KALİBRASYONDA ÖLÇE BELİRSİZLİĞİ

GİRİŞ

“Belirsizlik” sözcüğü tek başına kullanıldığında “kesin olmayış”, “güvenilir olmayış” gibi

olumsuz anlamlar çağrıştırır. Ancak, “ölçüm belirsizliği” veya “kalibrasyon sonucunun

belirsizliği” gibi teknik deyim biçiminde kullanıldığında, daha özgül, daha masum bir anlama

bürünür. Ölçüm belirsizliği ölçüm sonucuyla beraber mutlak bir sürette yer alması gereken bir

parametredir. Bunun bir çok nedeni var. Örneğin, herhangi bir laboratuvar belirli bir

büyüklüğün ölçümünü yaparak tek bir sonuç beyan etmiştir. Bir başka laboratuvar da aynı

ölçümü gerçekleştirdikten sonra farklı bir sonuca ulaşmıştır. Bu durumda iki laboratuvar

tarafından bulunan değerler arasındaki farkın neden kaynaklandığının yorumu bir hayli

zordur. Oysa, ölçüm sonucuyla birlikte belirsizlik değeri de verilirse, her laboratuvar bu

ölçümde sonuçların bulunabileceği aralık güvence altına almış olacak. İki laboratuvar güvence

altına aldıkları aralıkların örtüşmesi halinde yoruma açık bir durum söz konusu değildir.

Dolayısıyla, ölçüm belirsizliği saptanıp ölçüm sonucu ile birlikte verildiğinde, elde edilen

değerlerin olası hangi aralıkta yer alacağını ve güven düzeyini yansıtır [1]. İki farklı

laboratuvar aynı ölçümü gerçekleştirme yeteneğine sahip olduğu zaman, daha düşük

belirsizlik değeri veren laboratuvarın teknik kapasitesi diğerine göre daha üstün sayılır.

Ölçüm belirsizliğinin hangi şekilde ve ne amaçla kullanıldığını açıklamak için basit bir

laboratuvralararası karşılaştırma örneğini inceleyelim. 5 farklı metroloji laboratuvar 100 g’lık

nominal kütleye sahip bir kütle standardının kalibrasyonunu gerçekleştirdiğini varsayalım.

Herbir laboratuvar tarafından kütle değeri ve bunun belirsizliği için beyan ettikleri değer

Tablo 1’de verilmiştir.

Tablo 1. Laboratuvarlararası karşılaştırma sonuçları

Laboratuvar Ölçüm Sonucu (g) Belirsizlik (g) Ortalamadan Sapma

(g)

A 100.02 0.03 -0.04

B 100.10 0.06 +0.04

C 100.08 0.03 +0.02

D 100.04 0.05 -0.02

E 100.07 0.04 +0.01

Ortalama 100.06

Laboratuvarların beyan ettikleri kütle değerleri mA, mB, mC, mD ve mE kullanılarak ortalama

kütle değeri m aşağıdaki formülle hesaplandığında 100.06 g bulunmuştur.

Ölçüm sonucu rapor edilirken, sonucun kalitesini belirten sayısal bir gösterge olmalıdır ki

bu sonucu kullanan kişiler sonucun güvenilirliğini tayin edebilsinler.

Ölçüm kalitesinin ve ölçüm sonuçlarının güvenilirliğinin göstergesi belirsizlik

değeridir.

2

g5

07.10004.10010.10002.100

5

mmmmmm EDCBA 100.06 g

Tablodaki veriler incelendiğinde, sadece laboratuvarların beyan ettikleri belirsizlik değerleri

dikkate alınırsa en iyi kalibrasyon yeteneğine A ve C laboratuvarlarının sahip olduğu kararı

verilebilir. Çünkü A ve C laboratuvarları karşılaştırmada kullanılan referans kütlenin

kalibrasyonunu diğer laboratuvarlardan daha düşük bir belirsilikle gerçekleştirmişler. Ancak

Şekil 1. Karşılaştırma sonuçlarının grafiksel gösterimi

laboratuvarlararası karşılaştırmaların sonuçlarını değerlendirme aşamasında daha önemli bir

kriter kullanılmaktadır. Kritere göre her laboratuvarın beyan ettiği değerin ortalama değerden

farkı beyann etiği belirsizlikten küçük olmalıdır. İkinci kritere göre değerlendirme yapılırsa A

laboratuvarının karşılaştırma sonuçlarının tatmin edici olmadığı kararına varılabilir. Verilen

bu örnekte en basit değerlendirme örneği kullanılmıştır. Karşılaştırmalarda ortalama değer

yerine karşılaştırmanınn referans değeri olarak adlandırılan parametre kullanılmaktadır.

Referans değer ise farklı ölçüm dallarında farklı yöntemlerle hesaplanmaktadır. Bu aşamada

yukarıdaki örnekteki gibi genel ortalama hesaplanabilir veya sadece laboratuvarların beyan

ettikleri sonuç değil belirsizlik değerini de dikkate alan ağırlıklı ortalama, veya median

değerleri kullanılabilir [1].

99.90

100.00

100.10

100.20

A B C D E

Laboratuvar

Kü

tle D

eğ

eri

(g)

O rtalama

3

Belirsizlik Hesaplarının Tarihçesi

1960 yıllara kadar hem metroloji hem de mühendisliğin farklı dallarında kullanılan terimler

hata ve hata analiziydi

1970 yıllarda terimler sözlüğüne belirsizlik kelimesi dahil edildi

1977-1978 yıllarında BIPM’in 32 ulusal laboratuvarın katılımıyla gerçekleşen anket çalışması

1979 yılında BIPM’in önerisi doğrultusunda ISO bazında TAG4/WG3 çalışma grubu kuruldu

1981 yılında Belirsizlik Hesapları ile ilgili ISO TAG4/WC3’ün ilk önerileri sunuldu

1981, daha sonra 1986 ve 1991 yıllarında öneriler revizyondan geçirildi

1993 yılında ISO tarafından kılavuz niteliğinde “Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurement” hazırlanarak yayınlandı.

4

1. GENEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR

Ölçüm ve kalibrasyonlardaki belirsizlik hesaplamalarında kullanılan temel yöntemlerden

bahsetmeden önce, metrolojide sık sık kullanılan bazı tanımların açıklanması gerekir.

KALİBRASYON

( CALİBRATİON )

Tanımlanmış şartlar altında, ölçme sistemi veya ölçüm cihazının göstermiş olduğu değer

(yada referans materyal değerleri) ile buna karşılık gelen standartlarda yer alan değerlerin

karşılaştırılması işlemleri dizisidir.

Kalibrasyon sonuçları standartlara karşılık ölçülen büyüklüklerin belirlenmesinde

kullanılabileceği gibi, bu standartlara göre oluşan düzeltme değerlerinin tayin edilmesinde de

kullanılabilir.

Kalibrasyon, ölçüm sonuçlarına etki eden önemli metrolojik özelliklerin saptanmasını sağlar.

Kalibrasyon sonuçları, kalibrasyon sertifikası yada kalibrayon raporu adı altında

belgelendirilmelidir.

Kalibrasyon; standartlara karşılık gelen ölçülen büyüklüğü ortaya koymayı sağlar, elde

edilen sonuçlara bağlı olarak herhangi bir ayar işlemini kapsamaz.

ÖLÇÜM

( MEASUREMENT )

Ölçüm; ölçülecek niceliğin sayılabilen, azalıp çoğalabilen durumunun ya da miktarının belirli

standartlarla (veya prosedürlerle) tanımlanmış işlemler sonucunda elde edilen tahmini

değerdir.

Ölçüm ile ölçülecek niceliğin değeri değil miktarı ortaya konulur.

Ölçüm (işlem)

Ölçüm (Sonuç)

Cihaz (İzlenebilirlik, kalibrasyon) Nominal Değer

Ortam Şartları Tekrarlanabilirlik

Yöntem Belirsizlik

Eleman Güvenilirlik

5

ÖLÇME İŞLEMİ

(PROCEDURE MEASUREMENT)

Ölçme işlemi aşağıdaki sıralama göz önünde bulundurularak yapılır.

Ölçülecek nesne belirlenir.

Ölçülecek büyüklük belirlenir.

Ölçülecek metod belirlenir.

Ölçülecek cihazların seçilir ve ölçüm düzeneğinin kurulur.

Ölçme işlemi gerçekleştirilir.

Ölçme sonuçları değerlendirilir ve kontrol edilir.

ÖLÇÜM SONUCU

(RESULT OF A MEASUREMENT)

Ölçülen büyüklüğün ölçüm sonucunda elde edilen değerdir. Ölçüm sonucunda tahmini bir

değer elde edildiği için yapılan ölçüme ait belirsizlik ifadesi ile birlikte verilmelidir. Ölçme

sonucunda elde edilen değerin aşağıdakilerden hangisi olduğu açıkça belirtilmelidir.

Gösterge Değeri

Düzeltilmemiş Sonuç

Düzeltilmiş Sonuç

DÜZELTME

(CORRECTİON))

Ölçüm sırasında ölçüm sisteminden kaynaklı sistematik hataların önceden belirlenmesi

gerekir. Bir ölçüm sonucuna, hesaplanan sistematik hataların eklenmesi ya da çıkarılması

işlemine düzeltme denir.

Sistematik hata kaynaklarından gelebilecek belirsizlik faktörleri ölçüm sonucuna ait toplam

belirsizlik bileşenleri içerisinde yer alır.

DÜZELTME FAKTÖRÜ

(CORRECTİON FACTOR)

Sistematik hataların düzeltilmesi için ölçüme ait düzeltilmemiş sonuç ile çarpılan sayısal

faktördür.

Sistematik hataların tam olarak bilinmesi mümkün olmadığından bu hatalara karşılık gelen

değerlerin en doğru şekilde saptanması mümkün değildir. Ancak tahmin edilen sistematik hata

istenilen doğruluk üzerinde ciddi bir etkilemede bulunuyorsa, bir düzeltme ya da düzeltme

faktörü bu etkiyi minumum düzeye indirmek amacıyla kullanılabilir.

Düzeltme yada düzeltme faktörü uygulandıktan sonra sistematik etkiden kaynaklanan hatanın

sıfır olduğu varsayılır.

6

DÜZELTİLMİŞ VE DÜZELTİLMEMİŞ SONUÇ

(CORRECTED AND UNCORRECTED RESULT)

Düzeltilmemiş Sonuç:

Sistematik hatalar için düzeltme yapılmadan elde edilen yalın ölçüm sonucudur.

Düzeltilmiş Sonuç:

Sistematik hatalar için düzeltme yapıldıktan sonra elde edilen ölçüm sonucudur.

Rastgele hatalara bağlı olarak ve sistematik hatalardan kaynaklanan düzeltmelerin yeterince

belirlenememesi yüzünden düzeltilmiş ölçüm sonucu, ölçülen büyüklükle aynı değildir.

Oluşturulan büyüklük ile bunu ölçen sistemin ortaya koyduğu değerler hiçbir zaman kesin

olarak bilinemez; bu iki değer sadece ölçmeleri beklenen mutlak değerlerine yaklaşık bir

sonucu ortaya koyarlar.

Örnek olarak; Belirli bir sıcaklıktaki levha kalınlığını mikrometre yardımıyla ölçmek istiyoruz

Belirlenen sıcaklığa yakın bir değere levhanın sıcaklığı getiriliyor ve kalınlığı da numunenin

belirli bir noktasından ölçülüyor.

Bu noktadaki ve sıcaklıktaki numune kalınlığı mikrometre tarafından uygulanan basınç altında

ölçülen büyüklüktür.

Aşağıdakilerin herbiri ölçüm sonucuna etki eden bilinmeyen hata parametrelerinden biri

olabilir:

Tekrar edilen her ölçüm için mikrometrenin gösterdiği okuma değerleri arasındaki fark

Mikrometrenin kalibrasyon belirsizliği

Sıcaklık ve uygulanan basınçdan kaynaklanan hatalar

Ortam sıcaklığı, barometrik basıncın ve nemin mikrometre ve numune levha (veya her ikisi)

üzerindeki etkilerinden kaynaklanan hatalar

Örnek: Direnç üzerinden geçen belirli bir akım değerine karşılık gelen gerilim değerini

ölçelim.

Ölçülen Büyüklük

Sonuç

Gerilim ( U) Gösterge

Akım (I),

Formül 1’e Göre

Düzeltilmemiş

Akım (I),

Formül 2’e Göre

Düzeltilmiş

U U i

(2)

Ohm Kanununa göre;

s

i

R

U = I

o S t t R R 1

kU = U i

o s

i

t t kR

U I

- 1

(1)

7

ÖLÇÜM HATASI

(ERROR OF A MEASUREMENT)

Ölçüm hatası, ölçüm sonucunun ölçülen büyüklüğe ait gerçek değerin çıkartılmasıyla elde

edilen değerdir.

Gerçek değer, ele alınan belirli bir büyüklüğün tanımına karşılık gelen ve ancak büyüklüğün

eksiksiz ve ideal koşullarda ölçümü ile elde edilecek bir değerdir. Ancak gerçek hayatta,

eksiksiz ve ideal koşulları oluşturamayacağımız için gerçek değer kavramı asla elde edilemez.

Ancak pratik uygulamalar için herkesin kabul ettiği konvansiyonel (üzerinde uzlaşılmış)

gerçek değer, belirli bir büyüklüğe verilen ve ele alınan amaç için uygun bir belirsizliğe sahip

olduğu bazen üzerinde uzlaşılarak kabul edilen değer olarak kullanılabilinir. Örneğin, belirli

bir mahalde, referans standart tarafından gerçekleştirilen büyüklüğe verilen değer, veya

Avagadro sabiti için önerilen değer NA = 6.0221367 x 1023

mol-1

konvansiyonel gerçek değer

olarak alınabilir

Ölçüm hatası birinci derece de, ölçme cihazının çözünülürlüğü ile sınırlıdır. Çözünülürlük, bir

gösterge elemanının, gösterge değerleri arasındaki anlamlı olarak algılanabilir en küçük fark

olarak tanımlanır. Ölçüm sonucunda, şans eseri olarak bile, mutlak değere ulaşma olasılığı

oldukça düşüktür. Öyleyse amaç, ölçüm hatalarının tümünü elimine etmek veya ortadan

kaldırmak değil, ölçümün yapılma amacına yönelik olarak, kabul edilebilir en düşük seviyeye

ulaşmasını sağlamaktır. Bu amaca ulaşabilmek için, ölçüm hatalarının kaynağı ve tipi

hakkında yeterli bilgiye sahip olmak gerekmektedir.

Ölçüm hatası, genel olarak rasgele ve sistematik hatanın birleşiminden oluşur. Bir çok

durumda sistematik ve rasgele hataları birbirinden ayırmak çok zordur.

HATA TÜRLERİ

Bağıl hata (Relative error):

Mutlak ölçüm hatasının ölçülen büyüklüğün konvansiyonel gerçek değerine bölünmesiyle

bağıl hata elde edilir.

Rasgele hata (Random error):

Aynı tekrarlanabilirlik koşulları altında olmak şartıyla, ölçülecek olan büyüklüğün sonsuz

sayıda alınan ölçüm sonuçlarının ortalama değerinden, yapılan ölçüm sonucunun

çıkarılmasıyla elde edilir.

Rasgele hata belirli istatistiksel dağılım gösterir ve bu hata için düzeltme yapmak mümkün

değildir.

8

Sistematik hata (Systematic error):

Aynı tekrarlanabilirlik koşulları altında olmak şartıyla, ölçülecek olan büyüklüğün sonsuz

sayıda alınan ölçüm sonuçlarının ortalama değerinden aynı büyüklüğün gerçek değerinden

çıkarılmasıyla elde edilir.

Gerçek değerde olduğu gibi sistematik hata ve sebepleri tam anlamıyla belirlenemez.

ÖLÇÜM DOĞRULUĞU

(ACCURACY OF A MEASUREMENT)

Ölçülen büyüklüğün konvansiyonel gerçek değeri ile ölçüm sonucunun arasındaki uygunluk

derecesidir. Bir ölçümün doğruluğu niteleyici bir kavramdır. Bu yüzden doğruluk rakamsal

olarak ifade edilmemeli, rakamlar ölçümün belirsizliği için verilmelidir.

Uygulamada, ölçülecek olan büyüklüğün tanımı ya da gerekli özellikler istenilen ölçüm

doğruluğu tarafından belirlenir. Başka bir deyişle elde edilmek istenen doğruluk göz önünde

bulundurularak ölçüm sistemi kurulur.

Örneğin, nominal olarak 1 m uzunluğa sahip çelik bir cetvel mikrometre düzeyinde bir

doğrulukla ölçülmek istenirse ölçüm sırasındaki sıcaklık ve basınç değerlerinin uzunluk

değişimine etkisi bilinmeli ve uygun doğrulukta bir matematiksel ifade ile verilmelidir.

Ancak milimetre düzeyindeki bir doğrulukla ölçüm yapmak isteniyorsa yukarıda bahsedilen

sıcaklık ve basınç değerlerinin ölçülmesi gerekli değildir.

Not: Doğruluk yerine kesinlik teriminin kullanımından kaçınılmalıdır.

CİHAZ DOĞRULUĞU

(ACCURACY OF A MEASURİNG İNSTRUMENT)

Ölçüm cihazının gerçek değere yakın bir değer verebilme kapasitesidir.

Bir voltmetrenin doğruluğu(voltmetrenin tüm aralığında doğrusal olduğu düşünülürse)

voltmetrenin o aralığında tam sapmasının %2 si olarak verildiğinde, bu voltmetrede o aralıkta

okunan bütün değerler için gerçek değer ± %2 farklıdır.

KESİNLİK

(PRECİSİON)

Tanımlanmış belirli şartlar altında birbirinden bağımsız ölçüm sonuçlarının birbirleriye olan

uygunluk derecesidir.

Belirsizlik hesaplamalarındaki yerini tekrarlanabilirlik ve tekrarüretilebilirlik kavramlarına

bırakmıştır.

9

Kesinlik kavramı tekrarlanabilirlik ve tekrarüretilebilirlik kavramlarını içeriri. Bununla

birlikte kesinlik genellikle tekrarlanabilirlik anlamda kullanılır.

Kesinlik nitel bir kavramdır bu yüzden dikkatli kullanılmalıdır. Örneğin “tekrarlanabilirlik

şartları altında ölçüm sonuçlarının kesinliği sonuçların standart sapma değeri olarak

hesaplanmış olup 2 µΩ ’dur.” ifadesi kabul edilebilir bir ifade iken “Ölçüm sonuçlarının

kesinliği 2 µΩ ’dur.” ifadesi kabul edilemez.

DENEYSEL STANDART SAPMA

(EXPERİMENTAL STANDARD DEVİATİON)

Aynı ölçülen büyüklüğe ait n adet ölçümden oluşan bir seri için, aşağıdaki formülle verilen s

parametresi deneysel standart sapmadır ve sonuçların dağılımını karakterize eder;

xi : i. ölçüm sonucu

x : değerlendirilen n adet sonucun aritmetik ortalamasıdır.

n

xs i ifadesi x ’ne ait dağılımın standart sapmasıdır ve ortalamanın deneysel standart sapması

olarak adlandırılır.

ortalamanın deneysel standart sapması bazı durumlarda ortalamanın standart hatası olarak

adlandırılır ancak bu yanlış bir tanımlamadır.

Örnek:

Veriler: A=7,8,11,13,17,21 olsun.

Verilerin aritmetik ortalaması: n

i

ixn

X1

1 , 8.12AX

Deneysel standart sapma:

Standart Sapmanın Özellikleri

belli bir x değerinin ne kadar saçıldığının ölçüsüdür .

ve x aynı birimle ifade edilir.

gözlemlenen bütün olası değerlerin, gerçek değer m’den sapmalar karelerinin

toplamının kareköküdür.

1

)(1

2

n

xx

xs

n

i

i

i

38.5)218.12(...)88.12()78.12(5

1 222

AS

10

ÖLÇÜM SONUÇLARININ TEKRARLANABİRLİĞİ

(REPEABİLİTY OF RESULTS OF MEASUREMENTS)

Aşağıdaki tekrarlanabilirlik koşulları altında, aynı ölçülen büyüklüğe ait ardışık ölçüm

sonuçları arasındaki uygunluk derecesidir.

•aynı ölçüm yöntemi

•aynı gözlemci,

•aynı ölçme cihazı

•aynı konum,

•aynı şartlar altında kullanılan aynı ölçüm cihazı

•kısa zaman aralığı içerisinde ölçümlerin tekrarlanması

Not : Tekrarlanabilirlik, sonuçların dağılımı cinsinden nicel olarak ifade edilebilir.

ÖLÇÜM SONUÇLARININ TEKRAR GERÇEKLEŞTİRİLEBİLİRLİĞİ

(REPRODUCİBİLİTY OF RESULTS OF MEASUREMENTS)

Aşağıda yer alan değiştirilebilecek koşullar altında, aynı ölçülen büyüklüğe ait ölçüm

sonuçları arasındaki uygunluk derecesidir.

•ölçüm yöntemi,

•gözlemci,

•ölçme cihazı,

•referans standart,

•konum,

•kullanım koşulları,

•zaman.

Notlar :

1) Tekrar gerçekleştirilebilirlik ifadesinin geçerli olabilmesi için koşulların tanımlanması

gerekir.

2) Tekrar elde edilebilirlik, sonuçların dağılımı cinsinden nicel olarak ifade edilebilir.

KORELASYON

(CORRELATİON)

İki yada daha fazla rasgele değişkeni olan dağılım içindeki iki veya daha fazla rasgele

değişken arasındaki ilişki olarak tanımlanır.

11

İKİ YÖNLÜ GÜVENİLİRLİK ARALIĞI

(TWO-SİDED CONFİDENCE İNTERVAL)

T1 ve T2 ölçülen değerlerin iki farklı fonksiyonu olmak üzere ve θ bulunmak istenen yoğunluk

parametresi (population parameter) olsun. Olasılık Pr (T1 θ T2 ) en az (1- ) eşittir. (1- )

sabit bir sayı olup, pozitif ve 1’den küçüktür. T1ve T2 arasındaki aralık, θ için iki yönlü (1- )

güvenilirlik aralığıdır.

TEK YÖNLÜ GÜVENİLİRLİK ARALIĞI

(ONE-SİDED CONFİDENCE İNTERVAL)

T ölçülen değerlerin bir fonksiyonu olsun ve θ bulunmak istenen yoğunluk parametresi

(population parameter) olsun. Olasılık Pr (T θ) (veya Pr (T θ)) en az (1- ) eşittir.

θ’nın olası en küçük değerinden T’ye kadar olan aralık (veya T’den θ nın olası en yüksek

değerine kadar olan aralık), θ için tek yönlü (1- ) güvenilirlik aralığıdır.

GÜVENİRLİK DÜZEYİ

(CONFİDENCE LEVEL)

Güvenilirlik düzey aralığının veya istatistiksel kapsam aralığı belirli bir olasılık dağılımına

sahiptir. Bu olasılığının (1- ) değeri güvenilirilk düzeyi olarak tanımlanır.

(1- ) genellikle % değer olarak ifade edilir.

GÜVENİRLİK DÜZEYİ

(CONFİDENCE LEVEL)

Güven aralığı veya istatistiksel olarak belirlenmiş kapsam aralığı ile ilişkili olasılık değeri.

Bir ölçüme ait ölçüm sonuçlarının oluşturduğu olasılık yoğunluğu fonksiyonuna (oyf)

hakkında fikir veren bir değerdir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip, belirli ölçüm sonuçlarının karşılaştırılmasına dair bir

ölçüttür.

Her karşılaştırmalı ölçüme, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile eşlik eden değerdir. Ölçülen

değerin, olasılık yoğunluk fonksiyonun en olası değerinden ne kadar uzağında olma olasılığını

ifade eder. Örneğin, olasılık yoğunluk fonksiyonunun, ölçülen değerden sonsuza kadar alınan

entegral değerine denk düşer.

Güvenirlik sınırları ile belirlenmiş olan güvenirlik aralığı , bilinmeyen bir parametrenin

verilmiş olan güvenirlik düzeyinde alabileceği değerler dizisidir. Güvenirlik düzeyleri

genellikle yüzde cinsinden ifade edilirler.

12

2. ÖLÇÜM BELİRSİZLİĞİ

(UNCERTAİNİTY OF MEASUREMENT)

Ölçülen büyüklüğün ortalama değer etrafında bulunabileceği aralığı tanımlayan tahmini değer.

Ölçüm belirsizliği, genel olarak bir çok bileşeni içerir. Bu bileşenlerin bir kısmı, ölçüm

serilerinin sonuçlarının istatistiksel dağılımına bakılarak deneysel standart sapma yardımıyla

karakterize edilebilir. Diğer bileşenlerin tahmini ise sadece tecrübeye veya eldeki diğer

bilgilere dayandırılabilir.

Metroloji laboratuvarlarında belirsizlik hesaplamalarda iki farklı hesaplama yöntemi

kullanılmaktadır: A-tipi ve B-tipi belirsizlik hesaplama yöntemleri.

A-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi: Gözlem serileri sonuçlarıına göre istatistiksel analize

dayalı belirsizlik hesaplama yöntemidir.

B-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi: Gözlem serileri sonuçlarıına göre istatistiksel

analizden farklı yollarla yapılan belirsizlik hesaplama yöntemidir.

Bileşik Standart Belirsizlik

(Combined Standart Uncertainty)

Bir ölçümün pek çok sayıda başka büyüklüklerin ölçüm sonuçlarından elde edilmiş sonucun

bileşik standart belirsizliği, bu büyüklük değerlerindeki değişimlerin ölçüm sonucunu nasıl

etkilediği de göz önüne alınarak hesaplanan varyans veya kovaryans ifadeleri toplamının

pozitif kare köküne eşittir.

Genişletilmiş belirsizlik

(Expanded uncertainty)

Ölçülen bir büyüklüğün beklentiye göre ölçüm sonucu değerlerinin büyük bir kısmını içeren

aralık olarak tanımlanır.

Kapsam Faktörü

(Coverage Factor)

Bileşik standart belirsizlikten genişletilmiş belirsizliği elde etmek için kullanılan çarpan.

3. BELİRSİZLİĞİN OLASI NEDENLERİ

Ölçülen değerin tanımındaki eksiklik

Ölçülen değerin tanımının gerçekleşmesindeki eksiklik

Ölçüm şartları/çevre koşullarındaki değişim

Analog cihazların okumasında personeldeki belli yönde eğilim

Ölçüm cihazlarının sonlu çözünürlüğü

Ölçüm standartlarının ve referans malzemelerin değerlerinin tam olarak bilinmemesi

Dış kaynaklardan elde edilen sabit parametrelerin değerlerinin tam olarak bilinmemesi

Ölçüm yöntemi ve işleminde yaklaşımlar veya ekstrapolasyonlar

13

4. İDEAL BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Evrensellik: Yöntem her çeşit ölçüme ve her ölçüm için kullanılan her çeşit veriye

uygulanabilir olmalıdır.

Kendi içinde tutarlılık: Ölçüm belirsizliği, belirsizliğe katkıda bulunan bileşenlerden,

bileşenlerin gruplandırma şeklinden veya alt bileşenlere ayrılmış olmasından bağımsız olarak

elde edilebilmelidir.

Taşınabilirlik: Bir ölçümün sonucunu ikinci bir ölçümde kullanmak gerektiğinde birinci

ölçümün belirsizliği doğrudan ikinci ölçümde kullanılabilmelidir.

5. BELİRSİZLİK HESAPLARINDA KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLAR

Altı tip istatistiksel dağılım bilinmektedir. Bunlardan ilk üçü en çok metrolojide en sık

kullanılan dağılımlardandır.

Student Dağılım

Normal Dağılım

Dikdörtgen Dağılım

Üçgen Dağılım

Trapezoidal Dağılım

U-tipi Dağılım

5.1. STUDENT DAĞILIM

Student dağılı çok yakından tanıdığımız Normal dağılımın benzeri olup, ölçüm sayısının

kısıtlı olduğu zaman (n<10) kullanılmaktadır. Student dağılımı ile normal dağılım arasında

farkı dengelemek için ekte kullanılan Tablo’daki veriler kullanılmaktadır.

14

5.2. NORMAL DAĞILIM

Ölçüm Sonucu Sayı (n) P=n/N

6.0 5 0.04

6.1 7 0.056

6.3 12 0.096

6.4 18 0.144

6.5 32 0.256

6.6 19 0.152

6.7 13 0.104

6.8 9 0.072

6.9 6 0.048

7.0 4 0.032

Toplam 125

Ortalama: 6.5168

Normal Dağılım = Gauss Dağılımı

Ölçüm sonuçlarının dağılımı aşağıdaki formül ile tanımlanır

x : Ölçüm Sonucu

: Ölçülen Büyüklüğün Gerçek Değeri

: Standart Sapma

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

5,9 6,1 6,3 6,5 6,7 6,9 7,1

X

P

ss

Ölçüm sonuçlarının grafiksel gösterimi

f xz

zx

nx

i

N

( ) ( )1

2 2

1

2

1

2

exp

; ( )

Çık

ama

Ola

sılı

ğı

, P

Ortalama Değer, X

15

5.3 DİKDÖRTGEN DAĞILIMI

Bu dağılım, bir büyüklüğün sadece değişim gösterebilecek aralık bilindiği takdirde kullanılır.

5.4. ÜÇGEN DAĞILIM

Bu dağılım, bir büyüklüğün değişim gösterebilecek aralık ve eğilim bilindiği takdirde

kullanılır.

a a

p(x)

0 x

a- x a+

u xa a

u xa

( ) , ( )2 3 3

a a

p(x)

0 x

a- x a+

u xa a

u xa

( ) , ( )2 6 6

16

6. BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

6.1. A-TİPİ BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİ

İstatistiksel yöntemler kullanılarak yapılan A-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi tekrarlanan

ölçüm sonuçlarına uygulanır.

A-tipi Belirsizlik Hesaplama Yönteminde Kullanılan Dağılımlar:

Normal Dağılım

Student Dağılımı

6.2. B-TİPİ BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİ

İstatistiksel yöntemler kullanılmadan yapılan belirsizlik değerlendirmesi

B-tipi Belirsizlik hesaplama yönteminde kullanılan bilgiler;

Daha önce yapılan ölçümlerde elde edilen veriler

İlgili malzemeler ve kullanılan cihazlar konusundaki deneyim ve daha önce edinmiş

bilgiler

Üretici firmanın belirttiği özellikler

Kalibrasyon ve diğer sertifikalarda bulunan veriler

El kitaplarından alınan referans verilere ilişkin belirsizlikler

B-tipi Belirsizlik Hesaplama Yönteminde Kullanılan Dağılımlar:

Dikdörtgen dağılımı

Üçgen dağılım

U-tipi dağılım

7. BİLEŞİK BELİRSİZLİĞİN HESAPLANMASI

A-tipi ve B-tipi değerlendirme sonucunda uygun bir birleşimden elde edilen belirsizlik

değerine bileşik belirsizlik denir.

8. GENİŞLETİLMİŞ BELİRSİZLİĞİN HESAPLANMASI

Bileşik belirsizlikten kapsam faktörü ile çarpılarak elde edilen belirsizliğe genişletilmiş

belirsizlik denir.

u yf

xu xc

ii

i

N( ) ( )

2

2

1

U k u yc ( )

17

Kapsam Faktörü Ve Güvenilirlik Düzeyi

9. ÖLÇÜM SONUÇLARININ RAPORLANMASI

Belirsizlik hesaplarının sonucunda verilen rapor:

Ölçüm sonuçlarının ve bunların belirsizliklerini deney verilerinden ve girdi

büyüklüklerinden hesaplama yöntemini açıklamalıdır

Tüm belirsizlik bileşenlerini ve bu bileşenlerin hesaplama yöntemini göstermelidir;

Verilerin hesaplama yöntemleri öyle bir şekilde açıklanmalıdır ki, bu hesaplamalar

tekrarlandığında açıklanan aynı belirsizlik değeri bulunabilsin,

Hesaplamalarda kullanılan tüm düzeltme değerleri ve sabitler açıklanmalıdır

Kalibrasyon Sertifikasında ölçüm sonucu eksiksiz olarak y ± U şeklinde verilmelidir.

Bu ifadede,

y : Ölçüm sonuçlarının ortalaması,

U=ku : Genişletilmiş belirsizliktir.

Kalibrasyon / Ölçüm Belirsizliği ile ilgili açıklama

Kalibrasyondaki belirsizlik ”Guide to the Expression of Uncertainity in Measurement (GUM),

ISO 1993)” dökümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği

genişletilmiş belirsizlik olup bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde

edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi %95’tir.

Raporlama Örnekleri

•ms=100.02147 g ve uc=0.35 mg

•ms=100.02147(35) g

•ms=100.02147(0.00035) g

•ms=(100.02147±0.00035) g

ms=(100.02147±0.00071) g

Parantez içerisinde verilen belirsizlik, genişletilmiş belirsizlik olup bileşik belirsizlikten

kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde edilmiştir.

Güvenilirlik Düzeyi Kapsam Faktörü

p ( %) kp

68.27 1

90 1.645

95 1.960

99 2.576

100 3

18

10. BELİRSİZLİK HESAPLARINDA İZLENECEK PROSEDÜR

Kalibrasyonun / Ölçümün Modellenmesi

y= F(x1 , x2 , x3 , ..., xn )

Örnek: ),( RVFR

VI

),,,,,()(1(

0

0

ttRVkfttR

kVI Sİ

S

Belirsizlik bileşenlerinin listesinin oluşturulması

u1 Ref. Standardın belirsizliği

u2 Okuma hatası / Çözünürlük

un

Bileşenlerin değerlerinin bulunması ( İstatistiksel Dağılımlar )

BELİRSİZLİK HESAPLARINDA İZLENECEK PROSEDÜR

Girdi büyüklüklerinin değerleri, çıktı büyüklüklerinin değerleri arasındaki matematiksel

ilişkiyi belirlemek

Ölçüm koşullarında ölçüm sonucunu etkileyen tüm faktörleri belirlemek

Düzeltme ve düzeltilmemiş sistematik hatalara bağlı olan belirsizlik bileşenlerin listesini

yapmak

Belirsizliğin sistematik bileşenleri için, daha önce yapılmış olası dağılımlardan ve

belirsizlik çalışmalarından yararlanmak

Belirsizliğin her bir sistematik bileşeni için ya dikdörtgen dağılım varsayarak

veya normal dağılım varsayarak,

hesaplamak.

),...,,,( 321 nxxxxFy

3

ia

)ix(u

k

kbelirsizlixu i )(

19

Tekrarlanan ölçümler sonucu elde edilen değerlerin belirsizliğini hesaplamak için önce

deneysel standart sapma değerini,

n

iq qqn

s1

2)(1

1

Ortalamanın sapması ; n

SS

q

q

Bileşik belirsizliğin değerini hesaplamak.

Genişletilmiş belirsizliğin değerini hesaplamak.

Ölçüm sonuçlarını, ölçülen değeri ve hesaplanan belirsizlik değeri kullanarak aşağıda

verilen şekilde raporlamak.

y= Ölçümlerin Ortalaması ± Genişletilmiş Belirsizlik

u yf

xu xc

ii

i

N( ) ( )

2

2

1

U ku yc ( )

20

11. ÖRNEKLER

Örnek 1. Sayısal Göstergeli Termometre Kalibrasyonu

Sayısal göstergeli termometre kalibrasyonu için belirsizlik hesaplama örneğini inceleyelim.

Ölçümler 29.9°C referans sıcaklık değerinde, su banyosu kullanılarak gerçekleştirilmektedir.

Sayısal termometrenin okuduğu sıcaklık değerlerine karşılık, referans termometrenin okuduğu

sıcaklık değerleri karşılaştırmalı ölçümler şeklinde alınmaktadır.

İlk buz noktası ölçümü: 0.3°C

Son buz noktası ölçümü: 0.2°C

Gerçekleştirilen ölçüm sonuçları Tablo da verilmiştir.

Ölçüm No Referans Termometre

/ °C

Test Termometre

/ °C

1 29.927 30.0

2 29.934 29.7

3 29.935 30.1

4 29.941 29.9

5 29.934 29.4

Ortalama: 29.934 29.9 29.82 29.8

Std sapma: 0.0049 0.005 0.277

Sayısal Termometrenin kalibrasyonundaki olası belirsizlik bileşenleri aşağıda sıralanmıştır:

Tekrarlanabilirlik

Referans Termometrenin belirsizlik değeri

Sıcaklık Kaynağının (sıvı banyo) belirsizlik değeri

Kalibre edilen sayısal termometrenin çözünülürlüğü

Histerisis den kaynaklanan belirsizlik

Kullanılan buz noktasının belirsizliği

Tekrarlanabilirlik

Tekrarlanabilirlik olarak adlandırdığımız belirsizlik bileşeninin hesaplanması için önce

deneysel standart sapma, daha sonra ortalamanın sapması hesaplanmaktadır.

Deneysel standart sapma

C 277.0)(5

1)(

1

1 5

1

2

1

2

i

i

n

i

it ttttn

si

Ortalamanın sapması da

C 0.1242.24

277.0

5

Cs

n

ss ii tt

t

olarak bulunur.

21

Referans Termometre belirsizliği

Referans Termometrenin 29.9 °C değerindeki belirsizlik değeri termometrenin kalibrasyon

sertifikasında %95 güvenilirlik düzeyinde 0.001 °C olarak beyan edilmiştir. Belirsizlik

bütçesinde 29.9 °C ‘de belirsizliğin normal dağılıma sahip olduğu ve k=2 faktörü ile

hesaplandığı dikkate alınmalıdır. Bu durumda kalibratör belirsizliğinin toplam belirsizlikte

katkısı

CC

k

uu ser

ref 0005.00.2

001,0

olacaktır.

Sıcaklık Kaynak belirsizliği

Sıcaklık Kaynağının (sıvı banyo) 29.9°C’de Referans Termometrelerle zaman içerisindeki

hesaplanmış sıcaklık dağılım değişiminin (kararlılığı) belirsizlik değeri; 0.010°C

CC

k

uu ser

kaynak 0057.03

01,0

Kalibre edilen termometrenin çözünürlüğü

Kalibre edilen termometre dijitli okuma cihazı olduğu için Ölçüm sonuçları XX.X °C

formatında elde edilmektedir. Bu durumda okunabilir en küçük sıcaklık değeri 0.1°C ’dir. Bu

değerin yarısı dikdörtgen dağılımın değişim aralığı olarak dikkate alındığında ve

çözünürlükten kaynaklanan belirsizlik bileşeni Test termometresinin çözünürlüğü;

C 0289.073.1

05.0

3

auçöz

olarak bulunmaktadır.

Histerisiz belirsizliği

Histerisis(ilk-son) buz noktaları arasındaki fark: 0.1°C;

C 057.073.1

1.0

3

auhisterisis

Buz Noktası belirsizliği

Kullanılan buz noktasının belirsizliği: 0.01°C

C 0057.073.1

01.0

3

aubuznokta

22

Bileşik belirsizlik

Yukarıdaki belirsizlik bileşenlerin değerleri kullanılarak kalibrasyonun bileşik belirsizliği

Csuuuuututbuznoktahisterisisçözkaynakrefc 15.0)( 222222

olarak bulunmaktadır.

Genişletilmiş belirsizlik

Bileşik belirsizlik değeri kapsam fatörü k=2.0 ile çarpılarak kalibrasyonun genişletilmiş

belirsizliği bulunur.

C 0.315.00.2)()( tuktU c

Ölçüm sonucunda raporlanacak sonuç

Ölçümlerin ortalaması 29.8 °C ve belirsizlik 0.3°C’dir.

Kalibrasyondaki belirsizlik “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM,

ISO 1993)” dokümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği

genişletilmiş belirsizlik olup, bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde

edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi % 95’tir.

23

Örnek 2. Multimetre Kalibrasyonu

6½ dijitlik bir multimetrenin 10V DC gerilim değerinde kalibrasyonu için belirsizlik

hesaplama örneğini inceleyelim. Ölçümler tek bir noktada (10 V) kalibratör kullanılarak

gerçekleştirilmektedir. Kalibratörden multimetreye uygulanan referans gerilimin değeri

multimetreden okunarak kaydedilmektedir. Ölçülen değer üzerinde herhangi bir düzeltme

yapılmamaktadır.

Gerçekleştirilen ölçüm sonuçları Tablo 1’de verilmiştir.

Ölçüm No Ölçülen DC Gerilim

(V) Ölçüm No

Ölçülen DC Gerilim

(V)

1 10.00001 6 10.00003

2 10.00003 7 10.00003

3 10.00002 8 10.00002

4 10.00001 9 10.00002

5 10.00002 10 10.00001

ORTALAMA 10.000020

Multimetrenin kalibrasyonundaki olası belirsizlik bileşenleri aşağıda sıralanmıştır:

Kalibratörün belirsizliği

Kalibratör değerinin kayması

Kalibre edilen multimetrenin çözünülürlüğü

Tekrarlanabilirlik

Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hatalar

Kalibratörün belirsizliği

Kalibratörün 10 V değerindeki belirsizlik değeri kalibratörün kalibrasyon sertifikasında %95

güvenilirlik düzeyinde 20 µV olarak beyan edilmiştir. Belirsizlik bütçesinde 50 µV’luk

belirsizliğin normal dağılıma sahip olduğu ve k=2 faktörü ile hesaplandığı dikkate alınmalıdır.

Bu durumda kalibratör belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı

µV 0.100.2

µV 20

k

uu ser

kal

olacaktır.

Kalibratör değerinin kayması

Kalibratörün son kalibrasyonundan beri muhtemel kayma değeri ya üretici firma tarafından

beyan edilmekte veya kalibrasyon laboratuvarı cihazın perfomansını sık aralıklarla kontrol

ederek belirlenmektedir. Laboratuvar kayma değerini daha önceki ölçümlerin sonuçlarına

dayanarak 0.5 µV olarak hesaplamıştır. Bu kayma dikdörtgen dağılımının değişim aralığı

olarak kabul edilecek ve kaymadan dolayı belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı

µV 29.073.1

µV 5.0

3

aukay

24

şeklinde hesaplanacaktır.

Kalibre edilen multimetrenin çözünürlüğü

Kalibre edilen multimetrenin 61/2

dijitli multimetre olduğu için Ölçüm sonuçları XX.XXXXX

V formatında elde edilmektedir. Bu durumda okunabilir en küçük gerilim değeri 10 µV’dur.

Bu değerin yarısı dikdörtgen dağılımın değişim aralığı olarak dikkate alındığında ve

çözünürlükten kaynaklanan belirsizlik bileşeni

µV 89.273.1

µV 5

3

auçöz

olarak bulunmaktadır.

Tekrarlanabilirlik

Tekrarlanabilirlik olarak adlandırdığımız belirsizlik bileşeninin hesaplanması için önce

deneysel standart sapma, daha sonra ortalamanın sapması hesaplanmaktadır.

Deneysel standart sapma

µV 16.8)VV(9

1)VV(

1n

1s

10

1i

2i

n

1i

2iVi

Ortalamanın sapması da

µV 58.23.16

µV 16.8

10

s

n

ss ii VV

V

olarak bulunur.

Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hatalar

Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hataların belirsizliğe etkisi düşük olduğundan belirsizlik

bütçesine katılmamıştır.

Bileşik belirsizlik

Yukarıdaki belirsizlik bileşenlerin değerleri kullanılarak kalibrasyonun bileşik belirsizliği

µV 73.10suuu)V(u 2

V

2çöz

2kay

2kalc

olarak bulunmaktadır.

Genişletilmiş belirsizlik

Bileşik belirsizlik değeri kapsam fatörü k=2.0 ile çarpılarak kalibrasyonun genişletilmiş

belirsizliği bulunur.

25

µV 21.46µV 73.100.2)V(uk)V(U c

Genişletilmiş belirsizlik değeri bağıl olarak ifade edilecek olursa

ppm veyaV

µV 15.2

V 00002.10

µV 46.21)V(U

Yukarıda açıklanan tüm bilgi ve veriler Tablo 2’de özetlenmiştir.

Tablo 2. Multimetrenin kalibratör ile DCV kalibrasyonu için belirsizlik bütçesi

u(xi) Belirsizlik Bileşeni Veri

(µV) Dağılım ci k

Bileşenin

değeri

( V)

ukal Kalibratörün 10V belirsizliği 20 Normal 1 2.00 10.0

ukay Kalibratörün değerinin

kayması 0.5 Dikdörtgen 1 1.73 0.29

uçöz Multimetrenin Çözünürlük

Hatası 5 Dikdörtgen 1 1.73 2.89

Vs Tekrarlanabilirlik 2.58 Normal 1 1.00 2.58

u(V) Bileşik Belirsizlik - Normal - 1.00 10.73

U(V) Genişletilmiş Belirsizlik - Normal - 2.00 21.46

Ölçüm sonucunda raporlanacak sonuç

Ölçümlerin ortalaması 10.00002 V ve belirsizlik 2 µV/V’dur.

Kalibrasyondaki belirsizlik “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM,

ISO 1993)” dokümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği

genişletilmiş belirsizlik olup, bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde

edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi % 95’tir.

26

Örnek 3. 10 kg’lık Ağırlık Kalibrasyonu

Nominal ağırlığı 10 kg olan OIML M1 sınıf kütlenin nominal 10 kg’lık ağırlıklı OIML F2

sınıf referans kütle ile kütle komparatörü kullanılarak karşılaştırılmalı kalibrasyonun

belirsizliğinin hesaplayalım.

Bilinmeyen kütlenin ağırlığı aşağıdaki formülle belirlenmektedir.

Bmmmmm cDsx

Bu formülde,

ms : standart kütlenin ağırlığı

mD : standart kütlenin değerinde son kalibrasyon tarihinden itibaren kayma

m : standart ile bilinmeyen kütle arasında komparatörle ölçülen fark

mc : eksantrik ve manyetik etkiden kaynaklanan düzeltme

B : havanın kaldırma kuvveti düzeltmesi

Standart ve bilinmeyen kütle arasındaki fark 3 farklı ölçüm (gözlem) yapılarak yerine koyma

yöntemi ile belirlenmiştir. Yerine koyma yöntemi şematik olarak ABBA ABBA ABBA olarak

gösterilebilir.

Ölçüm

No

Kütle Ölçülen Değer

(g)

Fark Değeri

(g)

1.

standart + 0.010

+ 0.01 bilinmeyen + 0.020

bilinmeyen + 0.025

standart + 0.015

2.

standart + 0.025

+ 0.03 bilinmeyen + 0.050

bilinmeyen + 0.055

standart + 0.020

3.

standart + 0.025

+ 0.02 bilinmeyen + 0.045

bilinmeyen + 0.040

standart + 0.020

ORTALAMA + 0.02

Referans Kütlenin değeri ms, kalibrasyon sertifikasında 10 000.005 g olarak beyan edilmiş

olup, genişletilmiş belirsizlik değeri de 45 mg (kapsam faktörü k=2 ) olarak verilmiştir.

Kalibrasyon sırasında herhangi bir düzeltme yapılmadan, kalibre edilen kütlenin ağırlık değeri

mmm sx

27

Standardın Kayma Değeri Düzeltmesi ( Dm ) : Referans standardın kayma değeri önceki

kalibrasyonlarından elde edilen 15mg

Komparatör Düzeltmesi ( m , cm ) :

Havanın Kaldırma Kuvvet Düzeltmesi ( B ) : Havanın kaldırma kuvvet etkisi için elde edilen

düzeltme yok, elde edilen kayma miktarı 1 x 10-6

limitleri içindedir.

Düzeltme :

Aritmetik Ortalama : m = 0,020 g

Tüm ölçümlerin standart Sapması: sp ( m ) =25 mg

Standart Belirsizlik : u ( m ) = s ( m ) = 3

25mg =14,4 mg

Belirsizlik Bütçesi:

Değer

Xİ

Okunan

Değer

xi

Standart

Belirsizlik

u(xi)

İstatistiksel

Dağılım

Hassaasiyet

Katsayısı

ci

Belirsizlik

Bileşeni

ui(y)

sm 10 000,005 g 22,5 mg normal 1,0 22,5 mg

Dm 0,000 g 8,95 mg dikdörtgen 1,0 8,95 mg

m 0,020 g 14,4 mg normal 1,0 14,4 mg

cm 0,000 g 5,77 mg dikdörtgen 1,0 5,77 mg

B 0,000 g 5,77 mg dikdörtgen 1,0 5,77 mg

xm 10 000,025 g 29,3 mg

Genişletilmiş Belirsizlik

)( xmukU 2 x 29,3 mg 59 mg

Sonuç Raporu

10 kg nominal ağırlıktaki kütle 10,000 025 kg 59 mg olarak ölçülmüştür.

Ölçüm raporunda verilen genişletilmiş belirsizlik; ölçüm için hesaplanan standart belirsizliğin

düzeltme faktörü k= 2 ile çarpımı olarak verilmiştir. Verilen sonuçlar normal dağılım içinde,

yaklaşık %95’lik bir alanda yer almaktadır.

28

KAYNAKLAR

[1]. D.Yücel, Ölçüm Belirsizliği ve Laboratuvar, Referans, yıl 1, sayı 2, 2003, s. 30 – 32

[2]. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, first edition, 1993, corrected

and reprinted 1995, International Organization for Standardization, Geneva,

Switzerland

[3]. International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, second edition,

1993, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland

[4]. International Standard ISO 3534-1, Statistics - Vocabulary and symbols - Part I:

Probability and General Statistical Terms, first edition, 1993, International

Organization for Standardization, Geneva, Switzerland

[5]. C.Elster, A.Link, Analysis of Key Comparison Data: Assessment of Current Methods

for Determining a Reference Value, Meas. Science and Tech., vol.12, no.9, 2001,

pp.1431-1438

[6]. EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, European

Accreditation, December 1999

[7]. R.P.Benedict, Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, John

Wiley & Sons Inc.,1984

[8]. R.P.Benedict, Uncertainty in Measurement, Electro-Technol., Oct.1964, p.51

[9]. A.J.Duncan, Quality Control and Industrial Statistics, 4th edition, Irwin Il, 1974

[10]. E.Sadıkhov, R.Kangı, S.Uğur, Ölçüm Belirsizliği, UME 95-014

[11]. T.G.Beckwith, R.D.Marangoni, J.H.Lienhard, Mechanical Measurements, 5th edition,

1993

[12]. C.F.Dietrich Uncertainty, Calibration and Probability, Adam Hilger, 1991

[13]. B.N.Taylor and C.E.Kuyatt, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty

of NIST Measurement Results, NIST Tech. Note 1297, 1993

29

Serbestlik

derecesi =n-1

Yüzde p (Güvenilirlik düzeyi) %

68.27 90 95 95.45 99 99.73

1 1.84 6.31 12.71 13.97 63.66 235.80

2 1.32 2.92 4.30 4.53 9.92 19.21

3 1.20 2.35 3.18 3.31 5.84 9.22

4 1.14 2.13 2.78 2.87 4.60 6.62

5 1.11 2.02 2.57 2.65 4.03 5.51

6 1.09 1.94 2.45 2.52 3.71 4.90

7 1.08 1.89 2.36 2.43 3.50 4.53

8 1.07 1.86 2.31 2.37 3.36 4.28

9 1.06 1.83 2.26 2.32 3.25 4.09

10 1.05 1.81 2.23 2.28 3.17 3.96

11 1.05 1.80 2.20 2.25 3.11 3.85

12 1.04 1.78 2.18 2.23 3.05 3.76

13 1.04 1.77 2.16 2.21 3.01 3.69

14 1.04 1.76 2.14 2.20 2.98 3.64

15 1.03 1.75 2.13 2.18 2.95 3.59

16 1.03 1.75 2.12 2.17 2.92 3.54

17 1.03 1.74 2.11 2.16 2.90 3.51

18 1.03 1.73 2.10 2.15 2.88 3.48

19 1.03 1.73 2.09 2.14 2.86 3.45

20 1.03 1.72 2.09 2.13 2.85 3.42

25 1.02 1.71 2.06 2.11 2.79 3.33

30 1.02 1.70 2.04 2.09 2.75 3.27

35 1.01 1.70 2.03 2.07 2.72 3.23

40 1.01 1.68 2.02 2.06 2.70 3.20

45 1.01 1.68 2.01 2.06 2.69 3.18

50 1.01 1.68 2.01 2.05 2.68 3.16

100 1.005 1.660 1.984 2.025 2.626 3.077

1.000 1.645 1.960 2.000 2.576 3.000