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Jose Francisco Consuegra Murgas
Modelagem Numérica do Ensaio de Leak Off
em Poços de Petróleo
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Sergio Augusto Barreto da Fontoura Co-Orientador: Dr. Nelson Inoue
Rio de Janeiro, novembro de 2011.
Jose Francisco Consuegra Murgas
Modelagem Numérica do Ensaio de Leak Off
em Poços de Petróleo
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Sergio Augusto Barreto da Fontoura Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Orientador
Prof. Alberto Sampaio Ferraz Jardim Sayão Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Paulo Couto Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 18 de novembro de 2011.
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Jose Francisco Consuegra Murgas
Possui graduação em Engenharia Civil da Universidade
Industrial de Santander - UIS (Colômbia-2007). Trabalho em
um projeto de vulnerabilidade sísmica na região metropolitana
de Bucaramanga-Santander, na área geotécnica e de
estruturas. Atualmente é estudante de mestrado em
engenharia civil na área de geotecnia na PUC-Rio, Brasil. Além
disso, está vinculado a um projeto sobre estabilidade de poços
de petróleo em rochas salinas.
Ficha Catalográfica
Consuegra, Jose Francisco
Modelagem Numérica do Ensaio de Leak Off em Poços de Petróleo / Jose Francisco Consuegra Murgas; Orientador: Sergio A. B. da Fontoura ; co-orientador: Nelson Inoue. – 2011.
130 f. : il. (color.) ; 30 cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Incluí bibliografia.
1. Engenharia Civil – Teses. 2. Leak-Off. 3. Poroelasticidade. 4. Fluência. 5. Permeabilidade. 6. Estabilidade. I. Fontoura, Sergio A. B. da. II. Inoue, Nelson. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
À memória de minha avó Zaida Murgas, meu eterno amor.
Exemplo de carinho e humildade.
Agradecimentos
Á Deus, criador de todas as coisas. Por me permitir escrever um pouco da
minha historia e seguir em frente cada dia.
Ao professor Sérgio Fontoura, pela orientação, amizade e confiança
conquistada durante o desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus pais, Lia e Marcial, pelo amor incondicional, carinho e total apoio
durante toda a minha vida. A minha tía Magola minha segunda mãe.
A todos meus irmãos e irmãs. À Nathalia pela paciência, amor e tolerância
em toda esta etapa da minha vida.
A toda família, pela bondade, em especial aos meus sobrinhos Daniel e
Daniela pelas brincadeiras e risadas.
A todos os meus amigos, de infância, da UIS (Universidade Industrial de
Santander), do mestrado (PUC-Rio) e a todas as pessoas que de uma
forma ou de outra me estimularam ou me ajudaram.
Ao meu grande amigo Nelson, pela amizade criada, pela troca de
conhecimentos e apoio.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES) pelo apoio financeiro.
Ao Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, aos professores e aos
colegas.
Ao GTEP (Grupo de Tecnologia e Engenharia de Petróleo) pelo apoio
técnico durante a dissertação e pela utilização do Abaqus.
Aos professores que participaram da comissão examinadora.
Resumo
Consuegra, Jose Francisco; Fontoura, Sergio A. B. da; Inoue, Nelson. Modelagem Numérica do Ensaio de Leak Off em Poços de Petróleo. Rio de Janeiro, 2011. 130p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Em operações de perfuração, é importante ter uma estimativa do gradiente
de fratura de determinada formação, como o objetivo de poder estimar o máximo
peso da lama necessária para a próxima seção da formação rochosa, antes de
colocar o revestimento. Por esse motivo, são realizados ensaios de Leak-Off
para determinar a máxima pressão que a nova seção do poço pode sustentar
sem fraturar ou perder fluido, sendo realizados durante a fase de perfuração do
poço, nas formações imediatamente abaixo de cada sapata de revestimento. A
finalidade deste estudo é realizar a simulação numérica deste ensaio usando um
programa comercial de elementos finitos para calcular a pressão de Leak-Off,
considerando a taxa de bombeamento como um dado de entrada do problema e
a pressão na parede do poço como uma resposta. O trabalho abordará dois
cenários: uma formação rochosa permeável e uma formação rochosa
impermeável constituída de rocha de sal. Deste modo, para um estudo de uma
análise real de um ensaio de Leak-Off em rocha permeável e rocha
impermeável, torna-se necessário a utilização de modelos que considerem
poroelasticidade e fluência, respectivamente. Para a caracterização do
comportamento da rocha de sal foi usada uma lei de fluência de duplo
mecanismo de deformação, que considera apenas os mecanismos de fluência:
planar e indefinido. Os modelos estudados foram bidimensionais e analisados
sobre a hipótese de deformação plana. A hipótese, de que a pressão de Leak-
Off é atingida quando a tensão tangencial efetiva é igual a zero (calculada
graficamente), foi considerada. Finalmente, foram simulados alguns casos para
verificar os possíveis efeitos da alteração da permeabilidade e influência do
fluido de pressurização no cálculo da pressão de Leak-Off em rocha permeável.
Palavras-chave
Leak-Off; Elementos Finitos; Poroelasticidade; Fluência; Permeabilidade.
Abstract
Consuegra, Jose Francisco; Fontoura, Sergio A. B. da (Advisor); Inoue, Nelson (Co-Advisor). Numerical Modeling of Leak Off Test in Oil Wells. Rio de Janeiro, 2011. 130p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
In drilling operations, it is important to have an estimate of the fracture
gradient of certain formation, in order to being able to estimate the maximum mud
weight required for the next section of the rock formation, before casing is placed.
For this reason, Leak-Off tests are conducted to determine the maximum
pressure that the new section of the well can support without fracturing or losing
fluid, being made during the drilling phase of the well in formations immediately
below each casing shoe. The purpose this study is to perform the numerical
simulation of this test using a commercial finite element program to calculate the
Leak-Off pressure, considering the pumping rate as an input data of the problem
and pressure at the borehole wall as the answer. The work will address two
cases: a permeable rock formation and an impermeable rock formation
composed of salt rock. Thus, for studying a real analysis of a Leak-Off test in
permeable and impermeable rock, it becomes necessary to use models that
consider poroelasticity and creep, respectively. For the characterization of salt
rock it was used a creep law of dual mechanism of deformation, which considers
only the dislocation creep mechanisms: planar and undefined. The two-
dimensional models were studied and analyzed under the assumption of plane
strain. The hypothesis that the Leak-Off pressure is reached when the effective
tangential stress is zero (estimated graphically), was considered. Finally, some
cases were simulated to check the possible effects of changing the permeability
and the influence of pressurized fluid in the calculation of Leak-Off pressure in
the permeable rock.
Keywords
Leak-Off; Finite Elements; Poroelasticity; Creep; Permeability.
Sumário
1 INTRODUÇÃO 20
1.1. Antecedentes 20
1.2. Objetivo do Trabalho 21
1.3. Escopo do Trabalho 22
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 24
2.1. Introdução 24
2.2. O Ensaio de Leak-Off 24
2.2.1. Metodologia do Ensaio de Leak-Off 25
2.2.1.1. Diretrizes de Bombeamento 27
2.2.1.2. Diretrizes de Interpretação 28
2.2.2. Fatores que afetam o ensaio de Leak-Off 29
2.2.2.1. Propriedades do Fluido 29
2.2.2.2. Penetração de Fluidos 29
2.2.2.3. Permeabilidade 30
2.2.2.4. Rocha e Elasticidade 30
2.2.2.5. Efeito do Poço 30
2.2.2.6. Fissuras pré-existentes 31
2.3. Modelagem Numérica e Experimental do Ensaio de Leak-Off 33
3 MODELOS CONSTITUTIVOS 42
3.1. Introdução 42
3.2. Resultados de Ensaios de Compressão Hidrostática e Triaxial 42
3.3. Região Elástica 45
3.4. Região de Endurecimento (Hardening) 45
3.5. Região de Amolecimento (Softening) 46
3.6. Significado da Dilatância 47
3.7. Comportamento da Rocha de Sal 47
3.7.1. Variação das Deformações no Tempo 48
3.7.2. Modelo Constitutivo para a Rocha de Sal 49
3.7.3. Ensaios Experimentais e Resultados 50
3.8. Variação da Permeabilidade 51
3.8.1. Antecedentes 51
3.8.2. Equação de Carman-Kozeny 53
3.8.2.1. Equação de Carman-Kozeny em Função da Área de Superfície
Específica 55
3.8.2.2. Equação de Carman-Kozeny para Grãos Esféricos Uniformes 57
3.8.2.3. Validação da Equação de Carman-Kozeny 59
3.8.3. Relação da Permeabilidade Absoluta com o Coeficiente de
Condutividade Hidráulica 60
4 POROELASTICIDADE 62
4.1. Introdução 62
4.2. Equações Governantes do Problema de Fluxo 62
4.2.1. Equação da Continuidade 63
4.2.2. Equação de Darcy 64
4.2.3. Equação de Estado 65
4.3. Equações Governantes do Problema de Tensões 69
4.3.1. Equações de Equilíbrio 69
4.3.2. Relações Deformação-Deslocamento 70
4.4. Solução do problema no Abaqus 71
5 MODELAGEM NUMÉRICA E RESULTADOS DO ENSAIO DE LEAK-OFF 73
5.1. Introdução 73
5.2. Simulação Numérica do Ensaio de Leak-Off 74
5.3. Descrição do Problema 76
5.4. Passos Para a Análise 76
5.4.1. Etapa de Equilibrio 77
5.4.2. Etapa de Perfuração 77
5.4.3. Etapa de Pressurização 78
5.4.4. Validação do Uso do Programa Abaqus 78
5.5. Caso 1: Rocha Permeável 81
5.5.1. Malha de Elementos Finitos (Mesh) 82
5.5.2. Análise Poroelástica 84
5.5.2.1. Introdução 84
5.5.2.2. Etapa de Perfuração 84
5.5.2.3. Etapa de Pressurização 86
5.5.3. Análise Poroelástica com Influência de Variação da Permeabilidade 90
5.5.3.1. Introdução 90
5.5.3.2. Etapa de Perfuração 90
5.5.3.3. Etapa de Pressurização 92
5.5.4. Análise Poroelástica com Influência do Fluido de Pressurização 96
5.5.4.1. Introdução 96
5.5.4.2. Etapa de Perfuração 96
5.5.4.3. Etapa de Pressurização 100
5.6. Caso 2: Rocha de Sal 110
5.6.1. Malha de Elementos Finitos (Mesh) 112
5.6.2. Passos Para a Análise 112
5.6.3. Análise com Comportamento de Fluência 113
5.6.3.1. Introdução 113
5.6.3.2. Etapa de perfuração 114
5.6.3.3. Etapa de Pressurização 115
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 122
6.1. Conclusões 122
6.2. Sugestões 123
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 125
Lista de Figuras Figura 2.1: Linhas guia no ensaio de pressão de integridade – Modificada
(Ploster, 1997). 26
Figura 2.2: Verificação da taxa de bombeamento com as linhas de guia –
Modificada (Ploster, 1997). 26
Figura 2.3: Curva típica para um ensaio de Leak-Off – Modificada
(Ploster, 1997). 28
Figura 2.4: Efeito sem fissuras pré-existentes - Modificada (Postler, 1997). 31
Figura 2.5: Efeito de fissuras pré-existentes - Modificada (Postler, 1997). 32
Figura 2.6: Representação do modelo de fratura – Modificada
(Frydman & Fontoura, 2003). 33
Figura 2.7: Localização dos elementos auxiliares com o material virtual –
Modificada (Frydman & Fontoura, 2003). 34
Figura 2.8: Curvas de pressão vs. tempo para diferentes valores de viscosidade
do fluido - Modificada (Frydman & Fontoura, 2003). 34
Figura 2.9: Geometria da fratura para o modelo proposto - Modificada
(Almeida, 1986). 35
Figura 2.10: Curva de pressão vs. tempo - Modificada (Almeida, 1986). 36
Figura 2.11: Esquema do conjunto experimental para os ensaios de
Fraturamento hidráulico sob um campo de tensões horizontais anisotropicas,
usando um medidor de deformação diametral – Modificada (Zhao et al.,1996). 37
Figura 2.12: Dois registros típicos durante o fraturamento hidráulico no granito
Lac du Bonnet usando um medidor de deformação diametral, Campo de
tensões – Modificada (Zhao et al.,1996). 38
Figura 2.13: Dois registros típicos durante o fraturamento hidráulico no granito
Lac du Bonnet usando um medidor de deformação diametral, Campo de tensões
– Modificada (Zhao et al.,1996). 39
Figura 2.14: Decomposição do (a) o problema original em (b) o problema
homogêneo e (c) e (d) dois sub-problemas. 40
Figura 2.15: Contornos de tensão máxima normalizada para o canto do poço
(Golshani & Tran-Cong, 2006). 41
Figura 3.1: Deformação sob compressão hidrostática (Goodman, 1989). 43
Figura 3.2: Deformação sob compressão triaxial: (a) deformação axial e lateral;
(b) dilatância (Goodman, 1989). 44
Figura 3.3: Idealização bi-linear de ensaio triaxial (Vermeer & de Borst, 1984). 45
Figura 3.4: Deslizamento de fissuras em concreto e rocha, e movimento de
partículas em solos granulares (Vermeer & de Borst, 1984). 47
Figura 3.5: Regiões de comportamento em fluência (Goodman, 1989). 48
Figura 3.6: Velocidade de um fluido em fluxo laminar - Modificada.
(http://www.spe.org/web/training/demo/mod1/mod1-1.htm). 54
Figura 3.7: Fluxo de baixa velocidade passando uma partícula - Modificada.
(http://www.spe.org/web/training/demo/mod1/mod1-1.htm). 56
Figura 3.8: Variação do índice de vazios no tempo, para uma análise
poroelástica. 58
Figura 3.9: Variação da permeabilidade em função do diâmetro dos grãos –
Modificada. (http://www.spe.org/web/training/demo/mod1/mod1-1.htm). 59
Figura 4.1: Fluxo de Fluido Através de um elemento de meio poroso. 63
Figura 5.1: Geometria do modelo, parede do poço e localização onde o fluido
é injetado no material virtual - Modificada. (Inoue & Fontoura, 2010). 75
Figura 5.2: Seção horizontal de um poço vertical - Modificada
(Frydman, 2003). 76
Figura 5.3: Condições iniciais do problema - etapa de equilíbrio. 77
Figura 5.4: Zoom da parede do poço - etapa de perfuração. 78
Figura 5.5: Zoom da parede do poço - etapa de perfuração. 78
Figura 5.6: Elementos usados para a validação do Abaqus com a solução
de Kirsch. 79
Figura 5.7: Variação das tensões tangenciais e radiais (Kirsch vs. Abaqus)
para a análise elástica. 80
Figura 5.8: Visualização em 3D do modelo da rocha permeável – Modificada.
(Inoue & Fontoura, 2010). 82
Figura 5.9: Representação de um quarto da malha do poço em 2D. 83
Figura 5.10: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y. 85
Figura 5.11: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y. 85
Figura 5.12: (a) Estado de tensão para um tempo, t=0 s, e (b) Estado de
tensão para um tempo, t >0 s. 86
Figura 5.13: Variação da pressão do fluido no ponto A considerando
três taxas de bombeamento. 87
Figura 5.14: Variação do deslocamento no ponto A considerando
três taxas de bombeamento. 87
Figura 5.15: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento
constante de 10.0 gpm. 88
Figura 5.16: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 1.0 gpm. 89
Figura 5.17: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 0.25 gpm. 89
Figura 5.18: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y. 91
Figura 5.19: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y. 91
Figura 5.20: Variação da pressão do fluido no ponto A considerando três
taxas de bombeamento. 92
Figura 5.21: Variação do deslocamento no ponto A considerando três taxas
de bombeamento. 92
Figura 5.22: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 10.0 gpm. 93
Figura 5.23: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 1.0 gpm. 94
Figura 5.24: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 0.25 gpm. 94
Figura 5.25: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido A). 97
Figura 5.26: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido A). 97
Figura 5.27: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido B). 98
Figura 5.28: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido B). 98
Figura 5.29: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido C). 99
Figura 5.30: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido C). 99
Figura 5.31: Variação da pressão do fluido no ponto A, para três taxas de
bombeamento e três fluidos de pressurização (Fluidos A, B e C). 100
Figura 5.32: Variação do deslocamento no ponto A, para três taxas de
bombeamento e três fluidos de pressurização (Fluidos A, B e C). 101
Figura 5.33: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 10.0 gpm (Fluido A). 102
Figura 5.34: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 10.0 gpm (Fluido B). 102
Figura 5.35: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 10.0 gpm (Fluido C). 103
Figura 5.36: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 1.0 gpm (Fluido A). 104
Figura 5.37: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 1.0 gpm (Fluido B). 104
Figura 5.38: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 1.0 gpm (Fluido C). 105
Figura 5.39: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 0.25 gpm (Fluido A). 106
Figura 5.40: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 0.25 gpm (Fluido B). 106
Figura 5.41: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 0.25 gpm (Fluido C). 107
Figura 5.42: Comparação da pressão de Leak-Off para uma taxa de
bombeamento constante de 10.0 gpm e três fluidos de pressurização
(Fluidos A, B e C). 108
Figura 5.44: Visualização em 3D do modelo da rocha de sal – Modificada.
(Inoue e Fontoura, 2010). 111
Figura 5.45: Comparação entre as malhas com e sem elementos virtuais,
e sem pressão prescrita (sem lama). 114
Figura 5.46: Comparação entre as malhas com e sem elementos virtuais,
e com pressão prescrita (com lama). 114
Figura 5.47: (a) Malha com elementos virtuais e (b) Malha sem elementos
virtuais. 115
Figura 5.48: Variação da pressão do fluido no ponto A considerando três
taxas de bombeamento. 116
Figura 5.49: Variação do deslocamento no ponto A considerando três taxas
de bombeamento. 116
Figura 5.50: Variação das tensões e pressão de fluido ao longo do tempo,
considerando uma taxa de bombeamento constante de 10.0 gpm. 117
Figura 5.51: Variação das tensões e pressão de fluido ao longo do
tempo, considerando uma taxa de bombeamento constante de 1.0 gpm. 118
Figura 5.52: Variação das tensões e pressão de fluido ao longo do
tempo, considerando uma taxa de bombeamento constante de 0.25 gpm. 118
Figura 5.53: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 10.0 gpm. 119
Figura 5.54: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante
de 1.0 gpm. 120
Figura 5.55: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm. 120
Lista de Tabelas Tabela 3.1: Área de superfície específica típica para areias e argilas 57
Tabela 3.2: Parâmetros usados na equação de variação de permeabilidade 59
Tabela 3.3: Coeficiente de permeabilidade para diferentes tipos de rochas 61
Tabela 5.1: Tensão de sobrecarga σz (Rocha Permeável) 81
Tabela 5.2: Propriedades do fluido de pressurização (Rocha Permeável) 81
Tabela 5.3: Propriedades da rocha permeável. 84
Tabela 5.4: Comparação da pressão de Leak-Off considerando a variação
da permeabilidade. 95
Tabela 5.5: Propriedades dos fluidos de pressurização. 96
Tabela 5.6: Comparação da pressão de Leak-Off usando vários fluidos
de pressurização. 109
Tabela 5.7: Tensão de sobrecarga σz (Rocha de Sal) 110
Tabela 5.8: Propriedades do fluido de pressurização (Rocha de Sal). 110
Tabela 5.9: Propriedades da rocha de sal (Halita) 113
Lista de Símbolos Área transversal
Raio do poço
Coeficiente de Biot
Área de superfície específica (área/volume de rocha)
Matriz que permite o acoplamento
Parâmetro empírico (equação de Carman-Kozeny)
Matriz de relação tensão-deformação secante
Diâmetro do grão ou da partícula
Matriz de relação tensão-deformação tangencial
E Modulo de Young
Índice de vazios
Índice de vazios inicial
Índice de vazios final
ε1 Deformação Axial
Taxa de deformação devido à fluência na condição de equilíbrio
Taxa de deformação de referência devido à fluência (estado estacionário)
Taxa de expansão volumétrica plástica
Expansão volumétrica plástica do material
Taxa de deformação axial plástica
Componentes do tensor das deformações
Resistência à tração da rocha
Módulo de cisalhamento
Aceleração da gravidade
Altura da fratura
Matriz de fluxo
Permeabilidade absoluta
Módulo de deformação volumétrica drenado do meio poroso
Coeficiente de condutividade hidráulica
Matriz de rigidez
Modulo de bulk do fluido
Permeabilidade do meio poroso na direção do fluxo
Comprimento da amostra
Comprimento da fratura
Comprimento de um tubo capilar horizontal
Matriz que permite o acoplamento
Vetor igual à unidade para as tensões normais e zero para as cisalhantes
Coeficiente de tensão (Lei de Fluência)
P Pressão de fluido
Pressão confinante
Pressão de poros na formação
Densidade ou massa específica do fluido
Massa específica do fluido em um instante de referência
Pressão (ou peso) da lama hidrostática
Vazão (Capítulo 3)
Tensão desviadora (Capítulo 5)
Energia de ativação
Constante universal dos gases
Raio de um tubo capilar horizontal
Distância a partir do eixo do poço
Superfície específica dos poros
Tensor das tensões desviadoras
Temperatura da rocha
Temperatura de referência
Tortuosidade (comprimento médio do trajeto / comprimento total)2
U1 Deslocamento na direção x
U2 Deslocamento na direção y
Componentes do vetor dos deslocamentos
Velocidade aparente do fluido na direção do fluxo
Volume total do elemento
Volume dos poros
Velocidades de Darcy nas direções x, y, z.
Abertura da fratura
Abertura maxima da fratura
Tensão total
Tensão horizontal maior
Tensão horizontal menor
Tensão efetiva
Tensão efetiva de fluência
Tensão efetiva de referência
Tensão total na direção x, y e z
Tensão tangencial efetiva
Tensão tangencial máxima na parede do poço
Tensão tangencial mínima na parede do poço
Tensão radial
Tensão principal maior
Tensão principal menor na parede do poço
Componentes do tensor das tensões totais
Diferença de pressão aplicada na amostra
Diferença de volume na amostra
Variação volumétrica
Variação da tensão total
Variação da porosidade
Coeficiente de Poisson
Peso específico do fluido
Viscosidade dinâmica do fluido
Parâmetro de Lamé
Potencial de fluxo
Porosidade
Porosidade em um instante de referência
Ângulo de dilatância
Ângulo medido no sentido anti-horário do plano x-y a partir do eixo’x’
1 INTRODUÇÃO
1.1. Antecedentes
Na indústria do petróleo, são realizados ensaios de Leak-Off para
determinar a máxima pressão que a nova seção do poço pode sustentar sem
fraturar ou perder fluido, sendo realizados durante a fase de perfuração do poço,
nas formações imediatamente abaixo de cada sapata. O projeto inicial do
revestimento que será cimentado no poço, depende da previsão da curva de
pressão vs. volume injetado (tempo). Assim, a avaliação da pressão de fratura
na formação durante a perfuração é de grande importância. Este ensaio também
é usado para estimar a mínima tensão horizontal in situ em formações rochosas
(Wang et al., 2010).
O ensaio de Leak-Off é pouco estudado e as considerações feitas na
análise têm muitas restrições. Portanto, este estudo pretende entender melhor o
problema levando em conta as varias variáveis que o afetam.
Na prática este ensaio é caro, já que é precisso parar a perfuração do poço
para realizá-lo. Com a simulação númerica, pretende-se em um futuro obter
modelos numéricos confiáveis que sejam capazes de substituir este ensaio na
prática, com o objetivo de poupar tempo e dinheiro. Além disso, realizando uma
modelagem numérica do ensaio de Leak-Off é possível obter parâmetros que
não são possíveis medir ou obter no campo.
Inicialmente, a simulação deste ensaio começou na PUC-Rio como uma
tese de doutorado desenvolvida por Frydman (1996). O autor realizou as
simulações deste ensaio, usando elementos finitos por meio de um programa
desenvolvido “in house”, com o objetivo de avaliar a influência de alguns
parâmetros nos resultados da pressão de Leak-Off. A rocha foi modelada como
um material poroelástico e foi considerado fluxo monofásico, além disso, a taxa
de bombeamento foi fornecida como um dado de entrada do problema e a
pressão na parede do poço como uma resposta. O modelo simula um
procedimento de injeção de fluidos, e para isso foram incluídos elementos
virtuais no interior do poço. Neste estudo, foi implementado um modelo de
21
fratura. Finalmente, foi calculada a pressão de Leak-Off e avaliada a influência
de alguns parâmetros no cálculo dessa pressão.
Posteriormente, Inoue & Fontoura (2010) deram continuidade à simulação
numérica deste ensaio, mas neste caso foi utilizado um programa comercial de
elementos finitos (Abaqus). As simulações númericas foram realizadas
considerando as mesmas hipóteses do trabalho de Frydman (1996), mas não foi
utilizado um modelo de fratura. O critério utilizado para calcular a pressão de
Leak-Off baseia-se em que as fraturas iniciam-se quando a tensão tangencial
efetiva é igual à zero. É importante ressaltar que essa pressão é calculada
graficamente. Por último, foi calculada a pressão de Leak-Off e se compararam
os resultados considerando a influencia de varios parâmetros.
Nesta dissertação, será continuado o trabalho iniciado por Inoue &
Fontoura (2010). Será simulado numericamente um ensaio de Leak-Off usando
um programa de elementos finitos (Abaqus), com o objetivo de avaliar alguns
parâmetros que afetam o cálculo da pressão de Leak-Off. As hipóteses
consideradas neste estudo são as mesmas do trabalho desenvolvido por Inoue
& Fontoura (2010). Este estudo abordará dois cenários: uma formação rochosa
permeável e uma formação rochosa impermeável constituída de rocha de sal.
Na modelagem numérica do ensaio, foram consideradas várias análises
para a rocha permeável, desde uma análise poroelástica, análise poroelástica
com influência do fluido de pressurização, até uma análise variando a
permeabilidade da rocha em função do diâmetro dos grãos e da porosidade.
Para a rocha impermeável, o modelo constitutivo tem duas componentes: uma
elástica e uma de fluência.
Nos dois cenários estudados, será utilizado o mesmo critério para calcular
a pressão de Leak-Off (quando a tensão tangencial efetiva é igual à zero,
calculada graficamente). Os resultados da simulação numérica de um ensaio de
Leak-Off usando um modelo poroelástico e um modelo de fluência são
apresentados neste trabalho. Por último, foi calculada a pressão de Leak-Off e
se compararam os resultados considerando a influencia de varios parâmetros.
1.2. Objetivo do Trabalho
O objetivo deste estudo é realizar a simulação numérica de um ensaio de
Leak-Off usando um programa comercial de elementos finitos para calcular a
22
pressão de Leak-Off, considerando a taxa de bombeamento como um dado de
entrada do problema e a pressão na parede do poço como uma resposta.
Este estudo abordará dois cenários: uma formação rochosa permeável e
uma formação rochosa impermeável constituída de rocha de sal. Deste modo,
para um estudo de uma análise real de um ensaio de Leak-Off em rocha
permeável e rocha impermeável, torna-se necessário a utilização de modelos
que considerem poroelasticidade e fluência, respectivamente.
Finalmente, serão simulados alguns casos para verificar os possíveis
efeitos de alguns parâmetros no cálculo da pressão de Leak-Off na rocha
permeável e na rocha impermeável.
1.3. Escopo do Trabalho
Este trabalho está estruturado em 6 capítulos, incluindo uma introdução,
que caracteriza o capítulo 1.
O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica do ensaio de Leak-Off em
poços de petróleo, desde a metodologia, fatores que afetam os resultados do
ensaio, até uma pesquisa acerca da modelagem.
O capítulo 3 apresenta os modelos constitutivos. Em geral apresenta o
comportamento de rochas sob ensaios de compressão, e mostra o modelo
constitutivo adotado para representar o comportamento mecânico da rocha de
sal. No final é apresentada uma rápida introdução do conceito de permeabilidade
e sua importância. Neste capítulo são apresentadas as equações utilizadas para
estudar a influência da variação da permeabilidade no ensaio de Leak-Off, já no
final do capítulo é apresentada a equação utilizada nas simulações e sua
validação para correlacionar a permeabilidade.
O capítulo 4 mostra uma rápida introdução da teoria de poroelasticidade,
seguido das equações governantes do problema de fluxo (equação da
continuidade, equação de Darcy e equação de estado) e das equações
governantes do problema de tensões (equações de equilíbrio e relações
deformação-deslocamento), e no final um breve resumo da forma como o
Abaqus resolve o sistema de equações do problema acoplado.
No capítulo 5 são apresentados as etapas e as hipóteses consideradas
para realizar a modelagem do ensaio de Leak-Off, também são apresentados os
resultados das simulações, para os dois cenários estudados. No inicio são
23
considerados modelos constitutivos, com comportamento poroelástico para a
rocha permeável, e com fluência para a rocha de sal. No final são mostrados os
resultados dos modelos considerando a variação de permeabilidade e a
influência do fluido de pressurização na rocha permeável.
Finalmente no Capítulo 6, são apresentadas as conclusões e sugestões
para trabalhos futuros.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. Introdução
Neste capítulo é apresentado um breve resumo sobre os tópicos
envolvidos neste trabalho, com o objetivo de apresentar a metodologia
empregada na prática para realizar um ensaio de Leak-Off, os parâmetros que o
afetam, e também alguns trabalhos de fraturamento hidráulico relacionados com
o ensaio de Leak-Off, tanto na modelagem numérica como experimental.
2.2. O Ensaio de Leak-Off
Este ensaio é geralmente realizado para determinar a resistência ou
pressão de fratura de uma determinada formação, comumente executado
imediatamente após o revestimento ser cimentado. Durante o ensaio, o poço
está selado e o fluido é bombeado para dentro do poço aumentando
gradualmente a pressão. Em certa pressão, o fluido entrará na formação, ou
haverá um vazamento, se movendo através de caminhos permeáveis na rocha
ou pela criação de um espaço, fraturando a rocha.
A pressão no poço é aumentada pelo bombeamento a uma vazão
constante, produzindo uma linha reta em um gráfico de pressão versus volume
injetado. O ponto onde a resposta da pressão começa a se desviar do
comportamento linear é definido como o ponto de Leak-Off (ponto de início da
fratura). Normalmente, um ensaio de Leak-Off é interrompido após esse instante.
Os resultados do ensaio de Leak-Off determinam a pressão máxima ou
peso da lama que pode ser aplicado ao poço durante as operações de
perfuração. Para garantir um fator de segurança nas operações de controle do
poço, a pressão máxima é geralmente considerada abaixo do resultado do
ensaio.
25
2.2.1. Metodologia do Ensaio de Leak-Off
As orientações para interpretar o ensaio são discutidas abaixo:
No ensaio de Leak-Off, o eixo horizontal representa os incrementos de
volume de bombeamento cada 0.040 m3 (¼ bbl), e o eixo vertical a
pressão com incrementos de 0.689 MPa (100 psi).
O operador deverá traçar três linhas horizontais no gráfico de pressão vs.
volume, a primeira linha é uma estimativa da pressão de Leak-Off que
baseia-se em uma análise de dados extrapolados de poços; a segunda
linha indica a mínima pressão de Leak-Off que seria igual à pressão de
Leak-Off estimada menos 60 kg/m3 (½ ppg), este valor substraido é por
causa de incertezas. A terceira linha corresponde à pressão máxima
admissível que representa limitações do equipamento ou experiência de
perdas por circulação.
Na Figura 2.1, se mostram as linhas de volume mínimo e máximo. A linha
de volume mínimo representa o volume mínimo do fluido de perfuração
necessário, para atingir qualquer tipo de pressão com o sistema de lama.
A linha de volume máximo é usada como um limite de referência inferior
durante o ensaio. Esta linha começa a partir da origem até uma pressão
de volume máximo que deverá ser o dobro da linha de volume mínimo.
Os dados do ensaio de Leak-Off devem ser plotados a medida que o
ensaio está sendo executado, para determinar se ocorrem perdas e
conseguir uma melhor precisão do ponto de Leak-Off, graficando os
dados cada 0.040 m3 (¼ bbl) e cada 0.689 MPa (100 psi).
26
Figura 2.1: Linhas guia no ensaio de pressão de integridade – Modificada
(Ploster, 1997).
Figura 2.2: Verificação da taxa de bombeamento com as linhas de guia –
Modificada (Ploster, 1997).
Quando a taxa de bombeamento é muito lenta os dados caem abaixo da
linha de volume máximo, antes de chegar à linha de volume mínimo. Neste caso
a taxa de bombeamento deve ser incrementada em 10.50 gpm (¼ BPM) e
repetir-se o ensaio (Postler, 1997).
27
2.2.1.1. Diretrizes de Bombeamento
Para que o bombeamento seja executado de uma forma adequada é
necessário seguir algumas recomendações:
Recomenda-se usar uma bomba de baixo volume e alta pressão. Para
uma indicação de volume, usar cursos de bomba, eles são mais
confiáveis do que usar um contador mecânico de barril ou marcar o
tanque com incrementos de 0.040 m3 (¼ bbl) e supervisionar o volume a
partir daí.
Usar lama limpa e uniforme: A lama deve ser circulada até que o agitador
esteja livre de cortes e o peso da lama de fora seja igual ao peso da lama
de dentro. A finalidade disto é ter certeza de que se tem uma lama de
perfuração uniforme de densidade conhecida.
Usar uma taxa de bombeamento constante e baixa: Uma taxa de
bombeamento rápida pode levar a um ponto de Leak-Off pouco claro. Se
a taxa de bombamento não é estável, pode fazer com que a inclinação do
gráfico seja alterada antes do Leak-Off ser atingido, o que leva à
dificuldade na interpretação dos resultados. A regra prática é usar 10.50
gpm (¼ BPM) para formações permeáveis e 21.0 gpm (½ BPM) para
formações impermeáveis, a fim de reduzir as perdas de filtração.
Uma pressão de Leak-Off confiável pode ser obtida usando a menor taxa
de bombeamento, com a qual as perdas por filtração sejam superadas.
Utilizando as diretrizes de bombeamento é possível determinar se uma taxa
de bombeamento maior é necessária, como ilustrado na Figura 2.2. Se os dados
caem abaixo da linha de volume máximo, é necessário desligar a bomba, e
refazer o ensaio para uma taxa de 10.50 gpm (¼ BPM) superior ao ensaio
anterior.
Quando um ponto de Leak-Off tenha sido estabelecido, bombear uma
pequena quantidade adicional para confirmar o Leak-Off, e depois parar o
bombeamento.
28
2.2.1.2. Diretrizes de Interpretação
Para que o ponto ou pressão de Leak-Off, seja estimado de forma adequada
é necessário seguir algumas recomendações:
Calcular o Leak-Off graficando o melhor ajuste de linha reta, dos dados
de volume injetado e pressão, sem incluir o primeiro ponto que muitas
vezes é afetado pelo ar na lama ou velocidade irregular da bomba.
Aceitar o resultado da pressão de Leak-Off, se o resultado está na faixa
do valor previsto e do valor previsto menos 60 kg/m3 (½ ppg). Se o
resultado estiver abaixo do mínimo valor de Leak-Off, pode existir um
canal no cimento, neste caso é necessário refazer o ensaio para
confirmar. Os valores previstos de Leak-Off nem sempre são corretos. A
Figura 2.3 mostra uma curva característica de um ensaio de Leak-Off.
Figura 2.3: Curva típica para um ensaio de Leak-Off - Modificada (Ploster, 1997).
29
2.2.2. Fatores que afetam o ensaio de Leak-Off
Os ensaios de Leak-Off são de difícil interpretação porque os resultados
não apresentam um padrão. Os gráficos mostram um comportamento não-linear,
várias inclinações, ou pode parecer que a fratura não foi fechada. De fato, é
difícil identificar o ponto de Leak-Off nestes comportamentos que não obedecem
um padrão (Lorwongngam, 2008).
A seguir são mostrados alguns fatores que afetam um ensaio de Leak-Off.
2.2.2.1. Propriedades do Fluido
Dentre as propriedades dos fluidos, a viscosidade, desempenha um papel
importante sobre os gráficos de pressão vs. volume, já que o fluido é usado para
transmitir a pressão para o fundo e paredes do poço.
Portanto, a viscosidade do fluido vai desempenhar um papel importante na
"estabilidade da fissura". Quanto maior a viscosidade, maior a queda de pressão
na fratura. Como resultado, um fluido com alta viscosidade (como lama de
perfuração) tende a mostrar o atraso entre a abertura da fratura e colapso da
formação. No entanto, para um fluido menos viscoso (como água) o atraso é
menor (Lorwongngam, 2008).
2.2.2.2. Penetração de Fluidos
Se um fluido penetrante (como água ou lama a base-óleo) é utilizado, a
pressão de Leak-Off será menor do que quando é usado um fluido não
penetrante. Isso provoca um aumento temporário da pressão de poros na área
penetrada, portanto, essa pressão se opõe às tensões de compressão gerando
uma redução na pressão de ruptura (Postler, 1997).
30
2.2.2.3. Permeabilidade
As formações de rochas permeáveis tendem a mostrar uma menor
pressão de ruptura quando comparadas com rochas impermeáveis na mesma
condição. No entanto, o gráfico de pressão vs. volume injetado em formações
rochosas altamente permeáveis é difícil de interpretar por causa do resultado
não-linear causado pela perda de fluidos (Postler, 1997).
2.2.2.4. Rocha e Elasticidade
Os gráficos de tensão vs. deformação para uma rocha com
comportamento elástico, mostram uma relação linear até atingir o ponto de falha.
Essa tendência de linha reta vai começar a desviar-se no ponto de falha,
mas nem todas as rochas se comportam desta forma, outros tipos de rochas,
como sal e argilas não consolidadas se comportam plasticamente. Em outras
palavras, podem-se deformar até certo ponto, sem perder a resistência. Em tais
formações, os ensaios de Leak-Off tendem a mostrar uma tendência não-linear
que pode causar dificuldades durante a interpretação (Postler, 1997).
2.2.2.5. Efeito do Poço
Quando um poço é pressurizado, a pressão do fluido tende a deformar
tanto o fundo como a parede do poço. Para criar uma fratura, o fluido exerce
uma pressão para superar a resistência à tração da formação rochosa. Quando
o poço é perfurado, a orientação das tensões na formação é distorcida e
amplificada pela operação de perfuração.
A pressão necessária para criar uma fratura na formação é geralmente
maior do que a mínima tensão in situ (Postler, 1997). Isto poderia explicar o
fenômeno de porque a pressão de Leak-Off, monitorada por ensaios de Leak-Off
geralmente produz valores maiores que a mínima tensão in situ. Usando tensões
estimadas a partir de dados de ensaios de Leak-Off, a pressão de Leak-Off é
11% maior do que a mínima tensão horizontal obtida pelo método minifrac (Addis
et al, 1998).
31
Em formações não consolidadas, devido ao baixo coeficiente de tensão
horizontal, o efeito de distorção pode causar que a pressão de abertura da
fratura seja menor do que a pressão de propagação (Postler, 1997). Em outras
palavras, há uma região fraca próxima ao poço, e uma região elástica mais forte
que se encontra mais longe do poço. Este fenômeno pode ser explicado pela
zona "plasticamente-deformada" que pode ser criada na região proxima ao poço.
Esta zona só ocorre em torno da região do poço. Portanto, em tais formações
duas zonas com diferentes tensões podem ser criadas. Isso faz com que a
pressão de início de fratura seja menor do que a tensão in situ e os resultados
de ensaios de Leak-Off tenham duas pressões de início de fratura, uma para a
zona plástica e outra mais elevada para a zona elástica.
2.2.2.6. Fissuras pré-existentes
A pressão de ruptura pode não existir ou pode ser reduzida pela presença
de fissuras pré-existentes, ver Figura 2.5. Uma vez que a resistência à tração da
rocha fissurada é zero, a pressão necessária para abrir uma fractura existente na
maioria das formações rochosas será menor do que a pressão necessária para
iniciar uma fratura.
Figura 2.4: Efeito sem fissuras pré-existentes - Modificada (Postler, 1997).
32
Figura 2.5: Efeito de fissuras pré-existentes - Modificada (Postler, 1997).
A Figura 2.5 mostra o efeito de fissuras pré-existentes, no gráfico de
pressão vs. tempo (a linha azul mostra uma taxa de bombeamento maior e a
linha vermelha uma taxa de bombeamento menor, a tensão mínima na parede é
igual a x).
Para taxas de bombeamento altas, maior será a pressão de iniciação de
fratura e a pressão de ruptura. Este comportamento está associado com a
permeabilidade, penetração de fluidos e o tempo. A realização de ensaios de
Leak-Off com taxas de bombeamento altas, pode dar uma resistência da
formação pouco precisa. Devido a este efeito, os ensaios de Leak-Off são
realizados com taxas de bombeamento baixas para estimar uma pressão de
Leak-Off mais confiável (Postler, 1997).
33
2.3. Modelagem Numérica e Experimental do Ensaio de Leak-Off
Neste tópico, são mostrados alguns trabalhos relacionados com o ensaio
de Leak-Off. Devido a que existem poucos trabalhos do ensaio de Leak-Off,
porém, serão referenciados alguns trabalhos de fraturamento hidráulico
mostrando as características até o ponto onde estes dois ensaios são parecidos.
Frydman & Fontoura (2003) apresentaram um estudo no qual é discutida a
simulação de tensões e deformações ao redor de um poço durante a
pressurização usando técnicas numéricas. O objetivo é avaliar a influência de
alguns parâmetros nos resultados da pressão de Leak-Off.
Neste estudo a rocha foi modelada como um material poroelástico,
considerando o fluido de pressurização igual ao fluido presente na formação
rochosa. Além disso, a taxa de bombeamento foi fornecida como um dado de
entrada do problema e a pressão na parede do poço como uma resposta. Um
critério de iniciação de fratura (máxima tensão de tração) e um modelo não linear
de propagação de fratura foram utilizados para manipular o poço após a falha.
Na figura 2.6, é possível observar o modelo de fratura utilizado.
Figura 2.6: Representação do modelo de fratura – Modificada (Frydman &
Fontoura, 2003).
A aplicação das condições de contorno apropriadas na parede do poço é
difícil, devido à variação volumétrica do poço, compressibilidade do fluido e
penetração de fluidos na formação rochosa. Neste trabalho, foi apresentada uma
solução para superar essa dificuldade através de elementos virtuais que são
utilizados no interior do poço, como é mostrado na Figura 2.7.
34
Figura 2.7: Localização dos elementos auxiliares com o material virtual -
Modificada (Frydman & Fontoura, 2003).
Finalmente, na Figura 2.8 pode ser observado um resultado da variação
da pressão com o tempo, considerando diferentes viscosidades no fluido de
pressurização e com uma taxa de bombeamento constante de 0.25 gpm.
Figura 2.8: Curvas de pressão vs. tempo para diferentes valores de viscosidade
do fluido - Modificada (Frydman & Fontoura, 2003).
Os resultados mostram que quanto maior a viscosidade do fluido, maior é
a máxima pressão observada (chamada de pressão de ruptura).
No final, os autores concluem que: a energia de fratura, taxa de
bombeamento e viscosidade do fluído afetam a máxima pressão na parede do
35
poço e a curva de pressão no tempo. Neste trabalho, não foi considerada a
variação da permeabilidade.
Almeida (1986) apresentou uma análise assistida por computador para
estudar um ensaio de Leak-Off por meio de um programa desenvolvido “in
house”.
O estudo apresenta muitas variáveis que afetam o comportamento da
curva de pressão vs. volume durante o ensaio. O ensaio de Leak-Off foi dividido
em quatro etapas: 1) aumento de pressão devido à compressão global do
sistema, 2) iniciação da fratura, 3) expansão da fratura, e 4) queda de pressão e
fechamento da fratura após desligar a bomba.
A primeira parte deste estudo, refere-se à predição da pressão necessária
para iniciar uma fratura que se baseia na teoria de elasticidade, seguido da
modelagem da expansão e fechamento da fratura que baseia-se na solução da
equação de continuidade para fluxo em uma fratura vertical-eliptica com altura
constante.
O modelo foi verificado usando dados de campo fornecidos pela
companhia petrólera Tenneco.
Na Figura 2.9, é possível observar o modelo de fratura utilizado, que
considera a propagação da fratura em um meio homogêneo, elástico e
isotrópico.
Figura 2.9: Geometria da fratura para o modelo proposto - Modificada (Almeida,
1986)
36
Finalmente, na Figura 2.10 pode ser observado um resultado da variação
da pressão com o tempo, considerando um dos casos analisados neste trabalho.
Figura 2.10: Curva de pressão vs. tempo - Modificada (Almeida, 1986)
Na Figura 2.10, os resultados da curva de pressão vs. tempo, para o
ensaio de Leak-Off estão influenciados pelos parâmetros de entrada como:
Taxa de bombeamento.
Fluido de perfuração: densidade, viscosidade, porcentagem de óleo,
porcentagem de sólidos, perda de Fluido API, “spurt loss”, etc.
Geometria do poço: profundidade total do poço, profundidade da sapata
do último revestimento, colares de perfuração, tubulação de perfuração,
topo do cimento exterior do último revestimento, profundidade da lamina
de água (se for Offshore), etc.
Litologia: tipo, pressão de poros, idade da formação, porosidade,
Quantidade de tempo que a formação está exposta ao fluido de
perfuração.
Volume de ar aprisionado durante o ensaio.
37
Enfim, neste trabalho é possível ver que há uma grande quantidade de
variáveis envolvidas para estudar o ensaio de Leak-Off. Com o uso deste código
é possível simular um ensaio mais próximo da realidade.
A rocha é modelada com comportamento elástico e elastoplástico. O autor
fornece informação dos parâmetros utilizados para modelar a rocha.
Zhao et al. (1996) apresentaram um trabalho no qual foram apresentadas
duas series de experimentos de fraturamento hidráulico. Em uma serie o campo
de tensões in situ foi considerado anisotrópico, na outra serie as tensões foram
consideradas isotrópicas. O poço foi instrumentado com um dispositivo capaz de
monitorar as mudanças de diâmetro durante a pressurização. A Figura 2.11,
mostra um esquema geral.
Figura 2.11: Esquema do conjunto experimental para os ensaios de fraturamento
hidráulico sob um campo de tensões horizontais anisotropicas, usando um
medidor de deformação diametral – Modificada (Zhao et al.,1996).
Durante a pressurização do poço sob o campo de tensões anisotrópicas o
aumento diametral perpendicular à futura fratura hidráulica ajudou isolar duas
38
pressões críticas, uma em que a fratura é iniciada (bem antes do colapso) e
outra em que a propagação da fratura é parada (além do colapso). As Figuras
2.12 e 2.13 mostram as curvas de pressão vs. tempo.
Figura 2.12: Dois registros típicos durante o fraturamento hidráulico no granito
Lac du Bonnet usando um medidor de deformação diametral, Campo de tensões
– Modificada (Zhao et al.,1996).
Analisando a Figura 2.12 se pode observar que a pressão de iniciação de
fratura (Pi) é menor do que a pressão de ruptura (Pb), neste caso os autores
argumentam que a diferença é de 10-20%.
Na Figura 2.13, são mostrados os resultados para um estado de tensões
isotrópico. Sob o campo de tensões isotrópicas a iniciação de fraturas pareceu
39
coincidir com a pressão de ruptura. Ambos os resultados estão de acordo com
uma recente análise de mecânica da fratura do mecanismo de fratura hidráulica.
Figura 2.13: Dois registros típicos durante o fraturamento hidráulico no granito
Lac du Bonnet usando um medidor de deformação diametral, Campo de tensões
– Modificada (Zhao et al.,1996).
Na Figura 2.13, aparecem dois pontos interessantes, primeiro, não é
possível distinguir a pressão de iniciação de fratura e a pressão de ruptura, o
segundo ponto interessante é a queda repentina na pressão do poço logo após a
pressão de ruptura. Neste estudo os autores não fornecem nenhuma informação
sobre o fluido de pressurização utilizado.
40
Golshani & Tran-Cong (2006) apresentaram um trabalho onde é discutido
o fraturamento hidráulico e zonas de dano nas proximidades de um poço.
Neste trabalho, foi implementado um modelo de dano, onde a matriz da
rocha é considerada como um sólido elástico com N grupos de microfissuras
distribuídas com diferentes orientações. Uma representação deste modelo pode
ser visto na Figura 2.14.
Figura 2.14: Decomposição do (a) o problema original em (b) o problema
homogêneo e (c) e (d) dois sub-problemas.
Na simulação somente foram consideradas fissuras verticais e para
simular o efeito da pressão de fluido sobre a concentração de tensões e fraturas
ao redor do poço, uma pressão uniforme foi aplicada no interior do poço.
Finalmente são mostrados alguns resultados da simulação numérica de
um poço submetido à pressão de um fluido usando um modelo de dano
micromecânico.
41
Figura 2.15: Contornos de tensão máxima normalizada para o canto do poço
(Golshani & Tran-Cong, 2006).
A concentração de tensões de tração é gerada em torno do fundo do poço,
pela pressão do Fluido Aplicado. Além disso, as fraturas se desenvolvem a partir
dos cantos do fundo do poço. Neste trabalho não é fornecida nenhuma
informação do fluido de pressurização utilizado, e na fase de pressurização é
aplicada uma pressão ao invés de uma vazão.
Têm sido realizados alguns trabalhos, mas na etapa de pressurização é
colocada uma pressão na parede do poço o qual parece não ser a forma mais
correta para estudar este problema. Nesta dissertação, a pressurização será
devido a uma taxa de bombeamento (fluxo), tendo como resposta uma pressão
na parede do poço, está abordagem é o mais próximo do que acontece na
realidade. Também será analisada a influência de alguns parâmetros no cálculo
da pressão de Leak-Off.
3 MODELOS CONSTITUTIVOS
3.1. Introdução
As rochas apresentam fissuras naturais antes mesmo de qualquer
carregamento ser aplicado. Isto influência diretamente no seu comportamento
tensão-deformação. Em aberturas subterrâneas, quando a tensão tangencial
atinge valores superiores à metade da resistência compressiva não confinada,
dá-se início ao fissuramento. Rochas não competentes, como os folhelhos,
atingem esta condição em profundidades muito rasas (Goodman, 1989).
A propagação das fissuras durante o carregamento confere à rocha um
comportamento não linear, que ao aproximar-se da ruptura apresenta expansão
volumétrica. A deformabilidade das rochas é discutida em detalhes em vários
livros de mecânica das rochas (Jaeger & Cook, 1976; Goodman, 1989; Hoek &
Brown, 1980).
O modelo constitutivo do comportamento tensão-deformação é de
fundamental importância na simulação de problemas geotécnicos, e a sua
escolha influenciará significativamente nos resultados obtidos numericamente.
3.2. Resultados de Ensaios de Compressão Hidrostática e Triaxial
Quando tensões hidrostáticas são aplicadas em rochas, um decréscimo de
volume é gerado e eventualmente alguma mudança na estrutura interna ocorre,
como acontece nas rochas porosas, que sofrem esmagamento de grãos quando
é atingido um determinado nível de tensões. Na primeira fase do carregamento,
as fissuras preexistentes são fechadas e os grãos são levemente comprimidos.
Prosseguindo com a aplicação do carregamento, a rocha continua a diminuir de
volume, desta feita, pela deformação dos poros e compressão dos grãos numa
razão aproximadamente linear como mostra a Figura 3.1. A inclinação da reta
nesta região representa o módulo de compressão volumétrica da rocha. Na
43
região em que ocorre o colapso dos poros, observa-se que o seu valor torna-se
progressivamente maior (Goodman, 1989). Após o colapso dos poros, apenas os
grãos permanecem como elementos deformáveis.
Figura 3.1: Deformação sob compressão hidrostática (Goodman, 1989).
Sob compressão triaxial, as rochas comportam-se de maneira diferente,
conforme mostram as curvas hipotéticas da Figura 3.2. A princípio, com a
aplicação do carregamento desviador, um pequeno comportamento inelástico é
percebido, em virtude do fechamento das fissuras preexistentes e de alguns
poros. Em seguida, na maioria das rochas, segue-se uma fase de
comportamento linear entre as tensões e deformações. Logo após, surge a
região caracterizada pelo surgimento de novas fissuras que, juntamente com as
fissuras preexistentes, propagam-se paralelas à direção da tensão principal
maior , e quando é atingido o pico de resistência, unem-se formando
macrofissuras, que ao deslizarem geram a banda cisalhante.
44
Figura 3.2: Deformação sob compressão triaxial: (a) deformação axial e lateral;
(b) dilatância (Goodman, 1989).
Comparando as curvas da Figura 3.2, observa-se que na região elástica a
rocha decresce de volume com o crescimento da tensão de desvio. Porém,
quando o regime pós-elástico é atingido, a rocha apresenta expansão
volumétrica, que coincide com o surgimento de novas fissuras. O aumento da
tensão de desvio é responsável pela propagação das microfissuras, que
aumentam ainda mais o volume da rocha até a ocorrência da ruptura. Esse
aumento de volume associado ao aumento das tensões de desvio é chamado de
dilatância.
O comportamento de rochas em ensaios de compressão triaxial, é
semelhante ao comportamento do concreto e das areias densas. Em termos da
teoria da plasticidade, Vermeer e de Borst (1984) caracterizam o comportamento
desses materiais em três regiões: região elástica, comportamento de
enrijecimento (hardening) e comportamento de amolecimento (softening).
45
3.3. Região Elástica
Nesta região o comportamento desses materiais pode ser aproximado pela
teoria linear elástica. Ciclos de carregamento e descarregamento produzem
pequena ou praticamente nenhuma histerese, ou seja, ocorre a recuperação das
deformações com o descarregamento, consequentemente a lei de Hooke pode
ser aplicada. Em concreto, pouco ou nenhum fissuramento surge, e nas areias
dificilmente ocorre rearranjamento de grãos. Se o material for isotrópico, são
necessárias apenas duas constantes para descrever seu comportamento, a
saber: o módulo de Young (E) e o coeficiente de Poisson ( ).
3.4. Região de Endurecimento (Hardening)
O início desta região ocorre gradualmente e não é bem definido. As
deformações tornam-se cada vez mais inelásticas, que no concreto e nas rochas
são devidas ao microfissuramento e nas areias densas ao deslizamento de
grãos (Figura 3.4). O uso da teoria elástica não-linear nesta região, produz
resultados inconsistentes com os observados em ensaios de laboratório, pois
esta teoria prevê que o volume permanece decrescendo com o aumento do
carregamento, quando na realidade o que ocorre é uma expansão volumétrica,
como mostrado nas Figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.3: Idealização bi-linear de ensaio triaxial (Vermeer & de Borst, 1984).
46
Observando a Figura 3.3, percebe-se a existência de uma relação linear
entre a expansão volumétrica e a deformação axial, o que admite o cálculo do
ângulo de dilatância por:
(
) (3.1)
Onde:
Taxa de expansão volumétrica plástica.
Taxa de deformação axial plástica.
Normalmente, o ângulo de dilatância é menor do que o ângulo de atrito.
Para concreto um valor típico é 13º e em rochas varia entre 12º e 20º (Vermeer
& de Borst, 1984).
Na Figura 3.3 o sinal negativo da deformação axial, indica contração axial,
provocada pela tensão compressiva no ensaio triaxial. Tradicionalmente, tem
sido adotada em problemas geotécnicos, a convenção que arbitra tensões de
compressão como positivas, em virtude de serem mais comuns problemas
envolvendo tensões de compressão do que tensões de tração. Neste trabalho é
adotada essa convenção, ou seja, tensões de tração são consideradas
negativas. O Abaqus utiliza a convenção de tensões de compressão negativas e
tração positiva, no final os resultados obtidos do programa tem esta convenção,
mas para plotar as curvas é trocado o sinal.
3.5. Região de Amolecimento (Softening)
Em ensaios triaxiais, as curvas tensão-deformação de areias densas
apresentam picos de resistência muito pronunciados, sendo também evidentes
em concreto e rochas quando são ensaiados sob baixas tensões de
confinamento. Este comportamento não é observado em areias fofas, e em
concreto e rocha apresenta-se muito suave, quando são ensaiados sob altas
tensões confinantes. Nesta região, ocorre o crescimento das fissuras, que se
tornam cada vez maiores até a formação da banda cisalhante. Na geotecnia, a
banda cisalhante é denominada de superfície de escorregamento ou superfície
de ruptura.
47
3.6. Significado da Dilatância
Como mencionado anteriormente, as rochas contêm fissuras em seu
estado natural, cujas superfícies apresentam rugosidade, como representado na
Figura 3.4. Quando sob a ação de uma tensão cisalhante, as superfícies de uma
fissura deslizam uma sobre a outra, ocorre um afastamento relativo, que provoca
a abertura da fissura. Do ponto de vista macroscópico, a abertura de fissuras
provoca na rocha um aumento de volume. Nas areias densas a dilatância ocorre
em virtude do deslizamento dos grãos.
Figura 3.4: Deslizamento de fissuras em concreto e rocha, e movimento de
partículas em solos granulares (Vermeer & de Borst, 1984).
3.7. Comportamento da Rocha de Sal
A ocorrência da fluência varia em função das propriedades dos materiais,
das tensões de sobrecarga aplicada, do tempo e da temperatura de exposição.
A fluência é de grande interesse aos geotécnicos que trabalham com rochas
salinas em perfurações de poços de petróleo em águas ultraprofundas, pois
normalmente estes poços operam sob altas tensões e temperaturas (Botelho,
2008).
48
3.7.1. Variação das Deformações no Tempo
Tensões ou deslocamentos podem mudar com o tempo quando as cargas
ou pressões na rocha mudam, como, por exemplo, devido ao fluxo de água, a
geometria da região excavada ou carregada muda, como, por exemplo, por
excavações distantes, as propriedades de deformabilidade da rocha mudam,
como, por exemplo, pelo intemperismo ou hidratação; ou a rocha responde
lentamente a mudanças de deformação ou tensão (Goodman, 1989).
A Figura 3.5 mostra a forma geral da curva de fluência (creep) para rochas.
Uma deformação elástica instantânea é seguida por fluência primária na qual a
deformação ocorre a uma taxa decrescente com o tempo. Em algumas rochas, a
curva de fluência primária se aproxima a uma taxa constante de deformação,
denominada de fluência secundária. A fluência secundária pode virar em alta
fluência terciária, em que a tensão aumenta com o tempo até atingir a ruptura
por fluência.
Figura 3.5: Regiões de comportamento em fluência (Goodman, 1989).
Existem dois tipos de mecanismos para explicar a fluência em rochas:
fluxo de massa e fissuramento. Algumas rochas (por exemplo, rochas de sal,
arenitos e folhelhos compactados) terão fluência a tensões desviadoras
relativamente baixas, mesmo em rochas fissuradas ou intactas. No caso do sal e
potássio, o processo de fluência envolve movimentos e deslizamentos
intracristalinos, enquanto a fluência em rochas de argila não consolidada envolve
49
a migração de água e movimentos de particulas de argila (consolidação)
(Goodman, 1989).
3.7.2. Modelo Constitutivo para a Rocha de Sal
Um modelo de Multimecanismo de Deformação (MD) foi desenvolvido por
Munson et al. (1990), para modelar o comportamento complexo do sal natural
que ocorre no local da Planta Piloto da Usina de Resíduos de Isolamento (EUA).
O modelo constitutivo MD é formulado considerando os mecanismos individuais
que incluem deslizamento relativo entre planos de cisalhamento em sua
microestrutura (dislocation glide), deslizamento relacionado com a força de atrito
entre os grãos do agregado (dislocation climb) e mecanismo de deslocamento
indefinido (ativado termicamente).
A lei de fluência adotada neste trabalho foi proposta por Poiate et al.
(2006a) e Costa et al. (2005). Esta lei de estado estacionário é uma simplificação
do modelo MD desenvolvido por Munson et al. (1990), chamada duplo
mecanismo de deformação, e considera apenas os mecanismos de
deslizamento relativo e de mecanismo indefinido, como mostrado na equação
(3.2). O último efeito foi recentemente identificado como sendo fluência nos
contatos dos grãos de halita, provocado pela dissolução do sal em função do
aumento de sua solubilidade, sob a alta pressão que acorre nos contatos entre
os grãos (Poiate et al., 2006a).
(
)
(
) (3.2)
Onde:
Taxa de deformação devido à fluência na condição de equilíbrio.
Taxa de deformação de referência devido à fluência (em estado
estacionário).
Tensão efetiva de fluência.
Tensão efetiva de referência.
Energia de ativação (kcal/mol).
Constante universal dos gases (kcal/mol.K).
50
Temperatura da rocha (K).
Temperatura de referência (K).
Coeficiente de tensão.
Na literatura, há diversos trabalhos que apresentam uma série de modelos
constitutivos referentes ao comportamento do sal, para ter um conhecimento
mais geral, podem ser citados alguns trabalhos (Botelho, 2008; Agergaard,
2009).
3.7.3. Ensaios Experimentais e Resultados
A obtenção dos parâmetros utilizados na lei de fluência de duplo
mecanismo de deformação, foi apresentado por Costa et al. (2005), e os
parâmetros obtidos foram utilizados neste trabalho. Neste estudo o equipamento
construído, está constituído por seis eixos axiais independentes e uma unidade
de tensão confinante servo controlada. Após a interpretação dos resultados
experimentais de uma halita (curva de tensão diferencial vs. taxa de deformação
específica), os valores de e foram obtidos para a temperatura do ensaio,
86 °C.
A lei de fluência pode ser reescrita como:
(
)
(
) (3.3)
Onde:
( )
( )
A classificação do sal abrange vários tipos de materiais, nem todos são
problemáticos a partir do ponto de vista de perfuração ou design do poço. A taxa
51
em que uma formação de sal se move depende da profundidade, temperatura da
formação, composição mineralógica, presença de impurezas e na medida em
que as tensões diferenciais são aplicadas ao corpo de sal. Os problemas de
carregamento no revestimento não ocorrem em sais limpas, mas com sais que
tenham impurezas há excesso de movimentos, há taxas de até 0,0254 m/h
(Wilson et al., 2003).
Poiate et al. (2006b) apresentou resultados experimentais obtidos de
ensaios triaxiais de três rochas de sal diferentes, taquidrita, carnalita e halita. Os
resultados mostram que a taquidrita é aproximadamente 10.0 vezes mais móvel
do que halita e cerca de 2.7 vezes mais móvel do que a carnalita.
3.8. Variação da Permeabilidade
3.8.1. Antecedentes
Dentre as propriedades dos materiais geológicos, duas vêm recebendo
grande atenção por parte dos geólogos, engenheiros civis, ambientais e de
petróleo: a porosidade e a permeabilidade. No campo das ciências do ambiente,
elas são muito importantes nos estudos de remediação de áreas contaminadas.
Para a indústria do petróleo essas propriedades estão diretamente ligadas à
lucratividade de um campo petrolífero, pois do ponto de vista econômico, um
bom reservatório deve possuir não apenas uma grande quantidade de óleo, mas
idealmente deve estar localizado em rochas com alta porosidade e
permeabilidade, facilitando o escoamento e a drenagem (Araújo, 2002).
A permeabilidade é a propriedade índice das rochas que fornece
informação sobre o grau de interconexão entre os poros e microfissuras
(Goodman, 1989). De uma forma simplificada, é uma medida da facilidade com
que os fluidos atravessam o meio poroso. A permeabilidade, ou mais
propriamente permeabilidade absoluta é independente da densidade e
viscosidade do fluido percolante. A sua dimensão é de área, pois, de fato,
representa a área efetiva por onde o fluido percola. Na indústria do petróleo, a
unidade de permeabilidade universalmente usada é o Darcy (1 darcy = 9.87 ×
10.0-9 cm2).
52
Em 1856, trabalhando em meios granulares não consolidados, Henry
Darcy propôs que, para um fluxo horizontal de um fluido monofásico, a
permeabilidade pode ser escrita da seguinte forma:
(3.4)
Onde:
Vazão.
Área transversal.
Diferença de pressão aplicada na amostra.
Comprimento da amostra.
Viscosidade dinâmica do fluido.
Por exemplo, se aumentarmos a taxa , descobrimos que a diferença de
pressão aumenta em um ritmo acelerado; não é uma função de uma taxa
de fluxo ou . Se dobrarmos (por exemplo) os resultados de viscosidade do
fluido em uma duplicação da não há nenhuma alteração na . A
permeabilidade não é uma função da viscosidade do fluido, aliás, da identidade
do fluido. Aumentar para os mesmos resultados de com uma diminuição da
vazão isso faz com que seja novamente inalterada. A permeabilidade não é
uma função do tamanho da amostra. A permeabilidade é uma função intrínseca
do meio, ou melhor, das propriedades do meio.
Na verdade, todas as negações acima são apenas aproximadamente
verdadeiras. A permeabilidade não depende do fluido, água vs. óleo, ou água
doce vs. salmoura, em muitos casos. Da mesma forma, também depende da
escala de medição . É por isso que se usa o termo permeabilidade absoluta
com cautela quando depende da taxa ou , os fenômenos são referidos
como efeitos não-Darcy.
A permeabilidade (absoluta) tem as seguintes características:
Depende da porosidade e tamanho dos grãos.
Heterogeneidade local (Classificação).
Quantidade e tipo de cimento.
53
É dependente da direção (Tensorial).
Depende fortemente da posição (Heterogeneidade).
3.8.2. Equação de Carman-Kozeny
A lei de Kozeny, uma das equações de permeabilidade mais simples e
conhecidas foi deduzida através da solução analítica das equações de Navier-
Stokes em uma representação simplificada do meio poroso, um arranjo de
condutos cilíndricos paralelos de seção aleatória, mas constante. A lei de
Kozeny relaciona a permeabilidade , com as propriedades geométricas do meio
poroso, como porosidade, , superfície específica dos poros, , e um parâmetro
empírico , que na maioria dos casos é aproximadamente igual a 0.2 (Kozeny,
1927; Carman, 1938). A lei que também se conhece como lei de Carman-Kozeny
é:
(3.5)
Onde:
Porosidade (volume de poros/volume da massa).
Superfície específica dos poros.
Parâmetro empírico.
O parâmetro contém implicitamente a dependência da permeabilidade
em relação às desviações da solução do modelo ideal com relação ao meio real,
porém, é função de variáveis como a tortuosidade, forma e conectividade dos
canais de fluxo.
Como veremos, a equação de Carman-Kozeny apresenta uma
dependência direta entre a porosidade e permeabilidade, mas também, através
dos conceitos de área de superfície específica e tortuosidade, leva a uma
explicação de como depende da textura das rochas locais.
Para desenvolver a equação o modelo de poros local é o tubo capilar,
provavelmente o modelo mais comum, de estudos de meios permeáveis.
54
Figura 3.6: Velocidade de um fluido em fluxo laminar - Modificada.
(http://www.spe.org/web/training/demo/mod1/mod1-1.htm).
Considera-se uma única fase, em estado estacionário, o fluxo laminar de
um fluido Newtoniano de viscosidade constante através um tubo capilar
horizontal de raio e comprimento , como mostrado na Figura 3.6. Estas
condições levam a um perfil parabólico de velocidade no tubo. A velocidade
máxima no tubo central é o dobro da velocidade média, a velocidade mínima é
zero (sem deslizamento) na parede.
O fluxo laminar é merecedor de discussão em separado não só porque é
um conceito importante e fundamental, pois sua aplicação para o fluxo através
de meios permeáveis é tão duvidoso. O fluxo laminar só significa que os
elementos de fluxo de fluido não se cruzam. Para a condição de fluxo laminar em
um tubo, isto significa que os elementos de fluido se estão deslizando uns sobre
os outros. A simplicidade do fluxo laminar é muito atraente porque é fácil de
visualizar e, portanto, compreender. Mas é extremamente raro na prática,
limitando-se muito a fluxos lentos, fluidos muito viscosos ou fluxos em
geometrias simples. Estas condições são combinadas no número de Reynolds.
A maioria das aplicações na engenharia tem taxas de fluxo muito lentas
(cerca de 10.0 cm/dia é o normal) e muitas vezes se tem fluidos viscosos. Mas o
fluxo laminar acontece raramente porque a geometria local dos grãos de rocha e
suas superfícies são tão irregulares que as linhas de fluxo de fluido cruzarão
exceto em taxas de fluxo muito pequenas.
55
3.8.2.1. Equação de Carman-Kozeny em Função da Área de Superfície Específica
Inúmeras expressões semi-analiticas propostas na literatura tentam
relacionar a permeabilidade com as propriedades geométricas e topológicas dos
materiais porosos. Na atualidade, na literatura, as relações de permeabilidade
envolvem variáveis como: porosidade, tortuosidade, forma e tamanho das
partículas (no caso de sistemas particulados), forma e tamanho dos interstícios e
em abordagens mais modernas, com longitudes características do meio poroso.
Em seguida se mostra a equação de Carman-Kozeny em função da área
de superfície específica:
( ) (3.6)
Onde:
Tortuosidade (comprimento médio do trajeto / comprimento total)2.
Área de superfície específica (área/volume de rocha).
Esta é a forma mais fundamental da equação de Carman-Kozeny porque
lida com quantidades que podem ser definidas praticamente para qualquer meio
permeável. A tortuosidade é a razão ao quadrado do comprimento médio do
trajeto de fluxo para o comprimento total. Ela está relacionada ao fator de
resistividade da formação. A área de superfície específica, com unidades de
comprimento inverso, é a superfície interna do meio por unidade de volume, uma
propriedade intrínseca e muito característica do meio. Infelizmente, não é
medida rotineiramente.
A equação também ilustra a observação bastante elementar que rochas
com porosidade zero também terão zero permeabilidade. Infelizmente, isso está
tão longe quanto podemos ir com esta equação, sem mais trabalho, pois é certo
que não há uma correspondência um-para-um entre porosidade e
permeabilidade.
A base física para a dependência na área de superfície nesta equação é
que toda a queda de pressão (fluxo de resistência) é causada por interações
viscosas entre lâmina adjacentes de fluidos como "slip" passando uns sobre os
outros. O deslizamento é, por sua vez, causado pelas paredes dos poros, onde
56
não há deslizamento. Assim, se estamos considerando fluxo local, a superfície
inteira de uma partícula deve entrar na resistência ao fluxo. Isto é sugerido na
Figura 3.7.
Figura 3.7: Fluxo de baixa velocidade passando uma partícula - Modificada.
(http://www.spe.org/web/training/demo/mod1/mod1-1.htm).
Mesmo em baixas taxas de fluxo, apesar disso, o fluxo se pode separar na
sequência de uma partícula. Isto é particularmente provável que seja o caso,
porque a velocidade de abordagem é pouco provável que seja alguma coisa,
mais uniforme. Se a separação ocorre, a área a ser utilizada na equação deve
ser a área exposta ao invés da área total. Nas fórmulas encontradas, até agora,
a área exposta tem apenas o efeito de reduzir av, no entanto, para partículas não
esféricas pode proporcionar, pelo menos, uma explicação parcial para a
dependência direcional da permeabilidade. Para taxas ainda maiores uma
quantidade apreciável de energia começa a ser expulsa na região de inversão
de fluxo que se manifesta em correções de turbulência.
A previsão mais evidente da equação (3.6) é que a permeabilidade diminui
com o aumento da área de superfície específica. Isto explica a observação que
os meios compostos de minerais de argila, que possuem grandes áreas de
superfície específica, também possuem baixa permeabilidade.
A Tabela 3.1 dá uma ordem de grandeza das estimativas de área de
superfície específica para argilas e areias.
57
Tabela 3.1: Área de superfície específica típica para areias e argilas
Material av (cm-1)
Berea (areia) 20
Torpedo (areia) 80
Caulinita (argila) 500
Esmectite (argila) 1300
Illite (argila) 2800
Adaptado de Faris et al., (1985)
Os valores na Tabela 3.1 foram obtidos com base na adsorção de
nitrogênio e com tendência a subestimar a permeabilidade quando é utilizada a
equação de Carman-Kozeny (isto é, a área de adsorção é maior que a área
dinâmica). No entanto, é claro que as argilas têm uma área de superfície muito
maior do que as areias.
3.8.2.2. Equação de Carman-Kozeny para Grãos Esféricos Uniformes
A forma mais comum da equação é apresentada a seguir, assumindo que
o meio é composto de grãos esféricos uniformes, onde :
( ) (3.7)
Onde:
Diâmetro do grão ou da partícula.
Esta equação prediz que a permeabilidade varia diretamente com o
quadrado do diâmetro da partícula. Esta dependência é, provavelmente, o fator
mais importante na determinação da permeabilidade uma vez que o pode
variar muito na natureza.
Neste trabalho, foi introduzida a variação da permeabilidade utilizando uma
subrotina de FORTRAN (subrotina USDFLD) no programa Abaqus. A subrotina
USDFLD permite definir variáveis de campo em um ponto do material em função
do tempo ou de qualquer uma das quantidades de materiais disponíveis.
58
Esta subrotina precisa ser usada com a rotina utilitária GETVRM para
acessar os dados do ponto do material, neste caso o índice de vazios. O Abaqus
calcula o índice de vazios, mas é necessário obter o valor da porosidade, então,
é utilizada a relação entre o índice de vazios e porosidade, que é dada na
equação (3.8). O cálculo da porosidade é realizado dentro da subrotina de
FORTRAN.
(3.8)
Onde:
Índice de vazios.
Para esta abordagem é preciso conhecer a variação do índice de vazios,
por isso foi realizada uma simulação no programa, considerando uma taxa de
bombeamento de 10 gpm (Análise Poroelástica), na Figura 3.8 se mostram os
resultados.
Figura 3.8: Variação do índice de vazios no tempo, para uma análise
poroelástica.
Na Tabela 3.2, mostram-se os parâmetros usados na equação (3.7),
onde o índice de vazios inicial é um dado de entrada, e o índice de vazios final é
o dado obtido da simulação. Os parâmetros restantes são conhecidos.
59
Tabela 3.2: Parâmetros usados na equação de variação de permeabilidade
Material Parâmetros
Rocha Permeável 0.33 0.362 3.527 x 10-3 m 25/12
Os valores de índice de vazios inicial e final são convertidos a valores de
porosidade por meio da equação (3.8), assim desta forma são utilizados na
equação (3.7) a qual foi utilizada para simular o efeito de variação da
permeabilidade.
3.8.2.3. Validação da Equação de Carman-Kozeny
A equação de Carman-Kozeny funciona bem em predizer o tamanho dos
grãos, se podemos estimar , e . Em particular , é difícil estimar, mas o seu
impacto sobre a permeabilidade é menor do que os outros dois parâmetros. Na
Figura 3.9 se mostra a variação da permeabilidade em função do tamanho dos
grãos.
Figura 3.9: Variação da permeabilidade em função do diâmetro dos grãos –
Modificada. (http://www.spe.org/web/training/demo/mod1/mod1-1.htm).
60
A inclinação da curva da Figura 3.9 é um, porque o eixo horizontal
(abertura média da peneira) é proporcional a . A equação faz um trabalho
excepcionalmente bom em correlacionar a permeabilidade para meios
compostos de partículas esféricas uniformes. Quando o tamanho dos grãos é
variável, devemos ter alguma forma de estimar . Bryant et al. (1993) fazem
isso através de soluções aproximadas por meio das equações de Navier-Stokes.
Trabalhos recentes sugerem que poderia ser possível estimar com
ressonância magnética. Também é possível adotar uma abordagem mais
tradicional, relacionando à origem do meio geológico.
A permeabilidade está relacionada com a distribuição granulométrica, por
meio de:
: (classificação, teor de cimento).
(tamanho médio do grão, classificação, tipo de distribuição, conteúdo
de cimento, tipo).
(porosidade, teor de cimento, tipo).
Neste caso, o tamanho de grão, classificação e tipo de distribuição
referem-se às propriedades do material sedimentar original.
3.8.3. Relação da Permeabilidade Absoluta com o Coeficiente de Condutividade Hidráulica
A condutividade hidráulica é uma medida da capacidade de um meio
poroso para transmitir um fluido quando submetido a um gradiente hidráulico. A
condutividade hidráulica é definida pela lei de Darcy.
O termo coeficiente de permeabilidade também é usado como sinônimo de
condutividade hidráulica. A dimensão da condutividade hidráulica é a mesma
que para a velocidade, isto é, comprimento por unidade de tempo.
A condutividade hidráulica é uma das propriedades hidráulicas do meio
poroso e depende do tamanho dos grãos do meio poroso, estrutura da matriz do
meio, tipo de fluido, da quantidade relativa de fluido no meio (saturação). As
propriedades importantes para a matriz sólida do meio incluem a distribuição do
tamanho de poros, a forma dos poros, tortuosidade, superfície específica e
porosidade. Em relação ao fluido do meio poroso, as propriedades importantes
61
incluem densidade do fluido, e viscosidade do fluido. Para um sistema
subsuperficial saturado, a condutividade hidráulica, pode ser expressa da
seguinte forma (Bear, 1972):
(3.9)
Onde:
Coeficiente de condutividade hidráulica que tem unidades de velocidade.
Permeabilidade absoluta ou intrínseca do meio, que tem unidades de
superfície.
Da equação (3.9) é possível observar que a medida que a viscosidade do
fluido aumenta, o valor do coeficiente de condutividade hidráulica diminue. Na
tabela 3.3 se mostram alguns valores do coeficiente de condutividade hidráulica
para algumas rochas.
Tabela 3.3: Coeficiente de permeabilidade para diferentes tipos de rochas
Material (m/ano)
Folhelho 1.0 x 10-6 ~ 1.0 x 10-2
Rochas Ígneas e Metamórficas: intactas
1.0 x 10-7 ~ 1.0 x 10-3
Arenito 1.0 x 10-3 ~ 1.0 x 101
Calcário e Dolomita 1.0 x 10-2 ~ 1.0 x 101
Rochas Ígneas e Metamórficas: fraturadas
1.0 x 10-1 ~ 1.0 x 103
Basalto permeável 1.0 x 101 ~ 1.0 x 105
Dolomito calcário 1.0 x 101 ~ 1.0 x 105
Adaptado de Freeze e Cherry (1979).
4 POROELASTICIDADE
4.1. Introdução
Esta teoria que descreve o comportamento acoplado entre os fluidos e
sólidos em meios porosos foi primeiramente descrita por Biot que teve início com
uma série de artigos publicados a partir de 1941. Posteriormente, outros
estudos, visando mais especificamente o comportamento acoplado fluido-sólido,
onde as compressibilidades de meios rochosos sejam relevantes (caso de
reservatórios de petróleo, que são compostos basicamente por fluido e rocha),
foram realizados, objetivando validar a teoria proposta por Biot (1941), como em
Geerstma (1957).
Na teoria de poroelasticidade o meio poroso é considerado elástico linear,
isotrópico e considera os poros totalmente ocupados por um fluído. A síntese
feita neste tópico baseia - se no trabalho de Biot (1941).
O interesse deste capítulo é mostrar de uma forma sucinta a teoria de
poroelasticidade, descrevendo sucintamente o processo de acoplamento
baseado na teoria poroelasticidade de Biot (1941).
Além deste assunto, encontra-se uma discussão sobre a solução adotada
pelo programa de elementos finitos Abaqus.
4.2. Equações Governantes do Problema de Fluxo
As equações governantes do problema poroelástico têm duas parcelas:
Parcela de Fluxo
Parcela Mecânica
Neste tópico, será analisada a parcela de fluxo, que se obtém
combinando as equações da continuidade, lei de Darcy e equação de estado
(que considera análise de tensões).
63
4.2.1. Equação da Continuidade
Para resolver o problema de fluxo em meios porosos, é preciso satisfazer o
principio físico fundamental da conservação de massa. A equação de
continuidade descreve a variação de massa dentro do meio poroso devido a
esse fluxo.
Adotando um volume de controle de dimensões infinitesimais , , , é
feito o balanço de massa nas faces do elemento para a direção X, utilizando o
conceito de velocidade de Darcy, como é mostrado na Figura 4.1. O caso mais
geral é aquele em que ocorre a movimentação do fluido nas três direções, x, y e
z. O fluido penetra no meio poroso através de uma face perpendicular a cada
uma das direções e sai pela face oposta. A Figura 4.1 ilustra a movimentação do
fluido na direção x.
Figura 4.1: Fluxo de Fluido Através de um elemento de meio poroso.
Fazendo o balanço de massa nas três direções, temos que a massa de
fluido que entra no volume de controle menos a que saí é igual ao acúmulo ou
diminuição de massa neste ou expressado matematicamente:
{
}
(4.1)
ou
(4.2)
64
Onde:
, e , são as velocidades de Darcy nas direções x, y e z.
Assumindo, que o espaço poroso está totalmente preenchido por fluido, a
variação do volume de poros é igual à variação do volume de fluido.
A porosidade é definida como:
(4.3)
Onde:
Volume dos poros.
Volume total do elemento.
Substituindo a equação (4.3) em (4.1), tem-se:
{
}
(4.4)
Finalmente a equação (4.4) é a chamada equação de continuidade, é dito
que, a diferença entre a massa que entra e a massa que sai nas três direções de
fluxo é igual à variação de massa dentro do meio poroso.
4.2.2. Equação de Darcy
Nesta etapa seguinte, procura-se associar a equação da continuidade com
uma lei que rege o transporte de fluido no meio poroso. Esta lei relaciona a
velocidade aparente do fluido com os gradientes de pressão, ou mais
genericamente com os gradientes de potencial, através da equação:
(4.5)
Onde:
Trajetória de fluxo qualquer.
65
Permeabilidade do meio poroso na direção do fluxo.
Peso específico do fluido.
Potencial de fluxo.
O potencial é o agente responsável e propulsor do deslocamento do
fluido no meio poroso. Os fluidos se deslocam sempre de pontos de maior
potencial para pontos de menor potencial.
Usando a lei de Darcy, as velocidades aparentes nas três direções de fluxo
são dadas pelas seguintes expressões:
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Quando as expressões de velocidades são introduzidas na equação de
continuidade, (Eq. 4.4), obtém-se uma nova forma para a equação diferencial de
escoamento:
(
)
(
)
(
)
(4.9)
4.2.3. Equação de Estado
Neste tópico, será inserida a análise de tensões no cálculo da porosidade
e variação da massa específica do fluido devido à variação de pressão.
Para isto serão utilizadas as equações desenvolvidas no item 1.2 e 1.2.1.
A convenção de sinais neste caso será considerando tensões de tração como
positivas.
66
A análise de tensões será inserida através da variação da porosidade no
tempo. A continuação mostra-se as equações, segundo a abordagem feita por
Frydman (1996). O aumento da massa de fluido pode ser escrito como:
(4.10)
Onde:
Massa específica do fluido.
Porosidade em um instante de referência.
Na equação (4.10), o termo
corresponde à variação da massa de fluido,
associada ao aumento do volume poroso, e
corresponde à expansão do
fluido.
A variação do volume poroso ( ) pode ser descomposta em
duas partes:
1) Variação volumétrica do esqueleto
(
) (4.11)
2) Variação do volume dos grãos
Assumindo um comportamento elástico para os grãos, no cálculo da
variação volumétrica, o carregamento foi descomposto em dois componentes:
(i) Componente 1, que corresponde ao incremento de tensão efetiva
de Terzaghi ( );
(ii) Componente 2, que corresponde ao incremento de pressão
confinante e da pressão de poros.
Para a componente 1, tem-se:
(
)
(4.12)
67
A seguir mostram-se as equações necessárias, para continuar com a
demonstração da equação de estado. Sabe-se que a tensão efetiva é igual:
(
) (4.13)
É utilizada uma relação constitutiva que considera as tensões efetivas e as
deformações do esqueleto independente da pressão de poros , e pode ser
escrita como:
(4.14)
Substituindo a equação (4.13), na equação (4.12), tem-se:
(
)
(4.15)
Substituindo a equação (4.14), na equação (4.15), tem-se:
(
)
(4.16)
Para a componente 2, tem-se:
(
)
(4.17)
Adicionando-se as componentes 1 e 2 segundo a equação abaixo:
(
) (
) (
)
(4.18)
Obtém-se a variação volumétrica dos grãos:
68
(
)
(4.19)
Enfim, a variação do volume poroso pode ser calculada com base na
variação do volume do esqueleto subtraída da expansão dos grãos, conforme as
equações abaixo:
(
) (
) (4.20)
[
] [
] (4.21)
[
]
[
]
(4.22)
A expansão volumétrica do fluido (
)
, pode ser calculada por:
(4.23)
Onde:
Modulo de bulk do fluido.
Fazendo a substituição da equação (4.10) pelas equações (4.22) e (4.23),
temos:
[
]
[
]
(4.24)
Substituindo a equação (4.24) na equação de continuidade (4.4), tem-se a
equação de fluxo que considera a análise de tensões:
[
]
[
]
(
)
(4.25)
69
Para ver um estudo mais detalhado das equações e do método dos
elementos finitos aplicados à poroelasticidade, podem-se citar alguns trabalhos
na literatura (Frydman, 1996; Ferreira, 1996).
4.3. Equações Governantes do Problema de Tensões
Neste tópico, será analisada a parcela mecânica do problema de
poroelásticidade. Combinando as equações de equilíbrio em termos de tensões
efetivas e pressão de poros (considerando o principio das tensões efetivas de
Terzaghi), relação tensão-deformação, relação deslocamento-deformação,
obtém-se a equação de equilíbrio em termos de deslocamento e pressão de
poros.
4.3.1. Equações de Equilíbrio
(4.26)
(4.27)
(4.28)
Não foram consideradas as forças de corpo nas equações de equilíbrio.
70
4.3.2. Relações Deformação-Deslocamento
(4.29)
(
) (4.32)
(4.30)
(
) (4.33)
(4.31)
(
) (4.34)
Nas equações de equilíbrio 4.26, 4.27 e 4.28 não foram consideradas as
forças de corpo bem como efeitos de inércia.
O uso das equações 4.29 a 4.34 implica na aceitação de pequenas
deformações. A pressão de fluido afeta somente as deformações normais e de
uma mesma quantidade, isto em virtude da hipótese de isotropia. As
deformações cisalhantes são função somente das tensões cisalhantes
independendo da pressão de poros . É mais conveniente expressar-se as
tensões em função das deformações (Ferreira, 1996).
Finalmente, com o sistema de equações formado por 4.26 até 4.34 chega-
se a:
(4.35)
(4.36)
(4.37)
Onde:
Componentes do tensor das deformações.
Componentes do tensor das tensões totais
Parâmetro de Lamé.
Módulo de cisalhamento.
Coeficiente de Biot.
71
O parâmetro de Lamé se relaciona com outras constantes elásticas da
seguinte forma:
(4.38)
Onde:
Módulo de deformação volumétrica drenado do meio poroso.
Substituindo-se as equações 4.35 a 4.37, nas equações 4.26 a 4.28,
chega-se nas equações de equilíbrio em termos do campo de deslocamentos e
pressão:
(4.39)
(4.40)
(4.41)
Onde:
Componentes do vetor dos deslocamentos.
4.4. Solução do problema no Abaqus
O problema que será resolvido é um problema complexo, porque tem que
resolver simultaneamente as equações governantes do problema de fluxo e
tensões (acoplamento hidro-mecânico), como é mostrado nas equações
descritas anteriormente.
A complexidade das equações governantes da poroelasticidade torna a
geração de soluções analíticas uma tarefa complicada. A técnica numérica é
então o meio mais apropriado para a obtenção de resultados. O programa
72
Abaqus pode resolver muitos problemas de engenharia, e foi selecionado para
resolver este problema, no presente caso, um problema acoplado.
O acoplamento hidro–mecânico, consiste na solução de um sistema de
equações diferenciais de equilíbrio e balanço de massa de um meio poroso. De
acordo com o manual do Abaqus, o meio poroso é constituído por matéria sólida
e seus vazios preenchidos por um líquido e um gás. As equações de equilíbrio e
continuidade discretizadas são solucionadas através do método de Newton. No
problema de fluxo, a lei de transporte governante é a lei de Darcy (Manual do
Abaqus-V6.9, 2009).
Segundo o manual do Abaqus as equações governantes do processo de
deformação e difusão de fluído são:
Equação de equilíbrio:
(4.42)
Equação de fluxo:
(4.43)
Onde:
Matriz de rigidez
Matriz de fluxo
, Matrizes que permitem o acoplamento.
Combinando as equações descritas anteriormente, se tem um conjunto de
equações diferenciais ordinárias no tempo e passam a ser resolvidas de forma
matricial (MEF). Existem dois tipos de aproximação para resolver este sistema
de equações. Uma aproximação seria solucionar primeiro um conjunto de
equações, depois com o resultado da primeira equação, resolver a segunda.
Com o resultado da segunda equação retorna-se para a primeira e verifica-se a
variação de resultados. Se a variação é mínima, a solução por este processo
iterativo termina. Caso contrário, o processo iterativo continua até que a variação
de resultados seja mínima. O segundo tipo de solução é resolver as duas
equações ao mesmo tempo, este modo é o adotado pelo programa (Silvestre,
2004).
5 MODELAGEM NUMÉRICA E RESULTADOS DO ENSAIO DE LEAK-OFF
5.1. Introdução
Este trabalho mostra os resultados da simulação do ensaio de Leak-Off em
um poço de petróleo, através de uma abordagem de elementos finitos utilizando
os recursos de um programa de elementos finitos (Abaqus). O objetivo principal
deste trabalho é calcular a pressão de Leak-Off por meio da curva de pressão
vs. tempo, usando um critério no qual a pressão de Leak-Off é atingida quando
a tensão tangencial efetiva é nula.
O ensaio de Leak-Off é realizado com o objetivo de encontrar o gradiente
de fratura de determinada formação. Os resultados de um ensaio de Leak-Off
também permitem avaliar o peso máximo equivalente da lama que deve ser
aplicado ao poço durante as operações de perfuração (Jetjongjit, 2009).
Atualmente, não existe um procedimento padrão de campo para os
ensaios de Leak-Off. Portanto, para obter um peso de lama e pressão de fratura
confiável é necessário um procedimento adequado do ensaio de Leak-Off. O
procedimento a seguir é baseado em métodos recomendados por Kunze &
Steiger (1992).
O procedimento proposto para realizar um ensaio de Leak-Off é o
seguinte, após o revestimento é cimentado e o cimento esteja consolidado:
Perfurar 3.0-6.0 metros (10.0-20.0 pés) numa nova formação. A
profundidade da formação perfurada varia para cada empresa de
serviços.
Puxar a coluna de perfuração de 0.9-1.22 metros (3-4 pés), a partir do
fundo do poço.
Fechar a válvula que controla a vedação (BOP).
Bombear o fluido de perfuração no fundo do poço a uma taxa lenta e
constante, normalmente 0.04-0.16 m3/min (0.25-1.5 barril/min).
74
Continuar o bombeamento até que a taxa de pressão aumente
lentamente ou a curva de pressão vs. tempo (ou volume), comece a se
desviar de uma linha reta, o qual é uma indicação de colapso da
formação.
Depois que a formação é quebrada, parar a bomba.
Monitorar a redução de pressão por 10.0 minutos.
O primeiro ponto de desvio do comportamento de linha reta é geralmente
conhecido como ponto de Leak-Off ou Pressão de Leak-Off e é tomado como
uma estimativa da tensão mínima principal (Heger & Spoerker, 2011).
5.2. Simulação Numérica do Ensaio de Leak-Off
Neste tópico mostram-se as considerações para realizar a simulação
numérica do ensaio de Leak-Off. No primeiro caso (rocha permeável), usamos
um modelo poroelástico que está incluido no programa e considera o fluxo de
fluido monofásico em meios porosos. O segundo caso (rocha de sal) foi
analisado utilizando uma lei de fluência (creep) freqüentemente empregada nos
centros de pesquisa da Petrobras. Essa lei foi implementada através de uma
subrotina que permite a introdução de novas leis de fluência no programa. Nos
dois casos, o problema é transiente, ou seja, o problema é dependente do
tempo.
Durante um ensaio de Leak-Off, o fluido é injetado para o poço a uma
determinada taxa. No entanto, a taxa de penetração de fluidos na formação não
é conhecida e a pressão aplicada no poço é medida durante o ensaio (Frydman
& Fontoura, 2003). A taxa real de penetração de fluidos e pressão na parede do
poço é dependente de vários aspectos, tais como:
1) Variação volumétrica do poço.
2) Compressibilidade do fluido.
3) Penetração de fluidos na formação rochosa.
75
A aplicação das condições de contorno apropriadas na parede do poço é
difícil, devido aos fatores que foram descritos anteriormente. Frydman &
Fontoura (2003) apresentaram uma solução para superar essa dificuldade
através de elementos virtuais que são utilizados no interior do poço, como é
mostrado na Figura 5.1. Os nós dos elementos virtuais que não fazem parte da
parede do poço tem deslocamento prescrito nulo.
O material virtual tem propriedades especiais, como segue:
Baixo módulo de elasticidade é usado para o material virtual com o
objetivo de não alterar a rigidez do poço.
Alta permeabilidade é adotada para que o fluxo de fluido possa
atravéssar o material virtual livremente.
Alta porosidade é utilizada para uma correta distribuição da
compressibilidade do fluido no interior do material virtual.
Figura 5.1: Geometria do modelo, parede do poço e localização onde o fluido é
injetado no material virtual - Modificada. (Inoue & Fontoura, 2010).
76
5.3. Descrição do Problema
Um trecho vertical de 25m de comprimento é pressurizado, mas só é
analisada uma seção horizontal nesse trecho. Para este estudo, a seção
horizontal analisada é o fundo do poço (linha vermelha). Na Figura 5.2 se mostra
a representação de uma seção horizontal qualquer.
No primeiro caso, foi estudada uma formação rochosa com o
comportamento poroelástico e no segundo caso uma rocha de sal com
comportamento de fluência.
Figura 5.2: Seção horizontal de um poço vertical - Modificada (Frydman, 2003).
5.4. Passos Para a Análise
Considerando que a direção da perfuração é no sentido vertical e que a
seção horizontal é pequena quando comparada com o comprimento vertical do
poço, o problema pode ser analisado usando a análise de deformação plana. A
simulação numérica do ensaio de Leak-Off foi realizada em três etapas:
1) Equilíbrio.
2) Perfuração.
3) Pressurização.
77
5.4.1. Etapa de Equilibrio
Este passo é necessário para determinar as condições iniciais corretas do
problema. A análise começa aplicando as tensões iniciais in situ e a distribuição
de pressão de poros inicial que não produz deslocamento, deformação ou
variação na pressão de poros. Um deslocamento nulo é prescrito nos nós na
parede do poço. Na Figura 5.3 é possível observar todas as condições de
contorno prescritas nesta etapa.
Figura 5.3: Condições iniciais do problema - etapa de equilíbrio.
5.4.2. Etapa de Perfuração
Nesta etapa, o deslocamento nulo prescrito é removido da parede do poço
para simular a perfuração, o que resultou no fechamento do poço devido ao
estado de tensões de compressão aplicadas no modelo. Instantaneamente, as
condições de contorno de pressão de fluido são aplicadas nos nós dos
elementos virtuais para simular o peso da lama (condição hidrostática).
Posteriormente, o equilíbrio entre a pressão do peso da lama e a pressão da
formação é alcançado, permitindo o fluxo de fluido do poço para a formação.
78
Figura 5.4: Zoom da parede do poço - etapa de perfuração.
5.4.3. Etapa de Pressurização
Atingindo o equilíbrio na etapa de perfuração, as condições de contorno da
pressão de fluido são removidas dos nós dos elementos virtuais e uma taxa de
bombeamento constante é aplicada, como é mostrado na Figura 5.5.
Figura 5.5: Zoom da parede do poço - etapa de perfuração.
5.4.4. Validação do Uso do Programa Abaqus
Para realizar a validação da resposta elástica do programa Abaqus,
foram utilizadas as formulações elásticas de Kirsch (1898). Considerou-se
contanto que não ocorressem deformações ao longo do eixo do poço, isto é,
adotou-se a hipótese de estado plano de deformação. Sendo assim, para este
caso da validação do Abaqus, foi só utilizada a solução elástica de análise do
79
programa e os elementos analisados são aqueles localizados na parede do poço
para um angulo de 0⁰ e 90⁰, ou seja, os elementos mostrados na Figura 5.6.
Figura 5.6: Elementos usados para a validação do Abaqus com a solução de
Kirsch.
Kirsch (1898) considerou uma placa com um furo passante de raio ‘ ’ a
qual estava submetida a um estado de tensões e propôs uma solução para a
distribuição do estado de tensões ao longo da placa em termos de tensão radial
e tangencial, respectivamente (Goodman, 1989):
(
)(
) (
)(
) (5.1)
(
)(
) (
) (
) (5.2)
80
Onde:
Tensão normal efetiva na direção radial.
Tensão normal efetiva na direção tangencial.
Tensão “in situ” na direção x.
Tensão “in situ” na direção y.
Raio do poço.
Distância a partir do eixo do poço.
Ângulo medido no sentido anti-horário do plano x-y a partir do eixo ’x’.
Uma simulação foi realizada para verificar a variação das tensões radiais e
tangenciais, sem considerar o peso de lama. A Figura 5.7, mostra os resultados.
Figura 5.7: Variação das tensões tangenciais e radiais (Kirsch vs. Abaqus) para
a análise elástica.
Neste caso a simulação foi realizada com um estado isotrópico de
tensões, , e o peso da lama não foi considerado.
Na Figura 5.7 pode-se observar que os valores das tensões tangenciais e
radiais coincidem com os valores obtidos do Abaqus. Depois das validações das
equações de Kirsch com o programa (Abaqus), este programa pode ser usado
para realizar a modelagem numérica do ensaio de Leak-Off.
81
5.5. Caso 1: Rocha Permeável
Neste tópico, são descritas as hipóteses consideradas e os cálculos
realizados, para realizar as simulações no programa (Abaqus) usando um
modelo poroelástico.
Para realizar o cálculo das tensões in situ, se consideraram todas as
camadas do material como isotrópicas. A primeira camada corresponde a lamina
de água com seu respectivo peso específico e espessura. A segunda camada,
chamada de “outros estratos” representa as camadas localizadas acima da
rocha permeável. Por último, a camada da rocha permeável, com seu respectivo
peso específico e espessura. Na Tabela 5.1 é mostrado o cálculo da tensão
vertical de sobrecarga
Tabela 5.1: Tensão de sobrecarga σz (Rocha Permeável)
Tipo de Material Profundidade Peso Específico Tensão σz
Lâmina de água 0-150 m 10000 N/m3 1.50 MPa
Outros estratos 150 – 250 m 20280 N/m3 2.03 MPa
Rocha Permeável 250 – 460 m 22000 N/m3 4.62 MPa
Total de σz na profundidade de estudo (460m) - Permeável 8.15 MPa
Finalmente, se tem o valor da tensão de sobrecarga para a profundidade
de estudo. A tensão total na direção X foi assumida 5% menor do que a tensão
vertical, com um valor igual a , e as tensões .
A pressão da lama neste trabalho foi calculada para uma profundidade de
460 m, e é igual a , e a pressão de poros na formação foi de
, estes valores foram calculados com base no trabalho de
Frydman & Fontoura (2003).
Em seguida, as tensões in situ são mostradas na Figura 5.8 e foram
calculadas conforme apresentado na Tabela 5.1. Finalmente, na Tabela 5.2, são
mostradas as propriedades do fluido de pressurização usado nesta simulação.
Tabela 5.2: Propriedades do fluido de pressurização (Rocha Permeável)
Propriedades Valores
Viscosidade Dinâmica 1.0030 x 10-3 N.s/m2
Densidade 1000 kg/m3
Modulo Bulk do Fluido 2.50 x 109 Pa
82
Figura 5.8: Visualização em 3D do modelo da rocha permeável – Modificada.
(Inoue & Fontoura, 2010).
Na figura 5.8 é apresentado um esquema geral do problema, onde são
mostradas as tensões in situ, raio do poço, pressão da lama, pressão de poros,
etc.
5.5.1. Malha de Elementos Finitos (Mesh)
Uma malha de elementos finitos em 2D foi gerada, composta por 512
elementos e 561 nós. Os elementos são do tipo CPE4P (4 nós bilinear com
deslocamento e pressão). Esta malha tem a principal característica de discretizar
¼ das dimensões do problema conforme mostrado na Figura 5.9. Nesta figura
também são mostradas as considerações adotadas para o tamanho da malha.
Um maior refinamento da malha foi realizado próximo à parede do poço,
onde são esperadas as maiores variações de tensões, deformações e
deslocamentos. Este refinamento foi diminuindo à medida que se afasta do raio
do poço, onde são esperadas menores variações de tensões, deformações e
deslocamentos.
83
Figura 5.9: Representação de um quarto da malha do poço em 2D.
O tamanho da malha foi considerado 20 vezes o raio do poço. Sabe-se
que o raio do poço é igual a 0.216 m, multiplicando 20 vezes o raio do poço
(20*r) o resultado é igual a 4.50 m. Desta forma, as dimensões da malha são de
4.50 m x 4.50 m. Foi escolhido 20*r, porque nesta distância as tensões induzidas
pela perfuração são as mesmas que as tensões in situ, isso foi verificado na
Figura 5.7, quando se validou o uso do programa (Abaqus).
84
5.5.2. Análise Poroelástica
5.5.2.1. Introdução
Para realizar esta análise, foi utilizado um modelo poroelástico. Este
modelo permite avaliar o efeito conjunto hidro-mecânico nas tensões em todo o
poço, em especial, os efeitos transientes.
Os parâmetros elásticos como: modulo de Young (E) e coeficiente de
Poisson ( ), junto com algumas propriedades da rocha são mostrados na Tabela
5.3.
Tabela 5.3: Propriedades da rocha permeável.
Propriedades Valores
Módulo de Young 8.274 x 109 Pa
Coeficiente de Poisson 0.17
Permeabilidade 2.27 x 10-2 mDarcy
Porosidade inicial 0.25
Resistência à Tração 2.0 x 105 Pa
Para todas as simulações a rocha foi considerada incompressível, aliás, as
simulações foram realizadas levando em conta o coeficiente de condutividade
hidráulica e não a permeabilidade absoluta. Porque, no programa só é possível
incluir o valor do coeficiente de condutividade hidráulica e o índice de vazios
para representar a permeabilidade. As propriedades da rocha permeável
apresentadas na tabela 5.3 foram obtidas do trabalho de Frydman & Fontoura
(2003).
A seguir se mostram os resultados nas diferentes etapas da simulação,
iniciando pela etapa de perfuração e finalizando na etapa de pressurização.
5.5.2.2. Etapa de Perfuração
Os resultados da pressão de poros e variação do deslocamento ao longo
do eixo Y (o eixo Y é mostrado na Figura 5.9) com o tempo, durante a etapa de
perfuração são mostrados nas Figuras 5.10 e 5.11, respectivamente.
85
Figura 5.10: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y.
Figura 5.11: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y.
Na Figura 5.10 é possível observar o equilíbrio entre a pressão do peso
da lama e a pressão de poros na formação, neste caso há fluxo de fluidos do
poço para a formação.
Analisando a Figura 5.11, a aplicação do fluido de perfuração na
formação, resulta em um campo de deslocamentos que se movimenta para fora
do poço, isto é, afastando-se da parede do poco.
86
Os valores negativos de deslocamento indicam fechamento do poço,
enquanto os valores positivos indicam abertura. Neste processo há uma zona
limite onde o poço, não está fechando nem abrindo.
(a) (b)
Figura 5.12: (a) Estado de tensão para um tempo, t=0 s, e (b) Estado de tensão
para um tempo, t >0 s.
Devido ao estado de tensões na direção θ =90⁰, como mostrado na
Figura 5.12, há um aumento do volume poroso que produz uma diminuição na
pressão de poros. Neste caso a Figura 5.10 apresenta esse comportamento para
um tempo de 100 s.
5.5.2.3. Etapa de Pressurização
Esta etapa foi simulada considerando três taxas de bombeamento
constantes de 0.25, 1.0 e 10.0 gpm. As Figuras 5.13 e 5.14 mostram a variação
da pressão do fluido e do deslocamento no ponto A (parede do poço, como
mostrado na Figura 5.9) para as três taxas de bombeamento respectivamente. A
etapa da pressurização começa no tempo de 5.000 s e finaliza no tempo de
10.000 s, o tempo total de simulação foi de 5.000 s (83 min).
O fluido de pressurização é igual ao fluido presente na formação, esta
hipótese foi usada em todas as simulações para a rocha permeável. Para este
caso o fluido de pressurização é água do mar.
87
Figura 5.13: Variação da pressão do fluido no ponto A considerando três taxas
de bombeamento.
Figura 5.14: Variação do deslocamento no ponto A considerando três taxas de
bombeamento.
Na Figura 5.13, a alta taxa de bombeamento (10.0 gpm) aumenta a
pressão de poros na parede do poço mais rapidamente do que a baixa taxa de
bombeamento (0.25 gpm), o que resulta em um aumento lento da pressão do
88
fluido. O mesmo comportamento pode ser visto na Figura 5.14 para o
deslocamento na parede do poço.
Para altas taxas de bombeamento os gráficos de pressão e deslocamento
na parede do poço apresentam um comportamento linear, enquanto que para
baixas taxas de bombeamento as curvas apresentam uma tendência não linear.
Para futuras pesquisas é preciso realizar uma análise não linear com uma lei que
possa representar adequadamente esse comportamento.
Finalmente, foi calculada graficamente a pressão de Leak-Off. Usando
uma hipótese que considera que a pressão de Leak-Off é atingida quando a
tensão tangencial efetiva é igual a zero. Este critério foi usado em todas as
simulações realizadas.
As Figuras 5.15, 5.16 e 5.17, mostram a pressão de Leak-Off para as
diferentes taxas de bombeamento 10.0, 1.0 e 0.25 gpm, respectivamente. Nas
figuras são plotadas as curvas de pressão de fluido e tensão tangencial efetiva
ao longo do tempo. A curva para calcular a pressão de Leak-Off é analisada até
o ponto onde a tensão tangencial atinge um valor nulo.
Figura 5.15: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
10.0 gpm.
89
Figura 5.16: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
1.0 gpm.
Figura 5.17: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm.
Nas Figuras 5.15, 5.16 e 5.17 é possível observar uma linearidade na
pressão de fluido e tensão tangencial efetiva para altas taxas de bombeamento,
e uma não linearidade na medida em que a taxa de bombeamento diminui.
À medida que a taxa de bombeamento é maior, o tempo para atingir a
pressão de Leak-Off é menor.
90
5.5.3. Análise Poroelástica com Influência de Variação da Permeabilidade
5.5.3.1. Introdução
Para realizar esta análise, foi utilizado um modelo poroelástico incluindo a
variação da permeabilidade. Este modelo permite avaliar o efeito conjunto hidro-
mecânico nas tensões em todo o poço, em especial, os efeitos transientes.
Neste caso a variação da permeabilidade foi simulada em função da
porosidade e do diâmetro dos grãos por meio da equação de Carman-Kozeny
(Eq. 3.7). Os parâmetros elásticos e as propriedades da rocha são os mesmos
apresentados na Tabela 5.3.
Para esta análise, as simulações foram realizadas levando em conta o
coeficiente de condutividade hidráulica e não a permeabilidade absoluta.
A continuação se mostram os resultados nas diferentes etapas da
simulação, iniciando pela etapa de perfuração e finalizando na etapa de
pressurização.
5.5.3.2. Etapa de Perfuração
Os resultados da pressão de poros e variação do deslocamento ao longo
do eixo Y (ver Figura 5.9) com o tempo, durante a etapa de perfuração são
mostrados nas Figuras 5.18 e 5.19, respectivamente.
Na análise poroelástica considerando a permeabilidade constante foi
observado que a porosidade variou entre 0.25 e 0.27 (ver Figura 3.8), essa faixa
de variação foi considerada para implementar a variação da permeabilidade por
meio da formulação de Carman-Kozeny para grãos esféricos uniformes (Eq. 3.7).
91
Figura 5.18: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y.
Figura 5.19: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y.
Analisando as Figuras 5.18 e 5.19, é possível observar que a variação da
permeabilidade teve pouca influência nos gráficos de variação da pressão de
poros e do deslocamento na parede do poço.
Analisando a Figura 5.19, os valores negativos de deslocamento indicam
fechamento do poço enquanto os valores positivos indicam abertura. Neste
processo há uma zona limite onde o poço, não esta fechando nem abrindo.
92
5.5.3.3. Etapa de Pressurização
Esta etapa foi simulada considerando três taxas de bombeamento
constantes de 0.25, 1.0 e 10.0 gpm. As Figuras 5.20 e 5.21 mostram a variação
da pressão do fluido e do deslocamento no ponto A (parede do poço, como
mostrado na Figura 5.9) para as três taxas de bombeamento, respectivamente.
As mesmas hipóteses da análise poroelástica, foram consideradas.
Figura 5.20: Variação da pressão do fluido no ponto A considerando três taxas
de bombeamento.
Figura 5.21: Variação do deslocamento no ponto A considerando três taxas de
bombeamento.
93
Na Figura 5.20, a alta taxa de bombeamento (10.0 gpm) aumenta a
pressão de poros na parede do poço mais rapidamente do que a baixa taxa de
bombeamento (0.25 gpm), o que resulta em um aumento lento da pressão do
fluido. O mesmo comportamento pode ser visto na Figura 5.21 para o
deslocamento na parede do poço.
Para altas taxas de bombeamento os gráficos de pressão e deslocamento
na parede do poço apresentam um comportamento linear, enquanto que para
baixas taxas de bombeamento as curvas apresentam uma tendência não linear.
Finalmente, foi calculada graficamente a pressão de Leak-Off. Usando
uma hipótese que considera que a pressão de Leak-Off é atingida quando a
tensão tangencial efetiva é igual a zero.
As Figuras 5.22, 5.23 e 5.24, mostram a pressão de Leak-Off com a
influência da variação da permeabilidade, para as diferentes taxas de
bombeamento 10.0, 1.0 e 0.25 gpm, respectivamente. A análise da curva para
calcular a pressão de Leak-Off é considerada até o ponto onde a tensão
tangencial atinge um valor nulo.
Figura 5.22: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
10.0 gpm.
94
Figura 5.23: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
1.0 gpm.
Figura 5.24: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm.
Nas Figuras 5.22, 5.23 e 5.24 é possível observar uma linearidade na
pressão de fluido e tensão tangencial efetiva para altas taxas de bombeamento,
e uma não linearidade na medida em que a taxa de bombeamento diminui.
À medida que a taxa de bombeamento é maior, o tempo para atingir a
pressão de Leak-Off é menor.
95
Comparando as simulações realizadas com e sem a consideração da
variação da permeabilidade, observou-se uma redução na pressão de Leak-Off
de 2.0%, 0.9% e 0.4% para as taxas de bombeamento de 10.0 gpm, 1.0 gpm e
0.25 gpm respectivamente. Portanto, pode-se concluir que à medida que a taxa
de bombeamento dimimui, a pressão de Leak-Off também apresenta uma
redução. Na Tabela 5.4 apresenta-se um resumo dos resultados de cada um dos
casos analisados quando a permeabilidade é variável e constante.
Tabela 5.4: Comparação da pressão de Leak-Off considerando a variação da
permeabilidade.
Taxa de Bombeamento
(gpm) Permeabilidade
Pressão de Leak-Off (MPa)
Diferenças (%)
10.0 Constante 10.20 ------
Variável 10.0 2.0
1.0 Constante 9.85 ------
Variável 9.76 0.9
0.25 Constante 9.70 ------
Variável 9.66 0.4
Na coluna que se refere às diferenças, os valores apresentados na Tabela
5.4 foram calculados tomando como referência a permeabilidade constante, ou
seja, a pressão de Leak-Off calculada usando a permeabilidade variável para
uma taxa de bombeamento de 10.0 gpm é 2.0% menor do que quando a
permeabilidade é considerada constante. Neste caso o fluido de pressurização
utilizado foi água do mar.
96
5.5.4. Análise Poroelástica com Influência do Fluido de Pressurização
5.5.4.1. Introdução
Para realizar esta análise, foi utilizado um modelo poroelástico levando em
conta a influência do fluido de pressurização. Este modelo permite avaliar o
efeito conjunto hidro-mecânico nas tensões em todo o poço, em especial, os
efeitos transientes.
Sabe-se que o fluxo é monofásico (o fluido de pressurização é igual ao
fluido presente na formação). É importante destacar que as simulações foram
realizadas, levando em conta o coeficiente de condutividade hidráulica e não a
permeabilidade absoluta.
Neste caso foram utilizados três fluidos de perfuração a base de água. A
Tabela 5.5 mostra as propriedades.
Tabela 5.5: Propriedades dos fluidos de pressurização.
# Fluido Viscosidade Dinâmica Densidade Modulo Bulk do Fluido
A 2.0 x 10-2 N.s/m2 1440 kg/m3 2.0 x 109 Pa
B 1.0 x 10-2 N.s/m2 1260 kg/m3 2.0 x 109 Pa
C 0.5 x 10-2 N.s/m2 1140 kg/m3 2.0 x 109 Pa
O mesmo valor do Módulo bulk para todos os fluidos foi considerado.
Nesta análise, a equação (3.9) foi utilizada para calcular os coeficientes de
condutividade hidráulica para cada tipo de fluido.
5.5.4.2. Etapa de Perfuração
Os resultados da influência do fluido de perfuração na pressão de poros e
variação do deslocamento ao longo do eixo Y (ver Figura 5.9) com o tempo,
durante a etapa de perfuração são mostrados nas Figuras 5.25 e 5.26,
respectivamente. Neste caso foi analizado primeiramente o Fluido A, e
consequentemente os fluidos B e C.
97
Figura 5.25: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido A).
Figura 5.26: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y (Fluido
A).
Na Figura 5.25, é possível notar que há pouca entrada de fluido de
pressurização na formação, isto é devido a que houve uma diminuição no
coeficiente de permeabilidade, já que o fluido utilizado nesta simulação é 20
vezes mais viscoso do que a água do mar (fluido usado na análise poroelástica).
Analisando a Figura 5.26, o poço sempre tem deslocamentos negativos,
porque neste caso o fluido de perfuração tem uma viscosidade maior e não
consegue penetrar facilmente na formação.
98
As Figuras 5.27 e 5.28 mostram a variação da pressão de poros e
deslocamento na parede do poço, usando o Fluido B.
Figura 5.27: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido B).
Figura 5.28: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y (Fluido
B).
Na Figura 5.27, também é possível observar que há pouca entrada de
fluido de pressurização na formação, isto é devido a que houve uma diminuição
no coeficiente de permeabilidade, já que o fluido utilizado nesta simulação é 10
vezes mais viscoso do que a água do mar (fluido usado na análise poroelástica).
99
Analisando a Figura 5.28, o poço sempre tem deslocamentos negativos,
além disso, os deslocamentos são maiores do que para o Fluido A, isto se deve
a que o Fluido B é menos denso.
As Figuras 5.27 e 5.28 mostram a variação da pressão de poros e
deslocamento na parede do poço, usando o Fluido C.
Figura 5.29: Variação da pressão de poros com o tempo, ao longo do eixo Y
(Fluido C).
Figura 5.30: Variação do deslocamento com o tempo, ao longo do eixo Y (Fluido
C).
100
Na Figura 5.29, também é observado que há pouca entrada de fluido de
pressurização na formação, mas neste caso é onde ha mais penetração de fluido
em relação aos casos anteriores, devido a que a viscosidade deste fluido é a
menor dos três fluidos utilizados (5 vezes maior do que a água do mar).
Analisando a Figura 5.30, o poço sempre tem deslocamentos negativos e
os deslocamentos estaõ mais proximos um dos outros, isto se deve à diferença
de pressão ( ), que neste caso é menor do que para os fluidos A e B.
Além disso, os deslocamentos para o Fluido C são os maiores, devido a que
este fluido tem o menor valor de densidade dos três fluidos.
Para todos os gráficos de pressão (Figuras 5.25, 5.27 e 5.29), há um
aumento do volume poroso, já que o fluido utilizado nestas simulações é mais
compressível.
5.5.4.3. Etapa de Pressurização
Os resultados da influência do fluido de pressurização, sobre a pressão do
fluido e a variação do deslocamento no ponto A (parede do poço, ver Figura 5.9)
na fase de pressurização são mostrados nas Figuras 5.31 e 5.32,
respectivamente para as diferentes taxas de bombeamento e para os diferentes
fluidos.
Figura 5.31: Variação da pressão do fluido no ponto A, para três taxas de
bombeamento e três fluidos de pressurização (Fluidos A, B e C).
101
Figura 5.32: Variação do deslocamento no ponto A, para três taxas de
bombeamento e três fluidos de pressurização (Fluidos A, B e C).
Na Figura 5.31, a alta taxa de bombeamento (10.0 gpm) aumenta a
pressão de poros na parede do poço mais rapidamente do que a baixa taxa de
bombeamento (0.25 gpm), o que resulta em um aumento lento da pressão do
fluido. Também é possível observar que para o Fluido A, as pressões são
maiores em relação aos outros fluidos (B e C), já que este fluido é mais viscoso.
O mesmo comportamento pode ser visto na Figura 5.32 para o
deslocamento na parede do poço. Para todas as taxas de bombeamento os
gráficos de pressão e deslocamento da parede do poço apresentam um
comportamento linear. Analisando a Figura 5.32 observa-se que os maiores
deslocamentos ocorrem para o fluido com maior viscosidade (Fluido A).
Finalmente, a pressão de Leak-Off foi calculada graficamente usando o
critério descrito anteriormente.
As Figuras 5.33, 5.34 e 5.35, mostram a pressão de Leak-Off para as
diferentes taxas de bombeamento 10.0, 1.0 e 0.25 gpm e para os diferentes
fluidos de pressurização, respectivamente.
A continuação se mostram as figuras 5.33, 5.34 e 5.35 para os fluidos A, B
e C, com uma taxa de bombeamento de 10.0 gpm. Nessas figuras são plotadas
as curvas de pressão de fluido e tensão tangencial efetiva ao longo do tempo.
102
Figura 5.33: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
10.0 gpm (Fluido A).
Figura 5.34: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
10.0 gpm (Fluido B).
103
Figura 5.35: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
10.0 gpm (Fluido C).
Nas Figuras 5.33, 5.34 e 5.35 é possível observar uma linearidade na
pressão de fluido e na tensão tangencial efetiva para todas as taxas de
bombeamento.
Comparando as simulações realizadas com diferentes lamas base água
(Fluido A, B e C) e água do mar, observou-se um aumento na pressão de Leak-
Off de 4.2%, 4.1% e 3.9% para uma taxa de bombeamento de 10.0 gpm. A
propriedade do fluido que tem maior influência na variação das tensões e
pressões é a viscosidade.
A seguir se mostram as figuras 5.36, 5.37 e 5.38 para os fluidos A, B e C,
com uma taxa de bombeamento de 1.0 gpm. Nessas figuras são plotadas as
curvas de pressão de fluido e tensão tangencial efetiva ao longo do tempo.
104
Figura 5.36: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
1.0 gpm (Fluido A).
Figura 5.37: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
1.0 gpm (Fluido B).
105
Figura 5.38: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
1.0 gpm (Fluido C).
Nas Figuras 5.36, 5.37 e 5.38 é possível observar uma linearidade na
pressão de fluido e tensão tangencial efetiva para todas as taxas de
bombeamento.
Comparando as simulações realizadas com diferentes lamas base água
(Fluido A, B e C) e água do mar, observou-se um aumento na pressão de Leak-
Off de 5.0%, 4.1% e 2.75% para uma taxa de bombeamento de 1.0 gpm.
A seguir se mostram as figuras 5.39, 5.40 e 5.41 para os fluidos A, B e C,
com uma taxa de bombeamento de 0.25 gpm. Nessas figuras são plotadas as
curvas de pressão de fluido e tensão tangencial efetiva ao longo do tempo.
106
Figura 5.39: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm (Fluido A).
Figura 5.40: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm (Fluido B).
107
Figura 5.41: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm (Fluido C).
Nas Figuras 5.39, 5.40 e 5.41 é possível notar uma linearidade na pressão
de fluido e tensão tangencial efetiva para todas as taxas de bombeamento.
Comparando as simulações realizadas com diferentes lamas base água
(Fluido A, B e C) e água do mar, observou-se um aumento na pressão de Leak-
Off de 4.3%, 3.0% e 2.1% para uma taxa de bombeamento de 0.25 gpm.
Portanto, pode-se concluir que à medida que a taxa de bombeamento dimimui, a
pressão de Leak-Off também apresenta uma redução.
Finalmente, na Figura 5.42 se mostra uma comparação das pressões e
tensões tangenciais efetivas para os fluidos A, B e C, com uma taxa de
bombeamento de 10.0 gpm.
108
Figura 5.42: Comparação da pressão de Leak-Off para uma taxa de
bombeamento constante de 10.0 gpm e três fluidos de pressurização (Fluidos A,
B e C).
Da Figura 5.42 é possível observar uma linearidade na pressão de fluido e
tensão tangencial efetiva para todos os fluidos. Para o fluido mais viscoso e mais
denso (Fluido A) a pressão de Leak-Off é atingida primeiramente do que para o
fluido menos viscoso e menos denso (Fluido C).
O valor da pressão de Leak-Off é da ordem de 10.60 MPa (+/- 0.03 MPa) e
não difere muito de um fluido para outro. Em relação a essas pequenas
variações, pode-se argumentar que para altas taxas de bombeamento a
viscosidade do fluido não interfere muito nos valores de pressão de Leak-Off.
Na Tabela 5.6 apresenta-se um resumo dos resultados de cada um dos
casos analisados usando diferentes fluidos de pressurização.
109
Tabela 5.6: Comparação da pressão de Leak-Off usando vários fluidos de
pressurização.
Taxa de Bombeamento
(gpm) Tipo de Fluido
Pressão de Leak-Off (MPa)
Diferenças (%)
10.0
Água do mar 10.20 ------
A 10.63 4.2
B 10.61 4.1
C 10.60 3.9
1.0
Água do mar 9.85 ------
A 10.34 5.0
B 10.25 4.1
C 10.12 2.75
0.25
Água do mar 9.70 ------
A 10.12 4.3
B 10.00 3.1
C 9.90 2.1
As diferenças nos valores da pressão de Leak-Off são calculadas tomando
como referência o fluido da análise poroelástica (água do mar), ou seja, a
pressão de Leak-Off calculada usando o Fluido A com uma taxa de
bombeamento de 10.0 gpm é 4.20% maior do que quando é utilizado um fluido
como água do mar.
110
5.6. Caso 2: Rocha de Sal
Neste tópico, são descritas as hipóteses consideradas e os cálculos
realizados, para realizar as simulações no programa (Abaqus) implementando
um modelo com fluência.
Para realizar o cálculo das tensões in situ, se consideraram todas as
camadas do material como isotrópicas. A primeira camada corresponde a lamina
de água com seu respectivo peso específico e espessura. A segunda camada,
chamada de “outros estratos” representa as camadas localizadas acima da
rocha de sal. Por último, a camada da rocha de sal, com seu respectivo peso
específico e espessura. Na Tabela 5.7 é mostrado o cálculo da tensão vertical de
sobrecarga
Tabela 5.7: Tensão de sobrecarga σz (Rocha de Sal)
Tipo de Material Profundidade Peso Específico Tensão σz
Lâmina de água 0-150 m 10000 N/m3 1.5 MPa
Outros estratos 150 – 250 m 2200 N/m3 2.2 MPa
Rocha de Sal 250 – 460 m 2160 N/m3 4.45 MPa
Total de σz na profundidade de estudo (460m) - Sal 8.15 MPa
Finalmente, se tem o valor da tensão de sobrecarga para a profundidade
de estudo. Todas as tensões totais são consideradas iguais, com um valor igual
a .
A pressão da lama hidrostática neste trabalho foi calculada para uma
profundidade de 460 m, e é igual a . Em seguida, as tensões in
situ são mostradas na Figura 5.43 e foram calculadas conforme apresentado na
Tabela 5.5. Finalmente, na Tabela 5.8, são mostradas as propriedades do fluido
de pressurização usado nesta simulação.
Tabela 5.8: Propriedades do fluido de pressurização (Rocha de Sal).
Propriedades Valores
Viscosidade Dinâmica 1.0030 x 10.0-3 N.s/m2
Densidade 1000 kg/m3
Modulo Bulk do Fluido 2.50 x 10.09 Pa
111
Figura 5.44: Visualização em 3D do modelo da rocha de sal – Modificada.
(Inoue e Fontoura, 2010).
Na Figura 5.44, é apresentado um esquema geral do problema, onde são
mostradas as tensões in situ, raio do poço, pressão da lama, pressão de poros,
etc.
No programa é possível usar três leis de fluência (creep), lei de potência
de endurecimento por deformação, lei de potência de endurecimento no tempo,
e a lei do seno hiperbólico. Neste trabalho, foi introduzida uma nova lei de
fluência com duplo mecanismo de deformação utilizando uma subrotina de
FORTRAN (subrotina CREEP) no programa Abaqus. A subrotina CREEP recebe
a tensão equivalente de Von Mises ( √
, onde S é o tensor das
tensões desviadoras), mas o modelo de duplo mecanismo de deformação usa
uma tensão efetiva ). Por isso, foi necessário utilizar a subrotina
USDFLD e a rotina utilitária GETVRM para o cálculo da tensão efetiva que é
utilizada na subrotina de fluência (CREEP).
112
5.6.1. Malha de Elementos Finitos (Mesh)
A malha de elementos finitos adoptada para esta análise é a mesma que
foi usada na análise anterior (Figura 5.10). Neste caso a malha é composta por
480 elementos do tipo CPE4R para representar a rocha de sal, e 32 elementos
do tipo CPE4P, para representar o material fictício. A diferença no tipo de
elementos radica em que o elemento do tipo CPE4P, permite calcular
deslocamento e pressão, e o elemento do tipo CPE4R permite calcular
deslocamento, mas não permite calcular pressão.
Portanto, neste caso, não há simulação de fluxo de fluidos na formação, só
apenas no material fictício.
5.6.2. Passos Para a Análise
Novamente, foi considerada a perfuração vertical e o problema foi
analisado utilizando a condição de deformação plana. Neste caso, a simulação
numérica também foi realizada em três etapas. As etapas 1 e 3 (equilíbrio,
perfuração e pressurização) são as mesmas da análise anterior, porém na etapa
de perfuração, não é necessário atingir o equilíbrio entre a pressão do peso da
lama e a pressão da formação, já que não há fluxo de fluido para a formação. No
entanto, as condições de contorno de pressão de poros são aplicadas nos nós
dos elementos virtuais para simular o peso da lama (condição hidrostática).
Na etapa de perfuração, será mostrada a influência dos elementos virtuais
no fechamento na parede do poço.
113
5.6.3. Análise com Comportamento de Fluência
5.6.3.1. Introdução
Para realizar esta análise, foi utilizado um modelo que considera a fluência.
Este modelo tem duas componentes: uma elástica e uma componente de
fluência, esta ultima foi introduzida por meio de uma subrotina no programa
(Abaqus). Os parâmetros elásticos como: modulo de Young (E) e coeficiente de
Poisson ( ), junto com algumas propriedades da rocha são mostrados na Tabela
5.9. Nesta análise a rocha de sal é considerada impermeável.
Tabela 5.9: Propriedades da rocha de sal (Halita)
Propriedades Valores
Módulo de Young 2.04 x 1010 Pa
Coeficiente de Poisson 0.36
Coesão 3.0 x 106 Pa
Ângulo de Atrito 43⁰
O peso de lama usado nesta simulação foi , e os valores
dos parâmetros usados na lei de fluência são (Costa et al., 2005):
A continuação se mostram os resultados nas diferentes etapas da
simulação, iniciando pela etapa de perfuração e finalizando na etapa de
pressurização.
114
5.6.3.2. Etapa de perfuração
Os resultados do fechamento do poço usando elementos virtuais na etapa
de perfuração foram verificados com um exemplo. Foram simulados dois casos,
um sem condições de contorno de pressão prescritas (com e sem elementos
virtuais) e outro com pressão prescrita (com e sem elementos virtuais),
mostrados nas Figuras 5.45 e 5.46, respectivamente.
Figura 5.45: Comparação entre as malhas com e sem elementos virtuais, e sem
pressão prescrita (sem lama).
Figura 5.46: Comparação entre as malhas com e sem elementos virtuais, e com
pressão prescrita (com lama).
115
Com as Figuras 5.45 e 5.46, verificamos que os elementos virtuais não
restringem o fechamento da parede do poço, porque os elementos ao redor da
parede do poço tem baixa rigidez. Os nós dos elementos virtuais têm
deslocamento prescrito nulo, com o objetivo de não produzir um excesso de poro
pressão devido à variação do estado de tensões.
(a) (b)
Figura 5.47: (a) Malha com elementos virtuais e (b) Malha sem elementos
virtuais.
Na Figura 5.47 (a) e (b) mostram-se as malhas com e sem os elementos
virtuais, respectivamente. O domínio do problema nos dois casos tem o mesmo
tamanho, a diferença radica nas malhas.
5.6.3.3. Etapa de Pressurização
Esta etapa foi simulada considerando três taxas de bombeamento
constantes de 0.25, 1.0 e 10.0 gpm, é importante ressaltar que o modelo
constitutivo tem duas componentes: uma elástica e uma de fluência.
As Figuras 5.48 e 5.49 mostram a variação da pressão do fluido e do
deslocamento no ponto A (parede do poço, como mostrado na Figura 5.10) para
as três taxas de bombeamento, respectivamente. A etapa da pressurização
começa no tempo de 5.000 s e finaliza no tempo de 10.000 s, o tempo total de
simulação foi de 5.000 s (83 min).
116
Figura 5.48: Variação da pressão do fluido no ponto A considerando três taxas
de bombeamento.
Figura 5.49: Variação do deslocamento no ponto A considerando três taxas de
bombeamento.
Na Figura 5.48, a alta taxa de bombeamento (10.0 gpm) aumenta a
pressão de poros na parede do poço mais rapidamente do que a baixa taxa de
bombeamento (0.25 gpm), o que resulta em um aumento lento da pressão do
fluido. O mesmo comportamento pode ser visto na Figura 5.49 para o
deslocamento na parede do poço.
117
Para altas taxas de bombeamento os gráficos de pressão e deslocamento
na parede do poço apresentam um comportamento linear, enquanto a taxa de
bombeamento diminui o comportamento é mais ou menos linear.
As Figuras 5.15, 5.16 e 5.17, mostram a pressão de Leak-Off para as
diferentes taxas de bombeamento 10.0, 1.0 e 0.25 gpm, respectivamente. Nas
figuras são plotadas as curvas de pressão de fluido e tensão tangencial efetiva
ao longo do tempo.
A continuação se mostram várias figuras considerando um modelo com
fluência e outro com comportamento elástico, com as três taxas de
bombeamento constante. A curva para calcular a pressão de Leak-Off é
analisada até o ponto onde a tensão tangencial atinge um valor nulo.
Figura 5.50: Variação das tensões e pressão de fluido ao longo do tempo,
considerando uma taxa de bombeamento constante de 10.0 gpm.
118
Figura 5.51: Variação das tensões e pressão de fluido ao longo do tempo,
considerando uma taxa de bombeamento constante de 1.0 gpm.
Figura 5.52: Variação das tensões e pressão de fluido ao longo do tempo,
considerando uma taxa de bombeamento constante de 0.25 gpm.
As Figuras 5.50, 5.51 e 5.52 mostram a variação da pressão do fluido,
tensão radial efetiva e tensão tangencial efetiva ao longo do tempo,
considerando as duas componentes do modelo constitutivo e as três taxas de
bombeamento constante. As curvas obtidas da simulação usando a lei de
119
fluência mostram um comportamento não linear, enquanto que as curvas obtidas
com a lei elástica mostram um comportamento linear.
Finalmente, foi calculada a pressão de Leak-Off, a qual é obtida
graficamente, quando a tensão tangencial efetiva é igual a zero, nesse caso a
pressão é considerada igual à pressão de Leak-Off. Este critério foi o mesmo
utilizado para a rocha permeável.
Para as Figuras 5.53, 5.55 e 5.57, é considerado que a formação rochosa
tem um comportamento de fluência e para as Figuras 5.54, 5.56 e 5.58, é
considerado que a formação rochosa tem um comportamento elástico.
A continuação, a sequência das figuras corresponde às taxas de
bombeamento de 10.0 gpm, 1.0 gpm e 0.25 gpm, respectivamente.
Figura 5.53: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
10.0 gpm.
Os resultados, das figuras seguintes correspondem a uma taxa de
bombeamento de 1.0 gpm.
120
Figura 5.54: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
1.0 gpm.
Os resultados, das figuras seguintes correspondem a uma taxa de
bombeamento de 0.25 gpm.
Figura 5.55: Pressão de Leak-Off para uma taxa de bombeamento constante de
0.25 gpm.
Analisando desde a Figura 5.53 até 5.55, observa-se que o valor da
pressão de Leak-Off é independente da taxa de bombeamento. Esta taxa neste
121
caso só afeta o tempo para atingir a pressão de Leak-Off, porém, pode-se
argumentar que para altas taxas de bombeamento a pressão de Leak-Off será
atingida mais rapidamente do que quando são utilizadas baixas taxas de
bombeamento.
Usando uma lei de fluência um valor nulo da tensão tangencial efetiva é
atingido no mesmo tempo quando é usada uma lei elástica.
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
6.1. Conclusões
Após o desenvolvimento desta pesquisa, foi possível elaborar as
seguintes conclusões:
Uma metodologia para realizar a simulação de um ensaio de Leak-Off foi
desenvolvida tanto para uma rocha permeável como impermeável. Para o
estudo em particular na rocha de sal, os parâmetros, modelo constitutivo
e as hipóteses adotadas mostraram que a pressão de Leak-Off é
independente da fluência. Diferentes simulações foram realizadas e o
fenômeno da fluência sempre ocorre depois que a tensão tangencial é
nula.
O modelo desenvolvido permite entender melhor a influência de alguns
parâmetros como taxa de bombeamento, viscosidade do fluido de
pressurização, variação da permeabilidade, etc., e quantificar a
importância destes, no estudo de um ensaio de Leak-Off em um poço de
petróleo.
Os elementos virtuais não restringem o fechamento da parede do poço
porque tem baixa rigidez, nem prejudicam o fluxo porque a
permeabilidade e o índice de vazios são altos. O modelo simula
adequadamente este comportamento.
Há uma limitação para simular a interação entre o fluido de perfuração e
o fluido presente na formação, já que o programa utilizado só considera
fluxo monofásico.
123
O estudo de um ensaio de Leak-Off ainda é pouco desenvolvido,
necessitando de pesquisas adicionais com relação a uma lei constitutiva
para rocha que possa representar o efeito do dano.
Devido à complexidade envolvida no problema, é preciso simular um
modelo com o menor numero de restrições e simplificações possíveis,
para obter valores da pressão de Leak-Off mais confiáveis.
Na simulação por elementos finitos utilizando o programa Abaqus, foi
possível introduzir uma subrotina de FORTRAN para avaliar a influência
da variação da permeabilidade. Frequentemente, este efeito não é
considerado nas formulações analíticas e em outros métodos numéricos.
6.2. Sugestões
Neste estudo, as simulações foram realizadas considerando apenas fluxo
monofásico, porém, apenas a permeabilidade absoluta da rocha tem
influência na penetração da pressão de poros. Uma sugestão para
futuros trabalhos é realizar simulações do ensaio de Leak-Off
considerando fluxo bifásico.
Estudar o ensaio de Leak-Off para modelos 3D, considerando poços
verticais, horizontais e inclinados, e incorporar na etapa de perfuração
leis de plasticidade e dano, para analisar a influência na pressão de
Leak-Off e ter um conhecimento mais amplo.
Uma melhor compreensão dos modelos e mecanismos de dano na rocha
deve ser objeto de estudo nos próximos estágios da pesquisa.
Devem ser reavaliados os parâmetros das leis constitutivas, de modo que
essa lei possa refletir o comportamento da rocha de sal para altas
profundidades.
124
Uma melhor compreensão da lei de plasticidade de Drucker-Prager é
necessária para uma segunda etapa de desenvolvimento dos modelos do
ensaio de Leak-Off. Também é necessário realizar ensaios triaxiais de
compressão para diferentes pressões de confinamento, com o objetivo de
validar as hipóteses com o modelo de Drucker-Prager e, assim, obter uns
parâmetros de plasticidade e dano confiáveis.
Os resultados obtidos das simulações numéricas dos ensaios de Leak-
Off devem ser comparados com os resultados dos ensaios de campo,
afim de aprimorar os modelos numéricos.
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