Embed Size (px)
Citation preview
• JIka maka:
• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –
a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33
atau
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
122
011
123
B
Tentukan determinan matriks
Jawab :
122
011
123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
22
11
23
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A13
1 2
maka 1
0 1
M
Cij dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2
= – 2
2 0
1 1 1
2112
C
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktorsepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktorsepanjang kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =
1
n
ij ij
j
a c
1
n
ij ij
i
a c
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang bariske-3
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A3
3 3 31 31 32 32 33 33
1
det( ) j j
j
A a c a c a c a c
3 1 4
31 31
1 0( 1) ( 1) 1 (1)(1) (0)(2) 1 0 1
2 1c M
3 2 5
32 32
2 0( 1) ( 1) 1 (2)(1) (0)(1) 1(2 0) 2
1 1c M
3 3 6
33 33
2 1( 1) ( 1) 1 (2)(2) (1)(1) 4 1 3
1 2c M
det( ) 0(1) 1( 2) 2(3) 0 2 6 4A
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
• Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuransama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
• Jika A mempunyai invers maka :
)det(
1)det( 1
AA
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
Matriks C dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,notasi adj(A)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
: : :
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
11 12 1
21 22 1
1 2
n
n
n n nn
C C C
C C C
C C C
C
TCAadj )(
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
12212
12111
• Misalkan A memiliki invers maka :
• Langkah-langkah mencari invers dengan matriksadjoin :• Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor• Tentukan kofaktor dari A• Tentukan Matriks Kofaktor A• Tentukan Matriks Adj(A)
1 1( )
det( )A adj A
A
Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan
Invers matriks dari matriks berikut.
Solusi:
1 0 2
2 1 3
4 1 8
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c c c
C c c c
c c c
11
1 3
1 8
(( 1)(8) (3)(1))
8 3 11
c
12
2 3
4 8
((2)(8) (3)(4))
(16 12) 4
c
13
2 1
4 1
((2)(1) ( 1)(4))
(2 4) 6
c
21
0 2
1 8
((0)(8) (2)(1))
(0 2) 2
c
22
1 2
4 8
((1)(8) (2)(4))
0
c
23
1 0
4 1
((1)(1) (0)(4))
(1 0) 1
c
31
0 2
1 3
((0)(3) (2)( 1))
(0 2) 2
c
32
1 2
2 3
((1)(3) (2)(2))
1(3 4) 1
c
33
1 0
2 1
((1)( 1) (0)(2))
( 1 0) 1
c
• Matriks Kofaktor Matriks Adjoin (adj(A))
• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
11 2 2
( ) 4 0 1
6 1 1
adj A
1 0 21 3 2 3 2 1
det( ) 2 1 3 1 0 21 8 4 8 4 1
4 1 8
1 ( 1)(8) (3)(1) 0 2 (2)(1) ( 1)(4)
( 8 3) 2(2 4) 11 12 1
A
11 4 6
2 0 1
2 1 1
C
• Invers Matriks A
1
11 2 2 11 2 21 1
( ) 4 0 1 4 0 1det( ) 1
6 1 1 6 1 1
A adj AA
1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris
4 2 0
3 2 1
1- 2- 3-
A
4 2 0
1- 2- 3-
3 2 1
~21 bb
Baris pertama (b1)
ditukar dengan
baris ke-2 (b2)
• Contoh : OBE 2
Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
• Contoh : OBE 3
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta
tak nol dengan baris yang lain.
3 1 1- 2
7 1 2 0
4- 0 4- 4
A 1
1 -1 0 -1 1
~ 0 2 1 74
2 -1 1 3
b
Perkalian Baris
pertama (b1)
dengan
bilangan ¼
3 1 1- 2
7 1 2 0
1- 0 1- 1
A 1 3
1 -1 0 -1
2 ~ 0 2 1 7
0 1 1 5
b b
Perkalian (–2)
dengan b1 lalu
tambahkan
pada baris ke-
3 (b3)
Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.
Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
1 1 1 3
0 0 2 1
0 0 0 0
B
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama
adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka
unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4
• Tentukan matriks esilon baris tereduksi
dari:
• Solusi
1 -1 0 -1
0 -2 2 8
3 1 -1 2
A
1 3
1 -1 0 -1
~ 3 0 -2 2 8
0 4 -1 5
b b
1 -1 0 -1
0 -2 2 8
3 1 -1 2
2
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -42
0 4 -1 5
b 2 3
1 -1 0 -1
~ 4 0 1 -1 -4
0 0 3 21
b b
2 1
1 0 0 2
~ 0 1 0 3
0 0 1 7
b b
3
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -43
0 0 1 7
b3 2
1 -1 0 -1
~ 0 1 0 3
0 0 1 7
b b
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena
Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 7
Tentukan determinan matriks dengan ekspansi
kofaktor
2 1 1
1 2 1
1 1 2
C
3 2 0
0 1 0
4 4 1
D
200
043
012
A
105
217
311
B
1 0 2
2 1 3
4 1 8
E
4 1 8
2 1 3
1 0 2
F
1 0 2
3 1 3
4 1 8
G
1 0 2
6 1 3
4 1 8
H
• Tentukan invers dari matriks berikut denganmenggunakan matriks adjoin:
2 2 1
1 3 0
5 4 3
A
1 2 2
2 3 2
1 5 3
B
1 0 2
2 1 3
4 1 8
C
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
berikut:
1. 2.2 5 1 1
1 3 0 1
2 3 4 2
3 5 2 2
2 3 4 3
1 2 1 1
