Click here to load reader

JOCURI Cooperative

  • View
    107

  • Download
    8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teoria jocurilor

Text of JOCURI Cooperative

Noiuni de baz

JOCURI COOPERATIVE

Noiuni de baz

Alocarea costurilor poate fi considerat drept o problem identic cu problema determinrii valorilor optime ale unui joc cooperativ de n-persoane cu utiliti transferabile. n continuare am prezentat modelarea situaiei alocrii de beneficii cu ajutorul jocurilor cooperative cu condiiile de raionalitate individuale i colective, care limiteaz mulimea rezultatelor posibile. Am definit dou concepte de soluii: mulimea stabil von Neumann-Morgenstern i nucleul, iar finalul este dedicat abordrilor axiomatice care au ca scop alegerea unui rezultat unic, conceptul principal de soluie fiind valoarea lui Shapley i soluia Nash.

Regulile jocului:

Participanii sunt liberi s coopereze, negocieze, s se coalizeze ntre ei, s negocieze, s formeze grupuri sau subgrupuri, s se amenine ntre ei sau chiar s se retrag din grup.

Toi participanii jocului sunt complet informai despre regulile jocului, despre ctigurile n funcie de fiecare situaie posibil, despre toate strategiile posibile.

Participanii negociaz mprirea unui bun dat (bani, putere politic) care este total transferabil ntre juctori i evaluat asemntor de toat lumea. (se presupune c toi indivizii au funcii de utilitate liniare).

Definiia 1

Un joc de n-persoane n forma funciei caracteristice este o pereche [N, v], unde N = {1,2,.,n} este o mulime de n juctori. v este funcia caracteristic real definit pe 2N, mulimea tuturor submulimilor S ale lui N. v aloc un numr real v(S) fiecrei submulimi S ale lui N, i v()=0.

Submulimile S ale lui N se numesc coaliii. Mulimea de juctori N se numete marea coaliie. Intuitiv, v(S) msoar puterea (dotarea) sau avuia pe care o poate obine coaliia S cnd membrii si acioneaz mpreun. Cum cooperarea creeaz economii, se presupune c v este superaditiv, adic

v(S)+v(T)

Definiia 2

Dou jocuri de n-persoane i , cu funciile caracteristice v i v, se spune c sunt strategic echivalente dac exist numere k>0, c1,....,cn astfel nct:

v(S)=kv(S) + pentru toate .

Pentru a trece de la v la v este necesar doar schimbarea unitilor monetare i transferarea unei subvenii ci, ctre fiecare juctor. Fundamental, aceast operaie nu schimb nimic, de aceea este necesar numai studierea unui singur joc n fiecare clas de jocuri strategic echivalente. Jocurile sunt de obicei normalizate presupunnd c avuia fiecrui juctor este 0, i c avuia marii coaliii este 1.

v(i)=0 i=1,....,n v(N)=1

Definiia 3

Un joc de majoritate ={M;w1,,wn}, unde w1,,wn sunt numere reale nenegative i, este jocul cooperativ de n-persoane cu funcia caracteristic

v(S)=1 dac

v(S)=0 dac

,

pentru toate . w1 este puterea juctorului i (de ex. numrul de aciuni deinute ntr-o corporaie), M este majoritatea necesar.

Nucleul i mulimea stabil von Neumann-Morgenstern

Definiia 4

Un ctig este individual raional dac

EMBED Equation.3 , i=1,.,n.

Definiia 5

O alocaie pentru un joc =[N, v] este un ctig astfel nct

,

O alocaie este un ctig individual raional care aloc volumul maxim. (Condiia mai este numit i eficien sau Optimalitatea Pareto).

Definiia 6

Un ctig este colectiv raional dac

.

Definiia 7

Nucleul jocului este mulimea tuturor ctigurilor colectiv raionale.

Nucleul unui joc poate fi vid. Cnd nu este vid, este constituit de obicei dintr-un ir, finit sau infinit, de puncte. Nucleul poate fi definit de asemenea folosind noiunea de dominan.

Definiia 8

Alocaia =(1,2,....,n) domin alocaia n coaliia S dac

(i) S

(ii) i> i

(iii) v(S)

Deci exist o mulime nenul de juctori S, n care toi prefer fa de , acest lucru conduce la impunerea alocaiei .

Definiia 9

Alocaia domin alocaia dac exist o coaliie S astfel nct domin n funcie de S.

Definiia 7

Nucleul este mulimea tuturor alocaiilor nedominate.

Definiiile 7 i 7 sunt echivalente.

Definiia 10

Mulimea stabil von Neumann-Morgenstern a unui joc =[N, v] este o mulime L de alocaii care satisfac urmtoarele dou condiii

(i) (Stabilitate extern) Fiecrei alocaii

EMBED Equation.3 i corespunde o alocaie care domin

(ii) (Stabilitate intern) Nici o alocaie din L nu domin alt alocaie din L.

Mulimile stabile sunt, totui, foarte greu de calculat.

Principalul dezavantaj al nucleului i al mulimilor stabile este faptul c, n majoritatea cazurilor, conin o infinitate de alocaii. De exemplu, nucleul i mulimea stabil a tuturor jocurilor de 2-persoane sunt constituite din toate alocaiile. Este de preferat s se disting o unic ctig corect pentru fiecare joc. Acest lucru este obinut cu ajutorul valorii lui Shapley.

2.4. Valoarea Shapley

Valoarea lui Shapley este singura valoare care satisface urmtoarele trei axiome:

Axioma 1: (Simetria). Pentru toate permutrile ale juctorilor astfel nct v[(S)]=v(S), , .

O problem simetric are o soluie simetric. Dac exist doi juctori care nu pot fi distini dup funcia caracteristic, dar au contribuii egale n cadrul coaliiei, este normal s primeasc aceeai alocaie de ctig. Aceast axiom se mai numete i anonimitate, ceea ce conduce la faptul c alocaia selectat depinde numai de funcia caracteristic, i nu, de exemplu, de numrul juctorilor.

Axioma 2: (Juctori fictivi - dummy players). Dac, pentru un juctor i, v(S)=v(S\{i})+v(i) pentru fiecare coaliie S cruia i poate aparine, atunci i=v(i).

Un juctor fictiv nu contribuie la nici o economie n nici o coaliie; de aceea este numit juctor neesenial. Avuia unei coaliii crete numai prin alturarea lui v(i), de aceea un juctor fictiv nu poate pretinde s primeasc nici o parte din beneficiile cooperrii.

Axioma 3. Aditivitatea. Fie =[N, v] i =[N, v] dou jocuri i (v) i (v) plile asociate. Atunci

(v+v)= (v) +(v) ,

Alocaiile ce rezult din dou jocuri distincte trebuie adugate. n timp ce primele dou axiome sunt destul de justificate, aceast ultim axiom a aditivitii a fost, nu de puine ori subiectul criticilor, deoarece exclude interaciunile ntre cele dou jocuri.

Shapley a demonstrat c singura i unica alocaie care satisface cele trei axiome este

i=,

unde s este numrul membrilor coaliiei S.

Interpretare: Valoarea Shapley este media valorilor admisibile cnd toate momentele (ordinea n care se intr n coaliie) formrii marii coaliii sunt echiprobabile. Pentru calcularea valorii, se poate presupune, pentru simplitate, c juctorii intr n coaliie unul dup altul, fiecare dintre ei primind toate beneficiile pe care le aduce coaliiei format nainte de intrarea lor. Toate momentele formrii lui N sunt considerate i intervin n calcul cu aceeai importan 1/n!. Coeficientul combinaional rezult din faptul c sunt moduri pentru un juctor de a fi ultimul care intr n coaliia S, ceilali s-1 juctori a lui S i cei n-s juctori ai lui N\S putnd fi permutai fr a afecta poziia lui i.

ntr-un joc de dou persoane, valoarea Shapley este:

.

Este mijlocul segmentului .

Valoarea Shapley se poate afla i n afara nucleului. Totui, n subclasa important a jocurilor convexe se va afla tot timpul n nucleu.

Definiia 11

Un joc este convex dac,

Un joc este convex cnd produce economii semnificative, apare efectul bulgrelui de zpad interesul de a intra ntr-o coaliie este cu att mai mare cu ct numrul de membri ai coaliiei este mai mare. n particular, este ntotdeauna de preferat s se intre ultimul n marea coaliie N. Nucleul unui joc convex nu este niciodat nul. Mai mult, coincide cu unica mulime stabil von Neumann-Morgenstern. Este un polinom convex, cu latur cel mult egal cu n-1. Valoarea Shapley se afl n centrul nucleului, n sensul c este centrul de gravitate al punctelor externe ale nucleului.

Definiia 12

Un joc cooperativ n dou persoane fr utiliti transferabile este un cuplu (M,d), unde d=(d1,d2) este punctul de nenelegere (utilitile iniiale ale juctorilor). M, spaiul juctorilor, este o mulime convex i compact n spaiul bidimensional E2 al utilitilor juctorilor; reprezint toate alocaiile ce se pot obine de ctre juctori.

Un astfel de joc este deseori numit joc de negociere ntre dou persoane. Fie B mulimea tuturor perechilor (M,d). Cum nici un juctor nu va accepta o alocaie final care s nu satisfac condiia de raionalitate individual, M poate fi limitat mulimii de puncte (p1,p2) astfel nct . Scopul final este de a se selecta o alocaie unic n M.

Definiia 13

O soluie (sau o valoare) este o regul care asociaz fiecrui joc de negocieri o alocaie din M. Fie astfel nct f(M,d) este un punct p=(p1,p2) din M pentru oricare (M,d) ; f1(M,d)=p1 i f2(M,d)=p2.

Soluia Nash (discutat la negocierile cooperative)

Primul concept de soluie pentru jocurile de negociere a fost descoperit de John Nash care argumenteaz c o soluie de negociere trebuie s satisfac patru cerine rezonabile, artnd c exist doar o singur regul-soluie de negociere Nash- care satisface urmtoarele patru axiome. Soluia de negociere Nash este o soluie pentru jocurile de negociere cooperative i nu trebuie confundat cu echilibrul Nash care este o soluie utilizat n jocurile noncooperative.

Axioma 1. Independena transformrilor liniare

Soluia nu poate fi afectat de o transformare liniar realizat asupra utilitilor juctorilor. Pentru toate (M,d) i toate numerele reale ai>0 i bi, fie (M,d) jocul definit de (i=1,2) i M=. Atunci f1(M,d)=aifi(M,d)+bi, i=1,2.

Aceast axiom este greu de contrazis, ea reflectnd numai informaia coninut n funciile de utilitate. Cum utilitile sunt definite numai pn la transformrile liniare, acelai lucru se ntmpl i pentru soluii.

Axioma 2. Sim