수학(하)jhwordpress.s3-ap-northeast-2.amazonaws.com/solve... · 2018. 8. 22. · 이때 a={-1, 3}, b={-1, 0, 2}이므로 aøb Ú, Û에서 a,b를 만족시키는 a의 값은 1이다

수학(하)

정답과 풀이

기본서(수학하)_해설_001~017_1단원_확답_ok.indd 1 2017-08-10 오후 6:56:21

2 Ⅰ. 집합과 명제

Ⅰ. 집합과 명제

1

작은, 맛있게, 잘하는 등은 어떤 기준이 없어서 그 대

상을 분명히 구별할 수 없으므로 집합이 아니다.

답 ④, ⑤

2A={4, 8, 12, 16, 20}

⑤ 24²A 답 ⑤

3① {3, 5, 7, 9} ② {3, 5, 7, 9}

③ {3, 5, 7} ④ {1, 3, 5, 7, 9}

⑤ {1, 3, 5, 7}

답 ③

4A={2, 4, 6, 8}이므로 집합 B는 a의 값이 2, 4, 6,

8일 때, 3a-2의 값을 원소로 갖는 집합이다.

3_2-2=4, 3_4-2=10,

3_6-2=16, 3_8-2=22

이므로 B={4, 10, 16, 22}

답 {4, 10, 16, 22}

5① 3Ú`_7Ú`=21

② 3Û`_7Ú`=63

③ 3Ú`_7Û`=147

④ 2Ú`_3Ú`_5Ú`_7Ú`=210

⑤ 3Û`_7Û`=441

따라서 집합 A의 원소가 아닌 것은 ④이다.

답 ④

개념원리 익히기•확인체크

6① {4, 8, 12, y} : 무한집합

② {11, 13, 15, y} : 무한집합

③ á을 원소로 갖는 집합이므로 유한집합이다.

④ 1<x<3인 홀수 x는 없으므로 공집합이다.

따라서 유한집합이다.

⑤ n=1일 때, x=2_1=2

n=2일 때, x=2_2=4

n=3일 때, x=2_3=6

⋮

즉 {2, 4, 6, y}이므로 무한집합이다.

답 ③, ④

7① A={0}이면 n(A)=1

② n({á, 3})=2

③ n({0, 1, 2})-n({1, 2})=3-2=1

④ n({3})=1, n({5})=1

∴ n({3})=n({5})

⑤ n({0})+n(á)+n({á})+n({0, 1})

=1+0+1+2=4

답 ③

8⑴ B={1, 2, 3, 6} ∴ A,B

⑵ B,A

⑶ AøB, BøA

답 ⑴ A,B ⑵ B,A

⑶ AøB, BøA

9집합 A={1, 3, 5, 15}이므로

ㄴ. 0²A

ㄹ. 3<A, 5<A이므로 {3, 5},A

ㅁ. 20²A이므로 {5, 20}øA


확인체크

개념원리

익히기

개념원리 익히기·확인체크 3

x<X에 대하여 |x|의 값을 구하면

|-1|=1, |0|=0, |1|=1이므로

B={0, 1}

C={x|x는 -2<x<2인 정수}를 원소나열법으로

나타내면

C={-1, 0, 1}

∴ B,C,A

답 B,C,A

14집합 S의 원소는 á, 0, {0}, 1, 2이다.

① á은 집합 S의 원소이므로 á<S

② á은 모든 집합의 부분집합이므로 á,S

③ 0은 집합 S의 원소이므로 0<S

④ {0}은 집합 S의 원소이므로 {{0}},S

⑤ 0, {0}은 집합 S의 원소이므로 {0, {0}},S

답 ④

15A,B이므로 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속한

다.

-1<A에서 -1<B이므로

a-2=-1 또는 1-a=-1

Ú a-2=-1일 때, a=1

이때 A={-1, 0}, B={-1, 0, 2}이므로

A,B

Û 1-a=-1일 때, a=2

이때 A={-1, 3}, B={-1, 0, 2}이므로

AøB

Ú, Û에서 A,B를 만족시키는 a의 값은 1이다.

답 1

16

두 집합 A, B에 대하여 A,B가 성립하도록 수직선

위에 나타내면 다음 그림과 같다.

AB

-2a-3 1 b x

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다.

답 ㄱ, ㄷ, ㅂ

10① B={1, 2, 3, 6} ∴ A+B

② B={3} ∴ A+B

③ A={3, 5, 7}, B={1, 2, 4, 8} ∴ A+B

④ A={8, 16, 24, y}, B={4, 8, 12, y}

∴ A+B

⑤ A={2, 4, 8}, B={2, 4, 8} ∴ A=B

따라서 두 집합이 서로 같은 것은 ⑤이다. 답 ⑤

11원소의 개수가 0인 부분집합 : á

원소의 개수가 1인 부분집합 : {1}, {2}, {3}

원소의 개수가 2인 부분집합 : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}

원소의 개수가 3인 부분집합 : {1, 2, 3}

따라서 부분집합은 á, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3},

{2, 3}, {1, 2, 3}이고 진부분집합은 집합 A의 부분집

합 중 자기 자신을 제외한 집합이므로 á, {1}, {2},

{3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}이다. 답 풀이 참조

참고 공식을 이용하면 부분집합과 진부분집합의 개수

를 쉽게 알 수 있다.

⑴ 2Ü`=8 ⑵ 2Ü`-1=7

12집합 A={a, b, c, d}의 부분집합 중 a, b를 반드시

원소로 갖는 부분집합은 원소 a, b를 제외한 집합

{c, d}의 부분집합에 원소 a, b를 넣으면 된다.

∴ {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}

답 풀이 참조

13x<X, y<X에 대하여

xÜ`-yÜ`의 값을 구하면 오

른쪽 표와 같으므로

A={-2, -1, 0, 1, 2}

xÜ` yÜ` -1 0 1

-1 0 -1 -2

0 1 0 -1

1 2 1 0



집합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 6과 12를 원

소로 갖지 않는 부분집합인 {2, 4, 8, 10}의 부분집합

의 개수를 빼면 되므로 그 개수는

2ß`-2Ý`=64-16=48

답 48

21

집합 A는 {0, 1, 5, 9}의 부분집합 중에서 0, 1을 반

드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 A의 개

수는 2Ý`ÑÛ`=2Û`=4

집합 A를 모두 구하면

{0, 1}, {0, 1, 5}, {0, 1, 9}, {0, 1, 5, 9}

답 풀이 참조

22

⑴ B;C={2, 3, 4}이므로

A'(B;C) ={1, 2, 3}'{2, 3, 4}

={1, 2, 3, 4}

A'B={1, 2, 3, 4}이므로

(A'B);C ={1, 2, 3, 4};{2, 3, 4, 5}

={2, 3, 4}

⑵ 주어진 조건을 벤다이어그

램으로 나타내면 오른쪽 그

림과 같다.

∴ B={2, 3, 4}

⑶ 주어진 조건을 벤다이어그램 A B

gb

de

으로 나타내면 오른쪽 그림

과 같다.

∴ A={b, d, g}답 ⑴ A'(B;C)={1, 2, 3, 4}

(A'B);C={2, 3, 4}

⑵ {2, 3, 4}

⑶ {b, d, g}

23

① A;á=á③ A'B=A이면 B,A

A B

1 32

4

이때 A,B이려면 a-3<-2, b¾1이어야 한다.

∴ a<1, b¾1

따라서 정수 a의 최댓값은 0, 정수 b의 최솟값은 1이

므로 구하는 합은 0+1=1

답 1

17A,B이고 B,A이므로 A=B이다.

4<A에서 4<B이므로

aÛ`-3a=4, aÛ`-3a-4=0

(a-4)(a+1)=0 ∴ a=4 또는 a=-1

Ú a=4일 때, A={2, 4, 5}, B={2, 4, 5}이므로

A=B

Û a=-1일 때, A={-3, 0, 4}, B={2, 4, 5}이

므로 A+B

Ú, Û에서 A=B를 만족시키는 a의 값은 4이다.

답 4

18

⑴ 집합 A={1, 3, 5, 7, 9, 11}의 부분집합 중 1, 7,

9를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는

2ß`ÑÜ`=2Ü`=8

⑵ 집합 A={1, 3, 5, 7, 9, 11}의 부분집합 중 3, 5

는 반드시 원소로 갖고, 9는 원소로 갖지 않는 부분

집합의 개수는

2ß`ÑÛ`ÑÚ`=2Ü`=8

답 ⑴ 8 ⑵ 8

19

적어도 한 개의 소수를 원소로 갖는 부분집합의 개수

는 전체 부분집합의 개수에서 소수 2, 3, 5를 원소로

갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다.

∴ 2Ý`-2Ý`ÑÜ`=16-2=14

답 14

20

집합 A의 부분집합 중 6 또는 12를 원소로 갖는 부분


확인체크

개념원리

익히기


A;B={24, 48, 72, y}

따라서 두 집합 A, B가 서로소인 것은 ②이다.

답 ②

26

A={1, 2, 3, 6}, B={1, 3, 9, 27}

(A;B)'X=X에서 (A;B),X

(A'B);X=X에서 X,(A'B)

∴ (A;B),X,(A'B)

즉 {1, 3},X,{1, 2, 3, 6, 9, 27}

따라서 집합 X의 개수는

2ß` ÑÛ`=2Ý`=16 답 16

27

B-A ={3, 4, 5, 6, 7}-{1, 2, 3, 4, 5}

={6, 7}

A� =U-A={1, 2, 3, y, 10}-{1, 2, 3, 4, 5}

={6, 7, 8, 9, 10}

∴ (B-A);A�` ={6, 7} 답 {6, 7}

28

주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림

과 같다.

∴ B� ;A=A-B={2, 6}

답 {2, 6}

29

① A-(B'C) ② A-(B;C)

A

C

B A

C

B

④ A;(A'B)=A

⑤ (A;á)'(B'á)=á'B=B

답 ②, ⑤

24

⑴ A;B={4, 8}에서 8<A이므로

a+3=8

∴ a=5

또 4<B이므로 b+1=4 또는 b+2=4

Ú b+1=4, 즉 b=3일 때

A={2, 4, 8}, B={4, 5, 8}

∴ A;B={4, 8}, A'B={2, 4, 5, 8}

Û b+2=4, 즉 b=2일 때

A={2, 4, 8}, B={3, 4, 8}

∴ A;B={4, 8}, A'B={2, 3, 4, 8}

Ú, Û에서 b=3이므로

a+b=8

⑵ A;B={1, 5}에서 5<A이므로

aÛ`+1=5, aÛ`=4

∴ a=2 또는 a=-2

Ú a=2일 때

A={1, 4, 5}, B={1, 3, 5}

∴ A;B={1, 5}

Û a=-2일 때

A={1, 4, 5}, B={-11, -3, 3}

∴ A;B=á Ú, Û에서 a=2 답 ⑴ 8 ⑵ 2

25

① A={1}, B={-1, 1}이므로 A;B={1}

② A={-4, 4}, B={x|x<-8}이므로

A;B=á③ A={0, 1, 2, y}, B={1, 2, 3, y}이므로

A;B={1, 2, 3, y}

④ A={2, 3, 5, 7, y}, B={1, 3, 5, 7, y}이므

로 A;B={3, 5, 7, 11, y}

⑤ A={3, 6, 9, y}, B={8, 16, 24, y}이므로



34

(A'X),(B'X)를 만족시키는 집합 X는 두 집

합 A, B의 공통인 원소 9를 제외한 집합 A의 나머지

원소 1, 5, 13을 반드시 원소로 가져야 한다.

따라서 {1, 5, 13},X,{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}인

집합 X의 개수는 27-3=2Ý`=16

답 16

35

(A'B);(A� `'B� `) =(A'B);(A;B)� `

=(A'B)-(A;B)

={1, 3, 6}

그런데 다음 벤다이어그램에서

(A'B)-(A;B)=(A-B)'(B-A)

A

B-AA-B A;B

B

∴ (A-B)'(B-A)={1, 3, 6}

A={1, 2, 3, 4}이므로 두 집합 A, B를 벤다이어그

램으로 나타내면 다음 그림과 같다.

BA

1 3 62

4

∴ B={2, 4, 6}

답 {2, 4, 6}

36

A� -B� =A� ;(B� `)� `

=A� ;B

=B-A

={4, 6}

(A'B);B=B={1, 3, 4, 6}

A� ;B� =(A'B)� ={5, 7}

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

③ (B;C)-A ④ (B'C)-A

A

C

B A

C

B

답 ⑤

30

B-A={11}이므로 11<B에서 b=11

∴ B={8, 9, 11}

B-A={8, 9, 11}-{a, 7, 9}={11}에서

a=8 ∴ A={7, 8, 9}

∴ A-B={7} 답 {7}

31

A-B={2, 3}이므로 2<A

즉 aÛ`+1=2 ∴ a=1 또는 a=-1

Ú a=1일 때

A={1, 2, 3, 5}, B={0, 1, 7}

∴ A-B={2, 3, 5}

Û a=-1일 때

A={1, 2, 3, 5}, B={-2, 1, 5}

∴ A-B={2, 3}

Ú, Û에서 a=-1

∴ B={-2, 1, 5} 답 {-2, 1, 5}

32

② A-A� =A;(A� `)� =A;A=A

답 ②

33

A;B=A에서 A,B

A,B ⇨ A'B=B

⇨ A-B=á

⇨ B� ,A� `

답 ④

U

’

B

A

UB

AB =


확인체크

개념원리

익히기


40

⑴ 8의 배수는 모두 4의 배수이므로 A¥,A¢

또한 9의 배수는 모두 3의 배수이므로 A»,A£

∴ (A¢'A¥);(A£'A»)=A¢;A£

A¢;A£은 4와 3의 공배수의 집합, 즉 12의 배수의

집합이므로

A¢;A£=AÁª

∴ m=12

⑵ A¤;A¥은 6과 8의 공배수의 집합, 즉 24의 배수의

집합이므로

A¤;A¥=Aª¢

24의 배수는 모두 12의 배수이므로 Aª¢,AÁª

∴ (A¤;A¥)'AÁª =Aª¢'AÁª

=AÁª

따라서 AÇ,AÁª를 만족시키는 자연수 n은 12의

배수이므로 n의 최솟값은 12이다.

답 ⑴ 12 ⑵ 12

41(A△B)△A =(B△A)△A

=B△(A△A)

=B△{(A-A)'(A-A)}

=B△(á'á)=B△á

=(B-á)'(á-B)

=B'á =B

답 ②

42

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)이므로

10=8+5-n(A;B)

∴ n(A;B)=3

답 3

43서예가 취미인 학생의 집합을 A, 독서가 취미인 학생

의 집합을 B라 하면

이므로 집합 A, B를 벤다

3

5

7

1 4

62

A BU

이어그램으로 나타내면 오

른쪽 그림과 같다.

∴ A={1, 2, 3}

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은

1+2+3=6 답 6

37

⑴ (B-A)� 'A� ` =(B;A� )� 'A�

=(B� 'A)'A�

=B� '(A'A� )

=B� 'U=U

⑵ (A-B)'(A-B� )

=(A;B� )'{A;(B� )� }

=(A;B� )'(A;B)

=A;(B� 'B)

=A;U=A

답 ⑴ U ⑵ A

38

A;(A� `'B)=(A;A� `)'(A;B)

=A;B

B;(B'C)=B∴ {A;(A� `'B)}'{B;(B'C)}

=(A;B)'B=B

답 B

39

(A'B);(B-A)� `

=(A'B);(B;A� `)�

=(A'B);(B� `'A)

=(A'B);(A'B� `)

=A'(B;B� `)

=A'á=A

따라서 A=A;B이므로 A,B이다.

답 ①

Û 분배법칙

Û A;A�`=á

Û 흡수법칙

Û 드모르간의 법칙

Û 교환법칙

Û 분배법칙



n((A-B)'(B-A))

=n((A'B)-(A;B))

=n(A'B)-n(A;B)

=25-8=17

답 17

47

n(A'B)=n(U)-n((A'B)�``)=60-15=45

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서

n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=37+40-45=32

∴ n(B-A) =n(B)-n(A;B)

=40-32=8

답 8

다른풀이 n(B-A) =n(A'B)-n(A)

=45-37=8

48

동의보감을 읽은 학생의 집합을 A, 삼국지를 읽은 학

생의 집합을 B라 하면

n(A)=10, n(B)=15

삼국지는 읽고 동의보감은 읽지 않은 학생이 8명이므로

n(B-A)=8

n(B-A)=n(B)-n(A;B)에서

8=15-n(A;B)

∴ n(A;B)=7

동의보감은 읽고 삼국지는 읽지 않은 학생 수는

n(A-B)이므로

n(A-B) =n(A)-n(A;B)

=10-7=3

답 3

49

수학, 영어를 신청한 학생의

집합을 각각 A, B라 할 때,

80명의 학생이 적어도 한 과

목을 신청하였으므로

B(45)A(52)

35 2817

n(A)=12, n(B)=21, n(A'B)=30

서예와 독서에 모두 취미가 있는 학생 수는

n(A;B)이므로


=12+21-30=3

답 3

44스파게티를 좋아하는 학생의 집합을 A, 비빔밥을 좋아

하는 학생의 집합을 B라 하면 스파게티와 비빔밥을 모

두 좋아하는 학생의 집합은 A;B, 스파게티 또는 비

빔밥을 좋아하는 학생의 집합은 A'B이므로

n(A)=25, n(A;B)=8, n(A'B)=31

비빔밥을 좋아하는 학생 수는 n(B)이므로

n(B) =n(A'B)-n(A)+n(A;B)

=31-25+8=14

답 14

45

n(A'B'C)= n(A)+n(B)+n(C)

-n(A;B)-n(B;C)

-n(C;A)+n(A;B;C)

∴ n(A;B;C) =n(A'B'C)-n(A)

-n(B)-n(C)+n(A;B)

+n(B;C)+n(C;A)

=26-10-14-13+3+5+6

=3

답 3

46

n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=20+13-8=25

오른쪽 벤다이어그램에서

(A-B)'(B-A)

=(A'B)-(A;B)

이고 (A;B),(A'B)이므

로

A B


확인체크

개념원리

익히기


52

⑴ ‘2+6>8’의 부정은 ‘2+6É8’이고 이것은 참인 명

제이다.

⑵ ‘17은 소수이다.’의 부정은 ‘17은 소수가 아니다.’이

고 이것은 거짓인 명제이다.

⑶ ‘áø{a, b, c, d}’의 부정은 ‘á,{a, b, c, d}’이

고 이것은 참인 명제이다.

답 ⑴ 2+6É8 (참)

⑵ 17은 소수가 아니다. (거짓)

⑶ á,{a, b, c, d} (참)

53⑴ 자연수 전체의 집합에서 조건 p를 만족시키는 x는

4보다 작은 자연수이므로 조건 p의 진리집합은

{1, 2, 3}이다.

⑵ 자연수 전체의 집합에서 8의 약수는 1, 2, 4, 8이므

로 조건 q의 진리집합은 {1, 2, 4, 8}이다.

답 ⑴ {1, 2, 3} ⑵ {1, 2, 4, 8}

54

⑴ 조건 ‘x+-7 그리고 x+5’의 부정은 ‘x=-7 또

는 x=5’이다.

⑵ 주어진 조건은 ‘x>-4이고 x<6’이므로 부정은

‘xÉ-4 또는 x¾6’이다.

⑶ 조건 ‘xy=0’의 부정은 ‘xy+0’이다.

답 ⑴ x=-7 또는 x=5

⑵ xÉ-4 또는 x¾6

⑶ xy+0

55

전체집합 U={1, 2, 3, y, 10}에 대하여 두 조건 p,

q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면

⑴ 4x-8=0에서 x=2이므로

조건 p의 진리집합은 P={2}

⑵ 조건 ~p의 진리집합은

P�` ={1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

⑶ xÛ`+1<10, xÛ`<9에서 -3<x<3이므로

n(A'B)=80이고

n(A)=52, n(B)=45


=52+45-80

=17

수학 과목만을 신청한 학생 수는 n(A-B)이므로

n(A-B) =n(A)-n(A;B)

=52-17

=35

답 35

50

학급 전체 학생의 집합을 U, A포털사이트의 이메일을

이용하는 학생의 집합을 A, B포털사이트의 이메일을

이용하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=40, n(A)=25, n(B)=20,

n((A'B)� `)=5

∴ n(A'B) =n(U)-n((A'B)� `)

=40-5

=35


=25+20-35

=10

A포털사이트의 이메일만을 이용하는 학생 수는

n(A-B)이므로

n(A-B) =n(A)-n(A;B)

=25-10

=15

답 15

51

①, ② 사람에 따라 기준이 다르므로 명제가 아니다.

③ x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명제가 아니다.

④ 7-x=2-x에서 7=2이므로 거짓인 명제이다.

⑤ 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 참인 명제이다.

따라서 명제인 것은 ④, ⑤이다.

답 ④, ⑤



-2 3 x

PQ

따라서 조건 ‘-2Éx<3’의 진리집합

{x|-2Éx<3}은

-2 3 x

Q� ;P� =(P'Q)� `

답 ①

59

⑴ p : 8의 양의 약수, q : 4의 양의 약수라 하고 두 조

건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면

P={1, 2, 4, 8}, Q={1, 2, 4}

∴ PøQ (거짓)

⑵ (반례) x=-3이면 xÛ`=(-3)Û`=9이지만

xÜÜ`=(-3)Ü`=-27이다. (거짓)

⑶ p : xÛ`-x-2=0, q : -1ÉxÉ2라 하고 두 조건

p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면

P={x|xÛ`-x-2=0}={-1, 2}

Q={x|-1ÉxÉ2} ∴ P,Q (참)

⑷ (반례) x=0, y=2이면 xy=0이지만

x=0이고 y+0이다. (거짓)

⑸ xÉ2이고 yÉ2이면 x+yÉ4이다. (참)

⑹ (반례) x=-2, y=-1이면 xy>1이지만

x<1이고 y<1이다. (거짓)

⑺ |x|+|y|=0이면 |x|=0, |y|=0이므로

x=0이고 y=0이다. (참)

답 풀이 참조

60

명제 p 2Ú ~q가 참이므로

P,Q� `

이것을 벤다이어그램으로 나

타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ Q,P� `

답 ③

조건 q의 진리집합은 Q={1, 2}

⑷ 조건 ~q의 진리집합은

Q�`={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

답 ⑴ {2}

⑵ {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

⑶ {1, 2}

⑷ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

56

ㄱ. 모양은 같지만 크기가 다를 수 있으므로 모든 원은

합동이 아니다.

따라서 거짓인 명제이다.

ㄴ. 참인 명제

ㄷ.

44

33

위의 두 삼각형의 넓이는 6으로 같지만 합동은 아

니다.

따라서 거짓인 명제이다.

ㄹ. 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때에만 동

위각의 크기가 서로 같으므로 거짓인 명제이다.

따라서 참인 명제는 ㄴ이다. 답 ㄴ

57

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면

P={x|-2Éx<2}, Q={x|xÉ-1 또는 x¾4}

~q의 진리집합은 Q� 이므로 Q� ={x|-1<x<4}

따라서 조건 ‘p 그리고 ~q’의 진리집합은

P;Q� ={x|-1<x<2}

답 {x|-1<x<2}

58

두 조건 p, q의 진리집합은 각각

P={x|x¾3}, Q={x|x<-2}


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개념원리

익히기


③ 2는 소수이지만 짝수이다. (거짓)

④ 모든 실수 x에 대하여 xÛ`¾0이다. (참)

⑤ 모든 자연수 x, y에 대하여 x¾1, y¾1이므로

x+y¾2이다. (참)

따라서 거짓인 명제는 ③이다.

답 ③

66

⑴ 주어진 명제의 부정은

‘모든 실수 x에 대하여 xÛ`>0이다.’

x=0일 때 xÛ`=0이므로 주어진 명제의 부정은 거

짓이다.

⑵ 주어진 명제의 부정은

‘어떤 실수 x에 대하여 xÛ`-x+4É0이다.’

이때 모든 실수 x에 대하여

xÛ`-x+4={x- 12 }

Û`+ 154 >0이므로 주어진 명

제의 부정은 거짓이다.

답 풀이 참조

67

① xÜ`=x에서 xÜ`-x=0, x(x-1)(x+1)=0

∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1

역 : x=0 또는 x=1이면 xÜ`=x이다. (참)

대우 : x+0이고 x+1이면 xÜ`+x이다. (거짓)

(반례) x=-1이면 x+0이고 x+1이지만

xÜ`=(-1)Ü`=-1=x이다.

② 역 : x>1이고 y>1이면 xy>1이다. (참)

대우 : xÉ1 또는 yÉ1이면 xyÉ1이다. (거짓)

(반례) x=-2, y=-1이면 xÉ1 또는 yÉ1이지

만 xy=2>1이다.

③ 역 : 두 삼각형의 넓이가 같으면 합동이다. (거짓)

(반례) 밑변의 길이가 5, 높이가 4인 삼각형과 밑변

의 길이가 10, 높이가 2인 삼각형의 넓이는 10으로

같지만 합동은 아니다.

대우 : 두 삼각형의 넓이가 같지 않으면 합동이 아

니다. (참)

④ 역 : xÛ`+yÛ`>0이면 xy<0이다. (거짓)

61

P;R=Q이므로 Q,P, Q,R

따라서 q 2Ú p, q 2Ú r가 참인 명제이다.

또한 P� ,Q� , R� ,Q� 이므로 ~p 2Ú ~q,

~r 2Ú ~q도 참인 명제이다. 답 ④

62


P={x|2a-1ÉxÉa+2}, Q={x|0ÉxÉ5}

명제 p 2Ú q가 참이 되려면 P,Q이어야 한다.

오른쪽 그림에서

2a-1¾0, a+2É5이

어야 하므로

;2!;ÉaÉ3

따라서 구하는 정수 a의 개수는 1, 2, 3의 3이다.

답 3

63

p : x<-2 또는 x>3이므로

~p : -2ÉxÉ3

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때

명제 ~p 2Ú q가 참이 되려면 P� `,Q이어야 한다.


-a<-2, a+6>3이

어야 하므로 a>2

답 a>2

64

소수 : 2, 3, 5, 7, y

홀수 : 1, 3, 5, 7, y

이때 주어진 명제가 거짓임을 보이는 반례는 소수이지

만 홀수가 아닌 것이므로 반례로 알맞은 것은 ①이다.

답 ①

65

① x=6이면 x-2=4이다. (참)

② x=-'2이면 '2+x=0이다. (참)



⑤ 명제 r 2Ú ~p는 참인 명제 p 2Ú ~r의 대우이므

로 참이다.

답 ④

71두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자.

⑴ x=1, y=0이면 xy=0이지만 x+0이므로

xy=0 1×Ú x=0이고 y=0

x=0이고 y=0이면 xy=0이므로

xy=0 Û○1 x=0이고 y=0

따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

⑵ x-6<0에서 x<6

∴ P={x|x<6}

x-10<0에서 x<10

∴ Q={x|x<10}

따라서 P,Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.

⑶ P={1, 3, 9, 27}, Q={1, 3, 9}

따라서 Q,P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.

⑷ xÛ`-x=0에서 x=0 또는 x=1

∴ P={0, 1}, Q={0}


⑸ A,B이면 A-B=á이므로

A,B 1○Ú A-B=á A-B=á이면 A,B이므로

A,B Û○1 A-B=á 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

⑹ P={x|x는 유리수}, Q={x|x는 실수}

따라서 P,Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.

⑺ △ABC가 정삼각형이면 세 변의 길이가 모두 같으

므로 △ABC는 이등변삼각형이다.

△ABC는 정삼각형 1○Ú △ABC는 이등변삼각형

이등변삼각형이지만 정삼각형이 아닌 삼각형 ABC

가 존재한다.

△ABC는 정삼각형 Û×1 △ABC는 이등변삼각형

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.

답 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요조건

⑷ 필요조건 ⑸ 필요충분조건 ⑹ 충분조건

⑺ 충분조건

(반례) x=1, y=1이면 xÛ`+yÛ`>0이지만 xy>0

이다.

대우 : xÛ`+yÛ`É0이면 xy¾0이다. (참)

⑤ 역 : x=0이고 y=0이면 |x|+|y|=0이다. (참)

대우 : x+0 또는 y+0이면 |x|+|y|+0이다. (참)

답 ⑤

68

ㄱ. 역 : ∠A>90ù이면 삼각형 ABC가 둔각삼각형이

다. (참)

ㄴ. 역 : xy가 홀수이면 x 또는 y가 홀수이다. (참)

ㄷ. 역 : x+y가 짝수이면 x, y가 짝수이다. (거짓)

(반례) x=3, y=1이면 x+y가 짝수이지만 x, y

는 홀수이다.

ㄹ. 역 : xÛ`-5x+6=0이면 x-3=0이다. (거짓)

(반례) x=2이면 xÛ`-5x+6=0이지만

x-3+0이다.

답 ㄷ, ㄹ

69

주어진 명제가 참이므로 그 대우

‘xÉa이고 yÉ1이면 x+yÉ3이다.’

가 참이다.

xÉa, yÉ1에서 x+yÉa+1이므로

a+1É3 ∴ aÉ2

따라서 구하는 실수 a의 최댓값은 2이다.

답 2

70

① 명제 ~q 2Ú p는 참인 명제 ~p 2Ú q의 대우이므

로 참이다.

② 명제 ~q 2Ú p와 명제 p 2Ú ~r가 참이므로 명제

~q Ú ~r도 참이다.

③ 명제 r 2Ú q는 참인 명제 ~q 2Ú ~r의 대우이므

로 참이다.

④ 명제 q 2Ú r는 참인 명제 r 2Ú q의 역이므로 반

드시 참이라고 할 수 없다.


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개념원리

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75

⑴ 직사각형 1○ÚÛ×1 대각선의 길이가 같은 사각형

(Û 의 반례) 등변사다리꼴은 대각선의 길이가 같

은 사각형이지만 직사각형이 아니다.

∴ 충분조건

⑵ xy>1 1×ÚÛ○1 x>1이고 y>1

(Ú의 반례) x=-2, y=-1이면 xy>1이지만

x<1이고 y<1이다.

∴ 필요조건

⑶ x+y가 짝수 1×ÚÛ○1 x, y가 모두 짝수

(Ú의 반례) x=1, y=3이면 x+y=4는 짝수이

지만 x, y가 모두 홀수이다.

∴ 필요조건

⑷ xy=0 1×ÚÛ○1 |x|+|y|=0

(Ú의 반례) x=0, y=1이면 xy=0이지만

|x|+|y|+0이다.

∴ 필요조건

⑸ (a-b)(b-c)=0 1×ÚÛ○1 a=b=c

(Ú의 반례) a=1, b=1, c=2이면

(a-b)(b-c)=0이지만 a=b+c이다.

∴ 필요조건

⑹ p : A;C=C에서 C,A

q : {(A;B)'C},A에서 (A;B),A이므

로 C,A

∴ A;C=C 1○ÚÛ○1 {(A;B)'C},A

∴ 필요충분조건

⑺ x, y는 유리수 1○ÚÛ×1 xy는 유리수

(Û`의 반례) x='2, y='2이면 xy=2는 유리수

이지만 x, y는 유리수가 아니다.

∴ 충분조건

답 풀이 참조

76

⑴ xÛ`+kx-2k+0이 x+2+0이기 위한 충분조건

이므로 ‘xÛ`+kx-2k+0이면 x+2+0이다.’가 참

이다.

따라서 대우인 ‘x+2=0이면 xÛ`+kx-2k=0이

다.’가 참이므로 x=-2를 xÛ`+kx-2k=0에 대입

72

⑴ p가 q이기 위한 충분조건이면 명제 p 1° q가 참이

므로 P,Q이다.

⑵ p가 q이기 위한 필요조건이면 명제 q 1° p가 참이

므로 Q,P이다.

⑶ p가 q이기 위한 필요충분조건이면 명제 p 1° q와

명제 q 1° p가 모두 참이므로 P,Q, Q,P, 즉

P=Q이다.

답 ⑴ P,Q ⑵ Q,P

⑶ P=Q

73

q는 p이기 위한 필요조건이므로 P,Q

⑴ P;Q=P

⑵ P'Q=Q

⑶ P-Q=á답 ⑴ P ⑵ Q ⑶ á

74


⑴ P={x|-3<x<3}, Q={x|-2<x<2}이므

로 Q,P ∴ 필요조건

⑵ P={-1, 1}, Q={-1, 1}이므로 P=Q


⑶ P={x|x<0}, Q={x|xÉ0}이므로

P,Q ∴ 충분조건

⑷ P={1, 2, 3, 6}, Q={1, 2, 3, 6, 9, 18}이므로

P,Q ∴ 충분조건

⑸ p : xÛ`-x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3

∴ P={-2, 3}

q : x+2=0에서 x=-2

∴ Q={-2}


⑹ P={x|0ÉxÉ3}, Q={x|0ÉxÉ3}이므로

P=Q ∴ 필요충분조건

답 풀이 참조

P

Q



79

~q는 p이기 위한 필요조건이므로

~q Hjj p에서 P,Q�```

∴ P,Q�` , P+Q�`

답 ③

80

㈎ p jjK r㈏ ~q jjK ~r에서 r jjK q㈐ p Hjj q

따라서 q jjK r, r jjK q이므로 q는 r이

기 위한 필요충분조건이다.

답 필요충분조건

81

⑴ 주어진 명제의 대우

‘실수 x, y에 대하여 x=0이고 y=0이면 xy=0이

다.’

가 참임을 보이면 된다.

x=0이고 y=0이면 xy=0이므로 주어진 명제의

대우가 참이다.

따라서 주어진 명제도 참이다.

⑵ 주어진 명제의 대우

‘실수 x, y에 대하여 x<1이고 y<1이면

x+y<2이다.’


x<1에서 x-1<0, y<1에서 y-1<0이므로

(x-1)+(y-1)<0

x+y-2<0 ∴ x+y<2

따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명

제도 참이다.

⑶ 주어진 명제의 대우

‘자연수 m에 대하여 m이 짝수이면 mÛ`도 짝수이

다.’


m이 짝수이므로 m=2k(k는 자연수)로 나타낼 수

있다. 이때

p q

r

하면 4-2k-2k=0 ∴ k=1

⑵ x-5+0이 xÛ -3x+k+0이기 위한 필요조건이므

로 ‘xÛ -3x+k+0이면 x-5+0이다.’가 참이다.

따라서 대우인 ‘x-5=0이면 xÛ -3x+k=0이다.’

가 참이므로 x=5를 xÛ`-3x+k=0에 대입하면

25-15+k=0 ∴ k=-10

답 ⑴ 1 ⑵ -10

77


p가 q이기 위한 필요조건이므로 P.Q

-1 4

QP

k xk6-

위의 그림에서 - k6¾-1, k¾4이어야 하므로

4ÉkÉ6

답 4ÉkÉ6

78

x>a는 ‘-2<x<1 또는 x>3’이기 위한 필요조건

이므로 {x|x>a}.{x|-2<x<1 또는 x>3}

∴ aÉ-2

또 x>b는 ‘-2<x<1 또는 x>3’이기 위한 충분조

건이므로

{x|x>b},{x|-2<x<1 또는 x>3}

-2 1 b3 x

∴ b¾3

따라서 a의 최댓값은 -2, b의 최솟값은 3이므로

(-2)_3=-6

답 -6

기본서(수학하)_해설_001~017_1단원_확답_ok.indd 14 2017-08-11 오전 10:33:55

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개념원리

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2(a-b)

(1+2a)(1+2b)>0

∴ 2a

1+2a> 2b1+2b

⑵ AÛ`=('2+'7)Û`=9+2'¶14 BÛ`=('3+'6)Û`=9+2'¶18 CÛ`=(2+'5)Û`=9+2'¶20 '¶14<'¶18<'¶20이므로 AÛ`<BÛ`<CÛ`

그런데 A, B, C는 모두 양수이므로 A<B<C

⑶ Ú 5Û`â`3Ü`â`

={ 5Û`3Ü`}Ú`â`={ 2527 }

Ú`â`<1

∴ 5Û`â`<3Ü`â`

Û 2Ý`â`5Û`â`

={ 2Û`5 }Û`â`={ 45 }

Û`â`<1

∴ 2Ý`â`<5Û`â`

Ú, Û에서 2Ý`â`<5Û`â`<3Ü`â`

답 풀이 참조

84

5Ü`â`>nÛ`â`, 즉 5Ü`â`nÛ`â`

>1에서

{ 5Ü`nÛ`}Ú`â`>1, 5Ü`

nÛ`>1 ∴ 125>nÛ`

이때 n은 자연수이므로 자연수 n의 최댓값은 11이다.

답 11

85

⑴ aÛ`+ab+bÛ`={a+ 12 b}

Û`+ 34 bÛ`에서

{a+ 12 b}

Û`¾0, 34 bÛ`¾0이므로

{a+ 12 b}

Û`+ 34 bÛ`¾0

∴ aÛ`+ab+bÛ`¾0

이때 등호는 a+ 12 b=0, b=0, 즉 a=b=0일 때

성립한다.

⑵ Ú |a|¾|b|일 때,

|a|-|b|¾0, |a-b|¾0이므로

(|a|-|b|)Û`É|a-b|Û`임을 보이면 된다.

(|a|-|b|)Û`-|a-b|Û`

mÛ`=(2k)Û`=4kÛ`=2_2kÛ`

이므로 mÛ`도 짝수이다.


제도 참이다.

답 풀이 참조

82

⑴ 2-'3이 무리수가 아니라고 하자. 즉 2-'3이 유

리수라 하면

2-'3과 2는 유리수이므로

2-(2-'3)='3도 유리수이다.

이것은 '3이 무리수라는 사실에 모순이다.

따라서 2-'3은 무리수이다.

⑵ n이 짝수가 아니라고 하자. 즉 n이 홀수라고 하면

n=2k-1 (k는 자연수) yy ㉠

로 나타낼 수 있다.

이때 ㉠의 양변을 제곱하면

nÛ`=(2k-1)Û`=4kÛ`-4k+1=2(2kÛ`-2k)+1

이므로 nÛ`이 홀수이다.

그런데 이것은 nÛ`이 짝수라는 가정에 모순이므로 n

은 짝수이다.

따라서 자연수 n에 대하여 nÛ`이 짝수이면 n도 짝수

이다.

⑶ a+0 또는 b+0이라 하면

aÛ`>0이거나 bÛ`>0이므로 aÛ`+bÛ`>0

그런데 이것은 aÛ +bÛ =0이라는 가정에 모순이므로

a=0이고 b=0이다.

따라서 실수 a, b에 대하여 aÛ`+bÛ`=0이면 a=0이

고 b=0이다.

답 풀이 참조

83

⑴ 2a

1+2a- 2b1+2b =

2a(1+2b)-2b(1+2a)(1+2a)(1+2b)

=2(a-b)

(1+2a)(1+2b) a>b>0에서 a-b>0, 1+2a>0, 1+2b>0이

므로



18¾2|xy|>0

∴ 0<|xy|É9 (단, 등호는 xÛ`=yÛ`=9일 때 성립)

∴ -9Éxy<0 또는 0<xyÉ9

따라서 xy의 최솟값은 -9이다.

답 -9

89

x>-2에서 x+2>0이므로 산술평균과 기하평균의

관계에 의하여

3x+5+ 3x+2 =3(x+2)+ 3

x+2-1

¾2¾Ð3(x+2)´ 3x+2-1

=2´3-1

=5

{단, 등호는 3(x+2)= 3x+2 , 즉 x=-1일 때 성립}

따라서 구하는 최솟값은 5이다.

답 5

90

a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여

(3a+4b){ 3a + 1b }‌‌=9+ 3a

b + 12ba +4

=3ab + 12b

a +13

¾2¾Ð 3ab ´12ba +13

=2´6+13

=25

{단, 등호는 3ab =

12ba , 즉 a=2b일 때 성립}


답 25

91

aÛ`+bÛ`=4이므로 aÛ`+5a+bÛ`+4b=5a+4b+4

a, b가 실수이므로 코시- 슈바르츠의 부등식에 의하여

(5Û`+4ÛÛ`)(aÛ`+bÛ`)¾(5a+4b)Û`

=aÛ`-2|ab|+bÛ`-(aÛ`-2ab+bÛ`)

=-2(|ab|-ab)

그런데 |ab|¾ab이므로

-2(|ab|-ab)É0

∴ |a|-|b|É|a-b|

Û |a|<|b|일 때,

|a|-|b|<0, |a-b|>0이므로

|a|-|b|<|a-b|

Ú, Û에서 |a|-|b|É|a-b|가 성립한다.

이때 등호는 |ab|=ab, 즉 ab¾0이고 |a|¾|b|

일 때 성립한다.

답 풀이 참조

86

a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여

3a+4b¾2'Ä3a´4b=2'Ä12ab그런데 ab=3이므로

3a+4b¾2'Ä12´3=12 (단, 등호는 3a=4b일 때 성립)

따라서 3a+4b의 최솟값은 12이다.

답 12

87

aÛ >0, bÛ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여

9aÛ`+bÛ`¾2"Ã9aÛ`´bÛ`=6ab (∵ a>0, b>0 )

그런데 9aÛ`+bÛ`=36이므로

36¾6ab

∴ abÉ6 (단, 등호는 3a=b일 때 성립)

따라서 ab의 최댓값은 6이다.

답 6

88

xÛ`>0, yÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에

의하여

xÛ`+yÛ`¾2"ÃxÛ`yÛ`=2|xy|

그런데 xÛ`+yÛ`=18이고 x+0, y+0이므로


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개념원리

익히기


따라서 구하는 가로의 길이는 10`cm이다.

답 40`cmÛ`, 10`cm

94

삼각형 ABC에서 ABÓ=2a, ACÓ=2b, BCÓ=2c라 하

면 2a+2b+2c=12, 즉 a+b+c=6

a, b, c는 실수이므로 코시- 슈바르츠의 부등식에 의

하여

(1Û`+1Û`+1Û`)(aÛ`+bÛ`+cÛ`)¾(a+b+c)Û`

그런데 a+b+c=6이므로 3(aÛ`+bÛ`+cÛ`)¾36

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`¾12

∴ SÁ+Sª+S£ =12 aÛ`p+;2!;bÛ`p+;2!;cÛ`p

=12 p(aÛ`+bÛ`+cÛ`)

¾ 12 p´12=6p

이때 등호는 a=b=c일 때 성립하므로 a+b+c=6

에서 a=b=c=2

따라서 SÁ+Sª+S£의 값은 a=b=c=2일 때 최소이

고 이때 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 4인 정삼각형

이므로 삼각형 ABC의 넓이는

'34 _4Û`=4'3

답 4'3

그런데 aÛ`+bÛ`=4이므로 41´4¾(5a+4b)Û`

∴ -2'4�1É5a+4bÉ2'4�1

{단, 등호는 ;5A;=;4B;일 때 성립}

∴ -2'4�1+4É5a+4b+4É2'4�1+4

따라서 aÛ`+5a+bÛ`+4b의 최댓값은 2'4�1+4이다.

답 2'4�1+4

92

a, b, c가 실수이므로 코시- 슈바르츠의 부등식에 의하

여

(1Û`+2Û`+3Û`)(aÛ`+bÛ`+cÛ`)¾(a+2b+3c)Û`

그런데 aÛ`+bÛ`+cÛ`=2이므로

14´2¾(a+2b+3c)Û`

∴ -2'7Éa+2b+3cÉ2'7

{단, 등호는 a= b2=

c3 일 때 성립}

따라서 a+2b+3c의 최솟값은 -2'7이다.

답 -2'7

93

오른쪽 그림과 같이 바깥쪽

직사각형의 가로의 길이를

x`cm, 세로의 길이를 y`cm

라 하면 철사의 전체 길이가

40`cm이므로

2x+5y=40

x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여

2x+5y¾2'Ä2x´5y그런데 2x+5y=40이므로 40¾2'Ä10xy∴ 'Ä10xyÉ20 (단, 등호는 2x=5y일 때 성립)

이때 구역의 전체 넓이는 xy이므로

10xyÉ400 ∴ xyÉ40

따라서 넓이의 최댓값은 40`cmÛ`이다.

또 2x=5y일 때 넓이가 최대가 되므로 2x=5y를

2x+5y=40에 대입하면

2x+2x=40 ∴ x=10

x cm

y cm


18 Ⅱ. 함수

∴ f+gㄷ. f(-1)=-1, g(-1)=-1, f(1)=1,

g(1)=1

∴ f=g따라서 두 함수 f와 g가 서로 같은 함수인 것은 ㄷ이다.

답 ㄷ

98주어진 대응을 그림으로 나타낸 후, 집합 X의 각 원소

에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩만 대응하지 않는 것

을 찾는다.

ㄱ. ㄴ.

ㄷ.

ㄱ은 X의 원소 -1에 대응하는 Y의 원소가 없으므로

함수가 아니다.

답 ㄱ

99f(1)=1이므로

3-a=1 ∴ a=2

2-'2 É1, '2 >1이므로

f(2-'2)=3(2-'2)-2=4-3'2f('2)=-'2+2

∴ f(2-'2)-f('2)=4-3'2-(-'2+2)

=2-2'2답 2-2'2

100집합 X의 각 원소의 함숫값을 구하면

Ⅱ. 함수

95⑴ X의 원소 1에 대응하는 Y의 원소가 a, b의 2개이

므로 함수가 아니다.

⑵ X의 원소 4에 대응하는 Y의 원소가 없으므로 함수

가 아니다.

⑶ , ⑷ X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응

하므로 함수이다.

답 함수인 것 : ⑶, ⑷

⑶ 정의역 : {1, 2, 3}, 공역 : {a, b, c},

치역 : {a, b, c}

⑷ 정의역 : {1, 2, 3, 4}, 공역 : {a, b, c},

치역 : {a, b}

96⑴ 함수 f(x)=-x+1에 대하여 집합 X의 각 원소

의 함숫값을 구하면

f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=0

따라서 함수 f의 치역은 {0, 1, 2}이다.

⑵ 함수 f(x)=xÜ`+x+1에 대하여 집합 X의 각 원

소의 함숫값을 구하면

f(-1)=-1, f(0)=1, f(1)=3

따라서 함수 f의 치역은 {-1, 1, 3}이다.

⑶ 함수 f(x)=|x|-1에 대하여 집합 X의 각 원소

의 함숫값을 구하면

f(-1)=0, f(0)=-1, f(1)=0

따라서 함수 f의 치역은 {-1, 0}이다.

답 ⑴ {0, 1, 2} ⑵ {-1, 1, 3} ⑶ {-1, 0}

97두 함수 f, g의 정의역과 공역은 서로 같으므로 두 함

수가 서로 같으려면 f, g의 함숫값이 서로 같아야 한다.

ㄱ. f(-1)=0, g(-1)=-2, f(1)=2, g(1)=0

∴ f+gㄴ. f(-1)=1, g(-1)=-1, f(1)=1, g(1)=1


확인체크

개념원리

익히기


⑴ ⑵

⑶

x=a

O x

y

a

⑷

⑸ ⑹

따라서 함수의 그래프인 것은 ⑷, ⑸이다.

답 ⑷, ⑸

104각 함수의 그래프를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그

림과 같다.

①

O

4

1 x

y ②

O

2

1 2 x

y

③

O

1

1 2 x

y ④

O

1

1-1 x

y

⑤

O

1

1-1 x

y

치역과 공역이 같고, 치역의 각 원소 k에 대하여 직선

y=k와 오직 한 점에서 만나는 그래프를 찾으면 ①이

다.

답 ①

f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4,

f(3)=4, f(4)=1, f(5)=0

따라서 함수 f의 치역은 {0, 1, 4}이다.

답 {0, 1, 4}

101두 함수가 서로 같으므로 정의역의 각 원소에 대한 함

숫값이 서로 같아야 한다.

f(1)=g(1)에서

f(1)=1+7a+2b, g(1)=3a+b이므로

1+7a+2b=3a+b

∴ 4a+b=-1 yy ㉠

f(3)=g(3)에서

f(3)=9+21a+2b, g(3)=9a+b이므로

9+21a+2b=9a+b

∴ 12a+b=-9 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3

∴ g(x)=-3x+3

이때 g(1)=0, g(3)=-6이므로 함수 g(x)의 치역

은 {-6, 0}이고 치역의 모든 원소의 합은 -6이다.

답 -6

102xÜ`+3x=6xÛ`-8x+6에서

xÜ`-6xÛ`+11x-6=0, (x-1)(x-2)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=2 또는 x=3

따라서 구하는 집합 X는 {1, 2, 3}의 부분집합 중 공

집합이 아닌 것이므므로

{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},

{1, 2, 3}

답 풀이 참조

103각 그래프 위에 y축에 평행한 직선

x=a(a<(정의역) )를 그어서 교점이 1개인 것을 찾는

다.


20 Ⅱ. 함수

참고여x축에 평행한 직선과 오직 한 점에서 만나면 일

대일함수이다. ②, ③, ④, ⑤는 x축에 평행한 직선과

두 점에서 만나는 경우가 있으므로 일대일함수가 아니다.

105

f(x)=-2x+b의 그래프는 오


이 함수가 일대일대응이 되려면

(치역)=(공역)이어야 하므로 그

래프는 두 점 (-1, 7),

(a, -1)을 지나야 한다.

f(-1)=7에서 2+b=7 yy ㉠

f(a)=-1에서 -2a+b=-1 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=5

∴ a-b=-2

답 -2

106

f(x) =xÛ`+2x+a

=(x+1)Û`+a-1

이므로 x¾2일 때 y=f(x)의 그

래프는 오른쪽 그림과 같아야 한

다.

또 (치역)=(공역)이려면 그래프는 점 (2, 3)을 지나야

하므로 f(2)=3

즉 4+4+a=3에서 a=-5

답 -5

107

x¾1에서 f(x)=-x+3의

그래프는 오른쪽 그림과 같으

므로 x<1에서 직선 y=ax+b

의 기울기 a는 음수이어야 한

다.

∴ a<0 yy ㉠

또 (치역)=(공역)이려면 직선 y=ax+b가 점 (1, 2)

를 지나야 하므로

2=a+b ∴ a=2-b yy ㉡

-1

3

2O

x

y

O 1

2

x

yy=ax+b

y=-x+3

㉡을 ㉠에 대입하면 2-b<0

∴ b>2

답 b>2

108함수 f 가 상수함수이고 f(1)=2이므로

f(1)=f(2)=f(3)=y=2

∴ f(1)+f(2)+y+f(10)=2_10=20

답 20

109함수 f`는 항등함수이므로 f(x)=x

∴ f(7)=7

함수 g는 상수함수이고 f(5)=5에서 g(5)=5이므로

g(x)=5

∴ g(7)=5

∴ f(7)+g(7)=7+5=12

답 12

110Ú 집합 X의 각 원소에 대응할 수 있는 집합 Y의 원

소는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개씩이므로 함수의 개

수는

5_5_5=5Ü`=125

Û -1에 대응할 수 있는 원소는 -2, -1, 0, 1, 2

중 하나이므로 5개

0에 대응할 수 있는 원소는 -1에 대응한 것을 제

외한 4개

1에 대응할 수 있는 원소는 -1, 0에 대응한 것을

제외한 3개

따라서 일대일함수의 개수는

5_4_3=60

Ü 상수함수는 집합 X의 모든 원소에 집합 Y의 원소

-2, -1, 0, 1, 2 중 단 하나의 원소가 대응하는

것이므로 상수함수의 개수는 5이다.

답 함수의 개수: 125

일대일함수의 개수: 60

상수함수의 개수: 5


확인체크

개념원리

익히기


111⑴ (`g½f)(5)=g ( f(5))=g(c)=4

⑵ (`g½f`)(6)=g( f(6))=g(d)=7

⑶ (`g½f`)(7)=g( f(7))=g(b)=4

⑷ (`f½g)(a)=f(g(a))=f(5)=c

⑸ (`f½g)(c)=f(g(c))=f(4)=a

⑹ (`g½f`)(x)=g( f(x))=5

g(a)=5이므로 f(x)=a

∴ x=4

⑺ (`f½g)(a)=c, (`f½g)(b)=a, (`f½g)(c)=a,

(`f½g)(d)=b

따라서 함수 f½g의 치역은 {a, b, c}

답 ⑴ 4 ⑵ 7 ⑶ 4 ⑷ c

⑸ a ⑹ 4 ⑺ {a, b, c}

112⑴ (g½f`)(x) =g(`f(x))=g(2x+3)

=-(2x+3)Û`=-4xÛ`-12x-9

⑵ (`f½g)(x) =f(g(x))=f(-xÛ`)

=2´(-xÛ`)+3=-2xÛ`+3

⑶ (`f½f`)(x) =f(`f(x))=f(2x+3)

=2(2x+3)+3=4x+9

⑷ (g½g)(x) =g(g(x))=g(-xÛ`)

=-(-xÛ`)Û`=-xÝ`

답 ⑴ ( g½f)(x)=-4xÛ`-12x-9

⑵ ( f½g)(x)=-2xÛ`+3

⑶ ( f½f)(x)=4x+9

⑷ ( g½g)(x)=-xÝ`

113⑴ ( f½g`)(x) =f(`g(x))=f(-x+5)

=(-x+5)Û`-2=xÛ`-10x+23

이므로

(( f½g`)½h)(x) =( f½g`)(h(x))

=(`f½g)(2x-1)

=(2x-1)Û`-10(2x-1)+23

=4xÛ`-24x+34

⑵ (g½h)(x) =g(h(x))=g(2x-1)

=-(2x-1)+5=-2x+6

이므로

(`f½(`g½h))(x) =f((`g½h)(x))

=f(-2x+6)

=(-2x+6)Û`-2

=4xÛ`-24x+34

⑶ (g½f`)(x) =g(`f(x))=g(xÛ`-2)

=-(xÛ`-2)+5=-xÛ`+7

이므로

((g½f`)½h)(x) =(`g½f`)(h(x))

=(`g½f`)(2x-1)

=-(2x-1)Û`+7

=-4xÛ`+4x+6

⑷ (h½g)(x) =h(g(x))=h(-x+5)

=2(-x+5)-1=-2x+9

이므로

( f½(h½g))(x) =f((h½g)(x))

=f(-2x+9)

=(-2x+9)Û`-2

=4xÛ`-36x+79

답 ⑴ (( f½g)½h)(x)=4xÛ`-24x+34

⑵ ( f½(g½h))(x)=4xÛ`-24x+34

⑶ (( g½f)½h)(x)=-4xÛ`+4x+6

⑷ ( f½(h½g))(x)=4xÛ`-36x+79

114(g½f )(x)=g (`f(x))=3

g(b)=3이므로 f(x)=b

f(-1)=b이므로 x=-1

따라서 구하는 x의 값은 -1

답 -1

115( f½g)(2)+(g½f )(-1)

=f(g(2))+g(`f(-1))

=f(-2+3)+g(2´(-1)-1)

=f(1)+g(-3)


22 Ⅱ. 함수

119( f½f )(x) =f( f(x))=f(4x-12)

=4(4x-12)-12

=16x-60

( f½f½f )(x) =f(( f½f )(x))=f(16x-60)

=4(16x-60)-12

=64x-252

( f½f½f )(a)=4에서 64a-252=4

64a=256 ∴ a=4

답 4

120(`f½(g½h))(x) =(( f½g)½h)(x)

=( f½g)(h(x)) =( f½g)(x-1)

=(x-1)Û`+4

(`f½(g½h))(x)=20이므로

(x-1)Û`+4=20, (x-1)Û`=16

x-1=4 또는 x-1=-4

∴ x=5 또는 x=-3

따라서 구하는 x의 값의 합은 5+(-3)=2

답 2

121(`g½f )(2)=g( f(2))=1 yy ㉠

f 가 일대일대응이고 f(1)=1이므로

f(2)=2 또는 f(2)=3

그런데 g(3)=3이므로 f(2)=3이면 ㉠에 모순이다.

∴ f(2)=2

㉠에 f(2)=2를 대입하면 g(2)=1

이때 g가 일대일대응이므로 g(1)=2

∴ f(2)+(`g½f )(1) =2+g(`f(1))

=2+g(1)

=2+2=4

답 4

122f`Ú`(x)=x+2

=2´1-1+5

=6

답 6

116(g½f)(x) =g (`f(x))=g(ax+b)

=-(ax+b)+2

-(ax+b)+2=2x+3, -ax-b+2=2x+3

따라서 -a=2, -b+2=3이므로

a=-2, b=-1

∴ a-b=-1

답 -1

117( f½g)(x)=f(g(x))=f(x+k)

(`f½g)(x)=2(x+k)+3

(`f½g)(x)=2x+2k+3

(g½f)(x)=g(f(x))=g(2x+3)

(`f½g)(x)=2x+3+k

f½g=g½f이므로

2x+2k+3=2x+3+k

2k+3=3+k ∴ k=0

따라서 g(x)=x이므로 g(-2)=-2

답 -2

118( f½f )(x) =f( f(x))=f(ax-b)

=a(ax-b)-b

=aÛ`x-ab-b

( f½f )(x)=16x+5이므로

aÛ`x-ab-b=16x+5

∴ aÛ`=16, -ab-b=5

aÛ`=16에서 a=4 (∵ a>0)

-ab-b=5에 a=4를 대입하면

-4b-b=5 ∴ b=-1

따라서 f(x)=4x+1이므로

f(-4)=4´(-4)+1=-15

답 -15


확인체크

개념원리

익히기


=h(g(2x-1)) g(2x-1)

=h(-6x+7) =-3(2x-1)+4=-6x+7

이고, (h½g½f )(x)=g(x)이므로

h(-6x+7)=-3x+4 yy ㉠

-6x+7=t라 하면 x=-;6!;t+;6&;이므로

㉠에 대입하면

h(t)=-3{-;6!;t+;6&;}+4=;2!;t+;2!;

∴ h(-4)=;2!;´(-4)+;2!;=-;2#;

답 ⑴ -4 ⑵ :Á2¦: ⑶ -;2#;

125주어진 그림에서 f(2)=0, f(3)=2이므로

(`f½f )(3)=f(`f(3))=f(2)=0

답 0

126

직선 y=x를 이용하여 y축

과 점선이 만나는 점의 y좌

표를 구하면 오른쪽 그림과

같다.

⑴ f(d)=c, f(c)=b,

f(b)=a이므로

(`f½f½f )(d)

=f(`f(`f(d)))

=f(`f(c))

=f(b)

=a

⑵ f(x)=t라 하면

(`f½f )(x)=f(`f(x))=f(t)=c

f(t)=c인 t의 값은 t=d

따라서 f(x)=d를 만족시키는 x의 값은 x=e

답 ⑴ a ⑵ e

127주어진 그래프로부터 함수의 식을 구해 보면

f`Û`(x)=(`f½f )(x)=f(`f(x))=f(x+2)=x+4

f Ü (x)=(`f½f Û )(x)=f(`f Û (x))=f(x+4)=x+6

f Ý (x)=(`f½f Ü )(x)=f(`f Ü (x))=f(x+6)=x+8

⋮

∴ f`Ç`(x)=x+2n

따라서 f`Û`ââ`Ú`¡`(x)=x+2_2018=x+4036이므로

f`Û`ââ`Ú`¡`(1)=1+4036=4037

답 4037

123

f(2x-1)=4xÛ`-8x+1에서

2x-1=t라 하면 2x=t+1, x= t+12

∴ f(t) =4´{ t+12 }Û`-8´ t+1

2 +1

=(t+1)Û`-4(t+1)+1

=tÛ`-2t-2

∴ f(1+x) =(1+x)Û`-2(1+x)-2

=xÛ`-3

답 f(1+x)=xÛ`-3

124⑴ (`f½h)(x)=f(h(x))=2h(x)-1이고,

(`f½h)(x)=f(x)이므로

2h(x)-1=2x-1

∴ h(x)=x

∴ h(-4)=-4

⑵ (`h½f )(x)=h( f(x))=h(2x-1)이고

(h½f)(x)=g(x)이므로

h(2x-1)=-3x+4 yy ㉠

2x-1=t라 하면 x=;2!;t+;2!;이므로

㉠에 대입하면

h(t)=-3{;2!;t+;2!;}+4=-;2#;t+;2%;

∴ h(-4)=-;2#;´(-4)+;2%;=:Á2¦:

⑶ (h½g½f )(x)

=h(g( f(x)))


24 Ⅱ. 함수

⑷ (`f½f`ÑÚ`)(a) =f(`f`ÑÚ`(a))=`f(3)=a

답 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 4 ⑷ a

130⑴ f`ÑÚ`(5)=a에서 f(a)=5이므로

-2a+3=5 ∴ a=-1

⑵ f`ÑÚ`(b)=-2에서 f(-2)=b이므로

f(-2)=4+3=7 ∴ b=7

답 ⑴ a=-1 ⑵ b=7

131⑴ y=4x-2를 x에 대하여 정리하면

4x=y+2 ∴ x=;4!;y+;2!;

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는

y=;4!;x+;2!;

⑵ y=-;2!;x+;2#;을 x에 대하여 정리하면

;2!;x=-y+;2#; ∴ x=-2y+3

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는

y=-2x+3

답 ⑴ y=;4!;x+;2!; ⑵ y=-2x+3

132함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로

f`ÑÚ`(x)=g(x)g(8)=k라 하면 f(k)=8이므로

-2k+6=8 ∴ k=-1

∴ g(8)=-1

한편 f`ÑÚ`(x)=g(x)이므로 gÑÚ`(x)=f(x)

∴ gÑÚ`(3)=f(3)=-2´3+6=0

∴ g(8)+gÑÚ`(3)=-1+0=-1

답 -1

133f`ÑÚ`(3)=2에서 f(2)=3이므로

2´2+a=3 ∴ a=-1

함수 f(x)는 0ÉxÉ2에서 두 점 (0, -1), (1, 0)을

지나는 직선이므로

f(x)=x-1 (0ÉxÉ2)

또 함수 g(x)는 -1ÉxÉ0에서는 두 점 (-1, 1),

(0, 0)을 지나는 직선이고, 0ÉxÉ1에서는 두 점

(0, 0), (1, 1)을 지나는 직선이므로

g(x)=[-x (-1ÉxÉ0)

x (0ÉxÉ1)

∴ (g½f )(x) =g (`f(x))

=[-f(x) (-1Éf(x)É0)

f(x) (0Éf(x)É1)

=[-(x-1) (-1Éx-1É0)

x-1 `(0Éx-1É1)

=[-x+1 (0ÉxÉ1)

x-1 `(1ÉxÉ2)

따라서 함수 y=(g½f )(x)의

그래프는 오른쪽 그림과 같다.

답 풀이 참조

128⑴, ⑶ 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.

⑵ Y의 원소 a에 대응하는 X의 원소가 없으므로 일

대일대응이 아니다.

따라서 역함수가 존재하지 않는다.

⑷ X의 원소 1, 3이 모두 Y의 원소 a에 대응하므로

일대일대응이 아니다.

따라서 역함수가 존재하지 않는다.

답 ⑴ 역함수가 존재한다.

⑵ 역함수가 존재하지 않는다.

⑶ 역함수가 존재한다.

⑷ 역함수가 존재하지 않는다.

129⑴ f`ÑÚ`(b)=1

⑵ f`ÑÚ`(c)=2

⑶ (`f`ÑÚ`½f )(4) =`f`ÑÚ`(`f(4))

=`f`ÑÚ`(d)=4


확인체크

개념원리

익히기


a+b=7

답 7

138y=;3!;x+2를 x에 대하여 정리하면

;3!;x=y-2 ∴ x=3y-6

x와 y를 서로 바꾸면 y=3x-6

따라서 3x-6=ax+b이므로

a=3, b=-6

∴ a+b=-3

답 -3

139f { 2x+1

3 }=-4x+1에서 2x+1

3 =t로 놓으면

2x+1=3t ∴ x= 32 t-

12

이것을 f { 2x+13 }=-4x+1에 대입하면

f(t)=-4{ 32 t-12 }+1=-6t+3이므로

f(x)=-6x+3

y=-6x+3으로 놓으면 6x=-y+3

∴ x=-;6!;y+;2!;

x와 y를 서로 바꾸면 y=-;6!;x+;2!;

∴ f`ÑÚ`(x)=-;6!;x+;2!;

∴ f`ÑÚ`(-3)=;2!;+;2!;=1

답 1

다른풀이집f(x)=-6x+3에서

f`ÑÚ`(-3)=k라 하면 f(k)=-3

-6k+3=-3 ∴ k=1

∴ f`ÑÚ`(-3)=1

140(`f`ÑÚ`½g)ÑÚ`(3) =(gÑÚ`½f`)(3)=gÑÚ`(`f(3))

=gÑÚ`(5)

gÑÚ`(4)=-2에서 g(-2)=4이므로

(-2)´(-2)+b=4 ∴ b=0

∴ b-a=0-(-1)=1

답 1

134(`f½g ÑÚ`)(5)=f(gÑÚ`(5))이고

g(2)=5이므로 `gÑÚ`(5)=2

∴ (`f½gÑÚ`)(5)=f(g ÑÚ`(5))=f(2)=1

(`g½f`ÑÚ`)(4)=g (`f`ÑÚ`(4))이고

f(5)=4이므로 `f`ÑÚ`(4)=5

∴ (g½f`ÑÚ`)(4)=g( f`ÑÚ`(4))=g (5)=3

∴ (`f½gÑÚ`)(5)+(g½f`ÑÚ`)(4)=1+3=4

답 4

135(`f`ÑÚ`½g)(a)=f`ÑÚ`(g(a))=1에서

g(a)=f(1)

a-1=2 ∴ a=3

답 3

136(g½f`ÑÚ`)(2)=g (`f`ÑÚ`(2))에서

f`ÑÚ`(2)=k라 하면 f(k)=2

3k-1=2 ∴ k=1

∴ f`ÑÚ`(2)=1

∴ (g½f`ÑÚ`)(2) =g (`f`ÑÚ`(2))=g(1)

=2+3-1=4

답 4

137함수 f(x)=3x+2의 역함수가 존재하려면 f(x)는

일대일대응이어야 한다.

직선 y=f(x)의 기울기가 양수이므로

f(0)=a, f(1)=b

즉 a=2, b=5이므로


26 Ⅱ. 함수

y=f(x)와 그 역함수의 그래프가 서로 다른 두 점에

서 만나고, 그 교점이 직선 y=x 위에 있으므로 함수

y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f`ÑÚ`(x)의 그래프

의 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교

점과 같다.

xÛ`-4x+6=x에서 xÛ`-5x+6=0

(x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3

따라서 두 교점의 좌표는 (2, 2), (3, 3)이므로 두 점

사이의 거리는

"Ã(3-2)Û`+(3-2)Û`='2답 '2

144

직선 y=x를 이용하여

y축과 점선이 만나는 점

의 y좌표를 구하면 오른

쪽 그림과 같다.

f `ÑÚ`(d)=k라 하면

f(k)=d에서 k=c

∴ f`ÑÚ`(d)=c

∴ (g½f`ÑÚ`)(d) =g (`f`ÑÚ`(d)) =g (c)=b

또 f`ÑÚ`(b)=l이라 하면 f(l)=b에서 l=a

∴ `f`ÑÚ`(b)=a

∴ (``f`ÑÚ`½g)(c)=`f`ÑÚ`(g(c))=`f`ÑÚ`(b)=a

∴ (g½f`ÑÚ``)(d)+(`f`ÑÚ`½g)(c)

=b+a

답 a+b

1452x+y

5 =x+2y

7 =k(k+0)로 놓으면

2x+y=5k, x+2y=7k

두 식을 연립하여 풀면 x=k, y=3k

∴ xÛ`-xyxy+yÛ`

=kÛ`-k´3k

k´3k+(3k)Û`=

-2kÛ`12kÛ`

=-16

답 -;6!!;

a

a

b

b

c

c

d

d

e

e

O x

y y=g(x)

y=f(x)

y=x

gÑÚ`(5)=k라 하면 g(k)=5

;2!;k-1=5 ∴ k=12

∴ (`f`ÑÚ`½g)ÑÚ`(3)=12

답 12

141(`f½(g½f)ÑÚ`½f )(x)

=(`f½f`ÑÚ`½gÑÚ`½f )(x) Û (g½f)ÑÚ`=f`ÑÚ`½gÑÚ`

=(gÑÚ`½f )(x) Û f½f`ÑÚ`=I

g(x)=x+4에서 y=x+4라 하고 x에 대하여 정리

하면

x=y-4

x와 y를 서로 바꾸면 y=x-4

∴ g ÑÚ`(x)=x-4

∴ (g ÑÚ`½f )(x) =gÑÚ`(`f(x))=gÑÚ`(-2x+1)

=-2x-3

따라서 -2x-3=ax+b이므로

a=-2, b=-3

답 a=-2, b=-3

142((`f`ÑÚ`½gÑÚ`)½f`)(a) =(`f`ÑÚ`½gÑÚ`)(`f(a))

=(`f`ÑÚ`½gÑÚ`)(2a+1)

=(g½f`)ÑÚ`(2a+1)=1

∴ (g½f`)(1)=2a+1

즉 g(`f(1))=g(3)=2a+1이므로

-;3!;´3+4=2a+1 ∴ a=1

답 1

143

함수 y=f(x)의 그래프

와 역함수 y=f ÑÚ`(x)의

그래프는 직선 y=x에 대

하여 대칭이므로 그 그래

프를 그리면 오른쪽 그림

과 같다. 이때 함수

y=x

O x

y

2

2

y=fÑÚ (x)

y=f(x)


확인체크

개념원리

익히기


148⑴ 15abxy로 분모, 분자를 각각 나누면

(5aÛ`b)(3xy)(12xy)(25ab)

=a20

⑵ xÛ`-5x+6xÛ`-7x+12

=(x-2)(x-3)(x-3)(x-4)

=x-2x-4

⑶ xÝ`-yÝ`

(x+y)(xÜ`-yÜ`)

=(xÛ`+yÛ`)(x+y)(x-y)

(x+y)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)

=xÛ`+yÛ`

xÛ`+xy+yÛ``

답 ⑴ a20 ⑵

x-2x-4 ⑶

xÛ`+yÛ` xÛ`+xy+yÛ``

149⑴

1xÛ`-3x

=1

x(x-3)이므로

두 식 1

xÛ`-3x,

1x-3 을 통분하면

1

x(x-3),

xx(x-3)

⑵ 2

xÛ`-1=

2(x-1)(x+1)

,

2

xÛ`+4x+3=

2(x+1)(x+3)

이므로

두 식 2

xÛ`-1,

2xÛ`+4x+3

를 통분하면

2(x+3)

(x-1)(x+1)(x+3),

2(x-1)

(x-1)(x+1)(x+3)답 풀이 참조

150⑴

2x+2+

3x+3 =

2(x+3)+3(x+2)(x+2)(x+3)

= 5x+12(x+2)(x+3)

⑵ 1-6

2x+1=2x+1-62x+1 =

2x-52x+1

답 ⑴ 5x+12

(x+2)(x+3) ⑵

2x-52x+1

다른풀이 2x+y

5 =x+2y

7 에서

7(2x+y)=5(x+2y), 14x+7y=5x+10y

3y=9x ∴ y=3x

xy+0이므로 y=3x를 주어진 식에 대입하면

xÛ`-xyxy+yÛ`

=xÛ`-x´3x

x´3x+(3x)Û`=

-2xÛ`12xÛ`

=-16

146⑴ (x+y)`:`(y+z)`:`(z+x)=2`:`3`:`4이므로

x+y2 =

y+z3 =

z+x4 =k(k+0)로 놓으면

⑴ x+y=2k yy ㉠

⑴ y+z=3k yy ㉡

⑴ z+x=4k yy ㉢

㉠+㉡+㉢ 을 하면

2(x+y+z)=9k

∴ x+y+z=;2(;k yy ㉣

㉣-㉠ 을 하면 z=;2%;k

㉣-㉡ 을 하면 x=;2#;k

㉣-㉢ 을 하면 y=;2!;k

∴ x`:`y`:`z=;2#;k`:`;2!;k`:`;2%;k

=3`:`1`:`5

⑵ x`:`y`:`z=3`:`1`:`5이므로

x=3k, y=k, z=5k(k+0)로 놓으면

xy-yz+zxxÛ`+yÛ`+zÛ`

=3k´k-k´5k+5k´3k(3k)Û`+kÛ`+(5k)Û`

=13kÛ`35kÛ`

= 1335

답 ⑴ 3`:`1`:`5 ⑵ ;3!5#;

147⑴ 다항식인 것은 ㄷ, ㄹ이다.

⑵ 다항식이 아닌 유리식은 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ이다.

답 ⑴ ㄷ, ㄹ ⑵ ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ


28 Ⅱ. 함수

=a(xÛ`+x+1)+(bx+c)(x-1)(x-1)(xÛ`+x+1)

= (a+b)xÛ`+(a-b+c)x+a-cxÜ`-1

따라서 2x+4xÜ`-1

=(a+b)xÛ`+(a-b+c)x+a-c

xÜ`-1가 x에 대한 항등식이므로

a+b=0, a-b+c=2, a-c=4

세 식을 연립하여 풀면

a=2, b=-2, c=-2

∴ abc=8

답 8

다른풀이집xÜ`-1=(x-1)(xÛ`+x+1)이므로 주어진

식의 양변에 (x-1)(xÛ`+x+1)을 곱하여 정리하면

2x+4 =a(xÛ`+x+1)+(bx+c)(x-1)

=(a+b)xÛ`+(a-b+c)x+a-c

이 식은 x에 대한 항등식이므로

a+b=0, a-b+c=2, a-c=4

세 식을 연립하여 풀면

a=2, b=-2, c=-2

154주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면

2x+

ax-1+

bx-2

=2(x-1)(x-2)+ax(x-2)+bx(x-1)

x(x-1)(x-2)

=(2+a+b)xÛ`+(-6-2a-b)x+4

x(x-1)(x-2)

따라서

(2+a+b)xÛ`+(-6-2a-b)x+4x(x-1)(x-2)

= -x+4x(x-1)(x-2)

가 x에 대한 항등식이므로

2+a+b=0, -6-2a-b=-1

두 식을 연립하여 풀면

a=-3, b=1

∴ a-b=-4

답 -4

151⑴

x+2xÛ`+3x

_x+32x =

x+2x(x+3)

_ x+32x

=x+22xÛ`

⑵ xÛ`-1x+2 Ö

x+1x =

(x-1)(x+1)x+2 _

xx+1

=x(x-1)x+2

답 ⑴ x+22xÛ`

⑵ x(x-1)x+2

152⑴

3x+1xÛ`-1

-2x+3

xÛ`+3x+2

=3x+1

(x-1)(x+1)-

2x+3(x+1)(x+2)

= (3x+1)(x+2)-(2x+3)(x-1)

(x-1)(x+1)(x+2)

=3xÛ`+7x+2-(2xÛ`+x-3)

(x-1)(x+1)(x+2)

=xÛ`+6x+5

(x-1)(x+1)(x+2)

=(x+1)(x+5)

(x-1)(x+1)(x+2)

=x+5

(x-1)(x+2)

⑵ 6xÛ`-x-1

xÛ`-9_

xÛ`-x-63xÛ`-2x-1

Ö2xÛ`+3x-2xÛ`+2x-3

= (2x-1)(3x+1)(x-3)(x+3)

_(x-3)(x+2)(x-1)(3x+1)

Ö(2x-1)(x+2)(x-1)(x+3)

= (2x-1)(3x+1)(x-3)(x+3)

_(x-3)(x+2)(x-1)(3x+1)

_(x-1)(x+3)(2x-1)(x+2)

=1

답 ⑴ x+5

(x-1)(x+2) ⑵ 1

153주어진 식의 우변을 통분하여 정리하면

ax-1+

bx+cxÛ`+x+1


확인체크

개념원리

익히기


= (x+1)(x-2)-1x+1 - (x-1)(x-2)+1

x-1

={x-2- 1x+1 }-{x-2+ 1

x-1 }

=- 1x+1-

1x-1

=-(x-1)-(x+1)(x+1)(x-1)

= -2x(x+1)(x-1)

답 풀이 참조

다른풀이집⑷ 분자를 분모로 직접 나누어서 다항식과

분수식의 합으로 나타내어 계산할 수도 있다.

x`-2

x+1 <ÔxÛ`-x-3

xÛ`+x

Ô``-2x-3

``-2x-2

Ô``-2x-1

x`-2

x-1 <ÔxÛ`-3x+3

xÛ`- x

Ô``-2x+3

-2x+2

Ô` 2x--1

∴ xÛ`-x-3x+1

=x-2- 1x+1

∴ xÛ`-3x+3

x-1

=x-2+ 1x-1

156

⑴ 11´3+

13´5 +

15´7+

17´9+

19´11

=;2!;{1-;3!;}+;2!;{;3!;-;5!;}+;2!;{;5!;-;7!;}

+;2!;{;7!;-;9!;}+;2!;{;9!;-;1Á1;}

=;2!;[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}

+{;7!;-;9!;}+{;9!;-;1Á1;}]

=;2!;{1-;1Á1;}=;1°1;

⑵ 1

xÛ`+x+ 2

xÛ`+4x+3+ 3

xÛ`+9x+18- 6

xÛ`+6x

= 1

x(x+1)+ 2

(x+1)(x+3)

+ 3(x+3)(x+6)

- 6x(x+6)

=�{ 1x - 1

x+1 }+{1

x+1-1

x+3 }

155⑴

1x+1+

1x+2-

1x+3-

1x+4

={ 1x+1-

1x+3 }+{

1x+2-

1x+4 }

= 2(x+1)(x+3)

+ 2(x+2)(x+4)

=2(x+2)(x+4)+2(x+1)(x+3)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

= 2(2xÛ`+10x+11)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

⑵ 1

x-1-1x-

1x+2+

1x-3

={ 1x-1-

1x+2 }+{

1x-3-

1x }

= 3(x-1)(x+2)

+ 3x(x-3)

= 3x(x-3)+3(x-1)(x+2)x(x-1)(x+2)(x-3)

= 6(xÛ`-x-1)x(x-1)(x+2)(x-3)

⑶ x+3x+4 +

x+7x+8-

x+1x+2-

x+5x+6

=(x+4)-1x+4

+ (x+8)-1x+8

-(x+2)-1

x+2 -(x+6)-1

x+6

={1- 1x+4 }+{1-

1 x+8 }

-{1- 1x+2 }-{1-

1x+6}

=- 1x+4-

1x+8+

1x+2+

1x+6

={ 1x+2-

1x+4 }+{

1x+6

- 1x+8 }

= 2(x+2)(x+4)

+ 2(x+6)(x+8)

=2(x+6)(x+8)+2(x+2)(x+4)(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)

=4(xÛ`+10x+28)

(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)

⑷ xÛ`-x-3x+1 - xÛ`-3x+3

x-1

= (xÛ`-x-2)-1x+1 - (xÛ`-3x+2)+1

x-1


30 Ⅱ. 함수

=x+2x _ x+1

(x+2)(x-4)

= x+1x(x-4)

답 ⑴ ab ⑵

x-2yx ⑶

x+1x(x-4)

159⑴ xÛ`+ 1

xÛ`={x- 1

x }Û`+2=2Û`+2=6

⑵ {x+ 1x }

Û`={x- 1x }

Û`+4=2Û`+4=8

∴ x+ 1x=Ñ2'2

∴ xÛ`- 1xÛ`

={x+ 1x }{x-

1x }

=(Ñ2'2`)´2=Ñ4'2

⑶ xÜ`- 1xÜ`

={x-;[!;}3`+3{x-;[!;}

=2Ü`+3´2=14

답 ⑴ 6 ⑵ Ñ4'2 ⑶ 14

1602xÛ`-5x+2=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면

2x-5+ 2x=0, 2x+ 2

x=5 ∴ x+ 1x= 5

2

xÛ`+ 1xÛ`

={x+ 1x }

Û`-2={ 52 }Û`-2= 17

4

xÜ`+ 1xÜ`

={x+ 1x }

Ü`-3{x+ 1x }

={ 52 }Ü`-3´ 52=

658

∴ 8xÜ`+4xÛ`+4xÛ`

+8xÜ`

=8{xÜ`+ 1xÜ`}+4{xÛ`+ 1

xÛ`}�

=8´ 658 +4´ 174 =82

답 82

161xÛ`+ 1

xÛ`=7에서

{x+ 1 x }

Û`-2=7, {x+ 1 x }

Û`=9

+{ 1x+3-

1x+6 }-{

1x - 1

x+6 }

=0

답 ⑴ ;1°1; ⑵ 0

157주어진 식의 좌변을 간단히 하면

22 {

1x-2-

1x }+

44 {

1x-

1x+4 }

+66 {

1x+4-

1x+10 }

= 1x-2-

1x+10=

x+10-(x-2)(x-2)(x+10)

= 12(x-2)(x+10)

따라서 12

(x-2)(x+10)=

a(x+b)(x+c)

가 성립

하려면

a=12, b=-2, c=10 또는 a=12, b=10, c=-2

∴ a+b+c=20

답 20

158

⑴

1a-b +

1a+b

1a-b -

1a+b

=

(a+b)+(a-b)(a-b)(a+b) (a+b)-(a-b)(a-b)(a+b)

= 2a2b =

ab

⑵

1- 2x-y x+y �

yx+y-1

=

x+y-(2x-y)x+y

y-(x+y)x+y

=-x+2y-x = x-2y

x

⑶

1+ 2x

x-3- 5x+1

=

x+2x

(x-3)(x+1)-5 x+1

=

x+2x

xÛ`-2x-8x+1


확인체크

개념원리

익히기


⑵ y=-1x+2의 그래프는 y=-

1x의 그래프를 y축

의 방향으로 2만큼 평행이

동한 것이다.

따라서 주어진 함수의 그

래프는 오른쪽 그림과 같

고 점근선의 방정식은

x=0, y=2이다.

답 ⑴ 풀이 참조, x=1, y=0

⑵ 풀이 참조, x=0, y=2

165y= 4

x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향

으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은

y-(-3)= 4 x-2

∴ y=4

x-2-3

답 y= 4x-2-3

166⑴ y=

4x-15x-3 =

4(x-3)-3x-3 =-

3x-3+4

⑵ y=-5x-7x+2 =

-5(x+2)+3x+2 =

3x+2-5

답 ⑴ y=- 3x-3+4 ⑵ y= 3

x+2-5

167⑴ y=-

2x+2+1이므로

O x

y

-2

1 점근선의 방정식은

x=-2, y=1

x절편과 y절편을 구하면

y=0일 때, x=0

x=0일 때, y=0

따라서 그래프는 위의 그림과 같으므로

정의역：{x|x+-2인 실수}

치역：{y|y+1인 실수}

O

2

;2!; x

y

∴ x+1 x=3 (∵ x>0)

∴ xÜ`+1 xÜ`

={x+ 1 x }

Ü`-3{x+ 1 x }

=3Ü`-3´3=18

답 18

162x+ 1

y=1에서 x=1- 1 y =

y-1y

∴ 12x=

y2(y-1)

y+ 1 2z=1에서

1 2z=1-y ∴ z= 1

2(1-y)

∴ z+ 12x = 1

2(1-y)+ y

2(y-1)

= -12(y-1)

+ y2(y-1)

= y-12(y-1)

=;2!;

답 ;2!;

163⑴

O-1

-1-2

-2

1

1

2

2

y=-2x

x

y ⑵

O-3 -13

11

3

-1

-3y=--3x

x

y

답 풀이 참조

164⑴ y=

1x-1의 그래프는 y=

1x의 그래프를 x축의 방

향으로 1만큼 평행이동한

것이다.

따라서 주어진 함수의 그


고 점근선의 방정식은

x=1, y=0이다.

O

-11 x

y


32 Ⅱ. 함수

169y= ax+3

x+1 =a(x+1)-a+3

x+1 = -a+3 x+1 +a이므

로 y=ax+3 x+1 의 그래프는 y=

-a+3 x 의 그래프를

x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행

이동한 것이고 이 그래프를 평행이동하면 y=4x 의 그

래프와 겹쳐지므로

-a+3=4 ∴ a=-1

답 -1

170y= 2x+3

x+2 = 2(x+2)-1x+2 =- 1

x+2+2

이므로 y=2x+3x+2 의 그래프는 y=- 1

x 의 그래프를

x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행

이동한 것이다.

y=;2#;일 때 x=0이고,

y=3일 때 x=-3이므로 오른

쪽 그림에서 치역이

[y|yÉ;2#; 또는 y¾3]일 때,

정의역은

{x|-3Éx<-2 또는 -2<xÉ0}

답 {x|-3Éx<-2 또는 -2<xÉ0}

171점근선의 방정식이 x=-2, y=4이므로

y= k x+2+4`(k+0) yy`㉠

로 놓으면 ㉠의 그래프가 점 (3, 1)을 지나므로

1= k3+2+4 ∴ k=-15

k=-15를 ㉠에 대입하면

y= -15x+2+4=-15+4(x+2)

x+2 = 4x-7x+2

이 식을 주어진 식 y=bx+cx+a 와 비교하면

a=2, b=4, c=-7

O x-2-3

32

2

3

y

⑵ y=-2x+1x+3 =

-2(x+3)+7x+3 =

7x+3 -2이

므로 점근선의 방정식은

Ox

y

-2

-3

13

12

x=-3, y=-2


y=0일 때, x=;2!;

x=0일 때, y=;3!;

따라서 그래프는 위의 그림과 같으므로

정의역：{x|x+-3인 실수}

치역：{y|y+-2인 실수}

⑶ y =4x

3-2x=-4x2x-3

=-2(2x-3)-62x-3

=- 62x-3-2

점근선의 방정식은

x=;2#;, y=-2


O x

y

-2

32 y=0일 때, x=0

x=0일 때, y=0

따라서 그래프는 오른쪽 그

림과 같으므로

정의역：[x|x+;2#;인 실수]

치역：{y|y+-2인 실수}

답 풀이 참조

168y=- 3

x 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의

방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=- 3x-3-2=-2x+3

x-3

이 식이 y= ax+bx-c 와 같아야 하므로

a=-2, b=3, c=3

∴ abc=-18

답 -18


확인체크

개념원리

익히기


의 교점인 (-4, 2)에 대하여 대칭이다.

즉 점근선의 방정식은 x=-4, y=2이므로 k+0인

상수 k에 대하여

y= kx+4+2= 2x+8+k

x+4 = bx+3x+a

이므로 a=4, b=2, 8+k=3

∴ a=4, b=2, k=-5

∴ a-b=2

다른풀이 2 y= bx+3x+a 의 그래프의 점근선의 방정식

은 x=-a, y=b이고, 두 점근선의 교점 (-a, b)는

두 직선 y=x+6, y=-x-2의 교점과 같다.

두 직선 y=x+6, y=-x-2의 교점이 (-4, 2)이

므로

-a=-4, b=2

∴ a=4, b=2

∴ a-b=2

175주어진 유리함수의 그래프의 점근선의 방정식이

x=3, y=2이므로 함수의 식을

y= kx-3+2`(k>0) yy ㉠

로 놓으면 ㉠의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로

0= k2-3+2 ∴ k=2

k=2를 ㉠에 대입하면 y= 2x-3+2

∴ a=-3, b=2, k=2

∴ a+b+k=1

답 1

176y= x

x-1=1

x-1+1이므로

O 1

1

3-3

32

x

y

34

|x|¾3, 즉 x¾3 또는

xÉ-3에서 주어진 유리함수

의 그래프는 오른쪽 그림과 같

다. 따라서

∴ a+b+c=-1

답 -1

172

y= 5x+62x+3 =

5 2 (2x+3)- 3

2 �2x+3 =

- 3 2 �

2x+3 + 52 이므

로 점근선의 방정식은 x=-32 , y=

52

따라서 주어진 유리함수의 그래프는 두 점근선의 교점

{-32 ,

52 }에 대하여 대칭이므로

a=-32 , b= 5

2

∴ a+b=1

답 1

173y= 3x+4

x+2 = 3(x+2)-2x+2 =- 2

x+2+3

이므로 주어진 유리함수의 그래프는 두 점근선

x=-2, y=3의 교점 (-2, 3)을 지나고 기울기가

Ñ1인 두 직선에 대하여 대칭이다.

따라서 직선 y=-x+k는 점 (-2, 3)을 지나므로

3=2+k ∴ k=1

답 1

174y= bx+3

x+a =b(x+a)-ab+3

x+a = -ab+3x+a +b이

므로 점근선의 방정식은 x=-a, y=b

이때 두 점근선의 교점인 (-a, b)가 두 직선

y=x+6, y=-x-2의 교점이므로

b=-a+6, b=a-2


a=4, b=2

∴ a-b=2

답 2

다른풀이 1 함수 y=bx+3x+a 의 그래프는 두 직선

y=x+6, y=-x-2에 대하여 대칭이므로 두 직선


34 Ⅱ. 함수

179y= 3

x-1+2의 그래프

O 112 -1

-

2

x

y y=m(x-1)+2

y= +23x-1

는 y=3x 의 그래프를 x

축의 방향으로 1만큼, y

축의 방향으로 2만큼 평

행이동한 것이므로 오른


또 mx-y-m+2=0에서

m(x-1)-y+2=0 yy ㉠

이므로 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를

지난다.

따라서 위의 그림에서 직선 ㉠의 기울기가 음수이거나

점근선(m=0)인 경우에는 교점이 생기지 않으므로

주어진 유리함수의 그래프와 직선 ㉠이 만나려면 직선

㉠의 기울기가 양수가 되어야 한다.

∴ m>0

답 m>0

180f`Û`(x) =( f½f )(x)=f( f(x))

=3´ 3x-3

x-3 -3

3x-3x-3 -3

=

(9x-9)-3(x-3)x-3

(3x-3)-3(x-3)x-3

=6x6 =x

f`Ü`(x)=( f½f`Û`)(x)=f( f`Û`(x))=f(x)

f`Ý`(x)=( f½f`Ü`)(x)=f( f`Ü`(x))=f( f(x))=x

⋮

따라서 자연수 n에 대하여

f(x)=f`Ü`(x)=f`Þ`(x)=y=f`Û`Ç` ÑÚ`(x)= 3x-3x-3

f`Û`(x)=f`Ý`(x)=f`ß`(x)=y=f`Û`Ç`(x)=x

x=3일 때, (최댓값)=;2#;

x=-3일 때, (최솟값)=;4#;

이므로 최댓값과 최솟값의 합은 ;2#;+;4#;=;4(;

답 ;4(;

177y= 3x+k

x+2 = 3(x+2)+k-6x+2 = k-6

x+2+3

k>6에서 k-6>0이므로

O xa-2

3

yk20ÉxÉa에서 주어진 유리함

수의 그래프는 오른쪽 그림과

같다.

x=0일 때 최댓값이 5이므로

5= k2 ∴ k=10

x=a일 때 최솟값이 4이므로

4= 3a+10a+2 ∴ a=2

∴ a+k=2+10=12

답 12

178유리함수 y=-

3x+3의 그래프와 직선 y=3x+a가

한 점에서 만나려면

- 3x+3=3x+a에서 3xÛ`+(a-3)x+3=0

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라

할 때

D=(a-3)Û`-4´3´3=0

aÛ`-6a-27=0, (a+3)(a-9)=0

∴ a=-3 또는 a=9

따라서 모든 실수 a의 값의 합은

-3+9=6

답 6


확인체크

개념원리

익히기


(-9, 3)을 지난다.

3=-9a+b9+2 ∴ -9a+b=33 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=-2, b=15

답 a=-2, b=15

184⑴ '¶x+1에서 x+1¾0 ∴ x¾-1

⑵ '¶x-1에서 x-1¾0 ∴ x¾1 yy ㉠

� '2¶x+4에서 2x+4¾0 ∴ x¾-2 yy ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는

x¾1

⑶ '¶x+3에서 x+3¾0 ∴ x¾-3 yy ㉠

1

'¶2-x에서 2-x>0 ∴ x<2 yy ㉡


-3Éx<2

⑷ 분자 '2¶x-1에서 2x-1¾0

∴ x¾ 12 yy ㉠

분모 '¶4-x에서 4-x>0

∴ x<4 yy ㉡


12Éx<4

답 ⑴ x¾-1 ⑵ x¾1

⑶ -3Éx<2 ⑷ 12Éx<4

185⑴

x'¶x+4-2

=x('¶x+4+2)

('¶x+4-2)('¶x+4+2)

=x('¶x+4+2)x+4-4

='¶x+4+2

⑵ 6

'¶x+3-'¶x-3

=6('¶x+3+'¶x-3)

('¶x+3-'¶x-3)('¶x+3+'¶x-3)

∴ f`á`á`á`(6)=f(6)=3´6-36-3 =5

답 5

181(`f`ÑÚ`)ÑÚÚ`=`f이므로 f`ÑÚ`(x)의 역함수를 구하면 f(x)

이다.

y=-x+32x-1 으로 놓고 x에 대하여 정리하면

y(2x-1)=-x+3, (2y+1)x=y+3

∴ x=y+32y+1

x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면

y= x+32x+1

∴ `f(x)=x+32x+1

∴ a=1, b=3, c=1

답 a=1, b=3, c=1

182f`ÑÚ`½f=I (항등함수)이므로

( f`ÑÚ`½f½f`ÑÚ`)(5)=(I½f`ÑÚ`)(5)=f`ÑÚ`(5)

f`ÑÚ`(5)=k라 하면 f(k)=5

3k-1k-2 =5, 3k-1=5k-10

∴ k= 92

∴ ( f`ÑÚ`½f½f`ÑÚ`)(5)=f`ÑÚ`(5)=92

답 92

183f(x)= ax+b

-x+2의 그래프가 점 (3, -9)를 지나므로

-9= 3a+b-3+2 ∴ 3a+b=9 yy ㉠

또 f(x)=ax+b-x+2의 역함수의 그래프가 점

(3, -9)를 지나므로 f(x)= ax+b-x+2 의 그래프는 점


36 Ⅱ. 함수

41-x = 4

1- '22

=8

2-'2=8(2+'2)

(2-'2)(2+'2)

=8(2+'2)

2 =4(2+'2)

답 4(2+"2)

188⑴

1x+"ÃxÛ`-1

+1

x-"ÃxÛ`-1

=(x-"ÃxÛ`-1)+(x+"ÃxÛ`-1)(x+"ÃxÛ`-1)(x-"ÃxÛ`-1)

=2x

xÛ`-(xÛ`-1)

=2x

⑵ x

'x+'Äx-1- x'x-'Äx-1

=x('x-'Äx-1)-x('x+'Äx-1)

('x+'Äx-1)('x-'Äx-1)

=x'§x-x'Äx-1-x'§x-x'Äx-1

x-(x-1)

=-2x'Äx-1

답 ⑴ 2x ⑵ -2x"Ãx-1

189x= 1'2-1

='2+1, y= 1'2+1

='2-1에서

x+y=2'2, xy=1, x-y=2이므로

'x+'y'x-'y =

('x+'y)Û`('x-'y)('x+'y)

=x+y+2'¶xy

x-y

=2'2+2'1

2

='2+1

답 "2+1

190ㄴ. y=-'5x는 다항함수이다.

ㄷ. y="(Ã2-x)Û`는 xÉ2일 때 y=2-x, x>2일 때

y=-2+x이므로 무리함수가 아니다.

Û x>0, y>0이므로

'x'y='¶xy

=6('¶x+3+'¶x-3)(x+3)-(x-3)

='¶x+3+'¶x-3

⑶ '¶x-2-1'¶x-2+1

=('¶x-2-1)Û`

('¶x-2+1)('¶x-2-1)

=x-2-2"�x-2+1

x-2-1

=x-1-2'Äx-2

x-3

답 ⑴ "�x+4+2 ⑵ "�x+3+"�x-3

⑶ x-1-2'Äx-2

x-3

186⑴

1'x+'y -

1'x-'y

=('x-'y)-('x+'y)('x+'y)('x-'y)

=-2'yx-y

⑵ 2x

2-'¶x+1+ 2x

2+'¶x+1

=2x(2+'¶x+1)+2x(2-'¶x+1)

(2-'¶x+1)(2+'¶x+1)

=4x+2x'¶x+1+4x-2x'¶x+1

4-(x+1)

= 8x3-x

답 ⑴ -2'yx-y ⑵

8x3-x

187주어진 식을 간단히 하면

21-'x+

21+'x =

2(1+'x)+2(1-'x)(1-'x)(1+'x)

= 41-x

x= 1'2

='22 를 대입하면


확인체크

개념원리

익히기


193

⑴ y=1-'Äx-2의 그래프는

y=-'x의 그래프를 x축의

방향으로 2만큼, y축의 방향

으로 1만큼 평행이동한 것이

므로 오른쪽 그림과 같다.

∴ 정의역：{x|x¾2}, 치역：{y|yÉ1}

⑵ y=-'Ä-x+1-2=-"Ã-(x-1)-2의 그래프

는 y=-'Ä-x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼,

y축의 방향으로 -2만큼

평행이동한 것이므로 오른


∴ 정의역：{x|xÉ1},

치역：{y|yÉ-2}

⑶ y='Ä3x-2-1=¾¨3{x-;3@;}-1

의 그래프는 y='3§x의 그래

프를 x축의 방향으로 23 만

큼, y축의 방향으로 -1만큼

평행이동한 것이므로 오른쪽

그림과 같다.

∴ 정의역：[x|x¾;3@;], 치역：{y|y¾-1}

⑷ y='Ä6-2x+2="�-2(x-3)+2의 그래프는

y='Ä-2x의 그래프를 x축

의 방향으로 3만큼, y축의

방향으로 2만큼 평행이동한

것이므로 오른쪽 그림과 같

다.

∴ 정의역：{x|xÉ3}, 치역：{y|y¾2}

답 풀이 참조

194y=-'Äax+9+2에서 y-2=-'Äax+9

ax+9¾0에서 ax¾-9

이때 정의역이 {x|x¾-3}이려면 a>0이어야 하므

로

따라서 무리함수는 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다.

답 ㄱ, ㄹ, ㅁ

191⑴ -3-x¾0에서 xÉ-3이므로

정의역은 {x|xÉ-3}

⑵ x+2¾0에서 x¾-2이므로

정의역은 {x|x¾-2}

⑶ 2x-4¾0에서 x¾2이므로

정의역은 {x|x¾2}

⑷ 1-xÛ`¾0에서 xÛ`-1É0

(x+1)(x-1)É0 ∴ -1ÉxÉ1

따라서 정의역은 {x|-1ÉxÉ1}

답 ⑴ {x|xÉ-3} ⑵ {x|x¾-2}

⑶ {x|x¾2} ⑷ {x|-1ÉxÉ1}

192⑴ y='9§x의 그래프는

오른쪽 그림과 같다.

∴ 정의역 : {x|x¾0},

치역 : {y|y¾0}

⑵ y=-'9§x의 그래프는


∴ 정의역 : {x|x¾0},

치역 : {y|yÉ0}

⑶ y='Ä-9x의 그래프는


∴ 정의역 : {x|xÉ0},

치역 : {y|y¾0}

⑷ y=-'Ä-9x의 그래프는


∴ 정의역 : {x|xÉ0},

치역 : {y|yÉ0}

답 풀이 참조

O 1

3

x

y

y='¶9x

O1

-3

x

y

y=-'¶9x

O-1

3

x

y

y= -9x

-1O

-3

x

y

y=- -9x


38 Ⅱ. 함수

㉠의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로

1='4 §a-1, '4 §a=2

4a=4 ∴ a=1

a=1을 ㉠에 대입하면

y="Ã-(x-4)-1='Ä-x+4-1

따라서 a=1, b=4, c=-1이므로

a+b+c=4

답 4

198y='Ä2x-4+a="Ã2(x-2)+a이므로 그래프는

y='2§x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방

향으로 a만큼 평행이동한 것이고, x=2일 때 최솟값

a를 갖는다.

∴ a=1

따라서 점 (b, 3)은 y='Ä2x-4+1의 그래프 위의 점

이므로

3="Ã2b-4+1, "Ã2b-4=2

2b-4=4 ∴ b=4

∴ a+b=5

답 5

199y='Ä-3x+a+1=¾-3{x-;3A;}+1

이므로 그래프는


의 방향으로 a3 만큼, y축의

방향으로 1만큼 평행이동

한 것이고

x=-5일 때, y='Ä15+a+1

x=-1일 때, y='Ä3+a+1

이므로 -5ÉxÉ-1에서 그래프는 위의 그림과 같

다.

따라서 최댓값은 'Ä15+a+1, 최솟값은 'Ä3+a+1이

다.

이때 최솟값이 3이므로

ax¾-9의 양변을 a로 나누면 x¾- 9a

즉 -9a=-3 ∴ a=3

또, -'Äax+9É0에서 y-2É0, 즉 yÉ2이고

치역이 {y|yÉb}이므로 b=2

∴ ab=3´2=6

답 6

195y='Äax-3+2의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼, y

축의 방향으로 c만큼 평행이동하면

y="Ãa(x-b)-3+2+c

∴ y='Äax-ab-3+2+c

이 함수의 그래프가 y='5Äx+2의 그래프와 일치하므

로

a=5, -ab-3=2, 2+c=0

따라서 a=5, b=-1, c=-2이므로

a+bc=5+(-1)´(-2)=7

답 7

196y='Ä-x+2의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축

의 방향으로 -2만큼 평행이동하면

y="�-(x-1)+2-2 Û x 대신 x-1,

∴ y='Ä-x+3-2 y 대신 y+2 대입

이 그래프를 다시 y축에 대하여 대칭이동하면

y="�-(-x)+3-2 Û x 대신 -x 대입

∴ y='Äx+3-2


a+b+c=2

답 2

197주어진 함수의 그래프는 y='Ä-ax (a>0)의 그래프

를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평

행이동한 것이므로

y="Ã-a(x-4)-1 yy ㉠


확인체크

개념원리

익히기


나 Ú과 Û 사이에 있을 때이므로

-2Ék<-1

⑵ 한 점에서 만나는 경우는 직선이 Ú보다 아래쪽에

있거나 Û일 때이므로

k<-2 또는 k=-1

⑶ 만나지 않는 경우는 직선이 Û보다 위쪽에 있을 때

이므로 k>-1

답 ⑴ -2Ék<-1

⑵ k<-2 또는 k=-1

⑶ k>-1

202y =-'Ä6-2x

=-"Ã-2(x-3)

의 그래프는

y=-'Ä-2x의 그래

프를 x축의 방향으로

3만큼 평행이동한 것이고, y=x+k는 기울기가 1이

고 y절편이 k인 직선이다.

Ú 직선 y=x+k가 점 (3, 0)을 지날 때,

0=3+k ∴ k=-3

Û y=-'Ä6-2x의 그래프와 직선 y=x+k가 접할

때,

-'Ä6-2x=x+k의 양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+2(k+1)x+kÛ`-6=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D4 =(k+1)Û`-(kÛ`-6)=0

2k+7=0 ∴ k=-;2&;

무리함수의 그래프와 직선이 서로 다른 두 점에서 만

나려면 직선이 Ú이거나 Ú과 Û 사이에 있을 때이므

로

-;2&;<kÉ-3

답 -;2&;<kÉ-3

3

y=x+k ÚÛ

y=-'Ä6-2x

O x

y

'Ä3+a+1=3, 'Ä3+a=2

3+a=4솟솟∴ a=1

∴ (최댓값)='Ä15+a+1='Ä15+1+1=5

답 5

200y='Ä3-2x+2=¾-2{x- 3

2 }+2이므로 그래프는


의 방향으로 32 만큼, y축의

방향으로 2만큼 평행이동한

것이므로 -3ÉxÉa에서

y='3 Ä-2x+2의 그래프

는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 x=-3일 때 최댓값 b, x=a일 때 최솟값 3을

가지므로

b="Ã3-2´(-3)+2, 'Ä3-2a+2=3

∴ a=1, b=5

∴ b-a=4

답 4

201y='Ä4x-8="Ã4(x-2)의

그래프는 y='Ä4x의 그래프

를 x축의 방향으로 2만큼 평

행이동한 것이고, y=x+k

는 기울기가 1이고 y절편이

k인 직선이다.

Ú 직선 y=x+k가 점 (2, 0)을 지날 때,

0=2+k ∴ k=-2

Û y='Ä4x-8의 그래프와 직선 y=x+k가 접할 때,

'Ä4x-8=x+k의 양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+2(k-2)x+kÛ`+8=0


D4 =(k-2)Û`-(kÛ`+8)=0

-4k-4=0 ∴ k=-1

⑴ 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 직선이 Ú이거

O x

yy='Ä3-2x+2

b

a-3

32

;2#;


40 Ⅱ. 함수

므로 역함수의 정의역은 {x|x¾1}이다.

y='Ä-x+a+1이라 하면 y-1='Ä-x+a

양변을 제곱하면

(y-1)Û`=-x+a

∴ x=-(y-1)Û`+a

x와 y를 서로 바꾸면 y=-(x-1)Û`+a

∴ g(x)=-(x-1)Û`+a (x¾1)

g(2)=3이므로

-(2-1)Û`+a=3 ∴ a=4

∴ g(1)=-(1-1)Û`+4=4

답 4

다른풀이 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고

g(2)=3이므로 f(3)=2

f(3)='Ä-3+a+1=2

'Ä-3+a=1, -3+a=1 ∴ a=4

∴ f(x)='Ä-x+4+1

g(1)=k라 하면 f(k)=1

f(k)="Ã-k+4+1=1

"Ã-k+4=0, -k+4=0 ∴ k=4

즉 g(1)=4

206함수 y=f(x)의 그래프와 그

역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프

는 오른쪽 그림과 같이 직선

y=x에 대하여 대칭이므로

f(x)=-"Ã2-x의 그래프와

그 역함수의 그래프의 교점은

함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.

즉 -"Ã2-x=x yy ㉠

에서 ㉠의 양변을 제곱하면 2-x=xÛ`

xÛ`+x-2=0, (x-1)(x+2)=0

∴ x=1 또는 x=-2

그런데 ㉠에서 xÉ0이므로 x=-2

따라서 교점의 좌표가 (-2, -2)이므로

a=-2, b=-2

∴ a+b=-4

답 -4

y=x

O

22

x

y

y=f(x)

y=f`-1(x)

203y=-"Ãax+b+c=-¾a ¨{x+ b

a }+c의 그래프는

y=-'¶ax의 그래프를 평행이동한 것이므로 그래프의

시작점은 {-ba , c}이고 주어진 그림에서 a>0,

- ba<0, c<0이다.

즉 a>0, b>0, c<0 yy ㉠

y =ax+bx+c = a(x+c)-ac+b

x+c

=-ac+bx+c +a yy ㉡

㉡의 점근선의 방정식은 x=-c, y=a이고 ㉠에 의해

-c>0, a>0

한편, ㉡에서 -ac+b>0이고 y절편은 bc <0이므로

함수 y=ax+bx+c 의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ①

이다.

답 ①

204무리함수 y=4-'Ä2x+6의 치역은 {y|yÉ4}이므로

역함수의 정의역은 {x|xÉ4}이다.

y=4-'Ä2x+6에서 y-4=-'Ä2x+6


yÛ`-8y+16=2x+6

∴ x=;2!;yÛ`-4y+5

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는

y=;2!;xÛ`-4x+5 (xÉ4)

따라서 a=;2!;, b=-4, c=5, d=4이므로

a+b+c+d=112

답 112

205무리함수 f(x)='Ä-x+a+1의 치역은 {y|y¾1}이


확인체크

개념원리

익히기


209( f½(g½f)ÑÚ`½f )(1)

=( f½f ÑÚ`½g ÑÚ`½f )(1)� �

=(g ÑÚ`½f )(1)� �

=g ÑÚ`( f(1))� �

=g ÑÚ`(3)��Û�f(1)= 1+51+1 =3

이때�g ÑÚ`(3)=k라�하면�g(k)=3

∴�"Ã2k-2=3

양변을�제곱하면�

2k-2=9� � ∴�k= 112

∴�g ÑÚ`(3)= 112

∴�( f½(g½f )ÑÚ`½f )(1)=112

답 112

207f ÑÚ`(3)=k라�하면�f(k)=3

∴�"Ã5k-1=3


5k-1=9� � ∴�k=2

∴�f ÑÚ`(3)=2

답 2

208(g ÑÚ`½f`) ÑÚ`(2)�=(`f ÑÚ`½g)(2)� �

=f ÑÚ`(g(2))� �=f ÑÚ`(4)��Û�g(2)="Ã4+5+1=4

이때�f ÑÚ`(4)=k라�하면�f(k)=4

∴�"Ãk+3=4


k+3=16� � ∴�k=13

∴�f ÑÚ`(4)=13

∴�(g ÑÚ`½f )ÑÚ`(2)=13

답 13


42 Ⅲ. 경우의 수

212모자를 고르는 방법은 4가지, 티셔츠를 고르는 방법은

3가지, 바지를 고르는 방법은 5가지이다.

따라서 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여

4_3_5=60

답 60

213집에서 도서관까지 가는 방법의 수는 3

도서관에서 학교까지 가는 방법의 수는 4

따라서 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여

3_4=12

답 12

2141부터 100까지의 자연수 중 5로 나누어떨어지는 수의

집합, 즉 5의 배수의 집합을 A, 7로 나누어떨어지는

수의 집합, 즉 7의 배수의 집합을 B라 하면

n(A)=20, n(B)=14

또 A;B는 5와 7의 공배수, 즉 35의 배수의 집합이

므로 n(A;B)=2

따라서 5 또는 7로 나누어떨어지는 수의 개수는

n(A'B)‌‌=n(A)+n(B)-n(A;B)‌‌

=20+14-2‌ ‌

=32

답 32

215(a+b+c)(x+y+z)(p+q)를 전개하면 a, b, c에

x, y, z를 각각 곱하여 항이 만들어지고, 그것에 다시

p, q를 각각 곱하여 항이 만들어지므로 구하는 항의 개

수는 3_3_2=18

답 18

216(a+b+c)Û`(x+y)

=(aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab+2bc+2ca)(x+y)

Ⅲ. 경우의 수

210김밥 4종류 중 한 가지를 택하는 경우는 4가지,

라면 3종류 중 한 가지를 택하는 경우는 3가지,

볶음밥 3종류 중 한 가지를 택하는 경우는 3가지이다.

따라서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여

4+3+3=10 답 10

211주사위 한 개를 두 번 던져서 처음 나온 눈의 수를 a,

두 번째 나온 눈의 수를 b라 하자.

⑴‌‌‌a+b¾11이므로 a+b=11 또는 a+b=12인 경

우이다.

Ú a+b=11일 때

a=5, b=6 또는 a=6, b=5의 2가지

Û a+b=12일 때

a=6, b=6의 1가지

두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우

의 수는 합의 법칙에 의하여

2+1=3

⑵ |a-b|É2이므로 |a-b|=0 또는 |a-b|=1

또는 |a-b|=2인 경우이다.

Ú |a-b|=0일 때 순서쌍 (a, b)는

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

의 6개

Û |a-b|=1일 때 순서쌍 (a, b)는

(6, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1),

(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)

의 10개

Ü |a-b|=2일 때 순서쌍 (a, b)는

(6, 4), (5, 3), (4, 2), (3, 1),

(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)

의 8개

따라서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여

6+10+8=24

답 ⑴ 3 ⑵ 24


확인체크

개념원리

익히기


따라서 구하는 3의 배수의 개수는

24-12=12

답 12

221같은 도로를 두 번 이상 지나지 않으면서 A지점에서

출발하여 C지점으로 이동한 후 다시 A지점으로 돌아

오는 경우는 다음 네 가지 경우가 있다.

Ú A → C → A로 가는 경우의 수는

3_2=6

Û A → B → C → A로 가는 경우의 수는

2_2_3=12

Ü A → C → B → A로 가는 경우의 수는

3_2_2=12

Ý A → B → C → B → A로 가는 경우의 수는

2_2_1_1=4

Ú‌~‌Ý는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의

수는 합의 법칙에 의하여

6+12+12+4=34

답 34

참고 Ý의 경우 같은 도로를 두 번 이상 지나지 않으

려면 A에서 B로 갈 때 지나간 도로는 B에서 A로 올

때 다시 지날 수 없으므로 A → B로 가는 경우의 수는

2, B → A로 오는 경우의 수는 1이다. 마찬가지로 B

→ C로 가는 경우의 수는 2, C → B로 오는 경우의 수

는 1이다.

222같은 도시를 두번 이상 지나지 않고 A도시에서 출발하

여 D도시로 가는 경우는 다음 네 가지 경우가 있다.

Ú A → B → D로 가는 경우의 수는

2_3=6

Û A → C → D로 가는 경우의 수는

3_2=6

Ü A → B → C → D로 가는 경우의 수는

2_2_2=8

Ý A → C → B → D로 가는 경우의 수는

위의 식에서 aÛ`, bÛ`, cÛ`, 2ab, 2bc, 2ca에 x, y를 각각

곱하여 항이 만들어지므로 구하는 항의 개수는

6_2=12

답 12

217144를 소인수분해하면

144=2Ý`_3Û`

144의 양의 약수의 개수는

(4+1)(2+1)=15

144의 양의 약수의 총합은

(2â`+2Ú`+2Û`+2Ü`+2Ý`)(3â`+3Ú`+3Û`‌)=403

답 개수`:`15, 총합`:`403

218540과 720의 최대공약수는 180이고 공약수는 최대공

약수의 약수이므로

180=2Û`_3Û`_5에서 양의 공약수의 개수는

(2+1)(2+1)(1+1)=18

양의 공약수의 총합은

(2â`+2Ú`+2Û`)(3â`+3Ú`+3Û`)(5â`+5Ú`)

=7_13_6

=546

답 개수：18, 총합：546

219

270=2_3Ü`_5의 양의 약수 중 홀수인 약수의 개수는

3Ü`_5의 양의 약수의 개수와 같다.

∴ (3+1)(1+1)=8

답 8

220600=2Ü`_3_5Û`의 양의 약수 중 3의 배수가 아닌 약

수의 개수는 2Ü`_5Û`의 양의 약수의 개수와 같다.

∴ (3+1)(2+1)=12

이때 600의 양의 약수의 개수는

(3+1)(1+1)(2+1)=24



B에 칠할 수 있는 색은 E에 칠한 색을 제외한 3가지,

C에 칠할 수 있는 색은 B와 E에 칠한 색을 제외한

2가지,

D에 칠할 수 있는 색은 C와 E에 칠한 색을 제외한

2가지,

A에 칠할 수 있는 색은 B와 E에 칠한 색을 제외한

2가지이다.

따라서 구하는 방법의 수는

4_3_2_2_2=96

답 96

226꼭짓점 A를 출발하여 꼭짓점 H를 지나지 않고 꼭짓점

G에 최단거리로 도착하는 경우를 수형도로 그려 보면

다음과 같다.

B

` C` G

` F` GA D` C` G

E F` G

따라서 구하는 경우의 수는 4이다.

답 4

2273x+yÉ10에서

Ú x=1일 때, yÉ7을 만족시키는 자연수 y는 1,‌2,‌

3,‌y,‌7의 7개

Û x=2일 때, yÉ4를 만족시키는 자연수 y는 1, 2, 3,

4의 4개

Ü x=3일 때, yÉ1을 만족시키는 자연수 y는 1의 1개

이상에서 구하는 순서쌍의 개수는

7+4+1=12

답 12

228x+2y+3z=11에서 x, y, z는 양의 정수이므로

x¾1, y¾1, z¾1

1+2+3zÉx+2y+3z=11

3_2_3=18

Ú‌~‌Ý는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의

수는 합의 법칙에 의하여

6+6+8+18=38

답 38

223D에 칠할 수 있는 색은 5가지,

A에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 4가지,

B에 칠할 수 있는 색은 A와 D에 칠한 색을 제외한

3가지,

C에 칠할 수 있는 색은 A와 D에 칠한 색을 제외한

3가지,

E에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한

3가지이다.


5_4_3_3_3=540

답 540

224가장 많은 영역과 인접하고 있는 영역 B부터 시작하여

B → A → C → D의 순서로 색칠한다.

B에 칠할 수 있는 색은 3가지,

A에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 2가지,

C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한

1가지,

D에 칠할 수 있는 색은 B와 C에 칠한 색을 제외한

1가지이다.


3_2_1_1=6

답 6

225영역 E가 가장 많은 영역과 인접하고 있으므로 영역 E

부터 시작하여 E → B → C → D → A의 순서로 색

칠한다.

E에 칠할 수 있는 색은 4가지,


확인체크

개념원리

익히기


수 있는 금액의 수는

9_4-1=35

답 지불 방법의 수：59, 지불 금액의 수：35

다른풀이여지불하는 방법의 수를 공식을 이용하면

(2+1)(4+1)(3+1)-1=59

230Ú 지불할 수 있는 방법의 수

500원짜리 동전을 지불하는 방법은

0, 1개의 2가지


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7개의 8가지


0, 1, 2, 3개의 4가지

이때 0원을 지불하는 것은 제외해야 하므로 지불할

수 있는 방법의 수는

2_8_4-1=63

∴ a=63

Û 지불할 수 있는 금액의 수

500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은

0원, ²500원 yy`㉠


0원, 100원, 200원, 300원, 400원, ²500원, 600원,

700원 yy`㉡


0원, 10원, 20원, 30원

그런데 ㉠, ㉡에서 500원이 중복되므로 500원짜리

동전 1개를 100원짜리 동전 5개로 교환하면 지불

할 수 있는 금액의 수는 100원짜리 동전 12개, 10

원짜리 동전 3개의 지불 방법의 수와 같다.


0원, 100원, 200원, y, 1200원의 13가지


0원, 10원, 20원, 30원의 4가지


수 있는 금액의 수는

13_4-1=51

3zÉ8일일∴ 1ÉzÉ;3*;

z는 양의 정수이므로 z=1, 2

Ú z=1일 때, x+2y=8에서 순서쌍 (x, y)는

(2, 3), (4, 2), (6, 1)의 3개

Û z=2일 때, x+2y=5에서 순서쌍 (x, y)는

(1, 2), (3, 1)의 2개

이상에서 구하는‌순서쌍의 개수는

3+2=5

답 5

229Ú 지불할 수 있는 방법의 수


0, 1, 2개의 3가지


0, 1, 2, 3, 4개의 5가지


0, 1, 2, 3개의 4가지


수 있는 방법의 수는

3_5_4-1=59



0원, ²100원, ²200원 yy`㉠


0원, 50원, ²100원, 150원, ²200원 yy`㉡


0원, 10원, 20원, 30원

그런데 ㉠, ㉡에서 100원, 200원이 중복되므로

100원짜리 동전 2개를 50원짜리 동전 4개로 교환

하면 지불할 수 있는 금액의 수는 50원짜리 동전 8

개, 10원짜리 동전 3개의 지불 방법의 수와 같다.


0원, 50원, 100원, y, 400원의 9가지


0원, 10원, 20원, 30원의 4가지




235남학생 2명을 한 묶음으로 생각해서 3명을 일렬로 세

우는 방법의 수는 3!

남학생끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!

따라서 구하는 경우의 수는

3!_2!=12

답 12

236⑴ n+2P£=10nPª에서

(n+2)(n+1)n=10n(n-1)

이때 n+2¾3, n¾2에서 n¾2이므로 양변을 n으

로 나누면

(n+2)(n+1)=10(n-1)

nÛ`+3n+2=10n-10

nÛ`-7n+12=0, (n-3)(n-4)=0

∴ n=3 또는 n=4

⑵ 4ÇP£=5ÇÐÁP£에서

4n(n-1)(n-2)=5(n-1)(n-2)(n-3)

이때 n¾3, n-1¾3에서 n¾4이므로

양변을 (n-1)(n-2)로 나누면

4n=5(n-3) ∴ n=15

⑶ nP£+3nPª=5n*1Pª에서

n(n-1)(n-2)+3n(n-1)=5(n+1)n

이때 n¾3, n¾2, n+1¾2에서 n¾3이므로 양

변을 n으로 나누면

(n-1)(n-2)+3(n-1)=5(n+1)

nÛ`-5n-6=0, (n+1)(n-6)=0

∴ n=6 (∵ n¾3)

답 ⑴ 3 또는 4 ⑵ 15 ⑶ 6

237⑴ (n-r+1)´ÇP¨ÐÁ‌‌=(n-r+1)´ n!

(n-r+1)!

= n!(n-r)!

=ÇP¨

‌ ∴ ÇP¨=(n-r+1)´ÇP¨ÐÁ

⑵ ÇÐÁP¨+r´ÇÐÁP¨ÐÁ

∴ b=51

∴ a+b=63+51=114

답 114

231⑴ ¢P¼=1

⑵ 4!=4_3_2_1=24

⑶ ¤Pª_3!=(6_5)_(3_2_1)=180

답 ⑴ 1 ⑵ 24 ⑶ 180

232⑴ ¤P£= 6!

(6-3)!= 6!

3! ∴ =3

⑵ »P=9!

(9-‌)!= 9!

4!

9-=4 ∴ =5

답 ⑴ 3 ⑵ 5

233⑴ 60=5_4_3이므로 ÇP£=60에서

ÇP£=n(n-1)(n-2)=5_4_3

∴ n=5

⑵ 720=6_5_4_3_2_1이므로 ÇPÇ=720=6!

에서

n=6

⑶ 56=8_7이므로 ¥P¨=56=8_7에서

r=2

⑷ Á¼P¨=1에서 r=0

답 ⑴ n=5 ⑵ n=6

⑶ r=2 ⑷ r=0

234⑴ 7명의 학생을 일렬로 세우는 방법의 수는

7!=7_6_5_4_3_2_1=5040

⑵ 5장의 숫자 카드 중 3장을 뽑아 만들 수 있는 세 자

리 자연수의 개수는

°P£=5_4_3=60

답 ⑴ 5040 ⑵ 60


확인체크

개념원리

익히기



24_6=144

답 144

242⑴ a와 b를 한 묶음으로 생각하여 5개의 문자를 일렬

로 배열하는 방법의 수는 5!=120‌ ‌

그 각각에 대하여 묶음 안의 2개의 문자를 일렬로

배열하는 방법의 수는 2!=2‌ ‌

따라서 구하는 방법의 수는‌ ‌

120_2=240

⑵ 전체 순열의 수에서 a, b가 이웃하는 경우의 수를

빼면 된다.

∴ 6!-240 =720-240

=480

답 ⑴ 240 ⑵ 480

다른풀이 ⑵ a와 b가 이웃하지 않도록 배열하는 경우

는 먼저 c, d, e, f 를 일렬로 배열하고 그 양 끝과

사이사이에 a, b를 배열하는 방법을 생각한다.

c, d, e, f 를 일렬로 배열하는 방법의 수는

4!=24

그 양 끝과 사이사이의 5개의 자리 중에서 2개의 자

리에 a, b를 배열하는 방법의 수는

°Pª=20


24_20=480

243여학생 4명을 묶어서 한 사람으로 보면 남학생 n명과

함께 모두 (n+1)명이므로 (n+1)명을 일렬로 세우

는 방법의 수는 (n+1)!이다.

그 각각에 대하여 묶음 안의 여학생 4명을 일렬로 세우

는 방법의 수는 4!이므로

(n+1)!_4!=576,‌(n+1)!_24=576

(n+1)!=24=4!

n+1=4‌ ‌ ∴ n=3

답 3

‌ = (n-1)!(n-1-r)!

+r´ (n-1)!(n-r)!

‌ = (n-1)!(n-r)+r(n-1)!(n-r)!

‌ = (n-1)!(n-r+r)(n-r)!

= n!(n-r)!=ÇP¨

∴ ÇP¨=ÇÐÁP¨+r´ÇÐÁP¨ÐÁ답 풀이 참조

238세 나라 A, B, C를 모두 다른 색으로 칠해야 하므로

같은 색은 쓸 수 없다.

따라서 7가지 색에서 서로 다른 3가지의 색을 택하여

세 나라에 칠하는 방법의 수이므로

¦P£=7_6_5=210

답 210

239서로 다른 5개의 좌석 중에서 3개의 좌석을 뽑아 일렬

로 나열하는 방법의 수이므로

°P£=5_4_3=60

답 60

24010명에서 n명을 뽑는 순열의 수는 Á¼PÇ이므로

Á¼PÇ=90=10_9

∴ n=2

답 2

241남녀 학생이 교대로 서는 경우는

여 여 남 남 여 남 남

먼저 남학생 4명을 한 줄로 세우는 방법의 수는

4!=24

남학생 사이사이에 여학생 3명을 세우는 방법의 수는

3!=6



법의 수는 7!=5040


20_5040=100800

답 100800

248promise의 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수

는 7!=5040

자음 p, r, m, s를 일렬로 나열한 다음 양 끝과 자음

사이사이의 5개의 자리에서 3개를 택하여 모음 3개를

일렬로 나열하는 경우의 수는 4!_°P£=1440


5040-1440=3600

답 3600

249⑴ d‌◯‌◯‌◯‌t를 한 묶음으로 생각하여 5개의 문자를

일렬로 나열하는 경우의 수는 5!=120

‌ d와 t 사이에 3개의 문자를 나열하는 경우의 수는

¦P£=210

‌ d와 t가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2


120_210_2=50400

⑵ ‘적어도’라는 말이 나오므로 조건을 만족시키지 않

는 경우를 생각한다. 즉

(적어도 한쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수)

= (전체 순열의 수)

-(양 끝에 모두 모음이 오는 경우의 수)

9개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

9!=362880

양 끝에 모음인 e, u, a,

i, o의 5개 문자 중에서

2개를 나열하는 경우의

수는 °Pª=20

가운데에 나머지 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경

우의 수는

7!=5040

모 모

°Pª

7!◯◯◯◯◯◯◯

244먼저 남학생 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는

3!=6

◯ 남 ◯ 남 ◯ 남 ◯

남학생 양 끝과 사이사이의 4개의 자리 중에서 2개의

자리에 여학생 2명을 세우는 방법의 수는

¢Pª=4_3=12


6_12=72

답 72

245양쪽 끝에 여학생을 세우는 방법의 수는 ¢Pª=12

남학생 3명을 묶어서 한 사람으로 보면 남은 여학생 2

명과 함께 모두 3명이므로 3명을 일렬로 세우는 방법

의 수는 3!=6

그 각각에 대하여 묶음 안의 남학생 3명을 일렬로 세우

는 방법의 수는 3!=6

따라서 구하는 방법의 수는 12_6_6=432

답 432

246⑴ a를 맨 앞에, b를 맨 뒤에 고정하고, 나머지 4개의

문자를 일렬로 나열하는 경우의 수이므로

‌ 4!=24‌

⑵ a`◯`◯`◯`b를 한 묶음으로 생각하여 2개의 문자를

일렬로 나열하는 경우의 수는 2!=2‌

‌ a와 b 사이에 3개의 문자를 나열하는 경우의 수는

¢P£=24

a와 b가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2


2_24_2=96

답 ⑴ 24 ⑵ 96

247남학생 2명을 양 끝에 세우는 방법의 수는 °Pª=20

남학생 2명을 제외한 나머지 7명을 일렬로 세우는 방


확인체크

개념원리

익히기


백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 만들 수 있는 세

자리의 정수의 개수는 2_2!=4이다.

∴ 4_2=8

Û 1, 2, 3 또는 2, 3, 4일 때

만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수는 3!=6이다.

∴ 6_2=12

Ú, Û에서 구하는 3의 배수의 개수는

8+12=20

답 20

253A 꼴의 문자열의 개수는 4!=24

C 꼴의 문자열의 개수는 4!=24

EAC 꼴의 문자열의 개수는 2!=2

따라서 EAPCS는 24+24+2=50(번째)의 다음에

오기 때문에 51번째이다.

답 51번째

2545 꼴의 정수의 개수는 4!=24

4 꼴의 정수의 개수는 4!=24

35‌ 꼴의 정수의 개수는 3!=6

34‌ 꼴의 정수의 개수는 3!=6

따라서 34000보다 큰 정수의 개수는

24+24+6+6=60

답 60

255A 꼴의 문자열의 개수는 4!=24

B 꼴의 문자열의 개수는 4!=24

C 꼴의 문자열의 개수는 4!=24

DA 꼴의 문자열의 개수는 3!=6

DB 꼴의 문자열의 개수는 3!=6

24+24+24+6+6=84이고,

DCABE, DCAEB, y`순이므로

86번째에 오는 문자열은 DCAEB이다.

따라서 구하는 문자는 B이다.

답 B

이므로 양 끝에 모두 모음이 오는 경우의 수는

20_5040=100800


362880-100800=262080

답 ⑴ 50400 ⑵ 262080

250짝수는 일의 자리의 수가 짝수이어야 하므로

‌‌‌0, ‌‌‌2, ‌‌‌4, ‌‌‌6의 꼴이다.

Ú‌‌‌0의 꼴

0을 제외한 6개의 숫자 중 3개를 택하여 일렬로 나

열하면 되므로

¤P£=120

Û‌‌‌2, ‌‌‌4, ‌‌‌6의 꼴

천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 5가지이고, 백

의 자리, 십의 자리에는 천의 자리에 온 숫자와 일

의 자리에 온 숫자를 제외한 5개의 숫자 중 2개가

올 수 있으므로

°Pª=20

∴ 3_(5_20)=300

Ú, Û에서 구하는 짝수의 개수는 120+300=420

답 420

251홀수는 1, 3,‌5이므로 양 끝에 홀수를 놓는 방법은

£Pª=6, 백의 자리, 십의 자리에는 남은 3개의 숫자

중 2개가 올 수 있으므로 £Pª=6

따라서 구하는 정수의 개수는

6_6=36

답 36

2523의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 하므

로 0, 1, 2, 3, 4에서 서로 다른 3개를 택하여 합이 3의 배

수가 되는 경우는 0, 1, 2 또는 0, 2, 4 또는 1, 2, 3 또는

2, 3, 4이다.

Ú 0, 1, 2 또는 0, 2, 4일 때



2561 꼴의 정수의 개수는 4!=24

2 꼴의 정수의 개수는 4!=24

따라서 50번째에 오는 수는 3으로 시작하는 수 중에서

두 번째 수이다.

3으로 시작하는 수를 크기가 작은 수부터 차례로 나열

하면 30124, 30142, y이므로 50번째에 오는 수는

30142이다.

답 30142

257⑴ °C¼=1

⑵ ¥C¥=1

⑶ Á°CÁ£�=Á°CÁ°ÐÁ£=Á°Cª

= Á°Pª‌2! =

15´14 ‌2´1 =105

답 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 105

258⑴ ÇC£=35에서

n(n-1)(n-2)3´2´1 =35

n(n-1)(n-2)=7_6_5

∴ n=7

⑵ ¥C¨=70에서 8!

r!(8-r)!=70

8!=70´r!(8-r)!

8´6´4´3=r!(8-r)!

4!4!=r!(8-r)!

∴ r=4

⑶ ªÇCª=45에서 2n(2n-1)

2´1 =45

2nÛ`-n-45=0, (n-5)(2n+9)=0

∴ n=5 또는 n=- 92

이때 2n¾2, 즉 n¾1이므로 n=5

답 ⑴ n=7 ⑵ r=4 ⑶ n=5

259Á¼C¦=Á¼C£= 10´9´8

3´2´1 =120 답 120

260서로 다른 9개에서 2개를 택하는 방법의 수와 같으므로

»Cª= 9´82´1 =36

답 36

26115명의 학생 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는

Á°C£= 15´14´133´2´1 =455

답 455

2626개의 원소 중에서 3개를 택하면 되므로 구하는 부분

집합의 개수는

¤C£= 6´5´43´2´1 =20

답 20

263⑴ ÇC°=ÇÐÁC¢에서

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5´4´3´2´1

=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

4´3´2´1

n¾5이므로 n5 =1

∴ n=5

⑵ Ú Á¼C¨=Á¼Cª¨*Á에서 r=2r+1

∴ r=-1

Û Á¼C¨=Á¼CÁ¼Ð¨이므로 Á¼CÁ¼Ð¨=Á¼Cª¨*Á에서

10-r=2r+1‌ ‌

∴ r=3

‌ Ú, Û에서 r=3

⑶ ÇPª+4ÇCª=60에서

n(n-1)+4´ n(n-1)2´1 =60

n(n-1)+2n(n-1)=60

nÛ`-n+2nÛ`-2n=60, 3nÛ`-3n-60=0

nÛ`-n-20=0, (n+4)(n-5)=0


확인체크

개념원리

익히기


‌ 그런데 n¾2이므로 n=5

⑷ Ç*ÁCÇÐÁ=Ç*ÁC(Ç*Á)Ð(ÇÐÁ)=Ç*ÁCª이므로

Ç*ªC£=2ÇCª+Ç*ÁCª에서

(n+2)(n+1)n

3´2´1 =2´ n(n-1)2´1 +

(n+1)n2´1

(n+2)(n+1)n=6n(n-1)+3(n+1)n

(n+2)(n+1)=6(n-1)+3(n+1)(∵ n¾2)

nÛ`+3n+2=6n-6+3n+3

nÛ`-6n+5=0, (n-1)(n-5)=0

그런데 n¾2이므로 n=5

⑸ ÇPª=ÇCª_2!이므로 ÇPª+3ÇCª=75에서

2ÇCª+3ÇCª=75, 5ÇCª=75

∴ ÇCª=15

즉 ÇCª=n(n-1)

2´1 =15이므로

n(n-1)=30=6´5 ∴ n=6

답 ⑴ n=5 ⑵ r=3 ⑶ n=5

⑷ n=5 ⑸ n=6

264남학생 7명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는

¦Cª= 7´62´1 =21

여학생 n명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는

ÇC£= n(n-1)(n-2)3´2´1 =

n(n-1)(n-2)6

따라서 21_n(n-1)(n-2)

6 =1176이므로

n(n-1)(n-2)=56_6=8_7_6

∴ n=8

답 8

265Ú 선택한 3권이 모두 수학책인 경우

°C£= 5´4´33´2´1 =10

Û 선택한 3권이 모두 영어책인 경우‌ ‌

°C£= 5´4´33´2´1 =10

Ü 선택한 3권이 모두 국어책인 경우‌ ‌

¢C£= 4´3´23´2´1 =4

Ú, Û, Ü에서 구하는 방법의 수는

10+10+4=24

답 24

266참석한 회원을 n명이라 하면 악수를 한 횟수는 n명에

서 2명을 뽑는 조합의 수와 같으므로

ÇCª= n(n-1)2 =1275

nÛ`-n-2550=0, (n+50)(n-51)=0

∴ n=51 (∵ n¾2)

따라서 참석한 회원의 수는 51이다.

답 51

267500`m와 1000`m에서 각각 우승한 2명의 선수가 선

발되는 경우는 우승한 2명의 선수를 먼저 선발한 다음

남은 8명 중에서 2명을 선발하면 되므로

a=¥Cª=28

또, 우승한 2명이 선발되지 않는 경우는 우승한 2명의

선수를 제외한 8명 중에서 4명을 선발하면 되므로

b=¥C¢=70

∴ a+b=28+70=98

답 98

268적어도 한 장은 짝수이어야 하므로 전체 경우의 수에

서 모두 홀수인 경우의 수를 빼면 된다.

10장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 방법의 수는

Á¼Cª=45

홀수가 적혀 있는 5장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 방

법의 수는 °Cª=10


45-10=35

답 35



27210개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으

므로 구하는 직선의 개수는 Á¼Cª=45

답 45

2737개의 점으로 만들 수 있는 직선의 개수는

¦Cª=21

Ú 일직선 위에 3개의 점이 있는 경우

3개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는

£Cª=3

일직선 위에 있는 3개의 점으로 만들 수 있는 직선

은 1개이다.

Û 일직선 위에 4개의 점이 있는 경우


¢Cª=6

일직선 위에 있는 4개의 점으로 만들 수 있는 직선

은 1개이다.

따라서 구하는 직선의 개수는

21-3-6+2=14

답 14

27412개의 점으로 만들 수 있는 직선의 개수는 ÁªCª=66


4개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는 ¢Cª=6

일직선 위에 4개의 점이 있는 경우는 3가지이므로

이 경우 만들 수 있는 직선은 3개이다.


269적어도 한 명의 여학생이 포함되도록 뽑는 방법의 수

는 전체 경우의 수에서 남학생만 뽑는 방법의 수를 빼

면 된다.

전체 15명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 Á°C£

남학생을 x명이라 하면 남학생만 3명을 뽑는 방법의

수는 xC£

이때 구하는 방법의 수가 445이므로

Á°C£-xC£=445

xC£ =Á°C£-445

=455-445=10

즉, x(x-1)(x-2)

3_2_1 =10이므로

x(x-1)(x-2)=60=5_4_3

∴ x=5

따라서 남학생 수는 5이다.

답 5

2708명 중에서 A, B를 먼저 뽑은 다음 남은 6명 중에서 2

명을 뽑는 방법의 수는 ¤Cª=15

A, B를 포함한 4명에서 A, B를 한 사람으로 생각하

여 전체 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=6

A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2


15_6_2=180

답 180

271f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=6<f(5)에서 집합 X의

원소 1, 2, 3은 집합 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에

대응하고 ‌f(1)<f(2)<f(3)을 만족시켜야 하므로

°C£=°Cª=10

또한 집합 X의 원소 5는 집합 Y의 원소 7, 8 중 하나

에 대응하여야 하므로

ªCÁ=2

따라서 구하는 함수의 개수는

10_2=20 답 20


확인체크

개념원리

익히기


278가로선과 세로선의 간격을 1이라 할 때

한 변의 길이가 1인 정사각형의 개수는

4_3=12

한 변의 길이가 2인 정사각형의 개수는

3_2=6

한 변의 길이가 3인 정사각형의 개수는 2이므로 정사

각형의 개수는

12+6+2=20

한편, 가로선 4개 중 2개, 세로선 5개 중 2개를 택하면

하나의 직사각형이 결정되므로 직사각형의 개수는

¢Cª_°Cª=6_10=60

따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는

60-20=40

답 40

27912개의 사탕을 6개, 6개의 두 묶음으로 나누는 방법의

수는

ÁªC¤_¤C¤_ 12! =924_1_;2!;=462

포도맛 사탕으로만 이루어진 묶음이 있도록 나누는 방

법의 수는

¥C¤_ªCª=28_1=28


462-28=434

답‌434

2805명을 2명, 3명으로 나누는 방법의 수는

°Cª_£C£=10_1=10

이때 두 조를 2층, 3층, 4층, 5층의 4개의 층 중 2개의

층에 나누는 방법의 수는

¢Pª=12


10_12=120

답‌120

3개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는 £Cª=3


이 경우 만들 수 있는 직선은 8개이다.

따라서 구하는 직선의 개수는

66-6_3-3_8+3+8=35

답 35


»C£=84

이때 일직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개를 택하는

경우는 삼각형을 만들지 못하고 삼각형을 만들지 못하

는 직선이 3개 있으므로

3_¢C£=12

따라서 구하는 삼각형의 개수는

84-12=72

답 72

276볼록 m각형의 대각선의 개수는 µCª-m=54이므로

m(m-1)2 -m=54, mÛ`-3m-108=0

(m+9)(m-12)=0

∴ m=12 (∵ m¾3)

볼록 n각형의 대각선의 개수는 ÇCª-n=27이므로

n(n-1)2 -n=27, nÛ`-3n-54=0

(n+6)(n-9)=0

∴ n=9 (∵ n¾3)

∴ m+n=12+9=21

답 21

277가로 방향의 6개의 평행선에서 2개, 세로 방향의 7개

의 평행선에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결

정되므로 구하는 평행사변형의 개수는

¤Cª_¦Cª=15_21=315

답 315



2827개의 팀을 4팀, 3팀으로 나누는 방법의 수는

¦C¢_£C£=35

나누어진 4팀을 2팀, 2팀으로 나누는 방법의 수는

¢Cª_ªCª_ 12! =3

나누어진 3팀을 2팀, 1팀으로 나누는 방법의 수는

£Cª_ÁCÁ=3


35_3_3=315

답 315

2818개의 학급을 4개, 4개의 학급으로 나누는 방법의 수는

¥C¢_¢C¢_ 12! =35

나누어진 두 조를 ( 2개, 2개), ( 2개, 2개)의 학급으로

나누는 방법의 수는

{¢Cª_ªCª_ 12! }_{¢Cª_ªCª_ 1

2! }=3_3=9


35_9=315

답 315


연

습

문

제

실력

UP

연습문제·실력 UP 55

연습문제·실력

Ⅰ. 집합과 명제

1

좋아하는, 가까운 등은 어떤 기준이 없어서 그 대상을

분명히 구별할 수 없으므로 집합이 아니다.

ㄹ. {부산광역시, 대구광역시, 인천광역시, 광주광역

시, 대전광역시, 울산광역시}

답 ㄱ, ㄷ, ㄹ

2

A={4, 8, 12, y}, B={1, 2, 4, 8}

④ 6²A

답 ④

3

n({1, 2, á})-n(á)+n({á})-n({0})

=3-0+1-1=3

답 3

4

① n({a, b, c})=n({e, f, g})=3

② A={0}일 때, n(A)=1

③ n({3, 5, 7})-n({3, 7})=3-2=1

④ n({á, 1})=2

⑤ n({0})=n({2})=1

답 ①

5

A={1, 2, 3}이므로 집합 B는 다음을 원소로 갖는

집합이다.

2_1+1=3, 2_2+1=5, 2_3+1=7

A={1, 2, 3}, B={3, 5, 7}이므로 집합 C는 다음

을 원소로 갖는 집합이다.

3-1=2, 3-2=1, 3-3=0

5-1=4, 5-2=3, 5-3=2

7-1=6, 7-2=5, 7-3=4

∴ C={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

따라서 n(A)=3, n(B)=3, n(C)=7이므로

n(A)+n(B)+n(C)=13

답 13

6

-14É-3x+1É13에서 -15É-3xÉ12

-4ÉxÉ5, -5Éx-1É4

∴ - 52É

x-12 É2

이때 x-1

2 은 정수이므로

x-12 =-2, x-1

2 =-1, x-12 =0,

x-12 =1, x-1

2 =2

즉 x의 값은 -3, -1, 1, 3, 5이므로

A={-3, -1, 1, 3, 5}

따라서 집합 A의 원소의 개수는 5이다. 답 5

7

x<A, y<B이므로 집합 C를 구하면

C= {(-1, -2), (-1, 0), (-1, 2), (0, -2),

(0, 0), (0, 2), (1, -2), (1, 0), (1, 2)}

집합 C의 모든 원소를 좌표평면 위에 점으로 나타내었

을 때, 두 점 사이의 거리가 최대가 되는 경우는 두 점

이 (-1, -2), (1, 2) 또는 (-1, 2), (1, -2)일

때이다.

따라서 두 점 사이의 거리의 최댓값은

"Ã(1+1)Û`+(2+2)Û`='2�0=2'5답 2'5

8

집합 A의 원소는 1, 2, {0}, {0, 1}

④ 0²A이므로 {0, 1, 2}øA 답 ④

기본서(수학하)_해설_055~077_1단원_연습_ok.indd 55 2017-08-10 오후 7:04:33


즉 집합 X는 1, 5, 7을 반드시 원소로 갖는 집합 A의

부분집합이므로 집합 X의 개수는

2à`ÑÜ`=2Ý`=16

답 ③

14

B,X,A, 즉 {a, b, c},X,{a, b, c, d, e}이므

로 집합 X는 {a, b, c, d, e}의 진부분집합 중에서 a,

b, c를 반드시 원소로 갖는 집합이다.

따라서 구하는 집합 X의 개수는

2Þ`ÑÜ`-1=2Û`-1=3 답 3

참고 {a, b, c}, {a, b, c, d}, {a, b, c, e}의 3개

15

A,X,B이므로 집합 X는 집합 B의 부분집합 중

1, 3을 반드시 원소로 갖는 집합이고 n(X)=3이므로

원소의 개수가 3인 부분집합이다.

따라서 집합 X는 {1, 3, 5}, {1, 3, 8}, {1, 3, 9}의

3개이다. 답 ②

16

⑴ A={1, 3, 5, 15}이므로 집합 A의 부분집합 중 3

을 원소로 갖지 않는 집합의 개수는

2Ý`ÑÚ`=2Ü`=8

이때 3을 원소로 갖지 않는 진부분집합의 개수는 3

을 원소로 갖지 않는 집합 A의 부분집합의 개수인

8과 같다.

⑵ a<X ⇨ 집합 X는 a를 원소로 갖는다.

b²X ⇨ 집합 X는 b를 원소로 갖지 않는다.

따라서 집합 X는 a를 반드시 원소로 갖고, b를 원

소로 갖지 않는 집합 A의 부분집합이므로 그 개수

는 2Þ`ÑÚ`ÑÚ`=2Ü`=8

답 ⑴ 8 ⑵ 8

17

A,B이므로 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속한

다. 즉 1<A에서 1<B이므로

9

A={1, 2, 4, 8, 16}, B={1, 2, 4, 8}

① B,A

② {á},A는 á이 집합 A의 원소라는 뜻이다.

그런데 집합 A의 원소 중에 á이 없으므로

{á}øA

③ {8},B

⑤ {1, 2, 4, 8, 16},A

답 ④

10

집합 A의 원소는 á, 1, 2, {3, 4}의 4개이므로 집합

A의 진부분집합의 개수는

2Ý`-1=15

답 15

11

집합 A의 원소는 á, a, b, {a, b}

ㄱ. n(A)=4

ㄴ. {á},A

ㄷ. {b},A

ㅁ. {{a, b}},A

답 ㄹ, ㅂ

12

A,B이고 B,A이므로 A=B

A={1, 3, 5, 15}에서 A=B이기 위해서는

a-2=3, b-2=5 또는 a-2=5, b-2=3

∴ a=5, b=7 또는 a=7, b=5

∴ ab=35

답 ④

13

집합 {1, 2, 3}은 5, 7을 원소로 갖지 않으므로

5<X, 7<X

집합 {2, 3, 5, 7}은 1을 원소로 갖지 않으므로

1<X


연

습

문

제

실력

UP


2Ç` ÑÛ`ÑÛ`=16=2Ý`에서

n-4=4 ∴ n=8

⑵ 적어도 하나의 짝수를 원소로 갖는 부분집합의 개

수는 전체 부분집합의 개수에서 짝수 2, 4, 6, 8,

10을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과

같다.

∴ 2Ú`â`-2Ú`â`ÑÞ` =1024-32=992

⑶ 집합 A의 부분집합 중 b 또는 f 를 원소로 갖는 부

분집합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 b와 f

를 원소로 갖지 않는 부분집합인 {a, c, d, e, g}의

부분집합의 개수를 빼면 되므로 그 개수는

2à`-2Þ`=128-32=96

� 답 ⑴�8��⑵�992��⑶�96

다른풀이 ⑶ b를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는

2à`ÑÚ`=2ß`=64

f 를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는

2à`ÑÚ`=2ß`=64

b와 f를 모두 원소로 갖는 부분집합의 개수는

2à`ÑÛ`=2Þ`=32

따라서 b 또는 f를 원소로 갖는 부분집합의 개수는

64+64-32=96

20

ㄱ. B,(A'B)이므로 B;(A'B)=B

ㄴ. A;B=A이면 A,B

ㄷ. A;á=á, A'á=A

∴ (A;á),(A'á) 답 ㄱ,�ㄷ

21

A={2, 3, 5, 7}이고 구하는 집합은 집합 A의 부분

집합 중 5, 7을 원소로 갖지 않는 집합이므로 {2, 3}의

부분집합과 같다.

따라서 구하는 집합의 개수는 2Û`=4 답 4

22

A;B={2, 4}, A'B={1, 2, 3, 4, 5, 7}

㈎에서 (A;B),X

-aÛ`+2=1 또는 -a+8=1

Ú -aÛ`+2=1일 때,

aÛ`=1 ∴ a=1 또는 a=-1

a=1일 때, A={1, 5}, B={1, 3, 7}

a=-1일 때, A={1, 3}, B={1, 3, 9}

Û -a+8=1일 때, a=7

이때 A={1, 11}, B={-47, 1, 3}

Ú, Û에서 A,B를 만족시키는 a의 값은 -1이다.

답 -1

18

집합 A={x-2|-4<xÉ3}에서

-4<xÉ3이므로 -6<x-2É1

이때 집합 A에 속하는 수를 a라 하면

-6<aÉ1

집합 B={x+a|-1Éx<7}에서

-1Éx<7이므로 -1+aÉx+a<7+a

이때 집합 B에 속하는 수를 b라 하면

-1+aÉb<7+a

따라서 두 집합 A, B가 A,B를 만족시키도록 수직

선 위에 나타내면 다음 그림과 같아야 한다.

즉 -1+aÉ-6, 7+a>1에서 aÉ-5, a>-6

∴ -6<aÉ-5 답 ④

KEY Point

수직선에서�A,B를�만족시키는�범위를�구할�때,�등호에�주

의한다.

AB

AB

AB

b…a b…a b<a b…a

xab

AB

xab xab xab

19

⑴ 1, 2를 반드시 원소로 갖고, 3, 4는 원소로 갖지 않

는 부분집합의 개수가 16이므로



원소로 갖고 4는 원소로 갖지 않아야 한다.


2Ý`ÑÚ`ÑÚ`=2Û`=4

답 4

26

n(A;X)=2이고 B;X=X에서 X,B이므로

집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 2개

만을 원소로 갖는 집합이다.

Ú 집합 B의 부분집합 X가 1, 2를 반드시 원소로 갖

고 3은 원소로 갖지 않을 때, 집합 X의 개수는


Û 집합 B의 부분집합 X가 1, 3을 반드시 원소로 갖

고 2는 원소로 갖지 않을 때, 집합 X의 개수는


Ü 집합 B의 부분집합 X가 2, 3을 반드시 원소로 갖

고 1은 원소로 갖지 않을 때, 집합 X의 개수는


Ú, Û, Ü에서 집합 X의 개수는

8+8+8=24

답 24

27

A� ,B� 에서 B,A

④ A-B+á

답 ④

28

A� ;B=B-A=á이므로 B,A

즉 집합 B의 모든 원소가 집합 A의 원소이어야 하므

로

3<A

∴ 2a-3=3 또는 a+1=3

Ú 2a-3=3, 즉 a=3일 때

A={-2, 3, 4}, B={-7, 3}

UA

B

㈏에서 X,(A'B)

∴ (A;B),X,(A'B)

즉 {2, 4},X,{1, 2, 3, 4, 5, 7}

따라서 집합 X는 {1, 2, 3, 4, 5, 7}의 부분집합 중 2,

4를 반드시 원소로 갖는 집합이므로 집합 X가 될 수

없는 것은 ③이다.

답 ③

23

A'B={3, 4, 5, 8}이므로

aÛ`+4=4 또는 aÛ`+4=8

Ú aÛ`+4=4, 즉 a=0일 때

A={3, 4, 5}, B={0, 3, 8}

∴ A'B={0, 3, 4, 5, 8}

Û aÛ`+4=8, 즉 a=Ñ2일 때

a=2이면 A={3, 5, 8}, B={4, 5, 8}

A'B={3, 4, 5, 8}

a=-2이면 A={3, 5, 8}, B={-4, 1, 8}

A'B={-4, 1, 3, 5, 8}

Ú, Û에서 a=2 답 2

24

A;B={2}에서 2<A이므로

aÛ`-4a+5=2, aÛ`-4a+3=0

(a-1)(a-3)=0

∴ a=1 또는 a=3

Ú a=1일 때, A={1, 2}, B={-1, 1, 2}

∴ A;B={1, 2}

Û a=3일 때, A={1, 2}, B={2, 3, 5}

∴ A;B={2}

Ú, Û에서 a=3

∴ A'B={1, 2, 3, 5}

답 {1, 2, 3, 5}

25

X가 집합 A의 부분집합이므로 X,A이고

{1, 2}'X={1, 2, 3}이므로 집합 X는 3을 반드시


연

습

문

제

실력

UP


31

⑴ B-A={1, 5, 8}이고

(B-A)'X=X에서 (B-A),X

즉 집합 X는 1, 5, 8을 반드시 원소로 갖는 집합이

다.

그런데 A;X=á이므로 집합 X는 2, 3, 7을 원

소로 갖지 않아야 한다.

따라서 집합 X는 전체집합 U의 부분집합 중 1, 5,

8을 반드시 원소로 갖고, 2, 3, 7은 원소로 갖지 않

는 부분집합이므로 집합 X의 개수는

2Ú`â`ÑÜ`ÑÜ`=2Ý`=16

⑵ A;B={a, b, d}이므로 집합 A의 부분집합 중

집합 B와 서로소인 것은 a, b, d를 원소로 갖지 않

는 집합 A의 부분집합이므로 그 개수는

2Þ`ÑÜ`=2Û`=4

이러한 부분집합을 모두 구하면

á, {c}, {e}, {c, e}

답 ⑴ 16 ⑵ 4, á, {c}, {e}, {c, e}

32

A;X=X에서 X,A

(A-B)'X=X에서 (A-B),X

∴ (A-B),X,A

오른쪽 수직선에서

A-B={x|1ÉxÉ3}

이므로

{x|1ÉxÉ3},X,{x|1ÉxÉ5}

X={x|pÉxÉq}에서

p=1, 3ÉqÉ5

따라서 q의 최솟값은 3, 최댓값은 5이므로 구하는 합

은 3+5=8

답 8

33

A;B� =A-B={2, 4}

B-A={7}

A� `'B� ` =(A;B)� ={2, 4, 5, 7}

이므로 BøA

Û a+1=3, 즉 a=2일 때

A={-2, 1, 3}, B={-2, 3}

이므로 B,A

Ú, Û에서 구하는 a의 값은 2이다.

답 2

29

① A'(B;C) ② A;(B'C)

U A

B C

U A

B C

③ B;(A'C) ④ A� ;(B'C)

U A

B C

U A

B C

⑤ B� ;(A'C)

U A

B C

답 ②

30

A;B={1}, A-B={2}이므로

A={1, 2}

집합 A의 원소가 1, 2이므로 xÛ`+(a-1)x+b=0에

서 근과 계수의 관계에 의하여

-(a-1)=1+2=3, b=1_2=2

∴ a=-2, b=2

∴ B ={x|xÛ`+(a-3)x+2b=0}

={x|xÛ`-5x+4=0}

={x|(x-1)(x-4)=0}

={1, 4}

따라서 집합 B의 모든 원소의 합은

1+4=5 답 5



참고 집합의 연산법칙을 이용하지 않고 벤다이어그램

을 그려서 확인해 볼 수도 있다.

36

{(A;B)'(A;B� )}'{(A� 'B);(A� 'B� )}

={A;(B'B� )}'{A� '(B;B� )}

=(A;U)'(A� 'á)

=A'A�

=U

답 ③

37

A-B={1, 5}이므로 집합

A에만 속하는 원소는 1, 5이

다.

(A'B);A�`

=(A'B)-A={3, 9}

이므로 집합 B에만 속하는 원소는 3, 9이다.

집합 A의 원소의 개수가 최대이려면

A;B={7, 11}이어야 한다.

따라서 원소의 개수가 최대인 경우는 A={1, 5, 7, 11}

일 때이므로 집합 A의 모든 원소의 합은

1+5+7+11=24

답 24

38

① A✽U =(A;U)'(A'U)� `

=A'U�

=A'á

=A

② A✽B =(A;B)'(A'B)�

=(B;A)'(B'A)�

=B✽A

③ A✽á =(A;á)'(A'á)�

=á'A�

=A� `

④ A� ✽B� =(A� ;B� `)'(A� `'B� `)�

Û 분배법칙

UA

3

91

5

B

이므로 주어진 조건을 벤다이BA

42

7

5136

U

어그램으로 나타내면 오른쪽

그림과 같다.

∴ B={1, 3, 6, 7}

답 {1, 3, 6, 7}

34

(A-B)� ;B� ` =(A;B� )� ;B�

=(A� 'B);B�

=(A� ;B� )'(B;B� )

=(A� ;B� )'á

=A� ;B�

A� ;B� =A� 이므로 A� ,B�

∴ B,A

답 ②

35

① A;(A� 'B) =(A;A� )'(A;B)

=á'(A;B)

=A;B

② (A'B);(A� ;B� ) =(A'B);(A'B)�

=á③ (A-B);(A-C) =(A;B� );(A;C� )

=A;(B� ;C� )

=A;(B'C)�

=A-(B'C)

④ (A-B)'(A-C) =(A;B� )'(A;C� )

=A;(B� 'C� )

=A;(B;C)�

=A-(B;C)

⑤ {(A;B)'(A-B)};B

={(A;B)'(A;B� )};B

={A;(B'B� )};B

=(A;U);B

=A;B

답 ⑤


연

습

문

제

실력

UP


오른쪽 벤다이어그램에서

B={1, 2, 4, 8, 9}

따라서 집합 B의 모든 원

소의 합은

1+2+4+8+9=24

답 ⑴ 10 ⑵ 24

41

A¤,A£이므로 A£'A¤=A£5와 3의 최소공배수는 15이므로

A°;(A£'A¤)=A°;A£=AÁ°

전체집합 U={1, 2, 3, y, 200}의 원소 중 15의 배

수는 15, 30, 45, y, 195이다.

∴ n(A°;(A£'A¤))‌‌=n(AÁ°)=13답 13

42

㈎ Aª;A£=A¤

(Aª;A£)'AÁª =A¤'AÁª=A¤=AÂ

∴ l=6

㈏ AÁ¼¥,AÁ¥이므로 AÁ¥'AÁ¼¥=AÁ¥

A»¤,Aª¢이므로 A»¤'Aª¢=Aª¢

(AÁ¥'AÁ¼¥);(A»¤'Aª¢) =AÁ¥;Aª¢

=A¦ª=Aµ

∴ m=72

㈐ (AÁ¥'A£¤);(A£¤'Aª¢) =(A£¤'AÁ¥);(A£¤'Aª¢)

=A£¤'(AÁ¥;Aª¢)

=A£¤'A¦ª‌ ‌=A£¤=AÇ

∴ n=36

∴ l+m+n=6+72+36=114

답 114

43

Aµ,(A¢;A¤)에서 A¢;A¤=AÁª이므로

Aµ,AÁª

A

1

4

6 2

89

37

B=(A'B)� '(A;B)

=A✽B

⑤ A✽A� =(A;A� `)'(A'A� `)�

=á'U�

=á'á =á

답 ①

39

(A;B�` )'(B;A�` ) =(A-B)'(B-A)

={-2, 1}

이므로 A;B={3, 4}

따라서 4<B이므로 aÛ`=4 또는 a-1=4

Ú aÛ`=4일 때, a=2 또는 a=-2

a=2이면 A={-2, 3, 4}, B={1, 3, 4}

∴ (A-B)'(B-A)={-2, 1}

a=-2이면 A={-6, 3, 4}, B={-3, 3, 4}

∴ (A-B)'(B-A)={-6, -3}

Û a-1=4일 때, a=5

이때 A={1, 3, 4}, B={3, 4, 25}

∴ (A-B)'(B-A)={1, 25}

Ú, Û에서 a=2

따라서 A={-2, 3, 4}이므로 집합 A의 모든 원소의

합은 -2+3+4=5

답 5

40

⑴ A◉B =(A-B)'(B-A)

={3, 4}'á={3, 4}

(A◉B)◉`C ={3, 4}◉{1, 3, 5}

={4}'{1, 5}

={1, 4, 5}

따라서 구하는 모든 원소의 합은

1+4+5=10

⑵ A△B =(A'B)-(A;B)

={2, 3, 6, 7, 8, 9}

A={1, 3, 4, 6, 7}이므로



46

n(A;B) =n(A)-n(A-B)

=12-8=4

n(A'B) =n(A-B)+n(A;B)+n(B-A)

=8+4+6=18

n((A'B)� `) =n(U)-n(A'B)

=25-18=7

따라서 각 집합의 원소의 개

수를 벤다이어그램으로 나타

내면 오른쪽 그림과 같으므로

색칠한 부분이 나타내는 집합

의 원소의 개수는

4+7=11

답 11

47


=7+10-12=5

n(B;C) =n(B)+n(C)-n(B'C)

=10+6-16=0

n(C;A) =n(C)+n(A)-n(C'A)

=6+7-11=2

이때 n(B;C)=0이므로 B;C=á따라서 A;B;C=á이므로

n(A;B;C)=0

∴ n(A'B'C)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)

-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C)

=7+10+6-5-0-2+0

=16

답 16

48

학생 48명 전체의 집합을 U, a문제를 푼 학생의 집합

을 A, b문제를 푼 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=48, n(A)=23, n(B)=30,

n((A'B)�` )=5

즉 m은 12의 배수이므로 m의 최솟값은 12이다.

또 (A¥'AÁª),AÇ에서 A¥,AÇ, AÁª,AÇ이므로

n은 8과 12의 공약수이고 이 중에서 n의 최댓값은 8

과 12의 최대공약수인 4이다.

따라서 m의 최솟값과 n의 최댓값의 합은

12+4=16

답 16

44

A☆B =(A'B)�` '(A;B)

={2, 4, 5, 7}

(A'B)☆B ={(A'B)'B}� '{(A'B);B}

={(A'B)�` ;B�` }'B

={(A'B)�` 'B};(B�` 'B)

={(A'B)�` 'B};U

=(A'B)�` 'B

={2, 4, 5, 6, 7}

∴ A-B={1, 3, 8}, B-A={6}

두 집합 A, B를 벤다이어그

램으로 나타내면 오른쪽 그림

과 같으므로 색칠한 영역에

속하는 원소들의 집합은

{2, 4, 5, 7}이다.

따라서 집합 A의 모든 원소의 합이 최대일 때는

A;B={2, 4, 5, 7}일 때, 즉

A={1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}일 때이므로 집합 A의 모든

원소의 합의 최댓값은

1+2+3+4+5+7+8=30

답 30

45

⑴ A,B이므로 A'B=B

∴ n(A'B)=n(B)=9

⑵ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서

n(A) =n(A'B)-n(B)+n(A;B)

=26-22+15

=19

답 ⑴ 9 ⑵ 19

BA

13 8

6

U


연

습

문

제

실력

UP


= n(A)+n(B)+n(C)+n(A;B;C)

-n(A'B'C)

=23+28+21+7-46=33

따라서 두 동아리에만 가입한 학생 수는

n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)

-3_n(A;B;C)

=33-3_7=12

답 12

참고 과학탐구, 프로그램언어,

영화논평의 세 자율동아리에 가

입한 학생의 집합을 각각 A, B,

C라 하면 세 동아리 중 두 동아

리에만 가입한 학생의 집합은 오

른쪽 벤다이어그램의 색칠한 부

분과 같다.

n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)에는

n(A;B;C)가 세 번 더해지므로 두 동아리에만 가

입한 학생 수는


-3_n(A;B;C)

51

학생 40명 전체의 집합을 U, 설악산에 가 본 학생의

집합을 A, 지리산에 가 본 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=40, n(A)=25, n(B)=18

이때 설악산과 지리산에 모두 가 본 학생 수는

n(A;B)이다.

Ú n(A;B)가 최대일 때는 B,A일 때이므로

n(A;B)=n(B)=18

∴ M=18

Û n(A;B)가 최소일 때는 n(A'B)=n(U)일

때이므로

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서

40=25+18-n(A;B)

∴ n(A;B)=3

∴ m=3

∴ M+m=18+3=21

답 21

A;B;C

UA

B C

∴ n(A'B) =n(U)-n((A'B)� `)

=48-5=43

a문제만 푼 학생의 수는 n(A-B)이므로

n(A-B) =n(A'B)-n(B)

=43-30=13

답 13

49

학생 70명 전체의 집합을 U, 영어, 수학, 국어를 신청

한 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하면

n(U)=70, n(A)=45, n(B)=50, n(C)=48,

n(A;B)=31, n(A;C)=32, n(B;C)=35,

n((A'B'C)�` )=4

∴ n(A'B'C) =n(U)-n((A'B'C)�` )

=70-4=66

세 과목을 모두 신청한 학생 수는 n(A;B;C)이므

로

n(A;B;C)

= n(A'B'C)-n(A)-n(B)-n(C)

+n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)

=66-45-50-48+31+35+32

=21

답 21

50

학생 50명 전체의 집합을 U, 과학탐구, 프로그램언어,

영화논평의 세 자율동아리에 가입한 학생의 집합을 각

각 A, B, C라 하면

n(U)=50, n(A)=23, n(B)=28, n(C)=21,

n(A;B;C)=7, n((A'B'C)� `)=4

∴ n(A'B'C) =n(U)-n((A'B'C)�` )

=50-4=46

n(A'B'C)

= n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)

-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C)

에서




소가 될 수 있다.

Ú 원소의 개수가 2인 경우

X={1, 81}

Û 원소의 개수가 3인 경우

X={1, 9, 81}

Ü 원소의 개수가 4인 경우

X={1, 3, 27, 81}

Ý 원소의 개수가 5인 경우

X={1, 3, 9, 27, 81}

Ú ~ Ý에서 구하는 집합 X의 개수는 4이다.

답 4

54

집합 A는 집합 U의 부분집합 중 소수 2, 3, 5, 7을 원

소로 갖지 않는 집합을 원소로 가지므로

n(A)=2á`ÑÝ`=2Þ`=32

집합 B는 집합 U의 부분집합 중 2보다 큰 짝수 4, 6,

8을 원소로 갖지 않는 집합을 원소로 가지므로

n(B)=2á`ÑÜ`=2ß`=64

A;B는 U의 부분집합 중 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8을 원소

로 갖지 않는 집합을 원소로 가지므로

n(A;B)=2á`Ñà`=2Û`=4

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=32+64-4=92

답 92

55

오른쪽 그림과 같이 벤다이어그램

의 각 부분에 속하는 원소의 개수

를 a, b, c, d, e, f, g라 하자.

주어진 조건에서

n(X'Y'Z)=75, n(X△Y)=45,

n(Y△Z)=47, n(Z△X)=42이므로

a+b+c+d+e+f+g=75 yy ㉠

a+f+b+e=45 yy ㉡

b+d+c+f=47 yy ㉢

a+d+c+e=42 yy ㉣

X

a

b c

d f

e

gY Z

KEY Point

전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(B)<n(A)

일 때

⑴ n(A;B)가 최대가 되는 경우는 n(A'B)가 최소가

될 때, 즉 B,A일 때이다.

⑵ n(A;B)가 최소가 되는 경우는 n(A'B)가 최대가

될 때, 즉 A'B=U일 때이다.

52

집합 A의 부분집합 중 1을 원소로 갖고 원소의 개수가

3인 부분집합은

{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4},

{1, 3, 5}, {1, 4, 5}

의 6개이다. 마찬가지로 2, 3, 4, 5를 각각 원소로 갖

고 원소의 개수가 3인 부분집합은 각각 6개씩이다.

따라서 구하는 원소의 총합에 집합 A의 원소는 모두 6

번씩 들어 있고 집합 A의 모든 원소의 합은

1+2+3+4+5=15이므로 구하는 원소의 총합은

15_6=90

답 90

참고 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중 원소의

개수가 3인 부분집합은 {1, 2, 3}, {1, 2, 4},

{1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5},

{2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}

의 10개이다.

53

조건 ㈎에서 1<X이고, 조건 ㈏에서 1<X이면

:¥1Á:=81<X이다.

따라서 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 1, 81을 반드

시 원소로 갖는 집합이다.

또한 조건 ㈏에 의해

3<X이면 :¥3Á:=27<X

9<X이면 :¥9Á:=9<X

이므로 3과 27은 어느 하나가 집합 X의 원소이면 나

머지 하나도 반드시 X의 원소이고, 9도 집합 X의 원


연

습

문

제

실력

UP


그런데 4는 8의 배수가 아니므로 성립하지 않는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ②

58

색칠한 부분을 나타내는 집합은

(A'B)-(A;B) 또는 (A-B)'(B-A)

ㄱ. (A'B);(A;B)�

=(A'B)-(A;B)

ㄴ. (A'B)-A=B-A

(A'B)-B=A-B

∴ {(A'B)-A}'{(A'B)-B}

=(B-A)'(A-B)

ㄷ. A� -B� =A� ;(B� `)� =A� ;B=B-A

B� -A� =B� ;(A� `)� =B� ;A=A-B

∴ (A� -B� `)'(B� -A� `)

=(B-A)'(A-B)

따라서 색칠한 부분을 나타내는 집합은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이

다.

답 ㄱ, ㄴ, ㄷ

59

A={x|0<x<2},

B={x||x-a|<2}={x|a-2<x<a+2}

에 대하여 A;B+á이기 위해서는 다음 그림과 같아

야 한다.

Ú a-2<0, 즉 a<2일 때

a+2>0 ∴ a>-2

이때 a<2이므로 -2<a<2

Û a-2¾0, 즉 a¾2일 때

a-2<2 ∴ a<4

이때 a¾2이므로 2Éa<4

Ú, Û에서 -2<a<4

답 -2<a<4

㉡+㉢+㉣을 계산하면

2(a+b+c+d+e+f)=134에서

a+b+c+d+e+f=67 yy ㉤

㉠-㉤을 계산하면

g=8

∴ n(X;Y;Z)=g=8

답 8

56

A◉B =(A;B� `)'(A� `;B)

=(A-B)'(B-A)

①~⑤의 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그

림과 같다.

① A B C ② A B C

③ A B C ④ A B C

⑤ A B C

답 ③

참고 (A◉B)◉ C =A◉(B◉ C)=(A◉ C)◉B

는 모두 문제의 색칠한 부분을 나타낸다.

57

ㄱ. 3 이하의 소수는 2, 3이므로 A£={2, 3}

4의 양의 약수는 1, 2, 4이므로 B¢={1, 2, 4}

∴ A£;B¢={2}

ㄴ. 임의의 자연수 n에 대하여 a<AÇ이면 a는 n 이

하의 소수이다.

이때 aÉn<n+1이고 a는 소수이므로 a<AÇ*Á 즉, a<AÇ이면 a<AÇ*Á

∴ AÇ,AÇ*Áㄷ. m=4, n=8일 때

B¢={1, 2, 4}, B¥={1, 2, 4, 8}이므로

B¢,B¥



={x|xÉa-2 또는 x¾a+2}

이때 A;B={x|-2<xÉ1}이 되어야 하므로 위

의 그림에서

a-2=1

∴ a=3

61

학생 36명 전체의 집합을 U, 버스를 이용하는 학생의

집합을 A, 지하철을 이용하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=36, n(A)=22, n(B)=9

이때 버스와 지하철을 모두 이용하여 등교하는 학생의

집합은 A;B이므로

n(A;B)¾5 yy ㉠

버스와 지하철 중 적어도 어느 하나를 이용하는 학생

의 집합은 A'B이므로


=22+9-n(A;B)

=31-n(A;B)

Ú n(A'B)의 최댓값

n(A;B)의 값이 최소일 때, n(A'B)의 값이

최대이다.

㉠에서 n(A;B)=5일 때 n(A;B)의 값이 최

소이므로

n(A'B)=31-5=26

∴ a=26

Û n(A'B)의 최솟값

n(A;B)의 값이 최대일 때, n(A'B)의 값이

최소이다.

B,A일 때, n(A;B)=n(B)=9이고 이때

n(A;B)의 값이 최대이므로

n(A'B)=31-9=22

∴ b=22

Ú, Û에서 a+b=26+22=48

답 48

60

⑴ A ={x|xÛ`-6x+8É0}

={x|(x-2)(x-4)É0}

={x|2ÉxÉ4}

A;B={x|2Éx<3},

A'B={x|-1<xÉ4}

를 만족시키도록 수직선 위에 두 집합 A, B를 나타

내면 다음 그림과 같다.

-1 32 4 x

BA

∴ B ={x|-1<x<3}

={x|(x+1)(x-3)<0}

={x|xÛ`-2x-3<0}

∴ a=-2, b=-3

⑵ A ={x||x-1|<3}

={x|-3<x-1<3}

={x|-2<x<4}

A;B={x|-2<xÉ1}이려면 다음 그림과 같

아야 한다.

즉 x=1이 방정식 xÛ`-2ax+aÛ`-4=0의 근이어

야 하므로 aÛ`-2a-3=0, (a-3)(a+1)=0

∴ a=3 또는 a=-1

xÛ`-2ax+aÛ`-4¾0에서

Ú a=3일 때

xÛ`-6x+5¾0, (x-1)(x-5)¾0

∴ xÉ1 또는 x¾5`(조건에 적합)

Û a=-1일 때

xÛ`+2x-3¾0, (x+3)(x-1)¾0

∴ xÉ-3 또는 x¾1 (조건에 부적합)

Ú, Û에서 a=3

답 ⑴ a=-2, b=-3 ⑵ 3

다른풀이 ⑵ A={x|-2<x<4}

B ={x|(x-a+2)(x-a-2)¾0}


연

습

문

제

실력

UP


65

p 2Ú ~q가 거짓임을 보이는 반례는 P에 속하고 Q� 에

속하지 않아야 한다.

즉 P-Q� =P;(Q� )� =P;Q

답 ①

66

주어진 조건 ‘두 실수 x, y 중 적어도 하나는 무리수이

다.’의 부정은 ‘두 실수 x, y가 모두 무리수가 아니다.’

이다.

즉 두 실수 x, y는 모두 유리수이다.

답 ④

67

명제 q 2Ú p가 참이므로 Q,P

이것을 벤다이어그램으로 나타내면


④ P'Q=P

답 ④

68

2x-17É0에서 xÉ 172 이므로 전체집합

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}에 대하여

P={1, 2, 4}, Q={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

P,X,Q를 만족시키는 집합 X는 집합 Q의 부분집

합 중 1, 2, 4를 반드시 원소로 갖는 집합이다.


2¡`ÑÜ`=2Þ`=32

답 ④

69

주어진 명제가 거짓이므로 이 명제의 부정 ‘이 제과점

안의 어떤 빵은 할인 판매하고 있지 않다.’는 참이다.

따라서 보기 중 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.

답 ㄱ, ㄴ

UP

Q

62

① p : x는 4의 양의 배수, q : x는 8의 양의 배수라

하고 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면

P={4, 8, 12, y}, Q={8, 16, 24, y}

∴ PøQ (거짓)

② (반례) x=1, y=0이면 xy=0이지만 xÛ +yÛ =1이

다. (거짓)

③ (반례)

2

2

11

위의 사각형은 평행사변형이지만 마름모가 아니다.

(거짓)

⑤ 삼각형 ABC가 이등변삼각형이면 ∠A=∠B이거

나 ∠B=∠C이거나 ∠A=∠C이다. (거짓)

답 ④

63

‘(x-y)Û`+(y-z)Û`+(z-x)Û`=0’의 부정은

‘(x-y)Û`+(y-z)Û`+(z-x)Û`+0’

이때 x, y, z는 모두 실수이므로

(x-y)Û`+0 또는 (y-z)Û`+0 또는 (z-x)Û`+0에서

x-y+0 또는 y-z+0 또는 z-x+0

∴ x+y 또는 y+z 또는 z+x

즉 x, y, z 중 적어도 두 수는 서로 다르다.

답 ⑤

64

⑴ ‘xÉ-2’의 부정은 ‘x>-2’이고, ‘2Éx<5’는

‘x¾2이고 x<5’이므로 부정은 ‘x<2 또는 x¾5’

이다.

따라서 주어진 조건의 부정은

‘x>-2이고 (x<2 또는 x¾5)’, 즉 ‘-2<x<2

또는 x¾5’이다.

⑵ ‘x=y=z’는 ‘x=y이고 y=z이고 z=x’이므로 부

정은 ‘x+y 또는 y+z 또는 z+x’이다.

답 ⑴ -2<x<2 또는 x¾5

⑵ x+y 또는 y+z 또는 z+x



이를 만족시키도록 집합

-1 4 :ª4Á:x

2a-5

P

P를 수직선 위에 나타내

면 오른쪽 그림과 같다.

즉 4<2a-5É:ª4Á:이므로

9<2aÉ:¢4Á: ∴ ;2(;<aÉ:¢8Á:

따라서 정수 a는 5의 1개이다.

답 1

74

세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면

P={x|x>a}

Q={x|-1<xÉ3 또는 x>6}

R={x|x>b}

두 명제 q 2Ú p, r 2Ú q가 참이 되려면

Q,P, R,Q, 즉 R,Q,P이어야 한다.

위의 그림에서 aÉ-1, b¾6이어야 하므로 a의 최댓

값은 -1, b의 최솟값은 6이다.

따라서 그 합은 -1+6=5 답 5

75

전체집합 U={1, 2, 3, y, 10}에 대하여

P={2, 3, 5, 7}이므로 P�` ={1, 4, 6, 8, 9, 10}

이때 명제 ~p 2Ú q가 참이려면 P�` ,Q이어야 하므

로 집합 Q는 전체집합 U의 부분집합 중 1, 4, 6, 8, 9,

10을 반드시 원소로 갖는 집합이다.

따라서 집합 Q의 개수는

2Ú`â`Ñß`=2Ý`=16 답 16

76

조건 ㈎에서 어떤 x<P에 대하여 x²Q이므로 집합

P에 있는 어떤 원소가 집합 Q에는 속하지 않는다.

즉 PøQ를 만족해야 한다.

조건 ㈏에서 모든 x<Q에 대하여 x²R이므로

70

P'Q=P에서 Q,P yy ㉠

Q;R=R에서 R,Q yy ㉡

㉠, ㉡에서 R,Q,P

⑤ R� øP� 이므로 ~r 2Ú ~p는 거짓이다.

답 ⑤

71

① R,P� 이므로 r 2Ú ~p가 참이다.

② P,R� 이므로 p 2Ú ~r가 참이다.

③ R,Q이므로 r 2Ú q가 참이다.

④ Q� ,R� 이므로 ~q 2Ú ~r가 참이다.

⑤ RøQ� 이므로 r 2Ú ~q는 거짓이다.

답 ⑤

72


P={x|-2ÉxÉ2}, Q={x|xÉ1 또는 x¾4}

~q의 진리집합은 Q�` ={x|1<x<4}이므로 조건 ‘p

또는 ~q’의 진리집합은

P'Q� `={x|-2Éx<4}

따라서 이 집합의 원소 중에서 정수인 것의 개수는

-2, -1, 0, 1, 2, 3의 6이다.

답 6

73

q : 4x-1=20에서 4x=21 ∴ x=:ª4Á:

r : xÛ`-3x-4=0에서

(x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4


P={x|x<2a-5}, Q=[:ª4Á:], R={-1, 4}

명제 q ~1° p는 거짓이고, 명제 r ~1° p는 참이므로

QøP, R,P


연

습

문

제

실력

UP


위의 그림에서 -a-4<0이어야 하므로

-4<aÉ-3 (∵ aÉ-3)

Û -a-4<-1, 즉 a>-3일 때

PQ

x-a-4 -1 0-a+4

위의 그림에서 -a+4>-1이어야 하므로

-3<a<5 (∵ a>-3)

Ú, Û에서 -4<a<5

따라서 정수 a의 최댓값은 4이다.

답 ⑴ -3 ⑵ 4

78

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자.

⑴ ~q 2Ú p가 참이 되려면 Q�` ,P

Q�` ,P이므로 P�` ,Q

p : |x+1|¾a에서 ~p`:`|x+1|<a이므로

-a<x+1<a

∴ -a-1<x<a-1

∴ P�` ={x|-a-1<x<a-1}

Q={x|-3<x<8}

P�` ,Q이어야 하므로 다음 그림에서

P�`Q

8-3 -a-1 a-1 x

-a-1¾-3, a-1É8

∴ aÉ2

따라서 양수 a의 최댓값은 2이다.

⑵ q 2Ú p가 참이 되려면 Q,P

Q,P이므로 P� ,Q� `

p : |x-1|¾2에서 ~p : |x-1|<2이므로

-2<x-1<2 ∴ -1<x<3

∴ P� ={x|-1<x<3}

q : |x-a|¾5에서 ~q : |x-a|<5이므로

-5<x-a<5 ∴ a-5<x<a+5

∴ Q� ={x|a-5<x<a+5}

P� ,Q� 이어야 하므로 다음 그림에서

Q;R=á을 만족해야 한다.

조건 ㈎, ㈏를 만족하는 한 가지 예를 벤다이어그램으

로 표현해 보면 다음과 같다.

PQ R

U

ㄱ. q 2Ú p가 참이려면 Q,P이어야 하므로 위의 벤

다이어그램의 경우에 성립하지 않는다. (거짓)

ㄴ. r 2Ú ~q가 참이려면 R,Q�` 이어야 하므로 조건

㈏의 Q;R=á에 의해 만족한다. (참)

ㄷ. ~q 2Ú p가 참이려면 Q�` ,P이어야 하므로 위의

벤다이어그램의 경우에 성립하지 않는다. (거짓)

따라서 참인 명제는 ㄴ이다.

답 ㄴ

77

|x+a|<4에서 -4<x+a<4

∴ -a-4<x<-a+4

P={x|-1<x<0},

Q={x|-a-4<x<-a+4}라 하자.

⑴ -1<x<0인 모든 실수 x에 대하여 |x+a|<4

가 성립하기 위해서는 P,Q이어야 한다.

x-a-4 -1 0 -a+4

PQ

위의 그림에서 -a-4É-1, -a+4¾0이어야

하므로

-3ÉaÉ4

따라서 정수 a의 최솟값은 -3이다.

⑵ -1<x<0인 어떤 실수 x에 대하여 |x+a|<4

가 성립하기 위해서는 P;Q+á이어야 한다.

Ú -a-4¾-1, 즉 aÉ-3일 때

P

-1-a-4

-a+40 x

Q



④ 명제 p 1° r가 참이므로 그 대우 ~r 1° ~p도 참

이다.

⑤ Q,R이므로 Q� øR� (∵ Q+R)

따라서 명제 ~q 1° ~r는 거짓이다.

답 ⑤

82

주어진 명제가 참이므로 그 대우

‘a¾k이고 b¾-2이면 a+b¾5이다.’

가 참이다.

a¾k, b¾-2에서 a+b¾k-2이므로

k-2¾5 ∴ k¾7

따라서 구하는 실수 k의 최솟값은 7이다.

답 ③

83

p : |x+2|¾k에서 x+2É-k 또는 x+2¾k

∴ xÉ-k-2 또는 x¾k-2

q : |x+3|<4에서 ~q : |x+3|¾4이므로

x+3É-4 또는 x+3¾4

∴ xÉ-7 또는 x¾1


P={x|xÉ-k-2 또는 x¾k-2}

Q�` ={x|xÉ-7 또는 x¾1}

명제 p 1° ~q의 역이 참이 되려면 ~q 1° p가 참이

되어야 하므로 Q�` ,P가 성립해야 한다.

1-7 -k-2 k-2 x

PQ�`Q�`

P

위의 그림에서 -k-2¾-7, k-2É1이므로

kÉ5, kÉ3 ∴ 0<kÉ3 (∵ k>0)

따라서 k의 최댓값은 3이다.

답 ②

84

{(P;Q)'(P-Q)};Q

={(P;Q)'(P;Q� `)};Q

a-5É-1, a+5¾3

∴ -2ÉaÉ4

답 ⑴ 2 ⑵ -2ÉaÉ4

79

역 : a+b, ab가 모두 자연수이면 a, b도 모두 자연수이

다. (거짓)

(반례) a=2+!3, b=2-!3이면 a+b=4, ab=1

은 모두 자연수이지만 a, b는 모두 자연수가 아니다.

대우 : a+b 또는 ab가 자연수가 아니면 a 또는 b가 자

연수가 아니다. (참)

주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.

답 풀이 참조

80

① 역 : ac=bc이면 a=b이다. (거짓)

(반례) a=2, b=4, c=0이면 ac=bc이지만 a+b

이다.

② 역 : a=b이면 aÛ`=bÛ`이다. (참)

③ 역 : aÛ`+bÛ`=0이면 |a|+|b|=0이다. (참)

④ 역 : a+b가 짝수이면 ab는 홀수이다. (거짓)

(반례) a=2, b=4이면 a+b는 짝수이지만 ab는

홀수가 아니다.

⑤ 역 : |ab|=ab이면 a>0, b>0이다. (거짓)

(반례) a=-2, b=-3이면 |ab|=ab이지만

a<0, b<0이다.

답 ②, ③

81

P;Q=P이므로 P,Q

Q-R=á이므로 Q,R

∴ P,Q,R

① P,Q이므로 명제 p 1° q는 참이다.

② Q,R이므로 명제 q 1° r는 참이다.

③ P,R이므로 명제 p 1° r는 참이다.


연

습

문

제

실력

UP


q : 호감을 주는 사람이다.

r : 명랑한 사람이다.

㈎에서 명제 p 2Ú q가 참이고 ㈏에서 명제 r 2Ú p가

참이므로 삼단논법에 의하여 명제 r 2Ú q가 참이다.

따라서 명제 r 2Ú q의 대우 ~q 2Ú ~r도 참이다.

즉 ‘호감을 주지 못하는 사람은 명랑한 사람이 아니다.’

가 참이다. 답 ③

88

ㄱ. p 1° q와 q 1° r가 모두 참이므로 삼단논법에

의하여 p 1° r가 참이다.

즉 P,Q, Q,R이므로 P,R이다. (참)

ㄴ. P,R이고 Q,R이므로

(P'Q),R (거짓)

ㄷ. 드모르간의 법칙에 의하여

P� ;R� =(P'R)� =R� (∵ P,R)

그런데 Q,R이므로 R� ,Q� (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③

89

⑴ 1○5Ú : x+y=0에서 y=-x yy ㉠

xy=0이므로 ㉠을 대입하면

-xÛ`=0

∴ x=0, y=0

Û○1 : x=0, y=0이면 x+y=0이고 xy=0


⑵ 1○5Ú : x>0, y>0이면 x+y>0

Û×1 : x+y>0이면 x>0, y>0

(반례) x=2, y=-1이면 x+y>0이지만

x>0, y<0이다.

∴ 충분조건

⑶ 1○5Ú : xÛ`+yÛ`=0이면 x=0, y=0

∴ |x|+|y|=0

Û○1 : |x|+|y|=0이면 x=0, y=0

∴ xÛ`+yÛ`=0


답 ⑴ 필요충분 ⑵ 충분 ⑶ 필요충분

={P;(Q'Q� `)};Q

=(P;U);Q

=P;Q=P

∴ P,Q

P,Q이면 명제 p 2Ú q가 참이므로 그 대우

~q 2Ú ~p도 참이다. 답 ⑤

85

명제 p 2Ú q가 참이므로 그 대우 ~q 2Ú ~p도 참이다.

명제 ~q 2Ú ~r가 참이므로 그 대우 r 2Ú q도 참이다.

명제 s 2Ú ~q가 참이므로 그 대우 q 2Ú ~s도 참이다.

① ~q 2Ú ~p는 참이다.

② 명제 p 2Ú q와 명제 q 2Ú ~s가 참이므로 명제

p 2Ú ~s가 참이다.

③ 참, 거짓을 판별할 수 없다.

④ 명제 r 2Ú q와 명제 q 2Ú ~s가 참이므로 명제

r 2Ú ~s가 참이다.

⑤ 명제 p 2Ú ~s가 참이므로 그 대우 s 2Ú ~p가 참

이다. 답 ③

86

명제 q 1° ~p가 참이므로 그 대우 p 1° ~q도 참이

다.

또한 명제 ~r 1° s가 참이므로 그 대우 ~s 1° r도

참이다.

두 명제 p 1° ~q, ~s 1° r가 참이므로 명제

p 1° r가 참이 되려면 명제 ~q 1° ~ s가 참이어야

한다.

명제 ~q 1° ~s와 대우인 s 1° q는 참, 거짓이 같으

므로 명제 ~q 1° ~s가 참이면 s 1° q도 참이다.

따라서 명제 p 1° r가 참임을 보이기 위해서는 명제

s 1° q가 참이어야 한다.

답 ④

87

㈎, ㈏의 문장을 다음과 같이 세 문장으로 구분하자.

p : 인상이 좋은 사람이다.



s jjK p ∴ p HjK s 따라서 p는 s이기 위한 필요충분조건이다.

답 ⑴ 충분 ⑵ 필요충분

93

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때 조건 p

가 조건 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 되지

않으려면 P.Q, P+Q이어야 한다.

ㄱ. p : |x+3|=2에서 x+3=2 또는 x+3=-2

∴ x=-1 또는 x=-5

∴ P.Q, P+Q

ㄴ. p : |x|<1에서 -1<x<1

∴ P,Q, P+Q

ㄷ. xÛ`>yÛ` 1×ÚÛ○1 x>y>0

(2° 의 반례) x=-2, y=1이면 xÛ`>yÛ`이지만

x<0이고 y>0이다.

∴ P.Q, P+Q

따라서 조건 p가 조건 q이기 위한 필요조건이지만 충

분조건이 아닌 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

94

① x+y는 무리수이다. 1○ÚÛ×1 x 또는 y가 무리수이다.

(Û`의 반례) x=!2, y=-!2이면 x 또는 y가 무

리수이지만 x+y는 무리수가 아니다.

∴ 충분조건

② xy>0 1×ÚÛ○1 x>0, y>0

(Ú의 반례) x=y=-1이면 xy>0이지만 x<0,

y<0이다.

∴ 필요조건

③ xy>x+y>4 1×ÚÛ○1 x>2이고 y>2

(`Ú의 반례) x=4, y=2이면 xy>x+y>4이지

만 y=2이다.

∴ 필요조건

④ xy+1>x+y>2

HjK xy+1>x+y이고 x+y>2

90

p는 ~r이기 위한 충분조건이므로

p jjK ~r yy ㉠

r는 q이기 위한 필요조건이므로

r Hjj q에서 ~r jjK ~q yy ㉡

㉠, ㉡에서 p jjK ~q

답 ③

91

⑴ xÛ -ax+3+0이 x-1+0이기 위한 충분조건이므

로 ‘xÛ -ax+3+0이면 x-1+0이다.’가 참이다.

따라서 대우인 ‘x-1=0이면 xÛ`-ax+3=0이다.’

가 참이므로 x=1을 xÛ`-ax+3=0에 대입하면

1-a+3=0 ∴ a=4

⑵ p : |x+1|É3에서 -3Éx+1É3

∴ -4ÉxÉ2

q : x>a이므로 ~q : xÉa

이때 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면

~q가 p이기 위한 필요조건이므로

~q Hjj p ∴ Q� .P

따라서 오른쪽 그림에서

a¾2이어야 하므로 a의 최

솟값은 2이다.

답 ⑴ 4 ⑵ 2

92

⑴ ~r 2Ú ~q가 참이므로 그 대우 q 2Ú r도 참이

다. 또 ~p 2Ú ~r는 거짓이므로 그 대우 r 2Ú p

도 거짓이다.

조건에서 p 2Ú q가 참이고 q 2Ú r가 참이므로

p 2Ú r도 참이다.

따라서 p 1○ÚÛ×1 r이므로 p는 r이기 위한 충분조건이

다.

⑵ p HjK q, q Hjj s, r jjK s, r Hjj q이므로

p HjK q jjK r jjK s에서

p jjK s ` s jjK q HjK p에서

p HjjK q jjjK r

s

Hjjj Hjjj


연

습

문

제

실력

UP


97

p가 q이기 위한 충분조건이 되려면 P,Q이어야 한

다.

즉 t+3<Q이어야 하므로 t+3=4 또는 t+3=7-t

∴ t=1 또는 t=2

q가 r이기 위한 필요충분조건이 되려면 Q=R이어야

한다.

Ú t=1일 때

Q={4, 6}, R={0, 4}이므로 Q+R

Û t=2일 때

Q={4, 5}, R={4, 5}이므로 Q=R

따라서 조건을 만족시키는 실수 t의 값은 2이다.

답 2

98

p는 q이기 위한 필요조건이므로

p Hjj qq는 r이기 위한 필요조건이므로

q Hjj rr는 s이기 위한 충분조건이므로

r jjK s~r는 ~t이기 위한 충분조건이므로

~r jjK ~t에서 t jjK rt는 p이기 위한 필요조건이므로 t Hjj p따라서 p HjK q HjK r HjK t이므로 r

이기 위한 필요충분조건인 것은 p, q, t

의 3개이다.

� 답 3

99

p : |x|>a에서 x<-a 또는 x>a

q : x>b

r : -5<x<-2 또는 x>5


p는 r이기 위한 필요조건이므로 P.R

q는 r이기 위한 충분조건이므로 Q,R

∴ Q,R,P

p Hjjj q

t jjjK r◯

s

Hjjj

Hjjj

Hjjj

HjK xy-x-y+1>0이고 x+y-2>0

HjK (x-1)(y-1)>0이고 (x-1)+(y-1)>0

HjK x-1>0이고 y-1>0

HjK x>1이고 y>1


⑤ |x|>y 1×ÚÛ○1 y<0

(2° 의 반례) x=-3, y=2이면 |x|>y이지만

y>0이다.

∴ 필요조건

답 ①

95

(A'B);(A�``'B�``)

={(A'B);A�``}'{(A'B);B�``}

={(A;A�` )'(B;A�``)}

'{(A;B�` )'(B;B�` )}

={á'(B;A�` )}'{(A;B�` )'á}

=(B;A�` )'(A;B�` )

그런데 위의 식이 B;A�``이 되기 위해서는

A;B�``=á, 즉 A,B이어야 한다.

따라서 주어진 식이 성립하기 위한 필요충분조건은

A,B이다.

답 ①

96

p는 ~r이기 위한 필요조건이므로 p Hjj ~r

∴ P.R�` yy ㉠

r는 q이기 위한 충분조건이므로 r jjK q∴ R,Q, Q�` ,R�` yy ㉡

㉠, ㉡에서 Q�` ,R�` ,P

ㄱ. R,Q (참)

ㄴ. Q�` ,R�` ,P에서 Q�` ,P이므로

P-Q=P;Q�` =Q�` (참)

ㄷ. R�` ,P이므로

P-R=P;R�` =R�` (거짓)

따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답�ㄱ,�ㄴ

기본서(수학하)_해설_055~077_1단원_연습_ok.indd 73 2017-08-11 오전 10:32:59


=-2|ab|É0

그런데 "ÃaÛ`+bÛ`¾0, |a|+|b|¾0이므로

"ÃaÛ +bÛÉ|a|+|b| (단, 등호는 ab=0일 때 성립)

② aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc

=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)

= 12 (a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}

¾0

∴ aÜ`+bÜ`+cÜ`¾3abc

(단, 등호는 a=b=c일 때 성립)

③ ad>0, bc>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계

에 의하여

{ ba + d

c }{ab + c

d }‌‌=2+ bcad + ad

bc

¾2+2¾ bcad ad

bc =4

(단, 등호는 ad=bc일 때 성립)

④ ('a+'b)Û`-{"Ã2(a+b)}Û`

=a+b+2'¶ab-2(a+b)

=-a-b+2'¶ab

=-('a-'b)Û`É0

그런데 'a+'b>0, "Ã2(a+b)>0이므로

'a+'bÉ"Ã2(a+b) (단, 등호는 a=b일 때 성립)

⑤ (aÛ`+bÛ`)(cÛ`+dÛ`)-(ac+bd)Û`

=aÛ`cÛ`+aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`-aÛ`cÛ`-2abcd-bÛ`dÛ`

=aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`-2abcd

=(ad-bc)Û`¾0

∴ (aÛ`+bÛ`)(cÛ`+dÛ`)¾(ac+bd)Û`

(단, 등호는 ad=bc일 때 성립)

답 ④

102

|x-y|¾0, ||x|-|y||¾0이므로

|x-y|Û`>||x|-|y||Û`이 항상 성립하기 위한 조건

을 구하면 된다.

|x-y|Û`-||x|-|y||Û`

=(x-y)Û`-(|x|-|y|)Û`

=xÛ`-2xy+yÛ`-(xÛ`-2|xy|+yÛ`)

=2(|xy|-xy)>0

위의 그림에서 -a¾-2, aÉ5이고 b¾5이어야 하

므로

0<aÉ2, b¾5

따라서 a의 최댓값은 2, b의 최솟값은 5이므로 구하는

합은 2+5=7 답 7

100

⑴ x>0, y>0에서 xy>0이므로 산술평균과 기하평

균의 관계에 의하여

{2x+ 1y }{

1x +8y}‌‌=2+16xy+ 1

xy +8

=16xy+ 1xy +10

¾2¾16xy 1xy +10

=2 4+10=18

이때 등호는 16xy= 1xy , 즉 xy= 1

4 일 때 성립한다.

따라서 주어진 식은 xy= 14 일 때 최솟값 18을 가

지므로 m=18, n= 14

∴ mn= 92

⑵ a¾0, b¾0에서 'a, 'b는 실수이므로 코시－슈바

르츠의 부등식에 의하여

(1Û`+2Û`)(a+b)¾('a+2'b)Û` 그런데 a+b=5이므로 5 5¾('a+2'b)Û`>0

∴ 0<'a+2'bÉ5

{단, 등호는 'a= 'b2 일 때 성립}

따라서 'a+2'b의 최댓값은 5이다.

답 ⑴ ;2(; ⑵ 5

101

① ("ÃaÛ`+bÛ`)Û`-(|a|+|b|)Û`

=aÛ`+bÛ`-(aÛ`+2|ab|+bÛ`)


연

습

문

제

실력

UP


3x-8+ 1x-3 =3(x-3)+ 1

x-3 +1

¾2¾¨3(x-3)´ 1x-3 +1

=2'3+1

이때 등호는 3(x-3)= 1x-3 일 때 성립하므로

(x-3)Û`= 13 , x-3= '33 (∵ x-3>0)

∴ x=3+ '33

따라서 주어진 식은 x=3+ '33 일 때 최솟값

2'3+1을 가지므로

a=2'3+1, b=3+ '33

∴ 6b-a =6{3+ '33 }-2'3-1=17

답 ⑴ 8 ⑵ 5 ⑶ 17

104

⑴ 주어진 명제의 대우

‘자연수 m, n에 대하여 mn이 홀수이면 mÛ`+nÛ`은

짝수이다.’


mn이 홀수이면 m, n은 모두 홀수이므로

m=2k-1, n=2l-1 (k, l은 자연수)

로 나타낼 수 있다. 이때

mÛ`+nÛ` =(2k-1)Û`+(2l-1)Û`

=4kÛ`-4k+1+4lÛ`-4l+1

=2(2kÛ`-2k+2lÛ`-2l+1)

이므로 mÛ`+nÛ`은 짝수이다.


제도 참이다.

⑵ mn이 짝수가 아니라고 하자. 즉 mn이 홀수라 하

면 m, n은 모두 홀수이어야 한다.

m, n이 모두 홀수이므로

m=2k-1, n=2l-1 (k, l은 자연수)

로 나타낼 수 있다. 이때

mÛ`+nÛ` =(2k-1)Û`+(2l-1)Û`

=4kÛ`-4k+1+4lÛ`-4l+1

이 부등식이 항상 성립하기 위해서는 |xy|>xy이어

야 하므로 xy<0

답 ③

103

⑴ xÛ`-2x+a=0의 판별식을 D라 할 때 이 이차방

정식이 허근을 가지려면

D4 =1-a<0 ∴ a>1

a-1>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여

a+ 4a-1 =(a-1)+ 4

a-1 +1

¾2¾¨(a-1)´ 4a-1 +1

=2K´2+1=5

이때 등호는 a-1= 4a-1 일 때 성립하므로

(a-1)Û`=4, a-1=2 (∵ a-1>0)

∴ a=3

따라서 a+ 4a-1 는 a=3일 때 최솟값 5를 가지

므로

m=5, n=3 ∴ m+n=8

⑵ x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

xÛ`+2x+2

x =x+2+ 2x

=x+ 2x +2

¾2¾x´ 2x +2

=2'2+2

이때 등호는 x= 2x 일 때 성립하므로 xÛ`=2

∴ x='2 (∵ x>0)

따라서 주어진 식은 x='2일 때 최솟값 2'2+2를

가지므로

a='2, b=2'2+2

∴ -2a+b+3=-2'2+2'2+2+3=5

⑶ x-3>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여



⑵ a>0, b+c>0이므로 산술평균과 기하평균의 관

계에 의하여

(a+b+c){ 1a + 1

b+c }

={a+(b+c)}{ 1a + 1

b+c }

=1+ ab+c + b+c

a +1

= ab+c + b+c

a +2

¾2¾Ð ab+c ´b+ca +2

=2´1+2=4 (단, 등호는 a=b+c일 때 성립)


답 ⑴ 8 ⑵ 4

107

{4- 9ba }{1-;bA;} =4- 4a

b - 9ba +9

=13-{ 4ab + 9b

a }

이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계

에 의하여

4ab +

9ba ¾2¾4a

b ´9ba

=2´6=12 (단, 등호는 2a=3b일 때 성립)

∴ {4- 9ba }{1-;bA;}‌‌=13-{ 4a

b +9ba }

É13-12=1

따라서 부등식 {4- 9ba }{1-;bA;}Ém이 항상 성립하

도록 하는 실수 m의 값의 범위는 m¾1

답 m¾1

108

직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 x, y라 하고 넓

이를 S라 하면 S=xy

또 원의 지름의 길이가 8이므로

xÛ`+yÛ`=8Û`

xÛ`>0, yÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에

의하여

=2(2kÛ`-2k+2lÛ`-2l+1)

이므로 mÛ`+nÛ`은 짝수이다.

그런데 이것은 mÛ`+nÛ`이 홀수라는 가정에 모순이

므로 mn은 짝수이다.

따라서 자연수 m, n에 대하여 mÛ`+nÛ`이 홀수이면

mn은 짝수이다.

답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조

105

주어진 부등식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

xÛ`+2(y+3)x+yÛ`+my+n¾0 yy ㉠

㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 이차

방정식 xÛ`+2(y+3)x+yÛ`+my+n=0의 판별식을

D라 하면

D4 =(y+3)Û`-(yÛ`+my+n)É0

∴ (6-m)y+9-nÉ0 yy ㉡

㉡이 모든 실수 y에 대하여 성립하므로

6-m=0, 9-nÉ0

∴ m=6, n¾9

따라서 m+n의 최솟값은

6+9=15

답 15

106

⑴ a>0, b>0, c>0이므로 산술평균과 기하평균의

관계에 의하여

{1+ 2ba }{1+

cb }{1+

a2c }

={1+ cb + 2b

a + 2ca }{1+

a2c }

=1+ cb + 2b

a + 2ca + a

2c + a2b + b

c +1

={ cb + b

c }+{2ba + a

2b }+{2ca + a

2c }+2

¾2¾Ð cb ´bc +2¾Ð 2ba ´

a2b +2¾Ð 2ca ´

a2c +2

=2´1+2´1+2´1+2=8

(단, 등호는 aÛ`=4bÛ`=4cÛ`, 즉 a=2b=2c일 때 성립)



연

습

문

제

실력

UP


A{ 36a , 0}, B{0, 36b }

삼각형 OAB의 넓이를 S라 하면

S= 12 _ 36

a _ 36b = 36Û`é

2ab yy ㉠

또한 점 P(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=36 위의 점이므로

aÛ`+bÛ`=36

aÛ >0, bÛ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의

하여

aÛ`+bÛ`¾2"�aÛ`bÛ`=2ab (∵ a>0, b>0)

그런데 aÛ`+bÛ`=36이므로

36¾2ab （단, 등호는 a=b일 때 성립）

∴ 1

2ab¾136 yy ㉡

㉠, ㉡에서 S= 36Û`é2ab = 1

2ab _36Û`¾;3Á6;_36Û`=36

따라서 삼각형 OAB의 넓이의 최솟값은 36이다.

� 답 36

111

BCÓ=x, CDÓ=y라 하면 삼각형

ABD와 삼각형 BCD는 빗변 BD를

공유하는 직각삼각형이므로

xÛ`+yÛ`=4Û`+8Û`=80

x, y는 실수이므로 코시-슈바르츠

의 부등식에 의하여

(1Û`+1Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(x+y)Û`

2´80¾(x+y)Û`, (x+y)Û`É160

이때 x>0, y>0이므로

0<x+yÉ4'1�0 (단, 등호는 x=y일 때 성립)

사각형 ABCD의 둘레의 길이는

4+8+x+y=12+x+y이므로

12<12+x+yÉ12+4'1�0따라서 구하는 최댓값은 12+4'1�0이다.

답 12+4'1�0

A

B C

D4

y

x

8

xÛ`+yÛ`¾2"ÃxÛ`yÛ`

그런데 xÛ`+yÛ`=64이므로

64¾2xy (∵ x>0, y>0)

∴ xyÉ32

이때 등호는 x=y일 때 성립하므로 xÛ`+yÛ`=64에 대

입하면

xÛ`+xÛ`=64, xÛ`=32 ∴ x=4'2, y=4'2따라서 S는 x=y=4'2일 때 최댓값이 32이고, 이때

직사각형의 둘레의 길이는

2(4'2+4'2)=16'2답 16'2

109

실수 x에 대하여 xÛ`-x+1={x-12 }

Û`+34 >0이므

로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

xÛ`-x+ 9xÛ`-x+1

=xÛ`-x+1+ 9xÛ`-x+1

-1

¾2¾(xÛ`-x+1)´ 9xÛ`-x+1

-1

=2´3-1=5

이때 등호는 xÛ`-x+1=9

xÛ`-x+1일 때 성립하므로

(xÛ`-x+1)Û`=9, xÛ`-x+1=3 (∵ xÛ`-x+1>0)

xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0

∴ x=-1 또는 x=2

따라서 주어진 식은 x=-1 또는 x=2일 때 최솟값 5

를 가지므로

a=5, b=-1+2=1 ∴ a+b=6

답 6

110

원 xÛ`+yÛ`=36 위의 점

P(a, b)에서의 접선의 방정식

은 ax+by=36

이 접선이 x축, y축과 만나는

점은 각각

기본서(수학하)_해설_055~077_1단원_연습_ok.indd 77 2017-08-11 오전 11:36:42

78 Ⅱ. 함수

Ⅱ. 함수

112주어진 대응을 그림으로 나타낸 후, 집합 X의 각 원소

에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩만 대응하지 않는 것

을 찾는다.

① -2 0

1

2

3

-1

0

X Y ② -2 0

1

2

3

-1

0

X Y

③ -2 0

1

2

3

-1

0

X Y ④ -2 0

1

2

3

-1

0

X Y

⑤ -2 0

1

2

3

-1

0

X Y

따라서 X에서 Y로의 함수가 아닌 것은 ③, ⑤이다.

답 ③, ⑤

113

2는 유리수이므로

f(2)=-2_2=-4

'3+2는 무리수이므로

f('3+2)=('3+2)-3='3-1

∴ f(2)+'3`f('3+2)

=-4+'3('3-1)=-1-'3답 -1-'3

114세 함수 f(x)=2xÜ -x, g(x)=-|x|+1, h(x)=x

에 정의역의 원소 -1, 0, 1을 각각 대입하면

f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1

g(-1)=0, g(0)=1, g(1)=0

h(-1)=-1, h(0)=0, h(1)=1

이때 f(-1)=h(-1), f(0)=h(0), f(1)=h(1)

이므로 서로 같은 함수는 f 와 h이다.

답 f 와 h

115Ú 5의 양의 약수 1, 5 중 소수는 5이므로 f(5)=1

Û 6의 양의 약수 1, 2, 3, 6 중 소수는 2, 3이므로

f(6)=2

Ü 7의 양의 약수 1, 7 중 소수는 7이므로

f(7)=1

Ý 8의 양의 약수 1, 2, 4, 8 중 소수는 2이므로

f(8)=1

Þ 9의 양의 약수 1, 3, 9 중 소수는 3이므로

f(9)=1

이상에서 함수 f의 치역은 {1, 2}이므로 치역의 모든

원소의 합은 1+2=3

답 3

116f(-2)=g(-2)=0, f(0)=g(0)=0이므로

f(a)=g(a)에서

aÛ`+2a=aÜ`-4a, aÜ`-aÛ`-6a=0

a(aÛ`-a-6)=0, a(a-3)(a+2)=0

∴ a=0 또는 a=3 또는 a=-2

그런데 a+-2, a+0이므로 a=3

답 3

117f(a+b)=f(a)+f(b)+4 yy ㉠

㉠에 a=b=0을 대입하면

f(0)=f(0)+f(0)+4 ∴ f(0)=-4

㉠에 a=4, b=-4를 대입하면

f(0)=f(4)+f(-4)+4

∴ f(4)+f(-4)=f(0)-4=-8

답 -8


연

습

문

제

실력

UP


118집합 X의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 오직 하

나씩 대응할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수라 한다.

X의 각 원소의 함숫값을 구하면

f(-1)=a-(a+1)+2=1

f(0)=2

f(1)=a+(a+1)+2=2a+3

함수 f 가 X에서 Y로의 함수이므로 f(1)의 값은 1,

2, 3 중 하나이면 된다.

Ú f(1)=1일 때, 2a+3=1 ∴ a=-1

Û f(1)=2일 때, 2a+3=2 ∴ a=-;2!;

Ü f(1)=3일 때, 2a+3=3 ∴ a=0

이상에서 모든 a의 값의 합은 -;2#;이다.

답 -;2#;

119직선 y=k(k<(치역))와 그래프의 교점이 1개이고

(치역)=(공역)이면 그 함수는 일대일대응이다.

답 ③

120함수 f 가 항등함수이려면 f(-1)=-1, f(0)=0,

f(1)=1이어야 한다.

① f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1이므로 항등함수가

아니다.

답 ①

121ㄱ. 치역의 원소 k에 대하여 주어진 그래프와 직선

y=k가 한 점에서 만나고 (치역)=(공역)이므로

일대일대응이다.

ㄴ. 치역이 {y|y>0}이므로 일대일대응은 아니다. 양

수인 치역의 원소 k에 대하여 주어진 그래프와 직

선 y=k가 한 점에서 만나므로 일대일함수이다.

ㄷ. 치역의 원소 k에 대하여 주어진 그래프와 직선

y=k가 한 점에서 만나고 (치역)=(공역)이므로

일대일대응이다.

ㄹ. 치역의 원소 k에 대하여 주어진 그래프와 직선

y=k가 한 점 이상에서 만나므로 일대일함수가 아

니고 일대일대응도 아니다.

따라서 일대일함수이지만 일대일대응이 아닌 것은

ㄴ이다.

답 ㄴ

122주어진 조건을 모두 만족시키는 함수는 일대일대응이

므로 일대일대응인 것을 찾는다.

y=f(x)의 그래프를 그린 후 직선 y=k(k<(치역))

를 그어 교점을 나타내면 다음 그림과 같다.

① ②

③ ④

⑤

①, ⑤ 함수의 그래프와 직선 y=k의 교점이 1개이고

(치역)=(공역)이므로 일대일대응이다.

②, ③, ④ 함수의 그래프와 직선 y=k가 두 점 이상에

서 만나는 경우가 있으므로 일대일대응이 아니다.

답 ①, ⑤

123f(1)=a, f(2)=d를 만족시키는 함수는 정의역의 원

소 1, 2에 대응하는 공역의 원소가 각각 a, d로 정해져

있으므로 정의역의 두 원소 3, 4만 살펴보면 된다.


80 Ⅱ. 함수

는 두 점 (-2, 13), (2, 1)을 지나야 하므로

13=-2a+b yy ㉠

1=2a+b yy ㉡


a=-3, b=7

∴ a-b=-10

답 -10

127집합 X의 각 원소에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는

d, e의 2개씩이므로 X에서 Y로의 함수의 개수는

2_2_2=2Ü`=8

한편 치역이 {d} 또는 {e}인 함수의 개수는 2이므로

치역과 공역이 같은 함수의 개수는

8-2=6

답 6

다른풀이 Ú Y의 원소 d에 X의 원소가 2개 대응할 때

a

b

c

X

d

e

Y

a

b

c

X

d

e

Y

a

b

c

X

d

e

Y

Û Y의 원소 e에 X의 원소가 2개 대응할 때

a

b

c

X

d

e

Y

a

b

c

X

d

e

Y

a

b

c

X

d

e

Y

Ú, Û에서 구하는 함수의 개수는

3+3=6

128함수 f 가 항등함수이므로 f(x)=x이다.

Ú x<-2일 때,

f(x)=-4이므로 x=-4

Û -2ÉxÉ1일 때,

f(x)=x에서 2x+1=x

이때 3, 4에 대응할 수 있는 공역의 원소는 a, b, c, d

중 하나이므로 각각 4개씩이다.

따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는

4_4=16

답 16

124f(x)=ax+b에 대하여

f(-2)=-2a+b=3 yy ㉠

f(2)=2a+b=3 yy ㉡


a=0, b=3

∴ f(x)=3

즉 함수 f`는 함숫값이 항상 3인 상수함수이다.

∴ f(11)+f(12)+y+f(20)

=3_10

=30

답 30

125X={1, 2, 3}, Y={4, 5, 6, 7, 8}에 대하여 함수

f`:`X 2Ú Y가 상수함수이므로

f(1)=f(2)=f(3)=a (a<Y)라 하면

f(1)+f(2)+f(3)의 최댓값은 a=8일 때이므로

f(1)+f(2)+f(3)=8+8+8=24

또한 f(1)+f(2)+f(3)의 최솟값은 a=4일 때이므

로

f(1)+f(2)+f(3)=4+4+4=12

따라서 최댓값과 최솟값의 합은

24+12=36

답 36

126a<0이므로 함수 f(x)=ax+b가

O

13

-2 21

x

y

일대일대응이 되려면 y=f(x)의

그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한

다.

이때 (치역)=(공역)이려면 그래프


연

습

문

제

실력

UP


xÜ`-2xÛ`-5x+6=0

조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

1 1 -2 -5 6

1 -1 -6

1 -1 -6 0

(x-1)(xÛ`-x-6)=0

(x-1)(x+2)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=-2 또는 x=3

따라서 집합 X가 될 수 있는 것은 {-2, 1, 3}의 부분

집합 중 공집합이 아닌 것이므로 구하는 집합 X의 개

수는

2Ü`-1=7

답 7

132

f(x)=3이려면 x=4k+3 (k는 음이 아닌 정수)이어

야 한다.

따라서 함수 f 의 정의역 X는

{x|x=4k+3 (k=0, 1, 2, 3, y, 6)}, 즉

{3, 7, 11, 15, 19, 23, 27}의 부분집합 중 공집합이

아닌 것이어야 하므로 구하는 정의역 X의 개수는

2à`-1=127

답 127

133

f(x+y)=f(x)+f(y) yy ㉠

㉠의 양변에 x=0, y=0을 대입하면

f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0

㉠의 양변에 y 대신 -x를 대입하면

f(0)=f(x)+f(-x)

∴ f(-x)=-f(x) (∵ f(0)=0) yy ㉡

㉠의 양변에 x=1, y=1을 대입하면

f(2)=f(1)+f(1)=4 (∵ f(1)=2)

∴ f(-2) =-f(2)(∵ ㉡)

=-4

답 ②

∴ x=-1

Ü x>1일 때,

f(x)=3이므로 x=3

Ú, Û, Ü에서 X={-4, -1, 3}

∴ a+b+c =-4+(-1)+3

=-2

답 -2

129f(x)=xÜ`+xÛ`-x가 항등함수가 되려면 f(x)=x를

만족시켜야 한다.

즉 xÜ`+xÛ`-x=x에서

xÜ`+xÛ`-2x=0, x(x-1)(x+2)=0

∴ x=0 또는 x=1 또는 x=-2

따라서 집합 X가 될 수 있는 것은 {-2, 0, 1}의 부분

집합 중 공집합이 아닌 것이므로 구하는 집합 X의 개

수는

2Ü`-1=7

답 7

130

일대일대응이려면 직선 y=(a+2)x+1과 직선

y=-2ax+b의 기울기의 부호가 같아야 하므로

(a+2)(-2a)>0

a(a+2)<0

∴ -2<a<0 yy ㉠

또 (치역)=(공역)이려면 직선 y=-2ax+b가 점

(-1, -a-1)을 지나야 하므로

-a-1=2a+b

∴ b=-3a-1 yy ㉡

㉠에서 a는 정수이므로 a=-1

a=-1을 ㉡에 대입하면 b=2

∴ ab=-2

답 -2

131f(x)=g(x), 즉 xÜ`-2xÛ`-4x+3=x-3에서


82 Ⅱ. 함수

1360Éx<2에서 함수 f(x)=;2!;x의 치역은

{y|0Éy<1}

따라서 X에서 Y로의 함수 f 가 일대일대응이 되려면

공역이 Y={y|0ÉyÉ4}이므로 2ÉxÉ4에서 함수

f(x)=ax+b의 치역이 {y|1ÉyÉ4}이어야 한다.

그런데 a<0이므로 오른쪽 그림

O 2 4 x

y

y=ax+b

1

4

y= 12 x

에서 f(2)=4, f(4)=1

즉 2a+b=4, 4a+b=1


a=-;2#;, b=7

따라서 2ÉxÉ4에서 f(x)=-;2#;x+7이므로

f(3)=-;2#;_3+7=;2%;

답 ⑤

137(g½f )(a)+(g½f )(b)

=g( f(a))+g( f(b))=g(y)+g(x)=4+6=10

답 10

138f { x-2

5 }=3x+1에서 x-25 =t라 하면 x=5t+2

∴ f(t)=3(5t+2)+1=15t+7

∴ f { x+13 }=15´ x+1

3 +7=5x+12

답 ③

139(`f½f½g½g)('2)=f(`f(g(g('2))))=f(`f(g(-'2))) =f(`f('2)) =f(-2)

Û g('2)=-'2Û g(-'2)='2

Û f ('2)=-('2)Û`=-2

134함수 f(x)=ax+|x-2|+3에서

Ú x¾2일 때,

f(x)=ax+x-2+3=(a+1)x+1

Û x<2일 때,

f(x)=ax-(x-2)+3=(a-1)x+5

함수 f`가 일대일대응이려면 그래프가 다음 그림과 같

아야 한다.

O 2 x

y

2a+3

O 2 x

y

2a+3

즉 두 구간 x¾2, x<2에서의 직선의 기울기의 부호

가 서로 같아야 하므로

(a+1)(a-1)>0

∴ a<-1 또는 a>1

답 a<-1 또는 a>1

135

f(x-4)=á{»

1 2 (x-4) (x-4¾0)

-(x-4) (x-4<0),

즉 f(x-4)=á{»

1 2 x-2 (x¾4)

-x+4 (x<4)이므로

Ú x¾4일 때, g(x)= 12 x-2- 1

2 x=-2

Û 0Éx<4일 때, g(x) =-x+4- 12 x

=-32 x+4

Ü x<0일 때, g(x)=-x+4-(-x)=4

즉 g(x)=

á\{\»

4 (x<0)

-;2#;x+4 (0Éx<4)

-2 (x¾4)

따라서 M=4, m=-2이므로

M+2m=4+2´(-2)=0

답 0


연

습

문

제

실력

UP


142

직선 y=x를 이용하여

x축, y축과 점선이 만

나는 점의 x좌표, y좌

표를 구하면 오른쪽 그

림과 같다.

f(b)=c, f(c)=d,

f(d)=e이므로

d=f(c)를 f(d)=e에 대입하면

f( f(c))=e

c=f(b)를 f( f(c))=e에 대입하면

f( f( f(b)))=e

따라서 ( f`ç`f`ç`f )(x)=f( f( f(x)))=e를 만족시

키는 x의 값은 b이다.

답 b

143f Ú`(3)=3-1=2

f Û`(3)=f( f(3))=f(2)=1

f Ü`(3)=f( f Û`(3))=f(1)=5

f Ý`(3)=f( f Ü`(3))=f(5)=4

f Þ`(3)=f( f Ý`(3))=f(4)=3

f ß`(3)=f( f Þ`(3))=f(3)=2

`⋮

즉 f Ç`(3)은 2, 1, 5, 4, 3이 이 순서대로 반복된다.

이때 2017=5_403+2이므로

f Û`â`Ú`à`(3)=f Û`(3)=1

답 1

144(g`ç`f )(1)=2에서 g( f(1))=2이고

g(2)=2이므로 f(1)=2

( f`ç`g)(3)=4에서 f(g(3))=4이고

f(3)=4이므로 g(3)=3

이때 함수 f는 일대일대응이므로

f(4)=3

∴ f(4)g(3)=3´3=9

답 9

y=f(x)

y=x

O x

y

a

a b c d e

bcde

=(-2)Û`=4

답 4

140g(1)=4에서 3+b=4 ∴ b=1

f(x)=-ax+4, g(x)=3x+1에서

( f½g)(x) =f(g(x))=f(3x+1)

=-a(3x+1)+4

=-3ax-a+4

(g½f )(x) =g( f(x))=g(-ax+4)

=3(-ax+4)+1

=-3ax+13

f½g=g½f 이므로 -3ax-a+4=-3ax+13

-a+4=13 ∴ a=-9

∴ ab=(-9)´1=-9

답 -9

141h(x)=ax+b`(a+0)로 놓으면

(h½g½f )(x) =h(g(`f(x)))

=h(g(-x))

=h(-2x-1)

=a(-2x-1)+b

=-2ax-a+b

이고, (h½g½f )(x)=f(x)이므로

-2ax-a+b=-x

-2a=-1, -a+b=0

∴ a=;2!;, b=;2!;

∴ h(x)=;2!;x+;2!;

h(k)=4에서 ;2!;k+;2!;=4 ∴ k=7

답 7

다른풀이 (h½g½f)(x)=f(x)에서

h(-2x-1)=-x yy ㉠

㉠의 양변에 x=-4를 대입하면

h(7)=4

따라서 h(k)=4에서 k=7


84 Ⅱ. 함수

0+3=3

답 3

148

f(x)=á{»

2x {0ÉxÉ;2!;}

2-2x {;2!;ÉxÉ1}이므로

( f½f )(x)=á{»

2 f(x) {0Éf(x)É;2!;}

2-2 f(x) {;2!;Éf(x)É1}

Ú 0ÉxÉ;4!;일 때, 0Éf(x)É;2!;이므로

( f½f )(x)=2 f(x)=2´(2x)=4x

Û ;4!;ÉxÉ;2!;일 때, ;2!;Éf(x)É1이므로

( f½f )(x)=2-2 f(x)=2-2´(2x)=2-4x

Ü ;2!;ÉxÉ;4#;일 때, ;2!;Éf(x)É1이므로

( f½f )(x) =2-2 f(x)=2-2(2-2x)

=4x-2

Ý ;4#;ÉxÉ1일 때, 0Éf(x)É;2!;이므로

( f½f )(x) =2 f(x)=2(2-2x)

=4-4x

Ú~Ý에서

y=( f½f )(x)의 그래프


답 풀이 참조

149(g½f )ÑÚ`(2) =( f ÑÚ½gÑÚ`)(2)=f ÑÚ (gÑÚ`(2))

=f ÑÚ (1)=4

( f½g)ÑÚ`(2) =(gÑÚ`½f ÑÚ )(2)=gÑÚ`( f ÑÚ (2)) =gÑÚ`(1)=2

∴ (g½f )ÑÚ`(2)+( f½g)ÑÚ (2) =4+2=6

답 6

O x

y

;4!; ;4#;;2!; 1

1 y=(f½f)(x)

145f(x)=[

-2x+4 (0Éx<2)

x-2 (2ÉxÉ4)이므로

f Ú`(1)=f(1)=2

f Û`(1)=f( f(1))=f(2)=0

f Ü`(1)=f( f Û`(1))=f(0)=4

f Ý`(1)=f( f Ü`(1))=f(4)=2

f Þ`(1)=f( f Ý`(1))=f(2)=0

f ß`(1)=f( f Þ`(1))=f(0)=4

`⋮

즉 f Ç`(1)의 값은 2, 0, 4가 이 순서대로 반복된다.

이때 100=3_33+1이므로

f Ú`â`â`(1)=f Ú`(1)=2

답 2

146( f½f½f )(x) =f(( f½f )(x))

=|( f½f )(x)-1|=0

에서 ( f½f )(x)=1

( f½f )(x)=f( f(x))=|f(x)-1|=1

에서 f(x)-1=-1 또는 f(x)-1=1

∴ f(x)=0 또는 f(x)=2

즉 |x-1|=0 또는 |x-1|=2이므로

x-1=0 또는 x-1=-2 또는 x-1=2

∴ x=1 또는 x=-1 또는 x=3

따라서 모든 x의 값의 합은 3이다.

답 3

147(`f½g)(x)=0에서 f(g(x))=0

g(x)=t라 하면 f(t)=0

주어진 그래프에서 f(-2)=0, f(1)=0이므로

t=-2 또는 t=1

즉 g(x)=-2 또는 g(x)=1이므로

x-2=-2 또는 x-2=1

∴ x=0 또는 x=3

따라서 방정식 (`f½g)(x)=0의 모든 실근의 합은


연

습

문

제

실력

UP


OP

x

y

-:Á3¼:

-:Á3¼:10

10 y=x

y=f(x)

y=fÑÚ (x)

또한 y=f(x)의 그래프와 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교

점은 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으

므로

3x+10=x에서 x=-5

즉 교점의 좌표는 (-5, -5)이다.

따라서 O(0, 0), P(-5, -5)이므로

OPÓ="Ã(-5)Û`+(-5)Û`=5'2답 5'2

다른풀이 y=3x+10라 하고 x에 대하여 정리하면

3x=y-10 ∴ x=;3!;y- 103

x와 y를 서로 바꾸면 y=;3!;x- 103

∴ f ÑÚ`(x)=;3!;x- 103

두 함수 y=f(x)와 y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점의 좌

표는

3x+10=;3!;x- 103 ∴ x=-5

∴ P(-5, -5)

∴ OPÓ="Ã(-5)Û`+(-5)Û`=5'2

154⑴ g(g(x))=x에서 (g½g)(x)=x이므로

g(x)=gÑÚ`(x) ∴ gÑÚ`(1)=g(1)=0

⑵ ((`f`ÑÚ`½g)ÑÚ`½f)(-2)

=(gÑÚ`½f½f)(-2)

=gÑÚ`(`f(`f(-2)))

=gÑÚ`(`f(-1))

=gÑÚ`(0)

gÑÚ`(0)=k라 하면 g(k)=0

Û f(-2)=-1

Û f(-1)=0

150( f½f )(3)=f( f(3))=f(9)=27

f ÑÚ`(-6)=a라 하면 f(a)=-6

Ú a¾2일 때,

f(a)=3a=-6 ∴ a=-2

그런데 a¾2이므로 a의 값은 존재하지 않는다.

Û a<2일 때,

f(a)=-aÛ`+5a=-6, aÛ`-5a-6=0

(a+1)(a-6)=0 ∴ a=-1 (∵ a<2)

Ú, Û에서 f ÑÚ`(-6)=-1

∴ (`f½f)(3)+f ÑÚ`(-6)=27+(-1)=26

답 26

151f=f ÑÚ`이므로 ( f½f )(x)=x

f(x)=ax+1에서

( f½f )(x) =f( f(x))=f(ax+1)

=a(ax+1)+1

=aÛ`x+a+1

따라서 aÛ`x+a+1=x이므로

aÛ`=1, a+1=0

∴ a=-1

답 -1

152함수 f의 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 한

다. 즉 함수 f(x)의 구간에 따른 각 직선의 기울기의

부호는 같아야 하므로

(1-a)(a-4)>0, (a-1)(a-4)<0

∴ 1<a<4

따라서 정수 a는 2, 3의 2개이다.

답 2

153함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프는 y=f(x)의 그래프와 직

선 y=x에 대하여 대칭이므로 다음 그림과 같다.


86 Ⅱ. 함수

하면 f(k)=12에서 k=b

∴ g { 12 }=b

g(b)=f ÑÚ`(b)=t라 하면 f(t)=b에서 t=a

∴ g(b)=a

∴ (g½g){;2!;}=g {g{;2!;}}=g(b)=a

답 à

158(hÑÚ`½gÑÚ`½f ÑÚ`)(1)=(hÑÚ`½( f½g)ÑÚ`)(1)=hÑÚ`((`f½g)ÑÚ`(1))에서

(`f½g)ÑÚ (1)=k라 하면 (`f½g)(k)=1

2k-3=1 ∴ k=2

즉 (`f½g)ÑÚ`(1)=2이므로

hÑÚ`(2)=p라 하면 h(p)=2

p+1=2 ∴ p=1

∴ (hÑÚ`½gÑÚ½f ÑÚ )(1)=1

답 ④

159f ÑÚ (3)=-1에서 f(-1)=3이므로

-a+b=3 yy ㉠

(`f½g)ÑÚ`(2x+1)=x에서 (`f½g)(x)=2x+1이

므로

f(g(x)) =f(x+c)=a(x+c)+b

=ax+ac+b=2x+1

∴ a=2, ac+b=1 yy ㉡

㉠, ㉡에서 a=2, b=5, c=-2

∴ a+b+c=5

답 5

160gÑÚ`(40)=k로 놓으면 g(k)=40

Ú k<25일 때 g(k)=2k=40

∴ k=20

Û k¾25일 때 g(k)=k+25=40

k+1=0 ∴ k=-1

즉 gÑÚ`(0)=-1이므로

((`f ÑÚ`½g)ÑÚ`½f)(-2)=-1

답 ⑴ 0 ⑵ -1

155함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프는 직선

y=x에 대하여 대칭이므로 방정식 f(x)=g(x)가 실

근을 가지면 방정식 f(x)=x도 실근을 갖는다.

;2!;xÛ`+a=x에서 xÛ`-2x+2a=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 실근을 가지려

면

D4 =1-2a¾0 ∴ aÉ;2!;

답 aÉ;2!;

156직선 y=x를 이용하여 x

축과 점선이 만나는 점의

x좌표를 구하면 오른쪽

그림과 같다.

f ÑÚ`(a)=k라 하면

f(k)=a에서 k=b

∴ f ÑÚ`(a)=b

f ÑÚ`(b)=t라 하면 f(t)=b에서 t=c

∴ f ÑÚ`(b)=c

∴ (`f½f`)ÑÚ`(a) =(`f ÑÚ`½f ÑÚ`)(a)

=f ÑÚ`(`f ÑÚ`(a))

=f ÑÚ`(b)=c

답 c

157직선 y=x를 이용하여 x

축과 점선이 만나는 점의

x좌표를 구하면 오른쪽

그림과 같다.

g { 12 }=f ÑÚ`{;2!;}=k라


연

습

문

제

실력

UP


그런데 a<0이므로 a=-'2Ú, Û에서 f ÑÚ`(5)=-'2이므로

(gÑÚ`½f)ÑÚ`(2)=-'2답 -'2

163

y=f ÑÚ`(x)의 그래프는 함수

y=f(x)의 그래프와 직선

y=x에 대하여 대칭이므로


또한 y=f(x)의 그래프와

y=f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점

은 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므

로 3x-6=x에서 x=3

즉 교점의 좌표는 (3, 3)이다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 위의 그림의 색칠한 부

분의 넓이와 같으므로

;2!;_8_3=12

답 12

164


는 오른쪽 그림과 같고,

y=f ÑÚ`(x)의 그래프는


와 직선 y=x에 대하여

대칭이므로 함수

y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프

의 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교

점과 같다.

;2!;xÛ`-x+a=x에서 ;2!;xÛ`-2x+a=0

∴ xÛ`-4x+2a=0 yy ㉠

이차방정식 ㉠의 두 근을 a, b라 하면 두 교점은

A(a, a), B(b, b) (a>b)이고 두 점 A, B 사이의

거리가 2이므로í

ABÓ ="Ã(a-b)Û`+(a-b)Û`

="Ã2(a-b)Û`=2

O

B

A

1

1

a-;2!;

a-;2!;x

y

y=f -1(x)

y=f(x) y=x

∴ k=15

k=15는 k¾25의 조건에 모순이다.

따라서 k=20, 즉 gÑÚ`(40)=20이므로

f(gÑÚ`(40)) =f(20)

=5´20+20

=120

또한 g(40)=40+25=65이므로

f ÑÚ`(g(40))=f ÑÚ`(65)f ÑÚ`(65)=p로 놓으면 f(p)=65

5p+20=65 ∴ p=9

∴ f ÑÚ`(g(40))=9

∴ f(gÑÚ`(40))+f ÑÚ`(g(40))

=120+9=129

답 129

161

f(x)=x+2-a|x-1|에서

Ú x¾1일 때,

f(x)=x+2-a(x-1)=(1-a)x+2+a

Û x<1일 때,

f(x)=x+2+a(x-1)=(1+a)x+2-a

함수 f의 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하므

로 x¾1일 때와 x<1일 때의 두 직선의 기울기의 부

호가 서로 같아야 한다. 즉

(1-a)(1+a)>0

(a-1)(a+1)<0 ∴ -1<a<1

답 -1<a<1

162

f ÑÚ`(2)=1에서 f(1)=2이므로

-1+k=2 ∴ k=3

∴ f(x)=-x|x|+3

(gÑÚ`½f)ÑÚ`(2) =( f ÑÚ`½g)(2)=f ÑÚ`(g(2))

=f ÑÚ`(5)

이때 f ÑÚ`(5)=a라 하면 f(a)=5에서

-a|a|+3=5

Ú a¾0이면 -aÛ`=2가 되어 모순이다.

Û a<0이면 aÛ`=2 ∴ a=Ñ'2


88 Ⅱ. 함수

167

⑴ {x- 1x }

Û`={x+ 1x }

Û`-4=4Û`-4=12

∴ x- 1x=2'3 (∵ x>1)

xÛ`+ 1xÛ`

={x+ 1x }

Û`-2=4Û`-2=14

∴ xÝ`- 1xÝ`

={xÛ`+ 1xÛ`}{x+ 1

x }{x-1x }

=14´4´2'3=112'3⑵ xÛ`-3x-1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누

면

x-3- 1x=0 ∴ x- 1

x=3

∴ xÛ`+ 1xÛ`

={x- 1x }

Û`+2

=3Û`+2=11

따라서 주어진 식을 간단히 정리하면

2xÛ`-3x+5+3x+ 2

xÛ`

=2{xÛ`+ 1xÛ`}-3{x- 1

x }+5

=2´11-3´3+5=18

답 ⑴ 112"'3 ⑵ 18

168⑴

11´3+

12´4+

13´5+y+

19´11

=12 {1-;3!;}+;2!;{;2!;-;4!;}+;2!;{;3!;-;5!;}+

y+12 {;8!;-;1Á0;}+

12 {;9!;-;1Á1;}

=12 [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+

y+{ 18 -;1Á0;}+{;9!;-;1Á1;}]

=12 {1+;2!;-;1Á0;-;1Á1;}

=12_

7255=

3655

∴ k=36

⑵ 1

1Û`+1+ 1

2Û`+2+ 1

3Û`+3+y+ 1

kÛ`+k

∴ (a-b)Û`=2

이차방정식 ㉠에서 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=4, ab=2a이므로

(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab

=16-8a=2

∴ a=;4&;

답 ;4&;

165

Ú xÉ3일 때, f(x)=1이므로

y=(g½f)(x)=g(`f(x))=g(1)=1

Û x>3일 때, f(x)=4이므로

y=(g½f)(x)=g(`f(x))=g(4)=0

Ú, Û에서 y=(g½f)(x)

의 그래프는 오른쪽 그림과

같다.

답 풀이 참조

166

함수 y=f ÑÚ`(x)의 그

래프는 함수 y=f(x)

의 그래프와 직선

y=x에 대하여 대칭

이므로 오른쪽 그림과

같다.

이때 두 그래프의 교점을 각각 A, C라 하면

Ú x¾1일 때,

2x-3=x에서 x=3 ∴ A(3, 3)

Û x<1일 때,

;2!;x-;2#;=x에서 x=-3 ∴ C(-3, -3)

∴ ACÓ="Ã(3+3)Û`+(3+3)Û`=6'2

BDÓ="Ã(1+1)Û`+(-1-1)Û`=2'2따라서 두 함수 y=f(x), y=f ÑÚ`(x)의 그래프로 둘

러싸인 도형은 마름모이므로 그 넓이는

;2!;ÁCÓ BDÓ=;2!;´6'2´2'2=12

답 12


연

습

문

제

실력

UP


= 1 14+1132 4+;4!;

∴ a=4, b=4, c=4

∴ a+b+c=12

답 ⑴ 13 ⑵ 12

171f(x)= 4xÛ`-1

3 = (2x-1)(2x+1)3 이므로

1f(x)

=3

(2x-1)(2x+1)

=32 {

12x-1-

12x+1 }

∴ 1

f(1)+1

f(2) +1

f(3) +y+1

f(20)

= 32 [{

11 -

13 }+{

13-

15 }+{

15-

17 }+

y+{ 139-

141 }]

=32 {1-

141 }=

32_

4041=

6041

답 6041

172aÛ``

(a-b)(a-c)+ bÛ`

(b-c)(b-a)

+ cÛ`(c-a)(c-b)

= -aÛ``(a-b)(c-a)

+ -bÛ`(b-c)(a-b)

+ -cÛ`(c-a)(b-c)

=-aÛ`(b-c)-bÛ`(c-a)-cÛ`(a-b)(a-b)(b-c)(c-a)

(분자)=-(b-c)aÛ`+(bÛ`-cÛ`)a-bÛ`c+bcÛ`

(분자)=-(b-c)aÛ`+(b-c)(b+c)a-bc(b-c)

(분자)=-(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}

(분자)=-(b-c)(a-b)(a-c)

(분자)=(a-b)(b-c)(c-a)

=1

1(1+1)+1

2(2+1)+1

3(3+1)+

y+ 1k(k+1)

=11´2+

12´3+

13´4+y+

1k(k+1)

={1-12 }+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+

y+{ 1k- 1k+1 }

=1- 1k+1=

kk+1

따라서 k

k+1=4950 이므로 k=49

답 ⑴ 36 ⑵ 49

1694x+ay+bx+y+1 =k(k는 상수)로 놓으면

4x+ay+b=k(x+y+1)

(4-k)x+(a-k)y+b-k=0

이 등식이 x+y+-1인 모든 x, y에 대하여 성립하

므로

4-k=0, a-k=0, b-k=0

∴ k=4, a=4, b=4

답 a=4, b=4

170⑴ ;2#5(;=1+;2!5$;=1+ 1

;1@4%;

;2#5(;=1+ 1 1+;1!4!;

=1+ 1 11+231 ;1!1$;

;2#5(;=1+ 1 1

1+1113 1+;1£1;

∴ a=1, b=1, c=11

∴ a+b+c=13

⑵ ;7!2&;= 1

;1&7@;= 1

4+;1¢7;= 1

14+11 ;;Á4¦;;


90 Ⅱ. 함수

2kk+1=

52 , 4k=5k+5

∴ k=-5

답 -5

175

y =ax+32x+1=

;2A;(2x+1)-;2A;+3

2x+1

=-;2A;+3

2x+1+;2A;

이므로 점근선의 방정식은 x=-;2!;, y=;2A;

y = x-23x+b=

;3!;(3x+b)-;3!;b-2

3x+b

=-;3!;b+2

3x+b+;3!;

이므로 점근선의 방정식은 x=-;3B;, y=;3!;

따라서 -;2!;=-;3B;, ;2A;=;3!;이므로

a=;3@;, b=;2#; ∴ ab=1

답 1

176ㄱ. y= 1

6x-6=1

6(x-1)이므로

y= 16x-6 의 그래프는 y=

16x 의 그래프를 x축

의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

ㄴ. y= 12x+56x = 2´6x+5

6x = 56x+2이므로

y= 12x+56x 의 그래프는 y= 5

6x 의 그래프를 y축

의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

ㄷ. y= x-26-6x= (x-1)-1

-6(x-1)= 1

6(x-1)- 1

6 이므

로 y= x-26-6x의 그래프는 y= 1

6x 의 그래프를 x

축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -16 만큼

평행이동한 것이다.

∴ (주어진 식)

=(a-b)(b-c)(c-a)(a-b)(b-c)(c-a)

=1

답 1

173

y= x+12x-4=

;2!;(2x-4)+3

2x-4 = 32x-4+;2!;

이므로 y= x+12x-4 의 그래프는 y= 3

2x 의 그래프를 x

축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 12 만큼 평행이

동한 것이다.

이때 점근선의 방정식은

x=2, y= 12 이고 주어진

유리함수의 그래프는 오른

쪽 그림과 같으므로 정의역

은 {x|x+2인 실수}, 치역

은 [y|y+ 12인 실수]이다.

④ 주어진 함수의 그래프는 두 점근선의 교점 {2, 12 }

을 지나고 기울기가 Ñ1인 직선에 대하여 대칭이

다. 점 {2, 12 }을 지나고 기울기가 Ñ1인 직선의

방정식은

y-;2!;=Ñ(x-2)

즉 직선 y=x-;2#;, y=-x+;2%;에 대하여 대칭이

다.

답 ④

174(gÑÚ`½f)ÑÚ`(2)=( f`ÑÚ`½g)(2)=f`ÑÚ`(g(2))=k

g(2)= 3´2-12 = 5

2 이므로

f`ÑÚ`(g(2))=f`ÑÚ`{ 52 }=k

즉 f(k)=52이므로

O

-1 2 x

y

14

12

-


연

습

문

제

실력

UP


∴ f(3)=-3+13-2 =-2

답 -2

다른풀이 f(3)=k라 하면 g(k)=3

2k+1k+1 =3에서

2k+1=3k+3 ∴ k=-2

179주어진 유리함수의 그래프의 점근선의 방정식이

x=;2!;, y=3이므로 함수의 식을

y= k2x-1+3 (k>0) yy ㉠

으로 놓으면 ㉠의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로

2= k-1+3 ∴ k=1

k=1을 ㉠에 대입하면

y= 12x-1+3= 6x-2

2x-1


a+b+c=6

답 6

180유리함수 y=

2x+13x-1 의 그래프와 직선 y=x-1이

만나는 점의 x좌표는

2x+13x-1 =x-1에서

(x-1)Û`=2x+13

xÛ`-4x-12=0

(x+2)(x-6)=0

∴ x=-2 또는 x=6

따라서 두 교점의 좌표는 (-2, -3), (6, 5)이므로

두 점 사이의 거리는

"Ã{6-(-2)}Û`+{5-(-3)}Û`=8'2답 8'2

181y=-3x+7

x-2 =-3(x-2)+1x-2 = 1

x-2-3

이상에서 평행이동에 의하여 y= 16x 의 그래프와 겹쳐

지는 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ㄱ, ㄷ

177(`f`ç`f`)(x)=f( f(x))=

f(x)+2 f(x)-1

(`f``f`)(x)=

x+2112+2 x-1 x+2113-1 x-1

(`f``f`)(x)=

3x112x-13112

x-1

=x

즉 (`f½f`)(x)가 항등함수이므로

(`f½f½f`)(x)=f((`f½f`)(x))=f(x)

=x+2x-1=

(x-1)+3x-1

=3

x-1+1

따라서 함수 y=(`f½f½f`)(x)의 그래프는 두 점근선

`x=1, y=1의 교점 (1, 1)에 대하여 대칭이므로

a=1, b=1

∴ a+b=2

답 2

178(g½f)(x)=x를 만족시키므로 f(x)와 g(x)는 역함

수 관계이다.

∴ f(x)=gÑÚ`(x)

y= 2x+1x+1 로 놓고 x에 대하여 정리하면

y(x+1)=2x+1

(y-2)x=-y+1

∴ x=-y+1y-2

x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y=-x+1x-2

∴ f(x)=gÑÚ`(x)=-x+1x-2


92 Ⅱ. 함수

D=(k+1)Û`-4´k´3<0, kÛ`-10k+1<0

∴ 5-2'6<k<5+2'6Ú, Û에서 5-2'6<k<5+2'6

답 5-2'6<k<5+2'6

183

y =-3-4x2x+1 =-2(2x+1)-1

2x+1

=- 12x+1-2

따라서 1ÉxÉ 52 에서 그


으므로

x=;2%;일 때,

최댓값 a=-;;Á6£;;

x=1일 때, 최솟값 b=-;3&;

∴ a+b=-;;Á6£;;+{-;3&;}=-;2(;

답 -;2(;

184y= 4x+1

x-1 로 놓고 x에 대하여 정리하면

y(x-1)=4x+1

(y-4)x=y+1 ∴ x= y+1y-4

x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면

y=x+1x-4

즉 g(x)=x+1x-4

y=g(x)의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의

방향으로 n만큼 평행이동하면

y =(x-m)+1(x-m)-4

+n

= (x-m-4)+5x-m-4 +n

= 5x-m-4+n+1

O x

y

1

-2

;2%;-;2!;

-:Á6£:

-;3&;

이므로 주어진 유리함수의 그래프는 두 점근선 x=2,

y=-3의 교점 (2, -3)을 지나고 기울기가 Ñ1인

직선에 대하여 대칭이다. 점 (2, -3)을 지나고 기울

기가 Ñ1인 직선의 방정식은

y=Ñ(x-2)-3

∴ y=x-5, y=-x-1

따라서 a=1, b=-5, c=-1, d=-1

또는 a=-1, b=-1, c=1, d=-5이므로

a+b+c+d=-6

답 -6

182A;B=á이므로 y= 2x-4

x-1 의 그래프와 직선

y=kx+1은 서로 만나지 않는다.

y= 2x-4x-1 = 2(x-1)-2

x-1 =- 2x-1+2 yy ㉠

이고 직선 y=kx+1은 k의 값에 관계없이 점 (0, 1)

을 지나므로 ㉠의 그래프와 직선 y=kx+1이 서로 만

나지 않으려면 다음 그림과 같아야 한다.

O 1

12

x

y

y=y=kx+12x-4x-1

Ú k=0일 때

㉠의 그래프와 직선 y=1은 한 점에서 만나므로

k+0

Û k+0일 때

2x-4x-1 =kx+1에서

kxÛ`-(k+1)x+3=0 yy ㉡

함수 y=2x-4x-1 의 그래프가 직선 y=kx+1과 만

나지 않으려면 이차방정식 ㉡의 실근이 존재하지

않아야 한다.

이차방정식 ㉡의 판별식을 D라 할 때,


연

습

문

제

실력

UP


x=a, y=2

y=-ax+2x-2 의 그래프의 점근선의 방정식은

x=2, y=-a

양수 a의 값의 범위에 따라 점근선으로 둘러싸인 부분

의 넓이가 달라진다.

Ú 0<a<2일 때

점근선으로 둘러싸인 직사각

형의 넓이는

(2-a)(2+a)=3

4-aÛ`=3, aÛ`=1

∴ a=1 (∵ 0<a<2)

Û a>2일 때

점근선으로 둘러싸인 직사각

형의 넓이는

(a-2)(a+2)=3

aÛ`-4=3, aÛ`=7

∴ a='7 (∵ a>2)

Ú, Û에서 a=1 또는 a='7이므로 모든 a의 값의

곱은 1´'7='7답 ""'7

187제1사분면에 있는 유리함수 y=

1x의 그래프 위의 점

A의 좌표를 {a, 1a } (a>0)이라 하면 두 점 B, C는

B{ak, 1a }, C{a,

ka }이고 k>1이므로

ABÓ=ak-a=a(k-1), ACÓ=ka- 1

a=k-1a

∴ △ABC =12 ÁBÓ ACÓ

= 12 á(k-1)´ k-1

a

= 12 (k-1)Û`

즉 12 (k-1)Û`=50이므로

(k-1)Û`=100, k-1=Ñ10

O x

y

a 2

2

-a

O x

y

a2

2

-a

이 그래프가 y=f(x)의 그래프와 겹쳐지므로

f(x)= 4x+1x-1 = 4(x-1)+5

x-1 = 5x-1+4에서

5x-m-4+n+1=

5x-1+4

-m-4=-1, n+1=4

∴ m=-3, n=3

∴ n-m=6

답 6

185(h½f)(x)=h(`f(x))=h{ 1+x

1-x }

에서 (h½f)(x)=g(x)이므로

h{ 1+x1-x }=

xx-1 yy ㉠

1+x1-x=t라 하면 1+x=t-tx

(t+1)x=t-1 ∴ x= t-1t+1

이것을 ㉠에 대입하면

h(t)=

t-1 t+1

t-1t+1-1

= t-1-2 =-;2!;t+;2!;

∴ h(2)=-;2!;´2+;2!;=-;2!;

답 -;2!;

다른풀이 f(k)=2라 하면 1+k1-k=2

1+k=2-2k ∴ k=;3!;

(h½f)(x)=g(x)에 x=;3!; 을 대입하면

h{f {;3!;}}=g {;3!;}

∴ h(2)=;3!;

;3!;-1=-;2!;

186y= 2x-3

x-a 의 그래프의 점근선의 방정식은


94 Ⅱ. 함수

Ú 7-k>0이어야 하므로 k<7

Û x=0일 때 y의 값이 0보다 작아야 하므로

-k+1-3 <0, -k+1>0 ∴ k<1

Ú, Û에서 k<1

답 k<1

190f(x)= 3x+k

x+4 = 3(x+4)+k-12x+4 = k-12

x+4 +3

이므로 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로

-2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의

식은

y= k-12(x+2)+4

+3+3

∴ g(x)=k-12x+6 +6

곡선 y=g(x)의 점근선의 방정식은 x=-6, y=6이

므로 두 점근선의 교점은 (-6, 6)이다.

점 (-6, 6)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로

6=-18+k-6+4 ∴ k=6

답 ⑤

191유리함수 f(x)=

2x-3x-2 의 그래프 위의 임의의 한 점

P를 P{a, 2a-3a-2 }(a>2)이라 하면

PAÓ=2a-3a-2 , PBÓ=a이므로

PAÓ+PBÓ =2a-3a-2 +a= 2(a-2)+1

a-2 +a

= 1a-2+a+2

a>2이므로 a-2>0

따라서 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

1a-2+a+2 =

1a-2+a-2+4

¾2¾ 1a-2 ´(a-2)+4

=2+4=6

∴ k=11 (∵ k>1)

답 11

188조건 (가)에서 f(x)의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로

f(0)= bd=0에서 b=0

f(x)= ax+bcx+d 의 점근선의 방정식은

x=-dc , y= a

c 이므로

조건 (나)에서 -dc =-2,

ac =3

∴ d=2c, a=3c

따라서 f(x)=ax+bcx+d=

3cxcx+2c 로 놓으면

f(x)는 유리함수이므로 c+0

즉 f(x)=3xx+2

한편 g(x)=f`ÑÚ`(x)이므로

g(1)=f`ÑÚ`(1)=k라 하면 f(k)=1

3kk+2=1, 3k=k+2

∴ k=1

답 1

189y= 2x-k+1

x-3 = 2(x-3)+7-kx-3 = 7-k

x-3+2

이므로 y=2x-k+1

x-3 의 그래프는 y=7-kx 의 그래

프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평

행이동한 것이다.

이 그래프가 모든 사분면을 지나기 위해서는 다음 그

림과 같아야 한다.

3

2

O x

y


연

습

문

제

실력

UP


='2Äx+1-'2Äx-1(2x+1)-(2x-1)

=12 ('2Äx+1-'2Äx-1)

∴ 1

f(1)+ 1

f(2)+ 1

f(3)+y+ 1

f(24)

=12 {('3-'1)+('5-'3)+('7-'5)+

y+('4�9-'4�7)}

=12 (-'1+'4�9)

=12 (-1+7)=3

답 3

195xÛ`=2x-1에서 xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0

∴ x=1

∴ 1

'¶2x+ 1

'¶2x- 1'¶2x+1

= 1

'2+ 1

'2- 1'2+1

= 1

'2+ 1

'2- '2-1('2+1)('2-1)

= 1'2+1

= '2-1('2+1)('2-1)

='2-1

답 '2-1

196⑴ xÛ -5x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면

x-5+;[!;=0 ∴ x+;[!;=5

∴ {'x+ 1'§x }2`=x+;[!;+2=5+2=7

∴ m=6

이때 등호는 1

a-2=a-2일 때 성립하므로

(a-2)Û`=1, a-2=Ñ1

∴ a=3 (∵ a>2)

∴ p=3

∴ p+m=3+6=9

답 9

192주어진 무리식의 값이 실수가 되려면

(근호 안의 식의 값)¾0, (분모)+0

이어야 하므로

6-2x¾0, 4-x+0, x+3¾0

∴ -3ÉxÉ3

따라서 x의 최댓값 M=3, 최솟값 m=-3이므로

M+m=0

답 0

193x = '6+2'6-2

= ('6+2)Û`('6-2)('6+2)

= 10+4'62

=5+2'6

y = '6-2'6+2

= ('6-2)Û`('6+2)('6-2)

= 10-4'62

=5-2'6∴ x+y=10, xy=1

'§x+'y를 제곱하면

('§x+'y)Û` =x+2'§x'y+y

=x+y+2'¶xy (∵ x>0, y>0)

=10+2´1=12

이때 '§x+'y>0이므로 '§x+'y=2'3답 ③

194f(x)='2Äx+1+'2Äx-1에서

1f(x)

=1

'2Äx+1+'2Äx-1

='2Äx+1-'2Äx-1

('2Äx+1+'2Äx-1)('2Äx+1-'2Äx-1)


96 Ⅱ. 함수

∴ xÜ`-x+1 =(xÛ`+x-1)(x-1)+x

=x (∵ ㉠)

∴ xÝ +xÜ -2xÛ +x+3

xÜ`-x+1

=2x+2x =2+

2x

=2+ 2'5-1

2

=2+4

'5-1

=2+ 4('5+1)('5-1)('5+1)

=2+'5+1

=3+'5답 3+'5

다른풀이 xÛ`+x-1=0에서

xÛ`=1-x

xÜ`=x´xÛ`=x-xÛ`

xÝ`=(xÛ`)Û`=(1-x)Û`=xÛ`-2x+1

∴ (주어진 식)

= 2x+2x =2+ 2

x

198y="�ax의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방

향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은

y="Ãa(x-2)+3

이 그래프가 점 (4, 7)을 지나므로

7='¶2a+3, '¶2a=4

2a=16 ∴ a=8

답 8

199① y=2'§x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면

y=2'¶-x이고 이 그래프를 다시 x축의 방향으로

;4!;만큼 평행이동하면

y=2¾¨-{x-;4!;}="Ã-4x+1

이때 'x+ 1'§x>0이므로 'x+ 1

'§x='7

⑵ xy=2>0에서 x, y의 부호는 같으므로

;]{;>0, ;[}; >0

∴ {®;]{;+®;[};`}2`=;]{;+2+;[};

=xÛ`+yÛ`xy +2

=(x+y)Û`-2xyxy +2

=(-4)Û`-2´22 +2

=8

이때 ®;]{;+®;[};>0이므로 ®;]{;+®;[};=2'2

답 ⑴ '7 ⑵ 2'2

197x= '5-1

2에서 2x+1='5

양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+x-1=0 yy ㉠

xÝ`+xÜ`-2xÛ`+x+3을 xÛ`+x-1로 나눈 몫과 나머

지를 구하면

xÛ`-1xÛ +x-1`)`xÝ`+xÜ`-2xÛ`+x+3

xÝ`+xÜ`- xÛ`

- xÛ`+x+3

- xÛ`-x+1

2x+2

∴ xÝ`+xÜ`-2xÛ`+x+3

=(xÛ`+x-1)(xÛ`-1)+2x+2

=2x+2 (∵ ㉠)

xÜ`-x+1을 xÛ`+x-1로 나눈 몫과 나머지를 구하면

x-1xÛ +x-1`)`xÜ` -x+1

xÜ`+xÛ`-x

-xÛ` +1

-xÛ`-x+1

x


연

습

문

제

실력

UP


y=-'Ä4-4x+5에서 y-5=-'Ä4-4x

-'Ä4-4xÉ0에서 y-5É0, 즉 yÉ5이므로 치

역은 {y|yÉ5}

ㄷ. y=-'Ä4-4x+5의 그래

프는 오른쪽 그림과 같으므

로 제4사분면을 지나지 않

는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답 ㄱ, ㄴ

202

주어진 함수의 그래프는 y=-'�ax`(a<0)의 그래프

를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행

이동한 것이므로

y=-"Ãa(x-1)+1 yy ㉠

㉠의 그래프가 점 (0, 1-'3)을 지나므로

1-'3=-'§-a+1 ∴ a=-3

a=-3을 ㉠에 대입하면

y=-"�-3(x-1)+1=-'§-3x+3+1

따라서 a=-3, b=3, c=1이므로

a+b+c=1

답 1

203y=-'§4-2x=-"�-2(x-2)의 그래프는

y=-'§-2x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행

이동한 것이고

x=a일 때, y=-'Ä4-2a

x=2일 때, y=0

이므로 aÉxÉ2에서 그래프


따라서 x=a일 때 최솟값이

-4이므로

-'Ä4-2a=-4

4-2a=16 ∴ a=-6

답 -6

O 1

3

5

x

y

- 214

② y=2'§x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면

y=-2'§x이고 이 그래프를 다시 x축의 방향으로

-1만큼 평행이동하면

y=-2'Äx+1

③ y=2'§x의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면

y=-2'Ä-x=-'Ä-4x

④ y=2'§x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면

y=2'Ä-x이고 이 그래프를 다시 x축의 방향으로

2만큼 평행이동하면

y=2"Ã-(x-2)=2'Ä-x+2

⑤ y='2§x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면

y=-'2 §x이고 이 그래프를 다시 x축의 방향으로

32만큼 평행이동하면

y=-¾¨2{x-;2#;}=-'2Äx-3

따라서 y=2'§x의 그래프와 겹쳐질 수 없는 것은 ⑤이

다.

답 ⑤

200f ÑÚ`(4)=a이므로 f(a)=4

a+2a-1=4, a+2=4a-4 ∴ a=2

(`f½(g½f)ÑÚ`)(2) =(`f½f ÑÚ`½gÑÚ`)(2)

=gÑÚ`(2)=b

이므로 g(b)=2

'2Äb-1=2, 2b-1=4 ∴ b=;2%;

∴ ab=2´;2%;=5

답 5

201ㄱ. y=-'Ä4-4x+5=-"Ã-4(x-1)+5이므로

이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축

의 방향으로 -5만큼 평행이동하면 y=-'Ä-4x

의 그래프와 일치한다.

ㄴ. 4-4x¾0에서 xÉ1이므로 정의역은 {x|xÉ1}


98 Ⅱ. 함수

y=f`ÑÚ`(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이

다.

이때 두 그래프가 서로

다른 두 점에서 만나려면

오른쪽 그림과 같이 무리

함수 f(x)='Äx-1+k

의 그래프는 직선 y=x

와 서로 다른 두 점에서

만나야 한다.

따라서 무리함수 f(x)='Äx-1+k의 그래프가 점

(1, 1)을 지날 때 상수 k는 최댓값을 가지므로

1='Ä1-1+k에서 k=1

답 ④

207이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표가

(2, 3)이므로

f(x)=a(x-2)Û`+3(a>0)으로 놓을 수 있다.

y=f(x)의 그래프가 점 (3, 4)를 지나므로

f(3)=a+3=4 ∴ a=1

∴ f(x)=(x-2)Û`+3 (x¾2)

이때 y=f(x)를 x에 대하여 정리하면

x='Äy-3+2

x와 y를 서로 바꾸면 y='Äx-3+2

따라서 f`ÑÚ`(x)='Äx-3+2이고 6ÉxÉ12에서

y=f`ÑÚ`(x)의 그

래프는 오른쪽 그

림과 같으므로

y=f`ÑÚ`(x)의 최

댓값은

f`ÑÚ`(12)='1Ä2-3+2=5

답 5

208

점 A는 y='2§x의 그래프와 직선 y=k의 교점이므로

'2§x=k에서 2x=kÛ`, 즉 x= kÛ`2

1k

1O x

yy=x

y= x-1+k

O x

y

2

3 6 12

52+'3

204y='Äa-2x+b

=¾-2{x-;2A;}+b

이고 a>0이므로 -6ÉxÉ0

에서 이 함수의 그래프는 오


즉 x=-6일 때 최댓값 5를 갖고, x=0일 때 최솟값

3을 가지므로

'Äa+12+b=5 yy ㉠

'a+b=3 yy ㉡

㉠-㉡을 하면 'Äa+12-'a=2

∴ 'Äa+12='a+2


a+12=a+4'a+4 ∴ 'a=2

∴ a=4, b=1 (∵ ㉡)

답 a=4, b=1

205

y='Äx-2+3의 그래프는 y='x의 그래프를 x축의

방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것

이고,

y=ax-3a+1=a(x-3)+1은 a의 값에 관계없이

점 (3, 1)을 지나는 직선이다.

따라서 무리함수의 그래프

와 직선이 만나려면 기울

기 a가 0보다 크거나 점

(2, 3)을 지날 때보다 작

거나 같아야 한다.

직선 y=ax-3a+1이

점 (2, 3)을 지날 때,

3=2a-3a+1 ∴ a=-2

∴ aÉ-2 또는 a>0

답 aÉ-2 또는 a>0

206무리함수 f(x)='Äx-1+k의 그래프와 그 역함수


연

습

문

제

실력

UP


제1, 2사분면을 지난다.

답 ②

210이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 위로 볼록하므

로 a<0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로

x=-;2õa;>0 ∴ b>0`(∵ a<0)

y절편이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0

이때 y="Ãax+b+c=¾a{x+;aB;}+c에서

a<0, -;aB;>0, c>0`

O -

c

x

y

ba

이므로 그래프의 개형은 오른쪽

그림과 같다.

답 ③

211x¾3에서 f(x)='¶2x-6+1 yy ㉠

x<3에서 f(x)=-'Ä-x+3+1 yy ㉡

이므로 y=f(x)의 그래

프는 오른쪽 그림과 같다.

f ÑÚ`(3)=a라 하면

f(a)=3


f(a)=3을 만족시키는 함수의 식은 ㉠이므로

'Ä2a-6+1=3, 'Ä2a-6=2

2a-6=4 ∴ a=5

f ÑÚ`(-2)=b라 하면 f(b)=-2

위의 그림에서 f(b)=-2를 만족시키는 함수의 식은

㉡이므로

-'Ä-b+3+1=-2, 'Ä-b+3=3

-b+3=9 ∴ b=-6

∴ f ÑÚ`(3)+f ÑÚ`(-2)=5+(-6)=-1

답 -1

∴ A{ kÛ`2 , k}

점 B는 y='5§x의 그래프와 직선 y=k의 교점이므로

'5§x=k에서 5x=kÛ`, 즉 x= kÛ`5

∴ B{ kÛ`5 , k}

두 점 A, B 사이의 거리가 12이므로

kÛ`2 - kÛ`

5 =12, 3kÛ`=120, kÛ`=40

∴ k=2'1§0 (∵ k>0)

답 2'1�0

209

y =cx+dax+b=

ca (ax+b)- bc

a +d

ax+b

=- bc

a +d

ax+b+ c

a

이므로 주어진 유리함수의 그래프의 점근선의 방정식

은 x=-ba , y=

ca이고, y절편은 x=0일 때 y의 값

이므로 db 이다.

그런데 주어진 그래프에서 두 점근선의 교점의 x좌표

는 음수, y좌표는 양수이고, y절편은 양수이므로

- ba<0, ca>0, db >0

∴ b>0, c>0, d>0 (∵ a>0)

y=a"Ãbx+c+d=a¾b{¨x+ cb }+d이므로 무리함

수 y=a"Ãbx+c+d의 그래프는 함수 y=a"b½x의 그

래프를 x축의 방향으로 - cb만큼, y축의 방향으로 d

만큼 평행이동한 것이다.

이때 - cb<0, d>0이므로 함

수 y=a"Ãbx+c+d의 그래프

의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

따라서 무리함수

y=a"Ãbx+c+d의 그래프는

x

y

O


100 Ⅱ. 함수

214

함수 y=f(x)와 그 역함수

y=f Ñ Ú`(x)의 그래프는 오른

쪽 그림과 같이 직선 y=x에

대하여 대칭이므로 두 함수

y=f(x)의 그래프와

y=f Ñ Ú`(x)의 그래프의 교점

은 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.

즉 'Ä2x-a+2=x에서 'Ä2x-a=x-2

양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`-6x+4+a=0 yy ㉠

그런데 두 교점은 직선 y=x 위에 있으므로 두 교점의

x좌표를 각각 a, b (a<b)라 하면 두 교점의 좌표는

(a, a), (b, b)

이때 a, b는 이차방정식 ㉠의 두 실근이므로 근과 계

수의 관계에 의하여

a+b=6, ab=4+a yy ㉡

두 교점 사이의 거리가 2'2이므로

"Ã(a-b)Û`+(a-b)Û`=2'2(a-b)Û`=4

∴ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=4 yy ㉢

㉡을 ㉢에 대입하면

6Û`-4(4+a)=4 ∴ a=4

답 4

215y="|Ãx-1|에서

x¾1일 때 y='Äx-1

x<1일 때 y="Ã-(x-1)

이므로 주어진 함수의 그래프는 다음 그림과 같다.

O 1

1

x

yÛ

Úy='Ä-(x-1)

y='Äx-1

Ú 함수 y='§x-1의 그래프와 직선 y=x+k가 접할

때,

Oa b

a

b

x

y

y=f(x)

y=f -1(x)

y=x

212y ='Ä2x-4

="�2(x-2)

의 그래프는 y='¶2x의 그

래프를 x축의 방향으로 2만

큼 평행이동한 것이고,

y=;2!;x+k는 기울기가 ;2!;이고 y절편이 k인 직선이다.

Ú 직선 y=;2!;x+k가 점 (2, 0)을 지날 때,

0=1+k ∴ k=-1

Û 함수 y='Ä2x-4의 그래프와 직선 y=;2!;x+k가

접할 때,

'Ä2x-4=;2!;x+k의 양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+4(k-2)x+4kÛ`+16=0


D4 ={2(k-2)}Û`-(4kÛ`+16)=0

-16k=0 ∴ k=0

이상에서 무리함수의 그래프와 직선이 서로 다른 두

점에서 만나는 경우는 직선이 Ú이거나 Ú과 Û 사이

에 있을 때이므로 -1Ék<0

답 -1Ék<0

213y='Ä3x-6="Ã3(x-4)+6

이므로 y='Ä3x-6의 그래프는 y='Ä3x+6의 그래프

를 x축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.

따라서 y='Ä3x+6,

㉠㉡

y='Ä3x-6의 그래프와

x축 및 직선 y='6으로

둘러싸인 부분은 오른쪽

그림의 색칠한 부분과 같

다.

이때 ㉠과 ㉡의 넓이는 같으므로 구하는 넓이는 빗금

친 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 넓이는 4_'6=4'6답 4'6


연

습

문

제

실력

UP


Û 직선 y=x+k가 점 (1, 0)을 지날 때,

0=1+k ∴ k=-1

이상에서 함수의 그래프와 직선이 서로 다른 세 점에

서 만나는 경우는 직선이 Ú과 Û 사이에 있을 때이므

로 -1<k<-34 답 -1<k<-;4#;

'§x-1=x+k의 양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+(2k-1)x+kÛ`+1=0


D=(2k-1)Û`-4(kÛ`+1)=0

-4k=3 ∴ k=-;4#;



21810=2_5이므로

10Ç`=(2_5)Ç`=2Ç`_5Ç` (단, n은 자연수)

10Ç`의 양의 약수가 9개이므로

(n+1)(n+1)=9, (n+1)Û`=3Û`

∴ n=2 (∵ n은 자연수)

따라서 구하는 수는 10Û`이다.

답 10Û`

219300과 420의 최대공약수는 60이므로 300과 420의 양

의 공약수 중에서 5의 배수의 개수는 60의 양의 약수

중에서 5의 배수의 개수와 같다.

이때 60을 소인수분해하면 60=2Û`_3_5

5의 배수는 5를 소인수로 가지므로 60의 양의 약수 중

5의 배수의 개수는 2Û`_3의 양의 약수의 개수와 같다.


(2+1)(1+1)=6

답 ①

220x, y는 자연수이므로

Ú y=1일 때, xÉ4이므로 x=1, 2, 3, 4의 4개

Û y=2일 때, xÉ3이므로 x=1, 2, 3의 3개

Ü y=3일 때, xÉ2이므로 x=1, 2의 2개

Ý y=4일 때, xÉ1이므로 x=1의 1개

Ú~Ý에서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는

4+3+2+1=10

답 10

221Ú B와 C에 다른 색을 칠하는 경우

B에 칠할 수 있는 색은 4가지

A에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가

지

C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한

2가지

Ⅲ. 경우의 수

216⑴ (x+y+z)(a+b+c)를 전개하였을 때 항의 개수

는

3_3=9

(x+y)(p+q)를 전개하였을 때 항의 개수는

2_2=4

이때 (x+y+z)(a+b+c)의 전개식과

(x+y)(p+q)의 전개식에서 동류항이 없으므로

구하는 항의 개수는

9+4=13

⑵ (p-q)Ü`=pÜ`-3pÛ`q+3pqÛ`-qÜ`이므로

(x+yÛ`+z)(p-q)Ü`

=(x+yÛ`+z)(pÜ`-3pÛ`q+3pqÛ`-qÜ`)

을 전개하였을 때 항의 개수는

3_4=12

⑶ a를 포함하는 항은 (p+q)(x+y+z)를 전개하였

을 때 각 항에 a를 곱한 것이다.

(p+q)(x+y+z)를 전개하였을 때 항의 개수는

2_3=6이므로 구하는 항의 개수는 6이다.

답 ⑴ 13 ⑵ 12 ⑶ 6

217Ú 강남 → 시청 → 청량리로 가는 경우의 수는

3_3=9

Û 강남 → 잠실 → 청량리로 가는 경우의 수는

2_2=4

Ü 강남 → 시청 → 잠실 → 청량리로 가는 경우의 수는

3_2_2=12

Ý 강남 → 잠실 → 시청 → 청량리로 가는 경우의 수는

2_2_3=12

Ú ~ Ý는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의

수는

9+4+12+12=37

답 37

기본서(수학하)_해설_102~112_3단원_연습_오.indd 102 2017-08-10 오후 3:14:49

연

습

문

제

실력

UP


Ú a=1일 때, b=1의 1가지

Û a=2일 때, b=1, 2, 3, 4의 4가지

Ü a=3, 4, 5, 6일 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지

이상에서 구하는 순서쌍의 개수는

1+4+4_6=29

답 29

224⑴ 10원짜리 동전 x개, 50원짜리 동전 y개, 100원짜

리 동전 z개를 사용하여 350원을 만든다고 하면

10x+50y+100z=350

∴ x+5y+10z=35

그런데 3종류의 동전을 모두 사용해야 하므로

x¾1, y¾1, z¾1

1+5+10zÉx+5y+10z=35

10zÉ29 ∴ 1ÉzÉ;1@0(;

z는 자연수이므로 z=1, 2

Ú z=1일 때, x+5y=25에서 순서쌍 (x, y)는

(5, 4), (10, 3), (15, 2), (20, 1)의 4개

Û z=2일 때, x+5y=15에서 순서쌍 (x, y)는

(5, 2), (10, 1)의 2개

이상에서 구하는 방법의 수는

4+2=6

⑵ Ú 지불할 수 있는 방법의 수

10000원짜리 지폐를 지불하는 방법은

0, 1, 2장의 3가지


0, 1, 2, 3장의 4가지


0, 1, 2, 3, 4장의 5가지

이때 0원을 지불하는 것은 제외해야 하므로 지

불할 수 있는 방법의 수는

3_4_5-1=59 ∴ a=59


5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액

과 10000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금

액이 같으므로 10000원짜리 지폐 2장을 5000원


2가지

따라서 칠하는 방법의 수는

4_3_2_2=48

Û B와 C에 같은 색을 칠하는 경우

B와 C에 칠할 수 있는 색은 4가지

A에 칠할 수 있는 색은 B와 C에 칠한 색을 제외한

3가지


3가지

따라서 칠하는 방법의 수는

4_3_3=36

Ú, Û에서 구하는 방법의 수는 48+36=84

답 ②

2221부터 100까지의 자연수 전체의 집합을 U, 집합 U의

부분집합 중 3으로 나누어떨어지는 수의 집합, 즉 3의

배수의 집합을 A, 5로 나누어떨어지는 수의 집합, 즉

5의 배수의 집합을 B라 하면

n(U)=100, n(A)=33, n(B)=20

또 A;B는 3과 5의 공배수, 즉 15의 배수의 집합이

므로

n(A;B)=6

따라서 3 또는 5로 나누어떨어지는 자연수의 개수는


=33+20-6=47

이므로 3과 5로 모두 나누어떨어지지 않는 자연수의

개수는

n((A'B)�``) =n(U)-n(A'B)

=100-47=53

답 53

223이차방정식 xÛ`+2ax+b=0의 판별식을 D라 할 때

이 이차방정식이 실근을 가지려면

D4 =aÛ`-b¾0, 즉 aÛ`¾b



z는 자연수이므로 z=1, 2, 3, 4

Ú z=1일 때, 2x+3y=20에서 순서쌍 (x, y)는

(1, 6), (4, 4), (7, 2)의 3개

Û z=2일 때, 2x+3y=15에서 순서쌍 (x, y)는

(3, 3), (6, 1)의 2개

Ü z=3일 때, 2x+3y=10에서 순서쌍 (x, y)는

(2, 2)의 1개

Ý z=4일 때, 2x+3y=5에서 순서쌍 (x, y)는

(1, 1)의 1개

이상에서 구하는 방법의 수는

3+2+1+1=7

답 7

227aÔ+i에서 aÁ+1, aª+2, a£+3, a¢+4이므로 aÁ이 2,

3, 4인 경우에 대하여 aª, a£, a¢를 수형도를 그려서 구

해 보면 다음과 같다.

a a™ a a

1 4 3

2 3 4 1

4 1 3

1 4 23

41 2

2 1

1 2 34 1 2

32 1

따라서 구하는 정수의 개수는 9이다.

답 9

228⑴ ÇPª=n(n-1)=90=10_9이므로 n=10

»P¨=504=9_8_7이므로 r=3

∴ n+r=10+3=13

⑵ 2(ÇP£+Ç*ÁP¢)=7Ç*ÁP£에서

2{n(n-1)(n-2)+(n+1)n(n-1)(n-2)}

=7(n+1)n(n-1)

짜리 지폐 4장으로 바꾸면 지불할 수 있는 금액

의 수는 5000원짜리 지폐 7장, 1000원짜리 지폐

4장으로 지불할 수 있는 방법의 수와 같다.

5000원짜리 지폐로 지불할 수 있는 금액은

0원, 5000원, 10000원, y, 35000원의 8가지

1000원짜리 지폐로 지불할 수 있는 금액은

0원, 1000원, 2000원, 3000원, 4000원의 5가지

이때 0원을 지불하는 것은 제외해야 하므로 지

불할 수 있는 금액의 수는

8_5-1=39 ∴ b=39

∴ a+b=59+39=98

답 ⑴ 6 ⑵ 98

225주어진 정육면체의 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 B

로 움직인 후 꼭짓점 G에 도착하는 경우를 수형도를

그려서 구해 보면 다음과 같다.

G

E-F-G

G

D-C-G

D-H

G

E-H

G

C

F

A-B

같은 방법으로 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 D 또는

E로 움직인 후 꼭짓점 G에 도착하는 경우도 각각 6가

지씩이다.


6_3=18 답 18

226400원짜리 과자를 x개, 600원짜리 과자를 y개, 1000

원짜리 과자를 z개 산다고 하면

400x+600y+1000z=5000

∴ 2x+3y+5z=25

그런데 세 종류의 과자를 적어도 한 개씩 사야 하므로

x¾1, y¾1, z¾1

2+3+5zÉ2x+3y+5z=25

5zÉ20 ∴ 1ÉzÉ4


연

습

문

제

실력

UP


42``` 꼴의 정수의 개수는 3!=6

따라서 43000보다 작은 정수의 개수는

24+24+6=54

답 54

2310에서 9까지 모두 10개의 숫자 중에서 서로 다른 4개

를 택하여 일렬로 배열하는 방법의 수는 Á¼P¢이다.

이 중 기존 휴대전화 비밀번호는 선택할 수 없으므로 1

가지는 제외해야 한다.


Á¼P¢-1 =10_9_8_7-1

=5039

답 5039

232전체 7개의 숫자 중 4개를 택하여 만들 수 있는 네 자

리의 정수의 개수는 ¦P¢=840

양 끝에 짝수인 2, 4, 6 중에서 2개를 나열하는 경우의

수는 £Pª=6

가운데에 나머지 5개의 숫자 중에서 2개를 나열하는

경우의 수는 °Pª=20

이므로 양 끝에 모두 짝수가 오는 정수의 개수는

6_20=120


840-120=720

답 720

233Ú (짝, 홀, 짝, 홀, 짝)인 경우

3개의 짝수를 일렬로 나열하는 방법의 수는

3!=6

짝수 사이사이에 4개의 홀수 중 2개의 홀수를 뽑아

나열하는 방법의 수는 ¢Pª=12

∴ 6_12=72

Û (홀, 짝, 홀, 짝, 홀)인 경우

4개의 홀수 중 3개의 홀수를 뽑아 일렬로 나열하는

이때 n¾3, n+1¾4, n+1¾3에서 n¾3이므로

양변을 n(n-1)로 나누면

2{(n-2)+(n+1)(n-2)}=7(n+1)

2(nÛ`-4)=7n+7

2nÛ`-7n-15=0, (n-5)(2n+3)=0

∴ n=5

⑶ ¤Pª¨*ÁÉ4¤Pª¨에서

6!

{6-(2r+1)}!É4_

6!(6-2r)!

6!

(5-2r)!É4_

6!(6-2r)!

(6-2r)!É4_(5-2r)!

6-2rÉ4, -2rÉ-2 ∴ r¾1

그런데 ¤Pª¨*Á에서 6¾2r+1이므로 rÉ 52

따라서 1ÉrÉ 52 이므로 구하는 자연수 r의 개수는

1, 2의 2이다.

답 ⑴ 13 ⑵ 5 ⑶ 2

229(적어도 한쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수)

= (전체 순열의 수)

-(양 끝에 모두 모음이 오는 경우의 수)

이때 전체 순열의 수는 8!

양 끝에 모음인 e, a, i의 3개의 문자 중에서 2개를 나

열하는 순열의 수는 £Pª

가운데에 나머지 6개의 문자를 일렬로 나열하는 순열

의 수는 6!

이므로 양 끝에 모두 모음이 오는 경우의 수는 £Pª_6!


8!-£Pª_6! =8_7_6!-6_6!

=(8_7-6)_6!

=50_6!

답 ⑤

2302```` 꼴의 정수의 개수는 4!=24

3```` 꼴의 정수의 개수는 4!=24



Ú 일의 자리의 숫자가 0일 때

백의 자리와 십의 자리에는 0을 제외한 나머지 5

개의 숫자 중에서 2개를 택하여 나열하면 되므로

°Pª=5_4=20

Û 일의 자리의 숫자가 5일 때

백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 4가지이고,

십의 자리에는 백의 자리에 온 숫자와 5를 제외

한 나머지 4개의 숫자 중 1개가 올 수 있으므로

4가지이다.

∴ 4_4=16


20+16=36

답 ⑴ 34 ⑵ 36

236⑴ bdcea보다 앞에 오는 문자열을 생각하면

a ``` 꼴의 문자열의 개수는 4!=24

ba` `` 꼴의 문자열의 개수는 3!=6

bc` `` 꼴의 문자열의 개수는 3!=6

bda` ` 꼴의 문자열의 개수는 2!=2

bdcae

따라서 bdcea는 24+6+6+2+1=39(번째)의

다음에 오기 때문에 40번째이다.

⑵ a````, b```` 꼴의 문자열의 개수는

2_4!=48

ca```, cb``` 꼴의 문자열의 개수는

2_3!=12

따라서 60번째에 오는 문자열은 cb``` 꼴의

마지막 문자열인 cbeda이다.

답 ⑴ 40번째 ⑵ cbeda

237A, B, C, D, E, F의 6명을 일렬로 세울 때, A를 맨

앞에 세우고 B는 A와 이웃하지 않게 세우는 경우는

다음과 같다.

A``B``` 인 경우：4!=24

A```B`` 인 경우：4!=24

A````B` 인 경우：4!=24

방법의 수는 ¢P£=24

홀수 사이사이에 3개의 짝수 중 2개의 짝수를 뽑아

나열하는 방법의 수는 £Pª=6

∴ 24_6=144

Ú, Û에서 구하는 방법의 수는 72+144=216

답 216

2346개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

6!=720

서로 다른 한 자리의 자연수 6개 중에서 짝수의 개수를

n이라 하면 양 끝에 모두 짝수가 오는 경우의 수는

ÇPª_4!

따라서 적어도 한쪽 끝에 홀수가 오는 경우의 수는

720-ÇPª_4!=432

ÇPª_4!=288, ÇPª=12

n(n-1)=4×3

∴ n=4

따라서 홀수의 개수는 6-4=2

답 2

235⑴ 짝수는 일의 자리의 수가 짝수이어야 하므로

`0, `2, `4의 꼴이다.

Ú `0의 꼴


십의 자리에는 백의 자리와 일의 자리에 온 숫자

를 제외한 서로 다른 4개의 숫자 중 1개가 올 수

있으므로 4가지이다.

∴ 4_4=16

Û ``2, ``4의 꼴


십의 자리에는 백의 자리와 일의 자리에 온 숫자

를 제외한 서로 다른 3개의 숫자 중 1개가 올 수

있으므로 3가지이다.

∴ 2_(3_3)=18

따라서 구하는 짝수의 개수는 16+18=34

⑵ 5의 배수는 일의 자리의 숫자가 0 또는 5이어야 한다.


연

습

문

제

실력

UP


의 절반인 30이 되어야 한다.

이렇게 나누는 경우를 따져보면

1, 3, 12, 14와 5, 7, 8, 10 또는

1, 5, 10, 14와 3, 7, 8, 12 또는

1, 7, 8, 14와 3, 5, 10, 12 또는

1, 7, 10, 12와 3, 5, 8, 14의 4가지이다.

각 경우에 대하여 앞쪽 묶음의 4개의 자연수는 왼쪽세

로줄에, 뒤쪽 묶음의 4개의 자연수는 오른쪽 세로줄에

각각 일렬로 배열하는 경우의 수는 4!_4!=576

왼쪽 줄과 오른쪽 줄을 서로 바꾸는 경우의 수는 2


4_(4!_4!)_2=4608

답 4608

241⑴ 전체 11명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는

ÁÁC¢=330

남자만 4명 뽑는 방법의 수는

¤C¢=15

여자만 4명 뽑는 방법의 수는

°C¢=5


330-(15+5)=310

⑵ 특정한 2명을 먼저 뽑은 다음 남은 9명 중에서 2명

을 뽑는 방법의 수와 같으므로

»Cª=36

뽑은 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는

4!=24


36_24=864

답 ⑴ 310 ⑵ 864

242서로 다른 n개에서 2개를 택하는 순열의 수는 ÇPª, 조

합의 수는 ÇCª이므로

ÇPª-ÇCª=36에서

n(n-1)- n(n-1)2 =36

A`````B인 경우：4!=24

따라서 구하는 방법의 수는 4_24=96

답 96

238rainbow의 단어에 있는 7개의 문자에 모음은 a, i, o

로 3개이고 자음은 r, n, b, w로 4개이다.

양 끝에 모음 a, i, o 중 2개를 배열하는 경우의 수는

£Pª

나머지 5개를 가운데 배열하는 경우의 수는 5!

∴ a=£Pª_5!=720

자음과 모음이 교대로 놓이기 위해서는

(자음, 모음, 자음, 모음, 자음, 모음, 자음)의 순서로

배열해야 하므로

먼저 자음을 배열하는 경우의 수는 4!

자음 사이사이에 모음을 배열하는 경우의 수는 3!

∴ b=4!_3!=144

∴ a+b=720+144=864

답 864

239Ú A와 B가 2인용 소파에 앉을 때

A와 B가 앉는 경우의 수는 2!=2

C, D, E가 3인용 소파에 앉는 경우의 수는 3!=6

∴ 2_6=12

Û A와 B가 3인용 소파에 앉을 때

A와 B를 묶어서 한 사람으로 보고 2명이 자리에

앉는 경우의 수는 2!=2

A와 B 두 사람이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2

나머지 자리에 C, D, E가 앉는 경우의 수는 3!=6

∴ 2_2_6=24


12+24=36

답 36

2408개의 자연수 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14를 네 개씩 합

이 같은 두 묶음으로 나누려면 한 묶음의 합이 총합 60



공에 적힌 수가 연속된 세 수인 경우는

(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6),

(5, 6, 7), (6, 7, 8)의 6가지


56-6=50

답 50

2459명을 4명, 5명으로 나누는 방법의 수는

»C¢_°C°=126

나누어진 4명의 선수를 2명, 2명으로 나누는 방법의

수는

¢Cª_ªCª_ 12!=3

나누어진 5명의 선수를 2명, 3명으로 나눈 후, 3명의

선수를 2명, 1명으로 나누는 방법의 수는

(°Cª_£C£)_(£Cª_ÁCÁ)=30


126_3_30=11340

답 11340

246Ú 직각삼각형의 개수

지름에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로 직각삼각

형을 만들려면 삼각형의 한 변이 원의 지름이어야

한다.

원 위의 6개의 점 중 두 점을 이어 만들 수 있는 지

름은 3개이고 나머지 4개의 점 중에서 1개를 택하

는 경우의 수는 ¢CÁ이므로

구하는 직각삼각형의 개수는

3_¢CÁ=12

∴ a=12

Û 정삼각형의 개수

정삼각형은 오른쪽 그림과 같이

2개 만들 수 있으므로

b=2

∴ a-b=12-2=10

답 10

12 n(n-1)=36, n(n-1)=72=9_8

∴ n=9

답 9

243⑴ ÇC£+ÇPª=5_ÇÐÁCª에서

n(n-1)(n-2)

3´2´1 +n(n-1)

=5_(n-1)(n-2)

2´1 양변에 6을 곱하면

n(n-1)(n-2)+6n(n-1)

=15(n-1)(n-2)

n(n-2)+6n=15(n-2) (∵ n¾3)

nÛ`-2n+6n=15n-30, nÛ`-11n+30=0

(n-5)(n-6)=0 ∴ n=5 또는 n=6

따라서 자연수 n의 값의 합은

5+6=11

⑵ ÇP¨=ÇC¨_r!이므로

272=136_r!, r!=2 ∴ r=2

따라서 ÇP¨=ÇPª=n(n-1)=272에서

n(n-1)=17_16

∴ n=17

∴ n+r=17+2=19

⑶ Ú Á¼C¨*ª=Á¼Cª¨*ª에서 r+2=2r+2

∴ r=0

그런데 이 값은 r¾2에 모순이다.

Û Á¼Cª¨*ª=Á¼C10-(2r+2)=Á¼C¥Ðª¨이므로

Á¼C¨*ª=Á¼C¥Ðª¨에서

r+2=8-2r ∴ r=2

∴ °P¨=°Pª=5_4=20

답 ⑴ 11 ⑵ 19 ⑶ 20

2448개의 공에서 3개를 뽑는 방법의 수는

¥C£=56

1부터 8까지의 자연수가 적힌 8개의 공 중 뽑은 3개의


연

습

문

제

실력

UP


Ú 농구 선수 3명, 탁구 선수 2명을 뽑는 경우

¦C£_°Cª=35_10=350

Û 농구 선수 2명, 탁구 선수 3명을 뽑는 경우

¦Cª_°C£=21_10=210

Ú, Û에서 구하는 방법의 수는

350+210=560

답 560

251Ú 같은 나라에서 온 2명이 2명인 조에 속할 때, 나머

지 7명을 2명, 2명, 3명으로 나누는 방법의 수와

같다.

∴ ¦Cª_°Cª_£C£_ 12! =105

Û 같은 나라에서 온 2명이 3명인 조에 속할 때, 나머

지 7명을 1명, 2명, 2명, 2명으로 나누는 방법의 수

와 같다.

∴ ¦CÁ_¤Cª_¢Cª_ªCª_ 13!=105

Ú, Û에서 구하는 방법의 수는

105+105=210

답 210

252세 수의 합이 홀수가 되는 경우는

(홀수)+(홀수)+(홀수) 또는 (홀수)+(짝수)+(짝수)

일 때이다.

1부터 15까지의 자연수 중 홀수는 8개, 짝수는 7개이

므로

Ú (홀수)+(홀수)+(홀수)인 경우

¥C£= 8´7´63´2´1 =56

Û (홀수)+(짝수)+(짝수)인 경우

¥CÁ_¦Cª=8_ 7´62´1 =168


56+168=224

답 224

24726명이 서로 악수하는 횟수는

ª¤Cª=325(회)

남자들이 자신의 부인과 악수하는 횟수는 13회

13명의 여자들끼리 악수하는 횟수는

Á£Cª=78(회)

따라서 구하는 악수의 총 횟수는

325-(13+78)=234(회)

답 234회

248A,X,B에서 {1, 2},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6}이

므로 집합 X는 1과 2를 반드시 원소로 가져야 한다.

n(X)=4이므로 집합 X는 B={1, 2, 3, 4, 5, 6}의

부분집합 중 1과 2를 반드시 원소로 갖고 원소의 개수

가 4인 집합이다.

따라서 집합 B의 1, 2를 제외한 나머지 원소 3, 4, 5,

6 중 2개를 뽑는 방법의 수와 같으므로

구하는 집합 X의 개수는

¢Cª=6

답 6

249일의 자리와 천의 자리에는 0이 올 수 없고, 일의 자리

의 숫자가 천의 자리의 숫자보다 크므로 천의 자리와

일의 자리에 올 숫자를 택하는 방법의 수는 °Cª=10

십의 자리와 백의 자리에 올 숫자를 택하여 나열하는

방법의 수는

¢Pª=12


10_12=120

답 120

250농구 선수와 탁구 선수를 각각 적어도 2명씩 뽑으려면

농구 선수 3명, 탁구 선수 2명을 뽑거나 농구 선수 2

명, 탁구 선수 3명을 뽑아야 한다.




이 경우 만들 수 없는 삼각형은

1_4=4(개)


560-(40+4)=516

답 516

255

오른쪽 그림과 같이 각각 평행

한 직선들의 집합을 각각 A,

B, C라 하면 평행사변형이

아닌 사다리꼴이 만들어지는

경우는 다음과 같다.

Ú A에서 2개, B에서 1개,

C에서 1개의 직선을 택하는 경우

¢Cª´£CÁ´ªCÁ=6´3´2=36

Û B에서 2개, A에서 1개, C에서 1개의 직선을 택하

는 경우

£Cª´¢CÁ´ªCÁ=3´4´2=24

Ü C에서 2개, A에서 1개, B에서 1개의 직선을 택하

는 경우

ªCª´¢CÁ´£CÁ=1´4´3=12

따라서 구하는 사다리꼴의 개수는

36+24+12=72

답 72

256

8개의 점 중 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 8

개의 점으로 만들 수 있는 삼각형의 개수는

¥C£=56

[그림 2][그림 1]

이때 팔각형과 한 변만을 공유하는 삼각형의 개수는

팔각형의 각 변에 대하여 [그림 1]과 같이 4개씩 만들

A

B

C

253조건 (나)에서 f(4)f(6)=24가 되는 경우는

f(4)=3, f(6)=8 또는 f(4)=4, f(6)=6 또는

f(4)=6, f(6)=4 또는 f(4)=8, f(6)=3

의 4가지이다.

조건 (가)에서 f(3)<f(5)<f(7)이므로 집합 Y의

원소 7개 중 서로 다른 3개를 뽑아 크기가 작은 것부터

차례로 집합 X의 원소 3, 5, 7에 대응시키면 된다.

따라서 구하는 함수의 개수는

4_¦C£=140

답 140

254


Á¤C£=560

이때 일직선 위에 4개의 점이 있는 경우나 일직선 위에

3개의 점이 있는 경우에는 삼각형을 만들 수 없다.



¢C£=4


이 경우 만들 수 없는 삼각형은

4_10=40(개)



£C£=1


연

습

문

제

실력

UP


Ú (4개, 1개, 1개)로 나누는 경우

¤C¢_ªCÁ_ÁCÁ_ 12! =15

Û (3개, 2개, 1개)로 나누는 경우

¤C£_£Cª_ÁCÁ=60

Ü (2개, 2개, 2개)로 나누는 경우

¤Cª_¢Cª_ªCª_ 13! =15

Ú, Û, Ü에서 나누는 방법의 수는

15+60+15=90

이때 3개의 조를 집합 B의 세 원소에 하나씩 대응시키

는 방법의 수는 3!=6이므로 구하는 함수의 개수는

90×6=540

답 540

참고 치역과 공역이 같은 함

수 중 하나는 집합 A의 원소를

3개의 집합 {1, 2, 3}, {4, 5},

{6}으로 나눈 후

{1, 2, 3} → 1

{4, 5} → 2

{6} → 3

으로 대응시킨 것과 같다.

259남학생 3명이 배정받은 반의 숫자를 aÁ, aª, a£

(aÁ<aª<a£ )이라 하자.

aÁ, aª, a£이 이 순서대로 aª-aÁ=a£-aª가 되어야

하므로

Ú 차이가 1인 경우 순서쌍 (aÁ, aª, a£)은

(1, 2, 3), (2, 3, 4), y, (6, 7, 8)로 6가지

Û 차이가 2인 경우 순서쌍 (aÁ, aª, a£)은

(1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7), (4, 6, 8)로 4가지

Ü 차이가 3인 경우 순서쌍 (aÁ, aª, a£)은

(1, 4, 7), (2, 5, 8)로 2가지

Ý 차이가 4 이상이면 (1, 5, 9)가 되어 자연수 n에

대하여 aÇÉ8인 조건을 만족시키지 않는다.

Ú~Ý에서 조건을 만족시키는 순서쌍 (aÁ, aª, a£)의

개수는 6+4+2=12

수 있으므로 8_4=32

또한 팔각형과 두 변을 공유하는 삼각형은 [그림 2]와

같이 8개 만들 수 있다.


56-(32+8)=16

답 16

257Ú 10개의 점으로 만들 수 있는 직선의 개수는

Á¼Cª=45

일직선 위에 있는 4개의 점 중에서 2개를 택하는 경

우의 수는 ¢Cª=6

그런데 일직선 위에 있는 4개의 점으로 만들 수 있

는 직선은 1개뿐이고 일직선이 5개 있으므로 구하

는 직선의 개수는

45-6_5+5=20

∴ m=20

Û 10개의 점으로 만들 수 있는 삼각형의 개수는

Á¼C£=120

일직선 위에 있는 4개의 점에서 3개를 택하는 경우

의 수는

¢C£=4

그런데 일직선 위에 있는 4개의 점으로 만들 수 있

는 삼각형은 없고 일직선이 5개 있으므로 구하는 삼

각형의 개수는

120-4_5=100

∴ n=100

Ú, Û에서 m+n=20+100=120

답 120

258치역과 공역이 같으려면 집합 B의 원소 1, 2, 3은 적

어도 한 번씩은 집합 A의 원소와 대응되어야 한다.

따라서 집합 A의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6을 3개의 조로

나누어 집합 B의 원소에 대응시키면 된다.

집합 A의 원소 6개를 3개의 조로 나누는 방법은

( 4개, 1개, 1개), ( 3개, 2개, 1개), ( 2개, 2개, 2개)의 3

가지가 있다.



한편, 각 경우에 대하여 남학생 3명이 반을 배정받는

경우의 수는 3!=6

여학생 5명이 반을 배정받는 경우의 수는 5!=120


12_6_120=8640

답 8640

2601부터 9까지의 자연수 중에서 서로 다른 3개의 숫자를

택하여 세 자리 자연수를 만드는 방법의 수는

»P£=9_8_7=504

1부터 9까지의 자연수 중에서 합이 9가 되는 두 수를

순서쌍으로 나타내면 (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)

의 4개이다.

위의 4개의 순서쌍 중에서 하나를 택한 후, 순서쌍의 2

개의 숫자를 제외한 7개의 숫자 중에서 하나를 택하여

총 3개의 숫자를 일렬로 배열하는 방법의 수는

4_¦CÁ_3!=4_7_3_2_1=168

따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는

504-168=336

답 336


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수학(하)jhwordpress.s3-ap-northeast-2.amazonaws.com/solve... · 2018. 8. 22. · 이때 a={-1, 3}, b={-1, 0, 2}이므로 aøb Ú, Û에서 a,b를 만족시키는 a의 값은 1이다