Embed Size (px)
DESCRIPTION
JUDUL : MATRIKS. DIPERSEMBAHKAN OLEH B. GINTING MUNTHE, SPd NIP. 400 056 622. MATRIKS. Pengertian Matriks Matriks adalah : kumpulan bilangan ( atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
JUDUL : MATRIKS
DIPERSEMBAHKAN
OLEH
B. GINTING MUNTHE, SPd
NIP. 400 056 622
MATRIKS1. Pengertian Matriks
Matriks adalah : kumpulan bilangan ( atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan bilangan yang tersusun tersebut disebut elemen – elemen atau komponen – komponen matriks.
Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital.
Banyak baris x banyak kolom dari suatu matriks disebut Ordo matriks atau ukuran matriks.
1.Perhatikan contoh berikut :
Kolom kolom kolom kolom
1 2 3 4
Matriks A tersebut terdiri dari 3 baris dan 4 kolom.
Matriks A tersebut disebut berordo 3 x 4, atau dapat ditulis dengan A(3 x 4)
7463
6502
4521
A
3
2
1
baris
baris
baris
• Secara umum Matriks dapat dituliskan sebagai berikut :
Dalam hal ini aij disebut elemen matriks pada baris ke I dan kolom ke j.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
2. Beberapa Jenis Matriks Khusus
1. Matriks Nol ( 0 )Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya
bernilai nol.
Contoh 1 :
00
00A
00
00
00
B
00000
00000
00000
C
2. Matriks Bujur Sangkar
Matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
Contoh 2:
53
21A
413
763
021
B
3083
4397
6230
1432
C
3. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar eleman utamanya bernilai nol.
Contoh 3:
50
01A
400
060
001
B
3000
0300
0000
0002
C
4. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang elemen elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.
Contoh 4:
20
02A
300
030
003
B
4000
0400
0040
0004
C
5. Matriks Identitas ( I )
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.
Contoh 5 :
10
01A
100
010
001
B
1000
0100
0010
0001
C
6. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh 6 :
20
21A
100
030
731
B
4000
6100
0530
5031
C
7. Matriks Segitiga Bawah.
Matriks segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh 7 :
23
01A
130
032
001
B
4796
0153
0034
0001
C
3. OPERASI PADA MATRIKS
1. Penjumlahan dan Pengurangan dua matriks.
Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dijumlahkan dan dikurangkan ababila kedua matriks berordo sama ( berukuran yang sama ).
Secara umum dapat dituliskan sbb :
Jadi A + B = +
A + B =
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnn
n
n
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnmnnnn
nn
nn
bababa
bababa
bababa
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
Dan A – B dapat dinyatakan sbb :
A – B = -
A – B =
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnmnnnn
nn
nn
bababa
bababa
bababa
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
Contoh 8 :
Diketahui matriks : dan
Tentukan : a. A + B
b. A - B
Jawab : a.
874
329A
012
163B
022
163
874
329BA
896
4812
082724
136239BA
Jawab b.
022
163
874
329BA
852
246
082724
136239BA
SIFAT – SIFAT PADA PENJUMLAHAN MATRIKS
1. Sifat komutatif : A + B = B + A
2. Sifat Asosiatif : (A + B)+C=A+(B+C)
3. Sifat identitas (0) : A+0 = 0+A = A
4. Sifat lawan (-A) : A+(-A) = 0
SOALDiketahui :
Tentukanlah matriks berikut jika ada ?a. A + B b. A + Cc. C + D d. D + Ce. A – B f. B – Ag. C – D h. D - C
87
114;
13
21
211715
131210;
964
521
DC
BA
• Jawab :
b) A + C tidak ada karena ordonya tidak sama.
302319
181411
219176154
135122101
211715
131210
964
521)
BA
BAa
710
133
)8(173
112)4(1
87
114
13
21)
DC
DCc
710
133
1)8(37
21114
13
21
87
114)
DC
CDd
121111
8109
219176154
135122101
211715
131210
964
521)
BA
BAe
121111
8109
921617415
513212110
964
521
211715
131210)
AB
ABf
94
95
)8(173
112)4(1
87
114
13
21)
DC
DCg
94
95
1)8(37
21114
13
21
87
114)
CD
CDh
2. Perkalian Skalar dengan matriksJika skalar dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen – elemenya merupakan perkalaian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.
Secara umum dapat dituliskan :
Jika
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Maka k x A dapat dituliskan sebagai berikut :
K x A = k x
nmnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
nmnn
n
n
akakak
akakak
akakak
Ak
......
............
......
......
.
21
22221
11211
Contoh 9:
Dikeahui :
Tentukanlah nilai dari 3A ?
Jawab :
874
329A
8.37.34.3
3.32.39.3
874
329.33A
242112
96273A
SIFAT – SIFAT PADA PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS :
1. kA = A.k ( sifat komutatif )2. K(A + B ) = k.A + k.B ( Sifat distributif)3. K(A – B ) = k.A – k.B (sifat distributif )4. K(lA) = (kl)A5. (k+l)A=kA + lA6. 1A = A7. (-1)A = -A
• Contoh :1. 2A = A.22. 3(A + B ) = 3.A + 3.B3. 5(A – B ) = 5.A – 5.Bdll
3. Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dikalikan ( A x B ) Jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Misalnya : A(n,m) dan B(m,k) maka A x B dapat dikalikan.
Jika matriks A dan B dinyatakan dengan SBB :
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
mkmm
k
k
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
Jadi A x B dapat dinyatakan sbb :
C = A x B = x
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
mkmm
k
k
bbb
bbb
bbb
...
............
...
...
21
22221
11211
nknn
k
k
ccc
ccc
ccc
C
...
............
...
...
21
22221
11211
maka :
C=AXB= X
c11 = a11 x b11 + a12 x b21 + …. + a1m x bm1
c12 = a11 x b12 + a12 x b22 + ….. + a1m x bm2
.
.
.
c1k =a11 x b1k + a12 x b2k + ….+ a1m x bmk
cij = ai1 x b1j + ai2 x b2j + …..+ aim x bmj
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
mkmm
k
k
bbb
bbb
bbb
...
............
...
...
21
22221
11211
Contoh 10 :
Diketahui : dan
• Tentukanlah A x B = ?Jawab :
Dari soal diatas diketahui : a11 = 1 , a12 = 2 ; a21 = 3 ; a22 = 4b11 = 5 ; b12 = 6 ; b13 = 9 ; b21 = 7 ; b22 = 8 ; b23 = 0
43
21A
087
965B
232221
131211
087
965.
43
21
ccc
cccAxB
dimana :
a11 = 1 , a12 = 2 ; a21 = 3 ; a22 = 4b11 = 5 ; b12 = 6 ; b13 = 9 ; b21 = 7 ; b22 = 8 ; b23 = 0
c11 = a11 x b11 + a12 x b21 =1.5 + 2.7 = 5 + 14 = 19
c12 = a11 x b12 + a12 x b22 = 1.6 + 2.8 = 6 + 16 = 22
c13 = a11 x b13 + a12 x b23 = 1.9 + 2.0 = 9 + 0 = 0
c21 = a21 x b11 + a22 x b21 = 3.5 + 4.7 = 15 + 28 = 43
c22 = a21 x b12 + a22 x b22 = 3.6 + 4.8 = 18 + 32 = 50
c23 = a21 x b13 + a22 x b23 = 3.9 + 4.0 = 27
Maka :
275043
02219
087
965.
43
21AxB
SIFAT – SIFAT PERKALIAN PADA MATRIKS
1. Perkalian pada matriks umumnya tidak komutatif.
2. Perkalian pada matriks bersifat Asosiatif.
3. Perkalian matriks bersifat Distributif. Distribusi kiri : Distribusi kanan :
4. Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks Identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat :
ABBA
CBACBA
CABACBA
AIAAI
ACABACB
SIFAT TAMBAHAN PADA PERKALIAN MATRIKS
5. (a) Jika , belum tentu A=0 atau B=0 (b) Jika , belum tentu B = C
6. Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks, maka berlaku :
7. Jika At dan Bt berturut-turut adalah transpos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan :
0 BA
CABA
BApqqBpA
ttt ABBA
soal• Diketahui matriks :
• Tentukanlah tiap hasil kali matriks ( jika mungkin) ?
• a. CA c. AC e. BC
• b. CB d. AB f. BA
152
603;
4
3
;
611
41
03
CxBA
4. PEMANGKATAN MATRIKS PERSEGI
Defenisi :
Jika A adalah matriks persegi maka :
1
34
23
2
.....................
......................
.....................
nn AAA
AAA
AAA
AAA
Contoh 11 :
Diketahui matriks :
a. Tentukanlah :
(i) A2 (ii) A3 (iii) A4
b. Tentukanlah : A3 - 4A2 + A - 4I ( dengan I adalah matriks satuan ) ?
Jawab : a.
52
13A
2316
87
5.51.22.53.2
5.11.32.13.3
52
13
52
132 AAAi
• b) Dengan menggunakan hasil pada bagia a diatas diperoleh :
A3 – 4A2 + A – 4I
9994
475
2316
87
52
1323 AAAii
401480
24079
9994
475
52
1334 AAAiii
832
1624
40
04
52
13
9264
3228
9994
475
10
014
52
13
2316
874
9994
475
5. TRANSPOS MATRIKS
Pengertian Transpos Matriks Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.Transpos dari matriks A dinotasikan dengan AT atau At atau .Jika matriks A dinyatakan dengan :
A
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Maka tranpos dari matriks tersebut dinyatakan dengan :
AT =
Contoh 12:
Jika
Tentukanlah transpos dari matriks diatas ( AT) ?
874
329A
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22212
12111
Jawab :
maka AT =
Jika A = AT maka A disebut matriks Simetri.
Contoh 13 :
Jika , Tentukanlah AT ?
Jawab :
AT =
Karena A = AT maka matriks A tersebut merupakan matriks simetris.
874
329A
83
72
49
743
452
321
A
743
452
321
5. KESAMAAN MATRIKS
Defenisi :
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, Jika dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-lemen yang bersesuaian bernilai sama.
Diketahui : dan
Jika A = B maka sama
dc
ba
dc
baA
sr
qpB
sr
qp
Contoh 13 :Diantara matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ?
Jawab :
Karena ada elemen yang bersesuaian tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )
54
31A
51
43B
54
31C
54
31A
51
43B
BA
54
31A
54
31C
51
43B
Jadi karena semua elemen yang bersesuaian bernilai sama maka matriks A sama dengan matriks B ( A = B )
54
31C
Jadi karena ada elemen yang bersesuaian bernilai tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )BA
6. DETERMINAN MATRIKS
Pengertian Determinan :
Determinan suatu matriks dinyatakan dengan Selisih Jumlah hasil kali antara diagonal utama dengan diagonal sekundernya.
Jadi matriks yang memiliki nilai determinan hanyalah matriks yang berbentuk bujur sangkar.
Jika nilai determinan suatu matriks bernilai nol, maka matriks tersebut disebut matriks Singuler. Matriks singuler tidak memiliki invers / kebalikan.Determinan suatu matriks A dinyatakan dengan det (A) atau Untuk matriks yang berordo 2x2 :
Jika maka determinan dari
matriks Tersebut dinyatakan dengan :det (A) = (axd) – (bxc)
A
dc
baA
Contoh 14 :
Diketahui , Tentukan determinan A?
Jawab :
76
54A
23028)6.5()7.4(76
54A
Untuk matriks yang berordo 3x3 :
Jika maka determinannya
dinyatakan dengan : (-) (-) (-) a b c a b A = d e f d e g h i g h (+) (+) (+)
Dimana :Det (A) = + (axexi) + (bxfxg) + (cxdxh) - (cxexg) - (axfxh) - (bxdxi)Det (A) = ((axexi)+(bxfxg)+(cxdxh))-((cxexg)+(axfxh)+(bxdxi))
ihg
fed
cba
A
Contoh 15 :
Diketahui ,Tentukan nilai
determinannya ? Jawab:
Det (A) = (2.2.3)+(1.1.5)+(4.4.1)-(4.2.5)-(2.1.1)-(1.4.3) = 12+5+16-40-2-12 = -21
)()()(
15315
24124
12412
)()()(
A
315
124
412
A
Determinan dari Matriks-Matriks Khusus
1. Matriks diagonal :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
abb
a
0
0
abc
c
b
a
00
00
00
2. Matriks segitiga atas :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
acc
ba
0
adf
f
ed
cba
00
0
3. Matriks segitiga bawah :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
accb
a
0
acf
fed
cb
a
000
4. Matriks Singuler :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
0ba
ba
0fed
cdbdad
cba
5. Matriks Simetri :
Defenisi : Matriks simetri adalah matriks bujursangkar dimana nilai elemen-elemen yaitu eij=eji
Contoh :
Dari matriks diatas dapat kita lihat bahwa :
e11 = 2, e12 = e21= 3, e13 = e31 = 4, e22 = 1, e33 =4
484
813
432
A
7. INVERS MATRIKS
1. Pengertian invers matriks.
Jika suatu matrik A dikalikan dengan matriks B yang berordo sama sehingga diperoleh hasil perkaliannya merupakan matriks identitas, maka matriks B tersebut disebut invers dari matriks A.
Invers dari matriks A dapat dituliskan dengan bentuk A-1.
Untuk matriks berordo 2x2Jika matriks A dinyatakan dengan :
Maka invers dari matriks tersebut dinyatakan dengan :
Jadi suatu matriks mempunyai invers jika matriks tersebut bukan matriks singuler.
dc
baA
ac
bd
AA
det
11
Contoh 16 :
Tentukanlah invers dari matriks :
Jawab :
Det (A) = 4.3 – 2.5= 12 – 10 = 2
35
24A
2
1
45
23
2
1
det
1
25
23
1
ac
bd
AA
2. Dua Matriks saling Invers.
Defenisi :
Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi dan mempunyai ordo yang sama, serta berlaku hubungan
maka B adalah invers dari A dan A juga invers dari B, dengan demikian kedua vektor disebut saling Invers.
IABBA
Contoh 17 :Diketahui matriks - matriks :
dan
Perlihatkanlah bahwa B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B ?Jawab :
Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa oleh karena itu dapat dikatakan
bahwa matriks A invers dari B dan B juga invers dari A
47
59A
97
54B
IBA
10
01
97
54
47
59
IAB
10
01
47
59
97
54
IABBA
SIFAT-SIFAT INVERS PADA MATRIKS
Jika A dan B adalah matriks persegi berordo dua yang tak singuler, A-1 dan B-1 berturut-turut adalah invers dari A dan B maka berlaku :
111
111
BAABii
ABBAi
8. PERSAMAAN MATRIKS
Defenisi :
Jika A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo dua, A adalah matriks tak-singuler dengan invers A-1, maka penyelesaian persamaan matriks :
1
1
ABXatauBAX
dan
BAXatauBXA
Contoh 18 :Diketahui matriks-matriks :
dan
Tentukanlah matriks X berordo (2x2) yang memenuhi persamaana) b) Jawab :
a) Untuk persamaan matriks penyelesaiannya adalah :
57
23A
32
15B
BXA BAX
37
25,11415
57
23det 1AsehinggaA
BXA
b) Untuk persamaan matriks ,
penyelesaiannya adalah :BAX
229
121
9)7(6)35(
)6(5)4(25
32
15
37
251
X
BAX
511
718
9)4()21(10
3)10()7(25
37
25
32
151
X
ABX
Contoh 19 :Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah berikut :
Jawab :Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier itu, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut :1) ubah sistem linier kebentuk matriks, 2) selesaikan secara matriks.
1132
1754
yx
yx
Langkah 1) atau
Langkah 2) det ( A ) = 4.3-5.2=12-10=2
Jadi Himpunan penyelesaian =
1132
1754
yx
yx BXAy
x
11
17
32
54
32
54A
2142
53
2
1 25
23
1A
5
2
22)17(
)(
11
17
21255
251
25
23
y
x
,
)5,2(
![Biometrika I - MATRIKS (Diyan Herdiyantoro 2009) [Read-Only] · Dari suatu matriks A dapat dicari matriks baru ... Berikut ini adalah langkah untuk mencari determinan matriks dengan](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5acc4bd47f8b9ab10a8c5112/biometrika-i-matriks-diyan-herdiyantoro-2009-read-only-suatu-matriks-a-dapat.jpg)
