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敎育學碩士學位論文 보존계 강자성 아이징 모형의 상분리 동역학 2002年 7月 昌原大學校 敎育大學院 物 理 敎 育 專 攻 河 泰 求

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敎育學碩士學位論文

보존계 강자성 아이징 모형의

상분리 동역학

2002年 7月

昌原大學校 敎育大學院

物 理 敎 育 專 攻

河 泰 求

敎育學碩士學位論文

보존계 강자성 아이징 모형의

상분리 동역학

Phase Separation Kinetics

of Conserved Order Parameter

Ferromagnetic Ising Model.

指 導 敎 授 金 峯 秀

이 論文을 敎育學碩士學位論文으로 提出함.

2002年 7月 日

昌原大學校 敎育大學院

物 理 敎 育 專 攻

河 泰 求

河泰求의 敎育學碩士學位 論文을 認准함.

審 査 委 員 長 (印)

審 査 委 員 (印)

審 査 委 員 (印)

2002年 7月 日

昌原大學校 敎育大學院

- 1 -

Ⅰ. 서론

자연에 존재하는 많은 응집물질계들은 온도를 낮추어 가면 어떤 경계온도

(임계점)의 위와 아래에서 급격한 평형상태 변화, 즉 상전이를 보인다. 이

임계점에서의 상전이는 임계점에서의 비열, 감수율 등의 발산으로 나타나는

계의 반응에 대한 엄청난 민감성으로 규정된다. 또한, 임계온도 아래에서는

계의 평형상은 유한한 질서변수 (order parameter)로 표현되는 장거리 질서

(long-range order)를 가진다. 기체-액체 상전이, 자성체에서의 상자성-강

자성 상전이, 이중 합금 (binary alloy)의 무질서-질서 상전이, 그리고 네마

틱 액정 (nematic liquid crystal)의 등방액체-네마틱상 상전이가 이러한 응

집물질계의 상전이에 대한 몇 가지 구체적 보기들이다.

상전이를 보이는 이러한 계들에서 다음과 같은 ‘비평형적’ 상황을 만들어

보자. 즉, 아주 높은 온도의 무질서 평형상 (자성체로 말하면 상자성상)에

있는 계의 온도를 임계점 아래의 어떤 온도로 급격히 낮추게 되면 계는 어

떤 변화를 보여 주는가? 즉, 계는 이 비평형 상황에서 어떤 과정을 통해 평

형으로 나아가는가? 이러한 물음에 대한 제일원리적 이해 (first-principle

understanding)가 비평형 통계물리학의 한 중요한 주제로 연구되어왔다

[1]-[6].

80년대 초반까지의 이 분야에 대한 거의 모든 연구들은 이중합금이나 강

자성체처럼 질서변수가 스칼라량인 계에 집중되었다. 여기에서 가장 주목되

는 발견은 질서화 과정에서 동역학적 축척 (dynamic scaling)의 존재이다.

급냉된 때로부터 시간이 제법 지난 후에는 여러 다른 시간에 대한 질서화

영역의 생김새 (pattern)는 영역의 크기가 다른 것을 제외하고는 서로 아주

비슷하다는 것이다. 즉, 적절한 거리척도의 축척을 한 다음에는 어느 생김

새가 나중 것인지 구별할 수 없다는 것이다. 이 동역학적 축척은 아이징 모

형 (Ising model)의 동역학적 시늉에서 처음 발견되었다 [7]. 이 축척은 시

간 t 에서 계의 질서변수의 거리 r 만큼 떨어진 두 점에서 상관함수

C (r,t ) 가

- 2 -

C (r,t )= F (r/R ( t )) (1)

를 만족하는 것으로 정량화 된다. 또한 길이 R ( t )는 시간에 따라 증가

하며 질서영역의 평균적 크기이다. 식 (1)의 <…> 는 비평형 평균을 나타

낸다. F (x) 는 시간에 무관한 축척함수 (scaling function)이다. 실제 상

질서화 동역학에 대한 빛 산란이나 중성자 산란과 같은 실험 [8]-[11] 에

서 측정하는 동역학적 구조인자 (dynamic structure factor) S ( k,t )는 위

실공간에서 질서변수의 상관함수 C ( r,t ) 의 푸리에 변환이 된다. 따라서,

위의 동역학적 축척은 S ( k,t ) 에 대해서는

S ( k,t )=Rd(t ) G (kR( t )) (2)

로 표현된다. 여기서 d 는 공간 차원수이며, k ≡|k |는 파수벡터 k 의 크

기이다.

성장법칙 (growth law)-영역의 평균적 크기 R ( t )의 시간의존성-은 예

외적인 경우를 제외하고는, 계의 미시적 요소 (격자구조, 상호작용의 양상)

에는 의존하지 않고 계의 질서변수의 질서화 과정에서의 보존 여부에 의해

결정된다. 강자성체나 질서-무질서 상전이를 보이는 이중합금과 같이 질서

변수가 보존되지 않는 비보존계 (non-conserved system)에서 질서영역의

성장법칙은 순전히 영역벽 (domain wall)의 국소적 곡률에 의해 결정되어,

R ( t )∼ t1/2, 즉, 질서영역이 성장지수 1/2의 급수 형식으로 자라는 것이

알려져있다 [12].

한편, 상분리가 일어나는 이중합금과 같은 질서변수가 보존되는 보존계

(conserved system)에서는 R ( t )∼ t 1/3, 즉, 영역의 성장지수가 1/3이 되

어, 비보존계에 비해 더 느리게 성장하는 것이 알려져 있다 [13]-[14].

이론적인 측면에서는 이러한 성장법칙과 축척함수 F (x)를 제1원리적 관

점에서 계산하는 것이 도전이 되어 왔는데 문제의 비선형성과 비섭동적

- 3 -

(non-perturbative) 성격 때문에 많은 어려움을 겪었다. 주목되는 이론적 진

전은 주로 비보존계에 대해 이루어져 왔으며 보존계에 대해서는 비보존계에

서의 이론적 진전에 견줄만한 진보는 알려진 것이 없다 [6].

이 논문에서는 질서변수가 보존되는 제약을 가지는 계의 한 보기가 되는,

이중 합금의 상분리 과정의 비평형 동역학을 2차원 아이징 모형에 대한 동

역학적 스핀바꾸기 (spin-exchange) 몬테칼로 시늉을 통해 살펴보았다.

초기의 자화가 0 일 때 (임계적 급냉)와 0 보다 큰 경우 (비임계적 급냉) 에

대한 상분리 과정을 주로 동역학적 스핀 상관함수, 잉여 에너지 (들뜸 에너

지)의 시간변화, 영역 벽의 시간 변화, 그리고 소수상 방울들의 크기 분포를

통해 분석하였다. 모든 경우의 급냉에 대해, 상분리 과정은 비 보존 아이징

모형의 상 질서화 과정에서와 같이, 동역학적 축척 현상을 보여 주었다. 이

축척 현상은 식 (1)과 같이 동역학적 스핀 상관함수에 대해 그리고 소수상

방울들의 크기 분포 함수에 대해 만족되었다. 비 보존 동역학과의 두드러진

차이는 이러한 축척이 보이기 시작하는 시간 축척이 보존 동역학의 경우가

비 보존의 경우 보다 약 1,000 배 정도 길다는 것이다.

이 동역학적 축척은 시간에 따라 자라 가는 하나의 주도적 길이 척도의

존재를 의미하며, 이 길이 척도는 다름 아닌 계의 영역의 평균 크기이다.

이 길이 척도는 모든 경우 (임계적 급냉의 경우 그리고 비임계적 급냉에 대

해서는 자화의 값에 관계없이) 자화의 값이 거의 1에 가까운 경우 (이중 합

금으로 말하면 한 종류의 원자의 수가 아주 작을 때) 에 성립하는 맆쉬츠-

슬리오조프 (Lifshitz-Slyozov) 이론이 예측하는 성장지수 1/3과 일치하는

성장률을 보여 주었다. 또한 임계적 급냉의 경우, 임계점으로의 급냉은 임

계 동역학적 축척현상을 보이며, 이 축척현상으로부터 비평형 상관길이의

성장지수, 즉, 동역학적 임계지수 (dynamic critical exponent) z 를 결정할

수 있다. 이 성장률 1/z 는 임계점 아래의 급냉에 대한 성장 지수 1/3 보다

작으며, 보존계 아이징 모형에 대한 연속체적 모형으로 간주되는 칸-힐리어

드-쿡 (Cahn-Hilliard) 방정식 (핼퍼린-호헨버그에 의한 분류에서는 모형 B)

에 대한 해석적 결과인 z=4-η=4-1/4=15 /4=3.75 와 일치하는 결

과를 얻었다.

- 4 -

Ⅱ. 본론

1. 아이징 모형의 평형 특성

먼저 아이징 모형의 평형특성을 여기에 요약해 둔다 [15].

자성체나 이중 합금의 가장 간단한 모형이 되는 아이징 모형은 d 차원의

초격자 (hyper-cubic lattice) 점 i 위에 정의된 두 가지 상태를 나타내는

‘스핀’ S i= ±1 과, 2d 개의 가장 가까운 이웃 스핀들과의 결합에너지

H=- J ∑< ij >S i S j, S i= ±1 (3)

에 의해 정의된다. 여기서 J 는 스핀간의 상호작용의 세기를 나타내는 결합

상수 이고, 첨자 i 와 j 는 격자의 위치를 나타내며, < ij > 는 가장 가까운

이웃 쌍을 의미한다. 간단히 하기 위해 여기서는 외부 자기장과의 상호 작

용은 생각하지 않으며, 강자성 ( J > 0 ) 모형에 국한하여 논의한다. 그림 1

에 2차원 사각격자위의 한 스핀 Si 의 2d=4 개의 가장 가까운 이웃 스

핀들을 Sj { j=1,2,3,4 } 로 나타내었다.

S1

S2

S3

S4Si

그림 1. 2차원 사각 격자 아이징 모형의 가장 가까운 이웃 스핀들

- 5 -

1차원 (d =1) 아이징 모형은 전달 행렬 (transfer matrix) 방법에 의해

쉽게 풀 수 있고, 모든 0 이 아닌 온도 T 에서 무질서 (상자성)상을 보이며

오직 T=0 에서만 장거리 질서 (강자성)상을 보인다. 2차원 모형에 대해서

는 온사거 (Onsager)에 의한 정확한 해석적 해가 있으며, 이에 따르면 0이

아닌 유한한 온도 (임계점) Tc에서 계는 연속 상전이 (continusous phase

transition)를 보인다. 임계점 위에서는 무질서 상이며 (자발 자화

m (T )=0 ), 임계점 아래에서는 질서상인 강자성상 ( |m (T )| > 0) 을 가

진다. 임계점 Tc는 식 sinh [ 2JkBTc ]=1 에 의해 결정되며

Tc=2.2692…J 이다 (지금부터 볼츠만 상수 kB는 편의상 1로 둔다). 3차

원 이상의 강자성 아이징 모형들도 정성적으로 2차원에서와 같은 0이 아닌

온도에서 상자성-강자성 연속 상전이를 보인다. 그림 2에 2차원 아이징 모

형에 대한 상그림, 즉 스핀당 자화 m (T ) 를 온도 T 의 함수로 나타내었

다. m (T ) 의 부호가 다른 두가지의 값은, 아이징 모형의 ‘위-아래’ 대칭

(외부 자기장이 없을 때 모든 스핀의 부호를 바꾸는 변환에 대한 하밀토니

안의 불변성)을 반영한다. 아주 작은 외부 자기장에 의해 자화의 부호는 선

택될 수 있다. 온사거의 정확한 해에 따른 자화는 아래와 같이 주어진다.

|m (T )|= [1- (1- tanh2K )

4

16 tanh4K ]

1/8

(4)

여기서 K≡ J/T 이다.

평형 에너지 E eq (T )에 대한 온사거 해는 아래와 같이 주어진다.

E eq(T )=-J [1+ 2π( 2 tanh 2( 2K )-1 )K 1(q)]coth (2K ) (5)

여기서 q≡ 2 sinh (2K )/cosh 2(2K ) 이다.

- 6 -

K 1(q)=⌠⌡

π/2

0

(1-q2sin

2φ)1/2

는 첫 번째 완전 타원적분이다. 이 논문

에서 시늉한 냉각 온도 T=1.3 J 와 T= Tc = 2.2692 J 에서는 각각

E eq=-1.98026J 과 E eq=- 2J 이다.

그림 2. 강자성 아이징 모형 ( d = 2 )의 상 그림

- 7 -

2. 비평형 상질서화 동역학

1) 동역학적 아이징 모형 (Kinetic Ising model)

우리는 아주 높은 온도의 무질서 상에서 계의 온도를 임계점 아래의 어떤

온도로 급격히 낮추게 될 때, 계가 보여주는 비평형 시간 진행을 보기 원하

므로, 위에서 정의한 아이징 모형에 적절한 동역학 (kinetics)을 부여해 주어

야 한다.

아이징 모형에 부여되는 동역학에는 두가지 종류의 동역학 즉, 스핀 뒤집

기 동역학 (spin-flip-kinetics)과 스핀 바꾸기 동역학 (spin-exchange-

kinetics)이 널리 쓰이며, 어떤 동역학을 선택해야 하는지는 연구하고자 하

는 계의 성격에 따라 결정된다. 본 논문에서는 이중 합금의 상분리 (phase

separation) 과정을 연구하려하므로, 이중 합금의 한 원자가 다른 원자가 될

수 없는 사실 때문에, 두 종류의 원자 개수가 각각 보존되어야만 한다. 즉,

아이징 모형의 위 스핀과 아래 스핀이 각각 A원자, B원자를 나타낸다면, 위

스핀 (Si=+1) 의 수와 아래 스핀 (Si=-1)의 수가 각각 일정하게 되어

야 한다. 자성의 용어로 말하면 자화가 보존되는 것에 해당된다. 따라서 스

핀 뒤집기 동역학은 적용 될 수 없고, 부여되는 동역학은 스핀 바꾸기 동역

학이 적절하게 된다. 본 논문에서는 스핀 바꾸기 동역학을 아이징 모형에

적용하여, 이 모형이 높은 온도의 무질서상에서 임계점이나 그 아래의 온도

로 급격히 온도를 낮출 때 계가 평형으로 접근해 가면서 보여주는 상분리

과정을 연구하였다. 동역학의 구체적 적용은 아래에 설명하는 몬테칼로 시

늉 방법 [16]에 의존한다. 아래에서 보게 되는 것처럼, 스핀 뒤집기 동역학

과 스핀 바꾸기 동역학이라는 미시적 동역학의 차이는 계가 보여주는 비평

형 시간 변화의 과정에 현저한 차이를 일으킨다.

- 8 -

2) 몬테칼로 시늉 방법

(a) m 0 = 0 (b) m 0 = 0.8

그림 3. 이차원 아이징 모형의 무질서한 초기 배열들

(1) 초기 무질서 배열

이중 합금을 높은 온도의 무질서상으로부터 냉각시키므로 초기 스핀 배열

은 무질서상을 표현하는 무질서한 스핀배열이어야 한다. 따라서, 컴퓨터에

서 만들어지는 0 과 1 사이의 균일한 분포를 가지는 멋대로 수 (random

number)를 이용하여, 스핀 당 자화 m 0≡1N ∑

N

iS i 를 조절하면서 무질서

한 스핀 배열을 만들 수 있다. 여기서 N 은 계의 총 스핀 수이다.

m 0= 0 인 초기 배열로부터의 급냉을 임계적 급냉 (critical quench) (임

계점에서의 자화가 0이므로)이라 부르며, m 0 > 0 의 초기 배열로부터의 급

냉을 비임계적 급냉 (off-critical quench)이라 부른다. 그림 3은 이러한 초

기 배열을 나타낸 것이다. 이 그림에서 스핀 위, 아래를 각각 검은색과 흰

색으로 표시하였다.

- 9 -

(2) 한 쌍의 가장 가까운 이웃 스핀 마구잡이로 선택

위의 무질서한 초기 스핀 배열로부터 멋대로 수를 이용하여, 서로 다른

값을 가지는 가장 가까운 이웃 쌍의 스핀 S i 와 S j 를 선택하고, 이 스핀

의 바꾸기 여부를 아래의 미트로폴리스 (Metropolis) 몬테칼로 방법에 따라

결정하게 된다.

(3) 적절한 확률에 따른 스핀 이웃 쌍 스핀 바꾸기

미트로폴리스 방법에서, 선택된 이웃한 한 쌍의 스핀이 바뀔 확률은 다음

과 같이 주어진다.

P (μ→ν)= {e -ΔE/T if ΔE > 0

1 if ΔE≤0

(6)

위 식 (6)에서 ΔE 는 스핀쌍을 서로 바꾸기 전과 후의 계의 에너지 차이,

즉 ΔE≡E ν-Eμ로 주어진다. 여기서 아래 첨자 μ 는 바꾸기 전의 상태

를 나타내며, 첨자 ν 는 바꾼 후의 상태를 나타낸다. 위의 확률은 스핀 바

꾸기의 과정이 계가 평형으로 나아가는 것을 보장해 주기 위해 택할 수 있

는 가장 간단한 선택들 가운데 하나이다. 다른 널리 쓰이는 확률은 글라우

버 (Glauber) 방법이 있다. 위의 미트로폴리스 방법에 따르면, 스핀을 바꾼

후 계의 에너지가 교환전의 에너지보다 낮아지거나 같으면 (ΔE≤0 ) 그

스핀들은 언제나 바뀐다. 그러나 스핀을 바꾼 후 계의 에너지가 교환전의

계의 에너지 보다 높다면, 선택된 스핀들이 바뀌게 될 확률은 볼츠만 확률

e-ΔE/kBT 에 의해 결정된다. 실제 시늉에서는 멋대로 수 r 을 불러,

e-ΔE/T 가 r 보다 크면 스핀들을 바꾸고 그렇지 않으면 그대로 둔다.

아이징 모형은 가장 가까운 이웃과의 상호작용만을 고려하므로, 스핀 바

- 10 -

꾸기에 대한 에너지 차이 ΔE 의 계산에는 이웃한 한 쌍의 스핀들만 생각해

주면 된다. 그림 4에서 스핀 교환에 따른 에너지 차이는

ΔE=E ν-E μ= 2J [Sa (S 1+S 2+S 3 )+Sb (S 4+S 5+S 6 )] (7)

로 주어진다.

ν

S1

S2

S3 S4

S5

S6

Sa Sb

S1

S2

S3 S4

S5

S6

SaSb스핀교환

μ

그림 4. 2차원 사각격자 아이징 모형에서의 서로 다른 가장 가까운 스핀 쌍

S a 와 Sb 바꾸기

위의 과정 (2)와 (3)을 총 스핀 수 N 번 만큼 반복하는 과정을 1 몬테칼

로 걸음 (Monte Carlo Step, MCS) 이라 하고, 몬테칼로 시늉 방법에서의

시간 단위로 사용한다. 이 논문의 시늉에서는 크기 512×512 의 정 사각격

자 (따라서 N=5122 ) 위에서 20 개의 서로 다른 초기 배열에 대해 구하고

자 하는 양들의 평균을 취했으며, 가로와 세로 방향 모두에 대해 주기적 경

계조건을 적용하였다.

- 11 -

3. 상분리 동역학에 대한 몬테칼로 시늉의 결과 및 논의

이 절에서는 2차원 사각 격자 위에 정의된 아이징 모형의 상분리 동역학

에 대한 정량적 결과를 제시하고 논의한다.

1) 임계적 급냉(Critical Quench)

위 스핀과 아래 스핀의 개수가 정확히 같은, 따라서 m=0 인 무질서한

스핀 배열에서 임계점 이하의 온도로 급냉할 때(그림 5)의 상분리 과정을

관찰한다. 먼저 임계점 아래의 급냉을 논의한다.

그림 5. 임계적 급냉 ( m 0=0 )을 나타내는 그림

- 12 -

(1) T < Tc 로의 냉각

그림 6은 m 0=0 의 무질서한 초기 배열 (그림3-(a))로부터 계를

T = 1.3 J ≃ 0.57Tc 로 급냉하였을 때, 스핀 바꾸기 동역학에 따라 계가

상분리되어 가는 과정을 여러 시간에서의 순간사진으로 나타낸 것이다.

이 순간사진들로부터 아이징 모형의 상분리 과정에 대한 몇 가지 중요한

특성들을 관찰할 수 있다. 균일한 초기 배열로부터 스핀 바꾸기를 통해 같

은 스핀들끼리 모여 영역을 이루어간다. 두 스핀 영역 가운데 어느 한 영역

이 점점 더 커져가는 스핀 뒤집기 동역학의 영역 생김새와는 달리, 상분리

되는 영역의 생김새는 두 스핀 영역이 서로 얽혀있는 가지들과 같은 구조

(ramified structure)를 보여 준다. 시간에 따라 이렇게 얽혀 있는 두 스핀

영역은 그 ‘폭’이 점점 커져 간다. 이 ‘폭’은 시간에 따라 급수적으로 자라는

것을 뒤에서 보게 된다. 그림 6의 순간사진으로부터 추측할 수 있는 흥미로

운 가능성은, 스핀 뒤집기 동역학의 경우에서와 마찬가지로, 스핀 바꾸기

동역학에서도 어느 시간 단계에서는 영역의 생김새가 서로 다른 시간에 대

해 영역의 크기가 다른 것을 제외하고는 서로 비슷하여, 상분리 과정이 시

간에 따라 자라가는 어떤 적절한 길이척도에 대해 축척 현상을 보일 수 있

다는 것이다. 아래에서 이 축척 현상을 정량적으로 논의한다.

- 13 -

(a) 1,000 MCS (b) 10,000 MCS

(c) 100,000 MCS (d) 800,000 MCS

그림 6. 임계적 급냉 (m 0 = 0 ) 에 대한 여러 시간에서의 순간사진들

- 14 -

① 상분리 동역학의 정량화

a. 동시간 질서변수 상관함수(equal-time correlation function)

동시간 질서변수 상관함수 C (r,t ) 는 질서화 과정에서 한 시간 t 에서

의 공간적 상관(spatial correlation) 정도를 나타내며, 다음과 같이 정의 된

다.

C (r,t )=< 1N ∑N

i=1Si ( t )Si+ r ( t )> (8)

여기서 <…> 는 서로 다른 초기 배열들에 대한 평균을 의미한다. 영역이

성장해 가면, 동일한 거리에서의 상관의 정도가 시간이 지나감에 따라 커져

가리라 예상된다. C (r,t ) 는 질서화 동역학의 정량화에 가장 중요한 물리

량 가운데 하나이다. 실제 2차원 시늉에서는 거리의 방향은 가로와 세로 방

향을 각각 계산하여 평균하는 방법을 사용하였다. 이 상관함수로부터 영역

성장의 법칙을 측정하고 상분리 과정의 동역학적 축척을 검증할 수 있다.

b. 잉여에너지(excess energy)

잉여 에너지 ΔE ( t )는 시간 t에서 스핀 배열의 스핀당 평균 에너지

E ( t )와 평형 ( t→∞) 배열의 스핀 당 평형 에너지 E eq (T )의 차이

ΔE ( t ) ≡ E ( t )-E eq(T ) (9)

로 정의된다. 몬테칼로 시늉 방법에 따른 평형화 과정은 연속적으로 계의

스핀당 에너지가 낮아져 가는 과정이므로, 잉여 에너지의 시간 의존성은 질

서화 동역학에 대한 중요한 정보를 제공하게 된다.

- 15 -

c. 영역벽(domain wall)의 길이

영역벽이란 위 스핀 영역과 아래 스핀 영역사이의 경계를 말하며, 이러한

영역벽을 만들기 위해서는 에너지가 필요하다. 따라서 무질서상에서 임계점

아래의 온도 (T < Tc )로 냉각될 때, 질서화 과정은 무질서 상에서 생성된

수 많은 영역벽이 점점 줄어 들어가는 과정으로 볼 수 있다. 그러므로 시간

t 에서의 영역벽의 총 길이 L w (t )는 질서화의 정량화에서 중요한 물리

량이다. 실제 시늉에서는 시간 t 에서 각 격자점의 바로 왼쪽과 위쪽 (또는

오른쪽과 아래쪽)에 있는 격자점들의 스핀을 보고, 스핀이 서로 다르면 경

계벽이 있으므로 하나씩 기록하여 L w (t ) 를 측정하였다.

② 동시간 질서변수의 상관함수(equal-time correlation function)

무질서상에서 T < Tc로 급냉시킨 후, 상분리가 일어나고 있는 여러 시간

t 에 대한 동역학적 스핀 상관함수 C (r,t )를 그림 7에 나타내었다.

예상되는 바와 같이, 같은 거리에서 두 스핀의 상관 정도는 시간이 갈수

록 점점 더 커지게 된다. 바꾸어 말하면, 질서화의 초기 (짧은 시간)에는 상

관함수가 빨리 0으로 감소하여, 초기 배열의 무질서 상을 반영한다. 그러나

질서화가 되어 갈수록, 즉 시간이 지나감에 따라, 상관함수는 점점 더 먼

거리에서 0으로 감소하게 된다.

보존계의 상관함수는 비보존계의 상관함수와 크게 다른 점이 있다. 즉,

비보존계의 상관함수가 거리 r 이 커져감에 따라 1에서 0으로 단조 감소하

며 접근하는 반면, 보존계의 상관함수는 1에서 감소하여 0보다 작아졌다가

가장 작은 값을 가진 후, 다시 0으로 접근하게 된다. 이것은 +1의 값을 가

진 영역과 -1의 값을 가진 영역이 거리에 따라 반복되는 상분리 과정을 반

영하고 있기 때문이다.

- 16 -

③ 동역학적 축척 (scaling phenomenon)

앞의 상분리 과정의 순간사진 (그림 6)에서, 급냉 후 어느 정도 시간이 지

나면, 서로 다른 시간에서의 영역 분포 모습들이 영역의 크기가 다른 것을

제외하고는 서로 닮아 있다고 하였다. 이 통계적 유사성은 여러 다른 시간

에 대한 질서변수 상관함수 C (r,t ) 의 축척현상으로써 검증된다. 우선 상

관함수 C (r,t ) 로부터 시간 t 에 따라 변하는 길이를 끄집어 내어보자.

그림 7의 상관함수로부터 얻을 수 있는 길이 하나는 각 시간에서 상관함수

가 0 이 되는 거리 L ( t )이다. 그림 7에서 보듯 이 길이는 시간에 따라 커

져간다. 이제 거리 r 을 L ( t )로 나눈 ‘새로운’ 거리에 대해 여러 다른 시

간에서의 상관함수가 그림 8과 같이 모두 하나의 축척 곡선 (scaling

curve)에 겹쳐짐을 알 수 있다. 즉, 동시간 상관함수 C (r,t )가

C (r,t )=F(r/L( t )) (10)

를 만족한다. 여기서 F (r/L( t )) 는 축척함수 (scaling function)이다. 따라

서, 상관함수의 동역학적 축척 (dynamic scaling)(식 (10))은 보존계 아이징

모형의 상분리 동역학이 본질적으로 시간에 따라 커져 가는, 하나의 길이

축척에 의해 지배되는 동역학 과정임을 보여준다.

비보존계 아이징 모형의 질서화 동역학 (스핀 뒤집기 동역학)과 두드러진

한 가지 차이는, 축척을 보이기 시작하는 시간영역, 즉 축척영역이 보존계

가 비보존계보다 적어도 1,000배 정도 더 길다는 것이다. 비보존계 동역학

의 경우 축척현상과 성장법칙의 관찰은 이미 약 10 MCS 이상에서 명쾌하

게 보여진다. 그러나 보존계의 경우 그림 8이 보여주듯 축척영역은 10, 000

MCS 이상의 시간영역에서 성립한다. 또한 성장법칙을 명확하게 규정하려

면 적어도 스핀당 106 MCS 정도의 시늉시간이 필요하게 된다. 이것은 자

화 값이 전 과정을 통해 보존되어야 하는 제약이 동역학을 느리게 만들기

때문이다.

- 17 -

그림 7. 여러 시간 t (MCS)에 대한 스핀 상관함수 C (r,t )

그림 8. 스핀 상관함수의 동역학적 축척

- 18 -

④ 영역 성장 법칙(domain growth law)

이제 상관함수에서 끄집어 낸 시간에 따라 자라는 길이 L ( t )의 시간의

존성을 살펴본다. 그림 9에 L ( t ) 의 t 에 대한 증가를 로그축척으로 나타

내었다. 비보존 스핀 뒤집기 동역학에서와는 달리 106 MCS 까지의 시간에

서도 상당히 굽어져 있는 것을 보게된다. 따라서, 급수형 성장에 ‘벗어남

(offset)'항을 포함한 아래의 함수꼴 [17]

L(t )=L 0+Atφ (11)

에 비선형 맞춤 (nonlinear fit)을 해 보았다. 그 결과는

L 0≃2.13, A≃0.18, 그리고 성장지수 φ≃0.33 이다. 이 성장지수의 값

은 자화의 값이 아주 큰 값을 가지는 비임계적 급냉의 경우에 대한 맆쉬츠-

슬리오조프 이론적 예측 [13], φ =1/3 과 일치하는 값을 가진다. 또한 스

핀 바꾸기 동역학을 이용하는 아이징 모형에 대한 다른 시늉의 결과들

[18]-[22] 과도 일치한다. 현재 시늉의 시간 영역에서는 벗어남 항이 성장

지수를 바르게 측정하는 데 중요한 항이다.

⑤ 영역벽의 전체길이와 잉여에너지

질서화 과정은 계가 가지는 흠 (defect), 즉 바닥상태로부터의 들뜸과 깊

이 관계된다. 즉, 초기의 무질서 상에서 만들어진 많은 수의 흠들이 줄어들

면서 계의 에너지를 낮추어 가게되고 평형 질서상으로 진행해 간다. 두 개

의 바닥상태 겹침을 가지는 아이징 계에서는, 흠은 두 개의 바닥상태에 해

당하는 두가지 영역의 경계인 영역벽이 되며, 이차원에서는 영역벽이 선이

되므로 선 흠 (line defect) 이다.

질서화 과정의 시간에 따라 변하는 가장 직접적인 길이 축척은 시간 t 에

서의 영역벽의 총 길이 Lw(t ) 이다. 바닥상태로부터의 에너지 들뜸이 흠으

- 19 -

로 나타나므로 잉여 에너지 ΔE ( t ) 는 Lw(t ) 에 비례할 것이 예상된다.

그러면 영역벽의 총 길이는 상관함수에서 얻은 길이 축척 L ( t ) 와 어떻게

관계되는가?

그림 10은 이 두 개의 길이 축척 L( t ), Lw(t ), 그리고 잉여 에너지

ΔE ( t ) 를 비교할 수 있도록 시간 t 에 대해 함께 나타내었다. 그림에서

보듯이 잉여 에너지는 영역벽의 길이와 비례하며, 이것은 또한 길이

L ( t ) 에 반비례함을 알게된다. 즉,

ΔE ( t )∼Lw(t )∼L( t )-1∼ t -1/3 (12)

이 특성은 비보존 아이징계에서도 성립하며, 계에 적용되는 보존법칙과는

관계없이 흠의 기하적, 위상적 특성에 의해 결정된다.

그림 9. 길이 L( t) 의 시간 의존성

- 20 -

그림 10. 영역벽의 길이 Lw ( t) 와 잉여에너지 ΔE ( t )의 시간 의존성

(2) T =Tc 로의 냉각

여기서는 무질서상에서 임계온도로 급냉될 때 계가 보여 주는 비평형 임

계 동역학을 논의한다. 그림 11은 스핀 바꾸기 동역학에 따른 계의 상분리

과정을 여러 시간에 대한 순간 스핀 배열로 나타낸 것이다. 임계온도 아래

로 급냉한 경우와는 달리, 국소적 임계요동 때문에 하나의 지배적인 스핀

영역안에 많은 작은 반대 영역들이 있게 된다. 따라서 영역벽도 부드럽지

않고 거칠며 프랙탈과 같은 모습을 보여 준다.

- 21 -

(a) 1,000 MCS (b) 10,000 MCS

(c) 100,000 MCS

(d) 800,000 MCS

그림 11. 임계온도 Tc로 급냉했을 때 여러 시간에 대한 영역성장의

순간사진들

- 22 -

① 동시간 질서변수의 상관함수

2차원 아이징 모형의 임계점에서 평형 스핀 상관함수는

C eq(r )=<Si Si+ r> ∼r-η, η=1/4 (13)

와 같이 급수적으로 감소하는 것이 알려져 있다 [15]. 위의 <…> 는 볼츠

만 분포 exp(-E/kBT ) 에 대한 평형평균을 뜻한다. 따라서 동역학적 스

핀 상관함수 C (r,t ) 는 아래의 임계동역학적 축척 (critical dynamic

scaling)

C (r,t )= r-ηFc (r/ξ c (t )), η=1/4 (14)

을 만족할 것으로 예상된다. 여기서 ξ c ( t ) 는 시간 t 에서의 비평형 스핀

상관거리이며 ξ c ( t→∞)=ξ eq 이다. 평형 상관거리 ξ eq는 임계점에서

발산한다. 이 상황에서 비평형 상관거리 ξ c ( t ) 는 시간에 따라 아래와 같이

급수적으로 자라는 것이 알려져 있다.

ξ c ( t ) ∼ t1/z (15)

여기서 z 는 동역학적 임계지수 (dynamic critical exponent)이다.

이제 우리의 시늉에서 위의 동역학적 축척을 확인하고 동역학적 임계지수

z 를 구해본다.

② 임계 동역학적 축척

그림 12에 C̃ (r,t ) ≡ rηC (r,t ) 를 여러 시간에 대해 거리 r 의 함수

- 23 -

로 나타내었다. 이로부터 ξ c(t )를 C̃ (r =ξ c (t ))≡0 로 정의하여 여러 시

간에 대해 ξ c(t )를 얻는다.

이제 C̃ (r,t ) 를 축척된 거리 r/ξ c(t ) 에 대해 그림 13에 나타내보았다.

그림이 보여 주듯이 다른 시간들에서의 상관함수들이 하나의 축척곡선에 겹

쳐져 임계 동역학적 축척을 만족함을 알 수 있다.

③ 동역학적 임계지수

그림 14에 ξ c ( t ) 의 시간의존성을 나타내었다. 함수 꼴

ξ c(t ) = ξ0+Ct1/z 로 비선형 맞춤을 하면 ξ0≃2.02, C= 0.57, 그리고

1/z≃ 0.28 을 얻는다. ξ0 를 무시하면 1/z≃ 0.26 을 얻게된다. 아이징 모

형의 스핀뒤집기 동역학과 같은 동역학적 거동을 가진다고 알려져 있는 연

속체적인 모형 (모형B) [23]에서 계산된 동역학적 임계지수 값은

z= 4-η 로 알려져 있다. 임계지수 η=1/4 을 넣으면

1/z= 4/15≃ 0.267 이다. 시늉에서 잰 값 1/z≃ 0.267∼ 0.28 은 적절한

일치를 보인다 [24]-[25].

④ 잉여에너지

그림 15는 임계점 아래에서의 경우와 마찬가지로 잉여에너지

ΔE ( t )≡E ( t )-E eq (T =Tc )= E ( t )-(- 2 ) (16)

와 비선형 상관길이 ξ c(t ) 가 반비례의 관계에 있음을 보여준다. 즉,

ΔE ( t ) ∼ ξ c(t )-1 (17)

- 24 -

그림 12. 여러 시간 t (MCS)에 대한 스핀 상관함수 C(r,t)

그림 13. 임계점 급냉에 대한 스핀 상관함수의 동역학적 축척

- 25 -

그림 14. 길이 L( t) 의 시간 의존성

그림 15. 잉여에너지 ΔE ( t )와 성장길이 L ( t ) 의 시간 의존성

- 26 -

2) 비임계적 급냉(Off-Critical Quench)

지금까지는 계의 자화 m= ∑N

i=1Si/N 이 m=0 으로 유지되는 상분리 과

정에 대해 논의하였다. 여기서는 자화의 값이 0이 아닌 유한한 값으로 보존

되는, 소위 비임계적 급냉의 상분리 과정을 논의한다. 한가지 대표적인 자

화의 값으로 m=0.8 을 택하여(그림 16) 시늉의 결과를 나타낸다. 이 논

문에 나타내지는 않았지만 다른 자화의 값에 대해서도 다름없는 결과를 얻

을 수 있다. 계가 급냉되는 온도는 m=0 의 경우와 같이 T=1.3 J 로 하

였다.

그림 17은 몬테칼로 시늉 방법에 따라 어떻게 계가 분리되어 가는지를

시간에 따라 순간사진으로 나타낸 것이다. 시간에 따라, 수가 작은 스핀들

의 방울 (droplet)이 점점 자라감을 보게 된다. 이 소수상 (minority) 방울의

성장은, 스핀 바꾸기를 통해, 다수상의 배경 속에서 아주 작은 크기의 소수

상에 속하는 스핀들이, 가까이 있는 더 큰 크기의 방울들에 붙어가는 ‘증발

-응축 (evaporation-condensation) 과정’을 통해 이루어진다. 보존계의 성

장과정에 대한 유일한 해석적 이론인 맆쉬츠-슬리오조프 (Lifshitz-Slyozov)

이론 [13]은 스핀당 자화의 값이 거의 m=1 에 다가갈 때, 즉 소수상의

스핀수가 아주 작은 경우 소수상의 증발-응축 과정을 설명하는 이론이다.

(1) 동시간 질서변수의 상관함수

비임계적 급냉에 대한 동역학적 스핀 상관함수

C (r,t )=

1N < ∑

N

i=1Si ( t )Si+ r ( t ) >-m 21-m

2(18)

를 그림 18에 나타내었다. 임계적 급냉 (m=0 ) 의 경우와 비교해 볼 때,

- 27 -

영역의 생김새의 차이 (임계적 급냉의 경우는 두 개의 상이 서로 얽혀 가지

를 내는 모양 (ramified pattern)이며, 비임계적 급냉의 경우는 소수상이 방

울져 다수상의 배경위에 멋대로 자리잡고 있는 모양)를 반영하여 0의 값 위

아래의 진동이 상당히 억제되어 있고, 상관함수의 최소값이 (음의 부호를

무시하면) 임계 급냉의 경우에 비해 상당히 작다.

그림 16. 비임계적 급냉 ( m 0 = 0.8 )을 냐타내는 그림

- 28 -

(a) 1,000 MCS (b) 10,000 MCS

(c) 100,000 MCS (d) 800,000 MCS

그림 17. 비임계적 급냉 (m 0 = 0.8 )에 대한 여러 시간에서의 순간사진들

- 29 -

그림 18. 비임계적 급냉 (m 0 = 0.8 ) 에서 여러 시간 t (MCS)에 대한

스핀 상관함수 C(r,t)

(2) 동역학적 축척

비임계적 급냉의 경우에도 그림 19가 보여주듯이, 임계 급냉의 경우에서

와 같이 스핀 상관함수가 동역학적 축척 C (r,t )=F (r /L( t )) 를 만족한

다. 이는 소수상 방울들의 증발-응축 과정, 즉 여러 다른 시간에서의 방울

들의 크기와 생김새들이 거리축척을 제외하면 서로 통계적으로 닮아 있다는

것이다.

길이 L ( t ) 는 앞에서와 같이 C (r =L( t ),t )=0 으로 정의하였으며, 그

물리적 의미로서 소수상의 평균적 방울 크기에 비례할 것이 예상되는데, 이

는 뒤에서 방울의 크기에 대한 분포함수의 축척현상에 의해 확증된다. 그림

20에서는 임계적 급냉과 비임계적 급냉의 축척함수를 비교해 보았다.

- 30 -

그림 19. 비임계적 급냉 (m 0 = 0.8 ) 에 대한 스핀 상관함수의

동역학적 축척

그림 20. m 0 = 0 과 m 0 = 0.8 에 대한 축척함수의 비교

- 31 -

(3) 영역 성장 법칙

그림 21에 성장 길이 L ( t ) 의 시간 의존성을 나타내었다. 임계적 급냉에

서와 같이 L ( t )=L 0+Ctφ 의 함수 꼴에 비선형 맞춤을 하면

L 0≃2.03, C≃0.24, 그리고 성장지수 φ≃0.31 을 얻는다. 이 성장지수의

값은 임계 급냉의 경우의 값 φ≃0.33 과 가깝다. m=1 가까이 에서 성립

하는 맆쉬츠-슬리오조프 이론 [13]에 따르면, 소수상의 방울에 대한 평균

크기의 성장지수는 φ =1/3 이다. 그러므로 우리의 시늉이 말해주는 중요

한 한가지 결론은, 성장지수 φ =1/3 이 임계적, 비임계적 급냉 모두, 즉

보존되는 m 의 모든 값에서 성립한다는 것이다 [26]-[36]. 동역학적 축척

또한 모든 경우에 성립하며, 다만 축척함수 F (x ) 는 m 의 값에 의존한다.

일반적인 m 의 값에 대한 축척함수를 주는 해석적 이론은 아직 나오지 않

고 있다.

그림 21. 길이 L ( t ) 의 시간 의존성

- 32 -

(4) 잉여 에너지

그림 22에서는 영역의 평균 크기 L ( t )와 잉여 에너지 ΔE ( t ) 를 비교

하기 위해 함께 나타내었다. 그림에서 알 수 있듯이 m=0 의 임계 급냉의

경우에서와 같이 두 양은 서로 반비례한다. 즉, ΔE ( t )≃L ( t ) -1. 앞에서

말하였듯이, 이 결과는 영역벽이라는 에너지 들뜸의 기하에 의해 전적으로

결정되며 계가 가지는 보존법칙과는 무관하다.

그림 22. 잉여에너지 ΔE ( t ) 와 성장길이 L ( t ) 의 시간 의존성

- 33 -

(5) 소수상 영역의 크기 분포

비임계적 급냉의 경우에서 소수상의 성장을 나타내 주는 순간 사진인 그

림 17을 보면, 가장 직접적인 시간에 따라 자라는 길이 축척은 소수상 방울

들의 크기이다. 이와 관련하여 생각되는 중요한 양은 방울의 크기에 따른

방울들의 개수 분포이다. 실제로 맆쉬츠-슬리오조브 이론 [13]은 소수상의

스핀 수가 아주 작은 극한에서 소수상 방울의 크기 분포를 해석적으로 구한

것이다. 이 분포함수를 f (R,t )라고 하면, f (R,t )dR는 반지름 R 과

R+dR 사이의 크기를 가지는 단위 부피 당 방울의 수로 정의된다. 맆쉬

츠-슬리오조브 이론은 다음과 같은 분포함수를 해석적으로 이끌어 내었다.

f (R,t )=3R 2n ( t )

[R *(t )] 3P [ R

R *(t ) ] (19)

여기서, n ( t ) 는 시간 t 에서 단위부피당 방울의 수, 즉

n ( t ) =⌠⌡

0f (R,t )dR (20)

이며 시간에 따라 t -1로 감소하는 것이 알려져 있다. 함수 P (u ) 는

P (u ) =33e

25/3(u+3 )7/3(32-u ) 11/3

exp[-(1-23u )-1], u<

32

= 0, u≥32

(21)

로 주어지며 위의 규격화 조건에 의해

- 34 -

⌠⌡

03u 2P (u )du=⌠⌡

3/2

03u 2P (u )du=1 (22)

을 만족한다. 성장하는 길이 R *(t ) 는 R *(t )= ( 49 αDt )1/3

로 주어진다.

여기서, D 는 방울의 확산계수이며, 상수 α 는 계의 온도와 방울의 표면장

력에 의존하는 상수이다.

그림 23은 각 시간 t 에서 소수상 방울의 크기 분포 f (n,t ) 를 나타낸

것이다. 즉, f (n,t ) 는 시간 t 에서 방울을 이루는 스핀 개수 n 과 n+δn

사이에 있는 방울의 평균 개수이다. 간격 δn 은 부드러운 곡선을 얻기 위

해 시간이 증가함에 따라 더 크게 잡아 주어야 한다. 우리의 시늉에서는

t = 105 MCS 에서 δn= 40, t = 2×10

5 MCS 에서는 δn= 60,

t = 4×105 MCS 에서는 δn = 80, 그리고 t = 8×10

5 MCS 에서는

δn = 100 으로 하였다.

그림 23에서 보는 바와 같이 최대 분포를 주는 방울의 스핀 개수는 시간

에 따라 커져감을 알 수 있다. 또한 소수상의 총 스핀 수는 시간에 따라 변

하지 않으므로, 분포함수 f (n,t ) 아래의 면적은 모든 시간에서 같은 값을

가져야 한다. 따라서 이 분포함수에 대한 동역학적 축척은

f (n,t )=1

n*(t)f̂ ( n

n*(t) ) (23)

를 만족하리라 예상된다. 그리고 방울을 이루는 스핀 수는 방울 크기의 제

곱에 비례하므로 n *(t )=CL 2(t ) 가 성립하게 된다. 여기서 L ( t ) 는 스핀

상관함수에서 얻은 성장 길이이며, C는 비례상수이다. 그림 24에서

L2(t )f (n, t ) 를 n/L 2(t ) 에 대해 그려보았다. 예상과 일치하게 방울의 크

기분포에 대해, 스핀 상관함수의 동역학적 축척이 동일하게 성립됨을 보았

다. 일반적인 m값에 대한 분포의 축척함수 f̂ (u ) 에 대한 현상론적 논의

- 35 -

[37]-[41]는 있으나, 맆쉬츠-슬리오조브 이론과 같은 해석적 이론은 아직

나와 있지 않다. 결국 임계 급냉의 경우에서와 같이 비임계 급냉의 경우,

증발-응축 과정은 소수상의 평균 방울 크기라는, 시간에 따라 t 1/3로 자라

가는, 하나의 주도적 길이 척도에 의해 규정되는 것을 보게 된다.

그림 23. 여러 시간에서의 소수상 방울의 크기 분포 ( m 0 = 0.8 )

- 36 -

그림 24. 소수상 방울의 크기 분포에 대한 동역학적 축척 ( m 0 = 0.8 )

- 37 -

Ⅲ. 결론

본 논문에서는, 이중 합금의 상분리 동역학에 대한 가장 단순한 모형인,

2차원 사각 격자 위의 강자성 아이징 모형의 스핀 바꾸기 동역학을 컴퓨터

시늉을 통해 살펴보았다. 이웃한 서로 다른 스핀들을 바꾸어 주는 스핀 바

꾸기 동역학은, 모형의 위 스핀 수와 아래 스핀 수 (이중 합금에서는 A원자

의 수와 B 원자의 수)가 시간에 따라 변하지 않는 보존법칙을 반영하고 있

다. 이러한 한 곳 (local) 보존법칙은 그러한 제약이 없는 스핀 뒤집기 동역

학에서의 영역성장과는 다른 형태의 영역 생김새와 성장법칙을 보여준다.

스핀당 자화 m에 관계없이, m=1 가까이 에서 성립하는 맆쉬츠-슬리

오조브 이론이 예측하는 성장지수, φ = 1/3 과 일치하는 성장지수 값을 동

역학적 스핀 상관함수에 대해 얻게 되었다. 또한 스핀 뒤집기 동역학에서와

같은 동역학적 축척현상이 존재함을 보았다. 이것은 계에 존재하는 단 하나

의 시간에 따라 자라가는 길이 척도의 존재를 의미하며, 그 길이 척도는 자

라가는 영역의 평균 크기 (임계 급냉의 경우에는 서로 얽혀 있는 영역의 평

균 폭, 비임계적 급냉에서는 소수상의 방울들의 평균 크기)이다.

임계점으로의 급냉에 대한 동역학으로부터, 동역학적 임계지수 z 가 이중

합금의 상분리 동역학에 대한 연속체적 모형인 모형 B에 대한 해석적 결과

z=4-η =15/4=3.75 와 일치함을 보았다. 이 결과는 스핀 바꾸기 동역학

을 사용하는 동역학적 아이징 모형과 모형 B가 같은 동역학적 보편성 군에

있음을 말해준다.

실제 이중합금의 질서-무질서 상전이나 상분리 과정에서는, 이 논문에서

사용된 두 종류 원자의 직접적 교환은 거의 이루어지지 않고, 합금에 존재

하는 작은 수의 빈자리 (vacancy)에 의해 상분리가 이루어진다고 알려져 있

다. 이러한 실험적 제안에 의해 아이징 모형에 단 하나의 빈자리 흠을 집어

넣어, A원자와 B원자의 바꾸기는 제외하고, 빈자리와 그 가장 가까운 이웃

에 있는 A원자나 B원자와의 바꾸기에 의해 이루어지는, 소위 빈자리의 도움

에 의해 진행되는 (vacancy-mediated or vacancy-assisted) 질서-무질서

- 38 -

상전이의 운동학이나 상분리 동역학이 최근까지 활발히 연구되고 있다.

빈자리에 의해 진행되는 이중 합금의 질서-무질서 상전이의 질서화 동역

학 [42]-[46]에서는, 성장법칙이 보통의 스핀 뒤집기에 의해 주어지는 성

장지수 φ =1/2 보다 큰 φ≃ 0.77 (이러한 시늉들에서는, 영역 성장의 진

행이 멈추어 지는 것을 막기 위해 빈자리의 가장 가까운 이웃뿐만 아니라,

그 다음 가까운 이웃과의 바꾸기 또한 동시에 허용한다)이 보고되어 있다.

또한, 빈자리의 도움에 의해 이루어지는 상분리 동역학 [47]-[62]에서는

보통의 스핀 바꾸기 동역학보다 상분리가 훨씬 더 빠르게 진행되며, 성장지

수는 온도에 따라 달라지는 복잡한 거동을 보이고 있어, 이 문제에 대한 더

자세한 연구는 비평형 상질서화 동역학의 새로운 주제이다.

- 39 -

참 고 문 헌

[1] J. D. Gunton and M. Droz, Introduction to the Theory of

Metastable and Unstable States, Lecture Notes in Physics Vol. 183

(Springer Verlag, Berlin 1983).

[2] J. D. Gunton, M. San Miguel, and P. S. Sahni, The Dynamics of

First-order Phase Transitions, in Phase Transitions and Critical

Phenomena vol. 8, edited by C. Domb and J. Lebowitz (Academic

Press, London, 1983).

[3] Dynamics of ordering processes in condensed matter, edited by

S. Komura and H. Furukawa (Plenum, New York, 1988).

[4] J. Langer, An Introduction to the kinetics of first-order phase

transitions, in Solids Far From Equilibrium, edited by C. Godreche

[5] G. F. Mazenko, Introduction to Growth Kinetics Problems, in

Formation and Interactions of Topological Defects, edited by A. -C.

Davis and R. Brandenberger (Plenum, New York, 1995).

[6] A. J. Bray, Theory of phase ordering kinetics, Adv. Phys. 43, 357

(1994).

[7] J. Marro, J. L. Lebowitz, and M. H. Kalos, Computer simulation of

the time evolution of a quenched model alloy in the nucleation region,

Phys. Rev. Lett. 43, 282 (1979).

[8] 참고문헌 [6]의 Part III-실험 부분을 참조.

- 40 -

[9] S. E. Nagler, R. F. Shannon, Jr., C. R. Harkless, M. A. Singh, and

R. M. Nicklow, Time-resolved X-ray scattering study of ordering and

coarsening in CU3Au, Phys. Rev. Lett. 61, 718 (1988).

[10] B. Park, G. B. Stephenson, S. M. Allen, and K. F. Ludwig, Jr.,

Development of fluctuations into domains during ordering in Fe3Al,

Phys. Rev. Lett. 68, 1742 (1992).

[11] J. Mainville, Y. S. Yang, K. R. Elder, M. Sutton, K. F. Ludwig Jr.,

and G. B. Stephenson, X-ray scattering study of early stage spinodal

decomposition in Al_0.62Zn_0.38, Phys. Rev. Lett. 78, 2787 (1997).

[12] S. M. Allen and J. W. Cahn, A microscopic theory for anti-phase

boundary motion and its application to anti-phase domain coarsening,

Acta. Metall. 27, 1085 (1979).

[13] I. M. Lifshitz and V. V. Slyozov, The kinetics of precipitation from

supersaturated solid solutions, J. Phys. Chem. Solids, 19, 35 (1961).

[14] A. J. Bray, Renormalization-group approach to domain-growth

scaling, Phys. Rev. B 41, 6724 (1990).

[15] Chapter 5 in M. Plischke and B. Bergersen, Equilibrium Statistical

Physics, 2nd Edition (World Scientific, Singapore, 1994).

[16] M. E. J. Newman and G. T. Barkema, Monte Carlo Methods in

Statistical Physics, (Oxford University Press, New York, 1999).

- 41 -

[17] Z. W. Lai, G. F. Mazenko, and O. V. Valls, Classes for growth

kinetics problems at low temperatures, Phys. Rev. B 37, 9481 (1988).

[18] D. A. Huse, Corrections to late-stage behavior in spinodal

decomposition: Lifshitz-Slyozov scaling and Monte Carlo simulations,

Phys. Rev. B 34, 7845 (1986).

[19] J. G. Amar, F. E. Sullivan, and R. D. Mountain, Monte Carlo

study of growth in the two-dimensional spin-exchange kinetic Ising

model, Phys. Rev. B 37, 196 (1988).

[20] C. Roland and M. Grant, Monte Carlo renormalization-group study

of spinodal decomposition: Scaling and growth, Phys. Rev. B 39,

11971 (1989).

[21] P. Fratzl, J. L. Lebowitz, O. Penrose, and J. Amar, Scaling

functions, self-similarity, and the morphology of phase-separating

systems, Phys. Rev. B 44, 4794 (1991).

[22] J. F. Marko and G. T. Barkema, Phase ordering in the Ising

model with conserved spin, Phys. Rev. E 52, 2522 (1995).

[23] P. C. Hohenberg and B. I. Halperin, Theory of dynamic critical

phenomena, Rev. Mod. Phys. 49, 435 (1977).

[24] F. J. Alexander, D. A. Huse, and S. A. Janowsky, Dynamic

scaling and decay of correlations for spinodal decomposition at Tc,

Phys. Rev. B 50, 663 (1994).

- 42 -

[25] S. N. Majumdar, D. A. Huse, and B. D. Lubachevsky, Growth of

Long-range correlations after a quench in conserved-order-parameter

systems, Phys. Rev. Lett. 73, 182 (1994).

[26] A. Chakrabarti and J. D. Gunton, Cell-dynamics approach to

late-stage domain growth in phase-separating systems, Phys. Rev. B

37, 3798 (1988).

[27] T. M. Rogers, K. R. Elder, and R. Desai, Numerical study of the

late stages of spinodal decomposition, Phys. Rev. B 37, 9638 (1988).

[28] Y. Oono and S. Puri, Study of phase-separation dynamics by use

of cell dynamical systems. I. Modeling, Phys. Rev. B 38, 434 (1988).

[29] S. Puri and Y. Oono, Study of phase separation dynamics by use

of cell dynamical systems. II. Two-dimensional demonstrations, Phys.

Rev. B 38, 1542 (1988).

[30] E. T. Gawlinski, J. Vinals, and J. D. Gunton, Domain growth and

scaling in the two-dimensional Langevin model, Phys. Rev. B 39, 7266

(1989).

[31] T. M. Rogers and R. Desai, Numerical study of late-stage

coarsening for off-critical quenches in the Cahn-Hilliard equation of

phase separation, Phys. Rev. B 39, 11956 (1989).

[32] R. Toral, A. Chakrabarti and J. D. Gunton, Droplet distribution

for the two-dimensional Cahn-Hilliard model: Comparison of theory

with large-scale simulations, Phys. Rev. A 45, R2147 (1992).

- 43 -

[33] A. Chakrabarti, R. Toral, and J. D. Gunton, Late-stage

coarsening for off-critical quenches: Scaling functions and the growth

law, Phys. Rev. E 47, 3025 (1993).

[34] A. Shinozaki and Y. Oono, Spinodal decomposition in 3-space,

Phys. Rev. E 48, 2622 (1993).

[35] N. Akaiwa and P. W. Voorhees, Late-stage phase separation:

Dynamics, spatial correlations, and structure functions, Phys. Rev. E

49, 3860 (1994).

[36] R. Toral, A. Chakrabarti and J. D. Gunton, Large scale

simulations of the two-dimensional Cahn-Hilliard model, Physica A

213, 41 (1995).

[37] M. Marder, Correlations and Ostwald ripening, Phys. Rev. A 36,

858 (1987).

[38] A. J. Ardell, Late-stage two-dimensional coarsening of circular

clusters, Phys. Rev. B 41, 2554 (1990).

[39] J. H. Yao, K. R. Elder, H. Guo, and M. Grant, Ostwald ripening

in two and three dimensions, Phys. Rev. B 45, 8173 (1992).

[40] J. Alkemper, V. A. Snyder, N. Akaiwa, and P. W. Voorhees,

Dynamics of late-stage phase separation: A Test of theory, Phys. Rev.

Lett. 82, 2725 (1999).

- 44 -

[41] B. Meeson, Fluctuations provide strong selection in Ostwald

ripening, Phys. Rev. E 60, 3072 (1999).

[42] E. Vives and A. Planes, Kinetics of a vacancy-driven

order-disorder transition in a two-dimensional binary alloy, Phys. Rev.

Lett. 68, 812 (1992).

[43] E. Vives and A. Planes, Vacancy-driven ordering in a

two-dimensional binary alloy, Phys. Rev. B 47, 2557 (1993).

[44] C. Frontera, E. Vives, and A. Planes, Monte Carlo study of the

relation between vacancy diffusion and domain growth in

two-dimensional binary alloys, Phys. Rev. B 48, 9321 (1993).

[45] C. Frontera and E. Vives, Comparison between molecular

dynamics and Monte Carlo simulations of an ordering process in a

binary alloy, Phys. Rev. B 48, 9321 (1999).

[46] M. Porta, E. Vives, and T. Castan, Vacancy-assisted domain

growth in asymmetric binary alloys: A Monte Carlo study, Phys. Rev. B

60, 3920 (1999).

[47] P. Fratzl and O. Penrose, Kinetics of spinodal decomposition in

the Ising model with vacancy diffusion, Phys. Rev. B 50, 3477 (1994).

[48] C. Frotera, E. Vives, T. Castan, and A. Planes, Comment on

"Kinetics of spinodal decomposition in the Ising model with vacancy

diffusion", Phys. Rev. B 53, 2886 (1996).

- 45 -

[49] P. Fratzl and O. Penrose, Reply to "Comment on 'Kinetics of

spinodal decomposition in the Ising model with vacancy diffusion'",

Phys. Rev. B 53, 2890 (1996).

[50] P. Fratzl and O. Penrose, Competing mechanisms for precipitate

coarsening in phase separation with vacancy dynamics, Phys. Rev. B

55, R6101 (1997).

[51] M. Plapp and J-F. Gouyet, Surface modes and ordered patterns

during spinodal decomposition of an ABv model alloy, Phys. Rev. Lett.

78, 4970 (1997).

[52] S. Puri and R. Sharma, Phase ordering dynamics in binary

mixtures with annealed vacancies, Phys. Rev. E 57, 1873 (1998).

[53] T. T. Rautiainen and A. P. Sutton, Influence of the atomic

diffusion mechanism on morphologies, kinetics, and the mechanism of

coarsening during phase separation, Phys. Rev. B 59, 13681 (1999).

[54] M. Plapp and J-F. Gouyet, Spinodal decomposition of an ABv

model alloy: Patterns at unstable surfaces, Eur. Phys. J. B 9, 267

(1997).

[55] K. E. Novik and P. V. Coveney, Spinodal decomposition of

off-critical quenches with a viscous phase using dissipative particle

dynamics in two and three spatial dimensions, Phys. Rev. E 61, 435

(2000).

[56] P. Fratzl, O. Penrose, R. Weinkamer, and I. Zizak, Coarsening in

the Ising model with vacancy dynamics, Physica A 279, 100 (2000).

- 46 -

[57] J. Liu and Y. Ma, Vacancy-assisted domain growth in amphiphilic

systems: Monte Carlo simulation, J. Chem. Phys. 113, 6398 (2000).

[58] J. Liu and Y. Ma, Fluctuation-driven structure reorganization and

fast growth in phase-separating mixtures at low temperature, Phys.

Rev. B 65, 024102 (2001).

[59] C. Castellano and F. Corberi, Fast growth at low temperature in

vacancy-mediated phase separation, Phys. Rev. B 63, 060102 (2001).

[60] J. Roussel and P. Bellon, Vacancy-assisted phase separation

with asymmetric atomic mobility: Coarsening rates, precipitate

composition, and morphology, Phys. Rev. B 63, 184114 (2001).

[61] Y. Tang and Y. Ma, Controlling structural organization of binary

phase-separating fluids through mobile particles, J. Chem. Phys. 116,

7719 (2002).

[62] Y. L. Bouar and F. Soisson, Kinetic pathways from

embedded-atom-method potentials: Influence of the activation barriers,

Phys. Rev. B 65, 094103 (2002).

- 47 -

Abstract

Phase Separation Kinetics of Conserved

Order Parameter Ferromagnetic Ising Model.

by Ha, Taegu

Major in Physics Education

Graduate School of Education

Changwon National University

We have examined the phase separation dynamics of a

ferromagnetic Ising model on a two-dimensional square lattice via an

extensive Monte Carlo simulation employing a Kawasaki's

single-spin-exchange kinetics. This model is a simplest dynamic

model for the phase separation process of binary alloys in spite of the

fact that the direct exchange of atoms in real binary alloys is highly

unrealistic.

We have considered both critical and off-critical quenches. For both

quenches, we have observed a dynamic scaling phenomena for the

dynamic order parameter correlation functions and for the droplet size

distribution function in the case of off-critical quench. For both

quenches the domain growth exponent is shown to be the same as

the prediction of the Lifshitz-Slyozov theory which holds for the case

of vanishing concentration of the minority phase, which is 1/3.

For the critical quench, we studied a nonequilibrium critical dynamics

- 48 -

of the system by quenching the system to its critical point. We find

that the critical dynamic scaling holds for the order parameter

correlation function, which allows us to determine the dynamic

exponent. The value of the dynamic exponent z appears to be in a

good agreement with the theoretical prediction of the model B,

z= 4-η = 3.75, which indicates that the model B and the spin

exchange kinetic Ising model belongs to the same universality class

regarding the nonequilibrium phase separation.

- 49 -

감 사 의 글

사람이 살아가면서 가장 중요한 것은 생에 대한 열정이라고 생각합니다.

저에게 이러한 열정의 끈을 놓치지 않고 정진할 수 있게 힘이 되어 주신 모

든 분께 감사를 드립니다. 특히 저를 지도해 주시고 꼼꼼히 되짚어 주신 김

봉수 지도 교수님께 다시 한 번 이 지면을 빌어 진심으로 감사를 드립니다.

또한 오인환, 김상수, 이호섭, 김일곤, 한창희, 유동선, 장기완 교수님과 김

장일 박사님께 감사의 마음을 전하며, 남기권, 김은혜씨께도 고마움을 표합

니다.

마지막으로, 세상으로 나아가는 저에게 언제나 든든한 기둥이 되어주시는

저의 부모님과, 끝까지 저를 지켜보아 준 아내와 귀여운 두 딸에게도 사랑

으로 고마움을 전하고 싶습니다.