IX CONGRESO NACIONAL

DEL COLOR ALICANTE 2010

Alicante, 29 y 30 de Junio, 1 y 2 de Julio de 2010

Universidad de Alicante

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C O M I T É E S P A Ñ O L D E C O L O RS O C I E D A D E S P A Ñ O L A D E Ó P T I C A

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El IX Congreso Nacional de Color cuenta con el apoyo de las siguientes entidades:

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IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010

IX Congreso Nacional de Color

Alicante,

29 y 30 de Junio, 1 y 2 de Julio

Universidad de Alicante

Departamento de Óptica, Farmacología y Anatomía Facultad de Ciencias

Instituto Universitario de Física Aplicada a las Ciencias y las Tecnologías (IUFACyT)

Universidad de Alicante

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IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010 COMITÉ ORGANIZADOR Presidente Francisco M. Martínez Verdú Universidad de Alicante Vicepresidente I

Vicepresidente II Secretaria Científica

Secretaria Administrativa Secretaria Técnica

Tesorero Vocal

Vocal

Vocal

Vocal Vocal

Eduardo Gilabert Pérez Joaquín Campos Acosta Esther Perales Romero Olimpia Mas Martínez

Sabrina Dal Pont

Valentín Viqueira Pérez Elísabet Chorro Calderón Verónica Marchante Bárbara Micó Vicent

Elena Marchante

Ernesto R. Baena Murillo

Universidad Politécnica de Valencia

IFA-CSIC Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante

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Pascual Capilla Perea Ángela García Codoner Eduardo Gilabert Pérez

José Mª González Cuasante

Francisco José Heredia Mira

Enrique Hita Villaverde Luís Jiménez del Barco Jaldo

Julio Antonio Lillo Jover

Francisco M. Martínez Verdú

Manuel Melgosa Latorre Ángel Ignacio Negueruela

Susana Otero Belmar

Jaume Pujol Ramo Javier Romero Mora

Mª Isabel Suero López

Meritxell Vilaseca Ricart

Instituto de Óptica, Color e Imagen, AIDO Instituto de Física Aplicada CSIC

Universidad de Valencia

Universidad Politécnica de Valencia Universidad Politécnica de Valencia Universidad Complutense de Madrid

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Universidad de Granada Universidad de Granada Universidad Complutense de Madrid Universidad de Alicante Universidad de Granada Universidad de Zaragoza

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PSEUDOMETRIZACIÓN PROBABILÍSTICA DE LOS ESPACIOS DE COLOR PARA LA CUANTIFICACIÓN DE LA DISCRIMINACIÓN

CROMÁTICA Manuel Pérez Molina1,3, Elena Fernández Varó2,3, Jorge Francés Monllor1, Sergi Gallego Rico1,

3, Manuel Ortuño Sánchez1, 3 1 Dpto. de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal, Universidad de Alicante, Alicante.

2 Dpto. de Óptica, Farmacología y Anatomía, Universidad de Alicante, Alicante. 3 Instituto Universitario de Física Aplicada a las Ciencias y Tecnologías, Universidad de

Alicante, Alicante manuelpm@ua.es

Resumen: Con el fin de cuantificar la discriminación cromática en el sistema visual humano, en este trabajo se propone un tipo de pseudométrica que se puede definir universalmente sobre cualquier espacio de color. Dicha pseudométrica se construye en base a la capacidad con la que el sistema visual humano distingue colores y se cuantifica mediante una probabilidad de discriminación p(a,b) para cada par de estímulos cromáticos (a,b). A partir de la probabilidad p se define una nueva aplicación d que asigna a cada par de estímulos cromáticos (a,b) el mínimo valor posible d(a,b) para las sumas de probabilidades p(a,x)+p(x,y)+p(y,v)+…+p(t,w)+p(w,b) –siendo x, y,…,v, t, w, b un conjunto finito arbitrario de estímulos cromáticos. Se demuestra que, con independencia de la naturaleza y características del espacio de color considerado, d es siempre una pseudométrica sobre dicho espacio de color, y además se llega al siguiente resultado principal: la probabilidad de discriminación cromática coincide con la pseudométrica considerada cuando esta última se define sobre el conjunto de todos los pares de estímulos con una probabilidad de discriminación mayor o igual a 0.5. Este resultado permite concluir que la probabilidad de discriminación cromática es una pseudométrica para aquellos pares de estímulos “razonablemente distinguibles” pero puede perder su carácter métrico –preservando no obstante ciertas propiedades similares a las métricas- al considerar pares de estímulos “menos distinguibles”. Palabras clave: Discriminación cromática, Métrica del color, Espacios de Color, Espacios Pseudométricos.

INTRODUCCIÓN

Desde que MacAdam demostró experimentalmente [1] la geometría elipsoidal para los umbrales de discriminación cromática del sistema visual humano, la formalización matemática de los espacios de color ha sido objeto de múltiples estudios y discusiones. Una gran parte de estos estudios se ha centrado en aplicar técnicas de Geometría Diferencial para tratar de encontrar una métrica uniforme bajo la que los umbrales de discriminación cromática sean círculos [2-6] en vez de elipses. Sin embargo, otros estudios han criticado el uso –en el ámbito de la colorimetría- de ciertos elementos de Geometría Diferencial tales como los elementos de línea [7] o bien han planteado la posibilidad de caracterizar los espacios de color mediante otras estructuras topológicas y/o algebraicas fuera del ámbito de la Geometría Diferencial: espacios métricos y/o pseudométricos, espacios topológicos, espacios vectoriales, retículos y espacios fibrados [8,9]. Entre dichas estructuras merece especial atención la de espacio pseudométrico, la cual consiste en un par ( )dX , formado por un conjunto no vacío X y una pseudométrica [ )+∞→× ,0: XXd

verificando que ( ) ( )xydyxd ,, = y ( ) ( ) ( )zydyxdzxd ,,, +≤ para cada Xzyx ∈,, , y por tanto

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(tomando zyx == en la desigualdad anterior) ( ) 0, =xxd para cualquier Xx ∈ . Un espacio

métrico es un espacio pseudométrico ( )dX , en el que ( ) 0, ≠yxd para cada yx ≠ -en este caso d es una métrica-. Siguiendo en la línea de las estructuras matemáticas no geométricas para los espacios de color, y con el fin de cuantificar la discriminación cromática en el sistema visual humano, en este trabajo se propone un tipo de pseudométrica universal para cualquier espacio de color construida en base a la probabilidad de discriminación para cada par de estímulos cromáticos. El objetivo principal del presente trabajo consiste en demostrar que: (i) la probabilidad de discriminación cromática es una pseudométrica cuando se consideran aquellos pares de estímulos cromáticos distinguibles al menos en el 50 % de los casos; (ii) para el resto de pares de estímulos cromáticos, la probabilidad de discriminación cromática pierde su carácter métrico aunque mantiene ciertas propiedades similares a las de los espacios métricos.

MATERIALES Y MÉTODOS

Al abordar el estudio de la discriminación cromática en el sistema visual humano debemos identificar dos elementos conceptualmente diferenciados [8]: el espacio de los estímulos cromáticos (o sencillamente espacio del color) y el espacio de las sensaciones de color. Por un lado, el espacio de los estímulos cromáticos representa un conjunto físico de señales luminosas que siempre se pueden caracterizar mediante tres parámetros reales en distintos sistemas de representación del color: CIE XYZ, RGB, CIELAB, CIELUV, etc. Este carácter tridimensional de los estímulos permite definir el espacio del color independientemente del sistema de representación como un subconjunto 3R⊂ζ del espacio euclídeo tridimensional usual. Por otro lado, el espacio de las sensaciones de color –respuestas psicofísicas a estímulos cromáticos- es subjetivo y puede variar considerablemente de una persona a otra debido a las diferencias fisiológicas, anomalías en la percepción del color, etc. Por ello resulta apropiado introducir una probabilidad de discriminación cromática [ ]1,0:p →×ζζ que asigna a cada par de estímulos

cromáticos ( ) ζζ ×∈ba, la probabilidad ( )ba,p de que una persona sea capaz de distinguir los

estímulos a y b ( ( ) 1,p0 ≤≤ ba ). Resulta claro que dos estímulos cromáticos iguales son indistinguibles, lo cual se expresa diciendo que:

( ) ζ∈= aaa cada para 0,p (Ec. 1)

Por simplicidad en nuestro estudio no consideraremos el orden de los estímulos cromáticos en la discriminación, de forma que:

( ) ( ) ( ) ζζ ×∈= baabba , cada para ,p,p (Ec. 2)

Para cualquier subconjunto ℑ del conjunto ζζ × de todos los pares de estímulos

cromáticos definimos ahora una aplicación R→ℑℑ :d dada por:

( ) ( ) ( )

=ℑ∈==∈= ++

=+ℑ ∑ niuubuauNnuuba iin

n

iii ,...,1 ,,y ,,:,pinf,d 111

11 (Ec. 3)

La ecuación (3) indica que ( )ba,d ℑ es la mayor de las cotas inferiores para las sumas de

probabilidades de series formadas por pares de estímulos de ℑ comenzando en a y acabando en b. De las ecuaciones (1)-(3) se deduce fácilmente que:

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( ) ( ) ( ) 1,p,d,d0 ≤≤=≤ ℑℑ baabba y ( ) 0,d =ℑ aa para cada ( ) ℑ∈ba, (Ec. 4)

Sean ahora ( ) ( ) ( ) 0y ca,,cb,,, >ℑ∈ εba cualesquiera. Como la ecuación (3) indica que

podemos encontrar sumas finitas de probabilidades arbitrariamente próximas a ( )ba,d ℑ , existen

estímulos cromáticos ( ) ( ) ℑ∈− mm uuuu ,,...,, 121 y ( ) ( ) ℑ∈− nn vvvv ,,...,, 121 tales que

nm vcvubua ==== ,, 11 y además se cumple que ( ) ( )∑−

=ℑ+ℑ +≤

1

11 2

,d,dm

iii bauu

ε y

( ) ( )∑−

=ℑ+ℑ +≤

1

11 2

,d,dn

iii cbvv

ε. Luego de la ecuación (3) se deduce que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑−

=ℑℑ

−

=+ℑ+ℑℑ ++≤+≤

1

1

1

111 ,d,d,d,d,d

m

i

n

jjjii cbbavvuuca ε . El razonamiento precedente no

depende del valor (positivo) elegido para ε , lo cual demuestra que ( ) ( ) ( ) ε++≤ ℑℑℑ cbbaca ,d,d,d para cualquier 0>ε . Esto implica que ( )ca,d ℑ no puede ser

mayor que ( ) ( )cbba ,d,d ℑℑ + y por tanto llegamos a que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ℑ∈+≤ ℑℑℑ cacbbacbbaca ,,,,, cada para ,d,d,d (Ec. 5)

Las ecuaciones (4) y (5) indican que ℑd cumple las propiedades matemáticas de una

pseudométrica independientemente del conjunto ℑ . En este sentido podemos definir esta aplicación para el conjunto total ζζ ×=ℑ de pares de estímulos, es decir ζζ ×≡ dd . En este caso

tendremos que d es una pseudométrica sobre el espacio de color ζ y así ( )d,ζ es un espacio pseudométrico, es decir, un espacio métrico con la salvedad de que pueden existir ζ∈ba, tales

que ba ≠ pero ( ) 0, =bad .

RESULTADOS

En primer lugar definiremos los subconjuntos ( ) ζζζχ ×⊂n de pares de estímulos con

probabilidad de discriminación mayor o igual a n

1 como:

( ) ( ) ( )

≥×∈=

nbaba

1,p:,n ζζζχ , siendo Nn ∈ (Ec. 6)

Teorema: Con la notación considerada en las ecuaciones (1)-(6) se tiene que ( ) ( ) ( )baba ,d,p2 ζχ=

para cada ( ) ( )ζχ 2, ∈ba . Además, si Nn ∈ y ( ) ( )ζχ nba ∈, se cumple que

( ) ( )∑=

+≤n

ii uuba1i

1,p,p , ( ) ( ) niuuubua niin ,...,1 para ,y , 111 =∈== ++ ζχ .

Demostración: Sean los pares ( ) ( ) ( )ζχ 21,,, ∈+ii uuba para 11 y ,,...,1 +=== nubuani . En virtud

de (6) resulta evidente que ( )2

,1

1

nuup

n

iii ≥∑

=+ , con lo que al ser ( ) ( ) 1,d0

2≤≤ abζχ en virtud de

(4), el ínfimo de la ecuación (3) (tomando ( )ζχ 2=ℑ ) se alcanza necesariamente para sumas de

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n=1 probabilidades y por tanto ( ) ( ) ( )bapba ,,d2

=ζχ . Por otro lado, con las condiciones de la

segunda parte del enunciado se tiene que ( ) ( )∑=

+≤≤n

iii uupbap

11,1, , lo cual concluye la prueba.

El teorema anterior admite dos importantes interpretaciones cualitativas. Por un lado, si nos restringimos al conjunto de pares de estímulos “razonablemente distinguibles” –con probabilidad de al menos un 50% de ser discriminados-, la probabilidad de discriminación es en sí misma una pseudométrica que permite cuantificar la distancia entre cada par de estímulos cromáticos. Por otro lado, la probabilidad de discriminación cromática puede perder su carácter (pseudo)métrico para pares de estímulos “poco distinguibles” –con menos del 50% de posibilidades de ser distinguidos-, aunque no obstante preserva propiedades similares a las de un espacio pseudométrico.

CONCLUSIONES

En este trabajo se ha propuesto un tipo de pseudométrica universal para los espacios del color basada en la probabilidad con la que el sistema visual humano puede distinguir estímulos cromáticos. A partir de esta pseudométrica se ha demostrado que la probabilidad de discriminación cromática se comporta exactamente igual que una pseudométrica cuando nos restringimos a los pares de estímulos “razonablemente distinguibles” y mantiene algunas propiedades similares a las de los espacios (pseudo)métricos en el conjunto de todos los posibles pares de estímulos cromáticos –sean distinguibles o indistinguibles-. Estos resultados abren las puertas a una posible pseudometrización de espacios de color concretos como el CIE XYZ, en el que podría ser interesante comparar nuestra pseudométrica con los resultados ya existentes [1].

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido subvencionado por el Ministerio de Ciencia e Innovación (proyectos FIS2008-05856-C02-01 y FIS2008-05856-C02-02).

REFERENCIAS

[1] D. L. MacAdam: “Visual sensitivities to color differences in daylight”, J. Opt. Soc. Am., 32, 5, 247-273 (1942). [2] MR. Pointer: “A comparison of the CIE-1976 color space”, Color Res & Appl, 6, 108-118 (1981). [3] C. Oleari: “Uniform-scale chromaticity diagram with angular coordinates in zero-curvature space”. J. Opt. Soc.

Am. A, 8, 415-421 (1991). [4] M. Krystek y W. Erb: “Transformation of the tristimulus space into the uniform color space”, Optik, 57, 191-

198 (1980). [5] J. R. Jiménez, E. Hita, J. Romero y L. Jiménez del Barco: “Scalar curvature of color space as a source of

information of new uniformity aspects concerning to color representation Systems”, J. Optics (Paris), 24, 6, 243-279 (1993).

[6] S. Oshima, R. Mochizuki, J. Chao y R. Lenz: “Color reproduction using Riemann Coordinates”, Computational Color Imaging (Lecture Notes in Computer Science), 140-149 (2009).

[7] I. Legrand: Color 69, A.I.C, 257, Munster-Schmitt, Gottingen (1970). [8] M. Álvarez-Claro, E. Hita y G. Pardo: “Espacios de color y estructura matemática”. Opt. Pura y Aplicada, 9,

109-111 (1976). [9] M. Álvarez-Claro y E. Hita: “Espacios de color y estructura matemática. Parte Segunda”. Opt. Pura y Aplicada,

11, 119-122 (1976).

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