JOCURI COOPERATIVE

Noţiuni de bază

Alocarea costurilor poate fi considerată drept o problemă identică cu problema

determinării valorilor optime ale unui joc cooperativ de n-persoane cu utilităţi transferabile. În

continuare am prezentat modelarea situaţiei alocării de beneficii cu ajutorul jocurilor

cooperative cu condiţiile de raţionalitate individuale şi colective, care limitează mulţimea

rezultatelor posibile. Am definit două concepte de soluţii: mulţimea stabilă von Neumann-

Morgenstern şi nucleul, iar finalul este dedicat abordărilor axiomatice care au ca scop

alegerea unui rezultat unic, conceptul principal de soluţie fiind valoarea lui Shapley şi soluţia

Nash.

Regulile jocului:

- Participanţii sunt liberi să coopereze, negocieze, să se coalizeze între ei, să negocieze,

să formeze grupuri sau subgrupuri, să se ameninţe între ei sau chiar să se retragă din

grup.

- Toţi participanţii jocului sunt complet informaţi despre regulile jocului, despre

câştigurile în funcţie de fiecare situaţie posibilă, despre toate strategiile posibile.

- Participanţii negociază împărţirea unui bun dat (bani, putere politică) care este total

transferabil între jucători şi evaluat asemănător de toată lumea. (se presupune că toţi

indivizii au funcţii de utilitate liniare).

Definiţia 1

Un joc de n-persoane în forma funcţiei caracteristice Γ este o pereche [N, v], unde N =

{1,2,….,n} este o mulţime de n jucători. v este funcţia caracteristică reală definită pe 2N,

mulţimea tuturor submulţimilor S ale lui N. v alocă un număr real v(S) fiecărei submulţimi S

ale lui N, şi v(ø)=0.

Submulţimile S ale lui N se numesc coaliţii. Mulţimea de jucători N se numeşte

„marea coaliţie”. Intuitiv, v(S) măsoară puterea (dotarea) sau avuţia pe care o poate obţine

coaliţia S când membrii săi acţionează împreună. Cum cooperarea creează economii, se

presupune că v este superaditivă, adică

v(S)+v(T) ø

Definiţia 2

Două jocuri de n-persoane Γ şi Γ’, cu funcţiile caracteristice v şi v’, se spune că sunt

strategic echivalente dacă există numere k>0, c1,....,cn astfel încât:

1

v’(S)=kv(S) + pentru toate .

Pentru a trece de la v la v’ este necesară doar schimbarea unităţilor monetare şi

transferarea unei subvenţii ci, către fiecare jucător. Fundamental, această operaţie nu schimbă

nimic, de aceea este necesară numai studierea unui singur joc în fiecare clasă de jocuri

strategic echivalente. Jocurile sunt de obicei normalizate presupunând că avuţia fiecărui

jucător este 0, şi că avuţia marii coaliţii este 1.

v(i)=0 i=1,....,n v(N)=1

Definiţia 3

Un joc de majoritate Γ={M;w1,…………,wn}, unde w1,…………,wn sunt numere reale

nenegative şi , este jocul cooperativ de n-persoane cu funcţia caracteristică

v(S)=1 dacă

v(S)=0 dacă ,

pentru toate . w1 este puterea jucătorului i (de ex. numărul de acţiuni deţinute într-o

corporaţie), M este majoritatea necesară.

Nucleul şi mulţimea stabilă von Neumann-Morgenstern

Definiţia 4

Un câştig este individual raţional dacă , i=1,….,n.

Definiţia 5

O alocaţie pentru un joc Γ=[N, v] este un câştig astfel încât

,

O alocaţie este un câştig individual raţională care alocă volumul maxim. (Condiţia mai

este numită şi „eficienţă” sau „Optimalitatea Pareto”).

Definiţia 6

Un câştig este colectiv raţional dacă

.

Definiţia 7

Nucleul jocului este mulţimea tuturor câştigurilor colectiv raţionale.

2

Nucleul unui joc poate fi vid. Când nu este vid, este constituit de obicei dintr-un şir,

finit sau infinit, de puncte. Nucleul poate fi definit de asemenea folosind noţiunea de

dominanţă.

Definiţia 8

Alocaţia β=(β1,β2,....,βn) domină alocaţia în coaliţia S dacă

(i) S ø

(ii) βi> i

(iii) v(S)

Deci există o mulţime nenulă de jucători S, în care toţi preferă faţă de β, acest lucru

conduce la impunerea alocaţiei β.

Definiţia 9

Alocaţia β domină alocaţia dacă există o coaliţie S astfel încât β domină în funcţie

de S.

Definiţia 7’

Nucleul este mulţimea tuturor alocaţiilor nedominate.

Definiţiile 7 şi 7’ sunt echivalente.

Definiţia 10

Mulţimea stabilă von Neumann-Morgenstern a unui joc Γ=[N, v] este o mulţime L de

alocaţii care satisfac următoarele două condiţii

(i) (Stabilitate externă) Fiecărei alocaţii îi corespunde o alocaţie β care

domină

(ii) (Stabilitate internă) Nici o alocaţie din L nu domină altă alocaţie din L.

Mulţimile stabile sunt, totuşi, foarte greu de calculat.

Principalul dezavantaj al nucleului şi al mulţimilor stabile este faptul că, în majoritatea

cazurilor, conţin o infinitate de alocaţii. De exemplu, nucleul şi mulţimea stabilă a tuturor

jocurilor de 2-persoane sunt constituite din toate alocaţiile. Este de preferat să se distingă o

unică câştig corectă pentru fiecare joc. Acest lucru este obţinut cu ajutorul valorii lui Shapley.

2.4. Valoarea Shapley

Valoarea lui Shapley este singura valoare care satisface următoarele trei axiome:

3

Axioma 1: (Simetria). Pentru toate permutările Π ale jucătorilor astfel încât

v[Π(S)]=v(S), , .

O problemă simetrică are o soluţie simetrică. Dacă există doi jucători care nu pot fi

distinşi după funcţia caracteristică, dar au contribuţii egale în cadrul coaliţiei, este normal să

primească aceeaşi alocaţie de câştig. Această axiomă se mai numeşte şi “anonimitate”, ceea ce

conduce la faptul că alocaţia selectată depinde numai de funcţia caracteristică, şi nu, de

exemplu, de numărul jucătorilor.

Axioma 2: (Jucători fictivi - dummy players). Dacă, pentru un jucător i, v(S)=v(S\{i})

+v(i) pentru fiecare coaliţie S căruia îi poate aparţine, atunci i=v(i).

Un jucător fictiv nu contribuie la nici o economie în nici o coaliţie; de aceea este numit

jucător neesenţial. Avuţia unei coaliţii creşte numai prin alăturarea lui v(i), de aceea un jucător

fictiv nu poate pretinde să primească nici o parte din beneficiile cooperării.

Axioma 3. Aditivitatea. Fie Γ=[N, v] şi Γ’=[N, v’] două jocuri şi (v) şi (v’) plăţile

asociate. Atunci

(v+v’)= (v) + (v’) ,

Alocaţiile ce rezultă din două jocuri distincte trebuie adăugate. În timp ce primele

două axiome sunt destul de justificate, această ultimă axiomă a aditivităţii a fost, nu de puţine

ori subiectul criticilor, deoarece exclude interacţiunile între cele două jocuri.

Shapley a demonstrat că singura şi unica alocaţie care satisface cele trei axiome este

i= ,

unde s este numărul membrilor coaliţiei S.

Interpretare: Valoarea Shapley este media valorilor admisibile când toate momentele

(ordinea în care se intră în coaliţie) formării marii coaliţii sunt echiprobabile. Pentru

calcularea valorii, se poate presupune, pentru simplitate, că jucătorii intră în coaliţie unul după

altul, fiecare dintre ei primind toate beneficiile pe care le aduce coaliţiei formată înainte de

intrarea lor. Toate momentele formării lui N sunt considerate şi intervin în calcul cu aceeaşi

importanţă 1/n!. Coeficientul combinaţional rezultă din faptul că sunt moduri

pentru un jucător de a fi ultimul care intră în coaliţia S, ceilalţi s-1 jucători a lui S şi cei n-s

jucători ai lui N\S putând fi permutaţi fără a afecta poziţia lui i.

Într-un joc de două persoane, valoarea Shapley este:

.

Este mijlocul segmentului .

Valoarea Shapley se poate afla şi în afara nucleului.

4

Totuşi, în subclasa importantă a jocurilor convexe se va afla tot timpul în nucleu.

Definiţia 11

Un joc este convex dacă,

Un joc este convex când produce economii semnificative, apare efectul „bulgărelui de

zăpadă” interesul de a intra într-o coaliţie este cu atât mai mare cu cât numărul de membri ai

coaliţiei este mai mare. În particular, este întotdeauna de preferat să se intre ultimul în marea

coaliţie N. Nucleul unui joc convex nu este niciodată nul. Mai mult, coincide cu unica

mulţime stabilă von Neumann-Morgenstern. Este un polinom convex, cu latură cel mult egală

cu n-1. Valoarea Shapley se află în centrul nucleului, în sensul că este centrul de gravitate al

punctelor externe ale nucleului.

Definiţia 12

Un joc cooperativ în două persoane fără utilităţi transferabile este un cuplu (M,d),

unde d=(d1,d2) este punctul de „neînţelegere” (utilităţile iniţiale ale jucătorilor). M, spaţiul

jucătorilor, este o mulţime convexă şi compactă în spaţiul bidimensional E2 al utilităţilor

jucătorilor; reprezintă toate alocaţiile ce se pot obţine de către jucători.

Un astfel de joc este deseori numit joc de negociere între două persoane. Fie B

mulţimea tuturor perechilor (M,d). Cum nici un jucător nu va accepta o alocaţie finală care să

nu satisfacă condiţia de raţionalitate individuală, M poate fi limitat mulţimii de puncte (p1,p2)

astfel încât . Scopul final este de a se selecta o alocaţie unică în M.

Definiţia 13

O soluţie (sau o valoare) este o regulă care asociază fiecărui joc de negocieri o alocaţie

din M. Fie astfel încât f(M,d) este un punct p=(p1,p2) din M pentru oricare (M,d)

; f1(M,d)=p1 şi f2(M,d)=p2.

Soluţia Nash (discutată la negocierile cooperative)

Primul concept de soluţie pentru jocurile de negociere a fost descoperit de John Nash

care argumentează că o soluţie de negociere trebuie să satisfacă patru cerinţe rezonabile,

arătând că există doar o singură regulă-soluţie de negociere Nash- care satisface următoarele

patru axiome. Soluţia de negociere Nash este o soluţie pentru jocurile de negociere

cooperative şi nu trebuie confundată cu echilibrul Nash care este o soluţie utilizată în jocurile

noncooperative.

Axioma 1. Independenţa transformărilor liniare

5

Soluţia nu poate fi afectată de o transformare liniară realizată asupra utilităţilor

jucătorilor. Pentru toate (M,d) şi toate numerele reale ai>0 şi bi, fie (M’,d’) jocul definit de

(i=1,2) şi M’= . Atunci f1(M’,d’)=aifi(M,d)+bi,

i=1,2.

Această axiomă este greu de contrazis, ea reflectând numai informaţia conţinută în

funcţiile de utilitate. Cum utilităţile sunt definite numai până la transformările liniare, acelaşi

lucru se întâmplă şi pentru soluţii.

Axioma 2. Simetrie

Toate jocurile simetrice au o soluţie simetrică. Un joc este simetric dacă d1=d2 şi

(p1,p2) . Axioma cere, ca în acest caz, f1(M,d)= f2(M,d).

Similar axiomei 1, axioma 2 necesită ca soluţia să depindă numai de informaţia

conţinută în model. O permutare a celor doi jucători nu ar trebui să modifice soluţia dacă

aceştia nu pot fi diferenţiaţi de regulile jocului. Doi jucători cu aceeaşi funcţie de utilitate şi

aceeaşi avuţie iniţială ar trebui să primească aceeaşi alocaţie din beneficiul cooperării, dacă

spaţiul jocului este simetric.

Axioma 3. Optimalitatea Pareto

Soluţia trebuie să se afle pe curba optimalităţii Pareto. Pentru toate perechile (M,d)

dacă p şi q M sunt astfel încât qi>pi (i=1,2), atunci p nu poate fi soluţia: f(M,d) .

Axioma 4. Independenţa alternativelor irelevante

Soluţia nu se schimbă dacă din spaţiul jocului este îndepărtat punctul „neînţelegerii” şi

soluţia acestuia, nu orice alt punct. Fie (M,d) şi (M’,d’) două jocuri astfel încât M’ conţine M

şi f(M’,d) este un element a lui M. Atunci f(M,d)=f(M’,d).

Această axiomă formalizează procedura de negociere. Ea necesită ca soluţia, care în

funcţie de axioma 3 trebuie să se afle la limita superioară a spaţiului jocului, să depindă doar

de forma şi vecinătatea acestei limite, şi nu de punctele distante. Acest lucru specifică faptul

că, în timpul negocierilor, mulţimea alternativelor ce sunt de preferat să fie selectate este

redusă progresiv. În final, soluţia concurează doar cu punctele foarte apropiate, şi nu cu

propunerile deja eliminate în timpul primelor faze ale discuţiei. Axiomele lui Nash într-un

astfel joc de negociere încep prin restrângerea mulţimii de puncte acceptabile. Fiecare jucător

face concesii până când punctul final este selectat.

Nash (1950) a demonstrat că unul şi numai un punct satisface cele patru axiome. Este

punctul care maximizează produsul câştigurilor utilităţilor celor doi jucători. Soluţia Nash este

funcţia f, definită de f(M,d)=p, astfel încât p şi pentru

toţi

6

Axioma 5. Invarianţa liniară

Fie b(M)=(b1,b2) punctul „ideal” format de alocaţiile maxime posibile: b1=max

, (i=1,2). Dacă (M,d) şi (M’,d) sunt două jocuri astfel încât M conţine M’ şi

b(M)=b(M’), atunci f(M,d) f(M’,d).

Exemplu

Se consideră un grup de n persoane cu n1=100 indivizi. Fiecare dintre indivizi este

expus unei posibile pierderi de 1, cu o probabilitate q1=0,1. Se presupune că aceste persoane

formează un grup de prevenire a riscului şi subscriu o asigurare de grup, pentru a se acoperi

împotriva riscului. Prima plătită va fi calculată astfel încât probabilitatea de faliment a

grupului să fie mai mică de 0,001. Presupunând că riscurile sunt independente, şi folosind

aproximarea normală a distribuţiei binomiale, grupul trebuie să aibă un fond total de câştig a

primei de

p1 = n1q1+3 10+9=19

Deci fiecare persoană va plăti , în plus faţă de prima netă de 0,10, o primă de risc de 0,09.

Un alt grup format din n2=100 persoane este expus unui risc de pierdere de 1 cu o

probabilitate de q2=0,2. Dacă îşi formează propriul grup de preîntâmpinare a riscului în

aceleaşi condiţii ca şi grupul 1, prima totală va fi:

P2 = n2q2+3 20+12=32

Să presupunem că cele două grupuri decid să se unească şi să formeze un singur grup.

Pentru a se asigura că probabilitatea de falimentare va fi în continuare mai mică de 0,001,

noul grup trebuie să aibă un volum de fonduri egal cu:

P12 = n1q1+n2q2+3

=10+20+15

=45.

Cum p12=45 < p1+p2=51, cooperarea grupurilor are ca rezultat o scădere de 6 unităţi a

primei de risc totale. Cum poate fi împărţit cât mai corect acest rezultat ce reprezintă o

economie, între cele două grupuri? O abordare tradiţională actuarială consistă în împărţirea

primei de risc în proporţie cu primele nete. Acest lucru ar conduce la prime de 15 şi respectiv

30. Corectitudinea acestei soluţii ar putea fi pusă la îndoială de cel de-al doilea grup, deoarece

primul grup va primi o parte mai mare a câştigului datorat formării unui singur grup. În orice

caz, regula este complet arbitrară.

Pentru a înţelege un joc oarecare este necesară mai întâi cunoaşterea regulilor acestuia,

deoarece astfel se poate afla care acţiuni sunt permise (posibile) la un moment dat. Apoi este

necesar a se cunoaşte cum aleg jucătorii o acţiune din mulţimea acţiunilor posibile.

7

Spre deosebire de teoria modelului prezentat în acest capitol, exemplul diferă în sensul

că cifrele sale reprezintă costuri de minimizat şi nu câştiguri de maximizat. În locul unei

funcţii caracteristice superaditive v(S), se introduce o funcţie de cost subaditivă c(S).

Economiile de scală tansformă funcţia c(S) în una subaditivă.

c(S)+c(T) ø

Un joc de “costuri” este echivalent cu unul de “economii”, cu funcţia caracteristică:

v(S)=

În acest caz , c(S) este prima plătită de către fiecare coaliţie:

c(1)=19

c(2)=32

c(12)=45

Alocaţia este constituită de orice mulţime de prime astfel încât

Să presupunem că, la coaliţia formată din cele două grupuri iniţiale se adaugă un al

treilea grup cu n3=120 indivizi, toţi fiind expuşi unei posibilităţi de pierdere de 1 cu

probabilitatea q3=0,3. Un grup cu aversiune la risc de probabilitate de 0,001 va trebui să

plătească o primă totală

p3 = n3q3+3 36 +15=51

Dacă toate cele trei grupuri decid să se unească într-unul singur pentru a obţine o

reducere maximă a primei de risc, prima totală va fi:

p123 = n1q1 +n2q2 + n3q3+3

=10+20+36+21

=87.

În acest caz o alocaţie este o câştig din câştig astfel încât:

În continuare, este necesară verificarea acestor alocaţii, pentru a stabili dacă sunt

satisfăcătoare pentru toţi participanţii jocului. De exemplu, alocaţia (17,31,39) satisface

condiţiile de mai sus, dar totuşi nu va fi niciodată acceptată de primele două grupuri. Aceştia

ar fi mai avantajaţi dacă s-ar retrage din marea coaliţie, formând coaliţia (12), şi fiind de

acord, de exemplu, cu o alocaţie (15,5; 29,5). Jucătorul 3, respectiv al treilea grup, nu poate

obiecta împotriva acestei separări. Acesta rămâne singur, şi va trebui să plătească o primă de

51, fiind de aceea forţat să facă o concesie în timpul negocierilor şi să accepte un mai

8

mare. trebuie să fie cel puţin 42 pentru a putea preveni separarea jucătorului 1 sau 2.

Aceasta este condiţia de raţionalitate colectivă: nici o coaliţie nu ar trebui să aibă o stimulare

pentru a părăsi marea coaliţie.

Nucleul este mulţimea tuturor plăţilor care alocă prima totală de 87, satisfăcând în

acelaşi timp cele trei condiţii de raţionalitate individuală şi colectivă.

Deci, nucleul permite aflarea intervalului în care trebuie să se încadreze primele:

O alocaţie ce nu satisface toate inegalităţile ar conduce la separarea de grup a unui

jucători sau chiar a doi jucători.

Singura alocaţie care satisface cele trei axiome este valoarea Shapley care se

calculează după formula:

i= ,

Într-un joc cu doi jucători , valoarea Shapley este:

respectiv [16.29]. În versiunea cu trei jucători , alocaţia optimă care satisface condiţiile

impuse de toţi jucătorii este [14.5, 26.9, 45.6].

Teoria jocurilor cooperative, tratează competiţia, cooperarea, conflictele, negocierile,

formarea coaliţiilor şi alocarea profiturilor. În consecinţă, piaţa asigurărilor, în care situaţiile

conflictuale şi competitive abundă, constituie un mediu favorabil aplicării teoriei jocurilor, în

vederea eficientizării acesteia prin soluţiile oferite.

9

10

11