halapa.comhalapa.com/fizpdf/2fs601.pdf · Kada se voza č giba brzinom v 0 i u trenutku kada ugleda prepreku do ko čenja pro đe vrijeme t pa put reagiranja iznosi: s v tr = ⋅0

1

Zadatak 601 (Jaska, srednja škola)

Većina automobila prilikom naglog kočenja postižu akceleraciju – 7 m / s2. Vozaču je

obično potrebno oko 0.5 sekundi da reagira i počne kočiti. Pri određivanju ograničenja brzine na

nekom dijelu puta obično se zahtijeva da se automobili zaustave prešavši odgovarajući dopušteni put.

a) Kolika bi bila maksimalna dopuštena brzina ako želite da se svi automobili zaustave nakon 4 m?

b) Koliki će dio ovog puta automobili prijeći prije kočenja?

Rješenje 601

a = 7 m / s2, t = 0.5 s, s = 4 m, v0 = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,s v t= ⋅

gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo stalnom, konstantnom brzinom v za

vrijeme t.

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,

22

22

vv a s s

a= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅

gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t. Ista formula vrijedi i kod jednoliko usporenog gibanja.

a)

Kada se vozač giba brzinom v0 i u trenutku kada ugleda prepreku do kočenja prođe vrijeme t pa put

reagiranja iznosi:

.0

s v tr = ⋅

Pri brzini v0 počinje kočiti, gibanje je jednoliko usporeno akceleracijom a pa put kočenja iznosi

20 .

2

vsk a

=⋅

Tada je ukupni zaustavni put jednak

20 .

0 2

vs s s s v tr k a

= + ⇒ = ⋅ +⋅

Maksimalna dopuštena brzina iznosi:

2 220 0 2 2

0 0 0/ 2

02 2

v vs v t s v t a s a v t v

a aa= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅⋅ ⋅ ⇒

⋅

2 2 2 22 2 2 2 0 2 2 0

0 0 0 0 0 0 0a t v v a s a t v v a s v a t v v a s⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⇒

2 22 7 0

7

.5 2 7 4 0 7 56 00 0 0

0.0

5

4

v v v

a

t

s

v⇒ ⇒ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒

=

=

=

( )

1 , 7 , 562

7 56 00 0 2

41 , 7 , 56

0 1,2 2

a b cv v

b b a ca b c v

a

= = = −+ ⋅ − =

⇒ ⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅

= = = − =⋅

( )( )

( ) ( )2

7 7 4 1 56 7 49 224 7 273

0 0 01,2 1,2 1,22 1 2 2v v v

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

( )7 16.52

0 1,2 2v

− ±⇒ = ⇒

2

( )

( )

( )

( )

7 16.524.760 1 02 1

4.76 .0

nema sm7 16.52 11.760 20

a2 2

isl

v vm

vsvv

− += =

⇒ ⇒ ⇒ =− − = −=

Maksimalna brzina je 4.76 m / s.

b)

Prije kočenja automobil će prijeći put

4.76 0.5 2.38 .0

ms v t s mr

s= ⋅ = ⋅ =

Vježba 601

Većina automobila prilikom naglog kočenja postižu akceleraciju – 7 m / s2. Vozaču je

obično potrebno oko 0.5 sekundi da reagira i počne kočiti. Pri određivanju ograničenja brzine na

nekom dijelu puta obično se zahtijeva da se automobili zaustave prešavši odgovarajući dopušteni put.

Kolika bi bila maksimalna dopuštena brzina ako želite da se svi automobili zaustave nakon 40 dm?

Rezultat: 4.76 m / s.

Zadatak 602 (Marija, gimnazija)

Dva kamena spuštena su sa ruba stijene visoke 60 m. Drugi kamen pušten je 1.6 sekundi

nakon prvog. Na kojoj se visini nalazi drugi kamen u trenutku kada je njegova udaljenost od prvog

36 m? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 602

H = 60 m, ∆t = 1.6 s, ∆h = 36 m, g = 9.81 m / s2, h2 = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom

akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:

2,

1

2h g t= ⋅ ⋅

gdje je h visina pada.

Za vrijeme t prvi je kamen, slobodno padajući, prešao put h1.

1 2.

1 2h g t= ⋅ ⋅

Drugi kamen je pušten ∆t vremena nakon prvog pa je prešao put h2.

( )1 2

.2 2

h g t t= ⋅ ⋅ −∆

Budući da udaljenost drugog kamena od prvog mora biti ∆h, vrijedi:

( )1 1 22

1 2 2 2h h h h g t g t t∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −∆ ⇒

( )1 1 22 2

22 2

h g t g t t t t ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ + ∆ ⇒

( )1 1 1 22 2

2 2 2h g t g t g t t g t⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ∆ ⇒

3

( ) ( )1 12 2

2

1 12

2

2

2 2h g t t g t hg t g t g t t g t⇒ ∆ = + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅⋅ − ⋅ ⋅ ∆⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )/ 21 2 2

2 22

h g t t g t h g t t g t⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆⋅ ⇒

( ) ( )2 2

2 2 2 2g t t g t h g t t h g t⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ ⇒

( )( )1

/2

222

2 22

h

g t

g tg t t h g t t

g t⋅

⋅

⋅ ∆ + ⋅ ∆⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ ⇒ = =

⋅ ⋅ ∆⋅ ∆

( )2

2 36 9.81 1.62

3.1 .

2 9.81 1.62

mm s

s sm

ss

⋅ + ⋅

= =

⋅ ⋅

Drugi je kamen prešao put h2 koji iznosi

( ) ( )1 12 2

9.81 3.1 1.6 11.042 22 2

mh g t t s s m

s

= ⋅ ⋅ −∆ = ⋅ ⋅ − =

i od tla je udaljen

60 11.04 48.96 .2

H h m m m− = − =

H - h2

∆∆∆∆h

h2

h1

Vježba 602

Dva kamena spuštena su sa ruba stijene visoke 600 dm. Drugi kamen pušten je 1.6 sekundi

nakon prvog. Na kojoj se visini nalazi drugi kamen u trenutku kada je njegova udaljenost od prvog

360 dm? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 48.96 m.

Zadatak 603 (Alen, gimnazija)

Tijelo se nalazi u točki B na visini H = 45 m od tla i počne padati. Istodobno iz točke A, koja

se nalazi na razmaku h = 21 m ispod točke B, bačeno je drugo tijelo vertikalno uvis. Koliku početnu

brzinu treba imati drugo tijelo da bi oba istodobno pala na tlo? (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 603

H = 45 m, h = 21 m, g = 9.81 m / s2, v0 = ?

4



1 22

2,

hh g t t

g

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =


Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.

Vertikalni hitac prema gore sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog

pada. Zato mu je put h u času kad je prošlo vrijeme t dan ovim izrazom:

1 20 2

.h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

v0

H - h

h

H

B

A

Vrijeme za koje prvo tijelo padne sa visine H, slobodno padajući, iznosi:

2.

Ht

g

⋅=

Udaljenost drugog tijela od tla tijekom gibanja dana je jednadžbom

1 2.

2 0 2h H h v t g t= − + ⋅ − ⋅ ⋅

Budući da za jednako vrijeme t i drugo tijelo padne na zemlju (h2 = 0), vrijedi sustav jednadžba iz

kojeg izračunamo v0.

22 2

2 1 20

0 21 20 02 0 2

HH t

t H Hgg H h v g

g gh H h v t g t

⋅⋅ =

= ⋅ ⋅⇒ ⇒ − + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

= − + ⋅ − ⋅ ⋅ =

2 1 2 2 10 0

0 0 22

2H H H HH h v g H h v

gg g gg

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ − + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

2 20 0

0 0

H HH h v H h v

g gH H

⋅ ⋅⇒ − + ⋅ − = ⇒ ⋅ −− + = ⇒

2 2 20

0 0 0/

2

H H Hh v v h v h

g g g

g

H

⋅ ⋅ ⋅⇒ − + ⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ =

⋅⇒ ⇒

5

9.812

21 6.93 .0 2 2 45

m

g msv h mH m s

⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

Vježba 603

Tijelo se nalazi u točki B na visini H = 450 dm od tla i počne padati. Istodobno iz točke A,

koja se nalazi na razmaku h = 210 dm ispod točke B, bačeno je drugo tijelo vertikalno uvis. Koliku

početnu brzinu treba imati drugo tijelo da bi oba istodobno pala na tlo? (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)


Zadatak 604 (Mislav, gimnazija)

Brod plovi brzinom v i sa njega izbacimo tijelo brzinom v0 vertikalno uvis. Koliko je vrijeme

gibanja tijela? (g ubrzanje slobodnog pada)

Rješenje 604

v, v0, g, tu = ?



pada. Zato mu je brzina v u času kad je prošlo vrijeme t dana ovim izrazom:

0.v v g t= − ⋅

Najviši domet što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest u času kad je v = 0. Onda je

.00

vv g t t

g= ⋅ ⇒ =

Let do najviše točke traje koliko i pad s te točke, tj. za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena

koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

v0

Budući da su vremena za koje bačeno tijelo dosegne najveću visinu i za koje padne na brod (na isto

mjesto!) jednaka, ukupno vrijeme gibanja tijela iznosi:

0 02 2 .v

tg

vt t tu u

g= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅=

Vježba 604

Brod plovi brzinom v i sa njega izbacimo tijelo brzinom v0 vertikalno uvis. Koliko je vrijeme

potrebno da postigne najveću visinu? (g ubrzanje slobodnog pada)

Rezultat: 0 .v

tg

=

Zadatak 605 (Vedran, srednja škola)

Koliki je vremenski razmak ∆t ekspozicije pri fotografiranju sitne kuglice koja je padala

ispred centimetarske skale, ako je kuglica puštena kod znaka 0 na skali, a na fotografiji se slika kuglice

za vrijeme ekspozicije razvukla od 4.9 cm do 19.6 cm? (ubrzanje slobodnog pada g ≈ 9.8 m / s2)

6

Rješenje 605

h1 = 4.9 cm = 0.049 m, h2 = 19.6 cm = 0.196 m, g = 9.8 m / s2, ∆t = ?


akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

, ,1 2

2 , ,2

2

hh g t t v g h v g t

g

⋅= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅

gdje je h visina pada, v trenutna brzina.


Hitac prema dolje je složeno gibanje od jednolikoga gibanja brzinom v0 i slobodnog pada u istom

smjeru, stoga je put (visina) h dan izrazom

1 20 2

.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅

B

A

0

0.196 m

0.049 m

∆∆∆∆h

h1

h2

1.inačica

Kuglica slobodno pada pa vremena za koja dođe od znaka 0 do točaka A i B iznose:

• 2

1h

tA g

⋅=

• 2

2 .h

tB g

⋅=

Slika kuglice se razvukla u vremenskom razmaku ∆t.

2 2 2 0.196 2 0.0482 1 0.1 .

9.8 9.82 2

h h m mt t t t s

B A m mg g

s s

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = − ⇒ ∆ = − = − =

2.inačica

Ako je kuglica puštena kod znaka 0 na skali imat će brzinu v0 u točki A.

2 2 9.8 0.049 0.98 .0 1 2

m mv g h m

ss= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

7

Put ∆h koji je prešla od točke A do točke B iznosi:

0.196 0.049 0.147 .2 1

h h h m m m∆ = − = − =

Na tom putu gibala se jednoliko ubrzano sa početnom brzinom v0 pa vrijedi jednadžba:

1 1 12 2 20

0 0 02 2 2h v t g t v t g t h v t g t h∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ −∆ = ⇒

1 2 2 20 2 2 0 2 2 0

0 0/

22

0v t g t h v t g t h g t v t h⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ −∆ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ∆ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ∆ =⋅ ⇒

2 29.8 2 0.98 2 0.147 0 9.8 1.9

9.8

0.980

0

6 0.29

.1 7

4 0

4

t t tv t

g

h

⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒

=

=

∆ =

/: 9.82

2 2 0.2 0.03 09.8 1.96 0.294 0 0.2 0.03 0

1 , 0.2 , 0.03

t tt t t t

a b c

+ ⋅ − =⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒

= = = −

( )1 , 0.2 , 0.03 20.2 0.2 4 1 0.03

2 4 1,2 2 11,2 2

a b c

tb b a ct

a

= = = − − ± − ⋅ ⋅ −

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=⋅

0.2 0.04 0.12 0.2 0.16 0.2 0.41,2 1,2 1,22 2 2t t t

− ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

0.2 0.4 0.20.11 1 1

0.2

22 2 1.01 .

0.2 0.4 0.6 0.30.6 nema s2

2 2

misla

222 2

t t t tt s

tt t t

− + = = = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − − = − = = − = −

3.inačica

Brzina koju kuglica ima u točki A, slobodno padajući, može se izraziti na dva načina:

21

2 2 .1 12

1

1/

v g t g hA Ag t g h g t g h t

A A A gv g h gA

= ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ ⋅

Brzina koju kuglica ima u točki B, slobodno padajući, također se može izraziti na dva načina:

22

2 2 .2 22

2

1/

v g t g hB Bg t g h g t g h t

B B B gv g h gB

= ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ ⋅

Slika kuglice razvukla se u vremenskom razmaku ∆t koji iznosi:

2 22 1

g h g ht t t t

B A g g

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = − ⇒ ∆ = − =

2 9.8 0.196 2 9.8 0.0492 2

0.1 .

9.8 9.82 2

m mm m

s ss

m m

s s

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − =

Vježba 605

Koliki je vremenski razmak ∆t ekspozicije pri fotografiranju sitne kuglice koja je padala

ispred centimetarske skale, ako je kuglica puštena kod znaka 0 na skali, a na fotografiji se slika kuglice

za vrijeme ekspozicije razvukla od 49 mm do 196 mm? (ubrzanje slobodnog pada g ≈ 9.8 m / s2)

8

Rezultat: 0.1 s.

Zadatak 606 (Marija, gimnazija)

Udaljenost između dvije željezničke postaje je 3 km. Vlak taj put prevali srednjom brzinom

54 km / h. Pri tome prvo se giba jednoliko ubrzano 20 s, a zatim neko vrijeme ide stalnom brzinom, a

na kraju 10 s jednoliko usporava dok ne stane. Odredite maksimalnu brzinu koju vlak postigne.

Rješenje 606

s1 = 3 km = 3000 m, vs = 54 km / h = [ 54 : 3.6 ] = 15 m / s, t1 = 20 s, t3 = 10 s,

vm = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =

gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 2,

2,s a t v a t= ⋅ ⋅ = ⋅

gdje su s i v put, odnosno brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:

1 20 2

,s v t a t= ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je s put koji je tijelo prešlo pošto se počelo usporavati akceleracijom a za vrijeme t.

Vozeći srednjom brzinom vs vlak cijeli put s prijeđe za vrijeme t.

3000200 .

15

s mt s

mvss

= = =

Vremenski interval t2 u kojem vlak ide stalnom maksimalnom brzinom iznosi:

200 20 10 170 .1 2 3 2 1 3t t t t t t t t s s s s+ + = ⇒ = − − = − − =

U prvom vremenskom intervalu t1 vlak jednoliko ubrzava akceleracijom a i postigne maksimalnu

brzinu vm.

.1

v a tm = ⋅

Tom brzinom giba se u drugom vremenskom intervalu t2, a u trećem jednoliko usporava.

Put koji vlak prijeđe za vrijeme t1 je

1 2.

1 12s a t= ⋅ ⋅

Nakon toga vlak se za vrijeme t2 giba jednolikom brzinom vm te je

( ) .2 2 2 1 2 2 1 2

s v t s a t t s a t tm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Za vrijeme t3, za vrijeme kočenja, vlak jednoliko usporava akceleracijom a pa je

( )1 1 12 2 2

.3 3 3 3 1 3 3 3 1 3 32 2 2

s v t a t s a t t a t s a t t a tm= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Ukupan je put, dakle,

1 12 21 2 3 1 1 2 1 3 32 2

s s s s a t a t t a t t a t s+ + = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

1 12 220 20 170 20 10 10 3000

2 2a a a a⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

9

1 1400 3400 200 100 3000

2 2a a a a⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

1 13400 200 3000 2040 0 3400 200 50 30000 100

2 2a a a a a a a a⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒

3750 3000 3750 31

/375

000 0.80

.2

ma a a

s

⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⇒ =⋅=

Maksimalna brzina vm iznosi:

[ ]0.0.8

216 3.6

201

8 20 16 57.6 .1 2

m m kmv a t sm

s hs

ma

s

t s

= ⋅ = = ⋅ = = ==

⋅

=

Vježba 606

Udaljenost između dvije željezničke postaje je 3 km. Vlak taj put prevali srednjom brzinom

54 km / h. Pri tome prvo se giba jednoliko ubrzano, a zatim 170 s ide stalnom brzinom, a na kraju 10 s

jednoliko usporava dok ne stane. Odredite maksimalnu brzinu koju vlak postigne.

Rezultat: 57.6 km / h.

Zadatak 607 (Ana, gimnazija)

Dva automobila vozeći jedan drugom ususret brzinama 90 km / h i 108 km / h, na međusobnoj

udaljenosti 110 m počinju istodobno kočiti s usporenjima 7 m / s2 i 8 m / s2. Na kojoj međusobnoj

udaljenosti će se zaustaviti?

Rješenje 607

v1 = 90 km / h = [ 90 : 3.6 ] = 25 m / s, v2 = 108 km / h = [ 108 : 3.6 ] = 30 m / s,

s = 110 m, a1 = 7 m / s2, a2 = 8 m / s2, d = ?


,

22

22

vv a s s

a= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅



Kada se automobil prilikom usporavanja zaustavi prijeći će jednak put kao da je iz stanja mirovanja

ubrzavao do jednake brzine. Zato je:

( )2 2

1 21 2 2 2

1 2

v vd s s s d s

a a= − + ⇒ = − + =

⋅ ⋅

2 2

25 30

110 9.11 .

2 7 2 82 2

m m

s sm m

m m

s s

= − + =

⋅ ⋅

d

s

10

Vježba 607

Dva automobila vozeći jedan drugom ususret brzinama 90 km / h i 108 km / h, na međusobnoj

udaljenosti 0.11 km počinju istodobno kočiti s usporenjima 7 m / s2 i 8 m / s2. Na kojoj međusobnoj

udaljenosti će se zaustaviti?

Rezultat: 9.11 m.

Zadatak 608 (Domagoj, gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko ubrzano i prešavši put 10 m dostigne brzinu v1, a kad prijeđe put

90 m, brzinu v2. Nađite omjer tih brzina.

Rješenje 608

s1 = 10 m, s2 = 90 m, 2 ?

1

v

v=


,2

2 2v a s v a s= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅



Omjer brzina iznosi:

22 2 9022 2 2 2 2 2 2 2 2 3.2 1021 1 1 1 1 1 1

21 11

a sv v a s v s v s v vm

v v a s v s v s v m v

a

a s a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Vježba 608

Tijelo se giba jednoliko ubrzano i prešavši put 10 m dostigne brzinu v1, a kad prijeđe put

40 m, brzinu v2. Nađite omjer brzina.

Rezultat: 2.

Zadatak 609 (Mirna, gimnazija)

Lopta je bačena vertikalno prema gore i vraća se dolje. Tijekom leta lopte vektori brzine i

akceleracije lopte:

. uvijek su jednake orijentacijeA

. uvijek su suprotne orijentacijeB

. prvo su suprotne orijentacije, a zatim jednake orijentacijeC

. prvo su jednake orijentacije, a zatim suprotne orijentacijeD

Rješenje 609

v, g



pada. Vektorske su veličine određene pravcem (nosilac vektora), orijentacijom i iznosom (modul, apsolutna vrijednost) iskazanim odgovarajućim jedinicama. Vektorske veličine su: brzina,

akceleracija, … Slobodni pad je jednoliko ubrzano gibanje sa stalnom akceleracijom za sva tijela.

Ubrzanje slobodnog pada zovemo još ubrzanje sile teže jer je posljedica gravitacijskog privlačenja

Zemlje i tijela. To je vektorska veličina koja ima orijentaciju prema središtu Zemlje.

Kod bacanja lopte uvis vektor akceleracije sile teže uvijek ima orijentaciju prema središtu Zemlje.

Orijentacija vektora brzine najprije je prema gore, a zatim prema dolje.

Odgovor je pod C.

11

v

vgg

g

Vježba 609

Lopta je bačena vertikalno prema dolje. Tijekom leta lopte vektori brzine i

akceleracije lopte:

. uvijek su jednake orijentacijeA

. uvijek su suprotne orijentacijeB

. prvo su suprotne orijentacije, a zatim jednake orijentacijeC

. prvo su jednake orijentacije, a zatim suprotne orijentacijeD

Rezultat: A.

Zadatak 610 (Mirna, gimnazija)

Može li tijelo mijenjati orijentaciju brzine kada je akceleracija konstantna?

. Ne, jer se uvijek ubrzava.A

. Ne, jer brzina uvijek raste za jednaki iznos.B

. Da, primjerice kod bacanja lopte u visinu.C

. Da, primjerice automobil se iz stanja mirovanja ubrzava,

a zatim se pred semaforom usporava.

D

Rješenje 610

v, a



pada. Vektorske su veličine određene pravcem (nosilac vektora), orijentacijom i iznosom (modul,

apsolutna vrijednost) iskazanim odgovarajućim jedinicama. Vektorske veličine su: brzina,

akceleracija, … Slobodni pad je jednoliko ubrzano gibanje sa stalnom akceleracijom za sva tijela.

Ubrzanje slobodnog pada zovemo još ubrzanje sile teže jer je posljedica gravitacijskog privlačenja

Zemlje i tijela. To je vektorska veličina koja ima orijentaciju prema središtu Zemlje.

Kada loptu bacimo prema gore vektori brzine i akceleracije suprotne su orijentacije. Kada lopta pada

prema dolje vektori brzine i akceleracije jednake su orijentacije.

Odgovor je pod C.

jednaka

orijentacija

suprotna

orijentacija

v

vgg

g

12

Vježba 610

Pretpostavite da automobil usporava približavajući se semaforu. Koja od navedenih tvrdnji

najbolje opisuje to gibanje?

. Automobil usporava i njegova akceleracija je pozitivna.A

. Automobil usporava i njegova akceleracija je negativna.B

. Automobil usporava i njegova akceleracija je nula.C

. Sva ti gore navedena odgovora su mogu a.D ć

Rezultat: B.

Zadatak 611 (Božidar, srednja škola)

Dokažite da tijelo koje se baci vertikalno uvis, a zatim slobodno pada po istoj stazi, ima u bilo

kojoj točki staze brzine jednake po iznosu (a suprotne orijentacije). Otpor zraka zanemarite. (ubrzanje

slobodnog pada g)

Rješenje 611

g, v


akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

1 2,

2,h g t v g t= ⋅ ⋅ = ⋅

gdje je h visina pada, v trenutna brzina.



pada. Zato mu je put h u času kad je prošlo vrijeme t dan ovim izrazom:

1 20 2

.h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

Brzina v u času kad je prošlo vrijeme t dana je ovim izrazom:

0.v v g t= − ⋅

Najviši domet što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest u času kad je v = 0. Onda je

.00

vv g t t

g= ⋅ ⇒ =

Let do najviše točke traje koliko i pad s te točke, tj. za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

hAB

BB

A A v2

v1

Pretpostavimo da je u točki A brzina tijela v1 (orijentacije prema gore). Tada se vrijeme gibanja do

maksimalne visine (najviše točke B) dobije iz uvjeta:

010 .

1 1 1 1 1 1 1

1/

1 1

v vBv g t g t v g t v t

v gv g t gB

=⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

=⋅

− ⋅

13

Put od točke A do B je:

21 12 1 1

1 1 11

12 21

vt

g

v vh v t g t h v g

AB AB g g= ⋅ − ⋅ ⋅ =⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2 2 2 21 11 1 1 1 1 1

22 222

v v v v v vh g h h

AB AB ABg g g gg

g

g

⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⇒⋅

2 2 22

1 1 1 .2 2

v v vh h

AB ABg g

⋅ −⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

Pri gibanju iz točke B prema dolje tijelo slobodno pada pa vrijeme t2 za koje je prešlo put od točke

B do A iznosi:

2 21 1 12 2 21 1

2 2 22 2 2 2 2

21

2

vv vh g t g t g t

AB g gh

AB g= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒=

⋅ ⋅ ⋅

2 22 21 2 2 2 21 1 1 1 1 .

2 2 2 2 222 2

2/ /

v v v v vg t t t t t

g g g ggg⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒ = ⇒ =

⋅

Tada brzina v2 (orijentacije prema dolje) u točki A iznosi:

1 1 .2 2 2 2 1

12 2

v vv g t v g v v v

g

vt g

g g= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ == = ⇒

Vježba 611

Dokažite da let do najviše točke traje koliko i pad s te točke, tj. za slobodni pad tijelo treba isto

toliko vremena koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 612 (Una, gimnazija)

Košarkaš visok 2 m pokušava ubaciti koš sa udaljenosti 10 m. Ako baci loptu pod kutom 40° u

odnosu na horizontalnu ravninu kolika mora biti početna brzina lopte da bi pala u koš? Visina koša je

3.05 m. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 612

y1 = 2 m, x = 10 m, α = 40°, y2 = 3.05 m, g = 9.81 m / s2, v0 = ?


Kosi hitac sastoji se od jednolikoga gibanja brzinom v0 po pravcu koji s horizontalnim smjerom

zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada. Zanemarimo li otpor zraka tijelo izbačeno početnom

brzinom v0 pod kutom elevacije α prema vodoravnoj podlozi opisuje stazu danu jednadžbom

( )2

parabola2 2

2 cos

.g

y x tg x

v

αα

= ⋅ − ⋅

⋅ ⋅�

14

y

y2

y1

x

αααα

v0

L

F

2 2

2 22 22 cos 2 cos

g gy x tg x x x tg y

v v

α αα α

= ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅� �

2

2 2 12 cos

a c b d

b d a

g x tg yx

v c

α

α

⋅ −⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

⋅

= ⇒⋅

�

2 22 22 cos 2 c

2

/2

2

o

2o

1

c s

s 1

2

v v

x tg y x tg yg x g x

g xα

α α α

α⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒

⋅⋅

⋅= ⇒

⋅ − ⋅ −⋅ ⋅

� �

( ) ( )

2 22 2

2 22 cos 2 co

/s

g x g xv v

x tg y x tg yα α α α

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −� �

( ) ( )

2

2 coss2 122 co

gy y y

x x gv v

x tg yx tg y α αα α

⋅⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒

⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅= −

−

� �

( )( ) ( )cos cos 22 2 12 1

x g x gv v

x tg y yx tg y yα α αα⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

⋅ ⋅ − +⋅ ⋅ − −� �

( )[ ]

9.81210

10.67 38.41 .cos 40 2 10 40 3.05

10.672

3.6

m

m m kms

s hm tg m m⋅= ⋅ = = =

⋅ ⋅ − +� �

Vježba 612

Košarkaš visok 2.05 m pokušava ubaciti koš sa udaljenosti 10 m. Ako baci loptu pod kutom

40° u odnosu na horizontalnu ravninu kolika mora biti početna brzina lopte da bi pala u koš? Visina

koša je 3.10 m. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)



Dva tijela istodobno bačena su iz jedne točke, jedno vertikalno uvis, a drugo pod kutom 60° u

odnosu na horizont. Početna brzina oba tijela je 25 m / s. Nađite njihovu međusobnu udaljenost nakon

1.7 s. Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 613

α = 60°, v0 = 25 m / s, t = 1.7 s, g = 9.81 m / s2, d = ?

15


Vertikalni hitac uvis je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema gore i

slobodnog pada prema dolje. Visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana je izrazom

1 20 2

,h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je v0 početna brzina.


zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada.

Izrazi za komponente puta u smjerovima koordinatnih osi x i y u trenutku t glase:

cos0

1 2sin

0 2

.

x v t

y v t g t

α

α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Udaljenost točaka ( ) ( ), i , :1 1 2 2

A x y B x y

( ) ( )2

1 1.

2

2 2AB x x y y= − + −

Gibanja tijela razložimo po osi x (horizontalni smjer) i osi y (vertikalni smjer).

drugo

tijelo

prvotijelo

horizont

o

d

y

x

v0

v0

B x2, y2(((( ))))

A x1, y1(((( ))))

αααα

A

Prvo tijelo bačeno vertikalno uvis

( )

00 11

1 21 2 25 1.7 9.81 1.71 21 0 22

xx

m my s sy v t g t

s s

==

⇒ ⇒= ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅

( ) ( )0

1, 0, 28.32 .

1 128.321

xA x y A

y

=⇒ ⇒ =

=

Drugo tijelo bačeno pod kutom α.

16

( )

cos 25 1.7 cos 602 0 2

1 2 1 2sin 25 1.7 sin 60 9.81 1.72 0 2 2 22

mx v t x s

s

m my v t g t y s ss s

α

α

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ ⇒= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

�

�

( ) ( )21.25

2, 21.25, 22.63 .

2 222.632

xB x y B

y

=⇒ ⇒ =

=

Udaljenost dviju točaka A i B u Kartezijevom koordinatnom sustavu je:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 0, 28.321 1

, 21.25, 22.6

2 2

2 1 23

21

2

d AB

A x y A

B x

x x y y

y B

= = − +=

⇒ − ⇒=

( ) ( )2 2

21.25 0 22.63 28.32 22 .d d m⇒ = − + − ⇒ =

Vježba 613


odnosu na horizont. Početna brzina oba tijela je 90 km / h. Nađite njihovu međusobnu udaljenost

nakon 1.7 s. Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 22 m.



odnosu na horizont. Početna brzina oba tijela je 30 m / s. Nađite njihovu međusobnu udaljenost nakon

2 s. Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 614

α = 45°, v0 = 30 m / s, t = 2 s, g = 9.81 m / s2, d = ?


Vertikalni hitac uvis je gibanje složeno od jednolikog pravocrtnoga gibanja prema gore i

slobodnog pada prema dolje. Visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana je izrazom

1 20 2

,h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

gdje je v0 početna brzina.


zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada.

Izrazi za komponente puta u smjerovima koordinatnih osi x i y u trenutku t glase:

cos0

1 2sin

0 2

.

x v t

y v t g t

α

α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Udaljenost točaka ( ) ( ), i , :1 1 2 2

A x y B x y

( ) ( )2

1 1.

2

2 2AB x x y y= − + −

Gibanja tijela razložimo po osi x (horizontalni smjer) i osi y (vertikalni smjer).

17

drugo

tijelo

prvotijelo

horizont

o

d

y

x

v0

v0

B x2, y2(((( ))))

A x1, y1(((( ))))

αααα

A

Prvo tijelo bačeno vertikalno uvis

( )

00 11

1 21 2 30 2 9.81 21 21 0 22

xx

m my s sy v t g t

s s

==

⇒ ⇒= ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅

( ) ( )0

1, 0, 40.38 .

1 140.381

xA x y A

y

=⇒ ⇒ =

=

Drugo tijelo bačeno pod kutom α.

( )

cos 30 2 cos 452 0 2

1 2 1 2sin 30 2 sin 45 9.81 22 0 2 2 22

mx v t x s

s

m my v t g t y s ss s

α

α

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ ⇒= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

�

�

( ) ( )42.43

2, 42.43, 22.81 .

2 222.812

xB x y B

y

=⇒ ⇒ =

=

Udaljenost dviju točaka A i B u Kartezijevu koordinatnom sustavu je:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 0, 40.381 1

, 42.43, 22.8

2 2

2 1 21

21

2

d AB

A x y A

B x

x x y y

y B

= = − +=

⇒ − ⇒=

( ) ( )2 2

42.43 0 22.81 40.38 45.92 .d d m⇒ = − + − ⇒ =

Vježba 614


odnosu na horizont. Početna brzina oba tijela je 108 km / h. Nađite njihovu međusobnu udaljenost

nakon 2 s. Zanemarite otpor zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 45.92 m.

18

Zadatak 615 (Mehaničarka, srednja škola)

Marsovac istražujući Zemlju zabilježi da kamen, ispušten sa visoke litice, prijeđe duljinu

jednog glonga u vremenu jednog togga. Koju duljinu će prijeći u vremenu 2 togga?

Poštovana, slučajno sam bio na razmjeni studenata i boravio na Marsu pa tako naučio njihov jezik.

Marsovac istražujući Zemlju zabilježi da kamen, ispušten sa visoke litice, prijeđe duljinu h u

vremenu t. Koju duljinu će prijeći u vremenu 2 · t?

Rješenje 615

h1 = h, t1 = t, t2 = 2 · t, h2 = ?



2,

1

2h g t= ⋅ ⋅


1.inačica

1podijelimo 2

1jednadžb

1 2 1 2 21 1 2 22 2 2 2

1 2 21 2 1 11 12 2 22

e

2

h g t g t th h

h hg t th g t

g

g

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2

21 1 1 1 1 11

h t h t h h ht

h h t h t h h

t

tt

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

/1

2 24 4 4 4 .2 1 2

1 1

h hh h h h

h hh⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅

Na Marsu to bi se reklo: ''U vremenu 2 togga kamen će prijeći duljinu 4 glonga.''

2.inačica

A ovako se radi na Zemlji!

Pogledajmo formulu za slobodni pad!

1 2.

2h g t= ⋅ ⋅

Uočimo da je visina h razmjerna sa kvadratom vremena t2.

21 2.

2h tg h t= ⋅ ⋅ ⇒ ∼

Za 2 puta dulje vrijeme kamen će prijeći 4 (22) puta dulji put.

Vježba 615

Marsovac istražujući Zemlju zabilježi da kamen, ispušten sa visoke litice, prijeđe duljinu

jednog glonga u vremenu jednog togga. Koju duljinu će prijeći u vremenu 3 togga?

Rezultat: Devet puta veću duljinu.

19

Zadatak 616 (Mehaničarka, srednja škola)

Kamen je bačen vertikalno prema gore brzinom 30 m / s. Jednu sekundu kasnije drugi je

kamen bačen s istog mjesta prema gore tako da su se sudarili u trenutku kada je prvi dostigao najveću

visinu. Kojom je brzinom bačen drugi kamen? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 616

v0 = 30 m / s, ∆t = 1 s, g = 9.81 m / s2, v1 = ?



pada. Zato mu je put s u času kad je prošlo vrijeme t dan ovim izrazom:

1 2

2.s v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

�

Najviši domet H što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest put u času kad je v = 0. Onda je

,

2

2.

v vt H

g g= =

⋅

� �

Prvi kamen postigao je najviši domet H za vrijeme t:

•

2

302

45.872

2 9.812

m

v sH m

mg

s

= = =⋅

⋅

�

•

30

3.06 .

2 9.812

m

v st smg

s

= = =

⋅

�

Sekundu kasnije bačen je drugi kamen početnom brzinom v1. Da bi postigao najviši domet H prvog

kamena za gibanje drugog kamena mora vrijediti jednadžba:

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

1 12 2H v t t g t t v t t g t t H= ⋅ − ∆ − ⋅ ⋅ − ∆ ⇒ ⋅ − ∆ − ⋅ ⋅ − ∆ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

1 12 2

1/v t t H g t t v t t H

t tg t t⇒ ⋅ − ∆ = + ⋅ ⋅ − ∆ ⇒ ⋅ − ∆ = + ⋅ ⋅− ∆

− ∆⋅ ⇒

( ) ( )1 21 2 45.87 9.81 3.06 1

222 32.37 .1 3.06 1

mm s sH g t t

msvt t s s s

+ ⋅ ⋅ −+ ⋅ ⋅ − ∆

⇒ = = =− ∆ −

Vježba 616

Kamen je bačen vertikalno prema gore brzinom 108 km / h. Jednu sekundu kasnije drugi je

kamen bačen s istog mjesta prema gore tako da su se sudarili u trenutku kada je prvi dostigao najveću

visinu. Kojom je brzinom bačen drugi kamen? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)


Zadatak 617 (Davor, srednja škola)

Kolika je brzina tijela ako bačeno vertikalno uvis postigne najviši domet 20 m na Veneri i na

Zemlji? Nađite omjer tih brzina. (ubrzanje slobodnog pada na Veneri g1 = 8.86 m / s2, ubrzanje

slobodnog pada na Zemlji g2 = 9.81 m / s2)

Rješenje 617

h = 20 m, g1 = 8.86 m / s2, g2 = 9.81 m / s2, v10 = ? v20 = ?


20

Vertikalni hitac uvis sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog

pada. Zato mu je brzina v u času kad je prošlo vrijeme t dana ovim izrazom:

0.v v g t= − ⋅

Najviši domet h što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest put u času kad je v = 0. Onda je

2 .v g h= ⋅ ⋅�

Da bi tijelo postiglo najviši domet h njegova početna brzina mora biti:

• na Veneri

2 2 8.86 20 18.8310 1 2

m mv g h m

ss

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

• na Zemlji

2 2 9.81 20 19.81 .20 2 2

m mv g h m

ss

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Omjer brzina iznosi:

2 2220 20 20 202 2 2

2210 10 1

2

210 1 10 11

g hv v v vg h g g

v v g h v g v g

h

g hh

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

9.812

20 20 1.05.

10 108.862

m

v vs

mv v

s

⇒ = ⇒ =

g2g1

Vježba 617

Kolika je brzina tijela ako bačeno vertikalno uvis postigne najviši domet 0.02 km na Veneri i

na Zemlji? (ubrzanje slobodnog pada na Veneri g1 = 8.86 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na Zemlji

g2 = 9.81 m / s2)

Rezultat: 18.83 m / s, 19.81 m / s.

Zadatak 618 (Fizičarka, gimnazija)

Tijelo klizi niz kosinu koja je prema horizontali nagnuta za 45º. Pošto je tijelo prešlo put

36.4 cm dobilo je brzinu 2 m / s. Koliki je faktor trenja između tijela i kosine? (ubrzanje slobodnog

pada g = 9.81 m / s2).

Rješenje 618

α = 45º, s = 36.4 cm = 0.364 m, v = 2 m / s, g = 9.81 m / s2, µ = ?

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

21

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovu poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

am

=

Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.

Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba.


,

22

22

vv a s a

s= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

Tijelo počinje kliziti niz kosinu pa njegova akceleracija iznosi:

2

.2

va

s=

⋅

Silu težu G→

koja djeluje okomito prema zemlji možemo rastaviti u dvije komponente: komponentu

2F→

okomitu na kosinu i komponentu 1

F→

paralelnu s kosinom. Sa slika vidi se:

G

F2

F1

Ftr

αααα

αααα

αααα

• /1 1 1sin sin sin sin sin .1 1

GF F F

F G F m gG G G

α α α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⋅

• /2 2 2cos cos cos cos cos .2 2

GF F F

F G F m gG G G

α α α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⋅

Budući da tijelo počinje kliziti niz kosinu, rezultantna sila F koja ga ubrzava jednaka je razlici

22

komponente F1 i sile trenja Ftr.

1/ 1

1 1 2 1 2 122

F FF F F F F F F F F F F Ftr tr

F Fµ µ µ

−= − ⇒ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⇒

Drugi Newtonov pouča sin sin

cos cos c

k

os

m g m a m g

F m a

m a

m g m g m g

α αµ µ

α α α

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒ = − ⇒

⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

sin sin

cos

sin

ccos cos o osc s

m g mt

a a

m g gg

m g

α α αµ

αµ

α α αα

α=

⋅ ⋅ ⋅⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2

2 2coscos cos

1

2

2

v v

a s stg tgv

a tggg s g

µ α µ α µ ααα α

⋅ ⋅⇒ = − ⇒ = ⇒ = − ⇒ −⋅⋅

= ⇒⋅ ⋅

2

22

45 0.21.2 cos

2 0.364 9.81 cos 452

m

v stg tg

ms gm

s

µ αα

⇒ = − = − =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

�

�

Vježba 618

Tijelo klizi niz kosinu koja je prema horizontali nagnuta za 45º. Pošto je tijelo prešlo put

3.64 dm dobilo je brzinu 2 m / s. Koliki je faktor trenja između tijela i kosine? (ubrzanje slobodnog

pada g = 9.81 m / s2).

Rezultat: 0.21.

Zadatak 619 (Dominik, srednja škola)

Koliko je puta domet na Mjesecu veći od dometa na Zemlji, ako su jednaki početni uvjeti

gibanja tijela? (ubrzanje slobodnog pada na Mjesecu g1 = 1.62 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na

Zemlji g2 = 9.81 m / s2).

Rješenje 619

g1 = 1.62 m / s2, g2 = 9.81 m / s2, 1 ?

2

x

x=



zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada. Domet kod kosog hica računa se po formuli:

2sin 2

.v

xg

α⋅= �

domet na Zemljipodijelimo

jednadžbedomet na Mjes

2 2sin 2 sin 21

1 1 122 sin 2sin 2

ec2

u2

22

v vx

g x g

x vvx

gg

α α

αα

⋅ ⋅=

⇒ ⇒ = ⇒⋅⋅

=

� �

��

23

19.81

21 1 1 1 1 2 1 1 6.06.

12 2 2 1 2 21.62

222

2sin 2

2sin 2

m

x g x g x g x xs

mx x x g x

gv x

sg

v α

α

⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ≈

⋅

�

�

Vježba 619

Koliko je puta domet na Zemlji veći od dometa na Neptunu, ako su jednaki početni uvjeti

gibanja tijela? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na

Neptunu g2 = 13.80 m / s2).

Rezultat: 1.41.

Zadatak 620 (Dominik, srednja škola)

Dometu x1 = 100 m na Zemlji odgovara domet x2 na Neptunu. Koliko on iznosi uz iste

početne uvjete? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na

Neptunu g2 = 13.80 m / s2).

Rješenje 620

x1 = 100 m, g1 = 9.81 m / s2, g2 = 13.80 m / s2, x2 = ?



zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada. Domet kod kosog hica računa se po formuli:

2sin 2

.v

xg

α⋅= �

domet na Zemljipodijelimo

jednadžbedomet na Nept

2 2sin 2 sin 21

1 2 222 sin 2sin 2

un1

u2

12

v vx

g x g

x vvx

gg

α α

αα

⋅ ⋅=

⇒ ⇒ = ⇒⋅⋅

=

� �

��

2sin 2

/12

sin

1

2 2 2 2 2 1 2 1 12 11

1 1 1 2 1 2 2

1

2

1

x g x g x g x g gx x

x x x g x g g

gg

v

x

v

α

α

⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =⋅ ⋅

⋅

�

�

9.812

100 71.09 .

13.802

m

s m mm

s

= ⋅ =

Vježba 620

Dometu x1 = 10 dm na Zemlji odgovara domet x2 na Neptunu. Koliko on iznosi uz iste

početne uvjete? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na

Neptunu g2 = 13.80 m / s2).

Rezultat: 71.09 m.

Documents

halapa.comhalapa.com/fizpdf/2fs601.pdf · Kada se voza č giba brzinom v 0 i u trenutku kada ugleda prepreku do ko čenja pro đe vrijeme t pa put reagiranja iznosi: s v tr = ⋅0