K Instabilidade Elstica

11.0 Instabilidade Elstica. 11.1 Introduo.No dimensionamento dos elementos estruturais, alm de se considerar a resistncia do material (limitando as tenses a um valor considerado admissvel) e a rigidez da estrutura (limitando as deformaes), h que se levar em conta certos valores crticos, caractersticos do carregamento, do material e da geometria da estrutura, que podem provocar a sua instabilidade (*). Algumas vezes, apesar de os valores nominais das tenses e deformaes se enquadrarem naqueles limites admissveis, pode acontecer o colapso total da estrutura, sem prenncio para sua ocorrncia, tornando mais graves as conseqncias (a falta de avisos prvios, como trincas, rachaduras, estalos, deformaes progressivas, impede que uma ao preventiva seja adotada antes da ocorrncia catastrfica). o que acontece, por exemplo, em colunas longas e esbeltas, submetidas a cargas de compresso pelos topos, e que sofrem uma brusca deflexo lateral (flambagem), como tambm no caso de estruturas elsticas, quando submetidas a esforos ativos alternados cuja freqncia coincide com a freqncia natural de vibrao livre da estrutura (ressonncia).(*) Observao: diz-se estvel um sistema de esforos em equilbrio, atuantes em um corpo em repouso quando, ligeiramente afastado dessa posio, surge um esforo vincular de endireitamento, no sentido de recuperar a posio de repouso - Fig. 11.1 (a). instvel o equilbrio quando o esforo gerado de emborcamento, afastando ainda mais o corpo da posio de repouso - Fig. 11.1 (b). indiferente o equilbrio quando esta condio se mantm inalterada, mesmo aps ser o corpo afastado de sua posio inicial em repouso Fig. 11.1 (c).

(a)

(b)

(c)

Fig. 11.1 Tipos de Equilbrio: (a) estvel; (b) instvel; (c) indiferente.

11.2 Flexo Composta com fora normal em vigas esbeltas.J foi comentado (7.1) que o princpio da superposio dos efeitos no se aplica flexo composta com fora normal de compresso (como no caso da compresso excntrica) em se tratando de vigas esbeltas (cujo comprimento elevado quando comparado s dimenses da seo transversal), pois a deformao (flecha), decorrente da flexo, provoca um incremento no momento fletor na seo (por aumento da excentricidade) que, por sua vez, gera novo incremento na flecha, sendo tal efeito cumulativo. Tomemos como exemplo o caso de uma viga prismtica bi-apoiada, submetida a um momento fletor M0 uniforme ao longo de sua extenso L, e comprimida nas extremidades por uma fora normal H (ou que fosse submetida to somente fora compressiva H, porm com uma excentricidade e tal que M0 = He, o que seria equivalente). O momento M0 foi escolhido negativo para gerar flechas f positivas. f H M0 x f H M0 x A equao diferencial da linha elstica ser: d2f/dx2 = M(x) / EI A fig. 11.2 nos mostra que, numa seo genrica afastada de x da origem, onde a flecha vale f, o momento fletor ser: M(x) = - (M0 + Hf), portanto: d2f/dx2 = - (M0 + Hf)/EI, ou d2f/dx2 + (H/EI) f = - M0/EI .... (11.2.1)

Fig. 11.2 Flexo composta com compresso.

A funo f = f(x), soluo da equao acima, que, derivada duas vezes, somada com ela mesma, multiplicada por uma constante, iguala um valor constante, uma funo constante, ou seja, uma soluo ser: f = - M0/H. Tal soluo to-somente uma soluo particular (j que nenhuma constante dependente 1

K Instabilidade Elstica das condies de contorno nela aparece). A soluo geral de uma equao diferencial linear como a 11.2.1 a soma de todas as suas possveis solues. Se adicionarmos soluo particular, j computada, as solues da equao diferencial homognea correspondente (f + k f = 0), tal soma ser a soluo geral. Realmente: se fH soluo da homognea (f + k f = 0), e fP uma soluo particular de (f + k f = y), ento fP + fH ser soluo geral de (f + k f = y). A equao homognea correlata equao 11.2.1 : d2f/dx2 + (H/EI) f = 0 ..................................................... (11.2.2) A soluo de tal equao diferencial ser uma funo f(x) que, derivada duas vezes se torna igual a ela mesma, multiplicada por uma constante e com o sinal trocado. As funes trigonomtricas seno e coseno satisfazem tal condio. A soluo da equao homognea ser, portanto: fH = C1 sen bx + C2 cos bx, que, levada em 11.2.2 nos d: d2 fH/dx2 = - b2 C1 sen bx - b2 C2 cos bx = - b2 fH, ou seja: b2 = H/EI e a soluo geral de 11.2.1 ser:

f = C1 sen [(H/EI)1/2x] + C2 cos [(H/EI)1/2 x] - M0/HAs condies de contorno da viga bi-apoiada em anlise nos indicam: para x = 0, f = 0, portanto: 0 = C1 (0) + C2 cos (0) M0/H, ou seja, C2 = M0/H. Por outro lado, em x = L, f = 0, e ento: 0 = C1 sen [(H/EI)1/2 L] + (M0/H){cos[(H/EI)1/2]x 1}, o que nos leva a C1 = (M0/H){1 cos[(H/EI)1/2L]}/ sen [(H/EI)1/2L]. Portanto:

f = (M0/H) [{[1 cos[(H/EI)1/2L]/ sen [(H/EI)1/2L]}sen [(H/EI)1/2x] + cos [(H/EI)1/2 x] 1]A flecha mxima, ocorrente no meio do vo (em x = L/2) ser:

fmx = (M0/H) [{[1 cos[(H/EI)1/2L]/ sen [(H/EI)1/2L]}sen [(H/EI)1/2L/2] + cos [(H/EI)1/2 L/2] 1]Utilizando as relaes cos 2a = cos2a sen2a e sen 2a = 2 sena cos a, obtemos:

fmx = (M0/H ) { sec [(H/EI)1/2 L/2] 1 } ..........................................11.2.3A equao obtida nos mostra que, mesmo que o momento fletor M0 fosse mnimo, ou (o que seria equivalente) se a excentricidade e = M0/H fosse desprezvel em presena das dimenses da seo, na circunstncia especial de se ter (H/EI)1/2 L/2 = /2, o clculo da secante tenderia a um valor infinitamente elevado, o que corresponderia a um aumento explosivo da flecha e ao colapso catastrfico da viga. Portanto, para a viga esquematizada, uma fora normal compressiva: H = 2 EI / L2 .......................................................11.2.4 provocar uma condio crtica de instabilidade elstica. Outros valores de H tambm se enquadrariam em tal condio crtica (quando [H/EI]1/2 L/2 = 3/2, 5/2, 7/2, .....) no havendo interesse quanto a eles por serem superiores ao dado em 11.2.4, o qual j teria levado runa da pea, quando atingido, no chegando a ser ultrapassado. fL P

11.3 Flambagem de colunas comprimidas.

P

f Um pilar reto, submetido a uma fora compressiva P, centrada na seo do topo, provocar uma tenso compressiva de valor = P/A. O estudo efetuado nos indica que, se a fora normal P alcanar o valor crtico L 2 EI / L2 , embora o pilar permanea reto e suporte, f x com lazeira, a tenso compressiva de esmagamento, estar numa condio de equilbrio instvel, j que, por uma leve excentricidade ou um momento fletor decorx rente de um pequeno esforo transversal, sofrer um coM=PfL lapso catastrfico por flexo. Diz-se que ocorreu a flambagem do pilar. f A carga crtica que a provoca (deduzida por Eub P P a ler) obtida encontrando-se a soluo da equao diferencial homognea: Fig. 11.3.1 (a) Pilar bi-articulado, na base e no 2 topo; (b) pilar engastado na base e livre no topo.

K Instabilidade Elstica

d2f/dx2 + (P/EI) f = 0que, como vimos, ser: f = C1 sen bx + C2 cos bx, sendo b = (P/EI)1/2 . No caso de as extremidades do pilar serem articuladas (f = 0 para x = 0 e x = L), como mostrado na Fig. 11.3.1 (a), conclumos que C2 = 0 e que o produto C1 sen[P/EI)1/2 L] = 0. Tal ocorre se C1 = 0 (o que corresponde situao de a coluna permanecer reta) ou se [P/EI)1/2 L = n (para n = 0, 1, 2 ...). O valor n = 1 corresponder carga crtica mnima que produzir o colapso da viga, portanto, a mais relevante:

Pcrt = 2 EI / L2 ....(Pilar bi-apoiado)

Pcrt = 2 EI / (2L)2 ....(Pilar engastado) A anlise dos formatos assumidos pelas linhas elsticas nos dois casos apresentados na Fig. 11.3.1 aponta no sentido de que o comprimento L, presente na equao de Euler, a distncia entre dois pontos sucessivos da viga onde o momento fletor nulo (ou seja, um meio comprimento da onda senoidal). A frmula de Euler, aplicvel a diversas condies de contorno, pode ento ser reescrita na forma: Pcrt. = 2 E I / (Lf)2 ....................................................(11.3.1) onde Lf o chamado comprimento efetivo de flambagem (distncia entre duas sees da viga onde o momento fletor nulo). A Fig. 11.3.2 apresenta alguns exemplos comuns de condies de extremidades para pilares de comprimento L e os correspondentes comprimentos efetivos de flambagem Lf para aplicao na frmula de Euler (11.3.1).

Se o pilar fosse engastado na base e livre no topo (Fig. 11.3.1 (b), a equao diferencial teria a 2 2 forma: d f/dx + (P/EI) f = (P/EI) fL (onde fL seria a flecha na extremidade livre). A integrao nos leva a f = fL + C1 sen [(P/EI)1/2x]+ C2 cos [(P/EI)1/2x]. Como f = 0 para x = 0, tiramos C2 = - fL. Como f = fL para x = L, conclumos que fL = C1 tan [(P/EI)1/2L]. A soluo C1 =0 (portanto, fL = 0) corresponde situao de a coluna permanecer reta, exceto no caso especial em que [(P/EI)1/2L] = /2 (tan ), caracterizando a ocorrncia de instabilidade quando:

L

LF = L

LF = 2L

LF = L/2

LF = 0,7L

LF = L/2

3

K Instabilidade Elstica

L L 2L L/2 0,7L

Fig. 11..3.2 Comprimentos Efetivos de Flambagem para vrias condies de extremidade das colunas.

P Exemplo 11.3: Determinao do comprimento efetivo de flambagem para um pilar engastado na base e articulado no topo. A desestabilizao do pilar por flambagem provocaria sua flexo, fazendo aparecer uma reao horizontal R no apoio do topo e um correspondente sistema fora-conjugado (RL-ML) no engastamento. O momento fletor em uma seo genrica x, onde ocorreria uma flecha f (suposta positiva), ser: M(x) = - Rx Pf. A equao diferencial da elstica ter a forma: d2f/dx2 + (P/EI)f = (-R/EI)x. soluo particular, fP = (-R/P)x, somamos a soluo da equao homognea, obtendo a soluo geral: f = C1 sen [bx]+ C2 cos [bx] (R/P)x, onde b = [(P/EI)1/2. R f x f

ML RL

x A condio de contorno f = 0 para x = 0 implica em que C2 = 0, restando: f = C1 sen [bx] (R/P)x. Como para x = L, f = 0, tiramos que C1 sen bL = (R/P)L e portanto: C1 = (R/P)L / sen (bL). Temos ainda a condio de que em x = L, o ngulo = 0, o que corresponde a df/dx = 0, ou seja, obtemos outra condio a ser satisfeita: C1 b cos (bL) = (R/P), portanto, C1 = (R/P) / b cos (bL). Para que ambas as condies sejam satisfeitas, (R/P)L / sen (bL) = (R/P) / b cos (bL), o que implica em que: tan bL = bL. Resolvendo, por tentativas, tal equao transcendente, obtem-se, para o menor valor diferente de zero, a soluo: bL = 4,493409458. Como b2 = P/EI e, segundo a frmula de Euler, P = 2 EI/ (LF)2, obtemos: LF = 0,699155659 L, adotando-se nas aplicaes LF = 0,7 L

Em uma anlise crtica dos resultados at agora obtidos, devemos considerar que as grandes deformaes provocadas pelo fenmeno da flambagem poderiam invalidar a aproximao feita quando da deduo da equao da elstica (quando se desprezou o termo [df/dx]2 em presena da unidade) com tambm a prpria aplicao da lei de Hooke relacionando as tenses com as deformaes na flexo ( = [M/I]y). Portanto, a formula de Euler deve ser considerada apenas como indicativa de condies limites perigosas que devem ser analisadas no projeto.4

K Instabilidade Elstica A frmula de Euler ------ Pcrtico = 2 EI / (LF)2 ------- pode ser re-escrita utilizando o conceito de raio de girao r da seo, tal que I = A r2 (distncia hipottica em que estaria concentrada toda a rea, produzindo o mesmo momento de inrcia) obtendo-se: Pcrtico = 2 E A r2 / (LF)2 = 2 E A / (LF /r)2. A tenso crtica quando a flambagem da coluna ocorre ( crt. = Pcrt. / A )ser: crtica = 2 E / (LF /r)2 = 2 E / ( )2 .......................................... (11.4.1) onde = LF / r o chamado ndice de esbeltez da coluna. Para colunas longas e delgadas (com ndice de esbeltez elevado), a tenso considerada crtica para o dimensionamento aquela dada pela frmula de Euler, enquanto que para colunas curtas e robustas, a tenso crtica ser a de escoamento por compresso, considerando esmagamento do material.

11.4 ndice de Esbeltez.

Observaes experimentais para colu300 nas em ao estrutural (E = 200 GPa e esc = MPa 250 MPa) indicam que a transio ocorre paescoam. ra um ndice de esbeltez em torno de 100, sendo considerada aplicvel a frmula de 200 Euler para maior que 130. Para colunas de alumnio ou madeira, o limite para a aplicao da frmula de Euler se situa em torno de 100 = 70. Para colunas com esbeltez intermediria, vrias frmulas empricas so propostas curtas na bibliografia especializada, objetivando a determinao da carga crtica de runa para cada tipo de material.

crt.

Ao estrutural

Frmula de Euler

intermedirias

longas

100

200

Fig.11.5 Tenses Crticas para colunas de AoParbola

crtTENSES CRTICAS (AO)

e e

> C crt = 2 E / 2 ..................... (Euler)Euler

< C crt = e [1 (e/4 E) ] .... (Parbola)2 2

(T) = 22E / e ........ (transio)2

adm(MPa)

TParbola

= Lf/r

TENSES ADMISSVEIS (em MPa) (AO ESTRUTURAL - 1020) AISC E = 200 GPa - e = 250 MPa C.S. = 1,92 (23/12) T = 126 > 126 adm = 1,03 x 106 / 2 ............ (Euler) < 126 adm = 130 [131,66x10-6 2]......(Parbola)

130

65

Euler

5

89

126

= Lf/r

K Instabilidade Elstica Ex. 11.4 O pilar esquematizado, um perfil W 150 x 24, em ao (E = 200 GPa), engastado na base e estaiado por dois tirantes que impedem o deslocamento do topo no sentido do eixo y, tracionados, cada um, com uma fora 11,7 kN pelos esticadores E. As caractersticas do perfil so apresentadas na tabela:Perfil W150 X 24 rea mm2 3060 Altura mm 160 Largura Espess. mm mm 102 10,3 x Alma mm 6,6 IY WY 106mm4 103mm3 13,36 167,0 rY mm 66,0 IZ WZ 106mm4 103mm3 1,844 36,2 rZ mm 24,6

Pretende-se calcular o peso mximo de uma pea a ser apoiada no topo da coluna, para um C. S. = 3,5. Analisando a possibilidade de flambagem da coluna no plano xy (engastada na base e articulada no topo) temos: (LF)1 = 0,699 x 6 = 4,195m; y = 4.195/ 24,6 = 170,5 (valor > 130 - vale a frmula de Euler): (crt.)1 = 2 (200x109) / (170,5)2 = 67,9 MPa, o que corresponderia a uma carga Pcrt. = 67,9 x 3060 = 207,8 kN. Analisando a flambagem da coluna no plano xz (engastada na base e livre no topo, j que os tirantes so vnculos ineficazes para impedir deslocamentos do topo na direo do eixo z) teremos: (LF)2 = 2 x 6 = 12m; ; z = 12.000/ 66,0 = 181,8 (> 150 vale a frmula de Euler): (crt.)2 = 2 (200x109) / (181,8)2 = 59,72 MPa, o que corE responderia a uma carga Pcrt. = 59,72 x 3060 = 182,7 kN. Portanto a carga crtica no topo ser 182,7 kN. A pr-tenso provocada pela trao dos tirantes laterais produz uma fora z normal de compresso no pilar que vale: N = 2T cos = 2x11,7 x (6/6,5) == 21,6 kN.

E

6,0 m

2,5 m 2,5 m y

Conclui-se que o peso crtico para o equipamento a ser montado no topo da coluna ser: 182,7 21,6 = 161,1kN. Levando em conta o C.S. preconizado: Pcrt.=161,1/3,5 = 46,0kN =~4,7 tf. e P

11.5 Carregamento excntrico. Frmula da Secante.A equao 11.2.3 obtida quando analisamos a flexo composta com compresso de uma viga bi-apoiada se aplica ao caso de colunas submetidas a uma carga excntrica compressiva, tal que M0 = P x e. A equao mencionada (fazendo H = P e L= LF) toma a forma: indicando que o valor crtico que provoca a instabilidade elstica (sec ) continua sendo o dado pela frmula de Euler, Pcrtico = 2 EI / (LF)2. A tenso mxima correspondente flexo composta com a fora normal ser: L/2

fmxL

fmx = (e ) { sec [(P/EI)1/2 LF/2] 1 }

mx = (P/A) + (Mmx/I)y* = (P/A) + P(e + fmx)y*/Ar2

(onde y* a distncia da fibra mais afastada em relao ao centride do perfil). Como e +fmx = {sec [(P/EI)1/2 LF/2]} mx = (P/A){ 1 + [ey*/ r2] sec [(P/EI)1/2 LF/2]}, ou 6

P

mx=(P/A){1 + [ey*/ r2] sec [(P/AE)1/2 (LF/r)]}....(11.5.1)Convm observar que a relao entre mx e (P/A) no linear (mx cresce mais rapidamente que P/A) no sendo aplicvel o princpio da superposio para carregamentos diversos, o que faz com que a determinao de Pcrt deva ser feita por tentativas. (P/A)crt

K Instabilidade Elstica

O grfico da Fig. 11.5 apresenta a 300 Ao estrutural relao entre a tenso normal mxima em MPa (ey*/r2)=0 E=200GPa; =250MPa funo do ndice de esbeltez da coluna, para alguns valores da excentricidade =0,1 (expressa pelo adimensional ey*/r2) para 200 Frmula de Euler um ao doce (E = 200 GPa e esc = 250 =0,4 MPa). =1,0 Importante notar que para colunas escoam 100 esbeltas a carga crtica tende para o valor dado atravs da frmula de Euler, praticamente independendo da excentricidade (ey*/r2) eventualmente presente. Por outro lado, nas colunas curtas, a excentri100 200 = LF/r cidade o fator preponderante no cmputo da carga crtica, independendo ela do nFig. 11.5 Carga P/A que provoca escoamento. dice de esbeltez . A frmula da secante tem aplicao satisfatria nas colunas de esbeltez intermediria, no sendo fcil, porm, estabelecer eventuais limites para a excentricidade da carga.

Exemplo 11.5.1: A coluna tubular esquematizada (dimetro externo 150mm, espessura de parede 5mm e comprimento 3,0m) construda em alumnio (E = 70 GPa e esc. = 170 MPa) engastada, tanto na base como no topo, sendo essas extremidades impedidas de se deslocar horizontalmente. Pretende-se avaliar a carga crtica de compresso, admitindo a possibilidade de uma excentricidade de no mximo 10mm para a linha de ao da fora normal em relao ao eixo da coluna.

D = 150mm

3,0m

As dimenses da coluna indicam que: A = (1502 1402) / 4 = 2.278 mm2; I = (1504 1404) / 64 = 5,993 x 106 mm4; r = (I/A)1/2 = 51,29mm y* = 75,0 mm; ey*/r2 = 10 x 75 / (51,29)2 = 0,2851. LF = L/2 = 1,50m; = LF / r = 1.500/51,29 = 29,25 Utilizando a equao 11.5.1, com mx = esc = 170 MPa, obtemos: 1/2 170x106 = (P/A) {1 + [0,2851] sec [(P/A) (1/70 x109)1/2(29,25)] } ou seja, fazendo P/A { 1 + 0,2851 sec [55,277 x 10-6 (P/A)1/2 } = , devemos obter o valor de (P/A) que torne = 170 x 10 6. A tabela abaixo mostra valores atribudos para o clculo por tentativas (T): 7

K Instabilidade ElsticaT 1 2 3 4 5 6 (P/A) x 106 140 130 125 126 125,5 125,8 55,277 x 10-6 (P/A)1/2 0,6540463 0,6302548 0,6180156 0,6204828 0,6192504 0,6199901 secante 55,277 x 10-6 (P/A)1/2 1,260035 1,237812 1,226949 1,229108 1,228028 1,228676

190,29 175,88 168,73 170,15 169,43 169,87

Com 4 algarismos significativos, o valor da carga crtica ser tal que Pcrt /A = 125,9 MPa. Se tivssemos utilizado a frmula de Euler, obteramos: 2 2 2 Pcrt /A = E / ( ) = x 70x109 /(29,25)2 = 807,5MPa (valor muito superior ao limite de escoamento, fora da aplicabilidade da frmula). Se, por outro lado, tivssemos desconsiderado a esbelteza do pilar (desprezando as deformaes laterais), o clculo nos levaria a:

mx = P/A + (M/I)y* = P/A + [(Pe)/Ar2]y* = (P/A) (1 + ey*/r2)

(compare com 11.6 e 6.2) ou seja:

(P/A) = mx / (1 + ey*/r2) = 170 x 106 / [1 + 10 x 75 / (51,29)2] = 132,3 MPa.

Conclui-se, dessa forma, que a carga crtica para o pilar ser a correspondente a uma tenso mdia P/A igual a 125,9 MPa, ou seja, uma fora de 125,9 x 2278 = 286,8 kN. No projeto de colunas submetidas a uma carga excntrica, adotando a hiptese (mais conservativa) de que a tenso admissvel a mesma, tanto para a flexo como para a flambagem (esta no caso de a carga ser centrada), dever ser satisfeita a desigualdade:

(P/A) + (M/IC)y* < (adm)flambagem ......................................................... (11.5.2).A hiptese mais utilizada (mtodo interativo) a que admite, para a parcela da tenso devida carga axial, a tenso admissvel flambagem, enquanto que para a parcela de tenso devida flexo, a tenso admissvel flexo pura a adotada como tenso limite. Assim a equao acima toma a forma: [(P/A)/(flamb)] + {[(M/IC)y*]/(flex) < 1 ............................................. (11.5.3)rea yPerfil S150x18,6 2362 2 mm

Altura152 mm

Ix

Wx

rx62,2 mm

Iy

Wy

ry17,91 mm

9,20 121,1 6 4 3 3 10 mm 10 mm

0,758 18,05 6 4 3 3 10 mm 10 mm

P 3,36m Ay

Ex. 11.5.2

Calcule o valor admissvel para a fora P de compresso no perfil mostrado, sendo E = 200GPa e escoam = 250MPa, supondo:a) que a fora centrada (e = 0) b) que a fora excntrica (e = 60mm):

y

b1) pelo mtodo da tenso admissvel; b2) pelo mtodo da interao. C.S. ()flambagem = 1,92; C.S. ()flexo = 1,60.

e = ....x

B e

z

P 8

Obs: o perfil est engastado em A e o apoio em B somente impede o deslocamento dessa extremidade na direo transversal x, no sendo capaz de impedir deslocamentos na direo vertical y ou rotaes em torno de x ou y.

K Instabilidade Elsticay z

Soluo: a) sendo a fora centrada analisaremos duas hipteses para a ocorrncia de flambagem: - no plano zy LF = 2 x 3,36 = 6,72m; rx = 62,2mm

adm = 130 [131,66x10-6 (108)2] = 81,96 MPaz

x x

= 6720/62,2 = 108 < 126 (parbola)

- no plano xz LF = 0,7 x 3,36 = 2,352m; r y = 17,91mm= 2352/17,91 = 131,3 > 126 (Euler)

x

adm = 1,03 x 106 / (131,3)2 = 59,72 MPa. Portanto:Padmissivel = 59,72 x 2362 = 141 kN o CS = 1,92). (Resp. a) (j considerado

b) para uma excentricidade e = 60 mm na direo do eixo z, teremos segundo a frmula da secante:

mx=(P/A){1 + [60 x 76*/ (62,2)2] sec [(P/A)1/2 (1/200x109)1/2 (108)] mx=(P/A){1 + 1,179] sec [0,0001207 (P/A)1/2 ] Fazendo mx = 250 MPa, obtemos, por tentativas:

(P/A)mx = 74,75 MPa Pmx = 177,6 kN; para um CS = 1,92 teremos: Padm = 92,0 kN Pelo mtodo da tenso admissvel flambagem tem-se: adm = (P/A)[ 1 + ey*/r2] = (P/A)[2,179) = 57,72 MPa ..... (P/A)adm = 26,49MPa Padm = 62,6 kN Pelo mtodo interativo (considerando o CS = 1,92 para a flambagem, e o CS = 1,60 para a flexo), tem-se: [(P/A)/1,92] + [(P/A)(ey*/r2)/1,60] = 1 (P/A)adm =41,17 MPa e,.......................... Padm = 97,3 kN NOTA: como visto, no mtodo da tenso admissvel, foi utilizado o maior ndice de esbeltez, no importando que tal valor no corresponda realmente ao plano em que ocorre a flexo. Tal critrio pode levar a dimensionamentos exagerados. P c a6 120

b6,0m

240

QUESTO PRPOSTA - A coluna de ao (E = 200 GPa e escoamento = 250 MPa), com seo retangular vazada (120 x 240 mm2) e espessura de parede 6mm, tem 6,0m de altura, sendo engastada na base e livre no topo. Determinar o valor admissvel para a fora vertical de compresso P, aplicada no topo do duto, atravs de uma placa de apoio, considerando como coeficientes de segurana: 3,0 para a flambagem e 2,0 para a flexo, supondo que o ponto de ataque da fora normal seja: a) centrado b) no ponto mdio da parede maior do duto; c) no ponto mdio da parede menor do duto.# use o mtodo da interao nos itens b) e c).

9

K Instabilidade Elstica

11.6 Instabilidade elstica por Vibraes (Ressonncia) Quando uma estrutura elstica, em equilbrio estvel, deslocada da posio de repouso e abandonada livremente nessa condio, os esforos vinculares restauradores (que sero proporcionais aos deslocamentos promovidos) faro com que a mesma se mova no sentido de recuperar a posio de repouso, ultrapassando-a devido inrcia de seus componentes, fazendo-a oscilar em torno dessa posio com uma certa freqncia (pulsao) natural. Fica caracterizada a alternncia entre a energia potencial elstica de deformao e a energia cintica do movimento. Foras dissipativas (atrito), em geral presentes, fazem com que a energia mecnica total da vibrao livre seja decrescente com o tempo, amortecendo o movimento. J se a estrutura for atacada por uma fora pulsante, aps uma fase transitria, o sistema oscilar com a freqncia da fora que o fora a vibrar, ocorrendo que a amplitude do movimento ser muito aumentada no caso de a freqncia da fora se aproximar da freqncia natural de oscilao livre do sistema. o fenmeno da ressonncia, que sempre deve ser analisado no dimensionamento de estruturas que possam ser submetidas a esforos alternados, mesmo que de pequena intensidade. o que ocorre nos equipamentos de mquinas, por desbalanceamento dos rotores, nos motores de combusto alternativos, nas pontes ferrovirias, em edificaes construdas em regies sujeitas a abalos ssmicos, etc. Tomemos como exemplo (Fig. 11.6) o caso de um eixo propulsor de navio, acionado por um motor com um determinado nmero de cilindros, movendo um hlice com certo nmero de ps, girando em uma faixa de rotaes por minuto (rpm) em funo das vrias velocidades da embarcao, suposta em lastro (com pequeno calado, quando as pontas do hlice afloram na superfcie da gua).Motor Mancal de Escora Mancais de Sustentao Gaxeta

calado

1,24m

3,20m

2,35m

Fig. 11.6 Eixo propulsor de navio.

Com o navio dando adiante, o eixo trabalha comprimido (apoiado no mancal de escora) pela fora propulsiva que oscila levemente a cada rotao, em funo das posies das ps do hlice (pela variao da presso hidrosttica com a profundidade onde passam, especialmente no caso em exame, no qual a ponta de cada p aflora da gua a cada volta do eixo), fazendo o eixo oscilar longitudinalmente.10

K Instabilidade Elstica

O eixo torcido pelo torque do motor que tambm ligeiramente pulsante, pela sucesso das combustes em seus cilindros a cada rotao, caracterizando a possibilidade de oscilao torcional do eixo, entre o volante do motor e o hlice em sua extremidade fora do casco. Da mesma forma, o eixo, como uma viga apoiada nos mancais de sustentao e tendo o pesado hlice na extremidade em balano, na popa da embarcao, tem uma certa freqncia de vibrao transversal, pela flexo. Se a rotao do eixo provocar esforos pulsantes (mesmo de pequenas intensidades) com freqncias coincidentes com qualquer uma dessas vibraes naturais (longitudinal, torcional ou transversal) ocorrer o fenmeno da ressonncia, com grave amplificao das deformaes e correspondentes tenses, culminando com o colapso catastrfico do equipamento, se mantida a rotao naquele valor crtico por um certo perodo de tempo. 11.7 Pulsao (freqncia) natural nas vibraes livres, sem amortecimento. Para um corpo de massa m, que pode se mover, sem atrito, em translao na direo x (com um grau de liberdade, portanto), vinculado por meio de um dispositivo de constante elstica K, a lei de Newton (F = m a = m d2x/dt2) nos fornece:x

F = - K x = m d x / dt , ou d2x / dt2 + (K/m) x = 0.A soluo de tal equao diferencial linear e homognea, como j se viu, : x = C1 sen t + C2 cos t, 1/2 onde = (K/m) , medida em radianos por segundo, a chamada pulsao da vibrao livre, de freqncia f = / 2 e perodo T = 1 / f = 2 / .

2

2

K F m

Fig.11.7 Sistema massa-mola

Supondo que, nas condies iniciais (t=0), o corpo abandonado sem velocidade (dx/dt = 0) com uma elongao elstica x0, obtem-se: C1 = 0 e x = x0 cos t, onde = (K/m)1/2 .......................(11.7.1) , A conservao da energia mecnica aplicada ao caso permite escrever: m (Vmx)2 = K (xmx)2, o que leva a: = (Vmx) / (xmx).

Se o corpo admitir um grau de liberdade por rotao ( ) em torno de um eixo fixo, vinculado a um dispositivo elstico por toro (tal que T = - K), a lei de Newton aplicada Dinmica da rotao nos fornece: T = Im d2/dt2 , onde Im o momento de inrcia de massa do corpo, em relao ao eixo de rotao sendo este um de seus eixos principais de inrcia. A equao diferencial do movimento oscilatrio de rotao ser: Im d2/dt2 = - K, sendo a soluo: = 0 cos t, onde = (K/Im)1/2 .......................(11.7.2) admitindo as mesmas condies iniciais comentadas quando da anlise do movimento de translao acima, ou seja, (d/dt)0 = 0 e ()0 = 0:11

K Instabilidade Elstica Exemplo 11.7: O centro de um disco homogneo, de massa m = 2,0kg e raio R = 125mm, fixado, perpendicularmente, a meio comprimento de um eixo macio de ao (E = 200 GPa e G = 80 GPa), com dimetro d = 20mm e extenso de 400mm, sendo engastado nas duas extremidades. Pede-se calcular (em cps) as freqncias naturais de vibrao livre do disco, devido elasticidade do eixo no sentido: a) Longitudinal; b) Torcional; c) Transversal. 200m 2,0kg

Ao d=20mm D=250 mm P/2 P/2

200m m

Apesar de se tratar de uma estrutura hiperesttica, as simetrias geomtrica e do carregamento permitem o clculo das reaes com simplicidade. (a) Vibrao longitudinal considerando a trao / compresso do eixo temos: = (P/2)(L/2)/EA, ou seja, = (PL)/4E(d2/4) P = { E d2 / L } . Encarando a expresso como da forma F = K x, a constante elstica correspondente ser: K = { E d2 / L }. A pulsao natural para a vibrao por translao longitudinal do disco 2 1/2 valer: = (K/m)1/2...................... 1 = ( E d / mL) (b) Vibrao torcional considerando a toro do eixo temos: = (T/2)(L/2)/GJp, ou seja: = (TL)/4G(d4/32) T = { G d4 / 8 L } . A constante elstica correspondente ser: K ={ G d4 / 8 L }. A pulsao natural para a vibrao 1/2 por rotao torcional do disco valer: = (K/Im) , sendo Im oR momento de inrcia do disco (homogneo) de massa m e raio, em relao ao eixo perpendicular a seu plano, que vale mR2. 4 2 1/2 Portanto,....................................... 2 = ( G d / 4LmR ) (c) Vibrao Transversal - considerando a flexo da viga biengastada temos: f =PL3/192EI, ou seja f = (PL3)/192EI(d4/64) P = { 3 E d4 / L3 } f. A constante elstica correspondente ser: K = { 3 E d4 / L3 }. A pulsao natural para a vibrao por 1/2 translao vertical do disco valer: = (K/m) , portanto 4 3 1/2 ................................................... 3 = ( 3 E d / m L ) (d) Vibrao em torno de um eixo diametral do disco outro caso a considerar seria a oscilao que o disco pode sofrer, girando em torno de um seu eixo diametral (perpendicular ao eixo de ao). Ser necessrio estabelecer a relao entre um momento M0 aplicado ao disco e o correspondente ngulo de giro de seu plano () provocado pela deflexo angular da linha elstica do eixo de ao, por ao daquele momento fletor, o que ser feito a seguir, j que tal estudo ainda no foi at aqui realizado. 12 M1

T/2 T

P/2 P/2

T/2

P P/2 R f P/2 M1

M1

M0

M1

R

K Instabilidade Elstica M1

M0

R M1 Observando o esquema de esforos externos mostrados na figura ao lado, aplicados ao eixo bi-engastado, verificase que o momento ativo M0 faz aparecer o binrio de foras R aplicadas nas extremidades engastadas que, por no poderem girar, desenvolvem os momentos M1 nos sentidos indicados, com iguais valores, devido a anti-simetria do carregamento em relao viga simtrica. Os diagramas de Q e de M so apresentados logo abaixo, em funo dos valores desconhecidos de R e M1. A equao da Esttica nos fornece: M0 = RL 2M1 .......................................... (a) Para simplificar, analisemos o comportamento de uma das metades do eixo (de x = 0 a L/2), para a qual se conhece como condies de contorno: para x = 0 Q = R; M =-M1; f = 0 e = df/dx = 0; para x = L/2 Q = R; M = M0; f=0 e = df/dx = 0 (incgnita que se quer determinar como uma funo do momento M0).

R R Q M1 M f M1 + R

M0 M0L/2 + M1

M0R

x

R

A equao do momento fletor no trecho (0; L/2) ser: M = M(x) = - (RL M0) + Rx, enquanto a equao diferencial da elstica: d2f/dx2 = (-1/2EI)(RL M0) + (R/EI) x, que integrada uma vez d: = df/dx = (-1/2EI)(RL M0) x + (R/EI) x2/2 + C1 ............................................ (b). Como para x = 0, = 0, obtemos C1 = 0. Integrando mais uma vez, temos: f = - (1/4EI)(RL M0) x2 + (R/6EI) x3 + C2. Como para x = 0, f = 0, obtemos tambm C2 = 0, e ento: f = - (1/4EI) (RL M0) x2 + (R/6EI) x3 . Como para x = L/2, f = 0 (pela simetria), conclumos que R = 3M0/ 2L, que, levado em (a) nos permite obter o valor para M1 = M0 / 4. Levando agora em (b) , teremos finalmente que: M0 = {16EI / L } .

A vibrao natural do disco, por rotao em torno de um eixo diametral (em relao ao qual o momento de inrcia Im = mR2) ter como pulsao: = { 16EI / [L (1/4 )m R2] }1/2 , e como I = d4 / 64, obtemos = {Ed4/mLR2]}1/2 Resumindo os resultados obtidos o introduzindo os valores numricos:Eixo: L = 400mm; d = 20mm; E = 200GPa; G = 80GPa; Disco: m = 2kg; R= 125mm.

caso Longitudinal Torcional transversal balanceio

Pulsao natural -

{Ed2/mL}1/2 {Gd4/4LmR2}1/2 {3d4/mL3}1/2 {Ed4/LmR2}1/2

(rad/s) 17.725 896,8 1.535 2.836

f (cps) 2.821 142,7 244,3 451,5

Observe que, se o disco em anlise (como uma roda de palhetas de uma turbina) girasse arrastando o eixo e acionando uma engrenagem cnica em sua extremidade (com componentes de fora transversal, radial e longitudinal), um leve desbalanceamento (centro de massa do disco excntrico em relao ao eixo, ou por falta de perpendicularismo entre o disco e o eixo) e as trepidaes na transmisso de fora pelos dentes da engrenagem, as rotaes crticas nas quais o eixo no deveria permanecer girando continuamente seriam as de 8.562; 14.658; 27.090; 169.260 rpm. Ao passar por essas 3 primeiras rotaes, acelerando lentamente at uma rotao em regime permanente de, por exemplo, 36.000 rpm, ocorrero trepidaes que podero gerar danos. 13

K Instabilidade Elstica

11.8 Amortecimento Viscoso.Foras dissipativas decorrentes do atrito, normalmente atuantes sobre o corpo no sentido contrrio a seu movimento, promovem o amortecimento da vibrao livre, pela perda da energia mecnica, transformada em energia trmica. A fora provocada por fluidos viscosos escoando, em regime laminar, entre superfcies atritantes proporcional velocidade relativa entre elas: leo canaletas C fat = - C (dx/dt), sendo C a constante de amortecimento (em Nm/s). A equao que decorre da aplicao da lei de Newton na vibrao livre com Fig 11.8.1-Amortecedor amortecimento ser: m d2x/dt2 = - C (dx/dt) - K x, ou d2x/dt2 + (C/m) (dx/dt) + (K/m) x = 0. 2 Levando em conta que (K/m) = n (sendo n a pulsao natural de vibrao livre sem amortecimento) e designando a constante (C/m) = 2n, sendo adimensional (*), a equao ser re-escrita co mo: d2x/dt2 + 2 n (dx/dt) + n2 x = 0 .................... (11.8.1) A soluo de 11.8.1 seria uma funo que, sucessivamente derivada, permanece idntica, multiplicada por constante. A funo que se enquadra em tal condio a funo exponencial: x = e st .............................................(11.8.2) Substituindo em 11.8.1 obtemos: (s2 + 2 n s + n2 ) e st = 0, o que implica em (s2 + 2 n s + n2 ) = 0, j que se st supe ser e 0. As razes da equao do 2 grau so: s1 = [- + (2 1)1/2 ] n e s2 = [- (2 1)1/2 ] n. (*) a introduo do parmetro objetivou justamente simplificar a escriturao das solues da equao diferencial, ficando a soluo geral na forma:

x = e-n t [ 1 e + (2 1) ]n t + 2 e (2 1) ] n t ]...........................(11.8.3)Como se v, trata-se de uma funo decrescente com o tempo (expoente negativo do termo amortecedor e n ). Dependendo do valor de teremos:- t

>1

> 1 (amortecimento supra-crtico)(exponencial decrescente)

< 1 (amortecimento sub-crtico)(senide amortecida)

1

=1