Jürgen Roth Didaktik der Analysis - Universität Koblenz · Jürgen Roth • Didaktik der Analysis. 3.4. Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff. Tangenten-steigung. lokale Änderungsrate

3.1Jürgen Roth • Didaktik der Analysis

Didaktik der AnalysisModul 12a: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth


Inhalt

Didaktik der Analysis

0 Organisatorisches

1 Ziele und Inhalte

2 Folgen und Vollständigkeit in ℝ

3 Ableitungsbegriff

4 Integralbegriff


Kapitel 3: AbleitungsbegriffDidaktik der Analysis

Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 137ffDanckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag, S. 45ff

Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag


Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

Tangenten-steigung

lokale Änderungsrate

Verstärkungs-faktor

lokale lineare Approximation

Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S. 35-38

Roth, Siller (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S. 2-8

menti.com→ 75 59 5

https://www.mentimeter.com/s/6490be0acac512b4fd441f85b52f52f9/b7beaac1f8c7


Ableitung als Tangentensteigung

Schritt 1Definition der Steigung einer Kurve im Punkt 𝑃𝑃 über die Steigung der Tangente in 𝑃𝑃

Schritt 2Tangente als Grenzlage von Sekanten

Schritt 3Berechnung der Tangenten-steigung als Grenzwert


Ableitung als lokale Änderungsrate

Beschrei-bungsebene Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4

formal 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0

𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0= lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0

inhaltlichBestand

zum Zeitpunkt 𝑥𝑥0

absoluterZuwachs in der Zeit

von 𝑥𝑥0 bis 𝑥𝑥

relativerZuwachs

im Zeitinter-vall [𝑥𝑥0, 𝑥𝑥](mittlere

Änderungs-rate)

momentane (lokale)

Änderungsratezum Zeitpunkt 𝑥𝑥0

termino-logisch

Funktions-wert

Differenz der Funktions-

werte

Differenzen-quotient Ableitung

algebraisch

Beschrei-bungsebene Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4

formal 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0

𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0= lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0


inhaltlichBestand

zum Zeitpunkt 𝑥𝑥0

absoluterZuwachs in der Zeit

von 𝑥𝑥0 bis 𝑥𝑥

relativerZuwachs

im Zeitinter-vall [𝑥𝑥0, 𝑥𝑥](mittlere

Änderungs-rate)

momentane (lokale)

Änderungsratezum Zeitpunkt 𝑥𝑥0

termino-logisch

Funktions-wert

Differenz der Funktions-

werte

Differenzen-quotient Ableitung

analytisch


Ableitung als Verstärkungsfaktor

Die Ableitung gibt an, wie stark sich die Änderung der unabhängigen Variable auf die abhängige Variable auswirkt

Hohe Werte der Ableitung bedeuten schnelle/starke Änderung der Funktionswerte.

Für kleine Änderungen ∆𝑥𝑥 gilt:∆𝑦𝑦 ≈ 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 ⋅ ∆𝑥𝑥

= 2𝑥𝑥 ⋅ ℎ


Ableitung als lokale lineare Approximation

Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 68-91

www.funktionenlupe.de • https://www.geogebra.org/m/D9MwHus2

https://www.geogebra.org/m/D9MwHus2

https://www.geogebra.org/m/tejWrTyU


Welche Grundvorstellung wählen Sie zur Einführung?


Inhalte

Kapitel 3: Ableitungsbegriff

3.1 Ableitung als Tangentensteigung

3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate

3.3 Ableitung als Verstärkungsfaktor

3.4 Ableitung als lokale lineare Approximation


3.1 Ableitung als Tangentensteigung



Tangentensteigung

Schritte bei diesem Zugang

1. Schritt:Definition der Steigung einer Kurve im Punkt 𝑃𝑃 über die Steigung der Tangente in 𝑃𝑃

2. Schritt:Tangente als Grenzlage von Sekanten

3. Schritt:Berechnung der Tangenten-steigung als Grenzwert

Zu beachten ist:

1. Schritt:Paradigmenwechsel vom geo-metrischen zum analytischen Tangentenbegriff


Was ist eine Tangente?

https://www.geogebra.org/m/JQAzj4Eu

GeometrischeSichtweise:

Tangente als globale

Stützgerade

AnalytischeSichtweise:

Tangente als lokale

Schmieggerade

https://www.geogebra.org/m/JQAzj4Eu


Tangentensteigung

Schritte bei diesem Zugang

1. Schritt:Definition der Steigung einer Kurve im Punkt 𝑃𝑃 über die Steigung der Tangente in 𝑃𝑃

2. Schritt:Tangente als Grenzlage von Sekanten

3. Schritt:Berechnung der Tangenten-steigung als Grenzwert

Zu beachten ist:

1. Schritt:Paradigmenwechsel vom geo-metrischen zum analytischen Tangentenbegriff

2. Schritt:Liegt quer zur Schmieg-vorstellung der Tangente

3. Schritt:Gibt es überhaupt einen Grenzfall von Sekanten? Eine Gerade durch einen Punkt ist gar nicht eindeutig festgelegt.


Tangente als Grenzlage von Sekanten

Beispiel: 𝑓𝑓:ℝ → ℝ0+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑥𝑥2

𝑃𝑃 1,1 ;𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑓𝑓 𝑥𝑥Sekantensteigung:

Tangentensteigung:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 − 1 =

𝑥𝑥 + 1 ⋅ (𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 − 1=

𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

= 𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥 ≠ 1

lim𝑥𝑥→1

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 − 1 = lim

𝑥𝑥→1

𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1 = lim

𝑥𝑥→1(𝑥𝑥 + 1) = 2

Die Sekantensteigung kommt der Zahl 2 beliebig nahe,

wenn 𝑥𝑥 gegen 𝑥𝑥0 = 1 strebt.

https://www.geogebra.org/m/grZb93Uv


3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate



Lokale Änderungsrate

Kontext Geschwindigkeiten„Heute bin ich mit dem Auto von Landau nach Würzburg gefahren und habe für die 200 km genau 2 Stunden gebraucht.“„Dann waren Sie aber mit 100 km

h nicht besonders schnell.“„Wie man‘s nimmt, manchmal bin ich über 150 km

h gefahren.“

BewegungenDie Weg-Zeit-Funktion 𝑡𝑡 ↦ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ordnet jedem Zeitpunkt 𝑡𝑡den bis dahin zurückgelegten Weg 𝑥𝑥 zu.

Anfahrvorgang (konstante Beschleunigung 𝑎𝑎 = 2 ms2

)

𝑡𝑡 ↦ 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 12𝑎𝑎 ⋅ 𝑡𝑡2 = 1 m

s2⋅ 𝑡𝑡2= 1

2⋅ 2 m

s2⋅ 𝑡𝑡2𝑥𝑥 𝑡𝑡 =



Absolute Änderung (Zurückgelegter Weg 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 1 ms2⋅ 𝑡𝑡2)

Erste Sekunde𝑥𝑥 1 s − 𝑥𝑥 0 s

= 1 ms2⋅ 1 s 2 − 1 m

s2⋅ 0 s 2

= 1 m − 0 m = 1 mZweite Sekunde𝑥𝑥 2 s − 𝑥𝑥 1 s

= 1 ms2⋅ [ 2 s 2 − 1 s 2]

= 1 ms2⋅ 3 s2 = 3 m

Dritte Sekunde𝑥𝑥 3 s − 𝑥𝑥 2 s

= 1 ms2⋅ [ 2 s 2 − 1 s 2]

= 1 ms2⋅ 5 s2 = 5 m

0 s 1 s

0 m 1 m

2 s1 s

4 m1 m

2 s 3 s

4 m 9 m



Absolute Änderung (Zurückgelegter Weg 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 1 ms2⋅ 𝑡𝑡2)

In den 2 Sekunden von 𝑡𝑡0 = 1 s bis 𝑡𝑡1 = 3 s zurückgelegter Weg:𝑥𝑥 𝑡𝑡1 − 𝑥𝑥 𝑡𝑡0= 1 m

s2⋅ 3 s 2 − 1 m

s2⋅ 1 s 2

= 9 m − 1 m = 8 m

3 s

9 m

1 s

1 m

Zeit-punkt 𝒕𝒕

zurückgelegter Weg 𝑥𝑥

0 s 0 m

1 s 1 m

2 s 4 m

3 s 9 m

Zeitänderung ∆𝑡𝑡 = 1 s



Wegänderung ∆𝑥𝑥 = 1 m

Wegänderung ∆𝑥𝑥 = 3 m

Wegänderung ∆𝑥𝑥 = 5 mWegänderung ∆𝑥𝑥 = 8 mZeitänderung ∆𝑡𝑡 = 2 s

= 𝑥𝑥 3 s − 𝑥𝑥 1 s



Relative Änderung / Änderungsrate (Durchschnittsgeschwindigkeit)Um die mittleren Geschwindigkeiten in unterschiedlich langen Zeitintervallen [𝑡𝑡1, 𝑡𝑡2] und 𝑡𝑡3, 𝑡𝑡4 vergleichen zu können, muss man die Wegdifferenz 𝑥𝑥 𝑡𝑡2 − 𝑥𝑥 𝑡𝑡1 auf die zugehörige Zeitdifferenz 𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1 beziehen:

Im Zeitintervall [1 s, 2 s] werden im Mittel 22 m − 12 m2 s − 1 s

= 3m1 s

= 3 ms,

also 3 m pro Sekunde zurückgelegt.

Im Zeitintervall [1 s, 3 s] werden im Mittel 32 m − 12 m3 s − 1 s

= 8m2 s

= 4 ms,

also 4 m pro Sekunde zurückgelegt.

Im Zeitintervall [1 s, 3 s] ist die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) mit 4m

salso höher als im

Zeitintervall [1 s, 2 s] mit 3ms.

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 1 ms2 ⋅ 𝑡𝑡

2

𝑥𝑥 𝑡𝑡2 − 𝑥𝑥 𝑡𝑡1𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1


Zeitintervall [𝒕𝒕, 𝒕𝒕𝟎𝟎]

Mittlere Geschw. 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝟎𝟎 −𝒙𝒙(𝒕𝒕)𝒕𝒕𝟎𝟎−𝒕𝒕

im Zeitintervall [𝒕𝒕, 𝒕𝒕𝟎𝟎]

[0 s; 1 s] 12 m− 02 m1 s − 0 s

= 1ms

[0,9 s; 1 s] 12 m− 0,92 m1 s − 0,9 s

= 1,9ms

[0,99 s; 1 s] 12 m− 0,992 m1 s − 0,99 s

= 1,99 ms

[0,999 s; 1 s] 12 m− 0,9992 m1 s − 0,999 s

= 1,999 ms

Zeitintervall [𝒕𝒕𝟎𝟎, 𝒕𝒕]

Mittlere Geschw. 𝒙𝒙 𝒕𝒕 −𝒙𝒙(𝒕𝒕𝟎𝟎)𝒕𝒕−𝒕𝒕𝟎𝟎

im Zeitintervall [𝒕𝒕𝟎𝟎, 𝒕𝒕]

[1 s; 2 s] 22 m− 12 m2 s − 1 s

= 3ms

[1 s; 1,1 s] 1,12 m− 12 m1,1 s − 1 s

= 2,1 ms

[1 s; 1,01 s] 1,012 m− 12 m1,01 s −1 s

= 2,01ms

[1 s; 1,001 s] 1,0012 m− 12 m1,001 s −1 s

= 2,001 ms


Lokale Änderungsrate (Momentangeschwindigkeit)Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit (lokale Änderungsrate) zu einem Zeitpunkt 𝑡𝑡0 = 1s?IdeeMittlere Geschwindigkeiten in Zeitintervallen betrachten, die 𝑡𝑡0 = 1s als Intervallgrenze besitzen.


2

Zeitintervall [𝒕𝒕𝟎𝟎, 𝒕𝒕]

Mittlere Geschw. 𝒙𝒙 𝒕𝒕 −𝒙𝒙(𝒕𝒕𝟎𝟎)𝒕𝒕−𝒕𝒕𝟎𝟎

im Zeitintervall [𝒕𝒕𝟎𝟎, 𝒕𝒕]

[1 s; 2 s] 22 m− 12 m2 s − 1 s

= 3ms

[1 s; 1,1 s] 1,12 m− 12 m1,1 s − 1 s

= 2,1 ms

[1 s; 1,01 s] 1,012 m− 12 m1,01 s −1 s

= 2,01ms

[1 s; 1,001 s] 1,0012 m− 12 m1,001 s −1 s

= 2,001 ms

Zeitintervall [𝒕𝒕, 𝒕𝒕𝟎𝟎]

Mittlere Geschw. 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝟎𝟎 −𝒙𝒙(𝒕𝒕)𝒕𝒕𝟎𝟎−𝒕𝒕

im Zeitintervall [𝒕𝒕, 𝒕𝒕𝟎𝟎]

[0 s; 1 s] 12 m− 02 m1 s − 0 s

= 1ms

[0,9 s; 1 s] 12 m− 0,92 m1 s − 0,9 s

= 1,9ms

[0,99 s; 1 s] 12 m− 0,992 m1 s − 0,99 s

= 1,99 ms

[0,999 s; 1 s] 12 m− 0,9992 m1 s − 0,999 s

= 1,999 ms



MomentangeschwindigkeitJe kleiner das Intervall [𝑡𝑡0, 𝑡𝑡] wird, je näher also 𝑡𝑡 an 𝑡𝑡0 = 1 sheranrückt, desto näher kommt die mittlere Geschwindigkeit dem Wert 2 m

s . Sie kommt ihm beliebig nahe.

Jede andere Annäherung an den Zeitpunkt 𝑡𝑡0 = 1 führt zur selben Momentangeschwindigkeit.

Ist 𝑡𝑡 ein benachbarter Zeitpunkt von 𝑡𝑡0 = 1 s, dann ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit im Intervall 1 s, t der Wert:𝑥𝑥 𝑡𝑡 −𝑥𝑥(1 s)

𝑡𝑡−1 s

1 ms2⋅ 1 s + 𝑡𝑡 kommt dem Wert 2 m

s beliebig nahe, wenn 𝑡𝑡 genügend nahe bei 1 s liegt.

Damit ist die Momentangeschwindigkeit (lokale Änderungsrate) zum Zeitpunkt 𝑡𝑡0 = 1 s bestimmt. Sie beträgt hier 2 m

s .



2

=1 ms2⋅ 𝑡𝑡2− 1 s 2

𝑡𝑡−1 s= 1 m

s2⋅ 𝑡𝑡+1 s ⋅ 𝑡𝑡−1 s

𝑡𝑡−1 s= 1 m

s2⋅ 𝑡𝑡 + 1 s



Vorteile des Zugangs zum Ableitungsbegriff als Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate:

Kinematischer Kontext ist Teil der Alltagserfahrungen von Jugendlichen. (Straßenverkehr, Computerspiele, Sport, …)

zeitliche Änderung von Geschwindigkeiten → Zugang zum Begriff Momentanbeschleunigung

Das Beispiel ist als universelles Modell überall tragfähig, wo ein Änderungsverhalten punktuell beschrieben werden soll.


Formale Darstellung Inhaltliche Erläuterung

𝑓𝑓 𝑥𝑥0 Bestand Bis zum Zeitpunkt 𝑥𝑥0zurückgelegter Weg.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 absolute Änderung In der Zeit von 𝑥𝑥0 bis 𝑥𝑥zurückgelegter Weg.


relative Änderung /(mittlere)

Änderungsrate

In der Zeit von 𝑥𝑥0 bis 𝑥𝑥 zurück-gelegter Weg bezogen auf die

Zeitspanne 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0. (Durchschnittsgeschwindigkeit

im Zeitintervall [𝑥𝑥0, 𝑥𝑥])

𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0


momentane / lokale

Änderungsrate

Momentangeschwindigkeitzum Zeitpunkt 𝑥𝑥0.

Zusammenfassung: Ableitung als lokale Änderungsrate

Formale Darstellung Inhaltliche Erläuterung

𝑓𝑓 𝑥𝑥0 Bestand Bis zum Zeitpunkt 𝑥𝑥0zurückgelegter Weg.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 absolute Änderung In der Zeit von 𝑥𝑥0 bis 𝑥𝑥zurückgelegter Weg.


relative Änderung /(mittlere)

Änderungsrate

In der Zeit von 𝑥𝑥0 bis 𝑥𝑥 zurück-gelegter Weg bezogen auf die

Zeitspanne 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0. (Durchschnittsgeschwindigkeit

im Zeitintervall [𝑥𝑥0, 𝑥𝑥])

𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0


momentane / lokale

Änderungsrate

Momentangeschwindigkeitzum Zeitpunkt 𝑥𝑥0.


Historische Quelle

Cauchy in seiner ersten Vorlesung "Differenzialrechnung" im Jahre 1815 zur Ableitung:„Um die Begriffe zu fixieren, nehmen wir an, daß man bloß zwei Veränderliche betrachte; nämlich eine unabhängige Veränderliche 𝑥𝑥 und eine durch 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)bezeichnete Function von 𝑥𝑥. Wenn die Function 𝑓𝑓(𝑥𝑥) zwischen zwei gegebenen Grenzen der Veränderlichen 𝑥𝑥 continuierlich bleibt, und wenn man der Veränderlichen einen zwischen diesen Grenzen liegenden Werth beilegt; so wird ein der Veränderlichen ertheiltes unendlich kleines Increment auch eine unendlich kleine Veränderung der Function zur Folge haben. Also werden, wenn man ∆𝑥𝑥 = 𝑖𝑖 setzt, die beiden Glieder des Differenzenverhältnisses:

∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥

=𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑖𝑖unendlich kleine Größen sein. Aber während sich diese beiden Glieder unbestimmt und gleichzeitig der Grenze Null nähern, wird ihr Verhältniß selbst gegen eine andere Grenze, sie sei positiv oder negativ, convergiren können, welche das letzte Verhältniß der unendlich kleinen Differenzen ∆𝑦𝑦,∆𝑥𝑥 sein wird. Diese Grenze, oder dieses letzte Verhältniß, hat, wenn es existirt, für jeden particulären Werth von 𝑥𝑥 einen bestimmten Werth; aber es variirt mit 𝑥𝑥.“

Cauchy (1836): Vorlesungen über die Differenzialrechnung. Braunschweig

Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag, S. 66ff


3.3 Ableitung als Verstärkungsfaktor



Inhaltlicher Zugang zurAbleitungsregel 𝒙𝒙𝟐𝟐 ′ = 𝟐𝟐𝒙𝒙

𝒙𝒙𝟐𝟐 ′ = 𝟐𝟐𝒙𝒙 wird oft rein syntaktisch verstanden.

Inhaltlich„Warum ist die lokale Änderungsrate des Flächeninhalts eines Quadrats der Kantenlänge 𝑥𝑥 gleich seinem halben Umfang?“

Absolute Änderung des FlächeninhaltsFür kleine ℎ im Wesentlichen die schattierten Rechtecke.

Relative Änderung des Flächeninhalts(mittlere Änderungsrate):

Folgende Näherung ist beliebig gut, wenn ℎ hinreichend klein ist:𝑥𝑥+ℎ 2−𝑥𝑥2

ℎ= 2𝑥𝑥ℎ+ℎ2

ℎ= 2𝑥𝑥 + ℎ ≈ 2𝑥𝑥

Das ist im Wesentlichen der halbe Umfang des Quadrats.

Analog für 𝑥𝑥3 ′ = 3𝑥𝑥2

Für kleine Änderungen ∆𝑥𝑥 gilt: ∆𝑦𝑦 ≈ 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 ⋅ ∆𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 ⋅ ℎ

𝒙𝒙

𝒙𝒙 𝒉𝒉

𝒉𝒉

https://www.geogebra.org/m/b9rPvWuG


3.4 Ableitung als lokale lineare Approximation



Ableitung als lokale lineare Approximation

Parabel 𝒙𝒙 ↦ 𝒙𝒙𝟐𝟐 mit Tangente im Punkt 𝑃𝑃(1,1)

HineingezoomtDanckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 68-91

www.funktionenlupe.de • https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf


https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf


Welche Gerade ist beste lokale Approximation des Graphen?

Schmiegeffekt der TangenteUnterschied von Parabel 𝑥𝑥 ↦ 𝑥𝑥2und Tangente im Punkt 𝑃𝑃(1,1)in der Nachbarschaft von 𝑃𝑃(1,1)

Wie groß ist die Abweichung 𝒓𝒓(𝒉𝒉)?

Funktionsgleichung: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2

Tangentengleichung:𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 1 + 2 ⋅ 𝑥𝑥 − 1

Abweichung𝒓𝒓 𝒉𝒉 = 𝑓𝑓 1 + ℎ − 𝑡𝑡 1 + ℎ

= 1 + ℎ 2 − (1 + 2ℎ)= 1 + 2ℎ + ℎ2 − 1 − 2ℎ= ℎ2 (*)

𝒓𝒓 𝒉𝒉 = 𝒉𝒉𝟐𝟐→ 𝟎𝟎 für 𝒉𝒉 → 𝟎𝟎

𝑓𝑓 1 + ℎ𝑡𝑡 1 + ℎ

𝑓𝑓 1 = 1 𝑃𝑃


https://www.geogebra.org/m/F3wVF6Eq


Welche Gerade ist beste lokale Approximation des Graphen?

Schmiegeffekt anderer Geraden bzgl. 𝒙𝒙 ↦ 𝒙𝒙𝟐𝟐 durch 𝑷𝑷(𝟏𝟏,𝟏𝟏)

Wie groß ist die Abweichung 𝒓𝒓(𝒉𝒉)?

Funktionsgleichung: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2

Geradengleichung:𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 𝑚𝑚 ≠ 2𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 1 + 𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 − 1 𝑚𝑚 ≠ 2

Abweichung𝒓𝒓 𝒉𝒉 = 𝑓𝑓 1 + ℎ − 𝑔𝑔 1 + ℎ

= 1 + ℎ 2 − (1 + 𝑚𝑚ℎ)= 1 + 2ℎ + ℎ2 − 1 −𝑚𝑚ℎ= ℎ2 + 2 −𝑚𝑚 ⋅ ℎ (**)

𝒓𝒓 𝒉𝒉 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 −𝒎𝒎 ⋅ 𝒉𝒉→ 𝟎𝟎 für 𝒉𝒉 → 𝟎𝟎

𝑓𝑓 1 + ℎ

𝑔𝑔(1 + ℎ)

𝑓𝑓 1 = 1 𝑃𝑃


https://www.geogebra.org/m/F3wVF6Eq


Grundverständnis:Schmiegeffekt

Absolute AbweichungTangente in 𝑃𝑃𝒓𝒓 𝒉𝒉 = ℎ2 (*)𝑟𝑟 ℎ → 0 für ℎ → 0

Andere Gerade durch 𝑃𝑃𝒓𝒓 𝒉𝒉 = ℎ2 + 2 −𝑚𝑚 ⋅ ℎ (**)𝑟𝑟(ℎ) → 0 für ℎ → 0

Relative AbweichungTangente in 𝑃𝑃

𝒓𝒓 𝒉𝒉𝒉𝒉

= ℎ → 0 für ℎ → 0

Andere Gerade durch 𝑃𝑃𝒓𝒓 𝒉𝒉𝒉𝒉

= ℎ + 2 −𝑚𝑚 mit 𝑚𝑚 ≠ 2𝒓𝒓 𝒉𝒉𝒉𝒉→ 2 −𝑚𝑚 ≠ 0 für ℎ → 0

Offensichtlich ist die Bedingung𝑟𝑟 ℎℎ

→ 0 für ℎ → 0ein analytischer Ausdruck für die Schmiegeigenschaft der Tangente.

Die verschärfte Restbedingung limℎ→0

𝑟𝑟 ℎℎ

= 0(gegenüber lim

ℎ→0𝑟𝑟 ℎ = 0)

charakterisiert die Tangente als bestapproximierende Gerade.

https://www.geogebra.org/m/ufFeCFDJ

Tangente

https://www.geogebra.org/m/ufFeCFDJ


Zusammenfassung: Ableitung als lokale lineare Approximation

Ableitung als lokale lineare ApproximationDer Graph von 𝑓𝑓 lässt sich in der Nähe von 𝑥𝑥0 durch die Tangente in 𝑥𝑥0 so annähern, dass der Fehler 𝒓𝒓(𝒉𝒉) der Appro-ximation besonders gut, nämlich schneller als ℎ, gegen null geht:

𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ= 𝑡𝑡 𝑥𝑥0 + ℎ + 𝑟𝑟 ℎ= 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 ⋅ ℎ + 𝑟𝑟 ℎ

mit 𝑟𝑟 ℎℎ

→ 0 für ℎ → 0

Tangentengleichung𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 ⋅ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑥𝑥

𝑦𝑦

Anwendungen: Num. Näherungen; Fehlerrechnung; Taylor-Abschätzung; Leibniz‘sche Differenziale; Newton-Verfahren; Beweis von Ableitungsregeln;Verallgemeinerbar in höhere Dimensionen

https://www.geogebra.org/m/dfUDB4N3


Zusammenfassung: Ableitung als lokale Linearisierung



Werte der Funktion

nahe 𝑥𝑥0

Zuwächseder Funktion

nahe 𝑥𝑥0

𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ

𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0

werden genähert

durch

≈

werden genähert

durch

≈

Werte der Tangente

nahe 𝑥𝑥0

Zuwächseder Tangente

nahe 𝑥𝑥0

𝑡𝑡 𝑥𝑥0 + ℎ= 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 ⋅ ℎ

𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 ⋅ ℎ

Fehler der

Näherung

Fehlerder

Näherung

𝑟𝑟 ℎ = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ − 𝑡𝑡 𝑥𝑥0 + ℎ= 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 − 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 ⋅ ℎ

𝑟𝑟(ℎ)

Güte der Näherungfür ℎ → 0

Güte der Näherungfür ℎ → 0

𝑟𝑟 ℎℎ

→ 0

𝑟𝑟 ℎℎ

→ 0

(Differenz ∆𝑦𝑦) (Differenzial 𝑑𝑑𝑦𝑦)



Zusammenfassung: Ableitung als lokale Linearisierung




Welche Grundvorstellung wählen Sie zur Einführung?


Analytische Definitionen der Ableitung

Definition über die lokale ÄnderungsrateEine Funktion 𝑓𝑓:𝔻𝔻 → ℝ,𝔻𝔻 ⊆ ℝ heißt an der Stelle 𝑥𝑥0 ∈ 𝔻𝔻 differenzierbar,wenn der Grenzwert

limℎ→0

𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0ℎ

existiert. Er heißt Ableitung von 𝑓𝑓an der Stelle 𝑥𝑥0 und wird mit 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥0)bezeichnet.

Definition über die lokale lineare ApproximationEine Funktion 𝑓𝑓:𝔻𝔻 → ℝ,𝔻𝔻 ⊆ ℝ heißt an der Stelle 𝑥𝑥0 ∈ 𝔻𝔻 differenzierbar, wenn es eine Gerade 𝑡𝑡𝑥𝑥0 durch den Punkt 𝑥𝑥0,𝑓𝑓 𝑥𝑥0 gibt, so dass der Approximationsfehler

𝑟𝑟 ℎ ≔ 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ − 𝑡𝑡𝑥𝑥0 𝑥𝑥0 + ℎ

𝑥𝑥0 + ℎ ∈ 𝔻𝔻 der Bedingung

limℎ→0

𝑟𝑟 ℎℎ = 0

genügt. Die Steigung von 𝑡𝑡𝑥𝑥0 heißt Ableitung von 𝑓𝑓 an der Stelle 𝑥𝑥0 und wird mit 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥0) bezeichnet.



Exkurs: Tangentengleichung im Punkt 𝑷𝑷 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟎𝟎 an 𝑮𝑮𝒇𝒇

Berechnung der TangentengleichungFunktionsgleichung einer Geraden: 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡𝑚𝑚 ist die Steigung der Geraden. Für eine Tangente, die sich im Punkt 𝑃𝑃 𝑥𝑥0,𝑓𝑓 𝑥𝑥0 an 𝐺𝐺𝑓𝑓 anschmiegt, gilt: 𝑚𝑚 = 𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥0Da die Tangente durch 𝑃𝑃 𝑥𝑥0, 𝑓𝑓 𝑥𝑥0verläuft, erfüllen dessen Koordinatendie Funktionsgleichung. Es gilt also: 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥0 + 𝑡𝑡

Im Beispiel: 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐

Mit 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 folgt: 𝑚𝑚 = 2 ⋅ 𝑥𝑥0Mit 𝑃𝑃 𝑥𝑥0, 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥0, 𝑥𝑥02 ergibt sich: 𝑥𝑥02 = 2𝑥𝑥0 ⋅ 𝑥𝑥0 + 𝑡𝑡

⇒ 𝑡𝑡 = −𝑥𝑥02

Damit ergibt sich die Tangentengleichungim Punkt 𝑃𝑃 𝑥𝑥0, 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 zu: 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥0 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥02

Documents

Jürgen Roth Didaktik der Analysis - Universität Koblenz · Jürgen Roth • Didaktik der Analysis. 3.4. Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff. Tangenten-steigung. lokale Änderungsrate