BirutėJarašiūnienė

JUNGINIAI JUNGINIAI

GGretiniais be pasikartojimųretiniais be pasikartojimų Turime n skirtingų daiktų. Kiek iš jų galima sudaryti k-elemenčių junginių, sudarytų iš skirtingų elementų,

kai junginys nuo junginio skiriasi arba bent vienu elementu, arba jų tvarka?

)1)...(1( knnnAkn

Pavyzdys. Keliais skirtingais būdais galima sudaryti trispalvę vėliavą, turint 5 skirtingų spalvų audinius?

Kadangi vėliava nuo vėliavos skiriasi arba spalvų rinkiniu, arba jų tvarka, tai skirtingų vėliavų skaičius yra.

6034535 A

)!(

!

kn

nAk

n

Gretiniai su pasikartojančiais elementais Gretiniai su pasikartojančiais elementais Turime n skirtingų rūšių daiktų. Kiek iš jų galima

sudaryti k-elemenčių junginių, sudarytų iš skirtingų elementų, kai junginys nuo junginio skiriasi arba bent vienu elementu, arba jų tvarka ir elementai junginyje

gali kartotis? kk

n nA

Pavyzdys. Kiek skirtingų triženklių skaičių galima parašyti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje?

1000103310 A

Iš tikro, tai skaičiai 000, 001, …, 998, 999.

Kadangi šiuo atveju n=10, o k=3.

Kėliniai be pasikartojimų Kėliniai be pasikartojimų Junginiiai iš visų n elementų, besiskiriantys vienas nuo kito tik juose esančių elementų tvarka vadinami kėliniais iš n elementų arba, trumpiau, n-elemenčiais kėliniais. Juos žymėsime

Pavyzdys. Susirinkime turi kalbėti 5 žmonės. Keliais būdais galima sudaryti kalbėtojų sąrašą?

Aišku, kad kalbėtojų sąrašų skaičius yra

!123)...1( nnnPn

120!55 P

Deriniai be pasikartojimų Deriniai be pasikartojimų

Visi galimi k-elemenčiai junginiai iš n elementų, kai junginys nuo junginio skiriasi bent vienu elementu, vadinami deriniais ir žymimi

Pavyzdys. Iš 52 kortų komplekto ištraukta 10 kortų. Kiek skirtingų kombinacijų galima gauti?

!

)1)...(1(

)!(!

!

! k

knnn

knk

n

k

AC

knk

n

.22015.820.024!10

43...51521052

C

Deriniai be pasikartojimų Deriniai be pasikartojimų - pavyzdžiai- pavyzdžiai

Pavyzdys. Iš 52 kortų komplekto ištraukta 10 kortų. Keliais atvejais ištrauktųjų kortų grupėje bus bent vienas tūzas? Keliais atvejais – tik vienas tūzas? Keliais atvejais – nemažiau kaip du tūzai? Lygiai du tūzai?

Ištraukti ne mažiau kaip du tūzus yra 948

1048

1052 4CCC būdų.

Tiksliai du tūzus galima ištraukti 848

24 CC būdais

Ištraukti 10 kortų yra 1052C būdų.

Skaičius atvejų, kai nėra nė vieno tūzo, lygus 1048C

Tik vieną kartą ištraukti tūzą yra 948

14 CC būdų.

Todėl yra 1048

1052 CC atvejų, kai ištraukiamas bent vienas tūzas.

Deriniai su pasikartojimais Deriniai su pasikartojimais

Turime n skirtingų rūšių daiktų. Kiek skirtingų k-elemenčių junginių iš n skirtingų rūšių daiktų galima sudaryti, jei junginys nuo junginio skiriasi bent vienu elementu ir elementai junginyje gali kartotis?

Pavyzdys. Konditerijos parduotuvėje yra 4 rūšių pyragaičių: eklerų, smėlinių, napoleonų ir sluoksninių. Keliais būdais galima nusipirkti 7 pyragaičius?

kkn

kn CC 1

120321

8910710

7147

74

CCC

BirutėJarašiūnienė

Derinių savybėsDerinių savybės

Simetriškumo savybėSimetriškumo savybė kn

nkn CC

Iškėlimo prieš sklaustus savybėIškėlimo prieš sklaustus savybė

11 k

nkn C

k

nC

Šios savybės įgalina rekurentiškai apskaičiuoti derinių skaičių

11)!()!1(

)!1(

)!(!

!

kn

kn C

k

n

knk

n

k

n

knk

nC

Sudėties savybėSudėties savybė kn

kn

kn CCC 1

11

15101051

14641

1331

121

11

1

Sumavimo savybė yra tampriai susijusi su Paskalio trikampiu

nnn

nnn

nn

nn

n baCabCbaCbaCba 0111100 ...)(

3033

223

213

0303

3)( baCabCbaCbaCba 302203 1331 baabbaba

Sumavimo savybėsSumavimo savybės

nnm

nnmmm

n

k

kkm CCCCC 1

11

0

0

...

1110

0

...

mn

mn

mmn

k

mk CCCCC

Aptarsime dvi sumavimo savybes, kurių teisingumą galima įrodyti remiantis sudėties savybe:

čia n ir m – natūralieji skaičiai.

Binominių koeficientų savybėBinominių koeficientų savybė

nnnnnn CCCC 2...210

nnn

nnn

nn

nn

n baCabCbaCbaCba 0111100 ...)(

Šią savybę galima įrodyti remiantis garsiąja Niutono binomo formule:

nnnnn

n CCCC ...2 210Jei a=b=1 gausime