Jo Go Dos Discos Modulo i

Ministrio da Educao

Secretaria de Educao a Distncia

Universidade Aberta do Brasil

Fernando Haddad Ministro da Educao

Carlos Eduardo Bielschowsky Secretrio SEED/MEC

Celso Costa Diretor da UAB

Maria Lcia Cavalli Neder Reitora UFMT

Francisco Jos Dutra Souto Vice-Reitor

Valria Calmon Cerisara Pr-Reitora Administrativa

Elizabete Furtado de Mendona Pr-Reitora de Planejamento

Luis Fabrcio Cirillo de Carvalho Pr-Reitor de Cultura, Extenso e Vivncia

Myrian Thereza de Moura Serra Pr-Reitora de Ensino e Graduao

Leny Caselli Anzai Pr-Reitora de Ps-Graduao

Adnauer Tarqunio Daltro Pr-Reitor de Pesquisa

Carlos Rinaldi Coordenador UAB/UFMT

Ozerina Victor Oliveira Diretora do Instituto de Educao

Curso de Especializao para professores do Ensino Mdio de Matemtica

Matem@ticana Pr@tica

Ministrio da Educao MECPlano de Desenvolvimento da Educao PDE

Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior Capes

Curso de Especializao para professores do Ensino Mdio de Matemtica

Mdulo I

Jogo dos Discos

Matem@ticana Pr@tica

Paulo Antonio Silvani CaetanoRoberto Ribeiro Paterlini

Produo Editorial - Central de TextoEditora: Maria Teresa Carrin CarracedoProduo grfica: Ricardo Miguel Carrin CarracedoProjeto grfico: Helton BastosPaginao: Ronaldo Guarim TaquesReviso para publicao: Henriette Marcey Zanini

ndices para catlogo sistemtico:

1. Professores de matemtica : Formao :

Educao 370.71

Caetano, Paulo Antonio Silvani

Jogo dos discos : mdulo I. -- Cuiab, MT :

Central de Texto, 2010. -- (Matem@tica na

pr@tica. Curso de especializao para

professores do ensino mdio de matemtica)

Bibliografia.

ISBN 978-85-88696-90-7

1. Matemtica - Estudo e ensino 2. Matemtica -

Formao de professores 3. Prtica de ensino

I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Ttulo.

III. Srie.

10-11743 CDD-370.71

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Curso de Especializao para Professores do Ensino Mdio de Matemtica

Equipe de especialistas em formao de professores de MatemticaCoordenao: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)Especialistas: Cludio Carlos Dias (UFRN), Joo Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM- UFRJ)

Desenvolvimento InstrucionalCoordenao: Cristine Costa BarretoDesigners instrucionais: Juliana Silva Bezerra, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff

Responsveis por este fascculoAutores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini.Leitores: Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo.Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner BeffReviso: Paulo Alves

Apresentao

O Matem@tica na Pr@tica um Curso de Especializao para Professores do Ensino M-

dio de Matemtica na modalidade de Educao Distncia, que est inserido no Plano de

Aes Articuladas do Ministrio da Educao. Esse plano tem como um de seus objetivos

promover uma importante atividade de formao continuada dirigida a voc, professor

do ensino bsico, incentivando a renovao da sua prtica pedaggica e propondo cami-

nhos para que voc possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus

estudantes e colegas de trabalho.

O primeiro mdulo de nosso curso consiste em trs atividades prticas sobre temas

que trazem importantes significados para a Matemtica do ensino bsico. Em seguida, voc

ter a oportunidade de refletir sobre essas atividades para, depois, dedicar-se aplicao

de uma delas em sua sala de aula.

Neste fascculo, apresentamos a atividade prtica denominada jogo dos discos, que

um experimento muito atraente para os estudantes envolvendo o lanamento aleatrio de

discos em um quadriculado. O jogo dos discos aborda o tema probabilidade geomtrica

e constitui uma oportunidade para o estudante refletir sobre conceitos de probabilidade,

obteno de dados a partir de um experimento, ajuste de curvas e modelagem de dados

atravs de uma funo.

Seja bem-vindo ao jogo dos discos!

Equipe do Matem@tica na Pr@tica

Abril, 2010

Sumrio

Ciclo I - Experimentando o Jogo dos Discos 9

1. Um dia de co... possvel prever ou no? 11

2. A probabilidade em nosso cotidiano 14

3. E o improviso virou Matemtica 16

4. Estudo do jogo dos discos 17

5. Da cartolina para o cho da escola 30

Ciclo II - Explorando o Jogo dos Discos 33

1. Recapitulando 35

2. O que h de novo neste Ciclo? 37

3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39

4. Probabilidade geomtrica 42

5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica 46

6. Nem tudo so parbolas 52

7. Lucrando com o jogo dos discos 54

8. Abordando outras situaes especficas no jogo dos discos 56

Concluso 59

Resumo 59

Orientaes sobre avaliao 60

Encerramento 60

Referncias 61

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Ciclo I

Experimentando o Jogo dos Discos

Como utilizar jogos para estudar probabilidade?

Qual a influncia das regras no favorecimento de um jogador?

Como o modelo matemtico do jogo ajuda a fazer previses?

1. Um dia de co... possvel prever ou no?1. Um dia de co... possvel prever ou no?

ABRO OS OLHOS ASSUSTADA E ME DOU CONTA DE QUE PERDI A HORA. TENHO MENOS DE 10 MINUTOS PARA SAIR DE CASA. PULO DA CAMA, PENSANDO NA REUNIO MARCADA H SEMANAS POR MEU CHEFE, QUE NO VAI COM A MINHA CARA. SE ME ATRASAR, PERCO MEU EMPREGO! OLHO PELA JANELA E NUVENS CINZAS NO CU SUGEREM FRIO E CHUVA.

MEIAS... PRECISO DE MINHAS MEIAS DE L. MORRO DE FRIO NAQUELA SALA DE REUNIES, SEMPRE COM O AR-CONDICIONADO NO MXIMO. MEIAS NA GAVETA DE MEIAS, CONFORME ESPERADO. VISTO A PRIMEIRA ROUPA QUE VEJO, CORRO PARA A SALA, PEGO MINHA BOLSA E PENDURO NO PESCOO O PEN-DRIVE (NO POSSO ESQUECER A APRESENTAO EM SLIDES QUE PASSEI A MADRUGADA PREPARANDO PARA ABRIR A REUNIO). BUSCO, FRENETICAMENTE, MEU GUARDA-CHUVA! ONDE DEIXEI MESMO? NOSSA, PODE ESTAR EM QUALQUER LUGAR DA CASA! POR QUE DEIXO O GUARDA-CHUVA CADA DIA EM UM LUGAR DIFERENTE?

DEIXA PRA L, VOU ARRISCAR SAIR ASSIM MESMO. TOMARA QUE NO CHOVA LOGO... ABRO A PORTA DE CASA E TROPEO NO JORNAL. MESMO ATRASADA, LEIO A MANCHETE E FICO CHOCADA COM A NOTCIA SOBRE UM AVIO QUE CAIU, NO MEIO DO ATLNTICO, COM MAIS DE 200 PASSAGEIROS A BORDO. QUE TRAGDIA! AINDA ATORDOADA COM O DESASTRE, OLHO O RELGIO E ME DOU CONTA DE QUE TENHO QUE CORRER PARA O PONTO DE NIBUS E QUE, SE O DANADO ATRASAR MAIS DE CINCO MINUTOS, EU NO CHEGO NO TRABALHO A TEMPO. COM A CHUVA COMEANDO A CAIR, AGORA MESMO QUE A CONDUO NO TEM HORA PRA PASSAR...


MIRACULOSAMENTE, O NIBUS CHEGA. SUBO OS DEGRAUS VOANDO E SENTO NO LTIMO LUGAR VAGO. NO MEIO DO CAMINHO, CEDO MEU LUGAR PARA UMA MULHER GRVIDA, IMAGINANDO SE O BEB QUE ELA CARREGA MENINO OU MENINA. VOU PARA O CORREDOR DO NIBUS. QUE CONFUSO!

CHEGO NO TRABALHO E A CHUVA APERTA. PERCEBO QUE PERDI O PEN-DRIVE NO EMPURRA-EMPURRA DO NIBUS E, COM ELE, A APRESENTAO DA REUNIO, O EMPREGO, O ALUGUEL, AS FRIAS, TUDO... QUE DIA DE CO! ENSOPADA, ATRASADA E DESOLADA.

SUBO AS ESCADAS APRESSADA E LOGO ENCONTRO UM COLEGA, SAINDO DA SALA DE REUNIES, COM UMA EXPRESSO DE INCREDULIDADE NO ROSTO. PENSO: FUI DEMITIDA! MEU COLEGA OLHA PRA MIM E DIZ, COM A VOZ FALHA: VOC NO VAI ACREDITAR... O CHEFE GANHOU SOZINHO NA LOTERIA... DESCOBRIU HOJE, ASSIM QUE ENTROU NA SALA... SUBIU NA MESA DE REUNIO, DANOU UM TANGO COM O VENTILADOR DE P, E PEDIU DEMISSO! FOI DIRETO PRO AEROPORTO, PEGAR O PRXIMO VOO PARA O EGITO. DISSE QUE QUERIA CONVERSAR COM A ESFINGE, E QUE VOC SERIA A NOVA CHEFE...

12 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo I

O significado dos termos previsvel e aleatrio tem a ver com a noo de incerteza.

Quanto maior a chance de ocorrncia de um evento, maior nossa certeza em relao a

ele. o caso de chover em um dia nublado, de o nibus atrasar em dias de chuva, com

trfego intenso, ...

Atividade 1 O que e o que no pode ser

Na histria em quadrinhos, diversos acontecimentos

do-se ao longo de uma tumultuada manh. Do ponto de

vista da personagem, selecione um acontecimento que voc

considera ser previsvel e um acontecimento que voc consi-

dera ser no previsvel ou aleatrio. Justifique sua resposta.

Acontecimento previsvel

Justificativa

Acontecimento no previsvel ou aleatrio

Justificativa

Resposta comentada

Dentre os possveis acontecimentos que a personagem

poderia prever, voc pode ter identificado:

A perda do emprego devido sua chegada atrasada

na reunio, justificada pelo conhecimento das pol-

ticas da empresa e da personalidade de seu chefe;

O dia ser chuvoso e frio, justificado pelas nuvens

cinzentas;

Ter facilidade para encontrar as meias e dificuldade

para encontrar o guarda-chuva, justificado por haver

um lugar especfico onde ela guarda suas meias.

Dentre os acontecimentos aleatrios que a personagem

no poderia prever, voc pode ter identificado:

O sexo do beb, pois as chances so iguais para

menino ou menina;

A manchete do jornal sobre a queda do avio, por se

tratar de um evento raro, no esperado.

O nibus ter chegado rpido, por se tratar de um dia

chuvoso e horrio de trfego intenso;

O chefe ter ganho sozinho na loteria, pois se trata de

um acontecimento extremamente raro, de natureza

imprevisvel.

A promoo para o cargo de chefia, pois dependeu

do fato de o chefe ter ganho sozinho na loteria.

Atividade 1


Figura 1: Como avaliar uma incerteza?

Na atividade anterior, refletimos sobre o termo aleatrio, relacionado com eventos

ocorridos em uma conturbada manh. Esperamos que voc tenha entendido melhor o

que um evento aleatrio.

A chance de ocorrncia de um evento aleatrio medida atravs de uma probabilida-

de. Um dos objetivos desta atividade compreender ainda melhor este conceito e buscar

novas maneiras de apresent-lo em sala de aula.

2. A probabilidade em nosso cotidianoA probabilidade aparece em nosso dia a dia de um jeito que nem nos damos conta. Por

exemplo, hoje em dia muitas pessoas pagam um plano de sade e o valor da mensalidade

envolve clculos de probabilidades. A empresa que oferece o plano de sade recebe men-

salidades de diferentes usurios, desde crianas recm-nascidas at pessoas idosas. Com

os recursos recolhidos mensalmente, a empresa tem de pagar as despesas de consultas,

operaes e procedimentos diversos solicitados por eles.

Figura 2: Alguns procedimentos cobertos por planos de sade

Alm disso, precisa sustentar sua estrutura operacional, como funcionrios, prdios,

veculos, impostos, etc. Os donos da empresa tambm querem que, no final do ms, sobre

um lucro para eles mesmos.

Saiba Mais O que evento aleatrio?

um acontecimento com resultado imprevisvel. Por exemplo, se lanamos para cima uma

moeda qualquer e a deixamos cair em um piso duro, no temos como prever qual a posio

em que ela vai ficar, aps cessar seu movimento. quase certo que ela fique sobre uma de suas

faces, mas no temos como prever qual.

Saiba Mais

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Como calcular a mensalidade a ser cobrada dos clientes de modo que esse recurso

seja suficiente para a empresa pagar suas despesas? Como a empresa pode prever quan-

tos clientes vo ter um determinado problema de sade, quantas consultas vo solicitar,

exames clnicos, operaes, etc?

Ao fazer esses clculos, a empresa usa a teoria das probabilidades para estimar a

ocorrncia de problemas e necessidades de sade na populao. Calculando essas proba-

bilidades, e conhecendo o perfil de seus clientes, a empresa pode saber qual a provvel

despesa que ter em um determinado ms. Por exemplo, no faz sentido esperar que um

homem faa uma operao de ligadura de trompas, nem que uma mulher tenha cncer

de prstata. Tambm pouco provvel que uma criana utilize os servios relacionados a

doenas do corao e que moradores de cidades pacatas tenham problemas de estresse.

Como voc j deve ter percebido, a probabilidade est presente em nossas vidas e

possui importncia na sociedade atual, justificando a escolha deste tema como abertura

do primeiro mdulo do curso Matem@tica na Pr@tica.

Antes de prosseguirmos, reflita sobre a seguinte pergunta: quais so os recursos e

mtodos que voc mais utiliza para ensinar probabilidade em sala de aula?

Figura 3: O valor da mensalidade de um plano de sade determinado pela probabilidade de utilizao de seus servios, variando de acordo com a localidade, idade, sexo, etc. de seus clientes.

Figura 4: Estes objetos sempre marcam presena nas aulas de probabilidade

Diria que h uma grande chance de voc ter respondido que usa dados, domin ou

cartas. Estes instrumentos so muito importantes e bastante teis. Mas ser que podemos

ir mais alm? Que tal construir um jogo diferente que envolva os conceitos de probabili-

dade, polgonos regulares, funes quadrticas e grficos?

A seguir, apresentamos um jogo que vai proporcionar a voc, professor, uma oportu-

nidade de mobilizar os estudantes de sua sala de aula em uma atividade em grupo muito

interessante.

A aprendizagem da probabilidade fundamental para a compreenso de

fenmenos naturais e do cotidiano. O documento Matriz de Referncia para

o Enem-2009 indica que, ao trmino do Ensino Mdio, o aluno deve ter

desenvolvido a seguinte competncia: Compreender o carter aleatrio e

no determinstico dos fenmenos naturais e sociais, e utilizar instrumentos

adequados para medidas, determinao de amostras e clculos de proba-

bilidade para interpretar informaes de variveis, apresentadas em uma

distribuio estatstica. Os Parmetros Curriculares Nacionais sugerem que o

desenvolvimento da temtica probabilidade seja abordado atravs de situaes

de aprendizagem que orientem os estudantes a coletar, organizar e analisar

informaes. No Caderno do SAEB 2009 encontramos o dado de que apenas

24% dos estudantes conseguem compreender o clculo da probabilidade de

um evento. Tal fato indica que os professores precisam trabalhar mais forte-

mente essa habilidade, principalmente para atender s demandas da matriz

de referncia para o Enem-2009.

A aprendizagem da probabilidade fundamental para a compreenso de

Janela Pedaggica Documentos de referncia e probabilidade

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2. A probabilidade em nosso cotidiano 15

3. E o improviso virou Matemtica

Na Frana, no sculo XVIII, era moda ladrilhar pisos de castelos e jardins.

As crianas no perderam tempo e logo fizeram desses ladrilhos um grande tabuleiro.

Inventaram o jogo dos discos, lanando moedas aleatoriamente no piso e apostando na

parada da moeda no interior de um ladrilho.

Mas que fatores contribuam para uma criana ganhar a aposta e ver sua moeda intei-

ramente dentro de um ladrilho, num lanamento aleatrio, sem tocar nenhuma de suas

bordas? As crianas mais espertas logo perceberam que o dimetro da moeda e o tamanho

dos ladrilhos influenciavam, e muito, na probabilidade de ganho deste jogo.

Figura 5: O Jogo dos Discos ganha quem lanar o disco no

interior de um ladrilho, sem tocar nenhuma de suas bordas.

As crianas gostam de jogos que envolvam lanamentos de objetos em pisos quadri-

culados.

O jogo dos discos pode ser praticado por nossas crianas e, ainda por cima, ajudar

nossos estudantes a aprender Matemtica. No acredita? Ento, leia o texto a seguir, onde

feita uma proposta de atividade com esse jogo para o ensino da Matemtica.

Formandos antenados!

Na festa anual, promovida por sua escola, os estudantes do terceiro ano do Ensino

Mdio resolveram montar uma barraca para arrecadar fundos para a realizao da to

sonhada festa de formatura. Alguns estudantes queriam montar uma barraca de doces,

outros queriam vender refrigerantes e salgados, mas a maior parte da turma pensou em

bolar um jogo de apostas. S faltava saber qual seria o jogo, que deveria ser simples e

interessante.

Depois de muita discusso e nenhuma definio, a turma resolveu pedir

ajuda ao professor de Matemtica. O professor, lembrando-se do

Conde de Buffon, levou a turma para o ptio da escola

e mostrou o piso quadriculado, com ladrilhos

quadrados de 30 cm de lado. Neste momento,

o professor fez a seguinte sugesto:

Que tal construir discos com um certo dime-

tro para serem comprados pelos convidados e jo-

gados aleatoriamente no piso? Se o disco, depois

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Saiba Mais Probabilidade e Geometria, um casamento perfeito

A imagem do naturalista e matemtico Georges Louis Leclerc, o Conde de Buffon

(17071788). Ele discutiu a probabilidade de ganho no jogo dos discos, num livro em

1777, juntamente com o famoso problema da agulha. Diz a Histria que este livro o

primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geomtrica.

Saiba Mais

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de parar, ficar inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar ou interceptar as linhas de

separao do ladrilhamento, o convidado receber um prmio.

Posies favorveis ao jogador Posies favorveis aos formandos

Figura 6: Regra bsica para o jogo dos discos

Os alunos adoraram a ideia e, na mesma hora, comearam a pensar qual seria o melhor

dimetro para os discos. Claro que quanto maior melhor, pensaram...

O professor completou:

Vocs s precisam tomar cuidado na hora de determinar o dimetro desses discos, pois

os convidados da festa somente iro se interessar pelo jogo se acharem que tm chance

de ganhar o prmio. Agora me digam: qual seria o dimetro ideal? Vamos resolver este

problema em sala de aula?

Ento, voc gostou da sugesto do professor? Ele foi bem esperto, no acha? Conseguiu

motivar os estudantes para suas aulas e ainda props o ensino de probabilidade de forma

ldica, agradvel e significativa.

Voc tambm pode propor esse jogo para os seus estudantes. Mas para que essa ati-

vidade d certo, voc precisa dominar todo o processo de construo do conhecimento

proporcionado por ele. Como? Estudando e experimentando.

E vamos comear agora!

4. Estudo do jogo dos discosNosso primeiro objetivo determinar qual a influncia do dimetro do disco e do

tamanho dos lados dos ladrilhos na probabilidade de o jogador ganhar com lanamentos

aleatrios no jogo dos discos.

Para estudar os conceitos matemticos envolvidos, vamos fazer vrios experimentos

considerando discos de dimetros variados. Faremos muitos lanamentos aleatrios e

anotaremos tudo, para comparar as jogadas vencedoras com o total delas.

Podemos sair por a e procurar pisos ladrilhados para fazer os lanamentos. Mas fica

mais prtico se adotarmos algumas simplificaes, principalmente se quisermos executar

os lanamentos em sala de aula. Nossa sugesto construir um quadriculado, com qua-

drados de 3 cm de lado, desenhados em papel cartolina de 42 cm 42 cm. O lado de 3 cm

combina bem com moedas pequenas e botes de camisa.


Uma vez construdo o quadriculado, vamos inicialmente lanar moedas de 10 centavos

como discos. O inconveniente das moedas que, embora existam muitos tipos, elas no

tm grande variao no dimetro. Por isto, mais adiante, ser preciso lanar tambm bo-

tes de camisa com dimetros variados, para explorar diversas possibilidades em nossos

lanamentos.

Mas, por ora, vamos colocar a cartolina quadriculada em uma mesa e lanar, aleato-

riamente, moedas de 10 centavos da segunda famlia de moedas do real, que possuem 2

cm de dimetro.

Voc pode lanar mais de uma moeda ao mesmo tempo. Veja na Figura 7 um

exemplo de lanamento de cinco moedas de 10 centavos em um quadriculado com

quadrados de 3 cm de lado.

Como vimos nas regras do jogo, um lanamento (tambm denominado evento)

favorvel se a moeda cair inteiramente dentro de um quadrado, e no favorvel se tocar

ou interceptar alguma linha do quadriculado. Como voc pode ver na figura a seguir, os

eventos C e D so favorveis, e os eventos A, B e E so no favorveis.

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Figura 7: Quadriculado com cinco lanamentos, sendo dois favorveis e trs no

favorveis

cm de dimetro.

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Aps realizar os passos anteriores, est pronto o quadriculado formado por

quadrados de 3 cm de lado.

Com o auxlio da rgua e um esquadro (ou utilizando um par de esquadros), comece a construir o

quadriculado, traando segmentos de reta verticais e

horizontais, partindo dos pontos marcados na folha.

Material cartolina j recortada em 42 cm x 42 cm; rgua; par de esquadros; fita adesiva e lpis

Antes de tudo fixar a folha na mesa com uma fita adesiva, para evitar que ela se mova e prejudique a construo

Marque, com o auxlio da rgua, pontos distantes 3 cm um do outro, ao

longo de duas bordas da folha (uma

horizontal e outra vertical).


Antes de iniciarmos os lanamentos, importante fazermos algumas reflexes. Faa a atividade a seguir e pense nas

questes propostas.

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1,00 24,00 4,27 1,20 Liso Ao inoxidvel2

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0,01 17,00 2,43 1,65 Liso Ao revestido de cobre

0,05 22,00 4,10 1,65 Liso Ao revestido de cobre

0,10 20,00 4,80 2,23 Serrilhado Ao revestido de bronze

0,25 25,00 7,55 2,25 Serrilhado Ao revestido de bronze

0,50 (1998 a 2001)

23,00 9,25 2,85 Legenda* Cupronquel

0,50 (2002 em diante)

23,00 6,80 2,85 Legenda* Ao inoxidvel

1,00 (1998 a 2001)

27,00 7,84 1,95Serrilha

intermitenteCupronquel (ncleo)

e Alpaca (anel)

1,00 (2002 em diante)

27,00 7,00 1,95Serrilha

intermitente

Ao inoxidvel (ncleo)e Ao revestidode bronze (anel)

* ORDEM E PROGRESSO BRASILFonte: Banco Central do Brasil

Multimdia

Em 1998, o Banco Central lanou a

2 famlia de moedas do Real. Em vez

do ao inoxidvel, que reveste a 1

famlia, as moedas da 2 famlia so

feitas de ao carbono, revestidas de

cobre ou lato, com exceo da mo-

eda de 50 centavos, que feita com

uma liga de cobre-nquel. A 2 famlia

de moedas tem cores, formatos e

tamanhos diferentes das moedas da

famlia anterior.

Veja, nas tabelas ao lado, as carac-

tersticas tcnicas que diferenciam

essas duas famlias de moedas.

Para obter mais informaes, voc

pode acessar o site:

Multimd

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Atividade 2 Algumas questes para pensar

Como proceder com os lanamentos para que sejam aleatrios?

Um jogador, ao lanar uma moeda, chega bem perto e mira no centro de um quadrado. Seu lanamento aleatrio?

O que acontece se fizermos 1.000 lanamentos com uma moeda cujo di-

metro maior do que o lado do quadrado

do quadriculado?

Um estudante, ao desenhar um quadriculado, usou um pincel de ponta grossa, que faz linhas de 3 mm. O que muda?

Um estudante foi solicitado pelo professor a fazer 200 lanamentos de uma determinada moeda. Teve a seguinte

ideia para acelerar a contagem: arrumou dez moedas iguais

e lanava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20

lanamentos, mas contou 200. Isso pode?

Se for vlido o lanamento de vrias moedas de uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em

um determinado lanamento, duas moedas ficarem so-

brepostas?

metro maior do que o lado do quadrado

Atividade 2

e lanava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20

lanamentos, mas contou 200. Isso pode?

Se for vlido o lanamento de vrias moedas de

uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em

um determinado lanamento, duas moedas ficarem so-


AB

C D

E

As questes que voc acabou de responder tm a ver com aspectos comumente levan-

tados por alunos envolvidos no estudo de probabilidade, e sempre bom refletir sobre

elas antes de iniciar o desenvolvimento deste contedo. Alm destes aspectos, h ainda

alguns pontos que desejamos relembrar com voc, antes de iniciarmos nosso experimento

propriamente dito. Vamos l?

Voc sabe que, para estimar uma probabilidade, devemos contar os casos favorveis e

dividir esse nmero por todos os casos possveis.

No caso do jogo dos discos, para se estimar a probabilidade de ganho com um deter-

minado disco, devemos realizar um grande nmero de lanamentos com este disco, contar

quantas vezes o disco parou inteiramente dentro de um quadrado (lanamento favorvel)

e dividir esse nmero de lanamentos favorveis pelo nmero total de lanamentos reali-

zados. O resultado dessa diviso uma estimativa aproximada da probabilidade de ganho

com o disco em questo.

Por exemplo, a figura ilustra um lanamento aleatrio de 5 moedas idnticas de 10 cen-

tavos num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Nesta situao, podemos estimar

a probabilidade de ganho com a moeda de 10 centavos,

calculando a razo entre os lanamentos favorveis (C e D)

e o total de lanamentos (A, B, C, D e E).

Na situao da figura acima, a probabilidade aproxima-

da de ganho com a moeda de 10 centavos :

20,4%

5

lanamentos favorveisp

total de lanamentos= = = ou 40%

A probabilidade de ganho com um disco depende do

seu dimetro. Indicando o dimetro por d (em cm), a probabilidade de ganho p ser uma

funo de d, e, assim, escrevemos ( )p d .

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Resposta comentada

Sentiu alguma dificuldade para responder s questes

anteriores? Ento preste ateno nas explicaes a seguir.

Perceba que, se a moeda for lanada horizontalmente e a

certa distncia do tabuleiro, pode-se praticamente assegurar

que o lanamento aleatrio. A distncia no precisa ser

muito grande. Deve-se evitar mirar em um quadrado, ou

deixar cair verticalmente a moeda. prefervel que no se-

jam colocados obstculos nos lados

do quadriculado e nem colocar o

quadriculado junto a paredes.

Observe tambm que, ao lanar

uma moeda ou um disco com dimetro maior do que o lado

dos quadrados do quadriculado, ele sempre tocar algum

lado de um quadrado. Neste caso, o jogador nunca ganha.

importante que a espessura das linhas do quadriculado

seja a mais fina possvel, caso contrrio o tamanho dessa

espessura pode influenciar na probabilidade de ganho do

jogador. No Ciclo 2, esta questo ser tratada com maior

profundidade.

Para acelerar a contagem, voc pode lanar vrias moe-

das ou discos idnticos de uma s vez, desde que haja um

razovel espalhamento. Se dois discos carem sobrepostos,

pode-se retirar o de cima e fazer novo lanamento apenas

com ele.


Considerando que a moeda de 10 centavos tem 2 cm de dimetro, na situao da

Figura 7 temos ( )2 40%p .Mas ser que essa informao corresponde realidade? Em breve, voc ir descobrir.

Para prosseguir com nosso experimento, precisamos obter estimativas de ( )p d para

outros valores de d. Deste modo, voc pode fazer outros lanamentos com moedas de 25

centavos da segunda famlia de moedas do real, que possuem 2,5 cm de dimetro,

com botes idnticos de camisa, com cerca de 1,1 cm de dimetro, e com botes

idnticos de roupinhas de beb, com cerca de 0,8 cm de dimetro.

Agora sim! Na atividade a seguir, voc vai fazer o experimento por completo. Faa

a atividade com cuidado e ateno. No se esquea que tudo deve ser registrado.

A atividade experimental de lanamentos de moedas e botes em uma cartolina

quadriculada, com quadrados de 3 cm de lado, tambm foi realizada pela equipe

do Matem@tica na Pr@tica.

Atividade 3 Costurando conhecimento

Com o quadriculado sugerido anteriormente (com qua-

drados de 3 cm de lado, desenhado em papel cartolina de 42

cm x 42 cm), faa 200 lanamentos com cada um dos quatro

tipos de discos indicados (moedas de 25 centavos, moedas

de 10 centavos, botes idnticos de camisa e botes idnticos

de roupinhas de beb).

Com isso, voc ir estabelecer a relao existente entre

o dimetro do disco e a probabilidade de o jogador ganhar,

lanando aleatoriamente esse disco em quadrados de 3 cm

de lado.

Lembre-se de que, ao lanarmos 200 vezes um disco de

dimetro d, a probabilidade estimada ( )p d de ganho com o

disco :

( ) 200

nmero de lanamentos favorveisp d

Deste modo, siga as instrues passo a passo:

1 passo Realize um lanamento com dez moedas de 10

centavos simultaneamente (discos de 2,0 cm de dimetro).

Repita esse procedimento 20 vezes.

Sugerimos, para esse incio do experimento, organizar

os dados na tabela a seguir. Aps registrar os dados obtidos,

calcule a probabilidade de ganho com essa moeda.

Tabela 1: Dados obtidos no lanamento das moedas de 10 centavos

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100

L = nmero do lanamento F = quantidade de lanamentos favorveis

Q = quantidade de moedas lanadas T = totalizao das colunas

Wag

ner M

eira

Be

Foto

s: D

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J

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e M

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Wag

ner M

eira

Be

Ric

ardo

Mig

uel C

arri

n C

arra

cedo

Atividade 3


2 passo Prossiga a experincia, fazendo lanamentos

simultneos com dez moedas de 25 centavos (discos de 2,5

cm de dimetros).

Continue registrando os dados obtidos na tabela a seguir

e no se esquea de calcular a probabilidade de ganho com

essa moeda.

Tabela 2: Dados obtidos no lanamento das moedas de 25 centavos

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100



3 passo Faa agora lanamentos simultneos, utilizando

dez botes de camisa idnticos (discos com cerca de 1,1 cm

de dimetro).

Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de

ganho com esse boto.

Tabela 3: Dados obtidos no lanamento dos botes de camisa

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100




4 passo Finalmente, faa lanamentos simultneos, utili-

zando dez botes de roupinha de beb idnticos (discos com

cerca de 0,8 cm de dimetro).

Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de

ganho com esse boto.

Tabela 4: Dados obtidos no lanamento dos botes de roupinhas de beb

L Q F L Q F

1 10 11 10

2 10 12 10

3 10 13 10

4 10 14 10

5 10 15 10

6 10 16 10

7 10 17 10

8 10 18 10

9 10 19 10

10 10 20 10

T 100 T 100



Imaginamos que voc, professor, realizou todos os passos

indicados anteriormente. Sugerimos, ento, organizar os

dados em outra tabela, como a que est a seguir:

Tabela 5: Organizando os dados obtidos com lanamentos experimentais de discos com dimetros variados

Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm

Tipo de disco

Dimetro (cm)

Quant. de lanamentos

Eventos favorveis

Probabilidade de ganho

Agora, responda:

Qual foi a probabilidade encontrada no lanamento de 200 moedas de 10 centavos? Compare este valor com o valor

encontrado no exemplo da Figura 7. Os dois resultados esto

muito diferentes? Por que isso aconteceu?

Como voc pode decidir se 200 lanamentos so su-ficientes para obter uma preciso de uma casa decimal no

valor de ( )p d ? No seriam necessrios mais lanamentos?

Ser que 100 lanamentos no seriam suficientes?

Imaginamos que voc, professor, realizou todos os passos


Imagine que voc est realizando esse experimento em sala de aula. Um dos seus estudantes, ao

lanar os discos no tabuleiro, conjecturou que

essa probabilidade seria a razo entre a rea

da superfcie do disco pela rea do quadrado.

Com os conhecimentos obtidos at o momento,

como ser possvel ver se o estudante fez uma

boa conjectura?

Que dificuldades podemos encontrar para medir o dimetro de uma moeda ou de botes, usando uma rgua?

Verifique qual a melhor forma de obter essa medida. Voc

pode fazer uma estimativa para o erro em seu mtodo de

medio?

Voc deve ter observado que o texto d a entender que, ao lanar discos em um quadriculado com quadrados

de 3 cm de lado, melhor escolher discos com dimetros

espalhados no intervalo [0,3]. Por que isso?

Considerando que a probabilidade um quociente, qual o menor valor que ela pode atingir e qual o maior valor?

Resposta comentada

Agora, vamos responder s questes propostas:

1 O valor encontrado com o lanamento de 200 moe-

das provavelmente foi diferente daquele encontrado

na situao da Figura 7, com apenas 5 moedas. Difi-

cilmente, com 5 lanamentos, voc obtm uma boa

estimativa da probabilidade em questo.

2 Como no conhecemos o valor exato da probabilida-

de, no temos como precisar quantas casas decimais

Uma conjectura uma ideia baseada em suposies, com fundamento no ve-rificado, ou seja, no foi provada como verdadeira.


exatas encontramos com 200 lanamentos. Quanto

mais lanamentos fizermos com discos de um de-

terminado dimetro d, maiores sero as chances

de obtermos uma estimativa melhor de ( )p d . Esta

experincia, com grupos de estudantes que realiza-

ram essa atividade, sugere que 200 lanamentos

uma quantidade adequada. Voc, professor, tambm

pode investigar isto.

3 Os experimentos no confirmam essa conjectura. Por

exemplo, no caso da moeda de 10 centavos, com raio

1r = cm e quadrados de lado 3= cm, pela conjec-

tura do estudante teramos ( )

2

22 0,349

9

rp

= =

,

mas nos experimentos obtivemos (2) 0,135p .

4 Uma boa forma de medir dimetros de discos usar

um paqumetro. Se usarmos uma rgua numerada

com centmetros, a preciso obtida ser de 1 mm,

isto se a rgua foi bem fabricada. Uma

forma de melhorar essa preciso en-

fileirar dez discos, colocando-os bem

alinhados, medir o total dos dimetros

e dividir por 10. Isto d uma preciso

de 0,1 mm.

5 Geralmente, o conhecimento dos va-

lores assumidos por uma funo em

pontos bem espalhados em seu domnio

fornece uma boa ideia da funo.

6 Revendo a definio de probabilidade dada nesse

texto, vemos que ela um quociente em que o nume-

rador sempre menor que ou igual ao denominador.

Portanto, o maior valor possvel da probabilidade 1.

A probabilidade pode ser zero se no houver eventos

favorveis, pois nesse caso o numerador zero.

Os dados obtidos pela equipe esto organizados nas tabelas a seguir.

Tabela 6: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica com moedas de 10 centavos

L Q F L Q F

1 10 4 11 10 3

2 10 1 12 10 1

3 10 2 13 10 2

4 10 1 14 10 0

5 10 1 15 10 1

6 10 1 16 10 2

7 10 0 17 10 2

8 10 0 18 10 0

9 10 3 19 10 2

10 10 1 20 10 0

T 100 14 T 100 13



Paqumetro um instrumento de pre-ciso para medio de espessuras, di-metros e pequenas distncias.


Note que a equipe do Matem@tica na Pr@tica fez 200 lanamentos com moedas de

10 centavos, dos quais 14 13 27+ = foram favorveis, obtendo uma estimativa para a pro-

babilidade de ganho com esta moeda de:

270,135 13,5%

200

nmero de eventos favorveis

nmero total de eventos= = =

Considerando que uma moeda de 10 centavos tem 2 cm de dimetro, a equipe do

Matem@tica na Pr@tica obteve

(2) 0,135p

O experimento prosseguiu com moedas de 25 centavos, que tm 2,5 cm de dimetro,

com botes de camisa de 1,1 cm de dimetro e com botes de roupinha de beb de 0,8

cm de dimetro. Foram feitos 200 lanamentos para cada tipo de disco, e os resultados

obtidos esto dispostos na tabela a seguir.

Tabela 7: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica.

Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm

Tipo de disco

Dimetro (cm)

Quant. de lanamentos

Eventos favorveis

Probabilidade de ganho

Botozinho 0,8 200 117 0,585 58,5%=

Boto 1,1 200 78 0,39 39%=

Moeda R$ 0,10

2,0 200 27 0,135 13,5%=

Moeda R$ 0,25

2,5 200 10 0,05 5%=

Em resumo, para um quadriculado com quadrados de lado de 3 cm, a equipe do Ma-

tem@tica na Pr@tica obteve as seguintes estimativas:

(0,8) 0,585p

(1,1) 0,39p

(2) 0,135p

(2,5) 0,05p

Retomando nosso estudo...

Agora que voc j percebeu que existe uma relao entre o dimetro do disco e a pro-

babilidade de ganho com este disco, podemos caminhar na direo da questo levantada

pelo professor de Matemtica para os formandos da escola:

Vocs s precisam tomar cuidado na hora de determinar o dimetro desses discos,

pois os convidados da festa somente iro se interessar pelo jogo se acharem que tm

chance de ganhar o prmio. Agora me digam: qual ser o dimetro ideal? Vamos resolver

este problema em sala de aula?


Nesta direo, vamos considerar inicialmente um jogo justo, em que a

probabilidade de ganho de 50%, num quadriculado com quadrados de

3 cm de lado. Qual deve ser o dimetro do disco ?

J sabemos que devem ser considerados apenas dimetros entre 0 cm e 3 cm, corres-

pondentes a probabilidades de ganho entre 0% e 100%. J que 50% ponto mdio entre

0% e 100%, a primeira ideia para o clculo desse dimetro considerar o ponto mdio de

0 cm e 3 cm, no acha professor? Sendo assim, o dimetro do disco que ofereceria uma

probabilidade de ganho de 50% seria de 1,5 cm. Ser que esta considerao est correta?

Os experimentos feitos at agora so suficientes para decidir isto?

Examinando a Tabela 7, fcil perceber que no. Os valores tabelados indicam que

o dimetro procurado deve ser algo entre 0,8 cm e 1,1 cm. Para obter uma informao

mais precisa, voc pode fazer lanamentos com discos de dimetros intermedirios, por

exemplo 0,9 cm e 1,0 cm. Recursos computacionais podem ajudar nesse refinamento.

Existe outra forma de obter essa informao. Que tal fazer um grfico? isso mesmo,

podemos plotar os pontos ( ; ( ))d p d que j temos em um grfico. Supondo que o grfico da

funo ( )p d seja uma curva contnua, podemos desenhar uma curva que melhor se ajuste

aos pontos plotados. Vamos fazer?

Atividade 4 Visualizando probabilidades

Utilize os eixos a seguir para plotar os dados que voc

obteve na Tabela 5.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

p(d)

d

Resposta comentada

Seguem abaixo os dados plotados pela equipe do Ma-

tem@tica na Pr@tica, conforme Tabela 7.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

p(d)

d

Observe que o eixo horizontal deste grfico refere-se ao

dimetro d dos discos. Como nosso quadriculado feito de

quadrados de 3 cm de lado, indicamos a abscissa de 0 a 3.

O eixo vertical deste grfico refere-se probabilidade ( )p d ,

Atividade 4

Ada

m C

iesi

elsk

i /

SXC

Plotar significa dese-nhar, especialmente um grfico, basean-do-se em informa-es fornecidas.


O prximo passo desenhar a curva contnua que melhor se ajusta a esses pontos.

Depois de traar a curva, e isso ns vamos deixar por sua conta, voc vai observar que ela

no uma reta, parecendo ser parte de uma parbola com vrtice em (3;0). A partir da,

fica fcil descobrir o dimetro ideal dos discos para que o jogo seja justo.

que pode assumir valores de 0 a 1 (ou de 0 a 100%, se for

expresso em porcentagem).

O grfico mostra-nos os pontos obtidos nos experimen-

tos (ver Tabela 7). Percebeu que existem dois pontos no gr-

fico que no foram obtidos no experimento? A explicao

simples. Observe que, se um disco tiver 3 cm de dimetro, a

probabilidade de ganho do jogador 0. Por isto. acrescenta-

mos o ponto (3,0). Acrescentamos ainda o ponto (0,1), admi-

tindo que se o disco tem dimetro 0, ento a probabilidade

de ganho total ( igual a 1). Portanto, no grfico mostrado

anteriormente foram marcados os pontos:

(0;1) (0,8;0,58) (1,1;0,39) (2;0,135) (2,5;0,05) (3;0)

Atividade 5

Utilize os eixos a seguir para fazer um esboo da curva

( )p d que melhor se ajusta aos valores obtidos pela equipe

do Matem@tica na Pr@tica.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

p(d)

d

Agora, responda:

Qual deve ser o dimetro aproximado do disco, para uma probabilidade de acerto de 0,5 ou 50%?

Voc se lembra de que as funes 2( )p d ad bd c= + + so as que possuem grfico na forma de uma parbola?

Vamos supor que o grfico seja, de fato, uma parbola, com

vrtice no ponto (3;0). Nestas circunstncias, encontre os

valores dos coeficientes a, b e c.

Resposta comentada

A curva ajustada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica

apresentada a seguir:

Atividade 5


10.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

p(d)

d

7 Usando o grfico, podemos resolver o problema,

pensando de forma inversa, isto , qual deve ser a

abscissa que corresponde a uma ordenada de 0,5.

Observe que podemos traar uma linha horizontal

com ordenada 0,5 (essa a probabilidade de ganho

que desejamos). Ela toca o grfico em um ponto A.

Deste ponto, traamos uma linha vertical, que inter-

cepta o eixo das abscissas no ponto 0,9.

Veja:

A

0.50 1 1.5 2 2.5 3

p(d)

d

1

0.8

0.6

0.40.5

0.2

-0.2

0

A

0.5

0.9

0 1 1.5 2 2.5 3

p(d)

d

1

0.8

0.6

0.40.5

0.2

-0.2

0

Portanto, ser preciso um disco com 0,9 cm de dimetro

para obter uma probabilidade de 50%. Lembre-se de que esta

uma soluo aproximada.

8 Precisamos, agora, descobrir os coeficientes da fun-

o 2( )p d ad bd c= + + . Assumindo que (0;3) o

vrtice da parbola, segue que 3d = uma raiz dupla

e a expresso de ( )p d se simplifica na forma 2 2( ) ( 3) 6 9p d a d ad ad a= = + . Como o grfico

passa pelo ponto (0;1), segue que 9 1a = e, conse-

quentemente, 1

9a = ,

2

3b = e 1c = .

SER QUE ESSE JOGO PODE SERVIR DE TRANSIO ENTRE

O ESTUDO DE FUNES LINEARES E FUNES

QUADRTICAS?


5. Da cartolina para o cho da escolaProfessor, vamos agora variar nosso experimento?

Os lanamentos no jogo dos discos tambm podem ser realizados no cho da escola,

em pisos ladrilhados com quadrados. Um piso muito comum em reas pblicas so aqueles

feitos com quadrados de 30 cm de lado. Para a experincia com esses pisos, podem ser

construdos discos de vrios dimetros. Uma forma cmoda comprar anis de vedao

de canos de esgoto, disponveis em lojas de material de construo em vrios dimetros.

Figura 8: CDs ou argolas tambm so boas opes de discos para tabuleiros de grandes dimenses

Figura 9: Os anis de vedao de canos de esgoto so timos discos

para o nosso jogo

Saiba Mais

Suponha que o jogo dos discos acontea em um quadriculado com os

quadrados de 3 cm de lado, deslocados como na Figura direita. Voc

acha que essa disposio acarreta resultados diferentes dos anteriores?

Como se pode verificar isso?

Uma forma de verificar fazer experimentos com esse novo quadriculado

e comparar os resultados com o quadriculado anterior. Naturalmente, os

quadrados de ambos os quadriculados devem ter o mesmo lado.

Mas, vamos pensar...

Imagine que a posio do disco, depois de lanado, depende apenas de seu centro. Isso bem razovel, pois

bastante provvel que o disco caia deitado. Assim, quando o disco lanado, podemos imaginar que seu centro

escolhe um quadrado onde cair (se o quadriculado for suficientemente grande, ele tem de escolher um quadrado).

Ento no importa se o quadrado escolhido estiver deslocado em relao ao que est abaixo ou acima.

No Ciclo 2, vamos aplicar uma certa teoria e isto vai ficar mais claro.

Saiba Mais

Paul

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ConclusoVoc gostou da escolha do jogo dos discos como uma das atividades deste curso?

Entendemos que o jogo dos discos uma atividade prtica que aproxima os contedos

acadmicos do cho da escola. Trata-se de uma atividade simples e motivadora para os

estudantes, facilmente aplicvel pelo professor em sala de aula.

Existem muitos problemas envolvendo probabilidade geomtrica. O jogo dos discos,

que acabamos de experimentar, apenas um exemplo. Voc pode pesquisar outros pro-

blemas interessantes, relacionados ao tema, criar algumas atividades e aplic-las com os

seus alunos.

No decorrer deste mdulo, voc tambm poder fazer uma interao do jogo dos

discos com o desafio dos polgonos regulares.

Com isso, terminamos a primeira parte de nossa apresentao do jogo dos discos.

Esperamos que voc tenha gostado da nossa proposta.

At a prxima!

ResumoDurante este Ciclo:

Experimentamos o jogo dos discos, que consiste em lanar aleatoriamente discos em um quadriculado e observar se o disco fica inteiramente dentro de um dos qua-

drados do quadriculado;

Vimos que, neste jogo, a probabilidade do disco ficar inteiramente dentro de um quadrado depende do lado do quadrado e do dimetro do disco;

Construmos um grfico com os pontos obtidos no experimento e chegamos a um trao que indica ser um pedao de parbola.

Por fim, atravs do grfico que representa a probabilidade em funo do dimetro do disco, vimos que possvel determinar a chance de o jogador realizar uma jogada

favorvel.

Informaes para o prximo cicloProfessor, no Ciclo 2 retomaremos o estudo do jogo dos discos. Ali faremos uma abor-

dagem mais terica e obteremos uma expresso exata para a funo p(d).

Figura 10: Imagine s como ficaria

interessante o jogo dos discos em

um ladrilhamento hexagonal.

Paul

o V

asqu

es d

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irand

a

5. Da cartolina para o cho da escola 31

Svile

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XC

Ciclo II

Explorando o Jogo dos Discos

Bem-vindo, professor, ao Ciclo 2 do jogo dos discos.

No Ciclo 1 voc experimentou o jogo dos discos e percebeu como ele pode ajud-lo a pensar sobre probabilidade e a trabalhar com este conceito na sua sala de aula. Neste Ciclo vamos desenvolver uma abordagem mais terica para o jogo dos discos, explorando questes ligadas probabilidade geomtrica.

Para comear, reflita sobre as seguintes questes:

Como podemos construir uma anlise matemtica mais elaborada para o jogo dos discos?

Como podemos obter uma expresso algbrica para a probabilidade envolvida no jogo dos discos a partir da geometria de seus elementos?

De que forma a articulao entre uma abordagem experimental e uma abordagem terica pode enriquecer suas aulas de probabilidade?

O QUE VOC ACHOU DO CICLO 1 DO JOGO DOS DISCOS?EU ADOREI ESSA PROPOSTA DE ENSINAR MATEMTICA

ATRAVS DE EXPERIEMENTOS.

OI, MEU NOME JOS E EU TAMBM ESTOU

FAZENDO MATEM@TICA NA PR@TICA.

ACHO QUE VOU APROVEITAR ESSA IDEIA E CRIAR UM PROJETO SOBRE O DESAFIO DO JOGO

DOS DISCOS L NA ESCOLA

lEMBRA QUE CONSTRUMOS UM QUADRICULADO COM 3 CM DE LADO? DEPOIS FIZEMOS VRIOS LANAMENTOS COM MOEDAS E

BOTES DE DIVERSOS DIMETROS?

COM ESSE GRFICO CONSEGUIMOS

DETERMINAR O DIMETRO APROXIMADO DO DISCO

PARA UMA PROBABILIDADE

DE 50%.

DETERMINAMOS A PROBABILIDADE APROXIMADA DAS

MOEDAS E BOTES FICAREM DENTRO DE UM QUADRADO EM LANAMENTOS

ALEATRIOS NO QUADRICULADO.

MAS, QUE TAL RELEMBRARMOS RAPIDAMENTE O

QUE FIZEMOS NO CICLO 1?

DEPOIS, COM OS DADOS OBTIDOS,

CONSTRUMOS O GRFICO DA PROBABILIDADE EM FUNO DO DIMETRO

DO DISCO.

MAS... E AGORA?O QUE SER QUE

NOS ESPERA PARA O CICLO 2?

ESSA ATIVIDADE FOI BEM LEGAL!

1. Recapitulando

1. Recapitulando 35

Figura 1: A imagem do lanamento de CDs em um piso quadriculado mostra dois exemplos: jogadas favorveis (indicadas por setas), onde os discos esto inteiramente dentro do quadrado, sem encostar nas bordas, e

jogadas no favorveis, onde os CDs esto sobrepostos borda do ladrilhamento

A histria em quadrinhos nos ajudou a lembrar brevemente a experimentao do

jogo dos discos realizada no primeiro Ciclo. Vamos pensar agora em algumas questes

especficas que foram trabalhadas?

Estas questes nos ajudaro a refletir sobre os conceitos que iremos desenvolver neste

Ciclo 2.

No Ciclo 1 vimos a histria de uma turma de formandos do terceiro ano do Ensino

Mdio que precisava arrecadar fundos para a realizao da sua festa de formatura e pediu

ajuda ao professor de Matemtica da escola... Voc lembra qual foi a sugesto do professor

para a turma de formandos?

Ele sugeriu aos estudantes o uso do jogo dos discos para arrecadar fundos na festa

da escola. Nesse jogo, os participantes comprariam lanamentos de discos e receberiam

prmios pelos lanamentos favorveis.

Mas voc lembra o que um lanamento favorvel?

No jogo dos discos, um lanamento considerado favorvel quando o disco, lanado

aleatoriamente em um plano quadriculado, para inteiramente dentro de um quadrado sem

tocar ou ficar sobreposto s linhas do quadriculado.

Assim, na histria dos formandos, se o participante fizesse um lanamento favorvel,

ele lucraria. Se, ao contrrio, no conseguisse fazer este tipo de lanamento, os formandos

lucrariam. Com esse lucro, os estudantes ganhariam dinheiro para a festa de formatura.

O professor, ao propor o uso do jogo dos discos aos formandos, levou a turma para o

ptio e mostrou que o cho era todo ladrilhado com quadrados de 30 cm de lado. Desse

modo, a turma s precisaria construir os discos.

Mas qual o dimetro ideal para esses discos? Esse era o problema que os estudantes

teriam que resolver. No Ciclo 1 propusemos que voc resolvesse essa mesma questo dos

estudantes formandos...

Mig

uel U

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SXC

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tica

na P

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a

36 Mdulo I Jogo dos discos Ciclo II

... e para resolver voc fez vrios experimentos lanando discos de dimetros varia-

dos em um plano quadriculado. Ao comparar esses lanamentos, foi possvel entender,

experimentalmente, como o dimetro do disco influencia na probabilidade de ele cair

inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado.

No Ciclo 1 percebemos ainda que a probabilidade de o disco cair dentro de um dos

quadrados de um quadriculado depende no s do dimetro do disco, mas tambm do

lado do quadrado.

Todo esse conhecimento adquirido no Ciclo 1 ser de grande importncia na nova abor-

dagem que iremos construir neste Ciclo 2. Por isso comeamos com esta recapitulao!

Aqui, neste segundo Ciclo, vamos dar um tratamento algbrico ao jogo dos discos,

resgatando sempre os experimentos realizados anteriormente.

Agora que nossa memria foi atiada, vamos pensar sobre a nova abordagem que

iremos desenvolver no Ciclo 2?

2. O que h de novo neste Ciclo?Neste Ciclo iremos determinar precisamente a probabilidade de um lanamento ser

favorvel no jogo dos discos, utilizando o conceito de Probabilidade Geomtrica.

No Ciclo 1 voc obteve, atravs de experimentos, estimativas para a probabilidade de

lanamento favorvel no jogo dos discos em funo do dimetro. Neste Ciclo iremos fazer

uma abordagem terica para obter uma frmula algbrica exata para essa funo ( ( ))p d .

Voc deve estar se perguntando: por que fazer uma abordagem terica se j resolve-

mos o problema experimentalmente?

A abordagem terica ir fornecer uma expresso exata para a funo probabilidade, e

no estimada, como no mtodo experimental. Alm disso, a teoria pode evitar a necessi-

dade da construo do experimento. No o nosso caso, mas um experimento pode ser

muito custoso. Lembramos que a expresso exata pode conter parmetros (como o lado

varivel do quadrado do quadriculado), permitindo, assim, estabelecer a probabilidade do

jogo dos discos em qualquer quadriculado.

Mas como faremos isso?

J que temos um problema para resolver, iremos adotar a seguinte estratgia de reso-

luo, que voc tambm pode adotar com seus estudantes.

ETAPA Para resoluo do problema

Wag

ner M

eira

Be

D

eniz

Ong

ar /

SXC

2. O que h de novo neste Ciclo? 37

Estratgia para resoluo de problemas

Identificar o problema e formular o que desejamos saber.

Procurar, selecionar e interpretar informaes relativas ao problema.

Verificar se existem teorias que podem ser aplicadas.

Validar a interpretao recorrendo a informaes conhecidas.

Aplicar a teoria e interpretar o problema atravs de linguagem

adequada (funes, frmulas, grficos, tabelas, etc.)

Utilizar o modelo construdo para explicar, fazer previses, etc.

p(d)

P

00

1

10 20 30

d

0

L

02

04

06

08

1

Den

iz O

ngar

/ S

XC

Ove

Tp

fer

/ SX

C

Mig

uel U

gald

e /

SXC

H

arris

on K

eely

/ S

XC

Gui

llerm

o A

lvar

ez /

SXC


Essa foi a estratgia que escolhemos para resolver o desafio de expressar algebrica-

mente a probabilidade do jogo dos discos. Esperamos que voc se identifique com ela!

Ao longo desse desafio, voc encontrar as imagens acima nas margens de algumas

pginas. Essas imagens indicaro as etapas da resoluo do problema pela qual voc estar

passando. A primeira imagem, que representa a etapa de identificao e formulao do

problema, j apareceu... Volte algumas pginas e a encontre. Ela est mostrando exata-

mente qual o problema que iremos resolver!

Ento, vamos comear a pensar sobre este problema?

3. Posicionamento dos discos no quadriculadoVoc deve estar lembrado de que no Ciclo 1 realizamos todos os experimentos em um

quadriculado com quadrados de 3 cm de lado que ns mesmos construmos. No entanto,

na sugesto do professor de Matemtica para a turma de formandos, o quadriculado era

o prprio piso da escola, formado por quadrados de 30 cm de lado.

Foto

s: P

aulo

Vas

ques

Mira

nda


Como podemos passar do caso estudado no Ciclo 1, com o quadriculado formado por

quadrados de 3 cm de lado, para um caso mais geral, sem especificar o valor do lado dos

quadrados do quadriculado? Isto , como podemos generalizar a probabilidade do jogo

dos discos?

A generalizao em Matemtica fundamental quando pretendemos validar os dados

obtidos a partir de um determinado experimento. Este um aspecto muito importante da

Matemtica que merece ser trabalhado com os alunos da Educao Bsica, voc no acha?

Neste Ciclo buscaremos essa generalizao. Ou seja, mais uma novidade desta aborda-

gem! Esperamos que voc consiga aproveit-la em sua sala de aula.

Mas vamos por partes...

Inicialmente, vamos supor que a brincadeira ocorrer em um plano quadriculado com

quadrados, todos de mesmo lado L.

Figura 2: Ao generalizar nosso estudo, L pode ter qualquer valor

Figura 3: Impossvel fazer uma cesta com uma bola

maior do que o aro

LL

Vamos refletir sobre a relao entre o tamanho do lado

do quadrado L e o dimetro do disco lanado d?

Para entendermos a probabilidade de lanamentos favorveis em um quadriculado

qualquer, precisamos pensar no dimetro do disco que ser lanado. A probabilidade p

de um lanamento aleatrio ser favorvel uma funo do dimetro d do disco que est

sendo lanado e depende tambm do tamanho L dos quadrados do quadriculado. Indica-remos esta funo probabilidade por ( )p d .

O tamanho L, neste caso, funciona como um parmetro da funo ( )p d .

Uma informao obtida com os experimentos do Ciclo 1 diz respeito aos discos com

dimetros maiores ou iguais ao lado dos quadrados do quadriculado. Discos com essa

caracterstica nunca proporcionaro jogadas favorveis em lanamentos aleatrios, pois

sempre tocaro as linhas do quadriculado. Na lgica matemtica, esse fato representado

pela seguinte sentena:

se d L , ento ( ) 0p d =

Fica claro, ento, que os valores interessantes para o dimetro d esto no intervalo

0 d L < . Lembre-se de que, quando d L= , a jogada nunca favorvel, e, portanto, ( ) 0p L = .

Ento, professor, qual a condio geomtrica para que um disco de dimetro d esteja

contido num quadrado de lado L?

Para responder a essa pergunta vamos considerar somente a geometria do problema,

sem nos preocuparmos se o lanamento ou no favorvel.

Imagine a figura de um disco que foi lanado e est parando sobre um dos quadrados

Maa

rten

Uile

nbro

ek /

SXC

Mic

hael

Fae

s /

SXC


Figura 4: Exemplos de discos de dimetro d confinados em um quadrado de lado L. d/2

L

do quadriculado. Pense no disco confinado nesse quadrado, em todas as posies poss-

veis, tocando ou no as bordas do quadrado.

Observando a Figura 4, voc consegue visualizar que a localizao do centro de um

disco confinado no quadrado determina a posio desse disco no quadrado?

Em nossa abordagem terica, podemos considerar que lanar um disco em um quadri-

culado o mesmo que lanar um ponto (que o centro do disco) em qualquer um dos

quadrados do quadriculado.

Ainda observando a Figura 4, e considerando um grande nmero desses discos lana-

dos no interior do quadrado do quadriculado, voc consegue observar que seus centros

geram tanto a borda quanto o interior de um outro quadrado menor?

Voc saberia deduzir o lado do quadrado menor formado em funo do lado L do

quadrado do quadriculado e do dimetro d do disco?


Gui

llerm

o A

lvar

ez /

SXC


Atividade 1 Que quadrado menor esse?

Observe a figura ao lado e deduza o tamanho do lado

do quadrado menor formado pelos centros dos discos de

dimetro d confinados no quadrado de lado L.

L

d/2

Resposta comentada

A figura mostra o quadrado gerado pelos centros dos

discos de dimetro d confinados em um quadrado de lado

L do quadriculado. Certamente o lado desse novo quadrado

menor do que L.

L

d/2

L-dd2

d2

Note que a distncia entre o lado do quadrado menor e

o lado paralelo mais prximo do quadrado maior tem a

mesma medida do raio do disco, que 2

d, e, portanto, o lado

do quadrado menor 2 2

d dL L d = .

Atividade 1

Voc j conseguiu vislumbrar como a geometria dos quadrados da atividade anterior

pode nos ajudar a resolver o problema de probabilidade do jogo dos discos? Vamos juntos

pensar sobre isso...

4. Probabilidade geomtricaPara discutirmos a relao entre geometria e probabilidade, vamos usar o conceito de

probabilidade geomtrica. Voc o conhece?

Para entender esse conceito, vejamos o caso de um meteorito que cai na Terra e atinge

a superfcie S do planeta em um ponto aleatrio.

Fotos: Henry Hingst Lars Sundstrom / SXC


AB

Como sabemos que aproximadamente 3 / 4 da superfcie terrestre formada pelos

oceanos, podemos estimar que a probabilidade deste meteorito cair em terra firme :

1 14

4

Ssuperfcie terrestre formada por terra firme

superfcie total da Terra S =

Com esta ideia chegamos ao conceito de probabilidade geomtrica.

Como voc pode ver na figura ao lado, se tivermos uma regio B do plano contida em

uma regio A, e se for escolhido ao acaso um ponto de A, a probabilidade de que esse

ponto pertena a B :

rea de Bp

rea de A=

Este conceito de probabilidade geomtrica se aplica mesmo quando a rea de regio

B for nula, como no caso de pontos, segmentos, arcos, etc.

Assim, considerando o caso do meteorito, a probabilidade dele cair em terra firme de-

pende apenas da rea da superfcie do planeta coberta por terra e da rea total do planeta.

O conceito de Probabilidade Geomtrica pouco trabalhado no Ensino Mdio. Na

escola, frequentemente o ensino de probabilidade se restringe apenas contagem de

casos favorveis e casos possveis. Porm, o trabalho com Probabilidade Geomtrica pode

ser muito interessante para que os alunos associem estudos de probabilidade e conheci-

mentos geomtricos.


Considerando este conceito, voc consegue deduzir qual seria a

Probabilidade Geomtrica de um lanamento favorvel?

Aplicando o conceito de probabilidade geomtrica ao jogo dos discos para 0 d L < , a

regio A corresponde a um dos quadrados de lado L do quadriculado, e a regio B corres-

ponde ao interior do quadrado de lado L d , ou seja, regio dos lanamentos favorveis.

Quando 0d = , o disco um ponto qualquer do interior do quadrado de lado L, que nesse

caso corresponde regio B.

Observando que a rea de um quadrado igual rea de seu interior, vemos que a

probabilidade de um lanamento ser favorvel :

Ove

Tp

fer

/ SX

C

Maa

rten

Uile

nbro

ek /

SXC


Atividade 2 Descobrindo a expresso polinomial da funo p (d)

Voc acabou de descobrir que os centros dos discos de

dimetro d, no interior de um quadrado de lado L, onde

d L< , geram outro quadrado de lado L d .

Utilizando essa informao e o conceito de probabilida-

de geomtrica, obtemos:

2

2

( )( )

rea do quadrado de lado L d L dp d

rea do quadrado de lado L L

= =

Agora desenvolva ao mximo essa frmula e tente des-

cobrir a expresso polinomial da funo ( )p d .

Resposta comentada

Desenvolvendo ( )p d , temos:

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

( ) 2 2 1 2 11

L d L Ld d L Ld d d d

L L L L L L L

+= = + = +

da,

22

1 2p(d)= d - d+1

L L

Portanto, ( )p d uma funo quadrtica da forma 2( )p d ad bd c= + + , com

2

1a

L= ,

2b

L= e 1c = .


Atividade 2

( )rea do quadrado de lado L d

p drea do quadrado de lado L

=

Nessa frmula, L um parmetro que corresponde ao lado do quadrado do quadricu-

lado, e d uma varivel que corresponde ao dimetro do disco lanado, como explicamos.

Quer ver mais claramente que tipo de funo ( )p d ?

Mig

uel U

gald

e /

SXC

Ada

m C

iesi

elsk

i /

SXC


Figura 5: Grfico de ( )p d .

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0d

p

L

Com essa atividade, pudemos perceber que ( )p d uma funo quadrtica. Esse tipo de

funo trabalhado com frequncia no Ensino Mdio. O jogo dos discos uma ferramen-

ta interessante para voc desenvolver esse tipo de funo com seus estudantes de forma

contextualizada e significativa.

No jogo dos discos, temos uma funo quadrtica na varivel d:

2 22 2

1 2 1( ) 1 ( )p d d d L d

L L L= + =

com (0) 1p = e ( ) 0p L = .

Note que d L= uma raiz dupla dessa funo. Assim, o grfico de ( )p d parte de uma

parbola com concavidade voltada para cima e tangente ao eixo horizontal na abscissa

d L= .

J vimos o formato dessa curva no Ciclo 1, quando voc construiu um grfico como este

a partir do lanamento de discos com dimetros variados, lembra? Repetimos na figura

anterior sua forma geral. A forma exata depende de atribuirmos a L um valor determinado.

Agora que voc conhece a expresso polinomial da funo ( )p d , que nesse caso uma

funo quadrtica, vamos resgatar os dados experimentais obtidos no Ciclo 1 para discos

de vrios dimetros e comparar com os valores assumidos pela funo ( )p d para esses

mesmos dimetros.


Atividade 3 Valores exatos para a probabilidade

Vamos retomar o Ciclo 1, onde fizemos experi-

mentos com um quadriculado com quadrados de

3 cm de lado ( 3)L = . Nossos primeiros lanamen-

tos foram feitos com uma moeda de dez centavos,

com dimetro de 2 cm ( 2)d = .

Expresse a funo ( )p d nesse caso e calcule o valor exato

da probabilidade de uma jogada favorvel para 2d = .

Resposta comentada

Utilizando a expresso polinomial que deduzimos ante-

riormente e considerando 3L = , obtemos:

2 22

1 2 1 2( ) 1 1

9 3p d d d d d

L L= + = +

Calculando o valor assumido por ( )p d quando 2d = ,

obtemos:

1 2 1(2) 4 2 1 0,111

9 3 9p = + =

Portanto, para um disco com dimetro de 2 cm e um

quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, a probabili-

dade de uma jogada favorvel exatamente 1

9 (a cada 9

lanamentos, temos a probabilidade de 1 ser favorvel), ou,

aproximadamente, 0,11. Em porcentagem, a probabilidade

de aproximadamente 11%.

Atividade 3

Ada

m C

iesi

elsk

i -

Afo

nso

Lim

a /

SXC

Agora que j encontramos a probabilidade exata de uma jogada favorvel a partir de

uma abordagem terica, vamos entender como ela se diferencia da probabilidade expe-

rimental obtida no Ciclo 1.

5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica

A atividade anterior nos lembra o que fizemos no Ciclo 1, quando calculamos expe-

rimentalmente a probabilidade de um lanamento favorvel de uma moeda de 2 cm de

dimetro lanada em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado.


Figura 6: Alguns lanamentos de moedas no quadriculado desenvolvido no Ciclo 1.

Voc lembra que a probabilidade experimental :

( )quantidade de lanamentos favorveis

p dquantidade total de lanamentos

=

L fizemos 200 lanamentos com a moeda e obtivemos 27 lanamentos favorveis,

resultando numa probabilidade estimada de

27(2) 0,135

200p = .

Neste Ciclo, atravs da probabilidade terica ou geomtrica, obtivemos, por meio da

funo quadrtica, o valor exato:

(2) 1/ 9 0,111p =

Comparando os dois valores obtidos, podemos observar que existe um erro a ser

considerado. Este erro pode ser calculado pela diferena positiva entre o valor exato e o

experimental, ou seja:

experimental exato( ) ( )E p d p d=

Nesse caso:

1135 0,0238

9E =

Foto

s: A

fons

o Li

ma

/ S

XC

Ilker

/ S

XC


Atividade 4 Calculando erros

Preencha as duas primeiras colunas da Tabela (i) com os

dados que voc obteve no Ciclo 1 ao lanar moedas e botes

no quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Em segui-

da, assumindo 3L = na expresso exata de ( )p d , preencha

a prxima coluna com os valores exatos da probabilidade.

Compare os resultados e preencha a coluna dos erros.

Tabela (i): Comparando a probabilidade experimental com a probabilidade exata e estimando o erro

Tipo de disco

Dimetro cm

Prob

abili

dade

ex

peri

men

tal

Prob

abili

dade

ex

ata

Erro

Boto de roupinha de

beb

Boto camisa

Moeda R$ 0,10

Moeda R$ 0,25

Atividade 4

Foto

s: T

erri-

Ann

Han

lon

D

avid

Siq

ueira

/ S

XC

Ou seja, temos um erro menor do que 3%.

Professor, por que existe essa diferena?

O mtodo experimental resulta em um valor aproximado para a probabilidade, pois

leva em conta uma quantidade finita de possibilidades, que dada pelo nmero de lan-

amentos que fizemos. J o conceito de probabilidade geomtrica considera como pos-

sibilidades um conjunto infinito de pontos, que medido pela sua rea, servindo como

referncia para o valor exato da probabilidade em questo.

Agora voc j capaz de comparar a probabilidade exata de uma jogada favorvel com

a probabilidade experimental encontrada usando como referncia a expresso polino-

mial de ( )p d . Com isto, voc pode validar ou no a abordagem terica, utilizando os

resultados j conhecidos e analisando o erro existente entre essas duas abordagens.

A atividade a seguir bem simples e pode ser usada em sua sala de aula com seus

alunos. Nela, voc pode calcular a probabilidade exata para lanamentos de discos de di-

ferentes dimetros em um quadriculado com 3 cm de lado ( 3)L = . E ainda pode comparar

com os resultados obtidos no Ciclo 1, analisando o erro entre a probabilidade experimental

e a probabilidade exata.


p(d)

P

00

1

10 20 30

d

0

L

02

04

06

08

1


Em uma escola, o desafio do jogo dos discos foi apli-cado em seu piso, formado por peas quadradas de 30

cm de lado. Os estudantes lanaram discos de borracha

de vrios dimetros e obtiveram as probabilidades dis-

postas na tabela (ii).

Sua tarefa completar essa tabela, comparando a

probabilidade exata com a experimental e calculando

o erro.

Tabela (ii): Analisando as probabilidades obtidas em uma sala de aula

Dimetro (cm)

Probabilidade experimental

Probabilidade exata

Erro

4 0,755 75,5%=

6 0,685 68,5%=

8 0,62 62%=

10 0,5 50%=

12 0,38 38%=

14 0,32 32%=

Resposta comentada

Para completar a tabela (i), vamos em primeiro lugar descobrir qual o valor da probabilidade exata para

cada um dos discos, certo? Para isso, lembre-se de que: 2

2

1 2( ) 1p d d d

L L= + . Como o lado do quadriculado

igual a 3 cm ( 3)L = , a expresso da probabilidade exata

:

2 22

1 2 1 2( ) 1 1

(3) (3) 9 3p d d d d d= + = +

Imaginando um boto de roupinha de beb de

0,8 cm de dimetro, o valor exato determinado da

seguinte forma:

2 21 2 1 2( ) 1 (0,8) (0,8) 1 0,53777...9 3 9 3

p d d d= + = + =

Para esse mesmo boto, a equipe do Matem@tica

na Pr@tica obteve nos experimentos do Ciclo 1 uma

probabilidade de 0,585. Repare que o valor que voc

obteve pode ter sido um pouco diferente!

Agora j podemos comparar as duas probabilidades

para o boto de 0,8 cm, calculando o valor do erro.

Neste caso, o erro aproximado :

experimental exato( ) ( ) 0,585 0,538 0,047 0,05E p d p d= =

Novamente, repare que a sua probabilidade experi-

mental pode ter sido diferente e, ento, seu erro ser Adam

Cie

siel

ski

/ SX

C

Dam

ion

Mor

gan

/ S

XC

5. Probabilidade experimental versus probabilidade terica 49versus

tambm um pouco diferente, j que ele depende da

probabilidade experimental!

Seguindo esse mesmo raciocnio, preenchemos a

tabela (i) com os valores encontrados pela equipe do

Matem@tica na Pr@tica da seguinte forma:

Tipo de disco

Dimetro cm


Probabilidade exata

Erro

Boto de roupinha de beb

0,8 0,585 0,538 0,05

Boto de camisa

1,1 0,39 0,401 0,01

Moeda de R$ 0,10

2,0 0,135 0,111 0,02

Moeda de R$ 0,25

2,5 0,05 0,027 0,02

O raciocnio desta resposta bem parecido com o anterior. O que muda em relao ao item (a) que o

piso da escola formado por quadrados de 30 cm de

lado. Logo, se 30L = , a expresso exata da probabilidade

diferente da que foi encontrada no item (a), pois:

2 22

1 2 1 1( ) 1 1

(30) (30) 900 15p d d d d d= + = +

Considerando um disco de 4 cm de dimetro, o valor

exato da probabilidade pode ser calculado de forma

anloga ao anterior:

( ) 21 1 1694 (4) (4) 1 0,75111...900 15 225

p = + = =

Para esse disco obtivemos em nossos experimentos

uma probabilidade de 0,755. Sendo assim, podemos

comparar as probabilidades calculando o valor do erro:

0,755 0,751 0,004E =

Seguindo esse mesmo raciocnio, voc deve ter pre-

enchido a tabela (ii) da seguinte forma:

Dimetro (cm)


Probabilidade exata

Erro

4 0,755 75,5%= 0,751 0,004

6 0,685 68,5%= 0,640 0,045

8 0,62 62%= 0,540 0,082

10 0,5 50%= 0,450 0,050

12 0,38 38%= 0,360 0,020

14 0,32 32%= 0,284 0,036

Agora que j aprendemos a calcular a probabilidade de um lanamento favorvel ( )p d

a partir do dimetro do disco e do lado do quadrado, podemos retomar a questo trazida

pelo professor de Matemtica aos formandos da escola l do Ciclo 1.

Voc lembra que, na situao-problema de uso do jogo dos discos como forma de ar-

recadar fundos para a festa de formatura, o objetivo era determinar o dimetro do disco

em funo de uma probabilidade adequada? Probabilidade esta que proporcionasse um

certo lucro para a turma sem desestimular os jogadores.

Ao retomar esta questo estaremos avanando em nossos estudos. Vamos utilizar todo

o conhecimento desenvolvido at agora neste Ciclo 2 para darmos uma abordagem terica

a esta situao-problema trazida pelo professor. Vamos pensar sobre o conceito de Proba-

bilidade Geomtrica e sobre a frmula que desenvolvemos para encontrar a probabilidade

exata de lanamentos no jogo dos discos...

... e vamos relacionar este conhecimento situao-problema levantada pelo professor

de Matemtica.


Parece muita coisa de uma vez? Ento, vamos devagar...

Vejamos o problema inverso, que consiste em encontrar o dimetro d a partir de uma

dada probabilidade p. Note que a situao-problema levantada pelo professor da turma

de formandos inverte o que vnhamos fazendo, pois at agora sempre calculamos p a

partir de d.

Para resolvermos uma situao-problema como esta, temos que olhar a expresso

obtida para ( )p d : 2

2

1 2( ) 1p d d dL L

= +

Isolando d nessa expresso, podemos encontrar o dimetro do disco a partir de uma

dada probabilidade p. Esta conta fica mais fcil se partimos da definio de probabilidade

geomtrica dada pelo quociente de reas:

2

2

( )L dp

L

=

Manipulando esta equao temos 2 2( )p L L d= . Extraindo a raiz quadrada em ambos

os lados, vamos encontrar L p L d= . Finalmente, isolando o dimetro d obtemos:

( )1d L p=

Esta a frmula do dimetro do disco em funo da probabilidade requerida, tendo

como parmetro o lado L do quadriculado.

Por exemplo, fixado 3L = , se quisermos uma probabilidade de 50%, isto , 0,5p = , o

dimetro precisa ser:

( )3 1 0,5 0,88d =

Note que esse valor terico e exato muito prximo do valor experimental 0,9d

obtido para esta mesma situao, no Ciclo 1.

Usando este procedimento, voc pode descobrir a medida ideal do dimetro do disco

para a probabilidade de acerto que desejar. Essa probabilidade pode ser 20%, 25%, 60%,

80%... Enfim, voc quem decide a probabilidade de ganho do jogador. Considerando a

situao-problema da turma de formandos do Ciclo 1, por exemplo, essa probabilidade

deve ser alguma que proporcione lucro para os formandos e, ao mesmo tempo, encoraje

os jogadores a participar do jogo dos discos!

Com as informaes e expresses encontradas at aqui, os formandos j poderiam

decidir o valor do dimetro dos discos que utilizaro no jogo do ptio da escola.


Har

rison

Kee

ly /

SXC

H

arris

on K

eely

/ S

XC


Com o auxlio do conceito de Probabilidade Geomtrica, podemos abordar outras

situaes em que se queira realizar o jogo dos discos, variando inclusive o lado dos qua-

drados do quadriculado.

Veremos isso na prxima seo.

6. Nem tudo so parbolasImagine a seguinte situao:

Em uma escola, os estudantes resolveram aplicar o jogo dos discos usando CDs comuns

de 12 cm de dimetro. Decidiram, depois de muita discusso, que o jogo deve ter uma

Atividade 5 Um estudante esperto...

Imagine que, em uma aula de Matemtica, na qual o

professor j vinha usando o jogo dos discos para explicar

o conceito de probabilidade, um estudante perguntou qual

seria o dimetro do disco correspondente a uma probabilida-

de de 40% para um lanamento favorvel, em um piso com

quadrados de 30 centmetros de lado.

Antes mesmo que o professor pudesse falar, outro estu-

dante respondeu de bate-pronto, sem fazer contas: esse di-

metro est entre 10 cm e 12 cm. Se voc fosse esse professor,

como verificaria se essa resposta est correta?

Considere, em sua resposta, que na aula passada os

alunos construram e copiaram em seu caderno a tabela a

seguir, aps jogarem discos de diferentes dimetros no piso

da sala.

Dimetro (cm) Probabilidade experimental

4 0,755 75,5%=

6 0,685 68,5%=

8 0,62 62%=

10 0,5 50%=

12 0,38 38%=

14 0,32 32%=

Resposta comentada

Provavelmente, o estudante que respondeu de bate-

-pronto concluiu examinando rapidamente, em seu caderno,

a tabela feita na aula passada. E viu que o dimetro estaria

entre os valores de 10 e 12 cm, correspondentes respectiva-

mente s probabilidades de 50% e 38%. Espertinho, no?

Como sabemos que os quadrados do piso da sala de aula

tm lados iguais a 30 cm, ento o dimetro d que resulta em

uma probabil idade de 40% determinado por:

( )1d L p= . Substituindo os valores da probabilidade e do

lado, temos: ( )30 1 0,4 11,03d = . Esta uma outra for-

ma de verificar que a resposta que o estudante deu est

correta.

Atividade 5

Pam

Rot

h /

SXC


probabilidade de 40% para um lanamento favorvel ao jogador. Depois disso, alguns

estudantes se dispuseram a desenhar um quadriculado para esse jogo.

Professor, qual deveria ser o valor do lado dos quadrados desse quadriculado?

Para responder isso, precisamos calcular a funo que fornece a probabilidade de uma

jogada favorvel tendo como varivel o lado do quadrado do quadriculado.

A funo que estamos procurando obtida substituindo o valor 12d = dos dimetros

dos CDs na definio de probabilidade geomtrica dada pelo quociente de reas:

2

2

( )L dp

L

=

Com isso, temos:

2 2

2 2 2

( 12) 24 144 1 1( ) 1 24 144

L L Lp L

L L L L

+= = = +

Note que essa funo bem definida para qualquer 0L . Porm, no interessa o caso

em que o lado dos quadrados do quadriculado menor do que o dimetro dos CDs, certo?

Logo, no faz sentido para o problema valores 12L .

Diferentemente de ( )p d , a expresso ( )p L no polinomial, e sim o quociente de duas

funes quadrticas. Voc observou que, quanto maior for L, mais prximo de 1 estar

p? O grfico a seguir, da funo ( )p L , nos mostra esse fato. Note que esse grfico no

parte de uma parbola.

Qual ser a medida do lado dos quadrados desse quadriculado para resultar em uma probabilidade de ganho de 40% favorvel ao jogador?

6. Nem tudo so parbolas 53

Figura 7: Grfico da probabilidade de uma jogada favorvel em funo do lado dos quadrados do quadriculado.

0

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

p

L

Afonso Lima / SXC

Para calcular o lado dos quadrados do quadriculado que resulta em uma probabilidade

de 40% favorvel ao jogador, basta resolver a equao

( ) 20,45

p L = = , ou seja, 2

2 1 11 24 144

5 L L= + .

Multiplicando esta equao por 25L e cancelando os denominadores, obtemos a se-

guinte equao de segundo grau: 2 22 5 120 720L L L= + .

Ou, equivalentemente,

2 40 240 0L L + =

Esta equao apresenta as seguintes solues:

20 4 10 7,35L = e 20 4 10 32,65L = +

Descartamos a primeira soluo por ela ser menor do que 12.

Assim, a partir desses clculos, os alunos descobrem que poderiam utilizar um quadri-

culado com quadrados de 32,6 cm de lado.

7. Lucrando com o jogo dos discosVamos retomar a situao do jogo dos discos apresentada no Ciclo 1, onde os estudan-

tes de uma turma decidiram montar uma barraquinha na festa da escola. O objetivo dessa

barraquinha era arrecadar fundos para a formatura da turma, a partir do jogo dos discos.

J trabalhamos neste Ciclo com esta situao-problema para calcul

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