1

Jitka Roubalov

Elektrotechnika

Vytvoeno v rmci Operanho programu Vzdlvn pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.30/01,0038 Automatizace vrobnch proces ve strojrenstv

a emeslech

Jitka Roubalov

2

3

Stedn prmyslov kola strojnick a Stedn odborn kola prof. vejcara,

Plze

ELEKTROTECHNIKA

Jitka Roubalov

4

Anotace

Tato uebnice obsahuje zklady teoretick elektrotechniky v rozsahu poadavk na znalosti

student stednch prmyslovch kol se strojrenskm zamenm.

Jsou zde vysvtleny fyzikln zklady elektrotechniky, jejich souvislosti a jejich vyuit pi

een praktickch kol.

Uebnice obsahuje vysvtlen elektrostatickho pole, obvod stejnosmrnho proudu,

magnetismu, obvod stdavho proudu a trojfzov soustavy.

Jednotliv kapitoly jsou doplnny eenmi pklady typickmi pro dan okruh. Pklady jsou

eeny i s podrobnm vpotem, aby pouit vpoetn postupy ukzaly teni, e vhodnm

krcenm a prac s exponenty je mon vpoty zjednoduit a tak se vyvarovat chyb

zpsobench kalkulakovmi peklepy.

Uebnice je rozdlena do pti st, z nich kad obsahuje uzaven tmatick celek.

Jednotliv sti:

- Fyzikln zklad elektrickch jev a teorie elektrostatickho pole

- Stejnosmrn proud a een obvod stejnosmrnho proudu

- Magnetick pole a elektromagnetick indukce

- Stdav proud a een obvod stdavho proudu

- Trojfzov soustava

5

Obsah

Anotace ....................................................................................................................................... 3

vod ........................................................................................................................................... 9

1 Fyzikln veliiny a jejich jednotky .................................................................................. 10

1.1 Mezinrodn soustava jednotek SI ............................................................................. 10

1.2 Pedpony jednotek ..................................................................................................... 11

2 Fyzikln zklad elektrickch jev ................................................................................... 12

2.1 Elektronov teorie ...................................................................................................... 12 2.2 Vodie a izolanty ....................................................................................................... 12 2.3 Zdroje elektrick energie ........................................................................................... 12

3 Elektrostatick pole ........................................................................................................... 14

3.1 Zobrazovn elektrostatickho pole ........................................................................... 14 3.2 Homogenn elektrostatick pole ................................................................................ 16 3.3 Coulombv zkon ...................................................................................................... 17 3.4 Nehomogenn elektrostatick pole ............................................................................ 18

3.5 Elektrick indukce ..................................................................................................... 19 3.6 Elektrick vlastnosti izolant ..................................................................................... 21

3.6.1 Polarizace dielektrika ......................................................................................... 21 3.6.2 Elektrick pevnost dielektrika ............................................................................ 22

3.7 Kondenztor ............................................................................................................... 22

3.8 Spojovn kondenztor ............................................................................................ 23 3.8.1 Paraleln spojovn kondenztor ...................................................................... 24

3.8.2 Sriov spojovn kondenztor ........................................................................ 24

3.9 Pechodov jev na kondenztoru ............................................................................... 28

3.10 Energie elektrostatickho pole ............................................................................... 29 3.11 Sloen dielektrika ................................................................................................. 31

3.11.1 Dielektrika vedle sebe ........................................................................................ 31

3.11.2 Dielektrika za sebou ........................................................................................... 32 3.12 Kondenztory s nehomogennm elektrickm polem ............................................. 34

3.12.1 Dv soustedn kulov plochy ........................................................................... 34 3.12.2 Osamocen koule ............................................................................................... 35 3.12.3 Dv soustedn vlcov plochy .......................................................................... 36

3.13 Elektrostatick jevy v praxi.................................................................................... 37

4 Stejnosmrn proud .......................................................................................................... 38

4.1 Proudov hustota ....................................................................................................... 38

4.2 Intenzita proudovho pole ......................................................................................... 39

4.3 Elektrick odpor vodi a Ohmv zkon .................................................................. 39

4.3.1 Velikost elektrickho odporu ............................................................................. 40 4.3.2 Zvislost elektrickho odporu na teplot ........................................................... 41

4.4 Prce a vkon stejnosmrnho elektrickho proudu ................................................. 43 4.5 Kirchhoffovy zkony ................................................................................................. 45

4.5.1 Prvn Kirchhoffv zkon .................................................................................... 46 4.5.2 Druh Kirchhoffv zkon .................................................................................. 47

6

4.6 Spojovn rezistor .................................................................................................... 48

4.6.1 Sriov zapojen rezistor .................................................................................. 48 4.6.2 Paraleln zapojen rezistor ................................................................................ 49

4.7 een elektrickch obvod stejnosmrnho proudu s jednm zdrojem ................... 51

4.7.1 Obvody se srioparalelnm zapojenm rezistor ................................................ 51 4.7.2 Transfigurace ...................................................................................................... 56

4.8 Zdroje stejnosmrnho napt a proudu ..................................................................... 60 4.8.1 Reln zdroj napt ............................................................................................. 60 4.8.2 Spojovn zdroj napt ...................................................................................... 62

4.9 Specifick zpsoby vyuit rezistor v praxi ............................................................. 64 4.9.1 Dli napt ........................................................................................................ 64 4.9.2 Zmny rozsah mcch pstroj pomoc rezistor .......................................... 66 4.9.3 Uren velikosti odporu pomoc men napt a proudu ................................... 68 4.9.4 Uren teploty pomoc men odporu rezistoru ................................................ 69

4.10 Nelinern prvky v obvodech ................................................................................. 70

4.11 een elektrickch obvod stejnosmrnho proudu s vce zdroji .............................. 74

4.11.1 een elektrickch obvod s vce zdroji aplikac Kirchhoffovch zkon ......... 74 4.11.2 een elektrickch obvod metodou smykovch proud .................................. 77 4.11.3 een elektrickch obvod metodou uzlovch napt ......................................... 80 4.11.4 een elektrickch obvod metodou linern superpozice .................................. 83

5 Magnetick pole ................................................................................................................ 88

5.1 Zobrazovn magnetickho pole ................................................................................ 88

5.2 Magnetick pole vybuzen elektrickm proudem ..................................................... 89 5.2.1 Magnetick pole vodie ..................................................................................... 89

5.3 Veliiny magnetickho pole ...................................................................................... 91 5.3.1 Magnetick tok ................................................................................................... 91 5.3.2 Magnetick indukce ........................................................................................... 91

5.3.3 Magnetomotorick napt a magnetick napt .................................................. 92

5.3.4 Intenzita magnetickho pole ............................................................................... 93

5.3.5 Vztah mezi zdrojem magnetickho pole a jeho silovm psobenm ................. 94 5.4 Hopkinsonv zkon ................................................................................................... 97

5.5 Magnetick vlastnosti ltek ....................................................................................... 97 5.5.1 Magnetick vlastnosti feromagnetickch materil ........................................... 98

5.6 een magnetickch pol ........................................................................................ 104 5.6.1 Magnetick pole pmho vodie ..................................................................... 104

5.6.2 Magnetick pole kruhovho zvitu .................................................................. 106 5.6.3 Magnetick pole tenk cvky ............................................................................ 106 5.6.4 Magnetick pole vlcov cvky ........................................................................ 107 5.6.5 Magnetick pole prstencov cvky ................................................................... 109

5.7 een magnetickch obvod .................................................................................. 110

5.7.1 Vpoet magnetickch obvod buzench elektrickm proudem .................... 111

5.8 Elektromagnetick indukce ..................................................................................... 119

5.8.1 Indukn zkon ................................................................................................. 119 5.8.2 Pohybov napt ............................................................................................... 122 5.8.3 Vlastn induknost ............................................................................................ 124 5.8.4 Vzjemn induknost ....................................................................................... 126 5.8.5 Spojovn cvek ................................................................................................ 130 5.8.5 Pechodov jev na induknosti ........................................................................ 134

5.9 Energie magnetickho pole ..................................................................................... 135

7

5.10 Ztrty ve feromagnetickch materilech.............................................................. 136

5.11 Silov psoben magnetickho pole ..................................................................... 138 5.12.1 Elektromagnety ................................................................................................ 140

6 Stdav proudy ............................................................................................................... 143

6.1 asov prbh harmonickch stdavch proud ................................................... 144 6.2 Fzorov zobrazen stdavch harmonickch veliin ............................................ 146

6.3 Efektivn a stedn hodnota stdavch harmonickch veliin ................................ 146 6.3.1 Efektivn hodnota stdavho proudu ............................................................... 146 6.3.2 Stedn hodnota stdavho proudu .................................................................. 147

6.4 Vznik stdavho harmonickho napt ................................................................... 148 6.5 Typy zt v obvodech stdavho proudu ............................................................. 152

6.5.1 Odporov zt ................................................................................................. 152 6.5.2 Induktivn zt ................................................................................................ 153 6.5.3 Kapacitn zt ................................................................................................. 155

6.5.4 Vzjemn induknost v obvodech stdavho proudu ...................................... 159 6.6 een obvod stdavho harmonickho proudu ................................................... 160

6.6.1 Sriov RC obvod ............................................................................................ 160 6.6.2 Sriov RL obvod ............................................................................................ 162

6.6.3 Sriov LC obvod ............................................................................................ 164

6.6.4 Sriov RLC obvod .......................................................................................... 165 6.6.5 Paraleln RC obvod .......................................................................................... 167 6.6.6 Paraleln RL obvod ........................................................................................... 168

6.6.8 Paraleln LC obvod ........................................................................................... 169 6.6.9 Paraleln RLC obvod ........................................................................................ 170

6.6.10 Srioparaleln RLC obvody ................................................................................. 174 6.6 Vkon v obvodech stdavho harmonickho proudu ............................................. 178 6.7 Rezonance ................................................................................................................ 181

6.7.1 Sriov rezonann obvod ................................................................................ 181

6.7.2 Paraleln rezonann obvod .............................................................................. 183

6.8 Kompenzace inku ............................................................................................... 187

7 Trojfzov soustava ........................................................................................................ 190

7.1 Vznik trojfzovho stdavho harmonickho napt .............................................. 190 7.2 Vroba trojfzovho proudu .................................................................................... 192

7.3 Penos energie v trojfzov elektrizan sti ............................................................ 196 7.4 Pipojovn spotebi k trojfzov sti ................................................................... 198 7.4 Zapojen trojfzovch spotebi ve trojfzov sti ................................................ 200

7.4.1 Zapojen trojfzovho spotebie do hvzdy ................................................... 200 7.4.1 Zapojen trojfzovho spotebie do trojhelnka ............................................ 202

7.5 Vkon trojfzovho proudu ..................................................................................... 206 7.5.1 Svorkovnice trojfzovho spotebie, pepojovn hvzda - trojhelnk ......... 207

7.6 Toiv magnetick pole ........................................................................................... 207

7.7 Kompenzace inku ............................................................................................... 212

8 Pehled nejdleitjch veliin a vztah ........................................................................ 214

Pehled obsahuje nejdleitj veliiny uvdn v uebnici, jejich jednotky vetn jejich

znaek a zkladn vztahy mezi veliinami. ........................................................................ 214 8.1 Elektrostatick pole ................................................................................................. 214 8.2 Stejnosmrn proud ................................................................................................. 215

8

8.3 Magnetick pole ...................................................................................................... 217

8.4 Stdav proudy ........................................................................................................ 219 8.4 Trojfzov soustava ................................................................................................. 221

Pouit literatura .................................................................................................................... 222

9

vod

Souasn teoretick elektrotechnika je postavena na tyech zkladnch rovnicch

obsahujcch obecn matematick popis elektromagnetickho pole, nazvanch podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice.

Maxwellovy rovnice jsou zkladn vztahy komplexn popisujc elektromagnetick pole.

Mohou bt zapsny bu v integrlnm, nebo v diferencilnm tvaru. V integrlnm tvaru

popisuj elektromagnetick pole v jist oblasti, kdeto v diferencilnm tvaru v konkrtnm

bodu tto oblasti. Maxwellovy rovnice vychzej ze vech do t doby znmch poznatk

elektrotechniky a vem tmto zkonm vyhovuj.

Matematick rove studenta stedn koly neumouje vyuvat Maxwellovy rovnice; proto

tato uebnice vyuv zkladnch vztah mezi elektrickmi veliinami, kter byly odvozeny a

oveny empiricky a matematicky rznmi fyziky a kter jsou t odvoditeln z

Maxwellovch rovnic.

Po prostudovn tto uebnice by ml mt ten pehled o zkladnch jevech, procesech a

jejich vzjemnch souvislostech v elektrotechnice a ml by bt schopn zskan vdomosti

aplikovat v praxi a vyuvat pi studiu navazujcch obor ze silnoproud i slaboproud

aplikovan elektrotechniky.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://cs.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetick%C3%A9_polehttp://cs.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetick%C3%A9_polehttp://cs.wikipedia.org/wiki/Bod

10

1 Fyzikln veliiny a jejich jednotky

Fyzikln veliina je vlastnost hmoty, dje nebo jevu, kterou je mon zmit. Jednotkou

fyzikln veliiny je pevn stanoven mnostv tto veliiny. Konkrtn hodnotu kad

veliiny stanovme potem jednotek, jimi ji mme.

Napklad: veliina = dlka (oznaen l), jednotka = metr; veliina = as (oznaen t),

jednotka = sekunda.

Mezi rznmi fyziklnmi veliinami plat vztahy, kter je mon vyjdit matematickm

zpisem.

Napklad: veliina = rychlost (oznaen v); rychlost je drha s za urit as t, matematick

zpis vyjadujc tento vztah je v = s/t. Jednotkou rychlosti je m/s.

1.1 Mezinrodn soustava jednotek SI

Pro jednoznan vyjden velikosti fyziklnch veliin bylo dohodou stanoveno nkolik

zkladnch veliin, jejich jednotky byly nezvisle na sob zvoleny. Tyto jednotky se

nazvaj zkladn jednotky a tvo mezinrodn soustavu jednotek SI (Systme International

d'Units). Mezinrodn soustava jednotek SI m ti kategorie jednotek:

a) Zkladn jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veliina

Metr m dlka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s as

Ampr A elektrick proud

Kelvin K teplota

Mol mol ltkov mnostv

Kandela cd svtivost

b) Doplkov jednotky

dopluj zkladn jednotky soustavy SI.

radin rad jednotka rovinnho hlu

steradin sr jednotka prostorovho hlu

c) Odvozen jednotky soustavy SI

vznikaj kombinac zkladnch jednotek podle matematickch vztah, kter popisuj

vzjemnou zvislost mezi veliinami.

Nkter odvozen jednotky soustavy SI se vyjaduj pomoc zkladnch jednotek, jin maj

vlastn nzev.

11

Napklad: elektrick proud (oznaen I) je mnostv elektrickho nboje (oznaen Q)

proteklho vodiem za urit as, matematick zpis tohoto vztahu je I=Q/t. Elektrick

nboj je tedy definovn jako Q=It, jednotka je As (amprsekunda) a m vlastn nzev

Coulomb [C].

Mimo tyto jednotky SI existuj jet tzv. vedlej jednotky, kter maj odlinou definici ne

jednotka pro tut veliinu v SI. Mezi vedlej a odvozenou (zkladn) jednotkou existuje

vdy pevodn vztah. Vedlej jednotky se dl na dovolen (edn se sm pouvat) a

nedovolen (edn se nesm pouvat).

Dovolen:

as: hodina [h], minuta [min]: 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost: tuna [t]: 1t = 1000 kg

Objem: litr [l] : 1l=1dm3=0,001 m

3

hly: stupe je rozdlen na 60 minut a 1 minuta na 60 vtein (/180 rad = 1 stupe)

Nedovolen:

Dlka: palec [inch]: 1 inch=2,54 cm, stopa [ft]: 30,48 cm, yard [y]: 1y =914 mm

Vkon: k [k]: 1 k = 735,49875 W.

1.2 Pedpony jednotek

Pedpony a jejich dohodnut zkratky jsou:

Pedpony zvtuj jednotky: Pedpony zmenujc jednotky:

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napklad: 20 km = 20 103 m = 20 000 m; 5 F = 5 10

-6 F = 0,000005 F.

Doplkov pedpony zvtuj Doplkov pedpony zmenujc

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikln zklad elektrickch jev

2.1 Elektronov teorie

Kad ltka se skld z atom, co jsou stice, kter nen mon dle chemicky rozdlit.

Charakter ltky uruje struktura atomu. Atomy se skldaj z elementrnch stic proton,

neutron a elektron. stice nazvan elektron je nositelem elementrnho zpornho

elektrickho nboje (elementrn nboj ji nelze dlit, je to nejmen mon elektrick nboj),

oznauje se -e. stice nazvan proton je nositelem elementrnho kladnho elektrickho

nboje, oznauje se +e. stice nazvan neutron nem dn elektrick nboj. Struktura

atomu je tvoena jdrem atomu sloenm z proton a neutron (je tedy kladn) a

z elektronovho obalu (je zporn). Velikost elektrickho nboje se m v coulombech

(oznaen C), elementrn elektrick nboje e = 1,602 10-19

C.

Atomy konkrtnch ltek se li potem elementrnch stic proton, neutron a elektron,

kter dan atom obsahuje. Poet elektron a proton v jednom atomu je u dan ltky vdy

stejn, atom v klidovm stavu je tedy z vnjho pohledu elektricky neutrln.

Psobenm vnjch vliv je u nkterch materil mon z atomu oddlit elektron. Tm se

poru elektrick rovnovha atomu a vznikne tzv. iont s kladnm elementrnm nbojem

(kationt) a voln elektron se zpornm elementrnm nbojem.

Jakkoliv elektricky nabit tlso me tedy bt nositelem elektrickho nboje; ten je vak

vdy celoselnm nsobkem elementrnho nboje Q = ke, kde Q je celkov elektrick nboj a k je cel slo.

Nboje se stejnou polaritou se navzjem odpuzuj, nboje opan polarity se navzjem

pitahuj. Elektricky nabit tleso se ve svm okol projevuje silovm psobenm na jin

elektricky nabit tlesa v okol elektricky nabitho tlesa tedy existuje elektrick pole.

2.2 Vodie a izolanty

Jsou-li vzjemn vazby mezi nabitmi sticemi v dan ltce slab, mohou se tyto stice i pi

slabm vlivu okolnho prosted v ltce pohybovat a penet elektrick nboj. Tyto materily

nazvme vodie. Jedn se vtinou o kovy (vykazuj elektronovou vodivost, volnm

nositelem nboje jsou elektrony), ppadn elektrolyty nebo ionizovan plyny (nositelem

nboje jsou kladn nebo zporn ionty). Vodie (kovy) maj krystalickou mku, kter je

sloena z kladnch iont kovu. Valenn elektrony jsou ke kationtm vzny kovovou

vazbou, kter je ale velmi slab. Valenn elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovm

psobenm elektrickho pole.

Jsou-li stice v dan ltce pevn chemicky vzny, penos nboje nenastv. Tyto ltky

oznaujeme jako nevodie (izolanty). Izolanty maj valenn elektrony v obalu vzny velkm

silovm psobenm (p. chemick vazba).

2.3 Zdroje elektrick energie

Elektrick zdroj je zazen, ve kterm vznik elektrick energie pemnou z jinho druhu

energie.

Elektrick zdroj rozdl elektrick nboj tak, aby se na jednom mst udroval pebytek

zpornho nboje (elektron) a na druhm mst jeho nedostatek. Tato msta nazvme ply

13

zdroje. Pl s pebytkem zpornho nboje se oznauje jako (minus), pl s nedostatkem

zpornho nboje jako + (plus).

Ply jsou vyvedeny na svorky, co jsou msta, kde se ke zdroji pipojuje spotebi.

Obr. 1 - Stejnosmrn elektrick zdroj a jeho schematick znaka

Nahromadn nboj vytv mezi ply zdroje elektrick napt. Pokud se ply zdroje propoj

vodiem, pebytek zpornch elektron ze zpornho plu je pitahovn ke kladnmu plu,

na nm je nedostatek elektron a je tedy nabit kladn. Elektrick nboj prochz vodiem;

tento jev se nazv elektrick proud I. Smr proudu je dohodou stanoven od + k -.

Obr. 2 - Elektrick proud ve vodii pipojenm ke zdroji

Elektrick proud je tedy pohyb elektrickho nboje ve vodii a je definovn jako mnostv

elektrickho nboje, kter projde prezem vodie za jednotku asu:

t

QI ),;( sCA

Jednotkou elektrickho proudu je ampr (A), co je jedna ze zkladnch jednotek v SI

soustav. Tedy jednotka elektrickho nboje coulomb m v SI rozmr: tIQ sAC .

Coulomb je t oznaovn jako amprsekunda.

14

3 Elektrostatick pole

Elektricky nabit tleso se ve svm okol projevuje silovm psobenm na jin elektricky

nabit tlesa v okol elektricky nabitho tlesa tedy existuje elektrick pole.

Silov psoben elektrickho nboje, kter je v klidu, se nazv elektrostatick pole.

Elektrick nboj me bt zporn, co je psobeno pebytkem elektron nad potem

kladnch proton, nebo kladn, tehdy je elektron v materilu nedostatek.

Elektrostatick pole me existovat v jen v nevodivm prosted, ve vodivm by vlivem

elektrickho pole nastal pohyb elektrickho nboje a do doby, kdy by se nboje rzn

polarity vyrovnaly, sla by pestala psobit a elektrick pole by pestalo existovat. Elektrick

nboj se vyskytuje vdy jen na povrchu vodi.

Vme, e nboje se stejnou polaritou se navzjem odpuzuj, nboje opan polarity se

navzjem pitahuj.

Obr. 3 - Vzjemn silov psoben elekrticky nabitch stic

3.1 Zobrazovn elektrostatickho pole

Psoben elektrostatickho pole popisujeme pomoc tzv. siloar.

Na volnou kladn nabitou stici umstnou do elektrostatickho pole psob sla

elektrostatickho pole a vyvolv jej pohyb v poli.

Silory jsou kivky, kter by byly drhou pohybu voln kladn nabit stice v danm poli.

Silory smuj od pevnho nositele kladnho nboje (kladn elektrody) do pevnho nositele

zpornho nboje (zporn elektrody) a jejich tvar je takov, e vektor sly psobc na

volnou kladnou stici je vdy ten k drze pohybu voln stice. Elektrostatick pole

osamocenho kladnho a zpornho nboje jsou radiln viz obr. 4.

Obr. 4 - Radiln elektrostatick pole osamocenho kladnho a zpornho nboje

Na obr. 5 je znzornno elektrostatick pole dvou opan nabitch elektrod. Kladn elektroda

volnou kladn nabitou stici odpuzuje, zporn ji pitahuje. Elektrostatick pole psob na

stici silou danou vektorovm soutem sil vyvolanch obma elektrodami.

15

Obr. 5 - Elektrostatick pole dvou opanch nboj

Sla, kter psob v elektrostatickm poli na pokusnou elektricky nabitou stici, je pmo

mrn velikosti nboje Q tto stice. Silov schopnosti elektrostatickho pole lze vyjdit

veliinou E intenzita elektrickho pole.

QEF ( 1,; CNCN )

Intenzita elektrickho pole E je sla, kter v danm mst psob na jednotkov kladn nboj;

je tedy urena jako podl elektrick sly, kter by v danm mst psobila na bodov nboj, a

tohoto nboje.

Z toho

Q

FE ( CNCN ,;1 )

Psob-li v rznch bodech elektrostatickho pole sla rzn velikosti nebo smru, nazvme

toto pole nehomogenn.

Psob-li ve vech bodech elektrostatickho pole sla stejn velikosti i smru, nazvme toto

polem homogennm.

Pklad 1:

Intenzita elektrickho pole v bod X je 50 kV/m. Urete, jakou silou psob elektrostatick

pole na stici nabitou nbojem 30 C.

een:

5,110150010301050 363 QEF (N)

16

3.2 Homogenn elektrostatick pole

Homogenn pole se vyskytuje mezi dvma rovnobnmi vodivmi deskami, kter nesou

stejn velk nboje opan polarity. Intenzita tohoto pole m v kadm bod stejn smr a

velikost.

Obr. 6 - Homogenn elektrostatick pole

Je-li v prostoru pole voln stice nabit elektrickm nbojem Q, psob na ni v elektrickm

poli sla QEF . Tato sla urychluje stici a vyvol jej pohyb po siloe. Pemst-li se

stice s nbojem Q po siloe z bodu 1 do bodu 2 ve vzdlenosti l, vykon se prce A:

lFA ( mNJ ,; )

Po dosazen F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 pemisovat nabitou stici s jednotkovm nbojem, pak

prci potebnou k tomuto pemstn nazvme elektrick napt oznaen U.

Q

AU ( CJV ,; )

Jednotkou elektrickho napt je volt (V). 1 V je prce, kter je potebn k pemstn nboje

o velikosti 1 C. Rozmr (V) je (JC-1

).

Elektrick napt se vdy vztahuje ke dvma bodm elektrickho pole, na rozdl od intenzity

pole (co je vektor vzan ke konkrtnmu jednomu mstu v poli).

Protoe Q

FE , lze po dosazen ze vztah lQElFA a

Q

AU vypotat:

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickho pole je tedy mon vyjdit tak jako spd napt U:

l

UE ( mVmV ,;1 )

Napt je v poli rozloeno rovnomrn. Msta, kter maj proti nkter elektrod stejn napt

(tzv. potencil) se nazvaj ekvipotencily.

17

Obr. 7 - Vektory intenzity elektrickho pole a hladiny ekvipotencil

Pklad 2:

Jak je intenzita elektrickho pole mezi dvma kovovmi deskami, jejich vzjemn

vzdlenost je 3 mm, je-li mezi nimi napt 24 V?

een:

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

3.3 Coulombv zkon

Dva elektrick nboje na sebe silov vzjemn psob. Menm bylo zjitno, e sla, kterou

se nboje pitahuj (kladn a zporn), ppadn odpuzuj (kladn a kladn nebo zporn a

zporn), je pmo mrn souinu jejich velikosti a nepmo mrn druh mocnin jejich

vzdlenosti.

Obr. 8 - Coulombv zkon

Plat tedy:

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta m hodnotu

4

1konst

18

kde se nazv permitivita danho prosted. Pokud se nboje nachzej ve vakuu, tato

hodnota se oznauje 0 permitivita vakua. Jej hodnota je 0 = 8,85410-12

(CV-1m

-1).

V jakmkoliv jinm nevodivm prosted plat

0 r

kde r je pomrn permitivita danho prosted; r je vdy vt ne 1, pro vzduch je piblin

rovna 1.

Pomrn permitivita dielektrik se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se

v tabulkch.

Tedy sla, j na sebe navzjem psob dva elektrick nboje v obecnm nevodivm prosted

je

2

21

04

1

r

QQF

r

Coulombv zkon

Pklad 3:

Jak velkou silou na sebe vzjemn psob dva elektrony ve vakuu, je-li jejich vzdlenost

1 mm?

een:

)(103,2)101(

10602,110602,1

10854,84

1

4

1 2223

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

3.4 Nehomogenn elektrostatick pole

Nehomogenn elektrostatick pole se vyskytuje nap. v okol osamocenho elektrickho

nboje. Silov inky tohoto pole budou tm vt, m je vt dan elektrick nboj a tm

vt, m bude zkouman bod elektrostatickho pole bl k nboji, kter ho vyvolal.

Ekvipotencilami budou soustedn kulov plochy se stedem v mst elektrickho nboje.

Vliv silovho psoben nboje se tedy rovnomrn rozlo po kulov ploe dan

ekvipotencily.

Obr. 9 - Ekvipotencily v okol nabit kulov stice a intenzita el. pole. Velikost intenzity

v bod A a B je tat EA = EB, smr je vdy do stedu kulov plochy

19

Vme, e intenzita elektrickho pole Q

FE a plat Coulombv zkon

2

21

04

1

r

QQF

r

, 1QQ a CQ 12 .

Intenzita elektrostatickho pole E v bodu A ve vzdlenosti r od stedu koule tedy bude:

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledujc vliv okolnho nevodivho prosted.

Na jedn ekvipotencile bude stejn velikost intenzity elektrostatickho pole E, jej smr vak

bude v kadm bodu do stedu koule.

Vyskytuje-li se v prostoru vce nboj, vsledn intenzita pole bude dna vektorovm

soutem intenzit pol vyvolanch dlmi nboji.

Obr. 10 - Vsledn intenzita elektrickho pole

3.5 Elektrick indukce

Pi piblen tlesa 1, kter je nabito zpornm nbojem, k vodivmu tlesu 2 v neutrlnm

stavu se poru jeho elektrick rovnovha viz obr. Elektrony v tlese 2 se odpuzuj a st

tlesa pivrcen k tlesu 1 je tud nabit kladn. Po oddlen tlesa 1 od tlesa 2 se

elektrick rovnovha tlesa 2 obnov.

Obr. 11 - Elektrick indukce

20

Pokud bychom tleso 1 neoddlili od tlesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tlesa 2 do

zem, zstane tleso 2 nabito kladnm elektrickm nbojem.

Tento jev se nazv elektrick indukce.

Mezi dvma vodivmi deskami A a B o ploe S1 nabitmi nbojem +Q1 a -Q1 je homogenn

pole. Vlome-li do prostoru pole dv navzjem pilhajc vodiv destiky o ploe S2 podle

obr. 12 a) a uvnit pole je oddlme viz obr. 12 b) a pot je z prostoru pole vyjmeme, na

destikch bude indukovan elektrick nboj; jeho velikost bude Q2, kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr. 12 - Elektrick indukce indukovan nboj

Pro podl nboje a plochy zavdme veliinu D - elektrick indukce:

S

QD ),;( 22 mCmC

Pklad 4:

Jak je hodnota el. indukce ve vzdlenosti 2 mm od stedu mal vodiv kuliky nabit el.

nbojem 310-12

C?

een:

)(105,974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickho pole E a elektrickou indukc D

Elektrick indukce je veliina zvisejc na velikosti elektrickho nboje a na ploe;

neovlivuje ji druh nevodivho prosted. Na rozdl od elektrick indukce je velikost intenzity

elektrickho pole zvisl na prosted dielektriku. Jejich vzjemn vztah je pmo mrn

m je vt intenzita elektrickho pole, tm je vt elektrick indukce.

Napklad pro kulov nboj plat:

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickm poli), 0 r .

ED r 0

3.6 Elektrick vlastnosti izolant

3.6.1 Polarizace dielektrika

Mohou-li se voln elektricky nabit stice v materilu pohybovat, neme uvnit vodie

vzniknout samostatn elektrick pole. Psobenm vnjho elektrickho pole protk vodiem

elektrick proud.

U nevodi izolant jsou nabit stice ve struktue materilu pevn vzny a nemohou se

vlivem elektrickho pole pohybovat proud neprotk. Izolant umstn v elektrickm poli se

nazv dielektrikum (nap. slda, sklo, papr).

Pokud je atom dielektrika umstn mimo elektrick pole, jsou nboje jednotlivch elektricky

nabitch stic uspodny symetricky. Vlivem vnjho elektrickho pole dochz k posunu

stic v atomech vznikaj tzv. diply.

9 a) 9 b)

Obr. 13 - Atom vodku a) v neutrlnm stavu b) polarizovan (dipl)

Atomy nebo molekuly, ze kterch se izolant skld, se vlivem vnjho elektrickho pole

polarizuj. Tm se v materilu vytvo vnitn elektrick pole psobc proti pvodnmu

vnjmu elektrickmu poli, kter polarizaci dielektrika zpsobilo. Tm je celkov elektrick

pole (dan soutem vnjho pole a vnitnho pole polarizovanho dielektrika) men ne

pvodn pole. To je tak dvodem, pro r je vdy vt ne 1 (r =1 pouze pro vakuum).

9 a) 9 b)

Obr. 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitn elektrick pole dielektrika b)

22

3.6.2 Elektrick pevnost dielektrika

Jak ji bylo uvedeno, nabit stice izolantu jsou ve struktue materilu pevn vzny a

nemohou se vlivem elektrickho pole pohybovat proud neprotk. Ale pekro-li intenzita

elektrickho pole uritou hodnotu, sla elektrick pole psobc na nabit stice v materilu

je vt ne sla vazby v atomu a pak dojde k poruen vazby a dochz k tzv. prrazu izolantu

- proud zane izolantem protkat.

Hodnota takov intenzity se nazv elektrick pevnost dielektrika. Elektrick pevnost izolant

se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se v tabulkch.

Tabulka elektrickch vlastnost nkterch izolant

Materil r Ep (kV/mm)

vzduch 1,0006 2 a 3

minerln olej 2,2 a 2,4 20 a 30

parafn 1,9 a 2,2 20 a 30

kondenztorov papr 2 a 5 30 a 58

kabelov papr 2,5 a 4 7 a 10

polyelyln 2,2 a 2,3 45 a 60

slda 6 a 7 40 a 80

sklo 3,5 a 4 20 a 50

porceln 5,5 a 6,5 20 a 45

3.7 Kondenztor

Kondenztor je pasivn elektronick soustka slouc k nahromadn a uchovn

elektrickho nboje; je tvoen dvma vodivmi deskami (elektrodami), mezi nimi je

dielektrikum.

Pokud na desky pipojme elektrick napt, na deskch se nahromad elektrick nboje

opanch polarit.

Obr. 15 - Kondenztor

Mezi dvma vodivmi deskami vzjemn oddlenmi dielektrikem vznikne po pipojen

napt U homogenn elektrostatick pole. Na deskch kondenztoru se nahromad elektrick

nboj + Q a -Q. Tento nboj je tm vt, m je vt pipojen napt.

Plat tedy:

UkonstQ

23

Konstanta plat pro dan kondenztor, nazv se kapacita kondenztoru a oznauje se C.

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F). U

QC a tedy rozmr jednotky farad je (

V

C

U

QF ).

Jednotka farad (F) je velk, bn se kapacita kondenztor m v F, nF a pF.

Schematick znaka kondenztoru je

Obr. 16 Znaka kondenztoru

Velikost kapacity C je zvisl na ploe desek S, jejich vzdlenosti l a materilu dielektrika.

Vme, e plat

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazenm zskme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenztoru C je pmo mrn velikosti desek na nepmo mrn jejich

vzdlenosti. Kapacita se zv i pouitm vhodnho dielektrika o velk relativn permitivit r.

Pklad 5:

Jak je velikost nboje na deskovm kondenztoru ve svitkovm uspodn, je-li rozmr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je pouit kondenztorov papr o tlouce 0,1 mm

a r = 4. Napt pipojen ke kondenztoru je 24 V.

een:

UCQ

l

SC r 0 kde

322 1041020102 S (m2)

)(417,1)(01417,1

)(101417160108,854101,0

1044108,854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

3.8 Spojovn kondenztor

Kondenztory je mono spojovat paraleln (vedle sebe) nebo sriov (za sebou).

24

3.8.1 Paraleln spojovn kondenztor

Schma paralelnho spojen t kondenztor je na obr. 17 a).

Chceme-li urit vslednou kapacitu danho zapojen, nahradme spojen vech 3

kondenztor jedinm kondenztorem viz obr 17 b), jeho psoben bude stejn jako

psoben vech t propojench kondenztor, to znamen, e pipojme-li k nhradnmu

kondenztoru stejn napt, mus se na nm objevit stejn nboj jako na pvodnm zapojen.

1a) 1b)

Obr. 17 - Paraleln spojen kondenztor

Z obr. 1a) je patrn, e napt na vech kondenztorech je toton a je rovno U.

Celkov nboj na paralelnm spojen kondenztor podle obr. 1a) je

321 QQQQ

Nboje na jednotlivch kondenztorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazen

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro nhradn kondenztor - viz 1b) plat:

CUQ

Protoe se pi nhrad mus pi stejnm napt na nhradnm kondenztoru nahromadit stejn

nboj jako v pvodnm obvodu, mus bt

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Pi paralelnm zapojen kondenztor se vsledn kapacita zapojen rovn soutu kapacit

jednotlivch kondenztor.

Tato nhrada plat pro libovoln poet sriov spojench kondenztor.

3.8.2 Sriov spojovn kondenztor

Schma sriovho spojen t kondenztor je na obr. 18 a).

Chceme-li urit vslednou kapacitu danho zapojen, nahradme spojen vech 3

kondenztor jedinm kondenztorem viz obr. 18 b), jeho psoben bude stejn jako

psoben vech t propojench kondenztor, to znamen, e pipojme-li k nhradnmu

kondenztoru stejn napt, mus se na nm objevit stejn nboj jako na pvodnm zapojen.

25

1a) 1b)

Obr. 18 - Sriov spojen kondenztor

Z obr. 18 a) je patrn, e se nboje mezi vnitrnmi deskami jednotlivch kondenztor, kter

jsou spojeny vodiem, vyrovnvaj. Nboje na jednotlivch kondenztorech jsou tedy

vechny stejn a i vsledn nboj je stejn jako nboje na jednotlivch kondenztorech:

QQQQ 321

Celkov napt je dno soutem napt na jednotlivch kondenztorech:

321 UUUU

Napt na jednotlivch kondenztorech jsou:

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazenm zskme vraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro nhradn kondenztor viz 18 b) plat:

C

QU

Protoe se pi nhrad mus pi stejnm napt na nhradnm kondenztoru nahromadit stejn

nboj jako v pvodnm obvodu, mus bt

321

1111

CCCC

Pi sriovm zapojen kondenztor se pevrcen hodnota vsledn kapacity zapojen rovn

soutu pevrcench hodnot kapacit jednotlivch kondenztor.

Tato nhrada plat pro libovoln poet paraleln spojench kondenztor.

Pklad 6:

Mme 4 kondenztory o stejnch kapacitch C = 1 F. Tyto kondenztory jsou spojeny do

srie. Urete vslednou kapacitu tohoto zapojen.

26

een:

CCCCCCvsl

411111 25,0

4

1

4

CCvsl F

Obecn plat, e spojme-li n kondenztor o stejnch kapacitch C, vsledn

kapacita takovho spojen je C/n.

Pklad 7:

Jak je celkov kapacita a celkov el. nboj v obvodu podle obr. 19, je-li napt 24 V a

kapacity jednotlivch kondenztor jsou C1 = 1 F, C2 = 0,5 F, C3 = 1,2 F a C4 = C5=

200 nF?

Obr. 19 - Srioparaleln zapojen kondenztor

een:

Kondenztory C4 a C5 jsou zapojeny do srie; nahradme je kondenztorem

C4,5:

545,4

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

545,4

CC

CCC (nF) = 0,1F

Tm jsme zskali nhradn zapojen dle obr. 20

Obr. 20 - Nhradn zapojen kondenztor

Nyn jsou vechny kondenztory zapojeny paraleln, je tedy mono spotat

vslednou kapacitu C:

8,21,02,15,015,4321 CCCCC F

Vsledn elektrick nboj

66 102,6724108,2 UCQ C

27

Pklad 8:

Pro sprvnou funkci elektrickho obvodu je potebn kapacita CV = 2,5 F. K dispozici mme

libovoln poet kondenztor o kapacit C = 1 F. Navrhnte zapojen kondenztor tak, aby

byl splnn dan poadavek.

een:

Vme, e kapacity paraleln spojench kondenztor se staj a dle vme, e

spojme-li n kondenztor o stejnch kapacitch C, vsledn kapacita

takovho spojen je C/n; 2,5 lze pst jako 1 + 1 + 0,5 a z toho plyne, e

potebn zapojen je srioparaleln podle obr. 21:

Obr. 21 - Srioparaleln zapojen kondenztor

Pklad 9:

Kondenztor s kapacitou C1 = 4 F je nabit na napt 24 V. K nmu paraleln pipojme

kondenztor o kapacit C = 2 F nabit na napt 12 V. Jak je vsledn napt na

propojench kondenztorech?

een:

Nboj na prvnm kondenztoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Nboj na druhm kondenztoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Pi paralelnm spojen se nboje staj, tedy celkov nboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vsledn kapacita tohoto zapojen je

62421 CCC (F)

Napt na spojench kondenztorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

3.9 Pechodov jev na kondenztoru

V nsledujc kapitole plat, e veliiny, kter jsou oznaeny malmi psmeny, jsou okamit

hodnoty veliiny, tj. veliiny v konkrtnm okamiku danho fyziklnho dje. Na rozdl od

okamitch hodnot se ustlen hodnoty veliiny, kter jsou s asem konstantn, zna velkmi

psmeny.

V ustlenm stavu je kondenztor o kapacit C, kter je pipojen k elektrickmu napt U,

nabit nbojem Q = CU a napt na nm se rovn pipojenmu napt. Kondenztor potebuje

uritou dobu t prchodu proudu, aby se na jeho deskch nahromadil el. nboj: dtiQt

0

.

V okamiku pipojen kondenztoru ke zdroji stejnosmrnho napt nastv tzv. pechodov

dj na kondenztoru:

Obr. 22 - Pechodov jev na kondenztoru

V obvodu plat v kadm okamiku 2. Kirchhoffv zkon: U0 = uR + uC

Pi pipojen zdroje napt k obvodu s kondenztorem v ase t0 = 0 (tj. pi sepnut spnae S) nen na kondenztoru dn nboj, tedy ani dn napt.

t0 = 0: uC = 0 uR = U0 uc = U0 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu ase t0 je omezen jen odporem R. Proud je v okamiku pipojen napt maximln; jak s postupem asu roste napt na kondenztoru, proud kles a rychlost nabjen

se zpomaluje.

Proud nabj kondenztor a do okamiku, kdy Uc je rovno napt zdroje. Tehdy proud

pestv protkat a nastv ustlen stav.

V ustlenm stavu t (to je po dostaten dob po sepnut spnae S - pechodov dje v elektrotechnice jsou velmi rychl, as, v nm obvod doshne ustlenho stavu je

maximln v du sekund), se veliiny v obvodu ji nemn, jsou konstantn. Plat:

t0 : i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Prbh proudu a napt je na obr. 23.

29

Obr. 23 - Prbh proudu a napt pi pechodovm dji na kondenztoru

Nrst napt uC se postupn zpomaluje, proud kles, kles i napt na odporu uR. Prbh je dn st exponenciln kivky, tena v jejm potku vytne na ose asu hodnotu tzv. asov

konstanty .

t

c eUu 10

kde

CR

3.10 Energie elektrostatickho pole

Nabijeme-li na kondenztor nbojem Q, bude na nm napt U

C

QU

Pokud na tento kondenztor chceme pivst dal mal nboj dQ, musme vynaloit prci dA.

Plat Q

AU A = U Q, tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkov energie, kter je potebn k nabit kondenztoru na nboj Q, je dna soutem vech

dlch prac dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vpoet se provd pomoc integrlnho potu a vsledek je

C

QWC

2

2

Protoe Q = C U, je energie elektrostatickho pole kondenztoru

2

2

1UCWC nebo tak UQWC

2

1

Nabit kondenztor je zdrojem elektrick energie. Spojme-li elektrody nabitho

kondenztoru pes rezistor s odporem R, zane rezistorem protkat elektrick proud, kter se

na rezistoru mn v tepelnou energii; tedy energie elektrostatickho pole se mn v tepelnou

energii a kondenztor se vybj viz obr. 24.

30

Obr. 24 - Vybjen kondenztoru

Z pedchozch kapitol vme, e Q = DS, D = E a U = El. Po dosazen tchto vztah plat

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vrazu je patrn, e energie nabitho kondenztoru je mrn ploe desek S a jejich

vzdlenosti l, tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenztoru. Energie nahromadn v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww CC

2

1

2

12

1

2

2

Protoe D a E jsou veliiny, kter se vztahuj ke konkrtnmu mstu elektrostatickho pole,

plat tento vztah pro libovoln tvar pole.

Pklad 10:

Vzduchov kondenztor m plochu desek 20 cm2, jejich vzdlenost je 1 mm a napt na

kondenztoru je 12 V. Po odpojen kondenztoru od zdroje posuneme desky do vzjemn

vzdlenosti 1,5 mm. Urete, jak se zmn napt mezi deskami kondenztoru.

een:

Kapacita kondenztoru ve vchozm stavu

12-12-

3

412-

1

01 1017,7082108,854101

10201108,854

l

SC r F

Nboj na kondenztoru

-12-12

11 10212,4961017,70812 CUQ C

Kapacita kondenztoru po posunut desek

12-12-

3

412-

2

02 1011,805331,333108,854105,1

10201108,854

l

SC r F

Napt po posunut desek

181011,80533

10212,49612-

-12

C

QU V

31

Pklad 11:

Jak velkou energii zskme pi plnm vybit kondenztoru o kapacit 5 mF, je-li nabit na

napt 230 V?

een:

132250,01013225052900105,22301052

1

2

1 66262 UCWC J

3.11 Sloen dielektrika

Sloen dielektrika je mon uspodat bu vedle sebe, nebo za sebou.

3.11.1 Dielektrika vedle sebe

Mjme dv deskov elektrody oddlen dvma dielektriky s relativnmi permitivitami r1 a r2

podle obr. 25

Obr. 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikch je stejn intenzita elektrickho pole

l

UEEE 21

Elektrick indukce bude v kadm dielektriku jin, a to

ED r 011 a ED r 022

Nboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkov nboj na deskch bude

21 QQQ

Dosadme za Q1 a Q2:

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vsledku je patrn, e toto uspodn dielektrik se chov jako dva kondenztory o

kapacitch 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojen paraleln.

Pozor: elektrick pevnost uspodn dielektrik vedle sebe m elektrickou pevnost danou

dielektrikem s men elektrickou pevnost.

3.11.2 Dielektrika za sebou

Mjme dv deskov elektrody oddlen dvma dielektriky s relativnmi permitivitami r1 a r2

podle obr. 26 tzv. vrstven dielektrikum.

Obr. 26 - Dielektrika za sebou

Nboj i plocha jsou pro ob dielektrika stejn, to znamen, e elektrick indukce v obou

materilech je stejn

S

QDDD 21

Intenzita elektrickho pole je pro prvn dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druh

20

2

r

DE

.

Celkov napt mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 220

222 lD

lEUr

Pak po dosazen

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protoe plat l

SC r 10 , je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protoe C

QU1 , pak

pevrcen hodnota kapacity vrstvenho dielektrika je rovna soutu pevrcench hodnot

kapacit dlch dielektrik:

21

111

CCC

Vrstven dielektrikum se chov jako dva paraleln spojen kondenztory.

Intenzita elektrickho pole v obou dielektrikch je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Pomr intenzit elektrickho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickho pole jsou tedy v opanm pomru ne relativn permitivity jednotlivch

dlch dielektrik.

Lze tedy pst 21

21 EE

r

r

a dosazenm zskme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor: elektrick pevnost kadho jednotlivho dielektrika mus bt vt ne vypoten

intenzita tohoto dielektrika Ep > E.

Pklad 12:

Mezi dvma kovovmi deskami je napt 600 V. Desky jsou navzjem izolovny paprem

tlouky 0,2 mm a sldou tlouky 0,3 mm. Vypotejte elektrick namhn jednotlivch

dielektrik a zkontrolujte, zda jejich elektrick pevnost vyhovuje pro dan napt.

Materil r Ep (kV/mm)

1 kondenztorov papr 4 40

2 slda 7 60

34

een:

Intenzita elektrickho pole ve sld je

923,07692,14,1

2400

3,042,07

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

V/mm

1615,385923,07694

72

1

21 EE

r

r

V/m

Ob hodnoty jsou men ne je Ep propslun materil, elektrick pevnost

vyhovuje.

3.12 Kondenztory s nehomogennm elektrickm polem

Pro vpoet nehomogennch pol je nutn znalost vy matematiky, kter nen obsahem uiva

stednch kol; berte tedy nkter dle uveden vztahy jako platn fakta.

3.12.1 Dv soustedn kulov plochy

Mezi dvma soustednmi kulovmi plochami je radiln elektrostatick pole.

Obr. 27 - Elektrostatick pole dvou soustednch kulovch ploch

Elektrick indukce ve vzdlenosti r od stedu kulovch ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickho pole na tomto polomru je

24 r

QDE

Na celm povrchu mylen koule o polomru r se stedem ve stedu kulovch ploch je stejn

velikost vektoru D i E; smr vektor je vdy radiln.

Napt mezi dvma body se vzjemnou vzdlenost dr podle obr. 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v danm mst.

Celkov napt mezi kulovmi plochami je dno soutem vech dlch napt dU mezi

kulovmi plochami (vypot se pomoc integrlnho potu):

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr. 28 - Prbh napt v dielektriku v prostoru mezi kulovmi plochami

Kapacita dvou soustednch kulovch ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3.12.2 Osamocen koule

Pro osamocenou kouli uvaujeme vnj polomr r2 .

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrick indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazen za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrick namhn je tm vt, m je men polomr zaoblen elektrody; u elektrod o velmi

malm polomru nebo u zapiatlch elektrod je velk riziko pekroen dovolen elektrick

pevnosti izolantu.

36

3.12.3 Dv soustedn vlcov plochy

Mezi dvma soustednmi vlcovmi plochami je radiln elektrostatick pole.

Obr. 29 - Elektrostatick pole dvou soustednch vlcovch ploch

Elektrick indukce ve vzdlenosti r od osy vlcovch ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickho pole na tomto polomru je

lr

QDE

2

Na celm povrchu mylenho vlce o polomru r s osou v ose vlcovch ploch je stejn

velikost vektoru D i E; smr vektor je vdy radiln.

Napt mezi dvma body se vzjemnou vzdlenost dr podle obr. 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v danm mst.

Celkov napt mezi vlcovmi plochami je dno soutem vech dlch napt dU mezi

vlcovmi plochami (vypot se pomoc integrlnho potu):

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustednch vlcovch ploch je

1

2

0

1

2

0

log3,2

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Pklad 13:

Jak je kapacita jednoho metru koaxilnho kabelu? Vodi m prmr 1 mm, izolac je

kabelov papr a pl kabelu m prmr 5 mm. (r = 3)

37

een:

12-12--12

1

2

0 10103,8136105log3,2

166,894

5,0

5,2log3,2

13108,8542

log3,2

2

r

r

lC r F

C = 103,8 pF

3.13 Elektrostatick jevy v praxi

V praxi se vyskytuj objekty, kter maj znaky kondenztor, to znamen dv elektrody

oddlen dielektrikem. Jednou elektrodou me bt napklad kovov st technologickho

zazen, kter nen uzemnn, druhou elektrodou je zem.

Tyto provozn kondenztory se nabjej; nboj na nich vznik zpravidla tenm. Pokud nboj

doshne urit hodnoty, me dojt k proraen dielektrika a pesko elektrick vboj,

kterm se elektrick nboj vybije. Takov situace nastane napklad v okamiku, kdy se osoba

obleen v odvu z umlch vlken po del dob pohybu pibl rukou ke kovovmu

uzemnnmu pedmtu, napklad vodovodn baterii. Pi piblen se zkrt vzdlenost

natolik, e intenzita elektrickho pole pekro elektrickou pevnost vzduchu a dojde k prrazu

izolantu pesko jiskra. Tm se nahromadn nboj vybije.

Tato situace samozejm nen nebezpen. Ale jsou ppady, kdy nahromadn elektrick

nboj me zpsobovat vn problmy. Pokud pesko jiskra v prostorch s tkavmi nebo

vbunmi ltkami, me dojt k vbuchu a dsledky mohou bt fatln. Mimo to zpsobuje

elektrostatick pole pitahovn, ppadn odpuzovn lehkch objekt (napklad papr,

vlkna,) a tm komplikuje vrobn procesy. Dalmi nedoucmi dsledky psoben

nahromadnho elektrickho nboje jsou napklad ruen radiosignl, ruen elektronickch

men nebo chemick rozruovn nkterch materil.

Omezovn nedoucch ink statickch nboj

Nedouc elektrick nboj je nutno co nejrychleji odvst do zem. To se realizuje

uzemnnm vech vodivch st technologickho zazen. Vodiv sti se pospojuj a

uzemn sta i velmi tenk uzemovac vodi.

Pro omezen velikosti vzniklho nboje se tak vyuv polovodivch podlah, je-li to mon,

omezuj se rychlosti pohybu dopravnkovch ps, kter jsou zdrojem ten a vzniku nboje,

zvyuje se vodivost okolnho vzduchu zvtenm vlhkosti nebo ultrafialovm zenm.

Vyuit elektrostatickho nboje

ink elektrostatickho pole se vyuv napklad k itn plyn od drobnch

mechanickch neistot, kdy pevn nabit steky jsou pitahovny k opan nabit

elektrod, na n se hromad. Na tomto principu pracuj napklad odpoplkovac filtry.

Na podobnm principu se provd spornj nanen lak na pedmty v lakovnch: stkan

objekt je nabit opanm nbojem ne ndoba s nanenou barvou. Barva je pak pitahovna

k objektu a rozptyl pi stkn se omez.

38

4 Stejnosmrn proud

Pipojme-li vodi ke zdroji elektrick energie, na jeho svorkch je elektrick napt U, zane

vodiem protkat elektrick proud I.

Smr proudu je dohodou stanoven od + k -.

Elektrick zdroj zajiuje napt na svch svorkch tak, e udruje trval pebytek zpornho

nboje elektron na svm zpornm plu a na kladnm plu jeho nedostatek (napklad

akumultor, dynamo, solrn lnek).

Obr. 30 Vodi pipojen ke zdroji o napt U

Elektrick proud je pohyb elektrickho nboje ve vodii a je definovn jako mnostv

elektrickho nboje, kter projde prezem vodie za jednotku asu:

t

QI ),;( sCA

Jednotkou elektrickho proudu je ampr (A).

Jednotkou elektrickho napt je 1 volt (V). S jeho definic jsme se seznmili ji pi vkladu

elektrostatickho pole. Lze tak ct, e napt o velikosti 1 volt je takov napt, kter vykon

ve vodii prci 1joule, projde-li vodiem mnostv elektrickho nboje 1 coulomb.

Pokud vodiem protk elektrick proud, vodi se zahv a v jeho okol vznik

elektromagnetick pole, kter se projevuje magnetickmi inky v okol vodie.

4.1 Proudov hustota

Vlivem prchodu elektrickho proudu se vodi zahv. Teplo, kter se ve vodii vyvine, se

nazv Lenc-Jouleovo teplo. Jeho st se odvede povrchem vodie do okolnho prostoru.

Aby se vodi pli nezahval, je nutn zajistit dostaten odvod tepla do okolnho prosted.

Odvod tepla bude tm vt, m vt bude povrch vodie, tedy oteplen bude tm ni, m

bude prez vodie vt.

V praxi se udv pro rzn typy vodi a jejich izolac tzv. proudov hustota, co je povolen

proud na 1 mm2 prezu vodie pro dan typ vodie. Takov zaten nedovol vodii oht se

na vt teplotu ne jak je povolena pro dan typ izolace a pro bezpenost provozu.

Proudov hustota se zna J a je dna podlem proudu a plochy prezu vodie

S

IJ ),;( 22 mAmA

V technick praxi se pro bn typy vodi pouv jednotka A/mm2.

39

4.2 Intenzita proudovho pole

Intenzita proudovho pole E je pomr napt na vodii k dlce l, na kter je napt meno.

l

UE ),;( 1 mAmV

4.3 Elektrick odpor vodi a Ohmv zkon

Elektrick proud v pevnm vodii je usmrnn pohyb volnch elektron. Proud bude tm

vt, m bude vt urychlovn elektron, tedy sla psobc na elektrony, a tato sla je

pmo mrn pipojenmu napt.

Elektrony ve svm pohybu narej na iontovou mku materilu vodie a na rzn neistoty

obsaen v materilu. Tm se jejich pohyb brzd a tud mus bt znovu urychlovny. kme,

e vodi klade elektrickmu proudu odpor.

Odpor vodie je zvisl na materilu, ze kterho je vodi vyroben, a na rozmrech vodie.

Pipojme-li k vodii elektrick napt, jeho velikost mnme, a mme velikost proudu,

zjistme, e proud je pmo mrn velikosti pipojenho napt.

Obr. 31 - Pm mrnost proudu a napt

Pozn.: Proud se m amprmetrem. Amprmetr se zapojuje vdy do srie se spotebiem,

jeho proud mme pak proud spotebiem je stejn jako proud amprmetru. Napt

mme voltmetrem, kter se zapojuje paraleln se spotebiem, na kterm mme

napt pak napt na spotebii je stejn jako napt na voltmetru.

Vztah pro pmou mrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu oznaujeme G vodivost, tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens oznaen S - (S;A,V-1

)

astji ne vodivost G se pouv veliina elektrick odpor R. Je to pevrcen hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm oznaen - (;V,A

-1)

Pak lze pst

R

UI

m je vt napt U, tm je vt proud I a m je vt odpor R, tm je men proud I.

Tento vztah se nazv Ohmv zkon.

Rezistory

Rezistory jsou pasivn elektrotechnick soustky, jejich zkladn vlastnost je elektrick

odpor R.

Obr. 32 Schematick znaka rezistoru

Pklad 14:

Urete odpor rovky, odebr-li ze st o napt 230 V proud 0,5 A.

een:

4605,0

230

I

UR ()

4.3.1 Velikost elektrickho odporu

Jak ji bylo uvedeno, odpor vodie je zvisl na rozmrech vodie a na materilu, ze kterho

je vodi vyroben.

Vzhledem k tomu, e elektrony ve svm pohybu narej na iontovou mku materilu

vodie a na rzn pmsi a neistoty, je patrn, e m bude dlka vodie vt, tm bude vt

i poet koliz elektron s pekkami a tm bude vt odpor vodie.

Naopak m bude prez vodie vt, tm vt bude poet volnch elektron na prezu

vodie a tm bude odpor men.

Poet volnch elektron a struktura mky jsou specifick pro rzn materily.

Odpor vodie tedy lze vyjdit vztahem

S

lR ),;( 2mm nebo ),10;( 26 mmm

kde l je dlka vodie

S je prez vodie

je konstanta platn pro konkrtn materil vodie a nazv se rezistivita materilu. Je to odpor vodie z tohoto materilu o dlce 1 m a prezu 1 mm

2 pi teplot 20

oC.

41

Rezistivita se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se v tabulkch.

Rezistivita nkterch materil

Materil mm2m

-1

M 0,0178

Hlink 0,0285

Stbro 0,0163

Ocel 0,13

Konstantan 0,5

Chromnikl 1,1

Cekas 1,1

Soustky, jejich charakteristickou veliinou je elektrick odpor, nazvme rezistory.

Materily m, hlink a stbro jsou vborn vodie, Cu a Al jsou nejpouvanj materily

pro vrobu vodi.

Materily konstantan, chromnikl a cekas jsou odporov materily pouvan pro vrobu

rezistor.

Pklad 15:

Urete odpor mdnho vodie o kruhovm prezu s prmrem 1 mm a dlce 150 m.

een:

S

lR () kde 0,785)5,0(

22 rS mm2

4,30,785

1500,0178

S

lR ()

Pklad 16:

Urete dlku mdnho vodie o kruhovm prezu s prmrem 2 mm, je-li jeho odpor 3 .

een:

S

lR () z toho plyne

SRl

14,3)1( 22 rS mm2

5290178,0

14,33

SRl (m)

4.3.2 Zvislost elektrickho odporu na teplot

S rostouc teplotou se zvtuje kmitn pevn iontov mky kovovho materilu. Voln

elektrony realizujc elektrick proud jsou tm vystaveny vt pravdpodobnosti srky

s mkou, m se jejich tok zpomal odpor vodie vzroste.

42

Odpor vodie tedy se vzrstajc teplotou roste, a to linern v irokm psmu teplot. Pi

zaht vodie o 1o

C se odpor vodie o velikosti 1 zmn prv o hodnotu ; konstanta se

nazv teplotn souinitel odporu a je dna druhem materilu vodie a uvd se v tabulkch -

(1/oK).

Pokud se teplota vodie zv z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 , bude prstek

odporu R = R2 - R1 mt velikost

1RR

Odpor vodie po zaht tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotn souinitel odporu se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se

v tabulkch.

Teplotn souinitel odporu pro nkter materily

Materil Teplotn souinitel odporu

(K-1

)

M 0,0042

Hlink 0,004

Stbro 0,004

Ocel 0,006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2,510-4

Cekas 710-5

Pklad 17:

Mdn vodi o teplot 20o

C je pipojen na napt 24 V a protk jm proud 20 A.

Urete odpor tohoto vodie pi provozn teplot 60o C.

een:

Pi teplot 20o C m vodi odpor R1

2,120

241

I

UR ()

Prstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor pi teplot 60o C

)(4016,1)400042.01(2,1)1(12 RR

43

Pklad 18:

Teplota venkovnho mdnho veden se v prbhu roku mn v rozsahu od -25o

C do +40o C.

Kolikrt bude odpor pi maximln teplot vt ne odpor pi minimln teplot?

een:

Teplotn rozdl: )(65)25(4012 Co

Odpor pi -25o

C: R1

Odpor pi -25o

C: 1112 273,1)650042.01()1( RRRR

Odpor bude prv 1,273 x vt.

4.4 Prce a vkon stejnosmrnho elektrickho proudu

Protoe napt je vlastn prce pi prchodu elektrickho nboje 1 coulomb prezem vodie,

je tedy prce vykonan prchodem elektrickho nboje Q

UQA (J; V, C)

Protoe proud je t

QI , lze dosadit

tIUUQA (J; V, A, s)

Elektrick prce, kterou vykon stejnosmrn proud pi svm prtoku mezi dvma msty

elektrickho obvodu, je tedy dna souinem napt mezi tmito msty s protkajcm proudem

a s asem, po kter tento proud protk.

Protoe plat Ohmv zkon R

UI a zrove tIUA , dostaneme dosazenm vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato prce se ve vodii mn v tepelnou energii teplo - W = A.

V praxi bylo zjitno, e prochz-li vodiem elektrick proud, vodi se ohv. Elektrick

prce potebn k prchodu stejnosmrnho elektrickho proudu vodiem se vechna mn

v teplo (tento fakt experimentln ovili fyzikov Lenc a Joule).

Teplo vznikl prtokem elektrickho proudu vodiem se nazv Joule-Lencovo teplo.

Prce vykonan za jednotku asu je tzv. vkon P:

IUt

tIU

t

AP

(W; V, A)

Jednotkou vkonu je watt oznaen W (W=Js-1

)

Dosazenm Ohmova zkona zskme vrazy pro vkon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Pklad 19:

Topn rezistor o odporu R = 50 je pipojen na napjec napt 230 V po dobu 20 minut.

Jak je vkon a jak je energie odebran ze st bhem zapnut topnho tlesa?

een:

Odebran proud )(6,450

230A

R

UI

Vkon )(10586,4230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut, to je 20 60 = 1200 s

Odebran energie 1,269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (prce) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi mal. Proto se bn

pouv pro men elektrick prce jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =3,6 106 J).

Pokud je njak elektrick spotebi pipojen ke zdroji elektrickho napt, nen veker

energie W1 odebran ze st pemnna na prci odvedenou spotebiem W2, existuj vdy

ztrty, napklad zahvn pvodnch vodi st energie se mn v teplo. Rozdl mezi

vykonanou prac a pivedenou energi nazvme ztrty WZ.

Plat

ZWWW 12

Pomr mezi energi vyuitou a pivedenou oznaujeme jako innost

1

2

W

W a je to vdy slo 1

innost se vtinou vyjaduje v procentech:

1001

2 W

W ),(%; JJ

Protoe pkon je t

WP 11 a vkon je

t

WP 22 , je mon vyjdit innost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W ),(%; WW

45

Pklad 20:

Rychlovarn konvice vykazuje odpor R = 120 a je pipojena na napjec napt 220 V po

dobu 5 minut. Jej innost je 80%. Vypotte velikost tepeln energie pedan vod

v konvici.

een:

Odebran proud )(83,1120

220A

R

UI

Pkon )(3,40383,12201 WIUP

Vkon )(323100

803,403 12 WPP

4.5 Kirchhoffovy zkony

Prvn Kirchhoffv zkon (proudov) a druh Kirchhoffv zkon (napov) jsou zkladem

nutnm pro een elektrickch obvod.

Nerozvtven elektrick obvod

Nerozvtven elektrick obvod je tvoen jedinou smykou - obr. 33 - a lze jej snadno vyeit

pomoc Ohmova zkona.

Je-li dno napt zdroje U a velikost

odporu zte R, pak proud I

I

UR

Obr. 33 - Nerozvtven elektrick obvod

Rozvtven elektrick obvod

Rozvtven elektrick obvod obsahuje nkolik vtv a uzl. Rozvtven elektrick obvod je

na obr. 34.

Obr. 34 - Rozvtven elektrick obvod

46

Msto, kde se vodi rozvtvuje (eventuln spojuje), se nazv uzel. A, B uzly.

Nerozvtven drha mezi dvma sousednmi uzly se nazv vtev obvodu.

Smyka je uzaven drha v obvodu.

Pro een rozvtvench obvod vyuvme krom Ohmova zkona dva Kirchhoffovy

zkony.

4.5.1 Prvn Kirchhoffv zkon

Prvn Kirchhoffv zkon (proudov) je zkon o zachovn elektrickho nboje.

Elektrick proud je dn mnostvm elektrickho nboje, kter prochz vodiem. Nboj se ve

vodii neme hromadit ani ztrcet. Z toho plyne, e pokud se vodi rozvtv, rozdl se i

elektrick proud, a pokud se vodi opt spoj, sete se i proud.

Z toho vyplv, e veker proud, kter do uzlu pitee, mus z nho zase odtct.

54321 IIIII

Obr. 35 - Prvn Kirchhoffv zkon

Pokud pokldm proudy do uzlu pitkajc za kladn a proudy z uzlu odtkajc za zporn,

lze pst

01

n

k

kI

Celkov souet vech proud v jednom uzlu je roven nule.

Pklad 21:

Obr. 36 - Proudy v uzlu

Urete velikost proudu I3 na obr. 36, jsou-li

proudy I1 = 3 A, I2= 5 A a I4 = 6 A.

een:

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

4.5.2 Druh Kirchhoffv zkon

Druh Kirchhoffv zkon (napov) je zkon o zachovn energie. Napt na jednotlivch

prvcch obvodu je prce na penesen nboje z bodu A do bodu B. Pokud je obvod tvoen

uzavenou smykou, vracme se do tho bodu (A) a vsledn prce je nulov.

To znamen, e souet vech napt v uzaven smyce je roven nule.

01

n

k

kU

Znamnka jednotlivch napt:

+ orientace napt souhlas se smrem

orientace smyky

- orientace napt je proti smru

orientace smyky

Tedy U1 + U2 U = 0.

Obr. 37 - Druh Kirchhoffv zkon

Druh Kirchhoffv zkon je mon formulovat i takto: Souet vech napt na jednotlivch

odporech v uzaven smyce je roven soutu napt vech zdroj v tto smyce.

Pklad 22:

Urete proud v obvodu a napt na odporech R1 = 20 a R2 = 30 , jsou-li napt zdroj Ua =

6 V a Ub = 4 V. Obvod je zapojen podle obr. 38.

Obr. 38 - Napt ve smyce

een:

Podle druhho Kirchhoffova zkona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

04,0I A

8,004,02011 IRU V 2,104,03022 IRU V

48

4.6 Spojovn rezistor

Rezistory je mono spojovat do srie nebo paraleln.

4.6.1 Sriov zapojen rezistor

Je znzornno na obr. 39

Obr. 39 - Sriov zapojen rezistor

Na zklad 2. Kirchhoffova zkona v tomto obvodu plat

021 UUU

Dosazenm podle Ohmova zkona zskme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vraz I

Uje velikost odporu, kterm je mono nahradit oba odpory R1 a R2 spojen do srie,

ani by se zmnily proudov a napov pomry v obvodu. Vsledn hodnota odporu je

rovna soutu hodnot jednotlivch odpor zapojench do srie.

21 RRRV

Obr. 40 - Adekvtn nhrada sriov zapojench rezistor

Obdobnm zpsobem lze odvodit vztah pro n sriov zapojench rezistor. Dostaneme vraz

niV RRRRR ......21

Vsledn hodnota odporu n sriov zapojench rezistor je rovna soutu hodnot odpor

jednotlivch rezistor zapojench do srie.

49

4.6.2 Paraleln zapojen rezistor

Je znzornno na obr. 41

Obr. 41 - Paraleln zapojen rezistor

Podle 1. Kirchhoffova zkona v tomto obvodu plat

21 III

Podle 2. Kirchhoffova zkona je na obou rezistorech stejn napt U. Dosazenm podle

Ohmova zkona zskme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne, e pro vsledn odpor paralelnho spojen dvou rezistor RV plat

21

111

RRRV

Pevrcen hodnota vslednho odporu dvou paraleln zapojench rezistor je rovna soutu

pevrcench hodnot odpor jednotlivch rezistor.

Obr. 42 - Adekvtn nhrada sriov zapojench rezistor

Obdobnm zpsobem lze odvodit vztah pro n paraleln zapojench rezistor. Dostaneme

vraz

niV RRRRR

1...

1...

111

21

Pevrcen hodnota vslednho odporu n paraleln zapojench rezistor je rovna soutu

pevrcench hodnot odpor jednotlivch rezistor.

50

Pklad 23:

Urete proud v obvodu a napt na odporech R1 = 100 a R2 = 400 , je-li napt zdroje U =

12 V. Obvod je zapojen podle obr. 43.

Obr. 43 - Elektrick obvod sriov

een:

Vsledn odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebran ze zdroje je AR

UI

V

024,0500

12

Napt na jednotlivch odporech je

4,2024,010011 IRU V 6,9024,040022 IRU V

Pklad 24:

Urete proudy v obvodu a napt na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napt zdroje U = 220 V. Obvod je zapojen podle obr. 44.

Obr. 44 - Elektrick obvod paraleln

een:

Vsledn odpor v obvodu urme ze soutu pevrcench hodnot jednotlivch

odpor

14,577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebran ze zdroje je AR

UI

V

85,314,57

220

Napt na vech jednotlivch odporech je stejn U = 220 V

Proudy v jednotlivch vtvch jsou AR

UI 2,2

100

220

1

1

AR

UI 55,0

400

220

2

2 AR

UI 1,1

200

220

3

3

Pro oven sprvnosti vpotu meme pout 1. Kirchhoffv zkon. Mus platit:

321 IIII

AI 85,3 AIII 85,31,155,02,2321

co potvrzuje sprvnost vpotu.

4.7 een elektrickch obvod stejnosmrnho proudu s jednm zdrojem

4.7.1 Obvody se srioparalelnm zapojenm rezistor

Obvody, ve kterch je vce rezistor, z nich nkter jsou zapojeny do srie a jin paraleln,

eme postupnm zjednoduovnm tak dlouho, a dospjeme k jedinmu vslednmu

odporu to je celkov odpor danho seskupen rezistor. Aplikac Ohmova zkona urme

celkov proud odebran ze zdroje.

Postupnm pevdnm zjednoduenho obvodu na pvodn topografii zapojen rezistor

urme pomoc Ohmova zkona a Kirchhoffovch zkon proudy v jednotlivch vtvch a

napt na jednotlivch prvcch obvodu.

Postup een nejlpe vysvtlme na typickch eench pkladech.

Pklad 25:

Urete proud odebran ze zdroje, napt na jednotlivch rezistorech R1 , R2 a R3 a proudy

ve vtvch pro obvod zapojen podle obrzku 45:

Obr. 45 - Schma zapojen rezistor pro pklad 25

52

een:

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paraleln, take nahradme-li je jedinm

rezistorem R2,3, plat pro jeho odpor

213,2

111

RRR

tedy odpor 32

323,2

RR

RRR

Zskme zjednoduen zapojen

Obr. 46 - Zjednoduen schma

Zde jsou rezistory R1 a R2,3 zapojeny sriov, take jejich vsledn odpor

R1,2,3 = R1 + R2,3

Nhradn obvod pak je

Obr. 47 - Vsledn odpor kombinace rezistor

Proud I1 odebran ze zdroje je 3,2,1

1R

UI

Obvod opt pevedeme na pvodn zapojen a postupn potme napt na

jednotlivch rezistorech a proudy v jednotlivch vtvch obvodu:

Obr. 48 - Pvodn zapojen rezistor pro vpoet jednotlivch napt a proud

Aplikac Ohmova zkona dostaneme IRU 11

53

Aplikac 2. Kirchhoffova zkona dostaneme 1UUUAB

Aplikac Ohmova zkona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn.: Podobn pklady maj vce sprvnch monost een pro jednotliv napt a proudy.

Tento pklad vyeme (se stejnmi sprvnmi vsledky) t tmto postupem:

Zjednoduen obvodu je stejn, i vpoet celkovho proudu I1 a napt U1.

Dal postup me bt nsledujc:

Aplikac Ohmova zkona dostaneme 3,21 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikac 1. Kirchhoffova zkona dostaneme 213 III

Vsledky budou pro oba postupy toton.

Pklad 26:

Vypotte proudy a napt na vech prvcch obvodu zapojenho podle obrzku 49.

Obr. 49 - Schema zapojen pro pklad 26

een:

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paraleln, take nahradme-li je jedinm

rezistorem R45, plat pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Zskme zjednoduen zapojen

Obr. 50 - Schema zapojen pro pklad 26 prvn zjednoduen

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do srie lze tedy urit

R345= R3 + R45

Dostaneme dal zjednoduen schma

Obr. 51 - Schema zapojen pro pklad 26 druh zjednoduen

Rezistory R2 a R345 spojen paraleln nahradme rezistorem R2345, jeho velikost je

dna vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Zskme nhradn obvod

Obr. 52 - Schema zapojen pro pklad 26 tet zjednoduen

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny sriov, vsledn celkov nhradn odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

co je celkov odpor pvodnho zadanho obvodu - Rc.

Celkov proud odebran ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napt U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napt UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypoteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomoc proudu I3 vypoteme napt na rezistoru R3

333 IRU

Nyn vypoteme napt mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napt UBC vypoteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletn vyeen.

Pozn.: Pro kontrolu sprvnosti je mon ovit proudy v uzlech a napt ve

smykch pomoc Kirchhofovch zkon.

56

Obr. 53 - Schema zapojen pro pklad 26 oven sprvnosti vpot

Pro uzel A mus platit podle I. Kirchhofova zkona

0321 III

Pro uzel B mus platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyku x plat podle II. Kirchhofova zkona

021 UUU

Pro smyku y plat

0243 UUU

Splnn tchto podmnek potvrdilo sprvnost vsledk.

4.7.2 Transfigurace

V nkterch obvodech se me vyskytnout takov topografie zapojen, v n rezistory nejsou

zapojeny ani do srie, ani paraleln - viz obr. 54, a tak tyto obvody nelze zjednoduit

postupnm nahrazovnm paralelnch a sriovch sek, jak bylo uvedeno v pedchozch

pkladech.

Obr. 54 - Mstkov zapojen

57

Jedn se vtinou o zapojen rezistor do trojhelnka viz obr. 55 a):

a) b)

Obr. 55 - Zapojen rezistor do trojhelnka a do hvzdy

Zjednoduen obvodu se v takovm ppadu provd pemnou transfigurac trojhelnka

rezistor na hvzdu rezistor viz obr. 55 b) tak, aby vsledn psoben hvzdy bylo stejn

jako psoben trojhelnka.

Zjednoduen obvodu se pak provd podle obr. 56:

Obr. 56 - Transfigurace trojhelnka na hvzdu

Po tto prav se ji jedn o srioparaleln obvod a lze postupovat jako v pedchozch

pkladech.

Vztahy pro pepoet rezistor trojhelnka na rezistory hvzdy vychz z poadavku, e mezi

stejnmi svorkami zapojen mus bt v obou ppadech stejn odpor; pak je nhrada sprvn.

Pro celkov odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojhelnku plat

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkov odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojen do hvzdy plat

201012 RRRCelk

Pi splnn poadavku stejnho odporu mezi tmi svorkami po nhrad plat

2010

233112

233112 )( RRRRR

RRR

Stejn zskme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )( RRRRR

RRR

3010

233112

231231 )( RRRRR

RRR

Z tchto t rovnic lze vypotat odpory rezistor R10, R20 a R30 v zapojen do hvzdy pro

adekvtn nhradu trojhelnka hvzdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobn lze vypotat odpory rezistor R12, R23 a R31 v zapojen do trojhelnka pro

adekvtn nhradu hvzdy trojhelnkem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Pklad 27:

Urete vsledn odpor, celkov proud odebran ze zdroje a napt na rezistoru R5, je-li

napjec napt U = 6 V. Velikosti odpor jednotlivch rezistor jsou: R1 =20 , R2 = 30 ,

R3 =50 , R4 =40 , R5 =60 zapojen rezistor je na obr. 57

Obr. 57 - Zapojen rezistor pro pklad 27

een:

Trojhelnk tvoen odpory R1 =20 , R2 = 30 , R3 =50 nahradme hvzdou a

dle zjednoduujeme podle obr. 58

59

1. 2.

3. 4. 5.

Obr. 58 - Postupn zjednoduovn obvodu

Ze vztah pro transfiguraci vypoteme odpory Ra, Rb, Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do srie, jejich vsledn odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do srie, jejich vsledn odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paraleln, jejich vsledn odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do srie, jejich vsledn odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkov proud odebran ze zdroje je

167,06

1

36

6

celkR

UI A

60

Napt na nhradnm rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud nhradnm rezistorem Rb5 je

0667,015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napt rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

4.8 Zdroje stejnosmrnho napt a proudu

Zdroj stejnosmrnho napt a proudu je zazen, kter je schopn trvale dodvat do

elektrickho obvodu elektrickou energii.

Napt na vstupnch svorkch zdroje se nazv svorkov napt.

U obvod, kter jsme a doposud eili, jsme pedpokldali, e zdroj napt je ideln, tj. jeho

svorkov napt je konstantn, nezvisl na zaten zdroje a jeho hodnota je U0.

4.8.1 Reln zdroj napt

Skuten zdroje se vyznauj tm, e s rostoucm odebranm proudem svorkov napt

ponkud kles. Kad reln zdroj toti m urit takzvan vnitn odpor, na kterm se

vlivem odebranho proudu vytvo bytek napt; svorkov napt je tedy o tento bytek

ni. Reln zdroj se chov jako by byl sriov sloen z idelnho zdroje s konstantnm

naptm U0 a z rezistoru Ri (kter charakterizuje vnitn odpor zdroje). U0 napt naprzdno

= napt nezatenho zdroje (ke zdroji nen pipojen dn spotebi, odebran proud je tedy

nulov).

Zapojme-li zdroj do obvodu, je zatovn proudem a na jeho svorkch namme napt U<

U0, co je zpsobeno bytkem napt na vnitnm odporu zdroje. Se zvtujcm proudem se

zmenuje svorkov napt zdroje.

Obr. 50 - Obecn schematick znaka idelnho zdroje napt

61

Obr. 60 - Reln zdroj

Je-li ke zdroji pipojen zatovac rezistor o odporu R, protk obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkov napt zdroje pi tomto zaten je

iRIUU 0

Zvislost svorkovho napt na odebranm proudu se nazv zatovac charakteristika

zdroje. Ze vztahu je patrn, e se jedn o linern zvislost.

Obr. 61 - Zatovac charakteristika zdroje

Podle zatovac charakteristiky dlme zdroje na tvrd a mkk. Vhodou tvrdho zdroje je

mal pokles svorkovho napt s rostoucm zatenm zdroje, co je dno malm vnitnm

odporem zdroje Ri; mkk zdroj vykazuje znan bytek napt, protoe m znan velk

vnitn odpor Ri.

Propojme-li pmo vstupn svorky zdroje, bude obvodem protkat tzv. proud nakrtko Ik.

Obr. 62 - Proud nakrtko

62

U tvrdch zdroj jsou proudy nakrtko velk a mohou zpsobit technick problmy, ppadn

znien zdroje; u mkkch zdroj je proud nakrtko vrazn ni ne u tvrdch zdroj,

mkk zdroje jsou lpe zkratuodoln.

Pklad 28:

Urete proud nakrtko zdroje napt, je-li napt naprzdno 6 V a svorkov napt pi odbru

proudu 0,2 A je 5,8 V.

een:

Proud nakrtko bude

i

kR

UI 0

Svorkov napt U je

iRIUU 0

iR 2,068,5

Odtud vypotme vnitn odpor zdroje Ri

12,0

8,56

iR

Proud nakrtko tedy je

61

60 i

kR

UI A

4.8.2 Spojovn zdroj napt

Spojovn zdroj do srie

Spojovn zdroj do srie se pouv pro zskn vtho celkovho napt. Zdroje se propojuj

podle obr. 63 a) pl dalho zdroje se propoj vdy na opan pl pedchozho zdroje.

Vsledn napt se rovn soutu napt vech jednotlivch sriov spojench zdroj. Celkov

vnitn odpor sriov spojench zdroj se rovn soutu vech vnitnch odpor jednotlivch

zdroj.

Napt naprzdno sriov spojench zdroj je 02010 UUU .

Vnitn odpor sriov spojench zdroj je 21 iii RRR .

Svorkov napt sriov spojench zdroj je 21 UUU .

Aby byly vechny zdroje stejn vyten, je vhodn zapojovat do srie zdroje o stejn velkm

napt naprzdno a o stejnch vnitnch odporech. Pro n zdroj v srii pak plat:

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protoe zatovac proud protk vemi sriov spojenmi zdroji, je nutn sledovat, zda jeho

hodnota nepekro jmenovitou hodnotu proudu jednotlivho zdroje; v takovm ppad by

hrozilo pokozen zdroje.

a) b)

Obr. 63 - Spojovn zdroj a) do srie a b) paraleln

Paraleln spojovn zdroj

Paraleln spojen zdroj se pouv pro monost odbru vtho jmenovitho proudu ne je

jmenovit proud jednotlivho zdroje. Zdroj