KAKO DJECA UČE MATEMATIKU

PAMELA LIEBECKSANELA MITROVIĆ

KRISTINA OREMUŠ

O KNJIZI

Pamela Liebeck: Kako djeca uče matematiku: metodički priručnik za učitelje razredne nastave, nastavnike i profesore matematike – Zagreb: Educa, 1995.

ŠEST PITANJA O TOME ZAŠTO I KAKO UČITI MATEMATIKU

1. ZAŠTO POUČAVAVTI MATEMATIKU? matematika služi u svakodnevnom životu, znanosti,

trgovini i industriji, jer je moćno, sažeto i nedvosmisleno sredstvo komunikacije. objašnjavanja i procjene

moć joj je u znakovima koji imaju vlastitu “gramatiku” i “sintaksu”

matematika razvija logičko mišljenje i estetički je ugodna

2. ZAŠTO LJUDI VOLE MATEMATIKU? korisna je njezina privlačnost je u intelektulanom i setetičkom

zadovoljstvu koje pruža djeca vole matematiku zbog njezinih intelektualnih i

estetičkih obilježja, baš kao što vole glazbu ili umjetnost

3. KAKO MATEMATIKA MOŽE GODITI OSJEĆAJU ZA LIJEPO SLIČNO GLAZBI ILI UMJETNOSTI? naše osobine utječu na to kako reagiramo a glazbu ili

umjetnost, kao što ne volimo svi jednaku vrstu glazbe tako ne volimo svi jednaku vrstu matematike i ne može od djeca to očekivati

u uglazbi i umjetnosti uživamo jer volimo obrasce, isto tako je i s matematikom (primjer: zbroj prvih stotinu neparnih brojeva)

4. MATEMATIKA SE ČESTO NAZIVA “APSTRAKTNIM” PREDMETOM. ŠTO SE TIME MISLI? matematika je apstrakcija stvarnosti npr. “dva” ne možete shvatiti ako ne vidite puno parova (par

očiju, par cipela...),dok ne izlučite što im je zajedničko ne možete shvatiti “broj” dok niste shvatili “dva”, “tri” i druge

slične pojmove “broj” je apstrakcija iz mnoštva apstrakcija; “zbrajanje brojeva”

je apstrakcija na još višoj razini od “broja” u matematici postoji hijerarhija apstrakcija (ne možemo

razumijeti nijedan matematički pojam ako ne razumijemo podređene pojmove)

nastavnikova zadaća: provesti djecu kroz tu hijerarhiju a da pritom se izgube vezu sa stvarnim svijetom

5. KAKO DA SHVATIM TU HIJERARHIJU? KAD VIDIM ZNAK “143”, NE ZAMIŠLJAM STOTINU ČETRDESET TRI PREDMETA. JESAM LI IZGUBIO VEZU SA STVARNOSTI? Niste! znakovi su bitan dio matematike – zbijaju pojmovnu

hijerarhiju u oblike kojima se može “baratati” ne trebate zamisliti stotinu četrdeset tri predmeta kad vidite

znak “143” al trebate znati sustav bilježenja prema kojemu je 4 četiri skupine po deset, a 1 je stotia, odnosno deset skupina po deset

6. KAKO DIJETE RAZVIJA APSTRAKTNO MIŠLJENJE? djetetovo matematičko iskustvo mora se razvijati slijedom

apstrahiranja: I – iskustvo fizičkih predmeta G – govorni jezik koji opisuje to iskustvo S – slike koje pokazuju to iskustvo Z – pismeni znakovi koji generaliziraju to iskustvo

OBLIKOVANJE POJMOVA

važni početni matematički pojmovi su puno, nekoliko, više, manje, dugo, kratko, jednake duljine, dulje, kraće, okruglo, plosnato, ravno i zaobljeno

PITANJA: Kako djeca usvajaju takve pojmove? Kako saznati jesu li ti pojmovi jednaki našima?

odgovori na ta pitanja se kriju u 4 temeljne aktivnosti: pridruživanje, razvrstavanje, sparivanje i nizanje

1. PRIDRUŽIVANJE djeca spontano usvajaju pojmove uočavanjem i

izborom zajedničikih pojedinim iskustvima pridruživanje je riječ kojom opisujemo izbor

zajedničkih osobina; način kako djeca uče pravilno upotrebljavati jezik

u svakom pridruživanju izaberu se iskustva s traženim obilježjem, a odbace se ona koja ih nemaju; potrebno je znati koje iskustvo ima određena obilježja a koje iskustvo ta ista obilježja nema

ZADACI PRIDRUŽIVANJA: djeca moraju imati odgovarajuća iskustva koja će ih

potaknuti na to da pridružuju predmete te ih moramo naučiti riječi kojma će opisati uočena zajednička obilježja

početni zadaci moraju uključivati pojmove koje su djeca već usvojila ili su na putu da ih usvoje

PRIMJERI: Dugo i kratko. Djeca upotrebljavaju riječi “dugo” i

“kratko” tako da vizualno uspoređuju dužine. Treba im zadati da slože dugi i kratki vlak od kockica ili da iz kutijice s vrpcama izvade jednu kratku.

Okruglo. Prikupimo predmete raznih oblika (kutije, konzerve, lopte, stošce). Izaberemo one koji se kotrljaju i kažemo: “Lopta se kotrlja jer je okrugla, a konzerva se kotrlja jer je jednim dijelom okrugla.

2. RAZVRSTAVANJE u razvrstavljanju se traži da se neki skup rastavi u

nove skupove sa zajedničkim obilježjima složenije od pridruživanja javlja se u igri i pospremanju igračaka

3. SPARIVANJE važno za uvođenje pojmova u svezi s brojem: mnogo,

nekoliko, jednako, više, manje, ... Primjer: Želimo vidjeti ima li u nekoj prostoriji više

stolica ili ljudi? “sparimo” svaku osobu sa stolicom na kojoj sjedi i pogledamo ima li višak stolica ili ljudi. Pokušali smo izvršiti “pridruživanje jedan-jedan”

sparaivanje je aktivnost bitna za pojam broja i puno je jednostavnija od brojenja

javlja se u igri (stavite jahača na svakog konja, autić u svaku garažu), pričama (stolac za tatu medu, stolac za mamu medu, stolac za bebu medeka) i svakodnevnim aktivnostima (piće za svakog, olovka za svako dijete)

4. NIZANJE nizanje predmeta traži da se razumiju pojmovi prvi,

pokraj, posljednji, između javlja se u igri, pričama te svakodnevnim aktivnostima

BROJENJE djeca prvo moraju znati nazve brojeva po redu (ne

moraju razumjeti što te riječi znače) tek onda trebaju naučiti prebrojiti skup predmeta

moraju naučiti izabrati posljednji broj koji su izrekli i povezati ga s čitavim skupom prebrojenih predmeta

PRIMJER: “Igra štedne kasice” prikladna je ako se želi

uspostaviti veza između rednog i glavnog broja. Djeca u kasicu ubacuju jedan po jedan novčić i pritom broje: “Jedan, dva, tri, četiri.” Zatim ih se pita koliko je novčića u kasici. Djeca koja su povezala dva značenja reći će “četiri”, dok ona koja to još nisu uspjela otvorit će kasicu i prebrojati novčiće.

“Za jedan više”. Važno je da djeca shvate ne samo “što je četiri u četiri” nego i da skup četiriju predmeta sadrži za jedan više od skupa triju predmeta.

slike ili predmeti mogu poslužiti kao polazna točka za priču ili pjesmicu poput ove:

ODRŽANJE BROJA

Pretpostavimo da je Robert ispravno prebrojio niz os sedam figurica i da je rekao: “Ima sedam figurica.” Pomiješamo ih i pitamo: “Koliko sad ima figurica?”. Ako Robert ponovo počne brojati on nije usvojio pojam održanje broja. Dijete koje je pojam usvojilo odgovorit će da ih je sedam jer shvaća da bez obzira na redoslijed figurica njihov broj se nije promijenio.

VAŽNO: Dok djeca ne shvate održanje broja, neće shvatiti ni važnost brojenja.

ZNAMENKE znamenke su znakovi koje upotrebljavamo za

prikazivanje brojeva; kad ih upotrebljavamo upotrebljavamo brojeve u apstraktnom obliku

djecu možemo naučiti da prepoznaju znamenke kao zamjenu za nazive brojeva; na zid možemo objesiti veliku brojevnu vrpcu, najprije sa znamenkama os 1 do 5 i postupno dodavati znamenke do 10; djeca mogu čitati te znamenke s lijeva na desno i pokazivati ih dok izgovaraju imena brojeva u nizu

djeca trebaju početi učiti pisati svaki znak (znamenku) od odgovarajućeg mjesta

PREMA ZBRAJANJU I ODUZIMANJUZBRAJANJE da bi djeca razumjela izraz 3 + 2 = 5 mora ih se

upoznati s mnogo stvarnih situacija kada se vidi da je tri predmeta i još dva predmeta pet predmeta

npr. “Tri mačića su crna i dva prugasta, dakle ukupno je pet mačića.”, “Tri crvena autića i dva plava autića je pet autića.”, itd.

znak “+” se čita “više”, a znak “=“ se čita “jednako je” (npr. 3 + 2 = 5 tri više dva jednako je pet)

I-G-S-Z za zbrajanje: I – stavljaju tri crvena i dva plava autića na jednu stranu G – kažu: “Imamo tri crvena i dva plava autića, ukupno pet

autića” S – crtaju slike kojima bilježe svoja iskustva Z – napišu brojevni izraz 3 + 2 = 5

ODUZIMANJE znak “–”se čita “manje” važno je da djeca nauče povezati pojam “više” s “+”

a pojam “manje” s “–” djeci će kao uvod u oduzimanje 5 – 3 biti mnoge

radnje u kojima će oduzimati skup od tri člana od petočlanog skupa a preostali elementi će se prebrojati

PRIMJERI: Složite pet žlica pa maknite tri a ostavite dvije ili dajte lutki pet slatkiša, neka “pojede” tri, a dva neka ostanu, itd.

kad takve radnje prikažemo slikama, precrtat ćemo slike oduzetih predmeta:

5 – 3 = 2

čitamo: “Pet manje tri jednako dva”

djeci se daju radni listići kad djeca ispune radni listić trebala bi naglas pročitati

jedan brojveni izraz i smisliti priču o njemu (npr. “Na voćki je bilo pet jabuka i tri su pale, pa su ostale dvije jabuke na stablu”

RAZVOJ DJETETA psihološka istraživanja dječjeg ponašanja i mišljenja su

važna odraslim osobama koje se bave djecom

JEAN PIAGET Piaget je sastavljao testove o održanju broja, dužine,

obujma koji su bili u obliku pojedinačnih razgovora, na temelju njih je provjeravao usvojenost nekog pojma

Piagetova teorija kognitivnog razvoja: Prvo razdoblje: senzorno-motoričko razdoblje (od

rođenja do 18 mjeseci) – bebe su sklone selektivnom odabiru određenih aspekata svoje okoline; bebe nauče poezati osjet s radnjom (npr. shvate da će se kuglice na krevetiću pomaknuti ako ih dodirnu); djeca usvajaju pojam stabilnosti predmeta (predmeti postoje ako ih može vidjeti ili dodirnuti); upoznaju i pojam reverzibilnosti (npr. unedogled će nekome dodavati igračku ako će ju ta osoba vraćati)

Drugo razdoblje: intuitivno razdoblje (od 18 mjeseci do sedme godine) – sposobnost djeteta da prikaže i jasno se očituje u izoru riječi kad treba opisati predmete, radnje i odnose između predmeta; djetetova percepcija je dobro razvijena; dijete je uvjereno da je svijet onakak kakvim ga vidi – egocentrizam i sebe smatra pokretačem svijeta

Treće razdoblje: konkretno-operacijsko razdoblje (od sedme do dvanaeste godine) – dolazi do sve češće primjene logike u fizičkim situacijama, stvarnim ili zamišljenim; dijete izgrađuje mentalne kategorije kojima poopćuje fiičke situacije s brojevima; produbljuje se njegovo shvaćanje reverzibilnosti; djetetova sposobnost logičkod zaključivanja se povećava i on stvara tranzitivne zaključke

Četvrto razdoblje: formalno-operacijsko razdoblje (od dvanaeste godine nadalje) – sposobnost da se dokazuju apstraktne postavke i zaključuje isključivo na temelju logike

OSPORAVATELJI PIAGETOVE TEORIJE: Piagetovu teoriju su osporavali zbog četiri postavke: da razvojne faze nisu jednake u sve djece (npr. afrička

djeca usvoje pojam broja puno kasnije nego europska, ali pojam “vodoravan” shvate puno ranije)

da se razvoj može ubrzati učenjem (učenje je razvojni proces na koji poučavanje može utjecati)

da ozbiljno podcjenjuje moć zaključivanja u male djece (Piaget je tvrdio da djeca od sedme godine mogu donositi tranzitivne zaklučke no pokazano je da to nije točno: djeca ranije donose tranzitivne zaključke)

da unekoliko zanemaruje način kako mala djeca tumače jezik (djeca tumače bit rečenog općim kontekstom riječi, gestama i izrazom lica koji ih prate te žele “shvatiti” što drugi ljudi čine i kažu; jezik djeci služi kao jedan od pokazatelja kako pogoditi namjere drugih ljudi (dokaz da nisu egocentrična) te njihov neuspjeh nije posljedica egocentričnosti ili nerazvijene sposobnosti zaključivanja. nego nesposobnosti da se izluči jezik iz konteksta i raščlani per se)

MJERENJE Djeca moraju naučiti kako se služiti jednostavnim

instrumentima za mjerenje standardnim jedinicama.

1.Dužina-djeca na početku upotrebljavaju kartonsko ravnalo dužine 10 cm s 10 obojenih traka širine 1 cm. Djecu bi trebalo poticati da procjenjuju duljine predmeta prije no što ih izmjere, jer će tako početi razmišljati o važnosti izmjerene vrijednosti. Dijete koje slučajno okrene metarsko ravnalo naopako dok mjeri ormarić visine 37 cm, pročitat će znamenku 60 i nastaviti brojiti 61, 62, 63 ali ako je prethodno procjenilo da je njegova visina 40cm, vjerojatno će preispitati svoje mjerenje i pronaći grešku.

2. Masa-djeca upotrebljavaju kuglice od plastelina koje imaju 100 grama. Možemo doneti i uteg od 1kg kako bi djeca uočila da uteg ima masu od 10 kuglica.

3. Obujam-jedinica najprikladnija za nastavu je desetina litre. Čašice od jogurta se mogu skratiti na tu veličinu. Djeci damo posudu od jedne litre i čašice od desetine litre te im pokažemo da u posudu stane 10 čašica tekućine.

4. Površina-dva lika koja se poklapaju imaju jednaku površinu, lik koji potpuno leži unutar drugoga ima manju površinu od tog drugog lika.

Ne bismo smjeli pokazivati likove koji se preklapaju tako da se ne vidi jasno koji ima veću površinu.

5. Vrijeme-pokažemo djeci štopericu koja mjeri sekunde. Štoperica ima drugu kazaljku koja se pomiče svake sekunde, djeca prate kazaljku i uočavaju da je za jedan obilazak potrebno 60 sekundi, tada im treba reći da se taj vremenski razmak naziva minuta.

6. Očitavanje vremena-djecu najprije naučimo pune sate: velika kazaljka pokazuje u puni sat na 12, a mala na znamenku koja nam kaže o kojem se punom satu radi. Zatim ćemo štopericom mjeriti minutu i pratiti što se događa sa velikom kazaljkom, tada ćemo je nazvati kazaljkom za minute.

RAČUNSKE RADNJE S BROJEVIMA DO STOTINU

Zbrajanje-treba biti usmeno, odlično pomagalo za to je kvadrat sa stotinu polja.

Oduzimanje-pomagalo je isto kvadrat od stotinu polja

Pismeno računanje-moraju složiti brojeve u stupce za desetice i jedinice.

Izrada i učenje tablice množenja

Prvo ćemo napisati tablicu množenja sa brojem 5, u njoj se treba nastaviti do 12 zbog očitavanja vremena sa sata.

Drugo ćemo zapisati tablicu množenja sa brojem 3.

Postoji nekoliko igara kroz koje možemo vježbati tablicu množenja

Primjer: “Crni Petar”: na klupi se složi 20 karata, licem prema

dolje. Djeca naizmenično okreću dvije karte, ako te dvije karte označuju isti broj (npr. 7x3 i 21 ) dijete ih uzima, ako ne, vraća ih. Pobjednik je tko skupi najviše karti.

Kvadrati brojeva

Brojevi na dijagonali tablice množenja 1,4,9,16... suumnošci od 1x1,2x2,3x3,4x4...Možemo reći djeci da se takvi brojevi zovu kvadrati jer

semogu prikazati predmetima složenim u obliku kvadrata.

Razlomci-prvi koraci

Trebali bismo uvijek u početku govoriti o cjelini koje je razlomak stanoviti dio.

Ne bismo trebali govoriti samo o četvrtini, nego o četvrtini jabuke, četvrtini metra...itd

Razlomci i dužina-jednostavan način povezivanja razlomaka sa dužinom je da se uzme papirnata vrpca i preklopi tako da pregib dijeli vrpcu na dvije polovine, zatim preklopimo tu vrpcu još jednom i podijelili smo je na četvrtine a ako to još jednom učinimo podijelili smo vrpcu na osmine.

Razlomci i obujam-već smo spomenuli čašice od jogurta i posudu u koju stane 10 čašica tekućine, sada je lako uočiti da u čašicu stane desetina litre.

Razlomci i masa-ako je 10 kuglica plastelina jednako 1 kg, zaključit ćemo da masa svake kuglice iznosi desetinu kilograma.

Grafikoni Grafikon-crtež koji pokazuje odnos između dviju ili

više brojevnih veličinaHistogrami

Od pete godine djeca mogu crtati histograme, broj kategorija je u početku ograničen na dvije a može se postepeno povećavati prema potrebi.

Množenje brojeva većih od onih u tablici množenja

Primjer: 4 x 20 = 4 x (2 x 10)=(4 x 2) x 10=8 x 10=80

Primjer: 26 x 4=20 x 4+6 x 4=80+24=104 Kao i uvijek računanje moramo popratiti pričama, pa

za 26 x 4 bi moglo biti: 26 automobila imat će 104 kotača.

Dijeljenje Primjer: Podijelite 600 krumpira u tri kutije! Koliko će krumpira biti u svakoj kutiji?

600=3 x 200 600=200 x 3 U svakoj će kutiji biti 200 krumpira!

TEORIJE UČENJA PIAGET

Piagetova istraživačka metoda kaže da je kognitivni razvoj isprepleten s biološkim razvojem

Piaget tvrdi da se kognitivni razvoj odvija u nepromjenjivom slijedu i da je to potpuno biološki proces koji se ne može ubrzati nikakvim poučavanjem

Prema Piagetu, učenje je posebna kategorija, ono se odvija kroz međudjelovanje s okolinom.

Piaget je postulirao 3 temeljna procesa učenja:1. Oblikovanje mentalnih pojmova2. Prilagodbi tih pojmova iskustvu3. Povezivanje pojmova u strukture Primjer na pojmu “lopta”:

1. Dijete pokazuje da barata pojmom “lopta” kad je vadi ispod pokrivača kojim je bila pokrivena. Nisu mu njegova osjetila već njegov razum rekli da je lopta ondje.

2. Pokazuje da je preradio pojam lopta jer i druge predmete naziva lopta iako se razlikuju veličinom i bojom.

3. Pokazuje da je povezao pojmove u strukturu kad nam kaže “lopta kotrlja”.Povezuje dva pojma “lopta” i “kotrljati se”

Piaget tvrdi da je prilagodba najbitniji element učenja.

Prilagođujemo se na dva načina:

1.Asimilacija- proces uklapanja naših novih iskustava u postojeće pojmove.

Primjer:Dijete koje je vidjelo 5 automobila i to povezalo s opisom 5 mačića, asimiliralo je novo iskustvo

u svoj pojam pet

2.Akomodacija-regulatorni proces kojim ili sužujemo ili proširujemo naše pojmove.

Primjer:Djeca koja su naučila da znak “5” predstavlja “pet” moraju proširiti svoj pojam tog znaka kad se nađu

pred brojem “54”

SKEMP

Britanski psiholog Richard Skemp, rekao je da pojmovi što ih ljudi oblikuju čine hijerarhiju.

Smatra da ne možemo usvojiti pojam boja dok ne shvatimo da predmeti imaju obilježja crvenog, žutog, plavog...itd. Isto tako ne možemo oblikovati pojam broj ako nismo razvili pojam dva, tri, četiri...itd

Skemp je predložio teoriju učenja koja uzima u obzir važno pitanje ciljeva i motivacije.

Smatra da osjećaji imaju najvažniju ulogu u načinu kako učimo

BRUNER

Jerome Bruner je jedan od psihologa koji je osporio Piagetovu tvrdnju kako je učenje podređeno biološkom razvoju.

Bruner tvrdi da se svaka ideja ili znanje može prikazati u dovoljno jednostavnom obliku da bi ga svaki učenik mogao rezumjeti u prepoznatljivom obliku

Brunerova teorija poučavanja:

Za nastavnike je najvažnije da razmisle o:1. Predispoziciji djece za učenje

Predispoizicija-volja za učenjem je duboko usađena, djecu ne možemo sprečiti da uče, jer su znatiželjna, no tu znatiželju je potrebno usmjeriti.

2. Načinu kako je znanje ustrojeno

Ustroj znanja-zadaci što ih djeca rješavaju trebali bi se očito moći pojednostaviti. Učiteljeva uloga je pomoći djeci rječima izraziti što su učinili tako da mogu razvini željene pojmove.

DIENES

Učenje je proces silno složene igre Dienes opisuje dva tipa igre: primarni i

sekundarni Primarna igra

aktivnost s materijalima radi zadovoljenja neposrednih želja i nagona

Sekundarna igra

aktivnost koja se vrši svjesno i kojoj je cilj nešto izvan neposrednog zadovoljenja želja.

ZAŠTO DJECA “NE ZNAJU” MATEMATIKU?

Na to ćemo pitanje odgovoriti uz pomoć sljedećih pojmova: Brzina učenja : djeca uče na različite načine i

različitom brzinom. Zabrinutost : mnogi su psiholozi pokazali da

velika zabrinutost ometa učenje. Razumjevanje : trajan proces, kroz čitav život

trajno se šire ili sužavaju naši pojmovi i tako produbljuju naše razumijevanje svijeta.

Odnos : istraživaja su pokazala da se do djetetove jedanaeste godine oblikuje njegov odnos prema matematici. Odrasle osobe koje kažu da ne znaju matematiku takav su odnos imale već sa 11 godina. A ko nešto ne volite nastojite to izbjeći i kod vas se stvara “blokada”.

ZAKLJUČAK

Autorica ove knjige nam izdvaja citat njezine profesorice violončela: “ Ako u jednom trenutku čuješ da sviraš falš, vjerojatno si i prije toga falšao.”

Ako se u matematici u jednom trenutku osjećate izgubljenim, vjerojatno i prije nešto niste dobro shvatili iako se to nije vidjelo. Dopustimo li djeci da u matematici “falšaju”, u budućnosti će imati mnoge problema.