32

JJ II Disequazioni di Primo Grado, Sistemi di Disequazioni ...orientamento.ingegneria.unical.it/Ingegneria/TestDiAmmissione/... · Disequazioni di Primo Grado, Sistemi di Disequazioni

Embed Size (px)

Citation preview

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 1 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Disequazioni di Primo Grado, Sistemi diDisequazioni di Primo Grado eDisequazioni FrazionarieFacolt�a di Ingegneria - Universit�a della Calabria

AbstractLo scopo di questo lavoro �e quello di fornire all'utenteuno strumento per veri�care il suo grado di preparazionerealtivamente alle disequazioni di primo grado, ai sistemi didisequazione di primo grado e alle disequazioni frazionarie.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 2 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Contenuti1 Disequazioni di primo grado 32 Sistemi di Disequazioni di primo grado e Disequazionifrazionarie 8

Riferimenti teorici 12

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 3 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

1. Disequazioni di primo gradoIn questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le disequazioni di Primo Grado.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto �e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su "Inizio test" e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla �ne dell'esercizio, cliccando su "Fine test" il programma pro-ceder�a ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.Inizio Quiz1. Indicare la soluzione della seguente disequazione

�2x > 6(a) x < �3 (b) x > 3 (c) x > �3 (d) x < 3

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 4 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

2. Indicare la soluzione della seguente disequazione25 + 13(x+ 1) � 2x� 15(2x� 1)(a) x � 819 (b) x � 819 (c) x � � 819 (d) x � 198

3. Indicare la soluzione della seguente disequazione3(1� x2)� (3x� 2)(1� x) > 7� 5x

(a) x > �25 (b) la disequazione data non ha soluzione(c) x < 34 (d) la disequazione data �e sempre veri�cata4. Indicare la soluzione della seguente disequazione

3 + ax < 4 + 2(x� 2)

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 5 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

(a) Per a� 2 > 0, cio�e a > 2 la soluzione �ex < 32� aPer a� 2 < 0, cio�e a < 2 la soluzione �ex < 32� aPer a� 2 = 0, cio�e a = 2 la disequazione non �e maiveri�cata.(b) Per a� 2 � 0, cio�e a � 2 la soluzione �ex > 32� aPer a� 2 � 0, cio�e a < 2 la soluzione �ex < 32� a:

(c) la disequazione data non ha soluzione qualunque sia ilvalore assegnato ad a.(d) la disequazione data �e sempre veri�cata qualunque sia ilvalore assegnato ad a.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 6 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

5. Indicare la soluzione della seguente disequazione, sapendo chea < 0 xa + 1 > 2x+ 12a(a) x > 12(b) x < 12(c) Per 1� 2a > 0, cio�e a � 12 la soluzione �e

x < 1� 2a2(1� 2a)Per 1� 2a < 0, cio�e a � 12 la soluzione �e

x < 1� 2a2(1� 2a)(d) la disequazione data �e sempre veri�cata qualunque sia ilvalore assegnato ad a.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 7 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Fine QuizSe hai risposto erroneamente alle domande puoi veri�care latua preparazione consultando pagine teoriche relative agli argo-menti trattati in questa sezione del test.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICIRiferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 8 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

2. Sistemi di Disequazioni di primo gradoe Disequazioni frazionarieIn questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano i Sistemi di Disequazioni di Primo Grado e Disequazionifrazionarie.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto �e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su "Inizio test" e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla �ne dell'esercizio, cliccando su "Fine test" il programma pro-ceder�a ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 9 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Inizio Quiz1. Indicare la soluzione del seguente sistema di disequazioni(x+ 1 < 2� 3x4x > 2 + 3x(a) 2 (b) il sistema dato �e impossibile(c) fx j x < 14g (d) il sistema dato �e indeterminato

2. Indicare la soluzione del seguente sistema di disequazioni(2x�16< 1� 3�x

23x+22� 2 > 4x�1

3�

5+2x2

(a) (2;+1)(b) il sistema di disequazione dato �e indeterminata(c) (� 113 ;+1)(d) il sistema di disequazione dato �e impossibile

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 10 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

3. Indicare il valore della seguente disequazione(x� 1)(2x� 3) > 0(a) ( 32 ;+1)(b) fx j x < 1; x > 32g(c) la disequazione data �e impossibile(d) la disequazione data �e indeterminata

4. Indicare il valore della seguente disequazione3� 5x1� x � 0(a) �x 2 R j 35 � x < 1(b) �x 2 R j x � 35 ;x > 1(c) la disequazione data �e impossibile(d) la disequazione data �e indeterminata

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 11 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

5. Indicare la soluzione della seguente disequazione3� 5x1� x � 0(a) S = �x 2 R j x � 35 e x > 1(b) S = �x 2 R j x � 35(c) S = [ 35 ; 1)(d) = (�1;+1)

Fine QuizSe hai risposto erroneamente alle domande puoi veri�care la tuapreparazione consultando pagine teoriche relative agli argomentitrattati in questa sezione del test.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICIRiferimenti teorici 2. Vai alle pagine di teoria

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 12 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Riferimenti teoriciRiferimenti teorici 1.

DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONISi dice disuguaglianza una scrittura del tipo A < B o A > B.Le disuguaglianze godono delle seguenti propriet�a:� (p1.) Aggiungendo uno stesso numero, positivo o negativo,ad entrambi i membri di una disuguaglianza si ottiene unadisuguaglianza dello stesso verso

a > b) a+ c > b+ c3 > 2) 3 + 1 > 2 + 1) 4 > 3� (p2.) Se sommiamo membro a membro due disuguaglianzedello stesso senso, otteniamo una disuguaglianza ancora dellostesso senso

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 13 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

a > b e c > d) a+ c > b+ d2 > 1 e 3 > 2) 2 + 3 > 1 + 2) 5 > 3� (p3.) Moltiplicando ambo i membri per uno stesso numeropositivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso versoa > b e m > 0) ma > mb3 > 2 e 2 > 0) 6 > 4� (p4.) Dividendo ambo i membri per uno stesso numero pos-itivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso

a > b e m > 0) am > bm3 > 2 e 2 > 0) 32 > 22

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 14 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

� (p5.) Moltiplicando ambo i membri per uno stesso numeronegativo, si ottiene una disuguaglianza di verso contrarioa > b e m < 0) ma < mb3 > 2 e � 1 < 0) �3 < �2

� (p6.) Dividendo ambo i membri per uno stesso numero neg-ativo, si ottiene una disuguaglianza di verso contrarioa > b e m < 0) am < bm3 > 2 e � 1 < 0) �3 < �2

� (p7.) Sottraendo ambo i membri a una stesso numero siottiene una disuguaglianza di verso contrarioa > b) m� a < m� b4 > 3) 7� 4 < 7� 3) 3 < 4

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 15 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

� (p8.) Moltiplicando membro a membro due disuguaglianzedello stesso verso, fra numeri positivi, otteniamo una disug-uaglianza dello stesso versoa > b e c > d) ac > bd3 > 2 e 5 > 4) 15 > 8

� (p9.) Dati due numeri concordi e diversi da zero, la disug-uaglianza tra i loro reciproci ha senso contrario rispetto aquella tra i numeri stessia > b) 1a < 1b3 > 2) 13 < 12

� (10.) Dati due numeri positivi e diversi da zero, le loropotenze hanno lo stesso senso se n > 0 e senso opposto se

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 16 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

n < 0, con n 2 Za > b e n > 0) an > bna > b e n < 0) an < bn4 > 3 e n = 2 > 0) 42 > 32 ) 16 > 9n = �1 < 0) 4�1 < 3�1 ) 14 < 13� (p11.) Dati due numeri negativi e diversi da zero, le loropotenze hanno lo stesso senso per n dispari e senso oppostoper n pari, a > b e n pari) an < bna > b e n dispari) an > bn�2 > �7 e n = 2 > 0) (�2)2 < (�7)2 ) 4 < 49n = 3 < 0) (�2)3 > (�7)3 ) �8 > �343Una disequazione �e una disuguaglianza che sussiste solo perdeterminati valori delle incognite che in essa �gurano. Tutti i val-

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 17 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

ori che soddisfano una disequazione costituiscono l'insieme dellesoluzioni.Risolvere una disequazione signi�ca trovare un intervallo di valorie non valori isolati.DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UN'INCOGNITACon procedimento analogo a quello visto per le equazioni etenendo presenti i principi appena elencati, ogni disequazione pu�oessere condotta alla forma normale

ax < b oppure ax > b con a 6= 0Da ax < b segue

x < ba per a > 0x > ba per a < 0

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 18 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Da ax > b seguex > ba per a > 0x < ba per a < 0

Vediamo ora come pu�o essere rappresentato l'intervallo delle soluzioni.Un intervallo si dice aperto se non comprende i suoi estremi, chiusose invece li comprende:� [a; b] �e un intervallo chiuso;� (a; b) �e un intervallo aperto;� [a; b) �e un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;� (a; b] �e un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.Esempio Dividendo ambo i membri per 3 si trova che la soluzionedella disequazione 3x > 4 �ex > 43

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 19 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

ESERCIZIO 1Risolvere la disequazione�2x > 6

Tenendo conto della propriet�a p5 la disequazione �2x > 6 di-venta 2x < �6 da cui x < � 62 che implica x < �3.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 20 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

ESERCIZIO 2Risolvere la disequazione25 + 13(x+ 1) � 2x� 15(2x� 1):Il minimo comune multiplo �e 15, per cui

3 � 2 + 5(x+ 1) � 30x� 3(2x� 1)6 + 5x+ 5 � 30x� 6x+ 35x� 30x+ 6x � �6� 5 + 3�19x � �819x � 8x � 819La soluzione dell'esercizio pu�o essere scritta come

I = fx j x � 89 ; x 2 Rgoppure I = (�1; 89 ).

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 21 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Esercizio 3.3(1� x2)� (3x� 2)(1� x) > 7� 5x

SOLUZIONE. La prima cosa che facciamo sono i prodotti3� 3x2 � 3x+ 3x2 + 2� 2x > 7� 5x

quindi sommiamo i termini simili e otteniamo5 > 7

che �e una disequazione mai veri�cata qualunque sia il valore di x.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 22 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

ESERCIZIO 4Discutere le soluzioni della disequazione3 + ax < 4 + 2(x� 2):Dapprima la riduciamo a forma normale3 + ax < 4 + 2x� 43 + ax < 2xax� 2x < �3x(a� 2) < �3(1)A�nch�e la disequazione sia soddisfatta dobbiamo porre indi-cazioni su a, distinguiamo allora i tre casi� per a� 2 > 0 si ha a > 2 che sostituita in (1) d�a

x < � 3a� 2 ossia x < 32� a� per a� 2 < 0 si ha a < 2 da cuix > � 3a� 2 ossia x > 32� a

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 23 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

� per a � 2 = 0 si ha a = 2, in questo caso la disequazionediventa 0 � x < �3 che non �e mai veri�cata.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 24 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

ESERCIZIO 5Sapendo che a < 0 risolverexa + 1 > 2x+ 12aDiscussione: il minimo comune multiplo �e 2a, che �e negativo es-sendo a < 0, perci�o2x+ 2a < 4ax+ 12x� 4ax < �2a+ 1x(2� 4a) < 1� 2a

Essendo a < 0, x �e positivo, infatti si ha 1 � 2a > 0 per 1 > 2acio�e a < 12 e perci�o a < 0. La soluzione �ex < 1� 2a2(1� 2a) = 12

Per tornare alla simulazione del test clicca suRIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 1

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 25 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Riferimenti teorici 2.SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADOUn sistema di disequazioni �e un insieme di due o pi�u disequazioniin una incognita, che sono soddisfatte contemporaneamente perdeterminati valori dell'incognita.Risolvere un sistema signi�ca trovare le soluzioni che soddisfanotutte le disequazioni del sistema: se I1 �e la soluzione della primadisequazione, I2 �e la soluzione della seconda disequazione,: : :, In�e la soluzione dell'n-esima disequazione,la soluzione del sistema �edata dall'intersezione

I = I1 \ I2 \ : : : InEsercizio 1Risolvere il sistema (x+ 1 < 2� 3x4x > 2 + 3x

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 26 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Trovo separatamente le soluzioni delle due disequazioni:(x+ 3x < 2� 14x� 3x > 2 ) (4x < 1x > 2 ) (x < 14 I1x > 2 I2e in�ne interseco gli intervalliI = I1 \ I2 = ;

Il sistema non ammette soluzioni, cio�e �e impossibile.

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 27 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Esercizio 2Risolvere il sistema( 2x�16 < 1� 3�x23x+22 � 2 > 4x�13 � 5+2x2Come prima risolvo separatamente le disequazioni e in�ne intersecogli intervalli.Per la prima, il minimo comune multiplo �e 6 e si ha:2x� 1 < 6� 3(3� x)2x� 1 < 6� 9 + 3x2x� 3x < 6� 9 + 1�x < �2 x > 2 (I1)Per la seconda, il minimo comune multiplo �e 6 e si ha3(3x+ 2)� 12 > 2(4x� 1)� 3(5 + 2x)9x+ 6� 12 > 8x� 2� 15� 6x9x� 8x+ 6x > �6 + 12� 2� 157x > �11 x > �113 (I2)La soluzione �e I = I1 \ I2 = (2;+1)

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 28 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

I sistemi di disequazioni permettono di risolvere disequazioniparticolari. Consideriamo il seguente esempio:EsempioRisolvere la disequazione(x� 1)(2x� 3) > 0signi�ca trovare quei valori di x per cui o che entrambi i fattorisono positivi (cosicch�e il prodotto sia ancora positivo) o entrambinegativi (perch�e il prodotto di due quantit�a negative �e positivo).Per risolvere la disequazione allora impostiamo i due sistemi(x� 1 > 02x� 3 > 0 e (x� 1 < 02x� 3 < 0Risolvendo il primo sistema troviamo che deve essere(x > 1x > 32cio�e I1 = ( 32 ; +1).Risolvendo il secondo trovo l'intervallo I2(x < 1x < 32

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 29 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

cio�e I2 = (�1; 32 )La soluzione della disequazione iniziale e data dall'unione deidue intervalli I = �x 2 R j x < 1;x > 32� :

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 30 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

DISEQUAZIONI FRAZIONARIESi dicono frazionarie le disequazioni che contengono l'incognitain almeno un denominatore, e possono sempre essere ricondottealla forma N(x)D(x) > 0 oppure N(x)D(x) < 0

La prima disequazione �e veri�cata quando il numeratore e il de-nominatore hanno lo stesso segno (ambedue positivi o ambeduenegativi), la seconda invece �e veri�cata quando numeratore e de-nominatore assumono segni discordi (uno positivo e l'altro nega-tivo).Vediamo tramite gli esempi come si procede per la risoluzione.Esercizio 3Risolvere 3� 5x1� x � 0Osserviamo che

N(x) = 3� 5x e D(x) = 1� x

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 31 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

Innanzitutto escludiamo i valori che annullano il denominatore,cio�e x = 1, poich�e in questo caso la frazione non �e de�nita, quindiprocediamo. Studiamo il segno del numeratore, ponendo N(x) � 03� 5x � 0) �5x � �3) 5x � 3) x � 35Allo stesso modo studiamo il segno del denominatore D(x)

1� x > 0) �x > �1) x < 1Osserviamo che:per x � 35 sia il numeratore che il denominatore sono positiviperci�o la frazione �e positiva,

per x > 1 sia il numeratore che il denominatore sono negativie, poich�e il prodotto di due numeri negativi �e positivo, la frazione�e positiva,per 35 � x < 1 il numeratore �e negativo e il denominatorepositivo perci�o, per la regola del prodotto dei segni, la frazionerisulta negativa.Poich�e stiamo cercando i valori per cui N(x)

D(x) � 0 devo consid-

Home PageTitolo della Pagina

ContenutiJJ IIJ IPagine 32 di 11

IndietroPieno Schermo

ChiudiEsci

erare l'intervallo con il segno negativo, cio�eS = �x 2 R j 35 � x < 1� = [35 ; 1)

Esercizio 4La disequazione 3� 5x1� x � 0per la discussione fatta nell'esercizio precedente �e veri�cata nell'intervallocon il segno positivo, cio�e

S = �x 2 R j x � 35 ;x > 1� = (�1; 35 ] [ (1;+1)Per tornare alla simulazione del test clicca suRIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 2