Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matematički fakultet Odsjek za fiziku Teorijska fizika

K V A N T N A T E O R I J A P O LJ A

RIJEŠENI ZADACI, PRIMJERI I DODACI

D E J A N M I L O Š E V I Ć Sarajevo, februar 2011

1

1.1 Normalne koordinate Zadatak. (a) Izvesti izraz za hamiltonijan linearnog lanca i izraziti ga pomoću normalnih koordinata i b . bk k

*

(b) Riješiti problem vlastitih vrijednosti za linearni lanac koristeći normalne koordinate, tj. izvesti rješenje za izraženo preko početnih uslova ( )q tn ( )qn 0 i . ( )0nq&(c) Izračunati Poissonove zagrade za normalne koordinate b i b . k k

*

Rješenje. (a) Uvrstimo razvoje (1.75) i (1.77) za koordinatu i impuls u izraz (1.56) za hamiltonijan H T V= + . Kinetička energija je:

( )( ) ( ) ( )[Tm

i i b b e u u b b e uk kk kn

k ki t

nk

nk

k ki t

nk

nkk k k k= − − −′

′′

− + ′′

− − ′∑∑ ′ ′

2ω ω ω ω ω ω

,

* *u

( ) ( ) ]****** kn

kn

tikk

kn

kn

tikk uuebbuuebb kkkk ′+

′′−

′′′ +− ωωωω . (1)

Drugi i treći član u sumi se mogu pojednostaviti koristeći relaciju ortonormiranosti (1.62), pomoću koje možemo izvršiti sumiranje po n. Ista procedura se može primijeniti na ostala dva člana pošto, prema jednačini (1.67), vrijede relacije:

, u u u unk

nk

nn

knk

nk k

′ − ′′ −∑ ∑= =*,δ u un

knk

nk k

′′ −∑ =* *,δ . (2)

Na taj način eliminišemo sumu po ′k u jednačini (1) i, koristeći ω ω− =k k , dobijamo:

( )[ ]Tm

b b e b b b b b b ek k ki t

k k k k k ki t

k

k= − − − +−−

−∑22 2 2ω ω * * * * kω . (3)

Potencijalna energija:

(V q qn nn

= −+∑ )κ2 1

2 (4)

se može transformisati na sličan način. Uvrštavajući razvoje za q i i koristeći jednačinu (1.70) da bismo izrazili u preko , nalazimo:

n+1 qn

nk+1 un

k

( ) ( )( )[ ( ) ( )( )V b b e e e u u b b e e ek ki t ik a ika

nk

nk

k knk k

i t ik a ikank

nkk k k k= − − + −′

− + ′ ′

′′

− − ′ − ′′ ′∑∑ u u−κ ω ω ω ω

21 1 1 1

,

* *

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ]+ − − + − −′− − ′ ′

′+ − ′ − ′′ ′b b e e e u u b b e e e u uk k

i t ik a ikank

nk

k ki t ik a ika

nk

nkk k k k* * * * *ω ω ω ω1 1 1 1 *

)2

. (5)

Kao i prije, dvije sume se mogu eliminisati i, koristeći , dobijamo: ( )( ) (e e kaika ika− − − =1 1 4 2sin /

[ ]Vm

mka

b b e b b b b b b ek ki t

k k k k k ki t

k

k k= + + +−−

−∑24

22 2 2κ ωsin * * * * ω . (6)

Faktor ispred uglaste zagrade, prema disperzionoj relaciji (1.72), postaje , pa je relacija (6) u saglasnosti sa njoj analognom relacijom (3). Prema tome, kinetička i potencijalna energija se mogu kombinovati tako da daju jednostavan rezultat:

ωk2

( )H T V m b b b b m b bk k k k kk

k k kk

= + = + =∑ ∑ω 2 2* * *ω 2 . (7)

(b) Veza početnih uslova i normalnih koordinata je data sa:

2

( ) ( ) ( ) ( )( )q b u b u q i b u bn k nk

k nk

kn k k n

kk n

k

k0 0= + = − −∑ u∑* * * *, & ω . (8a,b)

Koeficijenti se mogu dobiti projektovanjem ovih razvoja na skup baznih funkcija. Za početnu koordinatu dobijamo:

bk

( ) ( )u q b u u b u u b b b bnk

nn k n

knk

nk n

knk

nkk k k k k k

kk

* * * * *,

*,

*∑ ∑ ∑∑ ∑= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + =′

′′

′

′′ ′ ′ ′ −

′−0 δ δ k+

)k*

, (9)

gdje smo koristili uslove ortogonalnosti (1.62) i (2). Za početnu brzinu dobija se:

. (10) ( ) (u q i b bnk

nn k k

* &∑ = − − −0 ω

Na osnovu jednačina (9) i (10) dobijaju se koeficijenti razvoja , izraženi kao diskretna Fourierova transformacija početnih uslova:

bk

( ) ( )b u qi

qk nk

nk

nn

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑1

20* &

ω0 . (11)

Informacija sadržana u početnim uslovima (2N realnih brojeva) je sada kodirana kao skup od N kompleksnih brojeva b . Rješenje problema početnih vrijednosti za vrijeme t je:

k

( ) ( )q t b e u b e un ki t

nk

ki t

nk

k

k k= +−∑ ω ω* *

( )( ) ( )( )= + + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥′

−′ ′ ′

−′

′∑∑ 1

20 0q e u u e u u

iq e u u e u un

i tnk

nk i t

nk

nk

kn

i tnk

nk i t

nk

nk

nk

k k k kω ω ω ω

ω* * * *& ′ . (12)

Označavajući:

( ) ( )[G t e u uN

enni t

nk

nk

k

i ka n n t

k

k k′

−′

− ′ −= =∑ ∑ω ω* 1 ] , (13)

jednačina (12) se može prepisati kao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t q G t q G tn nn

nnk

n nn= −′′

′ ′∑ 01

0Re & Imω ′ , (14)

što vodi na jednačinu (1.80). Relacija kompletnosti (1.63) vodi na uslov ( )Gnn nn′ ′=0 δ tako da jednačina (14) očito zadovoljava početni uslov za t = 0 . (c) Poopštavanjem jednačine (11), veza između normalnih koordinata i ili za proizvoljno vrijeme t se može izraziti kao:

bk qn pn

( ) ( )b u e q tim

p tk nk i t

nk

nn

k= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑1

2* ω

ω . (15)

Lako se može provjeriti da desna strana gornje jednačine ne zavisi od vremena. Poissonova zagrada:

3

{ }b bbq

bp

bp

bqk k

k

n

k

n

k

n

k

nn, *

* *

′′= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑PZ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

′ (16)

dobija se diferenciranjem jednačine (15) i korištenjem relacije ortonormiranosti:

{ } ( )b bi

me u u

imk k

i t

k knk

nk

n kkk

k k, *′

−

′

′′=

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−′ ∑PZ

14

1 12

ω ω

ω ω ωδ* . (17)

Na sličan način se može pokazati da su ostale Poissonove zagrade jednake nuli:

{ } { }b b b bk k k k, ,* *′ ′=

PZ PZ0= . (18)

1.3 Baker-Campbell-Hausdorffova relacija

Zadatak. Provjeriti slijedeće relacije za operatore $A i $B : (a) [ ] [ ][ ]e Be B A B A A BA A$ $

!$ $ $ , $ $ , $ , $− = + + +1

2 L , (1)

(b) [e e e eA B A B A B$ $ $ $ $ , $+ −=12 ]

=

$

(2) ako je: . (3) [ ][ ] [ ][ ]$ , $ , $ $ , $ , $A B A A B B= 0

Uputa: Umjesto da se vrši provjera za svaki član razvoja u Taylorov red, može se primijeniti slijedeći elegantniji pristup. Da bi se provjerila jednačina (1) uvodi se kontinuirani pomoćni parametar x i analizira operatorska funkcija:

. (4) ( )$ $$U x e BexA xA= −

( )$U x zadovoljava integralnu jednačinu čije se iterativno rješenje, uzeto u tački x = 1, podudara sa (1). Na sličan način se jednačina (2) može poopštiti na:

. (5) ( ) ( )e e Q xx A B xA xB$ $ $ $$+ = e

Diferenciranjem po x dobija se diferencijalna jednačina za operatorsku funkciju ( )$Q x koja se može lako riješiti, pod uslovom da vrijedi (3).

Rješenje. (a) Da bismo našli integralnu jednačinu za operator ( )$U x diferencirat ćemo (4) po x:

( )[dUdx

Ae Be e Be A A U xxA xA xA xA$

$ $ $ $ $ , $$ $ $ $= − =− − ] . (6)

Rješenje je fiksirano početnim uslovom ( )$U 0 = $B

]

$

. Lako se može provjeriti da je jednačini (6) ekvivalentna slijedeća integralna jednačina Fredholmovog tipa:

. (7) ( ) ( )[$ $ $ , $U x B dy A U yx

= + ∫0

Ova integralna jednačina se može riješiti iterativno, što se svodi na konstruisanje Neumannovog reda. Prva tri koraka daju:

, (8) ( ) ( )$U x B0 =

4

, (9) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [$ $ $ , $ $ $ , $U x B dy A U y B A B xx

1 0

0

= + = +∫ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ][ ]$ $ $ , $ $ $ , $ $ , $ , $U x B dy A U y B A B x A A B xx

2 1

0

12

2= + = + +∫ . (10a)

Ova procedura se može ponoviti n puta i dobija se:

( ) ( ) [ ] [ ][ ][ ]$ $ $ , $ $ , , $ , $ !U x B A B x A A B xnn

n= + + +L K 1 . (10)

U limesu to vodi na jednačinu (1) ako stavimo da je n →∞ x = 1.

(b) Diferencijalna jednačina za operator ( )$Q x se dobija diferenciranjem (5) po parametru x:

( ) ( ) ( ) ( )$ $ $ $$

$ $$ $ $ $ $ $ $ $A B e Ae Q x e edQdx

e e Q x Bex A B xA xB xA xB xA xB+ = + ++ , (11)

( ) ( )$ $$

$ $$ $ $ $ $ $Be Q x e edQdx

e e Q x BexA xB xA xB xA xB= + . (12)

Množenjem (12) slijeva sa i zdesna sa , dobijamo diferencijalnu jednačinu: e xA− $ e xB− $

dQdx

e Be Q QBxA xA$

$ $ $ $$ $= − − . (13)

Sada možemo iskoristiti operatorski identitet (1). Pošto su višestruki komutatori koji uključuju operator $A jednaki nuli prema uslovu (3), jednačina (11) postaje:

[ ]( ) [ ] [dQdx

B x A B Q QB x A B Q B Q$

$ $ , $ $ $ $ $ , $ $ $, $= − − = − + ] . (14)

Ako operator komutira sa $Q $B ta jednačina se svodi na jednostavnu diferencijalnu jed-načinu:

[ ]dQdx

x A B Q$

$ , $ $= − gdje je ( )$Q 0 = 1 . (15)

Rješenje ima oblik: ( ) [ ]$ $ , $Q x e x A B= − 12

2

. (16)

Ovo rješenje takođe opravdava pretpostavku koju smo napravili pri prelazu sa (14) na (15) pošto operator komutira sa $Q $B ako je [ ][ ]$ , $ , $A B B = 0 , a to je zadovoljeno prema uslovu (3). Ako stavimo x = 1 dobijamo rezultat (2).

Napomena: Ako uslov (3) nije zadovoljen, onda (2) sadrži beskonačni red višestrukih komutatora. Opšti rezultat ima oblik:*

[ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) [ ][ ][ ]{ }e e A B A B A B B A A B A A B BA B$ $

! ! !exp $ $ $ , $ $ , $ , $ $ , $ , $ $ , $ , $ , $= + + + + + +12

13

12

12

14 L .(17)

* Ovaj rezultat potiče od matematičara Campbella, Bakera i Hausdorffa. Originalni radovi su: J. E. Campbell, Proc. Lond. Math. Soc. 29, 14 (1898); H. F. Baker, Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 3, 24 (1904); F. Hausdorff, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Naturwiss. Klasse 58, 19 (1906).

5

PRIMJER 2.1 Simetrizirani tenzor energije-impulsa

Teorema Noether vodi na jednačinu neprekidnosti, tj. na zakone očuvanja u diferencijal-nom obliku. Tako dobijene gustoće i struje nisu jednoznačno određene jer je moguće dodati određene članove (četvero-dimenzionalne divergencije) a da se ne utiče na jednačinu neprekidnosti. Ilustrujmo to na primjeru kanonskog tenzora energije-impulsa . Definišimo modifikovani tenzor pomoću μνΘ

, (1) σμνσ

μνμν χ∂+Θ=T

gdje je σμνχ tenzor za koji jedino zahtjevamo da je antisimetričan u odnosu na prva dva indeksa:

μσνσμν χχ −= . (2) Ovaj uslov osigurava da zakon očuvanja ostaje nepromijenjen:

( ) 021 =Θ=++Θ=+Θ= μν

μμσνσμν

σμμν

μσμν

σμμν

μμν

μ ∂χχ∂∂∂χ∂∂∂∂ T . (3)

Pored toga, transformacija (1) ne mijenja ukupnu energiju i impuls:

( ) ννννννν χ∂χ∂ PxdxdTxdP kk =Θ=++Θ== ∫∫∫ 0

3000

00

30

3 ~ . (4)

Ovdje je νχ 00 jednako nuli na osnovu (2) i pretpostavili smo da νχ k0 opada dovoljno brzo na velikim rastojanjima da osigura da se površinski integral koji se pojavljuje primjenom Gaussovog teorema može zanemariti. Dodatna sloboda izbora, sadržana u jednačini (1), omogućava nam da konstruišemo modifikovani tenzor energije-impulsa koji je simetričan u odnosu na permutaciju indeksa [J. Belinfante, Physica 6, 887 (1939)]:

μνT

. (5) νμμν TT =

Ovako konstruisani tenzor energije-impulsa može se iskoristiti da se nađe jednos-tavnija formulacija zakona očuvanja ugaonog momenta. Definisaćemo modifikovani tenzor ugaonog momenta

λμννμλμνλ xTxTM −=~ , (6)

koji ne sadrži dodatni član dat jednačinom (2.69). Tada možemo odmah izvesti slijedeći diferencijalni zakon očuvanja za μνλM~ :

( ) ( ) 0~ =−=−−+= λννλμνλμ

λμνμ

μλνμ

νμλμ

μνλμ ∂∂∂ TTTgxTTgxTM . (7)

Tenzor μνλM~ treba da se slaže sa kanonskim tenzorom momenta impulsa do na četvero-divergenciju:

μνλM

σμνλσ

μνλμνλ η∂+= MM~ , (8)

gdje η mora biti antisimetričan po prva dva indeksa

μσνλσμνλ ηη −= . (9)

Analogno kao za (4) pokazuje se da se veličina koja ostaje očuvana ne mijenja:

νλνλνλνλ MMxdMxdM === ∫∫ 03

03 ~ ~ . (10)

6

Konstruisaćemo sada transformacionu funkciju μνλχ . Uvrštavajući eksplicitne

izraze za μνλM~ i u (8) dobijamo μνλM

( ) ( ) ( )( ) σμνλσ

νλμλμννμλλσμνσ

μννσμλσ

μν η∂φφ∂∂

∂χ∂χ∂ ++Θ−Θ=+Θ−+Θ srsr

Ixxxx L .

(11) Izaberimo sada funkcije σμνλη na takav način da se izraz (11) pojednostavi:

σμνλσμλνσμνλ χχη xx −= . (12)

Na osnovu (2) slijedi da je uslov antisimetrije (9) zadovoljen. Tada jednačina (11) poprima oblik

( ) ( ) ( ) ( )( ) srsr

Ixxxx φφ∂∂

∂χχ∂χ∂χ∂ νλμσμνλσμλνσ

λσμνσ

νσμλσ L

=−−− . (13)

tj.

( )( ) srsr

I φφ∂∂

∂χχ νλμλμννμλL

−=− . (14)

Veličine su antisimetrične po Iνλ λν , : λννλ II −= . Relacija (14) omogućava da se odredi samo onaj dio χνμλ koji je antisimetričan u odnosu na λν ↔ . Opšte rješenje (14) je:

( )( ) νμλνλμνμλ φφ∂∂

∂χ aI srsr

+−=L

21 , (15)

gdje je proizvoljno i simetrično po νμλa λν , :

. (16) λμννμλ aa =

Ova sloboda se može iskoristiti da se zadovolji početni zahtjev (2). Biramo

( )( ) ( )( ) ( )( ) srsr

rsr

rsr

III φφ∂∂

∂φ∂∂

∂φ∂∂

∂χ μνλμλννλμνμλ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

LLL21 , (17)

gdje dodani član očito zadovoljava uslov (16). Koristeći ( ) ( )rsrs

II νμμν −= i mijenjajući mjesta prvih članova na desnoj strani u (17), lako se može provjeriti da je zadovoljena zahtjevana antisimetrija u odnosu na zamjenu μν ↔ :

( )( ) ( )( ) ( )( ) νμλνμλνλμμλνμνλ χφφ∂∂

∂φ∂∂

∂φ∂∂

∂χ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= srs

rrs

rrs

r

III LLL21 , (18)

Dakle, iako kanonski tenzor energije-impulsa u opštem slučaju (izuzetak je skalarno polje) nije simetričan, on se može simetrizirati dodavanjem divergencije od (17). To ima dodatnu prednost jer vodi na modifikovani tenzor ugaonog momenta koji ima jednostavan oblik (6). Simetrizirani oblik tenzora energije-impulsa, , se obično smatra "fundamentalnijim" nego kanonski tenzor

μνT

μνΘ . Napomenimo da je takođe moguće izvesti direktno iz varijacionog principa. μνT 7

VJEŽBA 2.2 Poincaréova algebra za klasična polja

Zadatak. Dokazati relacije (2.96a-c). Uputa: Koristiti Hamiltonove jednačine i jednačinu neprekidnosti za gustoću impulsa.

Rješenje. (a) Da bi se izračunala Poissonova zagrada

{ } ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xP

xP

xP

xP

xdPPssss

PZ δφδ

δπδ

δπδ

δφδ νμνμ

νμ3, , (1)

moraju se naći funkcionalni izvodi četvero-impulsa

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]xxgxxxdP rr ′′−′′′′= ∫ φφφ∂π μμμ&,0

3 L . (2)

Za μ = ≠i 0 , koristeći parcijalnu integraciju, dobija se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxdxx

Psirir

ss

i π∂φ∂πδφδ

δφδ

−=′′′′= ∫ 3 . (3)

U slučaju , se podudara sa hamiltonijanom H i Hamiltonova jednačina vodi na 0=i μP

( ) ( ) ( )xx

Hx

Ps

ss

πδφδ

δφδ

&−==0 . (4)

Jednačine (3) i (4) se mogu kombinovati. Na analogan način se mogu naći izvodi konjugovanog polja, što daje

( ) ( )xx

Ps

s

π∂δφδ

μμ −= , ( ) ( )x

xP

ss

φ∂δπδ

μμ = . (5)

Poissonova zagrada (1) je tada

. (6) { } (∫ −−= ssssPZxdPP π∂φ∂φ∂π∂ νμνμνμ

3, )

Pri analizi ove jednačine moramo razlikovati prostorne i vremenske izvode. Ako su obadva indeksa prostorna, ji == νμ , , onda se (6) može transformisati u površinski član, za koji, kao i obično, pretpostavljamo da iščezava (teži nuli):

{ } ( )

( ) ( )[ ] .0

,3

3

=+−−−=

−−=

∫∫

sijssisjsjissjsi

sjsisjsiPZji

xd

xdPP

φ∂∂πφ∂π∂φ∂∂πφ∂π∂

π∂φ∂φ∂π∂ (7)

U slučaju miješanih indeksa, 0, == νμ i , Poissonova zagrada se može transformisati u izvod po vremenu od očuvane veličine : Pi

{ } ( ) ( ) .0, 03

033

0 ===+=−−= ∫∫∫ isississississisPZi PxdxdxdPP ∂φ∂π∂φ∂πφ∂πφ∂ππ∂φ &&&&

(8)

Pošto je , rezultat (8) se upravo slaže sa jednačinom kretanja (2.27) za . Dakle, mogli smo i preskočiti detalje izvođenja.

HP =0 iP

(b)

{ } ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xP

xM

xP

xM

xdPMssss

PZ δφδ

δπδ

δπδ

δφδ λμνλμν

λμν3, . (9)

Za slučaj prostornih indeksa, funkcionalni izvodi tenzora ugaonog momenta (2.70) se svode na

8

( )rsnlrsnlslns

nl IxxM

ππ∂π∂δφδ

++−= , (10a)

( ) rsrnlsnlslns

nl IxxM

φφ∂φ∂δπδ

+−= . (10b)

Za slučaj miješanih indeksa prostora i vremena dobija se dodatni član kada se izvrši deriviranje po sφ :

( ) ( ) ( ) ( )φ∂∂∂

φ∂∂∂∂

φ∂∂∂∂

∂φ∂φφφ

δφδ

nnnk

knn xxxxxd LLLLL −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∇∫

00

3 ,, &r

, (11)

gdje smo iskoristili Euler-Lagrangeovu jednačinu. To vodi na

( ) ( )snrsnrsnsn

s

n IxxM

φ∂∂∂ππ∂π∂

δφδ L

+++−= 0000 , (12a)

( ) rsrnsnsns

n IxxM

φφ∂φ∂δπδ

0000 +−= . (12b)

Da bi se našla Poissonova zagrada (9) treba analizirati četiri slučaja. Njihovo izvođenje zahtjeva višestruko korištenje parcijalne integracije. Da bismo skratili zapis izostavićemo indekse sr, . Slučaj 1.

{ } ( ) ( )[ ]

( ) .

,3

3

linnililninl

nlnllniinlnllnPZinl

PgPgggxd

IxxIxxxdPM

−=+−=

+−+++−=

∫∫

φπ∂φπ∂

φφ∂φ∂π∂φ∂ππ∂π∂ (13)

Slučaj 2. { } ( ) ( )[ ] 0, 0

30 ==+−++−= ∫ nlnlnllnnlnllnPZnl MIxxIxxxdPM ∂φ∂∂πφ∂∂π && . (14)

Slučaj 3. Moglo bi se pomisliti da je Poissonova zagrada od i jednaka nuli, kao u (14), jer je vremenski izvod jednak nuli. Međutim, to nije sasvim tačno zato što sadrži eksplicitnu vremensku zavisnost koja se mora uzeti u obzir prilikom deriviranja:

0nM HP =0

0nM

{ } 00

00

00

00 , nnnPZn Mx

Mx

MdxdPM

∂∂

∂∂

−=−= . (15)

Ovdje ∂ ∂/ x0 djeluje samo na vremensku koordinatu koja je eksplicitno sadržana u , što vodi na M n0

{ } ( ) nnnPZn Pxdxxdx

PM ==−−= ∫∫ φπ∂φπ∂∂∂ 3

03

000 , . (16)

Isti rezultat se može dobiti i eksplicitnim proračunom koristeći (12). Slučaj 4. Za preostalu Poissonovu zagradu dobija se

9

{ } ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) (17) .

,

03

00003

0

∫

∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=

φ∂φ∂∂

∂φπφπ∂∂

φφ∂φπ∂φ∂φ∂∂

∂ππ∂π

ininni

nnniinnnnPZin

gxxd

IxxIxxxdPM

L

L

&

&&

Zadnji član pod integralom može se izraziti preko gustoće impulsa

( ) LLniinin g+Θ=φ∂

φ∂∂∂ . (18)

Koristeći taj rezultat i φπ∂ ii =Θ0 , (17) postaje

. (19) { } ( )[M P d x g xn i PZ in i n ni03 0

0, &= − − − +∫ πφ ∂L Θ Θ ]

Na osnovu jednačine neprekidnosti za struju impulsa , zadnja dva člana u (19) mogu se kombinovati u jedan član divergencije koji ne daje doprinos integralu:

000 =Θ+Θ ki

ki ∂∂

{ } ( )[ ] ( )M P g P d x x g P d x x g Pn i PZ ink

ki n ni ink

ki n in0 03

03

0, = − + + = − + = −∫ ∫∂ ∂Θ Θ Θ . (20)

Ovo je zadnji specijalni slučaj koji je bio neophodan za dokaz (2.96b). (c) Jednačina (2.96c) se može dokazati na analogan način. Npr., slučaj prostornih komponenti ugaonog momenta se analizira koristeći (10). Nakon više parcijalnih integracija, Poissonova zagrada postaje

{ } ( )[( ) ( ) ( ) ] ,

, 33

φ∂∂∂∂∂∂

∂∂πδφδ

δπδ

δπδ

δφδ

klijklijikkijlillijkjkkjil

jlljikklijklij

PZklij

IIIIxxgxxgxxg

xxgxdMMMM

xdMM

−+−+−+−+

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫∫ (21)

što vodi na (2.96c) pod uslovom da vrijedi Lieva algebra (2.65) za infinitezimalne generatore Poincaréove grupe. Miješane kombinacije prostornih i vremenskih indeksa se mogu analizirati na sličan način.

10

3.1 Normiranje Fockovih stanja

Zadatak. Pokazati da je faktor normiranja za stanja u Fockovom prostoru dat sa:

L

K !!1

21,, 21 nn

C nn = . (1)

Rješenje. Da pretpostavljeni izraz (1) zaista predstavlja traženi faktor normiranja dokazaćemo matematičkom indukcijom. Jednačina (1) je trivijalna za stanje bez čestica (vakuum). Za jednočestično stanje odmah dobijamo

10001ˆˆ00ˆˆ0,1,,0,1,,0 ==+== ++iiiiii aaaaKKKK . (2)

Pretpostavićemo da je (1) ispravan faktor normiranja za opšte višečestično stanje K,, 21 nn i izračunati faktor normiranja za "slijedeće više" stanje

( ) ( ) ( ) ( ) (3) .0ˆˆˆˆ0,1,,,1,, 111

12

11111

1KKKKKKKK KK

+++++=++ ii

i

ni

nnninnii aaaaCnnnn

Zatim dodatni anihilacioni operator komutiramo nadesno dok se ne sretne sa svojim parnjakom . Naredna komutacija daje

ia+ia

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )iiin

in

iiiin

iiin

ii aanaaaaaaaaaa iiii ˆˆ1ˆˆ11ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ 11 ++−+++++++ ++==++=+= L . (4)

Zadnji član u sumi ne daje doprinos pošto se operator može prenijeti dalje nadesno da bi konačno anihilirao vakuum

ia00ˆ =ia . Tako smo došli do uslova

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) .10ˆˆˆˆ01122

111

2

1 11

11

1

−

+++

+ +=+= KKKKKK KKKKii

ii

i nnnnin

innn

inni CCnaaaaCn

Birajući fazni faktor , dobijamo da kvadratni korijen toga rezultata potvrđuje konstantu normiranja (1).

1+

PRIMJER 3.2 Sistem čestica u međusobnoj interakciji: Hartree-Fockova aproksimacija

Do sada smo se u ovom poglavlju uglavnom bavili sistemima slobodnih čestica. Ovdje ćemo opisati sistem fermiona koji su međusobno povezani dvočestičnom interakcijom. Hamiltonijan takvog sistema se može izraziti pomoću operatora polja kao

, (1) 10ˆˆˆ HHH +=

gdje je slobodni hamiltonijan

. (2) ( ) (∫ += tDtxdH ,ˆ,ˆˆ 30 xx xψψ )

Tu je “slobodni” Schrödingerov operator (3.12) koji može da sadrži vanjski potencijal (npr. Coulombovo polje atomskog jezgra). Dvočestični hamiltonijan interakcije je dat sa

Dx

( )xV

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttUttxdxdH ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ ˆ 3321

1 xxxxxx ′′′′= ++∫ ψψψψ . (3)

Funkcija opisuje potencijal interakcije, za koji se pretpostavlja da je realan i simetričan, tj.

( xx ′,U )

( ) ( )xxxx ,, ′=′ UU . (4)

Kao primjer, navešćemo međusobnu Coulombovu interakciju sistema elektrona

11

( )xx

xx′−

=′2

, eU . (5)

Faktor 21 u (3) je uveden da bi se izbjeglo dvostruko uračunavanje energije interakcije.

Nađimo sada jednačinu kretanja za operator polja ( )t,ˆ xψ . Njen opšti oblik je dat Heisenbergovom jednačinom

( ) ( )[ ]Htti ˆ,,ˆ,ˆ0 xx ψψ∂ =h . (6)

Komutator se sastoji od dva dijela. Slično kao i u (3.60), “slobodni” doprinos je1

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )xDxDxxxdHx xx ψψψψψ ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ 30 =′′′= ∫ ′

+ . (7)

Koristeći jednakost (3.58a) možemo pisati interakcioni član na takav način da se može primijeniti pravilo kvantiziranja (3.55):

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )}( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]{

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ] ( ) ( )}xxxxxxxx

xxxxxxxxUxdxd

xxxxx

xxxxxUxdxd

xxxxxUxdxdHx

′′′′′′−′′′+

′′′−′′′′′′′′′′′′=

′′′′′′+

′′′′′′′′′′′′=

′′′′′′′′′′′′=

++++

++

++

++

++

∫

∫∫

ψψψψψψψψ

ψψψψψψψψ

ψψψψψ

ψψψψψ

ψψψψψψ

ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ

ˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆ,

ˆˆˆˆ,ˆ

ˆˆ,ˆˆˆ,

ˆˆˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ

3321

3321

3321

1

xx

xx

xx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ). ˆˆˆ,,

ˆˆˆˆ, 3

21

333321

∫∫

′′′′′+′′=

′′′′′′−′′′′′′′′′=

+

++

xxxUUxd

xx-xx-Uxdxd

ψψψ

ψψδψψδ

xxxx

xxxxxx (8)

Koristeći uslove simetrije (4) ovaj komutator se može napisati kao

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′′′′= + xUxxxdHx ψψψψ ˆ,ˆˆˆ,ˆ 321

1 xx . (9)

Jednačina kretanja za operator polja tako postaje

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆ,ˆˆˆˆ 321

0 =′′′′−− ∫ + xUxxxdxDxi x ψψψψψ∂ xxh . (10)

Ovo je nelinearna parcijalna integro-diferencijalna jednačina. Komplikovana struktura ove jednačine onemogućava nalaženje njenog egzaktnog rješenja, tako da se moramo poslužiti aproksimativnim metodima. Osnovni problem je u činjenici da objekti ( )t,ˆ xψ nisu obične kompleksne funkcije (to bi omogućilo primjenu standardnih tehnika integriranja), već komplikovani nekomutirajući operatori u Hilbertovom prostoru. Da bismo predstavili (10) u obliku koji je lakše riješiti, pokušaćemo da zamijenimo operatore polja sa klasičnim funkcijama. Bez gubitka opštosti možemo razviti operator polja po kompletnoj ortonormiranoj bazi jednočestičnih funkcija ( )xiϕ kao u (3.15):

, (11) ( ) ( ) (∑=i

ii tat xx ϕψ ˆ,ˆ )

što vodi na standardne antikomutacione relacije (3.61). Izražen preko operatora stvara-nja i uništavanja naš hamiltonijan sada ima komplikovaniju strukturu. "Slobodni" dio je

, (12) ( ) ( )∑ +=ji

jiij tatadH,

0 ˆˆˆ

1 Koristićemo skraćeni zapis ( ) ( )xt ψψ ˆ,ˆ ≡x , pretpostavljajući da je vrijeme isto za sve operatore.

12

gdje je . (13) ( ) ( )∫= xx jxiij Dxdd ϕϕ *3

Interakcioni član je dat sa

( ) ( ) ( ) ( )∑ ++=lkji

lkjiijkl tatatatauH,,,

1 ˆˆˆˆˆ , (14)

gdje je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′′′′= xxxxxx lkjiijkl Uxdxdu ϕϕϕϕ ,**33 . (15) Hamiltonijan interakcije (14) je takav davremenski razvoj Heisenbergovog operatora

nije više dat jednostavnim faznim faktorom kao u (3.24). Formalno rješenje Heisenbergove jednačine ( )$a ti

(16) ( ) ( ) hh /ˆ/ˆ 0ˆˆ tHii

tHii eaeta −=

ukazuje na to da je operatorski karakter od složeniji uslijed interakcije. Samo za

slobodni hamiltonijan sa dijagonalnom matricom veze ia

0H ijiijd δε= , jednačina (16) vodi na jednostavnu vremensku zavisnost (3.24). To se lako može provjeriti korištenjem operatorskog identiteta (1), izvedenog u vježbi 1.3. Komutator [ ]iaH ˆ,ˆ koji uključuje totalni hamiltonijan sadrži, međutim, proizvod članova oblika . Kao posljedica, operator , koji u trenutku

lji aaa ˆˆˆ +

( )taiˆ 0=t startuje kao čisto stanje jednočestičnog operatora poništavanja, u kasnijem trenucima će se razviti u komplikovanu superpoziciju operatora stvaranja i poništavanja! Prema tome, nema razloga da očekujemo da se sistem sa interakcijom može egzaktno opisati pomoću jednog n-čestičnog vektora stanja kao što je

( ) ( ) 0ˆˆ,, 21

2121 LKnn aann ++==Ψ . (17)

Izraženo u koordinatnom prostoru, ovo znači da se tačna talasna funkcija sistema sa interakcijom ne može u potpunosti opisati pomoću jedne Slaterove determinante kao (3.68). Kao što je to ilustrovano na slici 3.1, tačno osnovno stanje jednog višefermionskog sistema sadrži mješavinu pobuđenja čestica-šupljina opisanu operatorima tipa i njihovih viših stepena. ji aa ˆˆ +

(a) (b) (c) F F Slika 3.1. (a) Osnovno stanje sistema fermiona koji međusobno interaguju može se aproksimativno opisati pomoću jednočestičnih nivoa iϕ , koji su zauzeti do “Femi nivoa” F. Međutim, pravi vektori stanja sadrže beskonačnu mješavinu doprinosa koji su

13

tipa jedna-čestica-jedna-šupljina (b), dvije-čestice-dvije-šupljine (c) itd. Ovi doprinosi su zanemareni u Hartree-Fockovoj aproksimaciji. Da bismo došli do aproksimativnog opisa našeg sistema zanemarit ćemo ove mješavine i pretpostaviti da se vremenski razvoj (16) može zamijeniti jednostavnom relacijom

. (18) ( ) iti

i aeta i ˆˆ / hε−=

Nadalje, pretpostavit ćemo da se vektor stanja može predstaviti pomoću “čistog” proizvoda kao u (17) (Slaterova determinanta). Cilj našeg proračuna će biti da izaberemo jednočestičnu bazu ( )ϕi x u (11) na takav način da greška uvedena ovim aproksimacijama bude što je moguće manja. U tu svrhu formiraćemo matrične elemente jednačine kretanja (10) za operatore polja, uzete između n-čestičnog vektora stanja Ψ i ( )1−n -čestičnog vektora Ψla :

0ˆˆ =ΨΨ +Oal . (19)

Ovdje smo koristili simboličnu notaciju $O = 0 za operatorsku jednačinu (10). Naravno, jednačina (10) u principu treba da vrijedi uopšte, a ne samo za specijalni slučaj matričnog elementa (19). Međutim, to je nemoguće postići sa stanjima konstruisanim sa jednačinom (17). Uslov (19) vodi na jednačinu koja se može iskoristiti da se odrede bazne funkcije ( )xiϕ . Da bismo izveli tu jednačinu moramo izračunati matrične elemente za tri člana u

(10). Za član sa izvodom po vremenu smjena (18) vodi na

( )∑ ΨΨ=ΨΨ ++

iiliil aaia ˆˆˆˆ 0 xϕεψ∂h . (20)

Pošto se pretpostavlja da Ψ ima oblik (17), matrični element (20) će biti nula osim ako su indeksi l i i “upareni”. Za li = dobijamo

( )xllll nia ϕεψ∂ =ΨΨ + ˆˆ 0h . (21)

Za član bez interakcije u (10) je

( ) ( )xlxlxl DnxDa ϕψ =ΨΨ + ˆˆ . (22)

Interakcioni član vodi na nešto komplikovaniji rezultat

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .ˆˆˆˆ,

ˆ,ˆˆˆ

,,

*3

3

∫ ∑∫

ΨΨ′′′′=

Ψ′′′′Ψ

++

++

kjikjilkji

l

aaaaUxd

xUxxxda

xxxxx

xx

ϕϕϕ

ψψψ (23)

Kao i ranije, indeksi se trebaju “raspariti”. To se može ostvariti na dva različita načina:

( ). ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ikljijlkillliilijlklliiliklj

liilijlkililikljkjil

nnnnnnnn

aaaaaaaaaaaa

δδδδδδδδδδ

δδδδ

−=Ψ−Ψ+Ψ+−Ψ=

ΨΨ+ΨΨ=ΨΨ ++++++

(24)

Uvrštavanjem (21), (22) i (24) u (19) i uklanjanjem zajedničkog faktora , dobija se ln

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ). ,, **3 xxxxxxxxxxxx lli

ililiiilx UUnxdD ϕεϕϕϕϕϕϕϕ =′′′−′′′′+ ∫ ∑(25)

Ovo je poznata Hartree-Fockova jednačina. Ona se može napisati u nešto kompaktnijoj formi preko matrice gustoće

14

( ) ( ) ( ) ( )xxxxxx ′=′=′ ∑ ,, ** ρϕϕρi

iiin (26)

i funkcije gustoće koja je dijagonalni dio matrice gustoće

( ) ( ) ( ) ( )∑==i

iiin xxxxx ϕϕρρ *, . (27)

Hartree-Fockova jednačina u toj notaciji ima oblik

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (xxxxxxxxxxx lllllx U,xdUxdD ϕεϕρϕρϕ =′′′′−′′′+ )∫∫ ,, 33 . (28)

Hartree-Fockova jednačina ima dva odvojena člana interakcije. Direktni član izgleda upravo onako kako bismo očekivali: čestica na orbitali l “osjeća” potencijal koji potiče od raspodjele gustoće ( )x′ρ svih čestica u sistemu (to uključuje i samointerakciju

). Prema Fermi-Diracovoj statistici (antisimetrija u odnosu na zamjenu čestica) pojavljuje se i jedan dodatni izmjenski član sa negativnim predznakom. Taj član ima komplikovaniju strukturu nego direktni član. On je nelokalan i zavisi od vrijednosti

li =

( )x′lϕ za sve vrijednosti od x′ pa se ne može interpretirati kao interakcija pod uticajem potencijala. Kao dodatni efekat zapazimo da izmjenski član sadrži dio koji poništava samointerakciju. Za razliku od operatorske jednačine (10), relacija (28) je sistem spregnutih nelinearnih integro-diferencijalnih jednačina za obične kompleksne funkcije. Taj problem se može uspješno riješiti korištenjem iterativnih numeričkih metoda. Polazi se od skupa početnih rješenja , koja su pogođena manje ili više tačno, i konstruišu gustoće. Zatim se (25) rješava numeričkom integracijom, što vodi na poboljšano rješenje . Ta procedura se ponavlja dok se ne postigne konvergencija.

( ) ( )x0lϕ

( ) ( )x1lϕ

Projektovanjem Hartree-Fockove jednačine (25) pomoću ( )∫ Kx*3kxd ϕ , koristeći

(13) i (15), dobija se

( ) ( ) ( )∫∑ =−+ xx lkli

kilikiilikl xduund ϕϕε *3 . (29)

Analogno, projektovanje kompleksno konjugovane jednačine od (25) sa ( )∫ xlxd ϕK3 vodi na ( ) ( ) ( )∫∑ =−+ xx lkk

ikilikiililk xduund ϕϕε *3* . (30)

Pošto je , oduzimanjem ovih dviju jednačina zaključujemo da jednočestične talasne funkcije za različite vlastite vrijednosti ostaju ortogonalne također u sistemu sa interakcijom, što nam dopušta da nametnemo uslov

kllk dd =*

. (31) ( ) ( ) kllkxd δϕϕ =∫ xx*3

Jednočestične energije iε ne odgovaraju direktno opservablama. Totalna energija n-čestičnog sistema slijedi iz (1)--(3), (17), i (24):

( )∑∑ −+=ΨΨ=i

ijijijjijii

iii uunndnHE21ˆ . (32)

Totalna energija je prema tome jednaka sumi kinteičke i potencijalne energije svih čestica, pri čemu se uzima u obzir interakcija izmjene. Također je moguće naći izraz za E preko jednočestičnih energija iε . Koristeći (29) možemo eliminisati dijagonalne elemente , tako da dobijamo iid

15

(∑∑ −−=i

ijijijjijii

ii uunnnE21ε ). (33)

Ovaj rezultat je sasvim očekivan: ukupna energija je zbir svih jednočestičnih energija zauzetih orbitala. Energiju interakcije čestica treba oduzeti od te vrijednosti. To je neophodno jer bi se inače energija interakcije uzela u obzir dva puta pošto je ona sadržana u energiji obadva “učesnika” interakcije. Hartree-Fockov metod je jedan od kamena temeljaca višečestične teorije koji omogućava proračun različitih osobina sistema u oblastima kao što su atomska, nuklearna i fizika čvrstog stanja. Međutim, često njegova preciznost nije dovoljna i potrebno je, umjesto proizvoda stanja (Slaterova determinanta) (17), koristiti smjenu koja uzima u obzir korelacije čestica. Napomena: Izvođenje Hartree-Fockove jednačine koje polazi od jednačine kretanja za Heisenbergove operatore polja nije uobičajeno. Obično se koristi Schrödingerova slika i primjenjuje se varijacioni princip za minimizaciju energije, tj. Očekivane vrijednosti hamiltonijana, u odnosu na probne vektore stanja tipa (17): ( ) ( )( ) 0ˆ *3 =−ΨΨ ∫ xx jiij xdH ϕϕλδ . (34)

Variranje se vrši u odnosu na jednočestične bazne orbitale ( )x*lϕ , a Lagrangeovi

parametri ijλ su uvedeni da osiguraju ortonormiranost skupa iϕ . Ovaj varijacioni princip vodi na istu Hartree-Fockovu jednačinu (22)

16

VJEŽBA: 4.1 Komutacione relacije za operatore stvaranja i poništavanja

Zadatak. Izvesti komutacione relacije za Fourierove koeficijente i u razvoju

(4.27) operatora polja: pa rˆ +

pa rˆ

( ) ( ) ( )[ ]∫ ++= txuatxuapdtx pppp ,ˆ,ˆ,ˆ *3 rrrrrrrφ . (1)

Rješenje. (a) Proračun [ ]pp aa ′rr ˆ,ˆ . Počet ćemo uvrštavanjem (4.28a), uz definiciju (4.24), u komutator:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ′′′= ′′ txtxutxtxuxxddiaa pppp ,ˆ,,,ˆ,ˆ,ˆ 0*

0*332 rtrrtr

rrrr φ∂φ∂ . (2)

Funkcije ( txu p , )rr su kompleksni brojevi i komutiraju sa operatorima polja

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]. ,ˆ,,ˆ,,,ˆ,,ˆ,,

,ˆ,,ˆ,,,ˆ,,ˆ,,

,ˆ,,,ˆ,

****

****

0*

0*

txtxtxutxutxtxtxutxu

txtxtxutxutxtxtxutxu

txtxutxtxu

pppp

pppp

pp

′′+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′′=

′′

′′

′′

′

rrr&

r&

r&rrr&

rr&r&

rr&r&rr

rtrrtr

rrrr

rrrr

rr

φφφφ

φφφφ

φ∂φ∂

(3)

Uvrštavajući komutacione relacije (4.5), dobijamo da su prvi i zadnji član na desnoj strani jednaki nuli, a preostali komutatori se reduciraju na delta funkciju:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ). ,,,

,,,,ˆ,ˆ**

0*3

****3

pppp

pppppp

uutxutxxudi

txutxutxutxuxdiaa

′′

′′′

−=−=

−−=

∫∫

rrrr

rrrrrr

rtr

rr&

r&

r

∂ (4)

Na osnovu relacije ortogonalnosti (4.26) ovaj izraz je jednak nuli, tako da je

[ ] 0ˆ,ˆ =′pp aa rr . (5)

Analogno se može naći komutator za operatore stvaranja. Na osnovu (4.28) dovoljno je uzeti kompleksno konjugavane funkcije od ( )txu p ,rr . Rezultat je

[ ] 0ˆ,ˆ =+′

+pp aa rr . (6)

(b) Proračun [ ]+′pp aa rr ˆ,ˆ .

Kao i ranije, koristeći (4.28) dobijamo

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ′′′−= ′+′ txtxutxtxuxxddiaa pppp ,ˆ,,,ˆ,ˆ,ˆ 00

*332 rtrrtrrrrr φ∂φ∂ . (7)

Uvrštavajući (4.24) nalazimo:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]. ,ˆ,,ˆ,,,ˆ,,ˆ,,

,ˆ,,ˆ,,,ˆ,,ˆ,,

,ˆ,,,ˆ,

**

**

00*

txtxtxutxutxtxtxutxu

txtxtxutxutxtxtxutxu

txtxutxtxu

pppp

pppp

pp

′′+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′′=

′′

′′

′′

′

rrr&

r&

r&rrr&

rr&r&

rr&r&rr

rtrrtr

rrrr

rrrr

rr

φφφφ

φφφφ

φ∂φ∂

(8)

Ponovo su prvi i četvrti član jednaki nuli, a preostali komutatori se svode na delta funkciju

[ ] ( ) ( ) ( )pppppp uutxutxxudiaa ′′+′ == ∫ rrrrrr

rtr ,,,ˆ,ˆ 0*3 ∂ . (9)

Na osnovu (4.25) je onda: [ ] ( ) ( )ppaa pp ′−=+′

rrrr

3ˆ,ˆ δ . (10) Jednačine (5), (6) i (10) su komutacione relacije za operatore stvaranja i poništavanja, koje smo ranije označili sa (4.17). 17

VJEŽBA: 4.2 Komutacione relacije za operator ugaonog momenta

Zadatak. (a) Pokazati da kvantizirani operator ugaonog momenta Jr

polja sa spinom nula zadovoljava standardne komutacione relacije: [ ] kijkji JiJJ ˆˆ,ˆ ε= . (1)

ijkε je potpuno antisimetrični trodimenzionalni jedinični tenzor (Levi-Civita tenzor). (b) Pokažite da vrijede slijedeće komutacione relacije za operatore impulsa i ugaonog momenta: [ ] kijkji PiJP ˆˆ,ˆ ε= . (2)

Rješenje. (a) Opšti izraz za tenzor ugaonog momenta izveli smo na osnovu teorema Noether u (2.70):

( ) ( ) ( )[∫ +−= srsij

rijjir

ij IxxLxdM φφ∂∂φ∂∂

]∂

0

3 . (3)

U slučaju skalarnog polja generatori Lorentzovih transformacija ( )rsijI nestaju i ostaje

nam orbitalni ugaoni moment

( )( ) ( )xxxxdLJ φπ∫ ∇×−==rrrr

3 . (4)

Predznak (koji ne slijedi iz Teorema Noether) je izabran u skladu sa standardnom definicijom ugaonog momenta. Predznaci od (4) i (2.72) se slažu. Kvantiziranje se postiže zamjenom i φφ ˆ→ ππ ˆ→ u (4). Međutim, treba imati na umu da ta zamjena uvodi proizvoljan izbor redoslijeda operatora u proizvodu operatora i φ π . To bi se moglo izbjeći simetriziranjem proizvoda operatora. Analizirajmo komutator

[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ′∇′×′′∇×′= xxxxxxxxddLL jiji φπφπ ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ 33rrrr , (5)

koji ćemo izračunati za ista vremena 00 xx ′= . Primijenićemo istovremene komutacione

relacije (4.5): ( ) ( )[ ] ( ) ( )xxitxtx ′−=′ rrrr 3,ˆ,,ˆ δπφ . Komutator u (5) može se predstaviti kao suma četiri člana. Dva su jednaka nuli zbog ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0ˆ,ˆˆ,ˆ =′=′ xxxx φφππ . Ostaje nam

[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ){( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )}

( )( ) ( ) ( )( ) ( ){( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )}. ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ,ˆˆ

ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ

3

333

33

xxxxixx

xxxxixxxxdd

xxxxxx

xxxxxxxxddLL

ij

ji

ij

jiji

φδπ

φδπ

φφππ

φπφπ

∇×′−−∇′×′′+

′∇′×′′−∇×′=

∇×′∇′×′′+

′∇′×′′∇×′=

∫

∫

rrrrrr

rrrrrr

rrrr

rrrr

(6)

Parcijalnom integracijom dobija se

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }∫

∫∇×∇×−∇×∇×=

∇×′∇′×′−′∇′×′∇×′−′−=

(7) . ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ,ˆ

3

333

xxxxxxxxxdi

xxxxxxxxxxxxddiLL

ijji

ijjiji

φπφπ

φπφπδrrrrrrrr

rrrrrrrrrr

Rezultat (7) može se povezati sa djelovanjem operatora ∇

r na vektor koordinate . To

je ista algebra koja je odgovorna za komutator ugaonog momenta u običnoj kvantnoj mehanici:

xr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kijkjiijijji xxxxxxx ∇×−=−=∇×∇×−∇×∇×rrrrrrrrrr ε∂∂ . (8)

(b) Ako koristimo operator impulsa (ponovo u nesimetriziranom obliku)

18

( ) ( )∫ ∇−= xxxdP φπ ˆˆˆ 3rr

, (9)

proračun se može izvršiti na analogan način kao u (a). Komutator je

[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ) (10) . ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ

ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ

3

3

33

33

kijkijji

ijji

ijji

jiji

Pixxxxxdi

xxxxxxxdi

xxxxxxxxxxxxdd

xxxxxxxddLP

εφπ

φπφπ

φφππφπφπ

φπφπ

=∇∇×−∇×∇=

∇∇×−∇×∇−=

∇′∇′×′′+′∇′×′′∇′=

′∇′×′′∇′=

∫∫

∫∫

rrrr

rrrr

rrrr

rr

Na kraju izvođenja dva puta smo izvršili parcijalnu integraciju i iskoristili identitet:

( ) ( ) kijkijji xx ∇−=∇∇×−∇×∇ εrrrr . (11)

VJEŽBA: 4.3 Naboj stanja Zadatak. Šta se dešava sa nabojem stanja α ako se na njega djeluje operatorom polja

? +φ

Rješenje. Pretpostavit ćemo da je α vlastito stanje operatora naboja sa vlastitom

vrijednošću q. Želimo odrediti kako djeluje na stanje

Q

Q αφ +ˆ . Koristeći razvoje

( )∫ ++ −= pppp bbaapdQ rrrr ˆˆˆˆˆ 3 (1) i ( )∫ ′′′

+′

+ +′= pppp ubuapd rrrr ˆˆˆ *3φ , (2)

za proizvod operatora i dobijamo Q +φ

( ) ( )[ ]∫ ′′+

′+

′+′

++′

++ −+−′= pppppppppppppp ubbbbaauabbaaappddQ rrrrrrrrrrrrrr ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ *33φ . (3)

Ovaj izraz se može povezati sa proizvodom . Operatore stvaranja i poništavanja koji imaju indeks

Qˆ+φp′r treba komutirati nalijevo koristeći (4.59):

( ) ( )( )[

( ) ( )( ]. ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

3

*333

pppppppp

pppppppp

ubppbbbaab

ubbappaaaappddQ

′+

′+

′

′++

′+++

′+

′−+−+

−′−+′= ∫rrrrrrrr

rrrrrrrr

rr )rr

δ

δφ (4)

Delta funkcije ponište integrale, a preostali članovi se odgovaraju operatoru : Qˆ+φ

( ) ( )3 * ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 1p p p pQ Q d p a u b u Q Qφ φ φ φ φ+ + + + + += + + = + = +∫ r r r r . (5)

Dakle, ako je α vlastito stanje operatora naboja, tada je to i stanje αφ +ˆ :

( ) ( ) αφαφαφ +++ +=+= ˆ11ˆˆˆˆ qQQ . (6)

Operator polja povećava naboj stanja za jedan. Slično se može pokazati da operator smanjuje naboj za jedan. Taj rezultat se može napisati kao

+φφ

( )[ ] ( )xxQ φφ ˆˆ,ˆ −= , ( )[ ] ( )xxQ ++ = φφ ˆˆ,ˆ . (7) 19

VJEŽBA: 4.4 Komutacione relacije za operatore polja i generatore Zadatak. Provjeriti ispravnost komutacionih relacija (4.81), (4.91) i (4.94) za naelektrisano skalarno kvantizirano polje.

Rješenje. Lagranžijan slobodnog naelektrisanog Klein-Gordonovog polja je dat sa (4.54). Prostorno-vremenske komponente operatora impulsa, izražene preko operatora polja , , i , su φ +φ += φ∂π ˆˆ 0 φ∂π ˆˆ 0=+

( )∫ +++= φ∂πφ∂π ˆˆˆˆˆ 3kkk xdP , (1a)

( )∫ +++ +∇⋅∇+= φφφφππ ˆˆˆˆˆˆˆ 230 mxdP

rr. (1b)

Analogno, tenzor ugaonog momenta je

( ) ( )[ ]∫ ++++ +−+= φ∂πφ∂πφ∂πφ∂π ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 3llnnnlnl xxxdM , (2a)

( ) ( )3 20 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆn n n nM d x x x m ˆπ∂ φ π ∂ φ π π φ φ φ φ+ + + + +⎡ ⎤= + − +∇ ⋅∇ +⎣ ⎦∫r r

. (2b)

Prema kanonskim pravilima kvantizacije (4.58), pri proračunu komutatora sa tim operatorima, doprinos će dati samo članovi tipa

( )xφ[ ]πφ ˆ,ˆ i [ ]++ πφ ˆ,ˆ . Pojavljuju se delta

funkcije koje poništavaju integraciju, tako da odmah dobijamo tražene rezultate

( )[ ] φ∂φ ˆˆ,ˆkk iPx = , (3a)

( )[ ] φ∂πφ ˆˆˆ,ˆ00 iiPx == + , (3b)

( )[ ] ( )φ∂φ∂φ ˆˆˆ,ˆlnnlnl xxiMx −= , (3c)

( )[ ] ( ) ( )+−=−= πφ∂φ∂φ∂φ ˆˆˆˆˆ,ˆ0000 nnnnn xxixxiMx . (3d)

Operator naboja je dat sa (2.83):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++−−= xxxxxdiQ φπφπ ˆˆˆˆˆ 3 . (4)

To vodi na komutacione relacije (vidjeti prethodnu vježbu)

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )xxxxxdiQx φφπφφ ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ 3 =′′′−= ∫ , (5a)

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )xxxxxdiQx +++++ −=′′′= ∫ φφπφφ ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ 3 . (5b)

Izbor redoslijeda operatora (npr. normalno uređenje) ne utiče na komutacione relacije (3) i (5). VJEŽBA: 4.5 Funkcija za istovremene argumente ( yx −Δ1 )Zadatak. Izračunati propagatorsku funkciju ( )yx −Δ1 za specijalni slučaj jednakih vremenskih argumenata , tj. za prostornu separaciju. 00 yx =

Rješenje. Za , (4.122) se pojednostavljuje 00 yx =

( )( )

( )( )∫

+

−⋅=−Δ

223

3

1cos

2,0

mpyxppdyxi r

rrrrr

π, (1)

Izrazićemo vektor u sfernim koordinatama, uzimajući polarnu osu u smjeru pr

yxr rrr−= :

20

( )( )

( )∫∫∫∞

+=−Δ

022

2

0

2

031

coscossin2

1,0mp

prpdpddyxi θθθφπ

ππrr . (2)

Integriranje po φ odmah daje faktor π2 . Integral po θ riješit ćemo smjenom θcosprz = :

( )( )

( )

( ). sin

21cos1

21

coscossin2

1,0

0222

022

2

2

0022

2

21

∫∫∫

∫∫∞

−

∞

∞

+=

+=

+=−Δ

mpprpdp

rz

prdz

mpdpp

prdmp

dppyxi

pr

pr ππ

θθθπ

πrr

(3)

Nazivnik ovoga integrala se može eliminisati pomoću transformacije , tmp sh =

dp p m dt= +2 2 , što vodi na

( ) (i x ym

rdt t mr tΔ1 2

0

02

, sir r− =

∞

∫π sh sh .)n

)

(4)

Ovo je integralna reprezentacija modifikovane Besselove funkcije (MacDonaldove funkcije) . Dakle, naš specijalni slučaj invarijantne funkcije je (mrK1

( ) ( . 2

,0 121 yxmKyx

myxi rrrr

rr−

−=−Δ

π) (5)

4.6 Dodatak: funkcije Δ

U prethodnim odjeljcima konstruisali smo više važnih funkcija, polazeći od skalarnog polja. Sada ćemo predstaviti kompletan skup tih funkcija i izvesti njihove međusobne veze. Cijelu familiju funkcija označit ćemo slovom Δ , pri čemu ćemo pojedine članove razlikovati dodatnim indeksom. Tabela 4.1 sadrži listu često korištenih Δ funkcija (u literaturi se može naći više različitih konvencija koje se razlikuju u nazivima i u multiplikativnim faktorima).

Tabela 4.1. Pregled invarijantnih komutacionih funkcija i propagatora za skalarno polje.

Simbol Naziv Kontura Veza ( )xΔ Pauli-Jordanova funkcija C - ( ) ( )x+Δ pozitivno frekventna funkcija ( )+C ( )12

1 Δ+Δ ( ) ( )x−Δ negativno frekventna funkcija ( )−C ( )12

1 Δ−Δ ( )x1Δ antikomutatorska funkcija 1C - ( )xFΔ Feynmanov propagator FC ( )( )102

1 Δ+Δxε ( )xRΔ retardirani propagator RC ( )ΔΘ 0x ( )xAΔ advansirani propagator AC ( )Δ−Θ− 0x ( )xDΔ Dysonov propagator DC ( )( )102

1 Δ−Δxε

( )xΔ propagator glavne vrijednosti C ( )Δ021 xε

21

Ove funkcije se mogu klasificirati prema rezultatu koji se dobija djelovanjem Klein-Gordonovog operatora na njih. Funkcije ( ) ( )

1,,, ΔΔΔΔ −+ zadovoljavaju homogenu Klein-Gordonovu jednačinu

. (4.140) ( ) ( )2 0m x+ Δ =

Za razliku od toga, funkcije Δ Δ Δ Δ ΔF R A D, , , , su Greenove funkcije, tj one su rješenja nehomogene Klein-Gordonove jednačine sa delta funkcijom kao izvornim članom

( ) ( ) ( ) ( )42Fm x δ+ Δ = − x . (4.141)

Ove dvije klase funkcija ćemo zvati komutacione funkcije i propagatorske funkcije. Komutacione funkcije

U odjeljku 4.4 već smo se upoznali sa najvažnijom funkcijom toga tipa - Pauli-Jordanovom funkcijom, koja je definisana kao komutator dva skalarna operatora polja:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ,i x y x yφ φ +⎡ ⎤Δ − = ⎣ ⎦ . (4.142)

Trodimenzionalna Fourierova reprezentacija Pauli-Jordanove funkcije je (pri tome je p pp0

2 2= ≡ +ω r m ):

( )( ) (Δ x id p

e ep

ip x ip x= − −− ⋅ ⋅∫3

321

2π ω) , (4.143)

( )( )

Δ xd p

exip x p

p

= − ⋅∫3

30

2πωω

r r sin. (4.144)

Četverodimenzionalna Fourierova reprezentacija je

( )( )

( ) (Δ x id p

e p p mip x= − −− ⋅∫4

3 02 2

2πε δ )

p0

, (4.145)

gdje označava predznak . ( ) ( )ε p0 = sgn p0

Re p0

Im p0

C

( )a

Re p0

Im p0

( )C − ( )C +

( )b

Re p0

Im p0

C1

( )c

Slika 4.4. Konture integriranja koje definišu komutacione funkcije

Postoji još jedan način da se predstavi ( )Δ x preko četverodomenzionalnog integrala u impulsnom prostoru. Obadva člana u (4.143) se mogu interpretirati kao rezidui integrala po koji imaju polove u tačkama dp0 p p0 = ±ω . Pri tome se treba integrirati po zatvorenoj konturi koja obuhvata obadva pola (slika 4.4a). Ovo se može potvrditi koristeći teorem rezidua za integraciju: p0

22

( )dp ep m

dp ep

ii

e eip x

C

ip x

pCp p

p

i x i x

p p

p p02 2

0

02 22 2

22

0 0 0 0

0 0

0 0

π π ωπ

ωω ω

ω ω− −

= =−

−

−=

−= − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

−−∫ ∫ s sRe Re .

(4.146) Poređenjem sa (4.143), uz zamjenu pp rr

−→ u drugom članu, dobijamo

( )( )∫ −

=Δ⋅−

C

xip

mpepdx 224

4

2π. (4.147)

Pauli-Jordanova funkcija sastoji se od dva dijela, jednog sa pozitivnom a drugog sa negativnom frekvencijom:

. (4.148) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx −+ Δ+Δ=Δ

Ti dijelovi odgovaraju, respektivno,prvom i drugom reziduu u integralu (4.136). Mogu se dobiti koristeći konture i ( )+C ( )−C koje zaokružuju jedan od polova kao što je to predstavljeno na slici 4.4b. Funkcije ( ) ( )x±Δ se mogu predstaviti u invarijantnom obliku (4.147) koristeći identitete (vidjeti (4.101))

( ) ( ) ( )22002

1 mppp pp

−±Θ= δωδω

m , (4.149)

što vodi na

( ) ( )( )

( ) (∫ −±Θ=Δ ⋅−± 2203

4

2mppepdix xip δ

πm ) . (4.150)

Slijedeći tip komutacionih funkcija može se konstruisati zaokružujući dva pola u suprotnim smjerovima koristeći konturu koja ima oblik osmice (vidjeti sliku 4.4c): 1C

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx −+ Δ−Δ=Δ1 . (4.151)

Trodimenzionalna Fourierova reprezentacija tako definisane funkcije je (često se ta funkcija definiše sa dodatnim faktorom i kao realna funkcija)

( )x1Δ

( )( ) ( )

( )( )∫∫∫ ⋅⋅⋅−

⋅−

−=+−=−

=Δp

pxpixipxip

pC

xip xepdieepdi

mpepdx

ωω

πωππ0

3

3

3

3

224

4

1

cos

221

221

rr

.

(4.152) Alternativna reprezentacija te funkcije slijedi iz (4.150):

( )( )

( 2

223

4

1 ∫ −−=Δ ⋅− mpepdix xip δπ

) . (4.153)

Mi smo se sreli sa funkcijom ( )yxi −Δ1 u (4.121) kada smo je identificirali sa antikomutatorom operatora polja ( )xφ i ( )ˆ yφ+ . Na osnovu njihovih integralnih reprezentacija lako se može pokazati da se komutacione funkcije pri transformacijama refleksije i kompleksne konjugacije mijenjaju na slijedeći način:

, ( ) ( ) ( ) ( )xx mΔ−=−Δ ± ( ) ( )xx Δ−=−Δ , ( ) ( )xx 11 Δ=−Δ ,

, ( ) ( ) ( ) ( )xx mΔ=−Δ ± * ( ) ( )xx Δ=Δ* (realna), ( ) ( )xx 1*1 Δ−=Δ (imaginarna). (4.154)

23

Propagatorske funkcije

Sve funkcije koje smo razmotrili u prethodnom odjeljku zadovoljavaju homogenu Klein-Gordonovu jednačinu. To slijedi iz četverodimenzionalnih Fourierovih reprezentacija (4.145), (4.150 i (4.153) zbog ( ) ( ) 02222 =−− mpmp δ . S druge strane, Greenove funkcije se mogu konstruisati rješavajući Fourierov integral (4.147) pomoću otvorenih kontura integriranja koje se protežu u beskonačnost. Primjenom operatora � , polovi se poništavaju i ostaje samo integral od 2m+ ∞− do . Pošto je podintegralna funkcija ovo se svodi na delta funkciju. Najvažniji primjer ove klase funkcija je Feynmanov propagator (vidjeti odjeljak 4.5):

∞( 00exp xip− )

( ) ( ) ( )( ) 0 ˆˆ0 yxTyxi F+=−Δ φφ , (4.155)

( )( )∫ −

=Δ⋅−

FC

xip

F mpepdx 224

4

2π, (4.156)

gdje je Feynmanova kontura otvorena i proteže se u beskonačnost (slika 4.5a).

Re p0

Im p0

CD

( )a

CF CR

CA

Re p0

Im p0

( )b

C Re p0

Im p0

( )c

Slika 4.5. Konture integriranja koje definišu propagatorske funkcije

Pošto je podintegralna funkcija holomorfna, integral po se može zatvoriti dodajući “polukružnicu u beskonačnosti”. Tu je bitan predznak vremenske koordinate : kontura se zatvara u gornjoj (donjoj) poluravni ako je negativno (pozitivno). Na takav način proširena kontura integriranja obuhvata samo jedan od dva pola. Ona se može neprekidno deformisati bez promjene vrijednosti integrala, tako da je topološki ekvivalentna ili konturi ili konturi

p0

x0

x0

( )+C ( )−−C sa slike 4.4b. To očito vodi na relaciju

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxF−+ Δ−Θ−ΔΘ=Δ 00 . (4.157)

Prema tome, Feynmanov propagator odgovara sumi pozitivno frekventne Pauli-Jordanove funkcije za pozitivne vremenske argumente i negativno frekventne Pauli-Jordanove funkcije za negativne vremenske argumente, kombinovane sa negativnim relativnim predznakom. Ova konstrukcija Feynmanovog propagatora osigurava korektnu primjenu uslova kauzalnosti pri proučavanju propagacije perturbacija. Ovdje se, prema Stückelbergu i Feynmanu, antičestice tretiraju kao čestice sa negativnom frekvencijom (energijom) koje se kreću unazad u vremenu. Alternativne propagatorske funkcije se mogu definisati pomoću otvorenih kontura integriranja i sa slike 4.5b, koje prolaze pored oba pola sa iste strane. Zatvaranje tih kontura vodi na Pauli-Jordanovu funkciju

AC RC( )xΔ sa slike 4.4a. Ako

vremenska koordinata ima suprotan predznak, integral je jednak nuli zato što nijedan pol nije obuhvaćen. Tako imamo

24

, (4.158a) ( ) ( ) ( )xxxR ΔΘ=Δ 0

( ) ( ) ( )xxxA Δ−Θ−=Δ 0 . (4.158b)

Ovo su retardirana i advansirana (avanzirana) Greenova funkcija Klein-Gordonove jednačine. Funkcija je različita od nule samo za pozitivni (negativni) vremenski argument. Na osnovu (4.158) dobijamo da se Pauli-Jordanova funkcija

( AR ΔΔ )( )xΔ

može napisati kao razlika između retardiranog i advansiranog propagatora:

. (4.159) ( ) ( ) ( )xxx AR Δ−Δ=Δ

To je sasvim prirodno pošto poređenjem slika 4.4a i 4.5b vidimo da spajanjem kontura i u beskonačnosti, dobijamo konturu integriranja C. RC AC−

Radi kompletnosti izlaganja spomenimo da “antikauzalni” propagator (poznat također i kao Dysonov propagator) ( )xDΔ , koji okružuje polove na suprotan način u odnosu na Feynmanov propagator (vidjeti sliku 4.5a):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxD+− Δ−Θ−ΔΘ=Δ 00 . (4.160)

Konačno, propagator glavne vrijednosti ( )xΔ dobija se ako se integriranje po vrši po realnoj osi kroz polove u

0p

pp ω±=0 , kao što je to prikazano na slici 4.5c. Integriranje po tim singularitetima se interpretira kao glavna vrijednost integrala: aritmetička sredina dva integrala duž kontura koje obilaze pol slijeva ili zdesna. To daje

( ) ( ) ( )( xxx AR Δ+Δ=Δ21 ) . (4.161)

Prema (4.158) propagator glavne vrijednosti je na jednostavan način povezan sa Pauli-Jordanovom funkcijom:

( ) ( ) ( )xxx Δ=Δ 021 ε , (4.162)

Veza sa Feynmanovim propagatorom je data sa

( ) ( ) ( )xxxF 121Δ+Δ=Δ . (4.163)

Slijedeća korisna veza između komutacionih i propagatorskih funkcija je

( ) ( ) (xxx DF Δ−Δ=Δ1 ) . (4.164)

Sve Δ funkcije se mogu izraziti preko dvije nezavisne “bazne” funkcije (zato što podintegralna funkcija Fourierovog integrala ima dva pola). Pogodan izbor tih baznih funkcija je i . Zadnja kolona u tabeli 4.1 pokazuje nam kako se onda mogu naći druge funkcije.

( )xΔ ( )x1ΔΔ

Očito je da sve propagatorske funkcije sadrže proizvod funkcija sa jediničnom step funkcijom od vremena [

( )xΔ( )0xΘ ili ( )02

1 xε ]. Upravo ta step funkcija daje doprinos delta funkciji kada se primijeni Klein-Gordonov operator. Npr. Klein-Gordonov operator djeluje na Feynmanov propagator na slijedeći način:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 20 1 0 0

20 0 0 0 0

1 12 2

1 2 .2

Fm x m x x x m x

x x x x x m x

ε ∂ ε

∂ δ δ ∂ ε

+ Δ = + Δ + Δ = −∇ + Δ

= Δ + Δ + + Δ

xr

(4.165)

25

Doprinos zadnjeg člana jednak je nuli jer su ( )x1Δ i ( )xΔ rješenja homogene Klein-Gordonove jednačine. Prvi član, koji sadrži izvod delta funkcije, ekvivalentan je

( ) ( )( xx Δ− 00 )∂δ . Ovaj izraz treba posmatrati kao poopštenu funkciju i on ima smisla samo kada se množi sa (dovoljno glatkom) test funkcijom ( )0xf i integrira po . Tada, primjenom parcijalne integracije dobijamo

0x

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ,,0 000000

00000000000

000fxfxfx

fxxdxxfxxdxxfxxdx

xxx === Δ−∂=∂Δ−Δ−∂=

∂Δ−Δ∂−=Δ∂ ∫∫∫r

δδδ (4.166)

jer je ( ) 0,0 =Δ xr prema (4.104). Primjenom drugog graničnog uslova [vidjeti (4.105)] ( ) ( ) ( )xx x

r300 0

δ∂ −=Δ = jednačina (4.165) postaje

( ) ( ) ( ) ( )42Fm x δ+ Δ = − x , (4.167)

kao što smo i očekivali. Funkcije ( )xΔ i , pa prema tome i cijela familija ( )x1Δ Δ funkcija, su izražene preko Fourierovih integrala koji se mogu predstaviti u eksplicitnom obliku. Nažalost, odgovarajući izrazi u prostoru koordinata su glomazni i nisu pogodni za praktične proračune. Obično je mnogo pogodnije raditi u impulsnom prostoru. Bez obzira na to, navešćemo izraze za te funkcije u prostoru koordinata:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

202

20

421 xmJxx

xmxxx Θ+−=Δ ε

πδε

π, (4.168a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

2

22

21

2

2124

xmKxx

mxmNxx

mxi −−Θ−

+Θ=Δππ

. (4.168b)

Ovi izrazi sadrže Besselovu funkciju , Neumannovu funkciju i MacDonaldovu funkciju (to je Hankelova funkcija imaginarnog argumenta; sve funkcije su prvog reda). Za velike vrijednosti argumenta z funkcije

1J 1N

1K( )zJ1 i ( )zN1 su oscilatorne, dok je

eksponencijalno opadajuća. Na osnovu (4.168) zaključujemo da je Pauli-Jordanova funkcija jednaka nuli za rastojanja prostornog tipa ( ). U odjeljku 4.4 ova osobina garantovala je uslov mikrokauzalnosti. Za razliku od toga, funkcija

, a također i Feynmanov propagator

( )zK1

( )xΔ 02 <x

( )x1Δ ( )xFΔ se protežu u područje prostornog tipa, opadajući na skali Comptonove talasne dužine . m/1 Sve Δ funkcije su singularne na svjetlosnom konusu. Uzimajući u obzir singularnost Besselovih funkcija sa argumentom nula, dobijamo funkcionalnu zavisnost u blizini svjetlosnog konusa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( 20

22

0 821 xxmxxx Θ+−≈Δ ε

πδε

π), (4.169a)

( )2

ln42

12

2

2

21

xmmx

xiππ

+−≈Δ . (4.169b)

Četiri različita tipa singularnosti se pojavljuju na svjetlosnom konusu: ( )2xδ , ( )2xΘ , 1 2/ x i ln x 2 .

26

VJEŽBA 5.1 Simetrizirani Diracov lagranžijan Zadatak. Pokazati da simetrizirani lagranžijan (5.28) vodi na iste jednačine kretanja i iste zakone očuvanja kao nesimetrizirani izraz (5.3).

Rješenje. Pošto su L′ i L jednaki do na četverodivergenciju:

( )ψγψ∂δδ μμ

2 , iLLLL −=+=′ , (1)

i bez direktnog izvođenja vidimo da (5.28) vodi na poznatu Diracovu jednačinu. Razlika lagranžijana Lδ doprinosi samo površinskom članu u integralu akcije i ne pojavljuje se u Euler-Lagrangeovim jednačinama. Da bismo analizirali zakone očuvanja trebaju nam kanonski konjugovana polja:

2

L iψ

∂π ψ∂ψ

+′= = ≡

&π i

2L i

ψ

∂π ψ π∂ψ+

++

′= = − ≡

&. (2)

Tenzor energije-impulsa je

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=′−+=Θ′ +++ ψψψ∂γψψ∂ψψ∂πψπ∂ μ

μνννννν migiLg

tt

22 000 , (3)

tako da je, na osnovu (5.14),

( ) ( )ψγψ∂ψψ∂δ μμννννν 0000 22

gii+−=Θ−Θ′=Θ + . (4)

Dakle, nema razlika u energiji polja

( ) ( ) ( )

( ) . 02

222

3

000

300

30

=⋅∇=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅∇++−=Θ=

∫

∫∫+

+

ψαψ

ψγψψγψ∂ψψ∂δδ

rr

rr

xdi

iiixdxdP (5)

Na isti način se dobija da se prostorne komponente impulsa ( )3,2,1=n razlikuju samo za površinski član koji teži nuli

( ) . 02

3 =−= ∫ +ψψ∂δ nn xdiP (6)

Poopšteni tenzor ugaonog momenta je

, (7) νλνλνλ SLM ′+′=′

gdje je

( ) ( )3 30 0 0 0L d x x x L d x x x L Lνλ λ ν ν λ νλ λ ν ν λ νλ νλδ δ′ ′ ′= Θ −Θ = + Θ − Θ = +∫ ∫ δ . (8)

Razlika tenzora prostornog orbitalnog ugaonog momenta ( )ln == λν , je opet jednaka nuli:

( ) ( )

( ) ( )

3

3

2 2

0 .2 2 2 2

nl l n n l

l n ln n l nl

i iL d x x x

i i i id x x g x g

δ ∂ ψ ψ ∂ ψ ψ

∂ ψ ψ ψ ψ ∂ ψ ψ ψ ψ

+ +

+ + + +

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − + + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ (9)

Međutim, miješane prostorno-vremenske komponente su različite od nule:

27

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] . 02

2

233

03

00003

0

≠=−−=

+−=Θ−Θ=

∫∫

∫∫ +

ψγψψγψψγψ∂

ψγψ∂ψψ∂δδδ

lklk

lk

k

lk

kllll

xdigxxdi

xxxdixxxdL (10)

Da bismo izračunali doprinos spina νλS ′ u (7), treba nam hermitski konjugovana jednačina od (5.18):

( ) ( ) ( ) ++++ Δ+=′′ μνμνψωψψ Ixxx

21 , (11)

koja, prema (5.20), vodi na

( ) ( )∫∫ ++++++ +=+=′ ψσψψσψπψψπ νλνλνλνλνλ xdIIxdS 33

41 . (12)

Prostorne komponente zadovoljavaju jednačinu

( ) ( ) nllnnlnllnnlii σγγγγγγγγσ =−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= ++++

++

22. (13)

što vodi na

nlnlnl SxdS ==′ ∫ + ψσψ3

21 . (14)

S druge strane, miješane komponente su identički jednake nuli jer je

( ) lllli

0000 2σγγγγσ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

++ , (15)

tako da je

0000 =+=′ lll SSS δ . (16)

Prema tome, dobili smo da se razlike za spinski i orbitalni ugaoni moment međusobno poništavaju:

021

2 033

000 =−=+= ∫∫ + ψγγψψγψδδδ lllll ixdxdiSLM . (17)

VJEŽBA 5.2 Simetrizirani operator struje Zadatak. Pokazati da se normalno uređeni operator struje Diracovog polja može također dobiti simetrizirajući proizvod operatora polja prema:

[ ]. (1) ψγψψγψ μμμ ˆ,ˆ2

:ˆˆ:ˆ eej ==′

)

Rješenje. Uvrstit ćemo razvoj po ravnim talasima (5.3.1) operatora polja ( tx,ˆ rψ u (1):

[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ]. ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ

222ˆˆˆˆ

2ˆ,ˆ

2 ,

2

2/3

3

2/3

3

xppixppi

xppixppi

ss pp

edbbduvebddbvu

eddddvvebbbbuu

mpdpdeee

⋅+′−⋅+′++++

⋅−′−++⋅−′++

′ ′

′−′′+′−′′+

′−′′+′−′′×

′=−= ∑∫

μμ

μμ

αββααβμμ

γγ

γγ

ωωππψψψψγψγψ

(2)

28

Pri tome je pE pω= i uveli smo skraćene oznake ( )spbb ,ˆˆ ≡ , itd. Na osnovu antikomutacionih relacija (5.3.3) jednačina (2) se svodi na

( spbb ′′≡′ ,ˆˆ )

[ ]( ) ( )

( ) ( )[( ) ( ) ]. ˆˆ ˆˆ

ˆˆ ˆˆ 22

ˆ,ˆ2 ,

2

2/3

3

2/3

3

μμμ

μμμ

γγ

γγωωππ

ψγψ

Rebduvedbvu

eddvvebbuumpdpdee

xppixppi

xppixppi

ss pp

+′′+′′+

′′−′′′

=

⋅+′−⋅+′++

⋅−′−+⋅−′+

′ ′∑ ∫ (3)

Operatori stvaranja stoje lijevo od operatora poništavanja, tj. prva četiri člana u (3) predstavljaju razvoj po ravnim talasima normalno uređenog operatora struje e: $ $:ψγ ψμ . Ostatak u jednačini (3)

( ) ( ) ( ) ( ) ssss ppvvppuuR ′′ −′+−′−= δδγδδγ μμμ 33 rrrr (4)

je jednak nuli, što se može pokazati ako se izvrši sumiranje po spinskim indeksima u (3). Koristeći relaciju kompletnosti za jedinične spinore u i v, dobijamo

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) (5) , 0Tr

2

,,,,22

3

3

3

3

3

3

∫

∫ ∑∑∫

=−=

=

−−=−−

μ

αβ

βαβααβμμμ

γωπ

δ

γωπ

γγωπ

p

sps p

mpde

spvspvspuspumpdevvuumpde4444444 34444444 21

jer je trag gama matrica jednak nuli. Time smo provjerili da su dva oblika operatora struje data jednačinom (1) ekvivalentna. VJEŽBA 5.3 Operator impulsa

Zadatak. Izraziti operator impulsa Pr

Diracovog polja pomoću ravnih talasa i operatora stvaranja i poništavanja.

Rješenje. Uvrštavanjem razvoja po ravnim talasima (5.3.1) u izraz za operator impulsa dobija se

r$P

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]. ,,ˆ,,ˆ ,,ˆ

,,ˆ22

ˆˆˆ,

2

2/3

3

2/3

333

xpixpixip

ss

xip

pp

espvspdespuspbpiespvspd

espuspbmpdpdxdixxxdiP

⋅′+⋅′−⋅−+

′

⋅++

′

+

′′′′−′′′′′+

′−=∇−= ∫ ∫ ∑∫

r

rr

ωωππψψ

(1)

Nakon množenja ovo se svodi na

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (2) . ,,,ˆ,ˆ

,,,ˆ,ˆ+,,,ˆ,ˆ

,,,ˆ,ˆ 2

ˆ,

3

333

xppi

xppixppi

ss

xppi

pp

espvspvspdspd

espuspvspbspdespvspuspdspb

espuspuspbspbpmpdpdxdP

⋅′−−++

⋅′+−+⋅′++++

′

⋅′−++

′

′′′′−

′′′′′′′′−

′′′′′′

= ∫ ∫ ∑ ωωπ

rr

Integral po d x3 daje delta funkciju koja poništava integral po tako da je pd ′3

29

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] (3) . ,,,ˆ,ˆ,,,ˆ,ˆ

,,,ˆ,ˆ,,,ˆ,ˆ ˆ

2

,

23

spvspvspdspdespuspvspbspd

espvspuspdspbspuspuspbspbpmpdP

ti

ss

ti

p

p

p

′′−′−′−−

′−′−+′′=

++−+

′

+++++∫ ∑ω

ω

ω

rr

Koristeći relaciju ortogonalnosti za jedinične spinore u i v:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , , 0.

p ,ssu p s u p s v p s v p sm

u p s v p s v p s v p s

ωδ+ +

′

+ +

′ ′= =

′ ′− = − = (4)

dobijamo:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]. ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ ˆ

3

,

3

∫ ∑

∫ ∑++

′′

++

+=

′−′=

s

ssp

ss p

spdspdspbspbppd

mspdspdspbspbpmpdP

r

rrδ

ωω (5)

Pri tome je korištena osobina simetrije da su svi smjerovi u prostoru ravnopravni tako da je antikomutatorski član sa ∫ ppd r 3 jednak nuli. VJEŽBA 5.4 Stanja spiralnosti

Zadatak. Izvesti izraz za operator projekcije spina čestice na smjer njenog kretanja. Koristiti razvoj operatora polja po stanjima spiralnosti (heliciteta).

Rješenje. Jedinični spinori i ( spu , ) ( )spv , koji se pojavljuju u razvoju (5.3.1) su vlastite funkcije operatora s/5γ :

( ) ( ) ( ) ( )spvspvsspuspus ±±=±/ ,, 5γ , ± = ±/ ,, 5 ±γ . (1a,b)

Tu je s proizvoljni jedinični vektor prostornog tipa, , koji je ortogonalan na vektor četveroimpulsa p, tj.

12 −=s0=⋅ sp [vidjeti relacije (1.5.23) i (1.5.27)]. U sistemu

mirovanja čestice s ima samo prostorne komponente, tj. ( )ss ′=r,0 , pri čemu definiše

smjer spina. U opštem slučaju s ′r

( )0rr

≠p spinori u (1) nisu vlastite funkcije operatora spina γγγ rr

05=Σ . Vlastita stanja spiralnosti predstavljaju jedan važan specijalni slučaj. Ona su definisana tako da je vektor spina u sistemu mirovanja usmjeren u smjeru impulsa,

pps rrr /=′ . Primjena Lorentzovog busta, koji prevodi sistem mirovanja u sistem u kojem čestica ima impuls pr , prevodi s ′r u četverovektor čije komponente su [vidjeti (1.5.31)]

, pp

Ep psm m p

⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠

r r

r ⎟⎟ . (2)

Ovaj četverovektor spiralnosti zadovoljava relaciju

mp

pps /⋅Σ=/ r

rr5γ , (3)

što se može lako provjeriti koristeći ( ) 22 pp rrr−=⋅γ :

30

( ) ( ) ( )

( )

2 25 0 0 5 0 5 0

5 0 5 0 0 5

1 1

.

pp

p

Ep p p pE p pp m p m p m p m

Ep p s s sm p m

γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ γ

/Σ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ = /⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

r r rr r r r rr r r r

r rr r r

r

r r

(4)

Jedinični spinori u i v su vlastita stanja od : p/

( ) ( ) 0, =−/ spump , ( ) ( ) 0, =+/ spvmp . (5)

Koristeći (3) i (5) na osnovu (1) dobijamo

( ) ( )spuspuppS ±±=±⋅ ,,r

rr, ( ) ( spvspv

ppS ±=±⋅ ,, mr )rr

. (6a,b)

Ova jednostavna relacija se može primijeniti samo na stanja spiralnosti i ne vrijedi za proizvoljne četverovektore spina s. Operator projekcije spina čestice na smjer kretanja ima jednostavan oblik ako se izrazi preko stanja spiralnosti. Analogno izvođenjima za operator impulsa, ovdje dobijamo:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r

rr r r

r r

rr r

r L

$ $ , $ ,

$ , $ , , , $ , $ , , ,

$ , $ , $ , $ , $ ,

,S

pp

d x x t x t d pm

b p s b p s u p spp

u p s d p s d p s v p spp

v p s

d p b p s b p s b p s b p s d p s

ps s⋅ = =

× ′ ′ ⋅ + ′ ′ ⋅ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= − − − −

+

± ± ′

+ + + +

+ +

∫ ∫∑12

12

12

3 3

3

ψ ψω

Σ

Σ Σ

( ) ( ) ( )[ ]$ , $ , $ ,d p s d p s d p s+ ++ − −∫ .

(7)

Oduzimajući fiktivni "totalni spin Diracovog mora", dobijamo da je operator opservable projekcije spina

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,2

pS d p b p s b p s d p s d p s b p s b p s d p s d p sp

+ + + +⎡ ⎤⋅ = + − − − − − −⎣ ⎦∫rrr

.

(8) Operatori i ( ) ( )$ , $ ,b p s b p s+ ± ± ( ) ( )$ , $ ,d p s d p s+ ± ± igraju ulogu operatora broja čestica i antičestica sa pozitivnom (negativnom) spiralnošću. Redefinicija antičestičnih spinora uzima u obzir činjenicu da nedostajuća čestica sa negativnom spiralnošću odgovara antičestici sa pozitivnom spiralnošću i vice versa. VJEŽBA 5.5 Opšte komutacione relacije i mikrokauzalnost

Zadatak. (a) Izračunati antikomutatore operatora slobodnog Diracovog polja ( )xψ i ( )yψ za proizvoljne prostorno-vremenske tačke x i y.

(b) Pokazati da operatori koji opisuju opservable zadovoljavaju uslov mikrokauzalnosti, tj. da komutiraju za rastojanja prostornog tipa. (c) Šta će biti sa mikrokauzalnošću ako se pokušaju primijeniti bozonska pravila kvantiziranja na Diracovo polje?

Rješenje. (a) Antikomutator polja ( )xψ i ( )yψ za proizvoljna vremena i , izražen preko razvoja po ravnim talasima, je

0x 0y

31

( ) ( ){ }( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }. ,,ˆ,,ˆ,,,ˆ+,,ˆ

(1) 22

ˆ,ˆ,

2

2/3

3

2/3

3

yipyipxpixpi

ss pp

espvspdespuspbespvspdespuspb

mpdpdyx

⋅−⋅+⋅′+⋅′−

′ ′

+′′′′′′′′×

′= ∫ ∑

ββαα

βα ωωππψψ

Doprinos daju samo komutatori koji uključuju { }+bb ˆ,ˆ i { }dd ˆ,ˆ + , tako da je:

( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]. ,,,,2

ˆ,ˆ3

3

∫ ∑ −⋅−⋅− +=s

yxipyxip

p

espvspvespuspumpdyx βαβαβα ωπψψ (2)

Sumiranje po jediničnim spinorima daje projekcione operatore (5.87), tako da je

( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( . 2

12

21

2ˆ,ˆ

3

3

3

3

yxiSyximieepdmi

empemppdyx

yxipyxip

p

yxipyxip

p

−≡−Δ+∇/=−+∇/=

+/−−+/=

∫

∫

−⋅−⋅−

−⋅−⋅−

αβαβαβ

αβαββα

ωπ

ωπψψ

)

)

(3)

( yx −Δ označava Lorentz invarijantnu Pauli-Jordanovu funkciju koju smo uveli u odjeljku 4.4. Ona je jednaka nuli izvan svjetlosnog konusa, tj. za intervale prostornog tipa. Specijalni slučaj relacije (3) su istovremena pravila kvantiziranja, što se može pokazati koristeći (4.104), (4.106) i (4.107):

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( yxyxmiyx yxii

yx

rr−=−Δ+−−= ==

300

00000

ˆ,ˆ δγ∂γ∂γψψ αβαββα ) . (4)

Množenjem sa dobijamo da se ova jednačina podudara sa (5.29a). Preostali antikomutatori su jednaki nuli zato što uključuju “pogrešnu” kombinaciju operatora stvaranja i poništavanja:

0γ

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 0ˆ,ˆˆ,ˆ == yxyx βαβα ψψψψ . (5)

(b) Opservable se konstruišu kao bilinearne kombinacije operatora polja

( ) ( ) ( ) ( )xxOxxO βαβα ψψ ˆˆˆ = , (6)

gdje je Diracova matrica kompleksnih brojeva (koja može da sadrži i diferenci-

jalne operatore). Kao primjer navešćemo Diracov operator struje za koji je . Komutator dva operatora koji opisuju opservable, za dvije različite tačke prostora-vremena, je:

( )xOαβ

μαβαβ γeO =

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]yyxxyOxOyOxO δγβαγδαβ ψψψψ ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ = . (7)

Koristeći identitete [ ] [ ] [ ]CABCBACBA ˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ += i [ ] { } { }CABCBACBA ˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ −= , komutator u (7) možemo prepisati kao

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ] ( ). ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ

ˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ

xyxyyyx

yxyyyxxyyxx

βδαγδγα

δβγδγβαδγβα

ψψψψψψψ

ψψψψψψψψψψψ

−+

−= (8)

Koristeći (3) i (5) dobijamo da je

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxyiSyxyxiSyyxx βγδαδαβγδγβα ψψψψψψψψ ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ −−−= . (9)

Pošto za , pa, prema tome, i za ( yx −Δ ) ( )yxS −αβ znamo da su jednaki nuli za intervale prostornog tipa, to je uslov mikrokauzalnosti zadovoljen:

32

( ) ( )[ ] 0ˆ,ˆ =yOxO za ( ) . (10) 02 <− yx

(c) Za razliku od Klein-Gordonovog polja (vidjeti odjeljak 4.4) uslov mikrokauzalnosti se ne može koristiti da se izvede zaključak o “pogrešnom receptu” kvantiziranja. Ako ponovimo izvođenja iz dijela (a), ali za komutatore umjesto antikomutatora, dobijamo

( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ){

( ) ( )[ ] ( ) ( ) } (11) . ,,,ˆ,,ˆ

,,,ˆ,,ˆ 22

ˆ,ˆ,

2/3

3

2/3

3

članovi miješani +′′′′+

′′′′′

=

⋅−⋅′+

′

⋅+⋅′−+

′∫ ∑

yipxpi

ss

yipxpi

pp

espvspvspdspd

espuspuspbspbmpdpdyx

βα

βαβα ωωππψψ

Bozonski uslov kvantizacije imao bi oblik

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ssppspdspdspbspb ′++ ′−=′′=′′ δδ ,ˆ,,ˆ,ˆ,,ˆ 3 rr . (12)

Dakle, relativni predznak članova u (11) ostaje nepromijenjen i komutator se ponovo reducira na (2). Tako smo našli da kada koristimo bozonska pravila kvantiziranja komutator polja

( ) ( )[ ] ( yxiSyx −= αββα ψψ ˆ,ˆ ) (13)

postaje nula za intervale prostornog tipa na isti način kao što smo to vidjeli pri primjeni antikomutatora (3) kada smo koristili kvantizaciju za fermione. Izvođenje teorema o vezi spina i statistike za Diracova polja se prema tome može bazirati samo na uslovu da je energija pozitivna, kao što smo to objasnili u odjeljku 5.3. 33

VJEŽBA 6.1 Lagranžijan Maxwellovog polja

Zadatak. Izvesti najopštiji oblik lagranžijana bezmasenog polja sa spinom 1, koji vodi na jednačine polja (6.11). Pokazati da se dobijeni rezultat slaže sa L F F j0

14= − −μν

μνμ

μA do na četverodivergenciju.

Rješenje. Lagranžijan L je Lorentzov skalar koji treba konstruisati pomoću vektora polja i njihovih izvoda. Pošto pretpostavljamo da su jednačine za polja linearne, L treba da sadrži članove drugog reda. Pretpostavit ćemo slijedeći opšti oblik:

Aμ Aμ

( ) ( )( ) ( )( )L A A A A A A A j= + + + +α ∂ β ∂ ∂ γ ∂ ∂ δ εμμ

μν μ

ν μν

νμ

μμ

μμ

2A

μ

. (1)

Izostavljen je član tipa zato što se slaže sa prvim članom do na divergenciju. Interakcija sa strujom može se odrediti na osnovu jednačine polja (6.11). Variranjem akcije u odnosu na polje vodi na Euler-Lagrangeovu jednačinu

( )∂ ∂μ ννA A

jμAμ

( )∂∂

∂∂

∂ ∂μ

νν

μ

LA

LA

− 0= . (2)

Uvrštavanjem izvoda

∂∂

δ εμ

μ

LA

A= +2 μj , (3)

( ) ( )∂∂ ∂

α ∂ β ∂ γ ∂ν

μ

μν σ

σν

μ μν

LA

g A A= + +2 2 2 A , (4)

u (2) dobijamo

( )[ ] ( ) ( )δ ε ∂ α ∂ β ∂ γ ∂ α γ ∂ ∂ βμ μ ν μν σ

σν

μ μν

μσ

σ μ AA j g A A A A+ = + + = + +12 . (5) �

Zahtjevamo da se ova jednačina slaže sa jednačinom polja

( ) μνν

μμ ∂∂ jA . (6) A =− �

To se može postići izborom δ = 0 , β ε= / 2 , α γ ε+ = − / 2 . Naravno, na taj način L je određen samo do na konstantni faktor ε . Vrijednost ε se može fiksirati koristeći interakcioni član. Potencijalna energija naboja q pod uticajem potencijala je

i ulazi u lagranžijan sa negativnim predznakom A0

V qA= 0 ( )L T V= − . Na osnovu toga zaključujemo da je ε = −1 . Opšti izraz za lagranžijan je tada

( ) ( )( ) ( )( )( )L A A A A A j= − + − −α ∂ ∂ ∂ α ∂ ∂μμ

μν μ

ν μν

νμ

μμ

212

12 A . (7)

Poređenjem sa izrazom

( )L L L L i m F F e A= + + = − − −Dirac e.m. int ψ γ ∂ ψ ψγ ψμμ μν

μν μμ

14 (8)

dobijamo ( )( ) ( )( )[L L A A A A− = −0 α ∂ ∂ ∂ ∂μ

μν

νμ

νν

μ ] , (9)

gdje je α proizvoljni parametar. Pošto se član u uglastim zagradama može napisati kao [ ] ( ) ( ) ( )= − − − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂μ

μν

ν μμ ν

νμ

νν

μ νμ ν

μμ

μν

ν νν

μA A A A A A A A A A A A (10) što je četverodivergencija koja ne doprinosi integralu akcije, to se, bez gubitka na opštosti, može izabrati da je α = 0 .

34

VJEŽBA 6.2 Interakcija Maxwellovog i Diracovog polja

Zadatak. Kvantna elektrodinamika opisuje interakciju Maxwellovog polja i električnog naboja Diracovog polja preko Diracove struje j eμ μψγ ψ= . Izvesti odgovarajuću klasičnu jednačinu kretanja. Pokazati da je četverovektor energije-impulsa ukupnog sistema gauge invarijantan i da su energija i impuls očuvani.

Rješenje. Lagranžijan sistema je

( )L L L L i m F F e A= + + = − − −Dirac e.m. int ψ γ ∂ ψ ψγ ψμμ μν

μν μμ

14 . (1)

Odatle dobijamo slijedeći sistem spregnutih jednačina kretanja za polja ψ , ψ i : Aμ

, (2a) ( )[γ ∂ ψμμ μi ieA m+ − = 0]

( )[ψ γ ∂μμ μi ieA ms− + = 0] , (2b)

( ) A A eμ μ μ∂ ∂ ψγ ψ− ⋅ = . (2c) �

Lagranžijan (1) i jednačine polja (2) su invarijantne u odnosu na lokalne gauge transformacije

( ) ( ) (′ = +A x A x xμ μ μ )∂ Λ , (3a)

( ) ( )[ ] ( )′ = −ψ ψx ie x x [ ]( ) ( )exp Λ , ( )′ =ψ ψx ie x xexp Λ . (3b)

To je ostvareno pomoću recepta minimalne veze, zamjenom parcijalnih izvoda sa "gauge-kovarijantnim" izvodima: ∂ ∂μ μ μ→ μ= +D ieA . Kanonski tenzor energije-impulsa koji se dobija na osnovu (1) je

, (4) Θ Θ Θ Θμν μν μν μν= + +Dirac e.m. int

gdje je ( )ΘDirac

μν μ ν μν σσψ γ ∂ ψ ψ γ ∂ ψ= − −i g i m , (5a)

Θe.m.μν μσ ν

σμν

στστ∂= − +F A g F F1

4 , (5b)

Θ int μν μν σσψγ ψ= g e A . (5c)

Primjenom gauge transformacije (3) dobijamo slijedeće dodatne članove

ΔΘ Λ ΛDirac μν μ ν μν σσψγ ψ ∂ ψγ ψ ∂= −e g e , (6a)

, (6b) ΔΘ Λe.m.μν μσ ν

σ∂ ∂= −F

ΔΘ Λint μν μν σσψγ ψ ∂= g e . (6c)

Suma ovih doprinosa se svodi na

( ) ( ) (ΔΘ Λ Λ

Λ Λ

μν μ ν μσ νσ

μσ

μσ νσ

μσ νσ

μσ ν

ψγ ψ ∂ ∂ ∂

ψγ ψ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= −

= + − = −

e F

e F F F

,)Λ (7)

gdje je u zadnjem koraku korišćena jednačina (2c). Četverovektor energije-impulsa je gauge invarijantan jer se njegova promjena redukuje na površinski integral:

( ) ( )Δ ΔΘ Λ ΛP d x d x F d x Eiiν ν

σσ ν ν∂ ∂ ∂ ∂= = − =∫ ∫ ∫3 0 3 0 3 0= . (8)

Koristeći jednačine polja (2), četverodivergenciju od doprinosa tenzoru jačine elektromagnetnog polja možemo pisati kao

35

( )Dirac eμν ν σ Aμ σ∂ ∂ ψγ ψΘ = − , (9a)

( )(∂ ψγ ψ ∂μμν σ ν

σΘe.m. = − e )A , (9b)

( ) ( )( )∂ ∂ ψγ ψ ψγ ψ ∂μμν ν σ

σσ ν

σΘ int = +e A e A

=

. (9c)

Očuvanje energije-impulsa u kombinovanom sistemu slijedi na osnovu sume tri doprinosa

. (10) ∂ ∂ ∂ ∂μμν

μμν

μμν

μμνΘ Θ Θ ΘDirac e.m.+ + =int 0

To također vrijedi za simetrizirani tenzor energije-impulsa T μν .

36

VJEŽBA 7.1 Gustoća energije fotonskog polja u Lorentzovom gaugeu

Zadatak. Pokazati da su izrazi (7.17) i (7.18) za gustoću energije fotonskog polja u Lorentzovom gaugeu međusobno ekvivalentni.

Rješenje. Pokazaćemo da se izrazi za i slažu do na divergenciju. Za (7.17) je: 00Θ 00Θ′

( ) ( ) ( ) jiji AAAAAAAAA ∂∂+∇−∂+∂−=∂∂+∂∂−=Θ

20202000000 22rr

σρσρ

σσ . (1)

S druge strane, za (7.18) vrijedi:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) . 2

2200020

22002200

ijji

jiji AAAAAAAA

AAABE

∂∂−∂∂+∇+∇⋅∂+∂=

×∇+∇−∂−=+=Θ′rrrr

rrrrrr

(2)

Razlika je data sa:

( ) ( ) ( ) ( )20020000000

21

21 AAAAAAX ij

ji ∂+∂∂−∇+∇⋅∂=Θ′−Θ′≡rrr

. (3)

Koristeći Lorentzov uslov

000 =⋅∇+∂=∂ AAA

rrμ

μ (4)

prva dva člana u (3) svode se na

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) . 020000000

0200000000000

AAAAAA

AAAAAAAAAAAA

∇−∂∂+∇+∂⋅∇=

∇−∇⋅∇+⋅∇∂−∂⋅∇=∇⋅∇+∇⋅∂rrrr

rrrrrrrrrrr

(5)

Prvi član predstavlja trodimenzionalnu divergenciju, a drugi član je jednak nuli jer vektorski potencijal u Lorentzovom gaugeu zadovoljava talasnu jednačinu:

( ) 0200 =∇−∂∂ μAr

. (6)

Treći i četvrti član u (3) se mogu kombinovati u

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( 2002200

21

21

21

21

21 AAAAAAAAA i

ii

jjj

ji

iij

ji ∂+∂−∂−∂∂=∂+∂∂− ) . (7)

Član koji ne sadrži trodimenzionalnu divergenciju je ponovo jednak nuli na osnovu Lorentzovog uslova. Prema tome, dva izraza za gustoću energije se slažu do na divergenciju, tako da vode na istu ukupnu energiju. VJEŽBA 7.2 Gauge transformacije i pseudofotonska stanja

Zadatak. Pokazati da su očekivane vrijednosti ( )xAμˆ za stanja cΦ i TΦ , data sa

(7.58), povezane relacijom

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxAxxAxA TTTTcc Λ∂+ΦΦ=ΦΛ∂+Φ=ΦΦ μμμμμˆˆˆ . (1)

Izvesti izraz za funkciju . ( )xΛ

Rješenje. Stanje cΦ je definisano sa

Tcc R Φ=Φ ˆ , (2)

gdje je

( ) ( ) Lrrr

rrr +∫ ′′+∫+= +′

++kkkc LLkkckdkdLkckdR ˆˆ, ˆ 1ˆ 333 (3)

37

i . Treba da izračunamo 30ˆˆˆ

kkk aaL rrr −=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] TkkTc LkckdxALkckdxA Φ∫ ++∫ ++Φ≡ + ˆ 1ˆˆ 1 3*3 L

rL

rrr

μμ . (4)

Da bismo pojednostavili ovaj izraz trebamo komutirati operator nadesno tako da

djeluje na stanje kL rˆ

TΦ . Analogno trebamo komutirati nalijevo. Tada možemo

koristiti relacije

+kL rˆ

0ˆ =ΦTkL r i 0ˆ =Φ +kT L r . Očito je da su komutatori [ ]μALk

ˆ,ˆ r [ ]+kLA rˆ,ˆ

μ

kompleksni brojevi jer su i i linearne kombinacije operatora stvaranja i

poništavanja fotona. Pošto je također kL rˆ

μA

[ ] 0ˆ,ˆ =+kk LL rr , očito da članovi višeg reda u (4) ne

daju doprinos. Prema tome, ostaje nam

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] . ˆ,ˆ

ˆ,ˆ ˆˆ

*3

3

TkT

TkTTTcc

xALkckd

LxAkckdxAxA

ΦΦ+

ΦΦ+ΦΦ=ΦΦ

∫∫ +

μ

μμμ

r

r

r

r

(5)

Komutatori u (5) se mogu lako izračunati koristeći Fourierov razvoj operatora polja (7.26) i kanonske komutacione relacije (7.32). Na osnovu

[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )303

303

30 ˆˆ,ˆˆ,ˆ λλλλλλ δδδδ +′−−=−′−−=−= ++′

+′ kkggkkaaaLa kkkkk

rrrrrrrrr (6)

je

( )[ ]( )

( )[ ]( )

(∑∫ ∑=

⋅−

=

+′

⋅′−

′

+ −=′′

=3,0

3

3

03

3

,22

ˆ,ˆ,22

ˆ,ˆλ

μλ

λμμ λεπω

λεπω

keLakekdLxAk

xik

kkxki

k

k

rrrrr ) (7)

i analogno

( )[ ]( )

( )∑=

⋅

−=3,0

3,

22ˆ,ˆ

λμμ λε

πωkexAL

k

xik

k

rr . (8)

Suma po polarizacijama se može prepisati koristeći eksplicitni oblik vektora polarizacije (6.60), (6.63) (za ) 02 =k

( ) ( ) ( ) ( ) knknk

nknknkkk⋅

=⋅⋅−

+=+=∑=

13,0,,3,0

rrrεελε

λμ . (9)

Dakle, suma je proporcionalna četverovektoru impulsa . Dodatni član u (5) je tada μk

( )

( ) ( )[ ]∫ ⋅⋅− +⋅

ΦΦ− xikxik

k

TT ekcekcknk

kd 1

22*

3

3 rrμ

πω . (10)

Pošto podintegralna funkcija sadrži faktor , jednačina (10) se može napisati kao gradijent po koordinati od neke funkcije

μk( )xΛ . Time je dokazana jednačina (1), pri

čemu je realna gauge funkcija

( )( )

( ) ( )[ ]∫ ⋅⋅− −⋅

−=Λ xikxik

k

ekcekcnk

kdix 1

22*

3

3 rr

πω . (11)

Pošto je , jednačina (11) je kompatibilna sa Lorentzovim uslovom jer

je . Gauge funkcija (11) ne zavisi od viših članova razvoja (4) sa

02 =k 0=∂ μμ A

( ) 0xΛ =

38

koeficijentima ( )kkc ′rr

, itd. Takvi članovi dat će doprinos ako se posmatraju gauge transformacije složenijih funkcija, kao što je proizvod tipa ( ) ( )yAxA νμ

ˆˆ . VJEŽBA 7.3 Opšta komutaciona pravila za elektromagnetno polje

Zadatak. Izračunati komutator ( ) ( )[ ]yAxA νμˆ,ˆ slobodnog elektromagnetnog polja u

Lorentzovom gaugeu za proizvoljne prostorno-vremenske tačke x i y. Pokazati da je taj komutator jednak nuli izvan svjetlosnog konusa.

Rješenje. Uvrštavanjem Fourierovog razvoja (7.26) operatora A , na osnovu komutacionih relacija za operatore stvaranja i poništavanja fotona (7.32), dobija se

( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∑ −⋅−⋅−

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= yxikyxik

k

eekkgkdyAxA3

03

3

,,2

12

ˆ,ˆλ

νμλλνμ λελεωπ

rr. (1)

Koristeći relaciju kompletnosti (6.65) za četiri vektora polarizacije, nalazimo da je

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[∫ −⋅−⋅− −−= yxikyxik

k

eekdgyAxAωπμννμ 21

2ˆ,ˆ

3

3

]. (2)

Ovaj integral je invarijantna Pauli-Jordan-Schwingerova funkcija koju smo uveli u odjeljku 4.4. Pošto je polje bezmaseno, koristićemo oznaku ( )yxD − umjesto : ( )yx −Δ

( )( )

( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( )∫∫ −⋅−−⋅−⋅− =−=− yxikyxikyxik

k

ekkkdeekdyxiD 203

4

3

3

221

2δε

πωπ, (3)

gdje je kk k

r==ω0 . Prema tome, naš komutator je dat sa

( ) ( )[ ] ( yxDigyAxA −−= μννμˆ,ˆ ). (4)

Funkcija ima jednostavan oblik i u koordinatnom prostoru. Jednačina (3) se može napisati kao

( )xD

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xDxDxDxD +−+ =+= Re2 . (5)

Fourierov integral u može se riješiti u polarnim kordinatama: ( ) ( )xD +

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )[ ], 18

1

cos222

12

02

1

1

cos

0

2

23

3

∫

∫∫∫∞

+−−

−

∞−⋅−−+

−−=

−=−=

triktrik

ikrti

k

xkti

k

eedkr

edekdkiekdixD kk

π

θωπωπ

θωω rr

(6)

gdje je xr r≡ , 0xt ≡ i kkk ω=≡

r. Da bi se osigurala konvergencija integrala po k

uvodi se faktor odsijecanja ( )exp − ε k , pri čemu se na kraju proračuna uzima limes 0→ε . Na osnovu (6) je tada

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

+−−=+

εεπ itritrrixD 1118

12 , (7)

tako da je komutatorska funkcija

39

( ) ( ) ( )

( ) ( ). 1

41

Re14

1Re2

22222

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−

+−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

+−−== +

εε

εε

π

εεπ

trtrr

itri

itri

rxDxD

(8)

U limesu 0→ε prepoznajemo jednu od reprezentacija delta funkcije:

( ) 220

1limx

x+

=→ ε

επ

δε

, (9)

tako da je

( ) ( ) ([ trtr )]r

xD +−−−= δδπ

141 . (10)

Koristeći identitet ( ) ( ) ( )[ ] ( )r/trtrx 22 ++−= δδδ , (10) se može pojednostaviti na

( ) ( ) ( 2

21 xtxD δε )π

−= . (11)

Ovo se, za , slaže sa rezultatom (4.168a) za 0=m Δ funkciju iz dodatka 4.6. Prema tome, našli smo da operatori ( )xAμ

ˆ i ( )yAνˆ komutiraju gotovo svugdje. Samo na

svjetlosnom konusu komutator će biti različit od nule, što odgovara činjenici da se komunikacija između tačaka može ostvariti prenosom elektromagnetnog signala. Zapazite da je u slučaju funkcija

( 2yx − )

0≠m ( )yx −Δ konačna također i unutar svjetlosnog konusa , zato što čestice koje imaju masu mogu putovati brzinama manjim od brzine svjetlosti.

( ) 02 >− yx

DODATAK: Jednostavno pravilo za izvođenje izraza za Feynmanov propagator

Sistematsko izvođenje rezultata tipa (7.65): ( ) ( )εμνμν ikgkDF +−= 2/ , na osnovu

vakuumske očekivane vrijednosti vremenski uređenog proizvoda operatora polja, može biti komplikovano za 1≠ζ . Međutim, postoji jednostavniji način da se Feynmanov propagator izračuna direktno na osnovu lagranžijana teorije. Taj način je sadržan u slijedećem pravilu:

• Feynmanov propagator u impulsnom prostoru dobija se invertovanjem Fourierove transformacije diferencijalnog operatora sadržanog u lagranžijanu.

Provjerićemo to prvo za slučaj lagranžijana Klein-Gordonovog polja

( )φφφφφ μμ xDmL

21

21

21 22 ≡−∂∂= , (1)

gdje je diferencijalni operator

( ) 2mxD −∂∂= μμ

rs. (2)

Ako izvršimo zamjenu μμ ik−→∂r

i μμ ik→∂s

, dobijamo multiplikativni operator u impulsnom prostoru

. (3) ( ) 22 mkkD −=

Feynmanov propagator u impulsnom prostoru dobija se invertovanjem:

40

( ) ( )εimk

kDkF +−==Δ −

221 1 , (4)

gdje su polovi pomjereni na uobičajeni način dodavanjem malog negativnog imaginarnog dijela masi da bi se zadovoljio uslov kauzalnosti. Feynmanov propagator za Diracovo polje , koji smo razmotrili u odjeljku 5.4, može se dobiti na isti način. ( )kSF

U slučaju Maxwellovog lagranžijana (7.2), sa članom koji fiksira gauge:

( 2

21

41 σ

σμν

μν ζ AFFL ∂−−= ) , (5)

diferencijalni operator je dat sa

( ) νμμνσ

σμνμν ζ ∂∂−∂∂+∂∂−=rsrsrs

gxD . (6)

U impulsnom prostoru je

. (7) ( ) ( ) νμμνμν ζ kkkgkD 12 −+−=

Da bismo konstruisali inverznu matricu, pretpostavit ćemo da ona ima oblik

( ) ( ) ( ) σννσνσ kkkBgkAkD 22 1 +=− . (8)

Zahtjevajući da je

, (9) ( ) ( ) σν

νσμν

1 gkDkD =−

i poredeći koeficijente, dobijamo uslove

( ) 122 =− kAk , (10a)

( ) ( ) ( )222 1 kAkBk −= ζζ . (10b)

Bez gauge-fiksirajućeg člana (tj. za 0=ζ ) matrica ( )kDμν se ne može invertovati (zato što je determinanta jednaka nuli) i Feynmanov propagator se ne može konstruisati. Ako je 0≠ζ rješenje sistema jednačina (10) je

( ) 22 1

kkA −= , ( )

( )22

2 11k

kBζ

ζ −= , (11)

što, nakon odgovarajućeg pomjeranja polova, vodi na

( )( )222

1εζ

ζε

νμμνμν

ikkk

ikgkDF

+

−+

+−= . (12)

Rezultat (12) predstavlja poopštenje formule (7.65) za 1≠ζ . Pored Feynmanovog gaugea ( 1=ζ ), u literaturi se često koristi i gauge sa ∞→ζ (Landauov gauge).

Propagator u tom gaugeu ( ) ( ) ( )222 / εμννμμν ikkgkkkDF +−= je transverzalan u četiri

dimenzije: ( ) 0=kDk Fμν

μ . 41

8.1. Comptonovo rasijanje

Kod Comptonovog rasijanja u početnom stanju imamo jedan elektron sa impulsom i spinom p,s i jedan foton sa impulsom i polarizacijom λ,k , dok su iste čestice u konačnom stanju karakterizirane sa sp ′′, i λ′′,k . Pošto su (8.95b) i (8.95c) identični, S-matrični element je

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ : ˆˆ+ˆˆ:

: ˆˆˆˆ:ˆˆ0 !2

2

0ˆˆ ˆ ˆˆ0

2121

221124

14

2

2

++−++−

+−′′′′

++′′′′

×

−=

=

∫psk

ksp

pskkspfi

baxAxAxAxA

xxxxabxdxdie

baSabS

λνμνμ

νμλ

λλ

ψγψψγψ

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[( ) ( ) ] (1) . 0ˆˆ:ˆˆˆˆ: ˆˆ0,,

0ˆˆ:ˆˆˆˆ: ˆˆ0,,

, , 22

2222

!22

22112211

2211

22112211

2211

2211

2121 21

22*

11

2211*

2221112/12

2/32

3

2/11

2/31

3

2/32

3

2/31

3

24

14

2

++++′′′′

⋅⋅−

++++′′′′

⋅−⋅

⋅−⋅

+

×

−×

−=

∫

∫ ∑ ∫∫∫

pskkkqqkspxikxik

pskkkqqkspxikxik

xiqF

xiq

qq

baaabbabekek

baaabbabekek

equxxiSequkd

kdEmqd

Emqd

xdxdie

λλλσσλνμ

λλλσσλνμ

νμ

λλσσ

λελε

λελε

σγγσωπ

ωπππ

Vakuumske očekivane vrijednosti elektronskih i fotonskih operatora redukuju se na po jedan član, tako da je S-matrični element za Comptonovo rasijanje:

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ( ) ( ) ] (2) . ,,+,,

, , 22

1 2

2121

21

**

2124

14

6

2

xkixikxikxki

xipF

xpi

kkppfi

ekekekek

espuxxiSespuEm

EmxdxdieS

⋅′⋅−⋅−⋅′

⋅−⋅′

′′

′′′′×

−′′−= ∫

λελελελε

γγωωπ

νμνμ

νμ

Integriranje u (2) se može izvršiti koristeći Feynmannov propagator za elektrone u impulsnom prostoru: ( ) ( )εimpqSF +−/= /1 , što vodi na:

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]. ,, , ,

,, , ,

2 22

12

*

*

446

2

λελεγγ

λελεγγ

δπωωπ

νμνμ

νμνμ

′′′−′′+

′′+′′×

−−′+′−

=′′

kkspukpiSspu

kkspukpiSspu

kpkpEm

EmieS

F

F

kkppfi

q p k= − ′

′k′p

kp

Kao i kod elektron-elektron rasijanja prisutni su i izmjenski i direktni član, koji se sada sabiraju sa pozitivnim relativnim predznakom jer fotoni zadovoljavaju Bose statistiku. Odgovarajući Feynmanovi dijagrami su prikazani na priloženoj slici. Za razliku od elektron-elektron rasijanja dva člana se ne pojavljuju zbog (anti)simetrije početnih i konačnih stanja u odnosu na izmjenu identičnih čestica. Umjesto toga oni dolaze od proizvoda fotonskih operatora polja ( )1

ˆ xAμ i ( )2ˆ xAν koji

se može dekomponovati na dva načina u proizvod operatora stvaranja i poništavanja.

q p k= +

′k′p

kp

42

8.2. M (elektron-elektron) rasijanje ollerovo/

Razmotrimo proces u kome se dva elektrona sa početnim impulsima i spinovima i rasijavaju u konačno stanje sa

11, sp

22 , sp 11, sp ′′ i 2 2,p s′ ′ . Takav proces se naziva Møllerovo rasijanje. Prema jednačini (8.95d) S-matrični element za taj proces drugoga reda je dat sa

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) . 0ˆˆ ˆˆ : ˆˆˆˆ:

ˆˆ0 !2

0ˆˆ ˆ ˆˆ0

2211

112222111122

212211

24

14

22

+++−+−

′′′′++

′′′′

×

−== ∫

spsp

spspspspspspfi

bbxAxAxxxx

bbxdxdiebbSbbS

νμνμ ψγψψγψ

U jednačini (1) smo, u skladu sa slikom 8.2, uvrstili odgovarajuće operatore polja ( )+ψ

za upadne i ( )−ψ za rasijane elektrone. Koristeći razvoj po ravnim talasima (8.90) dobijamo

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 3 4 1 2 3

3 21 1 2 1 4 2

2 2 1 1 1 1 2

2 33 3 34 4 31 2 4

1 2 3/ 2 3/ 2 3/ 2 3/ 2

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2

2! 2 2 2 2

, , , ,ˆ ˆ ˆ ˆ 0 :

fiq q q

iq xiq x iq x iq x

F p s p s q q

ie d qd q d q d qm m m mS d x d x4qE E E

u q e u q e u q e u q e

iD x x b b b b

σ σ σ σ

μ ν

μνσ

π π π π

σ γ σ σ γ σ⋅⋅ − ⋅ − ⋅

+′ ′ ′ ′

−=

×

× −

∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ E

2 3 3 4 4 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ: 0 . (2)q q p s p sb b b bσ σ σ+ + +

Vakuumska očekivana vrijednost operatora stvaranja i poništavanja se izračunava tako što se operatori komutiraju nalijevo, a operatori b nadesno. Uzimajući u obzir relacije:

+b ˆ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

31 1

ˆ ˆ ˆ ˆp s q q p s sb b b b p qσ σ σδ δ+ +′ ′ ′ ′ ′ ′= − + −

r r , ( ) ( )4 4 1 1 1 1 4 4 1 4

31 4

ˆ ˆ ˆ ˆq p s p s q sb b b b p qσ σ σδ δ+ += − + −

r r , dobija se:

2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2

2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 4 4 1 1 2 2

2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 4 4 2 2

2 2 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 : : 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0ˆ ˆ 0

p s p s q q q q p s p s

p s p s q q q q p s p s

p s q p s q q p s q p s

p s q

b b b b b b b b

b b b b b b b b

b b b b b b b b

b b

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ

+ + + +′ ′ ′ ′

+ + + +′ ′ ′ ′

+ + + +′ ′ ′ ′

+′ ′

= −

= −

+ ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 3 3 2 2 2 2 1 4

2 2 3 3 2 2 1 1 4 4 2 2 1 1

2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 4

31 4

31 1

3 31 1 1 4

ˆ ˆ ˆ ˆ 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0

p s q q p s s

p s q q p s q p s s

p s q q p s s s

b b b b p q

b b b b b b p q

b b b b p q p q

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

δ δ

δ δ

δ δ δ δ

+ +′ ′

+ + +′ ′ ′

+ +′ ′ ′

−

′+ −

′− −

r r

r r

.−r r r r

(3)

Antikomutiranjem operatora i b b+ , dobijamo članove tipa ˆ0 0b+ = i ˆ 0 0b = , a preostaju članovi sa delta funkcijom, koji daju:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )

2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2

2 1 1 3 1 2 2 4

2 1 1 3 2 2 1 4

2 3

3 3 3 32 1 1 3 1 2 2 4

3 3 3 32 1 1 3 2 2 1 4

3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 : : 0

p s p s q q q q p s p s

s s s s

s s s s

s

b b b b b b b b

p q p q p q p q

p q p q p q p q

p

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ

+ + + +′ ′ ′ ′

′ ′

′ ′

′

′ ′= − − − − −

′ ′+ − − − −

′+

)

r r r r r r r

r r r r r r r r

r( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2 4 1 1

2 3 2 2 1 1 1 4

3 3 32 3 1 2 2 4 1 1

3 3 3 32 3 2 2 1 1 1 4 .

s s s

s s s s

q p q p q p

p q p q p q p q

σ σ σ

σ σ σ σ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ

′

′ ′

′− − −

′ ′− − − − −

r r r r r r

r r r r r r r r

r

q− r (4)

Dakle, postoje četiri načina da se vanjske fermionske linije Feynmanovih dijagrama pridruže stanjima rasijanih čestica. To je ilustrovano na slijedećoj slici:

43

2p′ 1p′ 1p′ 2 p′ 2 p′ 1 p′ 1 p′ 2 p′

p

2 , xν1, xμ

p1 2

2 , xν1, xμ

2 p1p p

2 , xν1, xμ

2 p 1

2 , xν1, xμ

p12 p

_ _ + Podintegralne funkcije u (2) dolaze u parovima koji se razlikuju samo po izmjeni redoslijeda varijabli i , tako da je njihov doprinos jednak. Tako se poništi permutacioni faktor 1/2! u (2). Konačni rezultat za S-matrični element je:

1x 2x

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] . : ,, ,,

,, ,,

2

izmdir22111122

11112222

2124

14

6

2

121212

111222

2121

fifixppixppi

xppixppi

Fpppp

fi

SSspuspuspuspuee

spuspuspuspuee

xxiDEm

Em

Em

EmxdxdieS

+=′′′′−

′′′′×

−−

=

⋅−′⋅−′

⋅−′⋅−′

′′∫

νμ

νμ

μν

γγ

γγ

π

(5)

Ovaj izraz se sastoji od direktnog i izmjenskog dijagrama koji se sabiraju sa negativnim relativnim predznakom (Fermi-Diracova statistika). Rezultat (5) se pojednostavljuje prelaskom na impulsni prostor. Fourierov integral za direktni član daje:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . 22

22

11221144

2244

4

4

14

4

4

24

14 11121111222

ppiDppppqppqiD

eqdxdqiDeqdeexdxd

FF

xqppiF

xxiqxppixppi

−′−′+−′=+−′×

= ∫ ∫∫∫ ⋅−−′−⋅−⋅−′⋅−′

μνμν

μν

δπδπ

ππ

) (6)

Analogno se za izmjenski član dobija

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( . 2

2

21122144

4

4

24

14 21121212

ppiDpppp

qiDeqdeexdxd

F

Fxxiqxppixppi

−′−′+−′=

∫∫ −⋅−⋅−′⋅−′

μν

μν

δπ

π

) (7)

U obadva slučaja zadovoljen je zakon očuvanja energije i impulsa u procesu rasijanja. Konačno, S-matrični element je dat sa:

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]. ,, ,,

,, ,,

22

2211211122

1111112222

212144

6

2

2121

spuspuppiDspuspu

spuspuppiDspuspu

ppppEm

Em

Em

EmieS

F

F

ppppfi

νμν

μ

νμν

μ

γγ

γγ

δππ

′′−′′′−

′′−′′′×

−−′+′−

=′′

(8)

Fotonski propagator u impulsnom prostoru i u kovarijantnom gaugeu je

( )( )222

1εζ

ζε

νμμνμν

iqqq

iqgqDF

+

−+

+−= . (9)

Gauge zavisni član ne doprinosi S-matrici zato što on vodi na spinorski proizvod oblika ( )( ) ( )111111 ,, spuppspu /−/ ′′′ , što je jednako nuli jer je ( ) ( ) 0, 111 =−/ spump i ( )( ) 0, 111 =−/ ′′′ mpspu . Naravno, gauge zavisni član mora biti jednak nuli zbog zakona

očuvanja elektromagnetne struje prelaza sa kojom se množi propagator.

44

8.8. Renormalizacija

Do sada smo procese rasijanja proračunavali u drugom redu teorije perturbacije. To je i bilo logično jer je konstanta veze u kvantnoj elektrodinamici mala ( ), tako da bi slijedeći članovi razvoja davali samo malu popravku. Da bi neka teorija bila zadovoljavajuća trebali bismo biti u stanju da izračunamo i doprinose višeg reda. Međutim, pokazuje se da se pri proračunu tih popravki višega reda pojavljuju neočekivane teškoće. Naime, neke od tih “malih korekcija” postaju beskonačno velike. Savladavanje tih teškoća predstavljalo je jedan od osnovnih problema pri razvoju kvantne teorije polja. Rješenje je nađeno u proceduri koja je nazvana renormalizacija. Za svoj fundamentalni doprinos kvantnoj elektrodinamici, koji uključuje i razvoj metoda renormalizacije, Sin-Itoro Tomonaga, Julian Schwinger i Richard P. Feynman su podijelili Nobelovu nagradu za fiziku 1965. godine.

137/14/2 ≈= πα e

U ovom odjeljku diskutovat ćemo renormalizaciju u najnižem netrivijalnom redu perturbacije. Pogledajmo npr. proces elektron-pozitron rasijanja. Dva osnovna Feynmanova dijagrama koja opisuju taj proces u drugom redu računa perturbacije predstavljena su na slici 1. Već znamo kako bismo izračunali S-matricu za taj proces (to ostavljamo za vježbu). Ovdje nas interesuju procesi višega reda. Npr., jedan od Feynmanovih dijagrama toga procesa u četvrtom redu računa perturbacije predstavljen je na slici 2.

Slika 2. Elektron-pozitron

rasijanje u četvrtom

redu

Slika 1. Elektron-pozitron

rasijanje u drugom

redu

Doprinos toga dijagrama S-matrici je reda veličine . Pored ovoga, postoje i drugi dijagrami sa 4 verteksa. Ima ukupno 18 takvih dijagrama četvrtoga reda (10 povezanih i 8 nepovezanih). Pokazuje se da matrični elementi koji odgovaraju nekim od tih dijagrama sadrže divergentne integrale. Takvi “divergentni” dijagrami mogu se dobiti ako se bilo koji verteks dijagrama drugoga reda sa slike 1 zamijeni sa tzv. dijagramom korekcije verteksa (slika 3a). Pošto takav dijagram ima tri verteksa, to se tom zamjenom

4e

45

dobija dijagram četvrtoga reda. Drugi tip “divergentnog” dijagrama dobija se zamjenom bilo koje fermionske linije sa dijagramom vlastite energije elektrona sa slike 3b, dok se treći tip dobija zamjenom bilo koje fotonske linije sa dijagramom polarizacije vakuuma (slika 3c).

Slika 3a Korekcij

a

Slika 3b Vlastita energija elektrona

Slika 3c Polarizacij

a

Pogledajmo na primjeru vlastite energije elektrona kako se pojavljuju te divergencije. Prema Feynmanovim pravilima u impulsnom prostoru, zamjeni izlazne elektronske linije u procesu elektron-pozitron rasijanja drugoga reda (slika 1) sa dijagramom vlastite energije elektrona (slika 3b) odgovara zamjena:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) (∫ ′−−′−′→′ 114

4

11 2 pSiekiDkpSiekdpupu FFF ν

μνμ γγ

π) . (1)

Da je integral po divergentan zaključujemo na osnovu toga što nazivnik podintegralnog izraza sadrži samo k na treći stepen ( iz fotonskog propagatora i k iz elektronskog propagatora), tako da pri

kd 4

2k∞→k vrijedi ∞→∫ 34 / kkd (linearna

divergencija). Za dijagram korekcije verteksa dobija se logaritamska divergencija ( d ), a za dijagram polarizacije vakuuma kvadratična divergencija ( ). 44 / kk 24 / kkd Pokažimo sada kako se mogu ukloniti te divergencije primjenom renormalizacije. Najjača (kvadratična) divergencija se javlja za polarizaciju vakuuma, tj. za dijagram koji odgovara kreiranju virtualnog para elektron-pozitron. Ona se može ukloniti tako što se pođe od uslova kalibracione (gauge) invarijantnosti, tj. uslova da zamjena

ne mijenja konačni rezultat za S-matrični element. Bez ulaženja u detalje izvođenja, navest ćemo da se korištenjem metoda regularizacije Pauli-Villarsa

( ) ( ) ( )qqqAqA Λ+→ μμμ

2, divergencija može ukloniti tako što se goli naboj e zamijeni renormalizovanim nabojem po formuli: Re

22

22

322 ln

31 e

mMeZee R ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈≡→

πα , (2)

gdje je renormalizaciona konstanta, a M parametar regularizacije. Rezultat (2) je dobijen na osnovu zahtjeva da divergentni integral koji odgovara dijagramu sa slike 3c konvergira, pri čemu M predstavlja parametar odsijecanja (cutoff-a). Fizikalne opservable ne smiju zavisiti od toga parametra, tako da na kraju proračuna trebamo

3Z

2 W. Pauli, F. Villars, Rev. Mod. Phys. 21, 434 (1934). 46

uzeti da . Dakle, rezultat (2) sadrži logaritamsku divergenciju. Zamjenom ∞→M

3Re e e Z→ = u Diracovoj jednačini uklanja se ta divergencija. Goli naboj e nije opservabla jer se interakcija elektrona i fotonskog polja ne može isključiti. U eksperimentu se zapaža naboj i konačni rezultat ne zavisi od i e, kao ni od tipa renormalizacije (načina odsijecanja i parametra M). Pri proračunima se jednostavno koristi naboj i pri tome se ne pojavljuju nikakve divergencije.

Re 3Z

Re Divergencija za dijagram vlastite energije elektrona može se ukloniti renormali-zacijom mase, tj. zamjenom gole mase m sa renormalizovanom masom : Rm

mmmm R δ+≡→ , (3)

Veličine m i mδ odvojeno nemaju fizikalnog značaja i mogu biti divergentne. S-matrični element koji sadrži renormalizovanu masu je fizikalna opservabilna masa. Napomenimo da se neophodnost renormalizacije mase javlja još u klasičnoj elektro-dinamici. Da bi se u potpunosti uklonila divergencija povezana sa vlastitom energijom elektrona, potrebno je uvesti i odgovarajuću renormalizacionu konstantu za naboj koju ćemo označiti sa .

Rm

2Z Divergencija povezana sa korekcijom verteksa se uklanja uvođenjem renormali-zacione konstante . Može se pokazati da je 1Z 21 ZZ = . To je posljedica tzv. Wardovog identiteta koji povezuje doprinose dijagrama korekcije verteksa i vlastite energije elektrona. Renormalizacija naboja koja uključuje sve divergentne dijagrame sa slike 3 svodi se na:

11 2 3 3 Re e Z Z e Z e Z−→ ≡ = . (4)

Renormalizacione konstante vlastite energije elektrona i korekcije verteksa su se poništile, što znači da je renormalizacija naboja uzrokovana samo polarizacijom vakuuma. Renormalizacijom mase elektrona [jednačina (3)] i njegovog naboja [jednačina (2), odnosno (4)] uspjeli smo ukloniti divergencije koje se pojavljuju u . Prirodno je postaviti pitanje šta se dešava za još više redove računa perturbacije. Pokazuje se da se ne pojavljuju novi problemi, tj. da je uvedeni koncept renormalizacije dovoljan da se dobiju rezultati za sve te više redove. Jedino je potrebno izvršiti dodatne numeričke proračune. Dobijeni rezultati se slažu sa eksperimentalnim rezultatima za energetski pomak atomskih nivoa (tzv. Lambov pomak

( )4S

3), kao i za anomalni magnetni moment elektrona.

3 Mjerenje energetskog cijepanja 2s i 2p stanja vodonikovog atoma: W. E. Lamb, R. C. Retherford, Phys. Rev. 72, 241 (1947). Noviji eksperimentalni rezultati se slažu sa teorijskim predviđanjima sa relativnom tačnošću 10-15. 47

9. REDUKCIONI FORMALIZAM U prethodnom poglavlju razmotrili smo interakciju kvantnih polja i uveli S-matrični formalizam. Tom problemu ćemo u ovom poglavlju pristupiti na nešto strožiji način pomoću tzv. redukcionog ili Lehmann-Symanzik-Zimmermannovog4 (LSZ) formalizma. Napomenimo da se još strožija formulacija toga problema daje u okviru aksiomatske ili konstruktivne kvantne teorije polja, matematički konzistentnog formalizma koji polazi od malog broja jasno formulisanih postulata (ta teorija je previše komplikovana da bi se izlagala u okviru redovnog studija). Redukcioni formalizam formuliše se u Heisenbergovoj slici, u kojoj je dinamika određena operatorima polja, a vektori stanja su vremenski nezavisni. Postuliraju se slijedeće kanonske komutacione relacije (za najjednostavniji slučaj skalarnog polja):

, (9.1) ( ) ( ) ( ) ( yxiyxyx

rr& −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

3

00

ˆ,ˆ δφφ )

dok su svi ostali komutatori (za 00 yx = ) jednaki nuli. Za razliku od slobodnih polja, ove komutacione relacije, u opštem slučaju, ne vrijede za 00 yx ≠ . Komutacione relacije operatora polja i operatora impulsa-energije, koji je generator infinitezimalnih prostornih i vremenskih translacija, i dalje imaju oblik:

( )[ ] ( )xixP φ∂φ μμ ˆˆ,ˆ −= , (9.2)

tako da je

( ) ( ) xPixPi eex ⋅−⋅= ˆˆ 0ˆˆ φφ . (9.3)

Slijedeći korak je da se uvedu tzv. in i out polja. Pretpostavi se da se u asimptotskim područjima ( )±∞→0x Fockov prostor može konstruisati i da su kvantna polja asimptotski slobodna:

( ) ( ) ( )[ ]∫ ++= txuatxuapdtx pppp ,ˆ,ˆ,ˆ *in/out,in/out,

3in/out

rrrrrrrφ . (9.4)

Tada je n-čestično in-stanje u Fockovom prostoru dato sa:

0ˆˆin;, in,in,1 1

++=nppn aapp rr L

rK

r . (9.5)

S-matrični element za prelaz iz n-čestičnog in-stanja u m-čestično out-stanje je:

in;,out;,, 11 nmfi ppqqS rK

rrK

r= . (9.6)

S-operator koji povezuje in i out operatore,

, (9.7) ( ) ( )SxSx ˆˆˆˆin

1out φφ −=

treba biti unitaran:

. (9.8) Ι=+SS ˆˆ

Da bi se osiguralo važenje (9.7) i (9.8) uvodi se postulat asimptotske kompletnosti, po kome su Hilbertovi prostori in i out stanja jednaki. Ovo nije trivijalan postulat jer se u opštem slučaju (npr. pri pojavi stabilnih vezanih stanja) struktura Hilbertovog prostora modifikuje. Tako definisani S-operator povezuje in i out stanja:

out;,ˆin;, 11 nn ppSpp rK

rrK

r= , (9.9)

a S-matrični element se može pomoću S-operatora napisati na dva načina: 4 H. Lehmann, K. Symanzik, W. Zimmermann, Nuovo Cimento 1, 205 (1955). 48

out;,ˆout;,,in;,ˆin;,, 1111 nmnmfi ppSqqppSqqS rK

rrK

rrK

rrK

r== . (9.10)

Postulira se i da je vakuumsko stanje stabilno i jedinstveno:

0ˆ0ˆout;0in;00 1−==== SS . (9.11)

Ovaj uvjet stabilnosti vrijedi i za jednočestična stanja jer za njih nema interakcije. Pored toga, S-operator treba da komutira sa generatorima transformacija simetrije Q : ˆ

[ ] 0ˆ,ˆ =QS , (9.12)

tako da osobine simetrije ostanu očuvane. Npr., za translacije i Lorentzove transformacije treba da vrijedi:

, (9.13) SUSU ˆˆˆˆ 1 =−

gdje je U unitarni operator Poincaréove transformacije koji zavisi od 10 parametara. ˆ Da bi se izračunale fizikalno relevantne veličine potrebno je znati neke informacije o Heisenbergovom operatoru polja ( )xφ . U kontekstu aksiomatske kvantne teorije polja se naziva interpolirajuće polje. Ono je povezano sa asimptotski slobodnim operatorima polja

( )xφ( )xin/outφ pomoću Yang-Feldmanovih relacija:5

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , ˆˆˆ

, ˆˆˆ

A4

out

R4

in

∫∫

′′−Δ′−=

′′−Δ′−=

xjxxxdxx

xjxxxdxx

φφ

φφ (9.14a,b)

gdje su i retardirani i advansirani propagator, respektivno. Uvode se pojmovi slabe i jake kovergencije operatora. Slaba konvergencija znači da samo matrični elementi, a ne i operatori polja, konvergiraju. Postulira se:

RΔ AΔ

( ) ( ) ( ) ( ) axbZaxbaxbZaxbxx outin

ˆˆlim , ˆˆlim00

φφφφ ==∞→−∞→

, (9.15a,b)

gdje je Z renormalizaciona konstanta. Njeno fizikalno značenje je da opisuje amplitudu vjerovatnoće da operator stvara jednočestično stanje ( )xφ 1 kada se primijeni na

vakuum: ( ) ( ) 0ˆ10ˆ1 in xZx φφ = . Uslijed interakcije, operator ( )xφ može također da kreira višečestična stanja, tako da vrijednost konstante Z može biti redukovana u poređenju sa 1=Z , tj. može biti: 10 <≤ Z . Pri analizi komutacionih relacija operatora slobodnih polja uveli smo Pauli-Jordanovu funkciju ( ) ( ) ( )[ ]yxiyx φφ ˆ,ˆ−=−Δ (vidjeti odjeljke 4.4-4.6). Za polja sa interakcijama nema takvih egzaktnih rješenja. Ipak, pokazuje se da se egzaktne funkcije mogu predstaviti kao superpozicija odgovarajućih slobodnih funkcija sa različitim masama, pomnoženih sa spektralnom gustoćom raspodjele. Ta gustoća raspodjele se, u opštem slučaju, ne može egzaktno izračunati, ali se na osnovu nje mogu izvući neki zaključci o renormalizacionoj konstanti. Uvodi se Wightmanova funkcija6, koja za slobodno skalarno polje mase sm = ima oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (∫∞

+ −Δ==−0

; 0ˆˆ0 syxisdsyxyxW ρφφ )

. (9.16)

5 C. N. Yang, D. Feldman, Phys. Rev. 79, 972 (1950). 6 A. S. Wightman, Phys. Rev. 101, 860 (1956). 49

Relacija ovoga tipa se naziva Lehman-Källénova spektralna reprezentacija. Na slici 9.1 predstavljen je primjer spektralne gustoće raspodjele za skalarno kvantno polje koje opisuje česticu mase m. Diskretno jednočestično stanje daje doprinos za . Prag za stvaranje para je (tu počinje kontinuum dvočestičnog stanja). U kontinuumu se pojavljuje rezonanca .

2ms =24ms =

2rm

ρ

smr24 2mm2

Slika 9.1

Pravilo suma, , vodi na ograničenje za renormalizacionu konstantu: ( ) 10

=∫∞

sdsρ

. (9.17) ( )∫∞

+=24

1m

sdsZ ρ

Za egzaktni Feynmanov propagator dobija se:

. (9.18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pmpZspisdsmpZp Fmp

mFFF Δ′−=Δ+Δ=Δ′

→

∞

∫ 22

4

222

2

lim , , , ρ

Dakle, renormalizaciona konstanta se može dobiti kao reziduum jednočestičnog pola egzaktnog Feynmanovog propagatora. Bez ulaženja u detalje izvođenja, predstavit ćemo LSZ redukcionu formulu koja daje vezu S-matrice (9.6) i n-čestične (n-tačkaste) Greenove funkcije koja je definisana formulom:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ˆˆ0,, 11 nnn xxTxxG φφ LK = . (9.19)

Ta veza se može dobiti u tri koraka. Prvo se jedan operator stvaranja izdvoji iz

početnog stanja. Zatim se on izrazi preko asimptotskih operatora polja i

+in;1

ˆ pa r

( )xinφ ( )xoutφ . Konačno se, koristeći asimptotske uslove, izvrši prelaz na operator polja sa interakcijama . Ta procedura se ponavlja sukcesivno za sve čestice koje su prisutne u početnom stanju i analogno za sve čestice u konačnom stanju, dok se konačno ne dobije vakuumska očekivana vrijednost za proizvode operatora polja. Kao rezultat (za čestice sa spinom nula) dobija se slijedeća LSZ redukciona formula:

( )xφ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

4 4 4 4 * * 2 21 1 1

2 21 1

ˆ ˆ 0 0 . (9.20)

m m

n n

n m

fi m n q q m y y

m x x p p n

iS d y d y d x d x u y u y m mZ

T x y m m u x u xφ φ

+⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

+∫

)

× + +

r r

r r

K K L L

L L L

� �

� �

Dakle, problem nalaženja S-matričnog elementa za proces koji uključuje n bozona u početnom stanju i m bozona u konačnom stanju je redukovan je na određivanje

-čestične Greenove funkcije ( mn + ( ) ( )mmn yxG . Ta Greenova funkcija ne

uključuje informacije o početnim i konačnim česticama (njihovim impulsima itd.). Te informacije se dobijaju primjenom Klein-Gordonovih operatora i projektovanjem na

,,1 K+

50

ravne talase. Jednačina (9.20) se simbolički može predstaviti pomoću šeme sa slike 9.2. Veliki centralni krug predstavlja

-čestičnu Greenovu funkciju, dok križići na vanjskim bozonskim linijama označavaju Klein-Gordonove operatore. Pošto je Klein-Gordonov diferencijalni operator jednak inverznom bozonskom propagatoru, njegovo djelovanje u (9.20) se naziva “amputacija” vanjskih bozonskih linija.

( mn +G

)

Definišemo n-čestičnu Greenovu funkciju u impulsnom prostoru pomoću Fourierove transformacije:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ˆˆ0,, 14

14

111

nxkxki

nnn xxTexdxdkkG nn φφ LLK L∫ ⋅++⋅= . (9.21)

y y ym1 2 K

x x xn1 2 K

Slika9.2

Tada redukciona formula u impulsnom prostoru poprima oblik:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2 21

2 2 2 21 1 , , , , , ,

m n

n m

fi q q p p m

n mn m

iS N N N N q m q mZ

1 np m p m G q q p p

+

+

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

× − − − −

L L L

L K

−

K

(9.22)

gdje su faktori normiranja ( )[ ] 2/13 22−

= ppN ωπ . Dakle, S-matrični element je direktno povezan sa višečestičnom Greenovom funkcijom u impulsnom prostoru. Impulsi početnih i konačnih čestica se uzimaju u obzir sa suprotnim predznacima. Funkcija

je pomnožena sa faktorima tipa . Pošto su vanjske čestice po definiciji slobodne, one zadovoljavaju uslov (kaže se da su na masenoj površini), tako da su spomenuti multiplikatori jednaki nuli. Prema tome, da bismo dobili S-matrični element koji je različit od nule, Greenova funkcija

( mnG + ) 22 mp −22 mp =

( )mnG mora imati pol prvog reda na masenoj površini impulsa čestice. Drugim riječima, jednačina (9.22) nam kaže da je S-matrični element (višestruki) reziduum odgovarajuće višečestične Greenove funkcije (u impulsnom prostoru).

+

)

LSZ redukciona formula na elegantan način povezuje S-matrični element i višečestičnu Greenovu funkciju. Međutim, ostaje problem kako da se izračuna funkcija

. U prethodnom poglavlju smo vidjeli da je jedan od načina kako se to može ostvariti pomoću teorije perturbacije. Sva izvedena pravila, uključujući i Feynmanova, mogu se napisati i na jeziku Greenovih funkcija. Operatori polja i njima kanonski konjugovanih polja mogu se povezati sa odgovarajućim asimptotskim poljima pomoću vremenski zavisnog unitarnog operatora

( ) ( nn xxG ,,1 K

( )tU koji je analogan Dysonovom operatoru vremenske evolucije:

ˆ

( ) ( ) ( ) ( )tUtxtUtx ˆ,ˆˆ,ˆinrr φφ += , ( ) ( ) ( ) ( )tUtxtUtx ˆ,ˆˆ,ˆ in

rr ππ += . (9.23)

Razdvajajući totalni hamiltonijan na slobodni dio i interakciju: , i uvodeći odgovarajući faktor normiranja N, za n-čestičnu Greenovu funkciju se dobija:

10ˆˆˆ HHH +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0expˆˆ0,, 1in1in1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

∞

∞−

ττφφ HdixxTNxxG nnn LK . (9.24)

51

10. DISKRETNE TRANSFORMACIJE SIMETRIJE

U odjeljku 4.3 razmotrili smo transformacione osobine kvantnih polja. Ograničili smo se na kontinuirane transformacije koje smo konstruisali polazeći od infinitezimalnih transformacija. Pokazali smo da za teoriju invarijantnu u odnosu na te transformacije vrijedi teorem Noether i zakoni očuvanja. Pored tih kontinuiranih transformacija simetrije postoji i klasa diskretnih transformacija simetrije koje se opisuju na poseban način. Ovdje ćemo analizirati tri tipa takvih simetrija koje su od fundamentalne važnosti: prostornu inverziju P , konjugaciju naboja i inverziju vremena

CT . Teorije slobodnih polja su invarijantne u odnosu na te transformacije.

Međutim, neke od tih simetrija mogu biti narušene u prisustvu interakcija. Npr., simetrija u odnosu na prostornu inverziju je narušena u slabim interakcijama, dok je T simetrija narušena pri raspadu 00 / KK mezona. Jedan od fundamentalnih rezultata kvantne teorije polja je tzv. CPT teorem koji kaže da je svaka “prihvatljiva” teorija invarijantna u odnosu na kombinaciju sve tri diskretne transformacije. U ovom poglavlju ćemo ponaosob analizirati svaku od te tri diskretne transformacije, a posebno ćemo se zadržati na CPT teoremu.

- Prostorna inverzija (parnost)

Inverzija (refleksija) prostornih koordinata data je transformacijom:

( ) ( txtxxx ,, rr−=′ )′≡′→ . (10.1)

Za slobodno klasično skalarno polje zahtjev za invarijantnošću teorije u odnosu na (10.1) vodi na:

( ) ( ) ( )xxx Pφηφφ =′′→ , 1=Pη , (10.2)

gdje je Pη fazni faktor. Za kvantna polja uvodi se unitarni operator parnosti i polja se transformišu po zakonu:

$P

( ) ( txPtxP P ,ˆˆ,ˆˆ 1 )rr−=− φηφ , ( ) ( )txPtxP P ,ˆˆ,ˆˆ *1 rr

−= +−+ φηφ . (10.3)

Za neutralno polje je operator unitaran tako da je faktor φ Pη realan i jednak . Za čestice sa

1±1+=Pη ( 1−=Pη ) kažemo da imaju pozitivnu (negativnu) unutrašnju

parnost i nazivamo ih skalarnim (pseudoskalarnim). Unutrašnja parnost date čestice ima smisla samo u prisustvu interakcija i određuje se eksperimentalno. Navedimo sada neke od osobina operatora P za slobodno naelektrisano Klein-Gordonovo polje. Operator parnosti je vremenski nezavisan i komutira sa hamiltonijanom. Uzimajući u obzir da operator impulsa mijenja predznak pri djelovanju P , dobijamo da vrijedi slijedeća relacija za operator energije-impulsa μP :

. (10.4) μμ PPPP ˆˆˆˆ 1 =−

Za operator ugaonog momenta vrijedi:

LPLP ˆˆˆˆ 1rr

=− , (10.5)

a operator gustoće struje Klein-Gordonovog polja se transformiše kao:

( ) ( txjPtxjP ,ˆˆ,ˆˆ 1 )rr−=−

μμ . (10.6)

Dakle, invertuje se predznak prostornih komponenti. Operator ukupnog naboja je invarijantan u odnosu na prostornu inverziju:

Q[ ] 0ˆ,ˆ =QP .

52

Za slobodno Diracovo polje zakoni transformacije za polja su nešto složeniji. Vrijedi:

, ( ) ( )txPtxP ,ˆˆ,ˆˆ0

1 rr−=− ψγψ ( ) ( ) 01 ,ˆˆ,ˆˆ γψψ txPtxP r r

−=− . (10.7)

Relacije (10.4) i (10.6) vrijede i za Diracovo polje, a operator ugaonog momenta r$J se

transformiše kao pseudovektor:

. (10.8) JPJP ˆˆˆˆ 1rr

=−

- Konjugacija naboja

Diskretna transformacija konjugacije naboja zamjenjuje česticu (antičesticu) sa njoj odgovarajućom antičesticom (česticom). Operatori Klein-Gordonovog polja sa na-bojima se pri djelovanju unitarnog operatora konjugacije naboja C transformišu kao: ˆ

, ( ) ( )xCxC C+− = φηφ ˆˆˆˆ 1 ( ) ( )xCxC Cφηφ ˆˆˆˆ *1 =−+ , (10.9)

gdje je 1=Cη . Pošto je , vlastite vrijednosti operatora C imaju ili pozitivnu ili

negativnu “nabojsku parnost”. Operatori čestica i antičestica mijenjaju mjesta pri konjugaciji naboja. Za Diracovo polje vrijedi:

1ˆ 2 =C ˆ

pa rˆ pb rˆ

( ) ( )xCCxC Tψψ ˆˆˆˆ 1 =− , ( ) ( ) +− −= CxCxC Tψψ ˆˆˆˆ 1 , (10.10)

gdje T označava transponovanje matrica. Za standardnu reprezentaciju Diracovih matrica je . 02γγiC =

Operatori energije, impulsa i ugaonog momenta su invarijantni u odnosu na $C transformaciju:

LCLCPCPC ˆˆˆˆ ,ˆˆˆˆ 11rr

== −− μμ , (10.11)

dok operator gustoće struje mijenja predznak:

. (10.12) ( ) ( )xjCxjC μμ ˆˆˆˆ 1 −=−

Operator naboja antikomutira sa operatorom C , tj. . Dakle, stanja sa tačno određenim (različitim od nule) nabojem ne mogu biti vlastita stanja operatora C .

$Q ˆ CQQC ˆˆˆˆ −=ˆ

Vakuumsko stanje je vlastito stanje i operatora parnosti i operatora konjugacije naboja, sa vlastitom vrijednošću 1+ : 00ˆ =P , 00ˆ =C . Kanonske komutacione relacije su invarijantne i u odnosu na konjugaciju naboja i u odnosu na inverziju prostora.

- Vremenska inverzija

Treća diskretna transformacija mijenja predznak vremenske koordinate:

( ) ( txtxxx −=′ )′≡′→ ,, rr . (10.13)

Ova transformacija se izdvaja od ostalih diskretnih transformacija kako po svome smislu, tako i po svojoj matematičkoj realizaciji. Inverzija vremena odgovara “odvijanju filma događaja unazad”, tj., svaka čestica slijedi svoju trajektoriju u suprotnom smjeru. Impulsi i ugaoni momenti čestica dobijaju suprotni smjer, a uloge početne i konačne konfiguracije sistema su zamijenjene. Za klasično Klein-Gordonovo polje vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxKtxxx TT*, φηφηφφφ ==−′=′′→

r , 1=Tη , (10.14)

53

gdje je ηT fazni faktor, a K operator kompleksne konjugacije. Zbog prisustva operatora K operator vremenske inverzije je antilinearan, za razliku od linearnih operatora kojima su opisane druge transformacije simetrije. Antilinearni operator vremenske inverzije prvi je uveo 1932. godine E. Wigner u okviru nerelativističke kvantne mehanike. Potreba uvođenja kompleksne konjugacije može se jednostavno razumjeti ako se uzme u obzir da je vremenska evolucija stanja opisana faznim faktorom . Naime, zamjena u tom faktoru postiže se kompleksnim konjugovanjem.

( tiEn−exp )tt −→

Pri prelazu sa klasičnih na kvantna polja zahtjevamo da jednačina (10.14) vrijedi za matrične elemente operatora polja [vidjeti jednačinu (4.74)]. Ako definišemo transformisane vektore stanja sa:

αα T=′ , ββ T=′ , (10.15)

tada, na osnovu (4.74) i (10.14), imamo da je :

( ) ( )αφβηβφα txtx T ,ˆ,ˆ rr +=′−′ . (10.16)

Tako određen, operator T je antiunitaran, tj. on se može napisati kao proizvod jednog unitarnog operatora i operatora kompleksne konjugacije. Za operator Klein-Gordonovog polja vrijedi:

ˆ

( ) ( txTtxT T −=− ,ˆˆ,ˆˆ 1 )rr φηφ , (10.17)

dok se operatori energije, impulsa, ugaonog momenta i gustoće struje transformišu na slijedeći način:

( ) ( txjTtxjTLTLTPTPTHTHT −=−=−== −−−− ,ˆˆ,ˆ , ˆˆˆˆ , ˆˆˆˆ , ˆˆˆˆ 1111 )rrrrrrμ

μ . (10.18)

Za kanonske komutacione relacije vrijedi:

. (10.19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( xxitxtxxxitxtx ′−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −′−→′−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′ ++ rrr&rrrr&r 33 ,ˆ,,ˆ ,ˆ,,ˆ δφφδφφ )

- Invarijantnost S-matrice

Ako je neka teorija invarijantna u odnosu na transformaciju simetrije , tada se asimptotski operatori polja, koje smo uveli u poglavlju o redukcionom formalizmu, ponašaju na isti način kao i slobodna polja, tj. vrijedi:

$U

, (10.20) ( ) ( )xUxU ′Λ=−in/out

1in/out

ˆˆˆˆ φφ

gdje označava unitarni operator Poincaréove transformacije, prostorne refleksije ili konjugacije naboja C , je transformisana koordinata, a

U Pˆ x′ Λ kompleksna matrica

koja djeluje u prostoru komponenti polja. Djelovanje antiunitarnog operatora vremenske inverzije ćemo kasnije posebno razmotriti. Uzimajući u obzir da operator povezuje in i out operatore polja,

S( ) ( )SxSx ˆˆˆˆ

in1

out φφ −= , na osnovu (10.20) dobijamo da

komutira sa operatorom U , tj. da vrijedi:

Sˆ

, (10.21) USUUSUS ˆˆˆˆˆˆˆ 1 +− ==

tako da S-matrični element zadovoljava slijedeću relaciju:

αβαββα αβαβαβ UUSSSUSUSS ,in;ˆin;in;ˆˆˆin;in;ˆin; ≡=′′=== ′′+ . (10.22)

Dakle, S-matrični element, pa, prema tome, i vjerovatnoća prelaza, ima istu vrijednost za prelaze βα → i βα ′→′ , gdje se stanja sa primom dobijaju iz neprimovanih stanja

54

primjenom transformacije U . Ako je operator U ne samo unitaran, već također i hermitski, , tada, na osnovu toga što je

ˆ ˆ

UU ˆˆ =+ [ ] 0ˆ,ˆ =US , dobijamo selekciona pravila za kvantne brojeve koji odgovara operatoru . Naime, ako su $U λα i λβ realne vlastite

vrijednosti operatora U : ˆ in;in;ˆ ,in;in;ˆ βλβαλα βα == UU , tada je:

βαββαα λλ SS = , na osnovu čega zaključujemo da su S-matrični elementi između stanja različite simetrije ( )βα λλ ≠ jednaki nuli.

Transformacija vremenske inverzije se opisuje antiunitarnim operatorom T i zato ćemo je odvojeno analizirati. Pri primjeni operatora T in stanje prelazi u out stanje i obrnuto:

ˆˆ

in;ˆout; , in;ˆout; ββαα TT =′=′ . (10.23)

Tada uslov invarijantnosti operatora $S u odnosu na antiunitarnu transformaciju $T ima oblik različit od (10.21):

, (10.24) ($ $ $ $S TST= − +1)

što vodi na:

βαβαβα TTSSS ,≡= ′′ . (10.25)

Ovaj uslov je poznat kao teorem reciprotiteta (recipročnosti, uzajamnosti). On povezuje prelaz βα → sa prelazom između vremenski inverznih stanja αβ TT → . Vremenski invertovana stanja se dobijaju invertovanjem impulsa i spinova svih čestica. Tu se također može pojaviti i fazni faktor koji zavisi od vrijednosti ugaonog momenta. Koncept “vremenske parnosti”, kao i selekciona pravila koja smo spomenuli pri analizi ostalih simetrija, nemaju smisla za antiunitarnu transformaciju vremenske inverzije. Da bismo ilustrovali tipove procesa koji su međusobno povezani diskretnim transformacijama simetrije poslužićemo se Tabelom 10.1 u kojoj su predstavljene transformacione osobine impulsa i spina za reakciju: . 0ππ +→+ − np

Tabela 10.1.

(

) ( ) ( ) ( ) kspnkspp ′+′′→+ −rr rr 0

33 , , ππ

( ) ( ) ( ) ( )kspnkspp ′−+′′−→−+− −rrrr 0

33 , , ππ P ( ) ( ) ( ) ( )kspnkspp ′+′′→+ +

rrrr 033 , , ππ C

( ) ( ) ( ) ( )ksppkspnrrrr

−+−−→′−+′−′− −ππ , , 30

3 T ( ) ( ) ( ) ( )ksppkspn

rrrr ++−→′+′−′ ππ , , 30

3 CPT Pošto se tu radi o procesu jake interakcije za koji su diskretne simetrije očuvane, S-matrični elementi i poprečni presjeci procesa koji su prikazani u toj tabeli se međusobno podudaraju. U realnosti postoji i slaba interakcija koja narušava te simetrije. Za reakciju koja odgovara CPT transformaciji simetrija ostaje očuvana i za slabu interakciju tako da je podudaranje presjeka egzaktno. 55

- CPT teorem

Prostorna i vremenska inverzija i konjugacija naboja su egzaktne simetrije za slobodna polja. U prisustvu interakcija neke od tih simetrija mogu biti narušene, što zavisi od tipa interakcije. Dakle, diskretne simetrije nisu tako fundamentalne kao što je to npr. Lorentzova invarijantnost koja treba da vrijedi za svaku fizikalnu teoriju. Narušenje parnosti je prvi puta eksperimentalno zapaženo 1957. godine. Naučnici su bili iznenađeni eksperimentalnim rezultatima koji su pokazali da je u beta raspadu dominantna emisija elektrona koji imaju “lijevu” spiralnost. Danas znamo da su sve tri diskretne simetrije narušene. Priroda razlikuje lijevu i desnu stranu (narušenje P simetrije), česticu i antičesticu ( ), kao i kretanje naprijed ili unazad u vremenu (T ). Više detalja i primjera narušenja diskretnih simetrija može se naći u knjigama posvećenim fizici elementarnih čestica. Ovdje ćemo analizirati kombinaciju sve tri diskretne simetrije za koju se pokazuje da je jednako fundamentalna kao i Lorentzova invarijantnost.

C ˆ

7 Naime, simetrija u odnosu na kombinovanu transformaciju koja se sastoji od vremenske inverzije, prostorne inverzije i konjugacije naboja i koja je opisana antiunitarnim operatorom

(10.26) TPC ˆˆˆˆ =Θ

predstavlja jedan od fundamentalnih rezultata kvantne teorije polja. Ta simetrija je izražena slijedećim teoremom:8

• CPT teorem: Za svaku lokalnu kvantnu teoriju polja opisanu hermitskim i Lorentz-invarijantnim lagranžijanom ( )xL , čiji operatori polja zadovoljavaju teorem o vezi spina i statistike, vrijedi slijedeća relacija:

. (10.27) ( ) ( )xLxL −=ΘΘ − ˆˆˆˆ 1

Integral akcije, jednačine polja, kanonske komutacione relacije, kao i hamiltonijan ( )1ˆˆˆˆ −ΘΘ= HH su invarijantni u odnosu na tu transformaciju. Dakle, je transformacija simetrije. Navedimo sada kako se pojedina polja transformišu pod djelovanjem Θ . Za skalarno polje je:

Θˆ

. (10.28) ( ) ( )xx TPC −=ΘΘ − φηηηφ ˆˆˆˆ 1

Sloboda izbora faznog faktora nam omogućava da izaberemo: 1=TPC ηηη . Za elektromagnetno polje je:

, (10.29) ( ) ( )xAxA −−=ΘΘ − μμ ˆˆˆˆ 1

a za polje sa spinom 1/2 (u standardnoj reprezentaciji Diracovih matrica):

( ) ( ) ( ) ( ) 051051 ˆˆˆˆ , ˆˆˆˆ γγψψψγγψ ixxxix TT −=ΘΘ−−=ΘΘ −− . (10.30)

Pri proučavanju polja sa spinom 1/2 bitno je da Lorentz-invarijantna teorija može da zavisi samo od izraza u obliku bilinearnih kovarijanata. Lagranžijan teorije se tvori od takvih veličina koje su Lorentzovi tenzori ranga 0, 1 ili 2 (skalari, vektori ili tenzori). Definišimo veličine:

7 O. W. Greenberg, “CPT violation implies violation of Lorentz invariance”, Phys. Rev. Lett. 89, 231602 (2002), i tu citirane reference. 8 Redoslijed operatora u (10.26) je proizvoljan (mi smo ga uzeli po abecednom redu). CPT teorem su prvi formulisali J. Schwinger i B. Zumino, a njegov dokaz je dat u radovima: W. Pauli, u Niels Bohr and the Development of Physics (Pergamon, London, 1955) s. 30; G. Lüders, Ann. Phys. (N.Y.) 2, 1 (1957). U okviru aksiomatske teorije polja CPT teorem je razmotren u: R. Jost, Helv. Phys. Acta 30, 409 (1957). 56

( ) ( ) ( )[ xxxS abba ψψ ˆ,ˆ21ˆ = ] (skalar), (10.31a)

( ) ( ) ( )[ xixxP abba ψγψ ˆ,ˆ21ˆ 5= ] (pseudoskalar), (10.31b)

( ) ( ) ( )[ xxxV abba ψγψ μμ ˆ,ˆ21ˆ = ] (vektor), (10.31c)

( ) ( ) ( )[ xxxP abba ψγγψ μμ ˆ,ˆ21ˆ 5= ] (aksijalni vektor), (10.31d)

( ) ( ) ( )[ ]xxxT abba ψσψ μνμν ˆ,ˆ21ˆ = (tenzor). (10.31e)

U Tabeli 10.2 su navedene transformacione osobine za ove bilinearne kovarijante.

Tabela 10.2

C Θ P T

( )xSba~ˆ+ ( )xSba

~ˆ −+ ( )xSbaˆ ( )xSab

ˆ+ ( )xSab −+ ˆ

( )xPba~ˆ −− ( )xPba

~ˆ− ( )xPbaˆ ( )xPab

ˆ+ ( )xPab −+ ˆ

( )xV ba ~ˆμ+ ( )xV ba ~ˆ −+ μ ( )xVba

μˆ ( )xVabμˆ− ( )xVab −− μˆ

( )xPba ~ˆμ− ( )xPba ~ˆ −+ μ ( )xPba

μˆ ( )xPab −− μˆ ( )+ $P xabμ

( )xT ba ~μν+ ( )xT ba ~ˆ −− μν ( )xTab

μνˆ− ( )xTbaμνˆ ( )xTab −+ μνˆ

Uvedena je skraćena oznaka ( )xxx r

−= ,~0 . Zadnja kolona u ovoj tabeli nam pokazuje da

transformacija reprodukuje originalne operatore uz zamjene i Θ ba ↔ xx −↔ . Pored toga, pojavljuje se faktor predznaka: 1+ za tenzore parnog ranga, a za tenzore neparnog ranga. Pošto je lagranžijan invarijantan u odnosu na Lorentzove transformacije (Lorentzov skalar), on uključuje takve kontrakcije Lorentzovih tenzora kod kojih se indeksi

1−

μ itd. pojavljuju dva puta, tako da se negativni predznaci pridruženi tenzorima neparnog ranga međusobno ponište. Pored toga, zbog hermitičnosti lagranžijana zamjena indeksa ba ↔ ne utiče na invarijantnost teorije u odnosu na Θ . Time se potvrđuje ispravnost CPT teorema. ˆ

57

11. METOD INTEGRALA PO TRAJEKTORIJAMA

Do sada smo pri formulaciji problema kvantne teorije polja koristili samo kanonski metod kvantiziranja polja. Uveli smo operatore polja koji djeluju u Hilbertovom prostoru “druge kvantizacije” i postulirali kanonska (anti)komutaciona pravila. Međutim, postoji alternativni pristup tim problemima koji se izražava vrlo različitim jezikom. U ovom poglavlju ćemo ukratko izložiti jedan takav pristup koji se naziva metod integrala po trajektorijama. Kod toga metoda uopšte nema potrebe da se spominju operatori. Njegovi osnovni elementi su specijalni višedimenzionalni integrali (tzv. funkcionalni integrali) od klasičnih polja. Pojednostavljeno rečeno, ti integrali uvode kvantne osobine sistema tako što uključuju mogućnost da se kretanje čestice između dviju tačaka može odvijati po više (beskonačno) različitih klasičnih trajektorija, pri čemu svaka od tih alternativnih mogućnosti daje svoj koherentni doprinos amplitudi prelaza. Pokazuje se da se pomoću takvih integrala po trajektorijama primjenom tehnika funkcionalnog računa mogu, bar u principu, izvesti sve osobine kvantnih sistema. Formalizam integrala po trajektorijama vodi na rezultate iste onima koji se dobijaju korištenjem kanonske kvantizacije. Neki problemi, ne samo u okviru kvantne teorije polja, već i u drugim oblastima teorijske fizike, se mogu lakše i elegantnije riješiti primjenom metoda integrala po trajektorijama.

- Integrali po trajektorijama u nerelativističkoj kvantnoj mehanici

Sa metodom integrala po trajektorijama smo se već sreli u kursu kvantne mehanike. Za razliku od formulacije kvantne mehanike u kojoj su osnovne veličine operatori i vektori stanja u Hilbertovom prostoru, fundamentalne veličine metoda integrala po trajektorijama su amplitude prelaza (tzv. Feynmanovi kerneli):

( ) qeqtqtq ttHi h/ˆ,, −′−′=′′ . (11.1)

q i p su vektori stanja koji odgovaraju koordinati q i njoj konjugovanom kanons-kom impulsu p (jednostavnosti radi, ograničit ćemo se na jednodimenzionalno slobodno retanje čestica pod uticajem potencijala), a ( )qpHH ˆ,ˆˆˆ = je hamiltonijan. Vektori k

qetq tHi h/ˆ, = (11.2a)

su vlastita stanja vremenski zavisnog operatora koordinate u Heisenbergovoj slici:

( ) tqqtqtqH ,,ˆ = . (11.2b)

Poznavanje Feynmanovog kernela je ekvivalentno poznavanju rješenja Schrödingerove jednačine zato što se talasna funkcija u proizvoljnom trenutku ′t može dobiti na osnovu talasne funkcije u trenutku t jednostavnim integriranjem:

( ) ( ) ( ), , , ,S Hq t q t q t dq q t q t q tψ ψ ψ ψ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = = ,∫ . (11.3)

Ako se interval od t do t podijeli na mnogo malih podintervala kao na slici 11.1, tada se Feynmanov kernel može predstaviti kao:

′

( )[∫ ∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=′′′t

t

qpHqpdiDpDqtqtq ,exp,, &h

τ ] . (11.4)

Tu je uvedena specijalna oznaka za funkcionalne integrale: ,

pri čemu tačke u mreži tačaka na slici postaju proizvoljno bliske tako da se može

∫∫∏ →−

=∞→→

DqdqN

nnN

1

1,0

limε

nq

58

smatrati da one odgovaraju kontinuiranoj funkciji ( )tq , tj. ( )nn tqq = ; analogno vrijedi i za integrale po impulsu. (′ =t tN

q

ε

q ′q

t t= 0

tn

t

M

M

Slika 11.1.

)qpH , je klasična Hamiltonova funkcija, a integral po trajektorijama u faznom prostoru je po svim funkcijama ( )tp u impulsnom prostoru i po takvim funkcijama ( )q t u koordinatnom prostoru koje zadovoljavaju granične uslove:

( ) ( ) qtqqtq ′=′= , . (11.5)

Za hamiltonijan oblika

( ) ( )qVm

pqpH +=2

,2

(11.6)

funkcionalni integral po impulsu se može eksplicitno izračunati primjenom Gaussove integralne formule, tako da se Feynmanov kernel svodi na integral po trajektorijama u koordinatnom prostoru:

( )∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=′′ qqWiDqNtqtq &h

,exp,, , (11.7)

gdje je N konstanta normiranja, a faza W je akcija:

( ) ( ) ( )∫∫′′

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

t

t

t

t

qqLdqVqmdqqW &&& , 2

, 2 ττ . (11.8)

U klasičnom limesu kvantne mehanike ( ) je tako da podintegralna funkcija brzo osciluje i doprinosi svih susjednih trajektorija se poništavaju osim za one trajektorije za koje je akcija stacionarna, tj.

0→h h>>W

0 =Wδ . Uslov

(11.9) ( ) 0, =∫′t

t

qqLd &τδ

je upravo Hamiltonov princip najmanje akcije koji određuje klasično dozvoljene tra-jektorije. Kvantni efekti se ipak mogu zapaziti ako postoji više dozvoljenih klasičnih trajektorija, tako da njima pridružene amplitude interferiraju. Postavlja se pitanje kako se Feynmanov kernel može iskoristiti da se izračunaju matrični elementi prelaza i očekivane vrijednosti. Uvođenjem vremenski uređenog proizvoda dobija se da je:

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫=′′ h/ , ˆˆ, iWjiji etqtqDqNtqtqtqTtq , (11.10)

dok je vakuumska srednja vrijednost data sa:

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫

∫−∞→∞→′

=h

h

/

/

limlim0 ˆˆ0

iW

iWji

ttji eDq

etqtqDqtqtqT . (11.11)

Pretpostavimo sada da se u nekom vremenskom trenutku uključi interakcija [vanjska perturbacija (smetnja) koju ćemo opisati dodavanjem (nehomogenog) člana

1t( )qtJ

lagranžijanu sistema] i da se ta interakcija isključi u trenutku . Amplituda vjerovatnoće da osnovno stanje

2t0 ostane nepromijenjeno pod djelovanjem

59

perturbacije u vremenskom intervalu ( )tJ [ ]21,tt naziva se vakuum-vakuumska amplituda i označava kao funkcional [ ]JW . Pokazuje se da se ona može predstaviti kao slijedeći integral po trajektorijama:

[ ] ( )[∫ ∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=∞

∞−

JqqpHqpdtiDpDqNJW ,exp &h

] , (11.12)

gdje je konstanta N određena uslovom da je osnovno stanje stabilno ako nema perturbacije, tj. [ ] 10 =W . Vakuum-vakuumska amplituda je objekat od fundamentalnog značaja u kvantnoj teoriji polja. Naime, mnoge važne veličine se mogu izraziti kao funkcionalni izvodi od . Npr., vrijedi: [ ]JW

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) 0|

0 ˆˆ0

11 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= J

n

nn

n tJtJJW

itqtqT

δδδL

hL . (11.13)

- Integrali po trajektorijama u teoriji polja

U prethodnom odjeljku analizirali smo sisteme sa jednim stepenom slobode. Lako se može izvršiti generalizacija na sisteme sa više stepeni slobode: . Pri uvođenju kanonskog kvantiziranja polja naučili smo da se funkcija polja

Dqqqq ,,, 21 K→( tx,r )φ može

smatrati poopštenjem koordinata ( )tq j koje zavisi od “kontinuiranog indeksa” rx umjes-to diskretnog indeksa j, tj. polje se može smatrati sistemom sa beskonačnim brojem ste-peni slobode. Po analogiji sa jednačinom (11.2a,b), Heisenbergov operator polja ( tx,ˆ )rφ i skup njegovih vlastitih stanja, koja ćemo označiti sa t,φ , zadovoljava jednačine:

( ) ( ) φφφφφφφ hhrr /ˆ/ˆ 0,, , ,,,ˆ tHitHi eettxttx ≡== , (11.14a,b)

a Feynmanov kernel, jednačina (11.1), je:

( ) φφφφ h/ˆ,, ttHiett −′−′=′′ . (11.15)

On predstavlja amplitudu vjerovatnoće prelaza sa konfiguracije polja ( )xrφ u trenutku t na konfiguracije polja ( )xrφ′ u trenutku t′ . Integral po trajektorijama iz obične kvantne mehanike, (11.4), u kvantnoj teoriji polja se poopštava na:

( )[∫ ∫ ∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=′′′t

t

HxddiDDtt φπφπ∂τπφφφ ,exp ,, 03

h] . (11.16)

a odgovarajući granični uslovi (11.5) su:

( ) ( ) ( ) ( )xtxxtx rrrr φφφφ =′=′ , , , . (11.17)

Postavlja se pitanje smisla funkcionalnog integrala po poljima ( )∫ txD ,rφ . Podijelimo prostor na M elementarnih ćelija jednakih zapremina VΔ , pri čemu su centri ćelija u koordinatama Mlxl ,,1 , K

r= . Time je kontinuirana funkcija polja ( tx, )rφ postala

konačno-dimenzionalni vektor ( ) ( )txt ll ,: rφφ = . Pored toga, analogno kao na slici 11.1, podijelimo vremenski interval [ ]tt ′, na N segmenata. Tada se rezultat (11.16) može eksplicitno napisati kao:

60

(11.18) , exp2

lim,,1

1

0 1

11

1

1

0∏ ∑ ∑∏ ∏=

−

= =

−

=

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−Δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ Δ=′′

M

l

N

n

M

lln

ln+lnln

N

n

N

n

lnln HViVd

dttεφφ

πεππ

φφφhh

gdje su varijable polja definisane u tačkama prostorno-vremenske rešetke (mreže): ( ) ( nllnnlln txtx ,: ,,: )rr ππφφ == . Limes u jednačini (11.18) sastoji se od tri koraka:

1) (uslov je da je ∞→N

lim ttN −′=ε fiksirano), 2) (∞→M

lim VVM =Δ je fiksirano), 3) . ∞→V

lim

Primjer: Skalarno polje sa interakcijom ( )V φ . Lagranžijan i hamiltonijan su ( ): c = 1

( )φφφφ∂∂ μμ VmL −−= 22

2

21

2h , ( ) ( )φφφπ VmH ++∇+= 2222

2 21

21

21 r

hh

, (11.19a,b)

gdje je kanonski konjugovano polje definisano sa: . Tada je, po analogiji sa jednačinama (11.7)-(11.13):

φ∂π 02h=

( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′′

′t

t

LxddiDNtt φφτφφφ &h

,exp ,, 3 , (11.20)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= φφφφφφφ &h

,exp 0 ˆˆ0 42121 LxdixxDNxxT , (11.21)

[ ] ( )[ ]∫ ∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ += φφφφ JLxdiDNJW &h

,exp 4 , (11.22)

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) 0|

0 ˆˆ0

11 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= J

n

nn

n xJxJJW

ixxT

δδδφφL

hL . (11.23)

- Euklidova teorija polja i Wickova rotacija

Vratimo se na trenutak na jednačinu (11.11). Problem predstavljaju eksponencijalni oscilatorni članovi za limese +∞→′t , −∞→t [to se može lako vidjeti npr. u energetskoj reprezentaciji u kojoj se javlja član tipa ( )h/exp tiEn− ]. Nama je potrebno da imamo član koji eksponencijalno opada u tim limesima. Jedan način da se to postigne je dodavanje hamiltonijanu člana . Tada integral po trajektorijama dobija dodatni član

2 qiε−

( )∫− h/ exp 2qdtε , koji osigurava asimptotsku konvergenciju za

∞→t . Na kraju proračuna se stavi da 0→ε . Drugi način da se to postigne je da se πδizvrši rotacija za ugao <<0 u

kompleksnoj t ravni (slika 11.2). Tada ( )[ ]h/exp tEtEi nn −′− ′ opada eksponencijalno

za i . Ta procedura je matematički korektna ako su matrični elementi analitičke funkcije od t i . Konačni rezultat ne zavisi od vrijednosti

δiet −∞→′ δiet −−∞→

t′δ . Elegantna

formulacija problema se postiže za 2/πδ = . To odgovara uvođenju imaginarnog vremena. Cijeli problem se može formulisati na relativistički kovarijantan način. Sa običnih koordinata ( ) ( )xxxxxxx r,,,, 03210 ≡=μ , koje formiraju četverovektor u prostoru Minkowskog prelazi se na novi vektor koordinata ( ) ( )44321 ,,,, xxxxxxx EEEEEE

r≡=μ , pri čemu je 04 ixx = , xxE

rr= . Dakle,

vremenska koordinata je zarotirana za ugao 2/π , a prostorne koordinate su

δ′t

Re tt

Im t

Slika 11.2

61

nepromijenjene. Ako postuliramo da je realan broj, tada novi vektori čine četverodimenzionalni Euklidov prostor. Vrijedi: i . Prelazak na imaginarno vrijeme se naziva Wickova rotacija. Integriranje po realnoj Euklidovoj osi u prostoru Minkowskog odgovara integriranju po negativnoj imaginarnoj osi u negativnom smjeru. Euklidov impulsni prostor je definisan sa

4xμ

μ EE xx = 22 xxE −=

4x

0x( )4, ppp EEr

≡ , , 04 ipp −= ppE

rr= , a vektorska polja su ( ) ( )xiAxA E 04 −= , ( ) (xAxA EE )

rr= . Npr.,

jednačina (11.22) postaje:

[ ] ( )∫ ∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= φ

∂∂φφφ Jx

iLxdiiDNJW EEE4

4 ,exp h

, (11.24)

pri čemu je vremenska integracija po realnoj osi. Uvodeći realnu Euklidovu akciju imamo:

4x0≥ES [ ]( )h/exp φφ EE SDW −∝ ∫ . Ovo omogućava da se uspostavi veza

između Euklidove kvantne teorije polja i statističke mehanike u kojoj je kanonska suma stanja predstavljena funkcijom ( )[ ]∑ −=

nn kTEZ /exp (suma po svim mogućim

konfiguracijama klasično-mehaničkog sistema sa energijama ). Euklidova formulacija teorije polja ima važne konsekvence za praktične proračune. Da bi se numerički izračunao integral po trajektorijama treba varijable polja diskretizovati na prostorno-vremenskoj rešetki. Za integriranje takvih višedimenzionalnih

nE

( )410∝ integrala koristi se Monte Carlo metod. Bez korištenja Wickove rotacije bilo bi praktično nemoguće postići konvergenciju integriranja. Numeričke simulacije bazirane na Euklidovoj formulaciji čine tzv. teoriju polja na rešetki (“lattice field theory”), važnu oblast moderne teorijske fizike. Primjenom Wickove rotacije može se, npr., izvesti vakuumski funkcional slobodnog Klein-Gordonovog polja [jednačina (11.19a) za V = 0 ]:

[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −′Δ′′−= ∫ xJxxxJxxddiJW F

440 2

1exph

. (11.25)

Tu je poznati Feynmanov propagator koji je sada dobijen analitičkim produženjem Euklidovog Feynmanovog propagatora . Isti rezultat se može dobiti i bez Wickove rotacije, dodavanjem masi malog negativnog imaginarnog člana, tj. zamjenom

.

FΔEFΔ

22222 εφφφ imm +−→−

- Generirajući funkcional i Greenova funkcija

Poznavanje vakuumskog funkcionala [ ]JW omogućava nam da izračunamo Greenove funkcije koje smo ranije definisali kao vakuumske očekivane vrijednosti vremenski uređenog proizvoda operatora polja. Za n-čestičnu Greenovu funkciju vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0 ˆˆ0,, 11 nnn xxTxxG φφ LK =

[ ]( ) ( ) 0|

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= J

n

nn

xJxJJW

i δδδL

h , (11.26)

gdje smo iskoristili jednačinu (11.23). Prema tome, [ ]JW je generirajući funkcional Greenovih funkcija. Analogno razvoju proizvoljne funkcije f od n varijabli u Taylorov red oko tačke

nxx ,,1 K

x = 0 :

62

( ) ( ) ( )n

n n

kkk

n

k

n

k kkn xx

xxxf

kxxfxf

x

!1,,

1

1 10 1 11

0|L

LLK ∑ ∑ ∑

∞

= = = ==≡

∂∂∂ , (11.27)

prelazeći sa diskretnih na kontinuirane indekse , dobijamo da je: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→→ ∑ ∫

iki xdxk 4,

[ ] ( ) ( ) ( ) (∑∫∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

011

41

4 ,,!

1n

nnn

n

n xJxJxxGin

xdxdJW LKh

L ) . (11.28)

Dakle, Greenove funkcije su koeficijenti Volterraovog reda funkcionala [ ]JW . Pogledajmo na primjeru slobodnog Klein-Gordonovog polja kako možemo izvesti izraze za Greenove funkcije. Na osnovu (11.25) i (11.26) dobija se da je:

, (11.29a) ( ) ( ) KK ,1 ,0 , 0,, 12112 ==++ kxxG k

k

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( 21

21

22

212

0| , xxi

xJxJJW

ixxG F

J−Δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=h

h

δδδ ) , (11.29b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[

( ) ( ) ( ) ( ]. ,

32414231

43212

214

xxxxxxxxxxxxixxG

FFFF

FF

−Δ−Δ+−Δ−Δ+−Δ−Δ= h

) (11.29c)

Jednačina (11.29a) nam pokazuje da su sve slobodne Greenove funkcije sa neparnim brojem tačaka jednake nuli. Dvočestična Greenova funkcija, jednačina (11.29b), je, kao što smo i očekivali, jednaka Feynmanovom propagatoru, dok se četveročestična Greenova funkcija može predstaviti kao kombinacija proizvoda dva dvočestična propagatora. Nadalje, 2n-čestični propagator se može izraziti kao suma proizvoda n dvočestičnih Greenovih funkcija. Broj članova u toj sumi sa različitim permutacijama vrhova je kx ( ) ( )12531!!12 −××××=− nn L . U odsustvu interakcija čestice prolaze jedne pored drugih bez interakcija čime se objašnjava to da se sve Greenove funkcije mogu izraziti preko propagatora ( ) ( )xxG ′,2 . Doprinos drugih propagatora je trivijalan. On se može eliminisati uvođenjem modifikovanog generirajućeg funkcionala za ireducibilne Greenove funkcije koji se definiše kao logaritam funkcionala , tj. vrijedi:

[ ]JZ[ ]JW

[ ] [ ]⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= JZiJWh

exp . (11.30)

Povezane n-čestične Greenove funkcije se, analogno (11.26), definišu kao:

( ) ( )G x xpn

n1, ,K[ ]

( ) ( ) 0| 1

1

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= J

n

nn

xJxJJZ

i δδδL

h . (11.31)

Ireducibilni generirajući funkcional za primjer slobodnog Klein-Gordonovog polja je:

[ ] ( ) ( ) ( )∫ −′Δ′′−= xJxxxJxxddiJZ F44

0 21h

, (11.32)

tako da je ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( 21

221

21

02

212

0| , xxGxxi

xJxJJZ

ixxG Fp

J−=−Δ==

=h

h

δδδ ) , a ostale

povezane n-čestične Greenove funkcije ( ) ( )nn

p xxG ,,1 K , , su jednake nuli. Kada su

prisutne interakcije situacija se komplikuje, ali je i dalje

2>n( ) ( ) ( ) ( )21

221

2 ,, xxGxxGp = .

63