JORGE EDUARDO CALPA OLIVA, M.Sc.INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Los Módulos de clase son una publicación de la Dirección de Investigaciones y Desarrollo Tecnológico

de la Universidad Autónoma de Occidente. Este material presenta contenidos parciales y/o material de

apoyo de cursos dictados en la institución.

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Juan Manuel Escobar Velascojuanuel22@hotmail.com

2008 Universidad Autónoma de OccidenteKm. 2 vía a Jamundí, A.A. 2790 Cali, Valle del Cauca Colombiawww.uao.edu.co

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JORGE EDUARDO CALPA OLIVA, M.Sc.Docente Programa Ingeniería Industrial

Investigación de Operaciones I

jcalpa@uao.edu.co

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

2.1. GENERALIDADES 5

2.2. EJEMPLO PROTOTIPO 52.2.1. Definición del problema 62.2.2. Identificación de las variables 62.2.3. Modelo formulado 6

2.3. ENFOQUE GRÁFICO DE SOLUCIÓN 72.3.1. Representar una región o área factible 72.3.2. Calcular el valor máximo o mínimo de la función objetivo en la

región factible 102.3.2.1 Teorema fundamental de la Programación Lineal 10

2.3.3. Análisis gráfico 112.3.4. Interpretación de la solución óptima 132.3.5. Método analítico 142.3.6. Ejercicio de aplicación 16

2.4. MODELOS LINEALES CON SOLUCIONES ESPECIALESEN EL ENFOQUE GRÁFICO 16

2.4.1. Solución óptima única 162.4.2. Modelos lineales infactibles 162.4.3. Modelos lineales ilimitados – región no acotada 182.4.4. Modelos lineales degenerados – restricciones redundantes 202.4.5. Modelos lineales con óptimos alternativos 21

2.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA EL ENFOQUEGRÁFICO

22

2.5.1. Definición de análisis de sensibilidad 23

2.5.2. Análisis de sensibilidad para los coeficientes de lafunción objetivo

24

2.5.3. Análisis de sensibilidad para el lado derecho de las

restricciones

27

BIBLIOGRAFÍA 36

LISTA DE GRÁFICAS

Pág.

Gráfica 1. Representación de recta de restricción 9

Gráfica 2. Región o área factible 10

Gráfica 3. Representación lineal de función objetivo 12

Gráfica 4. Solución óptima análisis gráfico 13

Gráfica 5. Solución óptima método analítico 15

Gráfica 6. Modelos lineales infactibles 18

Gráfica 7. Modelos lineales ilimitados 19

Gráfica 8. Modelos lineales degenerados 20

Gráfica 9. Modelos lineales con óptimos alternativos 22

Gráfica 10. Sensibilidad coeficientes función objetivo 25

Gráfica 11. Sensibilidad coeficientes función objetivo 26

Gráfica 12. Solución óptima sin cambio en el lado derecho

restricción 2

29

Gráfica 13. Solución óptima con cambio en el lado derechorestricción 2

30

Gráfica 14. Cambio suficientemente mayor en restricción 2 31

Gráfica 15. Precio sombra restricción 2 34

GENERALIDADES2.1

La primera fase para emprender la solución a un problema de Programación Lineal esformular y obtener el modelo. Considerada esta etapa la más importante del proceso deaplicación, en la cual se necesita definir claramente el problema y conceptualizar de unamanera correcta el problema que presente el sistema sobre el cual se pretende realizar laaplicación. La etapa siguiente en el proceso es alcanzar la solución del modelo.

Desde el momento en que George Dantzig desarrolla el método simplex para obtener lasolución a un modelo de programación lineal, éste método ha sido considerado el únicométodo útil y aplicable a la gran mayoría de problemas de programación lineal. Sinembargo para poder alcanzar una fuerte comprensión del método simplex se hacenecesario estudiar inicialmente dos métodos complementarios de solución, el enfoquegráfico ó método de solución gráfica y el método algebraico ó método de enumeración desoluciones básicas.

Para presentar el enfoque de solución gráfico para un modelo de programación lineal, seutilizará un ejemplo prototipo que simula la toma de decisiones que manifiesta laadministración de una pequeña empresa. Este problema empresarial será utilizado parapresentar el proceso completo de programación lineal, formulación, solución con enfoquegráfico, método de enumeración de soluciones básicas, método simplex y teoría dedualidad.

Una empresa de confecciones produce dos tipos de uniformes escolares, cuyasreferencias son y . La planta donde se fabrican los uniformes opera 40 horasa la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial,quienes trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas, entremáquinas de cocer y fileteadoras las cuales se utilizan para fabricar cada uniforme. Losproductos salen del departamento de confección para ser empacados en el departamentode empaque, el cual emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempoparcial quien trabaja 10 horas a la semana.

La empresa tiene una provisión casi ilimitada de materia prima que necesita para producirlos dos tipos de uniformes. Sin embargo puede vender cualquier cantidad de , perola demanda del producto más solicitado, , esta limitada a lo más a 120 unidades porsemana.

El departamento de contabilidad estima un margen de utilidad de $300 por unidad dey de $500 por unidad de .

2.2. EJEMPLO PROTOTIPO

UNIF1 UNIF2

UNIF1UNIF2

UNIF1 UNIF2

05

Se consulta al analista de procesos para recoger la información sobre el tiempo utilizadoen los departamentos de confección y empaque. El departamento de procesos presenta lainformación que se detalla en la siguiente tabla:

La empresa desea conocer el plan óptimo de producción para la próxima semana

Aplicando los criterios para la construcción y formulación de un modelo de programaciónlineal, la situación de la pequeña empresa se plantearía de la siguiente forma:

La empresa desea conocer cual es el número de uniformes escolares a fabricar en lasemana, de tal manera que se maximicen las utilidades totales.

X = unidades de uniformes tipo 1, UNIF1, a producir en la semana.X = unidades de uniformes tipo 2, UNIF2, a producir en la semana.

El modelo a solucionar es: Maximizar UT = 300 X + 500 X [Utilidad Total], Sujeto a:

(R1) 2X + X = 230 [Horas] Departamento de Confección(R2) X + 2X = 250 [Horas] Departamento de Empaque(R3) X = 120 [Unidades] Uniformes escolares UNIF2(R4) X 0 Restricción de no negatividad(R5) X 0 Restricción de no negatividad

1

2.1.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

2.2.2. IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES

2.2.3. MODELO FORMULADO

1

2

1 2

1 2

1 2

2

1

2

D

D

HORAS POR UNIDAD DE

UNIF1 UNIF2

Confección 2 1

Empaque 1 2

1Adaptado de MATHUR, Kamlesh y SOLOW, D., Investigación de Operaciones: el Arte de la Toma de

Decisiones, Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México, 1996.

06

Observe que el modelo prototipo formulado tiene solamente dos variables de decisión,UNIF1 y UNIF2, las cuales para facilitar la explicación se denotaran como X y Xrespectivamente. Al poseer el modelo sólo dos variables de decisión, se puede usar unprocedimiento gráfico para resolverlo, representando el modelo en un plano cartesiano X yY.

Para obtener la solución al modelo utilizando el enfoque gráfico, se emplean los siguientesprocedimientos:

Representar una región o área factible.Calcular el valor máximo o mínimo de la función objetivo en la región factible.

Se considera una , como aquella región o plano en el cual lasvariables de decisión de un modelo lineal satisfacen simultáneamente lasrestricciones. Región que forma un polígono convexo cerrado en el plano, o un poliedrocerrado convexo en el espacio. Entonces, para obtener la región factible se concentra elanálisis sobre las restricciones del modelo, examinando cada una de ellas para graficarlassobre el plano cartesiano. La grafica de todas las restricciones representadas por rectasforman una intersección, la región factible es aquella área donde todos los paresordenados (X , X ) que pertenecen a ella cumplen con todas las restricciones del modelo.

Cada restricción permite ciertos valores de (X , X ) que satisfacen las desigualdades. Losvalores que satisfacen la desigualdad y pertenecen al área factible se conocen como

(valores para las variables de decisión quesatisfacen simultáneamente todas las restricciones). Los valores que no satisfacen algunade las restricciones se consideran . Se puede notar que la intersecciónde las restricciones al formar la región factible permite un conjunto de infinitas parejas (X ,X ) las cuales satisfacen las restricciones. Este conjunto de parejas se reconocencomo soluciones factibles y en conjunto forman el .

Para hallar la región factible se utilizan los ejes de coordenadas del plano cartesiano, loscuales representarán a las variables de decisión (X , X ), ejes donde se representan losvalores mínimos y máximos que podrían tomar las variables.

La restricción (R4) del modelo, X 0, permite solo valores positivos y la restricción (R5),X 0, igualmente permite solo valores positivos, gráficamente la restricción (R4) permitevalores que están por encima del eje X y la restricción (R5) solamente permite valores queestén a la derecha del eje X , ver gráfica 1.

1 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1

2

2.3. ENFOQUE GRÁFICO DE SOLUCIÓN

2.3.1. REPRESENTAR UNAREGIÓN O ÁREAFACTIBLE

región factible o área factibletodas

valores factibles o soluciones factibles

valores infactibles

todasárea factible

1 2

D

D

?

?

07

Para obtener la gráfica de la recta de restricción R1, 2X + X = 230, se procede de lasiguiente forma. Esta expresión es una desigualdad lineal cuya grafica corresponde a lospuntos ubicados en el lado izquierdo o derecho de la recta 2X + X = 230, entonces:

Se transforma la restricción de desigualdad en igualdad.2X + X = 230

Se obtienen los interceptos con lo ejes de coordenadas para graficar la rectacorrespondiente a la desigualdad.

Cuando X = 0 X = 230Cuando X

Los valores que se consideran para obtener la región factible corresponden a ladesigualdad lineal 2X + X = 230 y no únicamente los valores de la ecuación 2X + X =230, se utiliza la igualdad para poder graficar la recta de restricción. Esto permite concluirque todos los puntos que pertenecen a la recta cumplen con la restricción, sin embargo elobjetivo de análisis para el enfoque gráfico de programación lineal es determinar un áreafactible, por lo tanto se necesita conocer que lado de la recta hacia la derecha o izquierdapresenta valores que cumplan con la desigualdad lineal. Note, que cuando se grafica larecta de restricción el plano cartesiano se divide en dos semiplanos ubicados a la derechae izquierda de la recta. Para reconocer cual de los semiplanos cumple con la desigualdad,se pueden utilizar dos formas:

2(50) + (50) = 230

150 = 230

La desigualdad se cumple, por lo tanto el área que satisface la restricción R1 es la ubicadaen el semiplano del lado izquierdo de la recta, como se indica en la gráfica 1. Se marca conflechas la dirección del semiplano que cumple con la desigualdad.

Si al reemplazar X y X la desigualdad NO se cumple, entonces, el área que satisface larestricción estaría ubicada hacia el semiplano del lado derecho de la recta.

Se elige como punto de referencia el origen de coordenadas, que puede estar ubicadoen uno de los dos semiplanos en que fue dividido el plano cartesiano, se verifica sisatisface o no la desigualdad representada por la restricción. Esta forma es similar a laprimera, su diferencia radica en ser más ágil cuando se reemplaza directamente losvalores de las coordenadas X = 0 y X = 0 en la desigualdad.

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

a)

b)

= 0 X = 115

Se elige cualquier punto que no se encuentre en la recta, ubicado en cualquiera de losdos semiplanos en que fue dividido el plano cartesiano cuando se trazo la recta derestricción. Por ejemplo, si se toma el punto X = 50 y X = 50 ubicado en el semiplanodel lado izquierdo de la recta (ver gráfica 1) y se reemplaza en la restricción R1

?

?

?

?

08

Cuando la desigualdad que se analice sea una recta que pase por el origen decoordenadas, se hace obligatorio utilizar un punto ubicado en alguno de los semiplanos enque se dividió el plano cartesiano.

2(0) + (0) = 230

0 = 230

Observe que la desigualdad se cumple, entonces el área que satisface la restricción R1 esel área ubicada en el semiplano del lado izquierdo de la recta.

Se grafican todas las restricciones del modelo sobre el plano cartesiano, utilizando una delas formas explicadas para reconocer los semiplanos que cumplen con cada una de lasrestricciones. Observe que el resultado al graficarlas, es una intersección de rectas derestricción sobre el plano cartesiano, las cuales a su vez forman diferentes segmentos deárea, uno de estos segmentos de área es el área factible, región del plano que cumple conlas características de ser un polígono convexo y simultáneamente cumplir con lasrestricciones del modelo. Para el ejemplo el área que cumple con todas las restricciones esel área sombreada de la figura 2.

Los infinitos puntos en los límites y aquellos que se encuentran dentro del área factible sony dan origen a diferentes valores para las variables X y X , puntos que

satisfacen con todas las restricciones y por lo tanto son solución del modelo. De todasestas infinitas soluciones, solo una es la solución óptima al modelo, aquella que produzcael mejor valor de la función objetivo, si el objetivo del problema es de maximizar o el menorvalor de la función si el objetivo es de minimizar (ver teorema fundamental de laprogramación lineal).

todas

soluciones factibles 1 2

Gráfica 1: Representación de recta de restricción

230

115X1

X2R5

R1

Punto(0,0)

Punto(50,50)

R4

09

Gráfica 2: Región o Área Factible

2.3.2. CALCULAR EL VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE LA FUNCIÓNOBJETIVO EN LA REGIÓN FACTIBLE

2.3.2.1. TEOREMAFUNDAMENTAL DE LAPROGRAMACIÓN LINEAL

Para calcular el valor máximo o mínimo de la función objetivo definido como una soluciónóptima, se necesita encontrar un punto factible de la región que proporcione el mayor omenor valor en la función objetivo.

Si un problema de Programación Lineal tiene región factible no vacía, entonces, sirealmente existe el óptimo (máximo o mínimo) de la función objetivo, este valor seencuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible.

Si una función alcanza el valor óptimo en dos vértices consecutivos de la región factible,entonces alcanza también dicho valor óptimo en todos los puntos del segmento de rectaque determinan los dos vértices.

Se presentan dos métodos para alcanzar la solución óptima para un modelo deprogramación lineal, un análisis gráfico y un método analítico. Estos métodos aplicados enel ejemplo prototipo permiten comprobar intuitivamente la validez del teoremafundamental de la programación lineal. Cuando la función alcanza el valor óptimo en dosvértices consecutivos se reconoce como una solución con óptimos alternativos, se explica

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

ÁreaFactible

R3

R4

R5

10

en detalle en el ítem modelos lineales con soluciones especiales. Sin embargo, si sóloexiste un vértice del área que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo, seconsidera como solución óptima y se constituye como solución única del problema.

El análisis gráfico permite obtener la solución óptima directamente en la gráfica cuando yase ha determinado el área factible. Se elige un punto cualquiera de la región factible, estepunto es una solución factible por que cumple con todas las restricciones. Sin embargo senecesita confirmar si es el mejor, el óptimo. Por ejemplo, el punto de coordenadas X = 40 yX = 30, es una solución factible con el cual la empresa obtendría un valor en la funciónobjetivo de $ 27.000. La línea que atraviesa por el punto se indica en la gráfica 3, ésta línease le conoce con el nombre de , por que representa a la recta queforma la función objetivo cuando se reemplaza en ella los valores de las variables.También se le llama de isoutilidades (si se maximiza) o de isocosto (si se minimiza). Todoslos puntos de la recta que se encuentren dentro del área factible, son soluciones factiblesque alcanzarían el mismo valor de $27.000 en la función objetivo. Observe igualmente enla gráfica que si se toma un punto por encima de esta recta, el valor de la función objetivose incrementa, el valor de las utilidades sería mayor. Por ejemplo, el punto X = 50 y X =60, el cual representa también una solución factible, alcanzaría un nuevo valor en lafunción objetivo de $ 45.000, en la gráfica la línea de función objetivo 2. (Ver gráfica 3).

En este momento surge una pregunta. ¿Cuál es el punto del área factible que genera lamejor solución al modelo?

Para hallar la solución óptima utilizando el análisis gráfico, se dibuja la línea de funciónobjetivo para un punto cualquiera que se encuentre dentro del área factible como seexplico. Este punto genera un valor de función objetivo, la solución óptima se encuentra,

. Las rectas paralelas a la línea defunción objetivo del ejemplo tienen la misma pendiente (-3/5). Observe en la gráfica 4, esteúltimo punto siempre corresponde a un punto ubicado en los que forman la regiónfactible, como lo define el teorema fundamental de programación lineal.

2.3.3. ANÁLISIS GRÁFICO

1

2

línea de función objetivo

sial reconocer la dirección hacia donde se presenta un mejor valor de la función objetivo(dirección definida por el criterio de maximización o minimización formulado para lafunción objetivo), se trazan líneas paralelas en ese sentido, tomando como referencia lalínea de función objetivo trazada inicialmente, de tal manera que el último punto que“toque” el área o región factible una paralela al abandonar esta región, este será el puntoóptimo, quien representara la

vértices

1 2

SOLUCIÓN ÓPTIMA

11

Gráfica 3: Representación línea de función objetivo

Para el ejemplo prototipo los vértices que presenta el área o región factible son:

V = (0,0) V = (0,120) V = (10,120)V = (70,90) V = (115,0)

Si se consideran nuevos puntos factibles que se ubiquen por encima de la línea de funciónobjetivo 2, el valor de la función objetivo se incrementara para cada uno de ellos por que elobjetivo del modelo es de maximización. El último punto de la región factible que toca unade las paralelas al abandonar el área es el punto ubicado en el vértice V (70,90) cuando setraza la línea de función objetivo 3 (ver gráfica 4). Este será el punto óptimo que representea la para el problema de la empresa de confecciones, el cualproduce un valor en la función objetivo de $66.000. Si se deseara aumentar sólo un pocomás el valor de la función objetivo a partir de $66000, la nueva línea de función objetivoestaría completamente por fuera del área factible. Se concluye entonces que el máximovalor que puede alcanzar la función objetivo del modelo es de $66.000, para X = 70 y X =90.

1 2 3

4 5

4

1 2

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Punto(40,30)

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R4

R5

54

90 150

90

Línea de funciónobjetivo 1

Línea de función

objetivo 2

Punto(50,60)

V1

V2

V3

V4

V5

12

2.3.4. INTERPRETACIÓN DE LASOLUCIÓN ÓPTIMA

X * = 70 X * = 90 UT* = 66.000

La solución sugiere que el plan óptimo de producción para la empresa de confecciones esproducir 70 unidades de uniformes escolares de referencia UNIF1 y 90 unidades deuniformes con referencia UNIF2, con lo cual alcanzara una utilidad máxima de $66.000durante la semana.

El método de análisis gráfico genera un concepto teórico fundamental para laprogramación lineal, si el problema tiene solución y esta solución es única, la

se ubicara en uno de los vértices que forme la región factible y es única por queno existirá otro vértice que presente un valor igual o mejor en la función objetivo como losugiere el teorema fundamental de la programación lineal.Algunos autores los denominantambién o a los vértices del área factible.

Recuerde que el recurso limitado que tiene la empresa es el tiempo (Horas) en losdepartamentos, con la solución óptima obtenida la forma de utilizar este recurso es lasiguiente:

2X + X = 230 [Horas] Depto de Confección2(70) + 90 = 230

230 = 230

1 2

SOLUCIÓNÓPTIMA

PUNTOS ESQUINA PUNTOS FRONTERA

Gráfica 4: Solución Óptima Análisis Gráfico

1 2

R1 R2

250

120

2 30

115

125

X1

X2

R3

R5

R5

54

90 150

90

Línea de función

objetivo 1Línea de función

objetivo 2

Línea de función

objetivo 3

SOLUC IÓNÓPTIMA ÚNICA

V4 (70,90)

13

X + 2X = 250 [Horas] Depto de Empaque70 + 2+ (90) = 250

250 = 250

Se puede observar que con la solución óptima obtenida, se utiliza completamente elrecurso horas disponible en los dos departamentos. El análisis del uso de los recursos serealiza más adelante cuando se exponga el tema deAnálisis de Sensibilidad.

El método analítico es una consecuencia directa del análisis gráfico. Por lo tanto, despuésde identificar la región factible al problema, se analizan los vértices que forman laintersección de las rectas de restricción. Cada vértice se forma por una pareja de paresordenados X y X , que al reemplazarse en la función objetivo se obtiene el valor máximo omínimo de la función dependiendo del criterio utilizado para el problema maximización ominimización.

Apoyándose en el álgebra lineal se construyen sistemas de ecuaciones para aquellasrectas de restricción que forman cada uno de los vértices de la región factible, la solución acada sistema permite encontrar los valores X y X de cada punto esquina. Se puedeutilizar el método de eliminación de una incógnita el cual utiliza tres procedimientos:eliminación de una incógnita, eliminación por adición y sustracción o el procedimiento deeliminación por sustitución. Cualquiera de ellos permite reconocer las coordenadas decada uno de los vértices que forman el área factible.

Por ejemplo el vértice 3 se forma por el cruce de las restricciones R2 y R3 (Ver gráfica 5),representado por el siguiente sistema de ecuaciones:

X + 2X = 250X = 120

1 2

1 2

1 2

1 2

2

2.3.5. MÉTODOANALÍTICO

14

Gráfica 5: Solución Óptima Método Analítico

La solución al sistema permite obtener las coordenadas del vértice V , X = 10 y X = 120

Después de encontrar las coordenadas de cada uno de los vértices del área factible, seevalúan en la función objetivo.

Como se puede observar el vértice V es el que genera el mayor valor en la función objetivopor que el objetivo del problema es maximizar las utilidades totales, por lo tanto seconsidera como la . La interpretación es igual a la planteada con el análisisgráfico.

3 1 2

4

solución óptima

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R5

SOLUCIÓNÓPTIMA ÚNICA

V1 (0,0 )

V2 (0,120)

V3 (10,120)

V4 (70,90)

V5 (115,0 )

REGIÓN OÁREA

FACTIBLE

VÉRTICE – PUNTOESQUINA X1 X2

VALOR FUNCIÓNOBJETIVO

V1 0 0 $ 0V2 0 120 $ 60.000V3 10 120 $ 63.000V4 70 90 $ 66.000V5 115 0 $ 34.500

15

2.3.6. EJERCICIO DEAPLICACIÓN

MODELOS LINEALES CON SOLUCIONES ESPECIALES EN ELENFOQUE GRÁFICO

2.4.1. SOLUCIÓN ÓPTIMAÚNICA

2.4.2. MODELOS LINEALES INFACTIBLES

“Harinera del Sur”, posee para la producción de harina dos molinos. El molino 1 puedeoperar un máximo de 40 horas, mientras que el molino 2 puede operar como mucho 60horas por semana. Cada hora de operación del primer molino produce 3 toneladas deharina, cada hora del segundo molino produce 4 toneladas de harina. La empresa haadquirido compromisos con clientes para producir por lo menos 180 toneladas deproducto terminado. Una hora de producción del molino 1 le cuesta a la organización$40.000 y una hora de producción del molino 2 le vale $80.000. La empresa deseamantener los costos tan bajos como sea posible. Por razones de política interna de laempresa, la operación en horas del molino1 no debe ser mayor a 2 veces la operación enhoras del molino 2.

Formule éste problema como un modelo de programación lineal y halle su soluciónutilizando el método gráfico.

Cuando se soluciona un problema de programación lineal se presentan diferentes tipos desolución. A continuación se detalla como se identifican los tipos de solución y sus efectoscuando se soluciona el modelo. Tipos de solución que tienen su explicación también con elmétodo simplex y que se realiza posteriormente.

Entre las causas más comunes para que se presenten soluciones especiales en losmodelos de programación lineal se pueden considerar: error en la formulación delproblema, equivocación al definir una restricción como = siendo realmente =, omisión altranscribir información del modelo formulado al software.

Después de resolver el ejemplo prototipo utilizando el enfoque gráfico, se nota que lasolución óptima ocurrió en un punto extremo o de esquina de la región factible. Se hallóuna región factible y en ella se encontró la solución óptima para el problema, existe solo unpunto X y X que son solución al modelo. Esta situación se puede considerar como unasolución única.

Para explicar este tipo de solución se realiza una variación en el ejemplo prototipo.Suponga que el gerente de ventas de la empresa de confecciones informa que necesita

2.4.

1 2

16

firmar un contrato a largo plazo con un cliente para vender como mínimo 200 unidades deuniformes escolares de referencia UNIF1 para cada semana. Para obtener el nuevo plande producción, se necesita reformular el modelo para vincular en él la información delgerente de ventas, se hace necesario vincular una nueva restricción que represente lanueva situación. La situación se traduce en el modelo vinculando una nueva restricción,restricción 4 (R4) de la siguiente forma: X = 200. El nuevo modelo quedaría formulado dela siguiente manera:

Maximizar UT = 300 X + 500 XSujeto a:

(R1) 2X + X = 230(R2) X + 2X = 250(R3) X = 120(R4) X 200(R5) X 0(R6) X 0

Cuya gráfica, se presenta en la gráfica 6.

Observe que el sistema de ecuaciones NO presenta intersección para alcanzar a formaruna región factible. No es posible encontrar un área factible, no existen vértices, no esposible aplicar el teorema fundamental de programación lineal.

Se explica otro método que se puede utilizar en el método gráfico para identificar la regiónfactible: Observe que al trazar las rectas de restricción en el plano cartesiano, se formandiferentes áreas, como se comento. El método consiste en identificar las áreas yanalizar cada una de ellas aplicando el concepto del método gráfico: para ser área factibleun punto X y X que se encuentre dentro del área obligatoriamente debe cumplir con

las restricciones. Si un punto X y X no cumple con alguna de las restricciones, elárea al cual pertenece el punto no se puede considerar como área o región factible.

En la gráfica 6, se visualizan las 8 áreas posibles generadas al dibujar las rectas derestricción del modelo.

Si se analiza cualquier área, se puede observar que ninguna de ellas cumplesimultáneamente con todas las restricciones cuando se considere un punto X y X quepertenezca al área. Por ejemplo si se analiza la región A6, se toma un punto quepertenezca al área y se analizan las direcciones de todas las restricciones, el puntoseleccionado no cumpliría con las restricciones R1 ni R4 (verifique todas las áreas).Cuando existe un área que no cumpla con todas las restricciones, no es posible definir unárea factible, la intersección de las restricciones es un conjunto vacío, por lo tanto la regiónfactible NO existe, es imposible alcanzar una solución para el modelo. Esta situación seconsidera como una Solución Infactible o Modelo Lineal Infactible, el modelo no tienesolución. Una interpretación para la empresa de confecciones si se encontrara esta

1

1 2

1 2

2

1

1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

D

D

D

TODAS

TODAS

17

situación al solucionar el modelo, sería que con los actuales recursos no podría cumplircon el contrato del cliente para vender 200 unidades de uniformes escolares de referenciaUNIF1. Si a la empresa le interesa el contrato, necesitará adquirir recursos adicionalespara alcanzar a cumplir con la demanda de 200 unidades.

Este tipo de modelos se conoce también como modelos con “solución no acotada” y sepresentan cuando la función objetivo puede mejorarse indefinidamente, o sea, existenvalores factibles de las variables que pueden hacer del valor de la función objetivo tangrande como se desee cuando se está maximizando y tan pequeño cuando se estáminimizado. Una o varias variables crecen o decrecen sin ninguna restricción, estoproduce valores mayores y menores en la función objetivo sin ningún limite. Suponga quepor omisión, en el modelo prototipo se invierte el signo de las desigualdades R1 y R2, elmodelo formulado y su gráfica correspondiente se presentan a continuación:

Maximizar UT = 300 X + 500 X

Gráfica 6: Modelos lineales infactibles

2.4.3. MODELOS LINEALES ILIMITADOS - REGIÓN NOACOTADA

1 2

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R6R4

200

A1A2

A3

A4A5

A6A7

A8

18

Sujeto a:

(R1) 2X + X 230(R2) X + 2X 250(R3) X = 120(R4) X 0(R5) X 0

Si se mueve la línea de función objetivo paralelamente a si mismo en la dirección demejora (maximizando o minimizando), la línea de función objetivo nunca va a tocar unpunto esquina (por que no existe) y por lo tanto jamás va a abandonar el área factible, laregión factible no tiene límite, es abierta, como lo indica la gráfica 7. Una explicación parala empresa sería que puede alcanzar una utilidad infinita, lo cual en la práctica esimposible.

Gráficamente se puede observar que la variable X no viola las restricciones, creceindefinidamente y es la variable que aportaría un mayor valor a la función objetivo. Nóteseque no existe una solución acotada. Una causa para que se presente este tipo de soluciónes haber ignorado vincular una restricción, que al ubicarla posteriormente es posiblealcanzar una solución óptica única. Por ejemplo limitar la demanda de los uniformes tipo 1en 600, esto permitirá acotar la región y poder encontrar un área factible. Verifique estasituación y encuentre la solución óptima.

1 2 D

D

D

D

1 2

2

1

2

1

Gráfica 7: Modelos lineales ilimitadosR1R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R4

R5

19

2.4.4. MODELOS LINEALES DEGENERADOS - RESTRICCIONES REDUNDANTES

Gráfica 8: Modelos lineales degenerados

Este tipo de solución se presenta cuando existe una restricción en el modelo que noparticipa en la intersección de las rectas de restricción para formar el área factible. A larestricción que no hace parte del área factible se le conoce como restricción redundante,es una restricción que no hace parte de la región factible sin embargo cumple con todos lospuntos que pertenecen al área factible. Para identificar en la aplicación del método gráficouna solución degenerada suponga en el ejemplo prototipo que el departamento demercadeo de la empresa determina por un estudio de investigación de mercados que lademanda de uniformes escolares de referencia UNIF1 para cada semana no puede sermayor de 150 unidades. Esta situación obliga a vincular una nueva restricción al modelooriginal: X = 150. Observe la nueva formulación y su respectiva grafica del nuevo modelo.

Maximizar UT = 300 X + 500 XSujeto a:

(R1) 2X + X = 230(R2) X + 2X = 250(R3) X = 120(R4) X = 150(R5) X 0(R6) X 0

El área sombreada representa a la región factible, note en la gráfica 8 que la restricción 4(R4) no participa en la intersección para obtener esta área, sin embargo cualquier punto

1

1 2

1 2

2

1

1

2

1 2

D

D

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R6R4

150

20

que se encuentre dentro del área factible cumple con la desigualdad representada por larestricción 4. Esta restricción se considera redundante, se puede suponer que larestricción “sobra” por que no afecta a la región factible. Con la restricción o sin ella, lasolución del modelo seguiría siendo la misma.

El efecto de esta situación en los modelos de programación lineal es que aumenta trabajoen la solución bien sea manual o con software. La recomendación cuando se estáformulando el modelo es no preocuparse si se incluyen las restricciones redundantes. Sise piensa que se necesita una restricción que sea redundante es mejor incluirla en elmodelo.

Este tipo de solución se conoce también como modelos con infinitas soluciones óptimas.Se presenta cuando algunos modelos tienen más de una solución óptima, existen dosvértices de la región factible que alcanzan el mismo valor óptimo en la función objetivo. Acada una de las soluciones se les conoce como solución óptima alternativa. Significa queexisten diferentes valores factibles X y X que producen el mismo valor óptimo en lafunción objetivo. Ocurre cuando la recta de función objetivo es paralela a uno de los ladosdel área factible.

Para realizar la aplicación al ejemplo prototipo, se modifica los datos en la función objetivo,suponga que el margen de ganancia del producto uniformes tipo 1 UNIF1, no es de $300por unidad si no de $ 200 por unidad. De la misma forma para el producto, uniformes tipo 2UNIF2, cuyo margen de ganancia era de $500 por unidad ahora sea de $400 por unidad.Esto obliga a una nueva formulación del modelo, el cual se representaría de la siguienteforma:

Maximizar UT = 200 X + 400 XSujeto a:

(R1) 2X + X = 230(R2) X + 2X = 250(R3) X = 120(R4) X 0(R5) X 0

Una de las soluciones óptimas (verifíquela) para éste modelo sería:

X * = 10X * = 120UT* = 50.000

Al graficar este modelo en el plano cartesiano se observa cómo la recta de función objetivoes paralela a uno de los lados de la región factible, grafica 9. Para el caso, el segmento de

2.4.5. MODELOS LINEALES CON SOLUCIONES ÓPTIMASALTERNATIVAS

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1

2

1

2

D

D

21

recta CD del área factible es paralelo a la línea de función objetivo, segmento de recta queune dos vértices del área. En este segmento de recta la línea de función objetivo tocainfinitos puntos cuando tenga la misma pendiente que la restricción 2 R2. Cada uno deestos puntos X y X que pertenecen al segmento de recta, es solución óptima y producenel mismo valor en la función objetivo cuando se remplacen en ella (confírmelo utilizando elmétodo analítico).

Las soluciones con óptimos alternativos tienen un nivel de importancia cuando sepresentan en la solución de los modelos de programación lineal. Para el analista deinvestigación de operaciones y para la empresa, este tipo de solución aumenta el espectropara la toma de decisiones, ya no se limita a una sola opción para tomar la decisión, lasolución puede presentar varias alternativas de decisión. La decisión a elegir depende desituaciones externas al modelo e inherentes al sistema que se este modelando.

Después de obtener la solución a un problema de programación lineal con 2 variablesutilizando el método gráfico, se emplea la solución para efectuar lo que teóricamente seconoce comoAnálisis de Sensibilidad.

1 2

Gráfica 9: Modelos lineales con óptimos alternativos

2.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EN EL ENFOQUE GRÁFICO

2.5.1. DEFINICIÓN DEANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R6

150

75

Línea de función objetivo

C

D

22

En general el análisis de sensibilidad permite dar respuesta a la preguntadespués de formular y resolver un problema de programación lineal se efectúan cambiosen los datos o parámetros del modelo original. En el ejemplo prototipo del sistemaempresarial que se ha planteado, los datos o parámetros del modelo de programaciónlineal pueden cambiar en el tiempo, debido a la propia naturaleza del sistema que se estaanalizando y a la variabilidad en la que se desenvuelven los sistemas sobre todo lossistemas empresariales. Situaciones como la caída de los precios, la variabilidad de losmercados, el alza o incremento de los costos de mano de obra o de la materia prima, sonsituaciones que van a afectar la solución óptima del modelo. Como analista deinvestigación de operaciones y responsable de la formulación del modelo, necesitaconocer que tan sensible es la solución del modelo a variaciones en alguno de los datos oparámetros del modelo original.

El análisis de sensibilidad utilizando el método gráfico, únicamente permite dos tipos deanálisis y admite dar respuesta solamente cuando se realizan cambios en los coeficientesde la función objetivo y cuando se realizan cambios en el lado derecho de las restricciones.Igualmente este análisis que se va a aplicar considera el cambio en solo uno de losparámetros, coeficientes de la función objetivo o lado derecho de las restricciones,manteniendo todos los demás datos del modelo inalterables.

Las respuestas que se obtengan a la pregunta “qué pasa si…” se pueden usar dediferentes maneras, por ejemplo si la solución óptima de un modelo es muy sensible aalgunos cambios en los coeficientes de la función objetivo, el analista de investigación deoperaciones puede sugerir usar el modelo para una planeación a corto plazo. Si por elcontrario, los rangos o intervalos de sensibilidad en los parámetros que se modifiquen sonamplios y los valores van a fluctuar en el tiempo, el analista puede sugerir cambiar losdatos cada vez que se desee usar el modelo.

La importancia del análisis de sensibilidad radica en el resultado que pueden presentar losdatos en el momento de formular el problema. Normalmente, para formular un modelo losparámetros a considerar tienen que estimarse y por tanto estos datos pueden tenerinexactitudes. Antes de implementar la solución de un modelo de programación lineal enun sistema es importante conocer que tanto se afecta la solución si la estimación de losdatos cuando se esta formulando el modelo son ligeramente inexactos.

Por ejemplo si las restricciones de un modelo de programación lineal tienen que ver con laasignación de recursos escasos como capital, mano de obra y materias primas. El análisisde sensibilidad ayuda a determinar si es rentable o no utilizar, adquirir o disminuir lascantidades de estos recursos.

Específicamente para el ejemplo que se estudia, el análisis de sensibilidad permitedeterminar que tan sensibles son la solución óptima (X * = 70; X * = 90) y el valor de lafunción objetivo (UT = 66.000) con respecto a cambios en los datos o parámetros de lafunción objetivo y del lado derecho de las restricciones del modelo.

“qué pasa si…”

1 2

2.5.2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA LOS COEFICIENTES DELA FUNCIÓN OBJETIVO

23

Suponga que el analista de investigación de operaciones con base en los pronósticos dedemanda desea conocer que sucede con la solución óptima alcanzada y el valor de lafunción objetivo en el ejemplo prototipo, si se aumentan las utilidades de los uniformesescolares UNIF1 en $150 por unidad, en otras palabras desea conocer, que sucede con lasolución óptima y el valor de la función objetivo si el coeficiente de la variable X cambia de$300 a $450 por unidad.

Una manera de responder esta inquietud del analista es cambiar el coeficiente de lavariable X de $300 por $450 en la función objetivo y resolver nuevamente el modelo coneste nuevo valor. Sin embargo el análisis de sensibilidad permite dar respuesta a esta yotras inquietudes del analista de investigación de operaciones o del responsable delmodelo, sin necesidad de resolverlo nuevamente.

El análisis de sensibilidad permite obtener un intervalo [LI, LS] para cada uno de loscoeficientes o parámetros a analizar, intervalo que se conoce como

, en el cual se reconoce un límite inferior y un límite superior para los cuales esposible realizar cambios en los coeficientes o parámetros sin que se afecte la soluciónóptima. Esto permite al analista de investigación de operaciones disminuir el impactosobre el modelo que tiene la variabilidad que presentan los sistemas en el tiempo.

Un intervalo de sensibilidad [LI, LS] se interpreta como los valores máximo y mínimo quepermite un parámetro o dato del modelo de programación lineal para que la soluciónóptima (para el ejemplo: X * = 70; X * = 90) no cambie, se mantenga. Un cambio por fueradel intervalo, la solución óptima va a cambiar y por supuesto el valor de la función objetivo.

En primera instancia se analiza gráficamente que le sucede a la línea de función objetivo sise realiza el cambio de la ganancia para los uniformes escolares UNIF1. Se efectúaentonces el análisis para el coeficiente en X de la función objetivo, variable X querepresenta al producto uniformes escolares UNIF1, como se comento anteriormente.

Utilizando la solución óptima encontrada para X y X obtenemos un nuevo valor de lafunción objetivo utilizando el cambio en el valor de las ganancias para UNIF1 de $300 por$450, la nueva función objetivo sería:

Maximizar UT = 450 X + 500 XCon el cambio el valor de la nueva función objetivo sería de $76.500. Esta nueva funciónobjetivo se grafica (ver gráfica 10). Gráficamente se puede observar que al realizar

1

1

1 2

1

1 1

1 2

1 2

intervalo desensibilidad

Procedimiento gráfico. Se conoce ya que la solución con el método gráficocorresponde a una solución en un punto esquina o punto frontera, para el ejemplo X * =70; X2* = 90, y además que la línea de función objetivo es una línea que se grafica apartir de cualquier punto de la región factible, la cual se desplaza hacia la derecha si seestá maximizando o hacia abajo si se esta minimizando hasta tocar el último punto delárea factible, el cual siempre será un punto esquina.

?

24

cualquier cambio en los coeficientes de las variables, se presenta un desplazamiento de lalínea de función objetivo, esta línea “se mueve”. Dependiendo del cambio en la variable,este desplazamiento se presenta hacia una de las restricciones que cruzan al puntoóptimo. Para el ejemplo observe que al variar el valor del coeficiente de la variable X de300 a 450 y graficarla nuevamente se presenta un desplazamiento hacia la recta derestricción R1, teniendo en cuenta que el valor del cambio es mayor al valor original.

El análisis gráfico permite reconocer hacia cual de las restricciones que cruza el óptimo sedesplaza la línea de función objetivo cuando se realiza un cambio en los coeficientes. Si elcambio que se realice al coeficiente es excesivamente grande, la nueva línea de funciónobjetivo que represente al cambio sobrepasara, “saltara” a la restricción hacia la direccióndonde se desplace. Por ejemplo si se aumentara las ganancias de los uniformes escolaresUNIF1 en $900 por unidad, incrementándose de $300 a $1200 por unidad, eldesplazamiento de la línea de función objetivo sería tan grande que sobrepasaría a larestricción R1, observe la gráfica 11.

1

Gráfica 10: Sensibilidad coeficientes función objetivo

Nueva línea de función objetivo450X1 + 500X2 = 76.500

R1

230

115X1

X2

R5

R5

Línea de función objetivo original

300X1 + 500X2 = 66.000

SOLUCIÓN ÓPTIMAX1 = 70X2 = 90

220

132

153

170

Desplazamiento de línea de función

objetivo

25

Gráfica 11: Sensibilidad coeficientes función objetivo

Se puede concluir entonces que los cambios en los coeficientes de la función objetivo sonválidos únicamente cuando la nueva línea de función objetivo no sobrepase la recta derestricción hacia la cual se desplace. Matemáticamente se puede interpretar esta situaciónde la siguiente manera: los cambios serán válidos cuando la nueva línea de funciónobjetivo alcance la misma pendiente que la recta de restricción. Esta conclusión nospermite obtener el valor límite del intervalo de sensibilidad del coeficiente a quien se le esterealizando el análisis.

Procediendo con el análisis para el coeficiente en X del ejemplo prototipo después derealizar un cambio, se noto que al graficar la línea de función objetivo con el nuevo valor dela ganancia, la línea se desplazo hacia la R1, por lo tanto para reconocer cuál es el valorlímite para el cual se puede variar la ganancia para el coeficiente se deben igualar laspendientes de las ecuaciones de recta de la función objetivo y de la recta de restricciónhacia la cual se desplazo, el procedimiento se explica a continuación.

Como se necesita reconocer el valor límite del coeficiente que acompaña a la variable Xutilice un nombre ficticio a este coeficiente en la función objetivo original, como por ejemplouna letra cualquiera o en su defecto LI o LS, de la siguiente forma:

LS X + 500 X = 66.000, pendiente

1

1

1 2

Línea de función objetivo original

300X1 + 500X2 = 66.000

R1

230

115 X1

X2

R5

R5

SOLUCIÓN ÓPTIMAX1= 70

X2= 90

220

132

Nueva línea de función objetivo1200X1 + 500X2 = 129.000

Desplazamiento de línea de funciónobjetivo

107.5

258

1500

LSm = -

26

La recta de restricción hacia donde se desplazo es R1

(R1) 2X + X = 230, pendiente

Al igualar las pendientes y , se obtiene el valor LS = 1.000

De esta manera se ha obtenido el valor del límite superior del intervalo de sensibilidad parael coeficiente en X , [LI, 1000]. La interpretación del valor del límite superior 1.000 es elsiguiente: Solamente se permiten cambios para el coeficiente en X que no sobrepasen elvalor de 1.000, para el contexto del problema significa que el valor de las utilidades paralos uniformes escolares tipo 1 UNIF1, no pueden ser superiores a $1.000, si se deseaconservar el nivel de producción de 70 uniformes para UNIF1 y de 90 uniformes paraUNIF2 generado por la solución del modelo.

Realice el mismo procedimiento para obtener el valor dellímite inferior para el coeficiente en X del ejemplo prototipo. Igualmente halle elintervalo de sensibilidad para el coeficiente en X . Interprete los resultados.

Igual que con los coeficientes de la función objetivo, el procedimiento para obtener unanálisis de sensibilidad para los datos o parámetros del lado derecho de las restriccionesse realiza en forma gráfica y simultáneamente en forma matemática.

El análisis de sensibilidad para el lado derecho en un modelo con dos variables se reducea analizar los cambios, el intervalo de aquellas restricciones que crucen el punto óptimo yhallar e interpretar el valor del , considerado este último valor como lainterpretación económica del modelo de programación lineal. Desde esta perspectiva elanálisis de sensibilidad con el método gráfico para el lado derecho de las restricciones eslimitado, por que se focaliza únicamente a la interpretación de los cambios en el ladoderecho de las restricciones que crucen el punto óptimo, lo cual no ocurre con el métodosimplex, para el cual se permite el análisis para todas las restricciones del modelo. Sinembargo el desarrollo admite comprender el proceso algebraico y su interpretación de unamanera más accesible.

El análisis gráfico en el lado derecho de las restricciones, reconoce de forma gráfica comoes el desplazamiento del punto óptimo sobre las rectas de restricción que cruzan el óptimocada vez que se realicen cambios en el lado derecho de una de ellas. Siempre que serealice el análisis de sensibilidad a una de las restricciones que cruzan el óptimo, eldesplazamiento del punto óptimo se presenta sobre la o las restricciones a las cuales nose esta realizando el análisis y que por supuesto hacen parte del cruce del punto óptimo.

1 2

1

1

1

2

Ejercicio de aplicación.

2.5.3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA EL VALOR DEL LADODERECHO DE LAS RESTRICCIONES

precio sombra

?

2

2

1m = -

1m

2m

27

Cuando los cambios que se realicen en el lado derecho de las restricciones sean lobastante grandes, el punto óptimo ya no sería la intersección entre aquellas rectas derestricción cuando se alcanzo la solución óptima. Para cambios superiores, el puntoóptimo deja de ser la intersección entre las restricciones de la solución óptima encontrada.

Para el caso del ejemplo prototipo, cuando se realicen cambios en el lado derecho de lasrestricciones que se encuentren dentro de su intervalo de sensibilidad, la solución óptimaseguirá siendo la intersección de las restricciones R1 y R2. Se puede concluir entoncesque cuando los cambios en el valor del lado derecho de la restricción permanezcan en elintervalo de sensibilidad la solución óptima estará determinada por la intersección de lasrectas de restricción R1 y R2. El intervalo de sensibilidad en el lado derecho reconoce losvalores mínimos y máximos sobre los cuales se pueden realizar los cambios para el ladoderecho de las restricciones igual que para el caso de los coeficientes de la funciónobjetivo.

Después de identificar el intervalo de sensibilidad para la restricción que se esteanalizando, se encuentra el valor del , también llamado o

cuya información para el analista de investigación de operaciones es desuma importancia pues representa el precio unitario adicional máximo que podría pagarsepor cada unidad adicional o de cambio en el nivel de los recursos representados en el ladoderecho de las restricciones. El precio sombra se obtiene graficando en la abcisa del planocartesiano los valores de cambio del lado derecho de la restricción a quien se le hace elestudio y en la ordenada los valores que alcanza la función objetivo cuando se realizan loscambios. La grafica que se obtiene es una recta, la pendiente de esta recta se define comoel .

Para iniciar el estudio en el lado derecho de las restricciones se debe obtener el intervalode sensibilidad, para lograrlo se realizan cambios individuales a cada una de los ladosderechos de las restricciones que cruzan el punto óptimo, esto con el fin de cumplir elsupuesto del análisis de sensibilidad de realizar cambios individuales en los parámetros yno afectar simultáneamente varios parámetros del modelo.

Suponga que después de obtener la solución del modelo a la empresa de confecciones, sepresenta un incremento en la demanda de los uniformes en el mercado, frente a estasituación la gerencia debe ampliar las unidades de producción de cada uno de losproductos. Se consulta al analista de operaciones encargado del modelo sobre lasconsecuencias que tendría en el modelo si se amplia el número de horas en eldepartamento de empaque de la planta. Esta situación se puede responder utilizando unanálisis de sensibilidad para el lado derecho de la restricción 2 R2.

El procedimiento a seguir es encontrar en primera instancia el intervalo de sensibilidadpara la restricción R2, el cual se obtiene realizando diferentes cambios al lado derecho deesta restricción. Va a notar que al realizar un cambio mayor o menor que el valor actual quepresenta la restricción el punto óptimo se desplaza (observe secuencia gráfica en gráficas12 y 13), esto permite reconocer cual será el punto de intersección límite hasta donde sepuede realizar los cambios.

precio sombra precio dual costode oportunidad

precio sombra

28

La grafica 12 presenta la situación del modelo cuando se encontró la solución óptima sinrealizar cambios en el lado derecho, el punto óptimo se encuentra en la intersección de lasrestricciones 1 y 2 para el cual se alcanza el mayor valor de la función objetivo $ 66.000.

Como el cambio se realiza a la restricción 2, R2, la gráfica 13 presenta la situación si seaumenta el valor de las horas del departamento de empaque en 30, pasar de 250 a 280horas, este cambio permite incrementar el nivel de producción. Se grafica la restricción X+ 2X = 280, verifíquelo. Observe como se desplaza el punto óptimo. El desplazamiento serealiza sobre la otra restricción que cruza el óptimo.

Gráfica 12: Solución óptima sin cambio en el LD de R2

1

2

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R5

Solución Óptimasin cambio en el

LD

V4 (70,90)

29

Gráfica 13: Solución óptima con cambio en el LD de R2

Cuando se realiza un cambio lo bastante alto en el lado derecho de la restricción,igualmente se desplaza el punto óptimo, sin embargo este nuevo punto óptimo a pesarque sigue siendo la intersección de las restricciones R1 y R2, ya no puede ser óptimo, porque viola el concepto de región factible. Por ejemplo observe que sucede si se aumenta elvalor de las horas del departamento de empaque en 70, pasar de 250 a 320 horas paraincrementar el nivel de producción. La gráfica 14 indica lo que sucede si se grafica larestricción con este cambio en el lado derecho, el nuevo punto óptimo y una parte de lanueva área factible NO cumplen con la restricción 3, R3, por lo tanto el nuevo punto NOpuede ser punto óptimo. Se concluye que la solución al modelo seguirá siendo óptimacuando el cambio que se realice en el lado derecho de la restricción no sobrepase elvértice de intersección entre las restricciones R1 y R3, punto W en la gráfica, este punto deintersección será el punto límite para los cambios en el lado de la restricción. Se reconocecuales son las coordenadas X y X del punto límite hasta donde se pueden realizar loscambios y se remplazan en la restricción.

Si el cambio realizado al lado derecho de la restricción es mayor al valor original formulado,el desplazamiento de la restricción se realiza hacia la derecha de la gráfica, pero si elcambio realizado es menor al valor original de la restricción, el desplazamiento de la rectade restricción al que se hace el análisis se desplazaría al lado contrario. Es importantevisualizar en la gráfica el desplazamiento que presenta el punto óptimo cuando se graficala recta de restricción a la cual se le están realizando los cambios.

1 2

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R5

Nuevo puntoóptimo

280

140

Nueva áreafactible

R2'

Nueva posición dela restricción 2 R2'

30

Gráfica 14: Cambio suficientemente mayor en R2

Luego de reconocer gráficamente como es el desplazamiento de la recta de restriccióncuando se realiza un cambio y reconocer el punto límite permisible para la variación dellado derecho, se encuentran las coordenadas de ese punto de la siguiente forma:

Se construye un sistema de ecuaciones lineales con las restricciones que cruzan esepunto límite.

2X + X = 230X = 120

Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las coordenadas para el punto límite W.Verifíquelo

X = 55X = 120

Estas coordenadas permiten encontrar el valor del límite superior del intervalo desensibilidad, reemplazando las coordenadas X y X en la restricción R2, se representa elvalor del lado derecho como una variable o una letra, por ejemplo LS (límite superior) comose indica a continuación:

1 2

2

1

2

1 2

R1 R2

250

120

230

115

125

X1

X2

R3

R5

R5

Nuevo puntoóptimo

R2'

Nueva áreafactible

320

160

Nueva posición dela restricción 2 R2'

Parte de nuevaárea no factible

W

Punto W, intersecciónrestricciones R1 y R3

S

31

X + 2X = LSX + 2X = LS55 + 2(120) = LSLS = 295

El valor LS, léase límite superior es igual a 295 horas

Se puede concluir: Si el punto óptimo se desplaza hacia el punto W cuando se realizancambios superiores o mayores al valor original, entonces la recta de restricción sedesplazaría hacia el lado contrario cuando se realicen cambios por debajo del valororiginal del lado derecho de la restricción. De esta manera se puede reconocer que elpunto límite para cambios por debajo del valor original de la restricción necesariamentedebe ser el punto de intersección S entre las rectas R1 y R5 (eje de coordenada X ).Verifique esta afirmación realizando cambios menores en el lado derecho de la restricción2, grafique cada recta cuando realiza el cambio y observe el desplazamiento del puntoóptimo. En algún momento de los cambios el punto óptimo deja de ser óptimo por que va aviolar la restricción 5, R5, confirmando así que el punto límite es el punto S.

Las coordenadas del punto límite S son:

X = 115X = 0

Se reemplaza estas coordenadas en la desigualdad de la restricción 2, R2 y se define LI(límite inferior) en el lado derecho.

X + 2X = LIX + 2X = LI

115 + 2(0) = LI

El valor del límite inferior es igual a 115

Entonces el intervalo de sensibilidad para la restricción 2, R2, quien representa aldepartamento de empaque en el modelo es [115, 295] cuyas unidades representan ladisponibilidad de horas en el departamento de empaque.

Podemos concluir: Siempre que el valor del lado derecho permanezca en el intervalo [115,295] la solución óptima estará determinada por la intersección de las restricciones R1 yR2.

Para complementar la interpretación del análisis de sensibilidad en el lado derecho de unarestricción se halla el valor del , valor que representa la interpretacióneconómica del modelo, como se comento anteriormente.

El procedimiento para obtener el precio sombra es el siguiente: Se grafican los diferentescambios mayores y menores al valor original de la restricción. Con el procedimiento

1 2

1 2

1

1

2

1 2

1 2

precio sombra

32

explicado, cada cambio permite obtener valores en X y X así como el valor de la funciónobjetivo cuando se reemplazan estos valores en las variables de la función objetivo comose observa en la siguiente tabla:

Si se grafica en un plano cartesiano los valores de la tabla, donde la abscisa represente alvalor del lado derecho y la ordenada el valor de la función objetivo, la gráfica resultante esuna recta, como se observa en la gráfica 15.

Cuando se incrementa el valor del lado derecho de la restricción 2 entre 115 y 295, el valorde la función objetivo crece de una forma lineal. Como la relación entre el lado derecho y elvalor de la función objetivo tiene un comportamiento lineal, se puede determinar lapendiente de la recta, pendiente que representa el valor de cambio por unidad en el valorde la función objetivo cuando se realicen modificaciones en el lado derecho de larestricción. El valor de cambio es el que representa la interpretación económica de unmodelo de programación lineal definido como Precio Sombra.

Si pendiente = =

Precio Sombra =

Precio Sombra para restricción 2 R2 = 233.333

1 2

VALOR DELLADO

DERECHOSOLUCIÓN ÓPTIMA

VALOR DE LAFUNCIÓNOBJETIVO

115

250

295

X1 = 115 X2 = 0

X1 = 70 X2 = 90

X1 = 55 X2 = 120

34500

66000

76500

y

x

D

D

2 1

2 1

y y

x x

-

-

( 250) ( 115) 66.000 34.500

( 250) ( 115) 250 115

utilidad cuando LD utilidad cuando LD

valor LD valor LD

= - = -=

= - = -

33

Gráfica 15: Precio sombra restricción 2

La interpretación del de la restricción 2 para la empresa de confecciones seexpresa de la siguiente forma: Por cada hora adicional de mano de obra que se utilice en eldepartamento de empaque por debajo de 295 horas y por encima de 195, el valor de lafunción objetivo decrece o aumenta en $233.33.

El valor del precio sombra se valida siempre y cuando los cambios que se realicen en ellado derecho de la restricción se encuentren entre el valor mínimo y máximo del intervalode sensibilidad. Sin embargo, un cambio en el lado derecho que se encuentre dentro delintervalo [195, 295] automáticamente cambia el valor de la solución óptima en X y X

Este análisis permite responder a la empresa una posible toma de decisión cuando sepresente un incremento en la demanda de los uniformes si se necesitara aumentar lashoras en el departamento de empaque. Como se conoce el intervalo de sensibilidad parala restricción que representa al departamento de empaque, [115, 295], solamente sepuede obtener respuestas para cambios ubicados dentro del intervalo, utilizando el valordel precio sombra. Para un cambio por fuera del intervalo no es posible dar una respuestautilizando el precio sombra del recurso cuando se utiliza el método gráfico, el métodosimplex si permite dar una respuesta para variaciones ubicadas en el intervalo o por fuerade él. Obligatoriamente con el método gráfico se debe resolver nuevamente el modelo,utilizando el nuevo valor del lado derecho.

Por ejemplo se puede responder la siguiente inquietud de la administración de la empresa:¿Qué sucede si se aumenta el valor de las horas en el departamento de empaque en 20?

precio sombra

1 2

250115 295

34.500

66.000

76.500

Valor FunciónObjetivo

Lado derecho restricción 2

34

Observe que el lado derecho de la restricción 2 pasaría de 250 a 270, valor que seencuentra dentro del intervalo, por lo tanto los valores de la solución óptima variarían, sinembargo se puede utilizar el precio sombra para reconocer en cuanto varía el valor de lafunción objetivo si se decide realizar este cambio.

Este procedimiento se reconoce de la siguiente forma:

Nuevo valor de la F.O = Incremento o decremento del LD * precio sombra + valoractual de la función objetivo.

Nuevo valor de la F.O = 20 * 233,33 + 66.000

Nuevo valor de la F.O = 70.666,66

El analista de investigación de operaciones puede responder a la administración de lasiguiente forma: Si se aumenta el valor del tiempo disponible en el departamento deempaque en 20 horas el valor de las utilidades se incrementa en $ 4.666,66 extendiéndosea un valor total de $70.666,66 en la semana.

Utilizando la misma estructura de análisis, halle el intervalo desensibilidad y el valor del precio sombra para la restricción 1, R1. Interprete losresultados.

Ejercicio de aplicación.?

35

ANDERSON,

BONINI

DAVIS,

GOULD,

HILLIER,

MATHUR,

TAHA,

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Métodos Cuantitativos para los negocios

Análisis Cuantitativo para losNegocios

Modelos cuantitativos para la Administración

Investigación de Operaciones en la CienciaAdministrativa

Introducción a la Investigación deOperaciones

Investigación de Operaciones: el Arte de la Toma deDecisiones

Una Introducción

BIBLIOGRAFÍA

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