JSA 30 (1) somplern

นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตร

จะรจก Probability Function

สมเพลน เกษมรตนสนต

วารสารสงคมวทยามานษยวทยา 30 (1) มกราคม-มถนายน 2554

บทคดยอ

ความเขาใจในเรองรปแบบการแจกแจงขอมลในวชาสถต ถอเปนกญแจสำคญ

ดอกหนงในการสรางความเขาใจวชาสถตเบองตน อยางไรกตาม ตวรปแบบเองกมเรอง

ราวทางคณตศาสตรเขามาเกยวของพอสมควร เชน ฟงกชนความนาจะเปน (probability

functions) การหาอนพนธ (differentiation) การอนทกรล (integration) เปนตน จง

ทำใหเกดอปสรรคในการเขาใจ โดยเฉพาะอยางยง ถาเปนนกศกษาสายสงคมศาสตร ซง

ไมถนดวชาคณตศาสตร บทความนจงพยายามเขยนรปแบบการกระจายขอมลแบบ

เบองตน 2 รปแบบ ซงใชกนมาก คอ รปแบบการแจกแจงขอมล แบบโคงปกต (normal

distribution) และรปแบบการแจกแจงขอมลแบบทวนาม (binomial distribution)

โดยอธบายในแนวงายๆ ซงเพยงพอแกความเขาใจของนกศกษาสายสงคมศาสตรและ

สามารถนำไปใชได ตลอดจนหลกการการยมรปแบบการแจกแจงขอมลแบบโคงปกตมา

ใชในกรณทขอมลดงเดมไมไดกระจายเปนโคงปกต

abstract

The understanding of the probability distribution theory in statistics

is an important key for the introductory course to statistics. However, the

theory itself always involves, more or less, mathematical concepts, for

example, the probability function, differentiation, integration, and the like.

This is quite a barrier for students in social sciences to understand, since

they are not very keen in mathematics. This paper, thus, attempts to explain

two basic distributions including Normal Distribution theory and Binomial

Distribution theory in an easy manner hoping that students will be able to

understand and use them correctly. The explanation also includes the use

of the Normal Distribution theory borrowed by the data originally binomial

distributed.

118 สมเพลน เกษมรตนสนต

นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 119

1. ความเบองตน

การใชวชาสถตในทางปฏบตกคอการนำาเอาขอมลดบทเกบจากสนาม

หรอทบนทกไวแลวในเอกสารมาวเคราะหทางสถต ขอมลทเกบมาอาจเปนตวเลข

โดยตรง เชน ในการขายสนคาในราน วนท 1 ขายได 56.50 บาท วนท 2 ขายได

60 บาท วนท 3 ขายได 72.75 บาท เปนตน หรอเปนขอมลทอาจตองตความ

หมายของขอความใหเปนตวเลข เชน ถามผตอบ เหนดวยอยางยง กแปลงเปน

5 คะแนน เหนดวย ให 4 คะแนน เปนตน บางครงอาจมคำาตอบเรองเพศวา เปน

หญง 10 คน เปนชาย 8 คน กเอาเลข 10 หรอเลข 8 มาเปนขอมลดบ เหลาน

เปนตน ตวอยางทยกมาทงหมดน เราแยกขอมลไดเปน 2 ชนดใหญๆ ดงน

1. ตวแปรชนดตอเนอง (continuous variable)

ถาเราสนใจจะศกษาเรองความสงหรอนำาหนก อาจเรยกความสงหรอ

นำาหนกวาตวแปรและใชอกษร X แทนตวแปรดงกลาว สมมตมตวเลข 2 ตว ซง

เปนตวเลขจรงทมคาเปนบวก (real number)1 หรออาจเปนคา 0 กได ตวอยาง

เชน 5 กบ 32 ถาตวแปร X นมคาอยในชวง 5 ถง 32 (5 ≤ X ≤ 32)

คอเปนตวเลขใดๆ กไดทอยในชวงดงกลาว เชน 6, 9.118, 18.4557 หรอ

31.023689 เราจะเรยกตวแปร X นวาตวแปรตอเนอง คาทกคาของ X อยใน

ชวงดงกลาว ลกษณะนทำาใหไมมชองโหวระหวางคาของตวแปร X เพราะ X มคา

เปนทศนยมไดไมจำากดจำานวน นนคอคาของ X จากตวหนงไปยงอก ตวหนงจะ

เกดความหนาทบ (density) ตวแปรชนดนเรยกวาตวแปรชนดตอเนอง บางครง

นกวชาการจะกลาวถงตวแปรชนดนอยางงายๆ วา เปนตวแปรทนำามาชงตวงวด

ได นนคอวดเปนคาออกมาไดและมทศนยมได เราเขยนกราฟทมความตอเนอง

และไมมชวงวางบนเสนกราฟได ดงน

1 ตวเลขทไมเปน real number เชน √-1, 4 √-1 เปนตน

2. ตวแปรชนดไมตอเนอง (discrete variable)

สมมตวาหนงสอสถตเลมหนงระบเลขหนาไวตงแตหนาท 1 ถงหนา 1,019 ดงนน

คาของตวแปร X เชน การเปดหนาหนงสอเลมนเพอดเนอหาของหนงสอ จงเปนตวเลขทม

ขอบเขต (finite) เรมตงแตหนาท 1 ถงหนาท 1,019 ซงอาจจะไมเปดหนาเรยงกนกได เชน

เปดหนา 1 ไปหนา 2 ขามไปหนา 5 หนา 6 หนา 7 ไปเรอยๆ อยางไรกด ในการเปดแตละ

ครงจะไมปรากฏตวเลข 34.6 หรอ 1.1103 หรอตวเลขอนทมทศนยมขนเลย

อกตวอยางหนง สมมตใหมการดงไพจากสำารบหนง เมอดงแลวตองใสคนสำารบทก

ครงพรอมทงสบไพกอนการดงครงตอไป ใหตวแปร X คอการ ดงไพออกจากสำารบแลวจบได

ควนโพธแดง ดงนน X จงเปนจำานวนครงทดงไพแลวไดควนโพธแดง จงเปนไปไดวา X คอดง

ครงแรกแลวได หรอดงครงท 3 แลวได หรอดงครงท 21 แลวได หรอดงครงท 302 แลว

ได หรอดงครงท 5,000 แลวได หรอดงครงท 4 ลานแลวได หรอไมไดเลยแมแตครงเดยว

ตวอยางนแสดงใหเหนวา X เปนตวเลขทไมมขอบเขต แตสามารถนบจำานวนครงได (count-

ably infinite number of values) ทงสองตวอยางนแสดงใหเหนวาคาของตวแปรชนดน

จะเปนตวเลขจำานวนนบและไมมทศนยม กลาวอยางหลวมๆ ไดวา คาของตวเลขมชองวาง

ระหวางตวเลข ไมตดกนเปนพด จงมลกษณะเปน mass ไมเปน density เรยกตวแปรชนดน

วา ตวแปรไมตอเนอง

ไมวาจะเปนขอมลแบบตอเน องกด หรอแบบไมตอเน องกด ขอมลมความ-

กระจดกระจายพอสมควร กลาวคอ เปนตวเลขมากบาง นอยบาง แตกตางกนไป


2. ทฤษฎการแจกแจงความนาจะเปน (probability distribution theory)

ในทางสถต นกคณตสถตไดคดสรางทฤษฎการแจกแจงขอมลไวหลาย

รปแบบดวยกน เพอใหครอบคลมบรรดาขอมลดบทงหลายทมอยในโลกนเทา

ทเปนไปได แบงรปแบบการแจกแจงขอมลออกเปน 2 ชนดใหญๆ คอ รปแบบ

การแจกแจงขอมลแบบตอเนอง และรปแบบการแจกแจงขอมลแบบไมตอเนอง

เรยกรปแบบเหลานวา “ทฤษฎการแจกแจงความนาจะเปน” และทกๆ ทฤษฎก

จะม probability function กำากบอย (ถาเปนฟงกชนพชคณตธรรมดา จะไมม

คณสมบตคาความนาจะเปนตดตวอยกบฟงกชน)

ตวอยาง probability distribution theory ชนดกำากบขอมล แบบตอ-

เนอง (เชน นำาหนก รายได ความสง เปนตน) ไดแก normal distribution,

T–distribution และ 2–distribution เปนตน

ตวอยาง probability distribution theory ชนดกำากบขอมลแบบไมตอ

เนอง (เชน เพศ ศาสนา อาชพ เปนตน) ไดแก binomial distribution, multi-

nomial distribution และ Poisson distribution เปนตน

เมอทฤษฎรปแบบการแจกแจงขอมลเหลานมใหใชอยางมากมาย ก

หมายถงวา เมอมขอมลดบไมวาจะเปนขอมลทางสงคมศาสตรหรอขอมลทาง

วทยาศาสตรซงไดแยกตามประเภทขอมลแลว คอเปนขอมลประเภทตอเนอง ก

ด ประเภทไมตอเนองกด และกอนทจะนำามาวเคราะหทางสถตไดกตองดกอนวา

ขอมลทมอยนนอยภายใตการกำากบของทฤษฎการแจกแจงขอมลชนดใด เพอจะ

ไดใชคณสมบตของทฤษฎการแจกแจงขอมลนนๆ มาวเคราะหขอมลทเรามอย

เชน ใชสตรอะไร ใชสถตตารางอะไร ถาพบวาขอมลดบทไดมาอยภายใตกำากบ

ของทฤษฎใดทฤษฎหนงเรยบรอยแลว เราจงเรยกตวแปรของขอมลชดนวาเปน

random variable (ภาคผนวก x) นนคอ ถาตวแปรทเปนเพยง variable เฉยๆ

ยงนำามาวเคราะหทางสถตไมได ตวแปรตองเปน random variable2 เสยกอนถง

จะทำาการวเคราะหทางสถตได

2 โปรดดภาคผนวก ก


เรองนอปมาไดวา สมมตมประชาชนคนหนงตองการมความรจนไดรบ

ใบปรญญาบตร ประชาชนคนนกตองหาสงกดซงเปนมหาวทยาลยหรอวทยาลย

เพอเขาศกษา เมอหาไดและเขาเปนนกศกษาของมหาวทยาลยแหงหนงไดแลว

ประชาชนคนนหรอเรยกใหมไดวา นกศกษาผน (เทยบไดกบ random vari-

able) กตองทำาตามระเบยบขอบงคบวาดวยการศกษาเพอใหไดใบปรญญาบตร

เมอศกษาจนครบตามระเบยบ เขากจะไดรบใบปรญญาบตร ในทสด ถาเขายง

เขามหาวทยาลยไมได กยากแกการจะไดรบใบปรญญา ขอมลดบตางๆ กเปรยบ

เหมอนประชาชนคนน ตราบใดทยงไมทราบประเภทของขอมลและชนดของ

probability distribution theory ทสามารถกำากบขอมลชดนได ตราบนนกยง

วเคราะหทางสถตไมได เพราะไมทราบจะวเคราะหอยางไร นนคอ ตองใหขอมล

ดบชดนม probability distribution theory ทเหมาะสมกำากบขอมลชดนใหได

กอน เรยกอยางงายๆ วาขอมลชดนมการแจกแจงเปนแบบไหน การแจกแจงของ

ขอมลทกชนดจะม probability distribution function กำากบอย เมอหาพบแลว

จงทำาการวเคราะหทางสถตตอไปตามคณสมบตของแตละ probability distribu-

tion function

3. การแจกแจงแบบโคงปกต (normal distribution)

เราลองมาทำาความรจกกบการแจกแจงขอมลแบบทพดกนอยางตดปาก

วา “โคงปกต” กอน เพราะเปนทฤษฎการแจกแจงขอมลทเปนแบบพนฐานทสด

โดยทวๆ ไป ในการทำาวจยผวจยมกจะเกบตวอยาง เชน ประมาณ 100 คน หรอ

มากกวานนขนไปใหมาตอบแบบสอบถาม ในแบบสอบถามมกจะถามเกยวกบ

เรองรายได อาชพ หรอเพศ เปนตน เรองรายไดมกจะใหผตอบกรอกตวเลขเอง

แตเพศนน ผตอบอาจจะกากบาทวาเปนหญงหรอเปนชาย ตวแปรทงสองพอจะ

แยกประเภทไดวา รายไดเปนตวแปรแบบตอเนอง สวนเพศเปนตวแปรแบบไม

ตอเนอง ตวอยางทเกบมา 100 คนเปนอยางนอย ถอเปนตวอยางทมขนาดใหญ

พอสมควร จงพออนมานไดวาตวแปรรายไดนาจะกระจายเปนโคงปกตได (nor-

mal probability distribution theory) ซงเปนไปตามกฎของตวอยางขนาดใหญ

กฎนกลาววาถาตวอยางมขนาดใหญหรอใหญขน ใหญขน การกระจายของขอมล

กจะมแนวโนมกลายเปนเสนโคงปกตมากขน ดงนนจงควรนำาเรองการแจกแจง


แบบโคงปกตมาพจารณาดวามคณสมบตอะไรบางทนกวจยสามารถนำาไปใชได

การแจกแจงแบบโคงปกตจะม probability function ประจำาตวอย

และเนองจากเปน probability function ของตวแปรแบบตอเนอง นกคณตสถต

จงเรยกฟงกชนนอยางเตมยศวา normal probability density function สาม

คำาหลงเขยนเปนตวยอไดวา p.d.f. คำาวา density จะทำาใหทราบวาเปน ตวแปร

ชนดตอเนอง คอมความตอเนองระหวางคาของตวแปร ถาเปรยบเทยบเปนพนท

กจะทำาใหเกดพนทแนนทบ สมการนจะทำาใหเกดเสนโคงแบบระฆงควำา หางสอง

ขางลาดลงไปเทาๆ กน ไมมทสนสด มยอดสงเพยงยอดเดยว และมกฎเกณฑทาง

คณตศาสตรเปนฟงกชนดงน

∫ (x; µ, σ2) = 1 e

คา π = 3.14159 คา e = 2.71828

µ และ σ เปนคาพารามเตอร (คอคาสถตของกลมประชากร ประชากร

จะหมายถงคนกได สตวกได สงของกได แลวแตวานกวจยกำาลงทำาเรองเกยวกบ

อะไรอย) ถานำาเอาฟงกชนนมาวาดรป จะไดภาพดงน

หางของเสนโคงทงสองขางจะไปบรรจบพนราบท −∞ และ +∞ (ซงอยไกลมาก การวาดภาพจงตองเปดชองวางไวทงสองขาง) และเนองจากเปน


probability function จงกำาหนดคณสมบตวา พนทใตเสนโคงทงหมดคอตงแต

−∞ วงไปจนถง +∞ มคาเปน 1 เสมอ ถาตดสวนใดสวนหนงของภาพ

ออกมา คาพนทจะไมถง 1 คงเปนทศนยมเทานน และฟงกชนยงกำาหนดใหภาพ

น มความโดงหรอความสงเปนตวเลขคอ 3 มความเบเปน 0 คอไมเบเลย หาง

สองขางจะลาดออกไปเทาๆ กน

เราอาจจะสงสยวานกคณตสถตทำาอยางไรจงแปลงฟงกชนนใหเปน

รปกราฟดงทวาดไวแลวได เพอทบทวนความรเดมเกยวกบการวาดกราฟตาม

สมการพชคณต ใหดภาคผนวก ข ประกอบ แตสำาหรบ normal p.d.f. น เปน

สมการทยากกวาพชคณตมธยมทเคยเรยนมา จงนาจะทงประเดนความสงสยใน

เรองไดภาพนมาไดอยางไร โดยไววางใจในความถกตองและแมนยำาของนกคณต

สถตในการแปลงสมการมาเปนภาพ เพราะตรงนไมใชประเดนสำาคญทจะกลาวถง

สงทนาสนใจมากกวารปกราฟกคอคณสมบตอนๆ ทนำามาใชวเคราะหขอมล นก

คณตสถตกำาหนดวา

1. ถาขอมลกระจายเปนโคงปกตแลว การจะหาคาเฉลยใหใชสตร

2. การหาคาเบยงเบนมาตรฐานใหใชสตร

3. โดยปกตตวแปรทอยบนเสนแกน X ของกราฟ อาจเปนการกระจาย

ของคะแนนดบกได แตคะแนนดบอาจมคาไดกวางขวางมาก เชน คาทเปนตวเลข

นอยๆ ดงเชนนำาหนกของคนหนวยเปนกโลกรม นำาหนกสงสดคงไมเกนตวเลข 3

หลก หรอคาทเปนตวเลขมากๆ เชน รายได ซงมไดตงแตหลกรอยจนถงหลกแสน

ฉะนนแกน X ของกราฟเสนโคงปกตจงอาจรวบรวมตวเลขทกวางขวางหลาย

แบบหลายชนดเชนนใหเปนตวเลขทกะทดรดขน นนคอการเปลยนคะแนนดบทง


หลายใหเปนคะแนน z-score (คอคะแนนมาตรฐาน เรมตงแตเลข 0, 1, 2,

... ไปเรอยๆ และเปนคะแนนทไมมหนวย เพอใหขอมลทงหลายอยในมาตรฐาน

เดยวกน คะแนนมาตรฐานมทศนยมได เชน 0.23, 1.56, ...) การเปลยน

คะแนนดบเปนคะแนนมาตรฐานกทำาไดไมยาก เพยงนำาเอาขอมลดบแตละตวมา

เขาสตร

สำาหรบขอมลของกลมตวอยาง

สำาหรบขอมลของกลมประชากร

คา x และ S.D. (คาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง)

ใหคำานวณจาก

(ถาใชคา S.D. เปนคาประมาณของ σ ประชากร สตรจะเปลยนไปเปน

หารดวย n-1)

ดวยเหตนจงไดคา z ออกมาเปนคะแนน z-score ซงเลกกะทดรด โดย

ทวๆ ไปคา z-score จะวงอยระหวาง -∞ ถง +∞ แตขอมลดบตางๆ ทถก

แปลงเปน z-score แลว มกจะอยในชวงระหวาง -3 ถง +3 z-score ไมวา

ขอมลทเกบมาจะมขนาดตวอยางใหญโตมากมายเพยงใด เชน สมมตมขอมลชด

หนงเกบมา 500 คน (อาจเปนคานำาหนกหรอความสงหรอรายได ซงเปนตวแปร

แบบตอเนอง) เมอเอาขอมลเหลานมาคำานวณหาคาเฉลย ( x ) และหาคาเบยง

เบนมาตรฐาน (S.D.) ดงในสตรขางตน สมมตไดคาความสงของคนกลมนดงน

x = 162 เซนตเมตร S.D. = 3 เซนตเมตร

S.D. ซงเปนคาวดการกระจายเฉลยวาขอมลอยหางจาก x เปน 3


เซนตเมตรนน จะถกยกใหเปน 1 z-score เสมอ (แม S.D. จะมคาเปนตวเลข

ใดๆ กตาม เชน อาจเปนเรองรายได = 2,500 บาท หรอระยะทาง = 150

กโลเมตร กจะถกเทยบใหเทากบ 1 z-score เสมอ) นำาเสนอดวยภาพไดดงน

นกคณตสถตไดคำานวณพนทใตเสนโคงปกตออกมาดงน

พนททอยระหวาง -1 ถง +1 z-score มคา probability = 0.6826



ถาแปลงคา probability เหลานเปนเปอรเซนต จะมความหมายดงน

1. คนทสงระหวาง 159 ถง 165 เซนตเมตร ม 68.26 เปอรเซนต

ของจำานวนตวอยาง ถาตวอยางมขนาด 500 จะมคนทสงระหวาง 159 ถง 165

นวอยจำานวน 500 (68.26 ÷ 100) = 341.3 คน


ของจำานวนตวอยาง คดเปนจำานวนคนได 500 (95.44 ÷ 100) = 477.2 คน


ของจำานวนตวอยาง คดเปนจำานวนคนได 500 (99.74 ÷ 100) = 498.7 คน

ไมวาตวอยางทนำามาศกษาจะมอย 1,000 คนหรอใหญกวานกตาม

99.74 เปอรเซนตของตวอยางจะตกอยในชวง −3 ถง +3 z-score นจงเปน

เหตผลทเรามกจะเหนภาพเสนโคงปกตวาดไวเพยง 3 z-score ซายและขวา

เทานน เหตผลทคา z-score ขางซายของเสนโคงปกตเปนคาลบ เพราะคาของ


ตวแปรทอยทางซกซายของเสนโคงตองเปนคาทลดลง จงเอาคาของ S.D. ไปลบ

ออกจากคาเฉลยเสมอ

จากภาพ ทำาใหทราบวาถาเราเอาคา x บวกกบคา S.D. จะเปนคา

คะแนนดบทอยตรง 1 z-score ถาบวกกบ 2 เทาของคา S.D. จะมคาเปน

คะแนนดบทอยตรง 2 z-score หรอ x ลบกบคา S.D. จะเปนคาคะแนนดบ ทอยตรง −1 z-score และถาลบกบ 2 เทาของคา S.D. จะเปนคาคะแนนดบ ท

อยตรง −2 z-score เปนดงนไปเรอยๆ

ถามคะแนนดบเปน 63 จะคดเปนคา z-score ไดอยางไร นนคอ

นกศกษาตองเอาคะแนนดบ 63 ไปใสในสตร z-score นนเอง

ปญหาตอไปกคอ นกคณตสถตกำาหนดตวเลข 0.6826 หรอ 0.9544

หรอ 0.9974 ไดอยางไร คำาตอบทสนทสดกคอ คำานวณมาจากฟงกชนทกำาหนด

ความโคงของเสนโคงปกตนนเอง สมการ normal probability density function

เปนดงน

คำานวณไดดงน

ในการหาคาความนาจะเปนของสมการ normal p.d.f. ตองอาศยสตร

2 สตรคอ

1. อาศยหลกของ Taylor’s series


2. อาศยหลกการ integration ซงมเครองหมายคลายตว s แตเขยน

ยดๆ มความหมายวา “รวม” แตการรวมแบบ integrate จะรวมเอาพนท ทก

หยอมหญา ไมมชองวางใหเหลออยเลย จงเหมาะกบการคดหาคา ความนาจะ

เปนจากจดหนงไปอกจดหนง โดยระยะหางของทงสองจดจะไมมชองวางใดแทรก

อยเลย ซงเหมาะกบตวแปรแบบตอเนอง คอมคาทศนยม ทตดตอกนได เปนแพ

มสตรทตองใชดงน

สมการ normal เขยนใหมไดดงน

…(เปลยนกำาลงของคา e ให

เปนคา z-score)

ซง

ดงนน ถาหาคาความนาจะเปนของ z-score ทเรมตงแตคา 0 ถง 1

z-score จะคำานวณไดดงน

=

=


ขอความทางคณตศาสตรทกลาวมาทงหมด เปนเรองทนกศกษา สาย

สงคมศาสตรไมอยากอานเอาเสยเลย หากถงตรงนศกษาแลวไมเขาใจ กไมเปนไร

ขอแตเพยงใหสรปไดดงนกพอแลว

1. ใหอานตวเลขเพยงผานๆ ไป และจดจำาเฉพาะผลลพธ คอตวเลข

0.3413 โดยยอมรบวาผลลพธนเปนตวเลขทนกคณตศาสตรคดออกมาอยางถก

ตองแลว เปนตวเลขทคดมาจาก normal p.d.f. ในชวง z-score ตงแต 0 ถง 1

จงเปนคาความนาจะเปนของชวงพนทดงกลาว ดงรป

2. เนองจากเสนโคงปกตทงสองขางจากจดทม z-score = 0 มความ

ลาดชนเทากน ดงนนคาความนาจะเปนของชวง -1 ถง 0 จงเทากบ 0.3413

เหมอนกน ถาเราเอาสองขางมาบวกกนจะได 0.6826 จงตอบคำาถามทตงเอาไว

วานกคณตสถตหาคา 0.6826 มาไดอยางไร คาอนๆ คอ 0.9544 และ 0.9974

กหาไดเชนกน

3. ถาเราเปดตารางพนทใตเสนโคงปกต (ภาคผนวก ค) จะเหนวา

ตารางนประกอบดวยคา z-score ตงแต 0 ถง 3.9 ในคอลมนแรก และ 0 ถง 9

ในแถวนอนแรกซงเปนคาทศนยมตำาแหนงท 2 ตอจากคอลมนแรก ถาดจากคา

z-score ในคอลมนแรก โดยวงลงมาทตวเลข 1.0 และมองถดไปอก 1 คอลมน


คอคอลมนท 0 จะเหนคา 0.3413 ซงเทากบทคำานวณใหดแลว

4. ตารางนหาคาความนาจะเปนใหกบทกๆ คาของ z-score หมดแลว

ตงแตคา 0 ถง 3.9 ผใชจงเลอกใชเอาโดยอานจากตาราง ไมตองคดคำานวณเอง

เหมอนททำาใหดเปนตวอยาง เนองจากตารางนเปนตารางของคา z-score กบ

คาความนาจะเปน ถาทราบคา z-score กไปอานคาความนาจะเปนได หรอถา

ทราบคาความนาจะเปน กอานยอนกลบมาเปนคา z-score ได

5. ตารางนเปนการอานคาความนาจะเปนตงแตคา z-score = 0 ออก

ไปทางหางขวาของรปจนถงคา z-score ทเราตองการ สงเกตไดจากคา z-score

= 0 มคา probability = 0 แปลวายงไมมพนทเลย จงเปนตารางทบอกพนททวง

จากจดกงกลางออกไปทางปลายหางขวา (ดภาคผนวก ค)

ยงมตารางชนดอนทอานพนทจากปลายหางขวา (+∞) วงเขาหา

เสน z-score = 0 ถาอานจากตารางนท z-score = 0 จะไดคา probability =

0.5000 และถาอานคา z-score = 1 จะไดคา probability = 0.1587 จากรป

กคอพนทนอกแรเงาดานขวา ซงถาตองการพนทแรเงากใหเอาคา 0.1587 ไปลบ

ออกจาก 0.5000 กจะได 0.3413 ซงเทากบพนทแรเงาขางบน (ดภาคผนวก ง)

สดทายคอยงมตารางอกชนดหนงทอานพนทตงแตหางซายโดยเรมท

-3.5 ไลไปจนถงปลายหางขวาคอคา +3.5 เปนพนทสะสมไปเรอย แตไมคอย

เปนทนยมใชมากนก (ดภาคผนวก จ) ฉะนน เมอหยบตารางพนทใตเสนโคงปกต

ออกมาใช ตองตรวจดชนดของตารางใหเรยบรอยกอนวาเปนแบบไหน จงจะใชได

อยางถกตอง


6. การหาคาความนาจะเปนไมไดหาไดจาก probability function แบบ

งายๆ เทานน (จำานวนความถของแตละอนตรภาคชน หารดวยจำานวนความถ

ทงหมด) แตหาจาก probability function ทคดจากกฎเกณฑทางคณตศาสตรท

ยากขนดงเชน normal probability function ดงตวอยางทกลาวมาทงหมด ซง

กอาศยตารางพนทใตเสนโคงปกตในการหาคาความนาจะเปนโดยไมตองคำานวณ

เอง

7. ขอมลดบใดๆ ทไมไดเปนตวแปรชนดตอเนอง และไมไดกระจายเปน

โคงปกต จะใชสตรเหลานไมได และจะหาคาความนาจะเปนโดยใชตาราง “พนท

ใตเสนโคงปกต” กไมไดเชนกน

8. จากการอานตารางพนทใตเสนโคงปกต สมมตวาดท z-score =

2.15 กจะไดคา probability = 0.4838 แสดงวาเปนคาความนาจะเปนของ z-

score ตงแต 0 วงถง 2.15 จงเปนคาความนาจะเปนทมาจากชวงของขอมลท

อยตรง 0 z-score ถงขอมลทอยตรง 2.15 z-score ไมใชเปนคาความ นาจะ

เปนเฉพาะของขอมลทอยตรงจด 2.15 z-score ดงนนการหาคาความนาจะเปน

ของขอมลแบบตอเนอง ณ จดใดจดหนงจงหาไมได ซงกคอ 0 นนเอง ตองหาเปน

ชวงๆ จงจะหาได ซงจะเหนจากตารางวาคาความนาจะเปนท z-score = 0.0 จะ

เทากบ 0.0000 (ตารางภาคผนวก ค)

มาถงจดนอาจสงสยวาขอความเบองตนทงหมดนนจะมประโยชน

อยางไร เปาหมายใหญของวชาสถตยอมตองนำาไปใชกบการวางแผนหรอสราง


นโยบาย แตกวาจะถงขนนนไดกยงตองทราบหลกการทางสถตตอไปอก ทวา

ความรในขนนกสามารถแกโจทยหรอทำาโจทยทางสถตไดในระดบหนง เพอความ

เขาใจมากยงขน นาจะลองศกษา probability function ของตวแปรแบบขาดชวง

อกหนงฟงกชนจากนนจงคอยดตวอยางโจทยเปรยบเทยบกน และวธแกโจทย

เปนลำาดบตอไป

ขอสรปทสำาคญของการแจกแจงแบบโคงปกต

จรงๆ แลวการแจกแจงขอมลแบบโคงปกตเปนฟงกชนทางคณตศาสตร

ทเปนทฤษฎขนบรสทธ (pure theory) ไมไดเกดจากขอเทจจรงทไดมาจากการ

สงเกตการณในธรรมชาต อยางไรกตาม การแจกแจงแบบโคงปกตกมประโยชน

อยางมากมายในสถตแบบอางอง มเหตผลอยางนอย 4 ขอในการอธบายเรองน

1. ประชากรชดหนงอาจถกยอมรบวาแจกแจงเปนโคงปกตกเพราะเปน

สงทรบรหรอสมมตวาเปนจรง ซงจรงๆ แลวอาจเปนการแจกแจงแบบอน แตคด

กนวาการแจกแจงนนเปนโคงปกต ตวอยางเชน ความสงของคนกลมใหญกลม

หนงกอตวเปนรปแบบของโคงปกตโดยประมาณ การวด IQ หรอนำาหนกของคน

กเชนกน มความเขาใจกนวาแจกแจงเปนโคงปกต แมความคดเชนน โดดเดนใน

ศตวรรษท 19 แตกฎเกณฑทางคณตศาสตรของโคงปกตไมไดเกดจากกฎทมา

จากธรรมชาต (nature’s rule) การแจกแจงหลายชนดทมความคลายคลงกบ

การแจกแจงแบบโคงปกตเกดขนไดในหลายสาขาวชานอกเหนอจากทางชววทยา

ดงกลาวแลวขางตน

2. อาจเปนเรองของความสะดวก (บนพนฐานทางคณตศาสตร) ท

สมมตวาประชากรแจกแจงเปนโคงปกต เพราะฟงกชนของโคงปกตมคณสมบต

ทางคณตศาสตรทสำาคญๆ ซงทฤษฎการแจกแจงชนดอนๆ ไมม การสมมตวา

ขอมลแจกแจงเปนโคงปกตทำาใหไดรบผลทางคณตศาสตรมากมายในการพฒนา

วธอนๆ ได ปญหาทางสถตอนหลากหลายสามารถหาคำาตอบไดถาประชากร

แจกแจงเปนโคงปกต โคงปกตยงเปนแมบทของการแจกแจงชนดอนๆ ในวชา

สถต แมแตการประยกตใชวธทางสถตตางๆ กพฒนาขนมาไดโดยใชทฤษฎของ

โคงปกต แมวาสมมตฐานของโคงปกตไมเปนจรง

3. การแจกแจงแบบโคงปกตใหบรการในดานการประมาณคาความนา


จะเปนทดกบทฤษฎการแจกแจงขอมลชนดอนๆ ได ถาการหาคาความนาจะเปน

ของทฤษฎอนๆ มความยงยากและทำางานลำาบาก ตวอยางเชน การแจกแจงแบบ

โคงปกตใหคาความนาจะเปนโดยประมาณทดแกขอมลทแจกแจงแบบไมตอเนอง

(binomial) ภายใตเงอนไขบางประการ เชน ให n มขนาดใหญ เปนตน

4. ขอนเปนเรองความเกยวเนองอยางใกลชดระหวางขนาดของกลม

ตวอยาง (n) กบเรองราวของ sampling distribution ทวงเขาใกลรปแบบของ

โคงปกต3 กลาวคอ sampling distribution ทกลมตวอยางมขนาดใหญจะมการ

แจกแจงแบบโคงปกต แมประชากรของกลมตวอยางจะไมกระจายเปนโคงปกต

กตาม เรยกกฎนวา Central Limit Theorem กฎขอนเปนขอสำาคญและเปนหลก

การทเปนประโยชนมาก กฎนไดมาจากทฤษฎการแจกแจงแบบโคงปกต และนำา

ไปทดสอบสมมตฐานกบการประมาณคาแบบชวงทใชกนอยางแพรหลาย

4. การแจกแจงแบบทวนาม (binomial distribution)

ในการสรางแบบสอบถาม ผวจยคงตองมคำาถามเกยวกบคณสมบตของ

ผตอบบาง เชน เพศ เปนชายหรอเปนหญง ทำางานหรอไม ภมลำาเนาเดม อย

จงหวดอะไร เปนตน ผตอบตองเลอกตอบเอาตามคณสมบตของตวเขา เชน เปน

3 sampling distribution หมายถงการกระจายของคาสถต เชน คาเฉลย คาเบยง

เบนมาตรฐานของกลมตวอยางทเปนไปไดทงหมด ไมวาจะสมแบบใสคนหรอไมใสคนกอนสม

ครงตอไปกตาม ตวอยางเชน สมมตมประชากรหนงประชากร ประกอบดวยขอมล 5 ตว คอ

2.2, 3.8, 4, 5.4 และ 6.6 ถาสมตวอยางมาขนาด 2 โดยใชวธสมแลวไมใสคน จะมจำานวน

ตวอยางทงหมด 10 ตวอยางดงน

2.2, 3.8 มคาเฉลย = 3 2.2, 4 มคาเฉลย = 3.1 2.2, 5.4 มคาเฉลย = 3.8

2.2, 6.6 มคาเฉลย = 4.4 3.8, 4 มคาเฉลย = 3.9 3.8, 5.4 มคาเฉลย = 4.6

3.8, 6.6 มคาเฉลย = 5.2 4, 5.4 มคาเฉลย = 4.7 4, 6.6 มคาเฉลย = 5.3

5.4, 6.6 มคาเฉลย = 6

จากนนใหนำาเอาคาเฉลยทงหมด 10 ตวมาเขยนบนเสนตรงทเปนแกน X ในกรณ

นพบวาไมมคาเฉลยตวใดทมคาซำากนเลย จงยงไมเกดเสนโคงทเรยกวาเสนโคงปกต ถาเพม

ขนาดตวอยางใหใหญขนและถาใชวธสมแลวใสคนกจะทำาใหมจำานวนตวอยางมากขน ซงจะ

ทำาใหเกดคาเฉลยของตวอยางมคาซำาๆ กนหลายตว คาเฉลยทงหมดจะกอตวเปนเสนโคงปกต

เราเรยกเสนกราฟนใหมวา sampling distribution


ชาย ทำางานแลว อยจงหวดลำาปาง คำาตอบเหลานจะมลกษณะเปนตวแปรแบบ

ไมตอเนอง เปนชายกเปนชาย เปนหญงกเปนหญง ถาหากมจำานวนชายอย 3

คน และหญง 5 คน ตวเลขทนำามาใชจงเปนจำานวนนบคอเลข 3 หรอเลข 5

ไมสามารถวดเปนคาทมทศนยมได โดยทวๆ ไปนกคณตศาสตรจงคด proba-

bility function ทเปนพนฐานทสดหรอเปนเบองตนทสดของตวแปรแบบไมตอ

เนอง เรยกวา binomial probability mass function

binomial p.m.f. มฟงกชนดงน

p (x; n, p) = ⁿcx px q⁽ⁿ-x) (ม n และ p เปนคาสถตของประชากร

หรอเรยกวา parameter)

binomial p.m.f. เปนฟงกชนซงใชแทนการแจกแจงขอมลใดๆ ทเปน

แบบไมตอเนองและมเหตการณ 2 อยางประกอบกน เชน คนในโลกนม 2 เพศ

คอชายกบหญง ถาจะวเคราะหขอมลโดยสนใจเพศชายเปนเกณฑ กใช p แทน

เพศชาย ดงนน q กถกใชแทนเพศหญง (เรยก p วาเปนเหตการณทเปน suc-

cess เรยก q วาเปนเหตการณทเปน failure ตามปกต p+q = 1 เสมอ) ถา

ขอมลทเกบมาม 3 อาชพ เชน บางคนเปนคร บางคนเปนหมอ และบางคนเปน

ทนายความ หากงานวจยนนสนใจอาชพหมอ ใหหมอเปนตวยน กจะใช p แทน

อาชพหมอ และ q แทนอาชพอนๆ (คอครและทนายความ) เปนตน

ⁿcx เปนสตรของ combination คอ =

ถากลมตวอยาง (n) ม 5 คน และสมมาเพยง (x) 2 คน โดยสมแลวไมใสคน จะคำานวณออกมาไดดงน

5! อานวา 5 factorial มความหมายวาใหเอาตวเลข 5 คณตวเลข ท

ลดลงจาก 5 หนงคาคอ 4 คณตวเลขทลดลงจาก 4 หนงคาคอ 3 คณแบบนไป

เรอยจนกระทงถงเลข 1


หมายความวา จำานวนรปแบบทคน 5 คนจะถกสมออกมาทละ 2 คน

จะไดรปแบบทไมซำากนเลย ม 10 รปแบบ เชน สมมตใหคนทง 5 คน ชอ ก ข ค

ง และ จ สมทละ 2 คนไดคตางๆ ดงน กข กค กง กจ ขค ขง ขจ คง คจ และ งจ

p และ q เปนคาความนาจะเปนเบองแรกซงผทำาวจยตองทราบเสย

กอน เชน โอกาสเกดของเดกหญงในโลกน = 0.5 ของชายก = 0.5 เชนกน

โอกาสเกดหนา 1 แตมของลกเตาเทยงตรง = ¹/₆ ดงนน โอกาสเกดหนาอนๆ

ของลกเตานจะ = ⁵/₆ และ p + q ตอง = 1 เสมอ

คำาถามมกเกดขนวา จะทราบคาความนาจะเปนเบองแรกไดอยางไร คำา

ตอบกคอ สวนใหญจะทราบจากเหตการณทเกดซำาๆ กนหลายๆ ครงและหาคา

เฉลยออกมาเปนตวเลขได (relative frequency definition of probability) เชน

โอกาสเกดหวหรอกอยของสตางค 1 อนจะเทากน (ตางกเทากบ 0.5) โอกาส

เกดของเดกหญงและเดกชายจะเทากนคอ 0.5 บางครงเมอดจากบนทกเกาๆ ก

ทำาใหพอทราบได บางครงถาทำาวจยซำาๆ กนหลายๆ ครง ไดตวเลขตรงกนตลอด

มา กทำาใหทราบไดเชนกน หรองายทสดกคอการอานจากโจทย หรอโจทยบอก

ใหนนเอง เมอแทนคาตางๆ ลงใน probability function ตวเลข ทไดมาจงเปน

คาความนาจะเปนตวใหมซงเราตองการทราบ ตวอยางเชน ในครอบครวทมบตร

2 คน โดยปกตรปแบบทบตร 2 คนจะเกดเปนเพศชายหรอหญงเปนดงน (ชาย,

ชาย) (ชาย, หญง) (หญง, ชาย) (หญง, หญง) ดงนนผวจยอยากทราบคาความ

นาจะเปนการเกดของเดกหญงในครอบครวทมบตร 2 คน ตามรปแบบการกระ

จายดงบรรทดบนจงตองใช binomial p.m.f. หาคาความนาจะเปนดงกลาวดงน

จำานวนบตรหญง ⁿcx px q⁽ⁿ-x) คาความนาจะเปน คนท 1คนท 2

0 4

ชาย ชาย

4 คา ทไดมาจาก คำานวณไดดงน

เทอมอนๆ กหาคาไดในทำานองเดยวกน


1 หญง ชาย

2 หญง หญง

คาความนาจะเปนตวใหมซงคำานวณไดจาก binomial p.m.f. จะตความ

หมายดงน

คา ¼ ของครอบครวทมบตรหญง 0 คน หมายความวาโอกาสท

ครอบครวครอบครวหนงมบตร 2 คน และไดบตรเปนชายทงหมด จะมเพยง ¼ จากจำานวนเตมคอ 1

คา ²⁄₄ หมายความวา โอกาสทบตรทงสองจะเปนชายหนงคน เปนหญง

หนงคน เปน ²⁄₄ จากจำานวนเตม 1 ซงกคอเปนบตรชายหนงและเปนบตรหญง

หนง มโอกาสเปนไปไดมากกวาเปนบตรชายทงคหรอเปนบตรหญงทงค

สงเกตไดวา คาความนาจะเปนทเกดขนทงหมดรวมกน (¼ + ²⁄₄ +

¼) ยอมเทากบ 1 เสมอ ซงกคลายกบการกระจายแบบ normal คอพนทใต

เสนโคงรวมกนทงหมด = 1 แตขอมลแบบ binomial เปนการกระจายแบบ ไม

ตอเนอง (ไมมทศนยม) การรวมกนของคาความนาจะเปนของเหตการณทงหมด

จงใชเครองหมาย summation (∑) และ probability function กคำานวณไดงาย

กวาการกระจายแบบโคงปกต อยางไรกตาม ขอแตกตางทเหนไดชดเจนเปนดงน

1. การหาคาเฉลยของขอมลแบบ binomial ใชสตร

คาเบยงเบนใชสตร

n คอ ขนาดตวอยาง

p คอ คาความนาจะเปนเบองแรกซงหาไวแลว

q คอ 1- p


2. ไมมการยอขนาดของขอมลดบใหกลายเปน z-score ไมวา n จะใหญ

โตเพยงไร ดงนน z-score จงเปนการรวบรวมขอมลใหเลกลง ทำาใหเหลอการกระ

จายหางออกไปจากเสนตรงกลางของโคงปกต (z-score = 0) เปน 3 z-score

ทางซาย (ปกตจะมคาเปนลบ เพราะคาลบจะทำาใหคะแนนดบมคาลดลง) และ 3

z-score ทางขวา ดงนนคา z-score จงเปนเรองของ เสนโคงปกตแตอยางเดยว

ไมเกยวกบการแจกแจงแบบ binomial (รวมทงการแจกแจงแบบอนๆ ดวย)

3. ดวยเหตผลของขอ 2 ถาลองเปดตารางคาความนาจะเปนของ bi-

nomial p.m.f. จะพบวานกสถตไดคำานวณคาความนาจะเปนไวโดยกำาหนด n ม

คาตงแต 1 ถง 20 ซงตองใชหนากระดาษถง 4 หนา (ดภาคผนวก จ1-จ4) ถา

n ใหญกวานกจะใชหนากระดาษเพมขน ซงกไมมใครคำานวณไว ถา n มขนาดใหญ

กวา 20 ผวจยจะตองคำานวณเอง หรอมฉะนนกใหหาคาความ นาจะเปนโดยอาศย

ตารางหาคาความนาจะเปนของโคงปกตแทน เรยกวา binomial approximation

to normal ซงสะดวกกวามาก แตตองทำาตามเงอนไขทกำาหนดไวบางอยาง (จะ

กลาวตอและยกตวอยางใหเหนในภายหลง)

เพอใหเกดความชดเจนมากยงขน ใหพจารณาตวอยางโจทยสก 2 ขอ

เปรยบเทยบกน รวมทงแกโจทยและตอบคำาถามทโจทยถาม

1. ชายคนหนงตองเดนทางจากบานทอยนอกเมองไปทำางานใน

เมอง โดยเดนทางเฉลย 24 นาท มคาเบยงเบนมาตรฐาน = 3.8

นาท ใหการเดนทางเปนการแจกแจงแบบโคงปกต

ก. จงหาความนาจะเปนทการเดนทางจากบานจะใช

เวลาอยางนอยครงชวโมง

ข. ถาททำางานเรมงานเวลา 9 โมงเชา และเขาออก

จากบานเวลา 8.45 น. จงหาความนาจะเปนทเขา

จะไปทำางานสาย

2. สมมต 15% ของตนไมในปาดบชนมใบไมไดรบความเสยหาย

เนองจากมลภาวะอากาศ ถาสมตนไมมา 5 ตน จงหา

ก. ความนาจะเปนทใบไมไดรบความเสยหาย 3 ตน

ข. คาเฉลยของตนไมทมใบเสยหาย


ถาพจารณาโจทยทงสองขอ จะสงเกตเหนขอแตกตางกนดงน

ในขอทหนง ตวแปรเปนเรองของเวลา นบเปนชวโมงและนาทได

เปนตวแปรแบบตอเนอง และขอความในโจทยระบชดเจนวา “ใหการเดนทาง

แจกแจงเปนโคงปกต” คณสมบตทงสองอยางของขอมลชดนจงถกกำากบโดย

normal p.d.f. ดงนนการคำานวณหาคาความนาจะเปนตามทโจทยถามจงอาศย

ตารางพนทใตเสนโคงปกตซงไมตองคำานวณเองจาก probability function และ

อาศยสตร z-score ซงเปนคณสมบตของ normal p.d.f. นได

สวนในขอสอง เปนเรองของการสมเอาตนไมมาพนจพเคราะห ตองสม

มาเปนตนๆ ไมสามารถสมเพยงครงตนหรอ ¼ ของตนได ขอมลแบบนจงเปน

ขอมลไมตอเนอง ทงยงไมมขอความใดๆ ทระบวาเปนการแจกแจงแบบโคงปกต

แตกลบมขอความกลาววา 15% ของตนไมในปาดบชนมใบไมไดรบความเสยหาย

จากมลภาวะ ยอมแสดงวายงมตนไมอกจำานวน 85% ทไมไดรบความเสยหาย

เรองนจงเปนเหตการณสองอยางประกอบกน ลกษณะขอมลแบบน จงเขาขาย

การแจกแจงแบบ binomial และสามารถอยภายใตกำากบของ binomial p.m.f.

ได การหาคาความนาจะเปนจงตองใช probability function ของ binomial และ

การหาคาเฉลยกตองใชสตรของ binomial เชนกน

ในการเรยนสถตขนพนฐาน ผเรยนยงเรยนเนอหาวชาไมมากนก จงยง

ไมอาจทดสอบขอมลดวยตนเองวาขอมลทไดมามรปแบบการแจกแจงเปนแบบใด

ม probability function ชนดใดเปนตวกำากบ โจทยจงมกจะบอกขอเทจจรง ตรง

นให ถาเราจบขอเทจจรงตรงนจากโจทยได กจะเปนการงายในการแกโจทยเปน

อยางมาก การแกโจทยหรอตอบคำาถามโจทยทำาไดดงน

ขอ 1. คาเฉลยในการเดนทาง (x) = 24 นาท

คาเบยงเบนมาตรฐานของการเดนทาง (S.D.) = 3.8 นาท

ขอ ก. ใหหาความนาจะเปนทการเดนทางจากบานจะใชเวลาอยางนอย

30 นาท ถาวาดรปจะไดดงน

สงทโจทยถามคอพนทหรอคาความนาจะเปนในสวนพนทแรเงา

การวเคราะห: การใชตารางพนทใตเสนโคงปกตหาคาความนาจะเปน


ถาพจารณาโจทยทงสองขอ จะสงเกตเหนขอแตกตางกนดงน

ในขอทหนง ตวแปรเปนเรองของเวลา นบเปนชวโมงและนาทได

เปนตวแปรแบบตอเนอง และขอความในโจทยระบชดเจนวา “ใหการเดนทาง

แจกแจงเปนโคงปกต” คณสมบตทงสองอยางของขอมลชดนจงถกกำากบโดย

normal p.d.f. ดงนนการคำานวณหาคาความนาจะเปนตามทโจทยถามจงอาศย

ตารางพนทใตเสนโคงปกตซงไมตองคำานวณเองจาก probability function และ

อาศยสตร z-score ซงเปนคณสมบตของ normal p.d.f. นได

สวนในขอสอง เปนเรองของการสมเอาตนไมมาพนจพเคราะห ตองสม

มาเปนตนๆ ไมสามารถสมเพยงครงตนหรอ ¼ ของตนได ขอมลแบบนจงเปน

ขอมลไมตอเนอง ทงยงไมมขอความใดๆ ทระบวาเปนการแจกแจงแบบโคงปกต

แตกลบมขอความกลาววา 15% ของตนไมในปาดบชนมใบไมไดรบความเสยหาย

จากมลภาวะ ยอมแสดงวายงมตนไมอกจำานวน 85% ทไมไดรบความเสยหาย

เรองนจงเปนเหตการณสองอยางประกอบกน ลกษณะขอมลแบบน จงเขาขาย

การแจกแจงแบบ binomial และสามารถอยภายใตกำากบของ binomial p.m.f.

ได การหาคาความนาจะเปนจงตองใช probability function ของ binomial และ

การหาคาเฉลยกตองใชสตรของ binomial เชนกน

ในการเรยนสถตขนพนฐาน ผเรยนยงเรยนเนอหาวชาไมมากนก จงยง

ไมอาจทดสอบขอมลดวยตนเองวาขอมลทไดมามรปแบบการแจกแจงเปนแบบใด

ม probability function ชนดใดเปนตวกำากบ โจทยจงมกจะบอกขอเทจจรง ตรง

นให ถาเราจบขอเทจจรงตรงนจากโจทยได กจะเปนการงายในการแกโจทยเปน

อยางมาก การแกโจทยหรอตอบคำาถามโจทยทำาไดดงน

ขอ 1. คาเฉลยในการเดนทาง (x) = 24 นาท

คาเบยงเบนมาตรฐานของการเดนทาง (S.D.) = 3.8 นาท

ขอ ก. ใหหาความนาจะเปนทการเดนทางจากบานจะใชเวลาอยางนอย

30 นาท ถาวาดรปจะไดดงน

สงทโจทยถามคอพนทหรอคาความนาจะเปนในสวนพนทแรเงา

การวเคราะห: การใชตารางพนทใตเสนโคงปกตหาคาความนาจะเปน

จำาเปนตองอานคา z-score ในคอลมนแรกเขาไปในคอลมนตอๆ ไป สดแลวแต

วาทศนยมในตำาแหนงทสองของคา z-score จะปรากฏเปนตวเลขอะไร กใหไป

ทคอลมนนนซงทหวคอลมนมเลขตรงกน แลวอานคาความนาจะเปนออกมา ดง

นนจงตองแปลงคาตางๆ ทโจทยกำาหนดให เปนคา z-score โดยทำาดงน

จากนนจงนำาคา z-score ไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกต

กรณทใชตารางในภาคผนวกหนา ค ใหอานคา z-score = 1.5 ใน

คอลมนแรก และวงเขาไปทคอลมนท 10 ซงมหวคอลมนเขยนไววาเปนเลข 8

ซงเปนทศนยมตำาแหนงทสอง จงอานคาความนาจะเปนได 0.4429 ถาด ในรป

กจะเปนคาท xi อยระหวาง 24 ถง 30 นาท เพราะตารางนอานคาความนาจะ

เปนทเรมตรงกงกลางของเสนโคงตรงจดทคา z-score = 0 ออกไปทางหางขวา

คอคา +∞ ดงนน คำาตอบของขอ ก. นจงตองเอาคา 0.4429 ไปลบออกจาก

0.5000 ซงเปนพนทครงหนงของเสนโคงปกต จะได = 0.0571 นนคอ ความนา

จะเปนทการเดนทางจากบานจะใชเวลาอยางนอย 30 นาท เปน 0.0571

ในกรณทใชตารางในภาคผนวกหนา ง ถาอานคา z-score ดงทคำานวณ

ออกมาได (1.58) จะไดคำาตอบโดยตรงคอ 0.0571 เพราะตารางนบอกคาความ

นาจะเปนหรอกคอคาพนทใตเสนโคงปกต จากทางสดหางขวา (+∞) เขามาสคา z-score ทเรากำาลงเปดด (1.58) จงไดคำาตอบพอด


ขอ ข. หมายความวา เขามเวลาเดนทางไดเพยง 15 นาท กถงเวลา

เขางานแลว (9.00 น.) ซงจรงๆ แลว ณ เวลา 9.00 น. นน ชายผนกำาลงเดน

ทางอย เพราะโดยเฉลยเขาตองใชเวลาเดนทางถง 24 นาท และเมอเปนคาเฉลย

ของทกๆ วนจงตความไดวา ถามเวลาเดนทางถง 24 นาท เขาจะไมไปทำางาน

สาย ดงนน คาความนาจะเปนของการไปทำางานสายจงอยระหวาง 15 ถง 24

นาท ดงรป

จงหาคาความนาจะเปนไดดงน

คดเปนคาความนาจะเปนโดยเปดจากตารางภาคผนวก ค = 0.2518

ในขอ 2. เขาสมตนไมมา 15 ตน ใหหาความนาจะเปนทจะพบใบไม ท

ไดรบความเสยหาย 3 ตน จากการวเคราะหแลวทราบวาขอ 2 นตองอยภายใต

กำากบของ binomial p.m.f. จงใชสตรในการหาคาความนาจะเปนดงน คอ

p(x) = ⁿcx px q⁽ⁿ-x)

p คอคาความนาจะเปนเบองแรก ซงโจทยบอกวา 15% ของตนไมใน

ปาดบชนมใบไมทไดรบความเสยหาย จงมคาเปน 0.15

q = 1 – 0.15 = 0.85... (p+q = 1)

n = 5 ตน


x = 3 ตนทโจทยถาม

จงคำานวณหาคาความนาจะเปนไดดงน

ถาไมคำานวณเองตามสตร กสามารถเปดตารางของ binomial ในภาค

ผนวกหนา ฉ1 เมอ n = 5 r หรอ x ในสตรขางบน = 3 p = 0.15 จะไดตวเลข

เปน 0.0244 ซงตรงกบทไดคำานวณไวพอด และคำาถามขอ ข. ซงใหหาคาเฉลย

ของตนไมทมใบเสยหาย ใหใชสตร

x = np

= 5 (0.15) = 0.75 คอคำาตอบคาเฉลยทโจทยถาม

จะเหนวาการแกโจทยทงสองขอ ตองอาศยความรเรอง probability

function ของขอมลมาเปนตวชวย จงจะคำานวณหาคำาตอบไดตามทตองการ

ในกรณทคาขนาดตวอยาง (n) ของการกระจายแบบ binomial p.m.f.

ใหญมากๆ เชน เปน 100 จะคำานวณไดลำาบากขน ตาราง binomial กไมมใหใช

เพราะ n มคาใหญกวา 20 ในเรองน นกคณตสถตไดคดคนกนมานานแลวพบวา

ถาขอมลใดมขนาดตวอยางทใหญ การกระจายของขอมลกจะมลกษณะใกลเคยง

กบโคงปกต ดงนนกอาจขอยมคณสมบตของเสนโคงปกตไปใชได โดยตองทำาตาม

เงอนไขทกำาหนด และปรบขอมลอกเลกนอย ถาลกษณะขอมลแบบ binomial จะ

ขอยมคณสมบตของเสนโคงปกตไปใช ตองเรยกวา binomial approximation to

normal ซงมขอกำาหนดดงน

(0.15)3 (0.85)2


1. เมอขนาดตวอยางใหญ ซงกไมไดกำาหนดความใหญทแนนอน จง

แนะนำาใหดคา np หรอ nq ถาคณกนแลวตางกมคาใหญกวา 5 โดยทคา p และ

คา q ตางกไมใกลเคยงกบ 0 การกระจายแบบ binomial กจะใกลเคยงกบเสน

โคงปกต โดยมสตร standard score (z-score) ดงน

(x คอจำานวน p)

2. ใหเอาคา 0.5 บวกหรอลบออกจากคา x (แลวแตกรณ) เพอทำาให

ขอมลแบบขาดชวงมความตอเนองมากขน (เรยก Yate’s correction for con-

tinuity) เพราะคณสมบตของเสนโคงปกตกำาหนดใหขอมลทนำามาใชตองเปน

ขอมลแบบตอเนอง จากนนจงนำาคาตางๆ มาเขาสตร z-score ทกลาวไปแลว

และนำาคา z-score ไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกต กจะไดคาความนาจะเปน

ทใกลเคยงและประหยดเวลามากกวาการคดคำานวณจาก binomial probability

function ตวอยางเชน

ประชากรประกอบดวยนกศกษาชนปทหนง 1⁄₆ สวน นอกนนเปน

นกศกษาชนปอนๆ ในการสมจบฉลากชอนกศกษา 120 ครง ใหหาความนาจะ

เปนทจะไดนกศกษาชนปทหนง 18 ครงหรอนอยกวา (สมแลวใสคน)

โจทยขอนบอกลกษณะของประชากรวาประกอบดวย 2 ลกษณะ คอ

นกศกษาชนปทหนงมคาความนาจะเปนเบองแรก = 1⁄₆ และนกศกษาชนปอนๆ

มคาความนาจะเปนเบองแรก = ⁵⁄₆ การหาคาความนาจะเปนจงควรอาศย

probability function ของ binomial ซงกคอ ⁿcx px q⁽ⁿ-x)

ในทน p = 1⁄₆ q = ⁵⁄₆

n = 120 x = 18, 17, 16, … , 0 คน

ดงนนจงหาคาความนาจะเปนไดดงน

¹²⁰C₁₈ (1⁄₆)¹⁸ (⁵⁄₆) ¹⁰² + ¹²⁰C₁₇ (1⁄₆) ¹⁷(⁵⁄₆) ¹⁰³ + … + ¹²⁰C₀ (1⁄₆)⁰ (⁵⁄₆) ¹²⁰

เหนไดวา คาตางๆ คำานวณไดลำาบากและเสยเวลามาก และเมอ


พจารณาจาก np = 120(1⁄₆) = 20 หรอ nq = 120(⁵⁄₆) = 100 ซงเปนตวเลขทใหญกวา 5 จงทำาใหทราบวาโจทยขอนสามารถใช binomial approximation to

normal ได

จากตวเลข 0 คน ถงตวเลข 18 คน ซงเปนคา x จำาเปนตองใชตวเลข

(-0.5) ถง (18.5) แทน (ในทนใหเอาตวเลข 0 คน ลบ 0.5 จงไดคา -0.5 และ

เอาตวเลข 18 คน บวก 0.5 จงไดคา 18.5 ทงนเพอใหคาทงสองผานจดทโจทย

ถามคอ 0 และ 18 มฉะนนจะไดคำาตอบทไมถกตอง) การบวกหรอการลบออก

นนกเปนการทำาใหขอมลแบบขาดชวงมความใกลเคยงกบขอมลแบบตอเนอง โดย

ใชวธของ Yate’s correction for continuity พนทแรเงาจากภาพขางลางแสดง

ถงคาความนาจะเปนทโจทยถาม

คา z-score (-5.02) นำาไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกตภาคผนวก

ค ไดคา 0.5000

คา z-score (-0.37) นำาไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกตภาคผนวก

ค ไดคา 0.1443

ดงนน คาความนาจะเปนจงมคา = 0.5000 – 0.1443

= 0.3557


วธนคำานวณไดงายและเรวกวาการใช binomial p.d.f. การคำานวณเชน

นมขอสงเกตดงน

1. โจทยกำาหนดขอมลใหเปนแบบ binomial p.d.f. แตถามคาความนา

จะเปนเปนแบบชวง จงนำาเอาคณสมบตของการกระจายแบบโคงปกตมาใชแทน

ได เชน สตร z-score ทปรบใหรบกบ binomial และตารางพนทใตเสนโคงปกต

เปนตน ถาโจทยถาม ณ จดใดจดหนง เชน ใหหาคาความนาจะเปนทสมแลวได

นกศกษา 15 คน ในกรณนกตองคำานวณจาก binomial p.d.f. (ⁿcx px q⁽ⁿ-x)) แมจะตองเสยเวลากตาม บางครงอาจมการคำานวณจากคา 14.5 - 15.5 อยบาง

แตกไมเปนทนยมมากนก และทำาใหทราบวาการหาคาความนาจะเปน ของขอมล

แบบตอเนอง ณ จดใดจดหนงไมสามารถหาได

2. เปนเรองททำาใหทราบวามการยมคณสมบตของ probability func-

tion อนๆ มาใชได แตตองทำาตามเงอนไขอยางเครงครด และตองมสตรทนกสถต

คดไวแลวเพอใหเรานำามาใช มฉะนนกไมสามารถยมกนได (เรองนจะเหนไดชด

ขนในเรองการทดสอบ 2 test of independence ซงขอมลทกระจายแบบ chi-

square (x2) ตองเปนขอมลแบบตอเนอง หากเรานำาเอาขอมลแบบขาดชวง

เชน multinomial p.d.f. มาขอยมคณสมบตของ chi-square ไปใช กตองทำา

ตามเงอนไขอยางเครงครดเหมอนกน)

เรองแบบนทำาใหเกดฐานคต (assumptions) ตางๆ ในวชาสถต ผใช

จำาเปนตองปฏบตตามอยางเครงครด เพอใหคำานวณไดตวเลขทถกตอง จะไดนำา

ไปใชกำาหนดแผนงานหรอวางนโยบายไดอยางมประสทธภาพ

5. สรป

โดยสรป ความเขาใจในเรอง probability function ของการกระจาย

ขอมลเปนเรองสำาคญ แมจะเปนนกศกษาสายสงคมศาสตรกควรจะรบทราบ

เพราะจะทำาใหเขาใจสถตมากขน จะไดวเคราะหโจทยไดถกและแกโจทยเปน

ทำาใหทราบวาตารางสถตแตละตารางมทมาอยางไร และเปนพนฐานในการเรยนร

สถตขนสงตอไป เชน การทดสอบสมมตฐาน การวเคราะหคาแปรปรวน เปนตน

และสามารถนำาผลการทดสอบไปใชปฏบตในการวางแผนหรออนๆ ตอไป


หนงสออางอง

เอกสารภาษาไทย

ธระพร วระถาวร. 2539. ความนาจะเปนกบการประยกต. กรงเทพฯ: นำาอกษรการพมพ.

วนส พชวณชย และชนนะพงษ บำารงทรพย. 2547. ทฤษฎความนาจะเปน: พนฐานและการ

ประยกต. กรงเทพฯ: ประกายพรก.

รชกมล กบลจตต. 2545. ความนาจะเปน: ทฤษฎและการประยกต. นครปฐม: โรงพมพ

มหาวทยาลยศลปากร.

เอกสารภาษาองกฤษ

Freund, John E. 1962. Mathematical Statistics. Englewood Cliffs, New Jersey:

Prentice-Hall.

Hays, William L. 1973. Statistics for the Social Sciences. 2nd ed. New York: Holt,

Rinehart and Winston.

Hoyt, John P. 1967. A Brief Introduction to Probability Theory. Scranton, Penn-

sylvania: International Textbook.

Hogg, Robert V. and Allen T. Craig. 1971. Introduction to Mathematical Statistics.

New York: Macmillan.

Spiegel, Murrey R. 1961. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Statistics.

New York: Schaum.


ภาคผนวก ก

เนองจากตวแปรแบงออกเปนแบบตอเนอง (continuous) และแบบไม

ตอเนอง (discrete) จงแยกอธบาย random variable ออกเปน discrete ran-

dom variable และ continuous random variable

Discrete Random Variable

ถาตวแปร X มชดของคาทเปนตวเลขไมตอเนอง เชน ลกเตาหนงลกม

แตมของหนาตางๆ ในแตละหนาเปนตวเลขทไมตอเนอง (discrete values) คอ

หนา 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แตม ถาใหลกเตาลกนเปนลกเตาทมความเทยงตรง

ไมถกถวงนำาหนกใหหนาใดหนาหนงปรากฏอยเสมอ แตละหนาจงมโอกาสเกด

เทาๆ กนในการโยนแตละครง แตละหนาของลกเตาจงมคาความนาจะเปนเทาๆ

กนคอ 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6 และ 1/6 โดยมผลรวมของคาความนาจะ

เปนทงหมดเปน 1 เราเรยกตวแปรแบบนวา discrete random variable สวน

function p(x) ซงมคาเปน 1/6 ทงหมดจะเรยกวา probability mass function

ของตวแปร X นนคอ เราเนนความสำาคญของคาความนาจะเปนทมประจำาตว

เหตการณทจะเกดทกเหตการณ คอการเกดหนาทมแตมตางๆ และเมอรวมกน

เปน 1 เราจงเรยกตวแปรนวา random variable, chance variable หรอ sto-

chastic variable


Continuous Probability Variable

แนวคดของ discrete random variable สามารถขยายมาสตวแปร X

ทมชด ของตวเลขแบบตอเนองได เสนตอเนองทเรยกวา relative frequency

polygon (เสนประ ในภาพซายมอทโยงจดกงกลางของแทง histogram) ถกลาก

ตอกนเปนเสนโคงทมความตอเนองทแสดงในภาพขวา

เสนโคงภาพขวามสมการคอ Y = p(x) และมคณสมบตเพมเตมคอ

พนทใตเสนโคงทงหมดจะเทากบ 1 โดยทพนทใตเสนโคงระหวาง X = a และ X

= b (พนทแรเงา) ใหคาความนาจะเปนของ X ซงอยระหวางคา a และ b ยอม

มคาไมถง 1 เขยนเปนสญลกษณไดคอ Pr(a ≤ X ≤ b)

เราเรยก p(x) วาเปน probability density function หรอเรยกสนๆ

วา density function และเรยกตวแปร X วา continuous random variable

ตวแปร X จะเปน continuous random variable ไดกตอเมอม probability

function กำากบอย และผลรวมของคา probability function = 1 คาความนาจะ

เปนของตวแปร X ซงเปนตวแปรทมความตอเนองจงตองหาเปนชวง เชน หาคา

ความนาจะเปนของ X ทมคาตงแต a ถง b ซงยอม มคาไมถง 1 การหาคาความ

นาจะเปนของตวแปร X ทคาใดคาหนงจง = 0


ความคลายกนกบ discrete random variable คอตวแปร X ของทง

สองชนด จะม probability function กำากบอย และผลรวมของคาความนาจะ

เปนของชดตวเลขของตวแปร X = 1

ความแตกตางกนคอ discrete random variable จะหาคาความนาจะ

เปนของ แตละตวของชดขอมลได เชน หนา 3 แตมของลกเตามคาความนาจะ

เปนเปน 1/6 เปนตน แต continuous random variable ตองหาคาความนาจะ

เปนของตวแปร X เปนชวงๆ


ภาคผนวก ข

เพอทบทวนความจำา จงไดยกกรณตวอยางการเขยนกราฟจากสมการ

พชคณตธรรมดา (ไมใช probability function) มาใหดจำานวน 2 กราฟ ซงไมม

คณสมบตเรอง คาความนาจะเปน สำาหรบฟงกชนของการแจกแจงแบบโคงปกต

นนสามารถเขยนเปนกราฟ ไดเชนกน และยงมคณสมบตเรองคาความนาจะเปน

เขามาเกยวของดวย

Y = 2X - 3 หาคา X และ Y ได ดงน

X โดยสมมต -1 0 1 2

Y -5 -3 -1 1

สมการนใหกราฟเปนรปเสนตรง


Y = X2 - 2X - 8 หาคา X และ Y ได ดงน

X โดยสมมต -2 -1 0 1

Y 0 -5 -8 -9

สมการนใหกราฟเปนรปเสนโคง Parabola


ภาคผนวก ค


ภาคผนวก ง


ภาคผนวก จ


ภาคผนวก ฉ 1






ทมา: Richard Steven Burington and Donald Curtis May. 1970.

Handbook of Probabilities with Tables. (2nd ed.) New York: McGraw

- Hill, pp.347-350.


Documents

JSA 30 (1) somplern