If you can't read please download the document
Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Publication date 2013
iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom
................................................................................................................................................ v .................................................................................... 1
........................................................................................................... 1 ......................................................................................................... 3
........................................................................................................................ 4 ............................................................................................................... 6 .............................................................................................................. 8 ............................................................................................................ 11
................................................................................................................... 13 5. Feladatok ............................................................................................................................. 14
.......................................................................................................................... 16 ..................................................................................................... 16
....................................................... 18 ............................................................................ 19
.......................................... 22 ............................................................................................. 23
6. Feladatok ............................................................................................................................. 26 3. Polinomok ..................................................................................................................................... 29
.................................................................................................... 29 ........................................................................................... 32
............................................................................................................... 34 4. Feladatok ............................................................................................................................. 35
4. Algebrai egyenletek ...................................................................................................................... 36 .................................................................................. 37
.............................................................................. 37 ............................................................................ 38
..................................................................................... 41 .............................................................................................. 42 ............................................................................................. 45
3. Feladatok ............................................................................................................................. 48 ....................................................................................................................... 51
1. Feladatok ............................................................................................................................. 60 6. Kombinatorikai alapok ................................................................................................................. 62
...................................................................................... 62 .......................................................................................... 65
.............................................................................. 66 4. Feladatok ............................................................................................................................. 69
.............................................................................................................................. 71 .................................................................................... 71
.......................................................................................................... 72 ................................................................................................. 73
............................................................................................... 76 ................................................................................................................... 80
........................................................... 83 7. Feladatok ............................................................................................................................. 85
................................................................................................................. 87 1. Feladatok ............................................................................................................................. 92
9. Vektorterek ................................................................................................................................... 95 ............................................................................................. 102
2. Vektorrendszer rangja ....................................................................................................... 106 ........................................................ 107
3. Feladatok ........................................................................................................................... 109 ..................................................................................................... 111
1. Cramer- ................................................................................................................. 113 2. Gauss- ............................................................... 113
............................................................................................ 115
iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.2. Gauss-Jordan- ...................................................................................... 117 ............................................................................... 119
4. Feladatok ........................................................................................................................... 120 ................................................................................................................. 123
1. Izomorfizmus .................................................................................................................... 129 ................................................................................................... 130
................................................................................... 133 4. Feladatok ........................................................................................................................... 134
....................................................................................................................... cxxxvi
v Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A fejezetek
1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1. fejezet -
nk a
-
az egyetlen eleme, a 2 pedig a
s.
2 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.
a b
3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.
, azaz
3.
- -
eggyel szorozzuk.
(kiolvasva: a b), ha van olyan c
(akisebb, mint b), ha de
n egy ter H
- n- -et is,
akkor H on alapszik egy fontos
1.
2.
n -
nnak
4 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Alkalmazva az (1.1)
(1.2)
(1.1)
k-
1.2
k darab
. Az -egy k
nesnek,
figyel k
k
hogy az
5 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-
egyenlet me
hogy a szi n
n
halmazt az , elemeit pedig
ez
x
s, mint az
, ha
, akkor a-t , ha pedig , akkor a-t
1.1. a b
q r .
a- b- q-t
az r-
- -
Bizony
azaz az
r. Ekkor valamely k
. Innen az
b
v
6 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
b
Az - . A bal
, ami azt jelenti, hogy q r
Az 1.5
r
-
a b -
nak a b-vel, vagy: a b-nek), ha van olyan c
.
1.
7 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.
3.
A
4.
Ha , akkor vagy .
5.
Ha , akkor .
6.
Ha , akkor .
k l . Ekkor
d a b
d az a- b- , akkor ,
a b
a
alatt a b
a b
;
azaz vagy d az a b is az.
.
Most meg
a b . Ha
a
alakban, ahol
8 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ahol -
a b euklideszi algoritmusnak, az az
a- b- (1.3)-(1.7)
a- b-nek. De ha d
hogy , vagyis
.
fogalma. Aza b
azt az m - b-nek,
azaz a b , akkor
a b
-
pedig
9 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.
Egy 0- -
vagy 1.
2.
Egy 0- - - vagy
2-nek, sem a 15-
1.2. Minden 0- -
-nek a , ,
-
valamely k-
-
,
is.
. Ekkor
. Mivel
(1.8)-
10 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
n egy -
1-
. Innen egy
n-
nem cs -
Ha
n term
nevezni.
, akkor d kanonikus alakja
ahol d
tnek jelen, melyek n
n-
ha n m megkaph n m kanonikus
=28.
- -
N
N
ami ellentmond annak, hogy
Ha az - -e 1-
n p. Ekkor valamely c
e c n- . Innen
hogy az -
- - -ig
-
n
- n-ig:
-at,
11 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
eratosztheneszi szita
-
0-ig
-vel megszorozva egyet
a b , a-
b- mondjuk. Az .
12 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
,
jel nem ugyanaz. A bal
oldalon a
a
a b
lesz, melyek pontosan az , illetve
a-
Az is igaz, hogy a 0 (azaz a
-
13 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
t
- -et minden -
osztja, vagyis minden -gyel
l el lehet
. Ekko
A
helyezkednek el a
a
b
x
-
jutunk el a . A
14 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. Feladatok
1.1. Feladat. Igazolja, hogy
a.
n ;
b.
n ;
c.
n
1.2. Feladat. Igazolja, hogy
minden
1.3. Feladat.
1.4. Feladat.
1.5. Feladat. ?
15 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.6. Feladat.
a b
1.7. Feladat.
1.8. Feladat.
1.9. Feladat.
16 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. fejezet -
en
-
w
ont, nevezetesen a pont,
pont
rmely
17 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
van olyan pont, mellyel -
a vagy b
esetben a a- b-vel szorozva kapjuk, hogy
egyenlethez jutunk. Innen kapjuk, hogy
Ha (2.1)- yenletet szorozzuk b-vel, a
a-
ig a
.
R-
R-nek:
R-ben a
,
R R elemei
18 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A harmad
-gyel
ot i- az
a-val. Ekkor az
algebrai alakban adott komplex
:
19 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
a
z w
z
;
;
;
;
ha , akkor .
akja
-rendszer
ponton. Ezt az .
, az
. Ne
20 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az
2.4. Az
21 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az -
;
.
r
argumentuma, akkor a 2.2
z
. Legyen most
. Ekkor
, ahol k
z
z trigonometrikus alakja: .
A
22 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
n- n ,
23 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Moivre-
-
. Innen
ugyanis ekkor
-
n-
Legyen n n- n-
z
z n-
jelet
n-
Legyen zn-
alakban. Ha egy n- z-nek, akkor -
-
24 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
valamely k
z n-
n-edik
trigonometrikus alakja
. A k
Folytatva ezt, a esetben
esetben.
Legyenek u v n-nel:
, ahol q t . Ekkor
esetben lesz
(2.2)
n- (2.2)
n k
n darab n-
- .
n darab n- -edik e
(2.2)
(az (2.2) n-
ahol
25 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
n-
-et
i .
Az n- n- z
w a z egy n- z n-
w- n-
videos/egyseggyokanim.html
26 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
(2.2) esetre, azt kapjuk, hogy az egyik negyedik
, azaz .
n-
) a kompl n-
6. Feladatok
2.1. Feladat.
2.2. Feladat.
1.
;
2.
;
3.
27 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
?
2.3. Feladat. Adja meg az
, han
2.4. Feladat. Hozza algebrai alakra a
2.5. Feladat. Legyen
2.6. Feladat. Adja meg a
2.7. Feladat. Fejezze ki a
2.8. Feladat. Adja meg a
2.9. Feladat.
2.10. Feladat.
2.11. Feladat. Legyen a a
2.12. Feladat.
2.13. Feladat.
alakban; ekkor .)
2.14. Feladat.
28 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
egyenleteket!
29 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. fejezet - Polinomok Legyen T
T elemeit, az x
x T-
a T n T
feletti polinomnak mondjuk. Az
- f -
x x
T- x
-
x- T
(3.1)
n-
azonosan nulla polinomnak ne -val
Ha k . Ezt a k f polinom
-
hogy ne kelljen az azonosan nulla polinom
.
A T
A T
tagok szorzata x
. Ekkor
-
sem, azaz
Polinomok
30 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f g
T-beli
minden f f
ko
polinom.
T
elemei.
l tudunk
3.1. f g ( ) T feletti
q r T feletti polinomok, amelyekre
, ahol r foka kisebb a g
q r
polinomok, melyekre
ahol is kisebb mint
g
polinom viszont g-
(3.2)
is azonosan nulla kell legyen, ahonnan
q r polinomok. Legyenek
n, illetve m- , akkor a
. Az esetben osszuk el f g
Polinomok
31 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
g- f - :
f legmag foka kisebb, mint f foka.
Ha
f helyett az
polinomot, melyre igaz, hogy . Ha
helyett -vel.
Mivel az k-
q polinomot az f r
f
g
A g - f
Vonjuk ki f -
A von g -
g
g - -
Polinomok
32 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
g
2. Polinomok
Legyen egy T t adott eleme T-nek. Az
T- polinom
f T
f -hez
Az
Horner- , melynek alapja, hogy az
x
x-
Polinomok
33 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
x t-
null
t
Ekkor(3.3) szerint f polinom t helyen vett
3.2 polinomba -
Horner- polinom helyen vett
tag
rner- f
Polinomok
34 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Azt mondjuk, hogy az polinomnak, ha . Itt T
esetben f - t
f i
(3.4) t f polinomnak, ha f
alakban, ahol q f . Ekkor az f polinom t-
T feletti
polinomok, hogy . Ha t f polinomnak, akkor . Mivel T-
vagy
vagyis t f polinomnak, ha vagy g-nek, vagy h-nak (esetleg mindkett
Legyen az f . Ha -nek van
-
ahol f - polinommal,
hogy ekkor az f
3.2.
amennyi a foka.
n nulla polinomnak T
Ha a (3.5)
mondjuk, hogy -nek. Pontosabban, ha s, akkor -t f s-szeres
mondjuk.
3.3. n-
n
Ha az f g polinomok b
, azaz b
polinomnak. Ha f g n
Polinomok
35 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
megegyeznek, az azt jelenti, hogy az n
De ha f g legfeljebb n-
- n- az azonosan nulla
polinom, vagyis .
n-
megmondjuk
lt is
3 5]
4. Feladatok
3.1. Feladat.
3.2. Feladat. f polinomot a g-vel!
a.
b.
3.3. Feladat. - -e az
3.4. Feladat. -
3.5. Feladat. c
helyen 3 legyen!
3.6. Feladat. n-
orner-
3.7. Feladat. i!
36 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4. fejezet - Algebrai egyenletek Egyenlet alatt egy F G x-
alatt mindazon t- F, mind a G
elemeit az egyenlet
egyenletetekvivalensnek
ekvivalens egyenletet kapunk, az egyenlet ekviv
Mi most csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor
ugyanannak a polinomnak a
egyenlet
polinom. Ha f
egyenletet algebrai egyenletnek algebrai egyenlet
az f t
ha t az f
nevezni.
A
4.1.
(3.5)
alakban, ahol a f f
3.2
nem lehet nagyobb az egy
polinom foka.
Az szorzatot kifejtve, egy olyan
polinomot kapunk, ahol:
Algebrai egyenletek
37 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
k darabot az
(4.1)
,
ismert
algebrai egyenlet
1.1.
a-val:
Algebrai egyenletek
38 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
a l kell, hogy
, akkor
ahol za D
Az , a
melyek
.
a-val:
x -t! Ekkor a
p q
(4.2)
. Ha , akkor (4.2) y
p, sem q nem nulla. Legyenek u v
Algebrai egyenletek
39 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
(4.2) u v komplex
gy
a(4.2)
w a komplex
u- v-re is 3- (4.2) egyenlet
-
is adja meg(4.2)
u
(4.2)
A
Algebrai egyenletek
40 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
egyenlethez jutunk. A (4.2)
Innen
Algebrai egyenletek
41 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
. A (4.3)
-t:
Az ,
-
4.2. -Abel-
egyenletnek nin
f polinom az
Algebrai egyenletek
42 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
algebrai egyenlet egy t
q
-
fogjuk megmutatni,
4.3. Ha a t
akkor is az.
Ha t
hogy , azaz
amely pontosan azt jelenti, hogy polinomnak, azaz .
f polinom(4.1)
Ha a
polinom. Ha pedig
mondjuk . Ekkor a - -
nt
4.4. feletti polinom fe -
Ha az f (4.1)
4.5.
Algebrai egyenletek
43 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.6. - Legyen . Ha f ,
akkor minden olyan ely az
, amelyre .
A Bolzano-
f f
miatt vannak olyan a b
. Ekkor - f
azaz az
4.7. Az
r
r alakban, ahol u az -nak, v pedig az -
Minden r ra alakban, ahol u v ,
r
videos/bolzanoanim.html
Algebrai egyenletek
44 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-nel az
v-
v- v-
u v v -nek.
z u- u
az -nak.
szorozva vele ekvivalens
-
-hez tar
Algebrai egyenletek
45 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az -
melyet (4.4)-
Az ,
hanem minden olyan egyenletre, ahol f egy
Algebrai egyenletek
46 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
pontokat az intervallumban, melyekre
Ha nincsenek ilyen pontok, akkor az egyenletnek nyil intervallumban. Ha vannak,
akkor a Bolzano-
Algebrai egyenletek
47 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
. Az
- , vagy az
n-
n tart a
sorozat az egyenlet egy
s az
Algebrai egyenletek
48 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
P intervallumon, 0,1
intervallumon.
Legyen . Ekkor
intervallum biztosan tartalmazza az egyenlet egy
az
. Mivel ,
most
Az ,
3. Feladatok
4.1. Feladat.
a.
b.
videos/ifanim.gif
Algebrai egyenletek
49 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
c.
d.
e.
f.
g.
4.2. Feladat.
a.
b.
c.
4.3. Feladat.
a.
b.
4.4. Feladat. Oldja meg az
,
4.7
Az ,
Algebrai egyenletek
50 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
51 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. fejezet -
S
Az S S
S-beli elemet
52 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
53 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f
helyett pedig az
Az S
ahol a T feletti (T
Azt mondjuk, hogy az S , ha minden
5.1. Ha az S
Legyen
B. Az n . Ez -ra az
n- B
alakban, ahol C D legfeljebb
D elemet tartalmazza, akkor
C-re D
, ahol E-ben az elemek sz
legfeljebb -re,
kapjuk, hogy
Azt mondjuk, hogy az , ha
, stb.
Legyen az S Ha S-ben van olyan e elem, hogy
e elemet (a
is
az
54 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
a T
polinom;
egy H
ha e f ,
Legyen az S e. Azt mondjuk, hogy az S
halmaz a , hogy x
elemet az - a
aell
gyakranreciproknak
A
lemnek van inverze, a -ban
csak a
5.2. Legyen
1.
S
2.
Ha az - - .
3.
Ha az a bS- -
.
b c az a elem inverzei. Ekkor
2. Mivel a -
.
Az S , ha minden
55 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.3.
igaz.
Azt mondjuk, hogy az csoport, ha S- S
csoportban
csoportnak vagy Abel-csoportnak , ,
-
5.2 S
- .
-
Legyen H G-nek. Azt mondjuk, hogy G-nek, ha is
csoport, azaz H maga is csoportot alkot a G-
csoportnak a -e vagy
5.4. - A csoport H
rmely
H ,
H-nak.
b helyett a-t
is benne van a H- b helyett e-
azt kapjuk, hogy is a H- H H
a helyett -
a H G-
1.
Abel-csoport;
2.
minden
56 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
.
, ,
H a H
metszet pedig
57 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
58 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, elemeire
-
R H
R-nek R-beli
5.5. - A H
is elemei H-nak.
m egy
, illetve alatt az
, illetve m-
m
Az 5.3 , az 5.4 -
-
-
59 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az a
, hogy vagy . Az R , ha nem tartalma
-
vagy
hogy ha egy R a
a
elem, hogy -
Az testnek Abel-
k, hogy az
pontosan akkor test, ha m
Legyen T T n
a Ttest n, akkor azt mondjuk, hogy a .
p. A test
Ha a T T-
mondjuk.
T
T a vagy
T
akkor is igazak maradnak, ha T alatt a fen
Legyen most polinomokat. Mivel a test
f - g-
60 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
) de csak
algebrai
1.
2.
-re.
H
H) ,
- ), melyre igaz, hogy
Boole-
pedig komplementer-
1. Feladatok
5.1. Feladat. H
-
5.2. Feladat. Igazoljuk, hogy
Van- eleme?
5.3. Feladat. Csoport-e a , ahol
5.4. Feladat. Csoport-e a , ahol ?
5.5. Feladat. Legyen c
csoport, ahol
5.6. Feladat. Igazolja, hogy az
61 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
C
5.7. Feladat. Legyen H a H
5.8. Feladat. -
5.9. Feladat.
egyenletnek az
5.10. Feladat. Igazolja, hogy -nak!
5.11. Feladat.
5.12. Feladat. Vezessen be a
komplementer- -algebra legyen!
62 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
6. fejezet - Kombinatorikai alapok
biten
Ha n k
elem egy k- kapjuk.
n elem k-
bit, melyen
ra
oka, hogy
alkal
-
Ha
k k-adikat darab elem
Kombinatorikai alapok
63 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
k
Ha n k
n elem egy k- kapjuk.
n elem k- n darab, a
k-adik
Az n az
n n elem egy
n n
n
a-
Ha n n
n darab elem egy
n darab elem
Az
-
Kombinatorikai alapok
64 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha n k
n k
akkor az n elem egy k- kapjuk.
n k-
Az , az n alatt a k -nak
olvasunk. Ha pedig , akkor - n
n- -
Ha n k
n elem egy k- kapjuk.
n elem k-ad os
n
k
! Ekkor
ndarab elem minden k- darab elem pontosan egy k-
Kombinatorikai alapok
65 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-
-
Az adunk
n olyan n
:
lesz, melynek minden tagja
(6.1) pontosan k x-
y- n k darabot pedig -
6.1. Legyenek valamely T n
n-
. Pontosan ezt a
tagot kapjuk, ha (6.2) n - -
- -
Kombinatorikai alapok
66 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
esetben kapjuk az tagot.
6.2. tel). Legyenek
valamely test elemei. Ekkor
A
n
.
n k darab elem, melyet
n -
k darab
pedig az eredeti n
, azaz
Kombinatorikai alapok
67 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
6.2
A Pascal-
-et
Pascal- n- k-adik
. A (6.3) a Pascal-
Az
Kombinatorikai alapok
68 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
- - - k-
A (6.5) , esetben
(6.4)
Kombinatorikai alapok
69 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4. Feladatok
6.1. Feladat. -
nem oszt -zel?
6.2. Feladat.
6.3. Feladat.
6.4. Feladat.
6.5. Feladat.
6.6. Feladat.
meg?
6.7. Feladat.
6.8. Feladat.
ilyen
6.9. Feladat.
6.10. Feladat.
6.11. Feladat.
6.12. Feladat.
gy biztosan legyen
6.13. Feladat. n
6.14. Feladat. A (6.5)
6.15. Feladat.
6.16. Feladat.
6.17. Feladat. Igazolja, hogy a Pascal- n- !
Kombinatorikai alapok
70 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
6.18. Feladat. Igazolja, hogy a Pascal- n-
6.19. Feladat. Legyen n . Igazolja, hogy
71 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7. fejezet -
Legyen , ahol az
f
azM , akkor
a
f az M
akkor az
n n
n
az M
csoport, ahol a M halmaz -
esetben, mikor , n-
- egy f
alakban fogjuk megadni:
mint a -hez a
6- -hoz a 4- -hez 4-et.
Azt mondjuk, hogy az
a k l , ha , de az f
f , ha .
72 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f
i j
i j
i i j x
nek, ha abban voltak, nem lesznek), ha az x j
akkor a
-
f
legyen az inverze. Ekkor , I -
-
Legyenek m n , ahol
T test elemei. Az
73 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
T test feletti)
T-beli elemek m n
Az , az elemeket pedig a
AB
Az A az
A
B
Az
A , illetve
i- j- -
z
- -
n-edik sor -
74 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f f
A
azt a T T
elemet rendeli. A elemet az
T
A szorzatot az A f
Az
-
, az - . Az A
Legyen most
75 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
egy adott A csoportra,
Az A
A
7.1 (7.1)
A
76 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, illetve
mind
a
T test feletti
T
7.1.
Tekints
. Ekkor
-
szorzat megjelenik az A
77 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-
j-t, melyre ; ekkor
f g
7.2.
nulla.
7.3.
elemek az i-edik sorban
78 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.4.
c c-
c c- tozik,
c-t
7.5.
Teg i- j-edik sorok
A f
i- j-
f g
7.6.
7.7.
79 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-
az
A
fokozhatjuk, ha az dikat,
7.8.
80 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
i-edik sorhoz a j-ediket, majd
aj- i- i- j-ediket! A 7.6
7.7
Egy -ad egy olyan
k k
A ald
azon
oszlopok indexei , akkor a d-
81 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A
kompleme
.
7.9. Lemma. A dk-
d
k
elemeket
- d gja
az elemeket hagyja fixen, akkor g-
tagja
-nak is tagja. A
ami pontosan a
sarokban jelenjen meg. Ha B
tagja d-nek, pedig -nak,
tagja -
82 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
tagja -nak.
7.10. - kdarab
sort k-
k- d A
d tagjainak szorzatai tagjai -nak. Ez darab
k
k- en tagot kapunk. Mivel ezek a tagok
- .
Ha a fenti A
k 0- -
gy a Laplace-
7.11.
-
Ha most az A
83 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.12.
kapunk.
Szorozzuk meg az i- i-
j-edik sor megfe
t; ekkor
ahol
t j- j-edi i-
B. Ekkor t
j-edik sorra, kapjuk, hogy . De mivel B
val
azaz
felett minden elem nulla:
vagyis ha
7.13.
84 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.1
7.8
. eleme nulla legyen. Ekkor a7.7.
Most pedig l
1.
85 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1 lesz,
2.
3.
4.
5.
szorzata, azaz .
7. Feladatok
7.1. Feladat. ordulhat-
7.2. Feladat. Az
a.
b.
szorzatok?
7.3. Feladat.
86 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.4. Feladat. Mi a kapcsolat az A B
7.5. Feladat.
fel?
7.6. Feladat.
konstanssal szorozzuk?
7.7. Feladat. x
7.8. Feladat.
7.9. Feladat.
7.10. Feladat.
A V Vandermonde-
87 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
8. fejezet -
azt az
minden
T test feletti
T
(
minden Abel-csoport.
A B
A B A
i-ediket), a B j-edik),
n
i- j-edik eleme (8.1
azt az
minden
88 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Legyenek
Az
89 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
mutatja, hogy a szorzat egy
,
,
,
.
8.1. Ha , , akkor
ekkor az
hogy az
T
test,
90 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
8.2.
Ahhoz, hogy
mind
T-
-
8.3. Ha A B
Legyenek C az a
A
91 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ban az az ,
B
A Laplace- n
-edik sor - -edik
sor - -edik sor -
-edik sor - -edik sor -
-edik sor -
azn-edik sorhoz adjuk az -edik sor - -edik sor -
-edik sor -
7.7 -
n
Mivel a
.
8.4.
A
ez B. Ekkor
.
92 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
F
ahol az A
A-
, azaz B A inverze.
trix hogyan
akkor miatt A-
A
meg.
soportot alkotnak a
1. Feladatok
8.1. Feladat.
8.2. Feladat. Legyen
93 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Adja meg az
8.3. Feladat. Igazolja, hogy ha
!
8.4. Feladat. Keressen az
8.5. Feladat. Keresse meg azokat a
8.6. Feladat. Legyen
Van-e G-
G csoporto
8.7. Feladat.
8.8. Feladat. Igazolja, hogy ha A
.
8.9. Feladat. Oldja meg a
8.10. Feladat. Igazolja, hogy mindazon
8.11. Feladat. Csoportot alkot-
halmaz?
94 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
8.12. Feladat. Legyen A valamely n
Mutassa meg, hogy !
95 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9. fejezet - Vektorterek
Legyen V T egy test. Azt mondjuk, hogy a V T-beli)
, ha adva van egy
- a -
T test feletti A
-
Legyen egy Abel- T egy test. Azt mondjuk, hogy T test felett,
T-
1.
,
2.
,
3.
,
4.
.
Ekkor V elemeit vektoroknak
1.
T test felett.
2.
A T n-esek ha T
Ezt a vektorteret - vagy
Vektorterek
96 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.
4.
T-
a T
5.
6.
az euklideszi geometriai teret. Az
mondjuk. Az
p
- -
- Szabadvektorok alatt az ezen
ekvivalencia-
a b szabadvektorok egy- a
b c azt a szabadvektort, melyhez az a fenti
b a
b c 9.2
Vektorterek
97 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9.3
a szabadvektor a-nak
egy reprezen O azA
Ekkor alatt az
O- pontot. Le
a
jelenti.
Az a
Vektorterek
98 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9.5 9.6
Vektorterek
99 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Legyen V T test felett,
vagy .
A V L L V -
- 5.4
9.1. A V L
is elemei L-nek.
1.
2.
-
3.
n-
4.
Az
5.
Vektorterek
100 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
alterei
H , akkor a b
, akkor is benne
H
vektorrendszeren
V H egy
zere V -nek. A alatt V a H
V
tartalmazza a H H
-t is.
a V H-
Vektorterek
101 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Legyenek a V
vektort az vektorok
elemeit.
9.2. Legyen V H V -nek. Ekkor
H-
a H-
a b H-
videos/vektor.html
Vektorterek
102 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
H-beli vektorok az
is H- egy H-
V -ben,
alteret a H vektorrendszer
1.
2.
3.
megegyezik.
A V H , azaz V
H-b
Az
ll H
nevezetesen
sem haladja meg az ezen polino
Legyenek adott vektorai a V
akkor, ha
Vektorterek
103 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
H
akkor minden H-
9.3. A V vektorai, ahol
mondjuk -gyel osztva, majd
vagyis az
vektorok
1.
ha
2.
3.
A
V -
9.4. Legyen B a V
1.
Vektorterek
104 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
B V -nek.
2.
B V -nek.
3.
V B
Mivel B vektor
B- 9.3 Ba-val
B
vektort! Mivel B
vektorok, hogy a
B-
B-
azaz B
Te B-
Mivel B
V B-
B
B
nulla B B
isa
Vektorterek
105 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
V
.
.
V n n
V - n-
Legyen a V
n n-
- , akkor azon
, az a vektor
Ha aza
a egy -beli
x y v
rendre , akkor az
komponensei lesznek.
Most megmutatjuk, hogy az
, ahhoz, hogy az
vektorral, ha
E
-
Vektorterek
106 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ahonnan , azaz
vektor
(9.1) egyenlet bal
olda
egyenletrendszerhez jutunk, melynek
b
b
2. Vektorrendszer rangja
Azt mondjuk, hogy egy vektorrendszer rangjar r
9.5. H
vektorrendszer rangja r b egy
ol
valamely
vektorrendszer rangja nem lehet lenne, akkor
b
. Ekkor az
r
(9.2) b
az vektorrendszer rangja nem lehet r.
Vektorterek
107 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
T test feletti -beli vektorokat (ezeket a
a sorvektor- A
9.6.
1.
Az A r.
2.
Az A - r.
3.
Az A r- -
- -
elemi so
rral.
1.
2.
A
Vektorterek
108 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9.7. Minden
Gauss-
,
az
1.
2.
3.
4.
Vektorterek
109 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.
Az A
A
3. Feladatok
9.1. Feladat. Vektorteret alkotnak-e a pontosan n-
9.2. Feladat. Igazolja, hogy V
feltenni, hiszen azt a 1.
vektorra!)
9.3. Feladat. Mutassuk meg, hogy -ben a
halmazok alterek! Adjon meg egy-egy
ezekben az alterekben!
9.4. Feladat. Mutassuk meg, hogy a
!
9.5. Feladat. Adottak az x polinomok -ben. Mely polinomokat kell
kapjunk?
9.6. Feladat.
9.7. Feladat. Mutassa meg, hogy az vektorrendszer
-nek!
9.8. Feladat. Mutassa meg, hogy az ektorai -
nek!
9.9. Feladat. Mutassa meg, hogy a
alkotnak -
9.10. Feladat. Mutassa meg, hogy egy adott A
A -
9.11. Feladat.
melyeknek van l
9.12. Feladat.
a.
Vektorterek
110 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
b.
c.
d.
e.
f.
111 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
10. fejezet - egyenletrendszerek A
objektumot, ahol adott T n m
A , elemeit az
, B-t a szabadtagok , az
112 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-beli vektor, hogy az
i- X az ismeretlenek
vektoros alakja
B
9.5
r), akkor az r
darab ve B
10.1. -Capelli).
n
, akkor az
a kisebb, mint az ismeretlenek
melyek nem mindegyike nulla, hogy
Ha
113 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
azaz -
egyenletrend
1. Cramer-
10.2. A
ahol A
annak k- B
Mivel , a Kronecker-
helyett x y
2. Gauss-
ekvivalensnek mo
114 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
10.3.
legyen:
ahol
legyenek ezek rendre a T test
-t:
.
Oldjuk meg az
115 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
melyben
aholu u nk.
t, ahol
vektorokE
a
116 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Innen
A
avektor.
A (10.2)
egyetlen pont.
b A lesz,
szabadtagjainak vektora pedig b
117 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
-
2.2. Gauss-Jordan-
a harmadik sort osztjuk 1/3-
-mal:
118 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Gauss-Jordan-
az a b E .
-Jordan-
A Gauss-Jordan-
-Jordan-
inverze.
A 8. fejezetben az
-Jordan-
az
A j- ) mint
119 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
E j-
-Jordan
pedig pontosan ezeket oldjuk meg egyszerre.
-
-ben (n .
Legyen H altere a V . Ekkor az
halmazt a elemet az
10.4. Legyen V T test felett, H altere V -nek, .
Ekkor
1.
kor, ha ;
2.
az Tfelett, ha
V H
10.5. Ha az
-nek, ahol az
H pedig az
miatt
, azaz .
120 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
(10.1) -
melyben
ahonnan
- (10.1)
4. Feladatok
10.1. Feladat.
121 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
10.2. Feladat. Igazolja, hogy egy n ismeretlenes, T
-nek!
10.3. Feladat.
a.
b.
122 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
123 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
11. fejezet - Legyenek vektorterek ugyanazon T
- a b vektor is eleme -
vektor is eleme,
-e a vektorral.
Az a vektorra is eleme -
vektorok elemei. Mivel ugyanazon T vektor is eleme.
124 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A
kapjuk- a vektort szorozzuk meg a
avektorra a az a vektor
-val. A
Ha
,
- ), valamint a vektorok adott
Legyen , , vagyis
,
pontot -
125 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
11.1. A
1.
.
2.
Minden .
3.
Ha L a altere, akkor a halmaz altere -nek.
4.
Ha , akkor
5.
6.
Ha L
- .
1.
2.
ahonnan
3.
126 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Legyenek -beli vektorok. Ekkor vannak olyan a b vektorok L-ben, hogy
. A
Mivel
4.
n vektorra igaz.
5.
Ha -nek, akkor
6.
-
.
, .
11.2. Legyen
vektorhoz a
127 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
vektort rendeli, ahol az a vektor
, akkor
A a
a
A
nullvektora
A
halmaz
128 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
halmazok.
11.1 - megmutatjuk, hogy a mag is az.
11.3. A -nek.
Legyen
miatt
-ben.
11.4. A line .
. Ekkor
, azaz esetben
csak
11.5.
Legyen -
129 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ahol
Mivel -
azaz -nek.
11.6. Legyenek
A
nevezni.
1. Izomorfizmus
izomorfizmusoknak vektorterek
izomorfak
11.7.
megegyezik.
egy izomorfizmus a
B -nek. A 11.1 -nek,
amely a 11.5 B
n T test
f - - rendelje minden
- n-
tasorhoz
n
T n
vektorteret alaposan megismerni.
130 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Legyen V V -
Ha automorfizmusnak
, , ahol
-
Legyen A adott T test feletti ,
elemeit
11.8.
Legyen 11.4
Legyen T test feletti V egy V -
E alatt azt az
i- vektor E
11.9. Legyen V egy V -
E A. Ha
, akkor
Legyen . Mivel
az
mint tudjuk
131 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az
a b
. A
-ra.
egy vektor
-
A zuk a pont
132 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
pont.
T test feletti V
,
akkor legyen
T V -
E A B, akkor a
V egy n T test felett, melynek E egy adott
V -
E
V -
a V -
A B, akkor , ugyanis
j- vektorE -
ha a V -
V
- V - egy
V -nek, , . Ekkor minden
E , ahol a
rendezett elemn-es j- E A
133 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
leme . Az
A
V -
Legyenek V
11.2
melyre
E S. Ekkor S olyan T j-
vektor E -oszlopa szerepel. Ezt az S
- F- . Mivel S
F- E-
akkor az - -
vektorok E
Gauss-Jordan-
e-
S
11.10. Legyenek V -ben,
Saz E- F- , valamint
a bvektor E, illetve F
Legyen . Mivel
134 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
- F- -
11.11. Legyenek V -ben,
S azE- F- V -
E F A B. Ekkor
.
Legyen . Ekkor
ahonnan , azaz
4. Feladatok
11.1. Feladat.
1.
2.
3.
135 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.
5.
11.2. Feladat. Adja meg az
a.
b.
c.
11.3. Feladat. Ha V egy n
cxxxvi Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Typotex, 2007.
2002.