José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo

PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO

Inducción magnética Acoplamiento magnético Ecuaciones del acoplamiento magnético entre bobinas Acopliento en mallas contiguas, equivalente T Corrientes de Foucault

INDUCCIÓN MAGNÉTICA (I) 2. INDUCCIÓN MAGNÉTICA 2.1. Conceptos básicos OBJETIVO: Se trata de estudiar como un flujo magnético variable (por

movimiento o CA) produce una corriente inducida. A) Ley de Faraday-Lentz:

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ε = −dφdt

= −ddt

r B ⋅ dr s ∫

FARADAY: La fem inducida en un circuito (E) es numéricamente igual a la variación por unidad de tiempo del flujo magnético Φ que lo atraviesa.

LENTZ: La dirección de una corriente inducida es tal que se opone a la causa que la produce La polaridad del voltaje inducido por un flujo variable tiende a oponérsela cambio en el flujo magnético que produce el voltaje inducido (= signo – de la fórmula)

Recordar: Dentro de un material ferromagnético Suponemos B=cte y S=cte Φ[Wb]=B[T]*S[m]

B) Ley de Faraday-Lentz para una bobina:

ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO: Si φ cambia con t espira en circuito abierto ⇒ ∆V =ε espira en circuito cerrado ⇒ circula I BOBINA CON “N” VUELTAS: Si φ cambia con t φ igual en todas las espiras N veces V en serie

ε = −dφdt

εN = −Ndφdt

Ejemplo de la ley de Faraday-Lentz:

I1 Alimentamos la bobina con I=cte (DC) y en el anillo conductor ponemos un amperímetro El amperímetro no mide nada : I(anillo)=0 Encendemos y apagamos la intensidad que pasa por la bobina I(anillo)≠0

El mismo efecto se observa si metemos y sacamos un imán dentro del anillo.

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INDUCCIÓN MAGNÉTICA (II)

Voltaje inducido por un campo magnético sobre un conductor SIEMPRE que fem inducida corriente eléctrica

inducida. El flujo magnético puede variar: A) Porque un conductor se mueve/deforma en un campo magnético estacionario Sirve para convertir energía mecánica en energía cinética EJEMPLO: generador de CA B) Porque el campo B que atraviesa un circuito fijo cambia con el tiempo Sirve para trasmitir/transformar energía eléctrica mediante campos magnéticos EJEMPLO: transformador

φ(t) ≠ cte

−ε =dφdt

=d(

r B ⋅

r S )

dt=

r S

dr B

dt+

r B

dr S

dt⇒

r B ≠ cte →φ ≠ cter S ≠ cte →φ ≠ cte

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INDUCCIÓN MAGNÉTICA (III)

A) Conductor móvil en un campo magnético contante (fem cinética) B=cte

EJEMPLO 1: S cambia de tamaño EJEMPLO 2: S está girando con ω=cte

CONCLUSIÓN: En el trozo de conductor con velocidad aparece una fem ΔV I ¿SENTIDO? Se opone al movimiento.

CONCLUSIÓN: Generador de corriente alterna ¿SENTIDO? Se opone al movimiento

dφdt

= BdSdt

= B⋅ L⋅dxdt

= B⋅ L⋅ v

φ =r B ⋅

r S = B⋅ S⋅ cos(ωt)

dφdt

= B⋅ S⋅dcos(ωt)

dt= −B⋅ S⋅ ω⋅ sen(ωt)

ε = −N dφdt

= NBSω⋅ sen(ωt) = V0 ⋅ sen(ωt)

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INDUCCIÓN MAGNÉTICA (IV)

B) Campo magnético variable con el tiempo.

¿Sentido de la corriente inducida? Ley de Lentz I inducida crea campo magnético que se opone a la variación de Φ • Si Φ I crea un campo en sentido contrario a Φ • Si Φ I crea un campo en el mismo sentido de Φ

Bobina 1 con fuente de tensión atravesada por I(t) crea campo φ(t) Bobina 2 sin fuente atravesada por el campo que crea la bobina 1.

Si I1(t) =cte φ(t) = cte I(2)=0 Si II1(t)≠cte φ(t) ≠ cte I(2) ≠ 0 SI I1(t)=AC φ(t) proporcional a I1(t) φ(t) senoidal dφ/dt es un coseno I2(t)=CA

TRANSFORMADOR

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INDUCCIÓN MAGNÉTICA (V)

Parámetros que definen el acoplamiento magnético A) Inductancia mutua : Dos bobinas (I1≠0 ; I2=0)

Bobina 1: I1≠0 Crea Φ1 (ver tema sobre CM) Φ2 = “parte” de Φ1 que llega a la bobina 2 (Φ2 ≤ Φ1) Bobina 2: Crea fem inducida NOTA: Los signos los analizaremos más tarde.

ε2 = N2dφ2

dt

OBJETIVO: Conocer ε2 en función de I1 Definimos M12= Inductancia mútua [Wb/A=Henry]

ε2 = M12dI1

dt= N2

dφ2

dt⇒ M12 = N2

dφ2

dI1

φ2 = cte⋅ I1 ⇒dφ2

dI1

= cte =φ2

I1

M12 =N2 ⋅ φ2

I1

⇒...

M sólo depende de la geometría del problema Simetría: M12=M21 Sólo M

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ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO (I)

B) Autoinducción : Una bobina (N vueltas e I≠0)

Bobina 1: Fuente de tensión I≠0 Crea Φ Si I(t)≠cte Φ≠cte Se “autoinduce”

Definimos L= Autoinducción [Wb/A=Henry]

A y B) Cálculo de M y L en un “Circuito Magnético” . Circuito Magnético (reluctancia R)+ 2 bobinas “juntas” Todo el flujo que sale de una bobina llega a la otra

ε = Ndφdt

ε = LdφdI

⇒ L =N ⋅ φ

I

⇒ φ2 = φ1 =N1⋅ I1

R⇒

M =N1⋅ N2

R

L1 =N1

2

R

NOTA: Siempre suponemos L=cte cierto en el “vacío” y aproximado en materiales ferromagnéticos ¿Por qué? Porque μ≠cte Reluctancia ≠cte (ver histéresis y curvas de magnetización) 10

ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO (II)

C) Coeficiente de Acoplamiento “k” : Dos bobinas con I1≠0 e I2≠0 ¿Flujos producidos por las intensidades I1 e I2 ? φ1 = flujo en la bobina 1, debido a todas las I φ11 = parte de φ1 que es debida a I1. φ12 = parte de φ1 que es debida a I2. φ1S = flujo de dispersión de la bobina 1 = parte del flujo debido a I1 que no pasa por la bobina 2 sino sólo por la bobina 1. Definimos φ m = flujo mutuo = flujo común a ambas bobinas debido a todas las I

DefinimosK1 =

φ21

φ11

K2 =φ12

φ22

⇒ k = K1⋅ K2

NOTAS: Miden el “aprovechamiento” de los flujos de las bobinas.

Ej. K1=fracción de flujo creado en “1” que llega a “2”

Por definición 0<K<1 Sin flujo de dispersión (caso ideal):: φ1S = 0 = φ11 - φ21K=1 Recordar definición de M y L ⇒

M = k L1⋅ L2

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ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO (III)

D) Inductancia de Dispersión :

NOTA: ¿Identidad fem ⇔ Vab ? ::: fem inducida = diferencia de potencial en terminales en circuito abierto. Bobina ideal (sin resistencia en sus devanados)=> la tensión V aplicada exteriormente a los terminales A y B se emplea sólo en vencer la fuerza electromotriz ε ε=V

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ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO (IV)

ECUACIONES DEL ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO ENTRE BOBINAS. A) Representación plana de bobinas: Terminales correspondientes

¿Signo del acoplamiento magnético?

Lentz I inducida en la bobina externa crea un flujo que se opone a la variación del flujo creado por la bobina interna. Depende del “enrollado”

Los puntos (uno en cada bobina) en el esquema plano ⇒un par de terminales que son correspondientes. Dos terminales (una en cada bobina) son correspondientes, si al entrar por ellos las respectivas intensidades, los flujos magnéticos transferidos entre las bobinas tienen el mismo sentido de circulación (es decir, sus flujos se suman). La regla del sacacorchos → los terminales correspondientes a partir del esquema 3D de las bobinas.

Busco dibujo “plano” que nos indique cómo están enrolladas las bobinas.

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ECUACIONES DEL ACOPLAMIENTO (I)

B) Ecuaciones del acoplamiento Muchas bobinas con I≠0 y dI/dt≠0 Cada bobina induce una tensión en si misma (L) y en la otra (M)

V1 = ±L1dI1

dt± M1 j

dI j

dt∑¿Signo de las tensiones inducidas? L dI/dt Conocido (ver Modulo 1) El terminal donde I “entra” tiene V mayor que donde “sale” I M dI/dt No queremos usar flujos magnéticos Regla de los “terminales correspondientes”

Si I1≠0 pero I2=0 : Una corriente que entra al terminal con punto de una bobina, produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la terminal con punto de la segunda bobina.

+

Regla de M: Si las dos I “entran” (o “salen”) en el punto, los sumandos con L y M han de tener el mismo signo. Si una I “entra” en su punto y la otra I “sale “ de su punto, la L y M tienen distinto signo entre si (se restan)

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ECUACIONES DEL ACOPLAMIENTO (II)

Recordar que en alterna (AC)

V1 = L1dI1

dt+ M

dI2

dt

V2 = L2dI2

dt+ M dI1

dt

⇒ AC ⇒V1 = jωL1⋅ I1 + jωM ⋅ I2

V2 = jωL2 ⋅ I2 + jωM ⋅ I1

dIdt

= jωI

Los SIGNOS de las ecuaciones dependen de las referencias tomadas para V e I

V1 = L1dI1

dt− M

dI2

dt

V2 = −L2dI2

dt+ M dI1

dt

⇒ AC ⇒V1 = jωL1⋅ I1 − jωM ⋅ I2

V2 = − jωL2 ⋅ I2 + jωM ⋅ I1

Regla de M: Si las dos I “entran” (o “salen”) en el punto, los sumandos con L y M han de tener el mismo signo. Si una I “entra” en su punto y la otra I “sale “ de su punto, la L y M tienen distinto signo entre si (se restan)

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ECUACIONES DEL ACOPLAMIENTO (III)

C) Ecuaciones del acoplamiento en función de los flujos magnéticos

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ECUACIONES DEL ACOPLAMIENTO (IV)

Acoplamiento en mallas contiguas: EQUIVALENTE EN T Dos bobinas acopladas en mallas contiguas (= con un terminal común) son equivalentes a tres bobinas sin acoplamiento magnético.

ACOPLADAS SIN ACOPLAR

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ACOPLAMIENTO EN MALLAS CONTIGUAS

CORRIENTES PARÁSITAS O DE FOUCAULT: Procesos de inducción en materiales ferromagnéticos.

RECORDAR : Flujo magnético variable Fuerza electromotriz (V) inducida

Masas metálicas sometidas a Φ variable Circulación de corrientes dentro del metal.

a) Metales móviles en B constante

EJEMPLO: freno por corrientes de Foucault = = Disco girando en B perpendicular a su

superficie (B confinado en el trozo negro) LENTZ I se opone al movimiento.

b) Metales en B variable con t (AC)

EJEMPLO: Transformador Se producen corientes en el plano

perpendicular a l a dirección del flujo LENTZ Crean flujo que se oponen al AC inicial. 18

CORRIENTES DE FOUCAULT (I)

Circulación de corrientes dentro del metal : Se pueden utilizar, pero

Por Lentz se “oponen” a la inducción magnética

Producen perdidas de energía por “calentamiento del metal.

Ke=cte del material f=frecuencia; Bm=max(B);

Pe = Ke f 2Bm2

¿SOLUCIÓN? Laminar el núcleo Aumenta el recorrido de I Para igual V menor I menor potencia disipada.

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CORRIENTES DE FOUCAULT (I)

RESUMEN Un campo magnético variable con el tiempo induce un

voltaje en una bobina de alambre si pasa a través de ésta (base del FUNCIONAMIENTO DEL TRANSFORMADOR).

Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (base del FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR).

Un conductor eléctrico que se mueve en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (base del FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR).

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