Gibanje tijela u ravnini:

1. Trenutni pol brzina i poloide2. Apsolutni pristup ravninskom gibanju

Ž. Lozina, Mehanika 2, Kinematika, FESB, 2012

10.5.2012 Mehanika 2 - Kinematika, FESB 2

Opće gibanje tijela u ravnini Trenutni pol brzina 1

ω

vO

vO

vO

O

C

A

vA

rA/O

ωωωω x rA/O

ωωωω x rC/O

rC/O

0 / 0A A= + ×v v ω r

0 / 0C= + ×0 v ω r

0 / 0C= − ×v ω r

10.5.2012 Mehanika 2 - Kinematika, FESB 3

ω

C

A

vA

rA/C

rC/O

vB

B

ω

C

A

vA

rA/C

= ω= ω= ω= ω x rA/C

= ω= ω= ω= ω x rB/C

rC/O

vB

B

/B B C= ×v ω r

Opće gibanje tijela u ravnini Trenutni pol brzina 2

/

B

B C

v

rω =

0C

=v

10.5.2012 Mehanika 2 - Kinematika, FESB 4

Poloide

Tijelo

Materijalna poloida

Prostorna poloida

C

Poloida je krivulja koju opisuje trenutni pol brzina u vremenu. Nepomična poloidaje trag što ga trenutni pol brzina ostavi u prostoru. Pomična poloida je trag što ga trenutni pol ostavi na tijelu – proširenim tijelu.

10.5.2012 Mehanika 2 - Kinematika, FESB 5

Opće gibanje tijela u ravnini Trenutni pol ubrzanja

Z

(aA/Z

)t

(aA/Z

)n

(aB/Z

)t

(aB/Z

)n

B

A

aA

aB

ψ

ψ

/

/

A Z A Z

B Z B Z

= +

= +

a a a

a a a/ / /

2

/ /

/ /

1 1/

2

/

( ) ( )

( )

( )

( )tan tan

( )

A Z A Z n A Z t

A Z n A Z

A Z t A Z

A Z t

A Z n

a r

a r

a

a

ω

α

αψ

ω

− −

= +

=

=

= =

a a a

/ / /

2

/ /

/ /

1 1/

2

/

( ) ( )

( )

( )

( )tan tan

( )

B Z B Z n B Z t

B Z n B Z

B Z t B Z

B Z t

B Z n

a r

a r

a

a

ω

α

αψ

ω

− −

= +

=

=

= =

a a a

Apsolutni pristup 1

• U opisivanju brzine i ubrzanja čestice tijela, apsolutni pristup se oslanja na prikazivanje (tipično) položaja čestice preko geometrijskih odnosa u zadanom problemu i (kada je to potrebno –zatvoreni kinematički lanci) relacija vezanog gibanja (jednadžbe veze).

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 6

Apsolutni pristup 2• Umjesto apstraktnog teoretskog pristupa, daju se primjeri

usporedno u relativnom i apsolutnom pristupu.• Slijedi ilustracija na primjeru u kojem se traže brzine i

ubrzanja točke A, ako je poznato: a1, a2,θ1, θ2, ω1, ω2, α1, α2.

x

a1

A

B

O

2

1

a2y

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 7

Apsolutni i relativni pristup: usporedni prikaz

Apsolutni Relativni

[ ] [ ]1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1

cos cos sin sin

sin sin cos cos

sin cos sin cos

cos sin

A

A A

A A

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + +

= = − + + +

= = − + + + +

+ − +

r i j

v r i j

a r i

& & & &&

&& & && &&&

&& & 2

2 2 2 2 2 2cos sinaθ θ θ θ − j&& &

( )1 /

1 1 / 1 /

B B O

B B O B O

= ×

= × × + ×

v ω r

a ω ω r α r

( )2 /

2 2 / 2 /

A B A B

A B A B A B

= + ×

= + × × + ×

v v ω r

a a ω ω r α r

Napomena: 1 1 1 1 2 2 2 2ω θ α θ ω θ α θ= = = =& && & &&

Mehanika 2 - Kinematika, FESB

10.5.2012 8

Primjeri:

• Primjer 1: Odredi brzinu i ubrzanje čestice kotača A ako je poznato: x0, R, ω=6t.

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 9

• Rješenje:

( ) ( )0sin 1 cos

Ax R R Rθ θ θ= + + + +r i j

( )

( )

0

0

2

d

3

t

t t

t t

θ θ ω

θ

= +

=

∫

( ) ( )

( ) ( )2 2

cos sin

cos sin sin cos

A A

A A

R R R

R R R R

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

= = + + −

= = + − + − −

v r i j

a r i j

& & &&

&& && & && &&&

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 10

• Napomena: Relativni pristup

( )

( )

/

2

/

/

C

A C

A C N

A C T

v R

v R

a R

a R

ω

ω

ω

α

=

=

=

=

/

/

A C A C

A C A C

= +

= +

v v v

a a a

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 11

• Primjer 2: Za sustav na slici odredi brzinu čestice A ako je poznato: vB, L, a, θ (gdje su: vB, θ - trenutne vrijednosti).

A

L

a

x

y

B

C

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 12

( )cos sinA

a L aθ θ= + −r i j

( )

( )

sin cos

sin cossin sin

cot

A A

B B

B

a L a

v va L a

L L

a L av

L L

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ

=

= − + −

= − − + − −

− = −

v r

i j

i j

i j

&

& &

cos

sin

sin

B

B

B

x L

v L

v

L

θ

θ θ

θθ

=

= −

= −

&

&

• Rješenje: Apsolutni pristup

• Iz jednadžbe veze:

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 13

( )

( ) ( )

( ) ( )

/

2

/

/

A B

A B N

A B T

v R

v L a

a L a

a L a

θ

θ

θ

θ

=

= −

= −

= −

&

&

&

&&

/

/

A B A B

A B A B

= +

= +

v v v

a a a

• Napomena: Relativni pristup

• Jednadžbe veze:

/C B C B= +v v v

sin

Bv

Lθ

θ= −&→

Mehanika 2 - Kinematika, FESB10.5.2012 14

10.5.2012Mehanika 2 - Kinematika, FESB

15

Ogledna pitanja i zadaci 1• Definiraj trenutni pol brzina.• Definiraj poloide (pomičnu i nepomičnu).• Odredi položaj trenutnog pola brzine na tijelu na kojem su

zadani pravci gibanja dvije čestice i/ili njihove brzine: vB, vC:

Ogledna pitanja i zadaci 2• Opiši apsolutni pristup računanju brzina.• Opiši apsolutni pristup računanju ubrzanja.• Kada je u apsolutnom pristupu potrebno koristiti jednadžbe

veze? • Opiši gibanje čestica A i B za sustave na slici. Poznato:

a1,a2,θ1,θ2 odnosno L,R,e,θ.

10.5.2012Mehanika 2 - Kinematika, FESB

16