jerina enkeleda

8/17/2019 jerina enkeleda

1/20

Ushtrimi 1 (ushtrimi 4, faqe 199; Matematika 12, Pegi)

Te njehsohet integrali i caktuar: ∫0

π

sin2 x dx .

Hapi I Kuptimi i problemit

Cfare eshte dhene?

Cila eshte e panjohura?

Cili eshte kushti?

• sin2 x

• Vlera e integralit

∫0

π

sin2 x dx

• Kufinjte nga 0 ne π

Hapi II Perpilimi i planit te zgjidhjes

Shqyrtoje te panjohuren

Shkoje tek perkufi!ii se cfare quaje

integral te caktuar

" e die ta !gjidhi integralin ecaktuar?

" eshte integral ta#ele?

$iforuloje pro#lein

• ∫

0

π

sin2 x dx

• %iferenca e njejte F (b )− F (a ) e

&lera&e te nje priiti&e cfaredo

F te funksionit f 'ne pikat

x=a dhe x=b ( quhet

integral i caktuar i tij ne

segentin [ a , b ]

• )o( gjeje integralin e

pacaktuar filliisht dhe pastaj

#eje diferencen

F ( x )|b

a

= F (b )− F (a) ku

x=a

dhe x=b

• )o(

2 x

−cos¿

sin2 x dx=1

2d ¿


2/20

•

2 x

−cos ¿¿

∫0

π

sin 2 x dx=∫0

π 1

2 d ¿

Hapi III Realizimi i planit te zgjidhjes

*jeje diferencialin e sin 2 x

+ !e&endesoje tek integrali

,#atoje &etite e integralit:

∫kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx

,e&endesoj cos2π =−1;cos0=1

•

2 x

−cos¿

sin2 x dx=1

2d ¿

• ∫

0

π

sin2 x dx=¿

2 x

−cos¿¿

∫0

π 1

2d ¿

−12 cos2 x|π

0=¿

0

−12 cos ¿=−¿

1

2 1+

1

21

−12 cos2 π −¿

¿−1

2+1

2=0

Hapi IV Hedhim syte mbrapa


3/20

" und ta kontrolloj- !gjidhjen?

" i kei shfryt-!uar t- gjith- t- dh-nat?

" und ta perdori ne ndonje pro#le

tjeter?

• )o kryej- dhe nj- her-

&epriet

• )o

• *jej &leren e a kur jepet:

∫a

π

sin2 x dx=0

Ushtrimi 2 (ushtrimi 1/c, faqe 202; Matematika 12; Pegi)

Te njehsohet integrali: ∫1

41+√ x√ x

dx


Cfare kei te dhene


Cili eshte kushti?

•

1+√ x

√ x

• Vlera integralit: ∫1

4

1+√ x√ x

dx

• Kufinjte nga ne /.



4/20


Shkoje tek perkufi!ii i integralit

te caktuar

" die ta !gjidhi integralin e

caktuar?


$iforuloje pro#lein

• ∫

1

41+√ x√ x

dx


&lera&e te nje priiti&e cfaredo F

te funksionit f 'ne pikat x=a

dhe x=b ( quhet integral i caktuar

i tij ne segentin [ a , b ]

• )o( gjeje integralin e pacaktuar

filliisht dhe pastaj #eje

diferencen F ( x )|b

a= F (b )− F (a) ku

x=a dhe x=b

• o

• )o( etoda e !e&endesiit( ku:

√ x=t ⟹ x=t 2 , x⟶1, x⟶4

t ⟶1,t ⟶2

• )o

t (¿¿ 2)' dt ⟹dx=2 tdt

dx=¿

∫1

21+ t

t 2tdt =2∫

1

2

(1+ t )dt


5/20

• Hapi III Realizimi i planit te zgjidhjes

,e&endesoje √ x=t

*jeje diferencialin

1eje !e&endesiin tek integrali

,#atoje integralit te pacaktuar

∫ [ f ( x )−g ( x)] dx=∫ f ( x ) dx−∫g ( x ) dx

∫kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx

*jeje &leren e integralit

• ,e&endesoje √ x=t ⟹ x=t 2

,

x⟶1, x⟶4

t ⟶1,t ⟶2

•

t

(¿¿ 2)' dt ⟹dx=2 tdt dx=¿

•

1+√ x√ x

dx=¿∫1

2

1+t t 2tdt =2∫

1

2

(1+t ) dt =2∫1

2

1d


" und ta perdori ne ndonje

pro#le tjeter?


∫a

41+√ x√ x

dx=5 .


6/20

Ushtrimi 3 (ushtrimi 1/g, faqe 203; Matematika 12, Pegi)

Te njehsohet &lera e integralit: ∫1

2

x2ln x dx


Cfare eshte dhene?


Cili eshte kushti?

• x

2ln x

• Vlera e integralit te caktuar:

∫1

2

x2 ln x dx

• Kufinjte nga ne 2.



Shkoje tek perkufi!ii secfare quaje integral tecaktuar?

" die ta gjeje integralin e

caktuar?

• ∫

1

2

x2ln x dx


&lera&e te nje priiti&e cfaredo F

te funksionit f 'ne pikat x=a

dhe x=b ( quhet integral i caktuar i


7/20


" njohi ndonje etode per

!gjidhjen e ketij integrali?

Cilat jane !e&endesiet qe do

te #eje?

$iforuloje pro#lein e ri

pas !e&endesie&e te #era tek

forula e integriit e pjese.

tij ne segentin [ a , b ]


filliisht dhe pastaj #eje

diferencen F ( x )|b

a= F (b )− F (a) ku

x=a dhe x=b

• o

• )o( etoda e integriit e pjese qe

ka forulen:

∫u v ' dx=uv−∫u ' vdx

• u=ln x⟹u,=

1

x

v,= x2⟹ v=∫v , dx=∫ x2dx= x

3

3 + c

• Te njehsohet:

1

3 x

3ln x|2

1−∫

1

21

x

x3

3 dx



8/20

)ercaktoje u , v,dheu

,, v

1eje !e&endesiet tek

forula e integriit e pjese


∫kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx

,gjidhi integralin e ta#eles

,e&endesoje kufinjte tek

perfundii

• u=ln x⟹u,=

1

x

v

,

= x2⟹

v=∫v,

dx=∫ x2

dx=

x3

3 + c

•

23

9

2−(¿−13

9 )=

8

9 ln 2−

x2ln x dx=¿

1

3

x3ln x|2

1

−∫1

21

x

x3

3

dx=1

3

23ln 2−

∫1

2



pro#le tjeter?


∫a

2

x2 ln x dx=89 ln 2−7

9

Ushtrimi 4 (ushtrimi 4, faqe 205; Matematika 12, Pegi)

Te llogaritet siperfaqja e figura&e te kufi!uara nga &ijat: y=sin x , x=0, x=π , y=0 .


Cfare kei te dhene? • Kei te dhene ekuacionet e &ija&e: y=sin x , x=0, x=π , y=0


9/20


Cili eshte kushti?

3dertoje figuren

Shenoje si#oliken e

duhur

• Siperfaqja e figures

• Siperfaqja te jete e kufi!uar nga &ijat e dhena: y=sin x , x=0, x=π , y=0

• 4igura:


Shqyrtoje te

panjohuren

" njihni ndonje

pro#le te ngjashe

e kete pro#le?

Cili eshte funksioni dhekufinjte?

$iforuloje

pro#lein

Siperfaqja e figures plane

)o( llogaritja e siperfaqes se trape!it &ijeperkulur:

y=f ( x ) , x=a dhe x=b jane kufinjte S=∫a

b

f ( x ) dx

y=sin x , x=a=0, x=b=π , y=0

Te njehsohet integrali i caktuar ∫0

π

sin x dx


10/20

Hapi III Realizimi i

planit te zgjidhjes

05kufiri i poshte

65 kufiri i siper

• S=∫

0

π

sin x dx=¿

∫0

π

sin xdx=¿

−cos x|π

0=¿

0

−cos¿=−¿ (−1 )+1=2njesi2

−cosπ −¿


" eshte !gjidhje e

&ete?

• )o sepse kei te #eje e siperfaqe.


11/20

Ushtrimi (ushtrimi 7, faqe 209; Matematika 12, Pegi)

Te llogaritet siperfaqja e figura&e te kufi!uara nga &ijat: y=e x

, y=e− x , x=2.


Cfare kei te dhene?


Cili eshte kushti?

3dertoje figuren

Shenoje si#oliken e

duhur

• Kei te dhene ekuacionet e &ija&e:

y=e x , y=e− x , x=2

• Siperfaqja e figures plane

• Siperfaqja te jete e kufi!uar nga &ijat e dhena:

y=e x

, y=e− x

, x=2



" njihni ndonje pro#le

te ngjashe e kete

pro#le?

)ercaktoje cili nga

funksionet eshte e iadh?

" die ta ndertoje

figuren?

Siperfaqja e figures plane

)o( ne njohi rastin e pergjithshe kur figura plane

kufi!ohet nga &ijat :

y=f ( x ) , y=g ( x ) , x=a dhe x=b ; f ( x )≥ g ( x )ne [ a ,b ] .

S=∫a

b

[ f ( x )−g( x)]dx

• 3dertoje figuren:


12/20

Si i gjeje nga le&i! 7?

• )o

• %uke gjetur pikat e prerjes se &ija&e:

{ y=e x

y=e− xdhe{ y=e

x

x=2dhe{ y=e

− x

x=2

e x=e− x⟹e x=

1

e x⟹e

xe

x= 1

e x

e x⟹ ( e x)2=1⟹e2 x=1⟹e2 x=

)ikat e prerjes jane: { x=0dhe y=1 x=2dhe y=7.38



13/20

)ercaktoje se cili nga

funksionet eshte e i

adh

Caktoje kufinjte e 7

duke !gjidhur sistein

1eje !e&endesiin tek

forula:

S=∫a

b

[ f ( x )−g( x)]dx

• 3ga figura y=e x

≥ y=e− x

• ,gjidhi:

{ y=e x

y=e− xdhe { y=e

x

x=2dhe { y=e

− x

x=2

e x=e− x⟹e x=

1

e x⟹e

xe

x= 1

e x

e x⟹ ( e x)

2=1⟹e2 x=1⟹e2 x=

{ x=0kufirii poshtem x=2kufiri i siperm•

e

(¿¿2+e−2

S=∫a

b

[ f ( x )−g ( x ) ]=∫0

2

[ e x−e− x ] dx=∫0

2

e x

dx−∫0

2

e− x

dx=e x|20−(


" eshte !gjidhje e &ete?

" und ta foruloje ndryshe

pro#lein?

•)o(sepse kei te #eje e siperfaqe

• Te gjendet siperfaqja e figures plane

te kufi!uar nga: y=e x

, y=e− x , x=2.

Ushtrimi ! (ushtrimi 2/c, faqe 203; Matematika 12, Pegi)

Te njehsohet integrali: ∫3

52 x−3 x−2

dx .


14/20


Cfare eshte dhene?

Cfare eshte e dhene?

Cili eshte kushti?

•

2 x−3 x−2

• Vlera e integralit: ∫3

52 x−3 x−2

dx

• ane kufinjte nga 8 ne 9.



Shkoje tek perkufi!ii se

cfare quaje integral te

caktuar?

" die ta gjeje integralin

e caktuar?


" njohi ndonje etode

per !gjidhjen e ketij

integrali?

$iforuloje pro#lein

• ∫3

52 x−3

x−2 dx

• %iferenca e njejte F (b )− F (a ) e &lera&e

te nje priiti&e cfaredo F te funksionit

f 'ne pikat x=a dhe x=b ( quhet

integral i caktuar i tij ne segentin

[ a , b ]


filliisht dhe pastaj #eje diferencen

F ( x )|ba= F (b )− F (a)

ku x=a dhe

x=b

•

o nuk eshte integral ta#ele

• )o( shtoje dhe heqi kufi!a ne enyre

qe ta sjelli ne trajten e integralit te

ta#eles:


15/20

2 x−3 x−2

=2 x−3−1+1

x−2 =

(2 x−3−1 )+1 x−2

=(2 x−4 )

x−2

Te njehsohet:

∫3

5

(2+

1

x−2 )dx=

∫3

5

2dx+

∫3

51

x−2 dx


Shtoje dhe !#resi kufi!en ne

enyre qe ta sjelli ne integral

ta#ele grupoje kufi!at ne enyre te

tille qe ti ktheje thyesat ne trajte

te !#atiit te integralit te ta#eles


∫kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx

,gjidhi integralin e ta#eles

1eje !e&endesiet:

2 x|53+ ln| x−2|5

3

•

2 x−3

x−2 =

2 x−3−1+1

x−2 =

(2 x−3−1 )+1

x−2 =

(2 x

•

|3−2|1

3−0ln ¿=4+ln 3

¿

¿¿3−ln ¿=4+¿

ln¿|5−2|−ln¿=(10−6 )+

ln¿

| x−2|5

3=(2∗5−2∗3 )+

(2+ 1 x−2 )dx=∫35

2dx+∫3

5

1

x−2 dx=¿2∫

3

5

dx+

∫3

5

¿



pro#le tjeter?

• )o



16/20

∫a

52 x−3 x−2

dx=4+ ln3 .

Ushtrimi " (ushtrimi 10, faqe 212; Matematika 12, Pegi)

epet ∫0

b

(2 x−1 ) dx=2ku b>0dhe a+b=1 . Te gjenden a dhe #.



17/20

Cfare kei te dhene?


Cili eshte kushti?

• ∫

0

b

(2 x−1 ) dx=2

• a dhe #

• b>0 dhe a+b=1


Shqyrtoje te dhenat

" die ta !gjidhi integralin e

caktuar

Cfare #eje pasi !gjidhi

integralin?

3ga kushti percaktoje a

• ∫

0

b

(2 x−1 ) dx=2

• )o( sepse eshte integral ta#ele dhe

F ( x )|ba= F (b )− F (a)

• + #ara!oje F (b )− F (a )=2 dhe

gjeje # ku (b>0)

• a+b=1⟹a=1−b


3jehsoje integralin e caktuar

,#atoje integralit te pacaktuar

∫ [ f ( x )−g ( x)] dx=∫ f ( x ) dx−∫ g ( x ) dx

∫kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx

,gjidhni ekuacionin e grades se dyte

*jeje a

•

∫0

b

(2 x−1 ) dx=∫0

b

2 xdx−∫0

b

dx=2∫0

b

xdx−∫0

b

dx=

• b

2−b=2⟹b2−b−2=0

a1=1 ; b1=−1 ; c1=−2

D=b12−4 a1 c1=(−1)

2−4∗1∗(−2 )=1+8=9

b1,2=−b √

b

2

−4ac2a =132 ⟹

{b1=−1b2=2 nga

kushti kei qe b>0 prandaj !gjedhi

b=2 .


18/20

• 3ga kushti kei qe:

a+b=1⟹a=1−b=1−2=−1⟹a=−1


• " und ta kontrolloje re!ultatin? • )o( !e&endesoje tek integrali a

dhe # dhe # tek kushti a+b=1 .

Ushtrimi # (ushtrimi 12, faqe 227; Pergatites per pr!imi" e matures shteterre "e

matematike)


19/20

epet ∫1

2

[ f ( x)] dx=2dhe∫1

2

[ g ( x ) ] dx=−1 . Te gjendet ∫1

2

[4 f ( x )−3 g ( x )]dx


;


20/20

anes se djathte.

Kryeje &epriet per te gjetur

&leren ∫1

2

[4 f ( x )−3 g ( x )]dx


" und ta kontrolloj- re!ultatin? " ka !gjidhje tjeter? " und t- foruloj- nj- pro#le

t- ngjash-?

• )o( kryej- p-rseri &epriet.

• o( !gjidhja -sht- e &ete sepse ka

kufinj- t- p-rcaktuar.

• epet ∫1

2

[ f ( x)] dx=3dhe∫1

2

[ g ( x ) ]dx=−2

. Te gjendet ∫1

2

[4 f ( x )−3 g ( x )]dx .

Documents

jerina enkeleda