Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Ivona Mandic

Nizovi realnih brojeva

Zavrsni rad

Osijek, 2007.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Ivona Mandic

Nizovi realnih brojeva

Zavrsni rad

Voditelj: Prof. dr. sc. Dragan Jukic

Osijek, 2007.

Sazetak. Ovaj rad se bavi nizovima realnih brojeva (ponekad opcenito nizovima u

metrickom prostoru) te njihovom konvergencijom. Za pocetak, niz realnih brojeva

(xn) je svaka funkcija koja elementima skupa N redom pridruzuje realne brojeve. Tako

dobiveni niz ima svoja svojstva. Moze biti monoton (rastuci ili padajuci), stacionaran,

omeden, konvergentan ili pak divergentan, Cauchyjev, moze imati jednu ili vise tocaka

gomilanja. No, medu tim svojstvima najbitnija je i najzanimljivija konvergencija.

Kazemo da je niz konvergentan ako se njegovi clanovi jedan za drugim konstantno

priblizavaju jednoj vrijednosti koju nazivamo limes ili granicna vrijednost niza. Limes,

ako postoji, je jedinstven. Kako bi utvrdili je li niz konvergentan, dovoljno je dokazati

da je monoton i omeden (ili jednostavnije pokazati da je Cauchyjev). Vaznu ulogu

unutar ove teme imaju i podnizovi. Podniz niza dobije se ako iz pocetnog niza nekim

redom ”cupamo” clanove. Konvergentan podniz, ujedno i sam po sebi niz, ima limes u

tocki gomilanja niza od kojeg je nacinjen. Za kraj istaknimo aritmeticke i geometrijske

nizove kao posebne tipove nizova unutar kojih postoji odredena pravilnost u ponasanju,

a koja se nazire vec iz samih naziva tih nizova.

Kljucne rijeci: metricki prostor, niz (konvergentan, divergentan, aritmeticki, ge-

ometrijski, Cauchyjev, monoton, omeden), limes niza, podniz, tocka gomilanja niza,

Eulerov broj.

Abstract. This paper is about sequences of real numbers (sometimes sequences in

metric space) and their convergency. Starting with a definition, a sequence of real

numbers (xn) is every function that joins the set of natural numbers with real numbers.

That sequence has its characteristics. It can be monotonic (increasing or decreasing),

stationary, bounded, convergent or divergent, Cauchy, it can have one or more cluster

points. The most important chracteristic is convergency. We say that a sequence is

convergent if all of its members are constantly approaching to one value called limit of

a sequence. If limit exists, it is unique. To determine if a sequence is convergent, it’s

enough to prove that the sequence is monotonic and bounded (or just prove that the

sequence is Cauchy). Important role in this topic lies in subsequences. Subsequence

is obtained if members of an original sequence are ”pulled out” by a sertain order.

The limit of a convergent subsequence is a cluster point of a sequence subsequence was

made of. Finally, among all sequences we should emphasise arithmetic and geometric

sequences and their regular behavior which is obvious even from their names.

Key words: metric space, sequence (convergent, divergent, arithmetic, geometric,

Cauchy, monotonic, bounded), limit of a sequence, subsequence, cluster point of a

sequence, Euler’s number.

Sadrzaj

1. UVOD 1

2. UVODNE DEFINICIJE 2

3. NIZOVI I KONVERGENCIJA 4

3.1. Svojstva nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Veza izmedu konvergencije niza i zatvaraca skupa u metrickom prostoru 7

3.3. Podnizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4. Racunanje s limesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5. Posebne vrste nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.6. Cauchyjevi nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7. Broj e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

LITERATURA 17

1

1. UVOD

Nizovi realnih brojeva i njihova konvergencija jedno su od najvaznijih podrucja mate-

maticke analize s mnogim primjenama u drugim podrucjima matematike. Nizovima

su se bavili jos stari Grci pokusavajuci rijesiti prakticne probleme poput izracunavanja

povrsine kruga ili duljine kruznice. U nemogucnosti da do konacnog rjesenja dodu u

konacno mnogo koraka u matematiku su uveli pojmove konvergencije i limesa niza.

Tim pitanjem se nitko nije detaljnije bavio sve do razvoja diferencijalnog racuna, a

definiciju konvergencije kakvu poznamo danas mozemo zahvaliti matematicarima 19.

stoljeca Gaussu, Bolzanu i posebice Cauchyju.

Ovaj rad se takoder bavi nizovima realnih brojeva i njihovim svojstvima, a

narocito konvergencijom kao najvaznijim svojstvom. Kako bi predstojeci teoremi i

primjeri vezani uz nizove i konvergenciju u potpunosti bili razumljivi, poglavlje koje

slijedi Uvod sadrzi kratke definicije i opise pojmova koji se cesto pojavljuju dalje u

tekstu i koji se moraju dobro usvojiti. Potom slijedi poglavlje jednostavnog naslova

Nizovi i konvergencija koje je ujedno posljednje poglavlje u ovom radu i zbog svoje

je opseznosti podijeljeno na 7 logickih cjelina. Na samom pocetku nalazi se definicija

niza i limesa niza te nekoliko teorema vezanih uz limes medu kojima valja istaknuti

onaj koji govori o njegovoj jedinstvenosti. Potom slijedi kratak opis svojstava niza,

tj. definiranje monotonosti i omedenosti. Uz cjeline posvecene podnizovima te samom

racunanju s limesima, nalazi se i cjelina koja donosi dva teorema koja govore o vezi

konvergentnih nizova i zatvorenih skupova. Naravno, tu su i cjeline o znacajkama

aritmetickih i geometrijskih nizova te jedna o Cauchyjevim nizovima. Posljednja cjelina

rada posvecena je Eulerovom broju, ili krace, broju e. Upoznat cemo jos jednu znacajku

tog iracionalnog broja, ali ovaj put e se ne pojavljuje kao baza prirodnog logaritma ln,

vec ga se spominje u kontekstu nizova.

2

2. UVODNE DEFINICIJE

Definicija 2.1 (Metrika) Neka je dan neprazan skup X. Svako preslikavanje

d : X ×X → R koje zadovoljava sljedeca svojstva:

1) d(x, y) ≥ 0 (nenegativnost)

2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y

3) d(x, y) = d(y, x) (simetricnost)

4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trokuta)

nazivamo metrikom na skupu X, a uredeni par (X, d) metrickim prostorom.

Napomena. Jedan od najvaznijih primjera metrickog prostora je zasigurno n-dimenzi-

onalni euklidski prostor Rn. Udaljenost tocaka P = (x1, x2, . . . , xn) i Q = (y1, y2, . . . , yn)

iz Rn definira se kao broj d(P, Q) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2.

Definicija 2.2 (Omeden skup) Neka je (X, d) metricki prostor i U ⊆ X. Kazemo

da je skup U omeden ako je skup {d(x, y) : x, y ∈ U} omeden u skupu R.

Posebno za skup S ⊂ Rn kazemo da je omeden ako postoji kugla oko neke fiksne tocke

tog prostora koja sadrzi sve elemente skupa S.

Definicija 2.3 (Dijametar skupa) Neka je (X, d) metricki prostor i U ⊆ X pri

cemu je U omeden. Tada postoji realan broj kojeg nazivamo dijametrom skupa U i koji

se definira kao diam(U) = sup{d(x, y) : x, y ∈ U}.

Definicija 2.4 (Otvorena kugla) Neka je (X, d) metricki prostor.

Skup K(x0, r) = {T ∈ X : d(T, x0) < r} nazivamo otvorenom kuglom radijusa r sa

sredistem u tocki x0.

Definicija 2.5 (Otvoren skup) Neka je (X, d) metricki prostor. Kazemo da je skup

U ⊆ X otvoren ako za svaku tocku T ∈ U postoji nenegativan realan broj r takav da je

otvorena kugla K(T, r) sadrzana u U.

Napomena. Ako je X = R, tada ulogu otvorenog skupa preuzima otvoreni interval,

a otvorena kugla sa sredistem u tocki T postaje bilo koji simetricni otvoreni interval

(T − ε, T + ε) pri cemu je ε > 0.

Definicija 2.6 (Topoloski prostor) Neka je (X, d) metricki prostor te neka je Ufamilija svih otvorenih skupova tog metrickog prostora sa svojstvima:

1) unija proizvoljne familije otvorenih skupova je otvoren skup,

2) presjek svake konacne familije otvorenih skupova je otvoren skup,

3) ∅ i X pripadaju familiji U .

Tada U zovemo topologija (topoloska struktura) na X, a uredeni par (X,U) topoloski

prostor.

3

Definicija 2.7 (Interior skupa) Interior skupa U ⊆ X je unija svih otvorenih skupo-

va koji su sadrzani u U. Oznaka je Int U.

Definicija 2.8 (Okolina tocke) Okolina tocke T sadrzane u skupu X je svaki otvoren

skup U ⊆ X za kojeg vrijedi da je T ∈ U .

Definicija 2.9 (Zatvoren skup) Skup F ⊆ X je zatvoren ako je njegov komplement

X\F otvoren.

Definicija 2.10 (Zatvarac skupa) Zatvarac skupa F ⊆ X je presjek svih zatvorenih

skupova koji sadrze F. Oznaka je Cl F ili F.

Jednostavnije receno interior skupa U je najveci otvoreni skup sadrzan u U, a zatvarac

skupa F je najmanji zatvoreni skup koji sadrzi F. Vazno je napomenuti da za otvorene

skupove vrijedi da je Int U = U , a za zatvorene Cl F = F . Ostala svojstva interiora i

zatvaraca detaljnije su opisana u [6, str. 95 i 96].

Definicija 2.11 (Gomiliste skupa) Neka je A ⊆ X pri cemu je X metricki prostor.

Za tocku x0 ∈ X kazemo da je gomiliste skupa A ako svaka okolina od x0 sadrzi

beskonacno mnogo elemenata skupa A.

Napomena. Za gomiliste skupa A, tj. za tocku x0 mora vrijediti da svaka njena

okolina U sadrzava barem jednu tocku iz A, ali razlicitu od x0, tj. mora vrijediti

sljedeca skupovna relacija U ∩(A \ x0

)6= ∅.

Bitno je primjetiti da tocka gomilanja ne mora pripadati skupu A. Tocka koja pripada

skupu A, ali nije tocka gomilanja naziva se izolirana tocka. Skup svih tocaka gomi-

lanja skupa A oznacavat cemo sa A′.

Zbog daljnjih razmatranja ovdje je vazno spomenuti i vezu izmedu zatvorenog skupa

i njegovih tocaka gomilanja. Za zatvorene skupove vrijedi da oni sadrze sva svoja

gomilista pa ce tako za zatvoreni F biti ispunjena sljedeca skupovna jednakost: Cl F =

F ∪ F ′.

4

3. NIZOVI I KONVERGENCIJA

Definicija 3.1 (Niz) Svako preslikavanje x : N → X naziva se nizom u skupu X.

U slucaju da je X skup realnih brojeva, rijec je o nizu realnih brojeva. Vrijednost

x(n) predstavlja n-ti clan niza i krace se oznacava s xn. Sam niz se reprezentira sa

(xn, n ∈ N) (krace (xn)), listom x1, x2, x3, ..., ili rekurzivnom formulom.

Primjer 3.1 Nacini zadavanja niza realnih brojeva:

• opcim clanom: xn = 1+n3n ;

• listom: 1,−1, 1,−1, · · · ;

• rekurzivnom formulom: F0 = F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2, (Fibonaccijev niz).

Definicija 3.2 (Limes niza) Neka je (xn) niz u prostoru X i neka je x0 ∈ X. Kazemo

da niz (xn) konvergira (tezi) ka x0 i pisemo

limn→∞

xn = x0 (ili (xn) → x0 za n →∞1)

ako za svaku okolinu U tocke x0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 povlaci xn ∈ U . Tocku

x0 zvat cemo limesom niza (xn).

Ako niz ne konvergira, kazemo da divergira.

O konvergenciji nizova mozemo govoriti jedino u slucaju kada se nizovi nalaze u

topoloskom prostoru, no zbog jednostavnosti dokaza u sljedecim teoremima ogranicit

cemo se na metricki prostor, ponekad upravo na prostor R.

Teorem 3.1 Neka je (xn) niz u prostoru R. Kazemo da (xn) konvergira tocki x0 ∈ Rako i samo ako za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n0 takav da za sve n ∈ N, n ≥ n0

vrijedi da je d(xn, x0) < ε.

Dokaz. ⇒ Neka je (xn) niz u R koji konvergira ka x0 te neka je ε > 0. Za otvorenu

kuglu, ujedno i okolinu tocke x0 (x0 − ε, x0 + ε) prema Definiciji 3.2 postoji n0 ∈ Ntakav da n ≥ n0 povlaci xn ∈ (x0 − ε, x0 + ε), sto se moze napisati i kao d(xn, x0) < ε.

⇐ Neka za proizvoljni ε > 0 postoji prirodni broj n0 takav da n ∈ N, n ≥ n0 povlaci

d(x0, xn) < ε. To znaci da je xn ∈ (x0 − ε, x0 + ε) sto je otvorena kugla oko x0, tj.

okolina tocke x0. Tada je x0 po definiciji limes niza (xn). 2

Gornji teorem je zapravo Cauchyjeva2 (ε, n0) definicija limesa niza u prostoru R.

Primjer 3.2 Pokazimo da je limn→∞

1

n= 0.

1Zbog kraceg zapisivanja n →∞ se dalje u tekstu pri spominjanju konvergencije izostavlja.2A. L. Cauchy (1789.-1857.), francuski matematicar

5

Dokaz. Treba dokazati da za svaki ε > 0 postoji takav n0 ∈ N da n ≥ n0 povlaci

d( 1n, 0) < ε. Posljednju nejednakost mozemo zapisati i kao

∣∣ 1n− 0

∣∣ < ε, tj. 1n

< ε.

Uzmimo sada proizvoljni ε > 0. Prema Arhimedovu aksiomu (kojeg se moze naci u [6,

str. 22]) postoji takav n0 ∈ N za kojeg vrijedi n0 > 1ε. Sada za svaki n ≥ n0 zbog

tranzitivnosti nejednakosti vrijedi n > 1ε. Transformacijom posljednje nejednakosti do-

bije se 1n

< ε pa je time tvrdnja dokazana. 2

Napomena. Buduci je u primjeru bila rijec o nizu realnih brojeva, metriku d smo

zamijenili apsolutnom vrijednoscu.

Definicija 3.3 Neka je (xn) niz realnih brojeva. Kazemo da (xn) divergira ka +∞(−∞) ako za svaki broj M > 0 (m < 0) postoji prirodan broj n0 takav da n > n0

povlaci xn > M (xn < m). Oznaka je

limn→∞

xn = +∞ ( limn→∞

xn = −∞).

Teorem 3.2 (O jedinstvenosti limesa) Ako niz (xn) u metrickom prostoru (X, d)

ima limes, tada je taj limes jedinstven.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da niz (xn) konvergira dvjema razlicitim tockama

x0 i x′0. Oznacimo udaljenost tih tocaka sa ε. Ocito je da se otvorene kugle K(x0,ε2) i

K(x′0,ε2) ne sijeku, tj. nemaju niti jednu zajednicku tocku.

No, prema definiciji limesa postoji takav n0 ∈ N da n ≥ n0 povlaci xn ∈ K(x0,ε2) i

xn ∈ K(x′0,ε2) pa bi se te dvije kugle morale sjeci. Time smo dobili kontradikciju sa

pretpostavkom pa je teorem dokazan. 2

Gore u dokazu je iskoristena cinjenica da se u metrickom prostoru oko razlicitih tocaka

mogu konstruirati disjunktne okoline. Ako to svojstvo vrijedi i u topoloskom prostoru,

onda se takav topoloski prostor naziva Hausdorffov. Vise o Hausdorffovom prostoru

mozete procitati u [6, str. 108].

Sada cemo opisati konvergenciju nizova u euklidskom prostoru Rk.

Teorem 3.3 U euklidskom prostoru Rk niz (xn), xn = (x1n, x

2n, . . . , x

kn) ∈ Rk konvergira

prema tocki x0 = (x10, x

20, . . . , x

k0) ∈ Rk ⇔ (xi

n) → xi0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}.

Dokaz. ⇒ Neka niz (xn) konvergira ka x0. Trebamo pokazati da (xin) → xi

0 za svaki i,

tj. trebamo pokazati da za svaki ε > 0 postoji n0 ∈ N takav da je |xin − xi

0| < ε, ∀n ≥n0.

Neka je ε > 0. Kako (xn) → x0, postoji prirodan broj n0 takav da je xn ∈ K(x0, ε),∀n ≥n0. To znaci da je d(xn, x0) < ε, ∀n ≥ n0. Zbog

d(xn, x0) =√

(x1n − x1

0)2 + (x2

n − x20)

2 + · · ·+ (xkn − xk

0)2 < ε

6

slijedi da je∣∣xin − xi

0

∣∣ =√

(xin − xi

0)2 ≤

√(x1

n − x10)

2 + (x2n − x2

0)2 + · · ·+ (xk

n − xk0)

2 < ε.

To znaci da (xin) → xi

0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}.⇐ Neka (xi

n) → xi0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}. Treba pokazati da (xn) → x0. Kako (xi

n) → xi0,

to znaci da za svaki ε > 0 postoji ni0 ∈ N takav da je |xi

n − xi0| < ε√

k, ∀n ≥ ni

0. Za n0

cemo uzeti n0 > max{n10, n

20, ..., n

k0}. Vrijedi da je |xi

n − xi0| < ε√

k, ∀n ≥ n0. Kako je

d(xn, x0) =√

(x1n − x1

0)2 + · · ·+ (xk

n − xk0)

2 ≤√

ε2

k+ · · ·+ ε2

k=

√k · ε2

k= ε,

slijedi da je xn element kugle K(x0, ε), ∀n ≥ n0. Ta kugla je ujedno i otvoreni skup

oko tocke x0 pa prema Definiciji 3.2 slijedi da (xn) → x0. 2

Teorem 3.4 Neka su dana tri niza realnih brojeva (xn), (yn) i (zn) za koje postoji

n′ ∈ N takav da za sve n ≥ n′ vrijedi xn ≤ yn ≤ zn. Ako nizovi (xn) i (zn) konvergiraju

tocki x0, tada i niz (yn) konvergira toj istoj tocki.

Dokaz. Neka je ε > 0. Zbog konvergencije nizova (xn) i (zn) tocki x0 znamo da postoje

prirodni brojevi n0x i n0z takvi da je

x0 − xn ≤ |x0 − xn| < ε, za n > n0x i

zn − x0 ≤ |x0 − zn| < ε, za n > n0z .

Neka je n0 = max{n0x , n0z , n′}. Sada za n > n0 vrijedi:

x0 − ε < xn ≤ yn ≤ zn < x0 + ε,

sto pokazuje da se svi clanovi niza (yn) pocevsi od clana indeksiranog s n0 nalaze u

ε-okolini tocke x0 pa je x0 ujedno i limes niza (yn). 2

3.1. Svojstva nizova

Ako postoji prirodan broj n0 takav da za svaki n ≥ n0 vrijedi da je xn ≥ xn+1

(xn ≤ xn+1), tada za niz (xn) kazemo da je monotono padajuci (monotono rastuci).

Ako se u definiciji nalaze stroge nejednakosti govorimo o strogo padajucem (strogo

rastucem) nizu.

Ukoliko su pocevsi od nekog clana pa nadalje svi clanovi niza medusobno jednaki govo-

rimo o stacionarnom nizu.

7

Kazemo da je niz (xn) omeden odozdo (odozgo) ako je skup {xn : n ∈ N} omeden

odozdo (odozgo). Niz je omeden ukoliko je omeden i odozdo i odozgo, tj. ukoliko

postoje realni brojevi m i M takvi da je m < M i m ≤ xn ≤ M za svaki n ∈ N.

Primjer 3.3 Pokazimo da je niz xn = 1− 1n

omeden i monotono rastuci.

Promotrimo razliku dvaju susjednih clanova niza:

xn+1 − xn =(1− 1

n + 1

)−

(1− 1

n

)=

1

(n + 1)n≥ 0, za svaki n ∈ N.

Iz gornje relacije je ocito da je xn+1 ≥ xn ∀n ∈ N pa je dani niz monotono rastuci.

Dokazimo i omedenost. Ako raspisemo prvih nekoliko clanova niza (0, 12, 2

3, 3

4, . . .),

imajuci na umu da je niz rastuci za donju medu lako odabiremo prvi clan niza - 0.

Za gornju medu mozemo uzeti broj 1 buduci se niz u limesu priblizava jedinici. Stoga

zakljucujemo da se zadani niz cijeli moze smjestiti unutar segmenta [0, 1] pa je stoga

omeden.

Sljedeci teorem povezuje monotonost i omedenost niza s njegovom konvergencijom.

Teorem 3.5 Ako se za niz realnih brojeva (xn) ustanovi da je monoton i omeden, tada

je (xn) ujedno i konvergentan.

Dokaz. Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je niz (xn) monotono rastuci. Po

pretpostavci je ujedno i omeden i stoga ima gornju medu. Najmanju gornju medu, tj.

supremum skupa {xn : n ∈ N} oznacimo sa x0. Pokazimo da (xn) konvergira upravo ka

x0.

Neka je ε > 0. Kako je x0 supremum, postoji n0 ∈ N takav da se xn0 nalazi unutar

intervala (x0 − ε, x0]. Zbog uzlaznog ponasanja niza (xn), za n > n0 vrijedi x0 − ε <

xn0 ≤ xn ≤ x0, sto jasno pokazuje da se beskonacno mnogo clanova niza (xn) nalazi u

ε okolini tocke x0. Prema definiciji konvergencije, tocka x0 je trazeni limes. 2

3.2. Veza izmedu konvergencije niza i zatvaraca skupa u me-trickom prostoru

Teorem 3.6 Neka je (X, d) metricki prostor i A podskup od X. Ako je (xn) niz u A

koji konvergira tocki x0 ∈ X, tada x0 pripada zatvaracu skupa A. Vrijedi i obrat, ako

je x0 tocka iz zatvaraca skupa A, tada postoji niz u A koji konvergira toj tocki.

Dokaz ovog teorema mozete vidjeti u [6, str. 111].

Teorem 3.7 Neka je (X, d) metricki prostor. Skup F ⊆ X je zatvoren ⇔ svaki kon-

vergentan niz u F konvergira nekoj tocki iz F.

8

Dokaz. ⇒ Neka je F ⊆ X zatvoren skup te neka je (xn) niz u F koji konvergira tocki

x0. Trebamo pokazati da je x0 ∈ F.

Promatrajmo otvoren skup U oko x0. Prema Definiciji 2.5 postoji pozitivan realan broj

ε takav da je K(x0, ε) ⊂ U. Kako (xn) → x0, postoji n0 ∈ N takav da je xn ∈ K(x0, ε),

∀n ≥ n0. Ako je xn = x0 za neki n ≥ n0, tada je x0 ∈ F i teorem je dokazan. A ako

je ∀n ≥ n0 xn 6= x0, onda promatrajmo U ∩(F \ {x0}

)6= ∅. Unutar U ∩

(F \ {x0}

)se nalaze svi xn pocevsi od xn0 . Slijedi da je x0 tocka gomilanja skupa F, tj. x0 ∈ F ′.

Kako zbog zatvorenosti skupa F vrijedi sljedeca jednakost F = Cl F = F ∪ F ′ ⇒x0 ∈ F.

⇐ Neka svaki konvergentan niz (xn) u F konvergira nekoj tocki x0 iz F. Treba pokazati

da je F zatvoren, tj. da vrijedi F ⊆ Cl F & Cl F ⊆ F .

Iz definicije zatvaraca skupa znamo da je F ⊆ Cl F . U dokazu druge skupovne nejed-

nakosti zbog Cl F = F ∪ F ′ dovoljno je pokazati da je F ′ ⊆ F.

Neka je x0 ∈ F ′. To znaci da je K(x0, 1) ∩ F 6= ∅. Neka je x1 ∈ K(x0, 1) ∩ F tako

da je x1 6= x0. Promatrajmo sada K(x0,12) ∩

(F \ {x0}

). I taj presjek je razlicit od ∅.

Odaberimo x2 ∈ K(x0,12) ∩ F , ali tako da je x2 6= x0. Ponavljamo postupak. U n-tom

koraku imamo sljedecu situaciju: K(x0,1n)∩

(F \ {x0}

)6= ∅. Iz presjeka K(x0,

1n)∩ F

odaberemo tocku xn 6= x0. Ocito je da smo ovim postupkom induktivno stvorili niz

(xn). Kako za svaki n ∈ N vrijedi da je xn ∈ K(x0,1n) (sto se drugacije zapisuje kao

d(xn, x0) < 1n), zakljucujemo da niz (xn) konvergira tocki x0 koja je po pretpostavci

element skupa F. Ovime smo dokazali da x0 ∈ F ′ ⇒ x0 ∈ F , tj. F ′ ⊆ F . Time je

teorem dokazan. 2

3.3. Podnizovi

Definicija 3.4 (Podniz niza) Neka je (xn) niz u skupu X, tj. x : N → X. Kom-

poziciju x ◦ p, pri cemu je p : N → N strogo rastuci niz prirodnih brojeva, nazivamo

podnizom niza (xn); k-ti clan podniza je x(p(k)) = xp(k) = xpk. Prema tome podniz niza

x1, x2, . . . , xn, . . . ima oblik xp1 , xp2 , . . . , xpn , . . .

Napomena. Za niz p : N → N zbog monotonosti vrijedi p1 < p2 < . . . < pn . . ..

Buduci je p1 ≥ 1, to p2 > p1 povlaci p2 ≥ 2. Opcenito je pn ≥ n za svako n ∈ N. Valja

jos primijetiti da je podniz podniza niza (xn) ponovo podniz od (xn) jer je kompozicija

dvaju strogo rastucih nizova p, q : N → N ponovo rastuci niz r : N → N.

Definicija 3.5 (Tocka gomilanja niza) Neka je (xn) niz u prostoru X. Tocka x0 ∈X je tocka gomilanja niza (xn) ako za svaku okolinu U od x0 i za svaki prirodni broj n

postoji prirodni broj n′, n′ > n, takav da xn′ pripada okolini U.

Napomena. Tocka gomilanja niza, za razliku od limesa, ne mora biti jedinstvena.

Ako promatramo niz realnih brojeva, moze se reci da je tocka gomilanja svaka tocka

9

niza u cijoj se okolini, bez obzira kako ona mala bila, nalazi beskonacno mnogo clanova

tog niza. Iz ovoga je jasno da je i limes niza ujedno tocka gomilanja niza, ali to ne

povlaci da je svaka tocka gomilanja niza ujedno i limes, jer niz, ako ima limes, ima

samo jednu tocku gomilanja, upravo taj limes.

Teorem 3.8 Tocka x0 u metrickom prostoru X ce biti tocka gomilanja niza (xn) ako

i samo ako niz (xn) ima konvergentan podniz koji konvergira upravo tocki x0.

Dokaz. ⇒ Neka je x0 tocka gomilanja niza (xn) u metrickom prostoru X. Treba

pokazati da postoji podniz (xkn) koji konvergira prema x0.

Promatrajmo otvorene kugle radijusa 1n

sa sredistem u x0, K(x0,1n). Neka je n = 1.

Kako je x0 tocka gomilanja, postoji k1 ∈ N takav da je xk1 sadrzan u kugli K(x0, 1).

Za n = 2 postoji k2 ∈ N, k2 > k1 takav da je xk2 ∈ K(x0,12).

Za n = 3 postoji k3 > k2 takav da je xk3 ∈ K(x0,13). Induktivno ponavljajuci postupak

zakljucujemo da za svaki n ∈ N vrijedi xkn ∈ K(x0,1n), tj. da je d(x0, xkn) < 1

n. Indeksi

kn za n ∈ N predstavljaju strogo rastuci niz k1 < k2 < k3 < . . . < kn < . . .. Stoga

zakljucujemo da (xkn) mora biti podniz od (xn). Dokazimo jos da konvergira ka x0.

Neka je ε > 0. Moramo pronaci n0 ∈ N takav da je d(xkn , x0) < ε, ∀n ≥ n0. Za n0

mozemo uzeti bilo koji prirodan broj za kojeg je 1n0

< ε. Sada za svaki n ≥ n0 vrijedi

d(xkn , x0) <1

n≤ 1

n0

< ε,

sto dokazuje trazenu konvergenciju.

⇐ Neka je (xkn) podniz od (xn) koji konvergira prema x0. Treba pokazati da je x0

gomiliste niza (xn).

Neka je U otvoreni skup oko x0. Tada zbog definicije otvorenog skupa postoji ε > 0

takav da je kugla K(x0, ε) sadrzana u U.

Uzmimo sada proizvoljni n′ ∈ N. Dovoljno je pronaci p > n′ takav da je xp sadrzan

u kugli K(x0, ε). Zbog konvergencije podniza (xkn) tocki x0 znamo da postoji n′0 ∈ Ntakav da je xkn ∈ K(x0, ε), ∀n ≥ n′0. Ako za n0 uzmemo broj veci od max{n′, n′0}, izraz

xkn ∈ K(x0, ε) ce vrijedit i za sve n ≥ n0. Za kraj se jos potrebno sjetiti da za podnizove

vrijedi nejednakost kn ≥ n, za sve n. Konacno imamo kn ≥ n ≥ n0 > max{n′, n′0}, sto

povlaci da je kn > n′ pa za trazeni p mozemo uzeti upravo kn. 2

Teorem 3.9 Za svaki niz realnih brojeva postoji monoton podniz.

Dokaz teorema moze se naci u [6, str. 114].

Teorem 3.10 (Bolzano-Weierstrassov teorem) Svaki omedeni niz iz prostora Rp

ima konvergentan podniz.

10

Dokaz. Neka je xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn) omedeni niz u Rp. Njegove komponente xi

n, i ∈{1, 2, . . . , p} zapravo su nizovi realnih brojeva koji su takoder omedeni. Osim omede-

nosti, prema Teoremu 3.9, svaki od njih ima monoton podniz (xink

). Monotonost i

omedenost podniza upucuju na njegovu konvergenciju. Ako sa xi0 oznacimo limes pod-

niza (xink

), tada podniz xnk= (x1

nk, x2

nk, . . . , xp

nk) iz Rp prema Teoremu 3.3 konvergira

tocki x0 = (x10, x

20, . . . , x

p0). Time je teorem dokazan. 2

3.4. Racunanje s limesima

Teorem 3.11 Neka su (xn) i (yn) nizovi realnih brojeva takvi da (xn) → x0 i (yn) →y0. Tada je:

1.

limn→∞

(xn + yn) = x0 + y0

2.

limn→∞

(xn − yn) = x0 − y0

3.

limn→∞

(xn · yn) = x0 · y0

4. ako je yn 6= 0 za svaki n ∈ N i ako je y0 6= 0, tada je

limn→∞

(xn

yn

)=

(x0

y0

)

5. ako je λ ∈ R, onda je

limn→∞

(λxn) = λx0

6. ako je xn ≤ yn za svaki n ∈ N, tada je i x0 ≤ y0

7.

limn→∞

|xn| =∣∣∣ limn→∞

xn

∣∣∣8. ako je p ∈ N, tada vrijedi

limn→∞

p√

xn = p

√lim

n→∞xn

(ako je p paran, tada mora biti xn ≥ 0 za svaki n ∈ N.)

11

Dokaz.

1. Prema Cauchyjevoj definiciji limesa za svaki ε > 0 postoje prirodni brojevi n1 i n2

takvi da n > n1 ⇒ |xn − x0| < ε2

i n > n2 ⇒ |yn − y0| < ε2.

Neka je n0 = max{n1, n2}. Sada za n > n0 imamo:

|(xn + yn)− (x0 + y0)| ≤ |xn − x0|+ |yn − y0| <ε

2+

ε

2= ε,

sto jasno pokazuje da niz (xn + yn) → x0 + y0.

3. Zbog konvergencije niza (xn) i zbog Teorema 3.5 znamo da postoji realan broj

M > 0 takav da je |xn| < M za svaki n ∈ N. Za svaki ε > 0 postoje prirodni

brojevi n1 i n2 takvi da

n ≥ n1 ⇒ |xn − x0| <ε

M + |y0|i n ≥ n2 ⇒ |yn − y0| <

ε

M + |y0|.

Neka je n0 = max{n1, n2}. Tada za n ≥ n0 imamo:

|xnyn − x0y0| = |xn(yn − y0) + (xn − x0)y0| ≤ |xn| · |yn − y0|+ |xn − x0| · |y0| <

< M · ε

M + |y0|+

ε

M + |y0|· |y0| = ε,

sto dokazuje da limes umnoska dvaju nizova (xnyn) konvergira umnosku limesa

x0y0.

5. Ako je niz (yn) stacionaran i iznosi λ, zbog 3. slijedi da (λxn) → λx0.

2. Ako je λ = −1, tada vrijedi da (−1 · yn) → (−1)y0. Pozivajuci se na dokaz prve

tocke imamo: (xn − yn) = (xn + (−yn)) → x0 + (−y0) = x0 − y0.

4. Znamo da niz (yn) → y0 te da je y0 6= 0. Zbog neprekidnosti funkcije f : x 7→ 1x

u tocki y0 vrijedi da (f(yn)) → f(y0), tj. ( 1yn

) → 1y0

(detaljnije o tome moze se

naci u [4, str. 70]).

Zbog 3. slijedi:(xn

yn

)=

(xn ·

1

yn

)→ x0 ·

1

y0

=x0

y0

.

7. Znamo da (xn) → x0. Zbog neprekidnosti funkcije g : x 7→ |x| vrijedi da (g(xn)) →g(x0). Ako tu konvergenciju zapisemo koristeci funkciju limes, trazeni rezultat je

ocigledan:

limn→∞

g(xn) = g(x0) = g( limn→∞

xn),

tj. limn→∞

|xn| =∣∣∣ limn→∞

xn

∣∣∣ .

Ostale tocke ostavljam bez dokaza. 2

12

Teorem 3.12 Ako (|xn|) → 0, onda i (xn) → 0.

Dokaz. Neka je limn→∞

|xn| = 0. Zbog tocke (7) prethodnog teorema vrijedi:

limn→∞

|xn| =∣∣∣ limn→∞

xn

∣∣∣ = 0 pa je ocito limn→∞

xn = 0, sto povlaci da (xn) → 0. 2

Gornji teorem moze se dokazati i na drugi nacin primjenjujuci Cauchyjevu definiciju

konvergencije niza. Taj dokaz moze se naci u [2, str. 94].

Primjer 3.4 Ovaj primjer ilustrira kako se racuna limes niza kome je opci clan racio-

nalna funkcija. Postupak je jednostavan, u brojniku i nazivniku izluci se najveca

moguca potencija od n i dalje se postupa prema pravilima iz Teorema 3.11. Racun

izgleda ovako:

limn→∞

(6− n)2 − (6 + n)2

(6 + n)2 − (1− n)2= lim

n→∞

−24n

35 + 14n= lim

n→∞

−2435n

+ 14=

limn→∞

(−24)

limn→∞

(35

n+ 14

) =−24

14.

3.5. Posebne vrste nizova

a) Aritmeticki niz

Niz realnih brojeva je aritmeticki ako je razlika susjednih clanova niza konstantna. Tu

razliku zovemo diferencijom i oznacavamo ju s d. Monotonost aritmetickog niza ovisi

o d. Ako je d > 0, niz raste; u suprotnom pada. Primjer padajuceg aritmetickog niza

s diferencijom −2 je niz 10, 8, 6, 4,. . .

Opci clan aritmetickog niza racuna se po formuli

xn = x1 + (n− 1)d, n ∈ N.

Niz je dobio ime radi cinjenice da je svaki clan niza (osim prvog) aritmeticka sredina

prethodnog i sljedeceg clana. Formulom zapisano to izgleda ovako:

xn =xn+1 + xn−1

2.

Dokaz.

xn−1 + xn+1

2=

x1 + (n− 2)d + x1 + nd

2=

2x1 + 2nd− 2d

2= x1 + (n− 1)d = xn.

2

Suma prvih n clanova aritmetickog niza racuna se po formuli

sn =n

2

[2x1 + (n− 1)d

].

13

Dokaz.

sn =n∑

i=1

xi =n∑

i=1

[x1 + (i− 1)d

]=

n∑i=1

x1 +n∑

i=1

id−n∑

i=1

d =

= nx1 + dn(n + 1)

2− nd =

2nx1 + dn2 − nd

2=

n

2

[2x1 + (n− 1)d

].

Uocimo da se u dokazu rabi formula za zbroj prvih n prirodnih brojeva koja glasin∑

i=1

i =n(n + 1)

2.

2

b) Geometrijski niz

Niz realnih brojeva je geometrijski ako je kvocijent susjednih clanova konstantan. Taj

kvocijent oznacavamo s q. Opci clan geometrijskog niza racuna se po formuli

xn = x1qn−1, n ∈ N.

Svaki clan ovakvog niza moze se dobiti kao geometrijska sredina njegovih neposrednih

susjeda. Formulom zapisano to izgleda ovako:

xn =√

xn−1xn+1.

Dokaz.√

xn−1xn+1 =√

x1qn−2x1qn =√

x21q

2n−2 = x1qn−1 = xn.

2

Suma prvih n clanova geometrijskog niza racuna se po formuli:

sn =

{x1

1−qn

1−q, q 6= 1

nx1 , q = 1.

Dokaz. Raspisimo sumu prvih n clanova geometrijskog niza:

sn = x1 + x1q + x1q2 + · · ·+ x1q

n−2 + x1qn−1. (1)

Ocigledno je da sn za q = 1 iznosi nx1. Promotrimo slucaj kada je q 6= 1. Pomnozimo

formulu (1) s q:

qsn = x1q + x1q2 + · · ·+ x1q

n−1 + x1qn. (2)

Sada oduzmemo (2) od (1) i dobijemo:

sn(1− q) = x1(1− qn).

Podijelimo li cijelu jednakost sa (1−q) (sto smijemo buduci je q 6= 1), dobijemo trazeni

rezultat. 2

14

3.6. Cauchyjevi nizovi

Definicija 3.6 (Cauchyjev niz) Za niz (xn) u Rn kazemo da je Cauchyjev ako za

svaki ε > 0 postoji n0 ∈ N takav da za svaki k, l ∈ N, k, l ≥ n0 vrijedi

d(xk, xl) < ε, (3)

ili jednostavnije receno ako je udaljenost clanova niza koji imaju indekse vece od n0

manja od ε.

Teorem 3.13 A) Svaki Cauchyjev niz je omeden.B) Svaki konvergentan niz u metrickom prostoru je Cauchyjev niz.C) Svaki Cauchyjev niz u prostoru Rn je konvergentan.

Napomena.

a) U metrickom prostoru Cauchyjevi nizovi ne moraju biti konvergentni. Uzmimo

primjerice slijeva otvoreni segment (0, 1] te niz xn = 1n∈ (0, 1]. Taj niz je

Cauchyjev jer konvergira unutar segmenta [0, 1], medutim gledajuci taj isti niz u

(0, 1] gubi se konvergencija jer (0, 1] iskljucuje nulu.

b) Tocke B) i C) gore navedenog teorema kazuju da je za konvergenciju niza u

metrickom prostoru Rn nuzan i dovoljan uvjet da niz bude Cauchyjev, sto je u

praksi lakse pokazati nego direktno dokazivati konvergenciju.

Dokaz.

A) Neka je ε = 1. Kako je (xn) Cauchyjev niz, tada postoji n0 ∈ N, takav da za

prirodne brojeve m, n ≥ n0 vrijedi d(xm, xn) < ε = 1. Ako stavimo da je m = n0,

tada bi ∀n ≥ n0 vrijedilo d(xn, xn0) < 1, tj. xn ∈ K(xn0 , 1). Ovo posljednje nam

govori da se pocevsi od xn0 svi clanovi niza nalaze u kugli radijusa 1 sa sredistem

u xn0 dok se izvan kugle nalazi eventualno konacno mnogo clanova niza.

Neka je r = max{d(x1, xn0), d(x2, xn0), . . . , d(xn0−1, xn0), 1}. Tada je ocito xn ∈K(xn0 , r) za svaki n pa je (xn) omeden.

B) Neka je (xn) konvergentan niz u prostoru (X, d) te neka je ε > 0. Treba pronaci

prirodan broj n0 takav da za sve prirodne brojeve m, n ≥ n0 vrijedi d(xn, xm) < ε.

Tada ce (xn) biti Cauchyjev.

Oznacimo limn→∞

xn = x0. To nam govori da postoji n0 ∈ N takav da za sve

n ≥ n0 vrijedi d(x0, xn) < ε2. Neka je m ≥ n0. Tada je i d(xm, x0) < ε

2. Buduci

se nalazimo u metrickom prostoru, jedno od njegovih svojstava je nejednakost

trokuta. Primijenimo li to svojstvo u nasem dokazu dobit cemo:

d(xm, xn) ≤ d(xm, x0) + d(x0, xn) <ε

2+

ε

2= ε,

sto povlaci da je niz (xn) Cauchyjev.

15

C) Bez dokaza. 2

3.7. Broj e

Promatrajmo niz en =(1+ 1

n

)n

. Pokazimo da je taj niz konvergentan, tj. da je omeden

i monoton. Razvijmo za pocetak(1 + 1

n

)n

po binomnoj formuli:

(1 +

1

n

)n

=n∑

k=0

(n

k

)· 1n−k ·

( 1

n

)k

=n∑

k=0

n!

k!(n− k)!· 1

nk=

=n∑

k=0

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)

k!· 1

nk=

=n∑

k=0

1

k!· 1 ·

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·

(1− k − 1

n

)︸ ︷︷ ︸

<1

(4)

⇒(1 +

1

n

)n

≤n∑

k=0

1

k!. (5)

Indukcijom po k ∈ N lako se pokaze da je k! ≥ 2k−1. To povlaci da je

n∑k=0

1

k!≤ 1 +

n∑k=1

1

2k−1. (6)

Promotrimo sada geometrijski niz kojemu je prvi clan 1, a kvocijent 12. Prvih nekoliko

clanova niza su 1, 12, 1

4, 1

8, 1

16, . . .. Suma prvih n clanova niza bila bi:

n∑k=1

1

2k−1= 1 ·

1− 12n

1− 12

.

Nakon sredivanja imamo:n∑

k=1

1

2k−1= 2− 1

2n−1.

Ako uvrstimo to u (6) dobijemo:

n∑k=0

1

k!≤ 1 + 2− 1

2n−1≤ 3.

Zbog tranzitivnosti nejednakosti iz (5) slijedi:(1 +

1

n

)n

≤ 3,

16

sto pokazuje da za gornju medu niza (en) mozemo uzeti broj 3.

Monotonost niza dokazuje se usporedbom n-tog i (n+1)-og clana koji se dobije uvrsta-

vanjem (n+1) u (4):

(1 +

1

n + 1

)n+1

=n+1∑k=0

1

k!· 1 ·

(1− 1

n + 1

)(1− 2

n + 1

)· · ·

(1− k − 1

n + 1

). (7)

Usporedbom (4) i (7) dobije se da je

en =(1 +

1

n

)n

≤(1 +

1

n + 1

)n+1

= en+1,

sto pokazuje da je niz (en) monotono rastuci.

Kako je za n = 1 prvi clan niza jednak e1 = 2, upravo tu dvojku zbog monotonosti

niza mozemo uzeti za donju medu pa se cijeli niz (en) moze smjestiti unutar segmenta

[2, 3].

Monotonost i omedenost niza (en) dokazuju njegovu konvergenciju. Limes niza (en)

oznacava se malim pisanim slovom e. Moze se pokazati da je e iracionalan broj cija

priblizna vrijednost iznosi e = 2.718281828 . . . .

17

Literatura

[1] B. Apsen, Repetitorij vise matematike (1. dio), Tehnicka knjiga, Zagreb, 2003.

[2] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Osijek, 2000.

[3] S. Kurepa, Matematicka analiza 1 (diferenciranje i integriranje), Tehnicka knjiga,

Zagreb, 1989.

[4] S. Kurepa, Matematicka analiza 2 (funkcije jedne varijable), Tehnicka knjiga, Za-

greb, 1977.

[5] S. Kurepa, Matematicka analiza 3 (funkcije vise varijabli), Tehnicka knjiga, Za-

greb, 1975.

[6] S. Mardesic, Matematicka analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru I, Skolska

knjiga, Zagreb, 1991.

[7] S. Ungar, Matematicka anliza 3, http://www.math.hr˜ungar/analiza3.pdf, Za-

greb, 2004.

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Limit of a sequence

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Limit point