J.L.Huertas SETI-03-04 TEMA3: Sistemas Discretoshuertas/SETI/SETI_03_04_transp_Tema_03.pdf · J.L.Huertas SETI-03-04 Tr. 58 Sistemas Discretos q Un sistema de “propósito general”

J.L.Huertas SETI-03-04

Tr. 56

TEMA3: Sistemas Discretos

Contenidos del tema:

q Definición y ejemplos

q Variables de estado: wModelos y ecuacioneswRelación con la función de transferencia

q Estructuras alternativas: wPropiedades y ejemploswFormas canónicaswTransposición de sistemas

q Sistemas con propiedades especiales

q Restricciones en los coeficientes


Tr. 57

Sistemas Discretos

q Un sistema que acepta secuencias de números y las procesa numéricamente

w Desde el punto de vista “físico” es un problema exclusivamente de software. w El tiempo no aparece explícitamente w Hay errores de “redondeo” que afectan fundamentalmente a la precisión del resultado

0,98565650,45336770,43562890,99342860,56748330,6666666..........................

p = 1 - 0.05*pia = poly (p)[H,w]=freq(1,a,256);dB=20log10(mag);semilogx(f,dB)semilogx(f,phse)........................................

32,74533,90131,99828,67529,43431,902.....................


Tr. 58

Sistemas Discretos

q Un sistema de “propósito general” que acepta señales/secuencias y las procesa numérica-mente

w Desde el punto de vista “físico” hay combinación de software y hardware. w El tiempo aparece explícitamente w El procesamiento se hace por un programa secuencial y su duración puede tener un

gran impacto sobre la operación “global” del sistemaw Hay errores de “redondeo” y de sincronización que pueden afectar incluso a la estabili-

dad

Ck(n)

f(t)

x(n)

A/D

xc(n)

32,74533,90131,99828,67529,43431,902

g(t)

y(nT)

D/A

yc(n)

xc(n)


Tr. 59

q Un sistema de “propósito específico” que acepta señales/secuencias y las procesa numéri-camente

w Desde el punto de vista “físico” el procesado se hace en hardware. w El tiempo aparece explícitamente w El procesamiento se hace de la manera más rápida y su duración puede tener un gran

impacto sobre la operación “global” del sistemaw Hay errores de “redondeo” y de sincronización que pueden afectar incluso a la estabili-

dad

Ck(n)

f(t)

x(n)

A/D

xc(n)

32,74533,90131,99828,67529,43431,902

g(t)

y(nT)

D/A

yc(n)

xc(n)

SistemaDigital

Sistemas Discretos


Tr. 60

q Un sistema de “propósito específico” que acepta señales/secuencias y las procesa numéri-camente

w Desde el punto de vista “físico” el procesado se hace en hardware. w El tiempo aparece explícitamente w No hay digitalización de las señalesw La validez de las señales suele estar limitadaw Hay una “visión” Macroscópica del t y otra Microscópica

Ck(n)

f(t)x(n)

SistemaAnalógico

en TiempoDiscreto

y(n)

y(n)

g(t)y(nT)

C´k(n) Ck(n) C´k(n)

C´k(n)

C´k(n) Ck(n)

Ck(n) Ck(n)

Sistemas Discretos


Tr. 61

Sistemas Discretos: Ejemplo

y(n) = x(n) + ay(n-1)H(z) = (1 - az-1)-1

1 w = 02 Read K3 Read x4 y = x + w5 Print y6 w = y7 IF K=1 THEN Stop8 GOTO 29 Stop

a

y(n)

x(n)

y(n)x(n)z-1

y(n-1)

y(n-1)


Tr. 62

a

a

y(n)

x(n) y(n-1)

a

y(n)

x(n) y(n-1)

Sistemas Discretos: Ejemplo (II)


Tr. 63

y(n)

z-1

-a2

x(n)

z-1

-a1

d-a2

c2

c1

s1(n+1)

s1(n)

s2(n)

Variables de Estado

s1(n+1) = x(n) - a1s1(n) - a2s2(n) s2(n+1) = s1(n)y(n) = dx(n) + c1s1(n) + c2s2(n)

s1 n 1+( )

s2 n 1+( )

a1– a2–

1 0

s1 n( )

s2 n( )10

x n( )+=

y n( ) c1 c2s1 n( )

s2 n( )dx n( )+=


Tr. 64

s1 n 1+( )

s2 n 1+( )

a1– a2–

1 0

s1 n( )

s2 n( )10

x n( )+= y n( ) c1 c2s1 n( )

s2 n( )dx n( )+=

Variables de Estado

z-1

y(n)x(n)s(n)


Tr. 65

y(n)

z-1

-a2

x(n)

z-1

-a1

g0

g2

g1

s1(n+1)

s1(n)

s2(n)

s1(n+1) = x(n) - a1s1(n) - a2s2(n) s2(n+1) = s1(n)y(n) = g0x(n) + (g1- a1g0)s1(n) +(g2- a2g0)s2(n)

A cada retraso le asignamos una variable de estado, sj(n)

Variables de Estado


Tr. 66

Respuesta a δ(n)

Valor de la entrada muestra a muestra:δ(0) = 1 -----> δ(1) = 0 -----> δ(2) = 0 -----> δ(n)|k>0 = 0

Valor del estado muestra a muestra:s(0) = 0 -----> s(1) = bδ(0) = b -----> s(2) = Ab -----> s(3) = A2b -----> s(n) = An-1b; n > 1

Valor de la salida muestra a muestra:y(n) = h(n)h(0) = d -----> h(1) = ct s(1) + dδ(1) = ctb -----> h(2) = ctAb ------>

h(n) = ctAn-1bu(n-1) + dδ(1)

s˜

n 1+( ) As˜

n( ) b˜x n( )+=

y n( ) ct

˜s˜

n( ) dx n( )+=


Tr. 67

h n( ) ct

Ã

n 1–b˜u n 1–( ) dδ n( )+=

H z( ) cñ 1=

∞∑

t

˜

An 1–

b˜z

n–d+ d z

1–ct

Ã

kz

k–

k 0=

∞∑ b

˜+= =

Si todos los autovalores de A tienen módulos menores que |z|:

H z( ) d z1–

ct

˜I z

1–A–

1–b˜

+=

Respuesta a δ(n)


Tr. 68

; ;

Autovalores de A: |A - λI| = 0 --------------------> Polos de H(z): |zI - A|

H z( ) d z1–

ct

˜I z

1–A–

1–b˜

+=

H z( ) d

ckzk–

k 1=

N∑

1 akzk–

k 1=

N∑+

-------------------------------------+

gkzk–

k 1=

N∑

1 akzk–

k 1=

N∑+

-------------------------------------= =

A

a1– a2– ... ... aN–

1 0 0 ... 00 1 0 ... 0... ... ... ... ...0 ... ... ... 1

= b˜

100...0

= ct

˜c1 c2 ... ... cN=

Respuesta a δ(n): Función de Transferencia


Tr. 69

Ejemplos y propiedades

s1 n 1+( )

s2 n 1+( )

a1 a2a2– a1

s1 n( )

s2 n( )11

x n( )+=

y n( ) 1 1s1 n( )

s2 n( )= y(n)a2

x(n)

a1

s1(n)

s2(n)

z-1

z-1

a1

-a2

D(z) = (z - a1)2 + a22

p1,2 = a1 + ja2


Tr. 70

Ejemplos y propiedades

Teorema de Cayley-Hamilton:Si D(z) = zN + dN-1zN-1 + dN-2zN-2 + ... + d1z + d0

Se cumplirá D(A) = AN + dN-1AN-1 + dN-2AN-2 + ... + d1A + d0I = 0

Diagonalización de A:Si todos los autovalores de A, λk, son distintos:

A = PΛP-1 con Λ

λ 0 ... 00 λ ... 0... ... ... ...0 ... 0 λ

=

Aplicaciones:q An = PΛnP-1

q H z( ) d ct

˜P zI A–[ ] 1– P 1– b

˜+ d

σiρiz λi–-------------

i 1=

N∑+ d

σiρiz 1–

1 λiz1–

–-----------------------

i 1=

N∑+= = =

Diagonalización de A:Si todos los autovalores de A, λk, son distintos:

A = PΛP-1 con Λ

λ 0 ... 00 λ ... 0... ... ... ...0 ... 0 λ

=


Tr. 71

z-1

d

ρ1s1(n)

sN(n)z-1

ρN

σ1

σN

λ1

λN

y(n)x(n)

Forma Canónica en Sectiones Desacopladas de 1er Orden


Tr. 72

Elementos para construir Sistemas Discretos

y n( ) bmx n m–( ) aky n k–( )k 1=

N∑–

m 0=

M∑=

H z( )Y z( )X z( )-----------

bmzk–

m 0=

M∑

akzk–

k 0=

N∑

-------------------------------= =

y n( ) bmx n m–( )m 0=

M∑=

H z( )Y z( )X z( )----------- bmz k–

m 0=

M∑= =

s˜

n 1+( ) As˜

n( ) b˜x n( )+=

y n( ) ct

˜s˜

n( ) dx n( )+=

h n( ) ct

Ã

n 1–b˜u n 1–( ) dδ n( )+=

H z( ) d z1–

ct

˜I z

1–A–

1–b˜

+=

Sistemas FIR

Sistemas IIR


Tr. 73

Estructuras para construir Sistemas Discretos

x(n) y(n)

z-

z-

z-

z-

z-

z--

-

-aN-

-aN

b0

b1

b2

bM-

bM

z- z-

bbM-b1b0

z-

b2

x(n-1)

y(n)

x(n-2)x(n)x(n)

Sistemas FIR

Sistemas IIR

y(n)

z-

-

x(n)

z-

-

g0

g2

g1

s1(n+1)

s1(n

s2(n)


Tr. 74

Algebra de Bloques

M(z)

N(z)

x(n)

x(n)

y(n)

y(n)N(z) M(z)

M(z)

x(n) y(n)M(z) N(z)

P(z)

H(z) = M(z) + N(z)

H(z) = M(z) N(z)

M(z)N(z)H(z) = ---------------

1 - M(z)N(z)


Tr. 75

y(n)

z-1

-a2

x(n)

z-1

-a1

b0

b2

b1

s1(n+1)

s1(n)

s2(n)

y(n)

z-1

b2

x(n)

z-1

b1

b0

-a2

-a1

s2(n+1)

s1(n)

s2(n)

s1(n+1) = x(n) - a1s1(n) - a2s2(n) s2(n+1) = s1(n)y(n) = b0x(n) + (b1- a1b0)s1(n) +(b2- a2b0)s2(n)

s´1(n+1) = b1x(n) - a1y(n) - a2s´2(n) s´2(n+1) = b2x(n) - a2y(n)y(n) = b0x(n) + s 1́(n)

Equivalencia entre Sistemas Transpuestos


Tr. 76

s´1(n+1) = (b1- a1b0)x(n) - a1s´1(n) + s´2(n) s´2(n+1) = (b2- a2b0)x(n) - a2s´1(n)y(n) = b0x(n) + s 1́(n)

s1(n+1) = x(n) - a1s1(n) - a2s2(n) s2(n+1) = s1(n)y(n) = b0x(n) + (b1- a1b0)s1(n) +(b2- a2b0)s2(n)

s1 n 1+( )

s2 n 1+( )

a1– a2–

1 0

s1 n( )

s2 n( )10

x n( )+=

s'1 n 1+( )

s'2 n 1+( )

a1– 1

a2– 0

s'1 n( )

s'2 n( )

c1c2

x n( )+=

y n( ) c1 c2s1 n( )

s2 n( )dx n( )+=

y n( ) 1 0s'1 n( )

s'2 n( )dx n( )+=


c1 = (b1- a1b0) c2 = (b2- a2b0)d = b0


Tr. 77

s˜

n 1+( ) As˜

n( ) b˜x n( )+=

y n( ) ct

˜s˜

n( ) dx n( )+=z-1

x(n)s(n)

ctb

A

s(n+1)

d

s'˜

n 1+( ) Ats'˜

n( ) ct

˜x n( )+=

y n( ) b˜s'˜

n( ) dx n( )+=

z-1

y(n)x(n)s´(n)

btc

At

s´(n+1)

d



Tr. 78

s˜

n 1+( ) As˜

n( ) b˜x n( )+=

y n( ) ct

˜s˜

n( ) dx n( )+=

s'˜

n 1+( ) Ats'˜

n( ) ct

˜x n( )+=

y n( ) b˜s'˜

n( ) dx n( )+=

H z( ) d z1–

ct

˜I z

1–A–

1–b˜

+=

Ht z( ) d z1–

bt

˜I z

1–A

t–

1–c˜

+=

Ht z( ) Ht

z( ) H z( )= =



Tr. 79

x(n) y(n)

z-

z-

z-

z-

z-

z--a1

-a2

-aN-

-aN

b0

b1

b2

bM-

bM

x(n) y(n)N(z) M(z)

x(n) y(n)

z-

z-

z-

z-

z-

z--a1

-a2

-aN-

-aN

b0

b1

b2

bM-

bM

x(n) y(n)M(z) N(z)

Formas Directas


Tr. 80

x(n) y(n)

z-

z-

z--a1

-a2

-aN-

-aN

b0

b1

b2

bM-

bM

Formas Directas II y I

y(n)

z-

b2

x(n)

z-

b1

b0

-a2

-a1

z-

bN

bN-1

-aN

-aN-1


Tr. 81

q H z( ) d ct

˜P zI A–[ ]

1–P

1–b˜

+ dσiρiz λi–-------------

i 1=

N∑+ d

σiρiz

1–

1 λiz1–

–-----------------------

i 1=

N∑+= = =

z-

d

ρ1s1(n

sN(nz-

ρ

σ1

σ

λ1

λ

y(n)x(n)

Formas Paralelas


Tr. 82

q

q ; ; M = N

q --->

H z( ) d ct

˜P zI A–[ ] 1– P 1– b

˜+ d

σiρiz λi–-------------

i 1=

N∑+ d

σiρiz

1–

1 λiz1–

–-----------------------

i 1=

N∑+= = =

H z( ) γ0

γ0i γ+1i

z1–

1 α1iz1–

α2iz2–

+ +----------------------------------------------------

i 1=

L∑+= L N 1+

2-------------

ent=

H z( ) b01 z– kz

1–

1 p– kz1–

------------------------k 1=

N∏+ b0 Hi z( )

i 1=

L∏= = Hi z( )

1 β1iz1–

β2iz2–

+ +

1 α1iz1–

α2iz2–

+ +----------------------------------------------------=

Formas Alternativas


Tr. 83

z-1

z-1

z-1

z-1

-α11

γ01

γ0

-α21

-α1L

-α2L

γ11

γ0L

γ1L

x(n)

y(n)

γ0

x(n)

y(n)z-1

z-1-α11

γ01

-α21

γ11

z-1

z-1-α1L

γ0L

-α2L

γ1L

Formas Paralelas Alternativas


Tr. 84

z-1β11

-α21 z-1

-α11

β21

z-1β1L

-α2L z-1

-α1L

β2L

z-1

z-1-α11

β11

-α12β21z-1

z-1-α1L

β1L

-α2Lβ2L

x(n) y(n)

x(n) y(n)

Formas en Cascada


Tr. 85

q Sistemas FIR con Simetrìa (par o impar)

q Sistemas de Pasa-Todo

q Sistemas Complementarios H1(z) y H2(z)

q Sistemas en Peine

H z( ) b0 1 z M–± b1 1 z M– 1+±

...+bM2-----

1 z

M2-----–

±

+=

H z( ) zM– D z

1–

D z( )------------------=

H'1 ω( )2

H'2 ω( )2

+ 1=

Hk z( ) H zk

=

Sistemas con Propiedades Especiales


Tr. 86

H z( ) b0 1 zM–

± b1 1 z

M– 1+±

...+bM2-----

1 z

M2-----–

±

+=

Sistemas FIR Simétricos

y(n)

x(n)

z-1

b0

b2

b1

x(n-1)

z-1 z-1 z-1

x(n-2) x(n-M)


Tr. 87

H z( ) zM– D z

1–

D z( )------------------

z 2– α1iz1– α2i+ +

1 α1iz1–

α2iz2–

+ +----------------------------------------------------

k 1=

L∏= =

y(n)x(n)

z-1

α1i

z-1

α2i α2i

--

--

Sistemas Pasa-Todo


Tr. 88

q Sistemas Complementarios H1(z) y H2(z)

H'1 ω( )2

H'2 ω( )2

+ 1=

q Sistemas en Peine

Hk z( ) H zk

=

y(n)

x(n)

α

z-k

--

A1(z)

A2(z)y2(n)

y1(n)

--

x(n)

1/2

Aj(z) = Pasa-Todo


Tr. 89

Restricciones sobre los coeficientes

q Denominador de las Secciones de 2º Orden:

q Condición de Estabilidad|p1i|, |p2i| < 1

q Implicaciones:|α2i| = |p1ip2i| < 1|α1i| < 1 + α2i

q Polos Complejos:α2

1i < 4α2i

Di z( ) 1 α1iz1– α2iz

2–+ + 1 p1iz1––

1 p2iz1––

= =

α2i = 1

−α1i = 1+ α2i α1i = 1+ α2i

α2i

α1i

Polos Complejos

Polos Reales

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