K06 Kinematika Vezanog Gibanja

8.4.2011

1

Kinematičke veze ivezano gibanje čestice

Ž. Lozina: Mehanika 2,FESB, 2011

8.4.2011 FESB: Mehanika 2 - Kinematika 2

Slobode gibanja čestice

• Kaže se da čestica u ravnini ima dva stupa slobode.• Položaj čestice u ravnini se može definirati najmanje s

dva nezavisna parametra, primjerice (xA, yA) ili (rA,θA).• Ako ima dva stupnja slobode, čestica se može pomicati

tako da se mijenja samo jedan parametar a drugi ostaje nepromijenjen.


Veza• Gibanje čestice se može ograničiti s uvjetom ili vezom

(uvjet ili veza je izraz koji povezuje parametre s kojima je opisan položaj čestice).

• Uvjet ili veza umanjuje broj sloboda gibanja za jedan.

k = 2*n – m

k = 2*1 – 1 = 1


Računanje stupnjeva slobode sustava čestica

• Neka je sustavu od n čestica u ravnini nametnuto mlinearno nezavisnih veza. Broj stupnjeva slobode gibanja k jednak je:

k = 2* n – m

k = 2*n – m

k = 2*2 – 1 = 3


Vezano gibanje, Definicija:

• Kada se čestica ne giba slobodno nego je njeno gibanje ograničeno kinematičkim vezama govorimo o vezanom gibanju.

• Prepreke kao i jednadžbe koje ograničavaju gibanje nazivamo (kinematičkim) vezama.


Primjeri vezanog gibanja čestice 1:

Veza: :f R const=

k = 2*n – m

k = 2*1 – 1 = 1

R

Gibanje možemo prikazati u funkciji jednog parametra, primjerice: θ

8.4.2011

2



F

αm

1

m2 dx

dy1

2

dtan

d

y

xα=

2 1

2 1

d d tan

tan

y x

y x C

α

α

− =

− = +

∫

n = 2

m = 3

k = n*2 – m

k = 2*2 – 3 = 1

1 2 1

2 1

3 2

: tan 0

: 0

: 0

f y x C

f x

f y

α+ + =

=

=

2

1 2 tan

x

y x Cα= − +

Gibanje možemo prikazati u funkciji jednog parametra: x2



α F

m2g

m1

m2

l

1 1

2 2

2 2 2

3 1 2

: 0

: 0

:

f y

f x

f x y l

=

=

+ =

n = 2

m = 3

k = n*2 – m

k = 2*2 – 3 = 1

1

2 2

2 1

x

y l x= −

1

2

cos

sin

x l

y l

α

α

=

=

Alternativno, preko parametra α:

Opis gibanja preko jedne koordinate:


Primjeri vezanog gibanja čestice 4:4užetaL d C const′ = + =

( )

1 1

2 2

3 1 2 1

: 0

: 0

: 4 0

f y

f y

f x x x

=

=

− + =

F

m1

m2

d

F

m1

m2

x1

x2

x1

d-(x2-x

1)

n = 2

m = 3

k = n*2 – m

k = 2*2 – 3 = 1

1

2 1

5

4

x

x x=

Opis gibanja preko jedne koordinate:

( )

[ ]2 1 1

1 2 1

2 1

4 4

0 4

5

4

užeta užetaL L

d C d x x C x

x x x

x x

′ ′′=

+ = − − + +

= − +

=

( )2 1 14užetaL d x x C x′′ = − − + +


Tipovi veza: holonomne, skleronomne,…

• Ako brzine ne ulaze eksplicitno u jednadžbu veze: f(qi,t)=0 kaže se da je veza holonomna.

• Ako vrijeme ne ulazi eksplicitno u jednadžbu veze, govorimo o stacionarnim (nepomičnim, skleronomnim) vezama, inače su nestacionarne (pomične, reonomne) (grč. scleros - krut, rheos - tekuć, nomos - zakon).


Kruta figura u ravnini

φ

Y

X

A

C

B

L1

L2

L

XA

YA

n = 3

m = 3

k = 3*2 – 3 = 3

Neka su zadane 2 čestice A i B te veza F: koja nalaže nepromjenljivost međusobnog razmaka. Na koliko se načina može gibati takva figura?

Na 3 načina, položaj se može opisati sa: XA,YA, φ.

Dodavanjem čestice C sustavu se dodaju 2 nove slobode gibanja. Ako se sada naloži nepromjenljivost dužina L1 i L2 (prema slici) nastaje nova kruta figura.

Postupak se može nastaviti i tako formirati složene krute figure u ravnini položaj kojih se može opisati s 3 ista parametra.


Stupanj slobode gibanja sustava u ravnini

• Ukoliko sustav u ravnini uključuje i krute figure, svaka figura donosi sustavu 3 stupnja slobode, pa se stupanj slobode gibanja za ravninski sustav određuje prema izrazu:

k = 2*n + 3*l – m

• gdje su:– k – broj stupnjeva slobode – n – broj čestica u sustavu

– l – broj tijela u sustavu– m – broj linearno nezavisnih veza

8.4.2011

3


Primjer: stupnjevi slobode sustava

• Za ravninski sustav na slici odredi stupnjeve slobode i diskutiraj slučaj kada su dužine a i b nepromjenljive.

Dužine a i b promjenljive:

k = 2*n + 3*l – mk = 2*1 + 3*1 – 0 = 5

Dužine a i b nepromjenljive:

k = 2*n + 3*l – mk = 2*1 + 3*1 – 2 = 3


Kruta figura u prostoru

α

ZA

YA

XA

Aβ

γ

CBZ

Y

X

X'

Y'

D

Na sličan način, kako je naprijed pokazano za ravninu, može se pokazati da je položaj krute figure u prostoru opisan sa 6 parametara, primjerice:

XA, YA, ZA, α, β, γ


Lagrangeove i poopćene koordinate

• Neka je položaj sustava jednoznačno opisan s Nparametara (ϕi, i=1,…,N) na koje je narinuto Mlinearno nezavisnih veza, (Fj(ϕk)=0, j=1,…,M). Broj neovisnih načina gibanja sustava je K = N – M.

• N zavisnih parametara kojima smo opisali sustav nazivamo i Lagrangeovim koordinatama, Mneovisnih parametara kojima jednoznačno opisujemo sustav, nazivamo poopćenim koordinatama i označavati ćemo ih s qk, k=1,…,K.

Primjer: Lagrangeove i poopćene koordinate 0

• Za točku A sustava na slici odredi položaj, brzinu i ubrzanje u ovisnosti o nezavisnom parametru q. Poznato: a1, a2, a3, c, d, ξ.


c



1 2 2 3

1 2 2 3

cos cos cos

sin sin sin

A

A

x a q a

y a q a

ϕ ξ ϕ

ϕ ξ ϕ

= + +

= + +

• Položaj čestice A:



1 1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 2 3 3

: cos cos cos 0

: sin sin sin 0

F a a a d

F a a a c

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ + − =

+ + − =

1

2 1

3 2

qϕ

ϕ φ

ϕ φ

=

N = 3

M = 2

K = N – M

K = 3 – 2 = 1

c

ϕj – Lagrangeove koordinate

qj – poopćene koordinate ili primarne koordinate

φj – zavisne koordinate ili sekundarne koordinate

• Jednadžbe veze:

8.4.2011

4



1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0

sin sin sin 0

a a a d

a a a c

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ + − =

+ + − =

2 1 3 2 1

2 1 3 2 1

cos cos cos

sin sin sin

a a d a q

a a c a q

φ φ

φ φ

+ = −

+ = −

( )( )

1

2 1

3 2

q

q

q

ϕ

ϕ φ

ϕ φ

=

Nelinearni sustav jednadžbi iz kojeg nalazimo: ( ) ( )1 2,q qφ φ


• Ovisnost φ1 i φ2 o q možemo odrediti i na temelju poučka o cosinusima:


2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −

sin sin

a b

α β=

Poučak o cosinusima

Poučak o sinusima



2 2

1l d c= +

( ) ( ) ( )2 2

2 1 1cos sinl q d a q a q c= − + −

arctanc

dδ =

Kako znamo sve stranice trokuta možemo odrediti kuteve: α1, α2, α3 i β1, β2, β3.

( ) ( )1q qγ β δ= −

( ) ( )1 2 2q qφ ϕ α γ= = −

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3q q q qφ ϕ π ϕ α= = + +



2 2

1l d c= +

( ) ( ) ( )2 2

2 1 1cos sinl q d a q a q c= − + −

arctanc

dδ =

( ) ( )1q qγ β δ= −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2q q q qφ ϕ α γ= = −

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3q q q qφ ϕ π ϕ α= = + +

( )2 2 2

1 2 11

1 2

arccos2

a l lq

l lβ

− −=

−

( )2 2 2

2 2 33

2 3

arccos2

l a aq

a aα

− −=

−

( )2 2 2

3 2 22

2 2

arccos2

a a lq

a lα

− −=

−


• Napomena: Jacobievu matricu dobijemo deriviranjem jednadžbi veze po sekundarnim koordinatama:


1 2 1 3 2

1 2 1 3 2

cos cos cos0

sin sin sin

a q a a d

a q a a c

φ φ

φ φ

+ + − = = + + −

F

2 1 3 2

2 1 3 2

sin sin

cos cos

i

j

a aF

a a

φ φ

φ φφ

− − ∂= = ∂

A

1

1

sin

cosi

a qF

a qq

− ∂= = ∂

B

Primjer: Lagrangeove i poopćene koordinate 8• Brzine i ubrzanje čestice A nalazimo deriviranjem:


1 2 1 2

1 2 1 2

cos cos cos

sin sin sin

A

A

x a q a

y a q a

φ ξ φ

φ ξ φ

= + +

= + +

1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

sin sin sin

cos cos cos

A

A

x a qq a

y a qq a

φ φ ξ φ φ

φ φ ξ φ φ

= − − −

= + +

& && &

& && &

2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2

2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2

cos sin cos sin cos sin

sin cos sin cos sin cos

A

A

x a qq a qq a a

y a qq a qq a a

φ φ φ φ ξ φ φ ξ φ φ

φ φ φ φ ξ φ φ ξ φ φ

= − − − − − −

= + + + + +

& && & &&&& & &&

& && & &&&& & &&

• Korištenjem matrica A i B, brzine i ubrzanja možemo zapisati na način:

8.4.2011

5


Primjer: Lagrangeove i poopćene koordinate 8a

1 2 1 2 1

1 2 1 2 2

sin sin sin

cos cos cos

A

A

A

x a q aq

y a q a

ξ

φ ξ φ φ

φ ξ φ φ

− − − = +

r = Bq + A f

&&&

&&

&& &

• Derivacije sekundarnih koordinata nalazimo iz derivacije veza po vremenu:

1 1 2 1 22 1 1 2 2 1 1

1 1 2 1 22 1 1 2 2 2 2

cos sin sin sincos cos

sin cos cos cossin sin

A

A

A

x a qq a q aaq q

y a qq a q aa

ξ ξ

φ ξ φφ φ ξ φ φ φ φ

φ ξ φφ φ ξ φ φ φ φ

− − − − − − = + + + − − −

r = Bq + Bq + A f + A f& & &&&&& & &&

& & & &&&& && &&

& & & &&&& &



1 2 1 3 2

1 2 1 3 2

cos cos cos0

sin sin sin

a q a a d

a q a a c

φ φ

φ φ

+ + − = = + + −

F

1 2 1 1 3 2 2

1 2 1 1 3 2 2

sin sin sin0

cos cos cos

a qq a a

a qq a a

φ φ φ φ

φ φ φ φ

− − −= =

+ + F

& &&&

& &&

2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 3 2 2 3 2 2

2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 3 2 2 3 2 2

cos sin cos sin cos sin0

sin cos sin cos sin cos

a qq a qq a a a a

a qq a qq a a a a

φ φ φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ φ φ

− − − − − −= =

− + − + − + F

& && & &&& &&&&

& && & &&& &&

• Koristeći matrice A i B, mogu se izrazi preurediti u:



0 :=F&

0=F&&

2 1 3 2 11

2 1 3 2 12

sin sin sin

cos cos cos

a a a qq

a a a q

φ φ φ

φ φ φ

− − − = −

−Af = Bq

&

&&

& &

2 1 3 2 1 1 2 1 1 3 2 21 1

2 1 3 2 1 1 2 1 1 3 2 22 2

sin sin sin cos cos cos

cos cos cos sin sin sin

a a a q a qq a aq q

a a a q a qq a a

φ φ φ φ φ φφ φ

φ φ φ φ φ φφ φ

− − − − − − = − − − − − −

− − −Af = Bq Bq Af

& &&& &&&& &

& &&& &&

&& & &&&& &

2 3 1 2 2 3 1 2sin cos cos sina a a aφ φ φ φ= − +A

( )3 2 3 21

2 1 2 12 3 1 2 1 2

cos sin1

cos sinsin cos cos sin

a a

a aa a

φ φ

φ φφ φ φ φ−

= − −− + A

• Za računanje sekundarnih brzina i ubrzanja koristi se inverzna Jacobieva matrica:


Zaključak

• Broj stupnjeva slobode odgovara broju nezavisnih parametara (poopćenih koordinata) kojima možemo jednoznačno opisati položaj sustava.

• Primjerice, položaj sustava s jednim stupnjem slobode možemo opisati preko samo jednog parametra (poopćene koordinate)…

• Primjeri:


Ogledna pitanja i primjeri 1

• Primjer 1: Čestica se giba u ravnini tako da postoji veza među koordinatama položaja:

x2 + y2 = 3

pri čemu je iznos brzine v = 2ms-1 konstantan.• Odredi:

a) Putanju (skicirati)b) Položaj i brzinu nakon 3s ako je x0 = 1m.


• Primjer 2: Za mehanizme na slici odredi:• a) broj kinematičkih sloboda točke A (sustava)• b) jednadžbe veze (ako su slobode gibanja zavisne) • c) položaj čestice A u pravokutnim koordinatama u

funkciji neovisnog/ih parametara


8.4.2011

6


• Kako računamo broj stupnjeva slobode sustava čestica?

• Kako računamo broj stupnjeva slobode općeg ravninskog sustava?

• Neka je u ravnini zadano 5 čestica gibanje kojih je međusobno povezano s 8 linearno nezavisnih jednadžbi. Na koliko se neovisnih načina mogu gibati? Koliki je broj stupnjeva slobode?




• Neka su u ravnini zadane 4 čestice gibanje kojih je povezano s 8 jednadžbi veza. Od 8 jednadžbi veza samo tri su međusobno zavisne i to tako da koristeći dvije veze možemo prikazati treću. Na koliko se neovisnih načina mogu gibati čestice? Koliki je broj stupnjeva slobode?

Documents

K06 Kinematika Vezanog Gibanja