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flujo orientación de superficies aplicaciones
Flujo a través de una superficie orientada
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
12 de mayo de 2011
flujo orientación de superficies aplicaciones
definición
flujo a través de una superficie
definición (flujo)
Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular~X campo vectorialflujo de ~X a través de Φ(D):∫∫
S
~X .N dS =
∫∫D
~X .(Φu ∧ Φv ) du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
definición
flujo a través de una superficie
definición (flujo)
Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular
~X campo vectorialflujo de ~X a través de Φ(D):∫∫
S
~X .N dS =
∫∫D
~X .(Φu ∧ Φv ) du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
definición
flujo a través de una superficie
definición (flujo)
Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular~X campo vectorial
flujo de ~X a través de Φ(D):∫∫S
~X .N dS =
∫∫D
~X .(Φu ∧ Φv ) du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
definición
flujo a través de una superficie
definición (flujo)
Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular~X campo vectorialflujo de ~X a través de Φ(D):
∫∫S
~X .N dS =
∫∫D
~X .(Φu ∧ Φv ) du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
definición
flujo a través de una superficie
definición (flujo)
Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular~X campo vectorialflujo de ~X a través de Φ(D):∫∫
S
~X .N dS =
∫∫D
~X .(Φu ∧ Φv ) du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
interpretación
interpretación
~X velocidad del fluídom/seg~X .N dS componentenormal a la superficiem3/seg∫∫
~X .N dS m3/segatraviesan la superficie
flujo orientación de superficies aplicaciones
interpretación
interpretación
~X velocidad del fluídom/seg
~X .N dS componentenormal a la superficiem3/seg∫∫
~X .N dS m3/segatraviesan la superficie
flujo orientación de superficies aplicaciones
interpretación
interpretación
~X velocidad del fluídom/seg~X .N dS componentenormal a la superficiem3/seg
∫∫~X .N dS m3/seg
atraviesan la superficie
flujo orientación de superficies aplicaciones
interpretación
interpretación
~X velocidad del fluídom/seg~X .N dS componentenormal a la superficiem3/seg∫∫
~X .N dS m3/segatraviesan la superficie
flujo orientación de superficies aplicaciones
interpretación
otra forma de verlo
flujo orientación de superficies aplicaciones
interpretación
otra forma de verlo
Dij ⊂ D chiquito
P = paralelepípedo formado por ~X , Φu4u, Φv4vvol(P) = |(~X ,Φu4u,Φv4v)|cantidad de fluído que pasa por el paralelogramo tangentex unidad de tiempo
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interpretación
otra forma de verlo
Dij ⊂ D chiquito
P = paralelepípedo formado por ~X , Φu4u, Φv4v
vol(P) = |(~X ,Φu4u,Φv4v)|cantidad de fluído que pasa por el paralelogramo tangentex unidad de tiempo
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interpretación
otra forma de verlo
Dij ⊂ D chiquito
P = paralelepípedo formado por ~X , Φu4u, Φv4vvol(P) = |(~X ,Φu4u,Φv4v)|
cantidad de fluído que pasa por el paralelogramo tangentex unidad de tiempo
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interpretación
otra forma de verlo
Dij ⊂ D chiquito
P = paralelepípedo formado por ~X , Φu4u, Φv4vvol(P) = |(~X ,Φu4u,Φv4v)|cantidad de fluído que pasa por el paralelogramo tangentex unidad de tiempo
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interpretación
observación
observaciónSi Φu ∧ Φv apunta para el mismo lado que la normalelegida
entonces (~X ,Φu,Φv ) > 0,
sino (~X ,Φu,Φv ) < 0
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interpretación
observación
observaciónSi Φu ∧ Φv apunta para el mismo lado que la normalelegidaentonces (~X ,Φu,Φv ) > 0,
sino (~X ,Φu,Φv ) < 0
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interpretación
observación
observaciónSi Φu ∧ Φv apunta para el mismo lado que la normalelegidaentonces (~X ,Φu,Φv ) > 0,
sino (~X ,Φu,Φv ) < 0
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interpretación
observación
observaciónSi Φu ∧ Φv apunta para el mismo lado que la normalelegidaentonces (~X ,Φu,Φv ) > 0,
sino (~X ,Φu,Φv ) < 0
flujo orientación de superficies aplicaciones
aplicaciones
aplicaciones
flujo magnético~X campo magnético
⇒∫∫
S~X .N dS flujo magnético
Ley de Faraday: flujo magnético = corriente en curva borde
flujo orientación de superficies aplicaciones
aplicaciones
aplicaciones
flujo magnético~X campo magnético⇒∫∫
S~X .N dS flujo magnético
Ley de Faraday: flujo magnético = corriente en curva borde
flujo orientación de superficies aplicaciones
aplicaciones
aplicaciones
flujo magnético~X campo magnético⇒∫∫
S~X .N dS flujo magnético
Ley de Faraday: flujo magnético = corriente en curva borde
flujo orientación de superficies aplicaciones
aplicaciones
aplicaciones
mecánica de los fluídos~X campo de velocidades de un fluído
⇒∫∫
S~X .N dS flujo
Teorema de circulación de Kelvin: flujo saliente =circulación en curva borde
flujo orientación de superficies aplicaciones
aplicaciones
aplicaciones
mecánica de los fluídos~X campo de velocidades de un fluído⇒∫∫
S~X .N dS flujo
Teorema de circulación de Kelvin: flujo saliente =circulación en curva borde
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aplicaciones
aplicaciones
mecánica de los fluídos~X campo de velocidades de un fluído⇒∫∫
S~X .N dS flujo
Teorema de circulación de Kelvin: flujo saliente =circulación en curva borde
flujo orientación de superficies aplicaciones
orientación
definiciónuna orientación de S = Φ(D)
es una elección continua de un vector normal npuede apuntar para el mismo lado que Φu ∧ Φv o no
flujo orientación de superficies aplicaciones
orientación
definiciónuna orientación de S = Φ(D)
es una elección continua de un vector normal n
puede apuntar para el mismo lado que Φu ∧ Φv o no
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orientación
definiciónuna orientación de S = Φ(D)
es una elección continua de un vector normal npuede apuntar para el mismo lado que Φu ∧ Φv o no
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orientación
definiciónuna orientación de S = Φ(D)
es una elección continua de un vector normal npuede apuntar para el mismo lado que Φu ∧ Φv o no
flujo orientación de superficies aplicaciones
observación
observaciónsi cambia la orientación de la superficie, cambia el signo delflujo
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Calcular el flujo de ~X = (x , y , z) a través de la esfera decentro 0 y radio r orientada con normal saliente.
x = r cos u sin vy = r sin u sin vz = r cos v
con u ∈ (0,2π), v ∈ (0, π)
Φu = (−r sin u sin v , r cos u sin v ,0)
Φv = (r cos u cos v , r sin u cos v ,−r sin v)
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Calcular el flujo de ~X = (x , y , z) a través de la esfera decentro 0 y radio r orientada con normal saliente.
x = r cos u sin vy = r sin u sin vz = r cos v
con u ∈ (0,2π), v ∈ (0, π)
Φu = (−r sin u sin v , r cos u sin v ,0)
Φv = (r cos u cos v , r sin u cos v ,−r sin v)
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ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Calcular el flujo de ~X = (x , y , z) a través de la esfera decentro 0 y radio r orientada con normal saliente.
x = r cos u sin vy = r sin u sin vz = r cos v
con u ∈ (0,2π), v ∈ (0, π)
Φu = (−r sin u sin v , r cos u sin v ,0)
Φv = (r cos u cos v , r sin u cos v ,−r sin v)
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ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Calcular el flujo de ~X = (x , y , z) a través de la esfera decentro 0 y radio r orientada con normal saliente.
x = r cos u sin vy = r sin u sin vz = r cos v
con u ∈ (0,2π), v ∈ (0, π)
Φu = (−r sin u sin v , r cos u sin v ,0)
Φv = (r cos u cos v , r sin u cos v ,−r sin v)
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Φu ∧ Φv =
∣∣∣∣∣∣i j k
−r sin u sin v r cos u sin v 0r cos u cos v r sin u cos v −r sin v
∣∣∣∣∣∣ =
= (−r2 cos u sin2 v ,−r2 sin u sin2 v ,−r2 sin v cos v)
Normal entrante∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X .(Φu ∧ Φv )du dv
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ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Φu ∧ Φv =
∣∣∣∣∣∣i j k
−r sin u sin v r cos u sin v 0r cos u cos v r sin u cos v −r sin v
∣∣∣∣∣∣ =
= (−r2 cos u sin2 v ,−r2 sin u sin2 v ,−r2 sin v cos v)
Normal entrante∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X .(Φu ∧ Φv )du dv
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ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Φu ∧ Φv =
∣∣∣∣∣∣i j k
−r sin u sin v r cos u sin v 0r cos u cos v r sin u cos v −r sin v
∣∣∣∣∣∣ =
= (−r2 cos u sin2 v ,−r2 sin u sin2 v ,−r2 sin v cos v)
Normal entrante∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X .(Φu ∧ Φv )du dv
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ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Φu ∧ Φv =
∣∣∣∣∣∣i j k
−r sin u sin v r cos u sin v 0r cos u cos v r sin u cos v −r sin v
∣∣∣∣∣∣ =
= (−r2 cos u sin2 v ,−r2 sin u sin2 v ,−r2 sin v cos v)
Normal entrante
∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X .(Φu ∧ Φv )du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
Φu ∧ Φv =
∣∣∣∣∣∣i j k
−r sin u sin v r cos u sin v 0r cos u cos v r sin u cos v −r sin v
∣∣∣∣∣∣ =
= (−r2 cos u sin2 v ,−r2 sin u sin2 v ,−r2 sin v cos v)
Normal entrante∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X .(Φu ∧ Φv )du dv
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo
∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X (Φu ∧ Φv )du dv
= r3 ∫ 2π0 du
∫ π0 sin v dv∫∫
S
~X .N dS = 4πr3
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ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X (Φu ∧ Φv )du dv
= r3 ∫ 2π0 du
∫ π0 sin v dv∫∫
S
~X .N dS = 4πr3
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X (Φu ∧ Φv )du dv
= r3 ∫ 2π0 du
∫ π0 sin v dv
∫∫S
~X .N dS = 4πr3
flujo orientación de superficies aplicaciones
ejemplo
campo radial a través de la esfera
ejemplo∫∫S~X .N dS = −
∫∫D~X (Φu ∧ Φv )du dv
= r3 ∫ 2π0 du
∫ π0 sin v dv∫∫
S
~X .N dS = 4πr3
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturaT (x , y , z) temperatura en el punto (x , y , z)
∇T (x , y , z) = (Tx ,Ty ,Tz) gradiente de temperatura⇒ temperatura fluye de acuerdo al campo:
~X = −k∇T∫∫S~X .N dS flujo de temperatura a través de S
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturaT (x , y , z) temperatura en el punto (x , y , z)
∇T (x , y , z) = (Tx ,Ty ,Tz) gradiente de temperatura
⇒ temperatura fluye de acuerdo al campo:
~X = −k∇T∫∫S~X .N dS flujo de temperatura a través de S
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturaT (x , y , z) temperatura en el punto (x , y , z)
∇T (x , y , z) = (Tx ,Ty ,Tz) gradiente de temperatura⇒ temperatura fluye de acuerdo al campo:
~X = −k∇T
∫∫S~X .N dS flujo de temperatura a través de S
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturaT (x , y , z) temperatura en el punto (x , y , z)
∇T (x , y , z) = (Tx ,Ty ,Tz) gradiente de temperatura⇒ temperatura fluye de acuerdo al campo:
~X = −k∇T∫∫S~X .N dS flujo de temperatura a través de S
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS
= −2∫∫
S dS
∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal saliente
encontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS
= −2∫∫
S dS
∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1
~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS
= −2∫∫
S dS
∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS
= −2∫∫
S dS
∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S
∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS
= −2∫∫
S dS
∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS
= −2∫∫
S dS∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS = −2
∫∫S dS
∫∫S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperatura
supongamos T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
superficie: esfera de centro 0 y radio 1, con normal salienteencontrar el flujo de temperatura a través de S si k = 1~X = −2(x , y , z)
N = (x , y , z) con (x , y , z) ∈ S∫∫S~X .N dS = −2
∫∫S(x , y , z).(x , y , z)dS = −2
∫∫S dS∫∫
S~X .N dS = −2.A(S) = −8π
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturael flujo de temperatura es negativo
⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal⇒ el calor “entra"⇒ el interior de la superficie se recalienta(ganancia de temperatura)
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturael flujo de temperatura es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal
⇒ el calor “entra"⇒ el interior de la superficie se recalienta(ganancia de temperatura)
flujo orientación de superficies aplicaciones
temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturael flujo de temperatura es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal⇒ el calor “entra"
⇒ el interior de la superficie se recalienta(ganancia de temperatura)
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturael flujo de temperatura es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal⇒ el calor “entra"⇒ el interior de la superficie se recalienta
(ganancia de temperatura)
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temperatura
flujo de temperatura
flujo de temperaturael flujo de temperatura es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal⇒ el calor “entra"⇒ el interior de la superficie se recalienta(ganancia de temperatura)
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
Ley de Gauss
flujo eléctrico~E campo eléctrico
S superficie cerrada, N normal salienteQ carga encerrada por SLey de Gauss ∫∫
S
~E .N dS = Q
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
Ley de Gauss
flujo eléctrico~E campo eléctricoS superficie cerrada, N normal saliente
Q carga encerrada por SLey de Gauss ∫∫
S
~E .N dS = Q
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electricidad
Ley de Gauss
flujo eléctrico~E campo eléctricoS superficie cerrada, N normal salienteQ carga encerrada por S
Ley de Gauss ∫∫S
~E .N dS = Q
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electricidad
Ley de Gauss
flujo eléctrico~E campo eléctricoS superficie cerrada, N normal salienteQ carga encerrada por SLey de Gauss ∫∫
S
~E .N dS = Q
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
flujo eléctrico
flujo eléctrico
Supongamos que ~E = E .N, E constante
⇒∫∫
S~E .N dS = E
∫∫S N.N dS = E .A(S) = Q
si S es una esfera de radio r
E =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
flujo eléctrico
flujo eléctrico
Supongamos que ~E = E .N, E constante⇒∫∫
S~E .N dS = E
∫∫S N.N dS = E .A(S) = Q
si S es una esfera de radio r
E =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
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electricidad
flujo eléctrico
flujo eléctrico
Supongamos que ~E = E .N, E constante⇒∫∫
S~E .N dS = E
∫∫S N.N dS = E .A(S) = Q
si S es una esfera de radio r
E =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
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electricidad
flujo eléctrico
flujo eléctrico
Supongamos que ~E = E .N, E constante⇒∫∫
S~E .N dS = E
∫∫S N.N dS = E .A(S) = Q
si S es una esfera de radio r
E =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
flujo eléctrico
flujo eléctrico
Supongamos que ~E = E .N, E constante⇒∫∫
S~E .N dS = E
∫∫S N.N dS = E .A(S) = Q
si S es una esfera de radio r
E =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
cargas puntuales
cargas puntuales
supongamos que ~E surge de una carga puntual Q0
⇒ ~E = Q0N/4πr2
si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es~X = ~E .Q = Q.Q0.N/4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
X =Q.Q0
4πr2
Ley de Coulomb
flujo orientación de superficies aplicaciones
electricidad
cargas puntuales
cargas puntuales
supongamos que ~E surge de una carga puntual Q0
⇒ ~E = Q0N/4πr2
si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es~X = ~E .Q = Q.Q0.N/4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
X =Q.Q0
4πr2
Ley de Coulomb
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electricidad
cargas puntuales
cargas puntuales
supongamos que ~E surge de una carga puntual Q0
⇒ ~E = Q0N/4πr2
si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es
~X = ~E .Q = Q.Q0.N/4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
X =Q.Q0
4πr2
Ley de Coulomb
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electricidad
cargas puntuales
cargas puntuales
supongamos que ~E surge de una carga puntual Q0
⇒ ~E = Q0N/4πr2
si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es~X = ~E .Q = Q.Q0.N/4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
X =Q.Q0
4πr2
Ley de Coulomb
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cargas puntuales
cargas puntuales
supongamos que ~E surge de una carga puntual Q0
⇒ ~E = Q0N/4πr2
si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es~X = ~E .Q = Q.Q0.N/4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
X =Q.Q0
4πr2
Ley de Coulomb
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electricidad
cargas puntuales
cargas puntuales
supongamos que ~E surge de una carga puntual Q0
⇒ ~E = Q0N/4πr2
si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es~X = ~E .Q = Q.Q0.N/4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
X =Q.Q0
4πr2
Ley de Coulomb
