Jednorozmerný a dvojrozmerný chí-kvadrát test (krížové

tabuľky)

Iveta WaczulíkováPeter Slezák

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK

Ústav normálnej a patologickej fyziológie SAV

Frekvenčná tabuľka• Jednoduchá (frekvenčná) tabuľka zodpovedá

jednostupňovému triedeniu. Obsahuje triedne početnosti podľa kategórií (tried) jednej premennej. Zostrojenie frekvenčných tabuliek z údajov sa nazýva tabelácia.

• Prezentácia: koláčový graf, stĺpcový graf, kumulatívny stĺpcový graf

Kedy použiť jednorozmerný chí2 test dobrej zhody? “Goodness of fit”

• Keď je premenná kategorická (nominálna alebo ordinálna)

• Testuje jeden typ otázky (napr. otázka na pacienta): – Čo považujete za najväčší nedostatok v

zdravotnej starostlivosti? • (Pearsonov) chí2 test dobrej zhody testuje nulovú

štatistickú hypotézu, ktorá tvrdí, že aktuálne (pozorované) početnosti v jednotlivých kategóriách (presnejšie hodnotách/úrovniach kategorickej premennej) sa rovnajú očakávaným (teoretickým) početnostiam (univariačná analýza toho, či distribúcia frekvencií “fituje” predpokladané populačné proporcie).

Štatistická otázka• Predpokladáme, že v odpovediach budú v jednotlivých

stanovených triedach (hodnotách kategórie) rozdiely

• 43% odpovedí “kvalita”• 34% odpovedí “dostupnosť”• 23% odpovedí “neviem”

• Ale sú tieto rozdiely štatisticky signifikantné? Inými slovami, nakoľko “veľký” je veľký rozdiel medzi týmito percentami?

• Výskumná otázka na vzorke 105 pacientov: Sú jednotlivé typy odpovedí pacientmi ROVNAKO PREFEROVANÉ? (excelovský príklad, list 1).

Poznámka: triedy odpovedí sú pre naše potreby zjednodušené – v takejto podobe nevyhovujú kritériám pre „closed-ended question“

Testovanie hypotézy

• Ho: 1 = 2 = 3

– to znamená, že ak sú preferencie rovnaké, očakávané hodnoty by mali byť 35/105 resp. 33,3% pre každú úroveň kategorickej premennej (typ odpovede)

• Ha: 1 = 2 = 3

Uvažujeme chybu typu I. druhu maximálne vo výške 5% (alfa = 0,05)

Podmienky použitia testu dobrej zhody

• Analýza nízkych očakávaných početností je kontroverzná (Koehler a Larnz 1980). Použitie aproximačného chí2 testu vyžaduje splnenie všetkých (!) nasledujúcich podmienok:

• Celkový počet pozorovaných početností n ≥ 10

• Počet tried/úrovní kategórie c ≥ 3

• Všetky očakávané hodnoty Eij ≥ 0,25

Excel pre test dobrej zhody• Pripraviť si frekvenčnú tabuľku aktuálnych a očakávaných

početností

• Bunka (fx) > kategória štatistické (funkcie) > CHITEST• Zadať stĺpec aktuálnych počtov a stĺpec očakávaných počtov• Existuje rozdiel medzi tým, koľko pacientov skutočne

preferovalo daný typ odpovede (úroveň kategorickej premennej) a tým, koľko sme očakávali, pri rovnakej preferencii (35)?

• Je tento rozdiel dosť veľký na to, aby sme urobili štatistický záver (inference), alebo mohol byť tento rozdiel spôsobený náhodnou chybou výberu (random sampling error)?

• Testová štatistika: chí2 = 6,34, df = 3(triedy)-1 =2• Výstup je hodnota pravdepodobnosti P=0,042

Záver príkladu

• Pre danú hodnotu chí2 = 6,34, a df = 2, pri alfa = 0,05, by mala byť pravdepodobnosť získania takejto hodnoty chí2 rovná alebo menšia než 0,05 na to, aby sme to považovali za významný rozdiel (significant difference).

• p = 0,042 .... aký je záver?

• Zamietame nulovú hypotézu, že pozorované rozdiely v preferenciách mohli byť spôsobené náhodnou chybou a prijímame alternatívnu hypotézu, že medzi preferenciami (triedy kategórie=typ odpovede) je signifikantný rozdiel. Preferencie sú rôzne.

Kedy použiť dvojrozmerný chí2 test nezávislosti? “The r (rows) by c (columns) chi-

square tests of independence of the categories in a table ”

• Keď analyzujeme v skutočnosti dve premenné, skupinovú (grupujúcu) premennú a akúkoľvek premennú, v ktorej chceme dané podskupiny porovnať (bivariačná analýza)

• Keď obe premenné sú kategorické, t.j., nominálne alebo ordinálne.

• Keď testujeme, či existuje medzi týmito premennými vzťah (sú asociované) alebo nie (sú nezávislé).

(Pearsonov) chí2 test nezávislosti predstavuje rozšírenie chí2 testu dobrej zhody na analýzu kontingenčnej tabuľky.Príklad:Lekár má podozrenie na neštandardné rozdelenie krvných skupín u pacientov, ktorí majú pooperačné komplikácie. Percentuálny výskyt krvných skupín u nás: krvná skupina A: 43 %, 0: 42 %, B: 11 %, AB: 4 %. Porovnaním populačného rozdelenia krvných skupín s rozdelením u náhodnej vzorky pacientov možno podozrenie lekára potvrdiť (excelovský príklad, list 2).

Podmienky použitia testu nezávislosti

• Náhodný výber• Každé pozorovanie je klasifikované do jednej bunky

tabuľky r x c (resp. 2 x 2)• Analýza nízkych očakávaných početností je

kontroverzná. Použitie aproximačného chí2 testu pre tabuľku 2 x 2 vyžaduje splnenie nasledujúcich podmienok:

• Celkový počet pozorovaných početností n ≥ 20

• Všetky očakávané hodnoty Eij ≥ 5

Nulová hypotéza je nezávislosť riadkových a stĺpcových kategórií (tried).

Ďalšie chí2 testy

• Pre párové proporcie použijeme McNemarov chí2 test

• Mantel-Haenszelov test pre stratifikované 2 x 2 tabuľky pri fixných efektoch

• Zovšeobecnený (generalised) Cochran-Mantel-Haenszelov test – pre stratifikované r x c tabuľky

Exaktné testy• Binomické rozdelenie využívame pre testovanie pravdepodobnosti,

že „r“ pozorovaní z celkového počtu „n“ (r/n) prevýši očakávanú hodnotu

• Pre 0,5 (t.j. šanca 50:50) použijeme znamienkový test (Exact sign test). Nulová hypotéza znie: pozorovaná proporcia nie je odlišná od 0,5.

• Pre očakávanú hodnotu inú než 0,5 použijeme binomický test – inak tiež test jednej proporcie (The single proportion test (binomial test)).

• Fisherov exaktný test použijeme, ak v tabuľke 2 x 2:keď je ktorákoľvek očakávaná hodnota menšia ako 1 alebo 20% všetkých očakávaných hodnôt je menších alebo rovných

5.Podmienka: riadkové a stĺpcové súčty sú fixné (často kontroverzné)

• Zovšeobecnený Fisherov test (The generalised Fisher exact test - The Fisher-Freeman-Halton test) použijeme pre tabuľku r x c.

• Pre párované proporcie použijeme Liddellov test

Príklad pre chí2 test nezávislosti

• Výskumná otázka: Sú preferencie odpovedí pacientov rovnaké u mužov aj u žien? Inými slovami, sú preferencie závislé na pohlaví?

• Otázka v dotazníku: Čo považujete za najväčší nedostatok v zdravotnej starostlivosti? Kvalitu, dostupnosť alebo je odpoveď „neviem“?

(zvoľte jednu odpoveď)

Druhá kategória je Pohlavie: Muž Žena• Vzorka: 105 náhodne vybraných pacientov po

hospitalizácii v zvolenom zdravotníckom zariadení

Excel pre test nezávislosti• Pripraviť si frekvenčnú tabuľku aktuálnych početností typov

odpovedí pre obe pohlavia. • Zistiť súčty pre riadky a stĺpce.• Dopočítať očakávané početnosti pre obe pohlavia podľa

vzorca (excelovský príklad, list 3).

• kde:Aij = aktuálna početnost v i-tom riadku a j-tom stĺpci

Eij = očakávaná početnost v i-tom riadku a j-tom stĺpcir = počet riadkovc = počet stĺpcov

Yatesova korekcia na spojitosť: odpočíta 0,5 z absolútnej hodnoty každej dvojice v čitateli ( Aij- Eij )-0,5)2

• Bunka (fx) > kategória štatistické (funkcie) > CHITEST

• Zadať pole aktuálnych počtov a pole očakávaných počtov

• Existuje rozdiel medzi mužmi a ženami v skutočnom (aktuálnom) rozložení preferencií (úrovní kategorickej premennej) a tým, koľko by sme očakávali pri podobných preferenciách?

• Je tento rozdiel dosť veľký na to, aby sme urobili štatistický záver o závislosti preferencií na pohlaví, alebo mohol byť tento rozdiel spôsobený náhodnou chybou?

• Testová štatistika: chí2 = 4,85, df = (3-1)*(2-1) =2• Výstup je hodnota pravdepodobnosti P=0,088

Nominálna nezávislosť: Chi2 = 4,851, DF = 2, P = 0,0884Fisher-Freeman-Haltonov exaktný test: P = 0,0884

Testovanie hypotézy

• Ho: Muži a ženy majú rovnaké rozdelenie „preferencií“ t.j. početností odpovedí v kategórii „Hodnotenie nedostatkov v zdravotnej starostlivosti“.

• Ha: Muži a ženy nemajú rovnaké rozdelenie „preferencií“ t.j. početností odpovedí v kategórii „Hodnotenie nedostatkov v zdravotnej starostlivosti“.

• Testujeme na hladine významnosti alfa = 0,01

Interpretácia výsledku testovania

• Pozrieť na hodnotu pravdepodobnosti, ktorá je „prepojená“ s hodnotou testovej štatistiky (chí2 = 4,85) p = 0,088

• Záver: Zamietame alebo akceptujeme nulovú hypotézu na hladine významnosti alfa = 0,01?

• Akceptujeme nulovú hypotézu a zamietame alternatívnu. Medzi mužmi a ženami nie je významný rozdiel v termínoch preferencií t.j. početností odpovedí v kategórii „Hodnotenie nedostatkov v zdravotnej starostlivosti“.

• Stačí? Nestačí! (Štatistická významnosť nie je klinická/praktická významnosť). Interpretujeme ďalej...preštudovaním konkrétnych početností v bunkách tabuľky. Rozhodnite, ktorou cestou „čítate“ tabuľku (podľa usporiadania oboch kategórií: stĺpce vs. riadky) a popíšte charakter rozdielov medzi podskupinami (pohlaviami). Všímajte si bunky s veľkými rozdielmi medzi aktuálnymi (pozorovanými) a očakávanými hodnotami (percentami).

Interpretácia výsledku z popisnej štatistiky

Záver začíname “spomedzi…/z” a doplníme názov „riadkovej“ kategorickej premennej (typ odpovede) alebo stĺpcovej (pohlavie). Keď čítame po riadkoch, čítame pozdĺž “vnútri-riadkovej” premennej. Keď čítame po stĺpcoch, čítame nadol “vnútri-stĺpcovej“ premennej. Záver: zdá sa, že muži najviac volili „dostupnosť“ a ženy „kvalitu“ (Čítanie nadol stĺpcami) Ďalej, z pacientov, ktorí preferovali kvalitu bolo 40% mužov a 60% žien. Z pacientov, ktorí preferovali dostupnosť bolo 61% mužov a 39% žien. Nerozhodnutých mužov bolo viac (27%) ako nerozhodnutých žien (18%) (Čítanie pozdĺž riadkov)Celkovo sme náhodným výberom pacientov „zabezpečili“ približne rovnaké zastúpenie žien (47,6%) aj mužov (52,4) (pozn. možno overiť znamienkovým testom )