielen Zahlen) größer Eins

auf ein Quadrat der Seitenlänge 1 abgebildet worden. Scheinbar hat

das Quadrat auch nicht mehr Punkte als die Ebene, nämlich beide

haben eben unendlich viele.

Eine schlichte Unmöglichkeit also, denn mit Funktionen, kann man eine

Zahlenmenge von R (eine Linie, d.h. etwas eindimensionalen wie der

Zahlenstrahl) nicht auf den R²-Menge, eine zweidimensionale Fläche

(ein komplettes Quadrat) abbilden!

Eine weitere Möglichkeit ist einfach anstatt diesem x des Zahlenstrahl

aller positiven Zahlen, die größer-gleich 1 sind, dessen Kehrwerte 1/x

zu nehmen, wobei die ganze unendliche Länge des Zahlenstrahls auf

das Einheitsintervall [0 ,1] schrumpft, also auf eine Strecke der Länge

3 Diese inverse Abbildung ist die sog. Wehrlesche Quadratinversion (oder Spiegelung am Einheitsquadrat). Aber stattdessen kann man auch einfach genau das wiederholen (mit den Ziffern der dual verwandelten Dezimalkommazahlen von 0 bis 1 hinter dem Komma), was man zuvor mit den Ziffern vor dem Komma (bzw. ohne Komma) machte; die Paarbildung, ab dem Komma nämlich. 4 Ob die unendliche Anzahl der Punkt einer Ebene wohl eine `noch größere´ Unendlichkeit als diejenige der unendlich vielen Geradenpunkte ist? Während man die Anzahl der natürlichen Zahlen als abzählbar unendlich bezeichnet, sei ihre Potenzmenge, das ist die Menge aller Teilmengen (oder die Menge aller bildbaren natürlichen unendlichen Zahlenfolgen), aber noch unendlicher, also nicht

mehr abzählbar, etwa als ob 2∞ > ∞ wäre. Es wird ja von einigen Mathematiker standhaft die Behauptung vertreten (und diese auch noch unseren `höheren´ Schülern unter gejubelt), dass es nicht nur (abzählbar) unendlich viele reellen Zahlen gibt, sondern sogar überabzählbar unendlich viele. Diese sog. Mächtigkeiten werden als 0א und

bezeichnet, wobei sich die Frage stellt, ob es noch eine dazwischen liegende 1א

Unendlichkeit א½ gibt, was die Kontinuumshypothese verneint. Der Streit darüber wird

aber noch in alle Ewigkeit fortbestehen!

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1 abgebildet wird, sozusagen kompaktifiziert ist, wenn wir die Null

hinzunehmen, die das Bild vom offenen Unendlichen abdeckelt:

Die gesamte Unendlichkeit verschwindet einfach im Nullpunkt!

Diese Reziproken der Zahlen >1 bilden wir wiederum auf unser

Einheitsquadrat ab: Wir haben dann eine Abbildung, die alle zwischen

0 und 1 liegenden Zahlen auf die Fläche eines Quadrats der

Seitenlänge 1 abgebildet hat.

Zudem ist unsere Funktion auch noch stetig, wie man mit der Delta-

Epsilontik, - für ein jedes ach noch so kleine ε>0 gibt es ein δ>o, so

das alle Zahlen der Delta-Umgebung um den Wert x° (für die man die

Stetigkeit der Funktion beweisen möchte) vollständig innerhalb der

Epsilon-Umgebung von f(x°) liegen -, unschwer nachweisen kann, denn

das Einschachtelungssystem garantiert eine maximale Distanz zweier

benachbarter Zahlenwerte, die höchstens die Diagonalenlänge eines

Unter-Unterquadrats ist, was aber natürlich beliebig klein gemacht

werden kann5.

Dies aber dürfte eigentlich gar nicht möglich sein, denn Kompakta6

werden durch stetige Funktionen stets auf Kompakta abgebildet, lehrt

und die Topologie. Und die Dimension ist für Abbildungen eine

Erhaltungsgröße; bei uns hier wird aber etwas Eindimensionales, die

5 Hier zeigt sich, dass eine Art mathematischer Hypnose existiert, die verhindert, dass man sofort erkennt, dass diese Funktion an jeder Stelle Sprünge macht und also überall Lücken haben muss (die man allerdings immer kleiner und „beliebig klein“ macht) und diese Funktion daher niemals und nirgendwo stetig ist, es sei denn man glaubt, dass Punkte kleine Quadrate sind! Diese Verblendetheit stammt von einer Art mathematischer Autoritätsgläubigkeit, weil nämlich, wenn Mathematiker sagen, >>stetig ist, wenn das und das erfüllt ist

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Einheitsstrecke oder der kompakte Zahlen-Intervall [0 ,1] auf die

ganze Fläche des Einheitsquadrats oder auf die Zahlenpaare von [0

,1]x[0 ,1] abgebildet!

(Gerade) R → RxR = R² (Ebene)

Punkt der Einheitsstrecke [0 ,1] → [0 ,1]² Punkt im Einheitsquadrat.

Ganz entsprechend, wie bei der Ziffernpaarbildung des Binärcodes,

kann man diese Dualziffernfolge von Nullen und Einsen an Stelle der

Paarbildung auch in Dreiergruppen aufspalten und damit den

Einheitswürfel bzw. den ganzen ersten Oktanden aufbauen. Teilt man

den Binärcode der Zahlen in Vierergruppen auf, ist entsprechend der

Hyperwürfel als Einheit bzw. der 16-te Teil des vierdimensionalen

Raumes erzeugbar. Die Einteilung in n-Tupel liefert somit ein n-

dimensionales Gebilde, eine Abbildung

R → Rn

[0 ,1] → [0 ,1]n,

die als Bild des Einheitsintervalls einen Einheitswürfel mit n

Dimensionen erzeugt; d.h. also die eine Linie (ein Gebilde, das nur zwei

Richtungen kennt; nämlich vorwärts oder rückwärts), in einen n-

dimensionales Gebilde verwandelt, bei dem man sich stets in unendlich

viele Richtungen bewegen kann, und das auch noch n-fach unendlich

„verschiedenartig“ (in n zueinander senkrechte Richtungen nämlich).

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-���� http://www.donrelyea.com/hilbert_algorithmic_art_menu.htm

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Dreiecks- und Quadratfüllende Sierpinski-Kurve 7

7 Raumfüllende Kurven gibt´s u.a. von Peano, Sierpinski Lebesgue Sierpinski-Knopp, Hilbert und Moore und Schönberg http://caicedoteaching.files.wordpress.com/2012/01/schoenberg_functions_ryder.pdf http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/30028167.pdf aber auch von Polya Pólya's Space-Filling Curve Hilbert and Moore 3D Fractal Curves (Robert Dickau) Lebesgue 3D Curves vgl. auch Square Koch Fractal Curves http://demonstrations.wolfram.com/SchoenbergPlaneFillingCurve/ Visualizing Space-Filling Curves with Fractals (As Limits of Curves of Continuously

Varying Dimension), http://demonstrations.wolfram.com/PolyasSpaceFillingCurve/ http://demonstrations.wolfram.com/Lebesgue3DCurves/ http://demonstrations.wolfram.com/SchoenbergPlaneFillingCurve/ http://mathworld.wolfram.com/Plane-FillingFunction.html http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Peano.shtml

http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/hilbert.shtml Hilbert-Kurve http://www.josleys.com http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/sagan2.pdf Some Reflections 0n the Emergence of Space filling Curves : The I ... Space-Filling Curves www.ulb.tu-darmstadt.de/tocs/30028167.pdf http://www.math.vt.edu/people/wheeler/class_home/4226s08/schoenfill.pdf http://benvitale-funwithnum3ers.blogspot.de/2011/02/space-filling-curves.html http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve http://www.cip.ifi.lmu.de/~zimmermc/sfc/zula/node7.html

www.Udo-Rehle.de 12/

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l

http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/HSFC

http://people.csail.mit.edu/jaffer/Color/CSDR

http://www.cip.ifi.lmu.de/~zimmermc/sfc/zula/node5.html http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PlaneFillingCurves.shtml

Hilbert-Kurve --http://www.josleys.com Recurrence for Multidimensional Self-Similar Functions

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Der Hilbert-Würfel von Carlo H Sequin (California at Berkeley)

als 3-dim. Analogon zur zweidim. Peanokurve

www.Udo-Rehle.de 14/

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www.spektrum.de/mathekalender � David Hilbert (1862 – 1943)

"Wir müssen wissen. Wir werden wissen":

. Er vollendete Euklids axiomatische Grundlegung der Geometrie ." » weiter

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Kann man die komplexen Zahlen auch eindimensional angeben?

Umgekehrt, wie man die linearen Zahlen im Zweiersystem auf die

komplexe Zahlen-Ebene abbilden könnte, müsste man auch die Gauß-

Ebene auf die eindimensionalen Dualzahlen umrechnen können.

Imaginäre Achse ↓↓↓↓ ↓ 1+2i ↓ 2+2i

2i = I0 II

1+2i = I0 I0

II II 2+2i

I0 00

II 00

II 0I

Imaginäre

Einheit i = 00 II

1+i 00 I0

I0 II 2+ i

00 00

00 0I

0I 00

0I 0I

↑ ↑

Reelle Einheiten 1 2

Man könnte in x-Richtung eine reelle und als y-Achse die imaginäre Einheiten einführen

und damit die eindimensionalen reellen Zahlen auf die zweidimensionalen komplexen abbilden.

(0I 00 sowie 0I I0 und viele andere sind zu streichen) Vermutlich aber müsste man es anders machen

und II II als 1+i definieren (allerdings müsste man in der Quadrupel-Ziffernfolge

dann 00 0I und 00 I0 und noch viel mehr andere streichen; könnte sie vielleicht als Prüfziffern verwenden)?

Wie man sieht, ist die Menge aller reellen Zahlenpaare R² und C also nicht wirklich gleichwertig oder gleichgestaltig zueinander: Reelle Zahlenpaare und komplexe Zahlen sind nicht isomorph.