JÁTÉK A VÉLETLENNEL

Bevezetés a statisztikába

Összefoglalás• Mindenki kap 1 db dobókockát, amivel dobni kell 30-szor, és felírni az eredményt• Csináljunk hisztogramot• Átlag, szórás, medián, módusz• Hány hatost dobtál?• Hány ember dobott egyszer/kétszer stb. hatost?• Mi a valószínűsége, hogy kétszer dobunk hatost? A Binomiális eloszlás.• Galton deszka ill. 2 dobókockával sokszor dobunk, összege Gauss eloszlást mutat • centrális határeloszlás tétel• időátlag: párosával dobnak a gyerek• sokaságátlag: minden pár egyet dob• ergodikus folyamatok: időátlag = sokaságátlag• Mi a valószínűsége, hogy megtörténik?• Kockázati tényező számítása autóbalesetre, atomerőműre• Megengedi az elmélet a csodákat? Igen.• Pl.: füst hirtelen kis helyre összeáll• Dobókocka• Galton deszka• Levezetés: Jákob és Lábán paradoxona

Valószínűségszámítás

• De Méré lovag problémája (1654):• Az alább megfogalmazott két probléma történetileg

érdekes. Ezekkel a kérdésekkel fordult de Méré lovag Pascalhoz. Sokan e feladat megoldásától illetve Pascalnak és Fermat-nak e probléma megoldásáról szóló levelezésétől számítják a valószínűség számítás megszületését.

• a.) Ha egy kockát 4-szer feldobunk, akkor mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy hatos dobás lesz?

• Ha két kockát 24-szer feldobunk, mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy dupla hatos lesz?

• (De Méré lovag arra csodálkozott rá, hogy az első valószínűség 1/2 -nél kicsit kisebb, a második valószínűség pedig 1/2 -nél kicsit nagyobb.)

De Méré lovag problémája:

de Méré 2. problémája:

• b.) Két játékos egy igazságos játékot játszik, melynek mindegyik fordulójában az egyes játékosok ½ valószínűséggel nyernek, illetve veszítenek. Megállapodnak, hogy az a játékos nyeri el a tétet, aki először ér el 6 nyerést. A játékot félbe kell szakítaniuk akkor, amikor az egyiküknek 3 a másikuknak pedig 5 nyerése volt. Hogyan kell igazságosan osztozkodniuk?

de Méré 2. megoldása:

• Tekintsük a következő három játékot.• A második játékosnak mindhárom játékot meg kell

nyernie.• P=kedvező esetek száma/összes eset száma• Hány eset lehetséges összesen?

– NNN– NVV, NVN, NNV– NNV, NVN, VNN– VVV– Összesen: 8 eset

• P=1/8• Ezért 7/8 - 1/8, azaz 7:1 arányban igazságos

osztozkodniuk.

Pascal levele Fermathoz• „Uram, rám tört a türelmetlenség, ugyanúgy, mint Önre, és bár még ágyban vagyok,

nem tudom visszatartani magam attól, hogy tollat ragadjak és megírjam Önnek, hogy tegnap este megkaptam Carcavi úrtól az Ön levelét a méltányos osztozkodásról, amelyet annyira csodálok, hogy azt ki sem tudom fejezni. Nem akarom hosszúra fogni a szót: Ön tökéletesen helyesen oldotta meg a kockajátékra vonatkozó kérdést, és a méltányos osztozkodás problémáját egyaránt; ez számomra nagy öröm, mert ezután nem kételkedem többé abban, hogy igazam van, miután ilyen bámulatos módon megegyező eredményekre jutottunk.

• Az Ön módszerét, amellyel a méltányos osztozkodás problémát megoldotta, még sokkal inkább csodálom, mint a kocka játékra vonatkozó kérdésre adott megoldását; ugyanis többekkel is beszéltem, akik a kocka játékra vonatkozó kérdést megoldották, így maga de Méré lovag is, aki nekem e kérdést feltette, valamint Roberval úr; azonban de Méré nem volt képes megtalálni a méltányos osztozkodásra vonatkozó kérdés helyes megoldását, sőt még hozzá sem tudott e kérdéshez fogni, úgyhogy én voltam eddig az egyetlen, aki a helyes arányt ismertem.

• Az Ön módszere teljesen megbízható, és amikor e kérdésen gondolkodni kezdtem, én is először így indultam el; azonban mivel a különböző kombinációk megszámlálása igen fáradságos, később egy rövidebb és valójában egészen más egyszerűbb és elegánsabb módszert találtam, amelyről most röviden be szeretnék Önnek számolni, ugyanis szeretném ezentúl megosztani Önnek gondolataimat annyira, amennyire ez lehetséges, olyan öröm számomra a mi egyetértésünk. Látom ugyanis ebből, hogy az igazság ugyanaz Toulouse-ban, mint Párizsban.”

Valszámtörténet

• A szerencsejátékok elmélete később biztosítási, népesedési és sztochasztikus (véletlen) geometriai problémákkal (céllövészet elmélete) bővült. (Moivre, Poisson, Laplace)

• A XIX. században a valószínűség-számítás a matematika önmagában is hatalmas, önálló ágává vált. Pierre-Simon de Laplace (1749–1827) 1812-ben megjelent Théorie analitique des probabilités (A valószínűségek analitikai elmélete)

• XX. század: véletlen bolyongás, Brown-mozgás, folyamat statisztika, információelmélet, hibaszámítás

Statisztika

• A statisztika az a tudomány, ami számok gyűjtésével és az adatokból való következtetések levonásával foglalkozik.

• A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati tevékenység és tudomány.

Leíró statisztika

• Célja egy már rendelkezésre álló, valóságra vonatkozó adathalmaz összefoglalása, elemzése, egyszóval az információtömörítés.

• Sokaság leírása egy ismérv alapján:– kvantilis értékek: k számú osztályközt akarunk

képezni, akkor ehhez k-1 darab osztópontra van szükségünk. Ezeket az osztópontokat k-ad rendű kvantiliseknek nevezzük.

– helyzetmutatók (középértékek): medián, módusz, átlag

– szóródási mutatók: terjedelem, szórás, relatív szórás

Medián, módusz és átlag

• Példa:

• Egy 8:00-ra kitűzött indulási idejű vonatnál

Ferde eloszlások

Statisztika JAVA alkalmazásokkal

Jákob és Lábán paradoxona

• Jákob szolgálatának fejében megkapja mindig Lábán tarka juhait, amelyek aránya jóval kisebb, mint a többié. Jákob azonban idővel mégis sokkal gazdagabb lesz.

Jákob és Lábánaz n. évben

Köszönöm a

figyelmet!