Jak tego dowieść - krótka opowieść

Wszelkie prawa zastrzeone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie caoci lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metod kserograficzn, fotograficzn, a take kopiowanie ksiki na noniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Wszystkie znaki wystpujce w tekcie s zastrzeonymi znakami firmowymi bd towarowymi ich wacicieli. Autor oraz Wydawnictwo HELION dooyli wszelkich stara, by zawarte w tej ksice informacje byy kompletne i rzetelne. Nie bior jednak adnej odpowiedzialnoci ani za ich wykorzystanie, ani za zwizane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponosz rwnie adnej odpowiedzialnoci za ewentualne szkody wynike z wykorzystania informacji zawartych w ksice. Redaktor prowadzcy: Joanna Stopiska Projekt okadki: Urszula Buczkowska Fotografia na okadce zostaa wykorzystana za zgod Shutterstock.

Wydawnictwo HELION ul. Kociuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: [email protected] WWW: http://helion.pl (ksigarnia internetowa, katalog ksiek)

Drogi Czytelniku! Jeeli chcesz oceni t ksik, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie?jatedo Moesz tam wpisa swoje uwagi, spostrzeenia, recenzj.

ISBN: 978-83-246-3404-0 Copyright Helion 2012 Printed in Poland.

Kup ksik Pole ksik Oce ksik

Ksigarnia internetowa Lubi to! Nasza spoeczno

Spis treci

Wstp ..............................................................................................................................5 1. Oswoi dowody .........................................................................................................7 2. Indukcja matematyczna .........................................................................................11 3. Ile przektnych ma n-kt foremny ........................................................................15 4. Ile jest liczb pierwszych? ........................................................................................19 5. Liczb wymiernych jest tyle samo co liczb naturalnych ......................................25 q 6. Niewymierno liczby 2 ...................................................................................29 7. Liczb rzeczywistych jest wicej ni liczb naturalnych ........................................35 8. Kty wewntrzne trjkta ......................................................................................39 9. Trysekcja kta metod Archimedesa ....................................................................43 10. Twierdzenie Pitagorasa ........................................................................................47 11. Jak obliczy warto sinusa 36 ...........................................................................51 12. Twierdzenie sinusw ............................................................................................59 13. Dowd poprawnoci konstrukcji piciokta foremnego ................................63 14. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa itrjkty pitagorejskie ......69

Kup ksik

Pole ksik

15. Szereg odwrotnoci liczb naturalnych ...............................................................77 16. Suma szeregu geometrycznego ...........................................................................83 17. Wok trjkta Pascala .........................................................................................87 18. Zbieno szeregu odwrotnoci silni kolejnych liczb naturalnych ................93 19. Liczba e...................................................................................................................97 20. Liczba e jest niewymierna..................................................................................101 21. Suma odwrotnoci liczb pierwszych jest nieskoczona ................................103 22. Tosamoci trygonometryczne .........................................................................107 23. Twierdzenie cosinusw ......................................................................................113 24. Twierdzenie Talesa..............................................................................................115 25. Pewna cecha cigu liczb pierwszych ................................................................119 26. Reductio ad absurdum ........................................................................................123 27. Ile liczb naturalnych jest midzy zerem ajedynk? .......................................129 28. Pojcia pierwotne iaksjomaty...........................................................................135 29. Jak blisko mona podej do liczby ? .............................................................139 30. Liczby algebraiczne iliczby przestpne............................................................145 Bibliografia ................................................................................................................148 Skorowidz ..................................................................................................................149

4Kup ksik Pole ksik

Wstp

Ksika, ktr trzymasz wrku, moe by Twoim biletem wstpu do tej czci matematyki, ktra wikszoci ludzi, nawet wyksztaconych, wydaje si niedostpna, amoe nawet dziwna czy niepotrzebna. Tematem tej publikacji s bowiem dowody matematyczne. Ijeli zaczynasz teraz myle otym, eby jak najszybciej odoy j na pk, dowiedz si, e jest ona wanie dla Ciebie, bo zamieszczone tu dowody czyta si jak zwyke opowieci. Autor postawi sobie za cel (aTy, Czytelniku, sprawd, czy mu si to udao) zaprezentowanie dowodw wformie zrozumiaej dla laika zainteresowanego matematyk. Ksika zawiera przykady dowodw wprost, nie wprost idowodw indukcyjnych. Do jej zrozumienia wzupenoci wystarcza znajomo matematyki na poziomie szkoy ponadgimnazjalnej, awikszo rozdziaw jest dostpna nawet dla gimnazjalistw. Znalazy si tu dowody takich klasycznych twierdze jak twierdzenia oniewymiernoci liczby 2 iliczby e, nieprzeliczalnoci zbioru liczb rzeczywistych, twierdzenia sinusw, twierdzenia Pitagorasa, rozbienoci szeregu harmonicznego, nieskoczonoci zbioru liczb pierwszych ikilku innych. Mona zatem powiedzie, e bohaterami tej ksiki s rozumowania, ktre maj nas przekona oprawdziwoci twierdze matematycznych, przedstawione jednak tak, eby kady Czytelnik mg dozna przyjemnoci ich rozumienia.

5Kup ksik Pole ksik

14.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa itrjkty pitagorejskie

Twierdzenie Pitagorasa moemy sformuowa tak: Jeeli trjkt jest prostoktny, to kwadrat dugoci najduszego boku tego trjkta jest rwny sumie kwadratw dugoci pozostaych bokw. Wtak zapisanym twierdzeniu wyranie rozpoznajemy jego dwie gwne czci: zaoenie itez. Wyglda to tak:

69Kup ksik Pole ksik

14

Zamiana ich kolejnoci nie zawsze prowadzi do otrzymania prawdziwego twierdzenia odwrotnego (tak jest ono nazywane). Wprzypadku twierdzenia Pitagorasa po zamianie miejscami zaoenia itezy, tak e jego zaoenie peni rol tezy twierdzenia odwrotnego, ajego teza rol zaoenia twierdzenia odwrotnego, otrzymujemy rwnie twierdzenie prawdziwe.

Poniewa oba twierdzenia s prawdziwe, mona by je zapisa wpostaci jednego twierdzenia majcego posta rwnowanoci. Trjkt jest prostoktny wtedy itylko wtedy, gdy kwadrat dugoci najduszego boku tego trjkta jest rwny sumie kwadratw dugoci pozostaych jego bokw. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa daje moliwo rachunkowego sprawdzenia, czy dany trjkt jest prostoktny, czy nie. Wystarczy tylko zna dugoci wszystkich jego bokw, ustali, ktry jest najduszy, podnie do kwadratu dugoci wszystkich odcinkw, zsumowa kwadraty dugoci dwch krtszych odcinkw iporwna t sum zkwadratem dugoci najduszego. Spjrz na ponisze przykady. Mamy trjkt obokach 6 cm, 12 cm i7 cm. Najduszym bokiem jest bok odugoci 12 cm.


Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa itrjkty pitagorejskie

(12 cm)2 = 144 cm2 (6 cm)2+(7 cm)2 = 36 cm2+49 cm2 = 85 cm2 Porwnanie wynikw oblicze wskazuje na to, e nasz trjkt nie jest prostoktny. Wemy drugi trjkt, obokach 13,7 cm, 10,5 cm i8,8 cm. (13,7 cm)2 = 187,69 cm2 (10,5 cm)2+(8,8 cm)2 = 110,25 cm2+77,44 cm2 = 187,69 cm2 Tym razem mamy do czynienia ztrjktem prostoktnym. Zwrmy uwag na praktyczn stron tych faktw. Moemy na przykad uy, wzorem egipskich mierniczych, sznura odugoci rwnej obwodowi pewnego trjkta prostoktnego, zwizanego na kocach izzaznaczonymi na nim miejscami wierzchokw tego trjkta, do wytyczenia kta prostego wterenie. Najlepiej do tego nadaj si trjkty odugociach wyraonych liczbami naturalnymi. Staroytni Egipcjanie znali takie trjkty, ale jeden by szczeglnie prosty trjkt obokach dugoci 3, 4 i5 identycznych jednostek. Sprawdmy, czy jest on rzeczywicie prostoktny. 52 = 25 32+42 = 9+16 = 25 Istotnie jest. Trjkt ten zwany jest trjktem egipskim. atwym do wykonania przyrzdem do wytyczenia kta prostego wterenie jest na przykad linka odugoci 3+4+5 = 12 jednostek, zawizana na kocach, zzaznaczonymi na niej punktami wodlegociach 3, 4 i5 jednostek. Trzy osoby, trzymajc ow link wtych wanie punktach, po napiciu jej odcinkw znajdujcych si midzy tymi punktami, mog wyznaczy kt prosty, ktry znajduje si oczywicie uzbiegu odcinkw dugoci 3 i4 jednostek. Oto spotkalimy jeden ztrjktw pitagorejskich, to znaczy taki, ktry jest prostoktny iktrego dugoci bokw wyraone s liczbami naturalnymi. Czy jest wicej takich trjktw? Owszem. Jest ich nieskoczenie wiele inie tylko potrafimy tego dowie, ale iznale je wszystkie. Pokolenia matematykw udoskonalay dowd


14ich nieskoczonej mnogoci oraz prawdziwoci wzorw pozwalajcych otrzyma dowolny znich. Egipcjanie nie znali tych wzorw, cho znali kilka czy kilkanacie trjktw pitagorejskich. Znaleli je zapewne metod prb ibdw, ktra jest szeroko stosowana nie tylko przez dzieci stawiajce swoje pierwsze kroki, ale rwnie przez matematykw. Metoda ta jednak nie pozwoli nam znale dowodu naszego twierdzenia. Sprbujmy najpierw ucili problem. Poszukiwanie trjktw pitagorejskich jest tosame ze znajdowaniem rozwiza rwnania x2

y

2

z

2

wdziedzinie liczb naturalnych, to znaczy ze znajdowaniem trjek liczb naturalnych x, y, z, ktre je speniaj. Wykluczamy od razu trjki naturalne zawierajce liczb zero, ktre nie tworz trjktw. Na przykad: 0 02 2

1 0

2 2

1,2 0.

2

To, e nasze rwnanie ma co najmniej jedno rozwizanie naturalne niezawierajce zera, ju wiemy. 32

4

2

5

2

To znany nam ju trjkt egipski. Zauwamy te, e gdy pomnoymy kad ztych trzech liczb 3, 4, 5 przez pewn liczb naturaln d, uzyskujc 3d, 4d, 5d, to otrzymamy inny, cho podobny do naszego trjkt pitagorejski. Jeli bowiem 32

4

2

5,

2

to po pomnoeniu obu stron rwnoci otrzymamy: 3 d 3d2 2 2

4 d

2

2 2

5 d, 5d .2

2

2

4d

Przez przypadek udowodnilimy, e trjktw pitagorejskich podobnych do trjkta egipskiego jest nieskoczenie wiele. Aczy s takie, ktre nie s do niego



podobne? Sprbujmy to zbada. Wiemy ju, e kiedy mamy jedn trjk pitagorejsk, to mnoc kad zjej liczb przez identyczne niezerowe rne od 1 czynniki naturalne, otrzymujemy ich nieskoczenie wiele, ale kady taki trjkt jest podobny do pozostaych ztej rodziny. Trjka liczb: 3, 4, 5, nie ma wsplnego dzielnika rnego od 1, jest wic jakby zaoycielem rodu trjktw pitagorejskich 3d, 4d, 5d podobnych do trjkta egipskiego. Nazwijmy kad tak trjk pitagorejsk, ktra nie ma wsplnego dzielnika, trjk pierwotn izadajmy jeszcze raz pytanie, czy istniej rne od 3, 4, 5 pierwotne trjki pitagorejskie, ile ich jest iczy daj si one wyrazi jakim wzorem. Zmiemy nieco cel naszych poszukiwa. Szukamy naturalnych niezerowych trjek liczb naturalnych x, y, z, ktre speniaj rwnanie x2

y

2

z

2

iktre nie maj wsplnego dzielnika naturalnego rnego od 1, to znaczy s wzgldnie pierwsze. Bdziemy bowiem poszukiwa tylko pierwotnych trjek pitagorejskich. Jeli jednak x, y, zs wzgldnie pierwsze, to musz by rwnie parami wzgldnie pierwsze, bo gdyby wsplnym dzielnikiem x iy bya liczba d, to x = dk iy = dl iwtedy (dk)2 + (dl)2 = z 2, d 2(k 2 + l 2) = z 2, to znaczy, e d byoby take dzielnikiem z. Gdyby natomiast ktra zliczb x lub y miaa wsplny dzielnik wikszy od 1 zliczb z, to przy zaoeniu, e to jest x mielibymy x = dk iz= dl iwtedy dk y2 2

y2

2 2

2 dl , 2 k ,

d l


14awwczas d byoby, wbrew zaoeniu, rwnie dzielnikiem y. Zatem trjki pierwotne s parami wzgldnie pierwsze. Wynika ztego dalej, e liczby x, y nie mog by obie parzyste, bo miayby wsplny dzielnik 2. Zauwamy, e nie mog by one rwnie obie nieparzyste, gdyby bowiem byo x = 2k+1 iy = 2l+1, wtedy x2 2 x 2l 1y 2 2 2 2

y

2

2k 12

2

2l 12

2 2

4k

2

4k 1 4l2

2

4l 1 4 k2

4 k

2 2

k l l

2

l

2

2k 1

2 2 2k 1 4k 4k 1 2l4l 1 4l 4k 1

2 4k 2 4 k 1 k 4ll 4l 2 l 1

k l

2

k 1 4l

4l 1

4 k

2

k l

2

l

2

iliczba z2 byaby podzielna przez 2, aniepodzielna przez 4, co wprzypadku kwadratu liczby naturalnej jest niemoliwe. Kwadrat jakiej liczby naturalnej jest parzysty tylko wtedy, gdy ta liczba jest parzysta, jednake wtedy kwadrat ten musi by liczb podzieln przez 4. (2n)2 = 4n2 Zatem jedna zliczb x, y jest parzysta, adruga nieparzysta. Zauwamy, e wtedy liczba zjest nieparzysta. Nie zmniejszajc oglnoci, moemy zaoy, e to x jest parzyste, ay nieparzyste. Wrmy do naszego rwnania x 2 y 2 Otrzymamy: x2 2 z i odejmijmy od obu stron y 2.

z

2

2 y.

Zgodnie ze wzorem skrconego mnoenia sumy irnicy dwch takich samych liczb moemy napisa: x2

z

y z

y.

Zarwno suma, jak irnica liczb ziy s parzyste, zatem istniej takie liczby naturalne T iU, e z z y y 2T , 2U,



wtedy x2

z

2

y

2

z

y z

y

4UT.

Liczby UiT s wzgldnie pierwsze. Gdyby bowiem miay jaki wsplny dzielnik d > 1, to d byoby take dzielnikiem: z T U i y U T,

awiemy, e liczby x iy s wzgldnie pierwsze. Udowodnimy teraz, e liczby UiT s kwadratami pewnych liczb naturalnych. Oprzemy si na twierdzeniu orozkadzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze, ktre mwi, e kada liczba naturalna rozkada si wjeden tylko sposb (jeli nie uwzgldnia kolejnoci czynnikw) na iloczyn czynnikw pierwszych. Mamy UT x 22

p1 p 2 p r

1

2

r 2

p1 p 2

2 1

2 2

pr .

2r

Liczby UiT moemy przedstawi jako U T p1 p 2 p r , p1 p2 pr ,1 2 r 1 2 r

gdzie 2i i i (i= 1, 2, ..., r). Poniewa jednak liczby UiT s wzgldnie pierwsze, to przy kadym ijedna zliczb i lub i jest rwna zeru idlatego druga jest rwna 2i. Wszystkie wykadniki wrozkadach UiT na czynniki pierwsze s zatem parzyste, zczego wynika, e kada ztych liczb jest kwadratem pewnej liczby 2 2 naturalnej U u , T t , std x 2ut , y u2

t , z

2

u

2

t.

2

(*)

Zatem kada trjka pitagorejska moe by przedstawiona wpostaci (*), gdzie uit s liczbami naturalnymi wzgldnie pierwszymi, zktrych jedna jest parzysta, adruga nieparzysta (wprzeciwnym razie obie liczby ziy byyby parzyste) oraz u> t.


14Prawdziwe jest rwnie iodwrotne twierdzenie, zgodnie zktrym dla dowolnych liczb naturalnych wzgldnie pierwszych t iu(u> t), zktrych jedna jest parzysta, adruga nieparzysta, liczby x, y, zokrelone wzorami (*) daj rozwizania rwnania x 2 y 2 z 2 wliczbach naturalnych wzgldnie pierwszych. Mamy bowiem x2

y

2

4u t

2 2

u

2

t

2 2

u

2

t

2 2

z.

2

Ponadto jeli liczby y izbyyby podzielne przez liczb pierwsz p, to rwnie licz2 2 by z y 2t ix y 2u byyby podzielne przez p, aponiewa p nie moe by rwne 2 (gdy jedna zliczb t iujest parzysta, adruga nieparzysta), to liczby y izs nieparzyste, wic liczby uit musiayby by podzielne przez p wbrew zaoeniu, e s wzgldnie pierwsze. Zatem liczby y iz, awic rwnie wszystkie trzy: x, y iz, s parami wzgldnie pierwsze. Wten sposb wzory (*) dla liczb t iu(u> t) wzgldnie pierwszych, jednej parzystej, adrugiej nieparzystej, daj wszystkie rozwizania rwnania 2 2 2 x y z wliczbach naturalnych.


15.Szereg odwrotnoci liczb naturalnych

Ju wpierwszej klasie szkoy podstawowej uczymy si dodawa inie wydaje nam si to owiele trudniejsze od liczenia na palcach. Na pocztku opanowujemy sztuk dodawania dwch liczb, potem okazuje si, e mona dodawa trzy, cztery iwogle dowoln skoczon ich ilo. Jestemy pewni, e wynik takiego dodawania zawsze jest jak liczb, nawet jeli jej nie znamy. Ajeli kto poleci nam zsumowa nieskoczenie wiele liczb dodatnich? Myl, e wiele osb bez wahania odpowie, e suma nieskoczenie wielu liczb dodatnich musi by rwnie nieskoczona, tak jak wprzypadku poniszych sum. 1 1 1


151 2 1 100 1 2 1 2 1 100

0,2 0,2 0,2

1 100

Trzy kropki na kocu wszystkich powyszych wyrae oznaczaj tu sumowanie nieskoczenie wielu skadnikw. Sprbujmy jednak przyjrze si sumie 1 2 1 4 1 8 1 16 ,

ktrej kady kolejny skadnik jest opoow mniejszy. Czy warto tej sumy te jest nieskoczona? Nie majc do badania tego problemu innych narzdzi oprcz zdrowego rozsdku, potraktujemy kolejne wyrazy szeregu jak pola wycinkw kwadratu oboku 1. Zastpmy na chwil liczby wycinkami kwadratu (jak na rysunku 15.1).

Rysunek 15.1. Kwadrat oboku 1

Po naoeniu tych rysunkw otrzymamy kwadrat widoczny na rysunku 15.2.


Szereg odwrotnoci liczb naturalnych

Rysunek 15.2. Uamki pola kwadratu

Ztego rysunku wida, e dodajc kolejne wyrazy naszej sumy, nigdy nie przekroczymy pola duego kwadratu, wida rwnie, e zkadym dodanym wyrazem suma jest coraz blisza wartoci 1 pola caego kwadratu. Czy nie jest to co dziwnego? Oto mamy sum nieskoczenie wielu skadnikw, ktra sama jest skoczona. Jak rozpozna, ktre ztakich sum s skoczone, aktre nieskoczone? Nie ma na to pytanie jednej atwej odpowiedzi, moemy natomiast zca pewnoci stwierdzi, jaki jest warunek konieczny do tego, eby taka suma istniaa. Warunek konieczny to taki, bez ktrego spenienia suma zpewnoci nie jest skoczona, ktry nie zapewnia jej istnienia. Warunkiem koniecznym istnienia skoczonej sumy nieskoczonego szeregu jest tak zwana zbieno do zera cigu jego kolejnych skadnikw. Krtko mwic, jeli kolejne wyrazy rni si od zera ocoraz mniejsz warto robi si ona dowolnie maa to moliwe jest, e dany szereg ma skoczon sum. Wprzeciwnym wypadku jest to wykluczone. Dlatego atwo moemy stwierdzi, e szeregi: 1 2 3 4 1 1 1 1

0,01 0,01 0,01

nie maj skoczonych sum. Natomiast nasz pierwszy odkryty szereg nieskoczony ze skoczon sum:


151 2 1 4 1 8 1

spenia oczywicie warunek konieczny zbienoci rnica pomidzy zerem ikolejnymi wyrazami staje si dowolnie maa, jeli tylko wemiemy dostatecznie daleki jego wyraz. Czy kady szereg nieskoczony speniajcy warunek konieczny ma skoczon sum? Pytanie to wargonie matematycznym brzmiaoby tak: czy warunek konieczny zbienoci szeregu jest jednoczenie warunkiem dostatecznym (wystarczajcym)? Zbadajmy ten problem na przykadzie innego szeregu nieskoczonego. 1 1 2 1 3 1 4 1 5

Jak wida, jego kolejne wyrazy s odwrotnociami kolejnych liczb naturalnych. Matematycy nazywaj ten szereg harmonicznym. Spenia on warunek konieczny, bez ktrego spenienia nawet nie zastanawialibymy si nad tym, czy ma on skoczon sum, bo, jak ju mwilimy, zniespenienia koniecznego warunku zbienoci wynika brak skoczonej sumy. Na tym polega przecie konieczno warunku. Pokaemy, e nie jest to warunek dostateczny, bo szereg harmoniczny nie ma staej sumy. Zauwamy, e 1 2 1 3 1 5 1 9 1 2 1 4 1 6 1 10 1 4 1 7 1 11 1 4 1 8 1 12 1 8 2 4 1 8 1 13 1 2 1 8 1 14 1 8 1 15 4 8 1 16 1 2 1 16 1 16 1 16 8 16 1 2

8 razy


Szereg odwrotnoci liczb naturalnych

ioglnie dla dowolnego n 1 2n

1 1 1 2 2 1 3n

2 1 4 1 5

1 2n

1n

2 2

n

2

1

2

n 1

n 1

1. 2

Gdyby zatem istniaa skoczona suma szeregu harmonicznego 1 ,

nie mogaby by mniejsza od sumy szeregu 1 1 2 1 2 1 2 ,

ktry jest szeregiem rozbienym jego suma jest wiksza ni kada liczba dodatnia. Szereg harmoniczny jest zatem rozbieny.


Skorowidz

A aksjomaty, 135, 136, 137 aksjomatyka Peana, 136, 137 alef zero, 37 Archimedes, trysekcja kta, 43, 44, 45 B bliniacze liczby pierwsze, 120 C Cantor, Georg, 26, 35 cig monotoniczny, 97 continuum, 37 cosinus, 108 kta podwojonego, 110 rnicy ktw, 110 sumy ktw, dowd, 108, 109 cosinusw twierdzenie, dowd, 113, 114 cotangens, 108

D dowody, 8 ilo liczb pierwszych, 22, 23, 103 ilo liczb rzeczywistych, 35, 36, 37 ilo liczb wymiernych, 25, 26, 27, 28 liczba przektnych n-kta foremnego, 15, 16, 17, 18 liczby przestpne, 146, 147 nieskoczono sumy odwrotnoci liczb pierwszych, 103, 104, 105, 106 niewymierno liczby 2, 29, 30, 31, 32, 33, 124 niewymierno liczby e, 101, 102 oswajanie, 7 pole trapezu, 9, 10 poprawno konstrukcji piciokta foremnego, 63, 64, 65, 66, 67 suma miar ktw wewntrznych trjkta, 39, 40, 41 suma n pocztkowych liczb naturalnych, 11, 12, 13, 14 suma szeregu geometrycznego, 83, 84, 85 trysekcja kta metod Archimedesa, 45, 46


dowody twierdzenie cosinusw, 113, 114 twierdzenie Pitagorasa, 47, 48, 49, 50 twierdzenie sinusw, 59, 60, 61 twierdzenie Talesa, 115, 116, 117 wzr na cosinus sumy ktw, 108, 109 wzr na wartoci wspczynnikw w trjkcie Pascala, 91, 92 zbieno szeregu odwrotnoci silni kolejnych liczb naturalnych, 95 dowd, 7 indukcyjny, 91 konstruktywny, 121 przez sprzeczno, 123 dziesitny system pozycyjny, 20, 21, 130 E e, liczba, 97 dowd niewymiernoci, 101, 102 Euler, 103 F funkcja "na", 26 rnowartociowa, 26 funkcje trygonometryczne, 108, 110 obliczanie wartoci, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 G Goedel, Kurt, 137 granica, 84 I indukcja matematyczna, 11, 13, 91 liczba przektnych n-kta foremnego, 17, 18 suma n pocztkowych liczb naturalnych, 13, 14 K kt prosty, wyznaczanie przez staroytnych Egipcjan, 71 klasa wielomianu, 147 klasyczne problemy geometryczne, 43 Kronecker, 129

L liczba e, 97 dowd niewymiernoci, 101, 102 liczba przektnych n-kta foremnego, dowd, 15, 16, 17, 18 liczba , 132 oszacowanie wartoci, 139, 140, 141, 142, 143 liczby algebraiczne, 145, 146 liczby naturalne, 19, 20, 21, 129, 130 nieskoczono, 19, 20 pomidzy zerem a jedynk, 129, 132 szereg odwrotnoci, 77, 78, 79, 80, 81 liczby niewymierne, 29, 131, 132 tworzenie, 132 liczby pierwsze, 19, 21, 119, 120, 121 bliniacze, 120 ilo, dowd, 22, 23, 103 nieskoczono sumy odwrotnoci, 103, 104, 105, 106 liczby przestpne, 145, 146 dowd, 146, 147 liczby rzeczywiste, 35, 36, 37, 145 ilo, dowd, 35, 36, 37 liczby wymierne, 25, 36, 130 ilo, dowd, 25, 26, 27, 28 przedstawienie za pomoc uamkw dziesitnych, 130, 131 liczby zoone, 21 lim, symbol, 84 M metoda dedukcyjna, 135 poowienia przedziau, 31 przektniowa, 35 N najwikszy wsplny dzielnik, 31 Newtona, symbol, 89 nieskoczono, 19, 20, 35 niewymierno liczby e, dowd, 101, 102 liczby 2 , dowd, 29, 30, 31, 32, 33, 124 NWD, Patrz najwikszy wsplny dzielnik


SkorowidzO obiekty matematyczne, 87 P Pascala, trjkt, 87, 88, 89, 90, 91 wzr na wartoci wspczynnikw, 90, 91, 92 Peana, aksjomatyka, 136, 137 Peano, 136 piciokt foremny dowd poprawnoci konstrukcji, 63, 64, 65, 66, 67 konstrukcja, 63, 64 Pitagorasa, twierdzenie, 69 dowd, 47, 48, 49, 50 twierdzenie odwrotne, 69, 70, 71 zastosowanie do obliczania wartoci funkcji trygonometrycznych, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 pojcia pierwotne, 135 pola figur paskich prostokt, 9 trapez, 8, 9, 10 trjkt, 117 pozycyjny system dziesitny, 130 prostokt, pole, 9 przektna, 15 przektne, wielokty, 15, 16 przemienno, 12 R reductio ad absurdum, 123, 126 rwnoliczno, 26 S silnia, 90, 94 sinus, 52, 108 sumy ktw, 111 sinusw, twierdzenie, 61 dowd, 59, 60, 61 suma, przemienno, 12 suma n pocztkowych liczb naturalnych, dowd, 11, 12, 13, 14 suma szeregu geometrycznego, dowd, 83, 84, 85 symbol Newtona, 89 systemy pozycyjne, dziesitny, 20, 21, 130 szereg geometryczny, suma, 83, 84, 85 szereg harmoniczny, 80, 81 szereg odwrotnoci liczb naturalnych, 77, 78, 79, 80, 81 szereg rozbieny, 81 szufladkowa zasada Dirchleta, 126 T Talesa, twierdzenie, 115 dowd, 115, 116, 117 tangens, 108 tosamoci trygonometryczne, 107, 108 trapez, pole, 8 dowd, 9, 10 trjkt egipski, 71, 72 kty wewntrzne, 39, 40 liczbowy, Patrz trjkt Pascala Pascala, 87, 88, 89, 90, 91 pole, 117 suma miar ktw wewntrznych, dowd, 39, 40, 41 trjkty pitagorejskie, 71, 72 poszukiwanie, 72 trygonometria, 107 trysekcja kta metod Archimedesa, 43, 44, 45 dowd, 45, 46 twierdzenie, 69, 70 teza, 69, 70 zaoenie, 69, 70 twierdzenie cosinusw, dowd, 113, 114 twierdzenie odwrotne, 70 twierdzenie Pitagorasa, 69 dowd, 47, 48, 49, 50 twierdzenie odwrotne, 69, 70, 71 zastosowanie do obliczania wartoci funkcji trygonometrycznych, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 twierdzenie sinusw, 61 dowd, 59, 60, 61 twierdzenie Talesa, 115 dowd, 115, 116, 117 U uamki dziesitne, 130 nieskoczone nieokresowe, 36, 131 nieskoczone okresowe, 36 skoczone, 36 zamiana na uamki zwyke, 131


W wielokty, przektne, 15, 16 wielomian, klasa, 147 wzory redukcyjne, 110 Z zasada szufladkowa Dirchleta, 126 zbieno, 79 szeregu odwrotnoci silni kolejnych liczb naturalnych, 93, 94 szeregu odwrotnoci silni kolejnych liczb naturalnych, dowd, 95


Documents

Jak tego dowieść - krótka opowieść