Embed Size (px)
Citation preview
BiBLIOTEKA PRIMIJENJENE MEHANIKE - Svezak 2
Znak: 8925 Sv
Izdanje: Prof. dr. STJEPAN JECI Č MEHANIKA (KINEMATJKA I DINAMIKA)
Urednik biblioteke: Prof. dr. Ivo Alfirević
Stročni recenzenti: Prof. dr. IVO ALFIREVIĆ Prof. dr. ANTUN VUČETIČ
Izdavač:
Izdavačka radna organizacija TEHNIČKA KNJIGA Zagreb, Jurišićeva 10
Za izdavača ođgov(l]'a: Ing. ZVONIMIR VISTRIČKA
Urednik izdanja: Ing. TOMISLAV STRUJi Č
Lektor: Mr. EUGENIJA BARIČ
Tisak: BIROGRAFIKA, Subotica
Tiskano 2000 primjeraka
Tisak dovrfen: U RUJNU 1989.
© S. Jecić, 1989.
YU ISBN 86-7059 -057-3
Prof. dr. STJEPAN JECIĆ redovni profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnj~. Sveučilgta u Zagn:bu
MEHANIKA II (KINEMATIKA I DINAMIKA)
TEHNIČKA KNJIGA ZAGREB
--.-.~.-- ",---... - o·; 0'-
SADRŽAJ
PREDGOVOR .. "" "" ... " ZADATAK I POVIJESNI RAZVOJ MEHANIKE
I. DIO (KINEMATIKA)
I. UVOD ..
2. KINEMATIKA TOCKE.
2.1. PUlanja, bmna i ubmnje. 2.2. Pravo<:rtno gibanje .. 2.3. Posebni zadaci s pravocrtnim gibanjem ..... . 2.4. Jednostavno pravocrtno harmonijska gibanje .. 2.5, Krivoertno gibanje •• ",."" .• _, ..... _.. ,., ...... .
2.5,1, Prikuivanjc gibanja u Descanesovu koordinatnom SUStavu .... . 2.5.2. Prika:tivanje &ibanja pomoću polarnih koordinata 2.5.3. Prikazivanje gibanja pomoću cilindričnih koordinata .......... . 2.5.4. Prikazivanje gibanja pomoću sfemib kQQrdinata 2.S.S. Transfonnaeija vektora brzine i ubmnja ..... 2.5.6. Prirodne komponente vektora bf4ine i ubrzanja.
Zadad uz poalavlje 1: .•.. ' .•••••.••.•.• _ • _ " •.
3. KlNEMATIKA KRUTOG TIJELA ....
3.1. Translacija .•••.•............ , ...... , • , , ••• , .....•••• 3.2. Rotacija 01<0 nepomične osi ..... , , .••..• , , , ........ , • • . . . ....... . 3.3 Ravnins.kQ gibanje tijeja ..• , . .. . .... . , , ..........• , •••...•... _ .. ,
3.3,1, Prikazivanje ravninsKog gibanja pomoću translacije i rotacije" .........•... 3,:;,2. Brzina i ubrzanje točke na tijelu ... " "', ..... _ . . . . . . .. , .. _ 3,3.3. Trenutni pol brzina i trenutni pol ubrzanja ... , .............. , 3.3.4. Poloide ..........•. " ... , ........ , . , , , .. _ .. , ...... ,., .. 3.3.5. Plan brzina i plan ubrzanja . " ...... _ ... , , .. " ............ , , , , .... , . 3.3.6. Svojstva vektora brzina kod ravninskog gibanja. , , ... ,
3.4. Sferna gibanje ........ , ........ , .... _ .... , • , .... , , • , ....... . l.4.I. Konačni i beskQnačno mali kutni pomaci tijela .... , . , , , .... ' ,. , 3.4.2. Kutna brzina j kutno ubrzanje, .. _ .. , , _ . , , , , .. 3.4.3. Dmna i ubna.nje točke na tijelu ..... , .••.......... 3.4.4. Aksoide..... . . . . . . . . . . .. . ....... .
3.$, Opće gibanje slobodnog tijela ..... ' ..... ,. , ..
Zadaci uz. pogta-vtje 3 ..••••••.• , ,
5 II
IS
19
19 22 29 31 3J 3J J6 40 43 41 SI
55
S9
59 61 67 67 68 71 77 80 84 86 86 9iJ 94 97 99
JOt
'/
4. KINEMAllKA SLOŽENOG GIBANJA.
,U. Složeno gibanje točke . 4.2, Slaganje dviju rotacija. , .• _ 4.3. Slaganje translacije i rotacije ....
Zadaci uz poglavlje 4 .. , " .
II. DIO (DINAMIKA)
5. UVOD, ...
6. DINAMIKA (:ESTICE ..
6.1. Jednadžbe gibanja _ , 6.2. O'Alembertov princip. _ 6.3. Mehanički rad i snaga .....• " 6.4: -Kinellt:ka energija. Zakon kinetičke energije •. " 6.5. POlencijalna energija .. 6.6. Zakon održanja mehaničke energije _ 6.7. Impuls i koJR~ina gibanja. 6.8. Moment količine gibanja,
Zada<:i uz vogIavlje , _ . " ,
7. DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA.
7.1. Vanjske i unutrašnje sile sustava, 7.2. Osnovni zakoni dinamike sustava čestica, •. _"
Zadaci uz poglavlje 1 ,
8. DINAMIKA kRUTOG TIJELA. . .. , ...... _ . , • . . . . .. " .... .
lU, Dinamički momenti tromesti, , . . ., 8.1.1, Aksijalni i centrifugalni moment tromosti ....• ' , __ " " , . , .. 8.1.2. Momenti tromosti za paralelne osi __ ... , " ....... " . " _ , . .. .. _ .. .." .. S. 1,3. Momenti tromosti za zakrenutI! osi. .... , .. , .. , • . . . . . . . _ .....• " . 8. t.4. Glavni momenti tromosfi. _ " .. , ...... " , .. _ ..... _ . , , . _ . , ... "-3.1.5. Momenti tromosti složenih lijeta ..•. , ............... ' .. , .. " .. _ .. , .. .
8..2. Ttanslacija ....... , .•. _ .. _ .. , . __ .. , .. _ ....... , .. , 8.3. ROlaeija oko nepomične osi ..•.•. _ .•• , ... _ , .. • _ ..... , ..... , • . . .. • ... .
8.3.1. Jednadžba gibanja. ", .......•. , ...•... , ... _ .. ,."., .......... _". 8.3.2. Kinetitka energija .. " , ..... , , _ ............... , ........ " .. __ .. , 8.3.3. Reakcije u osloncima kod rotacije tijela ...... " •.•....•... _ •... _ •••... 8.3.4. Kinetičkimomenl ," .""., .. _." .. , .••... , •••..
804. Ravninsko gibanje tijela •.. , ,. . .. " .... ,.... _ ..••.. _ .. . 8.4.1. Jednadžbe gibanja. .. ..,... . .... "....... . ...... , ....... , ... ". 8.4.2. Kinetička energija ... , ..•..• , . . . . . . •• ' .....• ' . " ••. 8.4.3. Kinetičkimoment •. __ .. "",.. . _ .. ,.,.. . ..•..•. _ ...•.• ,
8.5. Sferna gibanje . . . . . . ..... , . . . . •. , .. , ....... " ••.....• , .. . g.5.1. Jednadžbe gibanja. '.' . . . . .. • ....•... ,.. . ......• 8,:;.2. Sfemo gibanje rotacijsko simetričnog tijela ." . . .. "..... . ..... 85.3. PriblIžna teorija girosko-pa . _ • , • , ' . " , . , • ' • "
Zadaci uz poglavlje 8 .
8
.. IS
106 109 114
115
.21
123
1::3 121 l3l 134 136 139 142 I.S
149
15.$
155 156
160
163
16;,i 163 165 169 172 l74 178 179 .8. 182 18' 18'1 19. 19' 200 203 206 206 208 all 214
!
l
9. SUDARI
9.1. Sudar tijela bezdjelo-vanja vanjskih si}:.! • • ••.•••• _.
9.2. Centrlčni sudar. . , , " ... - ... , .... ' 9.3, Udat če5ttee o nepomični zid ... 9.'1. Sudar čestice i totiraju6:g lijela . 9.5. Sudar rOlirajueih lijela .
Zadad Ul. poglavlje 9 ' ....
LITERATURA
KAZALO
221
221 223 230 234 238
242
245
247
I
I. DIO
KINEMATIKA
l. UVOD
Kinematika kao dio mehanike krutih tijela proučava geometrijska svojstva gibanja. Služi kao uvod u dinamiku i temelj je kinematičke analize u teoriji mehanizama. Budući da je gibanje promjena položaja tijela ti prostoru~ često se kinematika naziva geometrijom gibanja. U koordinatnom sustavu koji nije vezan uz tijelo što se giba položaj tijela zavisi od vremena. Stoga su prostor i vrijeme osnovni pojmovi od kojih se polazi u kinematid. U klasičnoj mehanici prostor i vrijeme smatraju se apsolutnim veličinama. A. Einstein uveo je drugačiji način gledanja. koji dolazi do izražaja kad se brzine približavaju brzini svjetlosti. Tehničke zadatke. gdje su brzine tijela mnogo manje od brzine svjetlosti. zadovoljavaju II potpunosti postavke klasične mehanike. koja je i predmet ovoga gradiva.
Vrijeme se smatra pozitivnom promjenljivom veličinom koja se za sve promatrače, bez obzira na··način kojim se tijela gibaju, mijenja jednako. Sva gibanja tijela promatraju se s obzirom na koordinatni sustav, koji može biti pomičan Hi se pretpostavlja da je nepo!ničan. Često se nepomični sustav vezuje uz Zemlju, te se takvo mirovanje treba shvatiti samo uvjetno. lj kinematicj se upotrebljavaju različiti koordinatni sustavi. Već prema gibanju odabire se najpovoljniji, npL Descartesov sustav, polarni, cilindrični i sferni. a posebno je u mehanici važan prirodni koordina tni sustav.
Položaj točke u prostoru mOže se odrediti .. na više načina. no uvijek su potrebna tri međusobno nezavisna podatka. Kada su ti podaci skalami parametri. nazivaju se koordinatama položaja, pa je u tom slučaju položaj tučke određen s tri koordinate. Uobičajeno je da se broj stupnjeva slobode gibanja poistovjećuje S brojem nezavisnih koordinata, te će slobodna lučka u prostoru imati tri stupnj. slobode gibanja. Često je gibanje točke vezano uz neku ravninu ili pravac. U takvim se slučajevima broj koordinata potrebnih za određivanje položaja smanjuje, pa je i broj stupnjeva slobode gibanja tako vezane tučke manji. Tako, npr .• bilo koja tučka klipa motora s unutrašnjim izgaranjem može se gibati samo po praveu paralelnom s osi klipa. što predstavlja jedan stupanj slobode gibanja.
Položaj slobodnog tijela II prostoru određen je sa šest podataka, te u tom slučaju tijelo ima šest stupnjeva slobode gibanja. Dok se za opisivanje gibanja točke upotrebljavaju različiti koordinatni suslavi, položaj i gibanje tijela opisuje se najčešte u sustavu koji koristi pored Descartesovih koordinata i tri Eul.rova kuta (sl. I.l). Prva tri podatka su koordinate položaja neke proizvoljno odabrane tučke A. U nepomičnom sustavu x, J. z to su koordinate x..., YAo i ZA'
~-::.; .~ /' .:
Preostali podaci su tri kuta: kut precesije "', kut rotacije lP i kut nutacije 9. Ravnina ~, Tl koordinalnog sustava e, ll. 'vezanog uz tijelo presijeca ravninu x'. y' po nodalnoj iH čvomo) liniji n. Osi x'. y't zr paralelne su s osima x. y, z. Kut precesije
, J 15
'" pokazuje otklon nodatne linije n od osi x~ i mjera je zakreta tijela oko osi ~. Kut r~tacije (lJ određuje zakret osi c; II odnosu na nodalnu Iiniju n i predstavlja rotaciju tuela oko osi C, dok je kut nutacije S mjera zakreta oko nodalne linije. Možda se na prvi pogled čini da uvođenjem čvorne linije postaje određivanje polož.ja tijela složenijim, no EulerQvi kutovi !fr. rp j 9 imaju znatne prednosti kod opisivanja gibanja tijela jer dovode do jednostavnijih jednadžbi.
Vezanjem tijela tako da mu neke točke miruju ili da se gibaju po zadanoj putanji smanjuje se broj slupnjeva slobode gibanja tijel •. Tako npr. kod dječjeg zvrka kojemu šiljak miruje na stolu dovoljna su samo tri Eulerova kuta, kako bi se u svakom trenutku odredio položaj zvrka. U tom slučaju zvrk ima tri stupnja slobode gibanja. Rotoru elektromotora kojemu kod rotacije miruju sve točke na uzdužnoj osi može se odrediti položaj poznavanjem samo kuta zakreta u odnosu na mirujući rotof. Kaže se da kod takvog gibanja rotor ima jedan stupanj slobode gibanja.
z
x
Slika LI, Koordinate položaja tijela u prostoru
Toćke tijela pri gibanju izjednog.položaja u drugi opisuju zakrivljene ili pravo ert:. koje se n~vaju putanja'!la. Položaj točke na ~u"tanji određen je orijentiranom dUZlnom S obzirom na neki pol. Takav vektor položaja funkcija je vremena i o~nit~ se mijenja po iznosll i smjeru. Promjena vektora položaja podijeljena s pripadnIm vremenom jest vektor brzine točke. Dijeleći ukupni prirast vektora brzine s pripadnim vremenom, dobiva se vektQr ubrzanja točke koji pokazuje kako se mijenja brzina po iznosll i smjeru. Poznavanje vektora položaja (putanje točke), vektora brzine i ubrzanja pojedinih toćaka tijela ključni je problem kinematike.
. U nekim posebnim slučajevima kada se dimenzije tijela s obzirom na promatram problem mogu zanemariti dovoljno je poznavati gibanje samo jedne točke tijela, pa se tada položaj tijela poistovjećuje s položajem jedne njegove točke u prostoru. Stoga se u kinematici, radi lakšeg razumijevanja, razlikuje kinematika točke ili čestice i kinematika krutog tijela, Prema obliku putanje kinematika točke razmatra
. pravocrtna i k.rivocrtno gibanje. U kinematici tijela razlikuju se dva osnovna načina gibanja: translacija i rotacija. Kao posebni slučajevi gibanja tijela, koji su česti u tehnici, proučavaju se rm.'/linskQ ili planarno gibanje te sferno gibanje ili gibanje oko nepomične točke.
Sva gibanja krutog tijela nQgu se zamisliti sastavljena od osnovnih nacma gibanja. Tako su komponente ravninskQg gibanja translacija i jedna rotacija~ a
16
sfernoga tri rotacije. Opee gibanje tjjela opisuje se radi jednostavnosti pomoću translacije i sfernog gibanja. Takvo gibanje rijetko je u tehničkoj praksi. Gibanja koja nastaju lako da se na osnovno gibanje prenosi gibanje nekog drugog tijela promatraju se kao sds/avijcfJa gibanja. Pritom se razlikuje relativIJo i prijenosna gibanje koje rezultira apsolutnim gibanjem. Da li se radi o takvom gibanju ili o gibanju koje se zamii;lja sastavljeno od osnovnih načina gibanja više je pitanje fizikalne slike, a manje principijelnog pristup"
Budući da su temeljni pojmovi u kinematici prostor i vrijeme. i temeljne veličine kojima se ovdje barata jesu dužina i vrijeme. Sve ostale veličine koje dolaze u kinernatid izvedene 'Su iz ovih osnovnih, tako da će se met(fr (m) kao jedinica za duljinu i sekunda (s I kao jedinica za vrijeme javljati u s\"im 'jedinicama ostalih veličina. Jedinice metra i sekunde definjral)e su u fizici. Tako je jedan metar duljina jednaka 1650763,73 "alne duljine zračenja II vakuumu, koje odgovara prijelazu izmedu razina 2pIO i Sd, .toma kriplOna, a sekunda je lr.janje 9192631770 perioda zračenja, koje odgovara prijelazu između dviju hipertinih razina osnovnog stanja atoma cezija.
2 S. Jecić: KINEMAUKA i DINAMIKA 11
2. KINEMATIKA TOĆKE
2.1. Putanja, brzina i ubrzanje
Za vrijeme gibanja točka mijenja položaj li prostoru. U odsječku vremena Ar preselit će se točka iz položaja AI II položaj A, (sl. 2.1 l·
U trenutku t po1ožaj točke određen je vektorom r, a II trenutku l + tll taj položaj određuje vektor r+.a.r. Vektor r mijenja se s vremenom i njegova je funkcija. Geometrijsko mjesto svih položaja točke pri gibanju jeste II općem slučaju krivulja li prostoru koja se naziva putanjom. Prema tome šiljCI vektora r opisuju putanju, pa vektorska jednadžba putanje glasi
r~r(tl. (2.ll
Slika 2.1. Putanja tocke, vektor brzine j vek.tor ubrzanja
Putanje su iH zamišljene krivulje II prostoru (npr. putanja bačenog kamena) ili se fizički izvode da bi se po njima, nekim svojim točkama, gibala Ujela (željezničke tračnice. žlijebovi klizača kod mehanizama itd.).
~~~
~apomena: Oznake vektora u slikama (npr. r, v, tl ••• ) označavat čemo II tekstu masnim slovima r. v, ll ... bez siretica iznad.
19
Unutar vremena 8.t promijenit će se vektor r za veličinu 6.r. Omjer te vektorskc promjene i pripadnog vremena naziva se vektorom sredIIje ili prosJečne brzine:
M "s=~'
!J.r (2,2)
Jedinica te brzine jest ms-I, a vektor \'s poklapa se po pravcu s vekwrom I:1r. Što je odsječak vremena D.t kraći, to je položaj točke ..12 bliži položaju Al" Za beskonačno mali dio vremena: I:1r=dt, razlika vektora položaja beskonačno je malena: Ar=dr, pa vektor srednje brzine prelazi II rtemllnu br=inu v, koja odgovara trenutku e i položaju AI. Taj prijelaz može se matematički ovako izrazili:
tu dr v=lim-=-.
~_o 8.C dr (23)
Jedinica vektora trenutne brzine, ili kratko veklOra brzine, također je ms -I. Prema ovom razmatranju vektor brzine v je prva derivacija vektora položaja r po vremenu. Njegov pravac poklapa se uvijek s pravcem tangente na putanju u onoj točki u kojoj se promatra vektor brzine. To slijedi iz definicije tangente. Derivacija po vremenu često se označava točkom iznad veličine koju treba derh·irati. Tako je
dr v=-=r.
dr (2.4)
Slika 2.2. Promjena veklOra brzine
Nakon što protekne vrijeme .6.t, promijenit će se vektor brzine v za tn. Kada se brzina v koja odgovara trenutku t i brzina v+.6.v (u pripadnom trenutku t+6.r) nacrtaju s istim početkom vektora, ali sa stvarnim smjerom u prostoru (sl. 2.2), razmak između šiljaka vektora odgovara promjeni brzine. Omjer te vektorske promjene i vremena .6.t jednak je sred,ljem ili prosječnom ubrzanju (akceleraciji):
!J.v a =- (2,5) , !J.t
koje ima jedinicu ms-2 , a smjer mu je jednak smjeru vektora Av. Vektor trenutnog ubrzanja a ili kratko vektor ubrzanja definiran je slično kao i vektor brzine:
20
!J.v dv a=lim -=-
41_0.6.t dt' (2,6)
'i ,I
I ,
,I i!
~:
-~ ~;
~ i ,<
odnosno
dv • oo
a=di=v=r. (V)
Jedinica ubrzanja jest ms- 2. Po smjeru taj vektor uvijek gleda prema konkavnoj
(uleknutoj) strani putanje, kako je to prikazano na slici 1.1.
Prema definicijama (2.3) i (2.6) vektor brzine v prva je derivacija po vremenu vektora položaja r, a vektor je ubrzanja njegova druga derivacija, tj. v=r. a= ·r. Svakom trenutku l odgovara određeni vektor položaja točke na putanji r. vektor brzine v i vektor ubrzanja 3. Kod grafičke predodžbe šiljci svih vekwra brzina u poj~dinim točkama putanje leže na krivulji koja se zove velocida (sl. 2.3). Vektori br~ma preneseni paralelno u zajednički početak određuju svojim šiljcima krivulju kOJa se zove hodografbrzina, kOjega su tangente pravci pripadnih vektora ubrzanja.
,
" putanja
I
"1, a,
aJ
o
bJ
hodogrof ubrzanja
hodograf brzina
a,
Slika 2.3. Putanja i velocida (a), hodograf brzina (b) i hodograf ubrzanja {cl
Svi šiljci vektora ubrzanja, pomaknuti paralelno u zajednički početak, opisuju hodograf ubrzanja. Hodografi brzina i ubrzanja grafički su prikaz promjene vektora v i 3. Kod gibanja točke u ravnini može se grafički pomoću vektora brzine i tangenti na velocidu i hodograf brzina odrediti ubrzanje, čime se ovdje nećemo baviti.
Prva derivacija vektora ubrzanja po vremenu daje ubrzanje drugog reda ili tzv. trzaj:
(2,8)
Ta veličina rijetko dolazi u tehničkoj praksi, a upotrebljava se II posebnim izučavanjima udobnosti vožnje u dinamičkoj analizi vozila te II kine:n3tici štapnih mehanizama.
Primjer 2.1
Točka nekog tijela giba se konstantnim iznosom brzine v po kružnoj putanji polumjera R. Odrediti velocidu, hodogr:af brzina i hodograf ubrzanja.
21
Bu~ući da su po iznosu svi vektori brzina jednaki, nacnani su na slici 2Aa tangeneIJalno na kružnu putanju s ,;ednakim dužinam. vektora, Šiljci vek.ora brzina leže na velocidi (sl. 2.4.), koja je Z'Jog konstantnog iznosa brzine također kružnica. Vektori brzina preneseni sa slike ;2.4a paralelno u zajednički početak O opisuju svojim šiljcima hodograf brzina koji je kružnica. Polumjer te kružnice odgovare II
ii, l,
/ ~
( t,
ii,
t, ft ii
I, f' \ ir, ,
vi , ""dogra! I, "
rodogml ii, /,-,~' ./ l, ubrzanja
velodda ... --~ brzina
al bl cl Slika 2.4. Grafički prikaz vektora brUna il ubrzanja kod gibunja točke jednoHkim iznosom brzine N
• kružnici .
nekom mjerilu iznosu brzine. Tangente na hodograf brzina pravci su pripadnih vektora ubrzanja. Budući da su vektorski prirasti brzina konstantni (promjenIl br~ne samo po smjeru), t? j~ i ~odograf ubrzanja takoder kružnic~ spolumjerom kOJi odgovara u nekom mjenJu iznosu vektora ubrzanja.
2.2, Pravocrtno gibanje
Gibanje točke kojemu je putanja pravac (sl. 2.5) čest je slučaj u praksi a zbo. jednostavnosti oblik,,: putanje za njegovo prikazivanje nije potrebna ';potreba vektora. Ako se IShodIšte vektora položaja r odabere u jednoj točki putanje (npr. na mjestu pOčetka gibanja), tada se taj vektor mijenja samo po iznosu, dok mu se
Sllka 25. Prave<:rtna putanja
22
pravac tokom svog gibanja poklapa s ,pravocrt"",!, pu!anjom .(sl. 2.6a). Položaj ločke na putanji može se jednostavno pokazalI udaljenošću s ad IshodIšta (sl. 2.6b), Ta udaljenost, za koju je uobičajen naziv put. skalaI'na je veličina koja se mijenja s vremenom, tako da je
5=5(1). (2.9)
Prema definic1jama (2.3) i (2.6, za brzinu i ubrzanje vrijede ti tom slučaju skalarne jednakosti
ds , v=-=s
dt (2,10)
dv d1s . ,. a=-=-=v=s.
dl dl' (2.11 )
al O r A, • Ai' A,
• t t+flt >s
bl O A, A,
I s I fls j .s
t i+At Slika 2.6. Vektorski (al i sblami (b) prikaz pravocnnog gibanja. Izbor ishodišta O na putanji
Kod praktičnog računanja treba razlikovati put s, koji .~a sv~ki ~~!lul~k t ,pokazuje položaj točke na putanji, od ukupn,~ prijedenOfj puta ~OJI :noze blt~ l.veceg IznOsa ~~ puta s, već prema ka:-akteru funkcije s(t). NaIme, tockaJe u.pol~zaJ 1 mogla d?Cll tako da je gibajući se od početnog položaja O prešla položaJ AI I zatim se vrallla u položaj A" za sve vrijeme I put (položaj na putanji) točke jest s. ali je Ukupno prevaljeni put bio veći.
Gledano iz ishodišta O, jedall je smjer gibanja (npr. desno) pozitivan, a drugi negativan. Predznaci puta. brzine i ubrzanja odgovaraju tada predznacit;ta s~je~a na putanji. Predznak brzine pokazuje smjer gibanja, a predznak ubrzanja, kOJe l~ pokazatelj promjene brzine. pokazuje da li brzina raste ili opada. Kada.S\~ predznacI brzine i ubrzanja jednaki, brzina se povećava, točka se ubrzava. Glbanja je ubrzano? bez obzira na 10 radi li se o gibanju u pozitivnom Bi negativnom smjeru putanje. Kada su predznaci brzine i ubrzanja različiti, točka se usporava, a gibanje je usporeno. To se može napisati i ovim jednakostima:
ubrzavanje
usporavanje
SIGN v=SIGN a
SIGNv=-SIGNa,
(2.12)
(2.13)
II kojima SIGN (la~in~ki sjgnum) ispred !i.ili.a .~~ača~ ~a se uspo!:<!uju.~r~nru:i. Prema tome. iz samog predznaka ubrzanja a filJ~ mo,guce us~noV1h d.a h Je ~tb~l!~ ubrzano ili usporeno. To je i razlog zbog kOjeg ~mo .pnrast. brzme ll: ~edlnlCl vremena nazivati samo ubrzanjem ili akcele'Gcijom~ Jer ta Ista fiZIkalna vellčma bez ikakve promjene može u jednom periodu gibanja dovesti do usporavanja, a u drugom do ubrzavanja (vidi primjer 2.3).
23
· Ces~o se u tehničkim zadacima promjene puta j brzine i ubrzanja prikazuju II
oVI~n~st1 o vreme~.u pomoću t~v. ki,!em~.tičkih dijagrama. Pri crtanju tih dijagrama k~n~u se"geometrtJsko. značenJ~ denvaclJe. Tako je dijagram ubrzanja a u nekom :r1.jenlu ?lJagram, promjene nagiba tangenti na dijagram brzina Vj a dijagram brzina Je promjena nagIba tangenti na dijagram puta s (sl. 2.7 J.
Sz -----------------~---
o)
" L_""'.' j
o'f-~t,---t--------~~ v
a
a, i i altI
a, -+-----.11-,--:"""-~-i a
o t, dt t, t
cl
Slika 2.7, Kinematički dijagramL Tangens kuta nagiba tangenti na krivuJju u dijagramu puta s(l) odgovara brzini II (a). a u dijagramu brzine {"(tl ubrzanju (1 u trenutku t (b)
Obrnutim postupkom mogu se integriranjem iz poznalog ubm<nj. odrediti brzina i put:
v=fadt+C,
vdt+C"
(2.14)
(2.15)
pri čemu se za odredivanje integracijskih konstanti C, i C, moraju poznavati brzina I put u nekom odredenom tre.nutku .. Obično su to. brzin. i put na početku gibanja, pa se .tada, nllZlVajU . p.očetmm uVJetima. Povrll!na ispod krivulje u dijagramu ubrzanja tl mtervalu t, -12 odgovara razlici brzina V'l i Vl' jer je
24
" ~V=L)2-t't I adl.
" (2.16)
'i ., ~-
Analogno vrijedi i za dljagram brzine i za razliku putova u trenucima tl i 12 :
" As=S2- S1=jttdt.
" (2.17)
U sIoženijim slučajevima kinematički dijagrami mogu se odrediti jedan iz drugoga grafičkim iH numeričkim deriviranjem i integriranjem.
Između dijagrama puta s. brzine tl. te ubrzanja tl i dijagrama momenata savijanja M. poprečnih sila Q i poprečnog opterečenja q. poznatih iz statike, postoji puna analogija. Osim po fizikalnom značenju ne razlikuje se crtanje kinemaličkih dijagrama od crtanja dijagrama unutrašnjih veličina duž nosača. Dok je kod nosača promjenljiva veličina po kojoj se deriviralo bio element dužine, II kinemalid je la vrijeme.
Primjer 2.2
Na ravnQm dijelu ceste snimljen je preko ... brzinomjera dijagram brzine autobu~ sa u ovisnosti o vremenu (sl. 2.8a). Nacrtati dijagrame j (I) i a (t) ako se autobus u trenutku 1=0 nalazio u početnom položaju .=0. Odrediti mjesto na kojem se nalazio autobus kada je nakon vožnje konstantnom brzinom počeo ubrzavati. Izmedu 15. i 21. sekunde autobus je ubrzavao po paraboli drugog reda s tjemenom il 1=15s.
U prvom odsječku vremena za 0<:1 <: 7 s aulabu, jednoliko usporava. Prva derivacija brzine u tom je perioqu konstantna, jednaka je ubrzanju, a iz zadanog dijagrama brzine tangens kuta nagiba pravca iznosi .2 ms-l: U drugom odsječku vremena (7 < r < 15 s) autobus vozi konstantnom brzinom, te je ubrzanje jednako nuli, dok u trečem odsječku (15<t<21) linearno raste, budući da se brzina parabolički mijenja s pozitivnim prirastom nagiba taogenle na krivulju tl (t). U trečem dijelu gibanja brzina je porasla s lO na 14m"', pa je i površina ispod dijagrama a(r) u tom dijelu jednaka 4ms- l . S tim podacima nacrtan je dijagram ubrzanja a (r). (sL 2.Sb).
Dijagram puta sfrj u prvom odsječku vremena jest parabola drugog reda s nagibom tangenti koje linearno padaju, što se vidi iz dijagrama v(t). U sedmoj sekundi je put s= 119 m, budući da je tolika i povr!in. ispod dijagrama v(t) u prvom dijelu gibanja. U drugom odsječku vremena put linearno raste (brzina je konstantna) za 80m u 8 s, pa je mjesto na kojem autobus počinje ubm<vati s,,=1l9+80=199m. Na trečem dijelu puta brzina se mijenja po p.raboli drugog reda za koju je jednadžba
10 l 2 v=35--t+-1 .
3 9 (2.18)
Integriranjem se dobiva porast puta u tom dijelu gibanja:
.:n .... '''",J'':;'''''.!: - '-.
&s= f (35- ~O t+~t')dt=68m. (2.19)
15
S tim vrijednostima n""rtan je dijagram s (t) na slici 2.8c.
25
Zadatak je moguće riješiti iz zadanog dijagrama r(rl postavljanjem jednadžbi za brzine za sva tri dijeJa puta, Deriviranjem po vremenu dobivaju se zakoni ubrzanja, a integriranjem zakoni puta. Integracijska konstanta za prvi odsječak vremena izračunava se iz uvjeta da je za t=O i s=O, Na kraju prvog odsječka dobiva se iz sada poznatog sit) uvrštavanjem 7 s za 1 i 119 m za $, To se koristi kao uvjet za izračunavanje integracijske konstante kod integriranja unutar drugog odsječka vremena, a postupak se ponavlja i za treći dio puta.
y imlsl
24
l. al 10
O 7 15 21 tisi
a (rus-2j
1,3
7 O bl
15 21 tisi 14:'_m$~1
-2
s iml
267
199 cl
119
Stika :u!.. Kinematićki dijagrami vožnje aUlobusu. Zadani dijagram brzine (al. diJ;agram ubrzanja (". l puta (cl
26
Jednadžbe brzina za sva tri odsječka vremena glase:
"=24-21
,'= 10
10 l r=35--I+-t',
3 9
(2.20)
rl
;~,
',ill, 'ii;
I ;~
Nakon deriviranja bit će ubrzanja:
~I - 2
(1=0 (2.21 :;
!o 2 a= --+-1.
3 9
Integriranjem (2.20) dobiva St\ nakon opisanog postupka za određivanje konstanti.
5=241-12
5=49.;. lOr
S=-76+351-~I' l",
(2,221:
Uvrštenjem u drugu ili treću jednadžbu (2,221 za 1 = 15 s dobiva se da je SIS = 199 m. Taj drugi način rješavanja zadatka s fonnalnim matematičkim pristupom obično je daleko duži od onoga u kojeg se promatraju prirasti nagiba tangenti i površine ispod kinematičkih dijagrama.
Primjer 2.3
Za pravocrtno gibanje točke s konstantnim ubrzanjem nacrtati i analizirati kinematičke dijagrame. Zadani su početni uvjeti: za (=0. s=so. v=co, pri čemu je 50>0 i vo>O.
Brzina se dobiva integriranjem ubrzanja, pa je uz a konsL
I'=J adl=al+C"
Kada je 1==0, v=rQ' tada je i CI = vo. le izraz za brzinu glasi
(2.23)
Ponovnim integriranjem dobiva se
Integracijska konstanta Cz=so, kada je (=0 j S=$o- a
(2,24)
Ako je ubrzanje veće od nule, točka se udaljuje od ishodišta O, brzina linearno raste, a gibanje je jednoliko ubrzano. Kinematički dijagrami i položaj toČke na putanji prikazani su na slie) 2.9. Tokom svog vremena točka se ubrzava, jer je SIGNv=SIGNa.
27
,
Kada je ubrzanje negativno, brzina opada linearno s Vo na nutu, a .zatim raste u negativnom smjeru. Dijagrami izraza (1.23) i (2.24) II kojima je o < O prikazani su na slici :!.10. Točka se uz lakvo ubrzanje do trenutka l, jedaoliko usporavala. Do tOg trenutka bio je SIGN V~ - SIGN o. Za l> 'l SIGN f~SIGN a gibanje je jednoliko ubrzano. Do trenutka tl točka se gibala od ishodišta u pozitivnom smjeru. U trenutku lt stala je i nastavila gibanje sve većom bmnom u negativnom smjeru putanje, Kroz ishodište prolazi točka u trenutku t = Iz.
s v a
"
O al
t
O -v -o
-s I: s, !(=O Jt +. S
bl Slika 2,9, Kinematički .ctijagrami pravocrtnog gibanja s konstantnim ubrzanjem vecim od nule
(al i položaj točke na pravocrtnoj putanji (b)
s v o
s"",
v,
jednoliko usporeno
jednoliko ubrzano
s!t)
ot------7~----~--~t
o -v -a
!. It=O • , -$ si t<t, t, +s
t=t, -v
bl -o Slika 2.10. Kinematički dijagrami pravocrtnog gibanja s konstantnim ub17.anjem manjim od n~lc
(~) i polQžaj točke na pravocrtnoj putanji {bl
Posebno Ul a;;:;:;O brzina se ne mijenjat dok put linearno raste po zakonu s~rol+$o· Gibanje je jednoliko. Točka se udaljuje od ishodišta u pozitivnom smislu putanje s brzinom jednakom vo' Kinematički dijagrami prikazani su za taj slučaj na slici 2.1 L
o t Slika 2.11, Kinematički dijagrami jednolikQg pravocrtnog gibanja
28
'1
2.3. Posebni zadaci s pravocrtnim gibanjem
U posebnu grupu svrstani su u kinematici zadaci u kojima put, brzina i ubrzanje nisu izravne funkcije ~remena ... već je zadana ~Jihova ,uzaj~n:na ~visn<:st: Tako su često brzina i ubrzanje funkcIje puta (npr. dIJagramI vOZIlJe gdje se zeb pokazati kolika je brzina na pojedinim mjestima puta) ili j~ ubrzanje funkcija brzine. Rjeđe se javljaju ostale zavisnosti u kojima jedna od kmematlčkth vehčma zavisi od ostalih dviju Hi se osim njih javlja vrijeme ka? .varijabla ... U svim tim slučajevima nije moguće iz jedne kinematičke veličine dobitI ostale. dVIJe neposre.~nim deriviranjem ili integriranjem po vremenu, vet se takve Jednadžbe pnJe rješavanja preuređuju ili se primjenjuju uobičajeni postupci za rješavanje diferend· jalnih jednadžbi.
Kad je brzina zadana kao funkcija puta: "~v(sl. a treba odrediti s(ll, e(ll i a(r). izračunava se u prvom koraku vrijeme r kao funkcija puta:
ds r(s)=
dl
I=J~+C=I(S). ,. (s)
(2.25)
Za određivanje integracijske konstante potrebno je poznavati put s tl nekom trenutku I (npr. I~O, s~so). Inverzijo!", ako je moguea, dobiva se iz (2.25) s (IJle dalje deriviranjem V(I) i a(Il. ~ime je zadatak riješen. Ponekad direktna mverzlJa nije moguć., pa se zadatak rješava numerički ili grafički, što nije predmet oVIh tumačenja.
Slično iz poznate zavisnosti ubrzanja i puta: a=a(s) određuju se analit~čki izrazi za osnovne kinematičke dijagrame. Kako je a=dt'/dt, može se preuređenjem dobiti
a
odnosno
do ds vdv
dt
a(s)ds~vdv.
Integriranjem lijeve i desne strane dobiva se
J a(s)ds+C l
rf 2
(2.26)
Ovdje je e l zajednička integracijska konstanta lijeve i de,ne strane, a određuje s,: iz brzine v koja mora biti poznata na nekom putu s (npr. za s=so, v~vo)' Nakon sto je konstanta određena, izraz za brzinu glasi
v=.j2 U a (s)ds+C:J - ves). (227)
Dalje se zadatak rješava prema (2.2Š)~" U slučaju daje poznato ubrzanje kao funkcija brrine a~a(v), bit će
29
odnosno
f do I; -+C,=I(V).
0(0) (2.28)
lnverzijom tog izraza dobiva se v=v(t) te dalje integriranjem s=s(r), odnosno deriviranj.m 11=11(1). Nakon integriranja prema (2.28) i kod Određivanja funkcije pUla s=sltl javljaju se dvije integracijske konstante: C2 i C3• koje se određuju iz poznate brzine j poznatog puta II nekom trenutku. To npr. mogu biti početni uvjeti: zu 1=0, 5=So. v':;;VO.
Primjer 2.4
Brzina automobila raste proporcionalno s putom, tako da je v= ks. Uz zadani k odrediti zakone promjene puta. brzine i ubrzanja u zavisnosti o vremenU. U trenutku t =0 automobil se nalazio na mjestu So ravne ceste.
Budući da je v=ds!dt = ks, vrijeme l dobiva se jz izraza
fdS kl= -;-+C=lns+C.
Kada je, a S=S(l~ konstanta e iznosi
C= -Ins.,
SlO uvršteno u (2.29) i n.kon preuređenja daje
s=soe" .
(2.29)
(2.30)
Uzastopnim deriviranjem po vremenu dobivaju se zakoni promjene brzine i ubrzanja:
v=soken
a = So 12 ekt •
(2.31 )
(2.32)
Iz funkcije puta vidljivo je da početni uvjet 1=0, s=O ne može teorijski postojati. U tom slučaju bili bi i početna brzina i početno ubrzanje jednaki nuli, pa do gibanja ne bi moglo doći. Tek nakon ubrzavanja automobila na neku konaČIlU brzinu VO moguća je vožnja s linearnim porastom brzine II odnosu na put.
Projektil se giba kroz otpornu sredinu, gdje mu se početna brzina Vo smanjuje u jedinici vremena proporcionalno brzini s potencijom a, tako da je a= -KtfT. Uz zadane K. ~_:~lf_te"-uz «;> 1, : odr~diti ~kone P!lta. b~l:1~.,i ubrzanja u ovisnosti o vremenU l. .
30
Iz odnosa a=dv/dt= -Kv' dobiva se daje -;o + t
Kr; - Jv--dv+C,; __ v~_+C •. -0:+1
(2.33)
.~
~
Prema početnom uvjetu za 1=0, V= Vo bit će
V-~dl
CI=~O~_, -0:+1
što uvršteno u (2.33) daje nakon uređenja
r- f::t-u=r'o-{z-l)+K(::c_llt.
odnosno "o 1'=----' -----;,-
[1 + "0-' K (0:-1 ) t];::!
(2.34)
(2.35)
Često se za gibanje kroz otpornu sredinu llz1ma da je 7.. = 2. tako da je u tom slučaju 1";1"0/(1 +'oKt).
2.4. Jednostavno pravocrtno harmonijsku gibanje
PQd jednostavnim prat1{}crrnim harmonijskim gibanjem razumijeva se takvo giabnje kod kojega je ubrzanje proporcionalno i uvijek suprotno usmjereno putu} te je definirano izrazom
(2.36)
Prema definiciji tog gibanja (JJ je realan broj veći od nule. Takvo je gibanje zapravo primjer za ubrzanje koje je zadano kao funkcija puta. No kako se često javlja u tehničkoj praksi (npr. neka oscilatoma gibanja, gibanja noža blanjalice, mehaničko sito), ovdje će ono biti podrobnije protumačeno.
Ako se primijeni postupak koji je opisan II 2.3 za slučaj kada je zadano ubrzanje kao funkcija puta, dobiva se da je
vdv= -w2sds, (2.37)
što nakon integriranja lijeve i desne strane glasi
rl s> -=-ai-+C]. 2 2
(2.38)
Početni uvjeti mogu biti kod hannonijskog gibanja različito zadani. U principu svi dovode do jednakog gibanja, tako da je dovoljno razmotrit; samo jedan od mogućih slučajeva. Neka je početni uvjet zadan tako da je za r=O, s=O i ';"0. Pritom neka je "0>0. Iz (2.38) konstanta C, ima vrijednost
if. C. ="2' (2.39)
pa se za brzinu ti dobiva
(2.40)
BudUći da je u=ds/dt, to je
(2.41 )
31
ili nakon integriranja
I (JJE t=-arcsln-+C.
w Vo (2.42)
Prema početnim uvjetima za t =0, 5=0 bil če i e =0. tako da je n.\kon inverzije
s sinwt. (2.43) w
te nadalje nakon deriviranja
(2.44)
a~ "ol.,inw/. (2.45)
Izrazi (lA3). (2.44) i (2AS) jesu zakoni puta. brzine i ubrzanja kod jednostavnog pravocrtnog hannonijskog gibanja. Veličina A::::= vo/w naziva se ampfilUdom pura, a predstavlja maksimalni otklon točke na putanji od ishodišta, Ta tri zakona napisana pomoću te veličine glase:
s=A sinw! (2.46)
o=Awcoscot (2.47)
a= - Aco2 sinwt. (2.48)
Kinematički dijagrami puta ~" biLine I.' i ubrzanja a prikazani s.u na slici 2.12. a položaj točke na putanji u pojedinim trenucima dan je na slici 2,13. Iz tog se prikaza vidi da je hannonijsko gibanje periodično, Točka se od početnog položaja O giba do maksimalno udaljenog mjesta A. vr.ća se kroz početni položij i giba Se do položaj. s ~ - A, te ponovno stiže u ishodišnu točku. Vrijeme potrebno za taj ciklus gibanja iznosi
A
32
5 V
•
',>-. - -aIM"' ..
21< T~-.
w
Slika 2,12. Kinem<l{ički dijagrami jednoslavnog nannonijskog gibanja
(2.49)
t
To je perioda harmonijskog gibanja. Nakon tog vremena !Očka ponavlja isti ciklus gibanja. Broj pređenih ciklusa II jedinici vremena naziva se fi'ekvencijom f
Frekvencija ima jedinicu herc II značenju recipročne sekunde (Hz=s-!).
ubriavanje usporavanje ~~~~--~--~~~-1
-a::AI!l V~O
t -1I!' - Zid
I
t>2l! Zw -y
-o
usporavanje
-A
t oO 211: 'W
-v;Aw a::O
0 0 =0
- y=-Aw
toK w
: I:
t< Jr. 2w
-v -o
ubrzavanje
A
t ~ if;; \1;;;0
____ a:::_Aw2
'5
Slika 2..1 3. Položaj ločke na pUlaoji u različitim trenucima jednostavnog pravocrtnog harmonijskag gibanja
(2.50)
Amplituda puta, perioda j frekvencija ovise direktno o konstanti (;). Ta konstanta, pored početnih uvjeta, odreduje svojstva hannonijskog gibanja, a zove se kružna frekvencija, s jedinicom radijan II sekundi (rad s -I), Kako je radijan izvedena jedinic. za kut (rad=m!m). ponekad se uzima za jedinicu kružne frekvencije samo recipročna sekunda (S-l).
Svako periodično gibanje može se zamisliti sastavljeno od niza jednostavnih harmonijskih gibanja. Radi jednostavnosti prom'lraju se složena periodična gibanja II komponentama, čime se bavi liarmQnijska analiza,
2.5, Krivocrtno gibanje
2.5.1. Prikazivanje gibanja II Descartesovu koordinatnom sustavu
U Descartesovu koordinatnom sustavu (sl, 2.14), u kojem smjerove osi x, y, z odreduju jedinični vektori ~ j i k. određen je položaj čestice koordinatama x=x(t), y= y(t) i z =z(t), koje $U ujedno-i -parametar.k.jednadžbe putanje, gdje je· ~ parametar vrijeme t. Eliminacijom parametra t prikazuje se putanja i pomoću dviju jednadžbi u obliku F, (x, y, z)=O, Fz (x, J, z) ~O, Vektor položaja r točke im. u lom koordinatnom sustavu komponente
r=xi+yj+zk, (2.51 )
3 s. Jeci':: KINEMATlKA I DINAMIKA 33
a kako i~ j i k pripadaju nepomičnim osima, bit će brzina v = r i ubrzanje a = v = r određene relacijama
x
v=xi+jtj+zk
k .,. OJ IL..".-_-+_-",.-__ , ;-- J~ l.r
J ",/"x(tl ____________ J... y
y(tl
al
v , ,
(2.52)
(2.53)
I Vy~tL
Slika 2.14. Prikaz gibanja čestice u Descaneso\"U koordinatnom sustavu (a), vektori br:.dne (b) j ubrzanja (cl
Iznos i smjer vektora brzine određuje se iz komponenata r =X v =y' i v =2: x ')' ~
kako slijedi: .
v=V'-;+t~+~ (2.54)
. i: cos IX(:'=-;: (2.55)
}" coS/1,'=-1
" (2.56)
gdje su at: i Pt! ~uto,:,i koje pravac vektora brzine zatvara s osima x i y. Kut rtl prema OSI z određen Je uVjetom
COS1
:IU +cos2 Pv +cos2
. S~ičn~ vrijedi i ~ .ubrz:tnje kojega su komponente a",=x, a = y i a_=z~ pa su Iznos l smjer određem IZraZIma ~ -
34
a=J~+tf,+~ =JX' + i""2 + "? X
COSct.,=a
;~ cos (1.=:"'.
a
(2.57)
(258)
(2.59)
Kad se čestica giba II ravnini. dovoljne su samO dvije koordinate za prikaziva~ nje gibanja (npr . .x i .t.), a vektorj brzine i ubrzanja imaju tada samo dvije komponente.
Primjer 2.6
Klizač d giba se po paraboličnom žlijebu (51. 2.15aJ kojega je jednadžba r=O.6.e (tl metrima). Pomoću kulise B ostvaruje se gibanje klizača, tako da mu je komponenta brzine u pravcu osi x konstantna i jednaka vx=O~3ms-l. U trenutku ( = O klizač se nalazi u tjemenu putanje. Odrediti koordinate položaja klizača x~x(,) i )'=.\"(1) te vektore brzine v i ubrzanja a u trenutku t= I,.
Y Y
a potanju
0,051. --------
o 0,3 m
Slika '2,15, Putanja i \'-CklOri brzine i ubrzanja u trenulku t= l s
Integriranjem komponente brzine v.==x=konst. dobiva se
x= f "xdt=v,t+C .
Uz r=O, x=O i C=O, te uz f tl sekundama j x u metrima slijedi
x=O,3t.
Prema zadanoj putanji dobiva se za drugu komponentu gibanja
p=O,054t2•
bl
x
(2.60)
(2.61)
U ,renutku I l s klizač se nalazi II točki putanje x=O,3m i r=O,054m (vidi sl. 2.15b).
Komponenta vr brzine dobiva se deriviranjem izraza (2.61):
v,= 1=0,108t, (2.62)
što za l I s iznosi t:,,=O,108ms- 1• Iznos i smjer vektora brzine bit če prema tome
_.,~. "t'",:jV;-+~ ;'JO,32 +O.1082.=O,319 ms- 1
vJ: 0,3 cos~.~v=O,319 =0,94,
tako da je kut ".= 19'52'28".
3* 35
Komponente ubrzanja iznose:
0).= v'$'= y=0,108 ms- 2 .
Prema torne vektor ubrzanja konstantnog je iznosa stalno usmjeren prema pozitivnoj poluosi y:
a=O,!08 ms-2
(ta=90? .
Položaj klizača na putanji s pripadnim vektorima v i il prikazuje slika 2. J 5 b.
2.5.2. Prikazivanje gibanja pomoću polarnih koordinata
Za gibanja II ravnini često se II kinematici upotrebljava polarni koordinatni sustav (st 2.16) s radijaIllom f i drkularnom cp osi. Položaj osi u ravnini odreduju jedinični vektori e,. i eq>' Pozitivni smisao radijalnog pravca poklapa se sa smislom povećanja r koordinate, a za cirkularni pravac odreduje pozitivan smisao povećanje kuta (f). Jedinični vektori el'" i ef kao vektorske veličine nisu konstante. Iznos im se doduše ne mijenja, jednak je jeainict ali im se mijenja smjer u ravnini, Položaj točke na putanji određen je s dvije skalarne koordinate: udaljenost r od pola O i kut <p mjeren od nekog nepomičnog pravca u radijanima, Pri gibanju to su funkcije od vremena
r=r(t) (2.63 )
cp=cp(t). (2.64)
Te su funkcije ujedno i jednadžbe putanje II parameta.rskom obliku.
r
o o al bl
Slika 2.16. Polarni koordinatni: sus\av (a) i prirasli vektora položaja tb)
36
Vektor položaja točke na putanji u tom koordinatnom sustavu može se prikazati izra70m
r=re,_ (2.65 )
Da bi se dobiJ! vektori brzine i ubrzanja, potrebno je r derlvirati po Hemenu. To je moguće izvesti na dva načina: promatranjem prirasta vektot'd r l \' ili direktnim deriviranjem (2.65) i proma:tranjem prirasta jediničnih vektora el'" i e~. Pokazat ćemo obadva način{:L
U vremenu dl mijenja. se vektor r za dr. Taj ukupni prirast ima dvije komponente: ,radijaInu i cirkularnu. Radijalni prirast vektora r jest prirast tog vektora po ve~:ičinL Po iznosu jednak je skalarnom prirastu dr, a smjer mu odreduje jedinični vekt<ir el'"' Komponenta prirasta II cirkularnom pravcu (promjena vektora r po pravcu) iznosi rd(,;), ti pomnožena s jediničnim vektorom e" daje vektorsku komponentu ukupnog prirasta, Na taj je način
dr=dre,+rdcpe.. (2.66)
što podijeljeno s dt daj.
Budući daje crfdt=r=v, bit će
dr dr dcp -=-e +r-e_ dt dt' dt'
(2.67)
v=re,+,q,e.. (2.681
Kako je V= !l,er + vq:oeot
• komponente brzine v u radijalnom i cirkulamom pravcu (sL 2.l7a) jesu:
ti,=r
vop=rq,. Vektor v po iznosu i smjeru dobiva se pomoću izraza
cos v
(2.69)
(2.70)
(2.71 )
(2.72J
Nakon vremena dl promijenit će se svaka od komponenata vektora brzine za beskonačno moli vektorski prirast, Prirasli d., i dvo radijalne i cirkularne komponente imaju također komponente u oba pravca (sl. 2.17b). Sve te komponente tvore ukupan prirast vektora v:
clv= dvl'" +dv,*,=d~Ter + t'rdtpf:i! +dv~eO'.- v<pdq>er ·
. -"".~ --;: -
(2.73)
To sređeno i podijeljeno s dt dat će vektor ubrzanja:
a=d __ V=(d_"_,_V _d_"')e +(v d", + d_V_o) •. dt 11 dl r t dt dt lp
(2.14)
37
Nakon uvrštenja (2.69) i (2.701. deriviran)a i sređivanja dobiva se
a=(r r<p')e,+(rq, + 2i',p) e •.
'l
ptl~anjo
o bl o)
(2.75)
r
Slika 2.17. Vektor bniJ'lc s komponem.!ma u po!a:nom koordinatnom sustavu ta~ i prirasli brzine (b)
Komponente vektora 1; brzanja 3=a,cr + II()Cq> jesu. prema tome,
a,=r_rip2
a",=rq, + 2;ip , a iznos i smjer daju izrazi
.j Ci - rq,' J' + (rij> + 2rq,)'
COS :til a
(2.76)
(2.77)
(2.78)
(2.79)
Položaj vektora ubrzanja i komponente u polarnom koordinatnom sustavu prikazuje slika 2.18. U svim izrazima rP ima jedinicu rads-I, a if> rad s-'.
ii
putanja.
o Slika :tl8. Vektor ubnan.ič 5 komponentama lj polarnom koordinatnom sustavu
38 l
Na drugi način može se vektor brzine dobiti direktnim derivir.njem, gdje je
d . • y= dt (re,.)=re,+re,. (2.80)
Da bi se ta derivacija mogla izvesti dokraja, a također i derivacija vektora brzine, pogledajmo što znači derivirati jedinične vektore el' i c<1' Prirasli tih vektora prikazani su na st 2.19.
SlLka 2.19. Prirast i jediničnih vektora polarnog koordinalnog sustava
Budući da su iznosi jediničnih vektora konstantni qel'l =jeqll == 1 t. oni imaju priraste samo po smjeru. Ti prirasti podijeljeni s vremenom dl daju prve derivacije jediničnih vektora:
• d", . e,=-e =<pe dl 'I' lP
e.=- d 'I' e = ipe,. dl '
Kada se (2.81) uvrsti u (2.80). dobiva se za brzinu ":
v=re,.+rq,e~.
Ponovnim deriviranjem dobiva se vektor ubrzanja:
a= r e". + rel' +i-ipe;p +rq,cft' + rq,č<p , što pomoću izraza (2.81) i (2.82) daje
a = (i' - rip') e, + (riii + 2rip) eo'
(2.81 )
(2.821
(2.83)
(2,84)
Izrazi (2.83) i (2.84) jednaki su izrazima (2,68) i (2.75). Prvi način izvoda za brzinu i ubrzanje daje zamiju sliku o lome kako nastaju pojedine komponente brzine i ubrzanja, dok je drugi načinI koji je formalno matematički jednostavniji, bez mogućnosti predodžbe () fizikalnom nastajanju prirasta,
.--
Lansiranje rakete prati se pomoću radara koji je povezan s računalom. Polarne koordinate r i <p automatski se očitavaju i deriviraju, te se pomoću njih izračunavaju iznosi brzine i ubrzanja. za pravocrtni dio putanje rakete odrediti izraze pomoću kojih se izračunavaju ti iznosi.
39
Iz slike 2.20 vidi se da je brzina v po iznosu
LI=Vr sin €p+ Pep cos rp,
što kada se uvrste odgovarajući izrazi za komponente v,. i vi' daje
,11=r sin tp+ rip costfJ.
s
Slika 2.20. Pračenje gibanja rakete pomoeu polarnih koordinata
(2.851
Jednako vrijedi i za ubrzanje a koje se po pravcu poklapa u tom primjeru s pravcem brzine 'r, tako da je
a=a,. sin cp +a<l' cos f{J,
odnosno
a = cr - rip') sin q> +(riP+ 2i-ip) cos rp. (2.86)
Kako je putanja rake le pravocrtna, zadatak se može riješiti i tako da se put s rakete izrazi preko koordinata r i qJ koje računalo prima kao ulazne podatke. Tada je
s=rsiocp,
~to deriviranjem po vremenu daje brzinu
1;=$=; sin q>+rQJ cos q>.
Ponovljenim deriviranjem dobiva se ubrzanje:
()= r sin tp +;;p cos cp +rq, cos f{J +rq; cos~-ril sin qJ t
odnosno a = (r - rip') sin q> +(riP + 2i-ip) cos q>.
(2.87)
(2.88)
(2.89)
2.5.3. Prikazivanje gibanja pomoću cilindričnih koordinata
Cilindrične koordinate kombinacija su polarnih p, q> i jedne Descartesove, npr. a (sl. 2.2\). Bndući da se pravac vektora položaja r ovdje ne poklapa s radijainim
40
pravcem, za radijalni je pravac uvedena nova oznaka: p. Položaj točke u prostoru odreden je tokom gibanja s tri podatka:
p~p(t)
rp~rp(t)
z~z(t).
(2.90)
(2.91)
(2.921
To su ujedno i parametarske jednadžbe putanje, gdje je vrijeme r parametar. Pripadni jedinični vektori jesu: ep za r(Idijalni pravac, e ... za cirkularni i k za aksij(dllll os z, Vektori ep i c1O' imaju promjenu po smjeru, dok je li konsta.ntan.
z
Slika 2,21. Vektori brzine t i ubr7.anjn ti u d!;ndričr.orn koordinalOom $.uSla\'U
Gibanje točke može se zamisliti sastavljeno od gibanja a ravnini p. lp j paralelnog. pomaka te ravnine u smjeru osi z, Tako se može shva~itl da su i vektori brzine i ubrzanja sastavljeni od tri konlponente: radijalne i cirkularne u ravnini p, tp i jedne koja se po smjeru poklapa s osi z. Bez izvoda moguće je, dakle. preuzeti te komponente iz pripadajućih koordinatnih "Istava. Tako je za brzinu
(2.93)
kod koje su komponente analogne izrazima (2.69), (2.70) i z komponenti u (2.52),
ZlI ubrzanje će biti
a=apep +a .. e~+a::k.
gdje se komponente iz zadanih funkcija p. 'I' i z dobiju pomoču izraza .. '2
Gp=P-P'l'
(2.94)
(2.95)
(2.96)
(2.97)
(2.98) .
(2.99)
(2.100)
41
Po iznosu brzina v=JV;+~+V;, a ubrzanje a=Ja;+a!+a;. Smjer tih vektora određuje se prema bilo kojIm osima kao i kod svakog drugog vektora. te to ovdje nećemo ponavljati.
Primjer 2.8
Gibanje točke zadano je jednadžb.ma p=R,,= konst-, 'fJ=(nj21-wt i : = .,. Naći putanju i vektore brzine i ubrzanja ako su (o i i. realne konstante veče od nule.
U ravnini p. (j) točka se giba po kružnici polumjera Ro. Kako istovremeno mijenja položaj i na osi !~ putanja je spirala oko plašta cilindra s polumjerom Rf (st 2.22).
Slika 2.22. Gibanje točke po plaštu cilindra
U početnom trenutku za r =0, rp = ,,/2. Budući da je i,>O, a kut rp opada. giba se točka po spirali prema gore. Komponente brzine iznoi:.e:
,',=p=O
V:=Ž=A.
Vektor brzine ima iznos v=JR.f,,,,'+),', koji je konstantan, a po smjeru stalnog je nagiba prema ravnini p~ rp. Taj nagib određen je kutom (;(11' kojemu je veličina
42
V: i. ",,=arctan-= arctan --o
". Raw Komponente ubrzanja dobivaju se prema (2.98) do (2.100):
ap=p- pip2= - Roail
a.=piP+pip=O Q:=t=O,
,
I
I
te je prema tome iznos ubrzanja jednak radijalnoj komponenti a=a,=R"ai'. Smjer vektora ubrzanja pokiapa se s negativnim smjerom osi {J (op <O!) i gleda uvijek prema osi zamišljenog valjka oko kojega se omorava putanja.
2.5.4. Prikazjvanje gibanja pomoću sfeTnih koordinata
Položaj točke II sferro11l koordinatnom sustavu (st 2.23) određen je jednom dužinom i s dva kuta, čemu pripadaju koordinate
r=r(Cl
rp=rp(n
9~9(I).
(2.101)
(2.102)
(2.103)
Pripadni jedinični vektori er' ei' i es. određuju smjerove radijalne osi r i dviju cirkularnih f{! i 8. Osi sfemog koordinatnog sustava su pomične, a jedinični vektori imaju priraste po smjeru. Radijalna os poklapa se s pravcem vektora položaja r,
o
'" ,. n
Slika 2,23, Vektori brzine r i ubrzanja a II sfernom koordinatnom Sllstavu
Pozitivnu usmjerenost joj određuje povećanje vektora položaja. Cirkularna os CP. kao i pripadna koordinata iste su kao i kod cilindričnog sustava. Cirkularna os S okomita je na preostale dvije osi tog sustava. Pozitivna je II smislu povećanja kuta [J koji pokazuje otklon pravca r od horizontalne ravnine.
Funkcije r (t), rp (t) i II (l) parametarske su jednadžbe putanje. Kao i kod ranijih koordinatnih sustava pomoću njihovih derivacija određuju se komponente vektora brzine i ubrzanja. Oba ta vektora odredit ćemo pomoću direktnog derivinmja vektora položaja:
r=reJO *
Prva derivacija vektora r po vremenu daje brzinu
l'=T;:::::re +re , "
(2.104)
(2.105)
U sfemom koordinatnom sustavu jediniČDi vektori e, i e u vremenu dt dobivaju dvostruki prirast: zbog promjene kuta rp i zbog promjene kuta 9. Pri
43
promjeni kuta 8 ne mijenja se vektor e~, već mu je prirast posljedica samo promjene kuta lp. Prirasti jediničnih vektora ili njihovih projekcija vidljivi su u ravninama u kojima lež< kutovi lp i 8. Štc se događa kod promjene kuta lp za dip pokazuje slika 2.24a. Na ravninu koju [\'ore cp i n projicira se vektor e~ s cos 8, a es sa sin 8. Jedinični vektor e~ vidi se u punom iznosu. U ravnini promjene kuta 9 (r, 8 rav~ina) leže vektori e~ i es. pa su prirasti lih vektora kod promjene kuta za dS vidljivi u punom iznosu (sl. 2.24b). U pravcu n uveden je jedinični vektor en kako bi se svim
r
n
n
aj bJ Slika 2.24. Prirasli jediničnih \'ektora kod promjene kutova <p (a) i 9 (bl
veličinama na tom pravcu mogao dati vektorski smisao. Prirast vektora e~ kod promjene kuta lp jednak je prirastu njegove projekcije na os n. Taj prirast zbrojen s prirastom kod promjene kuta 8 daje ukupan prirast vektora e~. Uz ispuštene apsolutne vrijednosti jediničnih vektora, koje su jednake jedinici, bit će
de~=cos8 dlpe~+d8e.9' (2.106)
Prirast - dlpen vektora e.,. koji se u punom iznosu projicira na os n (sl. 2.24b) može se prikazati pomoću komponenata u pravcima r i 8, pa je
d e.,. = - dip cos 8e~ +dcp sin Ses' (2.107)
za jedinični vektor es. ukupna promjena glasi
de.= -d8e,-sin8dlpe.. (2.108)
Prirasti jediničnih vektora podijeljeni s dl daju njihove derivacije, koje nakon sređivanja glase:
e,= lp cos 8e. + SeS.
e.,. = - lp cos 8e~ + lp sin 8es.
es.= -Se~-ip sin8e.,.._
Uvrštavanjem (2.I09) u (2. lOS} dobiva se prema tome za brzinu
v=;e~ +rip cos8e~ +rges..
44
(2.109)
(2. liO}
(2.lll)
(2.112)
Budući daje v=l"~e~+l·4>e ... +vseS., komponen{e su brzine:
l'~=r
l"",=rip cos 9
1's.=r8.
Vektor ubrzanja dobi\'a se deriviranjem izraza (2.112), što daje
d,' a=-=re~+;.e~+;ipcos8e +rijJcos9-c -,.ip8singe + dr - .,. 'I' 4>
, +ripcos8e"!+;ge,,,-rge~+,.~e,).
(2.113)
(2.ll4)
(2.115)
Kada s,; za derivacije jediničnih vektora uvrste izrazi (2.109) do (2.111), dobiva se nakon uređenja
(•• " • , 2 n [cos 3 d -,. .,. J
3= r-r;, -r<p-cos ,;r)er + -r-dt ('---lp)-2r<pdsm9- er + [~ ~ ('> 91+ rip' ;in 8 cos 9J e •.
r dr
c059 d . a =---('>';'}-1,ip95iu8
'I' r dt
l d " ' Q.Q =- - (r.:1) +rq,- sin 9- cos 9.
r dr
12.116)
(}.lI7)
(2.118)
12.ll9)
Iznosi vektora brzine i ubrzanja i njihovi srnjero\i određuju se iz komponenata na poznat način.
Primjer 2.9
Teleskopski nosač mehaničke ruke premjesta se iz jednog položaja u drugi programirano. Upravljanje pokretačkim mehanizmom obavlja se u sfemim koordinatama. Za vrijeme stacionarnog gibanja (nakon završetka pokretanja i prije početka zaustavljanja l brzine promjene koordinata jesu: ;. = 0,5 ms -I •
CP = 0,8 rad s -I, !J = 0,5 rad s -l. Odrediti vektor brzine i ubrzanja kada je r = 1,5 m i 8=45'.
Budući da komponente brzine i ubrzanja ne ovise o samom kutu rp. zbog jednostavnosti se može izabrati da je u promatranom trenutku lp=O (sl. 2.25).
-Komponente-brzineprema l2.ll3), (2. II 4} i (2.115) iznose:
L'r=;=O,5 ms- 1
vo=rip cos 9= 1,5'0,8'0.707 =0,848 m s-'
v:;=r9= 1,5'O,5=0,75m S-l.
45
Iznos i smjer brzine 'f dobivaju se iz njezinih komponenata
v= Ju; + if. + vl = 1,238 m S-l
r
o
al
,. P,= arc cos ~=46,766°.
l'
r
b I
o
Slika :!.:!S. Položaj vektora brzine (a) i ubrzanja (b) mehaničke ruke
Prema (2.117), (2.118) i (2.119) bit će nakon deriviranja
cos9 ..,.. . h . 9 a =-- (2"'I'+''I')-2r'l''' SlD • r
a. =~ (2rr8 +,2 lj) + rip' sin 9 cos 9. r
Budući da su T, cp i /) konstantni, njihove su derivacije jednake nuli, pa je
a,= - r9' - rip' cos' 9= - 0,5 '0,5' -0,5'0,8' '0,707'= - 0,285 m s-' !?
a.= 2cos 9rip- 2rip.9 sin 9=2 '0.707 '0,5'0,8 - 2'Q,5 '0,8' 0,5'0,707 = . , =0,283ms-' ,.
a. =2r9+rip' sin 9 cos 9 = 2'0,5 '0,5 +0,5'0,5' '0,707' =0,563 m s=',.
Vektor ubrzanja ima iznos
46
w
'--~ .. -
;., ,
a smjer mu je određen kutovima
tl Pil = arc cos ~= 53,697°.
tl
2.5.5. Transformacija vektora brzine i ubrzanja
Izml!đu komponenata vektora brzine i ubrzanja II Descartesovu. cilindričnom i sfernom koordinatnom sustavu postoje veze pomoću kojih se komponente iz jednog sustava ;llogu transformirati u pripadne komponenle li drugom koordinatnom sustavu. ;
J z
'{I
'{I
V, y
x
Slika :!.:!6. Prijelaz iz Descanesova koordinalnog sustava x . . 1". : u cilindrični SU!'13V p. (/J_ :
Descartesov i cilindrični koordinatni sustav. Projiciranjem komponenata brzine vj( i v na osi p i <p cilindričnog sustava (sl. 2.26) dobiva se veza u ovom obliku: Y
Vp = Vx cos <p + Vy sin <p
vq>= -I:x sin cp+ Vy cos cp.
(2.120)
(2.121)
Treća komponenta v. jednaka je u oba sustava. Da bi prilagodili te jednadžbe matričnom zapisivanju, ispišimo ih sa svim članovima:
Vp =vx cos cp + V)_ sin <p+ v,,·O
vq> = V ... < - ~in cp)+ Vy cos <p +v;-O
v,,=vx -O+vy·O+v,,-l.
. ~U n1~ričnoin""ob1iku· to-glasi·:
(2.122)
47
Jednostllpčane matrice u vitičastim zagradama (vektori) kratko ćemo označiti s {r .... ) i Ivx,,}' a matricu 3 x 3 l. uglatim zagradama s [TJ:
[T~;= t:~:: ::~: ~] (2.123)
Matrica [T,,] je marrica transformacije pomoću koje se transfonniraju komponente vektora brzine iz Descartesova sustava u cilindrični. Matrična jednadžba za transformaciju prema (2.122) glasi
::rp.J= [T.l Iv",~. (2.114) , Jednako vrijedi i za komponen1e ubrzanja:
{<I, •• } = [T.] {aXF }. (2.125 )
Obrnuto, kod prelaza iz cilindričnog II Descartesov koordinatni sustav treba matričnu jednadžbu (2.124) pomnožit; slijeva s in,·erznom matricom (T.] -'. Iako da je
(2.116)
Buduči da je [T.,J- 1 [T~J jedn,:ko jediničnoj matrici, uz vektor {v.t).J ne treba je pisati. Nadalje je. kQd transformacije iz jednog II drugi pravokutni koordinatni sustav kojima su osi međusobno zaokrenute za neke kutove. detenninanta matrice [T.J jednak. jedinici. Matrica [T.J je ortogonalna, tako da je [T.r' = [T.]' (inverzna matrica jednaka je transponiranoj). UzimaJući to u obzir. dobiva se iz (2.126)
(2.127)
odnosno
(2.128)
Jednadžbe (2.124) i (2.125) te (2.127) i (2.128) uz matricu [T.J koja je određena s (2.123) daju potpunu vezu i2među Descartesova i cilindričnog koordinatnog sll,tava. Isto vrijedi za Desca.rtesov i polarni koordinatni sustav. no tada treći redak II (2.122) otpada. a također i treči redak i treči stupac u matrici [T.J
Cilind!ični i srerni koordinatni sustav. U oba sustava jednaka je cirkularna fP komponenta. Iz komponenata ""p i v;:: mogu se izračunati komponente Vr i r30 II
sfernom sustavu prema slici 2.27, tako da je
v.=v.cos9+v,sin3 (2.129)
v,= - vp sin,<l+o,cos.'/. (2.130)
Uzimajući u obzir i cirkuJamu komponentu D~, dobiva se slično gornjem izrazu ···~'-·Od22)malrjčna;jedDadžba,···~ .. ... ...
lv'l= [cosa o sm3]'10i vI$' o o tl ...
v, -sin9 fi cos9 t:_
(2.131 )
48
.i
,
Matrica transformacije ovdje irna ove elemente:
tako da je
odnosno
r
x
[
cosS O Sina]
[T.]= O l O
r
-sinS O casS
{t'~}
{ "1'4'3}
ZI I I
! l
V;
[T,] {v",,'}.
[T,]{a .. ,} .
-y
Slika 2.27. Prijelaz iz cilindril!nog koordinatne§! sustava p, rp. :: u sremi r, <P. ii
(2.132)
(2.133)
(2.134)
Sve što je rečeno za matricu [T.J vrijedi i za matricu [T J, pa će obrnuti prijelaz iz sfernog koordmatnog sustava II cilindrični biti
{< .. ,} [T.]' {v .... }
{a ... J [T,], {a",,}.
(2.135)
(2.1 36)
Descartesov i sferni koordinatni sustav. Veza između ta dva sustava dobiva se iz već ranije postavljenih jednadžbi. Ako s. u (2.133) i (2.134) umjesto ".,., i a ,uvrste desne strane izraza (2.124) i (2.125i dobiva se: ".
{v .... ) = [T.][T.] (oxy,)
{a .... } = [T.][T.] {axy,).
Na'kon množenja matrica~·transformacije ima ove-elemente: ",,- -
[
COS S COS,!, cosSsin'!' Sins]
[T",,] = [T,] [T.] = -sinti> cosI{! O
-sin9cosl{! -sinSsinq> cos3
4 S. Jtcič': KINEMAT1KA lDISAMIKA
(2.137)
(2.138)
(2.139)
49
. ,
Obrnuto, kod prijelaza iz sfernog u Descartesov sustav treba lijeve i desne strane pomno,iti s [T.Y[T.Y_ Pritom je [T.]T [T.Y [T,] [T.] =[1] (jedinična matrica 3x3),!!aje
(2_1~0)
(2.141)
Ovdje je umnoiak lransponiranih matrica jednak lransponiranoj matrici (2.139). tj_ [TJT[T.Y=[T..,Y_
Primjer ?10
Leli aviona prati se radarom pomoću kojega se odreduju sferne koordinate poIQžaj.~ te dalje računalom komponente brzine i ubrzanja. U trenutku kada su kutovi iznosiH <p =45" i 9=601) Izračunate su komponente brzine {:, =83.461 m s-t. u.,.=-166.923ms- i . 1 v,= 144,555ms- J
• Izračunati komponente vektora brzine aviona u Descartesovu koordinatnom sustavu.
r l
v~=-166_923 ~=-144_SSS
r
y
x Slika 2.2S.Komponente brzine aviona u sfernom i Descarto:soy\,l koordinatnQm suslavu
za izračunavanje komponenata brzine VA' VJI' Li; iz sfemih Vr. V(i01 v8- upotrijebit ćemo jednadžbu (2.140)_ Kada se matrica (2.139) transponira (zamjena redaka i stupaca), dobiva se
!::l=[:::~:~:; o;:n: =:::::~~:]'!::l-V: sm8 O cesS IJ~
UZ zadane vrijednosti kutova i komponenata vI" v; rV::bit će nakon- ilino:zefija~~--4 ~'~
".=0,5'0.707 -83,461 +0,707 -166,923+0,866-0,707 -144,555=236ms-!
",=0,5 -0.707- 83,461-0.107-166,923+0,866- 0.707'144,555=0
V~ = 0,866' 83.461 - 0,5 -144,555 =0_
50
U promatranom trenutku brzina aviona iznosi l)=v.r=236111S~J =850 km/h. Smjer gibanja poklapa se s pozitivnom osi ox (sl. 2.28)_
2.5.6. Prirodne komponente vektora brzine j ubrzanja
Kada se položaj toč-ke na pUlanji može odrediti u svakom trenurku dužinom luka s i polumjerom zakrivljenosti R putanje, upotrebJjavaju se za opisivanje gibanja ptitodllt' kampollt!t!le. Prirodni koordinatni sustav čine tangenta na putanju i glavna normala {sl. 2.29}. Već je rečeno da vektor brzine leži u pravcu tangente~ a iz geometrije je poznato da se polumjer zakrivljenosti poklapa S pravcem glavne
e
glavna normala
T
tangenta
Slika 2.29. Prirodni koordinatni sustav
normale. Tangema T i glavna normala N tvore oskulatornu ravuiflu. U kinematici su to .osi prirodnog koordinatnog sustava s jediničnim vektorima er i e!". Pozitivan smIsao osi T proizvoljno se odabire. Pozitivna strana osi N uvijek je ona koja gleda prema centru e zakrivljenosti putanje. Od neke polazne točke na putanji mjeri se dužina luka s. tako da je pri gibanju luk s funkcija od vremena. Budući da je općenito i R funkcija od vremena. polazne su veličine za određivanje elemenata gibanja
S=5(1)
R=R(t).
(2.142)
(2.143)
Brzina v=; može se dobiti promaIranjem prirasta vektora r i dijeljenjem log prirasta s vremenom dr. za beskonačno male veličine može se reći da je dr po iznosu jednak prirastu luka ds, a po smjeru je približno jednak smjeru osi T, tako da je dr",dse" Tada je brzina
• dr ds . v=r=-=-",=s",.
dr dl
Iznos brzine v jednak je dakle prvoj derivaciji luka po vremenu (v=sj, a smjer joj se poldapa sa smjerom tangondjaine osi T. Normalna komponenta brzine jednaka je nulL
4* 51
.. Ubrzanje a prva je derivacija vektora brzine po vremenu:
dv d. .. .. =-;--=-;- (5e,.) = 5e,.+Se,.- (2.145)
Kako se derivira jedinični vektor pomičnog koordinatnog sustava pok~zano je već II poglavljima 2.5.2. i 2.5.4. Na slici 2.30b vidi se prirast vektora el pa Je uz le1 1 = l
de,.=d.peN' (2.146)
Dijel.jenjem s dr i uvrštavanjem u (2.145) bit će (2.147)
Prirodni koordinatni sustav upotrebljava se obično kada je put.nja poznata po obliku. odnosno kada su poznati 5=5(1) i R=R(t). Zato ćemo u izrazu (2.147) izr~zi'i,j, pomoću s i R. Iz slike 2.30 vidljivo je da je ds=Rd.p, tako da je d", =ds,R ili \It = s/ R. Prema tome je
(2.148)
r I.dl
eN<I'oetl ds
dr it
e. I
a) b) Slika 2,3Q. Porasti vektora '1 (a) i jediničnih vektora 'lT i -:es (b)
Vektor ubrzanja ima dakle dvije prirodne komponente: tal1gencijalnu aT i normalnu. ili centripetainu aN:
a = GTe.r+ aMeN '.
Iznosi komponenata odredeni su ovim izrazima:
aT~S=V
52
(2.149)
(2,150)
(2,151)
tako da je iznos vektora ubrzanja
(2.152)
Smjer vektora ubrzanja određuje se prema jednoj od osi. npr. kut prema osi T iznosi (sL ::.31 )
(2.153)
Tangl!flcijalna komponenta ubrzanja pokazuje promjenu iznl.'1sa brzine v, Može biti veća i!i manja od nule. aH i jednaka nulL Ovo posljednje moie biti unutar nekog konačnof; perioda gibanja. lj tom periodu iznos brzine je kl..'\n$tantan. no kao
I
N
e R /
1,0 /
T
Slika ~,3L Veklori br,dne i ubr;:eanja s prirodnim kompoOl:nt:lma
vektor ima kod kri\'ocrtnog gibanja promjenu po smjeru, Kada su iznos brzine i tangencij.lna komponenta ubrzanja istog predznaka, gibanje je ubrzano. U suprotnom gibanje je usporeno, slično kao i kod pravocrtnog gibanja. Mjera promjene brzine po smjeru normalna je komponenta ubrzanja. Ta komponenta može biti samo veća od nule, jer je bez obzira na predznak iznosa brzine " > O, a polumjer zakrivljenosti R je po definiciji uvijek pozitivan broj. Iznimno. kada je putanja pravac ili se ločka nalazi na mjestu infieksije putanje R oo, pa je aN = O. Budući da je normalna komponenta ubrzanja uvijek pozitivna, znači usmjerena prema centru zakrivljenosti putanje, ukupno je ubrzanje a otklonjeno uvijek od tangente prema konkavnoj strani put.nje, kako je to već ranije rečeno (vidi 2.1).
Primjer 2.11
Za gibanje točke iz primjera 2,8. odrediti S=S(I) i polumjer zakrivljenosti R putanje. -"",-,, .
Iznos brzine <=JR]p2+)..l konstantan je i predstavlja prvu derivaciju luka s putanje po vremenu. pa je
s= r "dl=IJR~"iH.' +C_
53
Iz početnih uvjeta za 1=0, 5=0 le je i C=O. Time je
_ l
Ubrzanje a stalno je pn',l'na rješenju primjera 2.8 okomito na brzinu v. što znači da mu je tangencijalna komponenta jednaka nuli (ii =0 l), te je to ubrzanje ujedno i normalna komponenta s iznosom
a=aN RaW?.
Polumjer zakrivljenosti putanje konstantan je i iznosi
if ".'l' R Ro
ON
Položaj osi T i N i polumjer zakrivljenosti putanje prikazani su na slici 2,32,
T
/' Slika 2"32. Bnina i ubrzanje u prirodnom kQordinatnom
sust,IVU kod gibanja po prostornoj spirali
Vidi se da je polumjer zakrivljenosti R veći od polumjera valjka Ro po kojem se giba točka. Centar zakrivljenosti e leži II tom primjeru uvijek na okomici .puštenoj iz točke putanje na os valjka.
Primjer :U2
Gibanje točke po kružnoj putanji. Kada je putanja kružnica (sl. 2.33), polumjer zakrivljenosti R = Ro konstantan je, a dužina luka mijenja se s vremenom po bilo kakvoj funkciji 5=5(t).
Brzina, tangencijatna j normalna komponenta ubrzanja dobiva se iz izraza
-
54
Posebno kada je aT. konstanta, ~i: če nakon integriranja ("0>0) 0="-,'+0. s~aTr"/2+vot+""_ SlIčno smo dobilI u pn mJeru 2.3 za pravocrtno gibanje.
Uz "T>O gibanje po kružnoj putanji je ubrzano. Ako je "T<O gibanje je u jednom periodu usporeno, a zatim jednoliko ubrzano (vidi primjer 2.3!). Kada je GT = '5=0, gibanje po kružnici je jednoliko s konstantnom brzinom, a ubrzanje ima samo normalnu komponentu aN = ,riRa koje je II tom slučaju po iznosu takoder konstantno. T
Slika 2.33. Gibanje po kručnid
Zadaci uz poglavlje 2
I. Točka se giba pravocrtno duž osi x tako da je njezin položaj određen jednadžbom ~"(=Ae-~' Sin())l~
gdje su A, k i {I) konstante, tako da je položaj x u metrima, vrijeme t II
sekundama, a argument OJt trigonometrijske runkcije u radij.nima. Odrediti brzinu i ubrzanje točke kao funkciju vremena.
Rješenje: V= Ae -tt ( - k sinwt +co cosrox) I
a= Ae-k< [(k'-af)sinwt- 2kwcoswr].
2. Točka se giba pravocrtno, tako da se njezino ubrzanje mijenja ovisno o vremenu prema dijagramu (vidi sliku 2.34). Skicirati i kotirati dijagrame s (t) i c(t) ako je u početnom trenutku 1=0, "0=0 i ",,=0.
~ tis)
-1
Slika 2.34
55
3. Točka se giba pravocnno tako da je kvadrat njezine brzine zadan kao funkcija njezina položaja, prema dijagramu na slici 2.35. Skicirati i kotirati dijagrame s(t). r(t) i a(tl.
100
1 s!mJ
Slika .2.3~
4. Točka se giba pra\-ocrtno jednadžbi
s ubrzanjem koje Je funkcija položaja prema
a=-(:)~5.
U početnom trenutku brzina je točke Vo= l m s, a njezlO položaj 50 =0. Odrediti položaj točke. njezinu brzinu i ubrzanje kao funkciju vremena l ako je 01= 10 S-l.
Rješenje: 5=0.1 sin 101. V= l cos lOl. a= -10 sin 101.
5. Čestica se giba kroz otpornu sredinu tako da njezino ubrzanje ovisi o brzini prema jednadžbi
a=ao-kli2,
gdje su ao i k konstante. Ako je u početnom trenutku brzina čestice Vo = O. odrediti brzinu čestice kao funkciju vremena t. Zadatak riješiti za ao = 10 m/s'!. i k=O.5m- 1
•
Rješenje: v=.JiQ lh,51.
6. Gibanje čestice zadano je jednadžbama
x=2cos41, y=2sin41, z=2c,
gdje su x, yi -: u centimetrima, a t II sekundama. Naći polumjer zakrivljenosti putanje.
Rješenje: R=2,125cm.
7. Točka se giba u ra\"nini tako da je njezino gibanje određeno polarnim koordinatama
56
r=20cos<.p, tp=21.
gdje je r U metrima, cp u radijanima, a t u sekundama. Odrediti: a) jednadžbu putanje točke u pravokutnim koordinatama i bl komponente vektora brzirie"i ubrzanja II polarnim koordinatama kao funkcije \Temena t.
Rješenje: (x - 10)2 + r:! = 100 (kružnica), Vr = - -+o sin 2l,
vqt=40cos2r. ar = -160 cos2t. a ... = -160 sin21.
8. Gibanje iz 6. zadatka prikazati u cilindričnim koordinatama le odrediti iznose vektora brzine i ubrzanja.
Rješenje: p=2 cm. tp=4t rali. z=2tcm.
t'=8,246cms- 1, a,"=32cms- 2•
9. Čestica se kreće po sjevernoj pC'l\"ršini Zemlje konstantnom brzinom Vo, tako da veklOr brzine Vo zatvara s tangt'ntom na meridijan koji prolazi dalOm točkom konstantan kut :l prema zapadu. Odrediti putanju i komponente ubrzanja čestice u odnosu na Zemlju. Zadatak riješiti pomoću sfernih koordinata.
Rješenje: Putanja je loksodr:1ma tp=-tan IX lntan (~-:-~)+c. gdje je e integracijska konstanta, ar =:~ i6/ R, a", = r?o sin 2:x tan 9 ~R, a.9 = 1'5 sin2 ,; tan,j R (R je poltunjer Zemlje).
10. Točka A giba se u ravnini tako da je omjer njezine nonnalne komponente ubrzanja i p01umjera zakrivljenosti putanje konstantan i iznosi k. Također je poznato da je tangencijalna komponenta ubrzanja točke konstantna i iznosi A. U početnom trenutku (l =0) brzina čestice jest vo' Odrediti prevaljeni put čestice po putanji, brzinu čestice, tangencijainu i nonnalnu komponentu te polumjer zakrivljenosti putanj:, kao funkciju vremena l.
Rješenje: 5=0,5).12+ vol , V=~.l+t"o' aT=)~'
57
3, KINEMATIKA KRUTOG TIJELA
3.1 Translacija
Gibanje kod kojega svaki pravac na tijelu ostaje lokom gibanja pJ.ralelan s\'om prvobitnom položaju naziva se lransiafOmim gibanjem ili kratko rr.ms/acija. za položaj tijela II prostoru dovolj oo je poznavali položaj samo jedne njegove točke (npr. XA,. JA. z: .. ). Te su koordinate za vrijeme gibanja funkcije vremena. dok su Eulerovi kutovi !/I. cp, i 8 konstantni ili se uzima da su jednaki nuii. Putanje:svih točaka tijela sukladne su krivulje, a prema obliku tih putanja transia.:ija moi:~1 biti pravocrtna i krirocrcna (sl. 3.1).
z
-----" '\. I B' \
r r r
/ /
/ A' / L----7L--tl - ~/ '---
z
o~------------------~ y O~------------------~y
x 01 x bl Slika 3.1. Pravocrtna (a) i krivocrtna (bl translacija
Brzina neke točke A tijela jeste prema definiciji brzine (sl. 3.2)
v..t=r,," (3.1 )
Za neku drugu točku B bit će
(3.2)
59
Ako se uvede od točke A prema točki B .... ektor AB~ tada je rB=r,.t+AB. odnosno i.=r. + AR Vektor AB po iznosu je jednak dužini AB koja je dio krutog tijela. TI se dužina ne mijenja s vremenom. tako da vektor AB nema prirasta po iznosu Roceno je da je translacija takvo gibanje kod kojega svi pravci ostaju tokon' vremena parale1ni svojim prvobitnim položajima. pa je \'cktor AS paralelan vektoru A'B'. Vektor AB nema prirasta ni po smjeru.
Slika ~.2. Vektori brzina kod uansladjt
To znači da je AB=O te je r" =rB ili '":.t=VB'
To vrijedi i za bilo koju točku e odnosno
(3.31
(3.41
Vektori brzina svih točaka tijela kod translacije su jednaki. Za ubrzanje vrijedi da je 3A=VA i Bs=VS' Budući da su vektori brzina svih
točaka međusobno jednaki, jednake su im i prve derivacije pa je
(351
l vektori ubrzanja svih točaka tijela kod translacije mC<lusobno su jednaki.
Može se zaključiti da je kod translacije krutog tijela dovoljno promatrati gibanje samo jedne njegove točke. Sve ostale točke tijela imaju jednaka gibanja. prostorno pomaknuta za udaljenost među točkama. Translacija krutog tijela svodi se prema tome na kinematiku točke, za koju vrijedi sve što je rečeno u poglavlju 2.
Primjer 3.1
Zglobni četverokut prema slici 3.3 s ručicama r A i r. jednakih dužina dovodi kod zakretanja ručica oko O A i O. do kružne translacije spojne poluge AR Vektori brzina i ubrzanja svih točaka spojne poluge jednaki su:
60
S1ik<l J.3. Translacija spojne poluge AD
3.2. Rotacija oko nepomične osi
Rotacija tijela oko nepomične osi jest takvo gibanje kod kojega dvije točke tijela ili dvije točke zamišljeno vezane uz tljelo miruju. Posljedica takve definicije jeste. da i sve točke pravca na kojem leie te dvije mirujuće točke također miruju. Taj je pravac as rotacije. Sve ostale točke tijela pri gibanju opisuju kružne putanje sa središtem na osi rotacije (sl. 3A). Pritom su putanje koncentrične kružnice koje leže II istoj ili u međusobno paralelnim ravninama. Mnogi se dijelovi mehanizama i
os rotacije
SUlca 3.4. Putanje točaka tijela kod rotacije oko nepomične osi jesu kružnice l> centrom na osi
rotacije
strojeva tako gibaju (rotori motora, ručice mehanizama, zupčanici), pa je to jedno od najčešćih i najvažnijih gibanja II tehnici. Iz def!Ilicije tog gibanja izlazi da os rotacije ne mora neizbježno prolaziti kroz tijelo, a da je to ipak rotacija oko osi. Tako če prizma na slici 3.5a rotirati oko osi AB, ako joj dvije točke stvarno ili zamišljeno vezane uz prizma miruju. Ovdje su to točke O, i O2 , Sve točke iscrtkanog trokuta imaju kružne putanje sa zajedničkim centrom na osi rotacije (sl. 3.Sb). Takvo gibanje ne smije se zamijeniti s kružnom trar.slacijom, koja je prikazana radi usporedbe na slici 3.Sc,
za određivanje položaja tijela pri takvom gib. nju dovoljna je jedna koordinata. To je kut ŠIO ga bilo koji pravac vezan uz tijelo j okomit na os rotacije zatvara s početnim položajem (slik. 3.6). Taj je kut funkcija vremena:
'1'='1'(1). (3.6)
61
U konačnom vremenu Al ima kut cp konačni prirast A<p. Omjer tog prirasta I
vremena !lt daje prosječnu ili srednj(f klanu br:inu:
aj bJ cJ Slika 3.5. Rotacija prinne oko osi (a). četiri uzastopna položaja prizme kod rotacije (bl. i
kružna translacija prizme (e)
t
Slika 3.6. KU( rp, kutna brzina CI) i kulno ubrzanja t kod rotacije tijela oko osi
(3.7)
Kut lp se uzima u radijanima, tako da je dimenzija kutne brzine radijan u sekundi (rads-l). Kako je radijan izvedena jedinica za kut i ima značenje m/m (omjer kružnog luka- i PQlUIJ1j~ra), to se čes.tQ.radijan.u:dimenziji za kutnu- brzinu ispušta, te je alternativna dimenzija recipročna sekunda (s -1). Prirast kuta cp u beskonačno malom vremenu dt daje trenulflu kucnu brzinu:
62
. !'J.qJ dqJ . w=hrn -=-='1'.
&_o!1r dt (3.8)
Kao mjera brzine kojom tijelo rotira oko neke osi služi i veličina koja pokazuje koliko punih okretaja (2n radijanal učini tijelo u minuti. To je 'tzv. br:ina vrlnje ft
(min -Il. Kod brziue vrtnje '1 tijelo će obavili 2nn radijana u minuti. te je veza s kutnom brzinom dana izrazom (uz l min=60s)
2nn nn (:)=60=30'
(3.9)
U toj fonnuli za izračuna\"anje kutne brzine brzina vrtnje n se uvrštaY3 u min -I, a izračunlti {JJ je u rad s -I ili S -I.
Promjena kutne brzine !:y.u II konačnom intervalu vremena fj.l određuje prosječ-lIO ili sr\'d,lje kllmo !Ibr::all}e: !lOJ
(3.10) ts= Lit'
kojemu je dimenzija radljan u sekundi na kvadrat (rads-Z). odnosno reciprOČ1Ja sekunda na kvadrat (S-2). Graničnim prijelazom na beskonačno mali interval vremena dobiva se lrenfl(IlO kW110 ubrzanje:
!'J.w d", . E;=lim -=-=(0.
~_o!ll dl (3.11 )
Veze između kura cp, kutne brzine (:) i kutnog ubrzanja E; određene su prema tome izrazima:
W=W (3.12)
(3.13)
pa p0510ji potpuna analogija između tih veličina le pu~a, brzine i ubrzanja kod pravocrtnog gibanja.
KU[TIoj brzini i kutnom ubrzanju može se dati i vektorski smisao. što olakšava izvode ostalih kinematičkih veličina i razmatranje drugih gibanja. Budući da je os rotacije nepornicna, vektori (o i t leže na osi rotacije, imaju priraSle samo po iznosu. a vezani su preko prve derivacije po vremenu: t=ro. Smjer vektora co određen je smje:om rotacije tijela prema pravilu o gibanju desnog \ijka (pravilo desne ruke). Kad se smjer vektora co poklapa sa smjerom vektora t. rotacija je ubrzana. Ako su smjerovi suprotni riječ je o usporavanju.
Da bi se odredila brzina neke točke na tijelu, treba derivirati vektor položaja te točke po vremenu. Ishodište vektora položaja može biti bilo koja točka keja relathno miruje u odnosu na tijelo. Radi jednostavnosti odaberirno za ishodište tačku O na osi rotacije (sl. 3.7). Brzina točke A jeste
Iz slike se vidi iznos prirasta dr:
što nakon dijeljenja s dl daje
• dr v=r= dJ. (3.14)
Idrl =dqJ IrJ'sin<>,
Idrl dqJ - =-Irlsin~. dr I dt
(3.15)
(3.16)
63
iIi~ drugačije napisano, (3,l7 J
Desn;l strana tog izraza jest iznos vektorskog produkta među vektorima ID i T. i to s ta~vim poretkom da se brzina v poklapa sa smjerom vektora dr. tj,
v=roxr. (3.18)
T o je Euli!ror;a Jormutu za iz'računavanje brzine bl10 koje točke A tijela koje rotira oko nepomične osi kutnom brzinom (1), la koju je položaj o~ređen ve~to~om r. Iznos brzine dobiva se pomoću izraza (3.17). Kako j~ iz slIke 3.7 VidlJIVO. lrl·sin :x=b, gdje je b udaljenost od osi rotacije i ujedno polumjer kružne putanje točke A. T ada je
v=bw. (3.191
A dr A'
o o
4 " Slika 3.7. Prirast dr vektora r kod rotacije tijela Slika 3.8, Brzina j ubrzanje točke tijela kod rotacije oko nepomičnt osi oko nepomične osi
Deriviranj.m (3.18) po vremenu dobiva se vektor ubrzanja točke A:
• d • • 8=V=- «(.I) x r) =0) x r+m xr.
dt . (3.20J
Rečeno je da je ro= E, dok je r=v=o> x r, tako da je
a=& x r+o> x .~. x r+Ol x( .. x rJ. (3,21)
Na desnoj strani tog izraza mogu se prepoznati <iva. člana. Prvi: & x r poklapa. se. s:"., ... pravcem brzine v, jer je kut među vektorirna E ~ r jednak kutu r:- između OJ i ~: Taj pravac jest pravac tangente na kružnu putanju točke A, te Je to tangencIJalna komponenta ubrzanja s iznosom sr sin a. odnosno
(3.22)
64
Drugi član: (ax(roxr)=<oxv poklapa se s pravcem okomice spušte < A "Kk' 1 l neiz na os rotac"Je. a o Je to g avna norma a za putanJ'u točke A taj' I'lan d . I .. ,' . l' k' • o govara nOM:' nOJ. J ~ centr:~eta nOJ omponentJ ubrzanja a. Apsolutna vrijednost te kom
ponoue b,t ce WV, .It zbog (3.19)
(3.23)
To zn<lči da su kod ubrzanja a u izrazu (3.21) članovi na desnoj strani prirodne komponente: tangendjalna aT = E X r i normalna ili centripetaina a = =mx~xr)=rox~ N
I;'nosi brzine to.čke.4 (3.19) i kmnpone?ata ubrzanja (3.22) i (3.~3) proporcio. nalnt ;>U s udalJcnošcu od OSI rotacIJe. To vrijedi l za ukupno ubrzanje a, jer je
a=v'a~+a~=bv'e'+(Q4, (3.24)
Na slici 3.8 pdkazani su vektori brzine i ubrzanja točke A kod rOlacije tijela oko ncponučne OSI.
Primjer 3.2
C:drediti vektore brzine i ubrzanja točke A kocke koja ralira oko jednog brida ako su zadani il. (I) i e (s/. 3.9), . '
W~ A
/1 / w I
I I h ir • •
" ""J...--__
/ ~ h
Slika 3.9. Rotacija kocke oko br/da
Odabere li se ishodište O na osi rotacije (sl. 3.10a) i koordinatni sustav s osima x, y, t, položaj točke A, kutna brzina i kutno ubrzanja odredeni su \"ektorima
r~lti+hj+hk
Ol=wk
e=.k.
Prema (3.18) bit će brzina
V~., x r~",k x (hi +hj+ltk)= -,vili +whj
5 5, Jecić: KINE:MATIKA l DIXAMIKA 65
ili po iznosu
v=Jv;+v; =whj2.
Budući daje L1X=V", leži vektor \' pod kutom od 45~ prema osi x (sl. 3.10b).
z
y vy=wh7 y
A - 2~ ay=h(E-W lj
A A v){=-whi" aJ:=-~(E+w2) i
/
O'
W , , h / h , ,
/ , , , E / /
E / E , , /
OI OI k I y
X O' h x c· h x O ~
aj bJ cJ Slika 3.10. Vektori položaja (a). brzine (bl i ubrzanja (cl točke A izraženi pomoću sustava x. y.:
Ubrzanje se dobiva množenjem pripadnih vektora prema (3.21):
a = e x r +co x v =.k x (Ili + hj + hk) +",k x ( - whi +whj),
što nakon množenja i sređivanja daje
a= -h(e+w')i+h(e-w')j.
Apsolutna vrijednost ubrzanja jeste
a=Ja;+a; =h.J2·J~2 +ro4•
Smjer ubrzanja određen je kutom :l .. za koji vrijedi da je
la,l e-w' l-w'je tana: =-=--=---.
.. la;!:1 e+ro2 l +oi/e
Vidi se da kut a: mora biti uvijek manji od 45°. Granični slučaj kad,a je a: .. =45 c
(tan a:<I= l) može "se postići samo ak~ je ~ol/e=O, što je ili uz e= oo ili oi =0. Prvi slučaj nije realan, a uz ro=O nema gibanJa.
Zadatak je daleko jednostavnije riješiti ako se koriste prirodne komponente. Znademo da se točka A giba po kružnici polumjera b=h.J2. Brzin~.~~a prema ~. (3.19) -.
"= bw =wh.J2.
tangencijalna komponenta ubrzanja
aT =eb=eh.J2,
66
normalna komponenta
.aN =w'b =w'h.J2. r'- -~ Ukupno ubrzanje a=vl.i~+a;'=h'\.l2ve2+ni~·.
Položaj tih komponenata prikazan je na slici J.II. Zadaci se obično lakše rješavaju kada je moguće određivanje brzine i ubrzanja preko prirodnih komponenti.
E OI
h
:0'
v ~ wh{i
h x
Slika 3.11. \ ektori brzine i ubrzanja u prirodnim komponentama
3.3. Ral'oiosko gibanje tijela
3.3.1. Prikazivanje ravninskog gibanja pomoću translacije i rotacije
RalInilIsko (planama. ravansko) gibanje takvo je gibanje krutog tijela kod kojega se sve točke tijela gibaju u istim ili II međusobno paralelnim ravninama. Pritom je dovoljno poznavati gibanje bilo kojeg presjeka tijela s ravninom u kojoj se laj presjek giba (referenrna ravnina). Svi ostali presjeci tijela, paralelni s ovim referentnim, gibaju se II paralelnim ravninama na jednak način. Ravninsko gibanje je npr. kotrljanje valjka kod kojega .os valjka ostaje uvijek paralelna prethodnom položaju. Svi presjeci okomito na os valjka gibaju se u svojim ravninama i dovoljno je promotriti gibanje samo jednog takvog kružnog presjek~ pa da se znade gibanje svih točaka tijela.
Može se zamisliti da se ravninsko gibanje sastoji od rat:ninske translacije, s nekom odabranom točkom na presjeku, i od rotacije oko osi koja prolazi kroz tu točku i stoji okomito na referentnu ravninu. Takva predodžba omogućuje jednostavnije opisivanje tog gibanja, jer se svi zakoni zasnivaju na superpoziciji translacije i rotacije presjeka u njegovoj ravnini. Iz položaja AB (sl. 3.12) dolazi presjek tijela
,.:o:.-i;.:,.:;~:..-:-,u,.n.ovi_položaj A~B' translacijom s točkom A (krivulje l) i rotacijom oko A' za kut rp. Za vrijeme translacije AB će doći u novi paralelni položaj A'BI' a zatim rotacijom oko A' u konačni položaj A'B'. U stvarnosti se ta dva gibanja odvijaju istovremeno. Jednako tako m·ogli smo zamisliti ravninsko gibanje sastavljeno od translacije s B po krivuljama 2 u novi položaj B' B2 i rotacije za kut rp oko B'. U oba slučaja smjer je rotacije isti.
5* 67
B,
Bz
Slika 3.12. Ravninsko gibanje sastavljeno od translacije s A i rotacije oko A' ili od translacije s B i rotacijI! oko B'
Potpuno je svejedno koji prava~ presjeka tijela uzimamo kao mjerodavan za određivanje ravninskog gibanja. Elementi rotacije (kutna brzina i kutno ubrzanje) svih pravaca presjeka su jednaki. Tako na slici 3.13 dužina AB ima zbog rotacijske komponente ravninskog gibanja kutnu brzinu (j) = a i kutno ubrzanje E = rio Za dužinu e D OJ = P i • = p. Budući da je p = • + ii, te kako je kod gibanja krutog tijela {j nepromjenljiva veličina, to je P~ ct i i1= Ci! stoga S,ll (JJ i e je~nak~.za obje dužine. Cs rotacije na kojoj leže vektori eJ) l E stalno Je okomita na presjek ujela odnosno na rdecentnu ravninu ravninskog gibanja. Ta os pomiče se za vrijeme gibanja paralelno II skladu s translacijom tij~Ia. Kod paralelnog pomaka vektori oo i t nemaju prirasta po smjeru, pa se rotacijska komponenta gibanja ~.ože pr~matra~i ka.o rotacija tijela oko osi konstantnog smjera. Kad nema translacIJe, ravnmsko gIbanje prelazi u rotaciju oko nepomične osi, koja je, kako se vidi, posebim slučaj ra~ninskog gibanja.
" Slika 3.13. Rotacije svih dužina presjeka tijela
kod ravninskog gibanja su jednake
y
o XA x Slika 3.14. Koordinate po'o~ja presjeka tijela
kod ravninskog gibanja
'=;;-.
3.3.2. Brzina i ubrzanje točke na tijelu
za poznavanje položaja presjeka tijela u odnosu na referentnu ravninu nUŽDa su i dovoljna tri podatka: dvije koordinate jedne točke i kut nagiba jednog pravca prema nekom drugom nepomičnom. To mogu biti npr. dvije Descartesove koordi-
68
•
nate točke A (sl. 3.14) i nagib dužine AB prema osi x. Sve tri koordinate funkcije su od vremena; .
XA =XA (l)
J'A =)'A (tl
rp=rp(tl.
(3.25)
(3.26l
(3.e7)
Preostale koordinate koje određuju položaj tijela u prostoru (z, t/I i 9) nisu kod ravninskog gibanja funkcije vremena, pa ne ulaze u jednadžbe gibanja tijela.
Točka kojoj je poznat položaj u svakom trenutku uzima se kao mjerodavna za translaciju. Oko te točke promatra se i rotacija. Na slici 3.14 to je točka A. Brzina i ubrzanje te točke određuje se na način kako je to opisano u kinematici točke. Tako je u x, y susta vu
vA=rA=·-(Ai+Y ... J aA=rA=·~Ai+};j.
(3.28)
(3.29)
Time su svi elementi translacije tijela poznati. Rotacija tijela oko osi koja prolazi kroz točku A. a okomita je na referentnu ravninu x, JI (kratko rotacija oko .-t) potpuno je određena poznavanjem kutne brzine {JJ i kutnog ubqanja E::
OJ=ip
t=qJ.
Brzina bilo koje druge točke, npr. B, bit će
(3.30)
(3.31 )
(3.32)
Ako se uvede od točke A prema B vektor AD, može se vektor C B izraziti pomoću vektora fA' Tada je cB=r)l+AB, paje .
(3.33)
Prvi član na desnoj strani: r .... =vA predstavlja komponentu brzine B koja je posljedica translacije tijela s točkom A. Budući da vektor AB pripada krutom tijelu, neće bit njegova prirasta po veličini. Prirast po smjeru vektora AD postoji samo zbog rotacije oko A, tako da je IdABI = IABI drp (sl. 3.15), odnosno
IdAB I d<p - =IABI-=IABI·lml· dt dt
(3.34l
w
A
Slika 3.15, Prirast vektora AB posljedica je samo rotacije oko A
69
Kako je '" kod ravninskog gibanja uvijek okomit na AB, to j.jABj·j",j = jro x ABj ili
AB= ... xAB, (3.35)
Redoslijed vektora ti umnošku (I) x AB izalzi iz smjera vektora dAB. Prema tome je drugi član na desnoj strani izraza (3.33) Eulerova formula za brzinu zbog rotacije tijela oko A, tako da je
\'s=v ... +(I)xAB. (3.36)
Drugi član skraćeno ćemo pisati ID x AB=va ,ft a izgovarati indeks B/A .. B oko AH. Na taj način može se odrediti brzina bito koje točke B presjeka tijela poznavajući translaciju s nekom točkom A i rotaciju oko te točke:
(3.31)
Iz vektorskog produkta (3,35) vidi se da je brzina VBI .. uvijek okomita na pra,"c AH
s iznosom t'g.-4 = AB <(j),
Obje komponente gibanja i pripadni vektori brzina prikazani su na slici 3.16,
...... Ravninsko gibanje Translo:cija s A Rotodja oko A
Slika 3.16. Prikaz brzina kod ravninskog: gibanja rastavljenog na translaciju s !očkorn A i rotaciju oko A
Ubrzanje ločke H prva je derivacija vektora brzine 'B po vremenu:
• d a.=,.=-(v. + ... "AB), dl
(3.38)
Kada se provede denvadja. bit će
a.=v,,+Č>x AB+ ... "AB. (3.39)
prvi član desne!'trane odgovara ubr:zanju Io.;\:e A, jer je VA = 'lt, te je lo komponenta ubrzanja zbogtrimsJacije s A. e dnigofu'čliinu ';'=E, a u trečem, kako smo vidjeli A:8=0>" AB, tako da je
a.=a, +e x AB+ro" (O> x AB), (3.40)
Drugi i treći član desne strane log izraza poznate su komponente ubrzanja zbog rotacije tijela oko A. Tang.ncij.lna komponenta (aBIA).,=exAB i nonnalna ili
70
!
centripetaina (>.IAJH=ro" (ro" AB) daju komponentu ubrzanja as'. zbog rotacije H oko A, pa Je
a.=aA +8.,. =aA + (ll .. )T + (aBl .. l.. (3.41)
Tangencijaina komponenta zbog rotacije ima iznos (aBAlr=t'AH, jer je • .LAB, Nonnalna komponenta po iznosu jednaka je (as!A)s=oi . AR ili (aB ,.<1s = vij : AB . Prikaz komponenata ubrzanja dan je na slici 3,17. " ..
Ravninsko gibanje Translacija s A
Slika 3.17. Prikaz ubrzanja kod ravninskog: gibanja raSl<ly[jenog na translaciju 5- ločkom A j rotaciju oko A
3.3.3, Trenutni pol brzina i Irenutni pol ubrzanja
Kod opisivanja ravninskih gibanja i u konstruiranju s!dopova koji oStvaruju takvo gibanje važnu ulogu imaju one točke kojima je brzina, odnosno ubrzanje u promatranom trenutku jednako nulL Te točke mogu ležati na presjeku tijela iti izvan njega~ DO smatrat ćemo ih uvijek vezane uz tijelO •
za točku P, koja kod ravninskog gibanja nema brzinu mora prema (3.37) biti
(3.42)
odnosno V'JA = - v ... To znači da točka P. mora ležati tako. da joj je komponenta brzine zbog rotacije jednaka i suprotno usmjerena brzini translacije. Prema tome P. može ležati samo na pravcu koji prolazi kroz A i koji je okomit na brzinu v .. (sL 3,18). Gdje treba tražiti na okomici točkn P, pokazuje smjer kutne brzine .... jer je za tu točku vektor vPJA brzina rotacije oko A, Udaljenost točke P. od A dobiva se iz iznosa brzine rotacije:
AP = V/'JA _ t.'A
e -. <ll (l)
(3.43)
"'" Točka PI!' zove se trenutni pol brzina i u nekom trenutku jedina je točka na
presjeku tijela, ili zamišljeno vezana uz presjek, kojoj je brzina jednaka nuli. Trenutni pol može se na opisan način pronači preko brzine bilo koje točke presjeka, Okomica na bilo koji vektor brzine presjeka mora prolaziti kroz trenutni pol brzina. pa je za njegovo pronalaženje dovoljno poznavati samo pravce brzina dviju točaka.
11
npr. A i B na slici 3.18. Koincidentna ločka s trenutnim polom brzina vezana uz referentnu ravninu zove se rrenutni centar rotacije. Ravninsko gibanje se, prema tome, kod promatranja brzina može predočiti i kao rotacija oko trenutnog centra rotacije, koji s vremenom 'mijenja položaj u ravnini, pa se tada radi o nizu uzastopnih beskonačno malih rotacija oko pripadnih centara rotacije. Brzinu svake točke presjeka ~a možemo izračunati iz poznatog pola P, i kutne brzine w, pri čemu je VA =(1)' AP", vs=w' BP" itd.
Slika 3.18. Trenutni pol brzina Pr
Ubrzanje trenutnog pola brzina prema (3.37) jeste
ap, =aA +S x AP, +W x(w x AP,). (3.44)
To ubrzanje bit će jednako nuli u dva posebna slučaj.: kada su sve tri komponente desne strane jednake nuli ili kada je vektorska suma tih komponenata jednaka nuli. U prvom slučaju kada točka A nema ubrzanja i kada je kutno ubrzanje jednako nuti. morala bi i kutna brzina biti nula. Tada ne bi bilo rotacije, tijelo bi se gibalo samo jednoliko translatorno, a okomice na sve brzine sjelde bi se u beskonačnosti, gdje bi bio i trenutni pol brzina. Drugi slučaj, kada je vektorska sUnta u (3.44) jednaka nuli, mačilo bi da pol P" pored toga što II promatranom trenutku miruje, nema ni prirasta brzine. Pol Pu bi tokom svog gibanja mirovao, pa je to slučaj rotacije tijela oko nepomične osi bez translacije. Vidi se da u općem slUčaju ravninskog gibanja kada postoji translacija i rotacija tijela ubrzanje a, ne može biti jednako nuli pa trenutni pol brzina nije ujedno i pol ubrzanja. •
Točka P. koja nema ubrzanja (trenutni pol ubrzanja) mora zadovoljiti uvjet da je
(3.45)
Qdnosno
(3.46)
Ako točka P. zadovoljava gornje jednadžbe, za nju će zbroj komponenata ubrzanja dati nulu prema slici 3.19, tj. bit će
72 ~,
, -
Kut y pravca na kojem leži Ps II odnosu na ubrzanje a .. određen je odnosom
t (apiA)T
.ny=--, (3A7) (OpjA)N
a kako je (OP.'A)T=&· APg i (ap.lA)N=W2. APa lo je
e tan 1=-,· (3.48)
(o'
Slika 3.19. TrenUIn! pol ubrzanja P~
Slično kao i kod pola brzina, kutno ubrzanje s pokazuje smjer u kojem si pod kutom )' idući od točke A nalazi točka P (l' Budući da je
aA =.j(apJA l? + (ap;, )~ _ AP • .j.' +",'. udaljenost je pola ubrzanja od točke A
(3.49)
Pomoću poja ubrzanja P" kutne brzine w i kutnog ubrzanja e može se odrediti ubrzanje bilo koje točke tijela. Tako je za točku B:
".=ap• + (aB/p.h + (a81P.lN a kako je op =0. preostaju samo komponente ubrzanja zbog rotacijske komponente gibanja, koJe ćemo ovdje skraćeno omačiti s air i a;N' Ubrzanje točke B prema tome je a.=air+a;N' kod čega je air=e·BP. i a;N=",'·BP. (sl. 3.19). Obje komponente podsječaju na prirodne komponente ubrzanja, ali se od njih razlikuju kako po iznosu tako i po smjeru. Stvarna normalna komponenta ubrzanja usmjerena je prema središtu zakrivljenosti putanje točke B koje leži na istom pravcu kao i pol brzina P. gledano iz točke B. Tangencijalna komponenta poklaplYe ,5 pravcem -, vektora brzine. '
Umjesto rastavljanja ravninskog gibanja na translaciju i rotaciju, kako je to opisano u 3.3.1, i 3.3.2, može se to gibanje, dakle, promatrati kao trenutna rotacija oko pola brzina (za brzine) i pola ubrzanja (za ubrzanja), U svakom novom trenutku trenutni polovi brzina i ubrzanja druge su točke.
73
Primjer 3.3
Odrediti brzinu i ubrzanje tocke B na obodu automobilskog kotača (zaglavljeni kamenčić II profilu gume) za položaj prikazan na slici 3.20 i II trenutku kada automobil na ravnoj cesti počinje jednoliko ubrzavati. Automobil se za t = 10 S ubrza sa v.=3.6kmjh na'A 75.6kmjh. Promjer kotača R=O.5m, a kut .=60°. Pretposta~iti kotrljanje bez klizanja.
s
Slika 3,::0. Kotrljanje kotača po t3vnoj pOdlozi
Na ravnom dijelu ceste gibaju se automobilski kotači ravninski, što se može predočiti tran,lacijom sa središtem kotača A i rotacijom oko tog središta. Tocka A giba se pravocrtno, pa su njezini elementi gibanja VA i aA u trauslatomoj komponenti jednaki za sve tocke kotača, Kada je kotrljanje bez klizanja, put s središta kotača jednak je luku s=Rtp na bodu kotača. Promjena kuta tp u vremeuu daje kutnu brzinu (",=4» i kumo ubrzanje (e=;p), što su elementi rotacijske komponente ravninskog gibanja kotača, za takvo kotrljanje bit će
vA=š=Rip=Rro
IJA=š=Rq,=R&.
Na početku perioda ubrzanja v.=3,6km/h=lms-J i QA=(VA-VA J/At=2ms-', tako dajew=v.IR=2s- 1 i e=aA/R=4s- 2 • •
Brzina točke B dobiva se prema (3,37):
Brzina tocke B zbog rotacije kotača oko Aimosi vJIIA =roAB. Budući daje aJ = v.lR i AB=R,
VBlA =roR = VA'
. ·Na slici .3,Ua"i1'alirtani s\fp:oltifliji vekloraoilnillll.· Iz slike slijedi da je
" " a: vB= •• cos'2+VBIA cOS2'=2. A «)82'= 1,132 m S-I
Do islog rezultata može se doći i preko trenutnog pola brzina P.. za vrijeme kotrljanja bez klizanja locka koja je II dodiru sa cestom miruje, pa je ta locka
14
I
. ,
il
kotača trenulni pol brzina P" (sl. 3,2~). Koineid~nln. tocka na cesti trenutni je centar rotacIJe. Ako se kotrljanje shvati kao rotacIja oko trenutnog pola; brzina VB okomita je na udaljenost od pola BR . • po iznosu je jednaka (sl. 3.21 a l:
- VA X rt. ".=mBPc =-2R oos-=2v. cos-= 1,732m.- 1
R 2 2
P.
oj bJ Slika 3.21. Brzine (al i ubrzanja (bl kod kotrljanja bel klizanja po ravnoj podlozi
Ubrzanje točke B dobiva se pomoću izraza (3.41):
aB = aA +(88/.),.+(88/A)"·
x
Tangendjalna komponenta zbog rotacije oko A okomita je na dužinu AB i iznosi
- aA , (a •• h=e·AB ='RR=a •. =2ms- ,
dok nonnalna komponenta gleda prema srediftu A s apsolutnim iznosom
,- (VA)'R ~ 2 -, (aB!.)N=(J)" BA = 'R ='R= m s .
Komponente a"" i a., ukupnog ubrzanja lOCke B iesu (sl. 3.21 bl:
a .. =a.+(aB1A ),., sin a+(a./Ah co. ,,=4,732 m s-'
a.""" {a.,.h si .... ", ~.]><)"cos ,,=O,732,m ~-l:~~" .. ~, .
pa je ukupno ubrzanje i kut vektora ubrzanja prema osi x
as =4,789ms-'
"',=8,793' .
75
Ako se ubrzanje 3 8 određuje pomoću trenutnog pola ubrzanja P (;I' tada se udaljenost pola ubrzanja od točke A dobiva pomoču izraza (3.49):
AP. k 0,354m. '" +",4
Ta udaljenost leži pod kutom y (sl. 3.22) prema ubrzanju središta aA (izraz 3.44) u smislu e:
• }'=arctan1 =45°. w
Udaljenost pola P. od točke B slijedi iz geometrijskih odnosa sa sl. 3.22:
BP.~J(R sin x+AP.eos y)' +(R cos .+AP. sin y'j' ~0,846 m.
Slika 3.22, Određivanje ubrzanja preko pola P" kod kOlrljanj<!
Nagib tc dužine prema osi x iznosi
P _R_e_o-,s-,._+~A~P~ • .:.sl=· 0:.=. = arc tan R sin a: + APa cos o:
36,207·.
Komponenta ubrzanja s obzirom na pol PG' bit će
a:,. = e' BPG' =3.387 m s-.2
a* ~w'·BP ~3387ms-' BN OI' •
Ukupn~~~.p.anje_ točke. B:-!~ kut .. P.~~~~_. o_~~_~j:su
as~J(a:,.'j' + (a:N )' ~4,789 ms-'
76
a* •• ~aretan :' -p~45·-36,207'~8,793°.
aSN
I ; ., I
J
Primjer 3.4
Odrediti trenutni pol brzine štapa kojemu krajevi A i B klize po međusobno okomitim stijenkama.
Pravac vektora brzine točke A pri klizanju tog kraja štapa po horizontalnoj stijenei poklapa se s osi x. Okomica na pravac brzine v A mora prolaziti kroz trenutni pol brzina. Točka B giba se u smjeru osi y. pa je to pravac brzine "s. koje okomica također prolazi kroz pol brzina, Tamo gdje se sijeku opisane okomice nalazi se trenutni pol brzina Pv' sl. 3.23.
3.3.4. Poloide
y
D
o
-----------<jl , , , I I I , , I I , I I I I I I
P.
A x
Slika 3.23. Trenutni pol !ila pa kojemu krajevi klize po mo;:đusobno okomili m slijenkama
Poloide ili polne krivulje (rulete, centroide) jesu krivulje na kojima leže svi trenutni polovi brzina odnosno trenutni centri rotacije.
Ako se zamisle tri uzastopna položaja presjeka tijela koje se ravninski giba, odgovaraju trenucima tlo t2 i t3 položaji AIBh A2B2 i A3BJ (sl. 3.24). U trenutku tl pripadni vektori brzina su V,u i VBI • Njihove okomice iz AI i BI daju trenutni poJ brzina PVI i koincidentnu točku P~l (trenutni centar rotacije). U novom položaju koji odgovara trenutku t2, položaj presjeka određen je s A2B2• a trenutni centar rotacije je P~2' Trenutni pol brzine Pv2 koji je vezan uz tijelo poklopit će se nakon proteka vremena t2 - tl S trenutnim centrom P~2· Slično je s polom P 113 i centrom rotacije P~3'
Svi trenutni polovi brzina P" leže na krivulji vezanoj uz tijelo. Ta krivulja zove se pomična palaida, jer se u odnosu na nepomičnu referentnu ravninu x, y giba s tijelom. Trenutni centri rotacije, koji su tragovi polova brzina, leže na krivulji koja je nepomična, a vezana je uz referentnu ravninu. To je nepomična palaida. Pomična poloida (pp) izražava se matematički u koordinatnom sustavu ~. 11 vezanom uz
tijelo, pa je njezina jednadžba u implicitnom obliku
4'(~, ~)=O. (3.50)
Nepomična poloida (np) matematički se opisuje unepomičnom sUSlavu x, y, te joj jednadžba u implicitnom obliku glasi
YI
o
F(:-" y)=O. (3.5 I)
_-1ioi;;:±-- ;;" Ya?
vS1
nepomična poloida F{x,yJ
x
Slika 3.24. Pomii:na i nepomična poloida
Kada su za neko ravninsko gibanje poznate obje poloide, mogu se one fIzičk.i izvesti kao rubo\-, pločastih tijela, tako da se to gibanje ostvaruje kOlrijanjem bez klizanja pomične p%ide po nepomičnoj poloidi. Takvo gibanje ima jedan stupanj slobode; dovoljna je samo jedna koordinata za poznavanje položaja presjeka u ravnini. To je slučaj npr. s kotrljanjem valjka po ravnoj podlozi ili kotača u primjeru 33. Ravninsko gibanje može se potpuno odrediti promatranjem gibanja kružnog presjeka valjka. Obod kruga koji se kotrlja po pravcu pomična je poloida, a pravac nepomična.
Vidjeli smo da se svako ravoiosko gibanje može zrunisliti sastavljeno od translacije s nekom odabranom točkom i rotacije oko te točke. Druga je mogu~nost da ravninsko gibanje promatramo kao rotacije oko trenutnih centara brzina j trenutnih polova ubrzanja. Prikazivanje i izvodenje ravninskih gibanja pomoću pomične i nepomične poloide daljna je mogućnost koja se nadovezuje na promatra-nje polova brzine i ubrzanj.. ..,--.-
Primjer 3.5
Odrediti pomičnu i nepomičnu poloidu štapa kojemu se krajevi gibaju po utorima u smjeru osi x i y. Zadana je dužina štapa AB = b (sl. 3.251.
78
.. za neki oPĆi položaj štapa, koji je odreden kutom <p prema osi y, trenutni pol
brzina P. nalazi se na sjecištu okomica na osi x i y povučenih iz točaka A i B. U koordinatnom sustavu 1;, q vezanom uz štap koordinate točke P. glase
cos !p sin <p
q=bcos'q>.
Kako je e2 =b2 cos2 (,O sin:! tp=b2 cos2 q>{I-cos2 ~j~ pomoću cos2 <p = IIib dobiva Se
nakon sređivanja jednadžba pomične poloide (pp)
~'+( q-Đ' =(~r To je jednadžba kružnice polumjera b/2 s centrom e., =0, "1., =~. To znači da je
pomična polojda kružnica s centrom na po~ovici štapa, koja prolazi kroz krajeve štapa A i B.
U nepomičnom koordinatnom sustavu koordinate x i )' točke Pl' glase:
x=bsin<p
y=bco'q>,
što kvadrirano i zbrojeno daje jednadžbu nepomične poloide
:c'+ y'=b'.
Obje poloide nacrtane su na slici 3.25. Pri gibanju štapa kOlrIja se kružnica pp po kružnici np s unutrašnje strane (Kardanov problem). Umjesto pomoću utora može se isto ravninsko gibanje ostvariti izvođenjem pomične poloide u obliku kružnog zupčanika promjera b koji bi se kotrljao po ozubljenom kružnom vijencu dvostruko većeg promjera.
y
Slika 3.2.5. Pomična i nepomična poloida štapa kQjemu sc krajevi gibaju u smjeru osi x i y
79
3.3.5. Plan brzina i plan ubrzanja
Vektori briioe i ubrzanja određuju se kod plana mog gibnja i grafički crtanjem plana brzina i plana ubrzanja. Pri tom se za bilo koje dvi:e ~očke n~ presjeku tijela jednadžbe (3.37) i (3.41) rješavaju grafički, a tako nacrtam planov, zapravo su vektorski dijagrami pomoću kojih se mogu pronacI vektori brzme 1 ubrzanja svake točke na tijelu.
Koci ravninskog giba~ja tij~l~ obično je poznat vektor ~rzin~ jedne to~k~, _dok za nek-u drugu točku znademo pravac brzine. Neka su (o brzma v A točke A I prav~~ brzine. točke B (sl. 3.26). Plan položaja crta se u mjerilu u kojem l cm na crtezu odgovara .l m originalne konstrukcije. Osnova za crtanje plan;1 brzma jest vektorska jednadiba "'B = V .... + VB A" Brzina "A poznata je i crta se ka;) prvi vekt?f plana briin:a-u-jnjeniu za brzine (1 cm=At>ffis- 1 ) paralelno svom pravcu IZ plana položaja~ ~'(. .:...-'
:~,I,:
Plan položaja 1 cm;: Aim
" ," ~; __ -.' r, ;;; ,~~.,/.?,~.
lAB Plan brzina ., . _ I fl', :".~
praVQc brzine ve p, dE::::::---.:.!!'--4.
Slika 3.26. Plan brzini> B, II P,
.-B.rn.I!~_YBILQ.~C?_mi!.~j~_na ~_~_! .. ~"5. ~~_~~I_eJ~!D .~~~~~~.P}_ ~~_~a~_.~~o~~~~_E.~a~~ brzina. Time je .t~~~IJmJ:rg}l;ut p~na nacr~,-n~.PoneJč~4._ce _umjesto P~VC~Pl biti
-poznat~-k-lltn.a .. brzina (o. Tadaje vBIA =co' Ai3, pa s~ i na :aj način može nacrtati ~em~!i!!i .!~~kllt b~~a: -... _.. ---.. .'.
za neku novu točku e vektor brzine vc=V.A+vCJA .. Okomit~ na AC povlači se II planu brzina pravac vektora VC/A' Kada kutna brzma co DIJe poznata. tr?k~t brzina~e moguće zatvoriti. No kako je s druge strane...!c.= VB + VC!B' gdje Je v .lBC brzina v određena je sjecištem okomica na AC i BC (točka C,). Na taj n~tm ~uje se 6'rzina bilo koje točke tijela. za točku D vrijede ove jednadžbe:
.Yo.:7""V..t:+VO/A i VO=VB+VDIB. Budući da brzine vOlA i 'DIB u planu ~rzina leže I.!~--. istom pravcu. dijeli točka DI duljinu Al BI u jednakom omjeru kao i točka D
duljinu AB. Naime, vektori VB/A i 'DIA ~sljedica su rotacije dužine AB oko točke A kod čega J'e VB =W' AB i VDIA =W' AD. Iz toga izlazi da je VBIA : "DIA =AB: AD, , lA __ __
odnosno u planu brzina A,B, :A,D, =AB :AD. Iz tog omjera pronalazi se položaj točke D,.
80
j ~ c,
I
Karakteristično je za plan brzina da je trokut Al BI Ct $ličan trokutu ABC u planu položaja, le da je taj trokut zakrenut za 90~ u smjeru (:J. Oba trokuta imaju međusobno okomite stranice. Veklori brzina svih točaka tijela imaju u planu brzina zajednički počelak (ločka P, na slici 3.26).
Ubrza.oja sli~cde iz jednadžbe ~B = 31- + 3 B.A = aA + las/")i\" -'-lastA)T" I ovdje ćemo pretpC?slantI da Je poznato ubrzanje aA l p'r<l:v~~._~brzanja točke B.
Ubrzanje aA crta se u odabranom mjerilu paralelno s\-....lm pravcu iz plana položaja. Normalna komponenta ut-rzanja zbog rotacije oko .--t poznata je i iznosi
(3.52)
Iz plana brzina otira se brzina Vs A i prema gornjem izrazu izračuna komponenta ubrzanja latll.,.t)N· T~ k<:>mponenta leii na p~avcu.AB i usmjerena je od točke E prema točki A, te Je tako u planu ubrzanja, poštujući odabrano mjerilo, treba nacrtali (sl. 3.27). Ona se nadovezu.ie na vektor ubrzanja 3:~. Komponenta (as.~ hpoznata je samo po pravcu. okomira je na komp<?I1entu '(3B .-tJN
, a s pravcem" P2 ubrzanja točke B zatvara četverol..-ut. čime je ubrzanje a
B potpuno određeno.
MogućcJe da su pored Ubrzanja aA poznati CI) i t:. Tada se (a8,"~)N izračunava prema (3.52), aJaBIAh=.i·.-tB, pa je vektor as oqređen bez P9z~avanja njegova smjera.
"I r:11/,::'·'~ ,'. '.'-///.' ,·-·o..'··?-~f'!..·C"·~{f/r-'c _ .'Jr' L_!, 3 .. ,1".--. " /;.tf'·F.".·("·~,:;(.{,.'.I:'.: .J:~'---·r~."" i.1?. Plo.nubrzonJo litA / ; ?:'; .ij.( Plalnr-'~61~z~1'd'~ I, 1 cm ~ Aa ms-2 II BA
1clTI:),,\m ;J 211-.11 - O.u::,·;'··:c. v-,- "~~jj.
pr-uvac UJrzanja ':
Slika :."!7. Plan ubrzanja
Za točku C određuje se vektor ubrzanja pomoču jednadžbi ac = aA + (oCIA)N + +(ocIAh i 0C=08+(OC/8)N+(OC/8)" ~ormalna komponenta (aetA)N gleda od točke e pIema-A; crta se paralelno s pra\o"co!m AC, a nadovezuje se na vektor aA. Ta komponenta iznosi
2AC V::IA (ac/Ak =(0 ==, . AC
(3.53)
te je nakon nacrtanog plana brzina možemo izračunati. Tangencija1na komponenta (ac/Ah okomita je na nonnalnu (a, A 1:-; i na nju se u planu ubrzanja nadovezuje, Po
6 S. Jecie; K!~EMATlK.';' I DI:-.IAMtKA 81
'0
iznosu je n.pomata, osim ako je poznato kutno ubrzanje e. Isti postupak provodi se s komponentama (acI.). i (>cIBh, pri čemu je
( ) 'BC· "z, •• aClS pj=w ==.
BC (3.54)
Tamo gdje se sijeku pravci tangendj.lnih komponenti (točka C, na slici 3.27) nalazi se ~iljak vektora ac
Ubrzanje točke D dobiva se iz jednadžbe 3 D =a.+3D". Komponent. a,!) A = (aDf,4)N + (aDf.Ah proporcionalno je manja od ubrzanja aBIA za onoliko za koliko je AD manje od AB. Naime,
Prema tome je aD/A:a./A=AD:AB ili A,D,:A,B,=AD:AB (sL 3.27), pa je točkom D, određeno ubrzanje aD.
Vektori ubrzanja svih točaka tijela imaju u planu ubrzanja zajednički početak (točka P, na slici 3.27). Stranice trokuta A,B,e, II planu ubrzanja u mjerilu ; .• jesu ubrzanja k.<:>.i! su posljedica rotacije tijela. Kako su ta ubrzanja proporciona!na duljinoma AB, AC i BC, to je
AB :AC :Be =A,B, :A,C, :B,C"
p. je "'ABC"" "'A,B,C,.
Primjer 3.6
(3.55)
Odrediti brzinu i ubrzanje klip. i težišta C ojnice motornog mehanizma. Ručica rotira konstantnom brzinom vrtnje n = 1500 min - J ~ a li trenu~romatra!'.i!.nalazi se ~ložaju koji je određen kUlom 'p (sL 3.28). Zadano: OA=40mm, AB =10 mm, AC =40 mm, 11'=60'.
U tom primjeru ojnica AB ravninski se giba. Točka A ojnice ujedno je i krajnja ločka ručice OA, kojoj je zadana brzina vrtnje, pa je brzina te točke
Pravac brzine V. okomit je na ručicu ~A. Točka B giba se, zajedno s k:lizačem, .4lraN~O, .te.je.za . .tu točku ojnice pravac brzine i ubrzanja P02I13t.
Iz točke P. crtamo vektor poznate brzine VA' na koj{se nadovezuje okomica na AB, jer je 's = v.t +VBI.A' Pravac brzine VB zatvara trokut brzina P1AtBt, Iz omjera -- ---- --AC :AB =AIC. :AIB. na!azimo duljinu AIC .. čime je odreden. brzina težišta Vc. Očitane vrijednosti pomoću mjerila za brzine daju: v.= 7,25ms- l, 11:=6,65 ms-I, r8 A 3162 ms-t.
82
Ubrzanje točke A zbog rotacije ručice konstantnom. brzinom vrtnje ima samo normalnu komponentu
Plan položa.ja 1cm;lcm
ojnico
e Plnn brzina
1~1
B, p. r--'-.., , P!(l.n ubrzanja
A, Sliku 3.28. Plan brzina i plan ubrzanja motornog mehanizma
T~~~nj~~,!.~\"j~r.'3'o je od t"".k.e A prema točki O. Ubrzanje točke B jeste -ali"" .•• +(ir.tAJN"+'{ •• ,.)ip l;161'Zitnje· ... 'pomato je i crtamo ga u mjerilu od točke P,
u planu ubrzanja kao prvi vektor. Na ojega se nadovezuje vektor (aBt.lN usmjeren od B prema A i paralelan s ojnicom. Iznos tc komponente jeste
( ) ifs/A 187 -l QBfA N=== ms. BA
6* 83
Treći vektor (as/Ah poznat je samo po pravcu i okomit je na kojnicu. Kakodj~ Pl~avac ubrzanja a
B poznat, zatvoren je četverokut ubrzanja. Ve tor aBIA po Ije Jen II
omjeru AC: AB = A2e
2 : A2B2 daje položaj točke e z i ubrzanje ac' Očitane vrijed~
nosti ubrzanja glase: uB =220ms- 2• "c=490ms- 2
, {d B{Ah=880ms-2
.
Kmna je brzina ojnice OJ AB = VB1A/AB =51.7 s-t, a kutno ubrzanje l:.~B= = (aBI)TiAB =12571 s-l.
3.3.6. Svojstva vektora brzina kod ravninskog gibanja
Vektori brzina nacrtani II planu položaja II mjerilu zatvaraju s trenutnim polom brzina Pu trokute kojih su vršni k~tovi uz pol ~ •. međus?bno.je~!laki (sl. 3.2~) tj.: ::t. = p. To je prvo svojstvo vektora brzma kod ravnmskog gibanja tiJela. DokazJe jednostavan. Kutna brzina OJ omjer je brzine bilo koje točke presjeka tijela i udaljenosti te točke od pola Pv:
(3.56)
U planu položaja brzina v A nacrtana ~ao dužina .-tA' tako d::..l=.. VA = i .• .AA'. To vrijedi i za brzinu točke B, tj. vs= )'vBB'. Udaljenosti od pola APv i BPl· u izra~u (3.56) stvarnog su iznosa, a kada su uzeti iz plana položaja (sl. 3.29), treba ,h pomnožiti s mjerilom za dužine. Kutna brzina izražena pleko dužina iz pian2 položaja bit će
AA" Al' BB'· i· t , w=-=--==--. AP
v' )., BPv . i.,
odnosno tan o: = tan P. ili
~=p.
A' v. Y\ /B'
A~ \ / \. \ I /
, I I
" \ I / ,(J.I LP/
1 cm ~ At m 1 cm ~ Ay ms-1
'i:""""~-r;:-,\ \ 1/ ~w
p,
1cm:At m 1cm~Avms-l
(3.57)
/ ---_/
, ,
/B, I , ,
I
, ' JI , , \\/ '~ P,
Slika 3.29. V~ni kutovi uz pol P~jednaki su: 7.= {J Slika 3.30. Zakrenute brzine
84
l
Drugo svojstvo vektora brzina glasi: vrhovi vektora brzina nekog pravca AB zakrenutih za 99C,~ednom ili u drugom smislu leže na pravcu paralelnom s AB (sl. 3.30), tj . ..I,B, !lAB. Udaljenosti vrhova zakrenutih brzina od pola brzina p,. mjerene na crtežu iznose:
-- -- VA A1P!,=APl • -AAI = AP.,--;;-
I· L,
(3.58)
--------V B,P,=BP,-BB, = AP •. --!- (3.59)
I·v -- --
Kako je, nadalje. v .... =wi.,· A P" i Vs =wi.,· BP[, (APu i BP!. s crteža). to je
A,P,=AP.(l-OJ ~:) (3.60)
(3.61 )
Iz toga slijedi da je AI Pl': BIPv = APt.: BP •.. To znači da je 6.A18 1 Pu~ 6.ABPu' a kako su stranice P l PL' i Bl P
V na istim pravcima, 10 je AB !: AI Bl .
Treće je svojst\'o vektora brzina da su im projekcije na pravac kojemu pripadaju jednake (sl. 3.31): v~=v~. Ako se uvede od točke A do B vektor AB i s njime pomnoži skala mo jednadžba za brzinu točke B. dobiva se
I , " : '" I
"" I " :
'"P, Slika 3.3J. Projicirane brzine
Kada je v B A .l~~_.~~da j~_~lA' AD =0, a ..." ... --- "B' AB-~~;.AB·:--
odnosno [;B' AB 'cos IXB= VA' AB 'cos aA' što nakon kraćenja daje
Prema tome je <.( = l:~.
(3.62)
(3.63)
(3.64)
85
Svojstvo jednakosti vršnih kutova uz trenutni pol brzina, svojstvo zakrenutih brzina i jednakost projiciranih brzina koriste se u rjdavanju zadataka kinematike ravninskog gibanja.
Primjer 3.7
. Točke A i B pravokutnika gibaju se po žljebovima prema slici 3.32. Poznata je brzma VA' Odrediti brzinu točke B II položaju pravokutnika određenom kUlom !p.
. Trenutni pol brzina PI' nalazi se u sjecištu okomica na pravce gibanja točaka A I B, ~lan položaja i na njemu zadani vektor brzine v A nacrta se u mjerilu za dužine i u mjerilu za brzine. Povlačenjem spojnice od vrha brzine v A do pola Pp dobiva se kut ~, koji prenesen u istom smjeru od pravca BP, daje brzinu v. (sl. 3.32a).
Isti zadatak može se riješiti pomoću zakrenutih brzina tako da se vektor v il nacrtan u mjerilu zakreće za 90' od svog stvarnog položaja (sl. 3.32bJ. Kroz vrh zakrenute brztne povlačimo paralelu s pravcem AR Na toj paraleli leži" i vrh zakrenute brzine točke B. To je okomica BBI na smjer gibanja točke R Kada se brzina BBI zakrene II suprotnom smjeru od zakretanja vektora VA. za 90'\ dobiva se stvarna brzina VB'
B
, , , '. A V. A ~ ,,/
al bl Slika :;,32. Određivanje brzina točke B pomoću jednaJ.:osti. kula Ul pol P~ (a). zakrenutim (b) i
projiciranim brzinama (ci
Rješenje pomoću projiciranih brzina dobiva se tako da se brzina VA projicira na pravac AB. Ta projekcija prenesena II točku B ujedno je i projekcija brzine v •. Brzina va. pronalazi se podizanjem okomice iz vrha njezine projicirane brzine.
3.4. Sferno gibanje
3.4.1. Konačni i beskonačno mali kutni pomaci tijel';--
SJerno gibanje krutog tijela naslOje kad jedna točka na tijelu miruje a sve ostale gibaju se oko te nepomične točke. Takvo gibanje nastaje i kada je tijelo vezano krutom vezom uz nepomičnu točku koja ne pripada tijelu ili se mOže zamisliti da takva veza postoji. Svaka točka krutog tijela ostaje u toku gibanja na jednakoj
86
udaljenosti od nepomične točke oko koje se odvija sfemo gibanje. Stoga putanje tih točaka leže na sfernim plohama kojih je .ređište nepomična točka. Oluda i ime ,ternom gibanju. Ako se koordinatna ishodište izabere II n<pomičnoj točki oko koje se tijelo sferno giba. tada je položaj rijela određen II svakom trenutku s tri Eulerova kuta:
I/I=.p(I)
<j? = rp (t)
8=9(1).
pa tijelo pri takvom gibanju imtl: tri stupnja slobode gibanja.
(3.65)
KutOvi .p. rp i 8 predstavljaju zakrete oko tri međusobno okomite OSI. Ukupni konačni zakret nije moguće izraziti vektorskom sumom pojedinih zakreta. Pojedini konaeni zakreti nisu vektorske veličine, a konačni položaj tijela zavisi o redoslijedu pojedinih zakreta. Tako npr. tijelo na slici 3.33'; zakrenUlo je iz prvobitnog položaja za 90' oko osi x (sl. 3.33b) i zatim za isti kut oko osi y (sl. 3.330). Pobočka .tBC D dolla je u položaj paralelan. ravninom -', J'. Kada se redoslijed zakreta mijenja (.1. 3.33d i ej, pobočka ABC D paralelna je S ravninom x. z. Zakon komulacije za kutove ne vrijedi.
Svaki konačni pomak tijela iz jednog položaja II drugi može se kod sfernog ~ibanja rostići j rotacijom tijela oko određene osi za konačni kUL Ta os prolazi
t z z
y
al bl
z
y
eJ dl
Slika 3,,3). Zakret tijela lU 90( iz osnovnog pOložaja (a) oko osi x (bl i r (cl ne daje isti konačni polo:iaj kao zakrC1 najprije oko osi }' (dl i zatim oko osi :t (e)
87
kroz nepomičnu točku oko koje se tijelo giba. To je Euler- D'Alembertov kilJ('IIIlltički teOl'em, kojega se is.tinitost može pokazati pomoću slike 3.34. Kod sfernog gibanja tijela oko nepomične točke O dolazi traku I OAB kao dio tijela iz prvobitnog položaja u novi O.·fB'. Put.:mje točaka A i B krivulje su koje leže na sfernim plohama polumjera OA i OB. Obje putanje mogu biti i kružnice. Točka A može doći u .-I' po jednoj od kružnih pUlanja kao posljedica rotacije stranice DA oko bilo koje osi koja leži u ravnini I (iscrtkana ra\·nina ml slici 3.34b) i koja prolazi kroz
LJ
aJ
Slika 3.3':;. Euler-O·Akmberl(H" Ie'Mem
točku o. To isto vrijedi za točku B. Bilo koja cs kroz O koja leži u ravnini II može biti os rotacije za stranicu OB. Kod svake takve rolacije B dolazi u B' po kružnoj putanji. Istovremeno dolaze točke A u A' i B II B' samo kod rotacije tijela oko osi koja je zajednička ravninama I i II. To je sjecište tih ravnina Li. Prema tome se svaki konačni pomak iz položaja DAB tijela u položaj OA' B' kod sfernog gibanja može zamisliti da je nastao rotacijom tijela oko osi A za kut ct. (sl. 3.35). Kako je rečeno, taj kut nije moguće dobiti vektorskim zbrajanjem kutova !jJ, cp i 8. ako su njihovi iznosi konačni.
Slika 3.35. Srerno gibanje kao ro1acija oko osi II
88
, i
i"'
Euler- D·.-\lembenov teorem vrijedi i za beskonačno male pomake. Tada se os Li naziva trenutnom osi rotacije, te se svaki beskonačno mali pomak pri sfernom gibaniu može zamislili kao beskonačno milla rotacija oko trenutne osi ..d. SIieno proll1~ltranje u\"di smo i kod ravninskog gibanja. gdje .~C s\'aki beskonačno mali pomak lijela nwže zamijeniti beskonačno malom rotacijom oko trenutnog centra rotacije. odnosno oko osi kroz pol PI' koja leZi okomito na rererentnu ravninu. Kod ra\·ninskog gibanja s\·e trenutne osi među:::l)bno su paralelne, pa se lab"o gibanje može shvatiti i kao poseban slučaj sfernog gibanja.
Za razliku \.)d konačnih kutnih pomak:! beskonačno maJi kutni pomaci zbrajaju se kao vektori i za nji~ijedi zakon komutacije. Na slici }.36 pomak točke A II
..1' kod rotacije dužine DA za kut dcp; oko osi = iznosi OA ·dcp:. što se može prikaz,ni vektorski:
(3.66)
z
y
A, SHa 3.36. Zbrajanje bcskon:t';no malih kutnih pomaka
Ako se zatim dužina OA zarotira oko osi y za kut dip}" bit će pomak točke A u A" jednak OA' . dip,., ili ,·ektorski:
AA" = d<p~. J( OA.
Ukupni pomak AAI izražen kao vektor. bil će
AA, =AA' + AA" = (dq>,+dq>,.) x OA.
S druge strane AAI = d<p x OA, tako da je
dq>=dq>,+dq>,..
(3.67)
(3.68)
(3.69)
Izraz··O.69) za zbrajanje beskonačno malih kutnih pomaka \'rijedi i za više rotacija bez obzira na to kako osi leže u prostoru. Uvijek je ukupni beskonačno mali pomak vektorska suma komponenata beskonačno malih rotacija. Os LI jest os rezultirajuće rotacije. Tako se kod sfernog gibanja oko točke O prirasti koordinata t/I. cp i:1 mogu zbroji[i u rezultirajući beskonačno mali kutni pomak dW+ d<p+d3. Vektor dlJt pokJapa 5e s osi =' (sl. 1.I l. jer je to zakret oko te osi. pa po pravilu
89
desnog vijka pripadni vektor kutnog pomaka pada u tu os. Vektor dop leži II pravcu osi ~. 3 kutni pomak rl 1/ poklapa se s čvornom linijom n.
3.4.2. Kutna brzina i kutno ubrzanje
Kako je u 3.4.1 pokazano. prirasti Eulerovih kut ov. su vektori. Izborom koordinatnog ishodišta u točki O oko koje se kruto tijelo giba (sl. 3.31) poklapaju
y
,-x n,X ....
Slika 337. Kutna brzina i kutno ubrzanje kod sfernog gibanja
se koordinatni sustavi x, YI z i x', )I', :' sa slike l.l. Vektori prirasta Eulerovih kutova dojt, dop i d II leže na osima z, ~ i ll. a podijeljeni s diferencijalom vremena dt daju kutne brzine rotacije oko tih osi*:
dojt =.j, dt
(precesija) (3.70)
dcp • (rotacija) (3.71) -=op
dt
dS li (nutacija). (3.72)
Nazivi tih komponentnih rotacija preuzeti su iz nebeske mehanike i uvriježili su se u inženjerskoj praksi.
Budući da se prir.sti kutova !/I. rp i 8 mogu vektorski zbrojiti tl rezult.ntni kUloi pomak dojt+dop+d9. nakon dijeljenja s dl dobiva se
dojt d", d II __ . 0>=-+-+
dt dt dr iH skraćeno
o> =.j,+ <i> + !l. (3.73)
.- Ovdje treba uočiti da !sc kU10vi deriviraju kao skalari, a z.alim uzimaju kao vektori. 1e se OZJlake 4-, q itd. tle smiju poistovjetiti s derivacijama vektora. jer kutovi to nisu,
90
I
I
Taj rezultantni vektor jeste kutna brzina rotacije tijela oko trenutne osi Li koja sc poklapa s vektorom {!l. Svakom nov~ryt .lrenut~u pri~da nova tr:nutna os .rot~ije A. tako da '" ima prirast kako po VelIČinI tako I po smjeru. UkupnI vektorskI pnras! kutne brzine (O jeste kutno ubrzanje .E:
dID • 4 "=-=ro, (3.1 l
dt
koje zbog prirasta vektora (t) po smjeru ne leži na trenutnoj osi rotacije,
Vektori kutne baine o} i kutnog ubrzanja t prikazuju se II jednom od koordinatnih sustava. Koordinatni sustav x, )I~ z nepomičan je i ima jedinične vekrore i. j i li.. pa se projiciranjem vektora ~j q,. j. na osi x. y, t dobiva:
wx=~ sin,9 sin !/t + geos",
"', = ~ ip sin 9 cos >/I +,9 sin >/I
OJ,=ifJ+q,cos9.
(3.75)
(3.76)
(3.77)
Ponekad je zgodnije promatrati vektor oo u~, '1,;; koordinatnom sustavu. Taj je susta v vezan uz tijelo. pomičan je, a jedinični vektori su. mu c{O c'1 ic;. Komponente vektora CI) u tom sustavu dobivaju se projicif'dnjem t~ <p i 9:
(I)~= tfr sin:). sin tp + iJ COS(/)
{iJ'1=1jJ sin 9 cos cp - 8: sin cp
{JJ,=ifJcos iJ +q,.
(3.781
(3.79)
(3.80)
Koordinatni sustav koji u 1. poglavlju nije spomenut jest sustav X, Y, Z On je samo djelomično vezan uz tijelo. Kada su kutovi", i :1 konstantni, sustav X, Y, Z miruje jer promjena kuta cp ne utječe na kutni pomak ni jedne osi. Taj sustav poseb~o je pogodan za opisivanje tehničkih problema, jer je rotacija tijela fP odvojena od preostala dva gibanja. Jedinični vektori tog sustava su ex' el' l CZ' a komponente vektora (I) glase:
{JJx=!}
(JJ). = ifJ sin .9
wz=ip+ifJ cos lJ.
(3.81 )
(3.82)
(3.83)
Vektor 0)' kojim se giba sustav X. Y, Z ne sadrži rotaciju~ pa su mu komponente
ID' =exi!+ <rifJ sin 3 +ezifJcosiJ.
Iznos kutne brzine (!) dobiva se pomoću komponenata u bilo kojem od navedenih koordinatnih sustava: _'.
w=v'w! + ai, +w; -v'CO:+W;+wj -Jwi+"'~+w~ Rezultat je uvijek isti:
(3.84)
(3.85)
91
Komponente kutnog ubrzanja .[ dobivaju se deri\'iranjem vektora «J prema (3.74). U koordinatnom sustavu x, y,: .[=cv)+cvj+cr).k. Jedinični vektori i, j, k konstantni su. tako da je '[=w,..,i+w)+co:k, odnos~o .
E =W x x
e: =cv:_
(3.86)
U koordinatnom sustavu ~. fl. e ro=wi;e.::+cv"ell+cv;e;. Jediriični vektori e.::, e" i e~ pomični su, gibaju se sa sustavom ~, 'I. e vezanim uz tijelo, pa je njihovo gibanje sterno s kutnom brzinom «J. Vidjeli smO da je kod rotacije krutog tijela derivacija vektora položaja r neke točke na tijelu jednaka r=ro x r. Potpuno isto vrijedi i ovdje za jedinične veklore, koji također nemaju priraste po veličini. te Je e.=oo x eo!. eli =ro x eli i e;=ro x e~. Kutno ubrzanje je prema tome u tom susta\'u ~
E: =w=cv.:C.::+(o"e" +w,e;+oo x (w.::e.::+w"e" +w~e~l, Kako je zagrada na desnoj strani jednaka vektoru oo, te kako je oo x oo = O, i ovdje je E: =(v~e.:-+rolle" +ro~e~, ili
e.:=W.:
E"=W,,
E;=W,.
(3.87)
U sustavu X, Y, Z, koji se giba s oo', derivacije su jediničnih vektora: ex =00' x ex, fr=OO' x er i fz=oo' x ez. Kutno ubrzanje
Kada se vektorski produkt napiše u komponentama, dobiju se komponente vek-tora E::
Primjer 3.8
EX=WX+W~.wz-w~wr
Er=Wy+WZwx-w~z
ez=Wz+w~\.wr -WYWx·
(3.88)
Kružna ploča s osovinom rotira oko vlastite osi, konstantnom brzinom vrtnje n = 240 min -I, a oko osi z brzinom nl = 60 min -I (vidi sliku 3.38), koja je također konstantna. Za vrijeme gibanja nagib osi tijela prema osi:: je stalan i imosi 8 = 60°. Odrediti vektore (t) i E: pomoću sustava X, Y. Z.
92
Komponente vektora kutne brzine oo prema zadatku iznose:
1/1= nl 1t =21[5- 1
30
. mr cp=-=81[ S-I
30
9=0.
:.-,
.
';.: .• , ,e
zi l ~,
U sustavu X, Y. Z bit će prema (3.81) do (3.83)
0)\.=3=0
C~r=!jJ sind=7rv'3=5,441 S-I
(V Z = ip + <it cos 9 =9" = 28.274 S-l.
, z
~.z
y
x v' ............... -.... ........................ ..,....
n,X Slika ~}S_ Sferna gibanje kružne ploče konstantnim brzinama vrtnje II i 111
Vektor ro=roye}-+wzez (sl. 3.39a) ima konstantan iznos
eJ =.Jr}J' +ip' + 2J/tip cos 9 =.JeJ~ +wi =28,793 S-l
a leži u ravnini Z. Y pod kutom :x prema osi Z:
lUf . o=arctan -= 10,893·.
lUZ
LI r o~ _____ ~ ____ ~Y
w y
z ...........................
n.X
x
a) o bl Slika 3.39. Vektor kutne brzine e; {al i kutDog ubrzanja t (bl
Komponente kutne brzine konstantne su po iznosu, pa je kutno ubrzanje e=Ol'xOl. Kutna brzina sustava X, Y, Z 0l'=eyl}!sin9+ezl}!cos9=-V, paje iznos kutnog ubrzanja
e=lU'w sin(9- 0)= 136,7575- 2.
93
Kutno ubrzanje leži okomito na ravninu vektora ~ i ro, znači u pravcu osi X (sl. 3.39bJ. Kut prema osi x promjenljiv je i iznosi ifJ=27tt,jer je ifJ =2n= konst. Položaj vektora ro i E prikazan je na slici 3.40. na kojoj se vidi i trenutna os rotacije LI.
z
y
x x Slika 3.40. Položaj vektora e;; i -;
3.4.3. Brzina i ubrzanje točke na tijelu
Brzina neke točke A na tijelu jednaka je prvoj derivaciji vektora položaja r (sl. 3.41 aj. Budući da kod sfernog gibanja, jednako kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi, vrijedi, da je r=ro x r, brzina" točke A odredena je Eulerovom formulom:
v=roxr.
Vektor brzine okomit je na ravninu ro i r, a iznos mu je
v=wl'siny=wb.
(3.89)
(3.90)
Vidi se da je iznos i položaj vektora" u odnosu na trenutnu os rotacije L1 isti kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi.
Ubrzanje a dobiva se derivir2.njem vektora brzine y:
a=v=roxr+roxr.
Kako je 00= E, a r= "=0) x r, ubrzanje je
a=Exr+rox(coxr). (3.91)
Taj izraz analogan je izrazu (3.21) kod rotacije tijela oko nepomične osi, oo ovdje je značenje komponenti na desnoj strani drugačije. Komponenta 8 1 = E X r (sl. 3.41 b) ima iznos
(3.92)
Komponenta 3 1 okomita je na ravilTiiU vektora E i r, 'ne pokiapa:' se po pravcu s vektorom brzine v, te se prema tome razlikuje od tangeocijalne komponente ubrzanja točke A. Komponenta 3 2 =00 X (ro x r)=oo x y poklapa se s pravcem b i gleda prema osi LI. Ta komponenta iznosi
(3.93)
94
U 'općem slučaju komponente 3 1 i 3 2 nisu međusobno okomite. Komponenta 3 Z okomita je na \'ektor brzine v, tako da samo komponenta 3 1 ima projekciju na pravac brzine. Ta projekcija ai. =3T odgovara tangencijalnoj komponenti giban~a točke A. Drugi dio a;' zajedno s a2 tvori nonnalnu komponentu ubrzanja 3N = a~ + a~. Vidi s-e da nonnalna komponenta nije okomita na trenutnu os rotacije LI, te u tom smi5-lu nema analogije između te osi i nepomične osi rotacije tijela. Polumjer zakrivljenosti putanje točke A ne leži kod sfernog gibanja na pravcu okomitom na trenutnu os rotacije LI. što znači da udaljenost b u općem slučaju ne leži u oskulatom()j ravnini T, N.
z z
y
x a) b)
Slik:!. 3.41. Vd':1:0r brzlne r (a) i komponente a: i ~ vektora ubrzanja kod sfernog. gibanja
Primjer 3.9
Za sferno gibanje zadano u primjeru 3.8 odrediti brzinu i ubrzanje točke A (sl. 3.42). Polumjer kružne ploče Ro = 100 mm, a udaljenost njezinog središta od nepomične točke O iznosi h=3R=300mm. Zadatak riješiti za položaj 1/1=90°, 9 = 60' u koordinatnom X. Y, Z sustavu.
z
y
y,X
x
Slika 3.42. Brzina i ubrzanje točke A kod sfernog gibanja
95
Brrina točke A prema (3.89) jeste v =m x r. Položaji vektora r točke A ivektoru m prema primje.ru 3.8 prikazani su na slici 3.43a. Oba vektora leže u ravnini Y. Z. Točka A uda~ien. je od trenutne osi rotacije za b=l"sin(~+f!). Kako je {I=arct.n(R/h.'= 18,435\ za udaljenost b dobiva se
b=sin(x+f!h/R~+h' =0.155 m,
tako da je brzina
r=hO)=O.155· 28.793=4A60m s -j.
Vektor brzine p.oklapa se po smjeru s osi X.
al
z
z y
bi Slika 3.43. Položaj toi::ke A (a) iveklora ubt:l::.mja lb}
,
y
Do iSIOg rezultata može se doči vektorski. U primjeru 3.8 dobiven je vektor w s komponentama
w 5,441.,. t 28.274., s .j •
Vektor r prema zadatku ima komponente
r= -O,lor+O,3ez m.
Vektorskim množenjem (J) x: r dobiva se vektor brzine
,=4,460., ms".
Ubrzanje točke A prema (3.91) o=exr+wx(.,xr)=exr+wxv. Vektor kutnog ubrzanja iz primjera 3.8 &= 136,757 exs", tako da je ubrzanje' • nakon množenja
0=85,0750,- 37,9430z m s".
Iznos vektora ubrzanja i kut rt. (sl. 3A3b) jesu:
96
a=,jo~+ai:=93,153 m S'2
ar ". = arc tan -=65,963'.
az
1 'i;
'i
j
3.4.4. Aksaide
Za vrijeme srernog gibanja tijela trenutna os mladje J mijenja $voj položaj u prostoru, no uYijek prolazi kroz nepomičnu totku O oko koje se gibanje odvija, Promatrano iz nepomičnog kODrdinatnog sustava ,\", r. :, os .:1 opisuje čunjastu plohu $ vrhom tl točki O __ Ta je ploh_~ geymttrijsko mjesto svih poloiaja trenutnih
.osi rotacije. a luziva st' 1lt'pomii'nom aks(lidom •. na"' {slika 3.44}. Jednadžba ncpo-
z
mične aksoide ::lijedi iz uvjeta da je trenutna os rotacije niz ločaka na pm\'cu koje II
promatranom trenutku imaju brzinu jednaku nuli. Prema tome. vektorska je jednad7ba trenutne osi
(()xr:;;:O. (3.94)
U koordinatnom sustavu x, .v, .: w=m.>"i +O)rj+(!):;k i r=xi+ yi + :k. tako da je
(aJ,.: -Q),),)i+ (w,x- w,=Ji+ (w.,.\' -aJ,.x) k =0.
Da bi ta jednadžba bila zadovoljena, mora biti svaka od zagrada jednaka nuli, što daje jednadžbu trenutne osi rotacije Ll:
x r z -:;;;-;;:::::- (3.95)
Eliminacijom parametra t iz gornjih jednakosti može se preuređenjem dobiti jednadžba nepomične aksoide oblika F(x . .\', z)=O.
Promatrano iz pomičnog koordinatnog sustava e. JJ.~. koji se giba zajedno s tijelom: os .1 opisuje plohu vezanu uz tijelo pomičnu aksoidu. Kako je u tom
97
sustavu (!)=:w~~C/-w"e,,~w,e, i r=~e.:':r '1e"+~e,, uvrslenj"em u (3.94) dobiva se nakon mnozenJa Jednadzba trenutne OSI .ti u sustavu ~. 'I. ~:
(3.961 W.: (!J" (0;
iz čega se može dobiti jednadžba cP(~. 'I. ()=o pomične aksoide.
Pri sfernom gibanju pomična i nepomična aksoida dodiruju se II izyodnici koja je zapravo os L1. U geometrijskom smislu dovoljno je pozna .... ati obje aksl.)ide, pa se tada gibanje može reproducirati kao kotrljanje pomične po nepomičnoj aksoidi bez međusobnog klizanja. U praksi se dijelovi mehanizama izrađuju kao pomične i nepomične aksoide, čime se ostvaruju različita sferna gibanja. To je npr. slučaj sa stožastim zupčanicima. planetarnim prijenosnicima gibanja i slično. DJ bi bila potpuno određena i kinemalika takva gibanja potrebno je poznavati kutnu brzinu kojom se odvija kotrljanje pomične aksaide. Kad je nepomična točka u beskonacnosli, aksaide prelaze u plohe s paralelnim izvodnicama; gibanje je ranlinsko. a presjeci ploha s bilo kojom ra .... ninom okomitom na izvodnice daju pomičnu i nepomičnu poloidu. I u tom smislu ravninsko je gibanje samo poseban slučaj sfernoga gibanja. .
U tehnici je posebno \'ažno sferno gibanje pri kojemu su aksoide kružni čunjevi. Takvo gibanje naziva se precesijol/!, a jaVlja se uvijek kada se za vrijeme gibanja npr. kut nutacije 9- ne mijenja. Ako se za vrijeme takva gibanja preostala dva kuta mijenjaju jednoliko (npr. tjJ i CP imaju konstantne vrijednosti. 3=0). precesija je regularna, a prema položaju pripadnih vektora kutnih brzina ~ i CP može bili progresivna iii retrogradna precesija (sl. 3.45). Pri progresivnoj precesiji kotrlja se pomična aksoida sa svojom \'anjskom plohom po vanjskoj plohi nepomične aksoide. Retrogradna precesija ima za posljedicu kotrljanje pomične aksoide po unutrašnjoj plohi nepomične.
z
z
o
aj
Slika 3.45. Progresi"na (a) i retrogradna (b) precesija
98
Promatranje gibanja preko aksoida olaksava predodžbu o geometriji srernog gibanja. Također je u nizu slučaje\"J jednostavnije ostvariti srerno gibanje pomoću fizički izvedenih aksoirla. Manja je njihova prednost kod proračuna brzina pojedinih točaka tijela, dok se ubrzanja promatranjem aksoida ne mogu odrediti. Slično smo vidjeli kod ravninskih gibanja. za što nJm služe trenutni pol brzina i poloide.
Primjer 3.10
Za clemente srernog gibanja iz primjera 3.8 odrediti pomičnu l nepomičnu aksoidu.
U- primjeru 3.8 pronađen je položaj trenuIne osi rotacije .d. Nagib te osi prema osi ~ ili Z slalan je i iznosi a= 10.893". Taj kut ujedno je i polovica vršnog kuta pomične aksoide (sl. 3.46). Nagib osi L1 prema nepomičnoj osi; lakođer je stalan i iznosi 9-- :,,;=60°-10,893°=49,107.', što je polovica vršnog kuta nepomične
aksaide.
I' I
cb n,
na
Slika 3.46. Progresivna precc$ija. Pomien;] .. pa·· i nepomiČ1la .. na" aksoida
Aksoide su kružni čunjevi pa je gibanje precesijsko. Po zadatku su ~ = n1n/30 i rP = nlt/30 konstantni te je precesija regularna. a kako se pomična aksoida kotrlja po vanjskom plaštu nepomične aksoide. pored toga je i progresivna.
3.5. Opće gibanje slobodnog tijela
Slobodno tijelo u prostoru ima šest stupnjeva slobode gibanja. Položaj tijela, kako je II uvodu rečeno, može se odrediti pomoću koordinata položaja neke odabrane točke A tijela i pomoću tri Eulerova kuta. Svih šest koordinata položaja kod općeg.gibanja slobodnog tijela funkcije su vremena:
XA =XA (c)
YA=YA(l)
ZA =ZA (Il
1/1=1/1 (r) lp = lp (I)
11=11(1). (3.97)
99
Kod opt<g gibanja može se zamisliti da pomak tijela iz jednog položaj. li drugi nastaje istovremenim odvijanjem jednostavnijih gibanja. Za takvu predodžbu postoji više načina opisivanja. Najbliži je ~ibai1jima koja smo dosada upoznali opis pomoću tzv. Cllo/eSotla (Sa/ova) teorenll1. Prema tom teoremu može se zamisliti da svako opće gibanje slobodnog krutog rijela nastaje istovremenom translacijom tijela s nekom odabranom točkQm i s/ernim gihanjem oko te točke. Slično razmatranje uveli smo kod ravninskog gibanja gdje je translacija bila ravninska. a umjesto sfernog gibanja imali smo rotaciju pre~ieka tijela oko točke.
Odabere li se točka A kao referentna točka la translaciju. tada se sferno gibanje odvija oko te točke. Ishodište pomičnog koordinatnog sustava ;. 'I. { jest točka A (sl. JA7). pa se sva tumačenja tr.oslacije i sfernog gibanja mogu ovdje primijeniti.
z
y
Slik<t ~.-r'. Translacija s loi:'k~'n~ A i srema gibanje oko te točk~
Brzina i ubrzanje točke A dobivaju se deriviranjem vektora t:.:
(3.98) aA::::::: \e'A == fA'
Kada su koordinate točke A zadane. npr. Descaf1esove XA=XA(l}1 YA:=y ... (t} i =., =ZA (l), poznata je translacija tijela. jer sve točke imaju jednake vektore brzina i ubrzanja (3.98).
Sferno gibanje oko točke A određeno je kada su poznati Eulerovi kutovi !jJ =I/I(r), tp= tp(f) i 9= 9(1). Vektori fl) i" pronalaze se na način kako je 10 opisano u3.4.
Brzina bilo koje druge točke B prema definiciji brzine jeste
"B=ra. (3.99)
···Akosc.uvede"",ktor AB koji r"di krutosti tijela ima prirast samo zbog promjene smjera, bit će r.=r, + AB pa je
v»=r,,+AB, Prvi član desne strane jest bq:ina točke A, te je to komponenta brzine zbog translacije tijela. Drugi je član AB=(i) z !1.8, kako smo to vidjeli već II ,'iše navrata.
100
\10 to je brzina točke B zbog st~rnog gibanja oko A. Ako se U\'~de da je {u x AB = "9'A (brzina točke B zbog ~,i't"rnog gibanja oko A). bit će
\'"·=\".t+"B i' (3.1001
Prema tOI1!e se brzina neke točk;: ll;i lijelu dl.lbiva kod općeg gibanja zbrajanjem brzine v;. zbog translacije s h."iCkom A i brzine \-/> ,. koja j~ posljedica sfernl.;g gibanja tijefa oko ... L
Ubrzanje točke B dobiya se deri\'iranjem \-eklOfa brzine Vs po vremenu:
aa="8' (3.101 ,
l:vrštavanjem izraza (3.1001 u (3.10; I bit će as = l'A + \'1'.~ odnosno
as= 'A-i· m x AB+(l} x AB.
Prvi čJan desne strane odgoyara ubrzanju lotke A. Ta komponema ubrzanja dolazi od translacije tijela s točkom A_ U drugom elanu 0..=&. a u trećem AB=<o x AR. rako da je
(3.1021
Drugi i treći član odgovaraju komponentama al i al zbog sfernog gibanja. Ovdje cemo ih označiti, slično kao i komp,;nf!ntu brzine, s indeksom B A tako da je
(aa_i)1 =txAB
(aB _4. h =(0"'; (O) X AB)=ro x '-8,~'
LTz (aDiA)j +(8BiA h=as .--I dQbiva se
(3.103)
'.~'A+' •. ,. (3.104'
Premda se fizikalno značenje komponenti u (3.100) i (3.104) razlikuje od istoimenih veličina ravninskog gibanja. u principu su to iste jednadžbe kao i kod ravninskog gibaI!ja. koje je samo jedan od posebnih slučajeva općeg gibanja tijela Jednako su tako translacija. rotacija ili sferno gibanje samo posebni slučajevi općeg gibanja. Već je rečeno da opee gibanje: slobodnog tijela rijetko dolazi tl praksi. pa ovdje nećemo ulaziti II podrobnija razmatranja,
Zadaci uz poglavlje 3
L Kut zakreta oscilirajuće poluge određen je jednadžbom
tp =0.75 005(0,2"1).
gdje je '{I kut u radijanima, a , vrijeme u sekundama. Argument trigonometrijske runkoije je u radijanima. Odrediti maksimalnu kutnu brzinu i maksimalno kutno
""""ubrzanje po'luge. '." ":'- ": .. :-.::.;· .. L>~~ ~.
Rješenje: wm,,=O,4712s-'. ,",,,=0.2961
2. Kutno ubrzanje rotora stroja koji je uronjen II uljnu kupku mijenja se prema jednadžbi
e=; - k(:.l-.
101
gdje je k konsUlnmll velIčina. Ako se kutna brzina rotora smanji s %= 300 radls u počt;:ll1om trenutku (f=O} na polovinu le- brzine lj trenutku tl =55. odrediti kutno ubrzanje- (!lOm j njegovu kutnu brzinu u trenutku '2= lOs.
Rješenj<: '" = l OO radls. f. = - 6.6667 rad s'.
,3, Maleni hto k A miruje na horizontalnoj podlozL koja može rotirati oko vertikalne os; l'!. 3.481. Statičko trenje između bloka i podloge toliko je da će blok početI kHziti teb. kad njegovo ubrzanje bude jednako 2 m, Sl, U trenutku t ~~ podloga počinje rotirati koost<!oloim kuminl ubrzanjem c= 2 rad:s~. Odredlti trenutak kadu će blok početi klizili ako je 1'=0.2 n1. Kolika Će biti brzina bloka u lOm trenutku?
Rješen.ll.': 1= 1.)(') $. r =0.625 mis,
5. Gibanje stapa počinje iz stanja mirovanja. Njegovo središte počinje se gibati po pr:m:u konstantnim ubrzanjem (lc=4m/s2, a š1ap istovremeno započinje rotirati oko ,,1si okomite na ra\ninu crteža konstantnim ;kutnim ubr7..anjem I: = 16 rad S2. tj polQžaju kada je cp=1f.!4 (st 3.50) potrebn:) je odrediti brzine i ubrzanja toćaka A i B ;tapa. Duljina štapa je AB=O,6m.
A
Sliku 3.50
, 6. Odrediti brzine i ubrzanja točaka A i B mehanizma z.a pribJlin"l pravocnno
vođenje (\VaClOY meh.mizam) prikazanog na slici 3.51. POl!onski član rotira kUlnom brzinom 00=105- 1 i kutnim ubrzanjem l:~50s;, ZadJno: O,.I~O,I m. AB = 0,075 m, BO: 0.1501.
RjeSenje: t'A= I m/s. t'B=O.85 mis.
d A =II,25m,sl. 118::::.7m Sl.
4. Odrediti brzinu i ubrzanje točke A štapa oblika prema slici 3.49 ako on rotira oko osovine OO' kutnom brzinom <:J=IOs- t j kutnim ubrzanjem c=40s- z. 210 mm Ravni dijelovi šlapa paralelni su s koordinatnim osima x. r. z, fl dimenzije su kotirane u metrima.
Rješenje: VA = -i+3jm s, VA 3.1623m/5. 80
Y B
z
102
Slika 3,51
7. Štap OB mehanizma prema ,lici 3.52 rotira konstantnom kutnom brzinom '" ~ 50 rad s. Pomoću plana brzina i ubrzanja odredili brzine i ubrzanja svih točaka mehanizma ako je zadano: OB=BC=O,30m, AB=CD=O,D=0,90m,
-~~'= . 11= 1;10 m, ,,=30",1=0,9 m.
RjeSenje: t:B=15mjs, v,,=9.6m/s, vc=18,6m/s,
fv= 17,4m:s, «. = 750 m/s', "A=7S0m s'.
(fc=790m,s'1, (lD=~Om/s:2.
h
8. Odrediti jednadžbe pomične i nepomične poloide člana AB jednostavnog motornog mehanizma prikazanog na slici 3.53. Zadano: 0.4 = AB L.
Rješenje: X'+,\2=.lL' (".'1. f+<q-LI' L' (pp).
z
y
W,
x
Slika ),53 Slika 3.54 y
9. Radarska antena sferno se giba oko točke O, a II prikazanom položaju rotira konstantnom kutnom brzinom O)i oko horizontalne osi x, te istovremeno konstantnom kumom brzinom (JJ, oko venikalne osi z. Odrediti vektore kutne brzine i kutnog ubrzanja an!ene, le brzinu i ubrzanje točke A u položaju koji je prikazan na slici 3,54. Zadano: OA = 2 m. <ill = I rad!s, (JJ, =0,5 rad!s.
104
Rješenje: ro=i +O,5k rad 's, .=0,
v.= O.8660i-j+ 1.7321km 's.
aA =O.5i- 2.165lj- k m/sl,
4. KINEMATIKA SLOŽENOG GIBANJA
Gibanje točke ih tijela promatra se tl kincmatki rel&tl\'no s obzirom na neko drugo kruto tijelo za kOJe se pretpostaslja da miruje. te se uz njega vezuje koordinatni sustav koji je lada također nepomičan. Taka\' koordinatni SUSLav pri rjdavanju tehničkih problema vezan je uz postolje nekog stroja, temelje neke konsirukcije ili uz tijela koja s obzirom na Zemlju miruju. To je min.)\'anje SamO prividno, jer se i ta tijela zajedno sa Zemljom gibaju, a rezultati :su proracuna II
takvim koordinatnim sustavima približni i ne bi se poklapali 5- precizno iz\-.edenim mjerenjima. Međutim. odstupanja od ispravnih rezultata toliko su mala da se u in.i:enjerskoj praksi zanemaruju, pa se cijela tehničb kinematika zasniva na "akvoj pretpostavci o mirovanju. Kad se neko 1ijelo ili tv.!ka giba s obzirom n2- neko referentno tijelo koje se s obzirom na mirujući kO\..'Irdinalni sustav takode:- giba {npr, pokr'l!tni dijelovi strojeva n:.l brodu. česticu \'ode na lopatici turbine, ptltnik koji hoda u vlaku). mora se uzeti u Qbzir gibanje referentnog tijela kada se donose zaključci o ukupnom gibanju promatranog tijela i točke. Gibanje s obzirom na referentno tijelo uz koje se vezuje pomični koordinatni sustav zcvc se rt!iath'110
gibanje. Gibanje pomičnog koordinatnog sustava 5 obzirom na mirujući naziva se prijel:asnil1l giba/ljem, a gibanje koje je rezultanta obaju gibanja promatranog tijela ili čestice daje {IpSO/UlilO gibalIje. Apsolutno gibanje. prema tome, nastaje sastavlja~ njem relativnog i prijenosnog, ali se ne mora svako apsolutno gibanje tako matematički i opisivati. Već prema tome što je jednostavnije, složeno gibanje možemo promatrati preko PQjedinih komponen!nih gibanja ili ćemo promatrati direktno rezultantno (apsolutno) gibanje, Često je matematički jednostavnije, a i razumljivije promatrati pojedina gibanja zasebno i ;Iagati ih u cjelinu, pa ćemo taj pristup, koji se u inženjerskoj praksi gotovo iskljućivo koristi, pobliže opisati u narednim poglavljima.
Složeno gibanje točke, koje nastaje gibanjem točke unutar nekog prostora pri tomu se i taj prostor giba, često je li tehničkoj praksi. Za takvo gibanje odredit ćePlo brzjnu i ubrzanje točke. Od svih mogućih složenih gibanja tijela bi! će protumačena samo dva koja su važna u tehnici. To su gibanja koja nastaju kada je rela!i.-no i prijenosno gibanje rotacija te kada apsolutno gibanje nastaje zbog jedne rotacije i translacije. U većini tehničkih proračuna do\"oljno je poznavati samO brzine točaka na tijelu, jer se obično radi o promatranju stacionarnih gibanja bez ubrzavanja, pa će kod složenog gibanja tijela biti objašnjeno određivanje s.mO brzina.
105
4.1. Složeno gibanje to~k.
SJoženo gibanje točke nastaje kada sc fo{:ka giba::: obzirom na neki pomični (rt.'lutirltO koordinatni SUShi\ ;. 11, ~ koji se s ohzirom na nepomični (apso/lImi) :~. ,r. z također giba (sL 4.1). Relativno gibanje točke A u odnosu na~. 'I. ~ koordinatni su'Stav određeno je promjenom koordinata položaja točke A II tom sustavu, odnosno promjenom vektora p po veličini i [11,."1 smjeru II odnosu na osi relativnog SUStilVa ~. tJ, ~. Prijenosno gibanje za točku A jesl gibnnjc koordinatnog sustava ~. 1]- ; u odnosu na apsQlutni koordinatni SU:iaav x,,r. To gibanje može biti opčeniro. pa ga prema Chalesovu teoremu zamišljamo kao trausladju s OI i kao sferno gibanje oko Ot. Translaciju $ OI potpuno određuje promjena VekhJra f. ~l sferno gibanje dodatna promjena vektora fl po smjeru u odnosu na 05i s . .1', ;;.
r ;; 70~~--~~--~----~ y
Slika 4.1. Pomični ~. II. ; i nepomični .\'. ,I',:: koordinatni susta\,
Brzina točke A je prema definiciji
(4.11
U nepomičnom koordinatnom sustavu bit će rA = x ... i + y ... ti + z ... k. Kod složenog gibanja obično su x,., )'.'1 i ZA kao funkcije vremena nepoznanice. Poznati su elemenri relativnog i prijenosnog gibanja~ pa ćcmo poći od toga da su nam poznati r i p kao funkcije vremena:
r=xi+yj+zk
p=,e{+ qe,+~e:.
Iz slike 4.1 vidi se da je r A = r+ p. pa je apsolutna brzina točke A
d • o :.. •••• ~7;dt (r+pJ.
Nakon uvrštavanja (4.2) u (4.3) dobiva se nakon deriviranj'
v= .i: i + yj+žk+ ~.!+ ~., +\e;+~e(+ ~" +,e(.
(4.21
(4.3)
(4.4)
U lom izrazu jedinični vektori e " i e; imaju priraste zbog s[ernog gibanja suslave ~. 'I. { oko O,. Ako je .. kUlna brzma s[ernog gibanja. tada s. derivacije jediničnih
106
. ,
vektora dobivaju vektorskim množenjem slijeva kutnom brzinom~ te je nakon uređenja
v=.d+.\J+:k+IDxt';e.!+ 11elf+te;:)+~e.;+ il(\J:+~e{- { .. tS)
Prva Iri či<ma na desnoj strani daju brzinu točke 0I. To je brzina zboS prijeno:;nc translacije '01' U \-ektorskom produktu komponente u zagradi daju vektor p. t~iko da je taj produkt jednak brzini VA (11 zbog prijenosnog sfernog gibanja. Zadnj'J tri člana čine brzinu l-,. relatiYl10g gibanja točke A II sustavu ~ .. il. {. Prema tome je brzina točke A
\-=\"(H +l'AQ! +\-.. H.6)
ili ilraž~lh.) pomocu prijenosne brzine \<p= \'QI + \',i rJI:
14.71
\"idi sc: dn je brzina lOčke .-! jednaka veklOrskom zbroju rrijenosne 'lp i relativne \"r
brzine, :\ko je kut među ovim brzinama iX, 1zoos apsolutne brZine dobiY<1 se pomoću iZrd7..a
v = .. ../r~ + r; + L'pL' .. cos Cl.
ApSl..llutno ubrzanje točke A prva je derivacija vektora apsolutne brzine. pu (ksnu sHanu izraza (4.5) treba deriyirati još jednom po vremenu:
a = .xi OT :d+::k +-» x (~e~ + tIe-lJ + 'e~)+(i) x (~e{+ ;1t'!'1 +te~l+ (~.9)
+00 x (;Č,:+ 'leif +(e;) + ~e.;+ qe" + te{+ ~č.;+ jle'l+~e;. DerivacHa kutne brzine daje kutno ubrzz..nje srernog gibanja; ro=f:. Kada SI! za derivacije jediničnih vektora uvrs[e odgovarajući vektorski produkti. lC kada se izraz (4.91 sredi dobiva se
a =.'ii + :"j+ ik +< x p+o) x (O) x p)+ ~e,+ ii-, + Če;+ 20> x v,. (4.10)
Prva tri pribrcjnika na desnoj strani odgovaraju ubrzanju točke OI' pa je tO
ubrzanje zbog prijenosne translacije 301' Slijedeća dva vektorska produkta poznate su komponente 3 1 i az prijenosnog sfernog gibanja koje zbrojene daju ubrzanje z~og te komponente gibanja 3,.,. Naredna tri pribrojnika daju ubrzanje a,. koje je posljedica relativnog gibanja točke A u SU5tavu .;. q. ,. Na kraju ostaje dopunski član koji nema sličnosti ni s jednim od ubrzanja koja smo upoznali u ranijim gibanjima. To dopunsko ili tzv. Coriolisow ubrzanje označit ćemO s a(. Uz ukupno prijenosno ubrzanje al'" = 301 +a"IOI izraz za apsolutno ubrzanje glasi
(4.11 )
Apsolutno ubrzanje točke A, dakle. sastoji se od prijenosnog ap i relativnog ar ubrzanja te od dopunskog ili Coriolisova ubrzanja a~. U vektorskom izrazu za Coriolisovo ubrzanje javlja se vektor prijenosne kutne brzine (rl i vektor relath ne brzine točke ",:
(4:12)
Vektor a okomit je na ravninu u kojoj leže vektori m i V,.. a smjer mu se određuje po pravilu desnog vijka (desne ruke). Ako se kut između vektora ID i 'Fr označi s {J. bit će iznos CorioJisO\'a ubrzanja
(4.13)
Tu komponenta jednaka je nuh II tri slučaja:
L kada nema prijenosne rotacije lb}!;;tiO). vl.,~ je prijenosno gib.mje smno translacija.
20 kada su vektori o) i ,o, parajeini ili antiparaleini <p~tY ili 180'). 30 u trenutku kada je v,~oo
Kod svakog gibanja ločke. kada se uzima da jC" sastavljeno od prijenosnog i relativnog gibanja~ pojavit će se d9punski član u Izr:lzu (4,11) za ub~nje, osim u navedenim posebnim slučajevima. Izračunavanje .lpsolutnog ubrzanja često je jednostavnije kada se prijenosno i relativno ubrzanje promatraju preko prirodnih komponenti, pa se svagdje gdje je to moguCe kori:iti taka1\" pristup rješavanju zadataka,
Primjer 4.1
Čestica se giba u cijevi konstantnom brzinom li odnosu na cijev rr=5ms- 1•
Cijev rotira oko O tako da se s početne brzine vrtnje 11= 150min- 1 ubrzava jednoliko na ll, lOOOmin- l• za 1=3s (sL 402)0 Odrediti vektore apsolutne brzine i ubrzanja na početku perioda ubrzavanja kada se čestica nalazila na udaljenosti b=O.2 m od centra rotacije Oo
I i~oo <f~o
0:;::;0
Sliku ·t2. Gibanje čC.lOticc u rotiraju(:oj cijevi
Relativno gibanje čestice u odnosu na cijev .ie jednoliko pravocrtno s brzinom Ll,. Prijenosno gibanje za česticu je rotacija sa cijevi oko centra O, pa čestica ima na početku perioda ubrzavanja prijenosnu brzinu
ml rp=bw=b 30 = 15,708 ms-l.
Apsolutna brzina (sl. 4.30) iznosi
16,486ms-' o
Vektor apsolutne brzine leži u odnosu na cijev pod kutom
v O:v = arctan ...!= 72,343° ,
-.:--~ :'. ~,!:., ,; . • ,.~f};..
Relativno ubrzanje jednako je nuli, Jer je relativno gibanje jednOliko pravocrtno. Prijenosna normalna komponenta ubrzanja iznosi
108
O"~
I I !
:; !
tl usmjaena je ?rema centru O prijenosne rotacije. Prijenosno kutno ubrzanje jeste
(01-(0 (tl l -Il)1t _ ...
" I ~ 301 - 890.118 s -.
tako .. Lt je tall::;;i1djalna komponenta prijenosnog ubrzanja
ilpT=nz= 178.024 m S~, o
Budu.:; da se c~:;;\' ubrzanI. smjer .: poklapa se sa smjerom w te to odreduje i smjer tangel1 .... ijalnog :.:brzanja --rT- Pra\':l-: tog ubrzanja okomit je na cijev (sl. 4.3b},
-v . \
-.~~
O, al o
" w'-
Slika "'L~, Brline (a I i ubrzanja (bl čestice
bl
\"ektor (o .. "Ikom it je na ravninu u kojoj se giba čestica (na sl. 4.1 gleda prema čitao.;u), pa se Coriolisovo ubrzanje ~= 2ID x Vr poklapa po smjeru s vcktorom apT'
Po iznosu je .
a~= 2wl'r ::iin 90:::::::; 157,080m S'-2 .
Apsolumo ubrzJnje ima iznos i kU( nagiba prema cijevi:
4.2. Slaganje d'iju rotacija
Složeno gibanje tijela koje rotira relativnom kutnom brzinom roI" i prijenosnom ID~ oko osi .1, ' tlp koje se sijeku'1I'prost6ru (sl. '4.4) poseban"jesluč'j s[ernog gIbanja, kod kojega se treća kutna koordinata ne mijenje.
Kod takvog složenog gibanja tijela kutne brzine 0), i ID, vektorski zbrojene daju apsolutnu kutnu brzinu fi) s pravcem A koji je trenutna os rotacije:
(40141
109
Iznos vektora 6) dobiva se pomoću kosinusova poučka
(1)= Jw; +w; + {;)I;1' cos .9 , dok je položaj osi J određen kutom :t. za koji je
. '-'Jr sin.9 ~=arcsm ---.
w
(4.151
(4.161
Točka O je nepomična točka oko koje se odvija gibanje trenutnom kutno!ll brzinom (J). Brzina i ubrzanje bilo koje točke nj tijelu određuju se na način kako je lO opisano kod sfernog gibanja. Budući da nema treće rotacije. kut :1 među vektorirna (Or i (1),.. je stalan. pa je gibanje precesiono, Kako je rečeno u pogla viju l-k kod konstilntnih iznosa kutni h brzina prc..;csijsko gibanje je regularno a može biti
I progresivno ili retrogradno.
" LI,
LI,
~
Slika 4.-1. Slaganje rOlacija tijela kod kojih se osi Li, i LI, relativne i prijenosne rotacije
sijeku u prOStoru
LI, d d,
w w,
p
x
Slika 4.5, Slaganje rotacija tijela kod kojih su osi .dr i .d, relativne i prijenosne rotacije
paralelne
U posebnom slučaju mogu obje kutne brzine biti paralelne (sL 4.5). Apsolutna kutna brzina po iznosu jednaka je zbroju iznosa relativne i prijenosne kutne brzine:
(4.1 7)
Trenutna os rotacije LI paralelna je osima LI, i LIp. Njezin položaj se određuje iz brzine točke P na osi .dl" Ta točka ima brzinu samo zbog prijenosne rotacije, ali se isto tako može zamisliti da joj je brzina posljedica apsolutnog gibanja. pa je
odnosno
x=b w
b
1+ wr wp
Kada su ror i wp suprotnog smjera (sl. 4.6), bit će uz npr. wp>ro,
110
(4.18)
(4.19)
(4.20)
Za brzinu točke P vrijedi ponovno izraz (4.18) tako da je udaljenost osi J od osi LI, jednaka
b X=--.
1- Wr
"',
(4.11)
Vidi se da trenutna os LI leži u tom slučaju izvan razmaka b. i to n3 5trani vc(~ kutne brzine.
w
-b
Slika 4,6. Slaganje rotacija 'kod koji~ su kutl}e brzine antirar<Jil!lni \'I!kton
Ako su vektori kutnih brzina O)r i O>p antiparalelni, ali jednaki po iznosu «(O~= -cop), udaljenost osi L1 je u beskonačnosti, a apsolutna kutna brzina jednaka je nuli. Brzina neke točke A na tijelu (sl. 4.7) dobiva se kao zbroj brzina zbog relarivne i prijenosne rotacije:
V=W,.x c,+rop x rp (4.12)
odnosno (4.23)
Slika 4.7. Slaganje rotacija antiparnieInih Immih brzina jednakih iznosa
111
Vektor r - r konstantan je za sve točke na tijelu, jer odraž;wa medusobm položaj ncpomič~ih točaka O. i Op' Prema tome je i vekror.v jednak Z~ sve točke tiJ~\a. Vidjeli smo da :;ve toč!:"t: tijeia imaju jednake brzIfl: u $!UČ;;lIU ka~~ Se hJ~~O lransialorno giba. pa je apsolutno gibanje koje nastaje sl?gan.l~1i1 d~~Ju rot;:I!.:1J,a suprotnog smjera oko paralelnih osi translacija. Vektor brzme translaCije Y OkOIlllt
je na ravninu koju tvore osi A~ i J", a brzina ima iznos
L"~(", [r,-rrl sin/l=(!),h. (4.24)
U nekim slučaJ'evima kutne brzine (I) i (!) bit će minHj5mjer~i vektori (sl, 4.8}: , p križat će se u prostoru ali ne i sječi. Znademo da tak\'a d\'a \:ektora ne možem.o zamijeniti jednostavnom re:zultantom po pravilu o zbraj~~nju vekrora ... Tada J~ moguce zamisliti da smo u bilo kojoj to~~i 1- na OSt :4 p priJen?5n~ rotaCIje d.?~ah vektorero i -(I) a da se gibanje ne pronlljenl. Veklon (t)r ll~l OSI J" 1 -ro~ tl lOck I A dovode do tra~;iacije tijela brzinom \'=(1)" x p. kako lo određuje izraz (4.23).
Slika 4.8. Slag.anje rotacija kada su osi relalivl'\\'. i prijenosne rOlaeije il. i JI' mimosmjerni pravci
Vektori cl) u točki A l ID daju rezultantnu rotaciju oko osi jj kutnom brzinom (1),
koja u prostoru zatvara kut ct s vektorom v. Prema tome se svako složeno gibanje od dviju rotacija kojih se osi križaju a ne sijeku može zamijeniti odgovarajućom translacijom brzinom l' i rotacijom kutnom brzinom m. Kako se sastavljajU ta dva gibanja bit će pokazano u narednom odjeljku.
Primjer 4.2
. Zupčani'k l' poiumjera-R, 'rotira oko nepomične osi kroz al brz~nom vrtnje tl!) te prenosi gibanje na zupčamk 2 koji se ujedno kotrlja po zupčastom ~irujućem vijencu 3 (sl. 4.9). Odrediti brzinu vrtnje poluge 4 koja se može okretatl oko C:l neovisno o zupčaniku I. Koliko iznosi relativna kutna brzma ,,:,pč.mka 2? Ako J~ zupčasti vijenac 3 pokretan kojom kutnom brZinom mora ronratI oko 01 da bl zupčani k 2 translatirao?
112
I
Gibanje satelitskog zupčanika 2 mo7.e se promalrati kao gibanje sastaVljeno od prijenosne rOlacije oko al (QS if ) kutnom brzinom U>p i relativne rotacije oko 02 (os .1,) kulnom brzinom to, (sl. 4.h Apsolutno gibanje log zupčanika jest kotrljanje po J:lpčastom Yijencu 3. To je zapravo ravninsko gibanje s trenutnim polom brzina ~., fi.l je apsf."11utno gibanje rotacija oko trenutne osi L1,
d d, d, w,
lIJ
i " n,
Slika -tl:). Sloieno rotacijsko gibanje
Pomoću zupčanika 1 ostvaruje se gibanje~ a dodirna ločka A sa zupčanikom 2 ima brzinu Ilon
l'., ~,%RI =30 Rl'
Brzina VA ujedno je i b.",in. točke A zupčanika 2 zbog kOlrljanja po tijelu]. tako da je apsolutna kutna brzina zupčanika 2
t'A Rl "'=--=0)0 --o
2R, 2R, Brzina centra O, L'o2~VAI2="'oRI/2 jest obodna brzina zbog prijenosne rotaotie S polugom 4 oko 0I' Prenosna kutna brzina jest prema lome
V02 Rl "',= Rl + R, ='% 2(R, + R,)'
odnosno tražena brzina vrtnje poluge 4
30",. R, II~~="O 2(RI +Rzr------..,,---
Relativna kuma brzina zupčanika 2 veća je od prijenosne i iznosi
Rl (R, +2R,) w, =ro +wp ~%'tR2 (Rl + R,) .
8 S_letit: KINE\tAT!KA 1 DINAMIKA 113
Kod translacije sve točke na zupčaniku 2 imaju jednake brzine kao i ločka t'A. =wORt, Tu brzinu mora imati i dodirna točka zupčanika P. i vijenca 3, pa kutna brzina vijenca koji rotira oko 0, u smjeru roD jeste I
fA Rl ro) ~ =000 .
R, +2R, R, +2R, Prijenosna kutna brzina za zupčanik 2 tada je jednaka suprotno usmjerena njegovoj relativnoj kutno; brzini, pri čemu je
t'02 VA Rl wp=---~---=CJo---·
Rl +R2 Rl +R2 Rl +R2
4.3. Slag.nje translacije i rotacije
Pretpostavit čemo da je rotacija relativno gibanje oko osi Ar' Translacija je tada prijenosno gibanje brzinom "p> jednakom za sve točke tijela. koja leži pod kutom :x prema osi .dr (sl. 4.10). Ta se brzina može rastaviti na dvije komponente: brzinu translacije v tl pravcu osi relativne rotacije Ar i na brzinu translacije v' u pravcu okomitom na ..1 r , Obje brzine iznose:
.t'= r.:p cos (1.
r' = vp sin a. (4.25)
Nadalje se može zamisliti da je brzina v' posljedica dviju rotacija: - U)r na osi .dr i (OT
na osi Ll. s međusobnom ud.ljenosti b. koja prema (4.24) iznosi
b=~= Vp sin a . (4.26) co, {j)r
Na osi L1r ukida se djelovanje rotacija (1), i - (Or tako da od početnih gibanja (t)r i vp ostaje rotacija (1), na osi .d i translacija v jednaka za sve točke,
Vektori (J)T i v daju II promatranom trenutku zavoj no gibanje oko osi .d te je to najjednostavniji oblik gibanja na koji se može svesti oPĆi slučaj rotacije i translacije
LI, LI
v
-lJ),
Slika 4.10. Slaganje translacije i fOl3cije
tijela s međusobnim kUlOm a. To je ujedno i najjednostavniji slučaj na toji se mogu svesti i dvije rotacije s mimosmjernim osima opisanim U odjeljku 4.2. U tom slučaju os zavojnog gibanja okomita je na najmanju udaljenost među osima L1 i Ll (Mobiusov teorcrn). • p
Apsolutna brzina bilo koje točke tijela dobiva se vektorskim zbrajanjem brzine vp i brzine vr zbog rotacije oko osi .dl" U slučaju da smo \!ibanje sveli na rotaciju oko osi A kutnom brzinom b)~ i translaciju v. vektorsko je zbrajanje jednostavnije. Tada će vektori brzina v i Y~ biti međusobno okomiti. U posebnom slučaju~ kada je translacija okomita na os rotacije, složeno gibanje može se zamijeniti samo rotacijom oko osi A, To je bilo primijenjeno kod ravninskog gibanja tijela, gdje smo umjesto translacijom i rotacijom opiSivati gibanje samo rotacijom oko trenutnog pola brzina.
Primjer 4.3
Pu~čano zrno giba se translalorno u odnosu na cijev brzinom r = 1000 m S -! .
Zbog stabilizacije gibanja zrna urezana je spirala u cijevi koja daje rolaciju zrnu oko uzdužne osi. Ako se po metru dužine cije\"j nalazi spirala s četiri puna zavoja. koju brzinu vrtnje dobiva zrno na izlazu iz cijevi?
Na izlazu iz cijevi zrno se zavojno giba relativnom kUlnom brzinom (Or i prijenosnom translacijom v. Kroz cijev dužine 1 m putuje zrno 10 - -' s. Za to \Tijemc ukupni kut relativne rotacije jest wnnožak između broja zavoja i 2n radijana. što iznosi Sn radijana. Kutna je brzina tada:
ili
Zadaci uz poglavlje 4
8n (o =-- rads-I
r 10- 3
30",. n~--=240000min-'
n
l. Čestica se giba konstantnom relativnom brzinom v,=2mjs unutar kružne cijevi polumjera R = l m. Istovremeno cijev rotira oko osi koja je okomita na ra\'ninu cijevi kutnom brzinom koja II prikazanom položaju čestice iznosi (1)= 2 radls, a kutno ubrzanje cijevi iznosi e=4rad!s' (sl. 4.11). Odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje čestice ako je ,,=60'.
Rješenje: v=5,29ms- 1•
a= 17.345ms-'. ((11= 131°, ".= - 153'.
. Slika.Ul
y
x
114 8' 115
Zakrivljena vodi1ica CD polumjera r=4cm kruto je vezana za ycrtikalnu osovinicu AB koja rotira konstantnom kutnom brzinom <t.I= 2 s -\, Pomak klizača K po vodilici mijenja se po zakonu s= nt'J./2 (t u sekundama, s u centimetrima). Odrediti komponente x, r. : brzine i ubrzanja klizača K u položaju D (sl. 4.12).
Rješenje: Fx= - 8cms- 1, t1r =6,28cms- 1
, f;=O,
a,= - 25.l2cms-z. 0,= - 12.86cm s -l, G, = -9.87 cms-:.
z
Slika 4,12
3. Odrediti brzinu i ubrzanje klizača B mehanizma prikazanog na slici 4.13. Ručica OA rotira konstantnom kutnom brzinom ill = 10 rad/s. Zadano: OA =200 mm.
116
y
e n
B
0, • Slika 4.13
O, O =400 mm, 'I' =.15'. Zadalak rijesiti analitički i gratički pomoću plana brzina i ubrzanja. Uputa za an.litičke rješenje: dužinu O,B izraziti kao funkciju vremena i dedviran.iem naći brzinu i ubrzanje točke B.
Rješenje: vlJ=10.9m~-I, aJJ=~45ms-l
..L' Dva kon ična zupčanik':J u zallYatu prikazana ~U shematski na slici 4.14, Zupčani:=:I mog~ roti,rati oko nep?mičnih osovina OO; i 002' Zadani su kutna brzina (Ut
l kutOVI :)1 I 82" Odrediti kutnu brzinu {()2 kao i relati\'nu kutnu brzinu jednog zupčanika u odnosu na drugi, Napomena: Budući da točke na relativnol osi ~otacij~ jednog zupCJnika. miruju u odnosu na drugi. ta je os zajed~ička Izvodmca konusa zupčanlka (~,1. Apsolutna os rotacije jedna je od osi zupčanika.
Rješenje: W2 =W1 sin ~ll ·sin 32, tO/, =w1 cos.91 (1 + tun 41 taIl'')2''
0, b
Slika 4. [.J Slika 4.'5
5. Na vertikalnu osovinu elektromotora 2 pričvršćena je kružna ploča polumjera r=0,5 m. Elektromotor 2 rotira oko vertikalne osovine elektromotor. 1 (sl. 4.15), Razmak među osovinama iznosi b l m. Kutne brzine elektromotora konstantne su (w, = 10 rads -', w, = 20 rads-') i jednakih smjerova. Odrediti: al apsolutnu kutnu brzinu i položaj trenutne osi rotacije kružne plvče~ b} brzinu točke A kada je '1'=30' i c) gibanje i brzinu točke A ako su kutne brzine jednake ("" =w2 =10r.ds-'1 i suprotnih smjerova.
Rješenje: a) w=30rads-', x=O,33m od osi 2,
b) v,,=24.IS3ms-', cl Kružna [ranslacija, r,~IOms-' .
II. DIO
DINAMIKA
5. UVOD
Dinamika je dio mehanike II kujem Se pro~čavaju 1ll~\1usobni \."Idnosi gibanja tijela i uzroka koji ta gibanja izazi\-~ljU. Obie-no su uzroci gibanja tijel':l :iiIc i sprego\-j koji djeluju na kruta tijela kojih je rezultanta različita od nule. Slučaj ravnoteže kada je rezultanta jednaka nuli razmatra Se II statici krutih tijela. dok st' gibanja_ bez obzira na uzroke koji ih izaziYaju, pr0učavaju II killemdlici. Dini/mika, prema tome, djelomično sadrži i osnovne elemente statike i kinematike. ali se njihovim posebnim metodama ne bavi.
Zbog jednostavnosti. II dinamici se za$~bno izučavaju gibanja tijela kod kojih su dimenzije tijela nebitne ili se zJnemaruju. U kinematičkom smislu gibanje se promaLra kao gibanje točke, a jedina mjera tromosti tijela jest njegova masa. L" dinamici govorimo tada o gib'wju čescice mase m, koja II općem slučaju ima cri :ili/pilja Slobode gibanja. Često su u tehni":kim izvedbama takva tijela ili česti~e povezani međusobno različitim vezama, tako da tvore cjelo\"it susta\·. Takav susta\' može se u dinamici promatrati kao cjelina. Kada su veze u sustavu krUle. 11 broj čestica beskonačan, riječ je zapra\"o o hurom rije/u, kod kojega u mjeri tromosti pored mase 111 imaju važnu ulogu oblik i dimenzije tijela. Gibanjem čestice. sustava čestica i krutog tijela bave se tri osno\'na dijela dinamike: dil/IIII/ika čestice. dinamika SUSlal"(1 čestica i dinamika kmcil! rijela.
Pored duljine i vrf;!mella, koji su bili osnovne veličine u kinematici. u dinamici se javlja masa kao treća osnovna veličina. Masa se definira u fizici kao mjera tromosti ili inercije čestice. a jedinica joj je kilogram (kg). Jedan kilogram određen je etalonom koji se čuva II Sevresu u Francuskoj. Sve ostale \·eJičine u dinamici bit ce izvedene iz [ih osnovnih, pa će i njihove dimenzije sadržavaLi tri osnovne jedinice: "'etar (m), St'kfllldll (S) i kifogram (kg).
S\"a razmatranja u klasičnoj mehanici. pa tako i u dinamici temelje se na .\reU"tollorim :aI.:OI1;I11Q gibanja čestice. P,.d :akoli poznat je kao :{/koll usrrajnost;, a kazuje da čestica ostaje u mirovanju ili jednOlikom pravocrtnom gibanjU ako je rezultantna sita koja djeluje na česticu jednaka nuli. Na tom zakonu zasniva se cijela statika. Drugi :akol1 gibanja kaže da je ubrzanje čestice proporcionalno rezultamnoj sili s kojom se poklapa po smjeru. Iz tog zakona izlaze s\; osnovni zakoni dinamike. Taj zakon češće se formulira i preko kolicine gibanja, o čemu će biti gm'ora kasnije. Akcija i reakcija predmet su (rećeg Newtono\'a zakona: dva tijela djeluju jedno na drugo jednakim i suprotno usmjerenim silama. Jedna od tih sila je aktivna, a druga reaktivna. I s tim zakonom ba\'i se statika i na njemu zasniva \'ažan princip reza ili izolacije. O\'dje nećemo ulaziti u dublja razmatranja
121
tih zakona. jer je to .zadatak fizike, već ćemo ta tri zakona uzeti kao polazne osnove kod tumačenja s,"ih dijelova dinamike.
Posebnu vrstu sila tvore gtafHacijske silI! koje se i u tehničkim proračunim,:t često ne mogu izbjeći. Zakon pomocu kojeg se te sile između dvije čestice iz.računavaju postavlo je također Newton, a poznat je pod imenom zakona opće (univerzalne) grm.'iWc(k. Dvije čestice mase nlt j ml koje se nalaze na međusobnoj udaljenosti r privlače se silama F i F kojih je iznos (sL 5.11
Grat'iwcijska kor;swlHu ~' eksperiml!nlalno je Ulwđena i pribfižno iznosi
i'~6.6: 10-11 m)kg- i s- 2, m,
(5.11
Između Zemlje i bilo kojeg tijela na njezinoj !>OVfšini može se prema (5.1) izračunati gravitacijska sila F, Uz srednji polumjer Zemlje R = 6,371 ' 10· m i njezinu masu koja približno iznosi ml ~ 5 j 98 . 1()Z4 kg gravitacijska sila na masu m2 :;;; ln (masa m u kg) jeste
"'III F=i-f m=gom=9,83l ln N, R
(5,31
Konstanta 90=9,831 ms- 2 jest jakost g/'avitacijskog polja na površini Zemlje, Točnim mjerenjem može se ustanoviti da privlačna sila Zemlje ne odgovara II
potpunosti toj vrijednosti. Razlog je tome rotacija Zemlje, zbog koje se privlačna sila razlikuje kako po iznosu tako i po smjeru od gravilacijske sile. Ta privlačna sila između tijeJa mase nl i Zemlje, koju zovemo težinom tijela+ određuje se po analogiji s. (5,3) pomoću izraza
G=gm, (5.41
gdje je g jakost polja teže, koja se mijenja ovisno o mjestu na površini Zemlje. U tehničkim proračunima uzima se da je prosjei:na vrijednost jakosti polja leže g:>:9,81 mS-l. Promjena jakosti polja teže posljedica je geoidainog oblika Zemlje. konfiguracije Zemljine površine, nebomogenosti mase Zemlje itd, Točnija vrijednost jakosti.polja teže u Zagrebu npr. iznosi g=9,80782msc2. " •..•
Težina tijela. kojoj je jedinica kao i svakoj drugoj sili njurn (I N = I kgms-2), bila je osnova za definiciju kiloponda u starom Tehničkom sustavu jedinica. Premda taj sustav više nije u upotrebi, u nizu priručnika i tablica zaostala je jedinica kilopond iz ranijih godina. Jedan kilopond bila je ona sila kojom etalon u Sevresu (m= I kg) djeluje na podlogu, pa je prema (5.4) I kp=9.8l N,
122
-, "
6. DINAMIKA ČESTICE
6. t. Jednadžbe gibanja
Drugi Newtonov zakon gibanja može se napisati vektorski lako da glasi
F=ma. (6.1)
SHa F jest rezultanta svih sila koje djeluju na česticu, a ubrzanje a jest apsolutno ubrzanje (,I. 6.Ji. Izraz (6,1) je \'ektorska jednadžba gibanja čestice koja kod rješavanja zadataka dinamike, ovisno O zadatku i odabranom koordinatnom susta· vu, ima svoje skalarne jednadžbe.
putanja
m
o
Slika 6. L Rez:ultantna sila na česticu poklapa se po smjeru 5 \'eklorom ubrzanja
U Descartesot:U koordinatnom sustavu komponente sile jesu F=F.i+FTj+F:k. a komponente ubrzanja a=axi+ayi+a.k. Buduči da je gibanje odredeno Iwordina
:'""~";-';,," ,tama "d', ",toje "'.i=x, G,=Y i a. = 'ž, pa izraz (6.1) daje ove tri jednadžbe gibanja:
F.x=mx (6.2)
F =my , (6.3)
F,=mz. (6.4)
123
Kada se gibanje prikazuje li polarnom kQQrdinatnom .<;usrat:u. II kojem je položaj čest:ce određen koordinatama r i q>~ rezultanina sila ima dvije komponente F= : ..... ,cr +F~eft" Isto vrijedi za ubrzanje a=ul"el"+a~eO". Iz kinematike je poznato da je (/,; r' -!'f/>' I o.=rIfJ+2iyp, tako da jednadžbe gibanja II tom sustavu glase:
m (r - np') (6.5)
(66)
U ciUndtic11im koordinatama P. ([J, z komponente sile Sll F=F e -i-j:' e +F~k i veklora ubrzanja a=tl e,+a e +lt_k. Ako se za komponente ubfz:nja ~Potrijebe izra;:i dobiveni u kin~matici točke (2.98) do (2.100), dob"'aju se prema (6.1) jedr:adžbe gibanja II cilindričnom sustavu:
F,=m(p-p,p'1
F.=m(pq,+2pq,)
F;=mz.
(6.7)
(6.8)
(6.9)
Analogno se dobivaju jednadžbe gibanja u ~(E!J'11om koordillatnom sustat'U r, lP, il:
[I d . J F.=m --(r'3)+rq,' sin9cos9 . ,. dr
(6.10)
(6.111
(6.12)
B~dući da se prema (6.1) rezultantna sila F poklapa po smjeru sveklorom ubrzanja a, Imat će vektor F II prirodnom koordinatnom Slf5Ctll'U dvije komponente; (angencija/nu Fr i normalnu Fl"" što znači da kod gibanja čestice rezultanrna sila koja uzrokuje gibanje leži uvijek u oskulatornoj ravnini, p~ je F=FTe,+FNe,. Odgovarajuće komponente ubrzanja prema (2.150) i (2.151) jesu: aT~'S i G N = "'iR, ,ako da (6.1) daje u prirodnim komponentama dvije jednadžbe gibanj. : .
Primjer 6,1
FT=lIIš
,,' FN=m~.
R
(6.13)
(6.14)
Gibanje čestice mase pn zadano je jednadžbam. x=R CO. aJI i J'=R sinw!, u kojima su R i OJ realne konstante veće od nule. Određiti silu koja proizvodi takvo gip.nje. . ._ "._~.,.
Prema zadanim jednadžbama put.nja čestice je kružnica polumjera R s centrom U ishodištu (sl. 6.2), Jednadžba putanje je
x2 +y"=R'.
Brzina v = Jp + ji' = Rw, pa je tO gibanje s konstantnim iznosom brzine,
124
I .j
Jednadžbe gibanja u Descarteso\·u koordinatnom sustavu jesu:
F$ -= mx;::::: - mRul- coswt
F y= m)" = - mRw2 sin(J)t.
iznos sile F je konstantan i iznosi
F=JF~+F~=mRwl.
x
SIi~;I 6.2. Gibanje čestice po kružnici kon$t<ln!flI~m brzio('m
Iz komponenata se vidi da je sila F na svakom mjestu putanje usmjerena prema centru kružnice, Takva sila. koja je za vrijeme gibanja usmjerena prema centru zakrivljenosti putanje, zove se ceutripeta!tlQ sila, Gibanje po kružnici· konstantnom brzinom ostvaruje se, dakle, djelovanjem centripetalne sile konstantnog iznosa. Ubrzanje pri takvom gibanju također je konstantno po iznosu i jednako je
Primjer 6,2
F , a=~=R(J.r.
//I
Čestica počinje gibanje početnom brzinom Vo pod Kutom, prema horizontali (sL 6.3). Tokom cijelog gibanja djeluje na česticu samo Zemljina teža. Analizirati gibanje pod djelovanjem konstantne sile teže (gibanje.u blizini Zemlje).
y
1/ .' putanj ..
Q~~ __________ L-__ ~~~ X o
Slika 6.3. KQsi hitac
125
Uz L'tnemarCl1je otpora zraka na česticu djeluje tokom gibanja samo vlasti!a 1ežina. tako da su II koodil1atnom sustavu prema slici 6.3 jednadžbe gibanja:
mx=O
m):= - 1il{J. Integriranjem sc dobiva:
3;=r.~=Cl
r= -III+C,. Integracijske konstante e: j Cz slijede iz zadanog uvjeta da je za 1=0. Vx = IJO cos 2' i Cy = VO sin:x. Prema tome j.'! CI =rocos:x j Cl =co sin:t. pa je
i P\.)110VO integriranje daj;; ,
fx=rn cos "1
l..'y= }fl + 1'0 sin 'l.
x=ri)l cos X+C)
I' )'= Y'2+L'otsin'2+C4 "
~onstanle Cl i C .. jednake su nulL jer je 2il 1=0. x = O I r = O. Ta ko je
l' )'= -!1"2+l'ol sIn"':/..
To su parametarske jednadžb~ putanje. Eliminacijom vremena t dobiva S~ jednadžba pmanje koja glasi
il , y=xlgcx 2~AcoS1(/.X-.
Cestica izbačena početnom brzinom 1'0 pod kutom (x prema horizontali (kosi hitac) giba se prema tome po paraboli s granaf l1U okrenutim prema dolje. Tjeme parabole leži na mjestu gdje je VJ' = >"=0, odnosno za (= (..'0 sin a./g, Nakon tog vremena koordinate tjemena xT D/2 i YT~ H jesu:
D t·~, -=-sm2:x 2 21/
v' H =-2.. sin l x.
2g
Vidi se da je maksimalni domet uz istu početnu brzinu moguće postići uz (.(=45°~ jer je tada sin 2. = l.
Kada je x=900', gibanje ima samo r komponentu (vertikalni hitac). Visina H koju postiže čestica izbačena početnom brzinom L'O iznosi tada
t?u H=-. 2g
Ako se česIica pusti da pada bez početne brzine ("0=0. Ct= -90"), gibanje također ima samo), komponentu (slobodni pad). Čestica se giba II smjeru negativne osi JI, a nakon pređenog puta y = -II ima brzinu 1'1 = r koja iznosi
v=,)2gh.
126
: I " I
:1
).
6.2. D' Alembert". pr!ocip
Preuređenjem jednadžbe gibanja može se svaki zadatak iz dinamike riješiti poznatim metodama iz statike. jednadžba gibanja čestice mase 111 glasi
(6.15)
u kojoj je F rez.ultanta svih s.ila koje djeluju na česticu, a vektor a je apsolutno ubrzanje čestice. Ako se desni član te jednadžbe prebaci na lijevu stranu, bit će
F-wa=O (6.161 iIi S o7.!1~\kom L= - ma:
F+l=O. (6.17/
Ta je jednadžba uvjet dillamičke ravnoteže čt!sric(!, U njoj je vektor L im:rcijska sila i nema odlike sH'arne sile. Ona je fiktivna veličina. koja sa stvarnim silama stoji u dinamičkom smisIu u ravnoteži. Po francuskom matematičaru koji je prvi uočio da se jednadžba gibanja može pisati kao jednadžba ravnoteže naziva se ovaj postulat D' Alelllbmocilll principom. Jednadžba (6.17), koja uključuje i inercij,ku silu L= - ma, dovoljan je uvjet dinamičke ravnoteže, jer se radi o konkurentnom skupu si1a. Iz ,kalarnih jednadžbi koje izlaze iz uvjeta (6.17) mogu se odrediti sve nepoznanice dinamičkog zadatka, npr. komponente ubrzanja iH komponente nepo;matih sila koje dovode do gibanja zadanim ubrzanjem. U ravnini. zadaci se mogu rjcšavati i grafički.
Inercijske sile koje su prema (6.161 i (6"17) uvijek usmjerene suprotno ubrzanju prikazuju se u komponentama, već prema odabranom koordinatnom sustavu, U prirodnim koordinatama to je tangencijaina i nonnalna komponenta inerciske sile. UObičajeno je da se normalna komponenta suprotno usmjerena od nonnainog ili centripetainog ubrzanja naziva centrifugalnom silam. Jasno je da je centrifugalna sila samo fiktivna. Kao i svaka druga inercjska sila ona stvarno ne djeluje na česticu, ali njezino uvođenje olakšava fizikalnu predodžbu o zbivanjima za vrijeme gibanja čestice. Isto vrijedi i za Coriolisovu silu, za koju se kod složenog gibanja čestice pretpostavlja da djeluje suprotno Coriolisovu ubrzanju.
Primjer 6.3
Čestica mase ul = I kg giba se uz kosinu nagiba (,(= 30° (sl. 6.4). Pored vlastite težine G= ION i podloge s koeficijentom trenja 1'=0,1 djeluje na česticu sila F =9 N. Odrediti ubrzanje čestice, ako je {J= 15'.
Slika 6.4. Gibanje čestice \JZ kosinu
117
Gibanje je pravocrtno s ubrzanjem a uz kosinu. Sile na oslobođenu česticu prikazane su n& slici 6.5a, na k')joj je suprotno ubrzanju ucrtana i inercijska sila L= - ma. U odabranom koordinatnom sustavu x, y uvjeti dinamičke ravnoteže glase:
F .:os{J- R sin lp-G sin':t.- n/(/=O
LF,.,~O f ;in{i+R cos <p- G cos >~O.
Rješa\"anjem lih jednadžbi, u kojima je HI = G {J i ifJ = arc lan ll, dobiva se da je
'I~~ [~cOS({i-<pI-Sin(,+<p)J. cos lp G
što nakon uvrštenja zadanih vri.l;;-dnosli daje
a=3 O1S- 2 .
Grafičko rješenje prikazano je na slici 6.5b. Očitana sila L iznosi 3 N, što uz zadanu masu čestice daje ubrzanje a = L/m = 3 m S-2.
F x
L
(j
-1N
al bl Slika 6.5. Sile na ceslicu pref7l:l. O·Alemberlo\·u principu lal i grafičko rj~enje {bl
Primjer 6.4
Odrediti otklon čestice od \·ertikale, ako čestica u odnosu na veličinu polumjera Zemlje pada s male visine Ir. Otpor zraka i utjecaj centripetainog ubrzanja zbog rotacije Zemlje zanemariti.
Cestica se padajući s visine h giba složeno. Relativno u odnosu na Zemlju i prijenosno zbog rotacije Zemlje (sl. 6.6). Prema zadatku treba iz zadane sile naći komponente relativnog gibanja ;~~«() i q= q(!). Otklon od vertikale predstavljaju vrijednosti e i " nakon što čestica po osi, prijeđe put h. Za vrijeme gibanja vektor relativnog ubrzanja jeste 8 r = ·{e.+ ije" + ,e,. Prijenosno ubrzanje ima samo nonnalnu komponentu a =a~=RCii cos cp, pa se zbog malog iznosa kvadrata kutne brzine Zemlje (w' =O,S2cj'·1O-' s-') prema zadatku zanemaruje. Coriolisova ubrzanje
~or =:m x vr =2ro x (~e~+;'e., +~ e~).
128
Prema tome je apsolutno ubrzanje čestiCe
~ = ~e.:+ ije" + (e, + ~ro x (~c{+ i,e" +~e,).
Prema O'Alembertov'1 principu uvjet dinamičke ravnoteže glasi
l(! }
( R
merdijan
J
01 bl Slika 6.6. Padanj.! česti..:e u neposrednoj blizini Zemlje s visil'!e fl. Rclalivni koordinatni sustaV ~. 'I. ;: (a)
i položaj ra\TIine~. I; (b) . .
Kod padanja jedina sila na česticu jest njezina vlastita težina. koja u relativnom k.oordinatnom sustavu ima smjer - ( osi. tako da je F = - mge:. O'Alembenova je Sila L= - ma. pa se uz pomoć izraza za ubrzanje a dobi'·a uvjet dinamičke ravnoteže
- mge,- m [~e, + ije, + Ce; + 2ill x (~e, + ;1 e" + te;1 ~O.
Vektor co može se prikazati također u koordinatnom sustavu ~. '1, ~, pa je
co = - (J) cos ({Je.; +00 sin ({Je;.
Kada se izraz za ID uvrsti u uvjet dinamičke ravnoteže. dobiva se nakon kraćenja s ln i vektorskog množenja
odnosno ~=2w~sin(!)
.~= - 2w(~ sin<p+t cos <pl
\=2w~cos(!)-g.
9 s. Jo:cic: KIND-LUtKA I DINAMIKA
(l)
(2)
(3)
129
Integriranjem prve i treće jednadžbe dobiva se
~=2w'lsinqJ+Ct
~ =20", cos rp-91+ Cz.
{41
(51
Budući da je u poče(nom trenutku gibanja relativna brzina jednaka nuli. a čestica se nalazi na mjestu ~ = '1 =0 j.., JI, !-..Ol1stante CI i Cl jednake su nuli. Ako se dobiveni izrazi uvr5fč II jednadžbu (::: L hit ~,~
l/ -4d 11+2grwcosrp.
Dio tog ubrzanja koji sadrži «(i može se iz ranije izneSt;!nog razloga zanemariti lako. da je
odnosno il =: 2gl{JJ cos tp.
~=gr'(O cos rp+C,.
Uz (=0, ;,=0, i C.)=O. Ponovnim integriranjem dobiva se
I q =3 gl'", cos rp + C.,
gdje je pontwo integracijska konstanta C. =0. odnosno
l 11 ="3 gt 3
U) cos tp ,
Uvrsti li se izraz za 'I u (4) i (5), bit će nakon integriranja
l (;;;::!'6 gl40i sin q> cos tp+ Cs
l r' e =(; gr'OJ' cos' rp- g 2+ C,.
Integracijska konstanta c.5 =0. dok je za l == O, (, = lt, pa je C6 = h. Time Sl! i izrazi za ~ i , određeni:
l . ~=-gr'())' sm2rp
12
l tZ
\=6 gr4",' cos' 'I'-g 2+h •
Otklon ~ i prvi član U { reda su veličine 10 -'. Prema otklonu 'I i visini h mogu se obje veličine zanemariti, te su komponente relativnog gibanja
130
';=0
l ~ ="3 gr'w cos rp
t' {=h-g 2 ·
Prema lome, zanemarujući veličine koje sadrže kvadrat kutne brzine Zemlje, čestica se kod !Jadanja otklanja prema istoku. U tom smjeru, naime, postavljena je os + lj. Vrijemr potrebno da čestica padne na zemlju (C =0) iznosi t=,J'ih!g, tako d. je otklon <ld vertikale
Kut (J) jest kut zemljopisne širine. ~a ekVatoru je tp=O. pa čestica koja pada s tornja cd 100 m ima otklon prema i<toku (<v = 0.7272 '10-4
,-', g=9.81 m S-l) od 1.1 em.
6.3. '1<:aanički rad i snaga •
Rej~ullanlna sila F. koja djeluje na česticu za \Tijeme gibunja, u opCem slučaju bi! će promjenljiva veličina. U tehnici su posebno česti slučajevi kada je sila F funkcija položaja F=F(r) ili kada je funkcija vremena F=F(r). To znači da ćcmo često imati posla s dva tipa integrala jednadžbe gibanja: po pomaku dr j po Hemenu dt, Integriranje jednadžbe gibanja II općem obliku za ta dva slučaja dovodi do niza vrlo važnih zakona i noyih veJičina, pa će svaki od tih integra1a biti podrobnije razmorren.
Sh.lamim množenjem lijeve i desne SIrane jednadžbe gibanja (6.1) s dr dobiva je jedna :lžba F·dr=",.·dr (6.18)
Skalarni produkt F ·dr jest u diferencijalnom obliku rad sile F. pa je uz oznaku W za rad
dW=F·dr. (6.19i
Uz jedinicu za F njutn (N) i za dr metar (mj bit će jedinica rada njutnmetar ili skraćeno džul (J). odnosno
Integriranjem (6.19) od mjesta putu od I do 2 (sl. 6.7):
x
(6.201
na putanji do mjesta 2 dobit će se rld sile F na
, W=JF·dr. (6.21)
T
y
Slika 6.7, Rad $ile F na plllu od !očke t do 2: krivocrinc pUlanje
9' 13!
Iz kinematike j~ poznato da se vektor dr poklapa po pravcu s pravcem tangente T, pa je skalami Irodukt F· dr= I FI cos a Idrl. Buduči da je Idrl '" ds, bil će
.,. s. . .
W= J Fcosods= J FTds. \6.22)
" Vidi se da rad pr~l11a definiciji (6.19) daje samo tangencijaIna komponenta sile F. a može bili poziU·an iJi negativan, već prema (Ome da li je pomak ds u smjeru sik FT ili SUprl)tan. Rad normalne komponente Fl\: jednak je nuli.
Rad sile F izračuna,·a se pomoću njezine langencijalne komponente prema (6.22) ili II bilo ;kojem drugom koordinatnom sustavu. Tako. naprimjer. II Descartesovu su~[avu
pa je rad sile F 2 2
11"= J F·dr= S Fxdx~F,d)'+F,dz. 10.23)
U posebnom slučaju sprega sila, premda je rezultanIna sila jednaka nuli. ne mora bili i rad sila jednak nuli. Iako je spreg veličina koja izaziva lakav način gibanja tijela k,.)ji ne spada II dinamiku čestice, protumačit ćemo rad sprega o\·dje, jer pojam rada· i nije vezan uz tijelo. Kod ll"al1sfacijt! sprega gibaju se hvatišta sila sprega po jednakim krivuljama, tako da su prirasti pomaka sila jednaki. Budu(:i da su sile u spregu jednake po veličini, ali suprotno usmjerene, ukupni rad sprega kod translacije jednJ.k je nuli. Kod rOTacije sprega oko osi okomite na ravninu sprega za kut d<p ltočka O na slici 6.8) iznosi rad sila F i - F:
d W=F(b~/)d<p-Fld<p.
tako da je dW=Fbd<p=Md<p.
M je moment sprega, pa je rad kod rotacije od kuta <Pl do kuta <P!.
132
-'f
0, W= J Mdcp.
o
dil'
I I
F
~ ~
Slika 6.8. Rad sprega sila F i - F
b
10.241
10.25)
16.26)
:\
Ako se rotacija odvija oko bilo koje osi koja leži II ra\'nini sprega, rad je jednak nuli. jer sile Fi - F imaju tada samo paralelne pomake.
SIIlI!J{/ p jest brzi Ila kojom neka $ila obadja rad:
dW P=-.
dl
Jedinica snage je raf (W), što je d:1I/1I sekundi. odnosno
I W=IJs-'=1 Nms- I =lkgm1 s- 3 .
Pomoću (6.101 može se snaga izraziti preko sile i brzine:
d /I' dr P=-=F·-=F·\·.
dl dl
Budući da je i ovdje:x kut izmedu sile F i brzine v (si. 6.71, bit će
P=Frcoso.:=Fr-v.
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
Snaga je trenutna veličina i u svakom trenutku se može izračunati iz rangencijalne komponente sile i brzine v.
Snaga sprega može se izraziti pomoću izraza (6.151 pa je
d /I' d<p P=-=M-=Mw.
dl dl (6.31 )
Premda je pojam snage prema (6.29) i (6.31J vezan uz silu odnosno moment, u tehnici se govori o snazi što ju razvija neki stroj. Kod strojeva se snaga izračunava pomoću sile i momenta. koje stroj mora svladati ili ostvariti, pri čemu se koriste gornji izrazi. Kod pogonskih strojeva snaga je jedna od njihovih bitnih karakteristika.
Primjer 6.5
Kod blanjanja je polrebno djelo"ati na rezni alat silom F = 10 kN (sl. 6.9). Ako je sila tokom blanjanja konstantna, izračunali rad sile kod skidanja strugotine u dužini :; = 2 m, uz kut ct. = 600
• Kolika je snaga pogonskog stroja potrebna za skidanje strug0tine brzinom v = 0,5 m s - l?
v -/ ~%
Slika 6.9. Rad sile F kod skidanja strugotine
Prema izrazu (6.21) rad sile F jeste ,
W= JF'dr= J Fcos ~ds. o
Budući da :,u iznos !'iile F i kut a: konstantni, rad je
W=Fs co'" = 10 kJ.
Pom:::bna snaga za rezanje silom F uz brzinu (' bit će prema (6.30)
P=Fv GOS 'l.=2,5 kW.
iPored te snage pogonski stroj mora razviti i snagu potrebnu Zi) svladavanje sila i 'momenata trenja u svim pokretnim dijelovima, koja u gornjem izrazu nije: uračunata.
Primjer 6.6
Koliku snagu razvija automobilski motor kojemu je brzina vrtnje radili~e n = 2800 min -l , ako treba savladavati otpore kojih je ukupni moment M = 108 Nm"?
Snaga prema (6.31) iznosi
111< P=Mw=M -=31,667 kW.
30
6.4. Kinetička energija. Zakon kinetičke energije
Skalarnim mnozenjem lijeve i desne strane jednadžbe gibanja s dr dobiven je ovaj izraz:
F·dr=ma·dr. (6.32)
Skalami produkt· na lijevoj strani definiran je kao diferencijal rada d JV. Desna strana može se razriješiti ovako:
ma' dr= m I all drl cqs x. (6.33)
Iz slike 6.10 vidi se da je I al cos a: = aT' što je tangencijalna komponenta ubrzanja. a kako je Idrl ",ds, to je
dr ma·dr= maTds=m -ds (6.33)
dr ili drugačije pisano
Za sve slučajeve kada je masa čestice konstantna, te uz dsfdt=v, bit će
. (mv') ma·dr=d 2 . (6.34)
134
;i
'0
'-.e
'.'
; '.
To je diferencijal kinecičke energije Ek koja je definirana kao trenutačna vrijednost što je ima čestica mase /II pri gibanju brzinom v, gdje je
mu2
E,,=-. 2
(6.35)
Prema izrazu (6.32) vidi se da je jedinica kinetičke energije ista kao i jedinica rada tj. džul. To slijedi i iz (6.35). jer je prema (6.20) I kgm's-'= I 1.
T
Slik<! 6.10. Promjena kine[ičke energije česIice
Jednadžba (6.32) pisana pomoću uvedenih definicija za rad i kinetičku energiju ima prema tome novi oblik koji glasi
(6.36)
što znači da je prirast kinetičke energije čestice jednak prirastu rada sile koja proizvodi njezino gibanje. Integriranjem tog izraza od položaja 1 do položaja 2 čestice na putanji dobiva se
(6.37)
Integral na desnoj strani daje razliku kinetičkih energija II položaju 2 i J, dok je lijeva strana jednaka radu sile F pri gibanju čestice od l do 2:
Ek2-Ek1 = w. (6.38)
Taj izraz napisan pomoću definicija (6.35) i (6.21) glasi ,
m~ mv~ f -2---2-= F·dr. (6.39)
Izrazi (6.38) i (6.39) predstavljaju zakon kinetičke energije, koji je jedan od osnovnih zakona dinamike. Zakon kazu·e da nema promjene kinetičke ener ~~ ni pr?mj~n~_ .. brzine_čestice.oez.ra .a .. st~~QPR-k9j~_se __ Stl.I;.~ gjp.~. Očito je da kod
135
negativnog rada dOlazi do smanjenja brzine, tj. rj bit će manja od "t. Čestica gubi kineti~ku energiju. Iz poznatog rada unutar nekog intervala vremena i poznate brzine. npr. na početku intervala, određuje se, pomoću zakona kinetičke energije. nepoznata brzina na kraju log intervala.
Primjer 6.1
Čestica mase ln (sl. 6.11) giba Se bez početne brzine iz položaja l prema pOložaju 2 pod djelovanjem sile u opruzi (konstanta krutosti ej i trenja S podlogom (koeficijent trenja 1'). Odrediti brzinu čestice u trenutku kada je opruga nen.pregnu· ta (položaj n
Slika 6.11. Gi\'l~tnje pod djelovanjem ::lila opruge i trenja
Cestica se giba pravocrtno s rezultantnom silom u smjeru gibanja:
F=c(x-s)- ",mg,
tako da zakon kinetičke energije uz v, = O i Vz = v g!a~i
mvZ f 2= [C(X-S)-!Hng] ds.
o Nakon integriranja i uvrštenja granica bit će izraz za brzinu
~ U= .,J-;;;- 2MX.
6.5. Potencijal •• energija
Pomoću izraza (6.23) odreduje se rad sile F u Deseartesovu koordinatnom sustavu tako da je
z W= JFxdx+F,dy+F,dz. (6.40)
136
Dio sila koje se javljaju II tehnici z;axlse samo o položaju čestice II prostoru. Tako npr. sila na cesucu od eTa"štiCrie-'vezetopruga1 zavii!o' iidatjen<isti češtice od nekog početnog položaja u kojem je sila veze jednak1 nuli. Gravitacijska sHa Zemlje zavisi o položaju čestice II odnosu na centar l\~mlje. Slično je sa silama uzgona. magnetskim silama itd. za svaku takvu silu f-)ože se pronaći funkcija Er>' iz koje se deriviranjem po koordinati položaja dobiva odgovarajuća komponenta sile tak" da je
cL F,= --:-!....
. eJ _cEp
e: (6.41,
Funkcija Ef' naziva se pote1lci}alnom .!l1ergl)ow. a uvjet dJ. ona postoji slijedi iz (6.411 deriviranjem Fs. po J:' i FI. rl,.'1 x, F \' po : i F:: p': y. te F; r\.) x i F\ pO:!C, tako da mom biti '. t
cF~=~~i; GJ {!X
,'F. cf -'=-' (6.42 ,
__ ~ile z~_~Qjt1 P,9stoji pOh!ncijalna energija Ep jesu kt1n::erftUirm: si~e, Rad takvih sifa ne ovisi 0_ putanji izmedu l .i 2 već samo (l vrijednoHima potencijalne energije u
. tim to.čkallJa. Ako se, naime. (6.41) uvrsti u (6AO), tad. je rad ,
d;= - f dE,.
gdje je d E p totalni diferencijal potencijalne energije Ep' pa je
W= -(E.,- E.,).
(6.4} )
(6.44,
_Ako. sila F jJlla_poten~ij~)nu eneJgij~. tada je njezin rad na putu od Ido 2 (sl. 6.12' neovISan o.putanji .I,.oj.omje čestica došla' ii p,:I()~j!!.1. u p_olo~j 2,,,~.~aj ~ad ovisi samo. o....Yriiedno.stipoten.,ijalne.eiieigij'e.~"inJestlma l i 2. Rad konzerviltl'vne'si!c
. po zatv..'"enoj putanjiilipet!ji je.,!na~j:"p!ema tome ". . --- .. --... -. --. ----.,-. -~~
11'= f F'dr=O, (6.45)
z
o y
Slllc;a 6.12. Rad Konler.'31i ... oc sile ne o\i~i o pUtU
što slijedi iz_ (§A4), j~r je..potencija1na energija na-početku·i na krajLLzmvor~P5!$tlje Jednaka. Vidi se da konzervativna sila može dati rad unutar nekog int.!rvala gibanja samo u slučaju da postoji promjena položaja njezina hvatišta. Za t1,·kot1zervatilme sile (sile trenja, sile ovisne o brzini) rad ovisi o putanji. Rad neko'n2 ':rvatlviiili' siTa po -zat\io-ren-oj putanji nije)ednak nuli. Za te sile ne postoji pOlencija:na energija.
. Poten~ijalna en,ergija u nekom položaju Ep(x, .1'.'::) izračunava S~ i;-~~-d~'sile. Mjesto gdje se UZIma da je E =0 određuje se u svakom posebnom slučaju dogovorno. Za silu teže, koja je z~ male udaljenosti od Zemljine površine približno stalna (sl. 6.13a). potencijalna energija to je veća što je veća visina l: u odnosu na neku početnu razinu.
l ---.------ Ep2= Ep
dSl=~m\= h
(j =-mg s
_....L_...L _____ EPl = O
Zemlja
al
, \
dS.y-
bl
m
F=- m9jR s
;----
Slika 6, l 3, Potencijalna energija sile lei';- (a) i gra .... itacijske sile Zemlje (hl
Rad sile teže G pri gibanju iz položaja l, gdje je E I =0, U položaj 2. u kojem je Ep2 =Ep' iznosi p
ili
h
W~ - J mgds~ -(Ep2-E,,)~ -E, o
Ep=mgh.
(6.46)
(6.47)
Iznos gravitacijske sile Zemlje na česticu mase m2 =m prema (5.1) jest F = yml m(r2. Za r= co gravitacijska sila jedllaka je nuli, pa se uzima da je njezina potencijalna energija na tom mjestu jednaka nuli. Budući da je prema (5.3) ,m, ~goR2, rad je sile F (sl. 6.13b) od položaja I (s~r, E" ~E,) do položaja 2 (s~ OO, Ep2 ~O): oc
f mg RZ W~ - +ds.~ -(Ep2-E")~E,,
Što nakon 'integriranja i uvrštenja granica daje
mgoR2 Ep~--
r
a to je potencijalna energija na udaljenosti r od središta ?emlje.
138
(6.48)
(6.49)
::\
<I
Sila na česticu koja potječe od linearne elastične opruge konstante krutosti e iznosi F = - ex (sl. 6.14). Pritom je x produženje ili skraćenje opruge u položaju 2 u odnosu na nenapregnutu oprugu za koju je u položaju l, :<=0. Rad takve elastične sile od položaja I do 2 bit će
W~-Jesds~-(E -E I. (6.501 p2 pl o
1 1
t:i?P ! Epl =O
F~ ~ F
E,
x s Slika 6.I .. t Potencijalna energija linearne elastične veze
Ako je u položaju l, u kojem je opruga nenapregnuta, potencijalna energija Ep, =0. a u položaju 2 Ep2 = Ep. bit će
(6.511
Derivacija potencijalne energije po koordinati položaja s negativnim predznakom daje silu. Tako izraz (6.47) daje -dE,Jd"~ -mg, što je sila teže. Iz (6.49) deriviranjem po r dobiva se -dEJdr= -1~lgoR2ir. a to je gravitacijska sila Zemlje. dok je sila opruge prema (6.51) -dE,Jdx~ -ex.
Kada se čestica giba pod djelovanjem više različitih konzervativnih sila, svaka sila ima potencijalnu energiju, koje zbrojene daju energiju presudnu za gibanje čestice. Napomenimo da je potencijalna energija jednako kao ikinetička skalar s jedinicom diul (J).
6.6. Zakon održanja mehaničke energije
Kada na česticu tok~H11._gibanja c:Ijel!lj1J._~arnQ ko-'!zervativne sile. može se rad u zakonu kinetičke erie'rgije (6.38) zamijeniti razlikom njihovih·'potencijalnih·energija (6.44), tako da je
Eu-Ek' ~-(Ep2-E,,) (6.521
139
ili (6.531
Taj izraz pf..kaxuje da zbroj kinetičke j potencijalne energije na svakom mjestu putanje. odnosno II svakom trenutku gibanja čestice ima istu vrijednost. To je ~lIk(lJl odr:tmjd i".,:lwnićke energije. koji vrijedi kada se čestica giba pod djelovanjem konzervativnih sil~: Otuda i ime tim sil<!Il},,!.{Gon~ervare. latinski sačJtt:~t,i1,()dt]:atil, Prema tom zakonu prQ-irijena' brzinc čestice, pa prema tome l kinetičke energije moguća je samO na uštrb potencijalne energije. Povećanje kinetičke energije' 'mo'ra don~sti do smanjenja ukupne po-tencijalne energije jobrnulo.
Drugi Qblik tog zakona dobiva sc preuređenjem (652). tako da je
odnosno (6.541
(6.551
Kada. na česticu djeluju samo konzervativne sile. nema promjene ukupne mehaničke energije. Zakon održanja mehaničke en~rgije s~mq j~,po$eba~~.sl~čaj općeg zakona odr::anja energije, prema kojem je u nekom zatvorenom sustavu ukupna energija (meha!,ička, toplinska. električ~a.itd,) ~~promjenljiva.
Djeluju li na česticu pQred konzervati\'nih i nekonzervativne sile. bit če rad W svih -šiliit sasi'avIjen 6d rada konzervativnih sila 1-V" i nekonzerva·ii\'nih (npr. sile trenja) IVT :
(6.561
Prema zakonu kinetičke energije tada je
Ek2 -Ek.I = W"k+ WT . (6.571
Rad konzervativnih sila može se) ovdje zamijeniti razlikom p01encijalnih energija. te je
ili Ek2 -Ekt ; - (Ep2-EpI)+JFT
t;.E.+t;.Ep~WT'
(6.581
(6.5~1
što znači da ce promjena mehaničke energije biti jednaka radu nekonzervativnih siJa. Kada za vrijeme gibanja na česticu djeluju samo negativne nekonzervativne sile (sile trenja, otpora), kojih je rad uvijek negativan, mora doCi do smanjivanja kinetičke energije. pa prema tome i do usporavanja čestice. Uz prisutnost tih nekonzervativnih sira ukupna mehanička energija se smanjuje. Mehanička energija koja se na taj način gubi prelazi u drugi oblik. Kod sila trenja i otpora to je toplinska energija.
Primjer 6.8
Klizač mase ln giba se ·u· v~rtikalnoj ~vn-ini po zakrivljepom ~tapu ABC (sl. 6.15). Dio štapa AB idealno je gladak, a za hrapavi dio BC koeficijent trenja iznosi )l. Klizač kreć. iz točke A bez početne brzine, a u B se odvaja od opruge zanemarive mase i kon'tante. krutosti e pomoću izdanka D. Nenapregnuta opruga ima dužinu I. Odrediti brzinu klizača ti točki B na kraju glatkog dijela putanje, a također i brzinu v kao funkciju pređenog puta s na hrapavom dijelu pravocrtne putanje BC
140
Na dijelu puumje AB na klizač djeluje vlastita težina, sila u opruzi i reaktivna .sHa štapa. Reakcii:l štapa Ima samo normalnu komponf:fltu te je rad te sile jednak nuli. Preostale d\{ie silc su kOflzerVatl\-ne, tako da je za gibanje na dijelu putanje AB
ili aE, + t;.E, =0
gdje je Eu =0, jer je baina klizaća u točki A i".{ =(;. Za taj prvi dio gibanja može se Uleti da je potencijalna energija pok"zaja kliz~\ča II lOčki B jednaka nuli. (uko da je
odakle slijedi brzina u točki B:
A "
cf! myl-1=O.
. fcl 1 2g. -Iv- II Lmy
I D 84"
Slika 6.15. Gibao}: klizača PO zakth1jenom ~taplJ
Kod gibanja od točke B prema C isključena je sila opruge, a javlja se nekonzervativna sila trenja. Kada je klizač na mjestu određenom putom s, bit će
ili
EIt.$-Eu+Ep$-Ep8= IVT ,
l za taj dio moie se uzeti da je potencijalna energij •. položaj. na nižem mjestu određenom putom s jednaka nuIi~ te je
, .mEl mt:i . f ------mgsslnCl.=- p.mgcosads.
2 2 o
141
Kako je sila trenja na desnoj strani te jednadžbe konstantna. bit će nakon integriranja i izračunavanja izraz za brzinu
v ~ J~''i;-,+----:2'--g-sC"(s7in-~---I-'-CO-S-~-'-) .
Kada je koeficijent trenja toliki da je sin::t= p. cos:c (samokočnost kosine!) klizač se giba konstantnom brzinom VB prema kraju C. Ako je sina<p.cosa, brzina v se smanjuje, a klizač ce se zaustaviti na mjestu gdje je ['=0. odnosno s = 1'~/2g (p cos:c - sin ct. I.
6.7.; Impuls i količina gibanja
! rvlnoženjem lijeve i desne strane jednadžbe gibanja s diferencijalom \TCm\!na dl dol::iva se jednadžba
Fdt=lIladr. (6.60)
U uvodnom dijelu poglavlja 6.3 rečeno je da je druga velika grupa zadataka dinamike čestice vezana uz integriranje tako proširene jednadžbe gibanja, tj. integriranje po vremenu. I ovdje su, kao i kod integriranja po pomaku. veličine na lijevoj i desnoj strani jednadžbe (6.60) posebno definirane.
: Veličina Fdt je II diferencijalnom obliku izraz za impl/Is site:
, dl~Fdl. (6.61 )
U konačnom obliku impuls je vektor što ga daje određeni integral unUlar nekog intervala vremena fl - r~: r:
I ~ J Fdl. (6.62)
" ledinica za impuls sile jest Ns ili kgms- l i nema svoga znaka. Impuls sile je vektorska veličina i prikazuje se u komponentama jednog od koordinatnih sustava.
Desna strana jednadžbe (6.60) za česticu konstantne mase /lT preuređena glasi
madl = md,,' =d (mY).
Ovdje je umnožak mase m i trenutne brzine \' količina gibalIja (sl. 6.16):
--<=-.
x
142
z
o
B=mv '-.1 (. L .
_ ~,~1)' L C,ly..-a.. [!ifJdA'v'a. F _ _ cf
m v B=mv T
t, 2
mm
~utQnjQ cestice
y
Slika 6.16. Količina gibanja česIice
(6.63)
(6.64)
I
"i. !
'"
koja ima jednake jedinice kao i impuls sile. Vidi se da je i količina gibanja (I:elit;,w kn . .'tanja) \·ektorska v:!ličina. koja se također prikazuje u komponentama različitih koordinatnih sustava. Iz izr,ua (0.63) slijedi da je
ili drugačije pisano
d (mv) --=1113
dt
dB . -=B=F. dl
(6.651
Daivacija k01ičine gibanja čestice po vremenu jednaka je vektoru rezuliJnLnc sile F Pl1d kojom :,e ostvaruje gibanje čestice. Izraz (6.65) samo je jedan od oblika đrugl1g :'\cwLOno'·:l zakona gibanja.
S nO\·('Iuvedenom količinom gibanja i impulsom sile jednadžba (6.601 poprim:.! l1blik
dB~dl.
Integriranjem unutar intervala tl - r2 dobiva se
B,-B, ~I.
(6.661
(6.67 )
g.dje je u trenutku 'l količina gibanja BI = mv l , a u trenutku t2 Bl = 1/1'.:. (ako da je
" IIn·2 - IIIVI = J Fd!. (6.681
" Izraz (6.671 ili njegov razvijeni oblik (6.68) jest zakol/ količilIe gihllllja za česticu. Lij vekLOrski zakon pokazuje da nema konačne promjene količine:; gibanja. odnl..)sno, brzine ni po iznosu ni po smjeru ako na česticu ne djeluje sila u nekom konačnom intervalu vremena. Bez impulsa nema promjene brzine, pa je uz 1=0
(6.69)
Primjer 6.9
Klip motora ima u početnom trenutku br7.inu Vl =O,2ms- l • Pod djelovanjem sile F=4(1-1,6c)m, gdje je nz masa klipa u kilogramima, sila F u njumima, a l
nijeme u sekundama, ubrzava se klip tokom 0,5 s. Odrediti brzinu klipa na kraju perioda ubrzavanja (sl. 6.17).
F
.,,=0,2 mis
t,=O ~
Slika 6.17. Impuls sile F na klip motora
143
Zakon količine gibanja prema (6.68) glasi
" Ill\'~ - m~1 = J Fdi.
" Klip motora prema slici 6.17 giba se pravocrtno, pa gornja .kdnadžba II pra\'cu gibanja glasi
;; ~O.Ss
/l1r~-IlIVI= J 4(I-l.6r)mdr, " =0
iz čega slijedi brzina rl na kraju perioda ubrzavanja od 0,5 s:
r2 =r' l +411~-O.81~)= 1,4 III s· 1
Primjer 6.10
Čestica mase ll! giba se po kružnoj putanji konstatnim iznosom brzine 1'.
Odrediti impuls centripetalne sile, pod čijim djelovanjem se cestica mase III giba. kada čestica iz položaja 1 dođe II položaj 2 (sl. 6.18al.
oI bl Slika 6.18. Impul~ sile kod gib;tnja če:;tice po kružnoj pUlanji konstanInim iznosom brzine
Prema zakonu količine gibanja jeste
B2-Bl~1.
Vektori BI i B2 međusobno su okomiti i po iznosu jednaki, tj.
Bt =B2 =1I1l'.
Iz slike 6.18 b vidi se da je iznos impulsa
l~mv.fi.
144
I , I
I ~ l
Isti zadatak može se riješiti i integriranjem centripetalne sile F:
" I~ f Fdr.
" Centripeti.llna sila ima iznos F = lill': R. te impuls II komponentama daje jednakosti
"
l,~ - f FCOS(* l)dt = -~ "~: (Sin*t, -sin * t,) 'I =0
e-U trenutku rl =0 čestica se nalazi na mjestu l. te je ':t.='Rl: =0. Na mjestu 2, koje
e-odgovara trenutku rl. kut :t: =-[2 == 90:', pa s.u obje komponente jednake i iznose
R 1,,=1).= - mr.
Ukupni iznos impulsa cenrripetalm: sile prema Lome je
1='\ 1~+1~.=/IIL''\/2. a prikloni kut vektora impulsa prema osi x je -135:.
6.8. Moment količine gibanja
Uz količinu gibanja čestice B definirana je u dinamici još jedna veličina, koja po svom matematičkom izrazu podsjeća na moment sile poznat iz statike. Ta je veličina moment količine gibanja s obzirom na odabranu tocku u prostoru ili kraće kinetički moment. Tako je s obzirom na nepomičnu točku O (sl. 6.19) moment količine gibanja prema definiciji
Ko=rxB. (6.70)
z T
y
y
Slika 6.19. Moment količine gibanja ili kinetički moment JZ; s obzirom na (očku O
10 S. Jecic: KINEMATIKA I DINAMIKA 145
Budući da je B=mv~ izraz za kinetički moment Ko može se napisati i ovako:
K" rx II'V, (6,11)
Jedinica kinetičkog momenta je kgm2 s -l Hi Nms, a u sustavu mjernih jedinica nije posebno imenovana.
Vektor kinetičkog momenta leži prema definiciji (6,701 okomito na ravninu što je tvore vektori r i B. odnosno vektori r i Y'. Smisao l iznos. kinetičkog momenta određuje se iz vektorskog produkta, kako Je 10 poznato IZ vdtorske algebre, Komponente mu se prikazuju u jednom od koordinatnih sustava. Tako npr. II
Descartesovu sustavu, u kojem je r=xi+rj+zk, a v=xi+j'j+žk, kinetički mo~ ment ima komponente
Ko =r x m'· = III {yz- :::y)j +m(::~- xž)j + m {xy- yi:) k.
Kako je K" =K,i +K,j +K,k, izrazi za komponente glase
Kx=m(yz-zy)
K,=m(z,x-xzl
K,=m (xj'- yxl,
(6,73)
(6,74l (6,75l
Vidjeli smo da prema izrazu (6,1'(5) derivacija količine gib~nj~ po vremenu d~je silu koja proizvodi gibanje čestice, B= F" Pogledajmo č~~u je Jednaka denvaclj" kinetičkog momenta po \'remenu, Ako se Izraz (6.70) dCflVlra po vremenu, bit ce
dK" '. • --=K,,=rxB+rxB dt
U tom izrazu r jest brzina ~ čestice, pa je r x B= v x mv= O. U drugom pribrojniku S';'F te je rxS=rxF, ŠIO je moment sile F prema točki O, odnosno
To znači da moment količine gibanja prema točki O deriviran po vremenu daje moment sile F prema toj istoj neporničnoj točki. Treba napomenuti da je sila F rezultantna sila koja djeluje na česticu u gibanju, Izraz (6,77) jest zakon kinetičkog momenta ili zakon momenta količine gibanja. -~-"'"--,."--" -.. ~--~-.. -.----
~"~.. --. --~---~ --- "-,
U posebnom slučaju, kada je moment sile prema nekoj određenoj točki za vrijeme gibanja jednak nuli, vektor kinetičkog moment. prema toj točki je konstantan, To če biti ako je F = 0, odnosno kada se čestica giba jednoliko pravoertno, ili ako vektori riF leže na istom pravcu, U drugom slučaju pravac sile F stalno prolazi kroz nepomiq~llAočku O, paj<;>jje ,!"o,lIl~l)t.s "bzirom n.a tu točku je~nak nuli; Kinetički moment leži okomito na ravnfIjukoju čine vekton r I V, a budUCI da je konstantan po smjeru, II toj ravnini leži putanja čestice, Sila F može bItI usmjerena prema točki O ili od nje. Točka O je ce,n~ar gib'!nja, ~ gibanje se naziva II tom slučaju centralnim gibanjem. putanje mogu bIli razlIČIte krivulj':' u ravrnnl" pod djelovanjem sile usmjerene prema centru O nastaju centralna gibanja, kOja su karakteristična za gibanja planeta te prirodnih i umjetnih satelita,
146
"
" ,
Primjer 6.11
Putanja satelita k~,da djeluje Samo gravitacijska sila Zemlje."
Gravitacijska siJa Zemlje djeluje na satelit mase ln silom F ,koja je usmjerena prema centru Zemlje O (sl. 6,20a), Kinetički moment prema točki O konstantan je, pa je putanja satelita ravninska krivulja. Prema (5.1) i (5.3) gravitacijska sila Zemlje iznosi (uz go:::: g)
li jednadžbe gibanja u :;,oIarnom koordinatnom sustavu glase
m{JR2
mal'
O=ma""
Zemljo al
Slika 6.20. Gibanje rod djclovanjtm gravitacij!;kc sile ZemU~ bl
UHštenjem izraza za komponente ubrzanja dobiva se nakon kraćenja
.. , gR' r-rtp'+-;:r=O (al
riP+2i-ip",O. (bl
Kinetički moment ima iznos K.o=rm[Jsin:)!~ a kako je vslnCX=V.,=r<j>. lo je Ko=m,24;_ Budući da je masa m konstantna, mora biti i r2q. konstantnog iznosa:
r'ip=C,
To pokazuje i druga jednadžba gibanja (b), Množenjem te jednadžbe s r bit i;e r'iP+ 2r;,p=d(r',,;)/dl =0, što znači da je r'rP konstantno. Prema slici 6,20b vektor r II vremenu dr "briše" površinu dA koja je'pril\liin<fjednika r'd'q;/2,što znači da jedA/dt = r'<I>/2 također konstantno, Vektor r .,briše" u jednakim vremenskim razmacima jednake površine. Tu činjenicu opazio je Kepjer promatrajući gibanje planeta j formulirao ju je tl SVOm drugom zakonu.
• Opširnije o tom problemu vidi D. Bazjanac. Tehnička mebanika, Hi dio. udžbenik SveuĆiltŠ\.:t u Zagrebu. Zagreb 1974.
10' [47
Drugi član u jednadžbi (a) može se izraziti pomoću konsta.nte C~ pa je
.. C' gR' ,. -;r+-~-~O.
Jednadžba se dalje može preurediti pomoću 5upstitucije r= tu, Tada je
i dalje
I dil e du dil i=---=---=-C
II' df <i> df dq>
.. d:!u d(,O 2 Z d':.1l J'=-('--=-c u -
dq.>' dr d,,' .
Jednadžba (c) izražena pomoću Ji g'asi
d1u gRl drp'+u= C' .
To je nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa o"im rješenjem
I gR' 11=-=(, cos ('P +'1'0) +-..
r C-
(ej
Konstame CI i l{Jf) određuju se iz početnih uvjeta. Zbog jednostavnosti može se odabrati da je (j>{l =0, što znači da uz cp ~O koordinata r ima minimalnu vrijednost. Dobive"i izraz predstavlja jednadžbu putanje u polarnim koordinatama koja je krivulja drugog reda. Izražena pomoću parametra p i ekscentriciteta e ta jednadžba ima oblik
l e ~=-COSl{J+-. r p p
pa je e, = e/p i p= C' /gR'. odnosno
l gR' ~= c' (e cos rp + 1).
O ekscentricitetu e ovisi oblik putanje. Ako je e> I, putanja je hiperbola. Za e = l putanja je parabola, dok je za e < I elipsa. Kada je e = O, put.nja je kružnica s centrom· II O.
Lansiranjem satelita neposredno uz Zemlju (r" R) tangencij.lno na putanju pOCetnom brzinom Vo ostvaruju se različite putanje (sl. 6.21). Na mjestu lansiranja je tp = O, a Vo je cirkuJarna brzina t:"r te je Vo = rqJ. Budući da je rfjJ = C't na mjestu je lansiranja C=Rvo. Kružna putanja neposredno ul površinu Zemlje zahtijeva najmanju brzinu lansiranja"Tada je e ""0 1>3 je .
l gRZ g Ii= CZ = ~'
iz čega slijedi potrebna brzina lansiranja .0='\ (uz R=6371 kmJ:
V,=JRi=7,91 kms-'.
148
J t
I
To je tzv, prm k02mička brzina ili br:ina kruženja. koja je potrebna za gibanje umjetnog satelita po kružnoj putanji neposredno uz površinu Zemlje .
Napuštanje Zemlje moguće je najmanjom početnom brzinom koja odgovara pambo!ičnoj pUlanji~ pri čemu je e= I. Za lansiranje tangencija.lno na putanju bit će
v,
.---.---.---.~~~-~
elipso {e<lJ v1<vO<vlI
m ""':::::.-:i1t-kružnicQ le:;;Ol
IlO o:: vI
hjp~rbola(e>11 vo:> vn
parabola le=11 vo:; vn
Slika 6.21. O~lllWnC putanje satelitil
ponovno tp = O i e;;;;: Rvo, pa je
što je drugil kozmička brzina ili brzina napuštanja Zemlje.
Zadaci uz poglavlje 6
I. Čestica mase 111 giba se u ravnoj glatkoj cijevi koja rotira II horizQntalnoj ravnini (sl. 6.22) konstantnom kutnom brzinom w. U početnom trenutku čestica miruje relativno u odnosu na cijev na udaljenosti r = b. a cijev se nalazi u položaju određenom s '1'=0. Odrediti udaljenost r i komponentu F. sile kojom cijev djeluje na česticu kao funkcije vremena t.
Rješenje: r= b chml, F. =2mbm' sh",/.
r
149
2. Za zadatak I odrediti silu F. kao funkciju udaljenosti r integriranjem jednadžbi gibanja. .
Rješenje: :F",= 2mai J,:1-b2 ,
3. Kružni dIsk rotira oko O u horizontalnoj ravnini x, )' (sl. 6.23). Uglarkom žlijebu nalazi se klizač mase m=0,8 kg koji pridržava opruga konstante krutosti c=2 N/cm. Kod rotacije ploče s kutnom brzinom w produljit će se opruga za 2em (sl. 6.23b). Odrediti kutnu brzinu (" i silu kojom djeluje žlijeb na klizač II ravnini x, J.
-3N.
y y 2OI1lm 40 ;nm
30mm
x
al bl Slika 6.23
4. Sistem prikazan na slici 6.24 sastoji se od poluge i koloture zanemarive mase.
150
Preko koloture je prebačeno idealno uže na čijim su krajevima obješeni utezi G j Q (Q < GJ. Odrediti težinu utega Q da bi poluga AB bila u ravnoteži, ako je G=18N.
Rješenje: Q=6 N.
Slika 6.24
5. Opruga konstante e vezana je za nepomičnu točku O (sl. 6.25). Odrediti rad sile kojom opruga djeluje na česticu A na putu ad Al do Al' Duljina neopterećene opruge je lo,
('(1,-10 )' ('(1,-10 ,;
Rješenje: W 2 2
a
8 .--+v---------;7<i\ lt,· O
• F
A
m Slika 6_~5 slika 6.26
6. Odrediti brzinu klizača u točki B ;,1. 6.261 ako je njegova brzina u položaju A bila jednaka nuli. Klizač se giba pod djelo"anjem konstantne sile F = 100 N po hrapavom vertikalnom zidu koeficijenta trenja p=O,L Zadano: 11t= t kg, a= lm.
Rješenje: r.=6.752m/s.
7. Na česticu mase m=2 kg djeluje sila F koje je iznos F=20 N (sl. 6.270). Kut. sile F linearno raste s putom s (,L 27b). Odrediti brzinu čestice u položaju s 2m ako je na početku giban.ta (5=0) čestica imala brzinu !io=J ms-I. Koeficijent trenja klizanja čestice po podlozi iznosi p=O.L
Rješenje: L'=6ms- l.
s v=?
F
Slika 6.27
f 1----.--;,,('
2
bl
simI
8, Čestica mase m =O~5 kg giba se u početnom trenutku brzinom od 10 m/s. Na česticu počinje djelovati sila F okomito na početnu brzinu kojoj se iznos mijenja ovisno o vremenu prema dijagramu (s). 6.28). Odrediti Iznos brzine
151
čestice u trenutku I =.j s od početka djelovanj;! sile F. Sila F je jedina sila koja djeluje na česticu.
Rjdenje: 1,=26m/$,
o 2 4 tisi
9. Za i5pitivanje automatskog pilotskog sjedala k .. 'rlstl 5-f uređaj shematski prikazan na slici 6.29a, Sjedalo s lutkom ukurne mase m=500kg lansira se pomoću raktenog morora II smjeru osi x. Sila r .. '>liska rakete ovisno o vremenu mijenja se prema dijagramu $;1 slike 6.29 b. Odrediti najveće ubrzanje sjedala i brzinu sjedala II trenutku l L2 s nakon aktiviranja raklelnog motora. Trenje zanemariti.
Rješenje: '\"" = 4,2308, g =.j 1.50 m!s'. r = 39,$ I m s,
y
al
x
F IkNJ
25
o
Slika 6.29
0,4
bl tisi
10, Po glatkoj horizontalnoj ploči giba se kuglica mase JJI pričvršćena za kraj nera$tezljivog konta. Konac je provučen kroz rupicu II ploči i uvlači se u nju konstantnom brzinom" (sl. 6,30), U trenutku [=0 udaljenost kuglice od rupe jest 'c, a cirkularna komponenta brzine kuglice iznosi Vo.. Odredili koordinate r i lp kugiice i veličinu sile u koncu kao funkcije vremena I, ako su zadani F.
ro. ro.;>' i 11!.
Rješenje: r=ro-Vl.
152
~ • r." '. ,
y/ F
I Slika 6.:W
ll. Cestica mase tu privezana je za kraj idea ino savitljivQg konca j moie se gibati u glatkoj horizontalnoj ravnini. Konac je provučen kraz otvor O II ravnini. a na njego\." drugi kraj privezana je opruga ko }stante (' \sL 6.31 i. U poččtnom
e
SIi!.;a 6.31
trenutku opruga je defonnirana za veličinu ro. a čestica ima brzinu t'o II smjeru osi )', Odrediti jednadžbu pUlanje čestice ako su zadani "0' 1'0 i {',
x'! ,,2
Rješenje: ,., +-'-, = I. (I m~
e
153
7. DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA
7.1. Vanjske j unutrašnje sile sustava
Skup medusobno povezanih čestica kod kojih gibanje pojedine čestice ovisi o gibafljusvlh'ostaHh če~tiC:~- naziva se susiaF(;iil'"česc!cq~'_-~~a S~{!'k~:~estiCu' mogu
'djelovati sile. kao .posljedica djelovanja drugih lijela izvan prom.,ranQg sustava:. Te su sil~_za promatrani sustav Vđhjske. Na svaku od n. čestica sustava (sL 1.1 a) mo~e djelovali je'!!i. ll!!(\'. v.njska sila F, kao rezultanta djelovanja drugih tijela na tu čestku:-Prema pnrfcipu izolacije poznatom iz statike svaku česticu možemo oslobo~ <!il~tii~~ 'drugimcestičaina iz sustava. Oslobađanjem čestice mase Ini pojedinih veza zamišljaIiioaa-n'3;"'česticu 'umjesto veze djeluje sila ovisna o -karakteru veze. Unutar .~ustava-~ože svaka česti~a biti povezana sa s,-:im ostalim česticama pa takvih veza može biti rl - 1. Oslobađanjem čestice Ini veze koja je povezuje sa česticom_.,I~i d6~lva se sila Sij kiw djelovanje čestiCe mj na česticu nJi' Si~~_.~.oje djeluju na česticu kao ·posljedica tih veza jesu unutrašnje~ koje su zajedno s rezultantnom vanJskom silom F, mjerodavne za gibanje čestice mi (sL 7.lb). .-
F,
zi
I
bl
o
01 x smw 7.1 Su§.li.I:' _Č/;.slka. {'.lJ. sapjskc sile F~_i_unulra..~njc_~S .... )iU~!UvaJ.t>1 -----
155
Veze II sustavu cestica po svom karakteru mogu bili krule, efaSlične i k;lIemalskl'. Kada su sve veze krute, sustav čestica se p'lnaša kao kruto tijelo. Elastične veze 'ovise o međusobnom položaju čestica (npr ..... e-~a pomoću opruge), dok kinematske veze uvjetuju određeno gibanje jedne čestice II I"dnosu na drugu. Bez obzira na vrstu veze. unutrašnje sile se po trećem Newtonovu zakonu o akciji i reakciji jadjaju II
parovima, lako da je sila Sij na česticu UJ j " koja je posljedica veze sa česticom /lij.
jednaka i suprotno usmjerena sili Sj! na česticu IlI j od veze s česticom III j :
S'j~-Sj'. (7.11
T~~o?er j: jasno da,sile Sii' Sjj.~e I?os~oje ISj;=S("j= ... =or Za cijeli SUSla\' tada vflJedl da Je suma snh unutrašnJih sila Jednak';' IlUl:
HS'j~O! (7.21 , ,
a također i suma momenata unutrašnjih sila prema nekoj točki O jednaka je nuli:
(7.31 i j
Parovi unmrašnjih sila i parovi momenata unutrašnjih sila prema istoj točki
međusobno se poništavaju. Za idealno krute veze bit će rad sile Sij jednak po iznosu i suprotnog predznaka radu unutrašnje sile Sj;. dok je rad unutrašnjih sila koje potječu od yeza s otporima (npr. prigušenja I u:"ijek negativan.
Svaka čestica II susta\ll može imati tri stupnja slobode gibanja, pa za sustav od '! ~stj~~l.!kup~l!. br9j stupnjeva ~~opode -iznosi 3.'1. Kinerrlatske -veze smanjuju broj stupnjeva slobode sustava, a inneđu pojedii:iIh "koordinata postoje jednadžbe veze. Kada se II jednadžbama vela javljaju samo koordinate položaja ili koordinate položaja i nijeme kao eksplicitna varijabla, sustav čestica je holonomull. Ako u jednadžbama veze dolaze i derivacije koordinata po vremenu, sustav je nellOlonomall. Takvi sustavi predmet su posebnih izučavanja.
7.2. Osno,nj zakoni dinamike susta,'a čestica
Za svaku česticu u sustavu može se napisati jednadžba gibanja u kojoj je rezultanta s\'ih sila koje djeluju na česticu (vanjske i unutrašnje) jednaka umnošku mase i ubrzanja. Za i-tu česticu mase l11i' kojoj je ubrzanje 3 j = 'rj ta jednadžba glasi
Fj+J;Sjj=mjrj . , Jednadžbe gibanja svih čestica zbrojene zajedno daju
1:F.+ 1: 1:S .. = 1:m,r .. j I j j lj j I
(7.41
(7.5)
Dvostruka suma na lijevoj strani prema (7.2) jednllka -je nuli. Iz statike_je poznato da se centar masa, koji je u tehničkim problemima istovjetan s težištem; izračunava pomoću izraza
156
Em.r. t I I
r --c- Em.' , '
(7.6)
,
pa je (7.7)
Suma masa svih čestica daje ukupnu masu sustava E nI j = 111. Dvostrukim deri vira, njem (7.7) po Vf(:mcnu dobiya se
(7.8)
Nakon uvrštenja lOg izraza u (7.5) bit će
(7.9)
Suma na lijevoj strani odgovara rezuItantnoj sili R svih vanjskih sila. dok je na desnoj strani °ic = ac ubrzanje težišta susta\·;}. tako da je
(7.10)
To je _:ako1i o gibanju ct!l
Kinetička energija cijelog sustava izračunava se prema (7.12). Potencijalna ~nergi.ia Ep suma je potencijalnih energija svih konzervativnih sila u sustavu bez o:lzira na to jesu li vanjske ili unutrašnje. U slučaju da su neke od sila nekOl.zervativne primjenjuje se isti izraz kao i kod čestice:
(7.161
pri čemu je rad nekonzervatinlih sila HiT suma radov<l $\'ih nekonzervalimih sila II
sustavu kako vanjskih tako i unutrašnjih.
Količina gibanja i-te čestice iznosi
B;= mjvj' (7.1 i I
Vektorska suma količina gibanja svih čestica daje količinu gibanja susta i J:
B= Lm''''j.
Prema zakonu količine gihanja bit će za i-tu česticu ,
Bil -Bil = S F;dt+ L S S;jdr, j ,
što zbrojeno za sve čestice II sustavu daje , ,
B,- B, = IS F;dt+ L L S S;jdt. j 1 j j I
(7.181
(7.19)
(7.201
Drugi član na desnoj strani jednak je nuli, što slijedi iz (7.2), tako da zabil količilIt! gibanja sustava čestica ima ovaj oblik ,
B, - B, = I S F;dt. (7.211 ; ,
Vidi se da u ukupnom impulsu doiaze samo vanjske sile. budući da je impuls s\ih unutrašnjih sila sustava jednak nuli.
Posebno je važan slučaj kada je impuls vanjskih sila jednak nuli. Tada je
(7.221
što predstavlja princip odrial.!iSLlioJiči.Bg..lliballja sustava če~ca. Kada je impuls vanjskih sila cijelog 'šustavajednak nuli (npr:-nema'varijs:kHi sila), pojedine čestice mogu promijeniti brzine, ali samo tako da ukupna količina gibanja ostaje nepromijenjena. Pomoću tog principa rješavaju se problemi sudara čestica (vidi poglavlje 9).
Deriviranjem izraza (7.18) po vremenu dobiva se da je
dB= \'mdV.;. dr _ 1...._ 'dt
Budući daje dv,jdt=r;, zbog (7.8) do (7.10) jest
158
dB -=R. dt
(7.23)
(7.2-1)
Derivacija količine gibanja cijelog sustava jednaka je rezuitantnoj sili svih vanjskih sila. To je drugi oblik zakona o gibanju centra masa sustava čestica.
Kinetički moment i-te čestice prema nepomičnoj točki O jest
K Oj =r j x11J,"" (7.25)
što vektorskim zbrajanjem za cijeli sustav daje
(7.16)
Nakon deriviranja tog izraza po vremenu bit će
(7.27)
U lOm je izrazu rj = "'j' tako da je rj x mj\', =0. dok je III,V,= mj·i j. Pomoću jednadžbe gibanja (7.4) može se izraz (7.27) preurediti tako da glasi
što zbog (7.3) daje dK o -d-=Ir;xF;=Mo.
[ ;
(7.28)
(7.29)
Posljednji izraz predstavlja zakon killeričkog momenta sustava čestica. po kojem je derivacija kinetičkog mome-lita sustava po vremenu jednaka momentu svih vanjskih sila s obzirom na točku O. U slučaju kada je suma momenata vanjskih sila prema točki O jednaka nuli. kinetički moment u SlJstavu ostaje tokom vremena nepromijenjen, tako da je
(7.30)
te lO predstavlja prillcip o održanjll kinetičkog mOll1eJlla sustava čestica.
Izrazi (7.10), (7.13), (7.15), (7.11) i (7.29) osnovni su zakoni sustava čestica koji se primjenjuju k0d rješavanja zadataka dinamike na jednak način kao što je to pokazano u dinamici čestice.
Primjer 7.1
Na kolica mase ml obješena je čestica mase /n2 pomoću krutog štapa. Štap je zglobno vezan za kolica u točki A (sl. 7.2). Pod pretpostavkom da je masa štapa zanemariva, te daje štap idealno krut, analizirati gibanje kolica koje nastaje kada se štap pusti bez početne brzine iz položaja određenog kutom Q':. Kolika je brzina kolica kada štap dođe u vertikalni poIma]? Poznate sumase mi' j-i1i;:-duljina Šlapa I i kut cr:. Sve otpore gibanju zanemariti.
Čestica m2 ispuštena iz početnog položaja (sl. 7.2a) izazvat će gibanje sustava 111\, 1112 , Jednadžba gibanja težišta e sustava jeste
R=mac ·
159
U sustavu nema vanjskih sila II pravcu osi x. le je komponenta jednadžbe gibanja II tom pravcu m:Xc=O. gdje je Xc koordinata položaja težišta e sustava. To znači da je ubrzanje težišta II pravcu x osi Xc=O, a kako težište II početnom trenutku miruje. to je i ic=O. Iz toga slijedi da težište nema pomaka II pravcu osi x, pa je ;xc-=konsl. odnosno. kako je iz statike poznaro. bil će
IIIZ . xc=---l Sin 0:.
m, + JII!
Kod njihanja štapa ostaje težište e sustava odmaknUlo od osi y uvijek za isti iznos Xc (sL 7.2a, b i cl. pa gibanje čestice m:! izaziva gibanje kolica II suprotnom smjeru.
Y Yj Y
I m I ;; m,
A ,- A
x O x O x
Xc [
m, ~~ m,
aj bJ ej
Slika 7.2. Gibanje sustava čestica kod kojega težište e u pra"-cu osi x nema pomaka
U početnom trenutku obje čestice sustava miruju. Ako su apsolutne brzine čestica u trenutku kada je štap vertikalan VI i V2 , bit će prema zakonu kinetičke energije
/111[;: m~L.·:; -2-+2=""g/(l-cos cp).
te prema zakonu količine gibanja za pravac x
"'ll.i l -ni2 1:2 =O.
Iz tih jednadžbi dobiva se brzina kolica, koja iznosi
2g1 (I - cos aj mi
nJ l (ml +m2 )
Zadaci uz pogla'lje 7 .
L Čovjek skače s pristaništa u mirujući čamac brzinom rl =3m/s (sl. 7.3). Odrediti brzinu kojom će čovjek i čamac nastaviti gibanje, kao i gubitak kinetičke energije. Zadano: m, = 7S kg, "" = 200 kg.
Rješenje: u=0,818m;s, Ek =24S,4SJ.
160
i 1
1
j l
Slika 7.J
2. BI~"Ik mas.e ,'I:::; ~ l!) kg nalazi s: II s~anj~ min:lVanja na pl"lčetku glatke kosine (sl. 7 .. '~' Metak1rnase 1111 =:0,1 kg I::,paljen Je ~onzontalno II blok i nastavlja gibanje za}',dno s J:'ILl"l,k?m, Ako se bk1k zaustavI nakon prevaljeno!:!: puta s = 1 "=i m uz kl"l~IOU, odrediti početnu brzinu metka 1'0' . - .-
3.
Rj;;,~enje: rc =44":'.37 m s.
• .1.-m,
Slika 7..1
Pr0jektil m.~se m =, 10 kg ~~ba se brzinom Vo = 100 m/s II trenutku kada eksplodiR ra ~ dva dIJela .. A I,!3. k?JIh ~u m~se .m.~ =2 kog i I~B=8 kg. Ako se neposredno n~kon eksplOZIje dljelO\'1 A I B gibaJu u smjerOVima prema slici 7.5. odrediti njihove bIlme.
Rjesenje: r.=433.01 m/s v =62 SOm's .~ .' B , "
$' m
mB
VB
Slika 7.5
4. ~a, horizontalnom glatkom št,af'u zanemarive mase nalaze se dvije jednake cest~ce mase ,111=2 kg prema shcl 7.6. U početnom trenutku sistem rotira oko venikalne OSI kutnom brzinom eJ = 20 ~ -1, a čestice se nalaze na udaljenosti r od
II s, J~:,..:: KI;-":E\l;TIKA I DI\'..\\lIKA 161
osi rotacije. Ako se čestice ispuste iz početnog položaja i zaustave n~ krajevima štapa, treba odrediti kutnu brzinu sistema ako je r=0,2m. le II došlo do promjene kinetičke energije sistema i za koliko?
Odgovor: w=:;,", E,=241.
2r 2c t- .. r r 'I
1:"1 > 'v m
'pw m
(
Slika 7.6
5. za zadani sistem prema slici 7.7 treba odrediti:
kut ~ = 0:1 za ravnotežu sistema. ubrzanje al utega 2 li slučaju kada je' kosina nagnuta pod kUlom l = 2:x t •
silu S II užetu u tom slučaju.
Slika 7.7.
Zadano: ml = ml = 2 kg, Mase kolotura i užeta kao i trenje zanemariti.
Odgovor: a, =30·, a, = 1,436 mIs', S = 11,246 N.
162
8. DINAMIKA KRUTOG TIJELA
8. I. Dinamički momenti tromosti
8_1.1. Aksijalni i centrifugalni moment tromosti
li jednadžbom. dinamike krutih tijela javljaju se veličine koje pored mase ovise i o geometrijsldm svojstvima tijela. Obično su 10 integralni or;!ici koji se za svako tijelo mogu izračunati" lu!·ovisno o gibanju, a slično kao i masa n'ljera su otpora tijela proli\' promjene gibanja, _T~_s~_ veličine .poznate pod skupnin~ i~.~nom dinamii:ki momenti rrOJnqsti ili inercije. _'_" . - - --
Aksijalni moment tromosti fl ili mqmimt tromosti tijela prema osi x definiranje preina-slici 8.CTzrazom - .. ~--.,-
'Jx = f d!dm. (8.11
u kojem je dx udaljenost diferencijaJa mase dm od osi x prema koj~ se izraČUna\"2 moment tromosti. Momenti tromosti prema drugim osima, npr, i!y iH g~ prema osima yi:. izračunavaju se na isti način. Iz slike 8.2 vidi se da su momenti tromosti prema osima x, J, _ Descartesova koordinatnog sustaVa
(8.21
(8.31 m
(8.41
m
x Slika 8. I. Dinamički moment tromosti pn:ma osi x
11* 163
U svim izrazima za aksijaIne momente tromosti dolazi kvadrat udaljenosti od osi množen s diferencijalom mase, pa je jedinica m..)menta tromosti kgrn2 Aksij.llni moment tromos.ti uvijek. je veći .9~ nule. ._- _ ..
X
Slika 8.1. Dinamički momenti tromoSti prema osima :4'$(anesova koordinamog suslavu
, foil.qnjer tromosti ix tijela mase 111 ona je udaljenost od osi x na kojoj ~i trebalo koncentrirati "s.vu masu tijela tl. da moment tromosti ostane nepromijenjen. Prema (8.n bil će
odnosno
Iz poznatog ahijainog momenta [romosti dobiva se polumjer tromosti
. W, l~= .J-;;;-
Jedinica polumjera tromosti jest kao ~ svake druge dužine metar (m).
(8.5)
[8.6)
(8.7)
Cemrifugallli til A~~jijacijskLm<;>!TIent tromosti definiran je prema paru koordi-natnilf o·si:- . -- ... - . -
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Jedinica tog momenta tromosti također je kg m'. Z.a razliku od aksijalnog, devijacij· . ski moment trol'!lo_sti može b~ti yeći, iF !p-anj~ od _~u-Ie. ~·"~.~kQ(,te(~ j~(fnak ~.uli. Prema definicijama (8.8) do (8. lO) izlazi da je
164
'.
U praktičnom izračunavanju momenata tromosti homogenih tije1a masa je jednoliK ko raspodijeljena po volumenu V, plohi A ili po liniji l (puna lijela. ljuskasto tijela i ravni iti zakrivijeni štapoyi). Diferencijal mase može se tada izraziti preko diferencijala volumena. površine ili duljine:
III dm=-dV
r'
m dlll=- dA
A
III dm=-dl,
I
pa će i illlegrironje bjti po volumenu, plohi ili liniji.
8,1.2. ~lomen(i tromosti za paralelne osi
(8. I I I
(8.12)
(8.13 )
Poznaje Ji se moment tromosti za neku os x. jednostavnim preračunavanjem bez integriranja određuje se moment tromosti za bilo koju drugu paralelnu os x'. Preračunavanje je posebno jednostavno, ako jedna od tih osi prolazi kroz težište.
Za os x' koja je paralelna s osi x i ·udaljena od nje za b ($I. 8.3a) moment tromosli jest
(8.14)
" Iz slike 8.3b vidi se da je d;'=y"+z"=(y-b,.l'+(z-b,)', lako da je nakon kvadriranja i uvrštenja u (8.14) .
(8.15)
z' z'
b
m
O'<.,---}---, y'
y'
y
x al b)
Slika 8.3. Momenti tromosti za paralelne o$i
165
U prvom integralu Gil desnoj strani J.2 pa je taj integral aksijalni moment inercije prema osi x. Udrurum integralo +b;=b'. što je kvadrat udaljenosti medu osima x i x', pa je to ::onstantni faktor, tako da je vrijednost tog integrala b2m. U tre':--em i četvrtom inl<::Jn.tlu b), i b:: su konstante, a integrali~ kako je poznato iz statike. imaju vrijednost j'em j Zc11i, gdje su Ye i =c koordinate težišta C. Prema tome je
7~=fJ..+b'm 2b,.)'c Kada 0$ x prolazi kroz težištt C. bit će Yc=::c=O. a
f1~=IJ.,<+blm.
(8.161
(8.111
Izraz (8.17}je Steinerom ptar:!o po kojem se izračunava aksijalni moment tromosti d.~ iz poznatog momenta fl;..' z,~! težišnu os 'x.
Slično pravilo može se jzvcsti i za devijrtcij:;ki moment tromosti, koji prema osima 1" i ;' jznosi ~ f
. r'z'dm, (8.181
Uvrštenjem y" =y-bj' i _ dobiva se nakon množenja
7;.,= f yzdm+b,b, J dm-b, J :dm b, J )'dm. (8.19 J • m
odnosno ,
(8.201
I ovdje se, ako osi }', : prolaze kroz težište, ishodište O nalazi u težištu e pa je !'c=:c~O. Za taj slučaj vrijedi
+b,..b,m. (8.21 )
Pomoću tog pravila izračunava se devijacijski moment tT;'omosti rr;,~ za osi t. z' iz poznatog momenta fl,.;: za težišne osi y, z koje su udaljene od osi ,r', .z' za b;;; j bl'. Steinerova pravila (8.18) I (8.21) naravno vrijede i za bilo koje druge osi uz odgovarajuću zamjenu indeksa.
Primjer 8.1
Odrediti momente tromosti valjka polumjera. R, duljine I i mase tn za osi x', .r', te za težišne osi x, )" z (sl. B.4).
Aksijalni moment tromosti valjka prema osi: (sl. 8.5) jeste
7,= Jd;dm=~ Jr'dV. m ,.
Volumen valjka iznosi V =R'"I, a njegov je diferencijal d V=rdrd~dz, pa je
R " ,
fl,= R~"l I J J r'drd:xdz
166
z',za
x'
I '2
Slika 8A, :".1omenti tromosti \';:::ka za osi x', .1". te za lrnšne osi -'l, y.;;:
zi
R
dm,
dz
x, x'
al bJ Slik.! 8.5. PoloŽilj ~skonacno lankof $loja mase dmo (a) i direrencijal mase d", (~l
što nakon integriranja i uvrštenja granica daje
fl. = mR' . . 2
Aksijalni moment tromosti beskonačno tankog sloja valjka mase dmo prema osi .\:, iznosi 2, I r' sin' adrd, ) dz.
dm ..
167
Primjenom Sleinerova pra\'iia moment tromosti sloja dino prema osi x' jeste
dJ:=dl7x\ +='dm., odnosno
R
dil> R::I ( J Za sve slo.ieve valjka dužine l bit ce
R :::-: I t
g~ = R:~J r r f r3 sin:! xdl'd:td=-!-~ fz2d=. • • 1
1'\akon integriranja i uvrštenja granica dobiva se
III (3R' +41'). 12
~ioment tromosti prema osi y' ima isti iznos. Ravnina zx' jest ravnina 'Simetrije. a 15(0 tako 1 ravnina =.1", pa su sva tri devijacijska momenta tromosti jednaka nuli:
';J;,.=J;, il;,=Q, Pomoću Steinerova pra\'lla (8.1S) dobivaju se momenti tromosti prema težišnoj
osi x:
(I)' a:'(='J;-.2 III,
što nakon uvrštenja vrijednosti 2a lJ; j sredenja daje
III (3R'+I').
Momentlromosti za ležišnu os y je gj'::;:fJ~. a devijacijski momenti tromosti fl:};\' za težišne osi x. J jednaki su nu11_ "
Za tanku pIoču zanemarive debljine (I::t::O) i mase ln moment tromosti prema osi z jednak je kao i za valjak i iznosi fl:=mR2/2. Prema osi x bit će (uz l=O} moment tromosti
Za štap mase m. kojega su poprečne dimenzije zanemarive (R ~ O)~ iznose momenti tromosti prema osima x' i x: '
mP 3
168 .... , 'i
Primjer 8,2
Odredili moment tromosli prizmatičnog tijela mase ,~I prema ležišnoj osi x pHralelnoj s hridom e (sl. 8.6a).
Diferencijal volumena ct V dužine e poprečne površine drd: udaljen je od osi x za ll.. (sl. 8.6bJ. a masa mu je dm: md V/l', odnosno
~E/,r
x
aj
, I
J---------
e
b
zi
r-- : I· dm
1z - - ...
y
U __ ,-C __ -i
bl Slika 8.6. MomC"1I1 tromosti rrizme prema tc~išnoj .... ~i x
Moment trumosti prema osi x je tada
što nakon integriranja i uvrštavanja granica daje
m(a'+b')
12
y
za tanku ploču (b~O) dužine e, širine a i mase m moment tromosti jednak je kao i za štap dužine a i mase nz: fJ~=ma2/12. Za kocku sa stranicama a=b=c moment tromosti iznosi iJ.r=ma2/6.
8.1.3. Momenti tromosti za zakrenute osi
Iz poznatih momenata tromosti za 05j koordlnatnog sustava x. y, r, kojemu je ishodište u točki O, mogu se odrediti aksijaini i devijacijski momenti tromosti za
bilo koju novu trojku međusobno okomitih osi x, y, ; s istim ishodištem. no zakrenutih prema prvobitnom koordinatnom sustavu za kutove ct._ Pi. fi (uz i=x, y, z), Kutovi (,ix, Px i Yx su prikloni kutovi nove osi x prema prvobitnim osima x, y. z
169
(sl. 8.7). Os y zakrenuta je premu starim osima za kutove a" {i" 1, j analogno tome os; zakrenuta je prema osima x. Y. z za kutove ct:, [J::. Y:-
. .\ksijalni moment [rom Ost; 'Js u odnosu na os x prema definiciji (8. J) jeste (sl. 8.8):
./ii
x Slika 8.7. Palo:tlj (Jsl X U odnosu na
koordim'llr'li sustav x. y. ::
z
m
x Slika 8.8. Po:'Ilotaj diferencijala mase dm
u odnosu na os x
(8.22)
Udaljenost ~~ diferencijala mase dm od osi x može se izraziti pomoću koordinata sustava x, ji, z, jer je
dx=rsinli (8.23 )
ili, prikazano preko apsolutne nijednosti vektorskog produkta.
(8.24)
Vektor r II sustavu x, )" iZ ima komponente r=xi+ yj +zk, a za jedinični vektor e..c. koji određuje os X) bit će prema slici 8,9
e,lt =i cos :%x+j cos {Jx +k cos i'x'
Izraz (8.22) tada glasi
S (rxe,)(rxe,)dm. (8.25) m
što nakon vektorskog i sk.larnog množenja daje
'J,= f (i'+ rieos' ",dm+ J (x' +r)005' Ii,d", +
(8.26)
- 2 J rz cos p" cos },,,dm - 2 J zx cos "Ix cos «xdm . m
170
. -.' ~
Kosinus! kutova su kod integriranja konstante. pa se mogu staviti ispred integrala. Tada su integraji po mast lU aksijalri i d~vijadjski momenti tromosti. tako da je
flr='Jf( C052
;): 'Jr cos2 P_\- +fl~ cos2 }'x-
-2 (fI:r..'o COS:'lx cos/l-fly:: COS!)x cos r\- +':1 z:< cos l'''' cos ::1-,-"
l
;
;COSk ii,
y
X
Slika 8.9. Komponente F'::irtičlloS ;,ekwra e: II x. ,r.:: SIlSli.l\'U
Taj izraz pokazuje da se moment tromosti <J;o; prema zakrenutoj OSI x može odrediti II momenata tromosti sustava .'C. y. :: samo ako su poznati svi momenti tromosti. kako aksijalni [ako i devijacijski, tog :;ustava, Dovoljno je, dakle, poznavati za neku točku O aksijalne i devijacijske momente tromosti za bilo koje tri međusobno okomite osi da bi j za sve ostale osi koje prolaze kroz točku O momenti tromosti bili određeni. Slično pokazanom izvodu za os ,'( određuju se izrazi za momente tromosti prema osima y i z. tc prema parovima osi log zakrenutog koordinatnog: sustava.
Uvede li se skraćeno označavanje za kosinuse priklonih kutova, tako da su li' mj j lli kosinusl kutova ll,. Pi i Yi i-te osi prema osima x,)I. : (vidi tablicu 8.1). s\'e jednadžbe za transfromaciju momenata tromosti iz sustava ,"(1 y, z: u sustav X, y, :glase:
fl;J:= flx.t; +f7,.m; + r7:.lIi. - 2 (rJxl"m~ + fJy;I1l,,'f.K + fl :.I'tl)~)
fl,= 'J); +Il,m; + fl,lI~ - 2 (fl,/,m, + 'J"m)Jl, +fl ""',I).)
fl, =0'); + [1,"; + 'J,II; 2 (Il ,),m, +1l).,m,lI, + 'J """I,)
'J",= -llii,-[1,m,m, -'J,II"" + 0'"(/,m, +I,m,)+ +'J"(m,,,,+ 11I,n,I+'J ~(lIi,+II,I,)
fl" = - [1 i,I, - 'J,I»)Jlt, - '1,11,11, + 0'" (m,), + m,I,) + +'J" (m,n, + 1»,11,1+11 ~ (n,l, + n,I,.)
<J ::x = ~rJ)(l!l~-fJ).m;;;m.K- fJ::u::n" + 'Jx.y Ox1n: + l:m;t:) + + 'J" (m"" + m,II,) + fJ,,(II,1, + 11,/,).
(8.281
Tablica 8.1
Kosinusi smjera među osima susli1\'a X, J. = i X. J. :.
x y -
x (,. l,. l,
Y 111 .• "'y III:
- /Ix II)' II;
Iz geon'letrije II prostoru poznato je da za kosinuse smjera vrijede m'e jednako· sti (uljet ko'"patibihiOsci i //t jer orwgonalnoscil:
(8.291
(8.30)
Veličine koje se iz sustava x. JI, z transformiraju II sustav X, y, -= prema izrazima (8.28) nazivaju se lell:orima dnigog reda. Takav tenzor ima 9 komponenata. Tenzor troll/osti tijl;la II nekoj točki O prostora ima također 9 komponenata, no zbog simetrije inc.eksa (J:r:r=fJ).x, [/}":=[/:Y' fJ:.,,=f1J::) samo ih je 6 međusobno različitih. Komponenle tenzora tromosti ;]0 II točki O prikazuju se pomoću matrice [ ~, -'J~.;r -~'<l ~o~ -~,,. ~). -~,,.
-~" -~)., ~,
(8.31 )
koja je simetrična s obzirom na glavnu dijagonalu.
8.1.4. Glavni momenti tromosti
Zakretanjem koordinatnih osi II jednoj točki prostora mijenji!ju momenti tromosti iznose. Aksijalni momenti tromosti, koji mogu biti samo veći od nule, mijenjat će se od neke najmanje do neke najveće (obje pozitivne) vrijednosti. Devijacijski momenti tromosti mijenjaju se od najmanje vrijednosti (koja je negativna) preko nule do najveće vrijednosti.
Promjena momenata tromosti kod rotacije koordinatnih osi može se gemoetrij. ski prikazati pomoću elipsoida cromosci (sl. 8.10). Uvede li se kao mjera momenta tromosti Vc vektor q, kojega je iznos obrnuto proporcionalan drugom korijenu momenta tromosti
bit će prema prvoj jednadžbi transformacije (8.28)
172
g~/; + g_\.m.~ + g:Il.~ - 2 (fl;x,l;xm;x + flr:lII;xn;x +fl ;:xn)) = e: . q-
(8.32)
(8.33) .. , l "i: .~.
I
Iz slike 8.10 vidi se da je (t=Xjq, 111;0;= YItJ i IIx=2 (/. što uvršteno u (8.33) daje
~.,x' +~,.y2 +~,Z' - 2~"X y- 2'J,., JZ -- 2~~<ZX~ C'. (8.34)
Konstanta e uzeta je u izrazu (8.32) iz dimenzijskih razloga, a po iznosu može biti c= 1. Budući da su flx' fly i fl: uvijek veći od nule. izraz (8.34) predstavlja jednadžbu elipsoida s osima (h <q2 <q3' To znači da će za položaj osi X, koji se poklapa s osi I. moment tromosti tijela prema toj osi biti maksimalan. dok je za os
elipsoid tromosti
x
z
Slika 8.10. Elipsoid trol1lo~ti. Glam.;' osi l. ~ i .1
3
y
3 moment trom OSli minimalan. Za os 2 moment tromosti ima iznos koji leži izmedu tih ekstremnih vrijednosti. Označe li se momenti tromosti za osi l, 2 i 3 S fl]. gl i g3' može se napisati jednadžba elipsoida uz C= l, u normalnom obliku:
(8.35)
ili
(8.36)
Uspoređujući tu jednadžbu s izrazom (8.34) može se zaključiti da mješoviti članovi s XY, YZ i ZX iščezavaju, jer su za osi 1,2 i 3 devijacijski momenti tromosti jednaki nuli:
(8.37)
Osi I~ 2 i 3 jesu glavne os; tromosti tijela za točku O, a fll, V2 i fl3 glavni momenii tromosti. Uobičajeno je da se s indeksom ,.1« označava maksimalni, a s ,,3" minimalni moment tromosti, tako da je flmax =gt i flmin = fl). Za ishodište koordinatnog sustava u težiš tu tijela C osi l, 2 i 3 nazi\'aju se glavnim centralnim osima, a pripadni momenti tromosti glavnim cemralni1l1 momentima tromosti. Za svaku točku prostora, bez obzira na to da li pripada tijelu ili ne, mogu se pronaći glavne osi tromosti. Ponovimo da su za te osi devijacijski momenti tromosti jednaki
173
nuli. tako da matrica kClmponenJ.ta tenzora tromosti prikazana pomocu glavnih momenata trojnosti ima oblik
o 'Jz O ~ l· 'J,
(8.38)
Položaj glavnih pmxaca II oJnosu na koordinatni sustav x, J. :;: određuje se traženJem ekstremne vrijednosti npr, prvog lzraza (8.28), u kojemu kosinusi smjera predsr.lvijaJu ';arijable povezane mjerom kompatibilnosti kutova. Tmženje glavnih pravaca i odr,;đivanje glavnih momenata tromosti dio je analize svojstva tenzora tromo~ti. čime se ovdje nećemo b::tdtl. Prva invarijanta log tenzora daje, međutim. važno pravilo da je zbroj aksijalnih momenata tromosti za bilo koje tri međusobno okomite osi u nekoj točki uvijek iHi, pa je
(8.39)
Iz glavnih momenata tromosti određuju se momenti tromosti prema drugim osima pomoću izraz. (8.28), u kojima clanovi na desnoj strani, koji sadrže devij.cijske momente trolY;osti, iščezavaju.
Za tijelo s jednom ravninom ~imetrije svaka os okomita na tu ravninu glavna je os tromosti. Druge dvije glavne v5i 1eže u ravnini simetrije i imaju u njoj točno određen polozaj. Kada [ijelo il!";;) dvije međusobno okomite ravnine Simetrije. njihovo je sjecište glavna os tromosti. Druge dvije glavne osi leže u ravninama simetrije. Os rotacijske simetrije glavna je i ujedno centralna Os. Svaka os okomita na os rotacijske simetrije jest glavna.
8.1.5, ~1omenti tromosti s]0že!1ih tijela
Momenti tromosti različitih tijela prema istoj osi iti prema istom paru osi mogu se algebarski zbrajati. To pravilo olak5ava izračunavanje momenata tromosti tijela. koje je u geometrijskom smislu •• 5lavljeno od nekoliko jednostavnih oblika poznatih momenata tromosti. Tako je ukupni moment tromosti prema osi x tijela sastavljenog od II dijelova
(8.40)
U priručnicima su momentI tromosti obično dani za osi kroz težište. Primjenom Steinerova pravila, te ako je potrebno i transfonnadjskih formula (8.28), momenti tromosti za poznate osi moraju so;! preračunati na zadanu os za sve dijelove tijel2_ Tek tada je moguće zbrajanje momenata tromosti pojedinih dijelova tijela s ciljem da se odredi ukupni moment tromosti.
U praktičnom izračunavanju provrti, odrezani dijdovi ili dijelovi tijela koji ·stvarno ne postoje uzimaju se II ligebarskom zbroju s negativnim predznakom~ što olakšava određivanje ukupnog momenta tromosti. Sve to vrijedi za aksijaine, ali jednako tako i za devijacijske momente tromosti.
174
{ , Primjer 8.3
Odredili moment tromosti prema težlšnoj osi Xc elektromotora j njegova temelja, k\.~.1i su aproksimirani s punim valjkom mase 1111 =800 kg.., polumjera Rl = 0,4 m i duljine II = 1,2 m. {~ kockom mase "'z = 1600 kg sa stranicama (1 = J.2 ot j kanalom za kabele polumjera R;~O.3m (sl. 8.)1).
zI I
2
a • CfJ ·.-t--+:_C
_,
a a "f
a
Sliku 8.12. Položaj težišta ('
Položaj težišne osi Xc prema poznatim izrazima iz statike iznosi (sl. 8.12)
"', (R, +-2") J:miz,
ze 0133m. tn w!+tui-
Moment tromosti valjka mase ml prema osi Xl iznosi fll = m 1RV2, pa se njegov moment tromosti prema težišnoj osi Xc izračunava pomoću Steinerova pravila:
miRi ( a )' , 'J,n:~-2-+ R, +i-zc '"I ~423,12kgm .
Moment tromosti fIz postolja prema osi X2 može se izračunati tako da se momentu tromosti pune kocke odbije moment tromosti valjka polumjera R3 i mase mJ- za punu kocku mase m2 + ml moment tromosti prema osi Xl iznosi aZ (ml + ml}/6~ tako daje
2
Mase 1112 i m3 II istom su omjeru kao i pripadni volumen!, pa je
lill :2 ; , R,,,a~390,91 kg. a -RiiW
175
Moment tromosti postolja prema tež:išnoj osi xr dobiva se pomoću Sleinerova pravila 'J2sC='J1 +z~m2' tako da je
Ukupni morn~nt tromosti postolja i elektromotorl,t prema tdišnoj osi Xc iznosi
'3" = '3.,c + '3,,,. = 1057.59 kg m' .
8.2. Translacija
tJ kinemmici smo vldjeH da su kod translacije krutog tijela pmanje svih točaka tijela sukladne krivulje, te da su vektori brzine i ubrza~ja za sve [:,čke ,tijel.a jedna~1. Zamislimo da je tijelo mase nl sastavljeno od niza čestica, \'ekton brzme l ubrzanJil svih čestica su također jednaki (sl. 8.131:
x Slika S.D. Translacija kru!og tijela
y
(8.41 \
(8.42\
Za svaku česticu može se u skladu s razmatranjima II dinamici sustava čestica napisati jednadžba gibanja koja glasi
(8.431
u kojoj je F. Y~l~~~~!i~. !la i-~.~!~~.!!t_a S~~lt~~!l!a s~~a svi~ u~u~rašnjih _~~l_~_~d susjednih <!estica, /':la sve česttce IlJela ne moraju djelovat. vanjske s!le. UnutrasnJa 'sila St posljedica je idealno krutih veza mooii' <:esticama. .
Zbrajanjem jednadžbi gibanja svih <:estica bit će
{8,4./1
176
Suma unutrašnjih sila jednaka je nulL Vanjske sile zbrojene zajedno daju roz .. llant· nu silu R. Ubrzanje na desnoj strani jednako je za sve o:stice. tako da je
Jednadžba (8.44) tako poprima ovaj oblik
R=ma.
(MS)
(8.461
To je jednadžba transladjskog gibanja tijela. II kojoj je o ubrzanje bilo koje točke ~tljeIa. Ta jednadžba odgovara Izr.iZU (7.tOrza gibanje sus1aya čestica, iz -kojeg sC jednadžba (8.46) može direktno izvesti uzimajući da je a" =.,
Vektorskim množenjem izraza (8.44) slijeva vekto[(: II položaja r i čestice m_ II
odnosu na težilte e (sl. 8,14) dobiva se jednadžba ~ ,
(8.47)
S:ika 8.1-1. Trunsladja tij~I;I.. Položaj česllcc III, krulog tijefa u odn(\:;u na lciB-le e
To je moment na jednadžba s obzirom na težište u kojoj je suma momenata unutrašnjih sila jednaka nuli (vidi 7,1). Desna strana, II kojoj je a,=', preuređena glasi
(8.48) gdje je
l:r,m,=rcm=O, (8.49)
jer je to polobj težišta tijela u odnosu na težište! Prema tome je kod translacije tijela
pa radi (8.47) mora biti l:r,xF,=O. (8.51)
Zadnja jednakost pokazuje da je translacija moguća samo kada je suma momenata vanjskih sila s obzirom na težište jednaka nulL To će biti kada je R=O i kada nema rezuItantnog sprega, što je prema (8.46) gibanje bez ubrzanja (jednolika translacija). No to će biti i U slučaju kada je rezultanta R različita od nule, ako joj pravac djelovanja prolazi kroz težiite. Općenito se može reći da će se tijelo translatamo gibati ako rezultanta vanjskih sila prolazi kroz težište, Izraz (8.46) tada je jedina vektorska jednadžba gibanja, koja se ni po čemu ne razlikuje od jednadžbe
"'gil:iitnja čestice mase m na koju djeluje rezultantna sila F. Svi zakoni koji slijede iz te jednadžbe (zakon kinetičke energije, zakon količine gibanja itd.) jednaki su kao i kod gibanja čestice, te sve što je rečeno II dinamici čestice vrijedi i za dinamiku translacije krutog tijela. Translacija krutog tijela promatra se kao gibanje tijela kojemu je sva masa koncentrirana u težištu tijela e, gdje je i hvatište rezultante svih vanjskih sila. a prema D' Alembertovu p~ncipu i sila inercije.
12 S. J«iC: ~INeMATI"A I DINAMIKA 177
Primjer 8.4
.A.utomobil simetrično raspodijeljene mase vozi po ravnoj cesti i II jednom trenutku zako-.=i. tako da mu ostanu blokirana sva četiri kotača. Odrediti sile na prednji i stražnji par kotača, ako je masa automobila s teretom m = 1000 kg, a koeficijent trenja automobilske gume s cestom .u=O,4. Razmak osovina I i položaj težiš-lJ. e dani 'Su na slici 8.15a.
y
ii -
1= 2.4m
01 bl
Slika 8.15. Kocenje aUlomobila s billkiranim kotačima
Automobil sa zakočenim kotačima klizi po cesti i giba se translatorno. Sile na auwmobil nacrtane su na slici 8.l5b. Prema D'Alembertovu principu mogu se napisati jednadžbe dinamičke ravnoteže:
FNI +FN2 -G=O
FN21+mah-Gb=O.
Uz G = mg daju te jednadžbe ova rješenja:
I+ph-b FNI =mg I 6376,5 N
b-ph F N2 = mg -1-= 3433,5 N.
Kod kočenja s l;>lo}c.iranim kotačima dolazi do povećanja sila na prednji par kotača. Kod prikazanog-_automobil~ __ ~_~onstantnoj __ YQwji sile D3; obje osovine jednake. su i iznose mg,]=4905N. Ubrzanje pri kočenju iznosi a=JlB=3,924ms- 2
. Iz sume monienat~ ,ranjskih sila prema težištu e vidi se da je
što dokazuje da je pretpostavka o translacijskom gibanju opravdana.
, .,
8.3. Rotacija oko nepomične osi
Kod rotacije tijela oko nepomične osi točke tijela na osi rotacije miruju, dok se sve ostale gibanju po kružnim putanjima brzinom v = oo x r i ubrzanjem a=E x r+oo x (OO x r) (vidi 3.2). Na svaku česticu beskonačno male mase dm (sl. 8.16) djeluju pored vanjskih i unutrašnjih sila i inercijske sile, koje prikazane u prirodnom k('lordinatnom sustavu imaju tangencijainu d~= - 3 r dm inonnainu dLN = - 3 N dm komponentu (sl. 8.17).
m
x
z
x
Slika 8.16. Rotacija lijela mase m oko nepomične osi =
F,
l ~AJ---"''--+_--:T_'" AJ. I '" Y ----------J,.-.......... x
y 01
x
bl
puta\ č.sHe. dm
y
dL,
Slik .. 8.17. Ti.i~lo oslobođeno veza i prirodne komponente inercijskih sila (a) i njihov položaj s obzirom na koordinatne osi -" .1·
179
Sustav vanjskih sila FI do F", reakcije u osloncima F.-I i FB te .ine.rcijsk~ .sile integrirane preko cijelog tijela moraju prema D'Alembertovu pnnclpu bili u ravnoteži. Za kruto tijelo na koje djeluje opći sustav sila u prostoru postoji šest jednadžbi ravnoteže: sume projekcija svih sila uključujući i inercijske na tri koordinatne osi moraju biti jednake nuli, a isto tako i sume momenata oko tih osi. Te jednadžbe glase:
EF,~O
E Mx - J :dL, sin cp+ S zdLT cos cp =0
EMy+ J :dL, cos cp+ J zd~ sin cp~O m
m
(8.52a)
(8.52b)
(8.52c)
(8.52d)
(8.52e)
.(8.52f)
lJ gornjim jednadžbama u sumama se nalaze komponente aktivnih sila FI do F", komponente reakcija u osloncima FA i FB' a u sumama momenata još i komponente spregova, ako takvi djeluju na tijelo. Uvrštenjem odgovarajućih izraza za D'Alembertove sile dLN i dLT bit će:
m
m
EF,~O
EM:c= J :aNsincpdm- J zaTcoscpdm
m
m
(8.53a)
(8.53b)
(8.53c)
(8.53d)
(8.53e)
(8.53f)
To su opće jednadžbe dinamičke ravnoteže krutog tijela mase m koje rotira oko nepomične osi z. Za uspostavljanje veze između sila i spregova koji djeluju na tijelo s kinematičkim veličinama ()) =q, i e =ip koje karakteriziraju rotaciju tijela dovoljna je samo jedna jednadžba. Tu vezu daje jednadžba momenata oko osi z (8.53f) oko koje tijelo i rotira, pa ćemo tu jednadžbu smatrati jednadžbom gibanja tijela. Ona ima istu ulogu kao i jednadžba F = mals~ pravocrtnog gibanj3; _~ti~ Ui F= ma i R~m. kod krivocrtnog gibanja čestice, odnosno translacije tij~la-(izraZi (6.1) i (8.46)). Preostale jednadžbe daju vezu između aktivnih i inercijskih sila sa silama u osloncima, od kojih je izuzetak jednadžba (8.53c) koja ne sadrži inercijske sile, budući da točke tijela u pravcu osi z nemaju ubrzanja. Jednadžbe (8.53a) do (8.53e) nisu nam potrebne za rješavanje osnovnog zadatka dinamike ali daju odgovor na pitanje što se događa s reakcijama u osloncima kada tijelo rotira oko osi z.
180
RULlllotrit ćemo što se kod rotacije tijela događa s jednadžbom gibanja (S.S3fl. a zatim ć~mo protumačiti kakav je utjecaj rotacije t~iela i njegovih dinamičkih kamktenstika na reakcije u osloncima.
S.3.\. Jednadžba gibanja
Suma. momenata oko osi z svih sila i spregova koji djeluju na tijelo daju rezultantOl moment M = = LM: Pod djelovanjem tog momenta tijelo će ubrzano ili usporeno rotirati oko osi z. Ako se u jednadžbi (8.S3f) za tangencijalnu komponentu ubrzanja uvrsti lIT=hf.=hiP. bit će
(8.541 m
Kumo ubrzanje stavljeno je ispred integrala. jer kod integriranja po masi predstavlj<l konstanm. Prema definiciji (8.4) J b2 d", je aksijalni moment tromosti tijela prema osi z, pa je
(S.55)
To je konačni oblik jednadžbe gibanja koja pokazuje da je rezuhantni moment oko osi rotacije jednak umnošku momenta tromosti tijela oko te osi i kutnog ubrzanja. Iz poznatog momenta M %= M: (t) određuje se iz te jednadžbe kutno ubrzanje e = ip i dalje integriranjem kutna brzina (JJ = cp i kut rotacije tp. Zadatak može biti i obrnut: iz' zadanog kuta ili kutne brzine kao funkcije vremena treba odrediti deriviranjem kutno ubrzanje, te dalje pomoću jednadžbe gibanja (8.55) potreban moment M _ (t). U oba slučaja mora se poznavati aksijalni moment tromosti tijela prema-osi rotacije.
Prebacivanjem člana Q;iP s desne strane jednadžbe gibanja na lijevu dobiya se. uz oznaku -~;P = ML' jednadžba
(8.56)
koja izražava D'Alembertov princip za rotaciju tijela oko nepomične osi z. Taj princip upotrebljen je za postavljanje jednadžbe (8.52f), pa je gornja jednadžba samo integrirani oblik izraza (8.S2f). Prema izrazu (8.56) moguće je zadatke rotacije tijela oko nepomične osi rješavati i na taj način da se suprotno kutnom ubrzanju e doda i~ercijski moment ML iznosa ~ f. koji zajedno sa svim statičkim momentima oko OSI z stoji u ravnoteži. Takav način rješavanja zadataka ne pruža, međutim, neku veću prednost u odnosu na postavljanje jednadžbe gibanja (8.55).
Primjer 8.5
Kružna ploča mase m i polumjera R rotira brzinom vrtnje no min- 1 (sl. 8.18). Kolikim konstantnim momentom treba kočiti ploču oko osi rotacije, da bi se Ona zaustavila za to sekundi? Koliko punih okretaja k napravi ploča za vrijeme zaustavljanja? Moment tromosti osovine zanemariti.
181
Moment tromosti kružne plože u odnosu na os rotacije jednak je momentu tromosti valjka istog promjera i iznosi
'J =mR' , 2'
tako da jednadžba gibanja glasi
Kutno ubrzanje F. = fP prema tome je
lM
l
S=-~mR2
Slika KIt:. Kočenje kružne ploče momcnlOIll ,tl
Buduči da je moment kočenja konstantan, dobiva se nakon integriranja po vremenu
2M {{}= -~-., I+C1 ,
mR-
Za r 0)=1101(/30, pa je Cl =Ji()1t/30, Izraz za kutnu brzInu tada je
2M non (1)= -~-, 1+-.
mR- 30
Na kraju perioda zaustavljanja l=(o, (0=0. što daje i1J10S momenta
l1o'1f.mR2 M _-"-00-_
60!0
Intl:'!g.riranjem izraza za kutnu brzinu dobiva se km cp II ovisnosti O vremenu
2M 12 Ilotr: l{I= -~-, -+-f+C"I',
mR- 2 30 -
Ako se kut tp počne računati od trenutka kada je započelo kočenje. bit će za !=O i <p=O. te je C2 =0. Uvrštenjem dobivenog mom<:nta u izraz za kut. bit će
nn( !2) 1fJ= ;0 !-21
0 •
Nakon što protekne vrijeme '='0' ukupni kut je <p=2"k, te je
za diferencijal mase tijela iznosi kinetička energija prema definiciji iz dinamike čestice
182
dmr1
dEk =-2-' (8.57)
Uz '" = bw, kinelička energija se dobiva integriranjem po cijelom tijelu:
m
KUln~l je brzin.1 za cijelo tijelo ista pa je
",'
2 I b'dm,
odnl"~no
(8.58)
(8.59 )
(8.60)
Tim izrazom ... xlređena je kinelit~ka energ(f.l tijela koje rotira oko osi z kumom brzinom YJ~
Diferencijal kinetičke energije dobiva se jz (8.60):
d Ek={i;;) Š10 l:Z konstantni moment tromosti rl,; prelazi II oblik
:7,wdw.
lJudu,'i da je Ci = d",fdr, mora biti rud", =(d<pfdr) dro = (dmid r) d",. a
d", 'J, dl d",.
(8.61 J
(8.62)
(8.63)
Prema jednadibi gibanja ~dOJ,d{ odgo\'nra rezuitanlnom momentu M; oko osi rotacije, pa je
(8.64)
Kako je ALd", diferencijal rada dW rezultanInog momenta M_, izraz (8.64) pok.ruje da 'je promjena kinetičke energije kod rotacije tijela oko nepomične osi jednaka tom diferencijalu rada. Drugim riječima nema promjene kinetičke energije bez rada momenta ,\1;:. Integriranjem gornjeg izraza unutar perioda vremena tl - tl dobi\'a se zak .. :m kinetičke energije u obliku
(8.65)
Ei:2 i EkI su Izoosi kinetičke energije u trenucima t2 i tl< a W je rad što ga učini moment M, kada se tijelo zakrene iz pripadnog položaja <p, II položaj IfJ,. Tako zakon kinetićke nergije (8.65) napisan u razvijenom obliku glasi
...... ~-'. (8.66) .,
Zakon kinetičke energije u lom obliku koristi se u rješavanju zadataka dinamike rotacije tijela :ilično kao i odgovarajući zakon iz dinamike čestice.
Primjer 8.6
Štap mase JI! i dužine 1= l ll) pušten je iz horizom\tlnog položaja bez početne kutne brzine da slobodno rotira oko ovjesišla O (sl. 8,191, Kolika je brzina vrtnje štapa kada štap dođe II vertikalni položaj'?
'~, I,m
yi Slika &.19. Rotacija štap,!
LT početnom trenutku štap miruje, paje !!JI :::.::0, U vertikalnom položaju kutna brzina štapa je (:)2 = 1111./30. Oko osi rotacijel koja prolazi kroz Qvjesište O i okomita je na ravninu gibanja štapa. djeluje moment vlastite težine štapa. tako da je zakon kinetičke er,ergije
Tf/l
'J. ("")' f I 2: 30 = 1119'2 cos q>dq> ,
o
Moment tromosti lJ::: štapa prema osi rotacije iznosi m12, 3. pa je nakon integriranja i izračunavanja
30 f3B " n=-; ~T=51,8mm-l. I
Ovdje treba uočiti da je rad momenta M::: = mg 2' cos rp isto što j rad vlastite
težine mg, Taj rad jednak je gubitku potencijalne energije sile mg i iznosi mg//2,
8,3.3, Reakči}e'u osloncima kod rOlacije tijela
Jednadžbe dinamičke ravnoteže (8.53.) do (8.530 povezuju komponente reakcija II osloncirna s aktivnim sUama Ff i inercijskim silama izazvanim rotacijom tijeJa. Jednadžbe pokazuju da će kod rotacije tijela reakcije II oslon.ima biti posljedica aktivnih sila. što je poznato iz statike, no pored toga i inercijskih, Dio reakcija u
184
.~ ,
osloncima, koji je posljedica vanjskih aktivnih siJa i vlastite težine tijela, odrtđuje se za neki položaj tijela iz statičkih uvjeta ravnoteže. Ovisno o položaju tijela mijenjaju tc reakcije II opčem slučaju smjer s obzirom na osi nepomičnog koordinatnog sustaVa x. y, :. pa su II tom smislu 7..3 vrijeme rOiHcije tijela le reakcije dinami':ke. Po iznosu taj dio reakcija II osloncima neovisan je o rotaciji.
Drugi dio reakcija u osloncima izazvan inercijskim :-.i!ama postoji samo ako tijek) rotira, a posljedica je kinematičkih karakteristika gibanja (w, 1-:) i inerdjskih karakteristika tije1a. Taj dio, koji tvori čiste dinamičke ili [lV. dopul1."ke ft'.:i.:cije U
ostancima, dodatno opterećuje za vrijeme gibanja oslonce. a po iznosu m~"že bili višes.truko veći od reakcija izazvanih statičkim silama. U !larednom izJaganj!.! bit će ohja~njeno kako se određuju te dopunske reakcije II osion"'ima,
z, B~ __ ii",-, ""'''',,'~~
ii.
m
y
x
Slika 8.20. Dopunske rCllli:cijc u osloncima A i 8 kod ratac!.;..: tijela oko osi:
Kada na tijelo djeluju samo inercijsk. sile dL, i dLN, javljaju se u osloncima A i B dopunske reakcije A., AJ" B. i By (sL g,20), Jednadžbe (8.53a), (8,53b), (g,53d) i (8.53e) u tom slučaju glase
(8,67)
(8,68)
(8,69)
lJ) = , Ja'Nzcos:q,-dm"='-!OTzsinwdm. (8,70) m
Uvrsti li se za "N=bw' i GT=be, bit će UZ bcosq>=x i bsinq>=y (vidi sL g,17b) nakon uređenja
(8,71) m m
185
A,+B,+w2 J ydm-e f xdm=O (8.72) m
B,.I+W2 j yzdm- eJ xzdm =0 (8.73) m
BJ + co' J xzdm +e J yzd", =0 .. (8.74) m
Integrali U jednadžbama (8.71) i (8.72) daju umnožak koordinata položaja težišta tijela e i njegove mase XCIII. odnosno Yem. Prema definicijama (8.9) i (8.10) inte!>!ali II preostale dvije jednadžbe imaju značenja centrifugaInih momenata tromosti: ~ ~ j n . ~ u;,:;, pa Je
Ax+ Bx+xcw'2m + ycsm=O (8.75)
A.y + By + Ycw2 m- ,xcem=O (8.76)
Byi +w2fl" - efl" =0 (8.77)
B,i+w2f1" +,:7,,=0. (8.78)
T o su konačne jednadžbe za dopunske reakcije II oslonelma. Iz njih se vidi da na dopunske reakcije utječu pored kinematičkih veličina o) i t položaj težišta tijela i centrifugalni momenti prema osima x, z 1 y. z. Dopunske reakcije nisu posljedica Samo inercijskih normalnih (xc(t)'4m i ycolm) i tangencijalnih (xc&m i rcEml sila, nego i geometrije odnosno raspodjele mase cijela. Prema tome dopunske reakcije u osloncima nije moguće izračunati promatranjem djelovanja odgovarajućih D'Alembertovih sila II težištu tijela, već je II svakom zadatku potrebno postaviti jednadžbe (8.75) do (8.78). Kada se težište tijela e nalazi na osi rotacije, il
jednadžbama nema inercijskih sila, ali dinamičke reakcije II osloncima ne moraju biti jednake nulL Ako je pored toga i rl),;: = flx: = O~ osi x. )', = su glavne osi tromosti, i tek tada su dinamičke reakcije jednake nuli. Na tome se temelji uravnotežavanje rotirajućih masa (rotori motora, centrifuga. automobilski kotači itd.). Dodavanjem ili oduzimanjem koncentriranih masa dovodi se tijeJu težište na os rotacije, a zatim se sličnim postupkom poništavaju centrifugalni momenti tromosti. Uravnotežavanje masa provodi se na specijalnim strojevima za uravnotežavanje ili balansiranje.
Primjer 8.7
Izračunati dinamičke reakcije li osloncima štapa prema slici 8.21 a koji rotira konstantnom kutnom brzinom (j) oko osi z. Zadani su masa štapa mJ kut lX nagib~ štapa prema osi rotacije, razmak među osloncJma l i kutna brzina (JJ. Masu osovine zanemariti,
Kada se štap nalazi II ravnini x, z, djeluju na l)jega sile koje su prikazane na slici 8.21 b. Suma"projel«:ija sila na os x"i stIma momenata oko točke A daju jednadžbe
186
A+B=O
BI+ f zdL,,=O. m
'.1
, , '~;
., ,. "
.. ,
:. ,
Norma!na inercijska sila iznosi
1LN=XW:dm=G- =) tan ,dm.
pa se uz dm = cl.: mIl dob'iVa iz druge jednadžbe
odnosno
I
w'm!an, J(~ -- -') --Bi+ I ::- .. 0_-0
o
mlw': B;;-A=--tan~.
l2
ii
al
bl z
Slika g,21, Dinamičke reakcije koso položenog S12pl. S ob2;it()m na osi rotacije (a) i štap oslobođen wza (b)
Zadatak se može riješiti i pomoću konačnih jednadžbi za dinamičke reakcije (8.75) i (8.78) u kojima je xc=Yc=O i f.:=0. a fl;.;: se izračun3vajednakim integriranjem kao šIo je 10 pokazano II tom primjeru.
Primjer 8.8
Odrediti dinamičke reakcije II osloncima osovine zanemarive težine s koncentriranim masama (sL 8.22), ako je zadano: ml = tn2 =m3 = nl te đ. r i <0= konst.
Budući da su sve mase koncentrirane na krajevima ručica r. u tim točkama djeluju normalne inercijske sile L~=mirw2 pa ~l:-)~nadžbe dinamičke ravnoteže
Ax + Bx + n1JT(JJ2 + m;iCJ2:cos !X=O
Ar +By +m1.r(02- m3TCJ2 sin «=0
~4aBy-2am2rci+3amJf(:l sina.=O
4aB.~.+amJTĆ)~ + 3am3Tc'; COStt=O~
iz kojih slijede rješenja za reakcije:
l , A~= --mrw-(3+cOs;r:) . 4
l Ay= - - mrw2 (2 - sin;r:)
4
l , Bx= -- I1lrw- (l + 3 cos:x)
4
l , . By= -- mrw- (2-3 Sin :x).
4
m,
y
Slika 8.22. Dinamičke reakcije osovine s konceI1-lriranim masama
z
By
Zadata,k se može riješiti i direktno iz jednadžbi (8.75) do (8.78), II kojima se koordinate težišta Xc i rc te momenti tromosti fly;: i gx;: izračunavaju kao kod složenog tijela:
Uz zadanu konstantnu kutnu brzinu (J) kutno ubrzanje E jednako je nuli, tako da se iz spomenutih izraza dobivaju jednadžbe koje su postavljene na početku primjera.
188
8.3.4. Kinetički moment
U dinamici čestice definiran je kinetički moment kao moment količine gibanj:! čestice prema nekoj točki prostora. Količina gibanja čestice d", tijela koje rOIir;.;. oko nepomične osi (sl. 8.23) jeste vektor
dB=vdm=oo x rdm,
lako da je kinetički moment prema nepomičnoj točki A
dKA=r x dB= T X (oo x r)dm.
Ukupni kinetički moment dobiva se integriranjem po cijelom tijelu
KA = J r x (oo x r) d Ill.
z z
m , m
'" A I ........... I ....... X ----________ V
x y
y
K,r----
W E:
K. ------
x
(8.81 ,
Slika 8.23. Kolicina gibanja dB čestice tijela Slika 8.24. Vektor kinetičkog momenta K,
Kako je r=:d + yj +zk te 00= kw, nakon množenja i uređenja
KA ~ - jlO J xzdm- jlO J yzdm +klO J (x' + Y')dm (8.821
ili (8.831
Vektor kinetičkog momenta KA =K.-.:i+K~ +K;;;k prikaza..p..j~ ~ komponenta~a ·na slici 8.24. Iznos je tih komponenata: .
Kx= -[J;r;:w
K,~ -'J",lo K,~'J.(J).
(8.841
(8.851
(8.861
189
lznos i kutovi nagiba vektora K.-4 prema koordinatnim osima određuju se iz komponenata i g.lase;
K, =,JK; +K; +K; =m- ,JfJ;, +:J;,+fJ; (8.87)
COS (8.881
(889 1
Komponen;<! kinetičkog momenta funkcije su vremena. U komponentama K.~ i t:, s vremenor:: se mijenja kutna brzina {{J. ali jednako lako se mijenjaju j
centrifugalni mvmenti tromosti [/):; i flr ::. koji ovise o položaju tijela li odnosu na nepomični koordinatni sustav X, ,r. ;, Komponenta K;: funkcija je vremena san10 preko kutne brzine (v, jer je aksijalni momeot tromosti fl:: neovisan o zakretu tijela oko osi; i s obzirom na vrijeme ( predstavlja konstantu. Općenito je) dakle, vektor 1\.4 funkcija vreme-na bez obzira na lO da li.ie kutna brzina konstantna ili ne.
Derivacija kinetičkog momema po \'remenu može se izvesti deriviranje-m komponenti u i'.~ruzu (8.83). u kojem se deriviraju centrifugalni rnomelHi tromosti ]7;~ j gy; le kut:la brzina w. Do istog rezu\t:lta može se doći ako se po vremenu derivini izraz (8.S1): f
dKA d --=- rX(Qxrldlll. (8.90) dc dc
m
Kako se integriranje ne odnosi na masu tijela koja se ne mijenja s vremenom, to se II gornjem izrazu može derivirati podintegralna funkcija r x (Ul x r), pa je
KA = J [ć x (oo x rl+r x (.;" r)~r x(ro x il]dm. (8<91)
Prvi član u uglatoj zzgradi jednak j~ nuli, jer je r = f =(1) x r, ya je " x v = O. Kadu S~ II drugom članu uvrstiw=t i II trećem r=". slijed~ izraz
K., = f [r x (e x rl+r x (O> x v)J dili <
Pomoću pravila za rješavanje dvostrukog vektorskog produkta bit će
rx(exr)=e(r'r)-r(r<g) i rx(o>x v)=ro(,<v)-v(,<o»,
što uz r'v=rvcos90o=O daje
m
":-"_'_ .~--yektori ll,to.m ~azu imaju ove komponente sustava x. y~ z: . ;::...-~' ~ -- ~-:..:' -. ,,- ,-
190
e=ek
r=.<i+yj+zk
ro=",k
(8.92)
(8.93)
(8.94)
(8.95)
(8.96)
(8.97)
tako da je nakon množenja j uredenja
+[sflxZ+r)dm]k. (8.98,
Kada se integralima daju odredena značenja moml!nata tromosti, dobiva se derivacija kinetičkog moment. s komponentama
KA=Kxi+K,i+l(k
K,=:J"w'-~o& - ~,w' - 'J,., e
K,=17,e.
(R99'
(S. lOO ,
(8.101,
(8.102,
USPQrede li se izrazi (8.100) i (8.101) s izrazima (8.77) i(8.7BI vidi se daK iK i~aju značenja momenata dopunskih reakcija u osloncima. oko osi x~ i _:. (K7;=-B I=M~.), Kako je rečeno. momenti aktivnih sna zajedno s momentima dijela reakCija u oslondma, koje su posljedica aktivnih sila, poništavaju se, pa se može općenito smatrati da K;t; predstavlja sumu momenata aktivnih i ukupnih reaktivnih sila oko osi x. Slično i Kr ima značenje sume momenata svih aktivnih i reaktivnih sila oko osi J. Treća komponenta K, je prema jednadžbi gibanja (8.55, rezultantni moment oko osi z. Kako su sume momenata oko pojedinih osi komponente vektora momenta MA II odnosu na tOčku A. to je
odnosno
M,=l:M,=Kx
M,=EM,=K, M,=EM,=K,.
• dK, M.=K.=--. d,
što je zakon kinetičkog momenta za rotacjju tijeia oko nepomične osi.
(8.103.
(8.104.
(8.105.
(8.1061
Pored opisanog flZikaJnog značenja derivacije kinetičkog momenta i njegovih komponenata dovodi jednadžba (8.105) do zakona koji se upotrebljava tl rješavanju zadataka dinamike rotacije tijela oko nepomične osi. Ako se u izraz (8.105) uvrsti K,=~w, dobiva se da je d
M,=-<9'..w) (8. 107 ! dr -
ili d(~w)=M,dr. (BJ08!
" ~W2-:7;"'1 = J M,dr. (8.1091 '.
To je integralni oblik zakona kinetičkog momenta izveden samo za os z oko koje tiJelo rohra. Prema tom zakonu do promjene komponente kinetičkog momenta II
191
pravcu osi;; može doći samo pod djelovanjem vanjskog momenta oko te iste osi, ih drugim riječir.ui rečeno do konačne promjene gibanja (kutne brzine) može do~i samo kada djeluje vanjski moment oko osi rotacije neko konačno vrijeme 11 -,"!,
Značenje tog zakona slično je značenju zakona količine gibanja poznatog iz dinamike čestice.
Poseban je sl.u~tti tog zakona kada na tijelo ne.djeluj.e ni~akav vanjski !~lOmenl M _. Tada mora bItI fJ-(!)2 =f!..w 1 _ odnosno do promjene gIbanja ne može dOCI ako 5~ ne-mijenja moment tr"omosl(9"::< M1jenja ii se moment tromosti (~pr. spajanje dvaju vratila. promjena položaja mase kod centrifugalnib ventila i sL) mora biti
(8.1101
Primjer 8.9
Rotor turbine momenta tromosti II odnosu na os rotacije rl= 550 kgrn: povećava brzinu vrtnje sa Il t =1500min- t na novu 112 , Do promjene brzine dolazi pod djelovanjem momenta M: koji se mijenja prema zakonu prikazanom na slici 8.25. Koliku brzinu vrtnje n, postiže rotor na kraju perioda ubrzavanja koji traje 15 s?
11, INm)
Slik .. R.15. Promjenu momenl1.l II ~ pri ubrzavanju fO!Qf .. Iurbine
Zakon kinetičkog mamen la (8.109) povezuje zadane vrijednosti i glasi
Integral na desnoj strani jednak je po iznosu površini A ispod zadanog dijagrama M,(t), tako da je
Primjer 8.10
Dva vratila spajaju se međusobno pomoću tame spojke (sL 8.26) pod djelova· njem sila F. Ako su momenti tromosti vratiJa zajedno s dijelovima koji na njima rotiraju oko osi rotacije;], i fl" odrediti zajedničku kutnu brzinu", nakon spajanja:
192
al kada prije s.pajanja vratilo 2. miruje, a vn.ttilu I rotira kulnom l1rzinom (1)1 i bl kada su prije spajanj~' kutne brzine (VI i (J)l iSt(.1g smjen.L Koliko sc energije lj oba slucaja pretvara na srl)jci u toplinu'!
J, w, w,
F """ ~ U
mri ~ rl
;:l) Za vrijeme spajanja na natila djeluju samo unu[fJšoJi momenti spojke oko osi rv[acije. Momenti su jednaki j suprotnog su ~mjera te se poništa\·aju. tako da komponenta kinetičkog momenta oko osi rotacije OSla,k" prIje i E.oslije spajanja nepromijenjena. Nakon spajanja povećat CC se moment {r,,'>mosti sa 'JI na 'JI +fl'J.' II kulnu brzina se mijenj" od (<), na ()), tako da je prema (8" lID)
Gubitak energije jednJk je razlid kineličkih energija prije i poslije spajanja:
Ta S~ energija pod pretpostavkom idealno krutih tijela prNvara za ';rijeme spajanja u tarnoj spojci u toplinu.
bl Zakon (S. l 10) može se proširiti i na više lijeJa koja rOliraju oko zajedničke osi. Tada se radi o sustavu tijelu za koja suma kinetičkih momenata oko osi rotacije nema promjene ako na sustav ne djeluju oko osi rotacije \·anjski momenri. Za tijelo J i 2 to daje jednadžbu
odnosno
Kinetička energija koja se II tom slučaju pretvara II toplinu iznosi
193
8.4. Raminsko gibanje tijela
8.4.1. Jednadžbe gibanj.
e kinematki ravninskog gibanja vidjeli smo da se brzina i ubrzanje neke točke referentnog presjeka tijela (sl. !L27) odreduju pomo':u izraza
V=,OA+roxr
a=a.-t+e x r+Ci) x ((i) x rl.
, m
F,
Slik<l '$.'27, R:.lsninsko gihal1je lijeta. Referentni rrc~jck
(S.III)
(8.112)
Prema razmatranjima iz dinamike sustava čestica rezullantna sca R svih vanjskih sila jednaka je $umi umnožaka u!'rzanja i pojedinih. masa su~ta\'a. Kada se .sustav sastoji od čestica beskonačno malIh masa dm, prelazI suma u mtegral po maSI, tako da je
(S.113 )
Uvrštenjem izraza (8.112l za ubrzanje a dobiva se
R= J aAdm+ J E X rdm+ S (I) x (Ci) x r)dm, (8.114) m m
Budu':i da su II integralima a,t< (i) i t konstante, lO je
R=aA J dm+& x f rdm +w x(", x.r rdm) (8.115)
ili uzJdm=m i Jrdm=Tcm
(8.116)
U uglatoj zagradi rc jest vektor položaja težišta e s obzirom na točku A, pa je cijel. uglata zagrada jednaka ubrzanju ac težišta, tako da JO konačno
R=mac . (8.117)
To je prva jednadžba ravninskog gibanja tijel~, k<;>ja odgo:,.ra zakonu o. gibanju težišta e sustava čestica. Prema toj jednadžbI težIšte se gIba na IstI načm kao l
čestica mase lU na koju bi djelovala rezuitantna sila R neovisno o tome da li sila R
194
prolazi kroz ležište e ili ne, Kod ravninskog giblJnja vektor ubrzanja ac leži uvijek u iSloj ravnini. lj toj ra\'nini prema (8,lln mora ležati i rezuhantna sila R da bi gibanje biJo r;lvninsko.
:">1 sličan n.ačin kat" $.to :imo postavili jcdnad70u (S.113l možemo napisali izraz za moment OkD točke A:
Mo.f=EMAi=Jrxadm. (8.1181
:"domenl \1 .. , je rczuhantni moment prema točki A svih sila Fi j spregova :vI. Vektor .\IA .Jkom!t jc na refercmnu ravninu gibanja i poklapa se po pravcu svektorima (f) i L C\fSlcnjem izraza (S.112l za ubrzanje a II momenmu jednadžbu (8,1181 dobit ccnw nakon množenja
(8.1191
Zadnji tian II \·itičastoj zagradi jednak je nuli. jer j~
r x [l>.) x (l>.) x rJ]=r x (-",'rl=O.
L· drugom je članu r x Cf x rl = tr, pa slijedi
f\1t/:= J Tdm x aA +t f ,.2 dm . (8.120)
odnomo
(8.121)
LJ toj je jednadžbi rl.li mOment tromosti tijela prema osi koja prolazi kroz točku A, a leži okomito na referentni presjek, Pomoću Sleinerova pravila flA se može izraziti pomoću momenta tromosti 'J e prema osi kroz težište. Pri tome je gA = [Jc + ~m. Također se i ubrzanje točke A može izraziti pomoću ubrzanja težišta, tako da je 3.",=ac-t x rc-ro x «(i) x rd. Tim uvr~tenjem izraz (8.121) prelazi II novi oblik:
MA = {'c x 'c- rc x (t x rcJ-'c x [oo x (ro x fC)JJ tn +:7co +r7,mE. (8.122)
Vidimo da je treči član II VitiČ2StOj zagradi jednak nuli jer je rc x [co x (oo x rd] = =r( x i -aird=O. Drugi član u vitjčastoj zagradi pomnožen s m iznosi -'c x (E X rcl III = - r;,mo. te se taj član dokida sa zadnjim članom izraza (8.122). Time preostaje da je
(8.123)
To je druga jednadiha gibanja, koja pokazuje da je rezull.ntni moment svih sila s obzirom na neku točku A jednak zbroju momenta inercijaJne sile mac zbog translacije S težištem e t inercijalnog momenta gee. zbog rotacije oko težišta. Jednadžba gibanja može se koristiti II tom obliku iIi li nelto jednostavnijem ako se za...sumu momenata odabere režište C. Tada je, naime, rc=O. pa je (sl. 8.28l
(8.124)
Oznake vektora ovdje su ispuštene kao nepotrebne. Jednadžbe gibanja (8.117) i (8.1241 predstavljaju dvije međusobno nezavisne jednadžba iz kojih se uz zadane sile direktno dobiva ubrzanje težišta ac i kutno ubrzanje c, Time su translacija tijela s
ležištem e i rotacija tijela oko težišta riješeni. Na desnoj strani jednadžbe (8.123) vektori rc x mac i get: kod ra\"ninskog gibanja uvijek su okomili na referentnu ravninu gibanja. To znači da kod takva gibanja i rezultantni moment MA mora bili okomit na tu ra\·ninu. Isto vrijeJj i za veklOr Mc-
1, ii 0," iiy
1,
-X '" ~ Hc
=;> HA' ili .j{
if, - [ rc / F;
A • m m
RGvninsko gibanje R = mac R =ma(
MA=.~xmac+J(E Hc=J(E.
Sliku S.~8. lednudi:be ravnil1~kog giba:-.. :.! kod rcdukdje sila s obzirom n.1 neku lOčku A (a I i s obzirom na lcži~(e e (b)
Jednadžba (8.117) sastoji se od d\"ije skalarne jednadžbe, koje zajedno s izrazom (8.124) daju tri komponentne jednad:ibe gibanja:
Rx = L F.~i = IJI{lc.~
R J. = F.F."i = IIWc.,.
(8.125)
(8.126)
(8.127)
Pomoću tih jednadžbi može se riješiti s\"aki zadatak dinamike ravninskog gibanja krutog tijela.
Gornje jednadžbe mogu se posta\·ili i pomoću D'Alembertova principa. U ležištu se suprotno vektoru ubrzanja ae ucrtava inercijska sila L= - maC. a suprotno kutnom ubrzanju treba zamisliti da djeluje inercijski spreg ML ='Jce (sl. 8.29). lednom kada su ucrtan':! te dvije veličine zadatak se rješava pomoću uvjeta ravnoteže komplanarnih sila II kojima se D'Alembertova sila L i spreg ML uzimaju kao i svake druge statičke veliCine. Ako se zadatak rješa\"a pomoću komponenata ubrzanja, ucnavaju se D'Alem'bertove sile suprotno svakoj komponenti.
196
y
. ==::>
Ly=-moy Slika 8.29. D·Alemb~:1ov princip kod ravninskog giba Ilja krutog tijela
x
Primjer 8.11
K·oli~i.m se mak~im~lnim m0l!lentom M može pokrenuti valjak (sl. 830a) da dođe do CIS tog kotrljanja? Zadam su masa m i polumjer R valjka te koeficijent trenja između valjka i podloge JI.
m
I b~ ._.c& -" 1- °e [I x
Rl I H I H
I' Fr F, al bl
Slika S.30. Ubrzavanje valjka momentom {\./ (a) i ~il~ na valjak kod ubr<:.l\·ilnja (h)
Na slici S.30b nacrtano je tijelo oslobođeno veza s ucrtanom aklivnom silom G (vlastita težina), pogonskim momentom M, reaktivnom nonnalnom silom F. i silom trenja Fr Premajednadžbama gibanja (8.125) do (8.127) bit ce za valjak'
FT = IIUlc
i',- G=O
.H -FTR='Jce.
Kinematički uvjet kotrljanja bez klizanja glasi
ac=ER
pa iz jednadžbi gibanja uz gc=~ mR2 slijedi 2
FN=G=mg
2M F =--
T 3 R'
Sila t~~nja propo~:donalna je momentu M. Njezin najveći iznos ograničen je koefiCijentom trenja Ji, tako da za kotrljanje bez klizanja mora biti
FT;;;I'F,.
Pren:a tome je najveći moment kojim se može ubrzavati valjak ona i kod kojeg:a sila trenja postiže maksimalnu vrijednost _ ...
ili
197
Primjer 8. ! 2
KOm.<,lm sc maksimalnom silom F može ubrzavati va1j~k iz primjera 8.11 d,l dođe do č ,:;wg kotrlj:mja?
Kod ubrz(lv(lnja 'Valjka silom F sila trenja FT djeluje na valjak suprotno zadanoj sili. Na slici 831 b ucrtane $U sve sile 0(1 oslobođeno tijdo. Jednadžbe gibanja gkl$~:
R
oJ
F-F,-' G=O
FTR=U"".
Slika 8.31. U')r7.UVlllljć valjkll Sll~11l1 F (a) 'I sili: mj \"<Lljuk kod ubrl.'I\"tnja (b)
Iz njih se, vz uvjet kotrljanja bez klizanja ac == tR i uz fIe =~ mR~, dobiva
Fj\o;=G=my
Maksimalna sUa trenja koja ~e između valjka podloge može oSl\'ariti kao reaktivna sila jest WN=Jlmg. tako daje
Primjer 8.13
Štap AB duljine l i mase m naslonjen je na vertikalni zid pod kutom ~ (sL 8.32.). Iz tog polož'ja štap počinje kliziti bez trenja pod djelovanjem vlastite težine .. Odrediti ubrzanje težišta e i reakcije u osloncima A i B II početnom trenutRu gibanja.
Zadatak možemo riješiti primjenom D' Alembertova principa" U početnom trenutku štap još miruje, pa su mu brzina težišta i kutna brzina jednaki nuli. Ubrzanje težišta ima dvije komponente 3;t i at<> kojima su suprotno usmjerene
198
D·AI.mbertov. sik L, i L, (sl. 8.31 b). Suprotno kutnom ubrzanju, ucrtan je D'Alembertov moment :7,.r.. tako d •. jednadžbe ravnoteže glase:
1:F,.=O
1:·\fr =O
Fs-G+ma,."""'O
I I FA 2. COs;x- Fil:; sin:z +flcl: =0.
y
4. =~miiK ___ ~"""..::J!. ____ _ x
B
01 bJ Slika 832. Gibanje Šl;lr<l po gla Ikim stijenkama (al
i sile n;,t !itap rrcma fr :\lcmberltWU prio;:iru (111
Giba~Je j~ :> jed~im stupnjem slobode pa izmedu ubrzanja ac i kutnog ubrzanja l
postoJ! ~wemaučka veza. Buduči da u početnom trenutku štap miruje, nema n~~~m~l~lh komponenata ubrzanja zbog rotacije štapa, pa za ubrzanje točke B \TIJedI Jednakost
Plan tih ubrzanja prikazan je na slici 8.33. Za točku e ubrzanje je određeno izrazom
ac = " ... +a'",A =aA+(ac/Ah.
Točka e nalazi se na udaljenosti 1/2 od točke A. pa šiljak vektora 'c raspola viju vektor tll8/Ah. [z plana ubrzanja vidi se da je laci <ti: I (acJ.-t )1'1 i da vektor ac leži pod kutom .1 prema osi x. Pr.:ma tome je iznos l.lbrzunja točke e
a njcgt.'wc su komponente'
I <1{'=(uc ..th = Ć:'2'
ćlx""'accos 'l
lly=ucs.in~.
Uz tal-su kinematicku vezu jednadžbe ravnOteže. u kojima je moment tromosti ml:!
šlapa prema ležiš lu Jc=--. imaju ova rješenja: 12
3 {lc='4 Y SI11 ~
F 3 .
A=Smg sm2:x
mg(l-~Sin'"}
8"+.2. Kin'etička energija
Kinetička energija čestice tijela mase d m i brzine ~. iznosi
t.2dm dE'~-2~ (8.128)
a kako je 1,2 = "V == (\'A + to X rH"-.~ + ro ;< rl. to je kinetičku energija cijelog tijela
(8.129)
Nakon množenja dobiva se izraz
E,~~ JVA'VAdm+ fVA·(<oxr)d,"+~ f(toxrH",xr)dm. (8. I 30)
U prvom je integralu VA' "A = L~ s obzirom na integriranje po masi konstanta. U drugom integralu su VA i ID konstante. U trećem integraluje (o>xr)'(IDxr)=di',jer su vektori ul i r kod planarnog gibanja međusobno okomiti. Izraz (8.130) preuređen gl~si
(8.131)
m
odnosno
(8.132)
200
Takav je izraz, II kojemu se kinetička energija izračunava pomoću veličina v .. 4' rc i ~ yczanih uz bilo koju točku A presjeka tijela, ne·,rikladan. Ako se kinetička energija ;uačunava pomoću veličina vezanih Ul težište lijeta. vek10r rf' jednak je nuti, a u jJTl\ZU {8J321 ~ .. prelazi u brzinu težišta \'c i f"1 tl mom1.!nl tromusti oko USI kroz ldi~!e fIe. lc jc
(8.133)
Kinetička energija tijela koje se ranlinski gitla sastoji sc od dy;! člana: kinetičke t,'ncrgije zbog translacije s težištem e i kinetičk~ ~nergije zbog rotacije tijela oko osi kr9z 'težište. Ta 'dva člana vidljiv'a su ti izrazu (},.I J3). Ako se gIbanje opisuje preko 111!kc: dru'ge" točke koja nije težište presjeka :jda. kinctfčka energija se ručun<l pomoću izraza (8.132), u kojem pored člano';.! translacije:; A i rotacije oko A postoji i srednji dopunski čhm mv A (oo x rd= /1' r,-IrC;,A cos( 1:: \',-t, 'eA)' jednostavna supcrpozicija kinetičkih energija zbog translacije i rotacije ne može se općenito primijeniti. osim II slučaju kada se gibanje opisuje preko težiŠta presjeka tijela C. To je mzlog zbog kojeg cemo kinetičku energiju gotovO uvijek računati pomoću \'eličina \'ezanih uz težište. Izraz (8.133).
Vidjeli smo da jednadžbe ravninskog gibar.ja tijela glase
R=mac
Mc='Jce.
(8.134)
(8,1351
Ako prvu jednadžbu pomnožimo s promjenom pomaka tetlst<l dre. a drugu s promjenom zakreta dlf/. dobit ćemo izraze
('Jew') Mcdrp='Jcwdw=d -2~ ,
Zbrajanjem tih jzraza dobiva se
(mv' 'J. Dl)
d /+~~ =R·drc+.l1cdrp.
(8.1361
(8.137)
(8,138)
(8.139)
(8.140)
Na lijevoj strani tog ;zra1a"halazi se diferencijaL kinetičke energije tijela dE., dok je na desnoj diferencijal rada rezuJtantne sile reducirane II težište e i diferencijal rada rezuJtantnog sprega J\1c. Rad na desnoj strani može se izraziti i preko sume radova komponenata sila R i sume radova spregova. tako da je
d W= R'drc+Mcdrp= EF,dri+ E Mid",.
201
Integriranjem izraza (8.140) od nekog položaja 1 do položaja 2 tijela dobiva se
(8.141)
(8.141a)
Izmz lS. J 4 il ili njego\< skraćeni oblik (8.1-+ la) jest =1I/..-01l kiut!(tčke clle1"gUe za ravninsko gibanje tijela. Promjena k)n~tičke energije translacije tijela s težištem i rotadje oko osi kroz težište unular nekug odsječka vremena jednaka je radu s,:\'ih sila i spregOql koji djeluju na lijelo. j 10 zbog transiacijskog i rotacijskog pomaka što ga tijelo ~zvrši u tom odsječku vremena. Zakon kinetičke energije ravninskog gibanja tijela ima isto značenjt kao j odgovaraju~'i zakon kod gibanj(l čestice ih kod rotacije tijela oko nepomične osi.
Primj« 8.14
Kružna ploča polumjera R i mase m kOlrIja se bel klizanja uz kosinu pod djelovanjem sile u opru zi konstante krutosti e (51. 8.34a). U početnom položaju I ploča miruje, a ukupno produljenje opruge jednako je dvostrukom produljenju statičke ravnoteže ~b,,1 = 2:';:0)' Odrediti brzinu lcžista f i kutnu Qfzinu c') kada ploča dođe u položaj statičke ravnoteže 2,
Za vrijeme gibanja na ploču djeluju sile prema slici 8.34b. Rad na putu od položaja I do položaja 2 vrše sila opruge Fo i težina G. Rad sile trenja fT kod kotrljanja bez klizanja je~llak je nuli, jer se kO<l svake nove dodirne točke ploče s podlogom stvara i nova sila trenja. koja nema pomaka (dodirna točka ploče u odnosu na podlogu relativno miruje). Rad sile opruge jednak je gUbitku potencijal .
.. " eu; "l' J;
:.('~0
al bl SUka 8.34. Gibanje kružne pio«: uz kQsinu pod dje)ovanjem opruge {al i sile na kružnu ploču u
potemom položaju gironja 1 iz kQjeg je krulna ploča puštena u gibanje bez početne brzine (bl
202
;: ]
i
ne energije Wo=c(2XorI2-c~~/2=3(.'.\'~/2~ a rad vlastite težine 1Fa= -mgxnsin:l. U položaju I ", =0 i ro, =0, a u roložaju 2 r, =v i (!l, =ro= r R. Prema zakonu kinetičke energije (8.141) dobiva se
2 3 c~ - mgxo sin 1:,
~toment tromosti kružne ploče 'Je = mR1,/2. U položaju .statičke ravnoteZ~ FT=O. a sita II opruzi Fo=cX'o=mgsiua, taKo daje XQ = mg sin x/co Uz te vrijednvsti. te uz w = r R slijedi iz zakona kinetičke energije
i dulje
t'! , ... L 3. Kinetički moment
, Kineticki moment diferencijah.1;mase dm i brzine ,. prema I1ć'pomičnl1j točki O rderemne ravnine (sl. 8,35) jednak .;.: momentu količine gibanja te čestice t iznosi
dl'-n=rxvdm.
Cvrstimo li da je r-rc+ fl i V= 't'e +00 x p. bil će
dKo= (rr.~ pJ x ('·c+w x p)dm.
o~-----nmr~----
Slika ~US. KiMtički moment čestlce dm ['Ir<!ma točki O
Integriranjem po cijeloj masi dobiva se kineti~ki moment tijela
~:·Ko-=dTl'c+]I)>< (vc+m x pld·m
ili nakon množenja i izlučivanja konstanti ispred znaka integracije
(8.1421
(8.1431
(8.144)
Ko=rc x Vc J dm+rc x (lU x J pdm)+(j pdm) x '·c+ J P x (ro x p) d", . (8.145)
203
Inlegral od pdm jednak je nuli. jer je p vektor položaja česiice dm u odnosu na težište C. pa su drugi i treći član Pl desnoj strani gornjeg izmza jednaki nuli. Veklori bl i p stoje kod ravni .. skog gibanja pod pravim kutom le je p x I'U x 1'1= "1". Integral u prvQm čl '.nu daje ukupnu masu lijel. III, pa slijedi
(8.1461
Ko=r .. xlllvc+;]c"" (8.147)
Kinetički moment Ko kod ravr:.insKog gibanja tijela jest vektor okomit na referentnu ra\'ninu gibanja, Sastoji se.od dva člana: momenta količine gibanja zbog ':ranslacije tijela s težištcm (rc x mvc::: fC x Bel i kinetičkog momenta zbog rOlacije oko osi kroz težište (:7e (O Ke). OI:.;] člana kolinearni su vektori, pa je iznos kinetičkog momenta (.1. 8.36) .
m
Slib 8.36. Kinetički mQment K. (j $ustoji sc od momenta kolitine gibanja 8c d i kinetičh\g momenta flcM
Kinetički moment prema trenutnom polu brzina P,;. Iznosi
(8.148)
(8.149)
gdje je dp udaljenost ležišta e od trenutnog pola P,. Kako je tada DC = dp (ll, mora NU . .
(8.150)
ili uz md~ +f1c=rlp. što Je moment tromosti u odnosu na os kroz trenutni pol b~\l1~;' -' :7",. • ,"'
104
Deriviranjem izraza (8.147) po vremenu dobiva se
KO=fCX mvc+rc x mvc+g'cro.
(8,151)
(8.152)
-~
i !
U prvom elanu na desnQj strani ic=v(". pa je taj član jt,-dnak nulL V drugom članu \"c = ac. a u trećem ro = t: te slijedi
(8.1531
Prema jednadžbi (8J23) gornji izraz jednak je rezultantnom momentu svih 'Sila i 5pregova prema točki 0, te je
dK" -=Mo · dr
(S.154)
\ 'idimo da :r.akon kinetičkog momenta kod ravninskog giballj{\ tijcb ima isti oblik kao i kt,d gibanja čestice. Rečeno je da kinetički moment Ko leži u\ ijtk okomito na ravninu gibanja presjeka tijeJa. :--Jjegov vektor ima prirast samo po veličini. dok mu je smjer konstantan. pa se u zakonu (8.154} mogu ispustiti oznake vektora. Taj zakon predst a vlja jednu ska)omu jednadžbu prema kojoj je
(8.1551
lntegriranjem tog izraza unular granica l, do iz dobiva se
" Ko2 -Ko, = f !vlodl. (S.1561
" ;to predstavlja integralni oblik zakona kinetičkog momenta. Kada ~~ momen( traži prema težištu C. ostaje u izrazu (8.148) samo kinetički moment Ke = flcf:J· Gornji zakon pisan za težište ima jednostavan oblik i glasi .
" fJc(J)z-flcOJ t = J Me de , (8.156al
" sto je identično s izrazom (8.109) kod rotacije tijela oko nepomične osi. U tom obliku zakon kineličkog momenta primjenjuje se jednako kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi.
Primjer g,15
Na valjak polumjera R i mase m (vidi naprijed sl. 8.30) djeluje konstantan moment A1 tokom vremena t. Odrediti brzinu težišta Vc valjka na kraju perioda ubrzavanja ako je valjak II početnom trenutku mirovao.
U zakunu kinetičkog-momenta (8.1'57) prema 7l):!latku je,<l.lj = O. (ll, =(J)= ':cl R te se dobiva
•
flo ;= SMedl. o
205
odnosno (vidi sl. S.30b)
2 R
U primjeru 8.11 izračunalo je da je sila trenja F,=2.\f 3R. ŠIO uvršteno II gornji integral daje nakon integriranja i izračunavanja
2.11/ tC=3,~j{'
8.5. Sferno gibanje
8.5.L Jednadžbe gibanja
Ukinematici sfernog gibanja ili gibanja tijela oko nepomične točke pokazano je kako se odreduju vektori kutne brzine cf) i kutnog ubrzanja i; II f:lzličitim koordinatnim. sustavima. Sustav X ~ Y. Z djelomično je vezan uz tijelo (vidi poglavlje 3.4.2)~ zakreti njegovih osi ovise o promjenama kutova l/t i 8 (sl. 8.37). a neovisan je
. o rotaciji 'P,
•
m
x
y
y
X Sliku 837, Sferna gibanje krutog tijeta
Kutna brzina (o' tog sustava ima komponente
gdje su IDf =cxwx+eyWY+cz[OZ.
w~=8
ro;. = if, sinS
OJz=l/I cosII.
U istom sustavu kutna je brzina tijela
206
(8.157)
(8.158)
(8.159)
(8.160)
(8.161)
::: komponentama
{IJ.\" = ,lj
w1.;;;;f sin f}.
wz~ip+,frco,f).
(8.162)
(8.1~3)
(8.164)
Čestica tijela mase dm kojoj je položaj određen vektorom r=exX +crY+ezZ ima kineli("ki mom!:.~nt prema točki O
dl\o=rx\<dm,
Kako j~ kod sfernog gibanja V=(f}X r. kinetički je moment cijelog tijehl
Ko=.lrx(wxr)dm. 18.106)
'Nakon uvrštenja \"~klOra r i ill II komponentama dobiva se nakon množenja uređenja izraz
Ko=ex[wx J (r'+ Z')dm-Wr J XYdm-wzJ XZdm]+
m m '" (8.1 (7)
m
S\"aki od inlegraia tog izraza ima značenje ak5ijalnog lli centrirugalnog momenta tromosti, tako da je
Ko :;;::;:ex (w/Jx - wyfl~:r - ())/J xz) + +ey( -(o/Jxr+Wygr-CJJzflrz) +
+ez (-(~.y'fl),Z-Wf'J Yl +wztJzJ·
Vektor kinetičkog momenta Ko u sustavu X, Y. Z ima komponente
Ko = exi'x + e,K,. + exi'z,
koje 'u prema (8.168) određene izrazima
K x =wxflx -w/J xy-wzflxz
K,.= -OJ,7,,+w,!J,.-w,7yZ
Kz ; -w/Jxz-ro!Jyz+wxf!z'
(8.168)
(8.169)
(8.170)
(8.171 )
(8. ml
Kako je to vec II više navrata pokazano, derivacija kinetičkog momenta po vremenu jednaka je rezultantnom momentu sila i spregova prema točki O ~0!:. .,.. ':-'"~-::;"~"'d"Ko
d,=Mo . (8173)
Deri\'iranjem izraza (8.169) dobiva se
f8.17-11
207
Jedinični vektor koordinatnog sustava X. Y. Z derivirati po vremenu isto je štO i pomnožiti ga vektorski slijeva kutnom brzinom w' kojom lotira koordinatni sustav. Izruz (8,174) time prelazi u oblik
(8.175)
Pro\'Cde ii sc množenje vektora (1)' i Ko< Kojima su komponente prikazane izrazima (8.1571 i (8.169), dobi,,, sc
ili +ez(r::;+w\A:) -('JiK,d
,\ix = f.: x ~ ("J)X z - ti.J'zK r
,\1 l =kz+(:)~.K r-w;.Kx,
(8.176)
(8.1771
(8.178)
(8.179)
Dobiveni sU izrazi jedllati:nl! gibđl~i'l krutog tijela oko nepomične toeke O, koje povezuju momente oko osi X. 1', Z kao uzroke gibanja s kinematičkim veličinama i dinamičkim svojstvima tijela. U komponentama kinetičkog momenta K x' Kr i Kz nalaze se prema izrazima (8.170) do (S.I721 komponenle kutne brzine tijela", i komponente tenzom tromost! u odnosu n:l osi X. Y, Z. U llm su Izrazima {J)x. (!Jr i Wz. kao i svi momenti tromosti (O:'llll aksijalnog ~) runkcijc vremena. pa kod dcrivirHnJa to tct-ba uzeli u obzir. Kada se u jednadžbama gibanja provede deriviranj~ i uvrsle odgovarajući izrazi za komponente kutnih brzina. dobivaju se diferencijalne jednadžbe. koje pored momenala tromosti ,adrže funkcije kutova 1/1, ifJ i 9 i njihovih prvih i drugih derivacija po vremenu.
Rješenje tih jednadžbi uz zadane komponente momenata složen jc posao i prelazi okvire ovih izlaganja. Takvi opci slučajevi rijetki su, međutim, u inženjerskoj praksi. Sferna gibanja u inženjerskim problemima imaju svoje specifičnosti. Tijela su obično posebne geometrije, a i komponente kutne brzine u nizu slučajeva imaju određene karakteristike. Jednadžbe gibanja tada su znatnO jednostavnije, a rješenja se mogu dobiti jednostavnim matematičkim postupcima. U naredna dva odjeljka razmotrit cemo podrobnije neka takva gibanja.
8.5.2. Srerno gibanje rotacijsko sime-tričnog tijela
Za tijela rotacijsko simetrična s obzirom na os Z, osi koordinatnog sustava X, Y~ Z glavne su osi tromosti. Aksijalni momenti tromQsti prema osima X l Y međusobno su jednaki i nisu funkcije \Temena: 17x =:7y, flx=r'!r=O. Centrifugalni momenti~otnosti jednaki su nuli ('Jxr =:7rz ""f!zx =0), pa su komponente kinetičkog momenta
208
K, =",.<:7 x = :7x9 K r="',.:7, =:7 • .fr Kz={J).Jlz~:7z (q, +.fr cos8),
(8.180)
(8,181)
(8.182)
.. f '.:
te njihove deri vac ije
Kx=wx[/x
Kr=wr:7x (8.1831
(8.184)
K z =wz:7z . (8.185) Izrazi (8.1801 do (8.1851 uvršteni u jednadžbe gibanja (8.177) do (8.179 J d' k sređenJa aJu na on
M x = fly;f.}); mz +flx (mx - (O~wr)
M}" = - fl z()~(j)z +[/ x ((i;y +l!J~(1)x i
M z= fl zWz + fl X «(t)~l'Ui). - w;"(;)z).
(8.186)
(8.187)
(8.188)
· T~ sujedn~dibe sfe:oog gi~-?ja ~otwaci~sko s~metričnog tijela, kojemu 'c Z os SlrnetnJc. Cest l vrlo vazan slucaJ u lflzenJersk01 praksi J'est SI tc'O J·b , · t' W
., l k ~ ( rnamo (JI anji! sIme' ~.lcnog tlje a o e: nep.omične to~ke, Kod takva gibanja tijelo ima konstantnu rotacIJu npr: ~ko ~Sl Z ifJ=k~nst. I konstantnu preresiju tP=konst. (sl. 8.38), a takoder mu Je l nagib prema os! Z konstantan (S= konst ,9 -O) Za tak o 'b . J·e· . . O k đ . . "t - ,.. v gl anje
· (~.\'.:;;;(:)l".:;;;WZ;:;;: . • a ta o er Je l Wx =wx:;;; O. Uzimajući to u obzir. jednadžbe gibanja daJU ove Izrazt': :
.H,,; 'Jz~ sin 9 (tP + if cos91-:7 xif' sin ~ cos 3 (8.189)
(8.190)
St~cio.narno je gibanje pre?13 .to,?~ '!loguće samo uz uvjet da nema momenata oko OSl Y I Z. ,Momen,t oko OS! X J.edlmje mO.ment koji izaziva stacionarno giban'e (sl. 8.38), a [fl koo~dl~.te: ",. rp I lJ PovezuJe samo jedna jednadžba S uŽroko~ gibanJ' M x' Gibanje je određeno kada su od četiri veličine: ,H ,... o .
ct d-be (8189)' .. d "'x, '1/. lp I ~ IZ Je na z, ., tn unal?flJed za ane. Tako npr, a~o se tijelo kojemu su momenti tromosti flx l 'Jz postaVI pod kutom 8 prema OSI Z te ako mu se kod eko momenta Mx dade rOlacija cp. gibat će se tijelo sfcrn'o uz precesiju ;/J odr~đen~
z
z
y
y
X Slika 3.38. Stacionarno gib~ie rOlacijslm'simctrićnog t~icl<4
14 ~. Jed,;· KI:"E;\fATII..::A I DJNAMIK"" 209
jedlladžboii1 (8.1891. Pri tom rotacija ne može biti bHo kakva. Preuređenjem izraza (8.l89) doo;,-. se jednadžba
, 'J, ,,, ; (0.1911 t/J~ ...L l? Q
, ('Jz-'Jx)eos9
koja ima realno [jesenje za precesiju ~ samo ako joj je diskriminanta manja ili jednaka nuli. tj,
(JI.-'Jx)'ina~os3 - 4
Iz LOua sliiedi da rotacija <i> mora izno$iti e .
(8.1921
(8.1931
Jednadžba (&.191) uz uvjet (8.193) daje jedan. ili dva realna korije,!a. za precesiju Li uz određenu rotaciju <il- Poseban slučaj stacIonarnog Sre~nQg g;banja Jest gibanje bez momenta. Ako postoji precesija .[J različita od nule, bit ce prema (8.191)
m Mx=O. . . .. Takt,"' će se gibati tijelo ovješeno ~ te,ži~tu. na k?je ne ?jeluj~, ntkak.~! V~~JS~l
lOmenti Kada je 'J > 'J,. predznacI >/I I o su Jednak!. a .terno J' glban)e ~rogreSi\:na precesija (sI. 8.39.). Ako je 'Jx < 'J,. gibalIje je retrogr.dna precesIJa (sJ. 8.39b).
z
210
bl al sremo gibanje oko težišta e bel vanjsk,i.tl momenata. Progresivna (a; i reirogradna tb)
preces1Ja
8.5.3, Pribljžna teorija giroskopa
U ter nici su česta sferna gibanja kod kojih tijelo rOlira vrlo velikom kutnom brzinom r;: II odnosu na malu prccesiju 1/1. Do takvih gibanja dolazi kod složenih mracija tijela. kao što je to slučaj npr. S rotorom motora električne lokomotive pri vožnji II zavoju. No tako se gibaju i posebno izvedena rijela specijalno ovješena koja se nazivaju giroskopima (žiroskOPt zvrk. čigra), Obično su to tijela ti obliku diska znarnije mase i momenta tromosti prema vlastitoj osi sjmetrije~ a ovj1!Šena su preko kardanova okvira. Giroskopi se upotrebljavaju za upravljanje i stabilizaciju brodova. aviona i projektila te imaju mnogostruku primjenu u različitim instrumentima. Staclonarf'.<l sferna gibanja takvih tijela mogu je jednostavno proučavati po pribli=11~j feorijl; koja če o\'dje biti kratko izložena.
U pri ',!iŽfiOj teoriji stacionarnog gibanja giroskopa pretpostavlja se da kinetički mt)mem K o leži na osi rotacije Z (sJ. 8.40). Komponenta Kx kinetič~og momenta prema izralU (8,180) jednaka je nuli. Jer je kod >tacion.rnog gibanja ,~=O. Kada je <il» >/I. komponenta Kr prema (8.181\ bit če zanemarivo malena u odnosu na komponentu K z. l II toj .preostaloj trećoj komponenti određenoj izrazom (8.182) mOže se član kojj sadrži I/t zanemariti, tako da kinetički moment približno iznosi
(8.195)
y
x
x
Vidjeli smo da kod stacionarnog sfernog gibanja moment M o ima samo X komponentu, pa iz iu.u (8.189) slijedi
(8.196)
Drugi član na desnoj strani sadrži I/Iz, te se zbog uvjeta da je if,« cp taj član u gornjoj jednadžbi zanemaruje. U pribJižnoj teoriji giroskopa moment tada iznosi '., -'
Mo= rJ7.<il+ sin:!. (8.197)
Budući da vektor 1\10 leži na osi X, a Ko = ~.; na osi Z, gornjem izrazu odgovara vektorska jednadžba
(8.198)
14* 211
To je jedHddžb!l swcionarlloy giba/lja yiroskO{Jd prema približnoj teoriji koja vrijedi samo uz uvjet da je tP >- of·
Iz jednadžbe gibanja (8.198) slijedi da ako na girosko) koji ro!ira kutnom brzinom tP ne djeluje nikakav vanjski moment, neće biti pre<;cs1je \fl, Giroskop zadržava stalno svoj osnovni položaj II prostoru određen s osi Z. Naprotiv. počne lj djelovati na giroskop moment M o' dolazi do precesije ~. koja je određena izrazom (8.198). Pod djelovanjem momenta Mo (npr. moment zbog vlastiie. težine na sl. 8.40) neće doći do rotacije oko osiX oko koje moment djeluje, već I!ifpskop 9staje II dinamičkoj ravnoteži. Prema D'Alembertovu principu moment M.. -'jl)dJ,<i> stoji u ravnoteži s momentom Mo od kojega je suprotno t';~mjeren. Moment iYlt n~lziva se ~iit()skofi5kim mOIlU!i1tOJ1l i može se reči da se .. opiH;"' djelovanju vanjskog: momenta Mo' Obrnuto, giroskopski moment može izazvat; djelovanje momenta sila, što se javlja npr. kod rotora strojeva. Rotor koji rotira kutnom brzinom q, (sl. 8.41 a) ponašat će se kao giroskop ako iz bilo kojeg razloga dobije dodatnu precesiju tP (npr. zbog vožnje u zavoju, ljuljanja broda i s!.). Zbog djelovanja giroskopskog momenta M, na oslonce (giroskopski efekt) pojavit će se dodame reakcije u osloncima kao par sil~ FA i F. kojima oslonci djeluju na rotor, Pod pretpostavkom da su vektori <i> i lj! međusobno Okomiti (sl. 8.41 b) iznos momenta sprega jest M o =". ipt/!. a smjer mu je određen vektorskim produktom (8,198) .
.-
o)
z
bl
$Iiklt &.-41, Reakcije II osioncima izazvane giroskopskim efektom
Primjer 8.16
Kotač mase III zglobna je vezan u točki O pomoću osovine e D zanemarive --I\I1ll1e·:·PolurnJ!'nromosti-kotača-prema.osi Z (sl. 8.'!-2) iznosi i =0,22 m. Udaljenost
ležiŠta e kotača rid točke O jest b =0,17 m. Ako kotač rotira brzinom vrtnje" oko osi eo, odrediti brzinu vrtnje ". kojom se kotač precesijski giba oko osi z, kada na kotač djeluje samo vlastita težina i sila II osloncu O.
Zbog težine kotača javlja se moment oko osi X koji iznosi mob sin 9, tako da jednadžba (8.197) daje . ("T,..
mob Sin 9=01 • 'Pt/! SID 9.
212
/.1 ;.;>0 bi! će:
,j; - "'!ii> -'J,,,,' Kako je ~ =lip1I ~O i q, ::QI;:t,130 te gz = e· Hl d,,1biva Se za brzinu vrtnje zbog precesije
900 bu 3142
n,
y
x Slik! 8.42. Brlina vrtnj~ kojom $", ;',)taČ' pr~e~ijski giba oko osi =
K~tna ~rzina precesije ift i odgovarajuća brzina vrtnje 11 ne ovise o kutu [).. Kod. bilo kOjeg poč"tnog kuta S jayit će se uvijek jsta precesifa. Kod brzine vrlnje k~tac~ od 3142 mm ~ kotač s osovmom obiđe oko osi precesije z jednom u svakoj mmut1.
Primjer 8.17
Vlak vo~i kon~t~ntnom brzinom r= 140 km.h II zavoju polumjera 300m. Kakvu pro:n.renu pntlsk:a na ~račnice izaziva svaki par kotača zbog giroskopskog efekt:' ako Je mOment tromostl para kotača oko vlastite osi 'Jz = 180 kgm'. polumjer kotaca r=O,4m, a ra:anak među tračnicama iznosi 1= 1435mm (sl. gA3)?
I \ I
\ v
~.':::."';".
__ rf
1
\ al
-1
~. .~ f l H,
213
Za vrijeme vožnje II za\'oju osovina s kotačima sferno se giba oko centra zakrivljenosti zavoja. Kutna je brzina rotacije ip=v/r. aprecesije if;=I'!R. Kao reakcija gin)5kopSK0n1 mOIn:!ntu javlj.l se mom~nt M,) ($L 8.43b} kojemu je iZllo:-:;
'J rl Mo=fJz",.p=_l-.
Rr Tolikim momentom djeluju tračnice na kotače s osovinom. i to u obliku para sila F.
F. Prema tome će kotači djelovati na tračnice suprotnim silama, tako da se kod vožnje II zavoju po\"r!čava pritisak na vanjsku tračnicu. a za isti iznos je pritisak n~t unutrašnju lračnicu nlanji. Promjena pritiska odgovara iznosu sile F:
Mo rl, rl F=-=-,-= 1581 kN.
i Rr
Zadaci uz poglavlje 8
1. Odredili momente tromosti zakrivijenog štapa mase ln (sl, 8.44) prema osima x. )I i z integriranjem. Pomoću Steinerova pravila odrediti momente tromosti prema osima kroz težište C. Koliki su centrifugalni momenti tromosli-~
mr ( sin 2::X) mr ( sin 2C() Rješenje: /IIr", J'=T I- h - . J,=-: l +:z;;- ,
( ;in''')"
1I1r' 1- " . , [l ( sin 2.) sin' , J J;e=mr - 1+-- ---,- .
. 2 2. a-
Centrifugalni momenti tromosti u oba koordinatna sustava jednaki su nuli,
zt ,oJ:!!n,,'cl r~
z
i .. / , ,;; .. ,; m
z" --"!o-*--~
x y
Slika 8.44 Slika 8.45
2. Odrediti momenle tromosti JX" J,. i J:: uspravnog kružnog stošca visine ll, mase ln i polumjera baze r integriranjem. Pomoću Steinerova pravila izračunali
'_.'.'''''"''''. _~,.~~~tr~lne_momente tromosti (sl. 8.45).
., 111" 3~ RješenJO: Jx =J'=20(3r +21r'), J'~lOm,
214
3. Koristeći dobivene izrnze za momente tromosti valjka iz primjera 8.1. izračunaII momente lromosti ~ebelostjene cijevi unutrašnjeg i vanjskog polumjera rt i '2 te dužine I prema oSima X, j' i : (sl. 8.461. Upotr\!biti pravila za određivanje momenata tromosti složenih tijela.
Rjosenjć,
z
YI
76
o x "" .... --
/ 76 , 10Z
Y 204 mm
x SHk" SA6 S!i~:d 8.-17
-L Izračunati momente tromosti Jl . i J y šlapa prema slici 8,.1.7. Ckupna težina štap' je G =0,635 N. Debljinu stijenke zdnemariti.
Rješenje: Jx =053'1Q-4 kgm'. J,.=4.15"10-" kgm'.
5. Sistem prikazan na slici 8.48 sastoji se od homogenog štapa AB mase m i dva stapa jednake duljine r=O,2 m zanemarive mase, Odrediti brzinu težišta štapa u "enutku kad. je lp = O' ako je štap ispušten bez početne brzine iz prikazanog položaja (",=60').
Rješenje: 0=1,843ms-', A B
Slika 8.48
6. Puni valjak polumjera r i mase III rotira oko vlastite osi s brzinom vrtnje If.
.....,...odrediti potreMRJ""'nstantllil"ffiement kočenja da bi se "aljak zaustavio nakon z punih okretaj •. Koliki je moment potreban za zaustavljanje tankog cilindra istog polumjera j iste mase, ako je debljina stijenke cilindra zanemarivo maJa? U kojem omjeru stoje vremena do punog zaustavljanja ovih tijeJa? Zadano: r=30cm, m=IOOkg, n=1500min-', ;=500".
Rješenje: Af",) =5,625 Nm, M., = 11,25 Nm. ',.,,'/'.' = I.
215
7. Štap dužjne l i mase ln vezan je r ... 'IUOĆU opruge konstante krutosti (' i n~napregnute dužine I prema sllc1 8.41.i, Ako se moment mijenja po zakonu .\1 =k<p3, odrediti kutnu brzinu štap" za položaj <p=9W. Zadano: m=2 kg, lo.0,6m, <=2 Nim, k=O,2 Nm.
Rješenje: w=;6,86s- 1•
m
,;;. ---'-----i ,
m 'P/
Slika 8,·1')
8. Satelitska antena rotira oko osi:: kumom brzinom OJ. a ima oblik polovice t.nkostjene cilindrične ljuske prema slid 8.50, Odrediti komponente kinetičkog momenta prema ishodi~tu sustava x. ::. z, ako je polumjer ljuske r, dužina I i masa ln.
IIlrlw Rješenje: K X =-2-'
n
9. Stap AB mase III i dužine f rotira oko vertikalne osovine zanemarive težine konstantnom kutnom brzinom GO prema slici 851, Stap je u A zglobna vezan za osovinu, a u B pomoću užeta, Odrediti komponente ukupne reakcije u zglobu A te silu u užetu.
z
B
216
mg,
10. Odrediti dopunske. reakcije u osloncima A i B. kojo se javljaju zbog k"ucentrif;Hllh Ulafll m kOJe se nalaze na kružnim pločama polumjera 1" (~L 8.52). Osovina 5: pločama rotira s lJ = J 500 min - I . .
Rješenje: A= -B= -1481 N.
y Slik.1 8.52
I l. Homogeni štap AB oslonjen je na kolica prema slici 8.53. U trenutku kada je q>o=60° sistem je ispušten iz stanja mirovanja. Odrediti brzinu kolica u trenutku kada je '1'=45". Zadano: m,=m,=2kg. I=lm, 11=0,501. Trenje zanemariti.
Rješenje: .. = 1.08 mis.
B
h
Slika 853
12. Valjak se može kotrljati bez klizanja po horizontalnoj podlozi pod djelovanjem konstantne sile F koja djeluje na kraj užeta. U početnom trenutKu valjak je u
217
stanju mirovanja kao 11.1 slici 8.5-1-. Odrediti brzinu težišta valjka u trenutku kada ono dore u položaj A. Zadano: b~0.8m, m=20kg, F~IOON.
Rješenje: vc=; lA86ms- l.
b
" \. .. "'" "', ~"'7"'~~~"'= , "
b /'
F Slik.1 8.54 Slika 8.55
13. Homo!:!eni valjak mase m=8kg i polumjera r=OAm (:sl. 8.55) kotrlja se bez klizanja po horizontalnoj ravnini pod djelovanjem momenta koji je funkcija vreme-na M = ,\10 ' eO,51. Odrediti brzinu težišta valjka u trenutku r = 2 s od početka. gibanju iz stanja mirovanja ako je _Ho =4 ?'m.
Rješenje: cc= 2.864 m.'s.
14. Homogena kružna ploča Idi na glatkoj horizontalnoj ravnini xy. Na ploču djeluje sila F prema slici 8.56. Odrediti brzinu tenšta ; kutnu brzinu ploče u trenutku l = 2 s ako se iznos sile F mijenja s vremenom prema zakonu F = 2l + 2 (F u N. t U s). U trenutku l=O ploča miruje .. Zadano: m=2kg, r=0,5m.
Rješenje: vc= fcx=4 m s -I, (V= 16 :s-I.
y
x Slika 8.56
218
B Slika 8.57
O,Sm
/
.( .
•
15. Homogeni štap mase III i duljine I ispušten je iz stanja mirovanja u prikazanom položaju prema slici 8.57. U t:>čki B štap se oslanja na glatku horizontalnu podlogu. Zadano: 111= 10 kg, 1= l ITI. Odrediti kutno ubrzanje štapa II početnom trenutku. silu u užetu DA i reakciju u B u istom trenutku.
Rjeknje: <=8,829 s-'. FA~35.316 N. FB~71,613 N.
16. Homogeni šlap AB duljine I i mase m miruje u glatkoj horizontalnoj ravnini x, .1'. Točka B šlapa prislonjena je uz glatki zid. U nekom trenutku počinje na štap djelovati sila F prema slici 8.58. Odrediti ubrzanje težištil štapa, kutno ubrzanje štapa i reakciju u B u trenutku kada sila počinje djelovati ako je zadano 111.1_ ct. iF.
6F cos2 ct 12Fcos'X Rješenje: (Ic = (icx
m(l + 3cos2 :x)' e
ml(l +3cos',)
1- 3 cos2 ct. F.=F , .
I +3cos o.:
r
B
B y
A
m,! e x 0
F -;::;?
A
Slika 8.58 Slika 8.59
17. Kotač polumjera r i mase m prema slici 8.59 okreće se oko horizontalne osi AB konstantnom kutnom brzinom (Vl' Osovina AB zanemarive mase okreće se isto\Temeno' oko vertikalne osi konstantnom kutnom brzinom (V2- Odrediti reakcije u ležajima A i B. Pretpostaviti da je sva masa kotača jednoliko raspoređena po obodu. Zadano: m, W I , (V2, r, l.
_ .... ,. ~- ..
18. Mlinski kamen mase m i polumjera r (sl. 8.60) kotrlja se po temeljnoj ploči pomoću ručice 00'=1 koja je II O vezana za vertikalnu osovinu. Pogonski
220
mOlor tjera \'erlikalnu osovinu kutnom brzinom n, koja je ujedno i kuma brzina rotacije ručice OO' oko vertikalne osi z. Odrediti dopunsku reakciju u osloncu O izazivanu giroskopskim momentom. ako je dužina ručice 1 mnogo
l
Slik" g.60
veća od polumjera mlinskog kamena 1', tako da se može primijeniti približna teorija giroskopa. Zadano: III = 500 kg. r = 0,3 m, sl = J s ~ I .
Rješenje: F 0= 75 N (sila na ručicu u O prema dolje).
•
9. SUDARI
9.1. Sudar tijela bez djelovanja .anjskih sila
Pod sudarom razumijeva se kratkotrajni dodir između dva čvrsta tijela, pri kojem se javljaju velike sile na mjestu dodira. Kod realnog sudara mora _se odstupiti od prelposta1"ke da .su tijela idealno kruta, jer su kod sudara elastična i plastična svojstva tijela presudna.
Dva realna čvrsta tijela deformirat će se na mjestu sudara. tako da će stvarni dodir biti li nizu točaka koje oblikuju površinu sudara s tangentom T, koja leži u toj površini, .i nonnalom IV .Is!. 9.1\ Kod opčeg sudara dvaju tijela spojnica između težišta tijela Cl Cl nema nikakav poseban po~ožaj II odnosu na površinu sudara, već je ta spojnica dio općeg pravca II prostoru.
/I
tijelo 1 '. ,tijelo 2
T
Slika 9.1. Sudar izmedu dva tijela masa m, i Ma. Površina sudara s tangenl()n'I T i normalnom N te spojnica među težišlima Cl Cl
Opisivaaje svih pojava kod sudara i postavljanje egzaktne teorije vrlo je složen ·""datak. Također je i eksperimentalno utvrđivanje svih potrebnih parametara za potpuno opisivanje sudara otežano, jcr je vrijeme sudara dvaju realnih tijela obično vrlo kratko. Moguće je, međutim, uz određene pretpostavke odrediti brzine pojedinih točaka na tijelima nakon sudara na jednostavan način, ako je kinematika gibanja prije sudara poznata. Te pretpostavke ne dovode do većih grešaka kod odredivanja brzina, tako da se izračunate brzine po tako pojednostavnjenoj teoriji vrlo dobro slažu sa stvarnim.
221
"
Prva je pretpostavka II pojednostavnjenoj teorijj~ da su sve vanjsk~ sile kOje djeluju na tijela za vrije'rne sudara zanemarivo malene II usporedbi sa silama koje se jaxljaju na površini $udara. ~adalje se pretpostavlja da se na dodirnoj površini javljaju samo sile u pravcu nonnaJe (normalni pritisak} te da nema na povrsini sudara sila trenja. D\'ije pretpostavke več su mnije spomenute: da su tijela čvrskl.i def ... xmabilna, te da je trajanje dodira vrlo maleno.
Prema gornjim pretpost3ykama djeloyal če kod sud<lra na sva.ko tijek) normalne :,ile S kontinuirano raspodijeljene po površini sudam. kojih se djeloYanje može zamijeniti rezultanlOm R.i (sL <.},2), Ako je površina sudara A. bil če iznos rezuhatHč n0nnalnih sila
R,=j SdA. (91 J A
Rezuh.mtna sila Rs mijenja se po iznosu tokom kratkog vremena sudara. Od nule. u početkU sudara, raste joj \Tijednosr do nekog maksimalnog iznosa te zatim pada pono\'no na nulu, kada dodir među tijelima prestaje. Zbog djelovanja sila R) i - Rs promijenit će se gibanje tijela I i 2 5 početnog prije sudara na neko no\'o_ nakon što sudar prestaje.
m,
Slika q.2. !;nutrJšnjc nomw1nc $oi!.: na tijelu na ptwrsini sudara
"Kod općeg sudara d,-,:aju tijela sile Rs i - Rs leže na pravcu koji li odnosu na spojnicu težiŠta CiC,:! ima opći položaj u-:pros{otu. Takav. sudar naziva:se eksc€lltriC!tim.!.SiJe .. R$ i - R~ daJ.ć~JjleJlma n~:)Vu 1r~ns)aciJu i rotaciju oko težišta. le tako
'nastaje nOYQ~!2~mje tij~l.i:l_na~~n_ Sl}9ar<l .. 1S~da: međutim; pravac sihi" Rs i - R$leži za -\lnjemesudara na spojnier težišta Cl(2~ rezultantne sile Utječu na stvaranje nove
. tra-nslaClje tijeIa"oez' d6đalne. rotacije .oko .težišta. Takav je sudar cemričGll. Sile Sud.ar'~,ajaiiju·.samo 'na ~[ranslaCiju. pa_s~ $a.filO~j·q gil,anje kod'centričnog sudara [ ,promatr;l ... KaJ~g je. pq?D<,\to iz dinamike _t~.an~~ctie Jijela~ _gibanjy se u, ,.t~kvom SlučajU svodi na gibanje. čestice. Zato se kod centri"nog sudara uvijek pod razumije
"va da .. se sUaafaJli~d"ije čestice. Ako -s.u,'bmne gihanja takvih čestica prije sudara bili k01inearnr '~ieKt6n~Su(rai nanvamo ra:;1l1ii1-cenifji;111J~. U ~~pro.t~o:in ~ ~u'~ar 1:· kosi.
U inženjerskoj praksl.J}ajč.ešćLsu .ravnij kosi.centrični sudari čestica. Ekscentričrii'sudar'u~prostoruijeđe se javlja" Takav sudar dovodi do općeg gibanja. koje se može prema Chalesovu teoranu promatrati sastavljeno od translacije s težištem i srernog gibanja oko težišta. Posebni slučajevi ekscentričnih sudara, kod kojih dolazi do sudara čestice j tijela koje može samo rotirati oko nepomične osi ili sudara dvaju
222
tijela koja rotiraju oko nepomičnih osi češći su li praksi. U narednim izlaganjima pobliže će biti opisan centrični suda:. sudar čestice i tiJela ~oje rotira oko nepomične osi, te sudar dvaju tijela koja fmiraju oko parale)mh OSi.
9.2. Centrični sudar
Gibaiu li se: dvije čestice masa Ill: i ml ncp\.;$redno prije sudara brzinama Vl i,,::" kojih sc: pravci sije-ku .. (sl. .9.3) P?d kutom x!.':' ~l'. doci će'?O ~os~g sudar~. P,-:d djelovanjem unutrašnjih sda Rf l - Rx pronll.1'emt ce se brzme cestIca. tako. da ce neposred n!) nakon sudara č~.~tjca l;:! l-";lati .brzin~ ~l pod ku.tom .PI ._.~ čest~ca ~112 brzinu Cl pod kutom {J2 'prema tanf;'mi na pm ršinu sudara. Tik prIje 5u~ara cestlce se u 'pr~\"C~_,!1_Qnnate približavaju. ~;,1, n~posredno nakon ~udard dolazI II p~avcu normale do njihoya udaljavanj;[ Za vrijeme $udara "esttee su II kratkotrajnom dodiru. kod kojega se nizHkuju-llV;:l-per"ioda: period' kl"Hrakdj{'l period res1ilUcijc,
N
T
5./ o v, Slik'19 .. <. Kosi CCl1lri~ni sudar
U periodu, ~~!1trakcije česti.ce S~ zbog.sila.!!.~ At?_<!~~.!!.?J. ~o.~~šinj s~e. viš~_det?m:t~.~.~· tako da im se težišta približavaju(kontriiliClja J. Za vnJeme tog penOcla~kojl \raJe aa ne~.Qg počeJuP8 trenut~a ,to (j9 . .tr~nutka ~l')' ~illa ~~$ na ce~ite~ništc oanule do ~e~?g maksimalnog iznosa {s.L?A). U tre!'."tk~lleZ!~:i<'stlc~~e.~u?QbDO su naJbhza. Period restj~\lci.i<: traj~ .. od trenutka r, do trenutKa l"~ .. da, cestlee gube kOD~kt.. U tom p"'?ri.(j(j,~,,~~Eilll~j~~'~ Rs~~~tt...9g !.~~os~_n~ ~Il!-!lu~. ~T4~f<,?!!,!~~~J~_~.~ca djelomično .h potpuno iščezavaju (restilUCIja!. lJ !':.e-'.'utku r, cestlee se uprav~u normiiiCgf6a]ii jedniik!morZ,n'ama C~- ~ -~""--,' "
~.Komponenta z<!~Q..lli'_!oli~jne, gi!?~apja u pravcu normale napisana za obje čestice daje za period kontrakeiie lo dO.1,jednadŽbe .. __ ...."'.-,. . ~,. .-.-.~ '- -. ,
" m,cN + 11I1L' l sin (;(1 = J R~dt =1 k (9.2)
'" '.
I1l l CN- m2f2 sin !ll = - J R"dt;;;;:;: -ll<:' (9.3) , ..
223
Slično se dobiva za period restitucije l! do 12:
" mje, s.inflt - m'''N= J Rsdc=lr
'. "
1Il2.('Z sin#]. - rH1C:-:= - j R",dt = Ir
eriod 0[1: rc cije
'.
t, t l Cl l ml (3,
er-ioel restitucije
Slika 9...1.. Promjena s.ile R~ u vn::menu t la vrijeme p1:riodu kontrakcije i restitucije
(9.4 )
(9.5)
sile Rs II periodima kontrakcije i jij.alno' eJ"slič·
--,~-----,---'~' . I r= k1 tt.1 (9.6)
.----. gdje je k ~o .. ficijenl restitucije. Očito je da za k mora vrijedili" relacija . . _. . ... ~....' ~, . . ~ - . . -, . . '..
O;'i;k~.L (9.1)
~par idealno elastičnih. tijeja. bit. će k ~ l (potpunoe!as
sudara na normalu predstavlja zapravo relativnu brzinu udalja\>anja čestica II
pravcu nonnale nakon sud.:ua. U nazivniku je zbroj projekcija brzina prlje sud,.tra na normalu. što je prema slici 9 . .\ brzina kojom se česlice relaliYno približavaju po pravcu normale. gp~e,f!i!9,J::e" vrijediti da je koeficijt'1H reslilw:ije omjer reimhu' br:i!lf! uda{iolUwja i:L's(icCI nakon "'1!dt/nI, i br::i::~.p'rib1i:;,w(lllj(l prije sudam yiedm!q. It pi'~IZ:C'.~. l1()I'Wl1!e:
I!.udući da za vrijeme sudara na čestice djeluju, prema pretposluyci, samu unutrfišnje sile R;< i - Rs •. prema zakonu' količine gibanja za sustav čt.."Stica nap:,sanom za 'period '10 do II bit č\!
fB!2 2:'BiV=O, (t}.91
što znači da je suma količina gibanja čestica prije i pO!'-iije sud~tra jednaka. Skal::j'n~l Konr!lmie-luifjednadžtre-(9~")napj$ana za pmvac norm"le za sudar pre"", slici '9.3
daje jednadžbu ' ....
mlclsinfJl-llJ:!c2sinf3~ ( J1!lr\sin1.!'1'"mlI'1sinx2)=O. (910)
Slično se dobiva jednadžba za prayac tangente
lIlIC, COSPl + lUle;! cos ,12 (ml!' I COS Xt + "'2t'~ cos X:d =0 (9.11 )
odnosno
ml {t'] cos (Jt - rl COS.hI) + lill (e.'! cos /12 - 1'2 cos:)!:.: }=O.
Rečeno je da u tangencijalnom pravcu nema sila nil česti~e. P~ n.e '!lože biti ni . promj6~~' ~<?rn'ponena!.~ ~r~~~a~ij~fblrr .. r'~a'vću, Zat0-·s\,aka··od zagrada u Izrazu (9.121 mora it, Jednaka null, lako da Je
CI cosf3J =r1 COS 'll
C2 cos P2 = t:2 cos ~::! •
(9.13)
(9.14)
Izrazi (9.8). (9,10), (9,13) i (9,14) daju četiri jednadžbe iz kojih se uz zodani koeficijent restitucije i zadane vektore brzina prije sudara mObU odrediti čelir~ nepoznanice vezane uz brzine nakon sudara. To su iznosi brzina Cl i c2 te kutovi JJ, I
P2' Ni jedan od spomenutih izraza ne predstavlja za rješavanje zadataka gotove formule. Kod svakog zadatka, ovisno o uvjetima pod kojima se sudar odvija, treba te izraze ponovno postaviti. a to su:
- izraz za koeficijent restitucije - komponenta zakona količine gibanja u pravcu normale - jednakost tangendj.lnih komponenata brzina svake česlice prije j poslije
sudara,
Kod sudara realnih tijela dolazi uvijek do gubitk"~J(jnetičke energije, jcr di'č.!" ene~e1azl II rad trt\]nog aefonmra~nla tl)Cfa u okolišu površine suoara;a di~ u toy-linsku energ!.i"..zEE.g_!.'!'!'!a između mOleKula '!Jl1Jta~_riiaiiffifaTa.-Targubltak
Kinetičke energije Iznosi - -- . --.. ~-- .. -- IE". (9.15)-"
(9.16)
226
Brzine CI i Cl izračunate iz ranije spomenutih izraza uvrštene II (9.16) daju nakon srcđenja
AE _1(1 1-2:)( l J1t11J11 ,-:; -, ",-{',J ---o (9.171 - ml +1112
Vidi se ~a je gubitak kjn~:ičke __ energije_najvećLkada je k=O (potpuno plastični suda!),_ Kod _p~tpuno e.lastlcnpg ,s?dara (k = II nema gubitka kinetičlw eiierg~ realn?m _ slucaj.':' .to ne~ce .~astupl~l, Jer se, kako je rečeno, dio početne kinetičke ~.~e~~_!Je _!~dne.1 d.fUge cesltce trošI na trajnu deformaciju, toplinu i 'vi~nicije 'čestica tlJela ._kQ.lč .traJ!.!. l nak_on -s.~d~.~_ Zato kod realnog sudara uvijek postoji gubirak kme{jcke energIJe. il koefiC!Jent restitucije nikada ne može biti jednak jedinici.
Poseban slučaj cenU:ičnog sudara jesl rat'lIi Hi dir{/km! celIlritlli sudar. Do takva :udara ~olazi ~ada S.U brz}~~ :VJ._L~·1 čestica 111. i ml Jirije sudara kolineatni veKlOrL ~1~.7.n.a.c! d~ l~ze na ~stom pravc!;JS!_: __ ?_._~) .... S~jer br~ina može kod loga biti isti (sl: },)al III sup~o~an (~I_:_9-5l?J t\k~ J.e Sl~!SaO brlIna 0blh čestića jetlnak, očito je"da do
ml m,
O ;;; G v, .. .....!:!. a)
m, m,
O V; v, G N bl
Sitka 9.5. IC\vni c.:-nl(i~ni ,;udar
s~dar~_mo~e,_90~~~~~~~_t~ da je_,l;1 >vz. Nonnala na sudar ujednoj~j . .,prava.c ~lbanja. ob,I~.~~sttca.'_~ u"svlm lzrazll!l~ ~oji 's~'napisani za opci kosi sudar kutovi lXl 1.~':XZ' [~ PIJ P-l !znos~ 9.9:o._r?~t~~~k rJes~vanJa ~d~l_~~a-r.~~J;lOg suda~~ _~_e razlikuje ~(,; o~ -anue __ oplsanog za ~OSl..D lZrazu za k~e,fic1Je~~ re~t.itucije dolaze brzine poslije l, p:lje s~dar~ u_ pU,nol1).Jz~osu. ?;ak?n k~I_I.člne gl~anj~ ima samo komponentu II "mjeru gibanja ceslica, a tangencIJalnIh kompon-enu brz103 nema,
. -._---_._-----_._- ,~---- .. -'--~.--.~.-
Primjer 9. I
D,v!je jednake ~estice sudaraju se pod uvjetima prikazanim na slici 9.6a, Odrediti ~~ktore brztn~l nakon s~dara i gubitak kinetičke energije, ako je zadano: r, =4ms ,v,=6ms , a,=60·. 111=0,1 kg, k=O.6.
~ . Koeficijent restitucije jest omjer brzine udaljavanja prema brzini približavanja .:cstlca u pravcu normale, pa je
k Cl sin PI + c2 sin pz
t'l + Vl sin 1X2 a)
Komponenta zakona količine gibanja u pravcu normale napisana za sustav čestica daje jednadžbu
bl
15* 227
U pravcu tangente brzina svake čestice ostaje nepromijenjena, tako da je
c, cos p, =0
v2 cos %2=C2 COS{J2'
N N
Y, c,
{J,
r
2
al bl
cl
dl
Ako je brzina čestice l nakon su~ara r~zličita o~ n,ule. ~.ora prema jednadžb.i:) bit j cos/J =0 odnosno fll =90-:', Čestica l giba se prtje l poslije ,~udara po nonnah.Jer ne post~ji nikakav impuls koji bi čestici ~ao br~inu u tangencIjalnom pravcu. Preostale tri jednadžbe daju o\"a rješenja za brzine CI I c2 te kut P2:
c, =i [ -V, (1- k)+ r, (l + kl sin a,]
cos {J,
!an
Nakon U\:rštenja zadanih vrijednosti i izračunavanja bit će
(\ =31357ms- 1
c,=3.6'17ms-'
P,=35.754' ,
Gubitak kinetičke energije jednak je lazlici kinetičkih energ;ja prije i poslije sudara, tako da je
mt~ nu:i (mei m~) fiE =-+-- -+-, 2 2 2 2
odnosno
228
~ j! ~ 1 , , ,l
!
"
Primjer 9.2
Autobus mase ml i osobni automobil mase m2 (st 9.7) sudaraju se rrontalno. Oha vozila imala su prije sudara iste iznose brzina v, =v, =80 km/h. Pod pretpostavkom da su vozila nakon sudara ostaja zakvačena i s kotačima na istom pravcu kao i prije sudara odrediti zajednIčku brzinu e nakon sudara. Načj prosječne iznose sifa na čovjeka mase m u autobusu i onoga u osobnom automobilu, ako je sudar trajao 111 sekundi. Zadano; ill, =5000 kg, m,= 1000 kg, m=80kg. fit=Q.5s.
v, -Slika 9.7. front-utni sudur vozila
Prema uvjetima pod kojim su se sudarila vozila sudar je bio ravni centrični, i to potpuno plastični. Koeficijent restitucije jednak je nuli, jer je nakon sudara brzina zajednička, Nema relativnog udaljavanja, Zakon količine gibanja daje jednadžbu
C(IIII + m2 ) - (ml rl - fIl1L'21=O,
odakle slijedi zajednička brzina nakon sudara
ml + m:! 53J km/h J 4,815 m/s.
Oba vozila gibaju se izračun.tom brzinom II smjeru prvobitnog gibanj. autobusa, što znači da je autobus samo smanjio brzinu s 80 km/h na 53,3 km/h, dok je osobno vozilo promijenilo i smjer gibanja. Prema slici 9.8 ubrzanja al i a1 autobusa i osobnog vozila imaju prosječne apsolutne iznose:
fl-C al =--= 14.815 m/sl
fit
t"l+C 0,=--=74,1 m/s'.
111
v
Slika 9.8. Dijagram promjene brzina aUiobusa i "2 osobnog automohila za vrijeme sudara
t
automobH
229
',',
'."'
tako da su sile na čovjeka u autobusu. odnosno u osobnom automobilu
FI = III tl I = 1,185 kN
F2 =1/1(/2 = 5,928 kN.
D'Alembertova sila na čovjeka u autobusu djeluje u smjeru vožnje autobusa, dok u osobnom automobilu ta sila djeluje suprotno i po iznosu je pet puta veća.
9.3. Udar čestice o nepomični zid
Ko~ naleta čestice mase ln pod nekim kutom ::c na nepomični zid (si. 9,9) sudar se, može odrediti jednaka kao i kod koso g centričnog. sudara dviju čestica. Masa nepomičnog zida praktički je beskonačno velika (ml =:x. J. a brzina prije sudara
. jednaka je nuli (VI ~O). Ako se zakon količine gibanja (9.10) napisan u pravcu
normale podUeli s ml Si~P_L.~ .~~_~.~~~~~e
(9.18)
T
N m Slika 9.9. Udar čestice o nepomični zid
UJom izrazu skladno sa slikom 9.6 bit će C2=C, P2=P, l'2=V i 1l"2=1l· Nadalje je omjer m
2/m l jednak nuli, a k~ko je i VI =0, to j~
(9.19)
1=0 značj, ~a jednadžba koja s~~ 90bije p~~al?jem komponente zakona količine gibanja . u .pravcu n00ii8..le POKaZUje da nepomični zid i nakon sU.~~ra. 9$~aje nepomičan, ~ko' da'o~~t !~~4nad~~ ... ~~.d .. rj~~ay.~n j{LZ_a..da,taka _ nemamo. koristi.
Dva izraza pomqću kojih se rješavaju p~qblemi sudara čestice i nepomičnog zida jesu i~~ai. za koei1cijent restit~cije .te jed,nakost tangencijainih komponenata _ ~I3!~a_ če~~~.t_~_PQ~I.ij~ ,~.u.Q.~1~~~9.~~i .. ~~ se ... k.~Jicije~t restitucije ov?je svodi na
.~.~~jer crzma čestice poslije i prije s~dara u pravcu normale_ to ta dva lZI'a~ glase:
C sin f3 k~-- ,(2.20).
V sin II
vcosll"=ccosf3. (9.21 )
Dijeljenjem tih jednadžbi dobiva se izraz za kut p pod kojim će se čestica gibati nakon sudara:
tanp~k tana. (9.22)
230
1
a uz pomoć da je cosfJ= I ./1+ lan! {J slijedi iz (9.21) brzina e nakon sudara:
__ ~'j~~.}~ da )~ _.~~~d .potPUlll) ~lasličllog sudara .. (k = l) kut jj pod kojim se čestica ~_~.,?I}~. od zl~_a Jednak k_~tu =x pod kojim čestica udara o zi4 . .-C,lOm su sluČciju brzine PflJ~. I .r0:hJ~ sudar~ Jednake. __ .~\~o je sudar. potpuno plJstičan .. (f;;-ur,-nema l)dblJanJJ cestice od Zl~~ (/1=0), već čestica nakon sudara klizi po zidu' tangencijal-' Ilom kOlllponen(~)m .. ~r.?me ('= l! cos 7.
Kinetička energija kojJ se gubi kod sudara iznosi
ŠIO uz romoć izrJza (9.231 daje
mL"~ III cl !!.E,~--·-
2 2' (9.24)
(9.25)
U .. ~I.~~~.(u . .p~tl?~no .ela~~~čno~ s~da~a ne~a ~~bitka kine.ti~.~e energije: Ll El( = O~_ K9~. potP~~o )lasučno~ su.d.ara b.lt.ce .1E .. :::::;.m (t: sg~ ,:cl/?: Kod .takva sudara dio kinetičk~. en.erglje zbo~. normalne komponente brzine V sin ~ prelazi u"drugi 6blik~ 'iiko'aa kmetJčka e~er~lJa nakon potpuno plastičnog sudara ovisi samo o tangencijalnoj ko.mp·onent!, lj. E\i.=m (rcos-:c)2/2.
Primjer 9.3
Čestica udara o dva nepomična zida nakon čega ima brzinu c., (sl. 9.10). Odrediti vektor brzine Cl' ako je koeficijent restitucije kod oba sudara k =0,8. IC
ako je l=45" i 1'=60=. Brzina čestice prije prvog sudara iznosi l'= IOms Pretpostaviti da se čestica nakon prvog sudara pravocrtno giba do kosog zida
Slika 9.10. Udar čestice o dva nepomična zida
Nakon prvog sudara čestica ima brzinu CI pod kutom PI prema horizontalnom zidu. Obje veličine određene su izrazima (9.22) i (9.23). tako da je
tan/JI ~k tan a /
CI =vJcos2 0:+ e sin2 a:. ,...J ,/
231
Uz zadane vrijednosti dobiva se iz gornjih izraz"
c,~9,055"'S '
/1, 38,66.
Brzina c, početna je brzina kod drugog sudara, a česlku dolijeće do kosog zida pod kutom ", ~ y- /J, ~2L34·. Nakon drugog sudara bit ce
laojl,=k '.0(';-/1,)
Drugi je $udar Ologuć sam? ako ~e t':> Pl' štO je u h."\m zadatku ispunjeno, !"akon izračun~Y;mja slijedI za brZinU Cl I kut Pl da su
r,=8,837m'-'
(I, = 17.357' .
Primjer 9.4
Koeficijenl reo;;ti{ucije može se odrediti na taj način da se kuglica mase tn ispusti s visine I, da sl0b~dno pada na ravnu nepomičnu podlo~u beskonačne ma,:" (sl. 9. J II. I, izmjerenog Hemena, koje je ~otrebno d~ s. ku!!!,ca .nakon nl~a odblJanJ~ potpuno umiri. dobiva $e "j~računa\"~nJe.'!l ko~tictJent reStitucIJe, Odred~tl ural ck,OJ~l daje odnos između koeficijenta reslltUclJe k I vremena T potrebnog da se kuohcif
umiri. m
h
rf "\ tl ,o' , , , , '- ~
t /
Slika 9.11, Slobodni pad kuglice na ravnu PQdlogu
Kod prvog udara kuglice o podlogu brzina prije udara iznosi
v=J2gh.
BuduCi da je sudar ravan (kut ~=90'), koeficijent je restitucije k=c!v, tako da je brzina nakon prvog sudara kuglice i podloge
c=ku.
" Zbog te brzine čestica će doseći visinu hl =c'/2g, pa je
'. c=J'jgh l · ,
232
. '
Koeficijent restitucije prema lome je
k= Ih., {h'
P~prijcđc čestica za vrijeme 1=.ji'hiiJ, dok Je za III potrebno vnjerne II =· .. /::'I:,/g. Ukupno vri,'eme 10 od početka padanja do kraja prvog odskoka kuglice jeste
II kako je Jh; = k.ji, .'.' je
T,.= i2h{l+k). ..J-;; Slično se dobiva za vrijeme koje protekne od početka drugog padanja $ visine lt, do umirivanja čestice nakon drugog odskoka na visinu h].:
r~h Jn T, f'+{'=I-I(I+kl ~k(l,d,. • " B g
Za treći ciklus potrebno vrijeme iznosi:
T,= f!2(1+k)=j2h k'(I+k). 'i g g
Teorijski postoji beskonačan broj takvih ciklusa sa $ve manjim vremCniOHl. Ukupno vrijeme do urnirivanja je5le
T=1(,+T,+T,+ ....
odnosno
T= ff(l +k)(l +k+k'+ .. ). \: g
Drug~ je zagrada na desnoj SITani geometrijski red u kojem je O < k < l. Suma tog reda Jest konačni brOJ 1/(1 - k), tako da je ukupno vrijeme do zaustavljanja čestice konačna veličina s iznosom
IH f2h. J - ;jfi
Koeficijent restitucije k dobiva se iz gornjeg izraza. te rješenje zadatka glasi
T-fi
233
9.4. Sudar čestice i rotirajućeg tijela
:.fa slici 9, II prika:nn je oPĆi sudar čestice mase ml i tijela mase 1Il1 koje rotira oko osi OO' prije sudara kulnom brzinom ((). Moment tromosti tijela prema osi rotacije jest fiz, Kod takva sudara čestica udara o tijelo u točki A brzinom Vl kOja u odnosu na os rotacije leži općenito u prostoru. Uz koordinatni sustav x. y, z II točki A koji je takav da je os rotacije paralelna s osi.z k .. 'lličina gibanja čestice Bt =m) VI
ima jednu komponentu paralelnu s osi rOladje j dvije koje su II ravnini okomitoj na tu os, Komponenta koja je paralelna s (')~i rotacijI? izazvat će u trenutku sudara dopunsku reakciju II aksijalnom smjeru II osloncu B'. Preostale dvije komponente također će izazvati dop:m;ilke reakcije tl mjQncima. ali u radijalnom smjeru, Pored toga te dvije kOn1ponen~c djelovat će na promjenu rotacije tijela. ,
v, A N
z Slib 9.12. Opel sudur čeSI ice" i lij.:la koje rotira Slika <1,13, Ravni ckscentrieni SUd<lT čc:-;tice i
tijda koje r(llira
Takav opći sudar čestice i tijela rijedak je u inženjerskoj praksi. Za praksu je važ,,;ji poseban slučaj kod kojega dolazi do sudara čestice i tijela II obliku r~vne ploče koja rotira oko ovjesišta O~ i koja ima moment tromostI oko 051 rotaCije [Jo (sL 9.13). Na zbivanja kod takva sudara utječe samo nonnalna komponenta količine gibanja čestice, dok tangencijalna ostaje prema pretpostavkama o sudaru nepromijenjena. Kada se brzina čestice prije sudara poklapa po pravcu ~ nonnalom N. sudar je ravan, a ako težište e nije na nonuali. tada je i ekscentričan. U daljnjem tekstu bit će govora sa.mo o ravnom sudaru čcstice i tijela, koji je prikazan na slici 9.13, jer se kosi sudar praktički uvijek može svesti na ravni, promatranjem samo normalne komponente brzine.
Osnovni zakon koji se primjenjuje kod tumačenja sudara čestice i tijela jest zakon kinetičkog momenta. koji napisan u integralnom obliku za os oko koje tijelo rotira (točka O na slici 9.13) glasi:
" (Koh-(KQ },,= f M.dr. (9.26)
Ovdje je (Koh kinetički moment tijela i čestiee nakon sudara (trenutak 1,1 a (Kolo zbroj kinetičkih momenata čestice i tijela neposredno prije sudara (trenutak .. ). Pod pretpostavkom da se i ovdje zanemaruje djelovanje vanjskih sila bit će njihov moment Mo oko osi rotacije jednak nuli. pa jednadžba (9.26) poprima oblik
(Koh-(Kolo=O. (9.27)
234
. I
. ~'.
Ako je nakon sudara brzina čestice Cl ~ a kutna brzina tijela a, gornja jednadžba napisana sa svim pribrojnicima glasi
(9.28)
To je prva jednadžba pomoću koje se rješavaju problemi sudara čestice i tijela koje rotira prema slici 9, l3. Kada su gibanja čestice i tijela prije sudara poznali. ti toj jednadžbi su samo dvije nepoznanice: CI j Q,
Druga jednadžba dobiva se postavljanjem izraza za koeficijent restitUcije, slič-no kao što je lo izvedeno kod sudara čestica. Na kraju perioda kontrakcije čestica se u pravcu nonnale giba 7..3.jedno s točkom A. Komponenta brzine točke A u pra\'cu normale u tom trenutku (t,) jednaka je umnošku duljine I (sl. 9.13) i odgovor.juče kutne brzine tijela (J:l. Za period kontrakcije bit će T.akoni kinetičkog moO)el11a čestice i tijela
" mI Cl/12 -m l r j := - J Rs/dr= IJJ,;
'"
" Slično vrijedi i za period restitucije:
" m j c j l-m1(JJ'12= - J R,Jdt IIr
" 'JoQ- 17ow'= J R,Idr=Il,.
'. Buduć; da se i ovdje može primijeniti Newtonova hipoteza, po kojoj je
. jednadžbi (9.29) i (9.31 J, odnosno (9.30) i (9.32) dobivamo:
(mIm'P - ml VIJ) k= nl1c11- mIw'll
('Jaw' - O'ow) k ='JoO- g;,,,,,. što daje izraz za koeficijent restitucije
QIk=---; v,
(9.29)
(9.30)
(9.31 )
(9.32)
kI" to iz
(9.33)
(9.34)
Koeficijent restitucije jest, dakle. kod takva sudara relativna brzina udaljavanja kroz relativna brzina približavanja li pravcu normale čestice i točke A tijela.
Pomoću jednadžbe (9.28) i izraza (9.34) rješavaju se zadaci suđara čestice i rotirajućeg tijela, kada se sudar odvija prema slici 9.13. Te izraze ne trebe shvatiti kao univerzalne formule već ih kao i kod sudara dviju čestica treba kod svakog zadatka postaviti prema uvjetima pod kojima se sudar odvija.
Kinetička energija prije sudara sastoji se od kinetičke energije ćestice i kinetičke energije rotirajućeg tijela. Nakon sudara koji nije potpuno elastični (realni sudar) doći će do njezina smanjenja. To smanjenje kinetičke energije iznosi
t.E. = ml';: + :70w' _ mIC; _ :700'. 2 222
(9.35)
235
Samo u idealno elastičnom sudaru jest /j.E" = O. Kod realnih tijela, kako je rečeno. dio početne kinetičke eneLgije troši se na plastičnu deformaciju tijela i toplinu stvorenu trenjem među molekulama tijela i čestice.
Poseban problem kod takvih sudara jest udarn(l sila II osloncu O tijela. Za vrijeme kratkotrajnog djelovanja sile Rs u točki A pojavit će se dopunska sila u osloncu Fo (sl. 9.14), koja zbog kratkog trajanja sudara djeluje kao udar u osloncu.
y
x
iisltl
Slika 9.1-1. Sile na rotirajuće tijelo kod sud;lra s česticom
Silu F o' koja je proc1jenljiva tokom perioda vremena ro do 12 , nije moguće odrediti bez poznavanja promjene sile Rs. Zato se djelovanje dopunske sile u osloncu analizira pr{'ko impulsa lo koji se u osloncu javlja unutar vremena sudara. Primijeni li se zakon količine gibanja za sustav čestica (7.21), bit će
II r:
B, - Bo = J R, dr + J F o dr. (9.36) lO Ir,
Količina gibanja ovdje je jednaka masi m2 tijela koje rotira pomnoženoj s brzinom težišta vc. Prvi integral na desnoj strani jednak je impulsu I .... u točki .4. kojega se iznos može izračunati iz zbroja jednadžbi (9.29) i (9.31) ili (9.30) i (9.32), te je
(9.37)
" Drugi integral jednak je impulsu lo u osloncu, pa se iz (9.36) dobiva
(9.38)
odnosno
(9.39)
Brzine težišta prije i poslije sudara izračunaVaju se pomoću pripadnih kUlnih brzina, tj. vc.=bQ i "c =bw. Kada je težište na osi)" jednadžba (9.39) je skalama. jer su svi vektori paralelni s osi x. Dopunske reakcije II osloncu neće biti kada je njezin
236
.,
impuls jednak nuli. oslonac O glasi
pa uvjet da se za vrijeme sudara ne prenosi nikakva sila na
10=0. (9.401
Iz tog uvjeta može se izračun'ati položaj točke A takav da kod udara čestice ne dođe do pm·ećanja reakcije u osloncu O. Pripadna točka B na osi y zove se centar udara.
Primjer 9.5
Pocetna brzina zrml ispalje.lOg iz oruđa jednostilvno se može izmjeriti pomoću balislickog njihala (sL 9.15). ,;·rno mase IIII zabija se početnom brzinom rl u miruju(-c njihalo ((1)=0) izaust;;!; lja se II točki B. Zbog djelovanja impulsa u točki A doći (-c do rotacije njihala kutn',ml brzinom Q i do otklona ({J. kod kojega njihalo staje. Izračunati pocetnu brzinu zrna l·1 ako je io polumjer tromosti njihala prema osi kroz O. Na kojoj udaljenosti lo od oslonca O treba ispalili zrno da II osloncu ne dođe do udara·? Zadano: 1111 =5 kg, ml = 1000 kg, 1= 10 m. b=5 m, io=6m, cp=60·
m, A
;
'S
b
,-_-+ __ ...s-m2' I~
Slika 1}.15. Balislicko njih;!!o
Kinetički moment prema točki O ostaje za sustav zrno-njihalo prije i poslije udara zrna II njihalo nepromijenjen. tako da je
IIllcll +Q'o Q- 1111 t·11 = O.
Zrno se poslije sudara giba zajedno s njihalom i Ima brzinu ('I =IQ, pa će uz go=m2i~ biti
odnosno
( ""i5) r, =IQ 1+--, . 111 1/-
Kinetička energija njihala i zrna nakon sudara prema zakonu Održanja mehaničke energije prelazi u potencijalnu energiju položaja određenog kutom <p. Prema tome je
fl. Q2 1111C2
_0 __ + __ ' = ""gl(l-cos 'P)+"',gb(l-cos 'P). ~ 2 -
237
Ovdj~ je ponovno (', =IQ. pa iz gornje jednadzbe slijedi za kutnu brzinu njihala nakon sudara izraz
Q= 1;~-~~;I-,-i~~~~2~T(1 ~~~~S!p~, \ m,I-+m~Fu-
sto trrr:;leno tl izraz za brzinu CI daje
r = I (1 + 1~12i~) /:'11 ~:~!.!l~J.:h!_i_~-=-~~_!!" I " m/l \J" J!l112+m2i~
Li': zadane vrijednosti Intžena brzin .. il!lOSi
rl =S.50,5ms- 1,
Prema izrazu (9.39) i (9.371 dobiva se za impub u točki O {jedna ;,;kalarml jednadžba I:
Dopnn~ke reakcije u O$lon<:\1 O nete biti ako 5e zrno ispali na udaljeno:'li Jn od oslonca uz koju je lo;;; O. ili
<Jo ' 1112 Qb--Q=u.
lo
.Kako jc flo;;;;; Inzifj, lo se iz gornje jednadžbe dobiva Za udaljenost centra udara od (\SI()nC~l
$1O L1l. zadane vrijednosti daje
9.5. Sudar rotirajućih tijela
Kod raZ'1l:3tranja sudara izmedu dva rotirajuća tijela y.rije~e iste pretpostavke kao' i kod suda-i~Cuvil~te'stical1i ~~daia-Iedne čestice- s tijeIonl koje rotira. Te pretposta-vke odnose se na-utjecaj' vanjskih sila na zbi\'anja za vrijeme sudara. Zbog '\'rlo yelikih sHa na mjestu sudara izmoou dva tijela djelovanje je \'anjskib sila zanemarivo. Nadalje se ni utjecaj sila rrenja na površini sudara ne uZlma u obzir, tako da su za zbivanja kod sudara dvaju rotirajućih tijela mjerodavne samo nonnalne sile koje se javljaju na povrsini sudara. i koje djeluju za vrijeme sudara kako na jedno tako i na drugo tijelo. Pod djelovanjem tih sija mijenjaju se gibanja tijela. -Kt,l~ne, brz.ine~.jednog,L.9.rEg~g tij~!~ ... ~~j~._.~l!.J?ile PIije ,sud~a ';LJ wz> primijenit će se na noye vrijednosti: !ll i Q2' U daljnjem tumačenju bit ce Izneseno
'kako se određuju kutrie15fžiiie'ii"iikoIl š-udara. te kolika je promjena kinetičke eneflziJe :za dva tijela koja rotiraju oko paralelnih osi. Opći slučaj takva sudara prikazan je na slici 9.16, na kojoj za tijefa l i 2 osi rotacije prota ze kroz OI j O2 i okomite su na ravninu crteža, Pretpostavljeno je da su kutne brzine prije sudara istog smjera.
238
'"I ,,,',"</fl
Jr.
'~I Z,L rrijeme sudara javljaju se nlo velike normalne sije na površini sudara. Te sile mijt!njaju SI!' s vremenom jednako kao i kod sudara čestica. U pr:riodu kontrakcije (rll do ll) sile rast:.. od nule do maksimalnog iznosa, a zatim se u :1criodu restitucije {I t do l] J :smanjuju i tl trenutku 12 potpuno nestaju, Na slici 9.17 :);.tcrlane su te sik kako djeluju na oba tijela u trenutku tl; kada su kutne br line tijda m; i w';. U lom fn:nutku kt'mponcnl.t' brzina točaka Aj j A:J, u pravcu normale jl'dnakc su i iznose e, =1,('J; =:;0;> tako da 5U tada kutne brzine mčdtl~obno kincmutčki vaanc.
A'
I T
'J, sm.;19.!(., St;d~r tijda kOla ro!iraju ,lk" P;l(,lldnil:. o~i -,; l..u!llim brzin;lllla (',; I ('~
u trenutku lu
Slika 9.17. Djelovanje unulrašnje ;ill\! na mje~lu wd,:r;l i ku Ine: hojne ("; i ."J 11 IrCI\UIlw /,
Za Određivanje kutnih brzina Q I j !ll nakon sudara potrehnc su nam dvije jednadžbe. One slijede iz zakona kinetičkog momenta koji se u i!ltcgrainoJl1 obliku moze napisali za svako tijelo. Prema slici 9.17 bit će Za period kontrakcije
" g,,,,; -g,,,,, = - J R,I, dr = -1,1, (9,421
'" " g,,";-(-g,w,l= j R,I,dl:l,l,. (9.431
O\dje je pretpostavljeno da će za vrijeme perioda kOntf'dkcije tijelo 2 pr0mijeniti smjer rOlacije, Očito je da uz kutne brzine prije sudara. kao na slid 9.16. mora jedno od tijda promijeniti smjer rotacije~ jer se točke A L i A2 koje su u dodiru gibaju u trenutku 'l istom brzinQm. Ako tijela nakon sudara rotiraju kao ŠIO je to prikazano na slici 9.18. bit će za period restitucije
" Q"1!l1 -gl(:)~ = - J Rsl. dt= -ljIt (9,44)
" " g,Q,-g,wi= J R,I,dt=l,l" (9A51
"
239
ZbrJ.ianjem izrala (9.~2) i .9.441. odnosno (9.43) i (9.45) dolliva se
fl,a,-il,u"
'J/J",! flzW2
l, (l,+I,l~ -1,1
(1,+1,1=1,1.
2 Jz
.................... !!} . [,.o,
(9.46)
(9.471
SVJka od dobivenih .kJnadŽbi zapravo je zakon kinetičkog rnomenl<l tijehl napisan za $\'oju os r\,.~t;'lcjje. \";Jl $ć da je razlika kinetičkih momenata nakon j pri'c sudara jednaka momentu ill",;,ulsa sile Rs koja djeluje n;')' tijelo za vrijeme sud.:~:l, Obje jednadžbe t1\l'lgU se $0'jiti II jednu, tako da je
(9.481
Da bi S~ odredile kutne brzine nakon sudara, potreban nam je još jedan izraz. To':e biti izraz za koe:kijeol restitucije. Vidjeli smo ranije da su prema NC\\'lono\'oj hipotezi impulsi I .. i l: vezani izrazom
kl,. (9.491
gdj~ je k koeficijent r.:stitudje. Pomnoži li se Hje\"a strana izraza (9.42) s 1,;, bit če ona identična s 1ije\'C'Im stranom izraza (9.44). To vrijedi i za lijeve strane izraza (9.43) i (9.45), p. je
lil,,,,, -il,,,,,) k =[/,Q, - fl,w;
(il,,,,, + [/''''') k=[/,O: - g,w,. (9.50)
(9.51 )
Kako je (Iro; :;;:::Iz(:]j. 1<.) se iz gornjih jednakosti dobiva za koeficijent restirucije
k_I,O, l,!.!,. It O)I + 1:.(.02
(9.52)
U brojnilcu tog izraza 1,0, i I,a, su komponente brzina točaka A, i A, ti pravcu normale nakon sudara. dok su u nazivniku te iste komponente. "samO prije: sudara. Koeficijent restitucije. prema tome, ponovno se može izraz~ti istim riječima kao i u ranijim slučajevima. da je to omjer relativnih brzina čestica tijeJa nakon i prije sudara u pravcu nonnale N~ i to onih čestica koje dolaze u dodir za vrijeme sudara.
Jednadžbe (9.46. i (9.47), odnosno jednakost (9.48) koja je iz njih izvedena. te izraz (9.52) osnovni $U izrazi koji se postavljaju kod rješavanja 7.adataka sudara
240
rotirajućih tijela. za potpunu sliku zbivanja kod takvih sudara potrebno je jog poznaY3ti koliko kinetičke energIje izgube tijela za vrijeme sudara. Taj gubitak jednal< jo razlici kinetičkih energija prije i poslije sudara te je
fl, '"1 il,roi g, Gl ilzfli !lE.=-~+----~---.
2 2 2 2 (9.53)
Nakon što se iz spomenutih lzr3za izračunaju kutne brzine Q I i al' gubitak je kinetičke energije određen .
Primjer 9.6
Na slici 9.19 prikazana je pojednostavljena shema stroja za kovanje. Kružna. ploča I oscilira oko osi O t j udara čekić svojim zubom u točki A, nakon čega čekić dobiva rotaciju oko O2 , L' početku sudara čekić miruje. Odrediti kutne brzine ploče i čekića nakon sudara le položaj težišta e takvim, da u osloncu O2 ne dođe do dopunske reakcije. Zadani su momenti tromosti fll i riz ploče j čekića u odnosu na osi kroz O, i Ol' kutna brzina ploče "', prije sudara, koeficijent restitucije k te polUlIJjer ploče r i udaljenost A O, ~ I. .
m."J, 0, e
I b
Slika 9.19. Cekić Stroja za kO\'Joje koji se pokreće sudarom s rotirajuč.om pločom
Na slici 9.20 pretpOSlavIjeno je da su rotacije ploče i čekiča nakon sudara istog smjera. te zakoni kinetičkog momenta za oba tijela glase (",,=0):
~~+~~=rl ~) fl,O,=II. (b)
" Vc /, [Rsltldt { o:.
A, !..r' n} e I ~
Ro,lt) \ b
Slil<a 9.20. Ucrtane veličine koje djeluju na čekić
t6 s, Jtcit; KINBtA,nKA I DI'l"AMfKA 241
I;
"
Koeficijent restitucije određen je izrazom
k= Qtr.::Qzl,
UJ," Rješavanjem dQbivaju se iz tih izraza tražene kutne brzine nakon sudara:
'J, kr' - 'J, Jl
Q, ~W, 'J, J' +'J,r' 'J,,/O +k)
!l, ="', n Jl ~ (7 2 . Ul' tJ l'
(c)
Na oslonac 0,2 djeluje za \Tijeme sudara dopunska reakcija RQl koja se mijenj~t u qemenu od tf) do tl' Njezin je lmpuls
" /0,= f Ro,dl.
Zakon količine gibanja II periodu to do 12 za čekić glasi
Brzina težišta nakon sudara t'e, =bQz.' a prije sudara 'čekić miruje j tako da je r.;CI) = O. Impuls I može Se izračunati iijedn.kosti (b), pa će zakon količine gibanja dati za impuls II osloncu O2
. 'J,) lo, = !l, (m,b+- . .' I
U\jet da nema dopunske reakcije u osloncu O2 jeste J o,!;;;;;; 0, ili
Odakle slijedi tra.ženi položaj težišta
':7, b~--.
m,l
Prema tome težište bi se moralo nalaziti lijevo od oslonca Oz. a ne kako je to
prikazano na slici 9.20.
Zadad uz poglanje 9
. LOvije čestice prema s1ici·9.21 nalaze se 3 sekunde nakon sudara na 30cm međusobne udaljenosti mjereno u pravcu nonna1e na sudar. Pod pretpostavkom konstantnih brzina nakon sudara odrediti kutove /1, i /12 te koeficijent restitucije ako je čestica m, udarila II mirujuću česticu m, pod kutom od 30' prema osi x brzinom od 0,2 mIs. Rješenje: /1, =0, /1,=90', k=1.
242
y
, .. ~ !,3()Cm
I x l I
m,om~' C,
Slika 9.21 Slika \),22
2, Dvije kuglice masa inI = ml = tn gibaju se jedna prema drugoj brzinama f, = I m/s i v, = 2 m/s po paralelnim putanjama (sl. 9.22). Odrediti brzine kuglica (, i c, nakon sudara akoje m=2kg i k=O,6 (koeficijent restitucije).
Rješenje: c,=1.l1 ms-', c,=I,06ms-'.
3. Odrediti omjer brzina "';'" čestica III, i tn, prije sudara (sl. 9.23) ako je poznato da se čestica 1111 nakon sudara s česticom ml zaustavila.
Zadano: ml' m~. k (koeficijent restitucije).
4. Dvije čestice jednakih masa ml = ml = ln obješene su o niti različitih dužina prema slici 9.24. Čestica m, puštena je iz položaja određenog kutom lp. Mjerenjem je ustanovljeno da L"estica ml dolazi nakon sudara do položaja odredenog istim kutom. Odrediti koeficijent restitucije ako je II =412 _
Rješenje: k = O.
~~V~I ____ ~~~~ m,
Slika 9.23 Slika 9.24
16* 143
5. Homogeni štap duljine I = Illi mase /ll, = 6 kg zglobno je vezan II točki O i ispušten bez početne brzine iz horizontalnog položaja (sl. 9.25). U trenutku kada štap dođe II vertikalni položaj dolazi do sudara s česticom mase m~ =2 kg. Točka udara nalazi se na udaljenosti r = 0,8 III od QvjC:"išta O. Odrediti brzinu če5[ice i kutnu brzinu Šlapa neposredno nakon sudara ako je koeficijent restitucije
k=O,5,
Odgovor: ('= 3,97 m/s,
A +.
Slika 9.25
Q=2.25 S-I,
o 1% , , \:: , , ," 1:1 ,,' " ;'1
" !'I i' ,,, ,I, " ,
e ~,
,;
o
Cm
y , Slik;! 1).26
6. Na kojem mjestu mora udariti čestica mase "'\ o mirujući štap mase m i dužine I da ne dođe za vrijeme sudar:l do promjene reakcije u osloncu O ('\1. 9.26r!
2 Rješenje: '<='31.
7. Dva zupčanika diobenih polumjera r\ i r2 i momenata inercije ~ i ~ rotiraju kutnom brzinama 0)\ i (~h (sl. 9.27). Odrediti smjerove i veličine kutnih brzina Gl i Q
2 nakon što dođe do zahvata z~bi zupčanika.
g; w, g; w, -----r, r, r,
Odgovor: Q,=--. Q, r, r, g; g; -+-rl ,.,
Slika 9.27
244
"
:~ ;l.
~ , , il , ~
1 j
l
LITERATURA
D. Ba:.janac: Tehnička mehanika, II dio, Kinematika. Tehnička kn.iiga, Zagreb. 1969.
D. BazjalIac: Tehnička mehanika, III dio, Dinamika. Sveučilište u Zagrebu. Z:Jo'ueb 197-1
H. Go/dner. F. Ho/zwf!jssig: Leitfaden der Technischen M-han,"" • ' ...... ,,5. prera.jeno izdan,"" VES Fach buchverlag, Leipzig, 1976. -
L. E. Goodman, W. H. WilT/ler: Dynamics, Wadsworlh Publ, Com-, , I ne .. Belmont, Calif~~:nia, 19'63 .
.4. Higdon. W. B. Sfj/es: Engineering Mechanics. Prentiee_Hall, In; .. Englewood CHris. :-...: J.. 1915~. J. L. M.f!riam: pynamies. 2. izdanje_ lohn Wiley & Sons. Inc., Ne\\, York-London-Syc:Jey. 1966.
H. R. ~.~.ra: .veclor ~echa~ics for Engineers. John Wiley & Sons. Inc., S'ew York- Lon.:i~~n. 19rs2.
E. L. .~I"~/~I: TeorC~lčeskaJa mehanika. 13. izdanje, Gos. izdat. fiziko-mi:llem. lit.. Mos"'-... 195~.
A. Raskor:lc: MehaRIka II, Kinematika. Naučna knjiga. Beograd. 19-18.
l. Szabo: Einrt:ihrung in die Technische Mechanik 4 p,·~::,"-no
Be I. . . ........ izdanje. Sr:-:nger-\·erI3.',
r 10- Gouingen- Heidelberg, 1959.
J. Szabo: Repelitorium und Obunacbuch der Techn"sch-n tr' .. MechaDik. Springer_Veriag. &rlin-- G6uingen - Heidelberg, 1960.
S. Timošenko, D. H. Jang,' T-hn,'čk h 'k P" 1962. .. a me ant a. r1Jc\'od s engleskog, Građe\'inska kn.i:ga, Beograd.
S, TImoienko, D. H. Jang: Viša dinamika. Prijevod s engleskog, Građevinska knjiga, Beocrad 1962
l. JI. Voronkov: Kurs leoreličeskoj mehaniki. 13. izdanje, Izdaleljst\'o .. Nauka", Moskva.-196~. .
245
KAZALO
akceleracija 23 aksijalni moment tromosti 163 aksoida 97 amplituda puta 32
balističko njihalo 237 brzina 20 - I kozmička 149 - kruženja 149 - • kutna 62, 90 - naprutanja Zemlje 149 -, rrojicirana 85 -. srednja (točke) 20 -. trenutna (točke) 20 - vrtnje 63 -. zakrenula 84
centar gibanja 146 - rOlacije 72 centralno gibanje 146 ccotričoi sudar 223 centrifugalna sila 127 centrifugalni moment tromosti 164 ccntripetaloa sil .. 125 centripetalno -ubrzanje 52 ceotroide 77 Cbalesov teorem 100 cilindrični koordinatni sustav 40 cirku1ama os 36, 41 Coriolisovo ubrzanje 107
čigra 211 čvorna linija 15
D'AJembertov princip 127 DescartesOy koordinami sustav 33 devijacijski moment tromost.i 164 dinamička ravnoteža 121
dinamičke reakcije 185 dinamički moment lromQsti 163 direktni centri.'ni sudar ::!::!7 dopunske rea\:cije 185 dopunsko ut-nanje 107
džul131
ekscentrični sudar 222 elastične veze 156 elastični sudar 124 elipsoid tromosti 173 en:=rgija, k.inctička 134 -. potencijalna 137 Eu1er- D'Alembertov tcarem 88 Eulerova rormu1a 64 Eulerovi kUl(wi 15,90
frekvencija barominijskog gibanja 33
gibanje, apsolutno 105 -, centralno 146 -. jednoliko ::!8 -. jednoliko ubrzano 28 -, jednoliko usporeno 28 -, jednosla\-no harmonijsko 31 -, krivocrtno 33 -. opće (tijela) 99 - , planamo 67 -, pravocnno 22 ":"., prijenosno 105 -, ravoiD-sko 67 .- -- --, relativno 105 -, sfemo 86. 206 - , sferno, stacionarno 209 -, složeno 105 -, stupnjevi slobode 15 -, translalorno 59
247
gibanje. ubrzan~' 13 - • usporeno 23 &iroskop 211 giroskopstd efekt 112 - moment 2\1 glavna normala St glavne osi tromosti ln glavni centralni moment tromosti J 7) - moment tromosti 172
gravitacija 122 gravitacijska kons(aota 122 - sila 122
namlonijska an~liza 33 harmonijsko gibanje 31 hodcgraf brzina 21 - ubr7aoja 21
impuls sile 142 - u osloncu 236 inercija 121 incrcijska sila 121
jakos! gravitacijskog polja 112 - polja teže 122
jednadžba dinamieke ravnoteže 127 - gibanja čestice 123 - gibanja sustava čestica 156
f<lvninskog gibanja tijela 194 rotacijskog gibanja tijela 181
- sfcmog gibanja tijela 208 - stacionarnog giban}a giroskopa 212 - translacijskog gibanja tijela 171 jednolika translacija 177 jouJ \'. džu! 131
Kardanov problem 79 kilogram 121 kilopond 122 kinematički dijagrami 24 - uvjel kotrljanja 197 kinematske veze 156 kinetička energija 134
- čestice 134 ravninskog gibanja 200 rotacije 182
- sustava čestica 157 - translacije 177
kinetički moment 145 - giroskopa 2Il
- - ravninskog gibanja 203 - - rotacije tijela 189 - - sremog gibanja 201 koefieijent restitucije 224 količina gibanja 142 konaCni kutoi pomak 87 kontrakcija 223
248
k:oruervalivne sile 137 koordinatni sustav, cilindrični 40
-, Descartesov 34 - -, polarni 36 - -. prirodni ji - -. sfemi 4) kosi hitac 126 - sudar 222 kotrljanje bez klizanja 74 kozmička brzina 149 krivocrtn.a translacija 59 knvocrtno gibanje 33 krute veze 156 kru~na frekvencij;l 33 kut, EUlerov 15.90 - nutacije 15 - prccesijc 15 - rotacije l S kutna brzina 62 - - sfemog gibanja 90 - -. srednja 62 - -, trenutna 62 kutnO ubrzanje 61
- sferncg gibanja 90 -, s.rednje 63 -, trenutno 63
loksodroma 57
masa 121 matrica trapsfonnacije 48 mehanički rad 131 metar 17 moment inercije 163
količine gibanja 14:S tromosti !61 -. aksi.jalni 163 -. ~lrifugalni 164 -. de\lijacijsti l64
- -. glavni 112 -. glavni cc:o(taJni 113
k.ocke 169 kružne ploče 168 prizme 169
- Stapa 163 - valjka 161 - za paralelne csi 165 - za zaltrenute osi 169
nebolcnomni sustav 156 nekonzervativne sile 138 nepomična aksoida 97 - poloida 71 nepomični koomioatlll sustav 106 Newtonova hipoteza 224, -235 Newtonovi zalconi 121 nodalna tinija 15 normalna komponenta ubrzanja 52
nom\;.llna sila $U':.!f;1 222. : .. <}
nUlacija I S, 90
njihalo, balislitk~'\ =37 njutn 122
opCe gibanje tij"l.l. 99 oskulatoma ra\"r:~ja 51 otklo.n kod padan}:! 128
period kontrakci.i: 223 - rC$titucije 22:; perioda harmonij$i.;og gibanja 33 plan brzina 80 - ubrzanja 80 p1anamo gibanj" ~-p1astitni sudar 2:3 pokretanje valjka !97 pol bnina 71
ubrzanja 72 polarni koordlnam.i susta\ 36 poJne krivulje 77 poloida 17 polumjer trcmosti 164 pomiena aksoida ,,7 - pOloida 17 pomični koordinatni sustav 106 pote1'>l:l!ulnft energija 137
elastitne opruge 139 - - položaja 135-površina sudara :;::'1 pravocnna translacija 59 precesija I S, 90 -. progresivna 9S -. regJJlarna 98 - , retrogradna 9~ priblIžna teorija giroskopa 211 princip održanja 1::ineličkog momenta 159
- količine gibanja 158 prirodne komponente St prirodni koordinatni su.su~\· 51 progresivna precesija 98 projicirane brzine 85 prosječna brzina ~ prosjočno ubrzanje 20 pllt 23 putanja satelita 1~7 putanja točke 19
rad 131 - sile 131 ~ sprega 132 radijalna os 36, 4 L 43 ravansko (planarno) gibanje 67 ravni sudar 222, 221 ravninska translacija 67 ravninsko gibanje 61. 194
ravninsko gibanj" slapu 199 reakcije u oslancima 184 referentna ravnina 67 regularna precesija 98 restitucija 223 retro8radna prect:sija 98 roucija 15,61, 90. 179 - štapa 184 ndete n
sekunda [? sfcmi koordinatni sustav 43 sferno gibanje 86. 206 - - oko tdiŠla 210 - - :;ime!dl:nog tijela 208
, $Iacionamo 209 sila j 1.., -, centrifugalna 127 -. centripelalnll 125 -. Coriolisova 121 - > D'Alembertova 127 -. gra .. itacijska 122 -, incrcijska 127 -. sudara 22, 239 -, 'ru 122 - , udarna 236
, unutrašnja 155 , vanjska [55
slobodni pad 126 složeno gibanje 1O~ snaga 133 spajanje vratila 193 srednja brzina lC} - kulna brzina 62 srednje kUlno ubrzanje 63
ubrzanje 20 staciQnarno sferna gibanje 209 Ste.inerovo ,ra .. ilo l66 s~upanj slobode gibanja 15 sudar 221 - ,<:entričnl 222, 227 - l':es:tk:e j tijela 234 -. ekr.centrični 222 -. elastični 224 -. ko~i 222 -, plastični 224 -. rnvni centrični 222. 227 -. rotirajućih lijeta 238
Salov {Cbalesovt teorem 100
tangetlcijl.lllla komponenta ubrzanja 52 tangenta 51 tenzor tromosti ! 13 teža 122 težina 122 transformacija momema tromosti l71 - vektc>ra brzine 47 - vektora ubn:anja 47
Iranslacija 59, 176 - • jednolika 177 - • kri'"OcTtna $9 -, pravocrtna 59 - , ravninsl<a 67 trenulna brzina 20
kutna brzina 62 - os rOlacije 89, 91 trenutni centar rotacije 72 - pol bruna 71 - - ubrzanja 72 trenutno kutno ubrzanje 63 - ubrzanje 20 ITOmost 12! trzaj 20
ubrzanje. centripetaIno 52 -. ConollS!)vQ 107 -, dopunsko 107 - • drugog feda 21 - • normalno 52 -. srednje kutno 63. 90 -. srednje točke 20 - • tans~ncijalno 52 -. trenutno kutno 63 -. lrenu(no točke 20 ubrzavanje 23 ~ valjk;! - mom~n{nm 197
250
ubrzavanje silom 198 udar ČC$ficc o zid 2)0 udarna $\Ia 236 uspota\'3.nje 23
vat 133 vektor t'lrzinc 20 - ubrzanja 20 velocida 21 vertikalni hitac 126 veze eJa$t[čnc. kinematske, krute 156
zakon akcije i reakcije 121 - gibanja 121. 123 - kineličke energ,ije 13.$, 157. 183.202 - kineliCkog momenta 146, 159. 191,205 - kolifloe gibanja 142. 15B -. 'Newtono\, 121 - o g:it-a·nju centra masa 157 - održanja mehaničke energije 139, 157 - o~ gravitacije 122
ustrajnosti nl zakon! sustava čestica 156 zakrenula brzina 84 zvrk 211
žiroskop (siroskopi 21 t
!:
~ lc (~
'" ~'\
~\;
; >.
~:
i I \
.' /
,
