Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Jocs d’atzar
Mireia Besalú i David MárquezDpt. Probabilitat, Lògica i Estadística
Agraïment a la Laura i l’Ariadna pel powerpoint
2
On apareix la probabilitat?
3
Aplicacions
• Computació i informàtica
• Física i mecànica estadística
• Ecologia i demografia (biologia en general)
• Economia i finances
• Internet, telefonia i servidors
• Teoria de cues (caixers, autopistes,...)
• Meteorologia
4
Jocs de les tres portes
Tries porta
Te la quedes
Tries porta amb cabra darrera
Tries porta amb cabra darrera
Tries porta amb cotxe darrera
La canvies Te la quedes La canvies Te la quedes La canvies
Guanyes cabra Guanyes cotxe Guanyes cabra Guanyes cotxe Guanyes cotxe Guanyes cabra
5
Una baralla espanyola amb 48 cartes, 4 colls amb 1,2,...8,9, sota, cavall i rei.
Si agafem a l’atzar una carta de la baralla.
Quina probabilitat té una espasa?
I un cavall?
12
1
48
4 ==P
I una figura?
4
1
48
12 ==P
4
1
48
12 ==P
6
Que hem utilitzat realment?
Per exemple, tenim 12 espases de 48 cartes
Les coses es poden anar complicant!!!!
Imaginem que agafem dues cartes i volem calcular la
probabilitat de treure una espasa i una copa.
Com ho calculem? • Les agafem de cop o una després de l’altra? • Tornem la primera carta a la baralla abans d’agafar la
segona?
4
1
48
12 ==Ppossibles Casos
favorables Casos=P
7
Preguntem-nos en primer lloc de quantes maneres diferents podem escollir dues cartes de la baralla?
• Ordre i reposició: 48×48
Variacions amb repetició
• Ordre però sense reposició: 48×47
Variacions
Cas particular: Permutacions
kkm mVR =
)!(
!)1()1(
km
mkmmmV k
m −=+−−×=
123)1(! ××××−×=== mmmVP mmm
8
Preguntem-nos en primer lloc de quantes maneres diferents podem escollir dues cartes de la baralla?
• Sense ordre i sense reposició: (48×47)/2
Combinacions
!)!(
!
!
)1()1(
kkm
m
k
kmmm
P
VC
k
kmk
m −=+−××−==
9
Resolem de moment un exemple més senzill:
una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).
Calculem la probabilitat d’agafar una espasa i una copa
amb ordre i reposició (variacions amb repetició)
Ω={(1e,1e),(1e,2e),(1e,1c),(1e,2c),
(2e,1e),(2e,2e),(2e,1c),(2e,2c),
(1c,1e),(1c,2e),(1c,1c),(1c,2c).
(2c,1e),(2c,2e),(2c,1c),(2c,2c)}
2
1
16
8 ==P2
1
44
222 =
××=P
10
Una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).
Calculem la probabilitat d’agafar una espasa i una copa
amb ordre i sense reposició (variacions)
Ω={(1e,2e),(1e,1c),(1e,2c),
(2e,1e),(2e,1c),(2e,2c),
(1c,1e),(1c,2e),(1c,2c),
(2c,1e),(2c,2e),(2c,1c)}
3
2
12
8 ==P3
2
34
222 =
××=P
11
Una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).
Calculem la probabilitat d’agafar una espasa i una copa
sense ordre i sense reposició (combinacions)
Ω={{1e,2e},{1e,1c},{1e,2c},{2e,1c},{2e,2c},{1c,2c}}
3
2
6
4 ==P3
22224
=×=C
P
12
Una baralla amb 4 cartes (1 i 2 d’espases, 1 i 2 de copes).
La probabilitat d’agafar una espasa i una copa sense ordre iamb reposició
Ω={{1e,1e},{1e,2e},{1e,1c},{1e,2c}, {2e,2e},{2e,1c},{2e,2c}, {1c,1c},{1c,2c},{2c,2c}}
Però en canvi aquí no podem utilitzar la fórmula de Laplace
L’espai no és equiprobable
10
4=P
13
Tornem a la baralla de 48 cartes amb 4 colls
Ens demanàvem per la probabilitat
de treure una espasa i una copa
• Ordre amb reposició (variacions amb repetició)
• Ordre sense reposició (variacions)
• Sense ordre i sense reposició (combinacions)
8
1
4848
12122 =
××=P
47
6
4748
12122 =
××=P
47
62
4748
1212 =×××=P
14
Problema històric de Fermat i Pascal
Carta de Pascal a Fermat datada un dimecres 20 de juliol
de 1654, planteja una qüestió feta pel cavaller De Méré.• Que és més favorable? Treure almenys un 6 en tirar 4
vegades un dau perfecte o treure almenys un doble 6 en tirar dos daus perfectes 24 vegades.
518,06
51
6
56)6un almenys(
4
4
4
44
=−=−=P
491,036
351
36
3536)6 dobleun almenys(
24
24
24
2424
=−=−=P
15
La grossa del sorteig de NadalLa grossa del sorteig de Nadal
Tenim un llibre d’un amic que viu a Menorca, en Pau.
Tenim una amiga que ha de visitar Menorca, la Mònica. No es
coneixen de res. Li donem el llibre a la Mònica i li diem que el
torni al Pau però sense cap més informació sobre qui és en
Pau. Ella arriba a Menorca amb vaixell i dóna el llibre al
primer home que es troba quan surt del vaixell.
Que és més probable, que aquest home sigui en Pau o que
ens toqui la grossa de Nadal?
000012,085000
1grossa)( ==P 000022,0
45000
1llibre)( ==P
16
Ruleta
• La ruleta té 37 números: del 0 al 36 (18 números vermells, 18 de negres i el 0).
• El 0 és el marge del casino.
• Si, per exemple, apostem a un número i l’encertem guanyem 35 cops l’aposta.
17
ApostesPremi
1 1 número 35
2 2 números 17
3 3 números 11
4 4 números 8
5 6 números 5
6 12 números 2
7 12 números 2
8 24 números 0.5
9 24 números 0.5
10 18 números 1
La ruleta sense el blanc seria un joc just
36
1)13 surti( =P
37
1)13 surti( =P
37
36)13 surti no( =P
036
351
36
135mitjàGuany =×−×=
La ruleta amb el blanc ja no és un joc just
36
35)13 surti no( =P
37
1
37
361
37
135mitjàGuany −=×−×=
19
Sorteig dels excedents del servei militar de 1998
• En el sorteig hi entraven 165342 joves, enumerats del 0 al 165341; i 16441 es lliuraven de fer la mili.
• Van posar 6 bombos amb 10 boles cadascun. En el primer bombo es van posar 5 zeros i 5 uns. En els altres cinc, deu boles amb els números del 0 al 9.
• Traient una bola de cada bombo es forma un nombre amb 6 dígits. Aquest nombre i els 16440 següents quedaven exclosos de fer el servei militar (quan s’arribava al final es tornava a començar pel 0).
• Si sortia el 0 al primer bombo no hi havia cap problema perquè acabava sortint un nombre entre 0 i el 99999.
• El problema apareixia quan en el primer bombo sortia un 1, aleshores del segon es treien números fins que sortia un número menor o igual a 7. I així successivament.
20
Sorteig dels excedents del servei militar de 1998
Simplifiquem el cas. Tenim 12 joves enumerats del 0 a l’11
i un d’ells queda exempt de fer la mili. Tenim dues urnes:
Per exemple, quines són les probabilitat dels jove 0 i 10?
25,02
1
2
1)10 jove( ==onP
Primera Urna0-1
Segona Urna0-1
Desenes Unitats
05,010
1
2
1)0 jove( ==onP
Segona Urna0-1-2-3-45-6-7-8-9
21
N piranyes i M truites de riu dins un aquari
Si es troben una piranya i una truita, la truita mor; si es troben
2 truites no succeeix res; i si es troben 2 piranyes es maten
entre elles. Les trobades són sempre entre 2 peixos i a l’atzar.
Si afegim un peix, quina probabilitat té de sobreviure?
Si afegim una piranya, tindrem N+1 piranyes.• Si N senar, N+1 parell. Es mataran totes. P=0.• Si N parell, N+1 senar. Una sobreviurà. P=1/(N+1).
Si afegim una truita.
• Si N senar. Quedarà una piranya viva. P=0.• Si N parell. No quedarà cap piranya. P=1/(N+1).
22
Travessa
Tenim 15 partits amb tres possibles resultats: • 1 guanya l’equip de casa• X empaten
• 2 guanya l’equip de fora
Aquesta probabilitat és discutible
90000000696,010969.63
1 815
=×== −P
23
Primitiva
Una aposta consisteix en seleccionar 6 números diferents
entre l’1 i el 49; i el sorteig en elegir a l'atzar 6 números
entre l’1 i el 49 (combinació guanyadora) i un setè número
(el complementari).
El primer premi és encertar la combinació guanyadora
sense importar-ne l'ordre.
0000000715,010 15 7.11 8-
!6!43!496
49
=×===C
P
24
Juguem a pòquer amb daus
Tirem 5 daus de cop, cada dau amb sis possibles resultats:
As, K, Q, J, vermells i negres
• Repòquer:
• Pòquer:
• Full:
000772,06
6)AAAAA(
5==P
019,06
5)56()AAAAB(
5=××=P
039,06
10)56()AAABB(
5=××=P
GRÀCIES
25
26
Primitiva
El segon premi és encertar-ne 5 números de la combinació
guanyadora i el complementari.
El tercer premi es encertar-ne 5 de la combinació
guanyadora.
000018,010 80 1. 5-
!6!43!49
!1!41!42
!1!5!6
649
142
56 =×=
×=×=
C
CCP
000000429,010 29 4. 7-
!6!43!49
!1!5!6
649
11
56 =×==×=C
CCP
27
Primitiva
El quart premi és encertar-ne 4 de la combinació
guanyadora.
El cinquè encertar-ne 3 de la combinació guanyadora.
0.018!6!43
!49
!3!40!43
!3!3!6
649
343
36 =
×=×=
C
CCP
000968,010 9.68 4-
!6!43!49
!2!41!43
!2!4!6
649
243
46 =×=
×=×=
C
CCP
28
Permutacions amb repetició
Amb la paraula FILL, quantes claus diferents podem
escriure amb aquestes 4 lletres?
Com que ens importa l’ordre i no es poden repetir, podríem
pensar que 4!=24.
Si les escrivim veiem què no. No podem distingir les 2 L!!!IFLL-ILFL-ILLF-FILL-FLIL-FLLI-LIFL-LILF-LLIF-LFIL-LFLI-LLFI
En general,
!!!
!
21,,, 21
k
mmmm mmm
mPR
l =
12!1!1!2
!4
!2
!441,1,2 ===PR
29
Juguem a pòquer amb daus
• Trio:
• Doble parella:
• Parella:
• Res:
154,06
6)AAABC(
5
51,1,3
25 =
××=
PRCP
463,06
6)AABCD(
5
51,1,1,2
35 =
××=
PRCP
231,06
4)AABBC(
5
51,2,2
26 =
××=
PRCP
093,06
23456
6)ABCDE(
55
51,1,1,1,1
56 =××××=
×=
PRCP