JAN JANDORA HYDRAULIKA A HYDROLOGIE - lences.czlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta/BR51-Hydraulika a... · vysokÉ u enÍ technickÉ v brn fakulta stavebnÍ jan jandora

VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V BRN� FAKULTA STAVEBNÍ

JAN JANDORA

HYDRAULIKA A HYDROLOGIE MODUL 01

STUDIJNÍ OPORA PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Hydraulika a hydrologie

- 2 (188) -

© Jan Jandora, 2005

Obsah

- 3 (188) -

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................7

1.1 Cíle ........................................................................................................7 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................7 1.3 Doba pot�ebná ke studiu .......................................................................7 1.4 Klí�ová slova.........................................................................................7

�ÁST I – HYDRAULIKA................................................................................8 2 Fyzikální vlastnosti kapalin .........................................................................8

2.1 Hustota a m�rná tíha kapaliny...............................................................8 2.2 Soudržnost kapalin................................................................................9 2.3 Viskozita kapalin...................................................................................9 2.4 Stla�itelnost kapalin ..............................................................................9 2.5 Tepelná roztažnost ..............................................................................10 2.6 Povrchové nap�tí.................................................................................11 2.7 Kapilarita.............................................................................................11 2.8 Tepelná vodivost .................................................................................12 2.9 Ideální kapalina ...................................................................................12

3 Hydrostatika ...............................................................................................13 3.1 Tlak v kapalin�....................................................................................14 3.2 Neprom�nnost tlaku v r�zných sm�rech.............................................14 3.3 Eulerova diferenciální rovnice rovnováhy v kapalin� ........................15 3.4 Tlak v kapalin�, na níž p�sobí jen tíže................................................17 3.5 Rov�ové a hladinové plochy, spojité nádoby a Pascal�v teorém .......18 3.6 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plochy........................................19 3.7 Tlaková síla kapaliny na rovinné plochy ............................................20

3.7.1 Analytické �ešení ..................................................................20 3.7.2 Horizontální a vertikální složka hydrostatické tlakové

síly na rovinné plochy...........................................................22 3.7.3 Grafické znázorn�ní hydrostatického tlaku na rovinné

plochy s konstantní ší�kou pomocí zat�žovacích obrazc� ....23 3.8 Tlakové síly na zak�ivené plochy........................................................24 3.9 Plování t�les ........................................................................................26

4 Hydrodynamika..........................................................................................32 4.1 Rovnice kontinuity v 1D .....................................................................34 4.2 Bernoulliho rovnice.............................................................................36

4.2.1 Bernoulliho rovnice ..............................................................36 4.2.2 P�íklady použití Bernoulliho rovnice....................................39

4.3 V�ta o hybnosti (impulsová v�ta) .......................................................41 5 Výtok kapaliny otvorem z nádob ..............................................................43

5.1 Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob..........................................43 5.1.1 Volný výtok malým otvorem ve dn� ....................................43 5.1.2 Sou�initelé výtoku, zúžení, výtokové rychlosti a ztrát .........45 5.1.3 Volný výtok otvorem ve svislé st�n� ....................................47 5.1.4 Volný výtok hydraulicky malým otvorem ve svislé st�n�....49 5.1.5 Výtok pono�eným otvorem ve svislé st�n� ...........................49 5.1.6 Výtok �áste�n� pono�eným obdélníkovým otvorem ............50


- 4 (188) -

5.1.7 Volný výtok obdélníkovým otvorem v šikmé st�n�............. 51 5.2 Pln�ní a prázdn�ní .............................................................................. 51

5.2.1 Pln�ní a prázdn�ní prizmatické nádoby otvorem p�i Qp = konst. ...................................................................... 53

5.2.2 Prázdn�ní válcové cisterny otvorem p�i Qp = 0.................... 54 6 P�epady ....................................................................................................... 57

6.1 Ostrohranné p�elivy ............................................................................ 59 6.1.1 Výpo�et p�epadu p�es ostrou hranu, Bazin�v p�eliv ............ 59 6.1.2 Nedokonalý p�epad p�es ostrou hranu.................................. 61 6.1.3 Ostrohranné p�elivy s bo�ním zúžením................................ 62

6.2 Jezové p�elivy..................................................................................... 63 6.2.1 Výpo�et p�epadu p�es jezová t�lesa ..................................... 64 6.2.2 Nedokonalý p�epad .............................................................. 64 6.2.3 Vliv p�dorysného uspo�ádání jez� ....................................... 65 6.2.4 Bo�ní kontrakce.................................................................... 65 6.2.5 Jezy obdélníkového p�í�ného pr��ezu.................................. 66 6.2.6 Jezy lichob�žníkového p�í�ného pr��ezu ............................. 66 6.2.7 Proudnicová p�elivná plocha................................................ 67 6.2.8 N�které typy pohyblivých jez� ............................................ 68

6.3 P�epad p�es širokou korunu bez bo�ního zúžení ................................ 68 7 Ustálené tlakové proud�ní vody v potrubí............................................... 74

7.1 Hydraulické odpory ............................................................................ 74 7.2 Základní rovnice pro rovnom�rný pohyb kapalin .............................. 75 7.3 Laminární a turbulentní proud�ní....................................................... 77 7.4 Ztráty t�ením....................................................................................... 79

7.4.1 Sou�initel t�ení ..................................................................... 80 7.4.2 Rychlostní sou�initel C ........................................................ 82 7.4.3 Empirické výrazy pro výpo�et sou�initele t�ení λ................ 83

7.5 Místní ztráty........................................................................................ 84 7.5.1 Náhlé rozší�ení pr��ezu potrubí - Bordova ztráta................. 85 7.5.2 Kónické rozší�ení pr��ezu .................................................... 86 7.5.3 Náhlé zúžení pr��ezu............................................................ 87 7.5.4 Kónické zúžení pr��ezu........................................................ 87 7.5.5 Ztráta na vtoku do potrubí a výtoku z potrubí...................... 88 7.5.6 Ztráta v obloucích a v kolenech ........................................... 88

7.6 Hydraulicky krátká potrubí................................................................. 90 7.6.1 Shybka.................................................................................. 90 7.6.2 Hydraulicky krátká složená potrubí ..................................... 91

7.7 Hydraulicky dlouhé potrubí a potrubí s odb�rem po délce ................ 92 8 Ustálené proud�ní vody v otev�ených korytech........................................ 96

8.1 Rovnom�rné proud�ní vody v otev�ených korytech ............................. 96 8.1.1 Výpo�et pr��ezové rychlosti ................................................ 97 8.1.2 Rychlostní vzorec Pavlovského ........................................... 97 8.1.3 Rychlostní vzorec Manning�v ............................................. 98 8.1.4 Rychlostní vzorec Strickler�v .............................................. 98 8.1.5 Hydraulický výpo�et rovnom�rného proud�ní

v otev�ených korytech .......................................................... 99

- 5 (188) -

8.1.6 Profily o r�zných drsnostech jednotlivých �ástí ...................99 8.1.7 Složené profily ....................................................................100 8.1.8 Uzav�ené profily s volnou hladinou....................................100 8.1.9 M�rná energie pr��ezu ........................................................101 8.1.10 Proud�ní kritické, �í�ní a byst�inné.....................................102 8.1.11 Ur�ení kritické hloubky ve vybraných profilech ................104 8.1.12 Froudovo kritérium .............................................................104

8.2 Nerovnom�rné ustálené proud�ní vody v otev�ených korytech........105 8.2.1 K�ivky vzdutí a snížení .......................................................105 8.2.2 �ešení nerovnom�rného pohybu metodou po úsecích........106 8.2.3 �ešení nerovnom�rného pohybu metodou po úsecích

v prizmatických korytech....................................................108 8.2.4 �ešení nerovnom�rného pohybu metodou po úsecích

v p�irozených korytech .......................................................109 8.2.5 Výpo�et pr�toku ze známého pr�b�hu hladiny ..................111 8.2.6 Výpo�et pr�tok� v ramenech koryta...................................111

9 Vodní skok.................................................................................................115 9.1 Druhy vodního skoku........................................................................116 9.2 Prostý vodní skok..............................................................................117

9.2.1 Funkce vodního skoku ........................................................117 9.2.2 Výpo�et vzájemných hloubek.............................................118 9.2.3 Délka vodního skoku ..........................................................119 9.2.4 Ztráta energie ve vodním skoku..........................................119

9.3 Spojení hladin vodních zdrží – návrh vývaru ...................................119 9.3.1 Základní rovnice .................................................................120 9.3.2 Dimenzování podjezí - vývaru............................................121 9.3.3 Schéma hydraulického �ešení vývaru .................................122

10 Mosty .........................................................................................................125 10.1 Mosty na tocích s �í�ním proud�ním.................................................126

10.1.1 Vtok zatopený dolní vodou.................................................126 10.1.2 Vtok není zatopený dolní vodou .........................................127

10.2 Mosty na tocích s byst�inným proud�ním.........................................127 11 Propustky ..................................................................................................129

11.1 Propustky s volnou hladinou po celé délce .......................................130 11.1.1 Propustky neovlivn�né dolní vodou....................................130 11.1.2 Propustky ovlivn�né dolní vodou .......................................131

11.2 Propustky s volnou hladinou a zatopeným vtokem ..........................131 11.2.1 Propustky neovlivn�né dolní vodou....................................132 11.2.2 Propustky ovlivn�né dolní vodou .......................................132

11.3 Tlakové propustky (kruhové)............................................................133 11.3.1 Výtok z propustku není zatopen dolní vodou .....................133 11.3.2 Výtok z propustku je zatopen dolní vodou .........................134

12 Proud�ní podzemní vody .........................................................................135 12.1 Darcyho vztah ...................................................................................136 12.2 Dupuitovy p�edpoklady.....................................................................138 12.3 Jímání podzemní vody ......................................................................139

12.3.1 Filtra�ní stabilita na plášti studny .......................................139


- 6 (188) -

12.3.2 Úplná studna s volnou hladinou ......................................... 140 12.3.3 Neúplná studna s volnou hladinou ..................................... 141 12.3.4 Studny tlakové.................................................................... 141 12.3.5 Studny vsakovací................................................................ 142

12.4 Sb�rná štola ...................................................................................... 143 12.5 Soustava studní................................................................................. 144

�ÁST II – HYDROLOGIE ......................................................................... 147 13 Hydrologie - základní pojmy................................................................... 147

13.1 Význam a rozd�lení hydrologie........................................................ 147 13.2 Vývoj hydrologie.............................................................................. 148 13.3 Rozd�lení vody na zemi ................................................................... 149 13.4 Kolob�h vody na zemi...................................................................... 149 13.5 Povodí............................................................................................... 150 13.6 Srážkoodtokový proces v povodí ..................................................... 151 13.7 Základní bilan�ní rovnice ................................................................. 153

14 Meteorologie a klimatologie .................................................................... 153 14.1 Vlhkost ovzduší ................................................................................ 154 14.2 Výpar ................................................................................................ 155 14.3 Srážky ............................................................................................... 157

14.3.1 Vznik a druhy ..................................................................... 157 14.3.2 Extrémní dešt�.................................................................... 157 14.3.3 M��ení srážek ..................................................................... 159

14.4 Plošné a �asové rozd�lení srážek. Extrémní hodnoty............................ 161 15 �í�ní sí�..................................................................................................... 161

Vodní toky ................................................................................................. 161 15.1 Vodní stavy a jejich pozorováni ....................................................... 163 15.2 M��ení pr�tok� ................................................................................. 165 15.3 M�rná k�ivka pr�toku ....................................................................... 168

16 Režim vodních tok� ................................................................................. 169 16.1 �áry �etnosti a �áry p�ekro�ení pr�tok�........................................... 171 16.2 Vlivy p�sobící na povrchový odtok ................................................. 172 16.3 Maximální pr�toky ........................................................................... 174 16.4 Minimální pr�toky............................................................................ 180 16.5 Zimní režim tok� a ledové jevy........................................................ 180

17 Vodní nádrže ............................................................................................ 181 18 Záv�r ......................................................................................................... 184

18.1 Shrnutí .............................................................................................. 184 19 Studijní prameny ..................................................................................... 184

19.1 Seznam použité literatury ................................................................. 184 19.2 Seznam dopl�kové studijní literatury............................................... 185

20 Autotest ..................................................................................................... 185 21 Klí� ............................................................................................................ 187

Úvod

- 7 (188) -

1 Úvod

1.1 Cíle

Studijní text „Hydraulika a hydrologie“, který máte p�ed sebou, je studijní oporou stejnojmenného p�edm�tu v kombinovaném studiu bakalá�ského studijního programu Inženýrské stavitelství na Fakult� stavební Vysokého u�ení technického v Brn�. Snahou autora bylo, aby obsah textu byl srozumitelný a zárove� stru�ný. Teoretické odvození nalezne �tená� v studijních pramenech (Kap. 11).

Hromadný výskyt vody na Zemi a její nezastupitelnost pro veškerý život a �innost �lov�ka, byl p�í�innou toho, že se postupn� vyvinula �ada v�dních obor� zabývajících se výskytem vody, jejím ob�hem, mechanickými vlastnostmi, vodní biologií, chemií, atd. V dalším se budeme zabývat jednou z nich, a to hydraulikou, která tvo�í spole�n� s hydrologií teoretické základy vodního stavitelství.

Hydraulika by se podle svého názvu (hydor = voda, aulos = potrubí, žlab) m�la zabývat pouze pohybem vody v potrubí nebo ve žlabu. Ve skute�nosti je její nápl� mnohem širší. Hydraulika je v�da o zákonitostech rovnováhy a pohybu tekutin a vzájemném p�sobení tekutin a tuhých t�les. Její fyzikáln� matematický základ tvo�í hydromechanika, která je �ástí klasické teoretické mechaniky. Pro úlohy technické praxe, pro které nemá hydromechanika teoretického �ešení, používá hydraulika vztah� empirických, odvozených z pozorování a m��ení v p�írod� in situ nebo na modelech.

Hydrologie by podle doslovného p�ekladu z �e�tiny (logos = nauka) znamenala nauka o vod�. Dnes používáme tento název v užším smyslu a hydrologie je v�da o výskytu a ob�hu vody v p�írod�, která ze systematického pozorování t�chto jev� v p�írod� formuluje p�íslušné záv�ry, zákonitosti a vztahy.

1.2 Požadované znalosti

Mezi požadované znalosti pat�í zejména základy fyziky a matematiky.

1.3 Doba pot�ebná ke studiu

Doba pot�ebná ke studiu této základní �ásti hydrauliky je cca 32 hodin a dalších cca 18 hodin na propo�ítání p�íklad�.

1.4 Klí�ová slova

hydraulika, hydrostatika, hydrologie, rovnice spojitosti, Bernoulliova rovnice, proud�ní vody v potrubí, výtok kapaliny otvorem, p�epady, ztráty v potrubí, proud�ní vody v kanálech s volnou hladinou, vodní skok, meteorologie, �í�ní sí�, vodní nádrže, proud�ní podzemní vody.


- 8 (188) -

�ÁST I – HYDRAULIKA Hydraulika je oddíl technické mechaniky, která studuje zákony klidu a pohybu kapalin. D�lí se na dv� základní �ásti:

- hydrostatiku, která se zabývá kapalinami, které se nepohybují (jsou v klidu) a jejich ú�inkem na tuhá t�lesa;

- hydrodynamiku, která se zabývá pohybem kapalin a jejich p�sobením na tuhá t�lesa p�i jejich vzájemném relativním pohybu.

2 Fyzikální vlastnosti kapalin 2.1 Hustota a m�rná tíha kapaliny

Hustota kapaliny ρ (m�rná hmotnost) je hmotnost kapaliny vztažená na jednotku objemu:

Vm

dd

=ρ (2.1)

a její pr�m�rná hodnota v prostoru:

Vm

VV V

=d1

= � ρρ , (2.2)

kde m je hmotnost homogenní kapaliny a V objem kapaliny.

Kapaliny jsou málo stla�itelné a jejich hustota se m�ní nepatrn� s tlakem. Teplem se kapaliny roztahují, p�i�emž se jejich hustota zmenšuje se stoupající teplotou. Výjimku tvo�í pouze voda, která se od 0°C do 4°C smrš�uje a dalším vzr�stem teploty se roztahuje (anomálie vody). Tyto zm�ny platí p�i konstantním tlaku. Zm�na hustoty vlivem zm�ny vn�jšího tlaku se projevuje stla�itelností (Kap. 2.4). Vliv teploty na hustotu vody p�i tlaku 105 Pa ukazuje Tab. 2.1. Pro praktické výpo�ty ve stavební praxi oby�ejn� uvažujeme ρ = 1 000 kg/m3.

Tab. 2.1 Hustota a kinematická viskozita vody v závislosti na teplot� p�i tlaku 1,01 105 Pa

T [°C] ρ [kg/m3] υ [m2/s] T [°C] ρ [kg/m3] υ [m2/s]

0 999,84 1,7938 10-6 50 988,24 0,515 10-6 4 999,97 1,5671 10-6 60 983,38 0,478 10-6

10 999,70 1,3101 10-6 70 977,99 0,415 10-6 20 998,20 1,0105 10-6 80 972,01 0,367 10-6 30 995,65 0,804 10-6 90 965,30 0,327 10-6 40 992,36 0,661 10-6 100 959,69 0,294 10-6

M�rná tíha kapaliny γ je tíha kapaliny vztažená na jednotku objemu:

γ = ρ g, (2.1) kde g je tíhové zrychlení (g = 9,806 65 m/s2 =� 9,81 m/s2).

Fyzikální vlastnosti kapalin

- 9 (188) -

2.2 Soudržnost kapalin Nap�tí v kapalin� je d�sledkem odporu proti odd�lení jednotlivých �ástic kapaliny, tzn. že kapaliny vykazují jistou pevnost v tahu, �ili soudržnost. U vody je pevnost v tahu 36 Pa, tj. asi 107 krát mén� než u oceli. P�i �ešení v�tšiny úloh stavební praxe nemá proto soudržnost kapalin praktický význam.

2.3 Viskozita kapalin V reálných kapalinách vznikají p�i vzájemném pohybu �ástic d�sledkem vnit�ního t�ení (viskozity) smyková (tangenciální) nap�tí τ. Newton zjistil, že vnit�ní t�ení v kapalinách:

- nezávisí na tlaku v kapalin�, - závisí na druhu kapaliny, - závisí na gradientu rychlosti �ili na rychlostním spádu mezi dv�ma

vrstvami kapaliny (je-li rychlost dvou sousedních �ástic kapaliny stejná, nep�sobí mezi nimi t�ení).

Jsou-li dv� sousední vrstvi�ky vzdálené od sebe o dy a pohybuje-li se jedna vrstvi�ka rychlostí u a druhá rychlostí u + du, lze podle Newtona smykové nap�tí vyjád�it vztahem:

yu

dd

= µτ − , (2.4)

kde µ je sou�initel dynamické viskozity (charakterizuje viskozitu kapaliny) a d

duy gradient rychlosti. Kapaliny, u kterých m�žeme smykové nap�tí τ

vyjád�it podle (2.4), nazýváme newtonovské kapaliny (kapaliny, pro n�ž platí p�ímá úm�rnost mezi smykovým nap�tím a gradientem rychlosti).

V hydraulice �asto používáme pro charakteristiku viskozity kapaliny sou�initel kinematické viskozity υ, který je definován jako podíl dynamické viskozity a hustoty kapaliny:

ρµυ = . (2.5)

Pro výpo�et kinematické viskozity vody v závislosti na teplot� T m�žeme použít empirický vztah:

20

000221,00337,01 TT ++=

υυ , (2.6)

kde υ0 je kinematická viskozita p�i 0°C a T teplota (dosazuje se ve °C).

Kinematická viskozita ν závisí na druhu kapaliny a na její teplot�. Vliv tlaku se projeví jen p�i jeho velkých hodnotách. V Tab. 2.1 jsou uvedeny hodnoty kinematické viskozity vody v závislosti na její teplot�.

2.4 Stla�itelnost kapalin Stla�itelností rozumíme vlastnost kapaliny zm�nit sv�j objem p�i zm�n� tlaku. Stla�itelnost je charakterizována objemovou stla�itelností χ , která vyjad�uje


- 10 (188) -

o kolik se zmenší jednotka objemu kapaliny p�i zv�tšení tlaku o ∆ p = 1 Pa p�i T = konst. (dále budeme v Kap. 2 uvažovat tlak záporn� a tah kladn�):

pV

V dd1

=χ , (2.7)

P�evrácená hodnota stla�itelnosti definuje modul objemové pružnosti (stla�itelnosti) K:

χ1

=K . (2.8)

Hodnoty K pro vodu jsou uvedeny v Tab. 2.2. Jeho hodnota je ovlivn�na množstvím pohlcených plyn� a rozpušt�ných solí ve vod�.

Objem kapaliny V po stla�ení p�ír�stkem tlaku ∆ p je:

��

��

� ∆K

pVV +1= 0 . (2.9)

kde V0 je p�vodní objem.

Zm�na tlaku ∆p vyvolá zv�tšení hustoty kapaliny na hodnotu:

��

��

� ∆K

p-1= 0ρρ , (2.10)

kde ρ0 je hustota p�i tlaku p0.

Uvážíme-li, že modul pružnosti v tlaku je u oceli p�ibližn� 210 GPa, tedy oproti vod� p�i b�žných podmínkách (K = 2,03 GPa) p�ibližn� stonásobný, je z�ejmé, že pojem nestla�itelnosti vody je opodstatn�ný ve srovnání s plyny a nikoliv s pevnými látkami. P�esto ve v�tšin� hydraulických úloh p�edpokládáme, že voda je prakticky nestla�itelná. Nem�žeme však zanedbat stla�itelnost u dlouhých p�ívod� vody v potrubí p�i náhlých a velkých zvýšeních nebo poklesech tlaku.

2.5 Tepelná roztažnost Kapaliny m�ní sv�j objem vlivem tepelných zm�n. Sou�initel tepelné objemové roztažnosti β definujeme jako zm�nu objemu vyvolanou zm�nou teploty T o 1°K p�i p = konst.:

TV

V dd1

=0

β . (2.11)

Zm�nu objemu kapaliny V p�ír�stkem teploty T o ∆ T p�i p = konst. vyjád�íme vztahem:

)+1(= 0 TVV ∆β , (2.12)

kde ∆ T je rozdíl teploty ve °K, V0 po�áte�ní objem p�i teplot� T0. Tepelná roztažnost závisí na po�áte�ní teplot� kapaliny T0 a na tlaku p, který na kapalinu p�sobí (pro vodu je uvedena v Tab. 2.2).


- 11 (188) -

2.6 Povrchové nap�tí Povrchové nap�tí p�sobí na kontaktní ploše mezi kapalinou a plynem nebo mezi dv�ma nemísícími se kapalinami. Vlivem povrchového nap�tí dochází na styku kapaliny s jiným t�lesem k jejímu ulpívání. Povrchové nap�tí σ vyjad�uje ú�inek kohesních sil F vztažených na jednotku délky l povrchu volné hladiny (uzav�ené hranice):

lF

dd

=σ . (2.13)

Velikost povrchového nap�tí závisí jen na vlastnostech kapaliny a plynu a na jejich teplot�. P�i hydraulických výpo�tech ve v�tšin� p�ípad� velikost povrchového nap�tí zanedbáváme. V úvahách uvažujeme povrchové nap�tí pouze v souvislosti s kapilaritou (Kap. 2.7).

Tab. 2.2 Povrchové nap�tí vody na styku se vzduchem, modul objemové pružnosti a sou�initel tepelné objemové roztažnosti vody v závislosti na teplot� a tlaku

povrchové nap�tí

modul objemové pružnosti sou�initel tepelné objemové roztažnosti

103 σ K = 1/χ 104 β N/m GPa 1/°K

°C 0,1 MPa 0,1-0,5 MPa 5-10 MPa 0,1 MPa 10 MPa 20 MPa 50 MPa 90 MPa

0 75,6 1,866 1,942 0,14 0,43 0,72 1,49 2,29 20 73,5 2,030 2,160 1,50 1,65 1,85 2,36 2,89 40 69,6 2,184 2,184 4,22 4,22 4,26 4,29 4,57 60 66,2 2,155 2,155 5,56 5,48 5,39 5,23 5,14

100 2,052 2,052 7,19 7,04 6,80 6,61 6,61

2.7 Kapilarita Povrchové nap�tí zp�sobuje kapilární elevaci (zdvih), resp. depresi (snížení) kapaliny v trubicích malého pr�m�ru (kapilárách), v tenkých št�rbinách a také v pórech zemin a hornin (Tab. 2.3). Schopnost kapaliny m�nit vlivem povrchového nap�tí polohu hladiny v kapilárách nazýváme kapilarita. Kapilární výška je hodnota, o kterou hladina kapaliny v kapilá�e stoupne, resp. klesne oproti normální hladin�. Pro kruhovou trubici kapilární výšku ur�íme ze vztahu:

Dghkap ρ

ϕσ cos4= , (2.14)

kde σ je povrchové nap�tí, ϕ úhel smá�ení, ρ hustota kapaliny a D pr�m�r kapiláry.


- 12 (188) -

Tab. 2.3 Kapilární výšky vybraných zemin

druh zeminy kapilární výška [m] druh zeminy kapilární výška [m]

písky 0,03 - 0,1 sprašové hlíny 2,0 - 5,0 jemné písky 0,1 - 0,5 jílovohlinité zeminy do 10,0 hlinité písky 0,5 - 2,0 jíly p�es 50,0

2.8 Tepelná vodivost Hodnotou tepelné vodivosti λT charakterizujeme schopnost kapaliny vést teplo. Tepelná vodivost λT udává množství tepla, které projde za jednotku �asu krychlí o jednotkové hran� mezi dv�ma protilehlými st�nami, mezi nimiž je teplotní rozdíl 1°K, jsou-li ostatní st�ny krychle dokonale tepeln� izolovány. Pro vodu je sou�initel tepelné vodivosti λT p�i 20o C roven λT = 0,598 W/m/K.

2.9 Ideální kapalina P�i odvození n�kterých hydraulických jev� vycházíme ze zjednodušení, kdy zanedbáváme n�které fyzikální vlastnosti kapalin. Proto �asto p�i matematické analýze pohybu kapalin vycházíme z pojmu ideální kapalina. Ideální kapalina je:

� nestla�itelná; � objemov� stálá p�i zm�nách teploty; � neviskózní, takže v ní nep�sobí smyková nap�tí.

P�. 2.1 Barel o objemu V = 500 l, napln�ný vodou, byl uzav�en p�i teplot� t1 = 20oC. Jaký tlak nastane v barelu, pokud se voda v n�m oh�eje na teplotu t2 = 90oC za p�edpokladu, že nedojde k od�erpávání vody (barel je neprodyšn� uzav�en).

V20°C = 0,5 m3; �°

°C20

C20 =V

mρ

C20C20= °° Vm ρ = (998,20 * 0,5) kg; ρ20°C = 998,20 kg/m3 (Tab. 2.1); m = 499,10 kg. ρ80°C = 972,01 kg/m3 (Tab. 2.1);

K20°C = 2,03 GPa (Tab. 2.2); 3

C80C80 m

01,97210,499

==°

° ρm

V ;

∆ p = ? Pa. 3C80 m0,5135=°V ;

∆ V = V80°C - V20°C = 0,0135 m3.

�ešení: Podle rovnice (2.9) platí:

��

�

�

��

�

� ∆

C20C20C100

o

oo +1=K

pVV �

�

�

�

��

�

� ∆=∆C20o

+1K

pV ;


- 13 (188) -

Pa1003,25,0

0135,0== 9

C20C20

°°

∆∆ KV

Vp ;

MPa,8145=p∆ .

V barelu po oh�átí vody bude tlak o 54,81 MPa v�tší.

P�. 2.2 P�i zkoušce tlakového potrubí o délce L = 500 m a pr�m�ru D = 1,0 m klesl po 12 hodinách tlak v potrubí z 5,5 MPa na 5,0 MPa. Zjist�te kolik vody uniklo z potrubí.

L = 500 m; 32

0 m50044ππ == L

DV ;

D = 1,0 m; V0 = 392,699 m3. ∆ p = -0,5 MPa; K20°C = 2,03 GPa (Tab. 2.2).

�ešení: Podle rovnice (2.12) platí:

39

6

C200 m

1003,2105,0

1699,392=+1= ��

��

� −+��

��

� ∆

°Kp

VV ;

V = 392,602 m3;

∆V = V0 - V = 392,699 - 392,602 m3 = 0,097 m3.

Z potrubí vyteklo 97 l vody.

Kontrolní otázky

- Jmenujte základní fyzikální vlastnosti kapalin.

- Co je ideální kapalina?

3 Hydrostatika Hydrostatika se zabývá kapalinami, které se nepohybují (jsou v klidu) a jejich ú�inkem na tuhá t�lesa.

Na kapalinu obecn� zp�sobují síly vn�jší, objemové a vnit�ní:

- vn�jší síly - p�sobí na povrch kapaliny - nap�. atmosférický tlak, atd.,

- objemové síly - p�sobí na každý hmotný bod v daném objemu a jsou proto úm�rné hmotnosti kapaliny - nap�. tíha kapaliny, odst�edivá síla, atd.,

- vnit�ní síly - síly vzájemného p�sobení jednotlivých �áste�ek kapaliny.

Za klidu je výslednice všech t�chto sil nulová. V reálné kapalin�, která je v klidu, nevzniká t�ení a tato kapalina se chová jako ideální.


- 14 (188) -

3.1 Tlak v kapalin�

Uvažujme kapalinu bez pohybu (v klidu), která p�sobí na element plochy dA tlakovou silou dF. V kapalin� nep�sobí za rovnovážného stavu - v klidu smyková nap�tí. Kdyby se sm�r výsledné síly dF odchyloval od normály, mohli bychom sílu dF rozložit na složku normálovou (p�sobící kolmo na dA) a smykovou (p�sobící v rovin� plochy dA). Smyková složka by zp�sobila pohyb, za klidu však v kapalin� nep�sobí žádné t�ení (Odst. 2.3, p�i u = 0 m/s), které by jediné mohlo p�sobit proti smykové složce a udržovat ji tak v rovnováze.

Odtud plyne d�ležitý záv�r:

Síly, které p�sobí na libovolnou rovinnou plochu v kapalin� za klidu, musí být na tuto plochu kolmé.

Diferenciální pom�r:

AF

pdd

= (3.1)

nazýváme tlak kapaliny v daném bod�. Je-li tento tlak na celou plochu A konstantní (nap�. na vodorovné dno), m�žeme jej vyjád�it pom�rem:

AF

p = , (3.2)

kde F je normálová síla.

3.2 Neprom�nnost tlaku v r�zných sm�rech

Z kapaliny, která je v klidu, vytkneme nekone�n� malý klínový element (Obr. 3.1). Na tento element budou p�sobit ve sm�ru os y, z síly dFy, dFz a kolmo na plochu BCFE síla dFn. Velikosti t�chto sil budou:

dFy = py dx dz; dFz = pz dx dy, dFn = pn dx dn, Elementární síly ve sm�ru osy x na plochy ABC a DEF mají stejnou velikost, ale opa�ný sm�r, takže se vzájemn� ruší. A protože p�sobí kolmo na rovinu y z neovliv�ují podmínku rovnováhy sil v této rovin� y z.

Objem elementu bude:

dV = 21 dx dy dz.

a objemová síla, která p�sobí na element má velikost:

dG = ρ g dV = 2

ddd zyxgρ .

Síly dFy, dFz a dFn jsou nekone�n� malé veli�iny druhého stupn� a objemová síla dG je nekone�n� malá veli�ina t�etího stupn�, a proto jí m�žeme oproti nekone�n� malým veli�inám druhého stupn� zanedbat.

Hydrostatika

- 15 (188) -

A=0

B

C

x

y

z

dx

dy

dz

dFy

dFz

D F

E

nd

Fdn

α

α

Obr. 3.1 Tlak v libovolném bod� kapaliny

Rovnováhu sil do sm�r� os y a z m�žeme napsat:

dFy - dFn sin α = 0, dFz - Fn cos α = 0, py dx dz - pn dx dn sin α = 0, pz dx dy - pn dx dn cos α = 0, (3.3)

Protože:

dz = dn sin α a dy = dn cos α, m�žeme rovnice (3.3) napsat ve tvaru:

py dy dz - pn dy dz = 0, pz dx dy - pn dy dx = 0, a tedy:

nzy ppp == .

Protože sm�r n jsme zvolili zcela libovoln�, je tlak v libovolném bod� kapaliny, která je v klidu, ve všech sm�rech stejný.

3.3 Eulerova diferenciální rovnice rovnováhy v kapalin�

P�edpokládejme, že kapalina je v klidu. Dále si p�edstavme, že jsme z kapaliny vy�ali nekone�n� malý hranolek (Obr. 3.2) o velikosti stran dx dy dz. Aby nebyla porušena rovnováha, nahradíme p�sobení okolní kapaliny tlakovými silami. P�edpokládejme, že tlak na st�nu ABCD je p a jeho p�ír�stek ve sm�ru osy y na vzdálenosti dy (st�na EFGH) je:

yyp

d∂∂

.

Obdobn� bychom mohli ur�it tlaky i ve sm�ru ostatních os. Na hmotu kapaliny v hranolku dále p�sobí objemové síly, které mají výslednici dR a složky ve sm�ru os:

mfRd xx d= , mfRd yy d= , mfRd zz d= ,


- 16 (188) -

dm = ρ dx dy dz, kde dm je hmotnost kapaliny v hranolku, ρ hustota kapaliny a fx, fy, fz složky objemového zatížení vztaženého na jednotku hmotnosti (složky zrychlení objemových sil).

A

B

C

x

y

z

dxdy

dz

p

D H

E

F

G

T p + yd∂p∂y

dR

ϕ

Obr. 3.2 Zm�na tlaku v kapalin�

Podmínka rovnováhy ve sm�ru osy y:

0dddddddd =+��

��

�

∂∂

+− zyxfzxyyp

pzxp y ,

dává po úprav� a po dopln�ní o podmínky rovnováhy ve sm�ru osy y a z:

xfxp

=∂∂

, yfyp

=∂∂

, zfzp

=∂∂

, (3.4)

obecnou podmínku rovnováhy v kapalin�, kterou odvodil Leonard Euler.

První z rovnic (3.4) vynásobíme dx druhou dy a t�etí dx a se�teme:

( )zfyfxfzzp

yyp

xxp

zyx dddddd ++=∂∂

+∂∂

+∂∂

,

kde dx, dy a dz jsou složky elementárního posunu. Levá strana rovnice je úplný diferenciál dp a p�edstavuje celkový diferenciální p�ír�stek tlaku p�i p�echodu z bodu D po úhlop�í�ce hranolu do bodu F. Tedy

( )zfyfxfp zyx dddd ++= . (3.5)

Rovnice (3.5) dává smysl pouze tehdy, když výraz v závorce na pravé stran� p�edstavuje také úplný diferenciál n�jaké funkce U(x,y,z), kterou v mechanice nazýváme silovým potenciálem. Kapalina je v klidu pouze tehdy, když je možné odvodit složky objemového zatížení vztaženého na jednotku hmotnosti z potenciálu:

xU

f x ∂∂

= , y

Uf y ∂

∂= ,

zU

f z ∂∂

= .

Sou�iny ρ fx dx, ρ fy dy a ρ fz dz jsou elementární práce vykonané objemovými silami vztaženými na jednotku objemu (ρ fx, ρ fy a ρ fz) p�i posunu ve sm�ru úhlop�í�ky na dráze ds. Ozna�íme-li ϕ úhel, který svírá sm�r objemové síly ve sm�rech posunu, bude vykonaná práce p�i posunu dána rovnicí:

Hydrostatika

- 17 (188) -

( ) ϕcosddddd sfzfyfxfp zyx =++= ,

kde f je velikost výsledného objemového zatížení vztaženého na jednotku hmotnosti (velikost výsledného zrychlení objemových sil).

P�ír�stek tlaku v kapalin� v klidu se rovná práci složek objemové síly p�ipadající na hmotnost jednotky kapaliny p�i uvažovaném elementárním posunu.

3.4 Tlak v kapalin�, na níž p�sobí jen tíže

Máme ur�it tlak v bod� A s p�evýšením nad srovnávací rovinou z1, který je v hloubce h pod hladinou kapaliny v nádob� (Obr. 3.3). P�evýšení hladiny nad srovnávací rovinou je z2. Kapalina je gravita�ním poli Zem�, jejíž tíhové zrychlení g p�sobí proti sm�ru osy z. Tedy:

fx = 0, fy = 0, fz = - g.

x

y

z

A

h

B

z 1

z 2

p = pv2

p1

Obr. 3.3 Tlak v kapalin� na níž p�sobí jen tíže

Po dosazení do (3.5) obdržíme:

zgp dd −= ,

integrováním (uvažuje se nestla�itelná kapalina – ρ = konst.):

�� −=2

1

2

1

ddz

z

p

p

zgp ,

)( 1212 zzgpp −−=− a po formální úprav�:

21 phgp += ,

kde h = z2 – z1 a pv = p2 je vn�jší tlak p�sobící na povrch kapaliny.

Pro celkový statický tlak ps v kapalin�, která je v klidu platí:

vhs ppp += , (3.6)

kde

hgph = . (3.7)


- 18 (188) -

Rovnice (3.6) a (3.7) vyjad�uje hydrostatické rozložení tlaku v kapalin�. Statický tlak ps v libovolném bod� kapaliny, který p�sobí vlastní tíha, se rovná hydrostatickému tlaku ph zv�tšenému o vn�jší tlak na povrch kapaliny pv. Vn�jší tlak se p�enáší do všech bod� kapaliny nezm�n�nou hodnotou. Naproti tomu hydrostatický tlak ph roste úm�rn� s hloubkou h. Je-li ρ = konst., pak hydrostatický tlak roste s hloubku podle lineární závislosti.Vn�jší tlak je ve v�tšin� p�ípad� tlak atmosférický pa. Je to tlak plynného obalu Zem�, který nemá stálou hodnotu a uvádí se pr�m�rnou hodnotou pa = 101,325 kPa.

3.5 Rovové a hladinové plochy, spojité nádoby a Pascal�v teorém

Rovové plochy jsou plochy, na kterých je statický tlak konstantní.

P�i posunu po takové rov�ové ploše je tlakový p�ír�stek dp z rovnice (3.5) roven 0 (dp = 0 Pa). Rov�ová plocha musí být kolmá ke sm�ru výsledného zrychlení.

Hladinové plocha je rov�ová plocha tvo�ící povrch kapaliny.

Na Zemi mají hladinové plochy p�ibližn� kulový tvar (nap�. hladiny mo�í). Ve v�tšin� úvah však m�žeme malou �ást takové plochy v okolí ur�itého bodu nahradit vodorovnou rovinou.

Ve dvou otev�ených a navzájem spojených nádobách jsou dv� r�zné nemísící se kapaliny, které jsou v rovnováze (Obr. 3.4). Rovina, která rozd�luje ob� kapaliny, je plochou rovovou. Proto tlaky na této ploše musí být všude stejné, jinak by byla porušena rovnováha. Platí:

222111 hgphgp vv +=+ . (3.8)

A B

h 1 h 2

ρ2

1ρ

pv pv1

2F1

F2

p

A2

1A

G

pp

Obr. 3.4 Spojité nádoby Obr. 3.5 Hydraulický lis

Pascal�v teorém: Tlak kapaliny uzav�ené v malé nádob� a vystavené velkému vn�jšímu tlaku je stálý v celém rozsahu kapaliny. Síla F1 p�sobí na píst o plošném obsahu A1 tlakem

1

1

AFp = (Obr. 3.5). Tento tlak se ší�í rovnom�rn�

v celé kapalin� všemi sm�ry a druhý píst bude tedy vytla�ován silou F2 = p A2. Abychom udrželi píst v rovnováze, musíme na druhý píst p�sobit stejn� velkou silou opa�ného sm�ru G = F2:

Hydrostatika

- 19 (188) -

11 ApF = , 22 ApFG == , 2

1

2

1

AA

FF

= .

Síly, které p�sobí na písty, jsou úm�rné p�íslušným plochám. Pascal�v teorém se uplatní v technické praxi, nap�. p�i výpo�tu hydraulického lisu.

3.6 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plochy Na kapalinu, která je v klidu a na kterou p�sobí jen tíže, p�sobí ve všech bodech libovolné vodorovné roviny stejný tlak. A to proto, že každý bod takové roviny je ve stejné hloubce pod volnou hladinou. Vodorovné roviny jsou tedy plochy rov�ové (d p = 0 Pa). Obecn� je výslednice tlaku dána integrálem:

�=A

ApF d , p = ρ g h + pv. (3.9)

kde A je velikost zat�žované plochy. Jelikož se uvažuje vodorovná plocha, na které je stejný tlak (p = konst.), m�žeme rovnici (3.9) upravit na tvar:

ApApApFAA

=== �� dd .

Výsledná síla Fs, která p�sobí na celou uvažovanou vodorovnou plochu A, se rovná sou�inu této plochy a statického tlaku v libovolném bod� plochy A (Obr. 3.6):

AhgpAppF vhvs )()( ρ+=+= ,

Fs = Fv + F.

h

A

pv

vp

Fs

Fv Obr. 3.6 Tlaková síla na vodorovné dno nádoby

Jestliže ze vzdušní (druhé) strany plochy A p�sobí vn�jší tlak pv a tlaková síla od tohoto tlaku má velikost:

Fv = pv A, pak síla od hydrostatického tlaku - hydrostatická síla F:

AhgF ρ= (3.10) je zp�sobena pouze tíhou kapaliny. Tato hydrostatická síla F se rovná tíze sloupce kapaliny, jejíž základnou je plocha dna a výškou je jeho hloubka pod hladinou h. Tato v�ta platí pro nádobu jakéhokoliv tvaru. Na dno nádob podle Obr. 3.7 p�sobí stejná hydrostatická síla podle vztahu (3.10). Nezáleží tedy na tíze kapaliny obsažené v nádob�, která m�že být i menší než hydrostatická síla kapaliny na dno. Tento poznatek nazýváme hydrostatické paradoxon.


- 20 (188) -

h

A A A A A Obr. 3.7 Hydrostatické paradoxon

3.7 Tlaková síla kapaliny na rovinné plochy

Libovoln� naklon�nou rovinnou plochu v kapalin� si p�edstavujeme jako plochu složenou z nekone�ného po�tu malých plošek dA. Obecn� m�žeme �íci, že na každou plošku p�sobí tlak p, který se m�ní spojit� s hloubkou h plošky dA pod hladinou. P�i�emž tlak p = f(x , y, z) je kolmý na danou plošku dA.

3.7.1 Analytické �ešení

V rovin�, která je odklon�na od volné hladiny o úhel α, je plocha A a v ní elementární ploška dA, která leží v hloubce h pod hladinou. Tlak v této hloubce je:

p = pv + ρ g h a tlaková síla dF na nekone�n� malou plošku dA má velikost:

dF = (pv + ρ g h) dA .

hh C

Th

F

0,0

CT

T

C y

x

yC

yT

xCxT

e

A

α

α

dA

Fd

y

x

Obr. 3.8 Tlaková síla na rovinné plochy

Celková tlaková síla se ur�í integrováním v rozsahu plochy A podle (3.9):

�� +=+==A

vAA

vA

AhgApAhgApApF dddd .

Protože podle Obr. 2.8 je h = x sin α, bude:

�� ==AAA

AxAxAh dsindsind αα ,

Hydrostatika

- 21 (188) -

kde �A

Ax d je statický moment plochy A k její pr�se�nici s volnou hladinou

(osa y), který m�žeme vyjád�it sou�inem plochy A a vzdálenosti jejího t�žišt� xT od osy y:

AhAxAxAhAA

TTsindsind === �� αα .

Výsledná síla bude:

AhgpF v )( T+= . Vn�jší tlak pv je nej�ast�ji tlak vzduchu, který p�sobí i z druhé strany plochy A. Síly pv A p�sobící z obou stran nádoby jsou stejn� velké ale opa�ného smyslu a navzájem se tedy ruší. Z�stává jen silový ú�inek tíhy kapaliny - hydrostatická tlaková síla:

AhgF T= . (3.11)

Hydrostatická tlaková síla, která p�sobí na rovinnou plochu, se rovná sou�inu této plochy a hydrostatického tlaku v jejím t�žišti.

Protože všechny elementární síly dF jsou kolmé k ploše A, bude i výsledná síla kolmá k ploše A. Její p�sobišt� nalezneme z rovnosti moment� od výsledné hydrostatické tlakové síly F a díl�ích sil dF k osám x a y. Bod C je p�sobišt�m výsledné hydrostatické síly F. Momentová podmínka k ose y bude:

�� ==AA

AxgFxxF dsind 2C α ,

protože:

AxgF dsind α= a �=A

AxgF dsin α ,

bude:

T

22

Cd

d

dsin

dsin

xA

J

Ax

Ax

Axg

Axg

x y

A

A

A

A ===�

�

�

�

αρ

αρ. (3.12)

Vzdálenost p�sobišt� C výsledné hydrostatické tlakové síly F na danou plochu A od osy y se rovná podílu momentu setrva�nosti Jy plochy A k ose y a statickému momentu plochy A k téže ose. Nahradíme-li Jy momentem setrva�nosti JT k t�žiš�ové ose:

2TT xAJJ y += ,

obdržíme:

TT

TC x

xAJ

x += . (3.13)

P�sobišt� hydrostatické tlakové síly je tedy pod t�žišt�m zat�žované plochy, a to o hodnotu:

T

T

xAJ

e = , (3.14)


- 22 (188) -

kterou nazýváme excentricita. Tato excenticita vymizí pro vodorovné dno (xT = ∞) nebo pro oboustrann� úpln� pono�ené šikmé plochy a obecn�, je-li tla�ená plocha totožná s plochou rov�ovou. Jde-li o pom�rn� malé plochy, které leží dosti hluboko pod hladinou, bývá tento rozdíl zanedbatelný. Je-li plocha symetrická podle osy x, leží samoz�ejm� p�sobišt� C na této ose x. U nesoum�rné plochy musíme ješt� ur�it druhou sou�adnici p�sobišt� yC. Pomocí momentové v�ty k ose x bude:

�� ==AA

AyxgFyyF dsindC α ,

�

�

�

�==

A

A

A

A

Ax

Ayx

Axg

Ayxgy

d

d

dsin

dsin

C αρ

αρ,

T

,C xA

Dy yx= , (3.15)

kde Dx,y je devia�ní moment plochy A k osám x, y.

3.7.2 Horizontální a vertikální složka hydrostatické tlakové síly na rovinné plochy

P�i n�kterých úlohách je výhodné, známe-li vodorovnou (horizontální) a svislou (vertikální) složku hydrostatické tlakové síly. Ur�íme je rozkladem síly F do dvou sm�r� - vodorovného a svislého (Obr. 3.9):

vodorovná složka: αρα sinsin T AhgFFh == ,

vh AhgF Tρ= , (3.16) svislá složka: αρα coscos T AhgFFv == ,

hv AhgF Tρ= , (3.17) kde Av je pr�m�t plochy A do svislé roviny a Ah pr�m�t plochy A do vodorovné roviny.

Vodorovná složka hydrostatické tlakové síly se rovná hydrostatické tlakové síle na pr�m�t tla�ené plochy do svislé roviny kolmé k uvažovanému sm�ru. Svislá složka hydrostatické tlakové síly se rovná tíze svislého sloupce kapaliny nad tla�enou plochou až ke hladin�. Pravidlo o svislé složce platí i v p�ípad�, kdy sloupec vody nad tla�enou plochou není, svislá složka sm��uje vzh�ru, vzniká zde vztlak (Obr. 3.9 b).

Fh

vF

vA

hA

Fh

vA

F v

hAa) b)

Obr. 3.9 Grafické znázorn�ní vodorovné a svislé složky

Hydrostatika

- 23 (188) -

Výsledná hydrostatická síla F jde pr�se�íkem obou složek a její velikost je:

22vh FFF += . (3.18)

3.7.3 Grafické znázorn�ní hydrostatického tlaku na rovinné plochy s konstantní ší�kou pomocí zat�žovacích obrazc�

Pr�b�h hydrostatického tlaku m�žeme znázornit graficky. Velikost, p�sobišt� a sm�r hydrostatické tlakové síly na rovinnou plochu s konstantní ší�kou, která má horní a dolní hranu rovnob�žnou s hladinou, m�žeme obdržet pomocí tzv. zat�žovacího obrazce (Obr. 3.10). Zat�žovací obrazec obdržíme graficky tak, že v každém bod� uvažované zat�žované plochy vyneseme jeho hloubku h pod hladinou, a to ve sm�ru ve kterém p�sobí tlak, tj. na kolmici k uvažované ploše. Velikost díl�í hydrostatické tlakové síly je:

zii AbgF ρ= , (3.19) kde Azi je plošný obsah i-tého zat�žovacího obrazce. To znamená, že plocha zat�žovacího obrazce p�edstavuje hydrostatickou tlakovou sílu p�i ρ g b = 1. Hydrostatická tlaková síla na i-tou obdélníkovou plochu se dv�ma stranami rovnob�žnými s hladinou se rovná sou�inu m�rné tíhy kapaliny γ, ší�ky tla�ené plochy b a plochy zat�žovacího obrazce Azi. Díl�í výslednice prochází t�žišt�m Mi zat�žovacího obrazce Azi. Velikost výsledné hydrostatické tlakové síly F ur�íme vektorovým sou�tem díl�ích sil Fi.

F

C

T

h C

h T

T

b

M

F

F

F

1

3

2

b

Az

zA 3

2Az

A 2z

C

Obr. 3.10 Zat�žovací obrazce

Uvedený postup si osv�tlíme na p�íkladu obdélníkové st�ny o ší�ce b (Obr. 3.11). Vodorovná složka je dána tlakem na obdélník o výšce 51 a ší�ce b a zat�žovací obrazec A* bude lichob�žník 1567 (Obr. 3.11 a). Svislá složka je dána tíhou kapaliny o objemu V mezi zat�žovanou plochou a hladinou, jehož p�í�ným �ezem, tedy i zat�žovacím obrazcem A** je lichob�žník 1234. Velikosti složek obdržíme, násobíme-li zat�žovací obrazce m�rnou tíhou γ a ší�kou b:

*AbgFh ρ= , **AbgFv ρ= , (3.20)

22vh FFF += ,

h

v

FF

=αtg .

Jednotlivé složky procházejí t�žišt�m p�íslušného zat�žovacího obrazce. V p�ípad�, že složka sm��uje vzh�ru, hladina se uvažuje myšlená, vzniklá prodloužením skute�né hladiny (Obr. 3.11 b).


- 24 (188) -

A**

Fv

A*Fh

Fh

A*

F

Fv

hh

h

b

A**

b

myšlená hladina

1

2

34

56

7

h

a) b)

α

Obr. 3.11 Zat�žovací obrazce horizontální a vertikální složky hydrostatické tlakové síly

Je nutné ješt� jednou zd�raznit, že uvedený postup ur�ování tlakových sil pomocí zat�žovacího obrazce je možné použít pouze pro rovinnou plochu s konstantní ší�kou (nap�. obdélník nebo koso obdélník) a s vodorovnými stranami. U jiných rovinných obrazc�, jejichž ší�ka po výšce není konstantní, uvezené odvození neplatí.

3.8 Tlakové síly na zak�ivené plochy Elementární tlakové síly kapaliny, které jsou kolmé k p�íslušné elementární ploše, nebudou u zak�ivené plochy vzájemn� rovnob�žné. V obecném p�ípad� se nemusí protínat v jednom bod� a dávat jedinou výslednici. Jedinou výslednici obdržíme jen ve zvláštních p�ípadech. Nap�íklad v libovolné �ásti kulové plochy mají elementární tlakové síly sm�r pr�vodi��, protínají se ve st�edu koule a dávají svazek sil s výslednicí procházející st�edem koule. Jedinou výslednici dávají také síly, které p�sobí na válcovou plochu s vodorovnou nebo svislou osou (nap�. segmentové a válcové uzáv�ry, klapky, vodojemy, atd.).

A

B

Cx

y

z

D

A'

B'C'

D'

F

Obr. 3.12 Hydrostatická síla na zak�ivené plochy

Velikost hydrostatické síly F je ur�ena složkami Fx, Fy a Fz ve sm�ru jednotlivých sou�adných os (Obr. 3.12):

222zyx FFFF ++= .

Vodorovné složky Fx a Fy mají velikost:

yzTxx AhgF ρ= , xzTyy AhgF ρ= ,

kde hTx je hloubka t�žišt� pr�m�tu Ayz zat�žované plochy ABCD do roviny yz a hTy hloubka t�žišt� pr�m�tu Axz zat�žované plochy ABCD do roviny xz, ρ hustota tekutiny a g tíhové zrychlení.

Hydrostatika

- 25 (188) -

Svislá složka je dána:

GVgFz == ρ , kde V je objem hranolu se svislými st�nami, který je dole ohrani�ený zak�ivenou plochou ABCD a naho�e pr�m�tem A'B'C'D' zak�ivené plochy do hladiny a G je tíha tohoto hranolu.

Horizontální složky hydrostatické tlakové síly kapaliny p�sobící na zak�ivenou plochu se rovnají hydrostatické síle na pr�m�t plochy do svislé roviny kolmé na uvažovaný sm�r.

Vertikální složka hydrostatické tlakové síly je ur�ena tíhou sloupce kapaliny, omezeného dole plochou a naho�e svislou projekcí této plochy do volné hladiny.

Sm�r výsledné síly se vypo�ítá z odchylek:

FFx=αtg ,

F

Fy=αtg , FFz=αtg .

Zvláštním p�ípadem jsou válcové plochy, které mají tvo�ící p�ímky rovnob�žné s n�kterou z os. Dále budeme po�ítat tlakovou sílu na válcovou plochu s vodorovnou osou, které mají po výšce konstantní ší�ku b = konst. Výslednou sílu m�žeme ur�it pomocí vodorovné a svislé složky (Obr. 3.13). Tyto složky lze ur�it pomocí zat�žovacích obrazc�.

V p�ípad� segmentového uzáv�ru ší�ky b podle Obr. 3.13a je vodorovná složka ur�ená zat�žovacím trojúhelníkem 456 a svislá složka je rovna tíze kapaliny nad zat�žovanou plochou až do hladiny - obrazec 123. Jednotlivé složky a výslednici tlakové síly ur�íme podle (3.20).

α

Obr. 3.13 Uzáv�r a) segmentový, b) válcový

V p�ípad� válcového uzáv�ru ší�ky b podle Obr. 3.13b je vodorovná složka ur�ená zat�žovacím trojúhelníkem 567 a svislá složka je tlaková a vztlaková. Tlaková svislá složka p�sobí na plochu v �ezu ozna�enou jako 24 a p�íslušný zat�žovací obrazec je 234. Vztlaková svislá složka p�sobí na plochu ozna�enou jako 14 a p�íslušný zat�žovací obrazec je 1234. Platí:

*AbgFh ρ= ,

**vzvz AbgF ρ= , **tltl AbgF ρ= , tlvzv FFF += ,

22vh FFF += ,

h

v

FF

=αtg .


- 26 (188) -

3.9 Plování t�les

Fh hF

h 1

h 2

d 1A

dA2

dA

dFvz

Fd tl

Fd v

OOd

Obr. 3.14 Vztlak

Uvažujme pevné t�leso úpln� pono�ené do kapaliny, která se nepohybuje. T�leso udržujeme v rovnováze nap�. zav�šením. Hledejme výslednici tlakových sil kapaliny na toto t�leso.

Vodorovná složka tlakové síly v libovolném sm�ru se rovná hydrostatické tlakové síle na pr�m�t p�íslušné tla�ené plochy do svislé roviny kolmé k tomuto sm�ru. Jelikož pr�m�ty jsou totožné, p�sobí na n� vodorovné tlakové síly stejn� veliké, ale opa�ného sm�ru, které se navzájem ruší. To platí pro libovolný vodorovný sm�r.

Zbývá ur�it svislou složku. Zvolíme-li na povrchu t�lesa dv� elementární plošky dA1 a dA2 svisle nad sebou položené tak, aby jejich pr�m�ty dA do vodorovné roviny byly stejné. Svislé složky tlakových sil na tyto plošky jsou dány tíhami sloupc� kapaliny svisle nad nimi až k hladin�:

sm�rem dol�: dFtl = ρ g dA h1, sm�rem vzh�ru: dFvz = ρ g dA h2,

tedy výslednice:

dFv = ρ g dA' (h2 - h1) = ρ g dO, kde dO je objem vyšrafovaného elementárního hranolu. Integrací po celém povrchu t�lesa dostáváme svislou výslednici všech tlakových sil kapaliny na t�leso:

Fv = ρ g O, kde O je objem pono�eného t�lesa. Tím dospíváme ke známé a velmi d�ležité Archimédov� v�t�, která je z doby okolo roku 250 p�. n. l..

T�leso pono�ené do kapaliny je nadleh�ováno vztlakovou silou, která se rovná tíze kapaliny t�lesem vytla�ené.

Tuto v literatu�e používanou v�tu bychom však m�li p�eformulovat, jelikož se obecn� nemusí jednat o tíhu kapaliny t�lesem vytla�eným, ale o tíhu kapaliny o objemu pono�ené �ásti t�lesa. Jinými slovy, kapalina p�sobí na pono�ené t�leso vždy sm�rem vzh�ru vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny o objemu pono�ené �ásti t�lesa. Tato vztlaková síla prochází t�žišt�m pono�eného objemu t�lesa. Vztlaková síla má d�ležitou úlohu p�i plování t�les.

Na t�leso pono�ené do kapaliny p�sobí vlastní tíha t�lesa G ve sm�ru gravitace (tedy sm�rem dol�) v t�žišti t�lesa T a vztlaková síla Fvz sm�rem vzh�ru v t�žišti pono�ené �ásti t�lesa C:

Hydrostatika

- 27 (188) -

tt VgG ρ= , WgF ρ=vz , (3.21)

kde W je výtlak - objem pono�ené �ásti t�lesa, Vt objem t�lesa, ρt hustota t�lesa, ρ hustota kapaliny a g tíhové zrychlení.

V závislosti na vzájemném pom�ru velikostí t�chto dvou sil nastávají tyto p�ípady:

- t�leso klesá ke dnu (G > Fvz);

- t�leso se vznáší (G = Fvz);

- t�leso plave (G < Fvz).

Hloubka nejnižšího bodu t�lesa pod hladinou se nazývá ponor tn. Hladina protíná t�leso v ploše, kterou nazýváme plavební plochou a plavební osa je myšlená p�ímka, která jde t�žišt�m t�lesa T a p�sobišt�m vztlaku C.

Ponor plovoucího t�lesa se vypo�te z podmínky:

vzFG = .

Schopnost t�lesa vracet se po vychýlení o úhel α < 5 - 10o do p�vodní polohy, když p�estane p�sobit síla, která vychýlení zp�sobila, se nazývá stabilita plovoucích t�les. Stabilitu rozeznáváme statickou, kterou posuzujeme momentem p�i dané výchylce a dynamickou, kterou posuzujeme prací pot�ebnou k vychýlení t�lesa z rovnovážné polohy o ur�itý úhel. Za klidu má t�leso plovoucí na vod� nebo pod vodou plavební osu ve svislé poloze.

h

b

t nCT

h vz

h M

M

TC

M

C1

F

G

vz

αα

Obr. 3.15 Stabilita plovoucího t�lesa

Podmínky stability plovoucího t�lesa jsou následující:

- p�sobišt� vztlakové síly C je nad t�žišt�m t�lesa T,

- metacentrum M (pr�se�ík vztlakové síly s plavební osou) se nachází nad t�žišt�m t�lesa, p�sobišt� vztlakové síly C je pod t�žišt�m T a platí:

WJ

hvz0MCTC =<= , (3.22)

kde hvz je vztlaková výška a J0 je moment setrva�nosti plavební plochy vzhledem k podélné plavební ose, což je horizontální p�ímka procházející t�žišt�m plavební plochy ve sm�ru podélné osy plavidla. Vzdálenost TM se nazývá metacentrická výška hM. Bod M (metacentrum) musí být nad


- 28 (188) -

t�žišt�m T, má-li být plování stabilní. Metacentrická výška má být u zámo�ských dopravních lodí 0,3 až 0,7 m. Moment Ms, který vrací naklon�né plovoucí t�leso do p�vodní polohy, bude:

αρ sinTMWgM s = , αsinTMvzs FM = .

Tento vzorec se nazývá metacentrickým vzorcem stability. Jeho p�esnost je posta�ující p�i úhlech α < 5 - 10o. P�i v�tších úhlech α je tato závislost složit�jší.

P�. 3.1 Vypo�ítejte velikost a p�sobišt� tlakové síly, která p�sobí na obdélníkový uzáv�r (Obr. 3.16) o rozm�rech a = 1,0 m a b = 1,5 m umíst�ného v šikmé st�n�, která je odklon�na od vodorovné o úhel α = 65o. Uzáv�r má dolní hranu v úrovni dna a hloubka vody v nádrži je 2m.

a = 1,0 m; b = 1,5 m; tla�ená plocha: A = a b; h = 2,0 m; A = 1,0 * 1,5 = 1,5 m2. α = 60o; ρ = 1000 kg/m3; g = 9,81 m/s2; F = ? N; xC = ? m.

h

h T y

x T

Cx

b

yC

x

h C

α

C

a

T

0,0

A

hh C

Fh

vF

α

A

A h

vA

hh C

α

h

h C

Fh α

vF

F

hh 2

1

=h

h

Az

a)

d)

b)

c)

F

Obr. 3.16 Tlaková síla na obdélníkový uzáv�r

�ešení: poloha t�žišt�:

xT = 2sinah −

α; hT = h -

2a

sin α;

xT = 20,1

65sin0,2

0− = 1,707 m; hT = 2,0 -

20,1

sin 65o = 1,547 m.

a) Výpo�et hydrostatické tlakové síly podle rovnice (3.11) - Obr. 3.16 a): F = ρ g hT A ; F = 1000*9,81*1,547*1,5 = 22 764,11 N.

Hydrostatika

- 29 (188) -

Poloha p�sobišt� tlakové síly je ve svislé ose zat�žované plochy (osa x) a vzdálenost xC (3.13):

xC = TT

2

TT

3121

TT

T

12== x

xa

xxba

abx

xAJ

+++ ; hC = xC sin α;

xC = 707,1707,1*12

0,1 2

+ = 1,756 m; hC = 1,756 sin 65o = 1,591 m.

b) Výpo�et pomocí vertikální a horizontální složky tlakové síly (Obr. 3.16 b) - rovnice (3.16) a (3.17): vodorovná složka Fh = ρ g hT Av; Av = a b sin α = A sin α;

Fh = ρ g hT A sin α; Fh = 1000*9,81*1,547*1,50*sin 65o = 20 631,29 N;

svislá složka Fv = ρ g hT Ah; Ah = a b cos α = A cos α;

Fv = ρ g hT A cos α; Fv = 1000*9,81*1,547*1,50*cos 65o = 9 620,53 N;

výsledná tlaková síla 22= vh FFF + ; 22 53,620929,63120= +F = 22 764,11 N.

c) Výpo�et tlakové síly pomocí zat�žovacího obrazce (Obr. 3.16c) - rovnice (3.19): plošný obsah zat�žovacího obrazce:

Az = 2

21 hha

+; h1 = h - a sin α; h2 = h;

Az = 2

sin2 αaha

−;

Az = 2

65sin0,10,2*20,1

o− = 1,547 m2;

velikost tlakové síly: F = ρ g b Az;

F = 1000*9,81*1,50*1,547 = 22 764,11 N.

P�sobišt� tlakové síly prochází t�žišt�m zat�žovacího obrazce.

d) Výpo�et tlakové síly pomocí zat�žovacího obrazce (Obr. 3.16d) - rovnice (3.20):

A* = 22 )sin(21

21 αahh −− ;

A* = 0,5*2,02 - 0.5*(2,0-1,0*sin 65o) 2 = 1,402 m2;

A** = ααα cossin21

cos 2aha − ;

A** = 1,0*2,0*cos 65o- 0,5*1,02*sin 65o*cos 65o = 0,654 m2;

Fh = ρ g b A*; Fv = ρ g b A **;

Fh = 9810*1,5*1,402 = 20 630,43 N; Fv = 9810*1,5*0,654 = 9 623,61 N;

F = 22vh FF + ;


- 30 (188) -

F = 22 61,623943,63020 + = 22 764,63 N.

P�sobišt� složek sil prochází t�žišti jednotlivých zat�žovacích obrazc�.

P�. 3.2 Na válcový uzáv�r o pr�m�ru D = h = 2,2 m p�sobí voda (Obr. 3.17). Vypo�ítejte velikost tlakové síly F na 1m' b�žný ší�ky uzáv�ru (b = 1m).

D = 2,2 m; b = 1 m; ρv = 1000 kg/m3;

g = 9,81 m/s2; F = ? N.

α

Obr. 3.17 Válcový uzáv�r

�ešení: Protože se jedná o válcovou plochu s vodorovnou osou, která má po výšce konstantní ší�ku b = konst = 1 m, lze výslednou sílu ur�it pomocí vodorovné a svislé složky, a to pomocí zat�žovacích obrazc�: A* = 0,5 D2 = 0,5*2,22 m2; A* = 2,42 m2;

22222

**12341 m1

4*2,2*

41

=144

1=

41

441

= ��

��

��

��

� +π��

��

� +π+πDD

DA ;

;16,2 2**12341 m=A

22

22

2**2342 m

42,2*

-2,241

=4D

-D41

= ��

��

��

��

� π��

��

� πA ;

;260,0 2**2342 m=A

vodorovná složka Fh = ρv g b A* = 23,740 kN; svislá složka - vztlaková **

12341vvz AbgF ρ= = 21,190 kN;

- tlaková **2342vtl AbgF ρ= = 2,551 kN;

Fv = Fvz - Ftl = 18,639 kN;

výsledná síla 2v

2h= FFF + ;

F = 30,183 kN;

výsledná síla F svírá s vodorovnou úhel α ==cos h α�αFF

38,137o;

p�sobišt� síly F pod hladinou =sin22

=c α+ DDh 1,779 m.

Hydrostatika

- 31 (188) -

TC

sm�r

pohybuP�. 3.3 Zjist�te ponor tn d�ev�ného kvádru a dále ur�ete, zda-li plave ve vod� stabiln�. Ší�ka kvádru je 0,8 m, délka 2,0 m a výška 0,3 m. D�evo má m�rnou hmotnost ρd = 800 kg/m3.

ρ = 1 000 kg/m3; ρd = 800 kg/m3; g = 9,81 m/s2; a = 2,0 m; Obr. 3.18 Plování d�ev�ného kvádru b = 0,8 m; c = 0,3 m; tn = ? m.

�ešení: Hloubka nejnižšího bodu plovoucího t�lesa tn (ponor) se vypo�te z porovnání vztlakové síly a tíhy kvádru (Obr. 3.18):

Fvz = G; ρ g W = ρd g Vt; Vt = a b c; W = a b tn;

ρ g tn = ρd g c; � 3,01000800

== ct dn ρ

ρ m = 0,24 m.

Stabilita plování. T�žišt� T (t�žišt� t�lesa) leží nad p�sobišt�m vztlakové síly C (t�žišt� výtlaku) na ose symetrie, a to v hloubce (Obr. 3.17):

==T 2c

z 0,15 m; =2

=Cntz 0,12 m;

vztlaková výška je: hvz = zT - zC = 0,15 - 0,12 = 0,03 m.

Jelikož T leží nad C, plování bude stabilní, bude-li platit (3.22):

WJ 0=MC ; 3baJ

121

=0 ; W = a b tn ;

24,0*128,0

=12

=MC22

ntb = 0,22 m;

MC = 0,22 m > hvz = 0,03 m � plování je stabilní.

Ponor d�ev�ného kvádru je 0,24 m a plave stabiln�.

Kontrolní otázky - Co je to hydrostatický tlak? - Jak je definován celkový statický tlak? - Co je to rov�ová plocha? - Jaký sm�r mají síly, které p�sobí na libovolnou rovinnou plochu

v kapalin� za klidu? - Kdy je plavání t�lesa stabilní?


- 32 (188) -

4 Hydrodynamika Na rozdíl od hydrostatiky jsou pom�ry p�i pohybu tekutin složit�jší a jejich matematická formulace obtížn�jší. �asto proto používáme k výpo�t�m zjednodušená schémata dopln�ná opravnými sou�initeli. Vycházíme z rozboru pohybu ideální kapaliny, p�i�emž zavádíme pojem proudového vlákna.

Hydrodynamika se zabývá pohybem kapalin a jejich p�sobením na tuhá t�lesa p�i vzájemném relativním pohybu.

Definujme n�které základní termíny:

proudnice - nazýváme �áry vedené proudící ideální kapalinou tak, že v každém míst� má jejich te�na sm�r souhlasný se sm�rem rychlosti v tomto míst�. P�i ustáleném pohybu jsou proudnice totožné s drahami jednotlivých �áste�ek kapaliny;

proudová trubice - uvažujeme-li v kapalin� nekone�n� malou uzav�enou k�ivku (plošku dA) a vedeme každým bodem jejího obvodu p�íslušnou proudnici, vytvo�í tyto proudnice proudovou trubici;

proudové vlákno - kapalinu uzav�enou v proudové trubici nazýváme proudové vlákno. P�i ustáleném proud�ní je proudové vlákno tvo�ené stále stejnými �ásticemi kapaliny, a proto je proudové vlákno východiskem teoretického vyšet�ování pohybu.

pr�to�ný profil - rovinný �ez vedením proudu, kolmý k jeho podélné ose a charakterizující jeho tvar, který kapalina zaujímá nebo m�že zaujmout, je pr�to�ný profil. Pr�to�ný profil m�že být:

- otev�ený - �eka; - uzav�ený - potrubí, stoka, propustek, atd.;

bodová rychlost u = u(x,y,z,t) - okamžitou rychlost tekutiny v daném bod� nazýváme bodová rychlost. Bodovou rychlostí ur�ité �ástice rozumíme dráhu l, kterou tato �ástice urazí za jednotku �asu t:

tl

udd

= ; (4.1)

st�ední bodová rychlost u je definována jako vyrovnaná hodnota bodové rychlosti v dlouhém �asovém intervalu T:

�=T

tuT

u0

d1

;

pr�to�ný pr��ez (pr�to�ná plocha) A - plošný obsah �ezu proudu plochou kolmou v každém bod� k vektoru bodové rychlosti u;

Hydrodynamika

- 33 (188) -

pr�tok (objemový pr�tok) - objem kapaliny, který prote�e pr�to�ným pr��ezem za jednotku �asu:

�A

AuQ d= ; (4.2)

hmotnostní pr�tok - hmotnost kapaliny, která prote�e pr�to�ným pr��ezem za jednotku �asu:

�A

m AuQ d= ρ ;

pr��ezová rychlost v - st�ední hodnota rychlosti v pr�to�ném pr��ezu. Je definována tak, že vynásobíme-li její hodnotou pr�to�ný pr��ez A, dostaneme pr�tok Q:

AvQ = ; A

Au

v A� d

= ; (4.3)

proud�ní ustálené - p�i ustáleném (stacionárním, permanentním) proud�ní jsou hydraulické veli�iny (pr�tok, pr��ezová rychlost, pr�to�ná plocha) v �ase nem�nné, a závisí pouze na poloze. M�žeme tedy psát:

rychlost: u = f(x, y, z); tlak: p = f(x, y, z); neustálené - neustálené (nestacionární, nepermanentní) proud�ní

je takové, kde hydraulické veli�iny jsou funkcí �asu a polohy:

rychlost: u = f(x, y, z, t); tlak: p = f(x, y, z, t); proud�ní rovnom�rné - rovnom�rné proud�ní je zvláštním p�ípadem

pohybu ustáleného, p�i kterém jsou pr�to�né pr��ezy na celém úseku konstantní (A1 = A2 = ... = konst.). Protože je p�i pohybu ustáleném i pr�tok Q konstantní, pr��ezové rychlosti jsou také konstantní (v1 = v2 = ... = konst.), to nastává nap�. p�i konstantním sklonu dna koryta, nem�nných p�í�ných profilech a drsnostech vedení;

nerovnom�rné - p�i nerovnom�rném ustáleném proud�ní jsou hydraulické veli�iny konstantní v �ase, ale pr��ezová rychlost a pr�to�ná plocha se m�ní po délce proudu, což je dáno nap�. prom�nným sklonem dna koryta, prom�nných p�í�ných profilech a drsnostech, atd.

Ustálené a neustálené proud�ní si m�žeme p�edstavit na p�íkladu výtoku kapaliny z nádrže:

- je-li výtok z nádrže stejný jako p�ítok do ní, nem�ní se poloha hladiny v nádrži, na které je závislé odtokové množství a proud�ní je ustálené;

- naopak, není-li p�ítok do nádrže stejný jako odtok, dochází ke zm�n� polohy hladiny, což vyvolá zm�nu odtokového množství. Jedná se o pln�ní nebo prázdn�ní nádrže a proud�ní je neustálené.

Jiným p�íkladem m�že neustáleného proud�ní m�že být pr�chod povodn�, kdy se pr�tok Q(x,t) v �ase m�ní. Proud�ní ustálené rovnom�rné m�žeme pozorovat na upravených tocích nebo um�lých náhonech stálého pr��ezu (p�í�ného profilu) a konstantního sklonu


- 34 (188) -

dna koryta. Hladina je p�i tomto proud�ní rovnob�žná se dnem. Nerovnom�rné ustálené proud�ní je nap�íklad v p�irozených tocích, kde vzniká vzdutí (nap�. jezem) nebo snížení - sklon dna není rovnob�žný se klonem hladiny a sklony dna i hladiny nejsou konstantní.

Dále je zapot�ebí upozornit na roz�len�ní proud�ní z hlediska tlakových pom�r�: - proud�ní s volnou hladinou, kde povrch hladiny je v bezprost�edním

kontaktu s ovzduším, na hladinu p�sobí atmosférický tlak. Je to proud�ní v otev�ených pr�to�ných profilech, to je v korytech �ek, kanál� a žlabech. Ale i v uzav�ených profilech (v potrubí, ve stokových pr��ezech, v propustcích) pokud nejsou celé zapln�ny kapalinou;

- proud�ní tlakové, které je v uzav�ených profilech, p�edevším v potrubích, když kapalina protéká plným pr��ezem a v každém míst� je tlak r�zný od atmosférického. P�íkladem je potrubí, kterým se vede voda z vodojemu ke spot�ebiteli. Tlakové pom�ry ukazuje tlaková �ára, která udává ve všech profilech potrubí hodnotu tlakové (piezometrické) výšky;

- proudové paprsky, které jsou ohrani�eny kapalným nebo plynným prost�edím a pohybují se v n�m bu vlastní tíhou nebo setrva�ností vlivem po�áte�ní rychlosti. P�íkladem m�že být paprsek vytékající z požární hadice.

4.1 Rovnice kontinuity v 1D Rovnice (spojitosti) kontinuity je diskrétním vyjád�ením zákona zachování hmotnosti.

po�áte�níhladina

hladinaza �as dt

dx

h

tth

d∂∂

ttA

d∂∂

xxA

d∂∂

Obr. 4.1 Kontinuita neustáleného proudu - 1D

Ze zákona zachování hmotnosti plyne, že �asová zm�na (zm�na za jednotku �asu)

tm

∂∂ hmotnosti m:

xAm dρ= (4.4) obsažená v infinitesimálním objemu xA d je rovna rozdílu hmotnosti mp p�itékající vody Qp a mo odtékající vody Qo:

op mmttm

-d =∂∂

. (4.5)

Pomocí vztahu (4.4) m�žeme zm�nu hmotnosti v �ase vyjád�it:

Hydrodynamika

- 35 (188) -

xttA

ttm

dd)(

d∂

∂=∂∂ ρ

. (4.6)

Hmotnost p�itékající mp a odtékající mo vody je:

tvAm p dρ= a txx

vAtvAmo dd

)(d

∂∂+= ρρ . (4.7)

Dosazením rovnic (4.6) a (4.7) do (4.5) se obdržíme:

��

��

�

∂∂+=

∂∂

txx

vAtvAtvAxt

tA

dd)(

d-ddd)( ρρρρ

,

txx

vAxt

tA

dd)(

-dd)(

∂∂=

∂∂ ρρ

a po úprav�:

xvA

tA

∂∂=

∂∂ )(

-)( ρρ

, resp. 0)()( =

∂∂+

∂∂

xvA

tA ρρ

. (4.8)

Zavedením Q = A v má rovnice (4.8), která je diskrétním vyjád�ením zákona zachování hmotnosti (bez uvažování bo�ních p�ítok�, srážek, výparu a infiltrace, …), v p�ípad� jednorozm�rného proud�ní tvar:

0)()(

=∂

∂+

∂∂

xQ

tA ρρ

, (4.9)

kde A je pr�to�ný pr��ez, Q je pr�to�né množství a h hloubka vody (vzdálenost od nejnižšího místa pr�to�ného profilu po hladinu). Pro nestla�itelnou kapalinu (ρ = konst.) nabude rovnice kontinuity (4.9) tvar:

0=∂∂+

∂∂

xQ

tA

. (4.10)

P�i ustáleném proud�ní odpadají �asové zm�ny ( 0=∂∂

tA ), tedy p�ír�stek Q

na dráze dx je nulový ( 0=∂∂

xQ ) a Q = konst. Rovnice spojitosti nestla�itelné

kapaliny v jednodimenzionálním ustáleném proud�ní nabývá tvaru (objemový tvar rovnice kontinuity):

Q = v1 A1 = v2 A2 = v3 A3 = konst. 1

221 =

AA

vv� , (4.11)

kde indexy (1, 2, 3, ... ) se vztahují k jednotlivým profil�m.

V p�ípad� ustáleného proud�ní stla�itelné kapaliny (ρ ≠ konst.) nabude rovnice kontinuity tvaru (hmotnostní tvar rovnice kontinuity):

0)(

=∂

∂x

vAρ => Qm = ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 = ρ3 v3 A3 = konst. (4.12)


- 36 (188) -

4.2 Bernoulliho rovnice

4.2.1 Bernoulliho rovnice

Uvažujme ustálený proud ideální kapaliny, ve kterém vytkneme na proudnici ψ elementární vále�ek o základn� dA a délce dl (Obr. 4.2).

Na elementární vále�ek nech� p�sobí jen tíha kapaliny. Složku zrychlení ve sm�ru pohybu zp�sobenou zm�nou rychlosti ozna�me jako podélné zrychlení. Protože bodová rychlost u závisí na �ase t a na dráze l (4.1), která je u tekutin funkcí �asu, musíme zapsat úplnou derivaci:

lu

utu

tl

lu

tu

tu

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=dd

DD

, protože utl

=dd

, (4.13)

kde u je bodová rychlost a tu

DD Stokesova (substanciální, materiálová) derivace,

která se skládá z lokální složky tu

∂∂ , která vyplývá z �asové zm�ny rychlosti

v p�vodním míst�, a z konvektivní složky luu ∂

∂ , která vzniká tím, že �ástice

proudí do místa, kde je jiná rychlost.

z

y

dz

mg

ϕ

dA

ψ

dlp

pp

l+ ∂

dl∂

Obr. 4.2 Elementární vále�ek proudového vlákna pro odvození Bernoulliho rovnice

Lokální zm�na rychlosti je zm�na rychlosti podle �asu v témž míst� a konvektivní zm�na rychlosti je sou�in rychlosti a její zm�ny podél dráhy.

Konvektivní složku m�žeme p�epsat do tvaru:

��

��

�

∂∂=

∂∂

2

2ull

uu . (4.14)

Hmotnost elementárního vále�ku je:

m = ρ dA dl. (4.15) P�i pohybu na tento elementární vále�ek p�sobí ve sm�ru pohybu následující síly:

a) složka vlastní tíhy:

ϕρϕ cosddcos glAgm −=− , (4.16) b) tlak na �elní st�nu:

p dA, (4.17) c) tlak na druhou �elní st�nu:

Hydrodynamika

- 37 (188) -

Allp

ApAllp

p ddddd∂∂

+=��

��

�

∂∂

+ , (4.18)

d) t�ení na plášti nep�ipadá v úvahu, protože p�edpokládáme ideální kapalinu.

Výslednice sil (4.16) - (4.18) je:

Allp

glA

Allp

ApApglA

ddcosdd

dddcosdd

∂∂−−=

=∂∂−−+−

ϕρ

ϕρ. (4.19)

Z rovnováhy vn�jších sil a síly setrva�né dostaneme podle d'Alambertova principu, který �íká, že setrva�né síly jsou v rovnováze s p�sobícími vn�jšími silami a mají opa�ný smysl než výslednice p�sobících sil (druhý Newton�v pohybový zákon):

tu

mFDD

= . (4.20)

Dosazení (4.19), (4.15) a (4.13) do (4.20) obdržíme:

��

��

��

��

�

∂∂+

∂∂=

∂∂−−

2ddddcosdd

2ult

ulAAl

lp

glA ρϕρ .

vn�jší síly = hmotnost x zrychlení

Úpravou a d�lením ρ vztáhneme tento výraz k jednotce hmotnosti:

02

1cos

2

=��

��

�

∂∂+

∂∂

+∂∂

+ ult

ulp

g ϕ . (4.21)

Z Obr. 4.2 vidíme, že:

lz

dd

cos =ϕ

a m�žeme p�epsat (4.21) do tvaru:

02

2

=∂∂

+��

��

�++

∂∂

tuup

zgl

.

Jelikož se p�edpokládá ustálené proud�ní, odpadne �asová závislost 0=∂∂

tu

a všechny �leny této rovnice jsou derivacemi podle l, takže se mohou integrovat podél proudnice:

konst.2

2

=++ upzg ,

což je Bernoulliho rovnice. Obvykle se Bernoulliho rovnice vztahuje v technických �ešení k jednotce tíhy tím, že rovnici d�líme g. Dále je obvyklé, že se sou�adnice z nahrazuje polohovou výškou h, tedy obdržíme:

konst.2g

2

=++g

uph


- 38 (188) -

Protože h je polohová (geodetická) výška uvažované �ástice nebo t�žišt� pr�to�ného pr��ezu nad libovolnou srovnávací rovinou, musí i ostatní dva �leny mít rozm�r výšky. Výraz

gp nazýváme tlakovou výškou a

gu2

2

rychlostní výškou.

Bernoulliho rovnice pro ustálené proud�ní ideální kapaliny �íká, že pro všechny pr��ezy ur�itého proudového vlákna je sou�et polohové, tlakové a rychlostní výšky stálý:

gu

gp

hg

ug

ph

2=

2

222

2

211

1 ++++ρρ

. (4.22)

Jinak lze také �íci, že sou�et polohové, tlakové a pohybové energie p�íslušející jednotce tíhy pr�toku ideální kapaliny je stálý pro všechny pr��ezy. Bernoulliho rovnice vyjad�uje zákon zachování mechanické energie proudu ideální kapaliny.

Pro skute�ný proud kapaliny a p�íslušný pr��ez bodovou rychlost u nahradíme pr��ezovou rychlostí v a nerovnom�rné rozd�lení rychlosti v profilu se zohlední Coriolisovým �íslem α. Coriolisovo �íslo vyjad�uje podíl skute�né kinetické energie Ek v pr��ezu stanovené z bodových rychlostí ku kinetické energii vyjád�ené z pr��ezové rychlosti:

Av

AuA

3

3 d=�

α .

�íselná hodnota Coriolisova �ísla se podle pokus� pohybuje u potrubí a pravidelných koryt v mezích 1,02 až 1,20, nej�ast�ji se blíží hodnot� α = 1,10, i když m�že být podstatn� vyšší (u laminárního pohybu v potrubí je α = 2,0). Obecn� se Coriolisovo �íslo liší pr��ez od pr��ezu, nej�ast�ji však pro daný proud uvažujeme stálou hodnotou. V n�kterých výpo�tech se spokojujeme s hodnotou α ≈ 1,0 (což odpovídá ideální kapalin�).

P�i pohybu vazké kapaliny dochází v kapalin� k vnit�nímu t�ení a t�ení o st�ny vedení. �ást mechanické energie se m�ní v jiné formy energie (p�evážn� tepelnou). Tato p�em�na energie je z hydraulického hlediska ztráta a zna�íme ji hz. Bernoulliho rovnice pro skute�nou kapalinu, která se považuje za nestla�itelnou, ale uvažuje se vnit�ní t�ení, má tvar (Obr. 4.3):

z

222

2

211

1 2=

2h

gv

gp

hgv

gp

h +++++α

ρα

ρ , (4.23)

kde indexy (1, 2) se vztahují k jednotlivým profil�m (Obr. 4.3) a hz je ztrátová výška, která vyjad�uje úbytek energetické výšky mezi dv�ma pr��ezy proudu.

Hydrodynamika

- 39 (188) -

Obr. 4.3 Grafické znázorn�ní Bernoulliho v�ty pro vlákno skute�né kapaliny

Kdybychom potrubí navrtali a p�ipojili k n�mu svislé trubky naho�e otev�ené (piezometrické trubky), ustavila by se v nich hladina ve výši

gp , která udává

tlakovou výšku v p�íslušném pr��ezu. Spojnice všech koncových bod� t�chto tlakových výšek se nazývá tlakovou �árou. Vyneseme-li nad tlakovou �áru v každém pr��ezu p�íslušnou rychlostní výšku a takto získané body spojíme, dostaneme �áru energie, která je m��ítkem mechanické energie vztažené na jednotku tíhy pr�toku v pr��ezu.

4.2.2 P�íklady použití Bernoulliho rovnice

K m��ení rychlostí v proudu m�žeme použít Pitotovy trubice (Obr. 4.4), která je v p�vodním tvaru trubice ohnutá do pravého úhlu a na obou koncích otev�ená. Nastavuje se otvorem sm�rem proti proudu v p�íslušném míst� kapaliny, kde chceme m��it bodovou (skute�nou) rychlost u. Ve svislém rameni pak vystoupí voda do úrovn� "3". Toto p�evýšení ur�íme použitím Bernoulliho rovnice pro body "1" a "2" proudového vlákna proti vodorovné trubici. V bod� "1" proudí kapalina tém�� nerušenou p�vodní rychlostí u, kdežto v �elním otvoru "2" je rychlost nulová, voda trubici obtéká a v trubici se voda nepohybuje. Za p�edpokladu, že nebudeme uvažovat ztráty, má Bernoulliho rovnice pro body "1" a "2" tvar:

gu

gp

hg

ug

ph

2=

2

222

2

211

1 ++++ρρ

,

protože u2 = 0 a h1 = h2 , z�stane u = u1 , tedy:

Hg

ppg

u =−

=ρ

122

2,

kde H je p�evýšení hladiny v Pitotov� trubici nad hladinou proudu. Ukazuje tedy rychlostní výšku místní rychlosti. Hledaná rychlost má velikost:

Hgu 2= , nebo p�esn�ji Hgu 2ϕ= , (4.24)

kde ϕ je opravný sou�initel, který je závislý na konstrukci trubky a ur�í se tárováním. K m��ení pr�toku v potrubí se používá venturimetr (vodom�r - Obr. 4.5). Proud se v n�m zužuje z p�vodního pr�m�ru D1 na pr�m�r D2 v hrdle a poté se op�t pozvoln� rozši�uje na p�vodní velikost. Zúžením se zv�tšuje rychlost na újmu tlaku, to


- 40 (188) -

ukazuje Bernoulliho rovnice, zapíšeme-li ji pro pr��ez "1" p�ed zúžením a pro pr��ez "2" v hrdle. P�i zanedbání ztrát na krátké vzdálenosti, Bernoulliho rovnice má tvar:

gv

gp

hgv

gp

h2

=2

222

2

211

1

αρ

αρ

++++ ,

a pro α = 1, h1 = h2 a Hg

pg

p =− ρρ21 nabude Bernoulliho rovnice tvaru:

)(21

= 21

22 vv

gH − , (4.25)

kde H je rozdíl tlakových výšek, který ode�teme na piezometrických trubicích. Tato rovnice má dv� neznámé (v1a v2), a proto musíme nalézt druhou nezávislou rovnici, tak abychom systém uzav�eli. Touto druhou rovnicí bude rovnice spojitosti, která má pro profily "1" a "2" tvar:

v1 A1 = v2 A2 , 21

22

21

221 ==

DD

vAA

vv . (4.26)

Nyní máme dv� nezávislé rovnice o dvou neznámých, které mají práv� jedno �ešení. Substitucí (4.26) do (4.25) a po úprav� obdržíme:

41

42

2

1

2=

D

D

Hgv

− a

41

42

222

1

2=

D

D

HgAvAQ

−= .

Protože jsme p�i odvození tohoto vztahu zanedbali ztráty, bude p�esn�ji:

41

42

2

1

2

D

D

HgAQ

−= ϕ , (4.27)

kde ϕ je sou�initel podmín�ný ztrátami ve venturimetru. U normalizovaných tvar� jej m�žeme nalézt v tabulkách, jinak se ur�í tárováním. P�i velkých tlakových výškách, jaké jsou na vodovodech, by nebylo prakticky možné použít piezometrických trubic naho�e otev�ených, které by musely být i n�kolik desítek metr� vysoké. Protože však nepot�ebujeme znát absolutní hodnoty tlak�, ale pouze jejich rozdíl, používají se v praxi diferenciální manometry napln�né rtutí.

Obr. 4.4 Pitotova trubice Obr. 4.5 Venturimetr

Hydrodynamika

- 41 (188) -

4.3 V�ta o hybnosti (impulsová v�ta)

Další základní v�tou hydrodynamiky je v�ta o hybnostech. Jedná se vlastn� o p�izp�sobení impulsové v�ty z mechaniky hmotného bodu na ustálený proud kapaliny. P�i jejím použití uvažujeme jen ú�inky na omezený výsek proudu, nemusíme p�itom znát ani podrobnosti proud�ní, ani ztráty, které v tomto úseku vznikají. Musíme však znát všechny síly, které na kapalinu ve výseku proudu p�sobí.

P�sobí-li na hmotný bod o hmotnosti m stálá síla F, m�ní se rychlost u. Protože se jedná o vektory, jsou ozna�eny siln�. Podle Newtonova zákona platí:

tm

DD u

F = .

Integrací v �asovém intervalu od t1 do t2 , v n�mž se vektor rychlosti m�ní z u1 na u2, dostaneme:

)()( 1212 ttm −=− Fuu . Sou�in hmoty a rychlosti je definován jako hybnost daného bodu, sou�in síly a �asového intervalu jako impuls síly.

P�ejdeme-li od hmotného bodu k ustálenému proud�ní kapalin, je ú�elné zvolit �asový interval t2 - t1 rovný jedné sekund�. Každým pr��ezem prote�e za tuto dobu hmota ρ Q, jejíž hybnost je ρ Q u. Pon�vadž jsme p�ešli od bodové rychlosti k pr��ezové, tedy od nerovnom�rného rozd�lení rychlosti v pr��ezu k fiktivnímu pr�m�rnému, zavádí se p�i výpo�tech korek�ní sou�initel β (Boussinesqovo �íslo). Boussinesqovo �íslo tedy vyjad�uje vliv nerovnom�rného rozd�lení rychlosti na velikost hybnosti proudu. V pravidelných pr�to�ných profilech se �asto dosazuje β ≈ 1.

Vyjmeme-li z proudu kapaliny �ást ohrani�enou pevnými st�nami (dno, b�ehy, atd.) a dv�ma pr�to�nými profily "1" a "2", v nichž jsou vektory pr��ezových rychlostí v1 a v2, m�žeme psát:

=− Fvv )( 12Qρβ , (4.28)

kde Σ F zna�í vektorový sou�et všech vn�jších sil p�sobících na uvažovaný výsek proudu kapaliny. Tím jsme obdrželi v�tu o hybnostech v proudu kapaliny, která vyjad�uje výslednici vn�jších sil p�sobících na zvolený výsek proudu jako rozdíl hybností ρ Q v sekundového pr�toku v kone�ném a vstupním pr��ezu tohoto výseku.

Rovnice (4.28) je zápisem v�ty o hybnosti �ili impulsové. Je to vztah vektorový, na rozdíl od Bernoulliho rovnice, která vyjad�uje bilanci energetickou. Bernoulliho rovnici používáme tam, kde jsou ztráty mechanické energie zanedbateln� malé nebo kde dovedeme ur�it jejich velikost. V�ta o hybnostech pomáhá �ešit takové p�ípady, v nichž nedovedeme ur�it ztráty, ale známe všechny síly p�sobící na ur�itý objem kapaliny.


- 42 (188) -

A1

1p

2A

p2

F

v2− ρ Q

+ ρQv 1

p 1A 1

+ p2 A2

R

1v

1p A 1

v2 p2 A2

Obr. 4.6 Ú�inek proudu na kapaliny na st�ny potrubí (horizontální �ez)

�asto ur�ujeme ú�inek proudu kapaliny na plochy, na které dopadá, nebo na st�ny, kterými je veden. Pak jde vlastn� o reakci FR , neboli o sílu stejn� velkou, ale opa�ného smyslu:

)( 21 vvFF −=−= QR ρβ .

Výsledný ú�inek proudu kapaliny na plochy (st�ny vedení) je dán rozdílem vektor� hybnosti sekundového pr�toku ve vstupním a kone�ném pr��ezu daného výseku proudu.

P�. 4.1 Vypo�t�te pr�to�né množství vody v potrubí o pr�m�ru D1 = 10 cm. Do potrubí je zabudován veturimetr (Obr. 4.7) o pr�m�ru D2 = 7 cm. Rozdíl hladin v rtu�ovém diferenciálním manometru je hHg = 15 mm. Ztráty

ve venturimetru zanedbejte. Obr. 4.7 Venturimetr D1 = 0,100 m; D2 = 0,070 m; hHg = 0,015 m; g = 9,81 m/s2; hz = 0,000 m; α = 1,00; ρHg = 13 550 kg/m3; ρ = 1000 kg/m3.

�ešení: Z podmínky rovnováhy k rov�ové ploše A-B (Obr. 4.7) platí:

p1 + ρ g h1 = p2 + ρ g h2 + ρHg g h; ∆ �p = p1 - p2; hHg = h1 - h2; ∆ p = (ρHg - ρ) g hHg ; ∆ p = (13550 - 1000)*9,81*0,015 = 1,847 kPa.

Bernoulliho rovnice (4.23) zapsaná pro profily "1" a "2" má tvar (srovnávací rovina je v ose potrubí):

z

222

211

2=

2h

gv

gp

gv

gp

+++α

ρα

ρ; hz = 0; p1 - p2 = ∆p; α = 1,0;

gvv

gp

2=

21

22 −∆

ρ;

Hydrodynamika

- 43 (188) -

rovnice spojitosti pro profily "1" a "2": v1 A1 = v2 A2;

22

21

12

112 ==

D

Dv

AA

vv ;

��

�� −�

�

��

� −

∆

11000

1847*2=

1

2=

4

4

42

41

1

07,010,0

DD

pv

ρ = 0,942 m/s;

Q = v1 A1 = 4

10,0*942,0

4

221

1

ππ=

Dv = 0,0074 m3/s.

Potrubím protéká pr�tok 0,0074 m3/s vody.

Kontrolní otázky - Jak je definovaná rovnice kontinuity pro ustálené proud�ní v 1D? - Co vyjad�ují jednotlivé �leny v Bernoulliho rovnici? - Co vyjad�uje Coriolisovo �íslo?

5 Výtok kapaliny otvorem z nádob M�žeme rozlišit výtok z nádoby:

- ustálený, kdy vytékající množství kapaliny neustále dopl�ujeme (výtok Q je roven p�ítoku Qp), hladina z�stává ve stejné poloze, tlaky a rychlosti jsou nezávislé na �ase;

- neustálený, p�i kterém se hydraulické charakteristiky m�ní s �asem. P�ítok Qp není roven výtoku Q a hladina v nádrži stoupá nebo klesá. Jinými slovy dochází k pln�ní nebo prázdn�ní nádrže.

Z hydraulického hlediska rozlišujeme výtok: - volný (nezatopený) - kapalina vytéká do vzduchu a výtokové

charakteristiky nejsou ovliv�ovány kapalinou za otvorem;

- zatopený - kapalina vytéká pod hladinu kapaliny za otvorem; - �áste�n� zatopený - kapalina vytéká sou�asn� pod hladinu

a do vzduchu tak, že �ást výtokového otvoru je pod hladinou - výtokové charakteristiky �áste�n� ovliv�uje kapalina za otvorem.

5.1 Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob 5.1.1 Volný výtok malým otvorem ve dn� Nádoba o vodorovné pr��ezové ploše A0 má ve vodorovném dn� výtokový otvor plochy A, kterým vytéká kapalina pr��ezovou rychlostí v. Na hladinu nech� p�sobí tlak p0 a na výtokový paprsek tlak pc.


- 44 (188) -

K výtokovému otvoru se dostávají jednotlivé �ástice ze všech stran, takže postupují v k�ivo�arých trajektoriích. Za otvorem se vytvo�í výtokový paprsek, a protože zak�ivené dráhy �ástic zachovávají i za otvorem plynulý tvar, bude pr��ez výtokového paprsku menší než pr��ez otvoru. Nastává zúžení neboli kontrakce paprsku, který charakterizujeme sou�initelem zúžení ε (ε < 1) - pom�r zúženého pr�to�ného pr��ezu Ac k ploše výtokového otvoru A. Rychlost p�i výtoku malým otvorem ve dn� nádoby ur�íme z Bernoulliho rovnice pro hladinu a pro zúžený pr��ez. Srovnávací rovinu umístíme do profilu zúženého pr��ezu (Obr. 5.1):

zccc

c hgv

gp

gv

gp

h +++=++2

02

22000 α

ρα

ρ. (5.1)

Obr. 5.1 Výtok kapaliny otvorem ve dn� Obr. 5.2 Zúžení úplné a neúplné

Ztráty hz vyjád�íme jako �ást rychlostní výšky:

gv

h cz 2

2

ξ= , (5.2)

kde ξ je sou�initel ztrát zahrnujících všechny ztráty energie p�i proud�ní od hladiny 0-0 k zúženému profilu C-C. Dosazením (5.2) do (5.1) obdržíme:

( )gv

gpp

hg

v ccc

c

22

2000

2 αρ

ξα +−

+=+ ,

��

��

�+

−+

+=

gv

gpp

hgv cc

c

c 22

1 2000 α

ρξα.

Zlomek p�ed odmocninou ozna�íme jako sou�initel výtokové rychlosti:

ξαϕ

+=

c

1 , (5.3)

který udává pom�r skute�né a teoretické pr��ezové výtokové rychlosti. Takže:

��

��

�+

−+=

gv

gpp

hgv ccc 2

22000 α

ρϕ . (5.4)

Dále vyjád�íme zúžený pr��ez:

AAc ε= ,

Výtok kapaliny otvorem z nádob

- 45 (188) -

kde ε je sou�initel zúžení (kontrakce), ε < 1. Pak z rovnice spojitosti plyne:

cc AvAv =00 => 00

0 AA

vAA

vv cc

c

ε== , (5.5)

Dosazením (5.5) do rovnice (5.4) obdržíme po úprav�:

( )gpp

AA c

ccc hgvv ρϕϕεα −+− 0220

22220

2 2= ,

( )20

2220

0

-1

2=

AA

gpp c

c

c

hgv

ϕεαϕ ρ

−+ . (5.6)

Výtok otvorem dostaneme z definice pr�toku (Kap. 4) ve zúženém pr��ezu, odtud:

ccc vAvAQ ε== ,

( )20

2220

0

-1

2

AA

gpp c

chgAQ

ϕεαµ ρ

−+= , (5.7)

kde µ je sou�initel výtoku (podíl skute�ného pr�toku k pr�toku teoretickému):

ϕεµ = . Výrazy (5.6) a (5.7) m�žeme v mnoha p�ípadech zjednodušit. Zúžený pr��ez je pom�rn� blízko pod otvorem, nap�. u kruhového otvoru asi 0,5 D, proto m�žeme u malých otvor� brát p�ibližn� hc = h (pro h > 10 a):

( )20

2220

0

-1

2=

AA

gpp c

c

hgv

ϕεαϕ ρ

−+,

( )20

2220

0

-1

2

AA

gpp chg

AQϕεα

µ ρ−+

= .

U malých otvor� bývá také p�ítoková rychlost nepatrná (je-li A0»A):

( )gpp chgAQ ρµ −+= 02 .

Velmi �asto p�sobí na hladinu i na výtokový otvor stejný tlak, a proto p0 - pc = 0, takže dostaneme výrazy:

hgvc 2= ϕ , hgAQ 2µ= . (5.8)

Tyto výrazy v podstat� odvodil Toricelli (1608-1647).

5.1.2 Sou�initelé výtoku, zúžení, výtokové rychlosti a ztrát

Na velikost zúžení má vliv vzdálenost otvoru od st�n nádoby a tvarování hrany otvoru. Je-li otvor ostrohranný je zúžení veliké, jsou-li hrany zaobleny, pak se zúžení podstatn� zmenší. St�ny ovliv�ují zúžení jen v p�ípad�, jsou-li blízko otvoru. P�i vzdálenosti v�tší než je trojnásobek p�íslušné délky hrany otvoru (jedná-li se o kruh jde o pr�m�r D), st�ny na zúžení nep�sobí. Nep�sobí-li st�ny na zúžení, hovo�íme o dokonalém zúžení, v opa�ném p�ípad� se jedná o zúžení nedokonalé. P�i nedokonalém zúžení je pr�m�r paprsku v�tší než p�i dokonalém. P�i nedokonalém zúžení (l < 3 a - Obr. 5.1) je sou�initel výtoku definován vztahem:


- 46 (188) -

�

� �

� += 2s

2641,01

AA

n µµ ,

kde A je plošný obsah výtokového otvoru a As plošný obsah st�ny, ve které je otvor. Nastává-li zúžení ze všech stran, �íkáme, že zúžení je úplné. Splývají-li hrany otvoru na jedné nebo více stranách se st�nami, pak na t�chto hranách otvoru odpadá zúžení. Tento p�ípad nazýváme zúžení �áste�né. P�i �áste�ném zúžení (Obr. 5.2 - otvory I, III a IV) se udává sou�initel výtoku µ�:

( )Os

� χµµ +1= ,

kde s je délka hran, podle kterých není kontrakce, O celkový obvod výtokového otvoru a χ = 0,13 pro kruhové otvory a χ = 0,15 pro obdélníky. Sou�initel výtoku se pohybuje v dosti širokých mezích. Pouze u malých ostrohranných otvor� a p�i úplném dokonalém zúžení m�žeme brát jako st�ední hodnotu:

µ ≈ 0,60 až 0,62. Hodnoty pro v�tší otvory jsou uvedeny v Tab. 5.1. Hodnota sou�initele výtoku se zm�ní, p�ipojí-li se k otvoru nátrubek. Krátký vn�jší nátrubek pr�to�nost zvýší a vnit�ní (Bord�v) nátrubek naopak pr�to�nost sníží. St�edí hodnota sou�initele výtokové rychlosti u ostrohranného otvoru je:

ϕ ≈ 0,97.

Tab. 5.1 Sou�initel výtoku otvorem tvar otvoru µ 1. malé otvory s dokonalým zúžením (ϕ = 0,97, ε = 0,64) 0,62

2.

malé otvory s nedokonalým všestranným zúžením (plocha otvoru je menší než 1/10 plochy st�ny v níž je otvor umíst�n):

- malé kruhové otvory t�sn� u st�n - malé �tvercové otvory se zúžením ze 3 stran

0,63 0,64

3. malé obdélníkové otvory s pom�rem stran 1:2 s �áste�ným zúžením:

- zúžení z jedné, a to delší strany - zúžení z jedné, a to kratší strany

0,64 0,65

4. otvory st�edních rozm�r� s všestranným zúžením 0,65 5. velké otvory s všestranným zúžením 0,70 6. otvory u dna (výtok pod stavidlem) s podstatným bo�ním zúžením 0,70 7. otvory u dna s pr�m�rným bo�ním zúžením 0,75 8. otvory u dna s plynulým usm�rn�ním proudu 0,80

Sou�initel ztrát (nebo odporový sou�initel) ξ je svázán s ϕ rovnicí (5.3), z níž:

cαϕ

ξ −=2

1

a pro αc ≈ 1,00 bude:

06,000,197,01

2=−≈ξ .

P�i výtoku ostrohranným otvorem se tedy ztrácí asi 6% (výtokové) rychlostní výšky.


- 47 (188) -

Je nutné zd�raznit, že všechny tyto hodnoty sou�initel� platí v kvadratickém pásmu odpor�, jehož hranici m�žeme uvažovat pro kruhové otvory pomocí hodnoty Reynoldsova kritéria (Kap. 7.3):

51000,1Re ===µ

ρυ

DvDvm ,

kde v je pr��ezová rychlost, υ sou�initel kinematické viskozity, µ sou�initel dynamické viskozity a ρ hustota tekutiny.

5.1.3 Volný výtok otvorem ve svislé st�n�

Kapalina vytéká ustálen� z nádoby otvorem v bo�ní svislé st�n� (Obr. 5.3). Na hladinu v nádob� i na výtokový paprsek p�sobí atmosférický tlak. Výtokový otvor rozd�líme na vodorovné proužky dz, jejichž geodetická výška nad srovnávací rovinou je z. Z Bernoulliho rovnice pro bod proudového vlákna na hladin� a pro bod proudového vlákna v otvoru plyne:

gu

gu

gp

zgv

gp

H222

220

200 ξ

ρα

ρ+++=++ ,

gu

gv

zH2

)1(2

220 ξ

α+=+− ,

kde v0 je p�ítoková rychlost (v0 = Q/A0, kde A0 je pr�to�ná plocha nádoby) a poslední �len vyjad�uje ztráty energie p�i pohybu od hladiny do výtokového

otvoru. Po dosazení sou�initele výtokové rychlosti ξ+

=ϕ11 a po úprav�

obdržíme:

gv

zHg

u22

1 20

2

2

αϕ

+−= ,

��

��

�+−=

gv

zHgu2

220α

ϕ .

Pr�to�né plocha elementárního proužku je:

zzyA d)(d ε= a elementární výtok tímto proužkem:

zygv

zHgAuQ d2

2d=d20

��

��

�+−=

αµ , (5.9)

kde jsme zavedli známý výtokový sou�initel:

εϕµ = .


- 48 (188) -

Obr. 5.3 Výtok otvorem ve svislé st�n�

Pro výtok otvory ve svislé st�n� platí sou�initel výtoku podle Tab. 5.1. Celkový pr�tok dostaneme integrováním elementárních výtok� v rozsahu otvoru (Obr. 5.3):

� ��

��

�+−

2

1

d2

2=20

z

z

zygv

zHgQα

µ , kde y = y(z).

Provedeme substituci:

hHz −= , hz dd −=

a meze integrace jsou:

2211

21

zHhzHhzHh

zzz

−=−=−=,

pak:

��−

−��

��

�+−��

�

��

�+−

2

1

2

1

d2

2=d2

2=20

)(

)(

20

zH

zH

zh

zh

hygv

hghygv

hgQαµαµ ,

kde y = y(H - h),

� ��

��

�+

1

2

d2

2=2/12

0h

h

hygv

hgQα

µ , (5.10)

kde h1 je poloha (hloubka) dolní hrany otvoru pod hladinou a h2 poloha (hloubka) horní hrany otvoru pod hladinou.

Pro další postup je nutné znát tvar otvoru. Pro volný výtok otvorem ší�ky b = konst., tedy pro otvor obdélníkový (Obr. 5.4 a), platí:

�

�

�

�

��

��

�+�

��

��

�+=

2/320

2

2/320

1 2-

22

32

gv

hgv

hgbQαα

µ . (5.11)

Pro volný výtok kruhovým otvorem o polom�ru r (Obr. 5.4 b) platí (p�i odvození byla použita binomická v�ta):

T2

4

T

2

T

21024

5-

321

-1= hgrhr

hr

Q πµ�

�

�

��

��

��

��

� , (5.12)


- 49 (188) -

kde hT je hloubka t�žišt� kruhového otvoru pod hladinou. Je-li 3,0=Thr dává

výrazy v hranaté závorce hodnotu 0,998 neboli je p�ibližn� roven jedné, a proto:

T2 2 hgrQ πµ≈ . (5.13)

Obr. 5.4 Výtok �tvercovým a kruhovým otvorem ve svislé st�n�

5.1.4 Volný výtok hydraulicky malým otvorem ve svislé st�n� Pokud je nejv�tší svislá vzdálenost obrysu otvoru od t�žišt� otvoru emax:

T25,0 hemax ≤ ,

kde hT je hloubka t�žišt� výtokového otvoru pod hladinou, pak se jedná o výtok hydraulicky malým otvorem a m�žeme zanedbat zm�ny rychlosti ve výtokovém otvoru. Vzorec pro výtokové množství se zjednoduší (s chybou pod 1 %):

T2= hgv ϕ , T2= hgAQ µ , (5.14)

za p�edpokladu, že na hladinu a na výtokový paprsek p�sobí stejný tlak.

5.1.5 Výtok pono�eným otvorem ve svislé st�n�

Je-li výtokový otvor libovolného tvaru ve svislé st�n� pono�en pod hladinou dolní vody (Obr. 5.5), m�žeme zapsat Bernoulliho rovnici pro libovolné body proudového vlákna v profilech "I" a "II":

gu

gu

gp

zygv

gp

yz c

222

22

22

200

11 ξρ

αρ

++++=+++ ,

)1(22

2200

2211 ξα

ρ+=+

−+−−+

gu

gv

gpp

yzyz c ,

kde y1 jsme vyjád�ili z hydrostatického tlaku p1h v hloubce y1 pod hladinou horní vody a obdobn� jsme vyjád�ili i y2 (Obr. 5.5):

111

1 yg

gyg

py h ===

ρρ

ρ a 2

222 y

ggy

gp

y h ===ρ

ρρ

.


- 50 (188) -

Obr. 5.5 Výtok pono�eným otvorem

Definováním spádu hladin H = z1 +y1 - z2 – y1 (Obr. 5.5) a dosazením

sou�initele výtokové rychlosti ξ+

=ϕ11 , po úprav� obdržíme:

��

��

�+

−+=

gv

gpp

Hgu c

22

200 α

ρϕ . (5.15)

Protože spád hladin H je stejný pro všechny body výtokového paprsku, je rychlost ve všech bodech zatopeného otvoru stejná a závisí na rozdílu hladin:

��

��

�+

−+=

gv

gpp

Hgv c

22

200 α

ρϕ . (5.16)

Výtokové množství obdržíme, násobíme-li zúžený pr��ez εA rychlostí v:

vAQ ε= , ��

��

�+

−+=

gv

gpp

HgAQ cp 2

2200 α

ρµ , (5.17)

kde µp je sou�initel výtoku pro pono�ený výtok (je pon�kud menší než pro výtok do vzduchu, ale rozdíly jsou nepatrné). Bude-li vliv p�ítokové rychlosti zanedbatelný a tlak na ob� hladiny stejný, bude platit:

Hgv 2= ϕ , HgAQ p 2µ= . (5.18)

5.1.6 Výtok �áste�n� pono�eným obdélníkovým otvorem Bude-li obdélníkový otvor ší�ky b �áste�n� zatopen dolní vodou (Obr. 5.6 a), pak výtokové množství po�ítáme p�ibližn� tak, že výtokový otvor rozd�líme úrovní hladiny na dv� �ásti. Horní (vyno�enou) �ástí vytéká voda voln�, takže pr�tok Q1 se ur�í podle (5.11). V dolní (pono�ené) �ásti o výšce t je výtok zatopen dolní vodou a pr�tok Q2 se obdrží z (5.17). Celkové výtokové množství �áste�n� pono�eným obdélníkovým otvorem ší�ky b:

Q = Q1 + Q2,

��

��

�++

+

�

�

�

�

��

��

�+��

�

��

�+

gv

Hgtb

gv

hgv

HgbQ

p 22�

2-

22�

32

=

20

2/320

2

2/320

α

αα

, (5.19)


- 51 (188) -

kde b je ší�ka obdélníkového otvoru, H spád hladin, h2 poloha (hloubka) horní hrany otvoru pod hladinou a t výška zatopení otvoru dolní vodou.

Velikost sou�initel� výtoku není ur�ena spolehliv�. Pon�vadž kontrakce nastává vždy jen na t�ech stranách, m�žeme se domnívat, že budou v�tší než u p�edchozích p�ípad�. P�i nedostatku údaj� jsme však odkázáni na hodnoty odpovídající výtoku do volna.

Obr. 5.6 Výtok a) �áste�n� pono�eným otvorem a b) otvorem v šikmé st�n�

5.1.7 Volný výtok obdélníkovým otvorem v šikmé st�n�

Nech� je obdélníkový otvor ší�ky b umíst�n ve st�n� odklon�né od svislice o úhel α (Obr. 5.6 b), na hladinu v nádrži a na výtokový paprsek nech� p�sobí stejný tlak a výtok nech� je do volna. Op�t vytkneme elementární proužek jehož geodetická výška nad srovnávací rovinou je z a odvození je obdobné jako v Kap. 5.1.3 s tím rozdílem, že:

� ��

��

�+

1

2

d2

2cos

=2/12

0h

h

hgv

hgb

Qα

αµ . (5.20)

Po integraci obdržíme:

�

�

�

�

��

��

�+��

�

��

�+

2/320

2

2/320

1 2-

2cos

2

32

=gv

hgv

hgb

Qαα

αµ

, (5.21)

kde h1 je poloha (hloubka) dolní hrany otvoru pod hladinou a h2 poloha (hloubka) horní hrany otvoru pod hladinou.

5.2 Pln�ní a prázdn�ní

V p�edchozích odstavcích (5.1.1-5.1.7) byl probrán p�ípad ustáleného výtoku kapaliny otvorem. V této �ásti bude problém zobecn�n na neustálený výtok otvorem - na pln�ní a prázdn�ní nádob. Neustálený výtok otvorem je charakterizován zm�nou objemu vody v nádrži, zm�nou hloubky a tedy i zm�nou pr�toku v �ase.

Uvažujme nádobu (nádrž) libovolného tvaru (Obr. 5.7), do které p�itéká Qp a vytéká Q otvorem o ploše A v hloubce z1 pod hladinou, a to malým otvorem


- 52 (188) -

ve dn�. Uvažujme stejný atmosférický tlak na hladin� i ve výtokovém otvoru. Je-li:

Qp = Q - p�ítok Qp (pr�tok kapaliny p�itékající do nádoby) je roven výtoku Q (pr�tok výtokovým otvorem z nádoby) - hladina v nádob� se nepohybuje = > ustálený výtok kapaliny otvorem;

Qp < Q - nádoba se prázdní;

Qp > Q - nádoba se plní.

Poslední dva p�íklady ilustrují p�ípad, kdy výtok je závislý na �ase a tedy pr�tok je neustálený (prom�nlivý v �ase).

Obr. 5.7 Výtok z nádoby otvorem Obr. 5.8 Prázdn�ní prizmatické

p�i prom�nné hladin� nádoby p�i Qp = konst.

Je-li nádoba dostate�n� vysoká, pak se hladina v nádob� ustálí (p�i pln�ní i prázdn�ní malým otvorem) v mezní poloze hladiny zu, p�i které p�ítok Qp je roven výtoku Q:

up zgAQQ 2µ== , (5.22)

a odtud:

gA

Qz p

u 222

2

µ= , (5.23)

kde µ je sou�initel výtoku (Tab. 5.1) a A plocha výtokového otvoru. Další pohyb je už pak ustálený, protože Qp = Q.

Po�ítejme dobu t, za kterou se zm�ní poloha hladiny v nádob� ze z1 na z2. Jedná-li se malý otvor m�žeme zanedbat vliv p�ítokové rychlosti. Prom�nlivou výšku hladiny nad otvorem ozna�me z. Za �as dt p�ite�e do nádoby objem kapaliny Qp dt a vyte�e objem Q dt. Bude-li Qp ≠ Q, zm�ní se objem hladiny v nádob� o hodnotu Az dz, kde Az je plocha hladiny ve výši z. Tento objem se musí podle zákona zachování hmotnosti rovnat rozdílu mezi p�ítokem a výtokem:

zAtQQ zp dd =− )( .

Protože zgAQ 2µ= , bude

zgAQzA

tp

z

2µ-d

=d . (5.24)


- 53 (188) -

�as pot�ebný ke zm�n� polohy hladiny v nádob� z úrovn� z1 na z2 obdržíme z rovnice (5.24):

�� −=

1

2

2

122

z

z p

zz

z p

z

QzgAzA

zgAQzA

tµµ

d-

d= . (5.25)

Pro zvláštní p�ípad prázdn�ní nádoby bez p�ítoku (Qp = 0) je doba úplného vyprázdn�ní T (z2 = 0):

�1

02

zz

zzA

gAT

d1=

µ. (5.26)

Analytické �ešení (5.25) a (5.26) je možné, je-li Qp = konst. a dovedeme-li vyjád�it z tvaru nádoby plochu hladiny Az = A(z) jako funkci výšky hladiny z.

5.2.1 Pln�ní a prázdn�ní prizmatické nádoby otvorem p�i Qp = konst.

Má-li nádoba stálý pr��ez Az = konst. (válec, hranol, ... - Obr. 5.8), m�žeme zapsat pro �as nutný ke zm�n� polohy hladiny z úrovn� z1 na z2:

�2

12

z

z pz zgAQ

zAt

µ-d

= , (5.27)

kde p�ítok Qp m�žeme vyjád�it pomocí plochy výtokového otvoru A a mezní hladiny zu, na které by se hladina ustálila, pokud by p�ítok byl roven výtoku:

up zgAQ 2µ= , (5.28)

kde A je plocha výtokového otvoru a µ sou�initel výtoku. Dosazením (5.28) do (5.27) obdržíme:

�� =2

1

2

1222

z

z u

zz

Z uz zh

zgA

A

zgAhgAz

At-

d-

d=

µµµ. (5.29)

P�i �ešení (5.29) zavedeme substituci:

zzy u −= ,

( ) yyzyzz u ddd −−=−= 22


2211

21

zzyzzyzzy

zzz

uuu −=−=−=.

�ešení je tvaru:

( )

[ ] 2

1

2

1

2

1

ln2

2

12

22

2 )(

)(

zz

zzuz

y

y

uzzy

zy

uz

u

uyzy

gAA

yy

z

gAA

yy

yz

gAA

t

−

−−=

=��

��

�−=

−− ��

µ

µµdd=

,

�

�

�

�

1

221 ln

22

zz

zzzzz

gAA

tu

uu

z

-

---=

µ . (5.30)


- 54 (188) -

Pro prizmatickou nádobu bez p�ítoku (zu = 0) je �as pot�ebný ke zm�n� polohy hladiny z úrovn� z1 do z2:

[ ]

[ ]2122

22

221

2

1

2

2

1

zzgA

A

zgA

Azz

gAA

zgAz

At

z

z

zz

z

z

zz

zz

−=

===− ��

µ

µµµdd

=

. (5.31)

Doba nutná pro úplné vyprázdn�ní (z2 = 0) pro prizmatickou nádobu bez p�ítoku (zu = 0) je:

gA

zAT z

2

1

µ

2= . (5.32)

Postup �ešení z�stane stejný, i když se nádoba prázdní nebo plní jiným zp�sobem - p�epadem, malým otvorem ve svislé st�n�. P�i �ešení vyjád�íme p�íslušné výtokové množství Q.

5.2.2 Prázdn�ní válcové cisterny otvorem p�i Qp = 0

Válcová nádoba s vodorovnou osou (Obr. 5.9) se prázdní otvorem v nejnižším míst�, p�i�emž je postaráno o p�ívod vzduchu nad hladinu. Plocha hladiny je s hladinou prom�nlivá xLAz = , kde L je délka cisterny a x:

22 )(2

rzrx −−= => )2(222 222 zrzrrzzrx −=−+−= , (5.33)

z)-= rzLAz 2(2 , (5.34)

kde r je polom�r cisterny a z poloha hladiny. �as pot�ebný ke zm�n� polohy hladiny z úrovn� z1 do z2 dostaneme dosazením (5.34) do (5.25), kde Qp = 0:

�

��

−−=

=−

−=−

2

1

2

1

2

1

)2(2

2

2

)2(2

2z

z

z

z

z

z

z

zzrgA

L

zgA

zzrzL

zgAzA

t

d

dd=

µ

µµ. (5.35)

Obr. 5.9 Prázdn�ní cisterny


- 55 (188) -

P�i �ešení (5.35) zavedeme substituci:

zry −= 2 , yz dd −=


2211

21

222 zryzryzry

zzz

−=−=−=.

�as pot�ebný ke zm�n� polohy hladiny z úrovn� z1 do z2 je pak:

[ ] 2

1

2

1

2

1

2

22/3

)(

)(

22

32

22

22

zr

zr

y

y

zy

zy

ygA

L

yygA

Lyy

gAL

t

−−=

=��

µ

µµd=d=

,

[ ]2/31

2/32 )2()2(

234

zrzrgA

Lt ---=

µ . (5.36)

Doba pro úplné vyprázdn�ní celé cisterny (z1 = 2r = d a z2 = 0) je:

AdL

gAdL

Tµµ

2/32/3

234

0,301== � . (5.37)

P�. 5.1 V obdélníkovém koryt� ší�ky b = 5,0 m je vybudován stupe� ve dn� (Obr. 5.10) V profilu stupn� je stavidlo, které je otev�ené na výšku a = 1 m. Tím je udržována hladina horní vody ve výšce h2 = 2 m nade dnem. Ur�ete výtok vody pod stavidlem, je-li zatáp�n výtokový otvor do výšky 0,5m.

b = 5,0 m; a = 1,0 m; h2 = 1,0 m; h1 = 2,0 m; H = 1,5 m; t = 0,5 m; µ = µp= 0,80; α = 1,0.

Obr. 5.10 Výtok pod stavidlem �ešení:

Jedná se o �áste�n� zatopený výtok velkým otvorem. Celkové výtokové množství se bude po�ítat jako sou�et výtoku do volna a výtoku zatopeným otvorem (5.19). Protože není známa p�ítoková rychlost, která je funkcí hledaného pr�toku, je vhodné použít itera�ního postupu, tedy postupu postupného p�ibližování do chyby velikosti |Qi+1 - Qi| < 0,01 m3/s.


- 56 (188) -

1. iterace: v první iteraci p�edb�žn� spo�ítáme výtokové množství mez uvažování p�ítokové rychlosti v0, kterou p�edem neznáme:

v01 = 0,0 m/s; => gv

2

201α = 0,0 m;

�

�

�

�

��

��

�+−��

�

��

�+=

2/3201

2

2/3201)1(

1 222

32

gv

hgv

HgbQααµ = 9,888 m3/s;

��

��

�+=

gv

HgbtQ2

2201)2(

1

αµ = 10,850 m3/s;

Q1 = Q1(1) + Q1

(2) = 20,738 m3/s; 2. iterace: výpo�et provedeme s opravenou p�ítokovou rychlostí, kterou

obdržíme z celkového pr�toku z první iterace a pr�to�né plochy v p�ívodním obdélníkovém koryt�:

1

102 hb

Qv = = 2,074 m/s; =>

gv

2

202α = 0,219 m;

�

�

�

�

��

��

� α+−��

�

��

� α+µ=

2/3202

2

2/3202)1(

2 222

32

gv

hg

vHgbQ = 10,725 m3/s;

��

��

� α+µ=

gv

HgbtQ2

2202)2(

2 = 11,616 m3/s;

Q2 = Q2(1) + Q2

(2) = 22,340 m3/s; |Q2 - Q1| = 1,60 > 0,01 m3/s; 3. iterace: jelikož rozdíl mezi 1. a 2. iterací není požadovaný, výpo�et pokra�uje:

1

203 hb

Qv = = 2,234 m/s; =>

gv

2

203α = 0,254;

Q3(1) = 10,853 m3/s;

Q3(2) = 11,734 m3/s;

Q3 = Q3(1) + Q3

(2) = 22,587 m3/s; |Q3 – Q2| = 0,26 > 0,01 m3/s;

4. iterace: 1

304 hb

Qv = = 2,259 m/s; =>

gv

2

204α = 0,260 m;

Q4(1) = 10,874 m3/s;

Q4(2) = 11,753 m3/s;

Q4 = Q4(1) + Q4

(2) = 22,626 m3/s; |Q4 – Q3| = 0,04 > 0,01 m3/s;

5. iterace: 1

405 hb

Qv = = 2,263; =>

gv

2

205α = 0,261;

Q5(1) = 10,877 m3/s;

Q5(2) = 11,756 m3/s;

Q5 = Q5(1) + Q5

(2) = 22,633 m3/s; |Q5 – Q4| = 0,006 < 0,01 m3/s. Výtokové množství je p�ibližn� 22,633 m3/s.

P�. 5.2 Válcovitá nádoba (L = 8,0 m, d = 2,0 m) s kruhovým výtokovým otvorem

o velikosti dv = 0,1 m (µ = 0,62) bez p�ítoku (Qp = 0 m3/s) se prázdní: a) ve svislé poloze (Obr. 5.11 a); b) v ležaté poloze (Obr. 5.11 b).

Vypo�t�te dobu T pot�ebnou k úplnému vyprázdn�ní nádoby, je-li postaráno o p�ívod vzduchu nad hladinu.


- 57 (188) -

L = 8,0 m; Qp = 0 m3/s; µ = 0,62;

d = 2,0 m; =4

=2d

Azπ 3,14 m2; Az >> A => výtok malým otvorem;

dv = 0,1 m; =4

=2vd

Aπ 0,00785 m2;

Obr. 5.11 Prázdn�ní válcovité nádoby a) ve svislé poloze, b) v ležaté poloze

a) Nádoba ve svislé poloze jde o prázdn�ní prizmatické nádoby (konstantní pr��ez A po výšce) malým otvorem ve dn� p�i Qp = 0,0 m3/s:

podle (5.32) bude: gA

LA

gA

zAT z

Lzz

22

11

µ=

µ

= 22= = 824 s = 13 min 44 s.

b) Nádoba v ležaté poloze jde o prázdn�ní válcovité cisterny s vodorovnou osou malým otvorem ve dn� p�i Qp = 0,0 m3/s:

zde platí výraz (5.37): A

dLT

µ

2/3

0,301=� = 700 s = 12 min.

Ve skute�nosti bude probíhat poslední fáze prázdn�ní od p�edpokladu tohoto výpo�tu, nebo� p�i malé hloubce vody se nad výtokem utvo�í nálevkovité snížení hladiny - vír, až nakonec vzduch vnikne do otvoru a výtok otvorem se sníží oproti vypo�tenému.

Kontrolní otázky - Co vyjad�uje sou�initel výtoku? - Co je to hydraulicky malý otvor ve svislé st�n� p�i ustáleném výtoku

otvorem ve svislé st�n�?

6 P�epady P�epad m�žeme definovat jako výtok kapaliny otvorem naho�e otev�eným nebo otvorem, v n�mž hladina nedosahuje k jeho hornímu obrysu. Vznikne zpravidla vložením st�ny nap�í� proudu s volnou hladinou. Tato st�na vzdouvá vodu a voda p�es ni p�epadá. Konstrukci, p�es kterou voda p�epadá,


- 58 (188) -

se nazýváme p�eliv; nejvyšší �ást p�elivu je p�elivná hrana (nebo koruna p�elivu). P�epadající proud vody se nazývá p�epadový paprsek. Tvar a tlouš�ka p�elivné st�ny má podstatný vliv na proud�ní p�es p�eliv. Proto podle ní d�líme p�elivy na tyto základní typy:

a) ostrohranné p�elivy; b) jezové nebo p�ehradní p�elivy (obdélníkového a lichob�žníkového

p�í�ného pr��ezu, proudnicové p�elivy); c) p�elivy se širokou korunu; d) zvláštní typy p�eliv� (šachtový p�eliv, bo�ní p�eliv, ...).

Obr. 6.1 Typy p�eliv� a p�epad�: a) ostrohranný p�eliv, dokonalý p�epad;

b) p�eliv p�es jezové t�leso s obdélníkovým p�í�ným profilem; c) p�eliv p�es širokou korunu, dokonalý p�epad; d) ostrohranný p�eliv, nedokonalý p�epad;

e) p�eliv bez bo�ního zúžení; f) p�eliv s bo�ním zúžením

Podle ovlivn�ní p�epadového množství p�es p�eliv hladinou dolní vody (hladinou za p�elivem) m�žeme rozeznat:

a) p�epad dokonalý - p�epadové množství není ovlivn�no hladinou dolní vody; b) p�epad nedokonalý (zatopený) - je-li hladina dolní vody nad úrovní p�elivné

hrany, je nutné ov��it, zda-li je p�epadové množství ovlivn�no hladinou dolní vody.

P�epad vody p�es p�eliv m�že být: - bez bo�ního zúžení, jestliže se ší�ka p�elivu b rovná ší�ce B

obdélníkového žlabu; - s bo�ním zúžením, je-li p�epad pouze v �ásti p�elivné st�ny nebo jestliže

se k p�elivné st�n� žlab zužuje, tedy b < B.

Podle umíst�ní p�elivné hrany k nabíhajícímu proudu lze rozeznat (Obr. 6.2):

- p�elivy �elné - p�elivná hrana je k nabíhajícímu proudu umíst�na kolmo;

- p�elivy šikmé, lomené, k�ivo�aré;

- bo�ní (postranní) p�elivy - p�elivná hrana je rovnob�žná s osou proudu nebo je od ní odklon�ná, ale nep�ehrazuje vodní tok.

Dále lze rozlišit p�elivy pevné a pohyblivé. U pohyblivých p�eliv� lze m�nit výšku p�elivné hrany (nap�. klapky) nebo velikost výtokového otvoru (nap�. podtékané segmenty nebo válce).

P�epady

- 59 (188) -

Obr. 6.2 Typy p�eliv�: a) �elný p�eliv; b) p�eliv šikmý; c) p�eliv obloukový;

d) p�eliv lomený; e) bo�ní p�eliv

6.1 Ostrohranné p�elivy P�epad p�es ostrou hranu nastává, je-li tlouš�ka p�elivné st�ny t:

t < 0,66 h, kde h je p�epadová výška (výška p�epadového paprsku), což je p�evýšení hladiny nad nejnižším místem p�elivné hrany. Ostrohranných p�eliv� se používá zejména pro m��ení pr�toku, protože jsou experimentáln� nejlépe ov��eny. Pro dosažení p�esných výsledk� p�i m��ení pr�tok� se požaduje dokonalý p�epad, volný p�epadový paprsek a dobré uklidn�ní p�ítoku, nap�. dostate�n� dlouhým p�ímým p�ítokovým žlabem. Dále má být p�elivná st�na svislá a hladká, jednostrann� upravená do b�itu. Je nutné splnit rozmezí platnosti používaných rovnic a p�edepsané podmínky pro umíst�ní m�rného p�elivu, jinak se musí m�rná k�ivka p�elivu ur�it tárováním p�ímo na míst�.

6.1.1 Výpo�et p�epadu p�es ostrou hranu, Bazin�v p�eliv

P�i výpo�tu p�epadu p�es ostrou hranu se používá postupu jako p�i volném výtoku otvorem ve svislé st�n� (Odst. 5.1.3). Celkový pr�tok obdržíme z rovnice (5.10) - integrujeme v mezích od nejnižšího bodu p�elivné hrany po hladinu (Obr. 6.3):

� ��

��

� α+µ

1

0

2/120

22

h

hygv

hgQ d= , kde y = y(H - h) (6.1)

Obr. 6.3 P�epad p�es p�eliv obecného pr��ezu

Pro vodorovnou p�elivnou hranu a obdélníkový profil y(H - h) = b = konst., m�žeme snadno provést integraci. P�evýšení hladiny nad nejnižším bodem p�elivné hrany budeme dále zna�it h a nazývat p�epadovou výškou (výškou p�epadového paprsku). P�epadové množství Q je pak dáno Weisbachovou rovnicí:

�

�

�

�

��

��

�−��

�

��

�+

2/320

2/320

222

gv

gv

hgbQααµ

32

= , (6.2)


- 60 (188) -

[ ]2/32/302 khgbQ −µ

32

= ,

kde µ je sou�initel p�epadu daného p�elivu, h p�epadová výška, gvk

2

20α=

p�ítoková rychlostní výška a veli�inu h0 = h + k nazýváme energetická p�epadová výška. Výpo�et pr�toku p�i neznámé p�ítokové rychlosti v0 provedeme postupným p�ibližováním Q a v0. Neuvažujeme-li s p�ítokovou rychlostí, obdržíme rovnici Poleniovu nebo Dubuatovu:

2/32 hgbQ µ32

= .

Sou�initel p�epadu závisí na typu p�elivu, p�epadové výšce h, výšce st�ny s1 a na tlaku v prostoru pod paprskem. Je-li tento prostor uzav�en, vysává z n�ho proudící paprsek vzduch, takže zde klesá tlak a sou�initel p�epadu µ se zv�tšuje. Zavzdušní-li se tento prostor (nap�. rozší�ením koryta pod p�elivem nebo zvláštním zavzduš�ovacím potrubím) celý jev se stabilizuje a vytvo�í se volný p�epadový paprsek, který má stálý tvar.

Obr. 6.4 Bazin�v p�eliv

Obdélníkový ostrohranný p�eliv bez bo�ního zúžení a zavzdušn�ným prostorem pod p�epadovým paprskem se nazývá Bazin�v. Bazin�v p�eliv (Obr. 6.4) je základním typem ostrohranných p�eliv� a protože byl podrobn� prozkoumán, stal se základním m�rným p�elivem.

Bazin odvodil pro stanovení p�epadového množství p�es p�eliv rovnici, která se používá se i pro výpo�et dalších typ� p�eliv�. Pro její odvození m�žeme vyjít z (6.2), kde zanedbáme �len -k3/2, který je malý v��i p�edchozímu �lenu h0

3/2, vytkneme h3/2 a ozna�íme 32 µ = m0:

2/3202/3

0 212 ��

�

��

�+=

hgv

hgbmQα

a ozna�íme: 2/32

00 2

1 ��

��

�+=

hgv

mmα

,

pak platí: 2/32 hgbmQ = , (6.3)

P�epady

- 61 (188) -

kde m je Bazin�v sou�initel p�epadu, který zahrnuje ztráty a kontrakci na p�epadu a vliv p�ítokové rychlosti (v prvním p�iblížení m�žeme uvažovat m = 0,42). Bazin podle pokus� stanovil sou�initel p�epadu m:

�

�

�

��

��

�+�

�

��

�2

1

55,01sh

hh

m+

0,003+0,405= , (6.4)

s platností pro (chyba < 1%): 0,1 m < h < 1,24 m; 0,2 m < b < 2,0 m; 0,2 m < s1 < 2,0 m. P�epadové paprsky jsou u Bazinova p�elivu vzájemn� podobné a Bazin udal jejich charakteristické rozm�ry v pom�ru k p�epadové výšce (Obr. 6.4). Ve vzdálenosti 3 h nad p�elivem je snížení hladiny 0,003 h, kdežto nad p�elivnou hranou 0,15 h. Z toho plyne, že se p�epadová výška musí m��it ve vzdálenosti 3 až 4 h p�ed p�elivem. P�eliv obdélníkový s tlouš�kou st�ny t < 0,66 h nemá vliv na tvar p�epadového paprsku, a m�že se proto po�ítat jako p�epad ostrohranný.

Sklon�ním st�ny p�elivu po proudu se zmenšuje kontrakce proudu a zvyšuje se kapacita p�elivu. Zatímco sklon�ním p�elivu proti proudu se kapacita p�elivu zmenšuje. Pro tento p�ípad, kdy p�elivná st�na není svislá platí:

2/32 hgbmQ sklσ= , (6.5)

kde σskl je sou�initel sklonu p�elivné st�ny a jeho hodnoty pro r�zný odklon p�elivné st�ny od svislice jsou uvedeny v Tab. 6.1.

Tab. 6.1 Sou�initel sklonu σskl pro Bazin�v p�epad odklon proti vod� po vod�

δ 45o 30o 15o 0o 15o 30o 45o σskl 0,925 0,940 0,965 1,000 1,035 1,075 1,115

6.1.2 Nedokonalý p�epad p�es ostrou hranu Nedokonalý (zatopený) p�epad vznikne, je-li hladina dolní vody výše než p�elivná hrana a hladina dolní vody snižuje p�epadové množství. Za p�epadovým paprskem vzniká vodní skok (Kap. 9), který m�že být vzdutý, vlnovitý nebo oddálený. Zatopení nastává pouze p�i vzdutém nebo vlnovitém vodním skoku, p�i oddáleném vodním skoku dopadá paprsek na dno a p�epad je dokonalý (Obr. 6.5 b). P�ibližn� bylo zjišt�no, že vzdutý vodní skok (a tím i nedokonalý p�epad) vzniká p�i pom�ru

sH < 0,70.

Podrobn�ji Pavlovskij zjistil, že p�epad bude nedokonalý, bude-li pom�r sH

menší než mezní pom�r ( )*s

H , který je udaný v Tab. 6.2 v závislosti na pom�ru

sh . Podmínky nedokonalého p�epadu jsou:

1) hd > s a sou�asn� 2) *

��

��

�<sH

sH

. (6.6)

Tab. 6.2 Mezní hodnoty pro nedokonalý p�epad p�es ostrou hranu

sh 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,75 1,00 1,50 2,00 3,00

*

��

��

�sH 1,00 0,90 0,83 0,78 0,75 0,73 0,68 0,67 0,67 0,71 0,85


- 62 (188) -

Obr. 6.5 P�epad p�es ostrou hranu

a) se vzdutým nebo vlnovitým vodním skokem (nedokonalý p�epad); b) s oddáleným vodním skokem (dokonalý p�epad)

K výpo�tu nedokonalého p�epadu p�es ostrohranný p�eliv používáme nej�ast�ji postup podle Bazina, který vzorec pro dokonalý p�epad (6.3) redukuje sou�initelem zatopení σz:

2/32 hgbmQ zσ= , (6.7)

kde 30,2+11,05=hH

shz

z ��

��

�σ . (6.8)

Nedokonalý p�epad je mén� prozkoumán než p�epad dokonalý a vyžaduje složit�jší za�ízení pro zm��ení hladiny obou hladin, proto se k m��ení pr�tok� nedoporu�uje.

6.1.3 Ostrohranné p�elivy s bo�ním zúžením

P�elivy s bo�ním zúžením vznikají vý�ezy r�zného tvaru ve st�n� p�eliv�. Mezi základní typy pat�í obdélníkový (Poncelet�v), trojúhelníkový, lichob�žníkový, kruhový, parabolický, lineární, atd.

a) obdélníkový (Poncelet�v) p�eliv (Obr. 6.6 a) Ostrohranný obdélníkový p�eliv s bo�ním zúžením (b < B) se nazývá Poncelet�v p�eliv (Obr. 6.6a). Je vhodný k m��ení pr�toku v malých vodních tocích a ve vodních kanálech s obdélníkovým pr��ezem. Pro p�epadové množství platí:

2/32= hgbmQ b , ( )[ ] ( )[ ]20,0027

055,01-103,0-+0,405=

AA

Bb

hbm + , (6.9)

kde mb je sou�initel p�epadu pro Poncelet�v p�eliv, kde A je pr�to�ný pr��ez ve vý�ezu a A0 pr�to�ný pr��ez p�ívodního žlabu.

Obr. 6.6 P�elivy: a) obdélníkový; b) trojúhelníkový; c) Thomson�v

P�epady

- 63 (188) -

b) Trojúhelníkový (rovnoramenný) p�eliv (Obr. 6.6 b) Pro m��ení malých pr�tok� je trojúhelníkový p�eliv p�esn�jší než Poncelet�v. Dosazením rovnice vyjad�ující ší�ku p�elivu v úrovni H - h:

2) αtg-(2= hHy

do (6.1), kde zanedbáváme vliv p�ítokové rychlosti, obdržíme vztah pro výpo�et p�epadového množství p�es trojúhelníkový p�eliv:

�

�

�

�

�

−1

0

2/1

2)(22

h

hhHhgQ dtg= αµ ;

�

� �

� − 2/51

2/31 5

232

222 hhHgQ

αµ tg= .

Dále podle Obr. 6.6 b) vidíme, že H = h1. P�evýšení hladiny nad nejnižším bodem p�elivné hrany budeme dále zna�it h a nazývat p�epadovou výškou:

�

� �

� − 2/52/5

52

32

222 hhgQ

αµ tg= ;

2/52 hgQ ��

��

�2

tg158

=αµ , (6.10)

kde sou�initel µ ≈ (0.56 ~ 0.60) a je funkcí µ = f(h, α). Vzorec (6.10) je �asto uvád�n ve tvaru:

2/5)2

tg(2= hgmQ t

α , (6.11)

kde mt ≈ (0,299 ~ 0,320)

c) Thomson�v p�eliv (Obr. 6.6 c) Speciálním typem trojúhelníkového p�elivu je Thomson�v p�eliv. Thomson prozkoumal p�eliv s α = 90o, takže tg

2α = 1,0 a zjistil konstantní sou�initel

µ = 0,593, resp. mt = 0,316. Z toho pro p�epadové množství vyplývá: 2/54,1= hQ , (6.12)

s platností pro: B ≥ 8 h a s1 ≥ 3 h.

6.2 Jezové p�elivy Jezy jsou pohyblivé nebo pevné konstrukce umíst�né v koryt� toku, kterými se vzdouvá voda k r�zným vodohospodá�ským ú�el�m. Ostrohranné p�elivy jsou jako vzdouvací objekty staticky nevhodné. Proto se jako vzdouvací konstrukce na tocích používají bu:

- masívní p�elivy - pevné jezy na kterých nelze p�i prom�nných pr�tocích �ízen� manipulovat s hladinami;

- nebo se pro �ízenou manipulaci polohy hladiny nad p�elivem používá pohyblivých hradících konstrukcí (uzáv�r�) r�zných typ� - pohyblivé jezy.


- 64 (188) -

6.2.1 Výpo�et p�epadu p�es jezová t�lesa

Pro výpo�et p�epadového množství p�es jezová t�lesa m�žeme použít rovnice podobné rovnici (6.3):

2/300 2 hgbmQ sz σσ= ;

gv

hh2

20

0

α+= , (6.13)

kde σz sou�initel zatopení (pro dokonalý p�epad σz = 1, pro nedokonalý σz < 1); σs sou�initel šikmosti (vliv p�dorysného uspo�ádání); b0 ú�inná ší�ka p�elivu; h p�epadová výška; m sou�initel p�epadu p�es jezová t�lesa;

g

vk

2

20= p�ítoková rychlostní výška;

khg

vhh +=+=

2

20

0 energetická p�epadová výška - p�epadová výška zv�tšená o p�ítokovou rychlostní výšku.

Rovnice (6.13) je �asto uvád�na ve tvaru: 2/3

00= hbMQ sz σσ , gmM 2= (6.14)

kde M je rozší�ený sou�initel p�epadu p�es jezová t�lesa. Sou�initel p�epadu m závisí hlavn� na tvaru p�elivného t�lesa a pak (podobn� jako u ostrohranného p�elivu) na p�epadové výšce h.

6.2.2 Nedokonalý p�epad

Nedokonalý p�epad p�es jez (Obr. 6.7) se po�ítá obdobn� jako u ostrohranného p�elivu. Podle Bachm�t�va je p�epad nedokonalý, jsou-li sou�asn� spln�ny tyto podmínky:

1) hd + d > s; a sou�asn� 2) *

��

��

�<sH

sH

. (6.15)

mezní hodnoty ( )*s

H pro p�epad p�es jez závisí na pom�rné p�epadové výšce sh a na

sou�initeli p�epadu m, a tím i na typu jezu: Mezní hodnoty udává graf na Obr. 6.8.

Obr. 6.7 Nedokonalý p�epad p�es jez Obr. 6.8 Grafikon mezních hodnot pro zatopený p�epad p�es jez

P�epady

- 65 (188) -

Zmenšení pr�to�nosti p�i nedokonalém p�epadu se vyjád�í sou�initelem zatopení σz, který závisí na pom�ru

hhz a �áste�n� také na tvaru p�elivné plochy. Jeho

orienta�ní hodnoty v závislosti na hhz podle Oficerova a Istominy udává Tab. 6.3.

Tab. 6.3 Sou�initel zatopení σz pro p�epad p�es jez hz/h σz hz/h σz hz/h σz hz/h σz hz/h σz 0,40 0,990 0,65 0,940 0,74 0,869 0,82 0,756 0,90 0,575 0,45 0,986 0,66 0,930 0,75 0,858 0,84 0,719 0,92 0,515 0,50 0,980 0,68 0,921 0,76 0,846 0,85 0,699 0,94 0,449 0,55 0,970 0,70 0,906 0,78 0,820 0,86 0,677 0,95 0,412 0,60 0,960 0,72 0,889 0,80 0,790 0,88 0,629 1,00 0,000

6.2.3 Vliv p�dorysného uspo�ádání jez�

Je-li p�elivná hrana p�dorysn� šikmá k nabíhajícímu proudu (Obr. 6.2 b), je sou�initel šikmosti σs < 1. Jeho hodnoty v závislosti na pom�rné p�epadové výšce

sh a úhlu odklonu α p�elivné hrany od b�ehové �áry jsou uvedeny v Tab. 6.4.

Tab. 6.4 Sou�initel šikmosti jezu σs h/s 0,4 0,3 0,2 0,1

α = 90o 1,00 1,00 1,00 1,00 α = 75o 0,99 0,99 1,00 1,00 α = 60o 0,94 0,96 0,97 0,99 α = 45o 0,85 0,88 0,91 0,94

Lomené jezy (Obr. 6.2 d) rozložíme na �ásti a ty �ešíme podle p�edchozího postupu. Také obloukové jezy (Obr. 6.2c) mají p�ibližn� stejnou kapacitu jako jezy šikmé, za odchylku α1 u nich považujeme úhel te�ny s b�ehovou �árou. U t�chto dvou typ� se p�epadající proud soust�euje dovnit� koryta, takže neohrožuje b�ehy pod p�elivem, jak je tomu v bod� "A" šikmého jezu na Obr. 6.2 b.

6.2.4 Bo�ní kontrakce

Obr. 6.9 Bo�ní kontrakce a sou�initel ξ pro výpo�et bo�ního zúžení u pilí��

Není-li zúžení pr�to�ného profilu plynulé, plavné, nemohou proudová vlákna sledovat ostré záhyby zdiva (Obr. 6.9), setrva�ností pokra�ují i v zúžené �ásti v p�vodním sm�ru a tím nastává zúžení (kontrakce) paprsku. P�i st�nách se vytvo�í prostory vypln�né víry se svislou osou, takže pr�tokov� ú�inná ší�ka bude b0 < b.


- 66 (188) -

V p�ípadech, kdy nastává kontrakce, dosazujeme do vzorc� na výpo�et pr�to�ného množství místo ší�ky b ú�innou ší�ku b0:

00 1,0-= hnbb ξ ; (6.16)

kde n je po�et zúžení (na Obr. 6.9 je po�et zúžení n = 2), h0 energetická p�epadová výška, v0 p�ítoková rychlost a ξ sou�initel závislosti tvaru pilí�e na bo�ní zúžení podle Obr. 6.9.

6.2.5 Jezy obdélníkového p�í�ného pr��ezu

Jezy obdélníkového p�í�ného pr��ezu (Obr. 6.10 a) mají p�epadové sou�initele m závislé na pom�ru tlouš�ky t�lesa t k výšce p�epadajícího paprsku h (Tab. 6.5). Zaoblení vstupní hrany zv�tšuje m zhruba o 5%. P�i tlouš�ce t�lesa t < 0,67 h se jedná o ostrohranný p�eliv a p�i tlouš�ce t�lesa t > 3 h nastává p�echod k p�epadu p�es širokou korunu. Pro p�epadové pr�to�né množství platí (6.13).

Tab. 6.5 P�epadové sou�initele obdélníkového jezu t / h 1:2 2:3 1 2 3 m 0,42 0,41 0,37 0,33 0,32 M 1,86 1,82 1,64 1,46 1,42

Tato t�lesa jsou sice stavebn� jednoduchá, ale hydraulicky nevýhodná (nízký p�epadový sou�initel). Dále prostor pod p�epadajícím paprskem nebývá v praxi zavzdušn�n (na rozdíl od m�rných p�eliv�), voda z n�ho vysává vzduch a vzniká podtlak, který sice pon�kud zv�tšuje pr�to�nost, ale zp�sobuje jiné nep�íznivé ú�inky (vysávání malty ze spár zdiva, korozi, pulsaci, vibraci, ...).

6.2.6 Jezy lichob�žníkového p�í�ného pr��ezu

Lichob�žníkový pr��ez (Obr. 6.10 b až d) dob�e vzdoruje zatížení, ale klade p�epadající vod� velký odpor. Proto se dnes prakticky nenavrhuje, n�kdy je však nutné hydraulické posouzení starých konstrukcí. Sou�initel p�epadu m závisí na výšce jezu, sklonu st�n a na pom�ru

th (Tab. 6.6). P�i zaoblení hran

je možno u nízkých a st�edních typ� jez� zvýšit m zhruba o 5%. Pro p�epadové pr�to�né množství platí (6.13).

Obr. 6.10 Jezy s obdélníkovým a lichob�žníkovým p�í�ným pr��ezem

P�epady

- 67 (188) -

Tab. 6.6 Sou�initel p�epadu m pro jezy lichob�žníkového tvaru typ jezu sklon st�n h/t > 2 1 < h/t < 2 0,5 < h/t <1

vysoké jezy s > 5m

n ≤ 0,5, ns ≤ 0,5

0,43 - 0,42 0,40 - 0,38 0,36 - 0,35

st�ední jezy 2 < s < 5 m

se sklon�nou návodní st�nou n = 1 n = 2

se sklon�nou vzdušní st�nou ns = 1 ns = 2

0,44 0,43

0,42 0,40

0,42 0,41

0,40 0,38

0,40 0,39

0,38 - 0,37 0,36 - 0,35

nízké jezy s < 2

se sklon�nou návodní st�nou n = 3 n = 5 n = 10

se sklon�nou vzdušní st�nou ns = 3 ns = 5 ns = 10

0,42 0,40 0,38

0,39 0,375 0,35

0,40 0,38 0,36

0,37 0,35 0,35

0,38 0,36 * * *

0,35 * * * * * *

* * * - p�echází v p�epad p�es širokou korunu

6.2.7 Proudnicová p�elivná plocha

Proudnicová p�elivná plocha vznikne p�izp�sobením tvaru p�epadového t�lesa tvaru spodního obrysu volného paprsku p�epadu p�es ostrou hranu. Rozhodující je vedení v oblasti koruny p�elivu a blízko pod ní. Proudnicové p�elivné plochy mají pom�rn� vysoký sou�initel p�epadu m. Proudnicové plochy se �lení (podle zp�sobu vedení paprsku a z toho vyplývajících tlak�) na p�elivné plochy:

- tlakové (nap�. Smetanova); - bezpodtlakové (nap�. Scimeniho); - a podtlakové.

Pro každou výšku h p�epadajícího paprsku vycházejí jiné rozm�ry proudnicové plochy jezového t�lesa, a proto se proudnicová lícní plocha navrhuje obvykle pro návrhovou p�epadovou výšku rovnou maximální, která má být p�evedena (hn = hmax ). Tím vylou�íme nep�íjemné podtlaky na p�elivné ploše pro všechny pr�toky.

P�elivné plochy bezpodtlakové p�ímo odpovídají spodnímu omezení volného paprsku p�epadajícího p�es ostrou hranu, takže t�leso p�elivu k paprsku jen doléhá a paprsek na n� teoreticky netla�í ani se od n�ho neodlepuje. Pro bezpodtlakovou Scimeniho plochu p�i návrhové p�epadové výšce dosahuje sou�initel p�epadu mn = 0,51.

P�elivné plochy podtlakové mají zaoblenou korunu, ale její zaoblení je v�tší než zak�ivení volného paprsku, takže zde vzniká podtlak. Sáním se sice zvyšuje sou�initel p�epadu m, ale mohou zde nastat pulsace tlaku, které mají vliv na stabilitu konstrukcí. Proto tyto plochy vyžadují p�i aplikaci d�kladný rozbor proud�ní a musí být ov��eny modelovými zkouškami. Sou�initel p�epadu dosahuje až velikosti m = 0,57.


- 68 (188) -

P�elivné plochy tlakové mírn� transformují zákonitý tvar volného p�epadového paprsku tak, že paprsek podpírají a tím odstra�ují s jistou bezpe�ností podtlaky za cenu snížení sou�initele p�epadu. Jako p�íklad uvedeme Smetanovu p�elivnou plochu. Pro výpo�et p�epadového množství platí (6.13) a sou�initel p�epadu m pro návrhovou výšku je podle Smetany:

m = 0,499 ; M = 2,17. (6.17) P�i menších p�epadajících výškách je vodní paprsek jezovým t�lesem "podep�en" a p�sobí na n� tlakem. P�epadový koeficient se pon�kud zmenšuje a to podle Smetany na hodnotu:

��

��

�+

nhh

m 37,063,0499,0= . (6.18)

6.2.8 N�které typy pohyblivých jez� Sou�initel p�epadu m pro vybrané typy pohyblivých jez� m�žeme uvažovat hodnotou:

- válcový jez m = 0,40; - jezy klapkové m = 0,43 ∼ 0,45; - sektorové nebo hydrostatické jezy m = 0,32 ∼ 0,48 (podle výšky

a plynulosti vedení paprsku).

To jsou však pouze hrubé údaje platné pro základní polohu jez�. V podstat� m�žeme �íci, že jde o r�zné typy p�eliv�. Od ostrohranného (nap�. p�i vzty�ené klapce) až po p�ípad, kdy je paprsek veden plochou konstrukce (nap�. p�i sklopené klapce). U sklopených hydrostatických jez� nastává i p�epad p�es širokou korunu. �asto sou�initel p�epadu pohyblivých jez� ur�ujeme podle obdobných typ� p�eliv� pevných.

6.3 P�epad p�es širokou korunu bez bo�ního zúžení P�epadem p�es širokou korunu nazýváme p�epad p�es široký práh s vodorovnou korunou, který vystupuje nad dno toku (Obr. 6. 11). Tlouš�ka koruny t musí být taková, že proud p�ilne k vodorovné korun� a prochází s ní p�ibližn� rovnob�žn�. Podle pokus� to nastane p�ibližn� p�i:

t ≥ (2 až 3) h (6.19)

Obr. 6.11 Dokonalý p�epad p�es širokou korunu

P�i dokonalém p�epadu p�es širokou korunu m�že mít proud bu tvar podle Obr. 6.11 b nebo se v pr��ezu "1" nad korunou sníží hladina - Obr. 6.11 a. P�i výpo�tu vyjdeme z Bernoulliho v�ty pro pr��ez "0" p�ed prahem a pro pr��ez "1" - Obr. 6.11 a. Umístíme-li srovnávací rovinu do roviny koruny p�elivu, bude platit:

P�epady

- 69 (188) -

zhgv

hgv

h ++=+22

21

1

20 αα

, (6.20)

kde hz jsou ztráty mezi pr��ezy "0" - "1" a m�žeme je vyjád�it:

gv

hz 2

21= ξ . (6.21)

Dosazením (6.21) do (6.20) a ozna�íme-li gv

hh2

20

0

α+= , obdržíme:

( )+=− ξαg

vhh

2

21

10 ,

( )101 21

hhgv −+

=ξα

.

Zlomek vyjad�uje sou�initel rychlosti ξ+α

=ϕ 1 , tedy:

( )101 2 hhgv −= ϕ .

Je-li A1 pr�to�ná plocha v profilu "1", pr�tok bude:

( )101 2 hhgAQ −= ϕ .

Pro obdélníkový pr��ez ší�ky b pak platí:

( )101 2 hhghbQ −= ϕ . (6.22)

Do (6.22) m�žeme zavést zúžení paprsku po výšce:

0

11 h

h=ε , (6.23)

( ) 2/301101001 212 hgbhhghbQ εεϕεεϕ −=−= .

Ozna�íme-li

11 1 εεϕ −=m (6.24)

jako sou�initel p�epadu, výsledný výraz bude: 2/3

02= hgbmQ . (6.25)

Pr�tok tedy závisí na výšce h0 a na sou�initeli m, tedy vlastn� na hloubce h1 v nejužším míst� paprsku. Pokud nebude nejužší místo paprsku zatopeno dolní vodou, nebude m závislé na pr�b�hu hladiny za pr��ezem "1".Pokusy ukázaly, že:

h1 ≈ (0,80 až 0,90) hk, kde hk je kritická hloubka (Kap. 8). Proto zde vznikne vodní skok (Kap. 9), zpravidla vlnovitý, a jeho druhá vzájemná hloubka (Kap. 9) bude:

022 = hh ε . (6.26)

Pro ε1 a ε2 byly odvozeny výrazy:

)12(21)12(2

22

22

1 −+−

=ϕϕ

ϕϕε , )12(21

222

2

2 −+=

ϕϕϕε , (6.27)


- 70 (188) -

a dosazením (6.27) do (6.24) obdržíme:

[ ] 2/322

23

)12(21

)12(2

−+

−=

ϕϕϕϕϕm .

M�žeme tedy na základ� ϕ vyjád�it sou�initele p�epadu m a hloubky h1 a h2.

Pro ideální kapalinu by bylo ϕ = 1 a tedy ε1 = ε2 = 2/3, m = 2/3

3

2 = 0,385.

Jen v tomto p�ípad� by pak nad korunou byl pohyb kritický s hloubkou hk.

Protože ztráta vzniká p�edevším p�i vstupu na práh, sou�initel p�epadu m a sou�initel zúžení paprsku po výšce ε1 závisí hlavn� na tvaru tohoto vstupu, jak ukazuje Tab. 6.7.

Tab. 6.7 P�epadové sou�initele široké koruny Tvar p�epadového prahu ϕ m M ε1 ε2

p�epad bez ztrát (abstraktní p�ípad) 1,000 0,385 1,70 0,670 0,670 vtoková �ást prahu dob�e zaoblena, p�ítok k p�epadu velmi plavn� vytvo�en

0,951

0,36

1,60

0,600

0,730

práh se zaoblenou vtokovou hranou 0,936 0,35 1,55 0,570 0,760 práh se zkosenou vtokovou hranou 0,912 0,33 1,46 0,530 0,790 práh s ostrohranným vtokem 0,900 0,32 1,42 0,510 0,805 práh s ostrohranným vtokem p�i nep�íznivých pom�rech (drsný povrch)

0,881

0,30

1,33

0,465

0,830

Vliv dolní vody, tj. nedokonalý p�epad p�es širokou korunu (Obr. 6.12) nastává tehdy, když hladina vody za p�elivem p�estoupí úrove� h2 (6.26) nad korunou, tj. jestliže platí:

02-= hshh dz ε> , (6.28)

kde ε2 závisí na tvaru prahu (Tab. 6.7). Bernoulliho rovnice bude pro profil p�ed p�elivem a zatopený profil nad p�elivem - p�i zatopení hz = hd - s (Obr. 6.12):

gv

gv

hh zzz 22

22

0 ++= ξα,

)(2 0 zz hhgv −= ϕ .

Pr�tok obdélníkovým pr��ez ší�ky b bude p�i nedokonalém p�epadu p�es širokou korunu:

)-(2= 0 zz hhghbQ ϕ . (6.29)

Obr. 6.12 Nedokonalý p�epad p�es širokou korunu

P�epady

- 71 (188) -

P�. 6.1 V obdélníkovém žlabu ší�ky b = 1,8 m p�epadá voda p�es Bazin�v p�eliv podle Obr. 6.13. Výška p�epadového paprsku je h = 0,6 m, tlouš�ka p�elivné st�ny je t = 0,02 m, výška p�elivu nade dnem p�ívodního koryta s1 = 0,8 m, výška p�elivu nade dnem odpadního koryta s = 1,1 m. Stanovte p�epadové množství Q, pro p�ípad, kdy:

a) hda = 0,7 m; b) hdb = 1,3 m.

h = 0,60 m; a) hda = 0,70 m; b) hdb = 1,30 m; s1 = 0,80 m; Qa = ? m3/s; Hb = 0,40 m; s = 1,10 m; hzb = 0,20 m; b = 1,80 m; Qb = ? m3/s; g = 9,81 m/s2;

Obr. 6.13

�ešení: 1. jedná se o Bazin�v p�eliv (p�eliv bez bo�ní kontrakce);

2. a) jedná se o dokonalý p�epad (hda < s); b) m�že se jednat o nedokonalý p�epad (hdb > s) - podmínky (6.6):

1) hdb = 1,30 m > s = 1,10 m; ∧

∧ 2) 6.1Tab.-545,0pro

*

72,0364,0=

=��

��

�<=sh

b

sH

sH

;

v p�ípad� b) se jedná o nedokonalý p�epad, protože jsou spln�ny podmínky pro vznik nedokonalého p�epadu;

3. meze platnosti pro sou�initel p�epadu jsou spln�ny: 0,1 m < h = 0,5 m < 1,24 m; 0,2 m < b = 1,8 m < 2,0 m; 0,2 m < s1 = 0,8 m < 2,0 m;

sou�initel p�epadu podle Bazina (6.4) je:

�

�

�

�

��

��

�+�

�

��

�2

1+55,01

0,003+0,405=

shh

hm ;

=�

�

�

��

��

�+��

�

��

�2

8,0+6,06,0

55,016,0

0,003+0,405=m 0,451;

4. a) jedná se o dokonalý p�epad bez bo�ního zúžení, s vodorovnou svislou p�elivnou plochou;

b) jedná se o nedokonalý p�epad bez bo�ního zúžení, s vodorovnou svislou p�elivnou plochou a sou�initel zatopení (6.8):

33

60,040,0

10,120,0

0,2+105,10,2+11,05= ��

��

�=��

��

�

hH

sh bzb

zbσ ;


- 72 (188) -

σzb = 0,951;

5. a) p�epadové množství se vypo�ítá podle rovnice (6.3):

/sm671,16,081,9*28,1*451,0=2= 32/32/3 =hgbmQa ;

b) p�epadové množství se vypo�ítá podle rovnice (6.7):

/sm589,16,081,9*25,1*468,0*951,0=2= 32/32/3 =hgbmQ zb σ .

P�es p�eliv p�epadá v p�ípad�: a) - dokonalý p�epad: Qa = 1,671 m3/s; b) - nedokonalý p�epad: Qb = 1,589 m3/s.

P�. 6.2

V obdélníkovém koryt� je práh (Obr. 6.11 a) se o výšce s1 = s = 1 m, ší�ka prahu je t = 3 m. Práh má zaoblenou vstupní hranu. P�epadová výška je h = 1,0 m, ší�ka koryta p�ed jezem B = 10 m je stejná jako ší�ka p�elivu b = 10 m. Vypo�ítejte pr�tok Q, je-li hladina vody v koryt� hd = 1,2 m.

s1 = s = 1,0 m; A0 = (h + s1) B ; t = 3,0 m; A0 = ((1,0 + 1,0)*10,0) m2; B = b = 10,0 m; A0 = 20,0 m2; h = 1,0 m; hd = 1,2 m; α = 1,1; Q = ? m3/s;

�ešení:

1. t ≥ (2 až 3) h.=> jedná se p�epad p�es širokou korunu; 2. m�že se jednat o nedokonalý p�epad (hd > s); 3. ur�ení sou�initel� pro p�epad p�es širokou korunu:

�6.7Tab.

m = 0,35 , ε1 = 0,570 , ε2 = 0,760 , ϕ = 0,936;

protože p�epadové množství p�es širokou korunu je funkcí p�ítokové rychlosti, která není p�edem známa a p�ítoková rychlost je vlastn� funkcí hledaného p�epadového množství, je vhodné použít itera�ního postupu, tedy postupu postupného p�ibližování do chyby velikosti |Qi+1 - Qi| < 0,01 m3/s. V každé iteraci je nutno dále zjiš�ovat, jedná-li se o p�epad dokonalý nebo nedokonalý:

1. iterace: v první iteraci p�edb�žn� spo�ítáme výtokové množství bez uvažování p�ítokové rychlosti v0, kterou p�edem neznáme:

1.1. v0(1) = 0 m/s => ( )

m0,12

2)1(0)1(

0 ==α+= hg

vhh ;

1.2. druhá vzájemná hloubka: m76,0)1(02

)1(2 =ε= hh ;

1.3. podm. nedok. p�epadu: 02- hshh dz ε>= ;

m76,0m2,0 )1(02 =ε<= hhz => DOK.;

1.4. jedná se o dokonalý p�epad, pro pr�tok platí:

( ) /sm503,15=2= 32/3)1(0

(1) hgbmQ ;

P�epady

- 73 (188) -

2. iterace: výpo�et provedeme s opravenou p�ítokovou rychlostí, kterou obdržíme z celkového pr�toku z první iterace a pr�to�né plochy v p�ívodním obdélníkovém koryt�:

2.1. m/s775,00

)1()2(

0 ==A

Qv => ( )

m034,12

2)2(0)2(

0 =α+=g

vhh ;


)2(2 == hh ε ;

2.3. podm. nedok. p�epadu: )2(0hhz 2ε< => DOK.;


( ) /sm== 3(2) 293,1622/3)2(

0hgbmQ ;

|Q(2) - Q(1)| = 0,790 > 0,01 m3/s;

3. iterace: jelikož rozdíl mezi 1. a 2. iterací není požadovaný, výpo�et pokra�uje:

3.1. m/s815,00

)2()3(

0 ==A

Qv => m034,1)3(

0 =h ;


)3(2 =ε= hh ;



( ) /sm376,16=2= 32/3)3(0

(3) hgbmQ ;

|Q(3) - Q(2)| = 0,083 > 0,01 m3/s;

4. iterace jelikož rozdíl mezi 2. a 3. iterací není požadovaný, výpo�et pokra�uje:

4.1. m/s819,00

)3()4(

0 ==A

Qv => m038,1)4(

0 =h ;


)4(2 =ε= hh ;



( ) /sm385,16=2= 32/3)4(0

(4) hgbmQ ;

|Q(4) - Q(3)| = 0,009 < 0,01 m3/s.

P�epadové množství je Q = 16,385 m3/s.

Kontrolní otázky - Jaký je rozdíl mezi p�elivem a p�epadem? - Jakých hodnot nabývá sou�initel p�epadu a na �em závisí? - Jaké znáte typy p�eliv�? - Co vyjad�uje sou�initel zatopení?

Ustálené tlakové proud�ní vody v potrubí

- 74 (188) -

7 Ustálené tlakové proud�ní vody v potrubí Pohybem vody v tlakovém potrubí jsme se již �áste�n� zabývali. Vysv�tlili jsme pojmy tlakové �áry a �áry energie (Obr. 4.3). Nyní tyto poznatky rozší�íme o výpo�et ztrát, které vznikají p�i pohybu vody v potrubí. Potrubím rozumíme za�ízení, kterým se dopravují kapaliny. Potrubí rozd�lujeme podle r�zných hledisek:

- podle materiálu, z kterého je potrubí (ocelové, litinové, betonové, kameninové, sklen�né, azbestocementové, plastové, z gumotextilií, ...);

- podle tvaru p�í�ného pr��ezu - kruhové, eliptické, podkovovité, vejcovité, obdélníkové, ...;

- podle konstruk�ního hlediska: - jednoduché potrubí, které dopravuje kapalinu jedinou trubní v�tví

konstantního pr�m�ru; - složené potrubí, které má prom�nný pr�m�r nebo se rozv�tvilo, aby

umožnilo dopravu na n�kolik míst spot�eby (vodovodní potrubí) nebo se k n�mu naopak p�ipojují další potrubí, které p�ivádí kapalinu od jiných zdroj�;

- podle hydraulického hlediska: - tlakové potrubí (vodovodní potrubí, tlakové p�ivad��e, závlahové

potrubí, ...); - potrubí s volnou hladinou (kanaliza�ní stoky, drenážní potrubí,

beztlakové p�ivad��e a odpady, ...), která se hydraulicky nikterak neliší od otev�ených koryt, a proto i jejich výpo�et bude stejný (Kap. 8).

V praxi používáme nej�ast�ji potrubí kruhového pr��ezu, protože je hydraulicky nejvýhodn�jší, dob�e odolává vnit�nímu p�etlaku a i po stránce výrobní je jednoduché. Proto se budeme zabývat hlavn� potrubím s kruhovým pr��ezem, avšak úvahy lze aplikovat i na potrubí libovolného tvaru.

7.1 Hydraulické odpory Ur�ení ztrát energie p�i ustáleném pohybu kapaliny pat�í k základním otázkám hydrauliky. V podstat� rozeznáváme dva druhy t�chto odpor� (ztrát). Ztráta t�ením vzniká v celé délce proudu t�ením mezi jednotlivými vrstvami vazké kapaliny a t�ením kapaliny o pevné st�ny vedení proudu. Ztráta t�ením je tedy úm�rná délce proudu. Místní ztráty vznikají deformací rychlostního pole (rozložení vektoru bodové rychlosti ve vedení), tedy nap�. rozší�ením nebo zúžením proudu. P�i proud�ní kapaliny takovými místy vznikne hlavní proud, jehož vymezení od ostatní kapaliny bývá �asto nestabilní. Stykem se sousedními pomalejšími �ásticemi vzniká snadno vírová plocha. Vazkostí a deformací proudu se pohyb vzniklých vír� brzdí a �ást mechanické energie p�echází v jinou. Tato disipace �ásti mechanické energie je vlastní podstatou místních ztrát, a�koliv zde samoz�ejm� p�istupuje i t�ení. Ztráty m�žeme vyjád�it z Bernoulliho rovnice v proudu skute�né kapaliny (4.23), po úprav� pak:

��

��

�++−��

�

��

�++

gv

gp

hgv

gp

hh22

=222

2

211

1z

αρ

αρ

. (7.1)


- 75 (188) -

Celkovou ztrátu hz dostaneme složením jednotlivých ztrát, jež se provede se�tením. Dopouštíme se tím však jisté nep�esnosti, pon�vadž zm�na proud�ní zp�sobená místním odporem v jednom míst� m�že ovlivnit velikost místních odpor� v dalším úseku. Bude tedy p�ibližn� platit:

+= mtz hhh , (7.2)

kde Σht je sou�et všech ztrát t�ením na uvažovaném úseku a Σhm sou�et všech ztrát místních. Velikost ztrát se ur�uje m��ením, a to za ustáleného pohybu z (7.1) zm��ením rozdíl� geodetických výšek (h2 - h1), tlakových (piezometrických) výšek ��

�

��

�

ρ−g

pp 21 a rychlostních výšek ��

�

�

��

�

� α−αg

vv2

22

21 na za�átku

a konci p�íslušného úseku. Na vodorovném potrubí stálého pr��ezu bude ztrátová výška dána rozdílem tlakových výšek (v1 = v2 a h1 = h2):

gp

gpp

hρρ∆=

− 21z = . (7.3)

Ztráta t�ením a místní ztráta se obvykle vyjad�ují jako �ást rychlostní výšky ve tvaru:

gv

h2

=21

z κ , (7.4)

kde κ je sou�initel p�íslušné ztráty.

7.2 Základní rovnice pro rovnom�rný pohyb kapalin Uvažujme tlakové potrubí konstantního pr�to�ného pr��ezu A, v n�mž proudí rovnom�rn� voda. P�ipojíme-li v profilech "1" a "2" piezometry (svislé tlakové trubky), ustálí se v nich hladina ve výši

gp

gp

ρρ21 a , udávající tlakové výšky

v p�íslušných profilech. Výšky osy potrubí nad zvolenou srovnávací rovinou jsou h1 a h2. Protože pr��ez potrubí je konstantní, je pr��ezová rychlost v také konstantní. Kdyby proud�ní bylo beze ztrát, bylo by podle Bernoulliho rovnice:

gv

gp

hg

vg

ph

22

22

2

21

1 ++++ρρ

= ,

z �ehož plyne, že by hladiny v obou piezometrech byly v téže vodorovné rovin�. Ve skute�nosti vzniká ztráta hz. Proto �áry tlaku a energie ve sm�ru proud�ní klesají - energie ubývá, �ást mechanické energie se p�em��uje v jiné formy energie (nap�. teplo).

1 2 Obr. 7.1 Rovnom�rný pohyb kapaliny


- 76 (188) -

Vyjm�me z proudu kapaliny p�i rovnom�rném proud�ní s pr�m�rnou rychlostí v = konst. výsek proudu o délce L mezi pr��ezy "1" a "2" (Obr. 7.1). P�sobící síly musí být p�i rovnom�rném pohybu v rovnováze. P�sobení okolní kapaliny nahradíme tlakovými silami na �elní plochy:

P1 = p1 A1; P2 = p2 A2. (7.5) Dále na tento výsek proudu p�sobí vlastní tíha G = ρ g A L. Pr�m�t tíhy do osy proudu je:

G sin α = ρ g A L sin α = ρ g A (h1 - h2); (7.6) a odpor t�ením na st�nách potrubí:

T = L O τ0, (7.7) kde O je omo�ený obvod pr�to�ného pr��ezu a τ0 smykové nap�tí p�sobící po ploše na styku kapaliny a vedení. Omo�eným obvodem pr�to�ného pr��ezu rozumíme délku styku kapaliny s tuhými st�nami - v p�ípad� tlakového potrubí je omo�ený obvod roven obvodu potrubí.

Na proud ješt� p�sobí silový ú�inek st�n omezujících proud Fn, tyto síly jsou však kolmé k ose proudu, takže jejich pr�m�t bude do sm�ru pohybu nulový.

P�sobící síly jsou v rovnováze p�i rovnom�rném pohybu a podmínka rovnováhy sil p�sobících na výsek proudu ve sm�ru osy potrubí je:

P1 - P2 + G sin α - T = 0. (7.8) Dosadíme-li do (7.8) rovnice (7.5) až (7.7), obdržíme:

0)( 02121 =τρ OLhhAgpApA −−+− .

Vyd�lením hustotou, tíhovým zrychlením a pr�to�nou plochou obdržíme:

002

21

1 =gA

OLh

gp

hg

pρτ

ρρ−��

�

��

�+−��

�

��

�+ . (7.9)

Zavedením hydraulického polom�ru R, který je definován jako pom�r pr�to�ného pr��ezu a omo�eného obvodu:

OA

R = , (7.10)

nabude (7.9) po úprav� tvaru:

RL

gh

gp

hg

pρτ

ρρ0

22

11 =��

�

��

�+−��

�

��

�+ . (7.11)

Protože p�i rovnom�rném proud�ní je v1 = v2, vyjad�uje levá strana podle rovnice (7.1) ztrátu hz. Tuto ztrátu charakterizujeme pom�rnou hodnotou p�íslušející jednotce délky:

Lh

i z= , (7.12)

kde i je hydraulický sklon (sklon �áry energie) pot�ebný k p�ekonání odpor�. Obdržíme tedy:

RL

ghz ρ

τ 0= ;


- 77 (188) -

iRgLh

Rg z ρρτ ==0 . (7.13)

Tím jsme obdrželi obecn� platnou závislost pro rovnom�rný pohyb kapaliny, a to jak pro tlakové proud�ní v potrubích tak i pro otev�ená koryta p�i proud�ní s volnou hladinou. Upravme dále (7.13) d�lením hustotou ρ:

iRg=ρτ 0 .

Tato veli�ina má rozm�r �tverce rychlosti, a platí:

*0 viRg ==

ρτ

, (7.14)

kde v* se nazývá t�ecí rychlost a charakterizuje ztrátu t�ením vyjád�enou v jednotkách rychlosti.

7.3 Laminární a turbulentní proud�ní Odpory p�i proud�ní vazkých tekutin jsou podstatn� ovlivn�ny strukturou pohybu jednotlivých �ástic. Reynolds experimentáln� prokázal, že existují dva režimy pohybu:

- laminární (neboli vrstevnaté, z lat. lamina = vrstva); - turbulentní (�ili vírnaté, z lat. turbulentus = nespo�ádaný).

P�i laminárním režimu proud�ní jednotlivé �ástice procházejí v drahách soub�žných a mezi sebou se nemísí. Turbulentní režim proud�ní se vyzna�uje nepravidelnou pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich st�ední hodnoty. �ástice se navzájem mísí. To nám znázor�uje známý pokus provedený Reynoldsem v roce 1883 (Obr. 7.2).

L

Obr. 7.2 Reynolds�v pokus Obr. 7.3 Závislost ztráty

t�ením na rychlosti

Reynolds provád�l pokusy s rovnom�rným proud�ním vody v potrubí (Obr. 7.2) a sledoval rozdíly hladin v piezometrech. Z tohoto pokusu je možné ur�it ztrátu t�ením hz ve vodorovné trubici na dráze L úbytkem tlakové výšky v piezometrech:

Lihz =

a její závislost na rychlosti, která je udávána ve tvaru:


- 78 (188) -

mz vah = .

Logaritmováním obdržíme závislost, která je p�ímková (Obr. 7.3):

vmahz logloglog += . Ukazuje se, že p�i laminárním pohybu rostou ztráty za postupného zvyšování rychlosti podle p�ímky o sm�rnici m = 1, tedy v laminárním režimu platí:

vahz = . P�i p�ekro�ení rychlosti vB velikost ztráty náhle roste, takže se p�i tém�� stejné rychlosti dostaneme skokem do bodu C. P�i dalším zvyšování rychlosti pak rostou ztráty podle p�ímky se sm�rnicí m > 1. P�i snižování rychlosti se skok v tomto míst� (bod B) neobjeví a ztráty klesají až do zlomu v bod� A.

Laminárnímu režimu tedy odpovídá �ást grafu nalevo od bodu A (grafu na Obr. 7.3). Turbulentní režim je dán �ástí grafu napravo od bodu C. Exponent m má v turbulentní režimu hodnotu m = 1,75 až 2,0. Nej�ast�ji nabývá hodnoty m = 2, a proto hovo�íme o kvadratickém pásmu odpor�:

2vahz ≈ . Mezi body ABC se nachází p�echodná oblast. V této oblasti m�že být pohyb laminární i turbulentní, laminární režim však zde m�že p�i jakémkoliv vn�jším popudu p�ejít okamžit� v turbulentní. Pro p�echod režim� proud�ní je tedy rozhodující bod A.

Toto rozmezí m�žeme charakterizovat rychlostí v, pr�m�rem trubice D a kinematickou viskozitou kapaliny ν, které vzájemn� tvo�í bezrozm�rnou veli�inu - Reynoldsovo kritérium:

υDv=Re .

Pr�m�r trubice D m�žeme obecn�ji vyjád�it pomocí charakteristického délkového rozm�ru proudu. U otev�ených koryt jako charakteristický rozm�r proudu uvažujeme hydraulický polom�r (7.10), pak:

υRv

R =Re ,

a protože pro kruhový pr�to�ný pr��ez je:

44

2 DD

DOA

R ===π

π,

znamená to, že:

4Re

Re =R .

Hranici A odpovídá podle pokus� pro všechny tekutiny stálá hodnota Reynoldsova kritéria, kterou m�žeme ozna�it jako kritickou hodnotu v kruhovém potrubí:

3202Re ≈ .


- 79 (188) -

P�i menší hodnot� Reynoldsova kritéria Re < 2320 bude zajišt�n laminární režim proud�ní.

Horní rozmezí (bod C) již není tak ur�ité, závisí na intenzit� stup�ování rychlosti i na p�ípadném usm�r�ování proud�ní. V obvyklých podmínkách se p�i plynule pozvolném stup�ování rychlosti uchoval laminární režim až do Re ≈ 13 800. P�i v�tší hodnot� Re m�žeme uvažovat, že se jedná o režim turbulentní, pon�vadž jen mimo�ádn� byl udržen nestabilní laminární režim proud�ní až do hodnoty asi Re = 104 až 105.

Pro otev�ená koryta bude zaru�en laminární režim proud�ní do hodnoty Reynoldsova kritéria Re:

58043202

Re =≈R .

V mezích ReR = 580 ~ 3 450 bude p�echodná oblast a turbulentní pohyb m�žeme uvažovat p�i ReR > 3 450.

Podmínky pro laminární pohyb jsou spln�ny za malých rychlostí v malých pr�to�ných pr��ezech nebo u siln� vazkých kapalin.

7.4 Ztráty t�ením Výsledky m��ení ukazují, že hydraulický sklon i je u turbulentního proud�ní zhruba úm�rný kvadrátu pr��ezové rychlosti. Zapišme tuto úm�ru ve tvaru:

22

0 1v

CiR

g==

ρτ

; L

hi z= ;

iRCv = ; iRCAvAQ == , (7.15)

kde C je rychlostní sou�initel. Rovnice (7.15) je základní rovnice, která udává závislost mezi rychlostí rovnom�rného proud�ní a hydraulickým sklonem i. Tato rovnice byla p�vodn� odvozena pro otev�ená koryta Chézym v roce 1775 a nazývá se podle autora Chézyho rovnice.

Pro kruhové potrubí o polom�ru r a pr�m�ru D hydraulický polom�r nabývá tvaru:

422

2 Drr

rOA

R ====π

π. (7.16)

Úpravou (7.15) obdržíme:

22

14v

DCi = .

Zavedeme-li ozna�ení:

gC 24

2

λ= , (7.17)

vyjád�íme hydraulický sklon i a ztrátu hz ve vztahu k rychlostní výšce g

v2

2

a sou�initel λ jako bezrozm�rné �íslo. Pak obdržíme Darcy-Weisbachovu závislost:


- 80 (188) -

gv

Di

21 2

λ= ; g

vDL

Lihz 2

2

λ== , (7.18)

což je základní vztah pro výpo�et ztráty t�ením v potrubí p�i rovnom�rném proud�ní vody.

7.4.1 Sou�initel t�ení

Sou�initel t�ení (odporový sou�initel) λ, závisí v podstat� na drsnosti potrubí, jeho pr�m�ru a hodnot� Reynoldsova kritéria (tedy na pr��ezové rychlosti, pr�m�ru potrubí a vazkosti kapaliny). Vyjdeme-li od nejmenších rychlostí, m�žeme vymezit pro sou�initele t�ení λ n�kolik oblastí s r�znými zákonitostmi:

1. laminární režim proud�ní, kde λ závisí pouze na hodnot� Reynoldsova kritéria (λ = f (Re)):

Re64

=λ , (7.19)

což je v logaritmické soustav� znázorn�no p�ímkou;

2. oblast p�echodu mezi koncem laminárního proud�ní a pln� vyvinutým turbulentním proud�ní;

Obr. 7.4 Drsnost st�n ∆ a mezní vrstva δ u st�ny potrubí

3. turbulentní proud�ní hydraulicky hladké potrubí v turbulentním režimu, kde λ závisí jen ješt� na hodnot� Reynoldsova kritéria λ = f(Re). Víry, které vznikají u výstupk� v hydraulicky hladkých potrubích, z�stávají p�i st�n� uvnit� mezní vrstvy a neodtrhávají se od ní a tím nezv�tšují turbulenci proud�ní. Tyto víry proto nemají vliv na odpory v potrubí. Jedná se tedy o p�ípad, kdy turbulentní proud�ní má mezní vrstvu n�kolikanásobn� tlustší (Obr. 7.4), než je výška výstupk� st�n. Potrubí považujeme za hydraulicky hladké, pokud platí:

δ > 5 ∆ �, kde iDgiDg

v

iRgiRg

v

ρµ

ρµδ 6,326,32

=11,811,8

= == , (7.20)

kde δ je tlouš�ka mezní vrstvy, ∆ drsnost (Obr. 7.4), v kinematická viskozita, µ dynamická viskozita, g tíhové zrychlení, R hydraulický polom�r, D pr�m�r potrubí, ρ hustota a i sklon �áry energie. Mezní vrstva se skládá z laminární podvrstvy a z p�echodné oblasti. Tlouš�ka mezní vrstvy δ se se zmenšováním rychlosti zv�tšuje. Výrazy pro ur�ení sou�initele t�ení λ jsou:

- podle Blasiuse: 0,25Re0,3164

=λ ; (7.21)


- 81 (188) -

- podle Prandtlova-Kármánova výrazu: 51,2

Relog2=

1 λλ

; (7.22)

p�echodná oblast ztrát t�ením v turbulentním režim, kde na λ má vliv Re i relativní drsnost

D∆ - λ = f (Re,

D∆ ), kde D je pr�m�r potrubí.

kvadratická oblast ztrát t�ením v turbulentním režimu s pln� vyvinutým turbulentním pohybem u hydraulicky drsných potrubí (potrubí u kterých se neuplatní mezní vrstva) V této oblasti odpadá závislost λ na Re a sou�initel t�ení λ závisí jen na relativní drsnosti λ = f (

D∆ ). Pro λ platí

Nikurads�v vztah:

27,3

log

25,0

��

��

�∆

D=λ . (7.23)

proud�ní je v kvadratické oblasti ztrát t�ením p�i ∆λ

> D191Re .

V celé oblasti turbulentního proud�ní platí pro technická potrubí Colebrook-Whiteova rovnice:

��

��

� ∆D3,7

+Re

2,51log2-=

1

λλ , (7.24)

kde ∆ je absolutní drsnost st�n (Tab. 7.1) a Re hodnota Reynoldsova kritéria. P�i velké hodnot� Re (Re → ∞) p�ejde tento výraz v Nikuradseovu rovnici (7.23), zatímco p�i malých hodnotách Re bude první �len v závorce podstatn� p�evyšovat druhou �ást, takže se výsledná hodnota p�iblíží Prandtlovu-Kármánovu výrazu (7.22). Grafické znázorn�ní Colebrook-Whiteovy rovnice p�edstavuje Moodyho diagram (Obr. 7.5), který umož�uje pro hodnoty Re a pro pom�r

∆D ur�it velikost sou�initele t�ení λ.

Obr. 7.5 Moodyho diagram pro ur�ení sou�initele t�ení λ v závislosti

na hodnot� Reynoldsova kritéria a Re a relativní drsnosti D∆


- 82 (188) -

Tab. 7.1 Orienta�ní hodnoty drsnosti st�n ∆ pro potrubí

materiál potrubí a druh potrubí stav potrubí ∆ [mm] tažené ze skla, m�di mosazi, hliníku, plastických hmot technicky hladké až 0,0015

nové 0,05 až 0,10 vy�išt�né po delším používání 0,15 až 0,20 mírn� zreziv�né, lehce inkrustované až 0,40

ocelové sva�ované, b�žná jakost

siln� inkrustované až 3 nýtované ocelové 1 až 5 (i 10)

uvnit� asfaltované 0,125 nové 0,25 až 1,00 zreziv�lé 1,00 až 1,50

litinové

inkrustované 1,50 až 3,00 galvanicky pokovené ocelové 0,15 d�ev�né 0,20 až 1,00

hlazené 0,3 až 0,8 betonové drsné 1,0 až 3,0

azbestocementové (eternitové) 0,10

7.4.2 Rychlostní sou�initel C

V Kap. 7.4 jsme poznali, že k výpo�tu rovnom�rného proud�ní v potrubí m�žeme také použít Chézyho rovnici (7.15). Rychlostní sou�initel charakterizuje vliv drsnosti st�n potrubí nebo koryta, tvar pr�to�ného pr��ezu a výjime�n� i sklon. Pro výpo�et rychlostního sou�initele C byla odvozena �ada empirických výraz�. Uvádíme pouze výpo�et podle Pavlovského a Manninga:

- podle Pavlovského: 0,1)-(75,0-0,13-2,5=,1

nRnyRn

=C y ; (7.25)

- dle Manninga: 6/11R

n=C ; (7.26)

kde n je drsnostní sou�initel (Tab. 7.2) a R je hydraulický polom�r (7.10). Manning�v výraz je vlastn� zvláštním p�ípadem vzorce Pavlovského (y ≈ 1/6).

Tab. 7.2 Drsnostní sou�initel n pro potrubí Druh omo�eného obvodu n

úpln� hladké povrchy (smaltované, glazurované, sklo, m�, mosaz, olovo) 0,009 dob�e ohoblované desky, dobrá cementová omítka, novodur, PVC, gumové hadice 0,010 nové keramické, litinové a kovové potrubí (dob�e uložené a spojené) 0,011 vodovodní potrubí (normální stav, bez z�ejmé inkrustace), �isté stokové potrubí 0,012 b�žné stokové potrubí, málo zne�išt�né vodovodní potrubí 0,013 zne�išt�né vodovodní a stokové potrubí 0,014 velmi zne�išt�né stoky 0,015

Všechny základní hodnoty pro výpo�et kruhového potrubí jsou závislé na D a n: y

Dn

C ��

��

�=4

1.


- 83 (188) -

Ztrátu m�žeme pak vyjád�it z výrazu (7.15) pro pr�tok:

iRCAQ = ,

LhDD

nD

Q zy

441

4

2

��

��

�= π, (7.27)

odtud obdržíme po úprav�:

2522

22 1464 QL

DDn

h y

y

z π= ; (7.28)

222

2

11K

RCAKQLQLK

hz ==== A;;A , (7.29)

kde K je modul pr�toku a A ztrátový modul (Tab. 7.3). Modul pr�toku (pr�toková charakteristika) je vlastn� pr�tok p�i jednotkovém hydraulickém sklonu i = 1.

Tab. 7.3 Hodnoty ztrátového modulu A [s2/m6] pro výpo�et kruhového litinového potrubí (n = 0,012)

pr�m�r D [mm] 50 80 100 125 150 200 250 A (dle Manninga) 12874 1049,7 319,32 97,133 36,7340 7,92006 2,409215 A (dle Pavlovského) 10469 871,33 267,65 82,215 31,3413 6,84326

6 2,102255

pr�m�r D [mm] 300 350 400 500 600 800 1000 A (dle Manninga) 0,9111 0,40043 0,19644 0,05976 0,02260 0,00487 0,001482 A (dle Pavlovského) 0,8014 0,35467 0,17504 0,05378 0,02051 0,00448

2 0,001378

Dále m�žeme vyjád�it sou�initel t�ení λ jako funkci rychlostního sou�initele C podle (7.17):

2

8C

g=λ . (7.30)

V tomto vztahu je zanedbaný vliv sou�initele λ na rychlosti, což je p�ípustné pouze jen p�i v�tších rychlostech v potrubí.V Tab. 7.4 je uveden sou�initel t�ení λ pro starší vodovodní potrubí, jehož stupe� drsnosti n = 0,012.

Tab. 7.4 Sou�initel t�ení λ pro vodovodní potrubí (n = 0,012) pr�m�r D [mm] 50 80 100 125 150 200 250

λ (dle Manninga) 0,049 0,042 0,039 0,036 0,034 0,031 0,028

λ (dle Pavlovského) 0,040 0,035 0,032 0,030 0,029 0,026 0,025

pr�m�r D [mm] 300 350 400 500 600 800 1000

λ (dle Manninga) 0,027 0,025 0,024 0,023 0,021 0,019 0,018

λ (dle Pavlovského) 0,024 0,023 0,022 0,020 0,019 0,018 0,017

7.4.3 Empirické výrazy pro výpo�et sou�initele t�ení λλλλ Pro výpo�et sou�initele t�ení λ lze použít n�kterých empirických vztah�, které byly v�tšinou odvozeny z m��ení v kvadratickém pásmu odpor�. Použití t�chto vztah� je však možné použít pouze v podmínkách, pro které byly odvozeny.

- Dupuit udal pro výpo�et pr�toku kruhových potrubí výraz:

iDQ 520= , (7.31) odtud vyplývá, že považoval λ za konstantu (λ ≈ 0,030);


- 84 (188) -

- Ševeljev provád�l pokusy s potrubím až do D = 1400 mm a do Re = 106. Pro vodovodní potrubí (teplota vody t = 12o C) podle Ševeljeva platí:

- azbestocementové potrubí:

v < 7,5 m/s: 190,0

190,0 1 ��

��

�vD

3,351+

0,0110=λ ; (7.32)

v > 7,5 m/s: 190,0D0,0118

=λ ; (7.33)

- nové ocelové potrubí:

v < 3,0 m/s: 226,0

226,0

0,652+1

0,0159= �

�

��

�vD

λ ; (7.34)

v > 3,0 m/s: 226,0

0,0164=

Dλ ; (7.35)

- nové litinové potrubí:

v < 3,4 m/s: 284,0

284,0

2,25+1

0,0144= �

�

��

�vD

λ ; (7.36)

v > 3.4 m/s: 284,0

0,0164=

Dλ . (7.37)

Pro zjišt�ní vlivu stárnutí trub na ztráty zkoušel Ševeljev potrubí D = 600 až 1200 mm z vodovodní sít� Moskvy. Zjistil, že pr�to�nost azbestocementových potrubí z�stává i po dlouhém provozu stejná. U ocelových a litinových potrubí jsou ztráty po 6 až 15 letech prakticky ustálené:

- staré ocelové a staré litinové potrubí:

v < 1,15 m/s: 3,0

3,0

0,827+1

0,0179= �

�

��

�vD

λ ; (7.38)

v > 1,15 m/s: 3,0

0,0210=

Dλ . (7.39)

7.5 Místní ztráty Místní ztráty vznikají všude tam, kde dochází k deformaci rychlostního pole, a to:

- zm�nou sm�ru proud�ní; - vytvá�ením úplavu a vírových oblastí p�i nedokonalém obtékání p�ekážek

v proudu kapaliny; - rozší�ením a zúžením proudu; - d�lením a spojováním proudu; - jinými rušivými zásahy.

Jinými slovy tyto ztráty vzniknou nap�íklad: - p�i zm�n� pr��ezu potrubí; - p�i zm�n� sm�ru (oblouky, kolena); - p�i slou�ení nebo odd�lení proudu (T-kusy, odbo�ky na potrubí); - na armaturách (šoupátka, klapky, ventily), atd.


- 85 (188) -

Ztráty místní vyjad�ujeme podle Weisbacha ve tvaru násobku rychlostní výšky:

gv

hm 2

2

ξ= , (7.40)

kde v je pr��ezová rychlost v míst� singularity a ξ sou�initel místní ztráty (nap�. sou�initel ztráty rozší�ením pr��ezu, spojením proud�, kolenem, šoup�tem, vtokem, ...), který je závislý na tvaru singularity (geometrickém uspo�ádáním odporu), na drsnosti st�n, na rychlostním poli, na hodnot� Reynoldsova kritéria Re, atd. Vliv hodnoty Reynoldsova kritéria Re se projevuje hlavn� p�i malých hodnotách tohoto kritéria, kdežto v kvadratické oblasti je ξkv = konst.

V následujících odstavcích p�i výpo�tu místních ztrát p�edpokládáme, že rychlostní pole na vstupu je symetrické (p�edcházející odpor je v minimální vzdálenosti Lmin = 40 D) a že pro hodnotu Reynoldsova kritéria platí:

Re > Remezní (7.41) kde Remezní ur�uje za�átek kvadratické oblasti.

7.5.1 Náhlé rozší�ení pr��ezu potrubí - Bordova ztráta Ztráta vzniká p�i napojení potrubí o v�tším pr�m�ru D2 na potrubí s menším pr�m�rem D1 v jednom míst� (Obr. 7.6). Proud vytéká z pr��ezu 1 jako souvislý paprsek, mísí se s okolní kapalinou a uvádí ji do ví�ivého pohybu. Pozvolna se rozši�uje, až v pr��ezu 2 zaujme celý pr��ez A2. V koutech za rozší�ením kapalina intenzivn� ví�í.

P�i ur�ování ztráty hzr vyjdeme z v�ty o hybnostech (4.28). Hybnost ve vstupním pr��ezu "1" je ρQv1, ve výstupním pr��ezu "2" je ρQv2, tedy jejich rozdíl bude:

)( 12 vvQ −ρ .

Obr. 7.6 Náhlé rozší�ení pr��ezu potrubí

Vn�jší síly jsou: a) složka tíhy objemu kapaliny mezi pr��ezy "1" a "2":

)(coscos 2122 hhAgLAgG −== ραρα , protože: L

hh 21cos−

=α ;

b) tlakové síly: v pr��ezu "1" jde p�edevším o tlak na plochu A-D a o reakci st�ny ABCD, tedy celkem o tlak na plochu A2. V pr��ezu "2" jde o tlak na plochu A2 sm�rem proti pohybu. V obou pr��ezech po�ítáme s rozd�lením tlak� podle zákon� hydrostatiky, takže tlakovou sílu dostaneme vynásobením plochy tlaky, p�sobící v t�žišti pr��ezu;

c) sily t�ení jsou na krátkém úseku rozší�ení zanedbatelné.


- 86 (188) -

Celkem budou vn�jší síly:

)()( 212221 hhAgAppF −+−= ρ

a podle v�ty o hybnostech (4.28) platí:

)()()( 12212221 vvQhhAgApp −=−+− ρρ .

Zavedeme-li na pravou stranu Q = v2 A2 a rovnici d�líme ρgA2, po úprav� obdržíme:

gvvv

hhgpp 21

22

2121 −

=−+−

ρ. (7.42)

Z Bernoulliho rovnice je ztráta daná rovnicí (7.1), kterou upravíme na tvar:

gvv

gpp

hhhmr 2=

22

2121

21

−+

−+−

ρ. (7.43)

Dosazením (7.42) do prvních t�í �len� na pravé stran� dostaneme:

gvv

gvvvv

gvvvvv

gvv

gvvv

hmr

2)(

22

222

2=

221

2121

22

22

2121

22

22

2121

22

−=

+−=

=−+−

=−

+−

. (7.44)

Ztráta náhlým rozší�ením pr��ezu je tedy dána rychlostní výškou rozdílu rychlostí v obou pr��ezech. Výraz odvodil Borda roku 1766. Z rovnice spojitosti (4.11) ješt� vyjád�íme:

2

1

222 1

2= ��

�

��

�−

AA

gv

hmr . (7.45)

Odporový sou�initel ξr2 (vztažený k rychlosti v pr��ezu "2") tedy nabude tvaru: 2

21

22

2

1

22 11= ��

�

��

�−=��

�

��

�−

DD

AA

rξ ; g

vh rmr 2

=22

2ξ .

Ve skute�nosti bude �ešení složit�jší, pon�vadž do v�ty o hybnostech by se m�lo zavád�t skute�né rozd�lení rychlostí p�ed zúžením a za zúžením.

Pro zmenšení ztrát je n�kdy ú�elné navrhnout rozší�ení postupné, a to bu: - kónické rozší�ení pr��ezu (difuzor); - plynulé (k�ivkové) rozší�ení (rozší�ení rota�ní plochou); - stup�ovité rozší�ení.

7.5.2 Kónické rozší�ení pr��ezu P�i kónickém rozší�ení (Obr. 7.7 a) má nejv�tší vliv na odpor p�i daném pom�ru D1/D2 vrcholový úhel rozší�ení 2δ a délka p�echodu. Minimální ztráty nastávají p�i vrcholovém úhlu 2δ = 7 až 9o a maximální jsou p�i úhlu 2δ = 65 až 70o. P�i úhlu 2δ = 40 až 50o je výhodn�jší použití náhlého rozší�ení.

Ztráta kónickým rozší�ením pr��ezu je dána vztahem:

gv

h rkmrk 2=

22

2ξ ,


- 87 (188) -

kde ξrk2 je sou�initel ztráty kónickým rozší�ením vztažený k pr��ezové rychlosti v2, pro který platí:

2

21

22

2 1-= ��

��

�

D

Drk ψξ , (7.46)

kde sou�initel ψ (v závislosti na úhlu 2δ) je uveden v Tab 7.5.

Tab. 7.5 Sou�initel ψ pro výpo�et ztráty kónickým rozší�ením pr��ezu

2 δ [o] 6o 8o 10o 12o 14o 16o 20o 25o 30o 40o 60o 90o 180o

ψ 0,08 0,11 0,15 0,19 0,23 0,27 0,36 0,50 0,65 0,92 1,15 1,10 1,00

7.5.3 Náhlé zúžení pr��ezu Ztráty p�i náhlém zúžení (Obr. 7.7 b) jsou pro 4,0

1

2 <AA=n menší než p�i náhlém

rozší�ení. Ztráta p�i náhlém zúžení je dána vztahem:

gv

h zmz 2=

22

2ξ , (7.47)

kde ξz2 je sou�initel ztráty náhlým zúžením pr��ezu: 2

2 1-1

= ��

��

�ε

ξ z , (7.48)

kde sou�initel zúžení ε závisí na pom�ru 1

2

AA=n podle vztahu:

n-1,1043,0

+57,0=ε . (7.49)

7.5.4 Kónické zúžení pr��ezu Zúžení m�že být vytvo�eno zaoblením nebo kónicky (Obr. 7.7 c). Ztráty jsou p�i tom pom�rn� nízké:

gv

h zkmzk 2=

22

2ξ , (7.50)

kde ξzk2 je sou�initel ztráty kónickým zúžením vztažený k pr��ezové rychlosti v2 (Tab. 7.6).

Tab. 7.6 Sou�initel ztráty kónickým zúžením pr��ezu ξzk2

2 δ 5o 7o 10o 15o 20o 30o 45o 60o 75o

ξzk2 0,06 0,12 0,16 0,18 0,20 0,24 0,30 0,32 0,34

Obr. 7.7 Zm�ny pr��ezu potrubí


- 88 (188) -

7.5.5 Ztráta na vtoku do potrubí a výtoku z potrubí

Vtok do potrubí m�že mít ostrou hranu nebo m�že být rozší�en, nej�ast�ji zaoblením. Výtok z potrubí do nádoby v�tších rozm�r� znamená náhlé rozší�ení pr��ezu vytékajícího proudu. Pro ztrátu vtokem, resp. výtokem platí:

gv

h vimv 2

2

ξ= , resp. g

vh nimn 2

=2

ξ , (7.51)

kde ξvi, resp. ξni jsou sou�initele ztráty podle typu vtoku, resp. výtoku (Tab. 7.7) a v pr��ezová rychlost v potrubí.

Tab. 7.7 Sou�initel ztráty vtokem ξvi a výtokem ξni (L je délka se�íznutí, D pr�m�r potrubí)

typ vtoku popis, platnost ξvi typ výtoku popis, ξni

0,8 - 1,0

potrubí zasahuje do nádrže

0,25

ostrohranný výtok

1,10

0,1

ostrá vstupní hrana 0,5

L > 2,2 D 0,l5

se�íznutá vstupní hrana L / D ≅ 0,1

0,25 α

α = 20o

α = 40o

α = 60o

0,40

1,00

1,15 rv

zaoblená vstupní hrana rv/D ≅ 0,06

0,20

ϕ

kónicky rozší�ený vtok ϕ ∈ �40o;80o� L ∈ �0,2; 0,3� D

0,13

rv

kruhov� zaoblený vtok rv = 0,2 D L = 1,25 D

0,11

vtok podle Lískovce (strofoida)

0,04

7.5.6 Ztráta v obloucích a v kolenech Zm�na sm�ru v potrubí se provádí koleny (Obr. 7.8), která mohou být oblouková nebo ostrá (zlom sm�ru). Zak�ivení proudnic p�itom vyvolá odst�edivé síly, které zp�sobují, že se ve sm�ru od st�edu k�ivosti zv�tšuje tlak, což se projeví zmenšením rychlostí. Bude tedy zpravidla na vnit�ní stran� kolena nejv�tší rychlost, na vn�jší stran� pak nejmenší (Obr. 7.8) - i když je dosti rozší�en opa�ný názor. P�i p�echodu z p�ímé trati se tedy pohyb na vnit�ní stran� až do vrcholu oblouku zrychluje, na vn�jší zpomaluje. P�i výstupu z kolena je to naopak. Za vrcholem kolena na vnit�ní stran� p�i poklesu rychlosti vzroste tlak, a proto se proud odtrhne od st�ny. Tím vznikne vírová oblast, kterou je možné zmenšit nebo vylou�it vhodným


- 89 (188) -

zaoblením. Na vn�jší stran� se pohyb zpožuje na delší dráze, a tedy plynuleji, a nadto je zde proud veden vn�jší st�nou, takže nebezpe�í odtržení proudu (p�ed vrcholem kolena) je mnohem menší.

Obr. 7.8 Pr�b�h rychlostí a tlak� Obr. 7.9 P�í�ný pohyb v kolen�

v ostrém kolen� potrubí

P�i zm�n� sm�ru však ješt� v pr��ezu vzniká p�í�ný pohyb �ástic. Složením tohoto p�í�ného pohybu s postupným pohybem vzniká celkový prostorov� složitý pohyb spirálový, který za kolenem postupn� slábne (Obr. 7.9).

Ztrátu v kolenech tedy m�žeme rozd�lit na tyto složky: - ztráta t�ením; - ztráta odtržením proudu hlavn� u vnit�ní st�ny kolen; - ztráta p�í�ným pohybem.

Ztrátu u kolen m�žeme op�t vyjád�it výrazem:

gv

h sms 2=

2

ξ , (7.52)

kde v je pr��ezová rychlost v potrubí a ξs je sou�initel ztrát kolen:

- u obloukových kolen závisí ztráta na polom�ru zak�ivení rs a na st�edovém úhlu δ (Tab. 7.8):

o

o

90 90=

δξξ ss ; (7.53)

- u ostrých kolen je odtržení proudu za vnit�ní hranou i na vn�jší stran� mohutn�jší, a proto vznikají (hlavn� p�i δ > 15O) v�tší ztráty (Tab. 7.9);

- segmentová kolena (Tab. 7.10);

Tab. 7.8 Sou�initel ztráty pravoúhlým kolenem ξsh90 pro hladká (∆/D < 0,001) a ξsd90 pro drsná (∆/D > 0,001) potrubí

rs/D 0,8 1,0 1,5 2,0 4,0 6,0 10 20 50

ξsh90 (∆/D < 0,001) 0,37 0,21 0,17 0,15 0,11 0,09 0,07 0,05 0,03

ξsd90 (∆/D > 0,001) 0,74 0,42 0,34 0,30 0,22 0,18 0,14 0,10 0,06

Tab. 7.9 Sou�initel ztráty ostrým kolenem ξsh pro hladká (∆/D < 0,001) a ξsd pro drsná (∆/D > 0,001) potrubí

δo 10o 15o 22,5o 30o 45o 60o 90o

ξsh (∆/D < 0,001) 0,034 0,042 0,066 0,130 0,236 0,471 1,129

ξsd (∆/D > 0,001) 0,044 0,062 0,154 0,165 0,320 0,684 1,265


- 90 (188) -

Tab. 7.10 Sou�initele ztráty pro 90o segmentové koleno jednoduché ξs1 a pro 90o segmentové koleno dvojité ξs2

a/D 0,710 0,943 1,174 1,420 1,860 2,560 3,720 6,280

ξs1 0,510 0,415 0,384 0,377 0,390 0,429 0,460 0,444

a/D 1,230 1,440 1,670 1,700 1,910 2,370 2,960 4,110 4,700 6,100

ξs2 0,347 0,320 0,300 0,299 0,312 0,377 0,342 0,354 0,360 0,360

D

D

rs

δ δ

δ

D Da

a

aδ1

δ1

δ2

δ2

δ2

Obr. 7.10 Koleno obloukové, ostré, 90o segmentové jednoduché (δ1 = 45o)

a 90o segmentové jednoduché dvojité (δ2 = 30o)

7.6 Hydraulicky krátká potrubí Hydraulicky krátké potrubí je takové potrubí, u n�hož místní ztráty hm nejsou zanedbatelné v��i ztrátám t�ením ht. Celkové ztráta hz se po�ítá podle vztahu:

gv

DL

hhh mtz 2+=+=

2

��

��

� ξλ . (7.54)

U hydraulicky dlouhého potrubí jsou ztráty místní hm zanedbatelné v��i ztrátám t�ením. P�i výpo�tu ztráty se uvažuje pouze ztráta t�ením:

gv

DL

hh tz 2==

2

λ� , (7.55)

kde λ je sou�initel t�ení, L délka úseku potrubí, D pr�m�r potrubí, ξ sou�initel místní ztráty, v pr��ezová rychlost, g tíhové zrychlení.

Hranice mezi potrubím hydraulicky krátkým a dlouhým není otázkou geometrickou, nýbrž hydraulickou. Je nutné posoudit, zda je ztráta místní zanedbatelná v��i ztrát� t�ením. Typickými p�íklady krátkého potrubí jsou shybky, potrubí �erpadel, násosky, atd.

7.6.1 Shybka

Otev�ené vodní toky (náhony, potoky, kanály, ...) vedeme pod místními p�ekážkami (komunikace, jiný vodní tok, ...) krátkými úseky tlakových potrubí - shybkami (Obr. 7.8). Vtok shybky navrhujeme rozší�ený nebo zaoblený. Umís�ujeme jej tak hluboko pod hladinu, aby se netvo�il vtokový vír a aby do shybky nevnikal vzduch. P�ed vtokem se obvykle umís�ují hrubé �esle a lapák splavenin.

Aby shybkou protekl ur�itý pr�tok, musí hladina p�ed objektem zaujmout vyšší polohu, než hladina za objektem. P�ed shybkou dochází v�tšinou ke zm�n� beztlakového proud�ní na tlakové a za shybkou k opa�né zm�n�.


- 91 (188) -

Obr. 7.11 Shybka

Podle Bernoulliho rovnice za p�edpokladu, že p1 = p2 = pa pro pr��ez 1 p�ed vtokem a pro pr��ez 2 za výtokem platí:

zhgv

hgv

h +2

+=2

+22

2

21

1

αα, (7.55)

protože vzdutí zp�sobené shybkou je H = h1 - h2, m�žeme (7.55) zapsat ve tvaru:

gv

DL

gvv

H2

++2

)-(=

221

22 �

�

��

� ξλα , (7.56)

kde α je Coriolisovo �íslo, v1 rychlost v p�ítokovém kanálu, v2 rychlost v odpadním kanálu, λ je sou�initel t�ení, L délka shybky, D pr�m�r shybky, ξ sou�initel místní ztráty ve shybce, v pr��ezová rychlost ve shybce a g tíhové zrychlení. Shybka se navrhuje tak, aby pr��ezová rychlost ve shybce byla p�i návrhovém pr�toku v ≈ 1 až 3 m/s.

7.6.2 Hydraulicky krátká složená potrubí

�asto se vyskytují hydraulické okruhy (nap�. Obr. 7.12), ve kterých se okruh skládá z r�zných potrubí, je vybavený armaturami, tvarovými kusy, atd. Vzhledem k tomu, že místní ztráty i ztráty t�ením po délce jsou vztaženy k rychlostní výšce, nabude rovnice (7.54) pro okruhy skládající se z n r�zných potrubí r�zného profilu tvaru:

=

��

��

�n

i

ii

i

iiz g

vDL

h1

2

2+= ξλ . (7.57)

Bernoulliho rovnice pro skute�nou kapalinu zapsaná pro profil "0" a výtokový pr��ez "n" nabude tvaru:

=

��

��

�++

n

i

ii

i

ii

nnn g

vDL

gv

gp

hgv

gp

h1

22200

0 2++

2+=

2+ ξλα

ρα

ρ. (7.58)

Rovnice (7.58) je jedna rovnice s n neznámými rychlostmi vi (i = 1..n). Použitím rovnice spojitosti (4.11) vyjád�íme rychlosti vi z rychlosti vn:

i

nninnii A

AvvAvAv ==>= . (7.59)

Rovnici (7.58) zapíšeme pomocí (7.59) ve tvaru:


- 92 (188) -

��

��

��

��

�+++

=

n

i i

ni

i

ii

nnn A

ADL

gv

gp

hgv

gp

h1

2

22200

0 +2

+=2

+ ξλαρ

αρ

(7.60)

a z (7.60) vyjád�íme neznámou rychlost vn:

=

��

��

�+

��

��

�+−+−

=n

i i

ni

i

ii

nn

n

AA

DL

gv

gpp

hhg

v

12

2

200

0

+

22

ξλα

αρ

. (7.61)

7.7 Hydraulicky dlouhé potrubí a potrubí s odb�rem po délce

Hydraulicky dlouhým potrubím se rozumí potrubí, u kterého p�evažují ztráty po délce, a z tohoto d�vodu lze místní ztráty zanedbat. Ztráty t�ením po délce jsou závislé na pr�toku Q a jemu odpovídající hodnot� rychlosti. Ztráty t�ením m�žeme stanovit nap�. podle (7.29). Pro p�ípad, kdy na potrubí konstantního pr��ezu jsou po jeho délce napojeni jednotliví odb�ratelé, jsou ztráty a hydraulický sklon závislé od pr�toku, který se po délce potrubí m�ní. P�i rovnom�rném odb�ru q po délce úseku Li se ztráty stanoví z tzv. výpo�tového pr�toku, který je roven:

055,0= QQQ ci + , (7.62)

kde Qc je tranzitní pr�tok; Q0 = q Li , kde q [m2/s] je rovnom�rný odb�r na metr potrubí.

P�. 7.1 Vypo�ítejte ztrátu t�ením na délce L = 1000 m b�žného litinového potrubí (n = 0,013, ∆ = 0,002 m) o pr�m�ru D = 250 mm, kterým protéká pr�tok Q = 60 l/s vody (teplota vody t = 20oC).

L = 1000 m; 22 25,0

06,0*44=

ππ=

DQ

=AQ

v = 1,222 m/s;

D = 0,25 m;

Q = 0,060 m3/s; 6100105,1

0,25*1,222==Re −ν

Dv= 302 326 (vyvinuté turb. proud.);

ν = 1,0105 10-6 m2/s;

n = 0,013; 425,0

=4

=R2

41 D

D

D=

ππ

= 0,0625 m;

∆ = 0,002 m;

�ešení:

- dle Manninga (7.26) a (7.30):

===3/1

2

3/1

2

3/1

23/1

2 25,0013,0

124,58124,58=8*48

=Dn

Dng

Cgλ 0,0334;

ggv

DL

ht 2222,1

25,01000

0334,0=2

=22

λ = 10,17 m;


- 93 (188) -

- dle Pavlovského (7.25) a (7.30):

=8*48

= 2

22

2 y

y

Dng

Cg =λ 0,0309;

1524,00,1)-(75,0-0,13-2,5= =nRny ;

ggv

DL

ht 2222,1

25,01000

0309,0=2

=22

λ = 9,41 m;

- dle Ševeljeva (7.39):

3.03.0 25,00,0210

=0,0210

=D

λ = 0,0318;

ggv

DL

ht 2222,1

25,01000

0318,0=2

=22

λ = 9,68 m;

- Colebrook-Whiteova rovnice (7.24):

��

��

� ∆D3,7

+Re

2,51log2-=

1

λλ => λ = 0,0354;

ggv

DL

ht 2222,1

25,01000

0354,0=2

=22

λ = 10,78 m.

Ztráty t�ením na délce potrubí L = 1000 m jsou podle jednotlivých autor� v rozmezí od 9,41 ~ 10,78 m.

P�. 7.2 Kanál se k�íží se silnicí, a proto je zapot�ebí navrhnout shybku (Obr. 7.11). Délka k�ížení se uvažuje L = 20 m. Navrhn�te pr�m�r betonového potrubí (n = 0,012) pro náhon tak, aby pro návrhový pr�tok Q = 250 l/s byla maximální rychlost ve shybce vmax = 2,0 m/s. Pr��ezová rychlost v p�ítokovém kanálu je v1 = 1,0 m/s a v odpadním kanálu v2 = 1,0 m/s. Dále vypo�t�te vzdutí shybky.

Q = 0,25 m3/s; L = 20 m; n = 0,012; vmax = 2,0 m/s; v1 = v2 = 1,0 m/s; ν = 1,01 10-6 m2/s; α = 1,0; D = ? m; H = ? m;

návrh pr�m�ru Dn: max

4=

4==

vQ

DDQ

AQ

vπ

�π 2max = 0,399 m;

Dn = 0,400 m; v = 1,989 m/s < vmax = 2,0 m/s;

==Reν

nDv 787 722 (vyvinuté turbulentní proud�ní);

výpo�et λ dle Manninga (7.26) a (7.30):

===λ 3/1

2

3/1

2

3/1

23/1

2 2,0014,0

124,58124,58=8*48

=Dn

Dng

Cg 0,024;

místní ztráty: ostrohranný vtok: ξv = 0,5; zlom: ξsd = 0,165; výtok z potrubí: ξn = 1,1;


- 94 (188) -

vzdutí zp�sobené shybkou (7.56): g

vDL

gvv

H nsdv 22

2)-(

=22

122 �

�

��

� ξ+ξ+ξ+λ+α ,

H = 0,631 m.

Navržený pr�m�r shybky je 400 mm. Shybka zp�sobí vzdutí 0,631 m.

P�. 7.3 Vypo�ítejte pr�tok Q, který vytéká z potrubí podle obrázku (7.12). Dále nakreslete tlakovou �áru a �áru energie.

Obr. 7.12 Výtok z nádrže hydraulicky krátkým složeným potrubím

L1 = 5,0 m; D1 = 100 mm; λ1 = 0,032 m; ξ1 = 0,5 m; ξ2 = 0,316 m; L2 = 10,0 m; D2 = 125 mm; λ2 = 0,030 m; ξ3 = 0,170 m; L3 = 5,0 m; D3 = 80 mm; λ3 = 0,035 m; ξ4 = 0,338 m; h0 = 10,0 m; h3 = 2,0 m; α = α1 = α2 = α3 = 1,1; v0 ≈ 0 m/s; p0 = p3 = pa ;

Napíšeme Bernoulliho rovnici pro profily 0 a 3 (k vyzna�ené srovnávací rovin� podle Obr. 7.12):

zhgv

gp

hgv

gp

h ++=+22

233

3

200

0α

+ρ

α+

ρ;

gv

DL

gv

DL

gv

DL

gv

DL

hn

i

ii

i

iiz 2222

23

43

33

22

322

22

21

11

11

1

2

��

��

�ξλ+��

�

��

�ξ+ξλ+��

�

��

�ξλ=��

�

��

�ξλ

=++++= ,

kde p0 = p3, v0 ≈ 0 m/s. Nyní použijeme rovnici spojitosti (4.11) a úpravou obdržíme:

gv

AA

DL

gv

hhn

i ii

i

ii 22

23

12

23

23

30 ��

��

��

��

�ξλ

α

=++=- .

Vyjád�íme pr��ezovou rychlost v3:

( )

43

43

43

334

2

43

322

224

1

43

11

11

303

2

DD

DL

DD

DL

DD

DL

hhgv

��

��

�ξλ+��

�

��

�ξ+ξλ+��

�

��

�ξλ+α

−=

+++

;

( )

��

��

�+��

��

� ++��

��

�+

−=338,0

05,05

035,0125,008,0

17,0316,0125,010

030,010,008,0

5,01,0

5032,01,1

2102

4

4

4

43

+++

gv ;


- 95 (188) -

v3 = 5,619 m/s; Q3 = Q = 0,02824 m3/s; v1 = 3,596 m/s; v2 = 2,301 m/s; hz = 6,229 m;

ht1 = gg

vDL

2596,3

1,05

032,02

221

1

11 =λ = 1,055 m;

ht2 = gg

vDL

2301,2

125,010

030,02

222

2

22 =λ = 0,648 m;

ht3 = gg

vDL

2619,5

08,05

035,02

223

3

33 =λ = 3,521 m;

hm1 = gg

v2596,3

5,02

221

1 =ξ = 0,330 m;

hm2 = gg

v2301,2

316,02

222

2 =ξ = 0,085 m;

hm3 = gg

v2301,2

17,02

222

3 =ξ = 0,046 m;

hm4 = gg

v2619,5

338,02

223

4 =ξ = 0,544 m.

Potrubím protéká rovnom�rn� pr�tok Q = 0,02858 m3/s, rychlosti v jednotlivých profilech porubí jsou v1 = 3,639 m/s, v2 = 2,329 m/s a v3 = 5,686 m/s a celková ztráta hz je 6,187 m. Tlaková �ára a �ára energie jsou zobrazeny na Obr. 7.13.

Obr. 7.13 �ára energie a �ára tlaku

P�. 7.4 Vypo�t�te ztráty v jednotlivých úsecích potrubí (Obr. 7.14) podle Manninga, odebírá-li se z potrubí v jednotlivých uzlech QA = 30 l/s, QB = 10 l/s a na úseku AB je rovnom�rný odb�r qAB = 0,0001 m2/s. Protože se jedná o potrubí hydraulicky dlouhé, místní ztráty se zanedbávají.

L0A = 500 m; D0A = 300 mm; A0A = 0,9111 s2/m6; LAB = 450 m; DAB = 200 mm; AAB = 7,920068 s2/m6; QA = 0,030 m3/s; QB = 0,010 m3/s; qAB = 0,000 1 m2/s; HN = 285,00 m n.m.;


- 96 (188) -

Obr. 7.14 Tlaková �ára u hydraulicky dlouhého potrubí

pr�tok na úseku 0A – (7.62): Q0A = QA + qAB LAB + QB; Q0A = 0,085 m3/s;

pr�tok na úseku AB – (7.62): QAB = 0,55 qAB LAB + QB; QAB = 0,0348 m3/s;

ztráta na úseku 0A – (7.29): 20A0A0AA0 A= QLhz ;

hz0A = 3,29 m; HA = HN - hz0A = 281,71 m n.m.;

ztráta na úseku AB – (7.29): 2ABABABAB A= QLhz ;

hzAB = 4,32 m; HB = HA - hzAB = 277,39 m n.m.

Ztráty mechanické energie podle Manninga jsou na jednotlivých úsecích hz0A = 3,29 m a hzAB = 4,32 m kóty tlakové �áry v bod� A - HA = 281,71 m n.m. a v bod� B - HB = 277,39 m n.m.

Kontrolní otázky - Jaké rozlišujeme ztráty? - Co vyjad�uje Reynoldsovo kritérium? - Na �em obecn� závisí sou�initel t�ení (odporový sou�initel) λ? - Co je to Bordova ztráta? - Jaký je rozdíl mezi hydraulicky krátkým a hydraulicky dlouhým potrubím?

8 Ustálené proud�ní vody v otev�ených korytech P�i ustáleném proud�ní jsou pr�tok, pr��ezová rychlost, pr�to�ná plocha, atd. v �ase nem�nné a závisí pouze na poloze. Rozlišujeme proud�ní:

- rovnom�rné (Kap. 8.1); - a nerovnom�rné (Kap. 8.2).

8.1 Rovnom�rné proud�ní vody v otev�ených korytech Podle definice uvedené v Kap. 4 je rovnom�rný pohyb zvláštním p�ípadem ustáleného pohybu Q(x,t) = Q =konst. V otev�ených korytech, kde �ást omo�eného obvodu O je volná hladina na styku se vzduchem, m�že rovnom�rné proud�ní vzniknout pouze v p�ípad� koryta:

- pravidelného (stejného) tvaru pr�to�ného profilu ve všech profilech na zvoleném úseku (koryto nem�ní sv�j tvar),

- a konstantního sklonu dna i0.

Ustálené proud�ní vody v otev�ených korytech

- 97 (188) -

Pokud konstantní pr�tok Q protéká rovnom�rn� konstantní pr�to�nou plochou A s konstantní pr��ezovou rychlostí v a konstantní hloubkou h, potom je podélný sklon koryta i0 stejný se sklonem hladiny ih a stejný se sklonem �áry energie i (Obr. 8.1):

iii h ==0 .

Rovnom�rné proud�ní se vyskytuje pouze v um�lých kanálech s neprom�nným korytem. U p�irozených tok� se každá zm�na ší�ky koryta, sklonu dna nebo každá p�ekážka projeví na pr�b�hu hladiny, a tedy i na zm�n� pr�to�né plochy a sklonu �áry energie - jedná se o nerovnom�rné proud�ní. K tomu ješt� p�istupuje �asová nestálost koryta - vymílání dna i b�eh� a usazování materiálu, který je vodou p�enášen. P�i �ešení úloh proud�ní vody v otev�ených korytech p�edpokládáme, že tlak ve vod� se m�ní podle pravidel hydrostatiky a že sklony dna jsou tak malé, že lze nahradit délku proudu pr�m�tem do vodorovné roviny a pr��ezy nahradit svislými �ezy.

Obr. 8.1 Rovnom�rné proud�ní

8.1.1 Výpo�et pr��ezové rychlosti Výpo�et pr��ezové rychlosti v pro rovnom�rné ustálené proud�ní se stanoví z Chézyho rovnice, která byla odvozena v Kap. 7, rovnice (7.15):

iRCv = ; OA

R = , (8.1)

kde C je rychlostní sou�initel, R hydraulický polom�r, i sklon �áry energie, A pr�to�ná plocha a O omo�ený obvod, který je v pr�to�ném pr��ezu délkou styku kapaliny s pevnými st�nami (vedením proudu bez volné hladiny). Je t�eba si uv�domit, že t�ení p�sobí hlavn� na st�nách koryta, kdežto t�ení vody o vzduch v hladin� je nepatrné. Proto se na rozdíl od tlakového proud�ní do omo�eného obvodu O nepo�ítá volná hladina. Proti tlakovým potrubím, u nichž je pr�to�ná plocha dána a pro všechny pr�toky neprom�nná, je v otev�ených korytech poloha hladiny a tím i pr�to�ná plocha závislá na pr�toku.

Rychlostní sou�initel C není konstantní. Závisí hlavn� na tvaru pr�to�ného pr��ezu, drsnosti st�n a výjime�n� i na sklonu. Výzkum p�edložil velký po�et vzorc� pro ur�ení C, které jsou v�tšinou empirické a získané z vyhodnocení m��ení v p�írod� a na modelech. Pro stru�nost uvádíme výpo�et C pouze podle Pavlovského, Manninga a Stricklera, které se v našich podmínkách nej�ast�ji používají.

8.1.2 Rychlostní vzorec Pavlovského Zpracováním výsledk� velkého množství vlastních i cizích m��ení rychlostí na �ekách, náhonech, potrubí, atd. dosp�l Pavlovskij ke vztahu:


- 98 (188) -

yRn

=C1

, 0,1)-(75,0-0,13-2,5= nRny (8.2)

kde n je drsnostní sou�initel (Tab. 7.2, Tab.8.1) a R hydraulický polom�r.

8.1.3 Rychlostní vzorec Manning�v

Exponent y ve vzorci Pavlovského v nej�ast�jších p�ípadech praxe nekolísá v p�íliš širokých mezích. Vezmeme-li st�ední hodnotu y = 1/6, obdržíme vzorec Manning�v:

6/11R

n=C , (8.3)

kde n je drsnostní sou�initel a R hydraulický polom�r.

Obr. 8.1 Drsnostní sou�initel n Popis koryta n

výjime�n� hladké st�ny, smaltované povrchy 0,009 �ist� ohoblovaná prkna, dobrá omítka z �istého cementu 0,010 dobrá cementová omítka, hoblovaná prkna, litinové a ocelové trouby dob�e spojované 0,011 nehoblované prkna, vodovodní trouby v b�žných podmínkách - bez inkrustací, �isté

stokové trouby 0,012

kvádrové zdivo, dob�e provedené cihelné zdivo, stokové trouby v b�žných podmínkách, trochu zanesené trouby vodovodní, hladký beton

0,013

zne�išt�né trouby vodovodní i stokové, obetonování kanál� b�žného provedení 0,014 oby�ejné cihelné zdivo, obložení z p�itesaného kamene 0,015 dobré lomové zdivo, staré cihelné zdivo, pom�rn� hrubé obetonování, výjime�n�

hladká skála 0,017

oby�ejné lomové zdivo, kamenná dlažba, kanály pom�rn� hladce vyrubané ve skále, kanály v ulehlém št�rku nebo v ulehlé zemin� ve velmi dobrém stavu

0,020

kanály v hutné zemin� nebo v ulehlém št�rku, velké zemní kanály velmi dob�e udržované 0,023 dobré zdivo na sucho, velké zemní kanály p�i pr�m�rné údržb�, malé zemní kanály

p�i dobré údržb�, �eky v nejlepším stavu (volné p�ímé koryto bez p�ekážek proudu, bez nános� a výmol�

0,025

velké zemní kanály s podpr�m�rnou údržbou, malé zemní kanály pr�m�rn� udržované 0,028 zemní kanály v pom�rn� špatném stavu (místy zarostlé koryto, nánosy na dn�), �eky

v dobrých podmínkách 0,030

kanály ve špatném stavu (s nepravidelným pr��ezem, místy zarostlé nebo zanesené kameny), �eky v pom�rn� dobrých podmínkách, ale proud je ovlivn�n �áste�n� kamením nebo rostlinami

0,035

kanály ve výjime�n� špatném stavu (výmoly i nánosy, koryto zarostlé ko�eny, zanesené hrubými kameny), �eky s horšími podmínkami pr�toku (v koryt� je v�tší množství kamen� a rostlin nebo meandruje a má malý po�et m�l�in a výmol�)

0,040

horské byst�iny 0,080

8.1.4 Rychlostní vzorec Strickler�v

Strickler doplnil Manning�v vzorec p�edpokladem, že stupe� drsnosti musí být závislý na zrnitosti materiálu koryta. Proto obm�nil Chézyho rovnici na tvar:

2/13/2= iRkv s , 6

1,21

s

sd

k = , (8.4)

kde ds je možné uvažovat jako 55% hodnota zrna z k�ivky zrnitosti krycí vrstvy v koryt�.


- 99 (188) -

8.1.5 Hydraulický výpo�et rovnom�rného proud�ní v otev�ených korytech

V podstat� se vyskytují následující typy úloh: - ur�ení pr�toku Q pro dané rozm�ry koryta a podélný sklon dna koryta i0 = i:

iKiRCAAvQ === , (8.5) kde A je pr�to�ná plocha a K modul pr�toku;

ur�ení podélného sklonu dna koryta i0 = i pro zadané Q a dané rozm�ry koryta:

RCv

RCAQ

i2

2

22

2

= = ; (8.6)

- ur�ení hloubky vody pro zadané Q a dané rozm�ry koryta. Jedná se o opa�nou úlohu k první úloze. Jedná se o pon�kud složit�jší úlohu, protože hledanou hloubku h obvykle nelze vyjád�it explicitn�. Postup spo�ívá ve výpo�tu m�rné k�ivky koryta (pr�toku) - Obr. 7.2. M�rná k�ivka udává závislost pr�toku Q na hloubce h. Zvolí se n�kolik (ekvidistantních) poloh hladiny s hloubkami h1, h2, …, hi v daném profilu, spo�ítají se jim p�íslušné pr�toky Q1, Q2, …, Qi a vynese se závislost Q(h) (Obr 8.2). Ze závislosti Q(h) se pro zadaný pr�tok Qn ode�te hledaná hloubka hn a provede se kontrola výpo�tu Qn;

- ur�ení n�kterého z parametr� koryta (ší�ky dna koryta, sklonu svah�, atd.) pro zadanou hloubku h, pr�tok Q a podélný sklon dna koryta i0 = i.

Obr. 8.2 Ur�ení hloubky hn ze zadaného pr�toku Qn pomocí m�rné k�ivky

8.1.6 Profily o r�zných drsnostech jednotlivých �ástí

Je-li omo�ený obvod koryta složen z n�kolika �ástí s r�znými drsnostmi (nap�. Obr. 8.3), lze výsledný drsnostní sou�initel n ur�it jako vážený pr�m�r. Nap�. má-li �ást omo�eného obvodu O1 drsnostní sou�initel n1 a analogicky O2 a O3 drsnostní sou�initele n2 a n3 (Obr. 8.3), je výsledný drsnostní sou�initel dán váženým pr�m�rem:

O

On

O

On

OOOOnOnOn

n

k

ii

k

i

k

ii

=

=

= ==++

++ 1i

1i

1i

321

332211= . (8.7)


- 100 (188) -

Obr. 8.3 Profily o r�zných drsnostech Obr. 8.4 Složený pr�to�ný profil

8.1.7 Složené profily V upravených i v p�irozených �í�ních tratích se �asto vyskytují profily na zp�sob Obr. 8.4, složené z �ástí hlubších a m�l�ích. V t�chto vzájemn� velmi odlišných �ástech protéká voda r�znými rychlostmi, a proto p�i výpo�tu d�líme profil na �ásti - na hlubší kynetu a m�l�í bermu. Pr�toky v t�chto �ástech po�ítáme samostatn�, �ímž dostáváme výsledky, které se lépe shodují se skute�ností:

bermakyneta QQQ += . (8.8) Na hranicích obou �ástí vznikají následkem velkého rozdílu rychlostí v jednotlivých �ástech koryta víry se svislou osou, které pohyb brzdí. Je proto zvykem po�ítat délku hrani�ní svislice 43 do omo�eného obvodu kynety (Obr. 8.4), tedy:

Okyneta = 76534 , Oberma1 = 321 . Pravidlem je, že svislice se zapo�ítávají jen jednou do omo�eného obvodu, a to zpravidla do p�ilehlé �ásti koryta toku s v�tší hloubkou.

8.1.8 Uzav�ené profily s volnou hladinou Ve štolách, v propustcích a ve stokách protéká voda n�kdy s volnou hladinou a hloubkou h, která je menší než výška pr��ezu D (Obr. 8.5). Toto proud�ní se výrazn� liší od tlakového proud�ní. Nej�ast�ji jde o pr��ezy kruhové, vej�ité, parabolické, podkovovité nebo tlamovité. V zásad� jde op�t o proud�ní s volnou hladinou, u kterého po�ítáme pr��ezovou rychlost p�i rovnom�rném proud�ní z Chézyho rovnice. Nepravidelnosti nastávají jen p�i pr�tocích, jejichž hloubka h se blíží sv�tlé výšce D. Nap�. u obdélníkového profilu propustku nebo štoly v okamžiku, kdy stoupající voda zaplní celý profil, vzroste náhle omo�ený obvod o celou sv�tlou ší�ku profilu, tím se zmenší hydraulický polom�r R, klesne rychlost i pr�tok. U kruhového profilu (Obr. 8.5) jsou tyto zm�ny plynulé, ale i zde p�i stoupajícím h roste rychleji omo�ený obvod než pr�to�ná plocha, takže rychlost i pr�tok klesají. Maximální pr��ezová rychlost vmax i maximální pr�tok Qmax nastává p�i hloubce h < D, p�i�emž hloubka p�i maximální pr��ezové rychlosti vmax je menší než hloubka p�i maximálním pr�toku Qmax.

Výpo�et hloubky vody (pro daný pr�tok Q a podélný sklon dna koryta i0 = i) p�i ustáleném rovnom�rném proud�ní v potrubí kruhového pr��ezu s volnou hladinou se stanoví z m�rné k�ivky, je-li dáno:

- pr�m�r potrubí D, resp. polom�r r; - drsnostní sou�initel st�n potrubí n; - pr�tok Q; - sklon i;

Pro výpo�et pr�toku p�i poloze hladiny h lze použít tabulku Tab. 8.2.


- 101 (188) -

Obr. 8.5 Kruhový pr��ez potrubí

Tab. 8.2 popis ozna�ení výpo�et jednotka

st�edový úhel - pro h < r

- pro h > r

ϕ rhr -

arccos2=ϕ

rrh -

arccos2-2= πϕ rad

pr�to�ný pr��ez A )sin(2

2

ϕϕ -=r

A m2

omo�ený obvod O O = ϕ r m

hydraulický polom�r R OA

R = m

rychlostní sou�initel (dle Manninga) C 6/1R

nC

1= m0,5/s

pr��ezová rychlost v iRC=v m/s pr�tok Q Q = v A m3/s ztráta t�ením v koryt� ht ht = i L m

Maximální pr�tok Qmax v kruhovém potrubí je p�i hladin� h = 0,95D (tj. p�i ϕ = 308o) a maximální rychlost vmax p�i h = 0,813D (tj. p�i ϕ = 257o30'). Dále lze odvodit, že:

- p�i h = 0,5 D je rychlost stejná jako p�i pr�toku celým pr��ezem; - p�i Q = 0,33 QD je rychlost v = 0,9 vD .

Tyto okolnosti jsou p�íznivé, pon�vadž i p�i pom�rn� malém pr�toku jsou ve kruhovém pr��ezu pom�rn� velké rychlosti, které zabra�ují usazování splavenin a zanášení profilu.

8.1.9 M�rná energie pr��ezu

Obr. 8.6 M�rná energie pr��ezu


- 102 (188) -

V obecném pr��ezu otev�eného koryta (Obr. 8.6) p�edpokládáme p�ibližn� ve všech bodech pr��ezu stejnou bodovou rychlost u, rovnou pr��ezové rychlosti v. Je-li hloubka h nejkratší vzdálenost mezi hladinou a nejnižším bodem dna v pr��ezu, z výška libovolného bodu C nad nejnižším bodem dna, m�žeme napsat Bernoulliho rovnici pro proudnici procházející bodem C (srovnávací rovina prochází nejnižším bodem dna v pr��ezu):

.2

2C

C konstgv

gp

z =++α

ρ, (8.9)

kde α je Coriolisovo �íslo. Nejsou-li proudnice zak�iveny, tedy p�edpokládáme, že tlak v proudící kapalin� je rozd�len podle pravidel hydrostatiky, bude v bod� C hydrostatický tlak ur�en tlakovou výškou:

CC zhg

p−=

ρ. (8.10)

Dosazením (8.10) do Bernoulliho rovnice (8.9) obdržíme:

Ekonstgv

zhz ==+−+ .2

2

CC

α; )(hfA = ,

2

22

22 AgQ

hgv

hEαα +=+= ; )(hfA = . (8.11)

Rovnice (8.11) vyjad�uje energetickou výšku pr��ezu E. Energetická výška pr��ezu E (m�rná energie pr��ezu) je tedy množství mechanické energie, které p�ísluší jednotce tíhy pr�toku ur�itým pr��ezem, která je vztažena k úrovni nejnižšího bodu tohoto pr��ezu.

8.1.10 Proud�ní kritické, �í�ní a byst�inné Pro konstantní pr�tok Q volme v obecném �ezu (Obr. 8.6) r�zné hloubky h v mezích od nuly po nekone�no a po�ítejme p�íslušné hodnoty energetické výšky pr��ezu E. Výsledky vyneseme graficky (Obr. 8.7).

Obr. 8.7 Energetická výška pr��ezu

Blíží-li se h a tedy i A k nule, vzr�stá pot�ebná rychlost k p�evedení daného Q nade všechnu mez. Jinými slovy E se blíží k nekone�nu. K�ivka se asymptoticky blíží k vodorovné ose E.


- 103 (188) -

Vzr�stá-li h do nekone�na, blíží se rychlost pot�ebná k p�evedení daného Q k nule a E se op�t blíží k nekone�nu. K�ivka se asymptoticky blíží k p�ímce E = h, p�lící úhel obou os. Vrcholu Emin, jemuž p�ísluší hloubka hk, má nejen shora uvedený význam matematický, že m�rná energie pr��ezu pro dané Q je p�i n�m minimální, ale i d�ležitý smysl fyzikální. Hloubku hk nazýváme kritickou a proud�ní pak proud�ní kritické. Proud�ní p�i daném konstantním pr�toku Q p�i hloubkách:

- h > hk nazýváme �í�ním proud�ním (velká hloubka a malá rychlost), - h < hk byst�inným proud�ním (malá hloubka a velká rychlost).

Kritické proud�ní tvo�í rozhranní mezi t�mito dv�ma režimy. P�i kritickém pohybu protéká pr�tok Q daným pr��ezem s vynaložením nejmenší energie.

Rychlost p�i kritickém pohybu nazýváme rychlostí kritickou, která je p�ibližn� rovna rychlosti ší�ení transla�ních vln na hladin�. P�i �í�ním proud�ní je rychlost vody menší než kritická, je tedy menší než rychlost ší�ení vln, které mohou postupovat po hladin� sm�rem po proudu i proti n�mu. Povrch proudu �í�ního je nerovný, zvln�ný. Naopak p�i byst�inném proud�ní je rychlost proud�ní v�tší než rychlost kritická a vlna nem�že tedy postupovat proti proudu. Povrch proudu byst�inného je hladký, lesklý.

Kritickým sklonem ik nazýváme sklon, p�i kterém v daném profilu protéká daný pr�tok Q rovnom�rn� konstantní hloubkou rovnou hloubce kritické hk.

Kritický pohyb ur�íme z podmínky minima rovnice (8.11), kdy platí 0=h

E

d

d :

hA

AgQ

hE

dd

1dd

3

2α−= , B

hA

=dd

, (8.12)

kde pr�to�ná plocha A(h) je také závislá na h. Tedy p�i ozna�ení hodnot

kritického pohybu indexem k, bude platit p�i 0=h

E

d

d rovnost:

01 3

2

=−k

k

AB

gQα

,

tedy:

k

k

BA

gQ 32

=α . (8.13)

Rovnice (8.13) je obecná podmínka kritického pohybu. Dosadíme-li za Q = vk Ak, dostaneme zvláštní závislost kritického pohybu:

k

kkk

BA

gAv 322

=α

, k

kk

BA

gv

22

2

=α . (8.14)

Rychlostní výška kritického pohybu se rovná polovin� pr�m�rné hloubky hs pr�to�ného pr��ezu, kdy platí:

k

ks B

Ah = .


- 104 (188) -

8.1.11 Ur�ení kritické hloubky ve vybraných profilech

D�ležitost znalosti kritické hloubky, která charakterizuje p�echod z proud�ní byst�inného do �í�ního, je d�vodem pro stanovení její hodnoty.

- Pr��ez obecného tvaru:

a) pro n�kolik zvolených hloubek h spo�ítáme E, vyneseme závislost E(h) (Obr. 8.7) a z ní ur�íme hk;

b) nebo vyjdeme ze vztahu (8.13) pro energetické minimum. Pro n�kolik hloubek h stanovíme závislost

BA3

jako funkci hloubky h. Pro daný

pr�tok Q vypo�teme gQ2α a ze závislosti

BA3

(h) ode�teme kritickou

hloubku hk, pro kterou platí, že se rovná této vypo�tené hodnot� gQ2α .

- Obdélník ší�ky b (A = b h):

z rovnice (8.13) pro energetické minimum platí:

Ak = b hk; B = b; bhb

gQ k

332

=α:

kk

kkkk RC

vi

bQg

vgq

bgQ

h2

2

33

2

32

2

=;=;==α

αα , (8.15)

kde vk je kritická rychlost, ik kritický sklon a bQ

q = specifický pr�tok.

- Symetrický lichob�žník se sklonem svah� 1:m a se ší�kou ve dn� b.

Pro daný specifický pr�tok bQq = se ur�í hko pro obdélník se ší�kou b

rovnou ší�ce dna lichob�žníku. Pro lichob�žník pak s dostate�nou p�esností platí:

��

��

� +−= 2O 105,0

31 σσ

kk hh , bhm kO=σ , 3

2

2

O =bg

Qhk

α, (8.16)

kde σ je sou�initel, který charakterizuje sklony svah� lichob�žníkového profilu.

- �áste�n� pln�ný kruhový pr��ez o pr�m�ru D:

- podle Diskina:

513,0

5

05,1

�

�

�

�=

Dg

QDhk (s platností 0,05<hk/D<0,85);

- podle Abbotta: 4/1

32,0

D

Qhk = .

8.1.12 Froudovo kritérium

Režim proud�ní (�í�ní, byst�inný) m�žeme také ur�it pomocí bezrozm�rného Froudova kritéria (v literatu�e ozna�ované jako Froudovo �íslo):

3

222

==FrAg

BQAgBv

hgv

s

ααα = , (8.17)


- 105 (188) -

kde BA

sh = je st�ední hloubka pr��ezu s pr�to�nou plochou A a ší�kou v hladin� B. Hodnota Froudova kritéria indikuje pohyb:

- kritický Fr = 1, - �í�ní Fr < 1, - byst�inný Fr > 1.

8.2 Nerovnom�rné ustálené proud�ní vody v otev�ených korytech

Jak je uvedeno v úvodu Kap. 8.1, v p�írod� se ustálené rovnom�rné proud�ní v korytech s volnou hladinou vyskytuje velmi z�ídka. P�i tomto proud�ní je podélný sklon koryta i0 stejný se sklonem hladiny ih a sklonem �áry energie i.

V p�irozených korytech, nebo v upravených korytech, jejichž pr�to�ný pr��ez a sklonové pom�ry se m�ní po délce toku, je proud�ní nerovnom�rné. My se však budeme zabývat pouze proud�ním ustáleným nerovnom�rným, kdy pr�tok je v �ase nem�nný (konstantní) a tedy i hydraulické charakteristiky (pr��ezová rychlost, pr�to�ná plocha, drnostní sou�initel, atd.) jsou nezávislé na �ase, ale v prostoru (po délce) se m�ní. P�i tomto proud�ní dochází ve sm�ru pohybu vody ke ztrátám energie v d�sledk�:

- t�ení o st�ny vedení a vnit�ního t�ení mezi jednotlivými proudovými vlákny - ztráty t�ením;

- zm�nami pr�to�ných pr��ez� - ztráty místní.

8.2.1 K�ivky vzdutí a snížení

Nech� otev�eným korytem o sklonu i0 protéká rovnom�rn� (viz Kap. 8.1) konstantní pr�tok Q konstantní hloubkou h0. Je-li proud�ní �í�ní a

- postaví-li se do proudu p�ekážka (jez, mostní pilí�e, ...) zvýší se hladina o hodnotu z. Hladina vytvo�í v podélném profilu k�ivku vzdutí (sklon hladiny je vždy menší než sklon dna) a sm�rem proti proudu se asymptoticky blíží p�vodní nevzduté hladin� s hloubkou h0 (Obr. 8.8 a).

- vzniknou-li v n�kterém míst� koryta podmínky pro pohyb menší hloubkou než h0 (nap�. stupn�m ve dn� nebo rozší�ením koryta), hladina se sníží o s. Hladina vytvo�í k�ivku snížení (sklon hladiny je vždy v�tší než sklon dna), která v ur�ité vzdálenosti sm�rem proti proudu splyne s p�vodní hladinou rovnom�rného proud�ní s hloubkou h0 (Obr. 8.8 b).

Obr. 8.8 K�ivky a) vzdutí, b) snížení


- 106 (188) -

V p�irozených vodních tocích se velikost profil� m�ní, a proto v nich pr�b�h hladiny bývá tvo�en jako sled k�ivek vzdutí (na p�echodech z menších profil� do v�tších, z v�tších rychlostí do meších) a snížení (za opa�ných okolností).

8.2.2 �ešení nerovnom�rného pohybu metodou po úsecích Obecné koryto prom�nlivého p�í�ného profilu se rozd�lí na úseky o délkách ∆L j . V jednotlivých úsecích p�edpokládáme, že pr�to�né profily a tedy i rychlosti se m�ní spojit� z hodnot Ai, vi v horním profilu na hodnoty Ai+1, vi+1 v dolním profilu. Nech� pr�m�rný podélný sklon koryta daného úseku nech� je i0j a celková ztráta energie tohoto úseku hzj. Pak pro srovnávací rovinu proloženou dnem dolního profilu (ve sm�ru proud�ní) plyne z Bernoulliho rovnice pro všechna proudová vlákna profil� 1 a 2 (Obr. 8.9):

jzi

ii

ijj hg

vh

gv

hLi ++=++∆ ++ 22

21

1

2

0

αα , (8.18)

ozna�íme-li rozdíl hladin na úseku j ∆hj:

10 +−+∆=∆ iijjj hhLih ,

obdržíme po úprav�:

( )jz

iij h

gvv

h +−

=∆ +

2

221α

, (8.19)

kde α je Coriolisovo �íslo, které p�edpokládáme konstantní na celém úseku a g tíhové zrychlení.

Druhý �len na pravé stran� (8.19), zna�ící rozdíl rychlostních výšek, m�že být: - záporný - k�ivka vzdutí (rychlost ve sm�ru pohybu se zmenšuje); - kladný - k�ivka snížení (je zapot�ebí vynaložit energii na p�ekonání

odpor� a na zrychlení vody).

Obr. 8.9 Schéma pro výpo�et nerovnom�rného proud�ní

Celkové ztráty hzj na úseku j dostaneme jako sou�et ztrát t�ením htj a ztrát místních hmj:

jmjtjz hhh += . (8.20) Ztráty t�ením vyjad�ujeme z Chézyho rovnice pro úsek j, který je ohrani�en profily i a i+1:

jjptz Lih ∆= , (8.21) kde ipj je pr�m�rný sklon �áry energie.


- 107 (188) -

Výpo�et ipj m�žeme provést n�kolika zp�soby:

a) 2

2

jpjp K

Qi = ,

21++

= iijp

KKK , iiii RACK = , (8.22)

b) 2

1++= ipip

jp

iii ,

iiiip RAC

Qi

22

2

= , 1

21

21

2

1+++

+ =iii

pi RACQ

i , (8.23)

c) jpjpjp

jp RCAQ

i 22

2

= , 2

1++= ii

jp

AAA ,

2

1++= ii

jp

CCC ,

21++

= iijp

RRR . (8.24)

d) u prizmatických koryt:

jpjpjpjp RCA

Qi 22

2

= , 2

1 iijp

hhh

+= + , )(,, jpjpjpjp hfRAC = . (8.25)

Jako nejvhodn�jší se jeví použití vztahu, který dává i pro extrémní pom�ry prakticky stejné výsledky, a tím jsou vztahy (8.24).

Ztráty místní, které vyjad�ují ztráty zm�nou pr��ezu a jsou zp�sobeny p�edevším tvarovými rozdíly mezi profily, m�žeme vyjád�it jako �ást absolutní hodnoty rozdílu rychlostních výšek:

gvv

h iijm 2

221 ααξ −

= + , (8.26)

kde ξ je sou�initel místní ztráty (Tab. 8.3).

Tab. 8.3 Sou�initelé místní ztráty rozší�ení (vi > vi+1) zúžení (vi < vi+1)

pozvolné rozší�ení: ξ = 0,2∼1,0 pozvolné zúžení: ξ = 0,0∼0,1 náhlé rozší�ení: ξ = 0,5∼1,0 náhlé zúžení: ξ = 0,5∼1,0

Vlastní �ešení za�íná vždy v profilu, kde je známá hloubka vody (zadaná okrajová podmínka):

- p�i �í�ním proud�ní, nap�.: - hloubka vody p�ed jezem; - kritická hloubka vody p�i p�echodu z �í�ního do byst�inného proud�ní

(Obr. 8.10), atd.; - p�i byst�inném proud�ní, nap�.:

- kritická hloubka vody p�i p�echodu z �í�ního do byst�inného proud�ní (Obr. 8.10), atd.

Postup p�i výpo�tu pr�b�hu hladiny je pak v závislosti na režimu proud�ní (Obr. 8.10) následující:

- p�i �í�ním proud�ní postupujeme ze zadané hloubky v dolním profilu sm�rem proti proudu (okrajová podmínka se zadává do dolního profilu);

- p�i byst�inném proud�ní postupujeme ze zadané hloubky v horním profilu sm�rem po proudu (okrajová podmínka se zadává do horního profilu).


- 108 (188) -

Obr. 8.10 Sm�r výpo�tu p�i �ešení nerovnom�rného proud�ní metodou po úsecích

�ešíme-li celkovou délku nerovnom�rného proud�ní, tj. vzdálenost až po profil s rovnom�rným proud�ním, neuvažujeme jako kone�nou hloubku p�i rovnom�rném proud�ní h0 (ta se teoreticky dosáhne v nekone�nu), ale hloubku:

h = h0 ± 0,01 h0 , (8.27) kde znaménka jsou v závislosti na režimu proud�ní následující:

- p�i �í�ním proud�ní -znaménko „+“ je pro �ešení k�ivky vzdutí a „-“ pro k�ivku snížení,

- p�i byst�inném proud�ní -znaménko „-“ je pro �ešení k�ivky vzdutí a „+“ pro k�ivku snížení.

8.2.3 �ešení nerovnom�rného pohybu metodou po úsecích v prizmatických korytech

U prizmatických koryt, tj. koryt, jejichž pr�to�ný pr��ez se po délce nem�ní, ale m�ní se jejich podélný sklon, se dominantn� realizují ztráty energie t�ením a místní ztráty se zanedbávají. Koryto po délce rozd�líme na jednotlivé úseky a p�i výpo�tu m�žeme postupovat dv�ma zp�soby:

- pro zvolený rozdíl hladin ∆hj na úseku j dopo�ítáme ∆Lj:

zavedením:

gv

hE iii 2

2α+= a

gv

hE iii 2

21

11+

++ +=α

,

m�žeme (8.18) zapsat do tvaru:

jziijj hEELi +=+∆ +10 , kde jjpjtjz Lihh ∆== .

Odtud pro vzdálenost mezi profily platí:

jpj

iij ii

EEL

−−

=∆ +

0

1 , (8.28)

kde pr�m�rný sklon �áry energie ur�íme ze vztah� (8.22) až (8.25).

Celkovou délku toku L, na které dojde p�i nerovnom�rném proud�ní ke zm�n� hloubky vody v koryt� z po�áte�ní na kone�nou hloubku dostaneme tak, že se�teme díl�í délky úsek�:

∆=j

jLL . (8.29)


- 109 (188) -

- pro zvolenou vzdálenost ∆Lj na úseku j hledáme rozdíl hladin ∆hj podle rovnice (8.19):

( )jz

iij h

gvv

h +−

=∆ +

2

221α

, kde jjpjtjz Lihh ∆== ;

( )jjp

iij Li

gvv

h ∆+−

=∆ +

2

221α

, (8.30)

kde pr�m�rný sklon �áry energie ur�íme ze vztah� (8.22) až (8.25). Nap�. zavedením vztahu (8.25) a následnou úpravou nabude rovnice (8.30) tvaru:

jjpjpjpii

j LRCA

QAAg

Qh ∆+��

�

��

�−=∆

+22

2

221

2 112

α , (8.31)

jjpii

j LKQ

AAgQ

h ∆+��

��

�−=∆

+2

2

221

2 112

α,

21 ii

jp

hhh

+= + , )(,, jpjpjpjp hfRAC = , jpjpjpjp RCAK = .

Postup se poté provádí postupným p�ibližováním (nap�. metodou "pokus-omyl"), tj. odhadneme ∆h'j, dopo�ítáme pravou stranu rovnice (8.30) a tu porovnáme s odhadnutou hodnotou ∆h'j. P�ibližování provádíme tak dlouho, až se odhadnuté ∆h'j a vypo�ítané ∆hj p�ibližn� rovnají.

P�i malých rozdílech rychlostí v sousedních profilech a u k�ivek vzdutí, kdy je rozdíl rychlostních výšek zanedbatelný - první �len na pravé stran� rovnice (8.30), m�žeme rozdíl hladin vypo�ítat p�ibližn� podle vztahu:

jjp

jjpjpjp

jjpjtj LKQ

LRCA

QLihh ∆=∆=∆=≈∆ 2

2

22

2

. (8.32)

8.2.4 �ešení nerovnom�rného pohybu metodou po úsecích v p�irozených korytech

V p�írod� se z�ídka vyskytuje proud�ní v prizmatických korytech. P�í�ný profil p�irozeného neupraveného koryta, jeho tvar a jeho geologické složení, i výškové pom�ry dna koryta se po délce toku m�ní a výpo�et nerovnom�rného proud�ní v tomto koryt� je hydraulický složit�jší.

P�i proud�ní se realizují ztráty jak t�ením o st�ny vedení (dno a b�ehy) a mezi jednotlivými proudovými vlákny (zp�sobené viskozitou vody) tak také ztráty místní zp�sobené zm�nami p�í�ného profilu koryta.

Délka úsek�, na rozdíl od prizmatických koryt, nem�že být volena libovoln�, ale koryto po délce rozd�líme na takové úseky, ve kterých je možné mezi sousedními dv�ma profily stanovit:

- jak ztráty t�ením charakterizované pr�m�rným sklonem �áry energie; - tak ztráty místní zp�sobené zm�nami p�í�ného profilu.


- 110 (188) -

Proto se výpo�tové profily (ve kterých po�ítáme pr�b�h hladiny tj. hloubky vody) vkládají do sm�rových a výškových lom� koryta jak je patrné z Obr. 8.11.

Obr. 8.11 Rozd�lení koryta na úseky s rovnom�rným rozší�ením �i zúžením

a se zm�nami podélného sklonu dna koryta

Výsledná rovnice pro rozdíl hladin ∆hj na úseku j, který je ohrani�en profily i a i+1 je:

( ) ( )g

vvLi

gvv

h iijjp

iij 22

221

221 −

+∆+−

=∆ ++ αξ

α,

( ) ( )[ ] jjpiiiij Livvvvg

h ∆+−+−=∆ ++22

122

12ξα

, (8.33)

kde pr�m�rný sklon �áry energie ipj ur�íme ze vztah� (8.22) až (8.24) a sou�initel místních ztrát ξ z Tab. 8.3.

Rovnici (8.33) m�žeme nap�. zavedením vztahu (8.24) dále upravit do tvaru:

�

�

�

� ∆+�

��

��

�

−+

−=∆

++ jpjpjp

j

iiiij RCA

L

AAAAgQh 2222

122

1

2 12

ξα . (8.34)

P�i výpo�tu pr�b�hu hladiny po délce toku postupujeme: - délka toku se rozd�lí na úseky tak, aby se úsek dal charakterizovat

pr�m�rným p�í�ným profilem (hranice úseku se vkládá do místa náhlé geometrické zm�ny a zm�ny podélného spádu dna, stejn� tak jako i do místa zaúst�ní p�ítoku - zm�na Q);

- ur�í se okrajové podmínky pro daný pr�tok Q; - pro odhadnuté ∆h'j se vypo�tou pot�ebné charakteristiky druhého profilu

(h, A, C, R, v) a dále pak pr�m�rné charakteristiky; - �eší se rovnice (8.33), vyjde-li odlišná od odhadnuté hodnoty ∆h'j,

opakuje se p�edchozí bod výpo�tu s novým opraveným odhadem ∆h'j až do úrovn� požadované shody (p�ibližn� 1 cm);

- �eší se další úsek.


- 111 (188) -

8.2.5 Výpo�et pr�toku ze známého pr�b�hu hladiny

Velice d�ležitým úkolem je sledování pr�b�hu velkých vod a ur�ování jemu odpovídajícímu pr�toku. Jsou-li p�i kulminaci povodn� fixovány v ur�ité �í�ní trati výšky hladiny ve vybraných profilech, m�žeme nivelací ur�it dostate�n� podrobn� pr�b�h podélného profilu hladiny a m�žeme také zam��it vybrané p�í�né profily (tachymetricky, p�íp. nivelací). M�žeme-li dále spolehliv� ur�it drnostní sou�initel koryta, pak nám tyto údaje posta�í k ur�ení pr�toku Q. P�edpokladem však je, že povod�ová vlna je plynulá a pozvolná, a lze ji tedy p�ibližn� považovat za ustálené nerovnom�rné proud�ní.

- Prizmatické koryto: Na úseku j, který je ohrani�en dv�ma profily i a i+1, zam��íme hladiny a z nich stanovíme rozdíl hladin ∆hj. Dále zm��íme vzdálenost mezi profily ∆Lj a parametry p�í�ných profil� Ai, Oi a vypo�teme Ri, Ci. Pro pr�m�rné hodnoty Ap j, Cp j a Rp j m�žeme vypo�ítat pr�tok korytem Q z rovnice (8.31):

jpjpjp

j

ii

j

RCA

L

AAg

hQ

22221

112

∆+��

�

��

�−

∆=

+

α. (8.35)

- P�irozené koryto: Pro zm��ený rozdíl hladiny ve dvou profilech lze vypo�ítat pr�tok Q podle (8.34):

jpjpjp

j

iiii

j

RCA

L

AAAAg

hQ

22221

221

12

∆+�

��

��

�

−+

−

∆=

++

ξα. (8.36)

Obvykle se zam��uje tra�, která je složená z n úsek�, kde máme zam��ené rozdíly hladin ∆h1, ∆h2, ... ∆hn a parametry nn, An, Rn, Cn jednotlivých profil�. Pro každý úsek platí rovnice (8.36), jednotlivé hodnoty se se�tou a pr�tok vypo�teme ze vztahu:

=

+

= ++

=

∆+�

��

��

�

−+

−

∆=

n

j jpjpjp

jn

i iiii

n

jj

RCA

L

AAAAg

h

Q

122

1

122

122

1

1

12

ξα.

Což je vyjád�ení pr�toku ze zam��ené trati p�irozeného koryta – hladin a profil�.

8.2.6 Výpo�et pr�tok� v ramenech koryta

�asto se v �í�ních korytech stává, že se koryto v�tví do dvou ramen, které se po ur�ité vzdálenosti op�t spojí. Úkolem je stanovení pr�tok� v jednotlivých ramenech koryta a a b, ze zam��ených rozdíl� hladin ∆hI-II v profilech I a II (Obr. 8.12). Pro skute�né vzdálenosti mezi profily v jednotlivých ramenech


- 112 (188) -

koryta ∆La a ∆Lb a pro stanovené hodnoty pr�m�rných modul� pr�toku v jednotlivých ramenech Kpa a Kpb musí podle (8.32) platit:

bbp

ba

ap

aIII L

KQ

LKQ

h ∆=∆=∆ − 2

2

2

2

.

Obr. 8.12 Schéma pro výpo�et pr�tok� v ramenech toku z nam��ených rozdíl�

hladin

Pr�toky v jednotlivých ramenech vypo�teme:

a

IIIapa L

hKQ

∆∆

= − , b

IIIbpb L

hKQ

∆∆

= − .

Celkový pr�tok v toku Q je roven:

��

��

�

∆∆

+∆

∆=+= −

b

abpap

a

IIIba L

LKK

Lh

QQQ .

Pro rozdíl hladin platí ∆hI-II :

a

b

apbpa

III L

LL

KK

Qh ∆

��

��

�

∆∆

+

=∆ − 2

2

.

P�. 8.1 Upravený tok má složený lichob�žníkový p�í�ný profil (Obr. 8.13). Ší�ka dna kynety je bkyn = 30 m, dna berem jsou bb = 25 m široké, b�ehy jsou ve sklonu 1:2 (m = 2) a drsnostní sou�initel dna i b�eh� je n = 0,032. Podélný sklon koryta je 0,5 ‰. Podélný i p�í�ný profil jsou na velkou délku pravidelné, proud�ní v toku není narušeno žádnými objekty, takže hladina se vytvo�í rovnob�žn� se dnem, pohyb je rovnom�rný. Jaký je pr�tok Q, který protéká korytem rovnom�rn� hloubkou h = 2m.

bkyn = 30,0 m; bb = 25,0 m; n = 0,032; i = 0,0005; h = 2,0 m; m = 2; Q = ? m3/s.

Obr. 8.13 Složený profil Obr. 8.14 Kruhový profil


- 113 (188) -

�ešení: Pr�to�né množství vypo�teme zvláš� v kynet� a v bermách:

kyneta: berma: Akyn = h (bkyn + m h) - m (h-hkyn)2; Ab = (h - hkyn) (bb + 0,5 m (h - hkyn)); Akyn = 2*(30 + 2*2) - 2*(2 - 1)2; Ab = (2 - 1)*(25 + 0,5*2*(2 - 1)); Akyn = 66,0 m2; Ab = 26,0 m2;

Okyn = bkyn+2(h-hkyn) 22 1+m +2(h-hkyn)); Ob = bb + (h-hkyn) 22 1+m ;

Okyn = 30+2*(2-1) 22 12 + +2(2-1) ; Ob = 25+ (2-1) 22 12 + ; Okyn = 36,4721 m; Ob = 27,2361 m;

Rkyn = ==4721,36

0,66

kyn

kyn

O

A1,8096 m; Rb = ==

2361,270,26

b

b

OA

0,9546 m;

Ckyn = 6/16/1 8096,1032,011 =kynR

n; Cb = 6/16/1 9546,0

032,011 =bR

n;

Ckyn = 34,4969 m0,5/s; Cb = 31,0089 m0,5/s;

vkyn = iRC kynkyn ; vb = iRC bb ;

vkyn = 0005,0*8096,14969,34 ; vb = 0005,0*9546,00089,31 ; vkyn = 1,038 m/s; vb = 0,6775 m/s; Qkyn = Akyn vkyn = 66,0*1,038 m3/s; Qb = Ab vb = 26,0*0,6775 m3/s; Qkyn = 68,508 m3/s; Qkyn = 17,615 m3/s.

Celkový pr�tok dostaneme sou�tem pr�tok� v kynet� a v bermách: Q = Qkyn +2Qb = 68,508+2*17,615 = 103,738 m3/s.

Korytem protéká pr�tok Q = 103,738 m3/s rovnom�rn� hloubkou h = 2,0 m.

P�. 8.2 Kolik vody protéká kruhovou stokou o pr�m�ru D = 2,0 m, sklonu i = 1,0%, drsnostním sou�initeli n = 0,012 a hloubkou (pln�ní) h = 1,5 m (Obr. 8.14).

D = 2,0 m; r = 1,00 m; i = 0,010; n = 0,012; h = 1,50 m; Q = ? m3/s.

�ešení: Výpo�et provedeme podle Tab. 8.2:

rrh -

arccos2-2= πϕ = 4,1888 rad;

)sin-(2

=2

ϕϕrA = 2,5274 m2;

O = ϕ r = 4,1888 m;

OA

R = = 0,6034 m;

6/11= R

nC = 76,6043 m0,5/s;

== iRCv 5,95 m/s; Q = v A = 15,038 m3/s.

Kruhovou stokou protéká pr�tok cca Q = 15,038 m3/s.


- 114 (188) -

P�. 8.3 Skluz (Obr. 8.15) se sklonem dna i0 = 50‰ odvádí vodu z velké nádrže, ve které je hladina vody ve výšce hh = 3,0 m nad úrovní dna na za�átku skluzu (PF1). Skluz má betonový obdélníkový profil se ší�kou ve dn� b = 5 m. Drsnostní sou�initel má velikost n = 0,014. Vyšet�ete pro pr�tok Q = 45 m3/s pr�b�h hladiny na skluzu. Skluz p�edpokládejte dostate�n� dlouhý, takže na n�m vznikne rovnom�rné proud�ní.

b = 5,0 m; i0 = 0,05; Q = 45,0 m3/s; n = 0,014; g = 9,81 m/s2; hh = 3,0 m; α = 1,05.

Obr 8.15 �ešení:

1. Na za�átku skluzu se vytvo�í kritická hloubka – pro obdélníkový profil (8.15):

32

2

bgQ

hkα= ;

bhQ

vk

k = ;

== 32

2

0,5*0,45*05,1

ghk 2,05 m;

0,5*05,20,45=kv = 4,39 m/s.

2. Hloubka p�i rovnom�rném proud�ní v obdélníkovém koryt� o podélném sklonu i0 = 0,05 (z m�rné k�ivky):

h0 = 0,79m m; A0 = 3,96 m2; O0 = 6,58 m; R0 = 0,60 m; C0 = 65,6174 m0,5/s (dle Manninga); v0 = 11,37 m/s; Q0 = 45,0 m3/s.

3. Výpo�et pr�b�hu hladin ve skluzu – prizmatické koryto. Jedná se o byst�inné proud�ní, protože v0 > vk a tedy p�i výpo�tu budeme postupovat sm�rem po proudu. Okrajová podmínka je kritická hloubka na za�átku skluzu. Ztrátu t�ením budeme po�ítat podle (8.25).

Metodou po úsecích ur�íme vzdálenost profil� se snižujícím se rozdílem hladin ∆hj tak, abychom dostate�n� p�esn� vystihli pr�b�h hladiny (aby vypo�ítané délky úsek� ∆Lj byly p�ibližn� stejné). Poslední hloubku budeme uvažovat hodnotou 1,01 h0 = 0,80 m - viz rovnice (8.27):

h = {2,05; 1,80; 1,60; 1,40; 1,20; 1,00; 0,90; 0,85; 0,82; 0,80} m

Celý výpo�et uspo�ádáme do tabulky (Tab. 8.4):

21 ii

jphh

h+= + ; bhA jpjp = ; bhO jpjp += 2 ;

jp

jpjp O

AR = ; 1/61

jpjp Rn

=C ;

jpjpjp

jp RCAQ

i 22

2

= ; gv

hE iii 2

2α+= ;

jpj

iij ii

EEL

−−=∆ +

0

1 .

Tab. 8.4 K�ivka snížení v prizmatickém koryt� h A

AQ

v = E hp j Ap j Op j Rp j Cp j ip j ∆ L


- 115 (188) -

m m2 m/s m m m2 m m m0,5/s 1 m

2,05 10,25 4,39 3,08 1,93 9,63 8,85 1,088 72,4350 3,831 10-3 1,22 1,80 9,00 5,00 3,14 1,70 8,50 8,40 1,012 71,5696 5,407 10-3 3,48 1,60 8,00 5,63 3,29 1,50 7,50 8,00 0,938 70,6644 7,690 10-3 7,52 1,40 7,00 6,43 3,61 1,30 6,50 7,60 0,855 69,5913 1,157 10-2 15,58 1,20 6,00 7,50 4,21 1,10 5,50 7,20 0,764 68,2931 1,879 10-2 36,03 1,00 5,00 9,00 5,33 0,95 4,75 6,90 0,688 67,1191 2,894 10-2 43,53 0,90 4,50 10,00 6,25 0,88 4,38 6,75 0,648 66,4484 3,697 10-2 45,90 0,85 4,25 10,59 6,85 0,84 4,18 6,67 0,626 66,0633 4,253 10-2 55,80 0,82 4,10 10,98 7,27 0,81 4,05 6,62 0,612 65,8120 4,659 10-2 89,89 0,80 4,00 11,25 7,57 L = Σ ∆Lj = 298,95

Délka toku, na které se v prizmatickém koryt� sníží hloubka z hloubky

hk = 2,05 m na hloubku p�ibližn� rovnou hloubce p�i rovnom�rném proud�ní

h0 = 0,79 m, je L = ΣΣΣΣ ∆∆∆∆Lj = 298,95 m.

Kontrolní otázky - Definujte ustálené rovnom�rné proud�ní vody v otev�ených korytech. - Definujte ustálené nerovnom�rné proud�ní vody v otev�ených korytech. - Co je to prizmatické a neprizmatické koryto? - Co je to k�ivka vzdutí a snížení?

9 Vodní skok P�echod z �í�ního proud�ní do byst�inného (nap�. p�i zlomu sklonu) bývá plynulý. Opa�ný p�echod z byst�inného proud�ní do �í�ního se d�je nespojit� - vodním skokem. Vodní skok je hydraulický jev, který vzniká p�i p�echodu z pohybu byst�inného do �í�ního (za p�epadem p�es jez, p�i výtoku pod stavidlem, p�i zm�n� sklonu dna toku z i0 > ik na i0 < ik, apod.). Vyzna�uje se náhlým zv�tšením hloubky vody a p�echodem od velké rychlosti k malé. Vodním skokem se kinetická energie m�ní za velké ztráty celkové energie v energii potenciální.

Vodní skok je charakterizován vzájemnými hloubkami vodního skoku, tj. hloubkou h1 v pr��ezu t�sn� p�ed vodním skokem p�i proud�ní byst�inném a hloubkou h2 v pr��ezu t�sn� za vodním skokem p�i proud�ní �í�ním. Vzdálenost mezi t�mito dv�ma pr��ezy se nazývá délka vodního skoku Ls. Rozdíl vzájemných hloubek h2 - h1 = hs se nazývá výška vodního skoku.

Základním typem je prostý vodní skok s povrchovým válcem (Obr. 9.1). Rotující válec pokrývá základní proud a strhává se sebou vzduch. Pohyb vody


- 116 (188) -

v povrchovém válci je nepravidelný. V dolní �ásti, kde se válec dotýká základního proudu, pohybují se �ástice vody stejným sm�rem jako proud, v horní �ásti pak sm�rem opa�ným. Mezi základním proudem a povrchovým válcem se �ástice neustále vym��ují.

Obr. 9.1 Prostý vodní skok

9.1 Druhy vodního skoku

Vodní skok m�že být: - s dnovým režimem (Obr. 9.2 a,b); - nebo s povrchovým režimem (Obr. 9.2 c,d).

Obr. 9.2 Typy vodního skoku, a) prostý, b) vlnovitý, c) povrchový,

d) povrchový - vzdutá vlna

Podle hloubky h1 p�i byst�inném proud�ní a z jí odpovídající hodnoty Froudova kritéria

1

21

hgvα=1Fr - je možné klasifikovat vodní skok s dnovým režimem:

- vodní skok prostý (Obr. 9.2 a) u n�hož lze v podélném �ezu z�eteln� rozlišit základní rozbíhající se proud p�i dn� a siln� provzdušn�ný válec na povrchu (Fr1 > 3, h2 > 1,8 hk);

- vlnovitý vodní skok (Obr. 9.2 b), který vzniká p�i malé výšce vodního skoku (h2 - h1), hlavn� p�i h2 < 1,3 hk . Projevuje se �adou tlumených vln bez vodního válce (Fr1 < 3).

Podle polohy vodního skoku s dnovým režimem vzhledem k vodní stavb� se rozeznává:

- vodní skok oddálený (Obr. 9.3 a, Obr. 9.4 a); - vodní skok p�ilehlý (Obr. 9.3 b, Obr. 9.4 b); - vodní skok vzdutý (Obr. 9.3 c, Obr. 9.4 c).

Obr. 9.3 Poloha vodního skoku vzhledem ke stavidlu

Vodní skok

- 117 (188) -

V p�ípad� povrchového vodního skoku, který má kompaktní roztékavý proud p�i povrchu a vodní válec p�i dn� a který vzniká p�i zaúst�ní byst�inného proudu nade dno, rozeznáváme:

- povrchový vodní skok (Obr. 9.2 c); - vzdutá vlna (Obr. 9.2 d).

Poloha vodního skoku k vodnímu dílu závisí na hloubce vody v odpadním kanále hd , jejíž velikost m�žeme ovliv�ovat r�znými technickými úpravami.

Obr. 9.4 Polohy vodního skoku, a) oddálený, b) p�ilehlý, c) vzdutý

9.2 Prostý vodní skok

9.2.1 Funkce vodního skoku

Obr. 9.5 Schéma k výpo�tu prostého Obr. 9.6 Funkce vodního skoku

vodního skoku

Budeme �ešit prostý vodní skok v prizmatickém koryt� mezi �ezy 1-1 a 2-2 (Obr. 9.5). Použijeme v�tu o hybnosti (4.28) a následující p�edpoklady a zjednodušení:

- malý sklon dna, takže m�žeme zanedbat složku tíhy kapaliny ve sm�ru pohybu;

- vodní skok prob�hne na malé délce, proto m�žeme zanedbat síly t�ení na st�nách koryta;

- v pr��ezech p�ed (�ez 1-1) a za vodním skokem (�ez 2-2) je plynule se m�nící pohyb, takže rozd�lení tlaku uvažujeme p�ibližn� podle pravidel hydrostatiky;

- Boussinesqovo �íslo stejné v obou pr��ezech.

Jediné p�sobící síly na výseku proudu jsou síly tlakové. Síly v �ezu 1-1 a 2-2 jsou:

111 AzgF ρ= , , resp. 222 AzgF ρ= , (9.1)


- 118 (188) -

kde z1 a z2 jsou hloubky t�žišt� pr�to�ného pr��ezu 1-1 a 2-2 pod hladinou a A1 a A2 jsou pr�to�né plochy. Dosazením (9.1) do (4.28) dostaneme:

2112 )( FFvvQ −=−ρβ ;

)()( 221112 AzAzgvvQ −=− ρρβ . Úpravou a zavedením v1 = Q/A1 a v2 = Q/A2 dostaneme pro prostý vodní skok platnost:

222

2

111

2

AzAgQ

AzAgQ

+=+ββ

, (9.2)

která obsahuje na obou stranách funkce hloubky. Ozna�íme:

)(2

iiii

hAzAgQ Φ=+β

(9.3) a tento dvoj�len nazveme funkcí vodního skoku. Z rovnice (9.2) vyplývá:

)()( 21 hh Φ=Φ . (9.4)

V grafu na Obr. 9.6 je sestrojena závislost Φ(hi) pro daný tvar koryta a pro Q = konst. Z této závislosti je patrné, že první vzájemná hloubka h1 < hk a druhá h2 > hk. �ím menší je h1, tím v�tší je k ní vzájemná hloubka h2. Funkce vodního skoku nabývá minimální hodnotu p�i kritickém proud�ní (h1 = h2 = hk). Kritická hloubka je tedy vzájemná sama sob�.

9.2.2 Výpo�et vzájemných hloubek Oby�ejn� jednu ze vzájemných hloubek známe a hledáme druhou. Pro hloubku h1 lze tedy z podmínky (9.4) ur�it hloubku h2. Výpo�et je vhodné vynést graficky (Obr. 9.6), odkud p�ímo ze závislosti Φ(hi) nalezneme h1 a h2 na spole�né svislici.

Pro vodní skok v obdélníkovém koryt� s vodorovným dnem o ší�ce b, m�žeme analyticky odvodit jednoduchý vztah mezi vzájemnými hloubkami. Dosadíme-li do (9.2) za A1 = b h1, A2 = b h2, z1 = h1/2 a z2 = h2/2 obdržíme:

22

2

22

11

2

21

21

hbhbg

Qhb

hbgQ

+=+ββ

b

hh 212⋅ ,

3212

21

2312

22 22

hhbg

Qhhh

bg

Qh+=+

ββ ,

( )21

2221122

2

)(2

hhhhhhbg

Q−=−

β,

)(2

12212

2

hhhhbgQ

+=β

1

1h

⋅ ,

02

12

2

2122 =−+

hbgQ

hhhβ

.

Dostali jsme kvadratickou rovnici pro h2. Fyzikální smysl má jen její kladný ko�en:

Vodní skok

- 119 (188) -

�

�

�

�++=

32

21

2

1

811-

2 hbgQh

hβ

(9.5)

a podobn�:

�

�

�

�++=

32

2

22

1

811-

2 hbgQh

hβ

. (9.6)

9.2.3 Délka vodního skoku Vedle ur�ení vzájemných hloubek je d�ležitým parametrem vodního skoku jeho délka, kterou se rozumí vzdálenost od za�átku do konce krycího vodního válce. Pro výpo�et délky vodního skoku v obdélníkových profilech existuje �ada empirických vztah�, které dávají dosti rozdílné výsledky:

Smetana: )-(6 12 hhLs = , (9.7)

Pavlovsky: )-9,1(5,2 12 hhLs = . (9.8)

V literatu�e lze nalézt délku vodního skoku podle Pikalova, �ertousova, Boora, atd.

9.2.4 Ztráta energie ve vodním skoku Ztrátu energie ve vodním skoku vyjád�íme z Bernoulliho rovnice pro profily 1 a 2 (Obr. 8.5):

21

312

12n 4)-(

-hhhh

EEE == . (9.9)

Ztráta je p�ímo úm�rná t�etí mocnin� výšky vodního skoku hs. Blíží-li se ob� hloubky hloubce kritické, výška skoku se zmenšuje a ztrát rychle ubývá.

9.3 Spojení hladin vodních zdrží – návrh vývaru Pojmem spojení hladin vodních zdrží ozna�ujeme komplex hydraulických jev� p�i p�echodu vodního proudu p�es vodní dílo, které za�ínají v horní zdrži a kon�í v tom míst� dolní zdrže, kde se vytvá�í normální, p�irozený odtokový režim, daný hydraulickými a geometrickými parametry koryta.

První etapa zahrnuje hydraulické jevy - ustálený výtok z nádoby otvorem a p�epady. Druhá etapa obsahuje hydrauliku vývaru, tj. �ásti stavby, ve které se m�ní byst�inné proud�ní na proud�ní �í�ní pomocí vodního skoku. Ve t�etí etap� p�echází proud z vývaru do p�irozeného odtokového režimu v dolní zdrži.

Obr. 9.7 Spojení zdrží vodního díla


- 120 (188) -

9.3.1 Základní rovnice Napišme Bernoulliho rovnici pro pr��ezy 0-0, který je ve vzdálenosti (3 ~ 5) h p�ed p�elivem, a C-C t�sn� za p�epadovým blokem, ve kterém je hloubka vodního paprsku nejmenší (Obr. 9.7):

zhgv

hgv

hsE ++=++=22

2c

c

20

0

αα, (9.10)

kde hz je ztrátová výška p�i p�echodu vodního paprsku mezi pr��ezy 0-0 a C-C, která lze vyjád�it vztahem:

gv

h cz 2

2

ξ= . (9.11)

Definováním rychlostního sou�initele ξ+α

=ϕ 1 m�žeme psát:

22

2

c2

2

0 22 c

cc Ag

Qh

g

vhE

ϕϕ+=+= . (9.12)

Z (9.12) m�žeme ur�it hc a pr�to�nou plochu Ac = f(hc).

Vývar vodního díla má oby�ejn� obdélníkový pr��ez o ší�ce b. Pak bude Ac = b hc a tedy:

222

2

0 2 cc hbg

QhE

ϕ+= ,

gv

hsE2

20

0

α++= ,

bQ

q = , (9.13)

)(2)(2 00 ccc

hEg

q

hEgb

Qh

−=

−=

ϕϕ . (9.14)

Rychlostní sou�initel ϕ se ur�uje experimentální cestou a jeho hodnoty jsou uvedeny v Tab. 9.1. Výpo�et hc v rovnici (9.14) provádíme postupným p�ibližováním, tj. hledáme takové hc, pro které platí rovnice (9.14). K hloubce hc p�i byst�inném proud�ní vypo�teme druhou vzájemnou hloubku h2 vodního skoku podle (9.3) a (9.4).

Tab. 9.1 Hodnoty rychlostního sou�initele ϕ Druh p�íslušenství vodního díla ϕ

1 výtok otvorem do vzduchu bez p�elivné hrany 1,00 - 0,97 2 výtok p�i dn� 1,00 - 0,95 3 p�epady bez uzáv�ru 1,00 4 p�epady s uzáv�ry 1,00 - 0,97

p�epady s proudnicovými p�elivnými plochami bez uzáv�r� p�i hladkém povrchu p�elivné plochy:

a) p�i malé délce p�elivné plochy, 1,00 b) p�i st�ední délce p�elivné plochy, 0,95

5

c) p�i velké délce p�elivné plochy, 0,90

6 p�epady s proudnicovými p�elivnými plochami s uzáv�ry p�i hladkém povrchu p�elivné plochy 0,95 - 0,85

7 p�epady hrubých tvar� 0,90 - 0,80 8 p�epady p�es širokou korunu 0,95 - 0,85

Vodní skok

- 121 (188) -

Obr. 9.8 Zjednodušené schéma prohloubeného vývaru

9.3.2 Dimenzování podjezí - vývaru �ást koryta pod p�elivy p�ehrad, jez�, spodními výpustmi nazýváme podjezí - vývar. V podjezí probíhá p�echod byst�inného proud�ní do �í�ního vodním skokem a z tohoto d�vodu je nutné dno opevnit.

Cílem je navrhnout podjezí tak, aby se p�i všech možných pr�tocích vytvá�el vzdutý vodní skok. V�tšinou je hloubka vody v koryt� neposta�ující (h2 > hd => nastal by oddálený vodní skok a dno v podjezí by bylo namáháno vysokými rychlostmi v delší trase), a proto je zapot�ebí podjezí oproti korytu prohloubit. Toto prohloubení se nazývá vývarem a vodní skok v n�m lze lokalizovat bezprost�edn� u paty p�elivu jako vzdutý vodní skok. Vývar je �ást stavby, ve které se m�ní byst�inné proud�ní v �í�ní vodním skokem a ve kterém se zna�ná �ást mechanické energie p�em�ní v její jiné formy (teplo, zvuk, atd.). Vytvo�í se stavebním prohloubením dna (Obr. 9.8).

Hloubka vývaru 1. posouzení typu vodního skoku – porovnání vzájemného vztahu mezi

hloubkami hd a h2 (Obr. 9.4), kde hloubka vody v koryt� hd za vodním skokem je pro libovolný pr�tok Q dána m�rnou k�ivkou koryta hd = f(Q). Hloubka h2(Q) je vzájemná hloubka vodního skoku k hloubce hc(Q) v pr��ezu C-C u paty jezu podle (9.14). Je-li: - hd < h2 - u paty jezu nejsou spln�ny podmínky vzniku vodního

skoku a byst�inné proud�ní pokra�uje dále. P�i velkých rychlostech nastávají zna�né ztráty t�ením, energetická výška E se ve sm�ru pohybu zmenšuje a hloubky byst�inného proud�ní p�ibývá. Toto byst�inné proud�ní pokra�uje tak daleko, až dosáhne hloubky h1, která je vzájemná k hloubce h2' = hd. V tom míst� jsou spln�ny zákonité podmínky vzniku vodního skoku, který se zde vytvo�í. M�že to být i velmi daleko od jezu (i n�kolik set metr�). Jedná se o vodní skok oddálený;

- hd = h2 - což je p�ípad nahodilý a zcela výjime�ný. Pak jsou p�ímo u paty jezu vytvo�eny zákonité podmínky vzniku vodního skoku, vznikne vodní skok p�ilehlý;

- hd > h2 - vodní skok by m�l tendenci putovat sm�rem proti proudu, �emuž ovšem brání jezové t�leso. Z�stává lokalizován u paty tohoto t�lesa jako vodní skok vzdutý. Dolní voda zalije vodní skok;


- 122 (188) -

2. ur�ení míry vzdutí vodního skoku σ ze vztahu:

2hhd=σ . (9.15)

Je–li σ > 1,05 není nutné navrhovat prohloubení dna v podjezí – tzv. vývar. Je-li σ < 1,05 je nutno navrhnout prohloubení dna u paty objektu o hloubku vývaru d tak, aby byla pro prohloubené koryto spln�na podmínka:

2hdhd σ=+ . (9.16)

P�i popsaném jednoduchém a bezpe�ném zp�sobu výpo�tu posta�í, je-li σ = 1,05 až 1,10.

Je nutno ješt� upozornit, že nejv�tší hloubka vývaru d nemusí vyjít pro nejv�tší p�epadající pr�tok Q. P�i rostoucím Q totiž se rychleji zvyšuje hladina pod jezem než hladina nad jezem, takže se rozdíl hladin (spád) zmenšuje. Pr�tok, p�i kterém je zapot�ebí nejhlubší vývar se nazývá návrhový pr�tok. P�i jeho stanovení se postupuje tak, že se volí r�zné pr�toky Qi, k nim se postupn� po�ítají hci, h2i a hdi. Návrhový pr�tok pro návrh prohloubení vývaru je ten, pro který je h2i - hdi maximální.

Délka vývaru Podle zkušeností je vodní skok v prohloubeném vývaru kratší než vodní skok prostý. Délka vývaru lze vyjád�it nap�íklad podle Nováka (Tab. 9.2):

��

��

�=−=

1

212 ,)(

hh

fKhhKLv . (9.17)

Délka vývaru se m��í od místa dopadu paprsku na dno vývaru, tedy od pr��ezu s hloubkou hc. Místo dopadu je u proudnicových p�elivných ploch dáno jejich konstrukcí.

Délka vývaru je odvislá od výšky vodního skoku hs, která je funkcí pr�toku hs(Q). Délka vývaru se stanovuje pro nejv�tší výšku vodního skoku ze všech pr�tok�. Délka vodního skoku a vývaru vychází nejv�tší zpravidla pro Qmax.

Tab. 9.2 Hodnoty K pro výpo�et délky vývaru podle Nováka h2 / h1 K

3 - 4 5,5 4 - 6 5,0

6 - 20 4,5 20 a více 4,0

9.3.3 Schéma hydraulického �ešení vývaru 1. ur�ení návrhového pr�toku: v rozmezí zadaných p�epadových pr�tok�,

pro daný pr�tok Qi: - stanoví se hloubku vody v odpadním koryt� hdi (z m�rné k�ivky koryta

pod objektem); - spo�ítá se tlouš�ku zúženého p�epadového paprsku hci (9.13 a 9.14):

)(2 0 cii

ici

hEgb

Qh

−=

ϕ,

gv

hsE iii 2

20

0

α++= ;

Vodní skok

- 123 (188) -

a to postupným p�ibližováním (v prvním p�iblížení se zanedbá hodnota hci na pravé stran� první rovnice);

- p�edpokládá se hci = h1i (p�ilehlý vodní skok); - vypo�te se druhá vzájemná hloubka h2i; - vypo�te se vzdutí ∆ hi = (h2i - hdi); - návrhový pr�tok se ur�í pro maximální rozdíl ∆ hmax ;

2. pro návrhový pr�tok se ur�í typ VS vzhledem ke stavb�: σ = hdi / h2 < 1 oddálený VS; = 1 p�ilehlý VS; > 1 vzdutý VS;

3. posoudí se nutnost vývaru: - je-li σ > 1,05 vývar není nutné navrhnout; < 1,05 vývar je t�eba navrhnout;

4. výpo�et hloubky vývaru (Obr. 9.9):

- odhadne se hloubka vývaru d: )10,1~05,1(2

=+

=h

dhdσ ,

dhhd -10,1 2≈ ;

- provede se oprava velikosti energetické výšky pr��ezu (vztažené ke dnu vývaru):

dgv

hsdEE +++=+=′2

20

00

α;

- spo�ítá se hc, h2 a posoudí se míra vzdutí:

)10,1~05,1(2

∈+

=h

dhdσ ;

- pokud σ nevyhoví je zapot�ebí hloubku vývaru d opravit;

5. výpo�et délky vývaru: pro délku vývaru udává Novák vztah (9.17):

)-( 12 hhKLv = , K = f ��

��

�

1

2

hh .

Obr. 9.9

P�. 9.1 P�es pevný jez (Obr. 9.10) p�epadá voda p�i p�epadové výšce h = 0,7 m (h0 = 0,712). Ší�ka jezu je b = 15 m. Posu�te, zda je pot�eba navrhnout pro uvažovaný pr�tok vývar (α = 1,05, β = 1, s = 2,5 m, s1 = 1,0 m, hd = 0,8 m, ϕ = 0,87). P�i výpo�tu p�epadového pr�toku uvažujte m = 0,39. Bo�ní zúžení neuvažujte. Koryto má obdélníkový tvar.


- 124 (188) -

b = 15 m; hd = 0,8 m; h = 0,7 m; h0 = 0,712; α = 1,05; β = 1,0; s = 2,5 m; s1 = 1,5 m; m = 0,39; ϕ = 0,87; g = 9,81 m/s2.

Obr. 9.10

�ešení:

1. ur�ení Q: 2/302 hgbmQ = ;

Q = 15,568 m3/s;

2. výpo�et vzájemných hloubek vodního skoku: m212,300 =+= hsE ;

hc se �eší itera�n�: )(2 0 c

chEgb

Qh

−ϕ= ;

0. p�iblížení: hc(0) = 0 m;

1. p�iblížení: =−ϕ

=)(2 )0(

0

)1(

c

chEgb

Qh 0,150 m;

2. p�iblížení: =−ϕ

=)(2 )1(

0

)2(

c

chEgb

Qh 0,154 m;

3. p�iblížení: hc(3) = 0,154 m;

hc se považuje za h1 (h1 = hc = 0,154 m) a vypo�te se druhá vzájemná hloubka h2:

m120,18

11-2 3

12

21

2 =�

�

�

� β++=hbg

Qhh ;

hd < h2 = > oddálený vodní skok; nutno navrhnout prohloubení dna koryta d tak, aby v n�m vznikl vzdutý vodní skok;

3. návrh hloubky vývaru:

)10,1~05,1(;2

=σ+=σh

dhd dhhd -2* 10,1= ;

d* = 0,43 m návrh: d = 0,45 m;

4. ov��ení návrhu (výpo�et vzájemných hloubek vodního skoku - uvažuje se vývar):

m662,300 =++=′ dhsE ;

hc se �eší itera�n�: )(2 0 c

chEgb

Qh

−ϕ= ;

0. iterace: hc(0) = 0 m;

Vodní skok

- 125 (188) -

1. iterace: =−ϕ

=)(2 )0(

0

)1(

c

chEgb

Qh 0,141 m;

2. iterace: =−ϕ

=)(2 )1(

0

)2(

c

chEgb

Qh 0,144 m;

3. iterace: hc(3) = 0,144 m;

hc se považuje za h1 (h1 = hc = 0,144 m) a vypo�te se druhá vzájemná hloubka h2:

�

�

�

� β++= 32

2

28

11-2 c

c

hbgQh

h = 1,167 m;

2hdhd +=σ = 1,07 ∈ (1,05;1,10)

=> návrh prohloubení dna vývaru d = 0,45 m je dosta�ující;

5. výpo�et délky vývaru (dle Nováka): Lv = K (h2 - h1); K(8,1) = 4,5; Lv = 4,6 m.

Kontrolní otázky - Jaké se rozlišují druhy vodního skoku? - Jaké jsou polohy vodního skoku? - Co je to vývar?

10 Mosty Cesty, silnice a železnice, p�ípadn� pr�plavy a náhony se p�evád�jí p�es vodní toky pomocí most� a propustk� (Kap. 11). Jako most ozna�ujeme oby�ejn� v�tší objekt tohoto druhu, propustkem potom rozumíme menší objekt, který p�ípadn� ani nemusí p�erušovat násyp komunikace po celé výšce. P�esné hranice však nejsou dány.

Z hydraulického hlediska m�žeme rozd�lit mosty a propustky takto:

- most je objekt, kde z hydraulického hlediska m�žeme zanedbat ztráty t�ením oproti místním,

- propustek je objekt, kde je délka objektu proti pr��ezovým rozm�r�m velká a nelze zanedbat místní ztráty.

Tato definice však také není úpln� p�esná.

Zasahuje-li mostní konstrukce nebo propustek do pr�to�ného profilu p�emost�ného toku, dochází ke zúžení pr�to�né plochy koryta. Zúžením koryta obvykle dojde ke zvýšení vodní hladiny, tzv. vzdutí p�ed mostem a k zv�tšeným rychlostem proud�ní v mostním profilu. Z hydraulického hlediska je proud�ní otvorem mostu, vyzna�ující se bo�ním zúžením, analogické proud�ní na p�epadu se širokou korunou.


- 126 (188) -

10.1 Mosty na tocích s �í�ním proud�ním

Obr. 10.1 �í�ní proud�ní pod mostem se a) zatopeným a b) nezatopeným

vtokem

10.1.1 Vtok zatopený dolní vodou Vtok zatopený dolní vodou (Obr. 10.1 a) nastane tehdy, jestliže platí:

hd > κ E , (10.1) kde E je energetická výška pr��ezu v profilu p�ed mostem a κ je sou�initel pro výpo�et most� (Tab. 10.1).

Proud�ní mostem �ešíme použitím Bernoulliho rovnice pro profil p�ed mostem:

gv

hE2

20α

+= (10.2)

a pro profil za vtokem:

22

222

222 σσ

σσσ ϕ

ξαAg

Qh

gv

gv

hE +=++= , (10.3)

kde v0 je p�ítoková rychlost, vσ rychlost za vtokem, ξ sou�initel vyjad�ující místní ztráty na vtoku a ϕ rychlostní sou�initel (Tab. 10.1). �asto je možné vliv p�ítokové rychlosti oproti hodnot� E zanedbat, a potom platí h ≅ E.

Vzdutí zp�sobené mostem vypo�ítáme ze vztahu:

hh hgv

EhhH -2

-20α

=−=∆ , (10.4)

kde hh je p�vodní nevzdutá hloubka p�ed mostem (v�tšinou hh = hd ). Pr�tok mostem pro zadanou vzdutou hloubku vypo�teme podle vztahu pro nedokonalý p�epad p�es širokou korunu:

)-(2 σσϕ hEgAQ = , (10.5)

kde pro obdélníkový pr�to�ný pr��ez platí Aσ = bhσ, b je sv�tlá ší�ka mostního profilu a pro hloubku hσ platí:

hσ = hd je - li dno mostu v úrovni dna koryta;

hσ = hd - sd p�i výšce prahu sd nade dnem.

Mosty

- 127 (188) -

Tab. 10.1 Sou�initelé pro výpo�et most�

typ Plynulé bo�ní p�ipojení

Bo�ní k�ídla zaoblená Bo�ní k�ídla šikmá Bo�ní k�ídla

pravoúhlá ϕ κ m ϕ κ m ϕ κ m ϕ κ m A 0,96 0,72 0,36 0,95 0,73 0,36 0,95 0,74 0,36 0,94 0,75 0,35 B 0,94 0,75 0,35 0,93 0,76 0,35 0,92 0,78 0,34 0,91 0,79 0,33 C 0,91 0,79 0,33 0,90 0,81 0,32 0,88 0,83 0,30 0,87 0,85 0,28 D 0,90 0,81 0,32 0,88 0,83 0,30 0,87 0,85 0,29 0,86 0,87 0,27 E 0,85 0,88 0,26 0,83 0,91 0,23 0,81 0,93 0,20 0,79 0,95 0,16

A dno mostu je v úrovni dna p�ítokového koryta B ve dn� mostu je práh se zaoblenou vstupní hranou C ve dn� mostu je práh se zkosenou vstupní hranou D ve dn� mostu je práh s pravoúhlou vstupní hranou E ve dn� je práh s pravoúhlou vstupní hranou (nep�íznivé podmínky, nerovný povrch)

10.1.2 Vtok není zatopený dolní vodou Vtok není zatopený dolní vodou (Obr. 10.1 b), platí-li podmínka:

hd < κ E . (10.6) Pro výpo�et pr�toku vody mostním profilem používáme vztah pro výpo�et dokonalého p�epadu p�es širokou korunu. Pro pr�tok mostem platí:

2/32 EgbmQ = , (10.7)

kde m je sou�initel p�epadu (Tab. 10.1). Pro zadaný pr�tok vypo�ítáme energetickou výšku pr��ezu p�ed mostem:

3/2

2 ��

�

�

��

�

�=

gbm

QE . (10.8)

Vzdutí mostem se stanoví podle rovnice (10.4).

10.2 Mosty na tocích s byst�inným proud�ním Zúžení pr�to�ného pr��ezu koryta mostem zp�sobí pod mostem zvýšení hloubky z p�vodní hodnoty hh na hodnotu hm. Pro energetickou výšku pr��ezu v profilu mostu platí:

2

2

)(2 bhgQ

hEm

mmα+= . (10.9)

Energetická výška pr��ezu p�ed mostem je:

Eh = Em + hz . Ztrátu hz se vyjád�íme následujícím zp�sobem:

gv

hz 23,0

20= . (10.10)

P�i velkém zúžení pr��ezu nemusí pr�tok protékat pod mostem hloubkou hm, ale m�že p�ed mostem vzniknout �í�ní proud�ní. V koryt� p�ed mostem p�ejde byst�inné proud�ní do �í�ního proud�ní vodním skokem. Tuto okolnost je t�eba brát v úvahu p�i návrhu velikosti mostního profilu a výšky konstrukce mostu nad hladinou.


- 128 (188) -

P�. 10.1 Upraveným korytem lichob�žníkového p�í�ného pr��ezu se ší�kou ve dn� b = 10 m a se sklony svah� 1:2 protéká Q = 70 m3/s hloubkou t = 3 m. Jaké vzdutí zp�sobí most (pravoúhlá bo�ní k�ídla) sv�tlosti B = 10 m.

b = 0 m; g = 9,81 m/s2; B = 10 m; α = 1,00; Q = 70 m3/s; ϕ = 0,94 (Tab. 10.1); hσ = hd = hh = t = 3 m; κ =0,75 (Tab. 10.1).

Obr.10.2 Schéma pr�toku mostem

�ešení:

P�edpokládejme zatopený vtok (10.3) - první p�iblížení E ≅ h:

��

��

�+=

ϕ+=

σσ 22

2

22

2

3094,0*81,9*270

0,32 Ag

QhE ; Aσ = B hσ = (10*3) = 30 m2;

E = 3,31 m. Ov��ení p�edpokladu zatopeného vtoku (10.1):

hd = 3,0 > κ E = 0,75*3,31 = 2,49 m, takže náš p�edpoklad byl správný.

Ur�íme hloubku vody p�ed mostem podle (10.2). Jelikož není známa p�ítoková rychlost, je vhodné postupovat itera�n�:

1. iterace: h(1) = E = 3,31 m; A0(1) = (b h(1)) + 2 2}1( )(h = 55,11 m2;

11,5570

)1(0

)1(0 ==

AQ

v = 1,27 m/s;

2. iterace: h(2) = E -g

v2

)( 2)1(0 = 3,23 m; A0

(2) = (bkor h(2)) + 2 2}2( )(h = 53,21 m2;

21,53

70)2(

0

)2(0 ==

AQ

v = 1,32 m/s;

3. iterace: h(3) = E -g

v2

)( 2)2(0 = 3,23 m.

Vzdutí: ∆H = h - hh = 3,23 - 3,00 = 0,23 m.

Most vzduje vodu o 23 cm.

Kontrolní otázky - Jaký je rozdíl mezi mostem a propustkem? - Jak se po�ítá pr�tok mostem na toku s �í�ním proud�ním?

Propustky

- 129 (188) -

11 Propustky Propustkem v technické praxi rozumíme menší objekt se stálým pr��ezem a sklonem dna, kterým protéká voda pod silnicí, železnicí, p�ípadn� pr�plavem, náhonem apod. V monografii "Jarošenka, Andrejeva a Prokopovi�e" je uvedeno více než 95 možných zp�sob� pr�toku, a to v závislosti na sklonu dna propustku, na délce propustku, na pom�rech na vtoku a výtoku z propustku, atd. P�i praktickém výpo�tu rozlišujeme t�i základní pr�toková schémata proud�ní v propustcích:

- propustky s volnou hladinou po celé délce propustku; - propustky se zatopeným vtokem, u nichž je p�ed vtokem hladina vody

výše než strop propustku, a dále je v propustku volná hladina; - tlakové propustky vypln�né po celé délce vodou (propustky

s tlakovým režimem proud�ní).

Popsané zp�soby proud�ní se v ur�itém propustku mohou m�nit v závislosti na kolísání pr�toku. Menší pr�tok protéká po celé délce propustku s volnou hladinou, p�i zvyšování pr�toku se zahlcuje vtok a p�i dalším zvýšení pr�toku m�že voda vyplnit pr�to�ný profil po celé délce propustku a vyvolat v n�m proud�ní tlakové.

Vtok do propustku je doprovázen kontrakcí vodního proudu. Zúžený pr��ez, který je závislý na tvaru vtoku, m�že být bu volný nebo od výtoku z propustku vzdutý (zatopený). Vzdutí (zatopení) m�že zp�sobit bu volná hladina pod propustkem nebo malý sklon dna dlouhého propustku.

Obr. 11.1 Typy vtoku do propustku k Tab. 11.1

Tab. 11.1 Sou�initel ztráty na vtoku, rychlostní, výškového zúžení a zatopení vtoku

typ vtoku (Obr. 11.1)

Sou�initel místních ztrát na

vtoku ξv

rychlostní sou�initel ϕ

sou�initel výškového zúžení χ

sou�initel zatopení vtoku β

a 0,40 ≈ 0,50 0,85 ≈ 0,82 0,90 1,20 ≈ 1,16 b 0,80 ≈ 0,90 0,75 ≈ 0,73 0,86 1,09 ≈ 1,08 c 0,70 ≈ 0,80 0,77 ≈ 0,75 0,87 1,10 ≈ 1,09 d 0,05 ≈ 0,10 0,98 ≈ 0,95 0,97 1,45 ≈ 1,40 e 0,10 ≈ 0,15 0,95 ≈ 0,93 0,95 1,40 ≈ 1,33 f 0,30 ≈ 0,40 0,88 ≈ 0,85 0,94 1,40 ≈ 1,36


- 130 (188) -

11.1 Propustky s volnou hladinou po celé délce Propustek má volnou hladinu po celé délce, je-li hloubka vody p�ed propustkem:

h < β D, h < β hp, (11.1) kde β je sou�initel zatopení vtoku (Tab. 11.1), D pr�m�r kruhového propustku a hp sv�tlá výška obdélníkového propustku.

11.1.1 Propustky neovlivn�né dolní vodou Kontrakcí p�i vtoku se hloubka na za�átku propustku zužuje na hloubku hc:

kc hh χ= , (11.2)

kde χ je sou�initel výškového zúžení (Tab. 11.1) a hk kritická hloubka odpovídající danému pr�toku v daném profilu propustku. Protože χ je menší než 1 (χ < 1), je v zúženém pr��ezu za vtokem byst�inné proud�ní. To m�že být ovlivn�no dolní vodou jen tehdy, když hloubka vody v propustku za vtokem p�evýší hloubku druhé vzájemné hloubky vodního skoku.

a) Obdélníkový propustek ší�ky b Hloubka dolní vody musí být menší než druhá vzájemná hloubka k hc:

�

�

�

�++<

23

2811-

2 bhgQh

hc

cd

β,

dosazením za hc = χ hk a kritickou hloubku obdélníkového koryta 2

23bg

Qkh α= , obdržíme:

�

�

�

�++<

3

811-

2 χαβχ k

d

hh , (11.3)

kde β je v (11.3) Boussinesqovo �íslo.

Obr. 11.2 Kruhové propustky s volnou hladinou, volným vtokem a výtokem

Propustky

- 131 (188) -

b) Kruhový propustek (o pr�m�ru D) Propustek nebude ovlivn�n dolní vodou, bude-li sklon dna v�tší nebo p�ibližn� roven sklonu kritickému (i0 > ik, i0 =� ik) - Obr. 11.2. Dále je zapot�ebí pro daný pr�tok Q prokázat, že je menší než pr�tok kapacitní QD, který ur�íme nap�. z Chézyho a Manningovy rovnice:

03/21

iARn

QQ D =< . (11.4)

Pro vzdutí p�ed obdélníkovým nebo kruhovým propustkem platí:

hhhH -=∆ , (11.5)

kde hh je p�vodní nevzdutá hloubka vody v koryt� p�ed propustkem a h vzdutá hloubka vody p�ed propustkem. Hloubku vody p�ed propustkem h ur�íme z Bernoulliho rovnice:

gv

hE2

2α+= , odtud:

gv

Eh2

-2α

= ; (11.6)

a pro energetickou výšku zúženého pr��ezu platí:

22

2

2

2

22 cc

cc Ag

Qh

g

vhE

ϕϕ+=+= . (11.7)

11.1.2 Propustky ovlivn�né dolní vodou Je-li hladina dolní vody tak vysoko nebo (p�i dlouhém propustku) sklon dna tak malý, že hloubka dolní vody za propustkem ovliv�uje zúženou hloubku hc za vtokem (Obr. 11.3), je vtokový pr��ez odspodu zatopen. Propustek potom �ešíme jako nedokonalý p�epad p�es širokou korunu:

)(2 σσϕ hEghbQ −= , (11.8)

kde ϕ je rychlostní sou�initel (Tab.11.1), hσ hloubka vody v profilu za vtokem do propustku ur�ená �ešením pr�b�hu hladiny p�i nerovnom�rném proud�ní (Kap. 8.2) od výtoku z propustku.

Obr. 11.3 Propustek s volnou hladinou ale vtokem zatopeným dolní vodou

11.2 Propustky s volnou hladinou a zatopeným vtokem Zv�tšuje-li se pr�tok v propustku s volnou hladinou, dojde k zahlcení vtoku (Obr. 11.4). To nastane, je-li hloubka vzduté vody p�ed propustkem:

h > β D, h > β hp , kde β je sou�initel zatopení vtoku (Tab. 11.1), D pr�m�r kruhového propustku a hp sv�tlá výška obdélníkového propustku.


- 132 (188) -

Obr. 11.4 Propustky s volnou hladinou, zatopeným vtokem

a) neovlivn�né dolní vodou, b) pr��ez za vtokem ovlivn�ný dolní vodou

11.2.1 Propustky neovlivn�né dolní vodou Pr�tok propustkem se zahlceným vtokem a neovlivn�ným dolní vodou (Obr. 11.4 a) po�ítáme podle vztahu:

)-(2 cc hEgAQ ϕ= , (11.9)

kde ϕ je rychlostní sou�initel (Tab. 11.1), Ac zúžená plocha za vtokem do propustku:

AAc 62,0= , (11.10)

kde A je sv�tlá plocha p�í�ného �ezu propustkem a hc zúžená hloubka: - obdélníkový propustek: hc = 0,62 hp ; - kruhový propustek: hc = 0,60 D .

11.2.2 Propustky ovlivn�né dolní vodou Zúžený pr��ez Ac m�že být zatopen bu vzdutím od výtoku (nap�. hd > hk - Obr. 11.4. b) nebo následkem malého sklonu propustku p�i jeho v�tší délce. Z �ešení nerovnom�rného proud�ní (Kap. 8.2) proti sm�ru pohybu od výtoku dostaneme hloubku hσ za vtokem do propustku, která zatápí vzniklý vodní skok. Pro energetickou výšku platí:

222

2

2

2

22 σσ

σσ ϕϕ hbg

Qh

g

vhE +=+= , (11.11)

a pr�to�né množství:

)(2 σσϕ hEghbQ −= , (11.12)

kde hσ je hloubka vody za vtokem do propustku, kterou ur�íme �ešením pr�b�hu hladiny p�i nerovnom�rném proud�ní od výtoku z propustku.

Propustky

- 133 (188) -

11.3 Tlakové propustky (kruhové) Tlakovému proud�ní u obdélníkových propustk� je vhodné se vyhnout, protože jde o velice komplikované proud�ní.

Obr. 11.5 Tlakové kruhové propustky a) výtok není zahlcen, b) zatopený výtok

Po stránce hydraulické jde o hydraulicky krátké potrubí, jehož p�íklad jsme ukázali na p�íkladu shybky (Kap. 7.6.1). U propustk� jsou tlakové výšky relativn� malé proti rozm�r�m p�í�ného pr��ezu. Proto i když voda za propustkem zcela zahlcuje výtokový pr��ez (hd > D), nemusí být ješt� zaru�eno tlakové proud�ní. V objektu se m�že vytvo�it volná hladina a v propustku nebo za ním m�že vzniknout vodní skok. Podobné pr�tokové pom�ry jsou nestabilní, vznikají p�i nich pulsace a nárazy od vzduchových "pytl�" po délce propustku, atd.

Tlakového proud�ní v propustku m�že nastat, je-li pr�tok propustkem Q v�tší než kapacita propustku QD p�i i0:

03/21

iARn

QQ D => , (11.13)

p�i�emž kapacitní pr�tok QD se po�ítá z Chézyho a Manningovy rovnice.

11.3.1 Výtok z propustku není zatopen dolní vodou Pro hloubku vody hv ve výtokovém pr��ezu propustku platí:

- je-li: hk > D, pak hv = D , - je-li: hd < hk < D, pak hv = hk , - je-li: hk < hd < D, pak hv = hd .

Jedná-li se o první p�ípad (hk > D, hv = D), propustek �ešíme jako hydraulicky krátké potrubí a z Bernoulliho rovnice platí:

Dg

vLiiE v +++−=

2)()(

2

0 ξα ,

kde sklon �áry energie i m�žeme vyjád�it z Darcy-Weisbachovy rovnice (

gv

DLi

2

2

λ= ) a ξv je sou�initel ztrát na výtoku (Tab. 11.1). Po úprav� dostaneme:

LiDg

vDL

E v 0

2

2−+�

�

��

� ++= λξα .


- 134 (188) -

Zanedbáme-li p�ítokovou rychlost ( hE =� ), obdržíme pro pr�tok:

DLLiDh

gAQ

v λξα ++

+= 0-

2 . (11.14)

U dalších dvou p�ípad� po�ítáme pr�b�h hladiny od výtoku proti proudu (p�i nerovnom�rném proud�ní) a hledáme vzdálenost, od které nastane tlakové proud�ní.

11.3.2 Výtok z propustku je zatopen dolní vodou Výtok z propustku je zatopen dolní vodou (Obr. 11.5 b), jsou-li spln�ny podmínky (11.13) a na konci výtokového pr��ezu propustku je tlak v�tší než atmosférický tlak, tj.

gvvv dd )-(

min =∆>∆ , (11.15)

kde vd je pr��ezová rychlost v odpadním koryt� a v pr��ezová rychlost v propustku. Podmínka (11.15) zabezpe�uje ustálené tlakové proud�ní v celém propustku až po výtokový pr��ez bez rušivých vliv� (tlakové pulsace, atd.). Pro pr�tok, p�i zanedbání p�ítokové rychlosti, platí:

DL

LihhgAQ

v

d

λξ ++

∆++=

1

-2 min0 . (11.16)

P�. 11.1 Navrhn�te sv�tlou výšku obdélníkového propustku ší�ky 2,0 m, tak aby bylo zaru�eno proud�ní o volné hladin� v celém propustku. Propustkem protéká Q = 5,0 m3/s. Vtok je ostrohranný, za propustkem je skluz. Dále navrhn�te sklon dna propustku tak, aby vtokový pr��ez nebyl zatáp�n odspodu. P�ítokovou rychlost v koryt� zanedbejte.

b = 2,0 m; Q = 5,0 m3/s; χ = 0,90; β = 1,16 (sou�initel zatopení vtoku); ϕ = 0,82; β = 1,0 (Boussinesqovo �íslo); α = 1,0; n = 0,018.

�ešení: Nejprve ur�íme kritickou hloubku hk a hloubku zúženého pr��ezu hc:

32

2

bgQ

hkα= = 0,860 m; kc hh χ= = 0,774 m.

Následn� ur�íme rychlost ve zúženém a energii ve vtokovém pr��ezu:

bhQ

vc

c = = 3,23 m/s; 2

2

2 ϕ+=

gv

hE cc = 1,56 m;

Je-li p�ítokové koryto zna�n� širší než ší�ka propustku, je v n�m p�ítoková rychlost v0 zanedbateln� malá a pro hloubku vody p�ed propustkem platí:

hgv

hE =α

+= �2

20 = 1,56 m.

Propustky

- 135 (188) -

V opa�ném p�ípad� bychom hloubku vody po�ítali postupným p�ibližováním. Minimální sv�tlá výška propustku plyne z podmínky (11.1):

β>�β< h

hhh pp = 1,35 m.

Minimální výška propustku hp je 1,35 m, aby vtok do propustku nebyl zatopen. Zúžený pr��ez se za�ne zatáp�t p�i hloubce dolní vody:

kk h

h107,1

82 3

=�

�

�

�

χαβ++

χ11- = 0,953 m.

Pon�vadž je výtok volný (za výtokem je skluz) a vytvo�í se v n�m p�ibližn� kritická hloubka, vzniknou v celé délce propustku hloubky h < 0,952m. Bude-li mít dno propustku minimáln� takový sklon dna, p�i kterém je h = 0,953 m hloubka p�i rovnom�rném proud�ní propustkem p�i pr�tok Q = 5,0 m3/s. Podle Manninga: A = h b = 1,905 m2; O = 2h + b = 3,905 m;

OA

R = = 0,488 m; 6/11R

nC = = 49,2924 m0,5/s;

AQ

v = = 2,624 m/s; RC

vi 2

2

0 = = 0,0058 = 5,8 ‰.

P�i sklonu dna propustku i0 = 5,8 ‰ a v�tším nebude vtok zatopen a ovlivn�n dolní vodou.

Kontrolní otázka - Jaké jsou základní pr�toková schémata proud�ní v propustcích?

12 Proud�ní podzemní vody �ást vodních srážek spadlých na povrch zemský stéká vlivem gravitace po povrchu formou plošného odtoku, který se postupn� koncentruje do tok� a odtéká jako povrchový odtok viz dále v �ásti hydrologie. �ást srážek vsakuje pod zemský povrch a jako podzemní – podpovrchová voda se zú�ast�uje hydrologického ob�hu vody v p�írod�. Zeminy a horniny jsou tvo�eny pevnou �ásti (skeletem) a póry, které mohou být vypln�né vodou a plyny. Podpovrchová voda proudí navzájem propojenými dutinami - póry zemin a trhlinami a puklinami hornin.

V zeminách a horninách se voda vyskytuje v r�zných formách: - voda pevn� vázaná – hydroskopická voda ve form� krystalických

a strukturálních vod, kterou nelze z p�d odstranit ani zah�áním nad 1050C;

- voda vázána silovým polem povrchu pevných �ástic (adsorpci) jako tak zvaná voda obalová (lze ji odstranit zah�áním nad 1050C);

- voda vázána v pórech zeminy povrchovým nap�tím vody jako kapilární voda;

- voda volná – gravita�ní voda, která se po p�ekonání výše uvedených sil voln� pohybuje zeminami a horninami vlivem gravitace do nižších horizont�.


- 136 (188) -

Geologická formace – geologické prost�edí, u kterého jsou póry zcela vypln�ny vodou se nazývá zvodn�lou vrstvou a tato prost�edí podle schopnosti p�evád�t vodu skrz sebe za obvyklých podmínek jsou bu propustná prost�edí, polopropustná prost�edí a nepropustná prost�edí, která mohou, nebo nemusí obsahovat ve svých pórech vodu (jíly nebo kompaktní skalní horniny).

Voda ve zvodn�lých vrstvách m�že být s volnou hladinou nebo je pod tlakem (nap�. artéská voda). Volná hladina je imaginární hladina, na které je statický tlak roven atmosférickému tlaku. Její úrove� koresponduje s hladinami v pozorovacích studnách – piezometrech. Jednotlivé typy zvodn�lých vrstev jsou patrné z Obr. 12.1.

Obr. 12.1 Typy zvodn�lých vrstev

Studiem pohybu – proud�ní podzemních – podpovrchových vod se zabývá hydraulika podzemních vod. Rovnice popisující proud�ní podzemních vod jsou odvozeny z obecných rovnic hydrodynamiky se zahrnutím specifik tohoto proud�ní. Proud�ní vody v porézním prost�edí je velmi složité proud�ní závislé jak na struktu�e – geometrii porézního prost�edí tak na fyzikálních vlastnostech kapaliny. Proto k �ešení úloh proud�ní podzemních vod využíváme principu spojitosti a determinismu známých z fyziky. Podstata principu spojitosti tkví v tom, že proud�ní v pórech zeminy aproximujeme spojitým fiktivním proud�ním vody tímto prost�edím bez ohledu na prostorové rozložení pór� a zrn v zemin�. Tento p�ístup p�edpokládá, že voda spojit� vypl�uje celou protékanou oblast. Princip determinismu vychází z p�edpokladu, že hledané veli�iny popisující proud�ní vody porézním prost�edím se realizují s pravd�podobností rovnou jedné, tj. s jistotou. Princip determinismu je zjednodušením reálné skute�nosti, protože jak geometrie porézního prost�edí, tak i hledané veli�iny mají náhodný charakter. Není úkolem tohoto textu popsat �ešení všech úloh proud�ní podzemních vod. Pro první p�edstavu o �ešení n�kterých úloh proud�ní podzemních vod, uvedeme v dalším jen n�která analytická �ešení t�ch nejjednodušších p�ípad�, tak jak byla uvedena v druhé polovin� devatenáctého a ve dvacátém století.

12.1 Darcyho vztah V létech 1852-1855 provád�l první experimenty proud�ní vody pís�itými filtry v Dijonu Henry Darcy. Výsledky získané z výsledk� experiment� konaných na p�ístroji znázorn�ném na Obr. 9.2 publikoval v roce 1856. Dosp�l k záv�ru,

Proud�ní podzemní vody

- 137 (188) -

že celkový pr�sak Q vzorkem zeminy ve válci je p�ímo úm�rný pr�to�nému pr��ezu válce A, rozdílu h1 – h2 , konstant� k a nep�ímo úm�rný délce vzorku L:

Lhh

AkQ 21 −= . (12.1)

P�evýšení hladiny v piezometru nad srovnávací rovinou

zg

ph +=

ρ

se nazývá piezometrická výška a p�edstavuje sou�et tlakové a polohové energie p�íslušející jednotce tíhy pr�toku. Kinetickou energii m�žeme zanedbat pon�vadž rychlost proud�ní podzemní vody se pohybuje �ádov� v hodnotách 10-3 m/s a menších. Konstanta k má rozm�r m/s a nazývá se sou�initel hydraulické vodivosti nebo filtra�ní sou�initel. Filtra�ní sou�initel charakterizuje vlastnost porézního prost�edí p�evád�t vodu skrz sebe, charakterizuje tvar a rozložení zrn zeminy a pór� a zohled�uje fyzikální vlastnosti protékající vody. Orienta�ní hodnoty uvádí Tab. 12.1.

∆

Obr. 12.2 Darcyho filtra�ní p�ístroj

Pro dva blízké profily s piezometrickými výškami h1, h2 vzdálenými od sebe ve sm�ru proud�ní ∆s, m�žeme pro ∆s → 0 psát:

ish

shh

shh

ss=−=��

�

��

�

∆−

−=∆−

→∆→∆ dd

limlim 12

0

21

0,

pak m�žeme psát rovnici (12.1) ve tvaru:

ikAsh

kAvAQ f =−==dd

. (12.2)

Odkud:

iksh

kv f =−=dd

, (12.3)

což je filtra�ní rychlost (specifický objemový pr�sak). Filtra�ní rychlost vf je rychlostí fiktivního proud�ní, kdy p�edpokládáme, že voda vypl�uje spojit� celou oblast proud�ní bez ohledu na zrna skeletu.

Obr. 12.3 �ez porézním prost�edím


- 138 (188) -

Na Obr. 12.3 je nakreslen �ez porézním prost�edím, kterým prosakuje voda, a to skute�nou bodovou rychlostí u(x,y,z,t). Kolmo na sm�r proud�ní je zvolena pr�to�ná plocha A, kterou prosakuje pr�tok Q. Tato plocha musí být dostate�n� malá vzhledem k oblasti, kterou voda prosakuje, ale naopak dostate�n� veliká vzhledem k velikosti pór�. Plocha (Obr. 12.3), kterou prosakuje voda je plochou pór� a platí pro ni:

==i

ipp AnAA ,

kde n je pórovitost. Pro pr�tok Q platí:

� == ps AvAuQ d , n

v

nA

vA

AQ

v ff

ps === , (12.4)

kde vs je st�ední rychlost filtrující vody v pórech zeminy.

P�i pohybu podzemní vody se však �ást vody nezú�ast�uje pohybu. Proto p�i stanovení st�ední rychlosti vody v pórech zavádíme tzv. efektivní pórovitost nef a p�i poklesech hladiny aktivní pórovitost na (na < nef < n).

Schopnost porézního prost�edí p�evád�t skrze sebe tekutiny (kapaliny a plyny) popisuje sou�initel propustnosti kp:

gk

k p

υ= , (12.5)

kde υ je sou�initel kinematické viskozity a k sou�initel hydraulické vodivosti.

Tab. 12.1 Koeficient hydraulické vodivosti k Druh zeminy k [m/s] Druh zeminy k [m/s]

jíl 10-8 a mén� jemný písek 10-5 až 5 10-5 pís�itá hlína 10-6 a mén� hrubozrnný písek 10-4 až 5 10-4 písky s jíl. �ásticemi 10-6 až 2 10-6 št�rkopísek 2 10-4 až 10-3 i více

12.2 Dupuitovy p�edpoklady Dupuitovy p�edpoklady jsou ú�inným nástrojem �ešení úloh proud�ní podzemní vody s volnou hladinou. Dupuit (1863) vyslovil svoje p�edpoklady na základ� pozorování sklon� volné hladiny podzemních vod, kdy zjistil, že sklony hladin v b�žných podmínkách jsou 1:100 ~ 1:1000.

U ustáleného rovinného proud�ní podzemních vod s volnou hladinou je volná hladina proudnicí. Ve všech bodech této proudnice je filtra�ní rychlost vf te�nou k této proudnici a vypo�te se z Darcyho vztahu:

ϕsindd

dd

ksz

ksh

kv f −=−=−= .

Podél volné hladiny je tlak p = 0 a piezometrická výška h = z, tak jak je znázorn�no na Obr. 12. 4.

Sklon hladiny a úhel ϕ je velmi malý. Dupuit navrhl pro tyto malé úhly nahradit:

xh

xz

dd

dd

tgsin ==≈ ϕϕ .


- 139 (188) -

Obr. 12.4 Dupuitovy p�edpoklady

P�edpoklad malého úhlu ϕ je rovnocenný p�edpokladu, který dovoluje aproximovat skute�né pr�to�né plochy svislými plochami. Na skute�né ekvipotenciální ploše je h = h(x,z) na náhradní svislé ploše je h = h(x). Dupuit p�edpokládá p�evážn� jednosm�rný charakter proud�ní, u kterého filtra�ní rychlost vf je po pr�to�né ploše (svislici) konstantní a závisí na sklonu hladiny:

xh

kv f dd−= , kde h = h(x).

12.3 Jímání podzemní vody Ú�elem jímání podzemní vody je jednak její využití jako vody pitné a užitkové, jednak snížení její hladiny p�i zakládání staveb a odvod�ování zem�d�lské p�dy. K jímání podzemní vody se používají tyto druhy jímacích za�ízení:

- svislé jímací za�ízení - studny: - úplná - zasahuje až na nepropustné podloží; - p�ítok: pláš�; - neúplná - nezasahuje až na nepropustné podloží; - p�ítok: pláš�; - dno; - s volnou hladinou; tlaková;

- soustava studní; - vodorovná jímací za�ízení - zá�ezy; - smíšená jímací za�ízení - studny s horizontálními sb�ra�i - studny

radiální.

12.3.1 Filtra�ní stabilita na plášti studny Od�erpáváme-li ze studny velký pr�tok, p�itéká do ní voda z okolí velkou rychlostí, strhuje jemné �ástice (jemnou frakci) zeminy – vnit�ní eroze a ucpává jimi filtr na obvodu studny. Vydatnost takové studny pak postupem �asu klesá. Abychom tomu p�edešli, nep�ipouštíme na obvodu studny nadm�rné rychlosti. Maximáln� p�ípustnou p�ítokovou kritickou rychlost na plášti studny m�žeme ur�it ze vztah�:

- podle Sichardta: 15

=k

vmax [m/s] ,

- podle Abramov-Gabrilenka: 365= kvmax [m/den] .


- 140 (188) -

12.3.2 Úplná studna s volnou hladinou Úplnou studnou nazýváme takovou studnu, která prochází celou zvodn�lou vrstvou až na nepropustné podloží. Voda do studny p�itéká pouze plášt�m studny. Odebíráme-li ze studny pr�tok Q, sníží se hladina v jejím okolí o snížení z a vytvo�í rota�ní plochu - depresní kužel. Vzdálenost, ve které se prakticky neprojeví snížení hladiny podzemní vody p�i odb�ru vody studnou nazýváme dosahem - ú�innosti studny R (m��í se od osy studny). Pro jeho výpo�et používáme vzorce:

podle Sichardta : ]m[3000= kzR ; (12.6)

podle Kusakina: ]m[Y575= kzR , (12.7) kde z je snížení hladiny ve studni a Y mocnost zvodn�lé vrstvy. Dosah snížení R je tím v�tší, �ím je zemina propustn�jší. P�i výpo�tu úplné studny vycházíme z následujících p�edpoklad�:

- povrch nepropustného podloží je vodorovný; - zvodn�lá filtra�ní vrstva o mocnosti Y je homogenní (v dosahu studny

je stejný sou�initel hydraulické vodivosti k); - odebírané množství Q je konstantní.

P�i výpo�tu studny s volnou hladinou vycházíme z Dupuit�va teorému (filtra�ní rychlost je ur�ena sklonem hladiny) - Obr. 12.5:

ry

kv f dd

= (12.8)

a válcové plochy soust�edné s osou studny m�žeme považovat za pr�to�né plochy. Ve vzdálenosti r vedeme válcovou filtra�ní plochu o velikosti 2 π r y, kterou protéká pr�tok:

ry

kyrvAQ f dd

2π== .

Po provedení separace prom�nných a po integrování v mezích od y0 do y a od r0 do r obdržíme rovnici depresní k�ivky:

0

20

2 lnrr

kQ

yyπ

=− .

Jedná se logaritmickou k�ivku, pro níž je p�vodní úrove� hladiny podzemní vody asymptotou. Pro výpo�et odb�ru Q ze studny uvažujeme y = Y a r = R:

0

20

2

ln=

rRyY

kQ−π , (12.9)

kde k je hydraulická vodivost, Y mocnost zvodn�lé vrstvy, y0 hloubka vody na plášti studny p�i �erpání, r0 polom�r studny a R dosah studny.

P�i stanovení sou�initele hydraulické vodivosti k v dané lokalit� se vychází z výsledk� takzvané �erpací zkoušky. Ze studny se odebírá p�i konstantním snížení hladiny z ve studni pr�tok Q. Ve dvou sondách (1 a 2) vzdálených od st�edu studny r1 a r2 m��íme hloubku vody (y1 a y2). Z rovnice (12.9) pak m�žeme stanovit pro nam��ené hodnoty sou�initel hydraulické vodivosti k:

)(

ln= 2

122

2

1

yyrr

Qk

−π .


- 141 (188) -

Obr. 12.5 Úplná studna s volnou hladinou Obr. 12.6 Neúplná studna

12.3.3 Neúplná studna s volnou hladinou Neúplné studny nedosahují až k nepropustnému podloží (Obr. 12.6). Voda do studny p�itéká plášt�m i dnem studny. Je-li dno studny vysoko nad nepropustným podložím, ovlivní odb�r ze studny pouze horní �ást zvodn�lé vrstvy, tzv. aktivní pásmo o výšce A. Pod tímto pásmem z�stává voda prakticky v klidu. Výšku A m�žeme ur�it z Tab. 12.2 (dle �ertousova).

Tab. 12.2 Koeficienty pro výpo�et neúplné studny

dyz 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0

dyA 1,3 1,6 1,7 1,85 2,0

Pro výpo�et pr�toku rozlišujeme dva p�ípady:

- nepropustné podloží je nad hranicí aktivní vrstvy (Obr. 12.6 a), pak odb�r vody Q m�žeme ur�it podle empirického Forchheimerova vztahu:

4 000

0

22 25,0

ln=

TyT

Try

rRTY

kQ−−−π , (12.10)

který platí pro studny napájené st�nami i dnem. P�i nepropustném dnu studny odpadá ve druhém zlomku �len 0,5 r0,

- je-li nepropustné podloží pod hranicí aktivní vrstvy (Obr. 12.6 b), m�žeme použít (12.10), uvažují se však vždy výšky hladiny v aktivním pásmu, tedy Y nahradíme hodnotou A a T hodnotou TA:

4000

0

22 25,0

ln

A=

a

a

a

a

TyT

Try

rRT

kQ−−−π . (12.11)

12.3.4 Studny tlakové Je-li zvodn�lá vrstva seshora omezená nepropustným nadložím, pak po provrtání této nepropustné vrstvy vystoupí tlaková (napjatá) voda ve studni nebo v sond� do úrovn� odpovídající tlakové výšce. P�i výtoku nebo p�i �erpání z tlakové studny vytvo�í hladiny v sondách okolo studny depresní plochu a v �ezu svislou rovinou depresní k�ivku. P�i �ešení p�edpokládáme, že:


- 142 (188) -

- zvodn�lá vrstva je vodorovná, - má stálou mocnost, - a je stejnorodá.

Úplná tlaková studna Úplná tlaková studna (Obr. 12.7) prochází celou výškou h zvodn�lé vrstvy. Voda tedy proudí ke studni koncentrickými válcovými plochami o stálé výšce, tedy A = 2 π r h a pro odb�r platí:

ry

khrvAQ f dd

2= π= ,

kde ry

dd je sklon tlakové �áry. Separací prom�nných a integrováním v mezích

od y0 do y a od r0 do r obdržíme rovnici depresní k�ivky:

00 ln

2=

rr

khQ

yyπ

− . (12.12)

Pro výpo�et odb�ru Q zavedeme do výpo�tu dosah ú�innosti studny a p�vodní úrove� tlakové �áry, tedy r = R a y = Y:

00

0

ln

2=

ln

)(2=

rR

zkh

rR

yYkhQ

ππ − , (12.13)

kde z je snížení hladiny z = (Y - y0).

Obr. 12.7 Úplná tlaková studna Obr. 12.8 Neúplná tlaková studna

Neúplná tlaková studna U neúplné tlakové studny zasahuje pláš� jen do �ásti l zvodn�lé vrstvy (Obr. 12.8). Pr�tok Q se dá z úplné tlakové studny podle Forchheimera modifikovat takto:

4

0

2

ln

2=

hlh

hl

rR

zhkQ

−π. (12.14)

12.3.5 Studny vsakovací Studna vsakovací (Obr. 12.9) je taková studna, do které p�ivádíme povrchovou vodu, která následn� vsakuje do pórovitého prost�edí - zeminy. Tak se um�lou infiltrací zv�tšuje množství podzemní vody.


- 143 (188) -

Výpo�et vsakovací studny provádíme za obdobných p�edpoklad� a stejným zp�sobem jako u studny úplné. P�i vsakování je hloubka vody ve studni y0 > Y a voda infiltruje do okolního prost�edí. Hladina utvo�í elevan�ní k�ivku:

0

220 ln=

rr

kQ

yyπ

−

a z ní vyjád�eme p�ítok Q do studny (dosazením za r = R a y = Y):

0

220

ln=

rRYy

kQ−π . (12.15)

Obr. 12.9 Vsakovací studna Obr. 12.10 Sb�rná štola

12.4 Sb�rná štola Je-li menší výška zvodn�lé vrstvy, používáme pro jímání vody sb�rné štoly (Obr. 12.10). P�edpokládejme sb�rnou štolu s obdélníkovým pr�to�ným pr��ezem, jejíž dno sahá až na nepropustné vodorovné podloží. Filtrace bude symetrická k ose štoly a ur�eme jednostranný výron podzemní vody q na délce štoly 1m. Bude-li aktivní délka štoly L, dostaneme celkový výron:

Q = 2 q L. (12.16) Pro výpo�et výronu q použijeme Dupuitovy teorémy:

xy

kyqdd

0,1= .

Provedeme separaci prom�nných:

xkq

yy dd =

a po integrování v mezích od y0 do Y a od 0 do R obdržíme vztah pro výron na 1 metr délky:

RyYk

q2

)( 20

2 −= .

Celkový výron (z obou stran a na délce L) je

RLyYk

qQ)-(

2=20

2

= . (12.17)


- 144 (188) -

12.5 Soustava studní V praxi �asto nesta�í na v�tší odb�ry podzemní vody jedna studna, a proto se �erpá ze soustavy studní (Obr. 12.11). Snížení hladiny je pak také pravideln�jší. Toho m�žeme využít i p�i zakládání staveb, když pot�ebujeme snížit hladinu podzemní vody v okolí stavební jámy. Nech� soustava studní je tvo�ena n úplnými studnami. Kdyby každá pracovala samostatn�, byly by rovnice depresních k�ivek podle Dupuitova teorému :

01

1201

2 ln=rr

kQ

yyπ

− Obr. 12.11 Soustava studní

nn r

rk

Qyy

rr

kQ

yy

0

n20

2

02

2202

2

ln=

ln=

π

π

−

−��

; (12.18)

kde r01, r02, ... , r0n jsou polom�ry jednotlivých studní a Q1, Q2, ... , Qn odb�ry z nich. P�edpokládejme, že p�i sou�asném p�sobení všech n studní bude hodnota y2 v bod� A dána sou�tem p�sobení jednotlivých studní ve vzdálenostech r1, r2, ... , rn od tohoto bodu:

Crr

kQ

rr

kQ

rr

kQ

yn

nn ++++002

22

01

112 lnlnln=πππ

� , (12.19)

kde C je integra�ní konstanta. Rovnice se zjednoduší, když budou všechny odb�ry stejné Q1 + Q2 + ... + Qn = Q. Celkový odb�r ze soustavy tedy bude Qc = nQ. Rovnici (12.19) pak m�žeme zapsat ve tvaru:

[ ] Crrrrrrnk

Qy nn

c +− )(ln)(ln= 00201212

��π

, (12.20)

Pro ur�ení C se zjednodušen� p�edpokládá, že rozdíl vzdáleností jednotlivých studní od bodu A je zanedbatelný, tedy:

rrrr n =≈≈≈ �21 .

Potom

Crrrn

rk

Qy n

c +��

�

� − )(ln1

ln= 002012

�π

a dosadíme-li za y výšku zvodn�lé vrstvy Y a tomu odpovídající dosah ú�innosti soustavy studní r = R, obdržíme:

�

� �

� −− )(ln1

ln= 002012

nc rrr

nR

kQ

YC �π

. (12.21)


- 145 (188) -

Vztah (12.21) dosadíme do (12.20) a dostaneme vztah pro polohu hladiny:

�

� �

� −−

−+��

�

� −

)(ln1

ln

)(ln1

)(ln1

=

00201

20020121

2

nc

nnc

rrrn

Rk

Q

Yrrrn

rrrnk

Qy

�

��

π

π ,

221

2 ln)(ln1

= YRrrrnk

Qy n

c +��

�

� −�π

. (12.22)

Celkový odb�r soustavou studní je:

)(ln1

ln

)(=

21

22

n

c

rrrn

R

yYkQ

�−

−π. (12.23)

Pro dosah ú�innosti R soustavy studní byl vlastn� odvozen výraz Kusakin�v (12.7), i když se ho používá také pro jednotlivou studnu. Hodnota z je v n�m snížení uprost�ed soustavy studní, u nesoum�rného uspo�ádání ji uvažujeme v t�žišti soustavy.

Rovnice (12.22) a (12.23) se zjednoduší, budou-li studny na kružnici o polom�ru rS. Pak pro st�ed S soustavy platí r1 = r2 = ... = rn = rS, takže:

S

c

rR

kQ

Yy ln= 22

π− , (12.24)

S

S

rR

yYkQ

ln

)(=

22

s−π

, (12.25)

kde yS je výška hladiny ve st�edu S soustavy.

P�. 12.1 Studna o pr�m�ru D = 0,5 m sahá do nepropustného podloží zvodn�lé vrstvy s tlakovou vodou. Úrove� podloží je na kót� 260 m n.m., mocnost zvodn�lé vrstvy je h = 5,0 m, sou�initel hydraulické vodivosti k = 0,001 m/s. Ur�ete úrove� tlakové �áry ve vzdálenosti 60 m od osy studny p�i odb�ru Q = 0,006 m3/s, když se hladina ve studni ustálí na kót� 268 m n.m.

k = 0,001 m/s; h = 5,0 m; D = 0,5 m; r0 = 0,25 m; Q = 0,006 m3/s; r = 60,0 m; y0 = (268,0 - 260,0) m = 8,0 m;

�ešení: Z rovnice tlakové �áry �ili depresní k�ivky (12.12) dostaneme:

00 ln

2=

rr

khQ

yyπ

+ ;

y = 9,05 m. Ve vzdálenosti 60 m od osy studny bude tedy kóta tlakové �áry 260,0 m n.m. + 9,05 m = 269,05 m.

P�. 12.2 K odvodn�ní stavební jámy (Obr. 12.13), jejíž dno je na kót� 270 m n.m, jsou navrženy 4 studny. Vypo�t�te celkový odb�r Qc z této soustavy studní p�i stejné kapacit� každé jednotlivé studny, je-li p�vodní hladina podzemní vody na kót�


- 146 (188) -

272 m n.m. Nepropustná vrstva, ke které studny sahají je na kót� 260 m n.m. Koeficient hydraulické vodivosti je k = 0,0005 m/s.

k = 0,0005 m/s; Y = (272 - 260) m = 12,0 m; yS = (270 - 260) m = 10,0 m; zS = (272 - 270) m = 2,0 m;

Obr. 12.12 Návrh studní pro odvodn�ní stavební jámy

�ešení: Pro spln�ní požadavku na odvodn�ní stavební jámy, je zapot�ebí snížit HPV ve st�edu výkopu S na kótu 270 m n.m. Ve všech ostatních místech jámy, pak bude HPV níže.

Dosah snížení dle Kusakina: YkzR S575= ; R = 89,1 m;

n = 4 (studny) 224321 5,710 +===== rrrrrS = 12,5 m;

Celkový odb�r soustavou studní je podle (12.25):

S

S

rRyYk

Qln-ln

)-(=

22

s

π;

Qs = 35,2 l/s. Na každé �erpadlo p�ipadne 1/4 QS, tedy 8,8 l/s.

Kontrolní otázky - Jakých hodnot nabývá sou�initel hydraulické vodivosti? - Jaký je rozdíl mezi úplnou a neúplnou studnou?

Hydrologie - základní pojmy

- 147 (188) -

�ÁST II – HYDROLOGIE

13 Hydrologie - základní pojmy 13.1 Význam a rozd�lení hydrologie Hydrologie je v�da, která se soustavn� zabývá poznáváním zákon� výskytu a ob�hu vody v p�ítrod�. Její význam a úloha plyne z nepostradatelnosti vody pro vše živé, pro život a �innost �lov�ka. Získané znalosti o zdrojích vod, o vzniku a rozd�lení odtoku vod na povrchu i pod povrchem zemským, mohou být využity pro zlepšení podmínek života na Zemi. Hydrologické údaje, které obsahují d�ležité charakteristiky vodního režimu, jsou podkladem:

- pro návrh koncep�n� správného, hospodárného a dob�e fungujícího vodohospodá�ského díla;

- pro návrh vodohospodá�ského zásahu, který zlepší vodní pom�ry.

Na výsledcích hydrologie staví: - hydrotechnika, která se zabývá problematikou využití vodní energie,

výstavbou p�ehrad, jez�, úpravami tok�, splavn�ním tok� a všemi otázkami vodních cest;

- hydromeliorace, v jejichž rámci budujeme závlahy a odvodn�ní zem�d�lských pozemk�, provádí se protierozní opat�ení v postižených nebo na erozi náchylných územích. Do této oblasti pat�í též hrazení byst�in a zakládání rybník�;

- zdravotní inženýrství, pro které hydrologie poskytuje podklady, nutné k �ešení všech otázek spojených s problematikou odvád�ní a �išt�ní odpadních vod, zajiš�ováním sídliš� a pr�myslu pitnou a užitkovou vodou atd.

Pot�eba a spot�eba vody neustále nar�stá. Vzhledem k omezenému množství vody je t�eba nároky spole�nosti plánovat tak, aby vodní zdroje byly pro r�zné národohospodá�ské ú�ely využívány racionáln� a optimálním zp�sobem. Tuto celkovou �ídící a koncep�ní úlohu zastává vodní hospodá�ství. Jeho �innost je prakticky nemyslitelná bez dobrých a spolehlivých hydrologických podkladových materiál�. Hydrologie spolupracuje a využívá poznatky mnoha sty�ných obor�, mezi které pat�í p�edevším:

- meteorologie, zkoumající fyzikální zm�ny a d�je v ovzduší, kde se odehrává p�em�na par na vodní srážky, transport vláhy na velké vzdálenosti apod.;

- klimatologie, zkoumající dlouhodobý režim po�así; - pedologie, geologie a hydrogeologie, zabývající se prost�edím,

do kterého voda po dopadu na zemský povrch infiltruje; - hydraulika, zabývající se klidem a pohybem vody; - a �ada dalších jako agrotechnika, atd.

Krom� toho využívá postupy, metody a prost�edky teoretických v�dních obor� jako matematika, statistika, teorie pravd�podobnosti, fyzika, chemie apod.

Hydrologii lze rozd�lit na hydrologii mo�í a hydrologii pevnin. Hydrologii pevnin m�žeme dále d�lit na hydrologii atmosféry (hydrometeorologie), hydrologii tekoucích vod (potamologie), hydrologii stojatých vod (limnologie), hydrologii podzemních vod a hydrologii ledovc� (glaciologie).


- 148 (188) -

Hydrologie se d�lí na n�kolik oddíl�. Ta �ást, zabývající se pozorováním, cílev�domým shromaždováním, klasifikací, t�íd�ním a zpracováváním získaného materiálu, se nazývá hydrografie. Základním p�edpokladem �innosti je m��ení hydrologických prvk�. Proto další oddíl, zvaný hydrometrie, se v�nuje návrhu vhodných p�ístroj�, metod m��ení a samotnému m��ení v terénu.

�ást hydrologie, která poskytuje pot�ebná data a informace pro projek�ní �innost, provozní �innost a údržbu vodohospodá�ských d�l a stavební �innosti �lov�ka v�bec, se nazývá inženýrská hydrologie. Krom� toho slouží a je pot�ebná pro veškeré aktivity, sloužící k zachování stávajícího dobrého, p�ípadn� zlepšení již poškozeného životního prost�edí ur�ité oblasti.

13.2 Vývoj hydrologie Význam vody pro život chápali lidé již odedávna. Pozorování kolísání hladin �ek, pozorování pohybu vody bylo spojeno hlavn� s hospodá�skou �inností �lov�ka. Úrove� hladiny a jí odpovídající rozsah zatopení p�ilehlých oblastí vodou, bohatou na živiny, umož�ovaly již starým Egyp�an�m p�edpovídat budoucí úrodu. Rovn�ž u nás se zachovaly zprávy v kronikách o pozorování vodních hladin, zvlášt� v období velkých povodní. Ješt� dnes mnohé vodní stavby v �echách (mlýny, jezy, systémy rybník�), z nichž n�které si zachovaly svou funkci dodnes, sv�d�í o velmi dobrých znalostech našich p�edk� o základních zákonech hydrologie a hydrauliky.

Vývoj hydrologie se prakticky až do minulého století kryje s vývojem jiných v�d, p�edevším fyzického zem�pisu, geofyziky a hydrauliky. V rámci t�chto v�d prošla hydrologie dlouhou vývojovou cestu od období intuice a dohad� (asi do r. 1400), p�es jednotlivá období pozorování, m��ení, experiment�, modernizace a matematizace (r. 1800-1900), p�es období empirie, kdy za�íná existovat jako samostatná v�da (r. 1900-1930). Léta 1930-1950 jsou obdobím vlivu exaktních v�d až k sou�asnému stavu, kdy v období hydrologického laboratorního pokusu se �asto složité otázky oboru �eší matematickými i jinými modely. Období let 1930-1950 bylo obdobím zvlášt� výrazného rozvoje hydrologie inženýrské.

Uvedli jsme, že d�íve hydrologie nebyla samostatnou v�dou. Základním p�edpokladem jejího dalšího vývoje byla znalost toho, jak ur�it nejd�ležit�jší prvek - pr�tok.

K tomu, že hydrologie za�ala vznikat jako samostatný v�dní obor zna�n� p�isp�ly n�které objevy, které p�isp�ly k zp�esn�ní m��ení, resp. výpo�tu nejd�ležit�jšího hydrologického prvku, tj. pr�toku. Sem pat�í:

- Toricelli, který jako první (v 17 stol.) uskute�nil m��ení pr�toku vody výtokem z otvoru nádoby;

- Perreault, který v r. 1650 ur�il z p�ibližného m��ení pr�tok� �eky Seiny v Pa�íži první kvantitativní vztahy v ob�hu vody v p�írod�;

- Pitot, který v r. 1732 objevil možnost zm��it místní rychlost proudu pomocí trubice;


- 149 (188) -

- Chézy, který v r. 1775 uve�ejnil zp�sob výpo�tu st�ední pr�to�né rychlosti;

- Woltmanna, který vynalezl hydrometrickou vrtuli. Tou bylo možno m��ením zjistit rychlostní pole v pr�to�ném pr��ezu a vyhodnotit pr�tok i v p�irozeném koryt� toku.

13.3 Rozd�lení vody na zemi Souhrn vody na zemi nazýváme hydrosférou a její objem pokládáme prakticky za stálý. Celkový objem vody se odhaduje na 1,33.109 km3. Voda má pro p�írodu základní význam - jednak se ú�astní p�evažující, v�tšiny proces� fyzikálních, chemických i biologických, jednak je ve všech svých formách �initelem, který má závažnou ú�ast p�i formování zemského povrchu. Sv�tová mo�e a oceány zaujímají plochu 70,5% zemského povrchu a je v nich obsaženo asi 1,3.109 km3 vody. Z celkového množství vody na zemi p�ipadá na vodu pevniny a vodu v atmosfé�e jen nepatrná �ást - kolem 1 %. V jezerech je asi 0,75.106 km3 vody a v �ekách 1,2.104 km3. Množství vody, které ro�n� z povrchu zemského odte�e, �iní asi 37.103 km3. Z toho se velká v�tšina bezprost�edn� vrací do mo�e a jen asi 700 km3 ro�ního odtoku p�ipadá na vnitrozemské oblasti bez odtoku do mo�e.

13.4 Kolob�h vody na zemi P�sobením slune�ní energie se voda nep�etržit� vypa�uje v množství, jež se odhaduje ro�n� na 519 000 km3. Hlavním zdrojem výparu jsou sv�tová mo�e. Vypa�ená voda je transportována vzdušnými proudy. �ást par po �ase kondenzuje a ve form� srážek padá bu zp�t na mo�skou hladinu nebo až na pevninu. Tam se pak vsakuje do p�dy a tvo�í podzemní vodu nebo stéká po povrchu (povrchová voda), postupn� se koncentruje - vytvá�í vodní toky a jimi se vrací z nejv�tší �ásti zp�t do mo�í a oceán�. P�itom se neustále vypa�uje. Vzniká tak v prvém p�ípad� jen v dosahu mo�í malý ob�h vody, v druhém p�ípad� velký ob�h vody. Celkem malá �ást objemu této vody, asi v hodnot� 7700 km3, se ú�astní ob�hu v bezodtokových vnitrozemských oblastech. Schematicky je ob�h vody v p�írod� znázorn�n na Obr. 13.1.

Celkovou bilanci ob�hu vody mezi pevninou a oceánem m�žeme zjednodušen� vyjád�it jednoduchými rovnicemi podle Obr. 13.2.

V dlouhodobém pr�m�ru bude ro�ní objem vody Vo, který se vypa�í z oceán�, roven ro�nímu objemu srážek So, které nad nimi spadly, zv�tšenému o ro�ní objem vody P, který p�itekl z pevniny:

Vo = So + P. (13.1) Pr�m�rný ro�ní objem výparu z pevniny Vp, je roven objemu vody se spadlých srážek Sp zmenšenému o objem odtoku vody do mo�í P:

Vp = Sp – P. (13.2) Vyjád�ením P z obou p�edchozích vztah� a jejich porovnáním dostaneme:

Vo + Vp = So + Sp. (13.3) Tedy ro�ní objem vody, vypa�ené na celém povrchu zem�, se vyrovnává s ro�ním objemem vody spadlým ve form� srážek na zemský povrch.


- 150 (188) -

Obr. 13.1 Ob�h vody na zemi

Obr. 13.2 Malý a velký kolob�h vody

13.5 Povodí Povodí je základní pracovní jednotkou v hydrologii. Je to území, ze kterého všechna voda stéká k ur�itému místu na toku (uzáv�rový profil). Jedná se tedy o sb�rnou oblast toku. Jde p�itom o veškerý odtok - povrchový i podzemní. Povrchový odtok obvykle p�evládá. Podzemní povodí se od povrchového odchyluje zpravidla jen nepatrn�. V takovémto p�ípad� je posta�ující ur�it povodí vyhledáním oblasti, z níž voda stéká z nejvyšších míst k nižším podle tvaru a výškové �lenitosti povrchu území. Hranice oblasti, která se ur�uje z topografických map 1:25 000 až 1:100 000 a tvo�í uzav�enou �áru, se nazývá rozvodnice. Probíhá po nejvyšších místech a odd�luje území, z n�hož voda odtéká k sousedním tok�m. Takto stanovené povodí je povodí orografické. Jeho plochu je možno ur�it planimetrováním.


- 151 (188) -

Obr. 13.3 Orografické povodí

Obr. 13.4 Orografické povodí a hydrologické povodí

Ne vždy je možno rozdíl mezi plochou orografického povodí a podzemního povodí zanedbat. Vzniká tak nutnost pracovat se skute�ným - hydrologickým povodím, které je sb�rnou oblastí celkového odtoku vody z povodí a jehož vymezení m�že být zna�n� problematické, zejména v oblastech vyskytujících se krasových jev�.

Povodí je t�eba vždy ozna�it uzáv�rovým profilem na toku. Bez bližšího ozna�ení uvažujeme vždy povodí celého toku až k ústí.

13.6 Srážkoodtokový proces v povodí Srážkoodtokovým procesem rozumíme postupnou transformaci srážky dopadající na povodí až na odtok vody uzáv�rovým profilem povodí. Je z�ejmé, že se jedná o velmi složitý proces, který je ovlivn�n �adou �initel�. P�edevším je to skupina klimatických �initel�. Sem pat�í vlastní �asový


- 152 (188) -

a prostorový pr�b�h spadlé p�í�inné srážky, vlhkost ovzduší, výpar, teplota ovzduší, rychlost a sm�r v�tru, atmosférický tlak apod. Druhou skupinu tvo�í geografi�tí �initelé povodí. To jest: plocha, velikost, st�ední nadmo�ská výška, tvar, reliéf, �í�ní sí�, hydrogeologické pom�ry, vegeta�ní pokryv apod. První skupinu tvo�í vedle p�í�inné srážky zejména meteorologické veli�iny ovliv�ující p�edevším celkový výpar vody z povodí. Druhá skupina popisuje prost�edí, ve kterém se vlastní proces odehrává. Ur�uje dynamické (p�enosové) vlastnosti povodí, které jsou rozhodující pro zp�sob, jakým se bude �asový pr�b�h srážky daného prostorového rozložení transformovat na �asový pr�b�h odtoku vody uzáv�rovým profilem.

Obr. 13.5 Schéma srážkoodtokového procesu v povodí

Vlastní srážkoodtokový proces se skládá ze dvou díl�ích transformací (Obr. 13.5). V pr�b�hu první - hydrologické transformace - jsou od srážky dopadající na povodí postupn� ode�ítány hydrologické ztráty. Sem pat�í ztráta výparem - evapotranspirace (celkový výpar z povrchu vegeta�ního pokryvu, z pór� rostlin a z p�dy), ztráta vlivem intercepce (zdržení vody na povrchu vegetace), ztráta navlháním, ztráta infiltrací vody do p�dy a ztráta povrchovou retencí (plošný povrchový odtok nastane až po zapln�ní nerovností terénu vodou). Postupnou separací hydrologických ztrát od �asového pr�b�hu intenzity srážky získáme efektivní intenzitu srážky. Množství vody takto spadlé na povrch terénu pak odtéká z povodí ve form� plošného povrchového odtoku. Tím je zapo�ata druhá - hydraulická transformace. Plošný povrchový odtok se postupn� koncentruje v ronových a erozních rýhách a následn� v �í�ní síti až na odtok uzáv�rovým profilem. Není to však celkový odtok, který uzáv�rovým profilem protéká. �ást celkového odtoku tvo�í podzemní odtok - voda, která se dostala do podzemí p�evážn� infiltrací srážky. Z podzemí pak odtéká bu z nenasycené zóny nad hladinou podzemní vody nebo z nasycené zóny pod souvislou hladinou podzemní vody ve form� podzemního odtoku do �í�ní sít�. V nenasycené zón� zem�d�lsky obd�lávaných povodích bývá p�da do obd�lávané hloubky zna�n� nakyp�ená a má tudíž zna�n� v�tší propustnost než p�da pod tímto horizontem. Proto dochází k odtoku po rozhraní mezi t�mito hloubkami a voda m�že vytékat na svazích na povrch


- 153 (188) -

p�dy. V takovémto p�ípad� mluvíme o hypodermickém odtoku. Celkový odtok vody z povodí pod povrchem terénu se nazývá plošným podzemním odtokem a je analogií plošnému povrchovému odtoku. Voda se v nasycené zón� pohybuje po relativn� nepropustném podloží. N�kdy však proniká vlivem puklin apod. z nepropustné zóny do zna�ných hloubek a pak m�že vyv�rat v jiném povodí, než na které dopadla p�í�inná srážka. Takovýto pr�nik se nazývá perkolací. Poznámka: Matematické modelování srážkoodtokového procesu je zna�n� složitým problémem. Existující modely p�evážn� sm��ují k simulaci srážkoodtokového procesu v povodí. Ne vždy je však možné jít p�i �ešení tohoto problému do detail�. P�ílišná podrobnost �ešení vede na velmi složité modely, které v�tšinou zápasí s "krizí dat", kdy jim není možno poskytnout všechny požadované informace a �adu vstupních dat je t�eba odhadnout. Tím je snížena i jejich kvalita a použitelnost. Tyto problémy se výrazn� projeví p�i modelování srážkoodtokového procesu v rozsáhlých povodích. Zna�n� zjednodušené modely však poskytují jen velmi hrubé odhady pr�b�hu pr�toku v uzáv�rovém profilu. Vždy je t�eba hledat p�ijatelnou formu zjednodušení.

13.7 Základní bilan�ní rovnice Vztah mezi úhrnem srážek spadlých (výška vodního sloupce v mm vytvo�ená na bezodtokové oblasti za ur�ité období), úhrnem výparu a úhrnem odtoku je možno pro povodí vyjád�it jednoduchou, ale velmi d�ležitou relací, tzv. základní bilan�ní rovnicí:

vso HHH −= . (13.4)

Tato rovnice platí pro povodí bez nádrží a pro povodí bez p�ítoku a odtoku vody ze sousedních povodí. Musí však být použita pro období, která jsou delší nebo rovna jednomu roku. Se zkracujícím se obdobím, za které je bilance provedena, rovnice p�estává platit. Na pravou stranu rovnice je pak t�eba doplnit opravný �len HR, který se nazývá �lenem reten�ním. Ten zohled�uje nap�. zm�nu zásob podzemních vod v uvažovaném povodí a jiné hydrologické jevy, které mohou zp�sobit neplatnost uvedené rovnice.

Kontrolní otázky - Jak se d�lí hydrologie? - Co je to povodí? - Zapište základní bilan�ní rovnici.

14 Meteorologie a klimatologie Meteorologie je nauka, zabývající se všestranným studiem jev�, probíhajících v zemské atmosfé�e.

Momentální stav atmosféry, definovaný hodnotami souvisejících faktor� jakými je nap�. tlak, teplota a vlhkost vzduchu, intenzita slune�ního zá�ení, obla�nost apod., ur�uje po�así. Meteorologie je dnes rozsáhlá v�decká disciplína, která p�i studiu využívá fyzikálních poznatk� a metod �ešení fyziky atmosféry. Meteorologie se �lení na:


- 154 (188) -

- na dynamickou meteorologii, která studuje dynamiku a termodynamiku atmosféry pro v�decky zd�vodn�nou p�edpov� po�así;

- na synoptickou meteorologii, sledující a analyzující jevy v atmosfé�e; - na fyzikální meteorologii, která zkoumá fyziku oblak�, tvorbu srážek,

zá�ení, optické, elektrické a další jevy odehrávající se v atmosfé�e; - na aplikovanou meteorologii, kam pat�í nap�. zem�d�lská meteorologie,

letecká meteorologie apod.

Klimatologii m�žeme charakterizovat jako v�du, která zkoumá a zabývá se dlouhodobým chodem po�así a jeho zákonitostmi - je to nauka o podnebí (klimatu).

Úkolem klimatologie je: a) studium toho, jak se utvá�elo podnebí na naší Zemi, dále pak popis a

objasn�ní podnebných zvláštností jednotlivých sv�tadíl� i menších území, b) klasifikace podnebí a vymezování klimatických oblastí, c) studium podnebí v d�ív�jších dobách historických a geologických,

studium kolísání a zm�n klimatu, tyto poznatky mají v poslední dob� sloužit snahám p�edpov�d�t budoucí zm�ny klimatu na Zemi, vyvolané �inností �lov�ka. Klimatologie je rovn�ž zna�n� rozsáhlý v�dní obor, d�lící se dnes na klimatologii obecnou, regionální, teoretickou a aplikovanou (sem pat�í nap�. klimatologie letecká, technická, zem�d�lská a klimatologie m�st).

14.1 Vlhkost ovzduší Vodní páry se dostávají do ovzduší p�i každé teplot� bud výparem nebo sublimací. Vlhkost vzduchu je dána množstvím vodních par v ovzduší, jež siln� kolísá. Obsah par v ovzduší charakterizujeme p�edevším absolutní vlhkostí vzduchu. Je to okamžitá skute�ná vlhkost. Vyjad�uje množství vodních par obsažených p�i dané teplot� ve vzduchu. Bu se zna�í ϕ [g/m3] a vyjad�uje hmotnost vodních par v gramech obsažených v 1 m3 vzduchu nebo se zna�í e a vyjad�uje tlak vodních par v torrech (d�íve mm rtu�ového sloupce).

Nasycení vzduchu vodními parami závisí na jeho teplot�. P�i dané teplot� m�že tedy ovzduší obsahovat nanejvýš ur�ité množství par, jež udává maximální vlhkost ϕmax, resp. E. Pom�r mezi absolutní vlhkostí e a maximální vlhkostí E p�i dané teplot� je relativní vlhkostí r [%]:

100Ee

r = . (14.1)

Množství vodních par, které vzduch za ur�ité teploty m�že ješt� p�ijmout, je sytostní dopln�k d [torr]:

eEd −= . (14.2) Hodnoty maximální vlhkosti vzduchu za r�zných teplot jsou znázorn�ny na Obr. 14.1. Rosný bod je teplota; na kterou se musí vzduch ochladit, aby byl daným obsahem par nasycen. Je tedy hranicí teploty, p�i které nastává srážení �ili kondenzace vodních par. Neviditelná vodní pára se za�ne vylu�ovat jako nepatrné vodní kapi�ky nebo ledové krystalky, které se v ovzduší mohou udržet jako mraky.

Meteorologie a klimatologie

- 155 (188) -

Obr. 14.1 Závislost maximální vlhkosti na teplot�

14.2 Výpar Vypa�ování vyplývá z neustálého pohybu molekul vody, který se stup�uje p�i nár�stu teploty. N�které molekuly p�itom p�ekonávají p�itažlivost molekul sousedních a p�echázejí do ovzduší. Opa�ný proces je kondenzace. Pronikání vodních par do ovzduší nastává bu dif�zí nebo vzdušnými proudy.

Výpar je proces složitý, závislý na celé �ad� �initel�, nap�.: velikost plochy, její tvar, barva, vegetace, zásoba vody, teplota a vlhkost vzduchu, barometrický tlak, síla v�tru. Rozeznáváme výpar z volné hladiny, výpar z p�dy a výpar rostlinami �i transpiraci rostlin.

Výpar z vodní hladiny je pom�rn� nejjednodušší. U vodních nádrži je nejvýznamn�jší složkou ztrát vody. Tento výpar se v našich podmínkách pohybuje v rozmezí cca 1 až 3 mm za den a 200 až 800 mm za rok, p�edevším v závislosti na teplot� a nadmo�ské výšce. Pro odhad pr�m�rného denního výparu lze použít �adu vzorc�, které jsou v�tšinou závislé na sytostním dopl�ku. Pr�m�rný denní úhrn výparu Hv,d [mm] m�žeme podle Šermera po�ítat ze vztahu:

20,0931,0 += dH dv, , (14.3)

kde d je pr�m�rná m�sí�ní hodnota sytostního dopl�ku v torrech.

Pro m��ení výparu se d�íve používalo Wildova výparom�ru založeného na principu listovních vah. Rozší�ený byl i rozdílový výparom�r Rón�v s výparnou nádobou o p�dorysné ploše 2000 cm2. Dnes se využívá standardn� výparom�r Šermer�v o p�dorysné výparné ploše 3000 cm2 (Obr. 14.2).

Obr. 14.2 Šermer�v výparom�r


- 156 (188) -

Výparnost je hodnota výparu nam��ená p�ímo na ur�itém typu výparom�ru. Ty jsou však zatíženy p�íslušnými konstruk�ními nedostatky. Zejména se jedná o malou plochu vodní hladiny, ze které je výpar m��en. Proto se hodnoty nam��ené na výparom�ru násobí opravnými reduk�ními sou�initeli, p�i�azenými k použitému typu výparom�ru. Po této oprav� se získá hodnota skute�ného výparu. V dnešní dob� je trend budovat pro m��ení výparu výparom�ry s velkou vodní hladinou - bazénové výparom�ry. U t�ch se od pr�m�ru 3,5 m nam��ené hodnoty považují za výpar a další oprava se neprovádí. Pro výzkumné ú�ely se n�kdy budují výparom�ry plovoucí p�ímo na vodní hladin� nádrží. Ty mají výparom�rné nádoby p�ipevn�ny spole�n� se srážkom�rem na d�ev�ném rámu v úrovni hladiny.

Výpar z p�dy závisí jednak na meteorologických podmínkách, jednak na vlastnostech p�dy. Souhrnn� je možno �íci, že výpar je tím menší, �ím siln�jší je povrchová vrstva vysušené p�dy a �ím pomaleji se vlhkost dopl�uje ze spodních vrstev (kapilarita). Drsný a zvln�ný povrch p�ispívá k výparu více než povrch rovný a hladký. V�tší výpar mají tmavé p�dy. D�ležitý je i vliv polohy. Nejv�tší je výpar na jihozápadních svazích, menší na východních a nejmenší na severních. Zv�tšení sklonu zv�tšuje výpar na jižních a východních svazích a snižuje jej na západních a severních. Podstatný vliv na zmenšení výparu má zastín�ní p�dy. Nap�. zastín�ní rostlinstvem m�že zmenšit výpar až na hodnotu 20 %. P�itom však rostlinstvo zase naopak k výparu p�ispívá p�ímým vypa�ováním vláhy z povrchu listí - transpirací.

Transpirace je projevem životního procesu rostlin: ko�eny rostlin se nasává podzemní voda, v níž jsou rozpušt�ny živiny, a pak se listy �áste�n� vypa�uje. Živiny a �ást vody vytvá�í rostlinnou tká�. Množství vody v gramech, kterého je zapot�ebí pro vytvo�ení 1 g sušiny tkán�, je tzv. transpira�ní sou�initel. Pohybuje se v mezích 250 až 700 g, nej�ast�jší hodnota pro zem�d�lské kultury je 300 až 450 g.

M��ení výparu z p�dy a transpirace je úlohou velmi složitou, m��ící za�ízení je t�eba p�izp�sobit p�írodním pom�r�m. Všechny zp�soby m��ení, výpo�ty i p�íklady platí p�evážn� pouze pro pom�ry, v nichž byly odvozeny, a zdaleka nevystihují skute�nost. Výpar z p�dy se m��í pomocí lyzymetr�. Je to sada zpravidla t�í válcových nádob, napln�ných rostlým vzorkem p�dy a zapušt�ných do zem�. Manipulace s nimi je vzhledem ke zna�né hmotnosti obtížná a využívají se proto kladkostroje. Na hodnotu výparu za ur�ité období (zpravidla den) se usuzuje z úbytku hmotnosti nádoby p�i p�evážení. P�itom se zohled�uje množství nam��ených srážek spadlých za stejné období.

Pro hydrologii je však nejd�ležit�jší odhadnutá hodnota celkového výparu z povodí. Její stanovení umož�uje základní bilan�ní rovnice popsaná v Kap. 13.7. Pro výpo�et úhrnu výparu Hv je t�eba znát hodnotu úhrnu srážek Hs a úhrnu odtoku Ho.


- 157 (188) -

Obr. 14.3 Schéma lyzymetru Popova

14.3 Srážky 14.3.1 Vznik a druhy Ochlazováním ovzduší stoupá jeho nasycenost vodními parami. Když teplota klesne pod teplotu rosného bodu, sráží se �ást obsažené páry kolem kondenza�ních jader, což jsou ionizované �ástice prachu, kou�e, pylu nebo i molekuly plyn�. Vznikají nepatrné kapi�ky vody nebo sn�hové vlo�ky, které tvo�í oblaka a mlhy. Za vhodných podmínek se zv�tšují a padají k zemi jako ovzdušné srážky.

Pokles teploty, který vede ke srážkám, m�že nastat t�eba vyza�ováním tepla do ovzduší za jasných nocí nebo stykem vzduchu s chladnými p�edm�ty. Tak vzniká rosa, jinovatka nebo p�ízemní mlhy. Na pob�eží mo�í je p�í�inou ochlazení míšení s chladnými proudy vzduchu. Nej�ast�ji však vzniká ochlazování rozpínáním vzduchu p�i výstupu do výšky. Takový výstup nastává oh�átím vzduchu za slune�ných dn� nebo p�i usm�rn�ní vzdušného proudu p�ekážkami na zemském povrchu, hlavn� horskými h�ebeny. Srážky pak spadnou p�edevším na náv�trné stran� hor, v záv�t�í vzniká suchá oblast (deš�ový stín). P�íkladem m�že být Rakovnicko a Krušné hory.

N�kdy se zvláš� uvád�jí jako „srážky horizontální“ ty, které vznikají p�ímo na zemském povrchu a které se nezachytí obvyklými srážkom�rnými p�ístroji; jsou to rosa, jinovatka, námraza a náledí. Jejich vydatnost je pom�rn� malá – u rosy �iní asi 2 až 3 % ro�ních srážek. Jinak se srážky d�lí na kapalné (déš�, mlha) a tuhé (sníh, kroupy, ledovatka �i zmrzlý déš�). Množství srážek vyjad�ujeme pomocí úhrnu Hs [mm] jako vrstvu, která by vznikla, kdyby déš� spadl na vodorovnou nepropustnou rovinu, a kdyby nepodléhal výparu - Kap.13.7.

14.3.2 Extrémní dešt� Dešt� charakterizujeme dobou trvání τ v minutách nebo hodinách a intenzitou i, což je množství vody, které spadne za jednotku �asu. Intenzitu vyjad�ujeme v mm/min, v mm/h anebo jako specifickou vydatnost v l/s/ha �i m3/s/km2. Podle trvání a intenzity d�líme dešt� na regionální a p�ívalové.


- 158 (188) -

Regionální dešt� jsou dlouhodobé dešt� s velkou rozlohou. Obvykle mívají menší intenzitu. V nižších polohách nep�esahuje 80 mm za den. V horských krajích však m�že podstatn� stoupnout: 30.7.1897 spadlo v Nové Louce v Jizerských horách 345 mm za den. Tyto dešt� zp�sobují povodn� v rámci velkých povodí.

P�ívalové dešt� neboli lijáky jsou velmi vydatné krátkodobé dešt�, které zasahují pom�rn� malé plochy. Zp�sobují proto prudké rozvodn�ní malých tok� a projevuje se p�i nich nejsiln�ji splavování ornice (vodní eroze). Pozorování deš�� prokázala n�které závislosti. P�edevším, že intenzita bývá nejv�tší brzy po za�átku dešt� a pak p�i jeho dalším trvání klesá. �ím v�tší je intenzita lijáku, tím menší je jím zasažená plocha, takže podle rozlohy lijáku m�žeme odhadnout i nejv�tší intenzitu dešt�, který ur�itou plochu m�že cele zasáhnout. Nejd�ležit�jší je poznatek, že všeobecn� intenzita lijáku klesá s jeho trváním. Tuto závislost vyjád�il Reinhold výrazem:

( )CBt

Ai

+= , (14.4)

kde i je intenzita [mm/min], t - doba trvání dešt� [min], A, B a C – jsou regresní koeficienty, které je možno ur�it pro ur�ité povodí z �ady pozorování kalibrací.

Srážky jsou obdobn� jako ostatní hydrologické hodnoty jevy náhodné veli�iny a závisí na p�írodních podmínkách. V jejich výskytu však jsou ur�ité zákonitosti a platí i jistá pravd�podobnost výskytu. K zpracování.takovýchto jev� používáme teorie pravd�podobnosti a metody matematické statistiky. Vychází se z dlouhodobého pozorování. Pozorované veli�iny se zpracovávají do p�íslušných pravd�podobnostních �ar, nej�ast�ji �áry p�ekro�ení a následn� se ur�uje pravd�podobnost p�ekro�ení hodnoty ur�ité velikosti.

P�ívalové dešt� zpravidla charakterizujeme periodicitou neboli pr�m�rnou ro�ní frekvencí p’. Je to �íslo, které udává, kolikrát v pr�m�ru je déš� ur�ité intenzity v rámci jednoho roku dosažen nebo p�ekro�en:

Mm

p =′ . (14.5)

P�evrácenou hodnotou periodicity je pr�m�rná doba opakování N. Udává pr�m�rný po�et let, ve kterých je déš� ur�ité intenzity dosažen nebo p�ekro�en.

mM

pN =

′= 1

. (14.6)

V uvedených vztazích zna�í: m - po�et výskyt� sledovaného jevu za dobu pozorování (v našem p�ípad� p�ekro�ení nebo dosažení), M – po�et rok� pozorování.

Obecný vztah mezi trváním, intenzitou a periodicitou dešt� podle Trupla je znázorn�n na Obr. 14.4.


- 159 (188) -

Obr. 14.4 Vztah mezi trváním, intenzitou a periodicitou dešt�

14.3.3 M��ení srážek Srážky se m��í v soustav� srážkom�rných stanic deš�om�rem neboli ombrometrem. Ombrometr se skládá ze záchytné nálevky, jejíž okraj je 100 cm nad zemí a má plochu 500 cm2. Nálevka zasahuje do sb�rné nádoby, umíst�né uvnit� ochranné nádoby. K vybavení pat�í ješt� sklen�ná kalibrovaná nádoba, v níž se odm��uje zachycená voda. M��ení se provádí pravideln� každý den v 7 hodin ráno nebo i po jednotlivých v�tších deštích. D�lení odm�rky ukazuje p�ímo úhrn Hs [mm] srážkové výšky s p�esností na 0,1 mm.

Dokonalejší údaje dostáváme zapisujícím deš�om�rem, ombrografem. Ze záchytné nálevky o ploše obvykle 250 cm2 stéká voda do nádobky s plovákem, na kterém je p�ipevn�no pisátko p�iléhající na papír navinutý na bubnu. Ten se otá�í pomocí hodinového strojku. Papír má na vodorovné ose ozna�en �as v hodinách a na svislé výšku spadlého dešt� v mm. Když je nádobka plná vody, vyprázdní se násoskou do podstavené sb�rné nádoby, pisátko p�itom rychle poklesne a zápis (ombrogram) je p�erušen tém�� svislou �arou. Ombrogram je tedy sou�tovou �arou a umož�uje stanovit nejen pr�b�h jednotlivých deš�� a jejich celkovou výšku, ale i intenzitu podle strmosti záznamu (sm�rnice te�ny).

Na t�žko p�ístupných místech, hlavn� v horách, se m��í celkový úhrn srážek za delší období pomocí totalizátoru. Jeho výška nad terénem je 3 až 5 m. Zachycené pevné srážky se v n�m rozpustí v roztoku chloridu vápenatého (CaCl2) a chrání se p�ed výparem vrstvou vaselinového oleje. Sb�rná válcovitá nádoba musí mít dostate�ný obsah, aby bezpe�n� zachytila srážky za celé m�rné období. Nad ní je kuželovitá �ást se sb�rnou plochou a ta je p�ed vlivem turbulentního ú�inku v�tru chrán�na širokým plechovým kuželem (Nipher�v kužel).

V posledních n�kolika letech se zna�n� rozší�ilo užití impulsních srážkom�r� (Obr. 14.7). Ty p�eklopením �lunkového za�ízení registrují ur�itý úhrn spadlého dešt� a �as jeho dosažení. Jejich hlavní p�edností je možnost uložení t�chto údaj� v registra�ních p�ístrojích �ízených mikroprocesory (NOEL). Z nich se pak snímají pomocí p�enosných mikropo�íta��. Registra�ní p�ístroje jsou však zpravidla vybaveny p�enosovými jednotkami umož�ujícími dálkový p�enos bezprost�edn� nam��ených dat na pracovišt�, která je pot�ebují pro pot�eby vydávání operativních p�edpov�dí odtoku vody z povodí, resp. pro operativní �ízení odtoku vody z povodí.


- 160 (188) -

Obr. 14.5 Ombrometr, ombrograf a totalizátor

Obr. 14.6 Ombrogram

Obr. 14.7 Impulsní srážkom�r Obr. 14.8 Sn�hom�rná la�

Sn�hové srážky se zachycují p�ímo do ochranné nádoby deš�om�ru a po rozpušt�ní se zm��í množství vody v odm�rce. V zimním období se m��í výška sn�hové pokrývky sn�hom�rnou latí - Obr. 14.8. Je to v zemi upevn�ná d�ev�ná la� s dob�e viditelným centimetrovým d�lením. Dále se ur�uje vodní hodnotu sn�hu. Je to pom�r objemu vody po rozpušt�ní sn�hu k p�vodnímu celkovému objemu sn�hu. Umožní stanovit zásobu vody ve sn�hové pokrývce - m�žeme ji p�epo�ítat na rovnocennou vrstvu vody. Pro �erstv� napadlý sníh bývá vodní hodnota 0,1, pro ulehlý sníh 0,15 až 0,20, pro sníh ke konci zimy 0,35 až 0,40 a pro zrnitý horský firn 0,5.


- 161 (188) -

14.4 Plošné a �asové rozd�lení srážek. Extrémní hodnoty Z každodenních deš�om�rných pozorování se s�ítáním získají úhrny srážek za jednotlivé m�síce a roky (hydrologické). Udávají se také po�ty dní se srážkami. P�i dlouhodobých pozorováních se zpracovávají nam��ené hodnoty tak, aby získané hodnoty charakterizovaly bu jednotlivou srážkom�rnou stanici nebo celé území. Nejv�tší význam mají dlouhodobá pozorováním, p�i�emž nejmén� 25 tileté pozorování dává p�ijatelné hodnoty. Pro jednotlivou stanici pak ur�ujeme pr�m�rné srážky ro�ní nebo m�sí�ní jako aritmetický pr�m�r za n let. Vždy je t�eba vyzna�it období pozorování. Údaje se uvád�jí bu v tabulkách nebo v grafech. Srážkové pom�ry území jsou charakterizovány vykreslením izohyet, tj. �ar spojujících místa se stejnými srážkovými úhrny. Rozbor se provádí (pro jednotlivé dešt� nebo �ast�ji pro charakteristiku širšího území) znázorn�ním pr�m�rných ro�ních srážkových úhrn� celých nebo �áste�ných povodí tok�, pro státní území apod. Nejnižší pozorované hodnoty jsou v �echách v povodí Oh�e v okolí Kadan� a Žatce, na Morav� p�i soutoku Svratky a Dyje (460 až 480 mm). Nejvlh�í jsou horské oblasti: Jizerské hory, Krkonoše, Jeseníky a Beskydy (kolem 1500 mm). Obecn� platí, že srážkový úhrn za ur�ité období roste s nadmo�skou výškou. Dlouhodobý pr�m�rný ro�ní srážkový úhrn v �R je 728 mm, což p�ibližn� odpovídá 57,41 109 m3 spadlé vody za rok. Nejv�tší úhrn srážek na sv�t� byl nam��en na jižním svahu Himálaje, kde ro�ní pr�m�r je 12 700 mm a nejv�tší nam��ená hodnota 16 300 mm za rok. Nejmenší množství vody spadne na pouštích (na Saha�e 5 mm, v Chile dokonce jen 1 mm za rok). Ro�ní srážkové úhrny se �asto od sebe zna�n� liší (±40%). U nás je rozd�lení srážek v pr�b�hu roku rovn�ž nepravidelné. P�evládají srážky v letních m�sících (40%), následují srážky na ja�e (25%), pak na podzim (20%) a v zim� (15%). Podíl pevných srážek se zv�tšuje nejen se vzr�stající zem�pisnou ší�kou, ale i s nadmo�skou výškou. Na Sn�žce padá pr�m�rn� 96 dní v roce sníh a celé sn�žné období bývá až 280 dní. V nížinách je toto období 120 až 140 dn�.

Kontrolní otázky - Co je metrologie a klimatologie? - Co je to rosný bod? - Jak se m��í výpar z vodní hladiny a z p�dy? - Jak se m��í srážky?

15 �í�ní sí� Vodní toky Souhrn všech tok� v ur�itém celkovém povodí tvo�í �í�ní sí�. Tok, který se vlévá do mo�e je tokem 1. �ádu. P�íkladem m�že být Labe v �echách. Do n�j se vlévají toky 2. �ádu, jejich p�ítoky jsou pak toky 3. �ádu atd. Velký hlavní tok, který ústí do mo�e, je veletok. Obvyklé st�ední a v�tší toky nazýváme �ekami. Horské potoky, které mají velký sklon, prudce se rozvod�ují a siln� vymílají koryto, nazýváme byst�inami.


- 162 (188) -

Obr. 15.1 �ády tok� Obr. 15.2 K�ivolakost tok�

Za�átek �eky tvo�í pramen, ve velehorách �asto pramen ledovcový, n�kdy však �eka vytéká z jezera nebo z mo�álu. Horní tok �eky má velký sklon, �eka zde koryto vymílá, pak se však sklon zmír�uje a v dolní �ásti se pevný materiál unášený vodou ukládá. Mezitím je úsek rovnováhy, kde nastává jen p�enos materiálu bez další erozivní �innosti. Geologické složení ovliv�uje sklon i tvar údolí, na n�mž se mimo p�sobení vody po výšce projevuje i bo�ní eroze. Tato �innost vody nastává hlavn� za velkých vod, a to nejen ve vlastním koryt�, ale i v inunda�ním (zaplavovaném) území. Trasa �í�ního koryta nebývá p�ímo�ará, vine se v obloucích, které bývají protism�rné. Tato vlastnost tok� se nazývá k�ivolakostí a ozna�uje se koeficientem k�ivolakosti. R�zné toky mají zpravidla rozdílnou vlnitost. Ta se p�i ur�ování délky tok� z mapových podklad� zohled�uje p�enásobením délek p�íslušnými koeficienty (Obr. 15.2).

Pohybujeme-li se po toku sm�rem dol�, p�echází proudnice, tj. �ára spojující místa nejv�tších hloubek, od jednoho b�ehu k druhému. Vlivem p�í�né cirkulace vody se u vn�jšího (vypouklého - konkávního) b�ehu se koryto vymílá a u vnit�ního (vydutého - konvexního) se vytvá�í nános. P�echod mezi oblouky tvo�í brod. Zde je zpravidla koryto toku nejširší a voda tu proudí p�i malé hloubce (Obr. 15.3).

Obr. 15.3 Konkávní a konvexní b�eh

Celkové uspo�ádání �í�ní sít� závisí na geologickém složení území. P�íklady typických povodí jsou uvedeny na Obr. 15.4.

�í�ní sí�

- 163 (188) -

Obr. 15.4 Typy �í�ní sít�: a) asymetricky uspo�ádané, b) stromovité, c)

v�jí�ovité, d) radiální, e) anulární, f) pravoúhlé

V�jí�ovité povodí je pro odtok velkých vod v dolní �ásti nebezpe�n�jší než povodí protáhlé. Zde se �asto ve stejném �ase st�etávají povod�ové pr�toky ze všech p�ítok�.

15.1 Vodní stavy a jejich pozorováni V d�sledku srážkoodtokového procesu v povodí se pr�toky v �í�ní síti neustále m�ní. To se nejz�eteln�ji projevuje klesáním hladin. Vztah mezi polohou hladiny vody v toku v ur�itém profilu (vodní stav) a odpovídajícím pr�tokem je p�i rovnom�rném ustáleném proud�ní jednozna�ný a je dán m�rnou k�ivkou (konsump�ní k�ivka). Aby bylo možno ur�it pr�b�h pr�toku vody v ur�itém profilu, z�izují se na tocích m�rné profily (vodo�etné stanice), v nich se nep�etržit� m��í vodní stavy a z nich se pak odvodí odpovídající pr�toky. M��ení vodních stav� má proto v hydrologii základní význam.

Vodo�etné stanice mají výstižn� charakterizovat ur�itý úsek toku a musí mít stabilní a pravidelné koryto; proud�ní zde nemá ovliv�ovat žádná p�ekážka nebo hladina druhého toku, pr�tok má být soust�ed�n v jednom koryt�. Na hlavních tocích se stanice umís�ují nad v�tšími p�ítoky i pod nimi. �asto také se m��í hladiny u vodních d�l: p�epad�, plavebních komor.

Nejjednodušším za�ízením pro m��ení vodních stav� jsou la�ové vodo�ty. Jsou to d�ev�ná nebo plechová (smaltovaná) m��ítka se z�etelným d�lením výšky po 2 cm. Bývají svislé (na náb�ežních zdech, pilí�ích nebo pilotách) nebo šikmé (na svazích b�eh�). Na vodních stavbách se n�kdy d�lení vyhloubí p�ímo do betonu. Nulu vodo�tu dáváme pod nejnižší známou hladinu, takže na rozdíl proti starším vodo�t�m, které m�ly nulu v jakési „st�ední hladin�“, jsou všechny vodní stavy kladné. Pro každý vodo�et je t�eba znát stani�ení místa vodo�tu, plochu povodí k profilu vodo�tu a výšku nuly vodo�tu vztaženou k t�em pevným výškovým bod�m.

Na d�ležitých vodo�etných stanicích se z�izují limnigrafy, zapisující spojit� vodní stav na speciálním grafikonu, limnigramu. Nej�ast�jší formou provedení je plovákový limnigraf.


- 164 (188) -

Obr. 15.5 Limnigrafická stanice

Ve svislé šacht�, která je vodorovným potrubím spojena a �e�išt�m, se p�i kolísání hladiny pohybuje plovák. Jeho svislý pohyb se ve vhodném zmenšení p�enáší na buben s d�leným papírem, otá�ený hodinovým strojem. Záznamový papír se vym��uje každý týden. V do�asných za�ízeních sta�í místo nákladné stavby jen prostá trouba, na kterou se osadí malý, plechem zakrytý limnigraf Záznamy v limnigrafu se musí pravideln� srovnávat s la�ovým vodo�tem, který se u limnigrafu vždy umís�uje. Pozorování na la�ových vodo�etných stanicích se provádí pravideln� t�ikrát denn�, za povodn� podle pot�eby i po hodinách. V sou�asnosti se limnigrafické stanice vybavují tlakovými sondami, které pomocí piezokrystalu ur�ují tlak vody. Ten se pak v napojených registra�ních p�ístrojích (nap�. NOEL) po zvolených �asových krocích zaznamenává a p�epo�ítává na výšku vodního sloupce. Probíhá vzorkování. Vzniklý záznam vodního stavu je tedy vzorkovaný a je možno jej z registra�ního p�ístroje za ur�ité období sejmout pomocí p�enosného mikropo�íta�e, nebo pomocí p�enosných jednotek dálkov� ode�ítat.

Pon�vadž v�asná znalost vodních stav� a pr�tok� je d�ležitá pro plavbu, využití vodní energie i pro stavby na �ekách, podávají se informace o nich denn� rozhlasem. Oznamují se p�itom i jiné d�ležité jevy na �ekách, t�eba tvo�ení a odchod led�. Zvláš� významná je varovná služba za velkých vod jako sou�ást ochranné povod�ové služby, na jejíž správné organizaci závisí bezpe�nost pob�ežních obyvatel, a která m�že zabránit velkým škodám.

Stále v�tšího významu nabývá i služba p�edpov�dní, která z pozorování p�edpovídá vývoj vodních stav� i pr�tok�. Hydrologické p�edpov�di jsou operativní, krátkodobé, st�edn�dobé a dlouhodobé. V posledních letech nabývají na významu zejména p�edpov�di operativní a krátkodobé, které p�edpovídají povod�ové pr�toky na hodiny až dny dop�edu a slouží zejména pro pot�eby varovné služby a pro operativní �ízení odtoku vody z povodí. St�edn�dobé a dlouhodobé p�edpov�dí odhadují vývoj pr�toku v následujících m�sících, ro�ních obdobích nebo letech. Nap�. vodnosti v jarních m�sících se p�edpovídají z podzimních a hlavn� zimních srážek, ze sn�hové pokrývky.

�í�ní sí�

- 165 (188) -

15.2 M��ení pr�tok� Pouze v malých potocích nebo pramenech je možno ur�it pr�tok p�ímým m��ením nádobou. V tomto p�ípad� ode�ítáme dobu t, za kterou se naplní nádoba známého objemu V:

tV

Q = . (15.1)

Proud se bud zachytí korýtkem, nebo se p�epaží st�nou s otvorem a tím pak soust�ed�n� odtéká do nádoby. Ostatní nep�ímé zp�soby ur�ení pr�toku bu vycházejí z m��ení polohy hladin u p�epad�, z poznatk� hydrauliky o stanovení st�ední rychlosti, z m��ení rychlostí, nebo vycházejí ze z�ed�ní p�idávaných látek.

Pro m��ení p�epadem se používá �asto ostrohranný obdélníkový p�elivu Bazina nebo trojúhelníkový Thomsona. Výpo�et Q na základ� zm��ené p�epadové výšky h se provede podle p�íslušných vzorc�.

Pokud v pravidelných úsecích koryt tok� považujeme proud�ní vody za ustálené rovnom�rné, dá se odhadnout Q podle vztah� platných pro tento zp�sob proud�ní, nap�. Chézyho rovnicí. Je t�eba prom��it (sondovací ty�í nebo nivelací) p�í�ný pr��ez A [m2]. Nivelací polohy hladiny ve 2 pr��ezech je pak nutno ur�it rozdíl hladin ∆H [m]. Sklon hladiny i = ∆H/L , kde L je vzdálenost t�chto pr��ez�. Obvykle je obtížné správn� zvolit sou�initel drsnosti n.

Obvykle se Q ur�uje na základ� m��ení rychlostí. Vzhledem ke složitosti proud�ní vody bude nejmén� p�esné m��ení rychlosti plovákem. To slouží jen k p�ibližným odhad�m rychlosti, ale je velmi jednoduché a lze jej využít p�i neplánovaných m��eních. Zm��í se nejv�tší povrchová rychlost vp v proudnici. Sm�rem potoku se vyty�í t�i profily. V pr��ezu 1 se hodí do vody plovák a stopkami se zjistí doba t pot�ebná k proplutí dráhy L mezi pr��ezy 2 a 3. Vzdálenost L má být minimáln� rovna ší�ce koryta, dráha rozb�hu je v�tší, aby se plovák ustálil v proudnici. M��ení platí pro pr��ez 2, jehož tvar a velikost A musíme prom��it. Odhad st�ední profilové (pr��ezové) rychlosti v dostaneme vynásobením vp sou�initelem k:

kvv p≈ , (15.2)

kde pro b�žné vodní toky k = 0,9 pro h ≥ 1,0 m a k = 0,66 pro h < 1,0 m.

Nejpoužívan�jší p�ístroj ur�ený pro m��ení bodových rychlostí u je hydrometrická vrtule (Obr. 15.6). Skládá se z vrtule v podob� šroubové plochy, která je p�ipevn�na k otá�ecí ose s kuli�kovým ložiskem. Obsahuje nekone�ný šroub, který zabírá do ozubeného kole�ka. Protože jeden kontakt p�ístroje je spojen s kostrou, kdežto druhý je odizolován, uzav�e se po ur�itém po�tu otá�ek vrtule kolí�kem elektrický okruh baterie, a to je zaznamenáno na po�itadle. Nové typy vrtulí, napojené na mikropo�íta�, udávají na displeji p�ímo bodovou rychlost proudící vody. Rychlost otá�ení vrtule je úm�rná rychlosti proudící vody v míst� vrtule a pro bodovou rychlost u platí vztah:

Nu βα += , Ta

N = , (15.3)


- 166 (188) -

kde α a β jsou konstanty, N je po�et otá�ek za sekundu, a nam��ený po�et otá�ek za dobu m��ení T. Konstanty α a β se ur�ují ocejchováním v kalibra�ních žlabech.

Hydrometrickou vrtulí se m��í bodové rychlosti v r�zných místech p�í�ného pr��ezu koryta. P�i menších hloubkách vody je vrtule p�ipevn�na pomocí posuvné objímky k vodicí ty�i s m��ítkem. Ty� má dole p�ipevn�nu zarážku, která zamezuje zabo�ení. Hydrometrická vrtule m�že mít kapesní provedení pro m��ení malých rychlostí p�i malých hloubkách. M�že však mít i masivn�jší provedení ur�ené pro m��ení p�i v�tších hloubkách až do 5 m a rychlostech až do 3,0 m/s. P�i ješt� v�tších hloubkách se používá t�žké torpédové vrtule na lanovém záv�su. Pon�vadž vrtule musí být postavena kolmo k m�rnému pr��ezu, má taková vrtule kormidlo, které ji také vyvažuje. Po ur�ité dob� provozu se musí vrtule p�etárovat, konstanty rovnice se mohou vlivem opot�ebení zm�nit. Hydrometrická vrtule se nehodí pro m��ení ve velmi m�lkých nebo balvanitých korytech a v zarostlých korytech (zde se využívá m��ení pomocí induk�ní sondy).

Obr. 15.6 Hydrometrické vrtule

M��ením v m�rném profilu se ur�uje pole bodových rychlostí. M��ení se provádí v n�kolika svislicích obvykle pravideln� rozmíst�ných po ší�ce profilu. V každé svislici se m��í bodová rychlost u povrchu, u dna a v n�kolika bodech mezilehlých - doporu�uje se rozvrhnout 3 až 5 bod�. P�i m��ení se ode�ítá i vodní stav, není-li u m�rného pr��ezu vodo�et stálý, z�ídí se jednoduchý vodo�et prozatímní. Když vodní stav b�hem m��ení kolísá, je t�eba stanovit st�ední hladinu, ke které se pak hodnoty vztahují. P�i v�tší zm�n� stavu než o 5 cm v pr�b�hu m��ení se doporu�uje výsledky m��ení anulovat. Sou�asn� s m��ením rychlostí se zaznamenává i hloubka dna pod vodní hladinou. Výsledky m��ení se zaznamenávají do speciáln� upraveného hydrometrického zápisníku.

Pr�tok Q je možno stanovit jako objem pr�tokového t�lesa, které bychom získali, kdyby se vynesla v každém bod� pr�to�ného profilu bodová rychlost u ve sm�ru proud�ní. To by znamenalo, pokud bychom zavedli v profilu pravoúhlý sou�adnicový systém xy (x zna�í sm�r vodorovný a y sm�r svislý), znát pr�b�h rychlosti u(x,y) v celém pr�to�ném profilu. Pokud bychom ozna�ili nekone�n� malý element pr�to�né plochy dx dy, celkový pr�tok profilem by pak byl dán následujícím integrálem:

�í�ní sí�

- 167 (188) -

�� ==AA

QyxyxuQ ddd),( . (15.4)

V praxi však jsou (po provedeném hydrometrickém m��ení) k dispozici pouze nam��ené bodové rychlosti ve svislicích. P�evedou-li se rychlostní svislice (grafikony znázor�ující prom�nu rychlostí ve svislicích) na rovnoploché obdélníky, obdélníky o výšce h, udává ší�ka t�chto obdélník� st�ední rychlost ve svislici vs (Obr. 15.7).

Vyneseme-li kolmo nahoru nad hladinu vody v každé svislici sou�in As=vs h a aproximujeme-li tento pr�b�h dostate�n� hladkou k�ivkou (v nejjednodušším p�ípad� graficky od oka pomocí k�ivítka), je možno podle Harlachera získat celkový pr�tok pr�to�ným profilem jako integrál:

� �==B B

ss BABvhQ0 0

dd , (15.5)

kde h je hloubka a B je celková ší�ka profilu.

Pokud bychom stanovovali pr�tok po�etn�-graficky, získali bychom tento pr�tok zplanimetrováním plochy omezené shora k�ivkou As a zdola hladinou vody. St�ední profilovou (pr��ezovou) rychlost bychom pak získali pod�lením pr�toku Q pr�to�nou plochou A: v = Q/A.

Obr. 15.7 Stanovení pr�toku p�i m��ení hydrometrickou vrtulí


- 168 (188) -

St�ední svislicové rychlosti vs se �asto odhadují pomocí tzv. bodových vzorc�, resp. se pr�b�hy bodových rychlostí aproximují funkcí a numericky integrují, a získané plochy pak pod�lí hloubkou ve svislici. Integrály (15.4), resp. (15.5) se v praxi vy�íslují pomocí r�zných metod, p�evážn� za použití výpo�etní techniky. Nap�.v integrálním vztahu (15.5) se nekone�n� malé diferenciály ší�ky dB nahrazují kone�n� velkými diferencemi ∆B a integrální vztah se nahrazuje tvarem sou�tovým. Celkový pr�tok je pak dán sou�tem diferencí pr�toku na všech získaných elementech, p�i�emž na každém elementu ší�ky je hloubka a st�ední svislicová rychlost považována za konstantní. Takto se dá pr�tok stanovit p�ímo v hydrometrickém zápisníku. Trend v posledních letech v naší republice však sm��uje k aproximaci pr�b�hu bodových rychlostí nad plochou pr�to�ného profilu funkcí (nap�. kubické spliny) a ur�ení pr�toku numerickou integrací.

V balvanitých korytech horských tok� se dá t�žko zjistit tvar p�í�ného pr��ezu, a proto se nedá dob�e použít d�ív�jších zp�sob� m��ení. Pak provádíme m��ení dávkováním roztok� solí a barviv do toku. Podmínkou však musí být, že se p�idávané roztoky s vodou v toku dob�e a rovnom�rn� promísí. N�kdy je posta�ující použití roztoku kuchy�ské soli. Ze zm�ny koncentrace chemikálie t�sn� nad profilem, do kterého dávkujeme chemikálii a dostate�n� oddáleným profilem, aby došlo k promísení, je pak možno odhadnout jednoduchým výpo�tem hledaný pr�tok.

15.3 M�rná k�ivka pr�toku Ve vodo�etných stanicích na tocích se pravideln� od�ítají vodní stavy h a m��ením stanovují odpovídající pr�toky Q. Pokud odpovídající body (Q,h) vyneseme do pravoúhlého sou�adnicového systému Qh a tyto body proložíme regresní k�ivkou, získáme m�rnou neboli konsump�ní k�ivku. Ta udává závislost mezi vodními stavy a pr�toky Q = f(h). Umož�uje p�evést spojitý pr�b�h nam��ených vodních stav� h(t) za ur�ité údobí na spojitý pr�b�h odpovídajících pr�tok� Q(t).

Obr. 15.8 M�rná k�ivka

V praxi se na p�irozených vodních korytech pro proložení obvykle používají regresní funkce v mocninném tvaru:

( ) cbhaQ += , (15.6) resp. polynomy druhého stupn�:

�í�ní sí�

- 169 (188) -

2hchbaQ ++= . (15.7)

V obou vztazích jsou a, b a c regresní koeficienty a získávají se kalibrací. V p�ípad� složitých pr�to�ných profil�, resp. inundací se m�rná k�ivka vynáší jako lomená. Pro každou �ást k�ivky pak platí jiná rovnice.

S ur�itou opatrností je možno pr�b�h m�rné k�ivky prodloužit (extrapolovat) i za rozsah provedených m��ení pr�tok�. I když se snažíme vybrat vodom�rné profily tak, aby byly stálé, p�esto se pr�tokové pom�ry v koryt� m�ní (usazování, vymílání, zar�stání). Vykreslená m�rná k�ivka platí tedy jen do�asn� a její tvar se musí neustále dop�es�ovat novým m��ením pr�tok�. Musíme si být v�domi i toho, že za povodní není pr�b�h m�rné k�ivky jednozna�ný, protože ta platí pro ustálené rovnom�rné proud�ní. P�i pr�chodu povod�ové vlny p�í�ným pr��ezem se p�i stoupání hladiny zv�tšuje sklon, takže nejd�ív nastává nejv�tší sklon hladiny, pak nejv�tší rychlost, potom nejv�tší pr�tok a nakonec nejvyšší vodní stav. P�i klesání hladiny je za stejného vodního stavu sklon menší než p�i stoupání. M�rná k�ivka pak vytvá�í smy�ku - zdvojuje se (hysterze). Chyba ve stanoveném pr�toku za povodní bývá odhadována v intervalu ± 10%.

Pr�b�h m�rné k�ivky je p�i absenci m��ení možno odhadnout i pomocí vztah� pro ustálené rovnom�rné proud�ní - nap�. pomocí Chézyho rovnice. Opakovan� pro postupn� se zv�tšující pr�to�nou hloubku vypo�teme pr�tok a p�íslušné body (Q, h) vyneseme do grafu. Takto stanovená k�ivka je hladká a je posta�ující ji proložit �arou (parabola). Nejv�tším problém však u p�irozených koryt p�edstavuje odhad drsnosti koryta v uvažovaném profilu. Zde se �asto uchylujeme k tabulkovým hodnotám, které však mohou být zavád�jící. Vždy je dobré takto teoreticky stanovené pr�b�hy m�rných k�ivek v d�ležitých p�ípadech alespo� orienta�n� ov��it pomocí n�kolika nam��ených bod� (Q,h), získaných hydrometrováním.

Kontrolní otázky - Co je konkávní a konvexní b�eh? - Jak se m��í pr�toky (p�ímá a nep�ímá m��ení)?

16 Režim vodních tok� Z matematického hlediska považujeme hydrologické veli�iny za náhodné procesy. Jejich budoucí velikosti není možno p�esn� p�edpov�d�t, maximáln� je možno odhadnout pravd�podobnost jejich budoucího výskytu. To se týká zejména pr�tok� vody v toku. Pro podrobný popis pr�tok� je proto t�eba použít teorii náhodných proces� a její standardní nástroje a postupy, které však p�esahují rámec tohoto kurzu.

Dlouhodobé pozorování vodních stav� a pr�tok� ve vodo�etných stanicích poskytuje obraz o vodnosti i o �asovém rozd�lení pr�toku ve sledovaném profilu. Jeho typický pr�b�h, varia�ní rozp�tí, sled suchých a vlhkých rok�, pozorované extrémní hodnoty pr�toku, charakteristická období výskytu povodní nebo naopak nízkých pr�tok� v r�zných ro�ních obdobích nebo i v jednotlivých m�sících, to vše nazýváme obecn� režimem vodních tok�. Vodní režim toku je odrazem konkrétní specifické kombinace klimatických a geografických �initel� existujících v daném povodí.


- 170 (188) -

Výsledkem pozorování ve vodo�etné stanici je spojitý pr�b�h vodního stavu, resp. pr�toku. Ten se pro pot�eby dalšího zpracování a archivace p�epo�ítává na pr�m�rné hodinové stavy, resp. pr�toky Qh. Jejich aritmetickým pr�m�rem za každý den je pak pr�m�rný denní pr�tok Qd. Vypo�tením pr�m�ru ze všech Qd za p�íslušný m�síc získáme pr�m�rný m�sí�ní pr�tok Qm. Vypo�tením pr�m�ru ze všech Qm za p�íslušný rok získáme pr�m�rný ro�ní pr�tok Qr. Vypo�tením pr�m�ru ze všech Qr za velmi dlouhé období m��ení, které máme k dispozici (p�esahující desetiletí) získáme dlouhodobý pr�m�rný pr�tok Qa

(n�kdy také dlouhodobý pr�m�rný ro�ní pr�tok). P�íslušné pr�m�rné pr�toky se�azené chronologicky za sebe vytvá�ejí hydrologické �ady. P�itom takovéto pr�to�né �ady je pak t�eba považovat za jediné realizace náhodného procesu (z nekone�n� mnoha možných, které mohly nastat), jež máme k dispozici, a které byly odvozeny z m��ení. Ty jsou pak nositelkami všech dostupných informací pro další zpracování nam��ených dat. Ukázka grafického znázorn�ní takové �ady (�áry) pr�m�rných denních pr�tok� Qd je na Obr. 16.1.

Obr. 16.1 �ára pr�m�rných denních pr�tok� (Berounka-K�ivoklát, 1937)

Dlouhodobý pr�m�rný pr�tok Qa se n�kdy nazývá hydrologický potenciál povodí, k jehož uzáv�rovému profilu p�ísluší. Poskytuje základní informaci o pr�toku, na který je možno veškeré odteklé množství vody z povodí vyrovnat - nap�. nádrží. To je velmi d�ležité pro plánování, resp. povolování odb�r� vody z toku a pro další nakládání s vodami v daném povodí a v povodí pod uvažovaným profilem.

Pro posouzení vodnosti jednotlivých tok� se �asto ur�uje dlouhodobý pr�m�rný specifický odtok qa [m3/s/km2]. Ten se dá p�evést i na odtokovou výšku Ho,a [mm] a tím i srovnávat se srážkovou výškou Hs,a. Index vpravo dole a zna�í, že se jedná o dlouhodobé pr�m�rné ro�ní veli�iny (annual). Pom�r dlouhodobé pr�m�rné ro�ní odtokové výšky Ho,a k pr�m�rnému ro�nímu úhrnu srážek Hs,a se nazývá sou�initelem odtoku ϕ.

as

ao

H

H

,

,=ϕ . (16.1)

Sou�initel odtoku je možno nazna�eným zp�sobem stanovit i samostatn� pro jednotlivé hydrologické roky, resp. m�síce. Experimentáln� bylo

Režim vodních tok�

- 171 (188) -

potvrzeno, že a� dlouhodobý pr�m�rný ro�ní pr�tok našich �ek se se sm�rem po toku zv�tšuje, specifický odtok se zv�tšováním p�íslušného povodí klesá.

Specifické odtoky závisí i na podmínkách klimatických a geografických. Tuto závislost ukazuje Obr. 16.2.

Obr. 16.2 Specifické odtoky qa v �R

Dalšími d�ležitými charakteristikami režimu tok� jsou extrémní hodnoty odtoku, jež se projevují v pr�tocích, specifických odtocích nebo i u vodních stav�. Jsou to nejvyšší nebo nejnižší hodnoty, které se vyskytly v ur�itém �asovém období (musí být vždy uvedeno).

16.1 �áry �etnosti a �áry p�ekro�ení pr�tok�

Pro zpracování nam��ených pr�tok�, a zejména pro ode�et typických extrémních pr�tok� (maximálních i minimálních), se používají pravd�podobnostní k�ivky. Jedná se o hustotu pravd�podobnosti f(Q), distribu�ní funkci F(Q) a funkci pravd�podobnosti p�ekro�ení P(Q). Jejich grafické interpretace jsou pravd�podobnostní k�ivky - distribu�ní k�ivka a zejména �ára p�ekro�ení. Typické pr�b�hy t�chto �ar jsou uvedeny na Obr. 16.3.

Obr. 16.3 Pravd�podobnostní k�ivky

Hustota pravd�podobnosti udává pravd�podobnost výskytu libovolné realizace na ose x.


- 172 (188) -

Distribu�ní funkce udává pravd�podobnost s jakou je libovolná realizace na ose x dosažena nebo nedostoupena.

Funkce pravd�podobnosti p�ekro�ení udává pravd�podobnost s jakou je libovolná realizace na ose x dosažena nebo p�ekro�ena.

Pro konstrukci t�chto k�ivek se využívají postupy popsané v kurzech teorie pravd�podobnosti a matematické statistiky. K�ivky se nejd�íve vynášejí jako empirické. Grafem je pak množina bod�, které je t�eba pro další použití vyhladit, resp. pro pot�eby dalšího použití ve výpo�tech popsat analyticky (funkcí). Nejjednodušším a nejmén� p�esným je vyhlazení "od oka". Pro p�esn�jší vyhlazení se využívají typické funkce s n�kolika parametry (statistické charakteristiky jako: st�ední hodnota, sm�rodatná odchylka, koeficient variace, koeficient asymetrie, exces apod.). Tento postup se pak nazývá aproximací empirického rozd�lení teoretickým. Správn� proložená teoretická k�ivka empirický pr�b�h pravd�podobnostní k�ivky ve st�ední �ásti vyhlazuje. Velmi d�ležité je však správné proložení v obou koncových �ástech t�chto k�ivek, protože se pak stává objektivním nástrojem pro ode�et extrémních hodnot pr�tok� s danou pravd�podobností p�ekro�ení, resp. nedostoupení. Z teoretických rozd�lení se v hydrologii nej�ast�ji využívá t�íparametrické rozd�lení Pearson III, logaritmicko-normální rozd�lení, Weibullovo rozd�lení atd. V matematické statistice nejvíce popsané rozd�lení normální se v �isté podob� nepoužívá (hydrologické jevy jsou zna�n� asymetrické). �asto se však na n�j transformují jiná rozd�lení.

Pravd�podobnostní funkce se ne vždy vynášejí v relativních hodnotách (na svislou osu se vynáší pravd�podobnost výskytu sledovaného jevu). N�kdy se užívá jejich interpretace v absolutních hodnotách (na osu svislou osu se vynáší po�et výskyt� sledovaného jevu).

Pravd�podobnostními funkcemi m�žeme samoz�ejm� charakterizovat i jiné hydrologické veli�iny: vodní stavy, srážky, teplotu ovzduší, výpar apod.

16.2 Vlivy p�sobící na povrchový odtok Povrchový odtok (plošný i koncentrovaný) je jednou ze složek srážkoodtokového procesu. P�i rozboru vliv� p�sobících na velikost a rozd�lení odtoku musíme vyjít z �initel� klimatických. Nejd�ležit�jší jsou srážky, výpar, teplota a vlhkost ovzduší. Tlak vzduchu a síla v�tru mají vliv nep�ímý - hlavn� p�sobí na velikost a rozd�lení srážek nebo na výpar.

P�ívalové dešt� - lijáky, se u nás vyskytují p�evážn� v lét�. Zasahují menší plochy, mají krátké trvání, ale velkou intenzitu, takže jsou rozhodujícím �initelem odtoku na malých povodích a zp�sobují rozvodn�ní malých tok�. Dlouhodobé regionální dešt� p�icházejí v lét� a na podzim a zp�sobují rozvodn�ní v celé �í�ní síti velkých tok�. P�itom o odtoku ješt� rozhodují ztráty výparem, které jsou p�edevším v lét� zna�né a ztráty vsakem vody do p�dy, které závisí na reliéfu, na propustnosti p�dy a na jejím p�edchozím nasycení vodou.

D�ležitý je vliv zimních srážek. V zim� odtok klesá, srážky v povodí z�stávají nahromad�ny ve form� sn�hu, odpadají ztráty vsakem a výpar je malý. Na ja�e sníh taje a v závislosti na rychlosti tání vznikají v nížinách (obvykle v b�eznu) jarní povodn�, ve vysokých horských oblastech pozd�ji. Teplé dešt� v tomto


- 173 (188) -

období urychlují tání a mohou zp�sobit nebezpe�né povodn�. Výrazné je i ovlivn�ní odtok� z povodí kolísáním teploty v pr�b�hu dne (zmenšení po západu slunce). Jarní povodn� jsou spojeny s chodem led� na �ekách a nastává nebezpe�í mimo�ádných povodní vzniklých ledovými zácpami. Jarní sn�hové povodn� se prodlužují s r�stem velikosti povodí. Na velkém povodí je tání nerovnom�rné a kolísá i v závislosti na r�zné výškové poloze.

Odtok vzniká ze srážek, do koryt však se zpožd�ním dosp�je i voda, která se vsákla do p�dy a velmi pomalu se pohybuje jako voda podzemní (filtra�ní pohyb). Tím se v povodí vytvá�í zásoba vody, která napájí toky b�hem dlouhých období beze srážek a v zim�, kdy jsou srážky pevné a povrchový odtok ustává.

Odtok je co do velikosti i co do �asového rozd�lení ovlivn�n �adou �initel� geografických. Jde p�edevším o vliv reliéfu území - na v�tším sklonu voda rychleji odtéká a ve skalnatém horském území je menší možnost vsakování. P�dní a geologické pom�ry v povodí ovliv�ují p�edevším infiltrované množství vody do p�dy, a tím rozd�lení vody ze srážek na plošný odtok povrchový a plošný odtok podzemní. Nepropustné horniny nebo horniny, z nichž vznikají nepropustné zv�traliny (flyš na východní Morav�) zp�sobují rychlý povrchový odtok a v území je pak nedostatek podzemní vody. Vodnost tok� v takovém povodí prudce kolísá. Podstatn� vyrovnan�jší jsou pr�toky na �ekách s povodím propustným.

Vsakování deš�ové vody samoz�ejm� závisí i na velikosti a intenzit� srážek. Do suché p�dy je vsakování nejv�tší, ale až po navlhnutí povrchu p�dy. Mén� intenzivní dešt� mohou vsáknout do p�dy tém�� úpln�, kdežto p�i velké intenzit� odtéká podstatná �ást dešt� po povrchu. Zna�ný vliv má tedy i po�áte�ní vlhkost p�dy. Zpo�átku nejvyšší infiltrace v �ase klesá. Postupn� se naplní všechny póry v zemin� a rychlost vsaku se ustálí na hodnot� hydraulické vodivosti v nasyceném prost�edí. Zmrznutí p�dy zamezí tak�ka úpln� vsakování i u p�d a hornin nejpropustn�jších, takže na zmrzlé p�d� je odtok vysoký a rychlý.

Zp�sob zem�d�lského obd�lávání m�že podstatn� ovlivnit zadržování vody na povrchu p�dy. Orba po svahu plošný povrchový odtok zrychluje, kdežto orba po vrstevnicích zadržuje spadlou vodu, dochází k postupnému vsakování a povrchový odtok je zpomalován. Zárove� je potla�ována eroze p�dy a splavováni p�dních �ástic.

Vzhledem k celkové složitosti p�sobení jsou rozdílné názory na vliv vegeta�ního pokryvu na odtok. P�da zakrytá vegetací je odoln�jší proti erozi, a proto je takový kryt vodohospodá�sky výhodný. Tráva zdrs�uje povrch, zmenšuje proto rychlost odtoku a zvyšuje vsakování. P�ijímá prosáklou vodu z p�dy pro transpiraci a vrací ji do ovzduší. Nejd�ležit�jším z vegeta�ních �initel� je les. Nesporný je vyrovnávací ú�inek lesního porostu na rozd�lení odtoku, zejména na sníženi velkých vod. Les poskytuje velmi d�ležitou ochranu p�dy p�ed p�dní erozí. P�íznivé ú�inky jsou však podmín�ny správnou skladbou a polohou lesa. Nejlépe p�sobí smíšený les, ve kterém je p�da chrán�na dobrým zápojem porostu a dostate�nou vrstvou humusu. Nejlepší vsakovací ú�inek má porost dubový a lipový, st�ední ú�inek mají mod�íny a b�ízy. Nejmén� vody zadržují z dlouhotrvajících srážek smrkové porosty. Lesní hrabanka a humus pohlcují deš�ovou vodu i tající sníh a chrání p�du


- 174 (188) -

p�ed promrzáním, takže zlepšují jímací schopnost p�dy pro vodu. Nejmén� vhodný ú�inek na odtok má jednotný les smrkový a v�bec jehli�natý, který zatím v našich krajinách p�evládá.

Lesy mají zaujímat nejvyšší polohu v povodí, to jest zónu tvorby povod�ových pr�tok�. Je to místo nejv�tších srážek a nejv�tšího sklonu, které pot�ebuje nejlepší ochranu proti erozi a nejlepší podmínky pro nejú�inn�jší vsáknutí vody deš�ové i zimní vláhy. Práv� v lesích se sníh nejrovnom�rn�ji rozprostírá a nejdéle se zde udržuje. Vzniklý proud podzemní vody zásobuje nižší polohy, rozhoj�uje prameny a vyrovnává pr�toky na tocích.

Vliv uspo�ádání �í�ní sít� se projevuje výrazn� za povodní. Nep�íznivé je, když doba postupu povod�ové vlny na hlavním toku a na p�ítocích je p�ibližn� stejná. Po soutoku se ob� povod�ové vlny st�etnou a vznikne podstatn� vyšší výsledná povod�ová vlna. K st�etnutí povod�ových vln dochází nap�. u v�jí�ovité �í�ní sít� (Mže, Úhlava, Úslava a Radbuza u Plzn�). U protáhlé stromovité �í�ní sít� takovéto nebezpe�í nehrozí.

Obr. 16.4 Srovnání vlivu stromovité a v�jí�ovité �í�ní sít� na pr�b�h odtoku

16.3 Maximální pr�toky

Jak plyne z p�edchozího textu, p�í�inou povod�ových pr�tok� na malých povodích jsou p�ívalové dešt�. Na velkých povodích jsou naopak p�í�inou povodní regionální dešt� a náhlé tání sn�hové pokrývky. V pr�b�hu povodn� probíhá v �í�ní síti výrazné neustálené proud�ní vody. V libovolném profilu na toku je možno znázornit pr�b�h povodn� hydrogramem povodn�, tj. zaznamenaným �asovým pr�b�hem povod�ového pr�toku.


- 175 (188) -

Obr. 16.5 Hydrogram povodn�

Ten se vyzna�uje vzestupnou v�tví, sestupnou v�tví, kulmina�ním pr�tokem Qmax, objemem povodn� W a povod�ové vlny WPV a tvarem hydrogramu. Objem povodn� je roven objemu vody (plocha hydrogramu) nad zvoleným pr�tokem. Pokud není pr�tok zadán, implicitn� se rozumí hodnota dlouhodobého pr�m�rného pr�toku Qa. Objemem povod�ové vlny se rozumí veškerý objem proteklé vody mezi po�átkem a koncem povodn�. Po�átek a konec musí být zadán. Pokud tomu tak není, rozumí se t�mito body pr�se�ík Qa se vzestupnou a sestupnou v�tví hydrogramu.

P�edevším kulmina�ní pr�tok rozhoduje v �í�ní síti o škodách, které za povodní vznikají, ale také o dimenzování vodohospodá�ských, dopravních a jiných staveb na tocích. Správné ur�ení maximálního pr�toku má zajistit následnou bezpe�nost stavby. Má však zárove� zabránit nehospodárnému p�edimenzování.

Povodn� se klasifikují podle pravd�podobnosti p�ekro�ení kulmina�ních pr�tok� p, resp. pravd�podobnosti p�ekro�ení objem� povodní. Nebo se využívá pr�m�rná doba opakování kulmina�ních pr�tok� N, resp. pr�m�rná doba opakování objem� povodní. Mluvíme potom o N-leté vod� QN : l-leté, 2-leté, 5-leté nebo 100-leté, u níž p�edpokládáme, že je to hodnota pr�toku (hladina pr�toku), která je v dlouhodobém pr�m�ru 1x za N let dosažena nebo p�ekro�ena. Nap�. Q100 je pr�tok, který je dosažen nebo p�ekro�en v pr�m�ru 1-krát za 100 rok�. Tento pr�tok nap�. m�že nastat nebo být p�ekro�en 3 krát v jednom roce. Pak však 299 rok� musí být v daném profilu pr�toky nižší !!!! Analogicky je tomu u objem� povodní. Pravd�podobnosti p�ekro�ení kulmina�ních pr�tok� a pr�m�rné doby opakování se stanovují pomocí metod teorie pravd�podobnosti. Podkladem jsou soubory nam��ených kulmina�ních pr�tok�, resp. objem� povodní.

Povod�ová vlna je výsledkem složitého srážkoodtokového procesu v povodí. Po�átek vzestupné v�tve hydrogramu odtoku je p�itom oproti srážce vždy �asov� opožd�n. Do uzáv�rového profilu se dostane voda nejprve z nejbližšího okolí, postupn� tam však dospívá i voda vzdálen�jší, takže pr�tok stoupá tak dlouho, až k pr��ezu dosp�je voda z hydraulicky nejvzdálen�jšího místa povodí. Tuto dobu, jež vyplývá z rychlosti toku vody na povrchu povodí a v �í�ní síti, nazýváme kritickou dobou, nebo-li dobou koncentrace. Tato doba závisí na geografických �initelích povodí.


- 176 (188) -

P�i ur�ení návrhového pr�toku QN v ur�itém profilu na toku, je rozhodující, zda se jedná o m�rný vodo�etný profil, ve kterém se dlouhodob� m��í vodní stavy a potažmo pr�toky. Nebo zda se jedná o profil, ve kterém m��ení v uplynulém období nebylo provád�no. První p�ípad se týká velkých povodí, ve kterých je dostate�ný profil m�rných profil�. Zde se návrhové pr�toky stanovují z nam��ených soubor� pomocí metod matematické statistiky a teorie pravd�podobnosti. Druhý p�ípad se týká malých povodí. Zde se návrhové pr�toky odhadují p�evážn� pomocí srážkoodtokových vztah� (vzorce), protože srážky se dlouhodob� plošn� m��í na území celé republiky (�eský hydrometeorologický ústav), a tudíž lze podklady o srážkách vždy získat. P�ípadn� je možno využít metod analogie, tj. p�evzít údaje z co možná nejblíže situovaného jiného povodí s obdobnými geografickými �initeli, ve kterém jsou hledaná data k dispozici.

P�i ur�ení návrhového pr�toku QN z nam��ených dat se v naší b�žné hydrologické praxi postupuje následujícím zp�sobem. Z nam��ených dat se každý rok vybere jeden nejv�tší pr�tok. Z toho plyne, že pokud máme nap�. 80 let pozorování pr�tok�, budeme mít v souboru 80 prvk�. Pro tato data se sestrojí empirická �ára p�ekro�ení. Obvykle se získá set�íd�ním n prvk� v souboru podle velikosti od maximálního po minimální. Žádný se nesmí vynechat. Pokud má více prvk� v souboru stejnou hodnotu, opíše se dle po�tu takovýchto prvk� p�íslušná hodnota vícekrát. Ke každé hodnot� set�íd�ných pr�tok� se vypo�te p�íslušná pravd�podobnost p�ekro�ení podle po�adí v set�íd�ném souboru. První nejv�tší má po�adí 1, poslední nejmenší má po�adí n. Pravd�podobnost p�ekro�ení se ke každému prvku po�ítá dle �egodajeva:

4,03,0

−+

=ni

pi , (16.2)

kde i je po�adí prvku a n po�et všech prvk�. Konstanty 0,3 a 0,4 opravují v tomto vztahu pr�b�h vypo�tené pravd�podobnosti z d�vodu, že pracujeme s krátkým souborem. P�íslušné odpovídající hodnoty pr�toku a vypo�tené hodnoty pravd�podobnosti p�ekro�ení jsou sou�adnice bod� v pravoúhlém sou�adnicovém systému Q, p. Jejich vynesením a proložením "od oka" získáme empirickou �áru p�ekro�ení kulmina�ních pr�tok�.

Obr. 16.6 Empirická a teoretická �ára p�ekro�ení povod�ových pr�tok�


- 177 (188) -

Tab. 16.1 Φi(pi,Cs) Foster-Rybkin Cs 0,1 1 5 10 20 50 80 90 95 99 99,9 100 0,0 3,09 2,33 1,64 1,28 0,84 0,00 -0,84 -1,28 -1,64 -2,33 -3,09 0,1 3,23 2,40 1,67 1,29 0,84 -0,02 -0,85 -1,27 -1,61 -2,25 -2,95 -20,00 0,2 3,38 2,47 1,70 1,30 0,83 -0,03 -0,85 -1,26 -1,58 -2,18 -2,81 -10,00 0,3 3,52 2,54 1,72 1,31 0,82 -0,05 -0,85 -1,24 -1,55 -2,10 -2,67 -6,67 0,4 3,66 2,61 1,75 1,32 0,82 -0,07 -0,85 -1,23 -1,52 -2,03 -2,54 -5,00 0,5 3,81 2,68 1,77 1,32 0,81 -0,08 -0,85 -1,22 -1,49 -1,96 -2,40 -4,00 0,6 3,96 2,75 1,80 1,33 0,80 -0,10 -0,85 -1,20 -1,45 -1,88 -2,27 -3,33 0,7 4,20 2,82 1,82 1,33 0,79 -0,12 -0,85 -1,18 -1,42 -1,81 -2,14 -2,86 0,8 4,24 2,89 1,84 1,34 0,78 -0,13 -0,86 -1,17 -1,38 -1,74 -2,02 -2,50 0,9 4,38 2,96 1,86 1,34 0,77 -0,15 -0,85 -1,15 -1,35 -1,66 -1,90 -2,22 1,0 4,53 3,02 1,88 1,34 0,76 -0,16 -0,85 -1,13 -1,32 -1,32 -1,79 -2,00 1,1 4,67 3,09 1,89 1,34 0,74 -0,18 -0,85 -1,10 -1,28 -1,52 -1,68 -1,82 1,2 4,81 3,15 1,92 1,34 0,73 -0,19 -0,84 -1,08 -1,24 -1,45 -1,58 -1,67 1,3 4,95 3,21 1,94 1,34 0,72 -0,21 -0,84 -1,06 -1,20 -1,38 -1,48 -1,54 1,4 5,09 3,27 1,95 1,34 0,71 -0,22 -0,83 -1,04 -1,17 -1,32 -1,39 -1,43 1,5 5,28 3,33 1,96 1,33 0,69 -0,24 -0,82 -1,02 -1,13 -1,26 -1,31 -1,33 1,6 5,37 3,39 1,97 1,33 0,68 -0,25 -0,81 -0,99 -1,10 -1,20 -1,24 -1,25 1,7 5,50 3,34 1,98 1,32 0,66 -0,27 -0,81 -0,97 -1,06 -1,14 -1,17 -1,18 1,8 5,64 3,50 1,99 1,32 0,64 -0,28 -0,80 -0,94 -1,02 -1,09 -1,11 -1,11 1,9 5,77 3,55 2,00 1,31 0,63 -0,29 -0,79 -0,92 -0,98 -1,04 -1,05 -1,05 2,0 5,91 3,60 2,00 1,30 0,61 -0,31 -0,78 -0,90 -0,95 -0,99 -1,00 -1,00 2,1 6,04 3,65 2,01 1,29 0,59 -0,32 -0,76 -0,866 -0,914 -0,915 -0,952 -0,952 2,2 6,14 3,68 2,02 1,27 0,57 -0,33 -0,75 -0,842 -0,882 -0,905 -0,910 -0,910 2,3 6,26 3,73 2,01 1,26 0,55 -0,34 -0,74 -0,815 -0,850 -0,867 -0,870 -0,870 2,4 6,37 3,78 2,00 1,25 0,52 -0,35 -0,72 -0,792 -0,820 -0,830 -0,833 -0,833 2,5 6,50 3,82 2,00 1,23 0,50 -0,36 -0,71 -0,768 -0,790 -0,800 -0,800 -0,800 2,6 6,54 3,86 2,00 1,21 0,48 -0,37 -0,70 -0,746 -0,764 -0,770 -0,770 -0,770 2,7 6,57 3,92 2,00 1,19 0,46 -0,38 -0,68 -0,724 -0,736 -0,740 -0,740 -0,740 2,8 6,86 3,96 2,00 1,18 0,44 -0,39 -0,67 -0,703 -0,711 -0,715 -0,715 -0,715 2,9 7,00 4,01 1,99 1,15 0,41 -0,39 -0,65 -0,681 -0,689 -0,690 -0,690 -0,690 3,0 7,10 4,05 1,97 1,13 0,39 -0,40 -0,64 -0,661 -0,665 -0,666 -0,667 -0,667 3,1 7,23 4,09 1,97 1,41 0,37 -0,40 -0,62 -0,641 -0,645 -0,646 -0,646 -0,646 3,2 7,35 4,11 1,96 1,09 0,35 -0,41 -0,06 -0,621 -0,625 -0,625 -0,625 -0,625 3,3 7,44 4,15 1,95 1,08 0,33 -0,41 -0,59 -0,605 -0,606 -0,606 -0,607 -0,607 3,4 7,54 4,18 1,94 1,06 0,31 -0,41 -0,58 -0,586 -0,587 -0,588 -0,588 -0,588 3,5 7,64 4,21 1,93 1,04 0,29 -0,41 -0,56 -0,570 -0,571 -0,571 -0,572 -0,572 3,6 7,72 4,24 1,93 1,03 0,28 -0,42 -0,55 -0,555 -0,556 -0,556 -0,556 -0,556 3,7 7,86 4,26 1,91 1,01 0,26 -0,42 -0,54 -0,541 -0,541 -0,541 -0,541 -0,541 3,8 7,97 4,29 1,90 1,00 0,24 -0,42 -0,52 -0,526 -0,526 -0,526 -0,527 -0,527 3,9 8,08 4,32 1,90 0,98 0,23 -0,41 -0,51 -0,513 -0,513 -0,513 -0,513 -0,513

Je z�ejmé, že proložení takovéto k�ivky je zejména v koncových �ástech zna�n� zatíženo subjektem. Proto se množinou bod� prokládá teoretická �ára p�ekro�ení. M�že být r�zného typu. Velmi flexibilní je teoretické rozd�lení Pearson III. Pravd�podobnostní funkce popisující hustotu pravd�podobnosti tohoto rozd�lení je t�íparametrická. Parametry jsou st�ední hodnota µx, sm�rodatná odchylka σx (koeficient variace Cv,x) a koeficient asymetrie Cs,x. Krom� toho se jedná o funkci transcendentní, to znamená, že z ní není možno analyticky vypo�ítat hodnotu ur�itého integrálu (napsat rovnici distribu�ní funkce, resp. pravd�podobnosti p�ekro�ení). Tento problém se �eší numerickou integrací. Její pomocí sestavili Foster a Rybkin obecné tabulky, umož�ující p�i znalosti uvedených t�í parametr� p�ímo vypo�ítat po�adnice teoretické �áry p�ekro�ení. P�íslušné hodnoty jsou sestaveny v Tab. 16.1.


- 178 (188) -

Vodorovn� jsou uvedeny p�edem zvolené pravd�podobnosti p�ekro�ení. Svisle se vybere �ádek s p�íslušným koeficientem asymetrie a ke každé hodnot� pravd�podobnosti p�ekro�ení pi se ode�te p�íslušná pomocná veli�ina Φi(pi,Cs). Z transforma�ního vztahu:

( )1, +Φ= ixvxi Cx µ . (16.3)

pak ke každé hodnot� Φi p�i�adíme odpovídající hodnotu xi. V našem p�ípad� nahradíme xi hodnotou Qi. Odpovídající body (Qi,pi) pak vyneseme do sou�adnicového systému, ve kterém jsme již vykreslili empirickou �áru p�ekro�ení kulmina�ních pr�tok�. Vizuáln� posoudíme shodu empirické a teoretické �áry p�ekro�ení. Pokud je shoda dobrá, byla volba typu teoretického rozd�lení vyhovující. Pokud ne, musíme zvolit jiný typ rozd�lení. Vztah mezi pravdepodobností p�ekro�ení p, periodicitou p´ a pr�m�rnou dobou opakování N je dán empirickým exponenciálním vztahem:

Np eep1

11−′− −=−= (16.4)

Orienta�n� pak je uvedena závislost mezi t�mito veli�inami v Tab. 16.2.

Tab. 16.2 Závislost mezi p, p´ a N p 0,01 0,02 0,05 0,10 0,18 0,39 0,63

p´ 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00 N 100 50 20 10 5 2 1

Z tabulky je z�ejmé, že pro malé hodnoty p platí, že p ≅ p´. Pro dané hodnoty pr�m�rné doby opakování N je nyní možno dle (16.4) vypo�ítat odpovídající p a z Obr. 16.6 ode�íst odpovídající návrhový pr�tok QN.

Pom�rn� �astou úlohou bývá zjistit návrhové pr�toky QN na tocích, kde nejsou p�ímá pozorování. To se týká hlavn� malých povodí. Jedná se o velmi složitou úlohu, která není dosud spolehliv� do�ešena. Používají se r�zné vzorce, kterých je pom�rn� zna�né množství. Z nich se zmíníme o intenzitním vzorci, který se využívá pro velmi malá povodí, zejména urbanizovaná p�i návrhu stokových sítí, plošn� nep�esahující n�kolik hektar�. Návrhový pr�tok se vypo�te dle vztahu:

QN = iN Sp ϕ, (16.5) kde iN je návrhová intenzita kritického dešt� (doba trvání je rovna dob� koncentrace) s daným opakováním (periodicitou) a ode�ítá se z Truplových graf�, Sp je plocha povodí a ϕ je sou�initel odtoku v Tab. 16.3. Ve stokování se b�žn� považuje za kritickou dobu trvání dešt� 15 minut.

Dobu koncentrace τk je možno odhadnout jako (mapové podklady):

sk v

L=τ , (16.6)

kde L ke délka údolnice a vs je st�ední doba dob�hu dle �erkašina.


- 179 (188) -

Tab. 16.3 Sou�initelé odtok� ϕ Konfigurace území

�íslo Zp�sob zastav�ní a druh pozemku, p�íp. druh úpravy povrchu do 1% 1-5% nad

5%

I Zastav�né plochy ( st�echy) 0,90 0,90 0,90 II Asfaltové a betonové vozovky, dlažby se zálivkou 0,70 0,80 0,90 III Oby�ejné dlažby (pískové spáry) 0,50 0,60 0,70 IV Št�rkové silnice, dlažba ze št�tového kamene 0,30 0,40 0,50 V Nezastav�né plochy 0,20 0,25 0,30 VI H�bitovy, sady, h�išt� 0,10 0,15 0,20 VII zelené pásy, pole, louky 0,05 0,10 0,15 VIII Lesy 0,00 0,05 0,10

Poznámka: V tabulce uvedení odtokoví sou�initelé mají platnost pro p�du st�ední propustnosti. U propustné p�dy (písek) se zmenšuje o 10%, p�i nepropustné (jíl, skála) se zvyšuje o 10%.

Obr. 16.7 Závislost st�ední doby dob�hu vs na sklonu údolnice a zalesn�ní

povodí

�asto se pro stanovení návrhového pr�toku používají i exponenciální vzorce, které vycházejí z p�edpokladu, že specifický odtok q100 je nep�ímo úm�rný ploše povodí. Obecn� pak platí:

npS

Aq =100 , (16.7)

kde A a n jsou hodnoty, které platí pro ur�ité povodí, pro návrhový pr�tok Q100 lze psát:

1100 −==np

pnp S

AS

SA

Q . (16.8)

Pokud je t�eba p�epo�ítat vypo�tené Q100 na jiný návrhový pr�tok QN, používá se vztah:

QN = Q100 αN, (16.9) kde αN se ur�í z tabulek Bratránka, resp. Duba v závislosti na geografických �initelích povodí.


- 180 (188) -

16.4 Minimální pr�toky

Setrvalé nízké a minimální pr�toky (malé vody) v tocích jsou hospodá�sky d�ležité, protože omezují využití vody pro zásobování pr�myslu i obyvatelstva, pro ú�ely energetické, závlahy a další. Projevuje se v nich také v nejv�tší mí�e zne�išt�ní tok�, které se stává stále závažn�jší otázkou našeho (i sv�tového) vodního hospodá�ství. Nejmenší pr�toky vznikají v období, kdy na delší dobu p�estává povrchový odtok, takže zásoby podzemní vody jsou zna�n� vy�erpány. Na horských tocích je to u nás na konci zimního období, kdy srážky z�stávají ležet v povodí ve form� sn�hu, nej�ast�ji v únoru. Na nížinných tocích se projevují koncem suchého léta nebo na podzim, kdy bývají delší období beze srážek a kdy se menší srážka za pom�rn� vysokých teplot zcela vypa�í.

Jako absolutní minimum Qabs min ozna�ujeme okamžitý nejmenší pr�tok, pozorovaný v daném m�rném profilu v dlouholetém období. Jinak popisujeme všechny typické malé pr�toky pomocí pr�m�rných denních pr�tok�. Analogií N-letých maximálních pr�tok� QN jsou u malých vod N-leté minimální pr�toky. Zna�í se QN,min a udávají hodnotu (hladinu) pr�toku, která je v dlouhodobém pr�m�ru dosažena nebo nedostoupena jedenkrát za N rok�. Ode�ítají se tedy z �áry nedostoupení (distribu�ní k�ivka) a do souboru pro zpracování se každý rok op�t vybírá nejmenší pr�m�rný denní pr�tok. Malé vody se popisují rovn�ž pomocí m-denních vod. Ty se zna�í Qm,d a udávají hodnotu (hladinu) pr�toku, která je dosažena nebo p�ekro�ena v dlouhodobém pr�m�ru po m dn� v roce. Do souboru pro zpracování se tentokrát zahrnují všechny pr�m�rné denní pr�toky za celé pozorované období. Sestrojí se z nich d�íve popsaným zp�sobem �ára p�ekro�ení a ta se vyhladí teoretickou k�ivkou. Pravd�podobnostní osa se na záv�r nahradí �asovou osou. Pravd�podobnosti rovné 1 odpovídá 365. den v roce. Nule odpovídá nula a mezi nulou a 365 je m��ítko lineární. �áru p�ekro�ení vynesenou v relativních po�adnicích jsme tak nahradili �arou p�ekro�ení vynesenou v absolutních po�adnicích. Pro zvolený pr�tok z ní snadno ode�teme po kolik dnu v roce je tento pr�tok dosažen nebo p�ekro�en.

V profilech, kde není k dispozici m��ení, snahy o použití empirických vzorc� pro odhad minimálních návrhových pr�tok� p�evážn� selhaly. V tomto p�ípad� se doporu�uje užívat metod analogie.

16.5 Zimní režim tok� a ledové jevy

Za zimního období, když teploty ovzduší klesnou pod bod mrazu, za�ne se na tocích v naší zem�pisné ší�ce tvo�it led. Na stojatých vodách se ochladí stykem se vzduchem tenká povrchová vrstva vody na 0 °C a vytvo�í se tenké ledové plošky, které se spojí v tenkou ledovou vrstvu a ta se zesiluje podle velikosti mrazu a po�tu dn� s nízkou teplotou. Na velkých jezerech trvá zamrzání dlouho, nebo� je rušeno vln�ním. Tlouš�ka ledu se zpo�átku rychle zv�tšuje, pak se však r�st zvol�uje, pon�vadž led tepeln� izoluje. Vrstva ledu dosahuje tlouš�ky 60 až 80 cm i více.

Na tocích je v proudu vznik ledu složit�jší. Nejprve zamrzají tenkým ledem tišiny a okraje �ek a objevuje se drobný krupi�kovitý vnit�ní neboli dnový led,


- 181 (188) -

který se vznáší ve vod� nebo p�ilne v chuchvalcích ke dnu. Tento led vzniká z p�echlazení vody na hladin� a turbulencí proudu se p�emis�uje. Podmínkou je ochlazení celé masy vody. Na hladin� ze shluku ledových krystalk� vznikají malé ledové kry. Jejich spojováním s dnovým ledem, který se vztlakem odtrhuje od dna, vznikne ledová t�íš�, která pluje po vod�. Kry se zcelují, za mrazu rostou a led se m�ní v hutný, celistvý ledový kryt. Zamrznutí hladiny m�že být celkové nebo �áste�né. Dnový led se hromadí pod ledovým krytem a �asto zaujímá velkou �ást pr�to�ného pr��ezu, hromadí se v p�ívodech k elektrárnám a zacpává vtoky s �eslemi. Ledovým krytem se zv�tšují odpory t�ením v pr��ezu, takže pr�to�nost se zmenšuje. To je t�eba vzít v úvahu p�i vy�íslování pr�tok� z vodních stav� m�rnou k�ivkou. Zvlášt� proto, že prom�nlivé nahromad�ní dnového ledu ješt� m�že ucpat �ást pr�to�ného pr��ezu. Led se na našich tocích vyskytuje obvykle v lednu a únoru, ve vyšších polohách od listopadu do b�ezna. P�i oteplení je r�st ledu zastaven a pak zapo�ne jeho odtávání.

P�i oblev� se zv�tšuje pr�tok, kapacita koryta pod ledem nesta�í. Ledový kryt, se nadzvedne a rozláme. Kry se dají do pohybu a nastává chod ledu neboli d�enice. V n�kterých místech se mohou kry zastavit, hromadí se, navrší se na sebe a tlakem vody se stla�ují tak, až ucpou koryto - nastává ledová zácpa. Stává se to v ostrých zákrutech koryta, na konci vzdutí jezu, p�i náhlém zmenšení sklonu nebo u místních p�ekážek proudu (pilí�e most� atd.). Za ledovou zácpou se vzdouvá voda a vznikají tím povodn�, které �asto p�evýší úrove� nejv�tších známých deš�ových povodní. Proti ledovým zácpám se lze bránit p�edevším odstra�ováním p�ekážek v koryt�, hlavn� ostrých zákrut� a m�lkých brod�. N�kdy se musí k odstran�ní ledové p�epážky užít trhavin. Nejt�žší je chod led� tehdy, zamrzne-li �eka p�i nízkém vodním stavu. Velké vodní nádrže m�ní ledové pom�ry na tocích, protože vypoušt�ní teplé vody z dolní �ásti nádrže brání tvo�ení ledu.

Kontrolní otázky - Definujte N-letý a m-denní pr�tok. - Zapište intenzivní vzorec, co je to sou�initel odtoku ϕ?

17 Vodní nádrže Pokud v povodí existují vodní nádrže, je vodní režim tok�, které protékají t�mito nádržemi sm�rem po toku ovlivn�n. K tomuto ovlivn�ní dochází a� již jde o nádrže p�irozené (jezera), nebo um�lé (rybníky, údolní p�ehrady). Ú�el budování vodních nádrží je obvykle mnohostranný. Vodní nádrže plní �adu ú�el�: zásobování obyvatelstva a pr�myslu vodou, ochrana území pod nádržemi p�ed povodn�mi, využití vodní energie, vyrovnávání pr�tok� v toku pod nádrží, získání vody pro závlahy, plavba, rekreace a vodní sporty, chov ryb a vodní dr�beže apod. Pokud nádrž plní více ú�el� soub�žn�, mluvíme o víceú�elové vodní nádrži. To je typické zejména pro velké údolní vodní nádrže.

Okamžitý vztah mezi p�ítokem vody do nádrže Q(t), odtokem vody z nádrže O(V(t)) a objemem vody v nádrži V(t) popisuje tzv. základní rovnice nádrže. Lze ji odvodit podle Obr. 17.1.


- 182 (188) -

Obr. 17.1 �asový pr�b�h p�ítoku a odtoku vody z nádrže

Za nekone�n� malý �asový krok dt se objem vody v nádrži (pln�ní) zm�ní o:

dV = [Q(t) - O(V(t))] dt . (17.1) Odtud plyne:

tV

dd = Q(t) - O(V(t)). (17.2)

Rovnice (17.2) je základní diferenciální rovnicí prvního �ádu. Napsaný vztah plyne ze zákona zachování hmotnosti a protože považujeme vodu za velmi málo stla�itelnou, potažmo ze zákona zachování objem�, je vlastn� rovnicí kontinuity napsanou pro nádrže. Odtok vody z nádrže p�i nastavených polohách regula�ních uzáv�r� (ur�ují dynamické vlastnosti) jednozna�n� závisí na pln�ní nádrže. Proto je v uvedených vztazích odtok funkcí objemu v �ase t. Rovnici (17.2) je možno psát rovn�ž ve tvaru diferen�ním. �asto nás nutí k tomuto zápisu popis p�ítoku vody do nádrže, to jest hydrologický popis kapacity vodního zdroje, který není možno analyticky zapsat a je k dispozici pouze ve form� pr�tokové �ady jejíž �leny jsou na kone�n� velkém �asovém kroku ∆t konstantní. Jedná se o �adu pr�m�rných hodinových pr�tok�, pr�m�rných denních pr�tok�, pr�m�rných m�sí�ních pr�tok� apod. Základní rovnici nádrže je možno psát též ve tvaru integrálním, resp. sou�tovém. V tomto p�ípad� nám vyjad�uje, jak se p�i zadaném po�áte�ním objemu vody v nádrži a p�i daném p�ítoku a odtoku vody z nádrže zm�ní za ur�ité období její pln�ní.

Základní funkcí nádrže je tedy �asová redistribuce pr�toku. Nádrž je schopna jímat nadbyte�ný pr�tok vody v toku a shromažovat jej pro pozd�jší využití, což se projevuje jejím pln�ním. V málovodém období je naopak schopna nalepšovat malé pr�toky vody v toku, což se projeví jejím prázdn�ním. Analogicky p�i pr�chodu povodn� se v nádrži hromadí nadbyte�né množství vody, což p�ispívá ke snížení pr�tok� vody v toku. Tato voda se pak bezpe�n� z nádrže vypouští až po skon�ení povod�ových pr�tok�.

Morfologie údolí každé nádrže je popsána charakteristikami nádrže (batygrafickými k�ivkami). Jsou to �ára zatopených ploch A(H) a �ára zatopených objem� V(H). Udávají závislost mezi nadmo�skou výškou vodní hladiny H a její plochou A a mezi nadmo�skou výškou vodní hladiny H a p�íslušným pln�ním nádrže V. �ára zatopených ploch se ur�uje p�evážn� z vrstevnicového plánu. �ára zatopených objem� se odvozuje z �áry zatopených ploch.

Vodní nádrže

- 183 (188) -

Obr. 17.2 Batygrafické k�ivky

Pro pln�ní t�chto a dalších ú�el� jsou v nádržích vymezeny tzv. funk�ní prostory. Typické uspo�ádání funk�ních prostor� v údolní nádrži je znázorn�no na Obr. 17.3.

Obr. 17.3 Funk�ní prostory v nádrži

V nejnižší �ásti nádrže se nachází prostor stálého nadržení As, má objem Vs a hladinu MS. Tento prostor se b�žn� nevyužívá a voda v n�m, i když má nejnižší kvalitu, slouží jako tzv. "železná rezerva". Jeho sou�ástí je mrtvý prostor Am (ostatní ozna�ení je analogické ). Ten leží pod úrovní spodních výpustí a nelze jej vyprázdnit gravita�n�.

Nad prostorem stálého nadržení leží velmi d�ležitý zásobní prostor Az. Ten slouží k zásobení p�evážn� obyvatelstva, pr�myslu a zem�d�lství vodou. Využívá se rovn�ž hydroenergeticky.

Nad prostorem stálého nadržení leží prostory ochranné. To jest reten�ní prostor ovladatelný ARO (pro manipulaci s odtokem vyžaduje p�ítomnost obsluhy). A reten�ní prostor neovladatelný ARN, který leží nad korunou pevného bezpe�nostního p�elivu. Odtok z n�j probíhá automaticky. Ne všechny prostory musí v takovéto nádrži existovat. Zejména reten�ní prostor ovladatelný m�že absentovat.

Odtok vody z nádrže je p�evážn� �ízen, což vyžaduje p�ítomnost lidské obsluhy. Pouze u malých vodních nádrží - zejména rybník�, které plní jiné ú�ely, není trvalá p�ítomnost obsluhy vyžadována. Takovéto nádrže jsou chrán�ny proti p�elití pouze bezpe�nostním p�elivem. Transforma�ní ú�inek povod�ového pr�toku reten�ním prostorem neovladatelným je patrný z Obr. 17.4.


- 184 (188) -

Obr. 17.4 Transformace povodn� reten�ním prostorem neovladatelným

Dochází p�i n�m ke snížení kulmina�ního odtoku z nádrže Omax. Tato kulminace vždy leží na sestupné v�tvi hydrogramu p�ítoku Q(t) (je dosaženo maximálního pln�ní nádrže) rovn�ž dochází k celkovému zplošt�ní povodn�. Po dosažení kulminace je odtok z nádrže vyšší než p�ítok a reten�ní prostor neovladatelný se postupn� prázdní.

Zplošt�ní povod�ové vlny zp�sobí i rozlití do inundací toku, které zadržují vodu obdobn� jako velká ochranná nádrž. K vodním nádržím pat�í jak bylo uvedeno i rybníky. Jejich množství bylo v našich zemích ve feudálním období zna�né. Pozd�ji se hodn� rybník� z r�zných d�vod� zrušilo. P�esto však (nap�. na Lužnici) výrazn� ovliv�ují a vyrovnávají pr�toky. Význam rybník� tkví krom� chovu ryb ve zvlh�ování okolního ovzduší, zvyšování množství podzemní vody a rovn�ž tvo�í ur�itou zásobu vody pro místní pot�eby uživatel�.

Kontrolní otázky - Zapište základní rovnici nádrže. - Definujte funk�ní prostory nádrže.

18 Záv�r 18.1 Shrnutí Ve studijním textu „Hydraulika a hydrologie“, který je studijní oporou stejnojmenného p�edm�tu, jsou uvedeny základy hydrauliky a hydrologie. A to hydrostatika, hydrodynamika, výtok kapaliny otvorem, p�epady, ustálené tlakové proud�ní vody v potrubí, ustálené proud�ní vody v otev�ených korytech, vodní skok, propustky a mosty, proud�ní podzemní vody, hydrologie, srážky, �í�ní sí�, vodní nádrže.

19 Studijní prameny 19.1 Seznam použité literatury Boor, B., Kunštátský, J., Pato�ka, C. Hydraulika pro vodohospodá�ské stavby.

Praha:SNTL/ALFA. 1968. 520 stran. Hálek, V., Švec, J. Hydraulika podzemní vody. Praha:Academia. 1973. 376 stran.

Autotest

- 185 (188) -

Jandora, J., Stara, V., Starý, M. Hydraulika a hydrologie. Brno: Akademické nakladatelství CERM. 2002. ISBN 80-214-2204-1.

Jandora, J., Uhmannová, H. Základy hydrauliky a hydrologie – P�íklady. Brno:Akademické nakladatelství CERM. 1999. ISBN 80-214-1160-0.

Kunštátský, J., Pato�ka, C. Základy hydrauliky a hydrologie. Praha:SNTL/ALFA. 1966. 250 stran.

19.2 Seznam doplkové studijní literatury

Fletcher, C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics (Volume I and II). Berlin. Springer-Verlag. 1991.

Havlík, V., Marešová, I. Hydraulika I, P�íklady. Praha:�VUT. 1994. 243 stran. ISBN 80-01-01162-3.

Havlík, V., Marešová, I. Hydraulika II, P�íklady. Praha:�VUT. 1995. 245 stran. ISBN 80-01-01384-7.

Kemel, M. Klimatologie, meteorologie, hydrologie. Praha:ES �VUT. 1996. Kratochvíl, J. a kol. Hydraulika. Brno:VUT v Brn�. 1991. 148 stran. Mässiar, E., Kamenský, J. Hydraulika pre stavebných inžinierov I - Objekty

a potrubia. Bratislava:ALFA. 1986. 344 stran. Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H. Fundamentals of fluid mechanics.

New York:John Wiley & Sons, Inc.. 1998. 877 stran. ISBN 0-471-355023-X �íha, J. a kol. Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jev�.

Brno:VUT v Brn�. 1997. 185 stran. ISBN 80-214-0827-8. Sommer, M. Hydrologie. Praha:SNTL. 1985. Starý, M., Kožnárek, Z., Soukalová, E. Hydrologie. Návody do cvi�ení.

Brno:ES VUT. 1989. Starý, M. Nádrže a vodohospodá�ské soustavy. Brno:ES VUT. 1991.

20 Autotest 1. Ur�ete hydrostatický tlak na hydrant umíst�ný v bazénu v hloubce

h = 10,0 m. V bazénu je voda (ρ = 1000 kg/m3). 2. Do sklen�né U-trubice o plošném obsahu A = 2 cm2 (Obr. 20.1) byla nalita

rtu� (ρHg =13 550 kg/m3). Jak se zm�ní poloha hladiny, p�ileje-li se mv = 50 g vody (ρv = 1000 kg/m3)? Na oba konce trubice p�sobí stejný tlak pa.

pa

pa

ρHg

vρ

Hg

h

vh

A B

Obr. 20.1 U-trubice Obr. 20.2 St�na nádrže


- 186 (188) -

3. Ur�ete velikost hydrostatické síly F, kterou p�sobí voda na 1m' b�žný st�ny nádrží podle Obr. 20.2. Dáno: h1 = 6,0 m, h2 = r = 2,0 m. V obou zdržích je voda.

4. Do vodovodního potrubí byl v�azen venturimetr (Obr. 20.3). Vypo�ítejte rychlosti v1, v2 a pr�tok Q vody, je-li D1 = 100 mm, D2 = 50 mm, rozdíl tlak� H = 80 mm, α = 1 a h1 = h2. Ztráty zanedbejte.

gp

ρ1

gp

ρ2

Obr. 20.3 Venturimetr

5. Ve svislé st�n� vodojemu je �tvercový otvor s délkou strany a = 0,5 m. Jeho horní okraj je 75 cm pod hladinou. Vypo�t�te výtok tímto otvorem a navrhn�te pr�m�r kruhového otvoru tak, aby hloubky t�žiš� byly stejn� hluboko pod hladinou a aby pr�tok byl v obou p�ípadech stejný (v0 = 0 m/s, µ = 0,65).

6. P�es obdélníkový p�eliv tlouš�ky t = 2 m, v lichob�žníkovém koryt� se sklony svah� 1:1 a se ší�kou ve dn� bL = 25 m má p�epadat pr�tok Q = 45 m3/s (Obr. 20.4). P�epadová výška je h = 1,2 m. Koruna p�elivu je 0,8 m nade dnem p�ítokového koryta (s1 = 0,8 m) a 1,2 m nade dnem odpadního koryta (s = 1,2 m). P�ívodní koryto je plynule napojeno na svislé b�ehové pilí�e p�elivu. P�epad je dokonalý (hd = 0,75 m). Úkolem je stanovit pot�ebnou ší�ku p�elivu b (α = 1).

Obr. 20.4 Plynulé navázání jezu na b�ehy koryta

Autotest

- 187 (188) -

7. Jaké budou ztráty ve vodovodním potrubí (n = 0,012) o pr�m�ru D = 300 mm a délky L = 500 m p�i pr�toku Q = 0,060 m3/s?

8. Ur�ete pr�tok vody, který protéká hloubkou h = 1,2 m v obdélníkovém betonovém koryt� (n = 0,014) se ší�kou ve dn� b = 7,0 m a sklonem dna i = 0,001.

Obr. 20.5 Obdélníkové koryto

9. Do obdélníkového žlabu ší�ky b = 1,2 m se napouští stavítkem voda (Obr. 20.6). P�i pr�toku Q = 1,2 m3/s se vytvo�í za stavítkem p�i dn� hloubka hc = 0,2 m. Zjist�te jaký vodní skok se ve žlabu vytvo�í, jestliže žlabem odtéká voda p�i daném pr�toku rovnom�rn� hloubkou hd = 0,6 m (α = β = 1).

Obr. 20.6 Stavítko

21 Klí� 1. ph = 98,10 kPa (rovnice (3.7). 2. hHg = 0,018 m (nejprve se ur�í hv= 0,25 m, a to z hmotnosti vody, hustoty

vody a plošného obsahu U-trubice, a dále pak se ur�í hHg z podmínky rovnováhy na rov�ové ploše A-B).

3. F = 179,41 kN; Fh = 156,960 kN; Fv = 86,90 kN (použijí se zat�žovací obrazce (Obr. 3.11) a rovnice (3.20)).

4. v1 = 0,323 m/s; v2 = 1,294 m/s; Q = 2,541 10-3 m3/s (zapíše se Bernoulliho rovnice (4.23) pro profily 1 a 2 a dále se použije rovnice kontinuity (4.11) op�t zapsaná pro profily 1 a 2, podrobn� je postup rozebrán v odstavci 4.2.2).

5. Q = 0,718 m3/s; hT = 1,00 m; D = 0,564 m (pro výtok obdélníkovým otvorem platí (5.11) a pro výtok kruhovým otvorem (5.12)).


- 188 (188) -

6. b = b0 = 21,76 m; v0 = 0,833 m/s, A0 = 54,0 m2; h0 = 1,235 m; (jedná se o dokonalý p�epad (hd < s) p�es obdélníkový p�eliv bez bo�ního zúžení; p�epadový sou�initel se ur�í z tabulky (6.5) t:h = 1,667 => m = 0,34;

p�epadové množství se ur�í ze vztahu (6.13); 0

0 =AQ

v ; gv

hh2

=20

0

α+ ).

7. hz = 1,64 m (rovnice (7.29) a tabulka 7.3 – A = 0,9111 s2/m6). 8. Q = 17,60 m3/s; A = 8,4 m2; O = 9,4 m; R = 0,894 m; C = 70,1020 m0,5/s;

v = 2,10 m/s (použije se Chézyho rovnice (8.1) a Manning�v vztah (8.3)). 9. h2 = 0,915 > hd => vznikne oddálený vodní skok (h1 = hc; druhá vzájemná

hloubka se ur�í podle vztahu (9.5)).

Documents

JAN JANDORA HYDRAULIKA A HYDROLOGIE - lences.czlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta/BR51-Hydraulika a... · vysokÉ u enÍ technickÉ v brn fakulta stavebnÍ jan jandora