Mathematische GrundlagenJulia-Mengen

Mandelbrotmenge

Juliamengen und Mandelbrotmenge

Xin Xu Florian Pausinger

18. Januar 2008

Xin Xu, Florian Pausinger Juliamengen und Mandelbrotmenge

Mathematische GrundlagenJulia-Mengen

Mandelbrotmenge

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische GrundlagenKomplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

2 Julia-MengenDefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

3 MandelbrotmengeDefinitionCharakterisierung

Xin Xu, Florian Pausinger Juliamengen und Mandelbrotmenge

Mathematische GrundlagenJulia-Mengen

Mandelbrotmenge

Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Über komplexe Zahlen

Seien α = a + i · b, β = c + i · d komplexe Zahlen.Dann gelten:

α · β := (a + ib) · (c + id) = ac − bd + i(ad + bc) und

|α| :=√

a2 + b2 .

Der Betrag entspricht also dem Abstand der Zahl zumUrsprung in der komplexen Zahlenebene.Darstellung in Polarkoordinaten: α = |α| exp(iφ)

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Mandelbrotmenge

Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Über komplexe Zahlen

Seien α = a + i · b, β = c + i · d komplexe Zahlen.Dann gelten:

α · β := (a + ib) · (c + id) = ac − bd + i(ad + bc) und|α| :=

√a2 + b2 .

Der Betrag entspricht also dem Abstand der Zahl zumUrsprung in der komplexen Zahlenebene.

Darstellung in Polarkoordinaten: α = |α| exp(iφ)

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Mandelbrotmenge

Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Über komplexe Zahlen

Seien α = a + i · b, β = c + i · d komplexe Zahlen.Dann gelten:

α · β := (a + ib) · (c + id) = ac − bd + i(ad + bc) und|α| :=

√a2 + b2 .

Der Betrag entspricht also dem Abstand der Zahl zumUrsprung in der komplexen Zahlenebene.Darstellung in Polarkoordinaten: α = |α| exp(iφ)

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Mandelbrotmenge

Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Über komplexe Zahlen

Seien α = a + i · b, β = c + i · d komplexe Zahlen.Dann gelten:

α · β := (a + ib) · (c + id) = ac − bd + i(ad + bc) und|α| :=

√a2 + b2 .

Der Betrag entspricht also dem Abstand der Zahl zumUrsprung in der komplexen Zahlenebene.Darstellung in Polarkoordinaten: α = |α| exp(iφ)

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Iterationen und beschränkte Folgen

Definition (Iteration)

Unter einer Iteration wird im weiteren die wiederholte Ausführungeiner Funktion f auf einen Startwert z0 verstanden, z.b.f 3 := f (f (f (z0))).

Definition (Beschränkte Folge)

Eine Folge (an)∞0 heißt beschränkt, wenn gilt |an| ≤ C für alle

n ≥ 0 mit n, C ε N.

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Iterationen und beschränkte Folgen

Definition (Iteration)

Unter einer Iteration wird im weiteren die wiederholte Ausführungeiner Funktion f auf einen Startwert z0 verstanden, z.b.f 3 := f (f (f (z0))).

Definition (Beschränkte Folge)

Eine Folge (an)∞0 heißt beschränkt, wenn gilt |an| ≤ C für alle

n ≥ 0 mit n, C ε N.

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Ein Beispiel

Es seien z0 ε C und f (z) := z2.

Dann gilt: f k(z0) = z2k

0 = |z0|2kexpi2kφ

In Abhängigkeit von z0 gibt es drei verschiedeneVerhaltensmuster der Iterationsfolgen:

|z0| = 1: Es ist f k(z0) = z2k

0 = expi2kφ.|z0| < 1: Wegen |z0|2

k → 0, gilt: limk→∞

f k(z0) = 0

|z0| > 1: Wegen |z0|2k →∞, gilt: lim

k→∞f k(z0) = ∞

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Ein Beispiel

Es seien z0 ε C und f (z) := z2.

Dann gilt: f k(z0) = z2k

0 = |z0|2kexpi2kφ

In Abhängigkeit von z0 gibt es drei verschiedeneVerhaltensmuster der Iterationsfolgen:

|z0| = 1: Es ist f k(z0) = z2k

0 = expi2kφ.|z0| < 1: Wegen |z0|2

k → 0, gilt: limk→∞

f k(z0) = 0

|z0| > 1: Wegen |z0|2k →∞, gilt: lim

k→∞f k(z0) = ∞

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Ein Beispiel

Es seien z0 ε C und f (z) := z2.

Dann gilt: f k(z0) = z2k

0 = |z0|2kexpi2kφ

In Abhängigkeit von z0 gibt es drei verschiedeneVerhaltensmuster der Iterationsfolgen:

|z0| = 1: Es ist f k(z0) = z2k

0 = expi2kφ.

|z0| < 1: Wegen |z0|2k → 0, gilt: lim

k→∞f k(z0) = 0

|z0| > 1: Wegen |z0|2k →∞, gilt: lim

k→∞f k(z0) = ∞

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Ein Beispiel

Es seien z0 ε C und f (z) := z2.

Dann gilt: f k(z0) = z2k

0 = |z0|2kexpi2kφ

In Abhängigkeit von z0 gibt es drei verschiedeneVerhaltensmuster der Iterationsfolgen:

|z0| = 1: Es ist f k(z0) = z2k

0 = expi2kφ.|z0| < 1: Wegen |z0|2

k → 0, gilt: limk→∞

f k(z0) = 0

|z0| > 1: Wegen |z0|2k →∞, gilt: lim

k→∞f k(z0) = ∞

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Ein Beispiel

Es seien z0 ε C und f (z) := z2.

Dann gilt: f k(z0) = z2k

0 = |z0|2kexpi2kφ

In Abhängigkeit von z0 gibt es drei verschiedeneVerhaltensmuster der Iterationsfolgen:

|z0| = 1: Es ist f k(z0) = z2k

0 = expi2kφ.|z0| < 1: Wegen |z0|2

k → 0, gilt: limk→∞

f k(z0) = 0

|z0| > 1: Wegen |z0|2k →∞, gilt: lim

k→∞f k(z0) = ∞

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Komplexe ZahlenÜber Iterationen und beschränkte Folgen

Ein Beispiel

Es seien z0 ε C und f (z) := z2.

Dann gilt: f k(z0) = z2k

0 = |z0|2kexpi2kφ

In Abhängigkeit von z0 gibt es drei verschiedeneVerhaltensmuster der Iterationsfolgen:

|z0| = 1: Es ist f k(z0) = z2k

0 = expi2kφ.|z0| < 1: Wegen |z0|2

k → 0, gilt: limk→∞

f k(z0) = 0

|z0| > 1: Wegen |z0|2k →∞, gilt: lim

k→∞f k(z0) = ∞

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Was ist eine Juliamenge?

Definition (Juliamenge)

Sei f ein Polynom vom Grad ≥ 2. Die Menge derjenigenAnfangswerte z ε C für welche die Iterationsfolge f k(z) beschränktbleibt, heißt ausgefüllte Julia-Menge von f . Bezeichnung: K (f ).Der Rand von K (f ) wird mit J(f ) bezeichnet und heißtJulia-Menge von f .

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Fortsetzung des Beispiels

Durch Addition eines komplexen Parameters ensteht aus dervorher betrachteten Funktion f die quadratische Familiefc(z) := z2 + c .Für c = 0 kennen wir bereits das dynamische Verhalten derIterationsfolgen und damit die zugehörige Juliamenge.

Wie verändert sich nun das Aussehen dieser Menge durch dieAddition eines komplexen Parameters c?

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Mandelbrotmenge

DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Fortsetzung des Beispiels

Durch Addition eines komplexen Parameters ensteht aus dervorher betrachteten Funktion f die quadratische Familiefc(z) := z2 + c .Für c = 0 kennen wir bereits das dynamische Verhalten derIterationsfolgen und damit die zugehörige Juliamenge.Wie verändert sich nun das Aussehen dieser Menge durch dieAddition eines komplexen Parameters c?

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Mandelbrotmenge

DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Fortsetzung des Beispiels

Durch Addition eines komplexen Parameters ensteht aus dervorher betrachteten Funktion f die quadratische Familiefc(z) := z2 + c .Für c = 0 kennen wir bereits das dynamische Verhalten derIterationsfolgen und damit die zugehörige Juliamenge.Wie verändert sich nun das Aussehen dieser Menge durch dieAddition eines komplexen Parameters c?

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Juliamengen

Abbildung: Juliamenge für c = −0, 12375 + 0, 56508i

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Juliamengen

Abbildung: Juliamenge für c = −0.11 + 0, 6557i

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Juliamengen

Abbildung: Juliamenge für c = i

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Juliamengen

Abbildung: Juliamenge für c = 0, 11031− 0, 67037i

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Systematisch? Chaotisch?

Die Bilder lassen eine grobe Einteilung der Julia-Mengen inzusammenhängende und auseinanderfallende Mengenvermuten.Doch wann zeigt eine Julia-Menge welches Verhalten? Kannman Vorhersagen darüber treffen?

???Antworten auf diese Fragen lieferte Benoit Mandelbrot um1980!

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Systematisch? Chaotisch?

Die Bilder lassen eine grobe Einteilung der Julia-Mengen inzusammenhängende und auseinanderfallende Mengenvermuten.Doch wann zeigt eine Julia-Menge welches Verhalten? Kannman Vorhersagen darüber treffen????

Antworten auf diese Fragen lieferte Benoit Mandelbrot um1980!

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Systematisch? Chaotisch?

Die Bilder lassen eine grobe Einteilung der Julia-Mengen inzusammenhängende und auseinanderfallende Mengenvermuten.Doch wann zeigt eine Julia-Menge welches Verhalten? Kannman Vorhersagen darüber treffen????Antworten auf diese Fragen lieferte Benoit Mandelbrot um1980!

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DefinitionQuadratische FamilieBildbeispiele

Systematisch? Chaotisch?

Die Bilder lassen eine grobe Einteilung der Julia-Mengen inzusammenhängende und auseinanderfallende Mengenvermuten.Doch wann zeigt eine Julia-Menge welches Verhalten? Kannman Vorhersagen darüber treffen????Antworten auf diese Fragen lieferte Benoit Mandelbrot um1980!

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DefinitionCharakterisierung

Die Mandelbrotmenge

Definition (Mandelbrotmenge)

Die Menge aller c-Werte für die K (fc) zusammenhängend ist heißtMandelbrotmenge Mf .

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DefinitionCharakterisierung

Charakterisierung

Folgender Satz ermöglicht eine Charakterisierung der Elementeder Mandelbrot-Menge:

SatzEine ausgefüllte Juliamenge K (fc) ist genau dannzusammenhängend, wenn sie c enthält.

Weiters kann man zeigen, dass das dynamische Verhalten vonfc und die Struktur der Julia-Menge K (fc) wesentlich dadurchbestimmt werden, in welchem Teil der Mandelbrotmenge derParameter c liegt.

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DefinitionCharakterisierung

Charakterisierung

Folgender Satz ermöglicht eine Charakterisierung der Elementeder Mandelbrot-Menge:

SatzEine ausgefüllte Juliamenge K (fc) ist genau dannzusammenhängend, wenn sie c enthält.

Weiters kann man zeigen, dass das dynamische Verhalten vonfc und die Struktur der Julia-Menge K (fc) wesentlich dadurchbestimmt werden, in welchem Teil der Mandelbrotmenge derParameter c liegt.

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DefinitionCharakterisierung

Charakterisierung

Folgender Satz ermöglicht eine Charakterisierung der Elementeder Mandelbrot-Menge:

SatzEine ausgefüllte Juliamenge K (fc) ist genau dannzusammenhängend, wenn sie c enthält.

Weiters kann man zeigen, dass das dynamische Verhalten vonfc und die Struktur der Julia-Menge K (fc) wesentlich dadurchbestimmt werden, in welchem Teil der Mandelbrotmenge derParameter c liegt.

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DefinitionCharakterisierung

Mandelbrotmenge unseres Beispiels

Für unser Beispiel ergibt sich als Mandelbrotmenge folgende alsApfelmännchen bekannt gewordene Abbildung:

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DefinitionCharakterisierung

Verwendete Literatur

Dufner, Roser, Unseld: Fraktale und Julia-Mengen. VerlagHarri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main, 1998.Jürgen Kummer: Die Juliamengen und die Mandelbrotmenge.Online unter: http://jumk.de/facharbeit/anmerkungen.html[Stand 10.1.2008]Titelbild vonhttp://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Juliamenge-hoch-5.JPG[Stand 14.1.2008]Weitere Bilder entnommen aus: Peitgen, Richter: The Beautyof Fractals. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1986.

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DefinitionCharakterisierung

Wir danken für eure Aufmerksamkeit!

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