k , con k = 1, - 2

Integrales de la forma 2 2

k

ax bx c dx

37

V

INTEGRALES DE LA FORMA

, con k = 1, - 2 22k

ax + bx + c dx

Las nueve fórmulas estudiadas en el capítulo anterior son las que habrán de utilizarse en estetema. Simplemente habrá que agregar algunos pasos algebraicos que servirán para transformar un

trinomio de la forma ax2 + bx + c a la forma , que, como se verá, se reduce a las 2mx n h

fórmulas anteriores. Para esto, como es indispensable que el estudiante tenga la habilidad algebraicasuficiente para realizar las transformaciones mencionadas, la primera parte de este capítulo se dedi-cará a ejercitar el paso de una forma algebraica a la otra requerida. Para deducir el procedimiento,se comenzará de atrás para adelante.

Supóngase que se tiene la suma de un binomio al cuadrado más cualquier constante, que en térmi-

nos genéricos se puede enunciar como , por ejemplo 2mx n h

2

2 7 9x

binomio al

cuadradoconstante


k

ax bx c dx

38

Si se desarrolla (recordando que el binomio cuadrado es igual al cuadrado del primer término,más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo) se obtiene:

(2x + 7)2 + 9 = 4x2 + 28x + 49 + 9

cuadradodel 1º

doble produc-to del 1º por

el 2º

cuadradodel 2º

(A) 2 22 7 9 4 28 58x x x

trinomio

No se pierda de vista que aquí del binomio al cuadrado más la constante se partió a obtener untrinomio cuadrático. Como en matemáticas toda operación o proceso tiene su inverso o camino deretorno, la igualdad (A) puede pensarse en desarrollarse a la inversa, es decir, a partir del trinomioobtener el binomio al cuadrado más la constante, al que equivale.

Inicialmente habría que observar que del trinomio cuadrático:


k

ax bx c dx

39

a) 4x2 salió del cuadrado del primer término del binomio. Significa que su raíz cuadrada esel primer término del binomio.

b) 28x salió del doble producto del primer término del binomio por el segundo. De aquí sepuede calcular fácilmente el segundo término del binomio, pues el primero ya se conocea partir del paso anterior.

Entonces lo único que faltaría por saber es el valor de la constante que suma al binomio. Unrazonamiento lógico conduce a su obtención, como se verá en los siguientes dos ejemplos.

Por ejemplo, para transformar 9x2 + 30x + 41 a la forma (mx + n)2 + h , en donde m, n y h sonnúmeros o constantes, se deduce que 9x2 es el cuadrado del primer término del binomio, por lo tantodicho primer término es 3x. También, por lo dicho líneas arriba, 30x es el doble producto del pri-mer término por el segundo y sabiendo que el primero es 3x , por simples divisiones se obtiene queel segundo término del binomio es

30

230 2 33

x

x xx

30x ÷ 2 ÷ 3x = 5

El binomio al cuadrado buscado es (3x + 5)2 . Para deducir la constante que falta en el procesose desarrolla (de preferencia mentalmente) el binomio al cuadrado y se compara con el trinomiooriginal. Por comparaciones se sumará y/o restará lo que haga falta para que sean iguales.


k

ax bx c dx

40

(a) 229 30 41 3 5x x x ?

(b)2 29 30 41 9 30 25x x x x ?

no son iguales

En realidad, lo que está escrito del lado izquierdo del signo igual (=) en el renglón (b) no esigual a lo que aparece del lado derecho. Basta observar que en ambos lados está 9x2; también está30x , pero en el lado izquierdo hay un + 41 que no está en el derecho y en el derecho hay un + 25que no está en el lado izquierdo. A veces es muy directo deducir lo que hace falta para que seaniguales, como en este ejemplo, con la simple pregunta ¿Cuánto le falta al 25 para llegar al 41? Su-marle 16.

Pero no siempre es tan directo, sobretodo cuando se tienen fracciones, como se verá en los ejem-plos 4 y 5. Entonces un razonamiento genérico es el siguiente: Para que realmente sean iguales bastasumar en el renglón (a) en el lado derecho el + 41 que está en el lado izquierdo (para que así yaaparezca en ambos lados) y también restar en el lado derecho - 25 que es el equivalente a “borrar”el + 25 que no está en el original y en cambio sí está en el derecho.

De lo anterior, resulta:

9x2 + 30x + 41 = (3x + 5)2 + 41 - 25

2 29 30 41 3 5 16x xx


k

ax bx c dx

41

Ejemplo 2: Transformar el trinomio 4x2 - 28x + 45 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 4x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raízcuadrada: 2x.

Si 28x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 2x)por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo - 28x ÷ 2 ÷ 2x = - 7.

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es (2x - 7)2.

Pero (2x - 7)2 no es igual al trinomio original, es decir , ya que 224 28 45 2 7x x x

si se desarrolla el binomio al cuadrado se obtiene:

(2x - 7)2 =cuadrado del1er término;

menos el dobleproducto del 1ºpor el 2º;

más el cua-drado del 2º.

2 24 28 45 4 28 49x x x x

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 4x2 está en amboslados; - 28x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 45 queno está en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un + 49 que no existe en eltrinomio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar - 49 y sumar + 45simultáneamente en el lado derecho, obteniendo:

224 28 45 2 7 49 45x x x


k

ax bx c dx

42

2 24 28 45 2 7 4xx x

Ejemplo 3: Transformar el trinomio 25x2 - 18x + 35 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 25x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es suraíz cuadrada: 5x.

Si 18x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 5x)por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo

.18 2 59

5x x

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es . Pero no es igual al trinomio2

95

5x

29

55

x

original, es decir , ya que si se desarrolla el binomio al cuadra-2

2 925 18 35 5

5x x x

do se obtiene:

29

55

x

cuadrado del1er término;

menos el dobleproducto del 1ºpor el 2º;

más el cuadra-do del 2º.

2 2 8125 18 35 25 18

25x x x x


k

ax bx c dx

43

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 25x2 está en amboslados; - 18x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 35 que

no está en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un + que no existe en81

25

el trinomio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar y sumar81

25

+ 35 simultáneamente en el lado derecho, obteniendo:2

2 9 8125 18 35 5 35

5 25x x x

22

9 7945

52 35

518

25x xx

Ejemplo 4: Transformar el trinomio 9x2 + 7x - 6 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 9x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raízcuadrada: 3x.

Si 7x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 3x)

por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo .7 2 37

6x x

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es . Pero no es igual al trinomio2

73

6x

27

36

x

original, es decir , ya que si se desarrolla el binomio al cuadrado2

2 79 7 6 3

6x x x

se obtiene:


k

ax bx c dx

44

27

36

x


más el dobleproducto del 1ºpor el 2º;


2 2 499 7 6 9 7

36x x x x

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 9x2 está en amboslados; 7x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un - 6 que no está

en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un que no existe en el trino-49

36

mio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar y sumar - 6 simul-49

36

táneamente en el lado derecho, obteniendo:

22 7 49

9 7 6 3 66 36

x x x

22

7 2653

6 39 6

67 xx x

Ejemplo 5: Transformar el trinomio 6x2 + 5x + 8 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Si 6x2 es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raíz

cuadrada: .6 x


k

ax bx c dx

45

Si 5x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es

) por el segundo, éste se obtiene dividiendo .6 x 5 2 65

2 6x x

Ya se tiene el binomio al cuadrado: es . Pero no es igual

25

62 6

x

25

62 6

x

al trinomio original, es decir , ya que si se desarrolla el

2

2 56 5 8 6

2 6x x x

binomio al cuadrado se obtiene:

25

62 6

x


más el dobleproducto del 1ºpor el 2º;


2 2 256 5 8 6 5

24x x x x

que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 6x2 está en amboslados; + 5x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 8 que noestá en el lado derecho (hay que agregarlo allí para que se sean iguales); y además, en el lado

derecho aparece un + que no existe en el trinomio original. Entonces, para que realmente25

24

sean iguales, se debe restar y sumar + 8 simultáneamente en el lado derecho, obteniendo:25

24


k

ax bx c dx

46

2

2 5 256 5 8 6 8

242 6x x x

2

25 167

6242 6

6 5 8x xx

Ejemplo 6: Transformar el trinomio 48 - 24x - 9x2 a la forma (mx + n)2 + h.

Solución: Obsérvese que en este ejemplo, a diferencia de los anteriores, el término cuadrático es negativo.En casos así, debe encerrarse primero en un paréntesis negativo el trinomio para que se vuelvapositivo el término al cuadrado, luego ordenarlo respecto de los exponentes de x y a partir deallí repetir lo que se ha hecho en los ejemplos antecedentes. Se finaliza eliminando el paréntesisnegativo cambiando de signo a todo lo que contiene.

2 248 24 9 9 24 48x x x x

23 4 64x

2 248 24 9 64 3 4x x x

APLICACIÓN A LAS INTEGRALES

Lo anterior es la práctica y habilidad algebraica que se requiere para poder realizar las integralesde la forma que se estudian en este capítulo. Entonces el procedimiento general para integrar funcio-nes que contienen un polinomio cuadrático, ya sea con o sin raíz cuadrada, en el numerador o en eldenominador, consiste en transformar dicho trinomio a la forma (mx + n)2 + h, y por un cambio devariable reducirla a una de las fórmulas vistas en el capítulo anterior.


k

ax bx c dx

47

Ejemplo 7: Integrar 24 36 85

dx

x x Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas

anteriores, se tiene que

2 24 36 85 2 9 4

dx dx

x x x

Haciendo los siguientes cambios:

u2 = (2x + 9)2 , de dondeu = 2x + 9du = 2dxa2 = 4 a = 2

Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por 2 para obtener la diferencial du y para queno se altere la integral original:

2 2 2

2

2

1 1

22 9 4

dx du

u ax

Se ha reducido a la fórmula (11) de la página 32. Aplicándola se obtiene:

2 2

1 1 1

2 2

du uarc tan c

a au a

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral:

1 1 2 9

2 2 2

xarc tan c


k

ax bx c dx

48

2

1 2 9

4 24 36 85

dx xarc tan c

x

COMPROBACIÓN:

Simplemente para abreviar, sea (el resultado de la integral). En-1 2 9

4 2

xarc tan cI

tonces derivando I:

1 2 9

4 2

dI d x darc tan c

dx dx dx

2

2 91 2

04 2 9

12

d x

dx

x

2

1 1

4 4 36 811

4

x x

2

1 1

4 4 36 81 4

4

x x


k

ax bx c dx

49

2

1 4

4 4 36 85x x

2

1

4 36 85

dI

dx x x

Ejemplo 8: Integrar

29 6 2

dx

x x

Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginasanteriores, se tiene que

2 29 6 2 3 1 1

dx dx

x x x


u2 = (3x - 1)2 , de dondeu = 3x - 1du = 3dxa2 = 1a = 1


2 2 2

3

3

1 1

33 1 1

dx du

u ax


k

ax bx c dx

50


2 2

2 2

1 1

3 3

duln u u a c

u a

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral, en dondeconviene considerar que en este tipo de integrales, siempre que exista originalmente una raízcuadrada, al sustituir en la fórmula se obtiene la raíz cuadrada original, por lo que:

2

2

13 1 9 6 2

39 6 2

dxln x x x c

x x

Ejemplo 9: Integrar 245 20 25x x dx Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas

anteriores, ver ejemplo 6 de la página 46, se tiene que

2245 20 25 49 5 2x x dx x dx


u2 = (5x + 2)2 , de dondeu = 5x + 2du = 5dxa2 = 49a = 7



k

ax bx c dx

51

2 2 21 149 5 2

5 55x dx a u du


22 2 2 21 1

5 5 2 2

u a ua u du a u arc sen c

a

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral, en dondeconviene considerar que en este tipo de integrales, siempre que exista originalmente una raízcuadrada, al sustituir en la fórmula se obtiene la raíz cuadrada original, por lo que:

21 5 2 49 5 245 20 25

5 2 2 7

x xx x arc sen c

2 25 2 49 5 245 20 25 45 20 25

10 10 7

x xx x dx x x arc sen c

Ejemplo 10: Integrar 22 5 3

dx

x x Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en los ejemplos

1 a 6, se tiene que

2 22 5 3 5 12

82 2

dx dx

x xx


k

ax bx c dx

52


, de donde

2

2 52

2 2u x

52

2 2u x

2du dx

2 1

8a

1 1 1 1

8 4 2 2 24 2a

Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por para obtener la diferencial du y para2

que no se altere la integral original:

2 2 2

1 1

25 12

82 2

2

2

dx du

u ax


2 2

1 1 1

22 2

du u aln c

a u au a

y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral:


k

ax bx c dx

53

5 12

1 1 2 2 2 25 112 22

2 2 2 22 2

xln c

x

42

2 2 2 262 2 2

2 2

xln c

x

22

23

22

xln c

x

Para eliminar los denominadores parciales que aparecen en el numerador y en el denomi-2

nador del argumento del logaritmo natural, deben multiplicarse al mismo tiempo numerador y

denominador por :2

22

2

2

2

23

2

x

ln c

x

2

2 2

2 32 5 3

dx xln c

xx x


k

ax bx c dx

54

COMPROBACIÓN:

Simplemente para abreviar, sea (el resultado de la integral). Entonces2 2

2 3

xl cI n

x

derivando I:

2 2

2 30

2 2

2 3

d x

dx xdIxdxx

2

2 2 3 2 2 2

2 3

2 2

2 3

x x

x

x

x

2

4 6 4 4

2 3

2 2

2 3

x x

x

x

x

2

2

2 3

2 2

2 3

x

x

x

2

2 2 3

2 3 2 2

x

x x


k

ax bx c dx

55

2

2 2 3

2 2 3 1

x

x x

1

2 3 1x x

2

1

2 5 3

dI

dx x x

EJERCICIO 5.1

Realizar las siguientes integrales:

1) 2)225 10 10

dx

x x 216 24 7

dx

x x

3) 4)29 42 50

dx

x x 24 20 50

dx

x x

5) 6)24 28 32x x dx 236 12 10x x dx

7) 8)236 60 11

dx

x x 264 144 162

dx

x x


k

ax bx c dx

56

9) 10)272 6

dx

x x 220 4 24x x dx

11) 12)2117 12 9

dx

x x 2168 20 100

dx

x x

13) 14)225 18 8x x dx 24 14 1

dx

x x

15) 16)216 7 2

dx

x x 249 9 6

dx

x x

17) 18)23 9x x dx 25 11 13

dx

x x

19) 20)27 11 22

dx

x x 28 19

dx

x x

21) 22)2 17x x dx 212 8

dx

x x

23) 24)215 11

dx

x x 27 7x dx

Documents

k , con k = 1, - 2