Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivona Vui¢

Kalkulator u nastavi matematike

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivona Vui¢

Kalkulator u nastavi matematike

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Mati¢

Osijek, 2014.

Sadrºaj

1 Uvod 1

2 Povijesni razvoj kalkulatora 2

3 Kalkulator u nastavi matematike 4

3.1. Za ili protiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Kombinacija "olovke i papira" i kalkulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3. O djeci s te²ko¢ama u u£enju i kalkulatorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Promjene u nastavi matematike 11

4.1. Primjeri upotrebe CAS-a u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Gra�£ki kalkulatori 17

5.1. Primjeri upotrebe gra�£kog kalkulatora u nastavi matematike . . . . . . . . . 17

6 Vrednovanje znanja 21

7 Istraºivanja o upotrebi kalkulatora u nastavi matematike 23

7.1. Upotreba kalkulatora i rje²avanje problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2. Budu¢a istraºivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3. Napreci u tehnologiji kalkulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8 Zaklju£ak 28

Literatura 29

Saºetak 30

Title and summary 31

�ivotopis 32

Kalkulator u nastavi matematike 1

1 Uvod

Tijekom povijesti pojavila se potreba za brojanjem i ra£unanjem. Kako bi na vrijeme orga-

nizirali vjerske obrede plemenski vra£evi su morali brojati dane. Prva metoda kori²tena za

brojanje bilo je brojanje na prste. Iako je djelotvorna za brojanje, nije prikladna za ra£unanje,

pa su kroz stolje¢a izumljene brojne sprave koje su vi²e ili manje uspje²no rje²avale taj pro-

blem. Pro²lo je nekoliko tisu¢lje¢a od prvih pomagala za ra£unanje do dana²njih kalkulatora

koji mogu rije²iti ²irok spektar matemati£kih problema. Tehnologija se u dana²nje vrijeme

uvukla u sve aspekte ºivota, pa tako i u nastavu. U nastavi matematike sve se vi²e koriste

osobna ra£unala i kalkulatori. Me�utim, stavovi o upotrebi kalkulatora u nastavi matematike

me�u osnovno²kolskim i srednjo²kolskim profesorima nisu ujedna£eni.

2 Diplomski rad

2 Povijesni razvoj kalkulatora

�ovjek se oduvijek nastojao rije²iti svakodnevnih te²kih, monotonih i neugodnih radnji razli-

£itim pomo¢nim sredstvima. Traºio je pomo¢ za brojanje i ra£unanje. Na po£etku se koristio

samo svojim prstima i kroz stolje¢a do²ao do elektronske naprave za ra£unanje, za koju pos-

toje razli£iti nazivi: kalkulator, �digitron�, dºepno ra£unalo, �ra£unaljka�. Ipak, najra²ireniji

naziv koji jednozna£no odre�uje o kojem se ure�aju radi je kalkulator.

Kalkulator je trebao u²tedjeti £ovjeku vrijeme, ali i ispraviti jedan veliki ljudski nedostatak,

pogre²ke pri ra£unanju. Najstarije pomagalo za ra£unanje bio je abak ili abakus. Pojavilo se

u Kini oko 3000 g. pr. Kr., a koristili su ga i stari Grci i Rimljani. Prva su se sastojala od

plo£e s osam ºljebova duº kojih su se pomicali kamen£i¢i.

Slika 2.1: Abakus sa ºljebovima

Poslije su se koristile kuglice na ²ipkama, a temeljna namjena je bila izvo�enje osnovnih

matemati£kih operacija.

Slika 2.2: Abakus

U Europi se koristio do 17. stolje¢a i po£etka kori²tenja arapskih brojeva i ra£unanja na

papiru, a zbog jednostavnosti kori²tenja jo² uvijek je u upotrebi u nekim zemljama Dalekog

istoka. Ipak, danas najra²irenija upotreba abakusa je u slijepih osoba, jer na taj na£in mogu

vrlo brzo dobiti rezultat, bez upotrebe olovke i papira. Francuski �lozof i matemati£ar Blaise

Kalkulator u nastavi matematike 3

Pascal je 1642. godine izradio prvi mehani£ki kalkulator koji je mogao relativno brzo zbrajati

i oduzimati velike brojeve, a sastojao se od nekoliko zup£anika. Svaki je na plo²noj strani

imao ozna£ene znamenke od 0 do 9. Stroj je dobio naziv Pascalina. Mana mu je bila nedo-

voljna preciznost budu¢i da tada²nja tehnologija nije omogu¢avala preciznu i pouzdanu izradu

njegovih mehani£kih dijelova.

Slika 2.3: Pascalina

Engleski matemati£ar Alan Turing je 1939. godine izumio Colossus, elektroni£ki progra-

mabilni kalkulator. Mogao je obavljati razli£ite operacije bez da se mijenja njegova gra�a,

bilo je dovoljno samo promijeniti program. Sluºio je Englezima u Drugom svjetskom ratu za

de²ifriranje njema£kih tajnih poruka. Turing je svoj stroj nazvao Computer (eng. to compute-

ra£unati). Prvi elektronski strojevi za ra£unanje pojavili su se oko 1950. godine, a bili su

veliki i glomazni. Prvi ure�aj koji zasluºuje da se zove dºepni kalkulator su stvorili 1967.

godine u tvrtki Texas Instruments. 1969. i 1970. godine proizvedeni su prvi komercijalno

uspje²ni kalkulatori u Compucorp tvrtki, Sanyo, Sharp i Canon.

Slika 2.4: Kalkulator HP-35

1972. godine tvrtka Hewlett-Packard je proizvela prvi znanstveni dºepni kalkulator HP- 35

4 Diplomski rad

koji moºe na¢i vrijednosti transcedentnih funkcija. 1986. godine Casio proizvodi prvi �gra�£ki�

kalkulator koji ima gra�£ki software sli£an ra£unalnome. Texas Instruments 1996. godine

predstavlja TI- 92, prvi kalkulator s jednostavnim na£inom kori²tenja ra£unalnog algebarskog

sustava (CAS). Obje gore navedene tvrtke su nedavno predstavile Flash ROM kalkulator.

Flash tehnologija omogu¢ava uporabu raznih korisnih programa na kalkulatoru te jednostavno

elektroni£ko nadogra�ivanje zbog £ega ¢e imati zna£ajan utjecaj na budu¢nost.

3 Kalkulator u nastavi matematike

Nema sumnje da je tehnologija ve¢ utjecala na nastavu matematike, a i na nastavu op¢enito,

te je pridonjela da se u£enje promijeni s tradicionalnog u£enja olovkom i papirom na u£enje u

kojem su s olovkom i papirom isprepletena osobna ra£unala i kalkulatori. Kalkulator pojed-

nostavljuje ra£un, ubrzava ga, te daje neke odgovore koje bez njega ne bismo mogli odrediti.

Dakle, upotreba tehnologije moºe obogatiti u£enje, podu£avanje i istraºivanje na svim razi-

nama. U£enici kalkulator prije svega koriste kako bi do²li do numeri£kog odgovora. Me�utim,

sada²nji na£in rada i ºivota ne zadovoljava se bilo kakvim odgovorom. Da bi odgovor bio

prihvatljiv, potrebno ga je dobiti brzo i to£no. Kalkulator se u nastavi pojavljuje na dva raz-

li£ita na£ina. Ponekad ga rabimo s ciljem da u£enici ovladaju njegovom uporabom, a drugi

put kao nastavno sredstvo. Naj£e²¢e se ta dva na£ina isprepli¢u i te²ko ih je odvojiti jedan

od drugoga. Nastavnik u oba slu£aja mora biti svjestan ²to ºeli posti¢i nekom aktivno²¢u s

kalkulatorom te ga planski uklju£iti u nastavu. Takva nastava pove¢ava aktivnost u£enika te

ubrzava proces u£enja. U£enici postaju svjesni da je sve vi²e podru£ja u kojima se matematika

primjenjuje, a to zahtjeva njihovo razumijevanje matemati£kih pojmova kako bi ih mogli ak-

tivno primjenjivati. Dakle, osim ²to je vaºno u£enike nau£iti kako se kalkulator upotrebljava

vaºno je nau£iti ih i kada se upotrebljava. Kako bismo mogli iskoristiti pedago²ke prednosti

tehnologije moraju, prije svega, biti ispunjeni neki uvjeti. Neki od njih su:

• Svaki u£enik na satu matematike treba imati kalkulator koji omogu¢ava izvo�enje odre-

�enih operacija. Za osnovnu ²kolu bi to bio kalkulator koji omogu¢uje osnovne ra£unske

operacije, odre�ivanje suprotnog i recipro£nog broja, kvadriranje i korjenovanje, po£etak

decimalnog zapisa broja π, a za srednju ²kolu jo² i odre�ivanje vrijednosti trigonometrij-

skih, eksponencijalnih i logaritamskih funkcija, te crtanje grafova. Osim toga, kalkulator

bi trebao imati zagrade i memoriju te mogu¢nost mijenjanja napisanog izraza, kao i uvid

u izraz koji se ra£una.

• Nakon ²to u£enici svladaju rukovanje kalkulatorom, bilo bi poºeljno da iste kalkulatore

koriste i u vlastitom domu.

• U£enike treba nau£iti tehniku rada kada je rije£ o kalkulatoru, omogu¢iti im stjecanje

iskustva ispravne uporabe kalkulatora te ih osposobiti za dono²enje odluke kada kalku-

lator treba upotrijebiti, a kada ne, jer postoje zadaci koje je lak²e i prakti£nije rije²iti

bez upotrebe kalkulatora.

Kalkulator u nastavi matematike 5

• Svaki nastavnik matematike trebao bi se obu£avati za upotrebu tehnologije jer su nove

tehnologije u ve¢ini nastavnih predmeta postale sastavni dio ²kolskog u£enja i pou£ava-

nja te sve zna£ajnije didakti£ko sredstvo. One se mogu koristiti u planiranju, provo�enju

i vrednovanju nastavnih procesa. �injenica je da upotreba novih tehnologija u nastavi,

ovisi o predmetu, u£enicima, a najvi²e o nastavniku. Upotreba novih tehnologija u nas-

tavi zahtijeva prilagodbu nastavnika na novu ulogu. On pri tome mora usavr²avati svoje

znanje i vje²tine, predlagati u£enicima potencijalne izvore znanja i na£ine kako da do

njih do�u, formulirati i odre�ivati tijek rasprava o prikupljenim pojmovima te predla-

gati dodatni materijal za u£enje. Sve navedeno jasno govori o tome da uloga nastavnika,

pri kori²tenju novih, suvremenih tehnologija nije smanjena ve¢ je promijenjena. On nije

samo predava£, nego je motivator i predlagatelj, usmjeriva£, ali i osoba koja korigira

dostupne informacije.

• Svaki nastavnik matematike trebao bi imati dostupnu tehnologiju kako bi mogao pri-

premiti nastavne materijale i prezentacije.

Nastava u kojoj je upotreba kalkulatora promi²ljena omogu¢uje u£enicima da ispravno i us-

pje²no koriste tehnologiju pri rje²avanju problema. Me�utim, da bi u£enici mogli rje²avati

probleme, nastava matematike treba i dalje razvijati sposobnost mi²ljenja i zaklju£ivanja. U

takvoj nastavi u£enici razvijaju svoje matemati£ke mo¢i te uo£avaju vaºnost nastave mate-

matike. Prvi konkretni koraci u uvo�enju kalkulatora u na²e ²kolstvo na£injeni su na Drugom

kongresu nastavnika matematike RH. Nastavnici su 3. srpnja. 2004. godine prihvatili odluku

da se uvede kalkulator u nastavu matematike.

Slika 3.1: Kalkulatori TI 30XIIB i TI 83Plus

Od 5. do 8. razreda osnovne ²kole TI 30XIIB, a od 1. do 4. srednje TI 83Plus. U

Hrvtskom nacionalnom obrazovnom standardu (HNOS) kalkulator je uveden u nastavu od 5.

razreda osnovne ²kole.

6 Diplomski rad

Brojne europske i izvaneuropske zemlje uvele su mnogo ranije kalkulator u nastavu mate-

matike u osnovnoj ²koli. Naravno, to nije uvijek �prolazilo glatko�, kao ²to ne prolazi ni u

na²em ²kolstvu. Naime, me�u srednjo²kolskim profesorima postignuta je visoka suglasnost

o selektivnom dopu²tanju upotrebe kalkulatora u nastavi matemematike, me�utim, stavovi

u£itelja osnovnih ²kola su opre£ni.

3.1. Za ili protiv

Pojedini u£itelji zabranjuju bilo kakvu upotrebu kalkulatora u osnovnoj ²koli, drugi ih dopu-

²taju u osmom razredu, a neki ve¢ od sedmog, to£nije od cjeline Proporcionalnost. Postoje

i primjeri u£itelja koji dopu²taju upotrebu kalkulatora u nastavi matematike ve¢ od prvog

sata petog razreda. Ve¢ina u£itelja kao glavne razloge protiv upotrebe kalkulatora u nastavi

matematike navodi sljede¢e:

• Svaki u£enik bi ra£unanje brojevima trebao dobro savladati �napamet� jer je to dio

matematike koji svakodnevno koristimo.

• Vaºno je mo¢i procijeniti rezultat, a ne samo puko ra£unanje.

• Potrebno je savladati osnovne tehnike kao ²to su traºenje najve¢eg zajedni£kog djelitelja,

najmanjeg zajedni£kog vi²ekratnika, ra£unanje s razlomcima, jer su one potrebne za

razumijevanje i rad s kasnijim sadrºajima.

• U srednjim strukovnim ²kolama gotovo polovina u£enika ne zna niti najjednostavnije

ra£une s cijelim brojevima.

• Svaki u£enik osnovno²kolske dobi mora savladati vje²tinu ra£unanja s manjim brojevima

jer je to preduvjet razumijevanja kasnije upotrebe kalkulatora pri ra£unaju s ve¢im

brojevima.

Naravno, postoje i protuargumenti, odnosno, razlozi za dopu²tanje upotrebe kalkulatora

u nastavi matematike. Primjerice:

• Kalkulatori su sastavni dio svakodnevnog ºivota.

• Procjena rezultata ne ovisi o tehnici ra£unanja, ali kalkulator ipak ima prednosti. U£e-

nici mogu kalkulator upotrijebiti za provjeru svoje procjene.

• Upotreba kalkulatora ne¢e umanjiti zna£aj niti onemogu¢iti usvajanje nekih postupaka

kao ²to je primjerice rastavljanje brojeva na proste faktore.

• Je li kalkulator kriv ²to neki u£enici ne znaju �napamet� provoditi ni neke od najjednos-

tavnijih ra£una, kao ²to je primjerice zbrajanje ili oduzimanje cijelih brojeva, recimo,

−2 + 1? Ukoliko takvim u£enicima omogu¢imo upotrebu kalkulatora, vidjet ¢emo kako

¢e imati pote²ko¢a i sa upisivanjem broja −2 u kalkulator, jer je takvim u£enicima i

kalkulator nepoznanica.

Kalkulator u nastavi matematike 7

• Ako se od u£enika zahtjeva da se ra£unski zadatak rje²ava postupno, po²tuju¢i redoslijed

ra£unskih operacija, potpuno je nebitno je li ra£un proveden uz pomo¢ kalkulatora ili

napamet. Svaki u£enik koji je uvjeºbao ra£unske operacije, zadatak ¢e rije²iti brºe i

to£no uz pomo¢ papira i olovke, nego kalkulatorom.

• U 8. razredu u£enici bi ve¢ trebali biti naviknuti na kalkulatore. Oni shva¢aju da neke

stvari kalkulator ipak ne moºe napraviti umjesto njih.

• Kada u£enik nekoliko puta utipka u kalkulator, primjerice, 4 · 5 i pro£ita rezultat, ne¢e

li to dovesti do automatizacije? Automatizacija se ne postiºe tehnikom ra£unanja, ve¢

ponavljanjem postupaka.

Nakon ranije iznesenih subjektivnih i povr²nih stavova o primjeni kalkulatora i trenutnom

stanju u ²kolama, treba objektivnije razmisliti o potrebama i ciljevima nastave matematike,

te prona¢i ulogu i mjesto kalkulatora u nastavi. Htjeli mi to priznati ili ne, kalkulatori su

postali uobi£ajeni u svakodnevnom ºivotu, te ih u£enici koriste htjeli mi to ili ne. Svaki u£itelj

ili nastavnik treba odlu£iti koju ulogu ºeli imati u nastavnom procesu, aktivnu ili pasivnu.

Zada¢a svakog u£itelja i nastavnika matematike je vo�enje i kreiranje nastavnog procesa, te

pou£avanje djece kada i kako koristiti kalkulator, a kada je bolje traºiti rje²enje zadatka na

drugi na£in. Svaki u£itelj i nastavnik se osje¢a ugodno predavati na na£in na koji su njima pre-

davali jer je u ljudskoj naravi ne ºeljeti promjenu. Me�utim, ve¢ina u£enika matematiku vidi

kao mno²tvo pravila koja treba zapamtiti kako bi se izra£unao ili rije²io zadatak. U£enici jo²

uvijek matematiku vide kao dosadan i mukotrpan posao, osobito kad se prisjete uvjeºbavanja

�²ablonskih� zadataka. Na u£iteljima i nastavnicima matematike je velika odgovornost, jer oni

mogu pravilnom upotrebom tehnologije unaprijediti nastavu matematike. Ako se prava bit

matematike razumije, onda ¢emo alate tehnologije u u£enju matematike vidjeti kao prirodni

napredak i nadogradnju. Aritmetika papira i olovke te simboli£ko algebarsko manipuliranje

bili su vrlo vaºni u pro²losti jer su to bili jedini na£ini na koje se moglo ne²to izra£unati i

rije²iti. Danas, nastavnici trebaju istraºiti koje �papir i olovka� procedure aritmetike i sim-

boli£kog algebarskog manipuliranja trebaju jo² uvijek biti nagla²ene u nastavi matematike,

jer se velik broj tih metoda jo² uvijek koristi samo zato ²to su to bile jedine mogu¢e metode

rje²avanja u pro²losti.

3.2. Kombinacija "olovke i papira" i kalkulatora

Ukoliko ºelimo razvijati osnovne vje²tine u£enika te vje²tine rje²avanja problema, tada mo-

ramo razvijati one metode koje promoviraju valjanu upotrebu kalkulatora zajedno s tradici-

onalnim �papir i olovka� metodama. Klju£an je uravnoteºen pristup u kori²tenju tradicionalne

metode i tehnologija u nastavi matematike. Treba naglasiti da su neke aritmeti£ke i algebarske

vje²tine i dalje vrlo vaºne. U budu¢nosti ¢e one postati jo² vaºnije kada se u£enje bude odvijalo

u jo² intenzivnijem kompjuterskom okruºenju. Od u£enika ¢e se i dalje zahtijevati da znaju

pomnoºiti dva jednoznamenkasta broja ili potencije broja deset, me�utim, ne¢emo zahtijevati

8 Diplomski rad

od njih da faktoriziraju brojeve koriste¢i olovku i papir, ve¢ ¢emo zahtijevati razumijevanje is-

tog. Treba posti¢i ravnoteºu u nastavi matematike, a to zna£i valjanu svakodnevnu upotrebu

metode �olovka i papir� te kalkulatora. Uz valjanu upotrebu, papir i olovka te kalkulator

mogu upotpunjavati jedni druge. Posebnu pozornost treba posvetiti istraºivanju otvorenih

problema i projekata koji sadrºe pro²irenu problematiku ve¢ rije²enih problema. Vaºno je da

svaki u£enik zna procijeniti odgovor prije nego zapo£ne izra£unavanje, bilo to pomo¢u kal-

kulatora ili uz pomo¢ olovke i papira. Potrebno je smanjiti naglasak sa vjeºbanja rutinskih

postupaka, dosadnih ra£unanja i pam¢enja postupaka bez razumijevanja. Tako�er je vaºno

da u£enici imaju dovoljno znanja o brojevima da bi mogli prepoznati kad su odgovori to£ni i

znati metode provjere, a da ponovno ne rje²avaju zadatak. Ravnoteºa u nastavi matematike

ne zna£i da moramo prestati podu£avati vje²tine dijeljenja i faktorizacije s metodom �olovka i

papir� bez kalkulatora. Ravnoteºa zna£i da glavne nastavne zada¢e koje se trebaju usvojiti i

razumjeti vi²e nisu usvajanje brzih metoda izra£unavanja olovkom i papirom, ve¢ se naglasak

stavlja na razumijevanje i valjanu primjenu. Nastavni program mora svakom u£eniku pruºiti

prigodu za rje²avanje problema koji od njih zahtijevaju zajedni£ki rad, upotrebu tehnologije,

iskazivanje bitne i zanimljive matemati£ke ideje, te doºivljavanje snage i korisnosti matema-

tike. Za promjene treba vremena, zato u nastavnom programu treba predvidjeti vrijeme za

vjeºbanje tih novih vje²tina. Jedan od na£ina koji u£itelji rabe kako bi postigli ravnoteºu

u nastavi matematike je zahtijevanje svakodnevne upotrebe sljede¢ih metoda pri rje²avanju

zadataka:

• rje²avanje problema papirom i olovkom i provjera rezultata upotrebom tehnologije (kal-

kulatora)

• rje²avanje zadatka upotrebom tehnologije (kalkulatora) i provjera rezultata upotrebom

papira i olovke

• rje²avanje zadatka tako da se prvo odlu£i je li e�kasnije koristiti papir i olovku, metodu

kori²tenja kalkulatora ili kombinaciju tih metoda.

Ovakav pristup omogu¢ava u£enicima shva¢anje pravilne upotrebe tehnologije. Drugi

na£in za postizanje ravnoteºe u nastavi matematike je primjena didakti£kih modela i papira i

olovke u fazi stvaranja koncepata, te upotreba kalkulatora u fazi pro²irivanja i generalizacije.

Promotrimo jedan konkretan primjer iz pedago²ke prakse: Austrijanci su razvili snaºne ra-

£unalne algebarske pedago²ke pristupe, koje bi svi srednjo²kolski profesori trebali razmotriti.

Oni imaju vrlo dobru strategiju koja se naziva crna kutija / bijela kutija. Promotrimo ovu

strategiju na konkretnom primjeru: dijeljenje polinoma. U fazi bijele kutije, kalkulatori se

ne koriste ili se koriste samo za provjeru rezultata. U£enici pomo¢u papira i olovke dijele

polinome. Poslije, tijekom nastavne godine, kada u£enici nai�u na problem koji zahtjeva di-

jeljenje polinoma, smiju koristiti kalkulator da na�u kvocijent i to je faza crne kutije.

Kalkulator u nastavi matematike 9

Na konkretnom primjeru,

x3 + x

x2 − 1= x+

2x

x2 − 1

u£enici u£e dijeliti polinom tradicionalnom metodom �olovka i papir�, a kada im se poslije,

prilikom rje²avanja integrala (3.2) pojavi dio s dijeljenjem polinoma, za rje²avanje koriste

kalkulator.∫x3 + x

x2 − 1dx =

∫ (x+

2x

x2 − 1

)dx =

∫x dx+

∫2x

x2 − 1dx =

x2 − 1 = t

2x dx = dt

=

=x2

2+

∫dt

t

=x2

2+ ln|t|+ C

=x2

2+ ln|x2 − 1|+ C.

(3.2)

Dakle, vaºno je naglasiti da uvo�enje kalkulatora u redoviti nastavni proces ne zna£i

da u£enici ne trebaju nau£iti ra£unati �napamet� ili koriste¢i �olovku i papir�. Naprotiv,

kalkulator se treba koristiti promi²ljeno i selektivno. Isklju£ivo na taj na£in u£enici ¢e imati

koristi od takva na£ina u£enja matematike. Njegovim pravilnim kori²tenjem u nastavi trebalo

bi ukloniti dosadna i zamorna ra£unanja koja su sama sebi jedina svrha, te posebno naglasiti

matemati£ku pozadinu i smisao problema ili rezultata. Koji god na£in za postizanje ravnoteºe

izabrali, vaºno je da ne odustanemo od cjelovite, stalne i integrirane upotrebe tehnologije koja

nam je dostupna.

3.3. O djeci s te²ko¢ama u u£enju i kalkulatorima

Kada se prave ili odre�uju planovi i programi ili opisuje neka nastavna metoda, naglasak

se naj£e²¢e stavlja na prosje£nog u£enika i njegove potrebe i mogu¢nosti. Pri tome se £esto

zapostavljaju u£enici s posebnim potrebama, bilo da se radi o nadarenim u£enicima ili o

u£enicima koji imaju odre�ene te²ko¢e u u£enju. Me�utim, to ne bi trebalo biti tako, jer ¢e

gotovo u svakom razredu postojati nekoliko takvih u£enika. Istraºivanja u Americi pokazuju

da svako ²esto dijete (otprilike 17.5 %) tijekom prve tri godine ²kolovanja ima pote²ko¢e s

u£enjem £itanja. U Americi se vi²e od 2,8 milijuna djece ²kolske dobi smatra u£enicima s

pote²ko¢ama u u£enju. To je otprilike 5 % ukupnog broja djece u javnim ²kolama. Op¢enito,

neka istraºivanja kazuju da je ukupan broj djece s pote²ko¢ama u u£enju izme�u 2 i 10 %.

To£an broj takve djece je te²ko utvrditi jer mnogi od njih nemaju dijagnosticiranu neku

od te²ko¢a u u£enju. Pote²ko¢e u u£enju obuhva¢aju speci�£no neurolo²ko funkcioniranje

koje ometa sposobnost pohranjivanja, obrade ili stvaranja informacija i na taj na£in stvara

10 Diplomski rad

raskorak izme�u sposobnosti i u£injenog. Djeca s te²ko¢ama u u£enju naj£e²¢e su osobe

prosje£ne ili natprosje£ne inteligencije. Ve¢ina djece s te²ko¢ama u u£enju u prva £etiri razreda

osnovne ²kole znatno zaostaje za programom i te²ko prate nastavu. Uzmimo za primjer dijete

s diskalkulijom koje ne razumije pojam broja, matemati£ke simbole, brojevi im se �vrte�,

nemaju nikakvu mogu¢nost procjene rezultata, ne razumiju brojevni pravac.

Slika 3.2: Dje£ak (drugi razred) pi²e u rezultatu zbroj, a oduzima brojeve iz £ega je vidljivoda ne razumije matemati£ki jezik

Dok druga djeca nau£e osnovne operacije, djeca s te²ko¢ama u u£enju stje£u strah od

matematike. Tako�er treba uzeti u obzir i to da mnogima pro�e nekoliko godina dok ne

otkriju da imaju neku te²ko¢u u u£enju i da im je potrebna terapija. Nakon nekog vremena,

kada se po£inju obra�ivati kompliciraniji sadrºaji, a oni su malo stariji, ili ni²ta ne razumiju ili

su do odre�ene mjere savladali £itanje, pisanje i razumijevanje teksta, pa po£nu razumijevati

i matematiku. Me�utim, izgubili su nekoliko godina rada i vjeºbanja elementarnih ra£unskih

operacija i tablice mnoºenja, jer dok su druga djeca to uvjeºbavala, oni su zaostajali. Tako�er,

£esto se dogodi da mogu konceptualno rije²iti i teºe zadatke, ali ne mogu ih izra£unati, ili

jer ne znaju elementarne ra£unske operacije, nisu usvojili matemati£ku terminologiju (npr.

pribrojnik, zbroj, zbrajanje, oduzimanje, umanjenik, umanjitelj, razlika, plus, minus, jednako,

ve¢i od, manji od, nazive geometrijskih likova, itd.) ili im treba puno vremena da rije²e

zadatak.

Slika 3.3: Djevoj£ica s diskalkulijom napisala znak '+' umjesto '-' i zadatak rije²ila ispravno

Gledaju¢i ove probleme, zaklju£ak je da bi im kalkulator bio od velike pomo¢i. Negativna

strana toga je da ukoliko takvim u£enicima omogu¢imo upotrebu kalkulatora, oni uop¢e ne¢e

vjeºbati osnovne ra£unske operacije i tablicu mnoºenja. Protuargument tome je da je sada

Kalkulator u nastavi matematike 11

kasno da to uvjeºbavaju jer im ve¢ nedostaje nekoliko godina vjeºbanja. Postoji jo² jedan

problem: zbog lo²eg ra£unanja, zadatke neto£no ili nepotpuno rje²avaju na testovima, te zbog

toga imaju lo²e ocjene, ²to ih jako demotivira za daljnji rad i napredak. Kalkulatori katkada

ne¢e pomo¢i u£enicima s disleksijom koji imaju teºe probleme £itanja, pa ne¢e biti u stanju

pritisnuti pravu tipku jer im brojevi �bjeºe�. Naime, osobe s disleksijom na pisanje i £itanje

tro²e nekoliko puta vi²e energije od osoba koje nemaju disleksiju. Postoje i u£enici kojima

velik problem predstavlja stavljanje decimalnog zareza na mjestima gdje je to potrebno, pa ¢e

ga i u kalkulator staviti krivo. Ipak, £ini se kako bi tim u£enicima kalkulator pomogao jer bi

im u²tedio dio energije. Me�utim, postoji psiholo²ki problem ukoliko u£enicima s te²ko¢ama u

u£enju omogu¢ite ne²to ²to drugi u£enici ne smiju. Budu¢i da disleksija i sli£ne te²ko¢e kod nas

nisu poznate, a samim tim ni op¢eprihva¢ene kao ne²to normalno, djeca ne vole da se o tome

pri£a. Taj problem mogu rije²iti jedino profesori, kada bi na svoju inicijativu u£enicima koji

imaju takvih te²ko¢a odmah dali tablicu mnoºenja ili ne²to sli£no kao normalnu i uobi£ajenu

stvar, tada bi to i razred prihvatio. Naravno, to se odnosi samo na vi²e razrede osnovne

²kole, jer ne bi imalo smisla da se u prva £etiri razreda osnovne ²kole upotrebljava kalkulator.

U ve¢ini slu£ajeva kalkulator i vidljiva tablica mnoºenja bi djeci s te²ko¢ama u u£enju bili

korisni.

4 Promjene u nastavi matematike

Uporabom CAS-a (ra£unalnog algebarskog sustava) u£enici mogu rije²iti tradicionalne alge-

barske zadatke, kao i ra£unske zadatke, ali kako im CAS moºe pomo¢i pri u£enju matematike?

CAS moºe faktorizirati izraze, rje²avati jednadºbe i sustave jednadºbi, simboli£ki ra£unati de-

rivacije i integrale, rje²avati diferencijalne jednadºbe i tako dalje. Promjene koje kalkulatori

unose u nastavu i pou£avanje matematike mogu biti dramati£ne. Dok nisu postojali kalku-

latori kakve danas poznajemo, £esto se od u£enika o£ekivalo da rije²e ograni£ene probleme.

U£enici su, zbog toga, u£ili metode koje su, bar po njihovu shva¢anju, bile korisne samo u

odre�enim situacijama. Kalkulatori su u£enicima omogu¢ili da primijene sveobuhvatnije me-

tode rje²avanja, £ak i na probleme koji nemaju precizno rje²enje i na probleme koji se ne

mogu rije²iti tradicionalnim metodama. Zahvaljuju¢i tehnologiji s vremenom su:

• neki dijelovi matematike postali manje vaºni, kao ²to je na primjer, velik dio aritmetike,

koji se izra£unava papirom i olovkom

• neki dijelovi matematike postaju vaºniji, primjerice, analiza podataka, diskretna mate-

matika, nelinearna matematika

• neki dijelovi matematike postali mogu¢i, primjerice, fraktalna matematika.

Dakle, vidljivo je da kalkulatori uzrokuju promjene u na£inu predavanja i na£inu usvajanja

gradiva. Ranije, u doba prije kalkulatora, bilo je potrebno da u£enici uvjeºbaju i usvoje

na£ine izra£unavanja i manipulacije olovkom i papirom. Danas se ve¢ina tog vremena moºe

12 Diplomski rad

provesti za vrijedno kriti£ko mi²ljenje, dublje shva¢anje pojmova te usavr²avanje sposobnosti

rje²avanja problema. Iz svega navedenog, vidimo da kalkulatori smanjuju vrijeme koje bi

se provelo na mukotrpne aritmeti£ke i algebarske procedure kada one nisu temelj nastavne

jedinice. Omogu¢uju nam bolji na£in izra£unavanja i manipulacije simbolima. Primjerice,

ukoliko u£enici trebaju izra£unati povr²inu podru£ja ome�enog grafovima dviju funkcija, tada

je najvaºniji zadatak prona¢i granice integracije te to£an zapis integrala. Kada je poznato

rje²enje, u£enici trebaju odlu£iti ima li njihovo rje²enje smisla s obzirom na kontekst u kojem

se nalazi. Sve te zada¢e zahtijevaju od u£enika razmi²ljanje te razumijevanje problema. Samo

izra£unavanje, u ovom slu£aju integrala, naj£e²¢e je najbolje napraviti uz pomo¢ kalkulatora

ili ra£unalne tehnologije. Dakle, kalkulatori pomaºu u£enicima vidjeti stvarnu vrijednost

matematike.

4.1. Primjeri upotrebe CAS-a u nastavi matematike

Neka ra£unanja olovkom i papirom u nastavi matematike su postala arhai£na i nepotrebna,

kao ²to ¢emo vidjeti u sljede¢im primjerima:

• Komplicirana aritmeti£ka izra£unavanja.

Dovoljno je za primjer uzeti izra£unavanje kvocijenta 1789/1.0725 olovkom i papirom s izra-

£unavanjem pomo¢u jednostavnog kalkulatora s £etirima osnovnim funkcijama.

• Interpolacija pomo¢u tablica transcendentnih funkcija.

Dovoljno je usporediti izra£unavanje 1250 · (1.04125)12 pomo¢u tablica s izra£unavanjem po-

mo¢u kalkulatora. Jednostavnim unosom u kalkulator dobijemo rje²enje 2030.35, za razliku

od mukotrpnog ra£unanja papirom i olovkom.

• Precizno crtanje funkcija.

Za primjer ¢emo uzeti crtanje grafa y =x3 − 17x+ 7

x2 + 1pomo¢u tradicionalne metode papirom

i olovkom s crtanjem grafa pomo¢u gra�£kog kalkulatora. Tradicionalna metoda crtanja olov-

kom i papirom uklju£uje traºenje derivacije i traºenja rje²enja jednadºbe f(x) = 0. Danas,

uz kalkulatore koje poznajemo, u£enici mogu nacrtati grafove puno ve¢eg broja funkcija pre-

ciznije ve¢ ikad prije. U£enici i dalje mogu upotrebljavati tradicionalne metode matemati£ke

analize kako bi potvrdili pravilnost grafa kojeg su dobili uz pomo¢ kalkulatora.

Kalkulator u nastavi matematike 13

Slika 4.1: Crtanje grafa y =x3 − 17x+ 7

x2 + 1pomo¢u Mathematicae

• Rje²avanje sloºenih jednadºbi.

Pronalaºenje nulto£ki jednostavnih polinoma £esto zna biti vrlo komplicirano ukoliko koris-

timo tradicionalnu metodu traºenja olovkom i papirom.

Slika 4.2: Pronalaºenje realnih i kompleksnih nulto£ki polinoma tre¢eg stupnja pomo¢uMathematicae

14 Diplomski rad

• Sloºene integracije.

Napor i vrijeme koje je potrebno uloºiti za rje²avanje integrala∫ π3

0x2sinx dx

uz pomo¢ tradicionalne metode olovkom i papirom (4.2) je mnogo ve¢e od rje²avanja uz pomo¢

kalkulatora.

∫ π3

0x2sinx dx =

{u = x2 dv = sinx dx

du = 2xdx v = −cosx

}= −x2cosx

∣∣∣∣∣π3

0

+ 2

∫ π3

0xcosx dx =

= −π2

9cos

π

3+ 2

∫ π3

0xcosx dx =

{u = x dv = cosx dxdu = dx v = sinx

}=

= −π2

9cos

π

3+ 2xsinx

∣∣∣∣∣π3

0

− 2

∫ π3

0sinx dx =

= −π2

9cos

π

3+

2π

3sin

π

3+ 2cosx

∣∣∣∣∣π3

0

=

= −π2

9cos

π

3+

2π

3sin

π

3+ 2cos

π

3− 2cos0 =

=−π2

18+

√3π

3+ 1− 2 =

=−π2

18+

√3π

3− 1

(4.2)

Slika 4.3: Rje²enje integrala∫ π

3

0x2sinx dx pomo¢u Mathematicae

Kalkulator u nastavi matematike 15

Sada ¢emo navesti konkretne zadatke u kojima se mogu upotrebljavati CAS kalkulatori u

na²im ²kolama.

Primjer 1. Rije²i jednadºbu√x+ 6−

√x+ 1 = 1.

U£enici tradicionalno £ine mnoge algebarske pogre²ke kada rje²avaju jednadºbe s korijenima.

�esto se gube u detaljima problema. Budu¢i da CAS otklanja dosadna ra£unanja, on moºe

pomo¢i u£enicima da se usredoto£e na cjelinu. Ovaj primjer u£enicima moºemo prezentirati

kako bi se koncentrirali na postupak, a ne na ra£unanje i detalje.

Slika 4.4: Rje²enje Primjera 1. pomo¢u CAS-a

16 Diplomski rad

Bilo bi idealno kad bi u£enici nakon ²to su vidjeli primjere poput ovoga, bili sposobni

samostalno rje²avati sli£ne probleme. Projiciranjem ovog primjera grafoskopom ili njegovim

prikazom na monitoru, u£itelji ili nastavnici mogu potaknuti u£enike na suradnju i zaintere-

sirati ih za nastavnu jedinicu. U£enici mogu sugerirati koje korake poduzeti, te neposredno

vidjeti posljedice svojih sugestija. CAS kalkulatori mogu omogu¢iti dinami£nost pri u£enju

algebre.

Primjer 2. Odredi f(f(x)) pri £emu je f(x) =x− 1

x.

Slika 4.5: Rje²enje Primjera 2. pomo¢u CAS-a

U£enici mogu koristiti CAS za izu£avanje kompozicije funkcija. Slika 4.5 prikazuje rezultat

uzastopnog slaganja funkcije f(x) = x−1x sa samom sobom. Nakon tri iteracije rezultat je

identiteta, a sljede¢a iteracija opet daje po£etnu funkciju.

Kalkulator u nastavi matematike 17

5 Gra�£ki kalkulatori

Uz sve mogu¢nosti obi£nog kalkulatora koje su ve¢ navedene, gra�£ki kalkulator dodatno omo-

gu¢ava vizualizaciju problema i njegovih rje²enja te omogu¢ava lak²e testiranje hipoteza jer je

mogu¢e napraviti i numeri£ki i gra�£ki test. Tako�er, uz tradicionalni, daje jo² jedan pristup

rje²avanju problema. U£enici koriste gra�£ke kalkulatore za istraºivanje problema s gra�£kog

i numeri£kog gledi²ta. Kalkulatori brzo crtaju grafove najrazli£itijih funkcija, ²to u velikoj

mjeri olak²ava posao. U£enici mogu brzo i lako uo£iti veze me�u grafovima razli£itih funkcija

te prona¢i njihova sjeci²ta. Oni koriste gra�£ke sposobnosti kalkulatora za istraºivanje svoj-

stava funkcija. Na ovaj na£in, CAS daje u£enicima oru�e za prou£avanje matematike i njenih

pojmova na novi na£in, jer kao ²to znamo, grafovi olak²avaju razumijevanje u£enicima aps-

traktnih sadrºaja. Gra�£ki kalkulatori izmijenili su ono ²to smo podu£avali u 90-im. Nekada

smo analizirali funkcije kako bismo dobili njihove grafove, a sada £esto koristimo graf funkcije

kako bismo uo£ili njezina svojstva. Ova vrsta kalkulatora je £esto programabilna, ²to zna£i da

omogu¢uje korisnicima da stvore vlastite prilago�ene programe, naj£e²¢e u obrazovne svrhe.

Slika 5.1: Gra�£ki kalkulator Casio fx-9750GII

5.1. Primjeri upotrebe gra�£kog kalkulatora u nastavi matematike

Iako ne postoje istraºivanja koja bi predo£ila koliki postotak u£enika rabi gra�£ke kalkulatore

u hrvatskim ²kolama, oni mogu biti od velike koristi u nastavi matematike. U nastavku se

nalaze konkretni zadaci otvorenog tipa, ²to zna£i da ih moºemo rije²iti na vi²e razli£itih na-

18 Diplomski rad

£ina ili postoji vi²e korektnih rje²enja, a postupak rje²avanja nije unaprijed poznat. Jedan od

na£ina rje²avanja takvih zadataka je upotreba gra�£kog kalkulatora.

Primjer 1.

Dani su pravci x+1 = 0 i y = 0.5x+2. U sliku ucrtajte grafove funkcija kojima su ovi pravci

asimptote.

Jedan od na£ina rje²avanja ovog zadataka je eksperimentiranje s gra�£kim kalkulatorom.

U£enici ¢e metodom poku²aja i pogre²aka do¢i sve bliºe rje²enju, a ukoliko ne rije²e zadatak,

mi kao u£itelji ili nastavnici ¢emo im prezentirati rje²enje. U£eni£ka rje²enja i odgovori na

zadatke ovakvog tipa dat ¢e nam uvid o tome ²to u£enici misle i znaju o matematici, uvid u

stil u£enja, uvid u eventualne �rupe� u razumijevanju matemati£kih koncepata, u jezik kojim

se sluºe u obrazlaganju svojih matemati£kih ideja te u na£in interpretacije matemati£kih

situacija. Rje²avanje problema otvorenog tipa kao nastavna strategija stvara interes u£enika

u razredu i stimulira kreativne matemati£ke aktivnosti putem individualnog ili suradni£kog

rada.

Slika 5.2: Poku²aj rje²avanja zadatka gra�£kim kalkulatorom s f(x) = 1x

Kalkulator u nastavi matematike 19

Slika 5.3: Poku²aj rje²avanja zadatka gra�£kim kalkulatorom s f(x) = 1x + 1

Nakon manje ili vi²e uspje²nog rje²avanja zadataka, u£enicima prezentiramo rje²enje po£etnog

problema.

Slika 5.4: Korektno rje²enje po£etnog problema koje glasi f(x) = 1x+1 + 1

2x+ 2

Me�utim, poºeljno je u£enicima prezentirati i ostala rje²enja, ukoliko postoje. U ovom slu£aju

postoji cijela familija korektnih rje²enja kao ²to prikazuje Slika 5.5.

Slika 5.5: Familija rje²enja po£etnog problema koja glasi f(x) = ax+1 + 1

2x+ 2

20 Diplomski rad

Primjer 2.

Na Slici 5.6 prikazani su grafovi £etiriju parabola oblika y = x2 − 2kx + 3. U£enici pomo¢u

gra�£kog kalkulatora mogu vidjeti u£inak promjene parametra k, te vezu izme�u k i tjemena

parabole. U£enici mogu pomo¢u kalkulatora odrediti koordinate vrhova (k, 3−k2) istraºuju¢ite iste parabole, te zaklju£iti da su svi ti vrhovi to£ke parabole y = 3 − x2 kako se to moºe

vidjeti i na Slici 5.6.

Slika 5.6: Grafovi parabola oblika y = x2 − 2kx+ 3, za slu£aj k = 1, 2, 3, 4

U£enici bi jo² mogli poku²ati poop¢iti ovaj rezultat i odrediti skup svih vrhova parabola

y = ax2 + bx + c kada se b mijenja. Ovdje je iz jednakosti za x koordinatu vrha x = −b2a

izraºen b, te je uvr²ten u op¢u jednadºbu kako bi se dobila jednadºba skupa svih tjemena

op¢e parabole koja glasi y = c− ax2 kao ²to je vidljivo na Slici 5.7.

Slika 5.7: Postupak traºenja jednadºbe skupa svih tjemena op¢e parabole

Kalkulator u nastavi matematike 21

6 Vrednovanje znanja

Ocjenjivanje se moºe £initi vrlo jednostavnim procesom:

1. u£itelj ili nastavnik pou£ava

2. u£enik u£i

3. u£itelj zatim provjerava nau£eno znanje i

4. nau£enom znanju daje odre�eni broj (1, 2, 3, 4, 5).

Brojevi se uvijek £ine najboljim ili barem najelegantnijim rje²enjem jer izgledaju jednos-

tavni i nedvosmisleni. Me�utim, je li to ba² tako? Procjenjivanje znanja je sustavan proces u

kojem u£itelj prikuplja podatke, analizira ih i tuma£i kako bi odredio u kojoj su mjeri u£enici

savladali obrazovne ciljeve. Procjenjivanje znanja uklju£uje nekoliko postupaka:

• opaºanje i s njim povezane tehnike (npr. usmeno ispitivanje). Kvalitativnog je karaktera,

na primjer u£enik je sve bolji u matematici.

• mjerenje - odnosi se na odre�ivanja broj£ane mjere ne£ijeg postignu¢a ili osobine. Ogra-

ni£eno je na kvanti�kaciju, na primjer, u£enik je to£no rije²io 5 od 10 zadataka, te

ne uklju£uje kvalitativni opis znanja niti prosudbe ne£ijeg uspjeha� ukoliko se ovom

izmjerenom postignu¢u pridruºi neka ocjena onda govorimo o vrednovanju izmjerenog

znanja.

• vrednovanje � davanje vrijednosti koja se izraºava brojkom ili slovom, a koja prenosi

poruku o koli£ini i vrijednosti izmjerenog znanja - ocjenjivanje.

Dakle, ocjenjivanje je prosudba o u£enikovom znanju u odnosu na unaprijed zadane krite-

rije ili druge u£enike. Dakle, izmjereno se znanje izraºava ocjenom koja ima odre�enu poruku.

U na²em sustavu su to ocjene: 1 (nedovoljan), 2 (dovoljan), 3 (dobar), 4 (vrlo dobar), 5 (od-

li£an).

Glavna svrha provjeravanja znanja je povratna informacija, motivacija, selekcija, a sve u cilju

napretka u£enika. Kako bismo postigli ravnoteºu u nastavi matematike kojoj teºimo, mo-

ramo rije²iti probleme koji se pojavljuju prilikom vrednovanja znanja. Ti problemi moraju

dobiti istaknutu ulogu u aktivnostima profesionalnog usavr²avanja. Postoje u£itelji i nas-

tavnici koji su se tek upoznali s kalkulatorima u ovom obliku u kojem ih danas poznajemo.

Neki od njih smatraju da ukoliko dopuste upotrebu kalkulatora u nastavi matematike, tada bi

morali promijeniti sve svoje testove i kratke provjere znanja. U sklopu profesionalnog usavr-

²avanja trebalo bi se razgovarati o tome kada treba vrednovati znanje uz dopu²tenu upotrebu

kalkulatora, a kada bez njega. U redu je ponekad testirati u£enike bez dopu²tene upotrebe kal-

kulatora, ali pitanje je ima li smisla provoditi sva vrednovanja u£eni£kog znanja bez dopu²tene

upotrebe kalkulatora, jer to kalkulator i op¢enito tehnologiju, £ini nevaºnim. Tehnologija bi

22 Diplomski rad

trebala biti integrirana u sve aspekte nastavne prakse. Tako�er, i novi udºbenici bi trebali

integrirati tehnologiju u nastavni program. Naravno, kad god u£enici svakodnevno rabe teh-

nologiju postoji mogu¢nost da neki u£enici formiraju krivu predodºbu o nekom pojmu zbog

ograni£enja samog kalkulatora ili njegove nepravilne upotrebe.

Prilikom planiranja aktivnosti profesionalnog usavr²avanja voditelji moraju razumjeti da sa

svakim napretkom kalkulatora, nastavnici moraju biti obavije²teni o istom, te u potpunosti

moraju razumijeti ograni£enja tehnologije. Bojazni u£itelja i nastavnika u vezi s tehnologijom

moraju biti shva¢ene i obja²njene. To su prirodni strahovi, jer neki od njih moºda ve¢ go-

dinama koriste iste nastavne metode. U posljednje vrijeme, kalkulatori mogu obaviti ve¢inu

simboli£kih algebarskih manipulacija i manipulacija iz vi²e matematike. Me�utim, ve¢ina

nastavnika i dalje ve¢inu vremena provodi na tim istim manipulacijama koriste¢i olovku i

papir. Nova tehnologija omogu¢ava brºu i to£niju manipulaciju od one koju mogu izvr²iti

nastavnici i u£enici. Mnogo toga ¢e se u budu¢nosti morati promijeniti zbog upotrebe nove

tehnologije kojom se koriste u£enici. Promijenit ¢e se kurikulum, testovi, na poslijetku i o£e-

kivanja. Nastavnici koji se ne budu spremni promijeniti, zaista ¢e se bojati tehnologije. Treba

jo² naglasiti da novi pedago²ki pristupi trebaju biti osmi²ljeni, provjereni, te preneseni drugim

nastavnicima.

Kalkulator u nastavi matematike 23

7 Istraºivanja o upotrebi kalkulatora u nastavi matematike

Utjecaj upotrebe kalkulatora na u£enikovo u£enje i usvajanje znanja je bilo popularno podru-

£je istraºivanja u matemati£kom obrazovanju. Mnoge provedene studije su sa dosta postoja-

nosti pokazale da osmi²ljeno kori²tenje kalkulatora u nastavi matematike osnaºuje u£enikova

postignu¢a iz matematike i stavove u odnosu prema matematici. Najpotpunija studija o ne-

gra�£kim kalkulatorima u ²kolskoj matematici obuhva¢a Hembreeovu i Dessertovu [4] meta-

analizu koja se sastoji od 79 istraºivanja u razdoblju od 15 godina koja je zapo£ela 1986.

godine. U studijama koje su analizirali, u£enici su imali nastavu na kojoj su se rabile tradici-

onalne metode izra£unavanja papirom i olovkom prije upotrebe ili istovremeno s upotrebom

kalkulatora. U istraºivanju provedenom od 1986. do 1992. godine u Velikoj Britaniji u£enici

nikada nisu u£ili tradicionalne metode, odnosno aritmeti£ke algoritme olovkom i papirom, ve¢

su tijekom godina uspje²no rabili kalkulatore i sami dolazili do vlastitih procesa provo�enja

aritmeti£kih operacija olovkom i papirom. Pokazalo se da su, na svim testovima i naprednim

stupnjevima, u£enici koji su svakodnevno upotrebljavali kalkulator u nastavi postigli bolje

rezultate nego u£enici koji su rijetko ili nikada koristili kalkulator u nastavi matematike.

Ova analiza je dovela do zaklju£ka da u£enici koji upotrebljavaju kalkulator imaju bolji stav i

vi²e razumiju matematiku nego u£enici koji ne upotrebljavaju kalkulator. Tako�er, ova ana-

liza pokazuje da u£enici koji upotrebljavaju kalkulatore pri testiranju postiºu bolje rezultate

od u£enika koji ih ne upotrebljavaju.

Jedan od zaklju£aka iz Hembreeove i Dessertove [10] studije glasi: Najve¢i broj podataka

istraºivanja upu¢uje na to da upotreba kalkulatora u nastavi i za vijeme provjere znanja una-

prije�uje u£enje i usvajanje algebarskih koncepata i vje²tina, pobolj²ava rje²avanje problema

te pobolj²ava odnos prema matematici. Daljnja istraºivanja trebaju se temeljiti na pronala-

ºenju najboljih na£ina za implementiranje i integriranje kalkulatora u matemati£ki nastavni

program.

Na svim izobrazbenim razinama, osim jednoj, u£enici koji su koristili kalkulatore usporedno

s tradicionalnim metodama u nastavi matematike ostvarili su bolje rezultate na testovima

osnovnih vje²tina i rje²avanja problema papirom i olovkom. Postoje dokazi da konstantna

upotreba kalkulatora u £etvrtim razredima moºe o²tetiti vje²tine ra£unanja prosje£nih u£e-

nika. Napredniji u£enici i u£enici slabijih sposobnosti nisu imali nikakve razlike u usvajanju

vje²tina s kalkulatorom, ali postoji nadopuna izvorne meta-analize iz 1992. godine u kojoj

se navode nova istraºivanja koja upu¢uju da nastava oboga¢ena kalkulatorom moºe unapri-

jediti rezultate testova papirom i olovkom i za te dvije grupe u£enika, kao ²to je to u£inila

i za prosje£ne u£enike. 1997. godine, Smith [4] u svojoj meta-analizi od 24 istraºivanja

navodi znatne razlike u rezultatima rje²avanja problema, ra£unanja i razumijevanja konce-

pata u korist u£enika koji upotrebljavaju kalkulator u nastavi, u usporedbi s u£enicima koji

ga ne upotrebljavaju. Dakle, istraºivanja pokazuju da u£enici koji upotrebljavaju negra�£ke

kalkulatore u nastavi matematike ostvaruju iste ili bolje rezultate od u£enika koji ih ne upo-

trebljavaju.

24 Diplomski rad

Me�utim, od 1986. godine kada su predstavljeni gra�£ki kalkulatori, postoji stalan porast is-

traºivanja o njima u nastavi matematike. Dunham i Dick, Heid, Marshall, Penglease i Arnold

isti£u naj£e²¢e pozitivne efekte na uspjeh u algebri, trigonometriji, statistici i vi²oj matema-

tici. U£enici koji upotrebljavaju gra�£ke kalkulatore pokazuju bolje razumijevanje funkcija i

gra�£kih koncepata, unaprije�enu vje²tinu rje²avanja problema, te bolje rezultate testova u

vje²tinama algebre i vi²e matematike. Osim toga, nekoliko istraºivanja upu¢uje na snaºne

pozitivne u£inke koje gra�£ki kalkulatori imaju na speci�£ne populacije u£enika, kao ²to su

pripadnice ºenskog spola, u£enici sa smanjenim mogu¢nostima, te u£enici sa slabije razvije-

nim vje²tinama prostorne vizualizacije. Prema Dunham i Dicku (1994.) u£enici koji koriste

gra�£ke kalkulatore:

a) svrstavaju na vi²i stupanj hijerarhije gra�£ko razumijevanje

b) povezuju grafove s njihovim jednadºbama

c) bolje £itaju i interpretiraju gra�£ke informacije

d) znaju pro£itati vi²e informacija iz grafa

e) bolje razumiju povezanost gra�£ke, numeri£ke i algebarske reprezentacije.

Istraºivanja daju snaºne dokaze kako ru£na tehnologija, samim tim i kalkulatori, mora imati

vaºnu ulogu u nastavi matematike. Zbog £ega onda kalkulatori nisu ostvarili svoj puni po-

tencijal u nastavi matematike? Istraºivanja upu¢uju na sljede¢a obja²njenja: nedostatak

kalkulatora i prilago�enih nastavnih materijala, nedostatak obuke i mogu¢nosti profesional-

nog usavr²avanja te nedostatak motivacije. Ovi rezultati zahtjevaju pitanje: Za²to roditelji i

u£itelji s ovim rezultatima istraºivanja ne traºe od ²kola da isprave nedostatke? Dio odgovora

na postavljeno pitanje nalazi se u £injenici da roditelji i u£itelji £esto nisu svjesni postojanja

istraºivanja koja pokazuju dobrobit nastave koja je utemeljena na kalkulatorima. Drugi dio

odgovora nalazi se u stajali²tima o naravi matematike i ciljevima nastave matematike koja

se suprotstavlja punom uklju£ivanju tehnologije u nastavu. Roditelji i u£itelji strahuju da ¢e

u£enici izgubiti vje²tine ra£unanja te da ne¢e usvojiti osnovne pojmove koji ¢e im trebati u

daljem obrazovanju, iako istraºivanja pokazuju suprotno. Postoji nekoliko slu£ajeva u kojima

je upotreba kalkulatora imala negativan u£inak na razumijevanje, na primjer, Giamati (1991.)

i Upshaw (1994.). Me�utim, ta istraºivanja su zahvatila kra¢i vremenski interval, pa ih se ne

smatra reprezentativnima.

7.1. Upotreba kalkulatora i rje²avanje problema

Kakav u£inak kalkulatori imaju pri rje²avanju uobi£ajenih zadataka ranije smo ve¢ vidjeli.

Me�utim, postavlja se pitanje, kakav u£inak ima upotreba kalkulatora na rje²avanja problem-

skih zadataka? Dickova istraºivanja (1992.) [4] pokazuju da kalkulatori pospje²uju vje²tinu

rje²avanja problema jer ostavljaju vi²e vremena za pou£avanje, daju u£enicima alat za rje²ava-

nje problema i mijenjaju u£eni£ku percepciju o rje²avanju problema zahvaljuju¢i tome ²to ne

Kalkulator u nastavi matematike 25

moraju ra£unati i mogu se koncentrirati na formuliranje i analiziranje rje²enja. Hembreeova i

Dessartova meta-analiza tako�er pokazuju da kori²tenje kalkulatora pri rje²avanju problema

daje prednost pri izra£unavanju i £e²¢e rezultira odabirom prikladnog pristupa rje²avanja pro-

blema. Nadalje, upotreba kalkulatora ima ve¢i u£inak na napredne u£enike i u£enike s manjim

mogu¢nostima nego ²to ima na prosje£ne u£enike. Dunham i Dick (1994.) isti£u da su u£enici

koji koriste gra�£ku tehnologiju:

a) uspje²niji na testovima u kojima se rje²avaju problemi

b) imaju �eksibilniji pristup rje²avanju problema

c) spremniji pristupiti rje²avanju problema i dokazuju ve¢u ustrajnost

d) usredoto£uju se na matematiku problema, a ne na algebarske manipulacije

e) rje²avaju nerutinske probleme koji su nerje²ivi algebarskim tehnikama.

Jedan od najistaknutijih utjecaja koje gra�£ki kalkulatori imaju je promjena ozra£ja u nas-

tavi. U£enici postaju aktivniji kada se rabe gra�£ki kalkulatori, £e²¢e sudjeluju u grupnom

radu, istraºivanjima, otkrivanjima i rje²avanju problema. Moºe se re¢i da gra�£ki kalkulator

sluºi kao tre¢i sudionik u razredu jer se u£enici konzultiraju s tehnologijom i u£iteljem. Iako

istraºivanja pokazuju da upotreba kalkulatora unaprije�uje uspjeh u£enika u ra£unanju, stva-

ranju pojmova i rje²avanju problema, rastu¢i broj istraºivanja ukazuje da postoje i pogre²ke

ili pogre²ne koncepcije koje su poiza²le iz upotrebe kalkulatora.

7.2. Budu¢a istraºivanja

Najve¢i broj ranije spomenutih istraºivanja opisuje ²to se doga�a kada se upotrebljavaju kal-

kulatori. Me�utim, koja bi se podru£ja trebala istraºiti kako bismo bili bolje informirani o

upotrebi kalkulatora u nastavi matematike? Da bi istraºivanja u£inkovito usmjeravala razvoj

kurikuluma i metoda pou£avanja, trebamo doznati za²to kalkulatori doprinose tim poma-

cima. Mogli bismo iskoristiti stvarna obrazovna istraºivanja koja poku²avaju objasniti vezu

izme�u varijabli, umjesto istraºivanja koja kaºu: �Koristili smo kalkulatore i pokazali su se

uspje²nima.� Potrebna su istraºivanja koja dokumentiraju kako u£enici upotrebljavaju kalku-

latore, istraºivanja koja pitaju: tko rabi kalkulatore, koliko £esto, kad se koriste i pri kakvim

zadacima, postoje li etni£ke, spolne ili socijalne razlike pri upotrebi kalkulatora, imaju li kal-

kulatori razli£ite posljedice na razli£ite grupe? Za gra�£ke kalkulatore trebali bi pitati koji

aspekti pridonose boljem razumijevanju: grafovi, dinamika kreiranja grafa, mogu¢nost mani-

puliranja grafom ili mogu¢nost crtanja grafa brzo i jednostavno? Postoji vaºna potreba za

istraºivanjima kako bi se dizajnirala nastava, kako bi se kreirao kurikulum koji iskori²tava

sve prednosti kalkulatora te kako bi se prona²li u£inkoviti materijali koji bi pomogli premos-

titi gre²ke pri upotrebi kalkulatora. Trebala bi se provesti dugogodi²nja istraºivanja koja bi

istraºila u£inak nastave temeljene na kalkulatorima i istraºivanja koja bi poku²ala otkriti du-

gotrajne u£inke. Ne znamo ²to ¢e se dogoditi ako u£enici imaju pristup kalkulatorima tijekom

26 Diplomski rad

cijelog ²kolovanja, odnosno koje su vje²tine olovkom i papirom jo² uvijek vaºne i potrebne, te

je li kvaliteta matematike koju u£e ista. Ako istraºivanja pokaºu da upotreba kalkulatora ima

pozitivan u£inak u svim razredima te da pospje²uje uspjeh pojedinih grupa, za²to jo² uvijek

toliko u£itelja nije prihvatilo tu tehnologiju? Ovo je vaºno pitanje jer ni najbolji kurikulum na

svijetu ne¢e donijeti nikakvo dobro dok nije implementiran u nastavu. Dio u£iteljskog izbjega-

vanja tehnologije temelji se na nepoznavanju rezultata istraºivanja, nepoznavanju mogu¢nosti

koje pruºa tehnologija, nepoznavanju na£ina na koji se kalkulatori mogu uspje²no koristiti u

nastavi te na vlastitom neznanju o tome kako se rabe neki kalkulatori. Profesionalna usavr-

²avanja trebala bi obrazovati u£itelje, a osim toga, nuºno je da sveu£ili²ni profesori budu¢im

u£iteljima daju informacije o kalkulatorima u nastavi te im omogu¢e stjecanje iskustva u radu

s kalkulatorima u nastavne svrhe. Na poslijetku, vaºno je da kalkulatori u nastavi ne budu

usmjereni samo na �kako da�, ve¢ je potrebno objasniti za²to je upotreba kalkulatora vaºna

te razrije²iti strahove i pogre²na mi²ljenja u£itelja i roditelja uzrokovana njihovim stavovima

o matematici.

7.3. Napreci u tehnologiji kalkulatora

Moºda jedan od najvaºnijih napredaka u tehnologiji kalkulatora koji ima najve¢u posljedicu

na budu¢u upotrebu kalkulatora u nastavi matematike je izum Flash ROM-a. To je tip nove

kalkulatorske memorije koji je prvi put predstavljen 1998. godine. Ranije su postojala samo

dva tipa memorije, ROM i RAM. ROM memorija moºe biti programirana samo jednom i ne

moºe se vi²e mijenjati. Sve ugra�ene funkcije koje dolaze s kalkulatorom pohranjene su u

ROM memoriji. Me�utim, kada bismo imali samo ROM memoriju u kalkulatorima, ne bi-

smo mogli unositi brojeve, pridruºiti vrijednosti varijablama, te crtati grafove funkcija. Za te

operacije kalkulator treba imati tip memorije zvan RAM, koji omogu¢uje pohranjivanje novih

informacija. RAM memorija omogu¢uje uno²enje i mijenjanje novih podataka neograni£en

broj puta. RAM treba vi²e snage za rad od ROM-a te zbog toga stvara pote²ko¢e u radu

kalkulatora. S druge strane, ROM je relativno skup, pa Flash ROM kombinira prednosti ove

dvije vrste memorije. Flash ROM omogu¢ava kalkulatorima da se nadogra�uju elektroni£kim

putem. U£enici na ovaj na£in mogu unaprijediti svoje kalkulatore dodaju¢i im nove funkcije

bez kupnje novog ure�aja. Ovo je vaºno za roditelje i nastavnike iz ekonomskih razloga jer

¢e se na ovaj na£in kalkulatori mo¢i dulje upotrebljavati. Kao ²to vidimo, na ovaj na£in nas-

tavne jedinice i aktivnosti koje su ranije obra�ivane putem nastavnih listi¢a i uvjeºbavanjem

zadataka iz udºbenika, sada mogu biti ilustrirane i animirane te na taj na£in zornije prikazane

u£enicima. Dakle, ako pretpostavimo da ¢e svi u£enici u sljede¢em desetlje¢u imati pristup

ru£noj tehnologiji primjerenoj njihovim potrebama, kakve promjene moºemo o£ekivati u nas-

tavi matematike, kurikulumu te na nacionalnim testovima? Vaºno je da nastavni materijali

u potpunosti integriraju kalkulatore. Kalkulatori ne smiju biti samo dodatak nastavi, ve¢

standardni alat koji u£enici upotrebljavaju kao dio normalne nastave. Veliki napredci koje

tehnologija donosi mogu¢i su jedino ako su nastavni materijali, nastava, kurikulum, na pos-

lijetku i testovi, dizajnirani za tehnologiju. Sada ¢emo promotriti upotrebu kalkulatora na

Kalkulator u nastavi matematike 27

drºavnoj maturi, te vidjeti koji kalkulatori su dopu²teni, a koji nisu.

Dovoljno je uzeti ispitni katalog da bismo uo£ili da je upotreba kalkulatora dopu²tena na

ispitu iz matematike. U ispitnom katalogu stoji da je potreban �znanstveni kalkulator� jer

on po svojim karakteristikama sigurno ima trigonometrijske funkcije koje su potrebne za rje-

²avanje ispita zbog toga ²to u£enici vi²e ne u£e kako koristiti logaritamske i trigonometrijske

tablice, ve¢ koriste kalkulatore, pa je Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja

morao formalno de�nirati koje ra£unske sprave smatra kalkulatorima koji su dozvoljeni na

ispitima. U ispitnom katalogu za matematiku navedeno je da je dozvoljena upotreba znans-

tvenog kalkulatora, ²to ne zna£i gra�£kog ili algebarskog (CAS) kalkulatora.

Me�utim, prilikom dono²enja odluke, Centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja nije imao

infomaciju da postoji jedan znanstveni kalkulator s tipkama za deriviranje i integriranje, a

koji nije gra�£ki ni algebarski (CAS) kalkulator. Ovaj kalkulator izazvao je brojne polemike,

rasprave i nejasno¢e me�u u£enicima, koje su na kraju otklonjene priop¢enjem Centra da su

i kalkulatori koji imaju tipku za deriviranje i integriranje, a koji nisu gra�£ki ili algebarski

(CAS) kalkulatori, ve¢ su deklarirani kao znanstveni kalkulatori, dopu²teni na ispitima iz ma-

tematike. Me�utim, u priop¢enju jo² stoji i to da ¢e korisnici (u£enici) koji imaju znanstveni

kalkulator i s manje funkcija mo¢i rije²iti ispit na isti na£in kao i korisnici s navedenim kal-

kulatorom.

Kao ²to je vidljivo, za velike promjene treba vremena. Jo² ¢emo pri£ekati do upotrebe alge-

barskih i gra�£kih kalkulatora na testovima iz matematike, te na drºavnoj maturi. Me�utim,

na nama je da te promjene polako uvodimo na satu matematike, da mijenjamo nastavne me-

tode i testove. Na taj na£in, tijekom nekoliko godina, njihova upotreba ¢e postati uobi£ajena

stvar.

28 Diplomski rad

8 Zaklju£ak

Unato£ rezultatima istraºivanja koja ve¢ desetlje¢ima upu¢uju na prednosti kalkulatorom

oboga¢enog kurikuluma i nastave, kod roditelja i dijela nastavnika jo² uvijek ne postoji uni-

verzalno prihva¢anje uloge kalkulatora u nastavi matematike. Kod u£itelja i nastavnika jo²

uvijek postoji strah da ¢e u£enici izgubiti osnovne vje²tine ra£unanja ukoliko budu upotreb-

ljavali kalkulator, iako rezultati istraºivanja pokazuju da se to ne¢e dogoditi. Ne koristiti

kalkulator u nastavi matematike jer ga do sada nitko u ²koli nije koristio, isto je ²to i ne

koristiti ga jer se ni stolje¢ima prije nije koristio. Moºda ºalimo za nekim pro²lim vremenima,

me�utim, promjene se doga�aju i ne moºemo biti samo promatra£i tih promjena. To ²to

su na²e nastavne metode nekompatibilne s novim tehnologijama, ne zna£i da treba sprije£iti

²irenje tih tehnologija u ²kole. Naprotiv, to zna£i da su na²e nastavne metode zastarjele te da

ih treba mijenjati i prilago�avati dana²njim potrebama i na£inu ºivota. Udºbenici i zbirke za-

dataka trebale bi uvaºiti suvremeni na£in ºivota i postojanje kalkulatora. Konkretno, ukoliko

rje²avanjem nekog sustava jednadºbi iz zbirke dobijemo rje²enje (−1.2905, 10.658), pou£enidosada²njim iskustvom, bit ¢emo uvjereni da smo pogrije²ili u ra£unanju. A to bi trebalo biti

rje²enje kao i svako drugo, jer u stvarnosti su takva rje²enja naj£e²¢a.

Kalkulator u nastavi matematike 29

Literatura

[1] G. Benat, Kalkulator ili dºepno ra£unalo?, Portal za ²kole, dostupno na: http://www.

skole.hr/veliki-odmor/tehnologija?news_id=295#mod_newsf

[2] G. Buljan-Flander, I ja mogu uspijeti!, Poliklinika za za²titu djece grada Zagreba,

dostupno na: http://www.poliklinika-djeca.hr/publikacije/i-ja-mogu-uspjeti/

[3] �. Butorac, Te²ko¢e u£enja matematike, dostupno na: http://

os-absimic-zg.skole.hr/upload/os-absimic-zg/newsattach/307/Teskoce_

ucenja_matematike-sanja.doc

[4] P.H. Dunham, Dºepna ra£unala u nastavi matematike: iz istraºiva£koga kuta, Pou£ak,

Vol. 23 (2005), 22-31. str.

[5] G.Lovri¢, Kalkulator u nastavi matematike-da ili ne?, Matematika i ra£unalo, Vol. 20

(2003)., 218-222. str

[6] J. F. Mahoney, CASs u na²im ²kolama: Neki aksiomi i primjeri, Matematika i ra£u-

nalo, Vol. 19 (2003), 170-177. str

[7] P. Mladini¢, Uporaba dºepnoga ra£unala u nastavi matematike, Pou£ak, Vol. 23 (2005),

33-35. str.

[8] N.Radovi¢, R. Svedrec, Dºepno ra£unalo u nastavi matematike u osnovnoj ²koli,

Pou£ak, Vol. 23 (2005)., 40-41.str

[9] Z. �iki¢, Brojevi i ra£unanje u osnovnoj ²koli, Pou£ak, Vol. 23 (2005), 32-33. str.

[10] B. Waits, F. Demana, Dºepna ra£unala u podu£avanju matematike i u£enju: pro²lost,

sada²njost i budu¢nost, Pou£ak, Vol. 23. (2005), 9-21. str.

[11] Informatika za gimnazije, udºbenik s DVD-om za 1. i 2. razred te za izbornu nastavu

informatike op¢ih, jezi£nih i klasi£nih gimnazija, dostupno na: http://www.propyx.

com/udzbenik/materijali/pdf/udzbenik-poglavlje-1.pdf

[12] Zadaci otvorenog tipa: nova kultura zadataka u nastavi matematike, PMF-matemati£ki

odjel, Sveu£ili²te u Zagrebu, dostupno na: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/

metodika/materijali/Zadaci_otvorenog_tipa-predavanje_i_radionica.pdf

30 Diplomski rad

Saºetak

U radu smo predstavili povijesni razvoj kalkulatora, od pojave prvih pomagala za ra£unanje

pa sve do pojave algebarskih (CAS) i gra�£kih kalkulatora kakve danas poznajemo i koris-

timo. Naveli smo utjecaj tehnologije i promjene koje kalkulator donosi u nastavu matematike.

Stavovi u£itelja i nastavnika matematike o uvo�enju kalkulatora u nastavu matematike se raz-

likuju, stoga su u nastavku navedene prednosti i nedostaci upotrebe kalkulatora. Detaljnije

smo obradili ovu problematiku, te do²li do zaklju£ka da kombinacija olovke i papira, te kalku-

latora omogu¢ava najve¢i napredak u£enika. Tako�er smo naveli kada je pogodnije koristiti

jednu, a kada drugu metodu rada s u£enicima. Naglasak smo stavili i na u£enike s te²ko¢ama

u u£enju, jer se planovi i programi u ²kolama naj£e²¢e de�niraju prema prosje£nim u£enicima.

Naveli smo te²ko¢e s kojima se susre¢u te u kojoj mjeri im kalkulatori mogu olak²ati usvaja-

nje nastavnih sadrºaja. Potom smo naveli promjene u nastavi matematike koje se doga�aju

upotrebom tehnologije, algebarskih (CAS) i gra�£kih kalkulatora. Prikazali smo konkretne

primjere i zadatke u kojima se ovi kalkulatori mogu upotrebljavati u nastavi matematike, te

na koji na£in. Tako�er smo prikazali napretke u tehnologiji kalkulatora, te pokazali na koji

na£in ¢e se to odraziti na nastavu. Na kraju smo predstavili rezultate istraºivanja o upotrebi

kalkulatora, te na £emu bi se budu¢a istraºivanja trebala bazirati i na koja pitanja bi trebala

dati odgovore.

Kalkulator u nastavi matematike 31

Title and summary

Use of calculator in teaching mathematics. This dissertation presented historical deve-

lopment of calculator, from appearance of �rst tools for calculating to algebraic (CAS) and

graphical calculators that is used today. It indicated impact of technology and changes which

calculator brings to mathematic class. Attitudes of math teachers about use of calculator are

di�erent so this dissertation include advantages and disadvantages of calculator use in class.

This theme was researched detailed and conclusion was that combination of paper and cal-

culator is the best for students development. There is also word about when is better to use

paper, calculator of both of them. Attention also was on students with developmental di�cul-

ties because plans and programs in schools mostly de�ne by average students. Problems that

those kind of student can be appeared to and calculator help with resolving them was also

include. Afterwards it includes changes that happened in mathematic class because of use of

technology, algebraic (CAS) and graphical calculators. It contains examples and assignments

in which this calculators can be use in mathematic class and practical use of them. As well

it showed development in technology and it impact on class. Finally it presented results of

investigation of calculators use that future investigation should be based and what answers it

should answer.

32 Diplomski rad

�ivotopis

Ro�ena sam 20. 12. 1990. godine u Vinkovcima. �ivim u Ap²evcima, selu u Vukovarsko-

Srijemskoj ºupaniji. 1997. godine zapo£inje moje osnovno²kolsko obrazovanje u O� Lipovac

u Lipovcu. Nakon zavr²enog osnovno²kolskog obrazovanja, 2006. godine nastavljam ²kolo-

vanje u Gimnaziji Matije Antuna Reljkovi¢a u Vinkovcima, gdje zavr²avam Op¢u gimnaziju.

Tijekom ²kolovanja, ljubav prema matematici je rasla, stogla je logi£an izbor za nastavak

²kolovanja bio Odjel za matematiku u Osijeku. 2009. godine upisujem Sveu£ili²ni nastavni£ki

studij matematike i informatike.