Kalkulus példatármath.unideb.hu/media/gselmann-eszter/kalkulus/Kalkulus_peldatar.p… · Debreceni Egyetem Termeszettudom´ anyi´ es´ Technologiai´ Kar Kalkulus példatár Gselmann

Debreceni Egyetem

Termeszettudomanyi es Technologiai Kar

Kalkulus példatár

Gselmann Eszter

Debrecen, 2018

Tartalomjegyzék

1. Valós számsorozatok 1Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Valós számsorozatok korlátossága és monotonitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Valós számsorozatok konvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Valós sorok 12Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Konvergenciakritériumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Valós függvények 21Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1. Valós függvények korlátossága és monotonitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Valós függvények folytonossága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Valós függvények határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Valós függvények differenciálszámítása 38Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1. Valós függvények differenciálszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Teljes függvényvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Határozatlan integrál 57Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Alapintegrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Riemann-integrál 70Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7. Többváltozós függvények 83Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Többváltozós függvények folytonossága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Többváltozós függvények határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8. Többváltozós függvények differenciálszámítása 86Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Fréchet-differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Iránymenti és parciális differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Lokális szélsoértékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1. fejezet

Valós számsorozatok

Elméleti áttekintés

Alapfogalmak és kapcsolatuk

1.1. Definíció. Egy f : N→ R függvényt valós számsorozatnak nevezünk.

1.2. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (xn)n∈N valós számsorozat (alulról/felülrol) korlátos, ha az {xn|n ∈ N} számhalmaz (alul-ról/felülrol) korlátos.

1.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (xn)n∈N sorozat monoton növekedo/csökkeno, ha minden n ∈ N esetén

xn ≤ xn+1 illetve xn ≥ xn+1

teljesül. Továbbá, ha a fenti egyenlotlenségek minden n ∈ N esetén szigorúak, úgy szigorú monoton növekedésrol, illetvecsökkenésrol beszélünk.

1.4. Definíció. Az (xn)n∈N sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik olyan x ∈ R, hogy tetszoleges ε > 0 esetén van olyann(ε) ∈ N, hogy minden n ≥ n(ε) esetén |xn − x| ≤ ε teljesül, erre a továbbiakban a limn→∞ xn = x jelölést fogjuk használni.

1.5. Definíció. Az (xn)n∈N sorozatot divergensnek nevezzük, ha nem konvergens, azaz, ha tetszoleges x ∈ R esetén létezik olyanε > 0, hogy tetszoleges n(ε) ∈ N esetén létezik olyan n ≥ n(ε), hogy |xn − x| > ε.

1.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (xn)n∈N sorozat +∞-hez divergál, hogy tetszoleges K ∈ R esetén létezik olyan n(K) ∈ N,hogy minden n ≥ n(K) esetén xn ≥ K teljesül. Azt mondjuk, hogy az (xn)n∈N sorozat −∞-hez divergál, hogy tetszoleges k ∈ Resetén létezik olyan n(k) ∈ N, hogy minden n ≥ n(K) esetén xn ≤ k teljesül.

1.1. Tétel (Konvergens sorozat határértéke egyértelmu). Legyenek x, y ∈ R ∪ {−∞,+∞}, ha (xn)n∈N egy olyan számsorozat,mely egyaránt tart az x és y bovített valós számokhoz, akkor x = y.

1.2. Tétel (konvergencia⇒ korlátosság). Minden konvergens sorozat korlátos.

1.3. Tétel. Egy monoton növekedo sorozat alulról, míg egy monoton csökkeno sorozat felülrol korlátos.

1.4. Tétel (monotonitás+korlátosság⇒ konvergencia). Egy monoton sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos.

1.7. Definíció. Legyen (xn)n∈N egy valós számsorozat ϕ : N → N egy szigorúan monoton függvény, ekkor ay yn = xϕ(n) (n ∈ N)sorozatot az (xn)n∈N sorozat részsorozatának nevezzük.

1.5. Tétel. Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens, és a két sorozat határértéke megegyezik.

1.8. Definíció. Az (xn)n∈N sorozatot Cauchy–sorozatnak nevezzük, ha tetszoleges ε > 0 esetén létezik olyan n(ε) ∈ N, hogyminden n,m ≥ n(ε) esetén |xn − xm| ≤ ε teljesül.

1.6. Tétel (konvergens sorozat⇔ Cauchy–sorozat). Egy valós számsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy–sorozat.

1

Konvergencia és muveletek

1.7. Tétel. Legyen (xn)n∈N és (yn)n∈N két konvergens sorozat, tegyük fel továbbá, hogy limn→∞ xn = x és limn→∞ yn = y. Ekkoraz (xn + yn)n∈N és az (xn · yn)n∈N sorozatok is konvergensek és

limn→∞

(xn + yn) = x + y és limn→∞

(xn · yn) = xy.

Továbbá, ha λ ∈ R és k ∈ N tetszolegesek, akkor a (λ · xn)n∈N és az (xkn)n∈N sorozatok is konvergensek és

limn→∞

(λ · xn) = λ · x és limn→∞

(xkn) = xk.

Valamint, ha tetszoleges n ∈ N esetén xn , 0 és x , 0, akkor az (yn/xn)n∈N sorozat is konvergens és

limn→∞

yn

xn=y

x.

1.1. Következmény. Ha limn→∞ xn = x, akkor tetszoleges P : R→ R polinom esetén a (P(xn))n∈N sorozat is konvergens és

limn→∞

P(xn) = P(x).

Konvergencia és rendezés

1.8. Tétel. Legyenek (xn)n∈N és (yn)n∈N olyan valós számsorozatok, amelyeknek létezik x, illetve y bovített valós szám határértéke.Ha minden n ∈ N esetén

xn ≤ yn

teljesül, akkor x ≤ y.

1.9. Tétel (A jeltartás tétele). Ha az (xn)n∈N olyan konvergens sorozat, melyre limn→∞ xn , 0, akkor véges sok n ∈ N indexkivételével

sgn(xn) = sgn(x)

teljesül.

1.10. Tétel (Rendor–elv). Ha az (xn)n∈N és (yn)n∈N sorozatoknak közös a határértéke és a (zn)n∈N sorozat olyan, hogy mindenn ∈ N esetén

xn ≤ zn ≤ yn

teljesül, akkor a (zn)n∈N sorozat is konvergens és

limn→∞

xn = limn→∞

zn = limn→∞

yn.

Nevezetes sorozatok és határértékeik

1. Legyen r ∈ Q, r > 0. Ekkor

limn→∞

1nr = 0 és lim

n→∞nr = +∞.

2. Legyen k ∈ N és a0, a1, . . . , ak−1 ∈ R és ak ∈ R \ {0}. Tekintsük az

xn = aknk + ak−1nk−1 + . . . + a1n + a0

sorozatot. Ekkor

limn→∞

xn =

{+∞, ha an > 0−∞, ha an < 0.

3.limn→∞

n√n = 1.

2

4.limn→∞

n√n! = +∞.

5. Legyen (xn)n∈N olyan sorozat, mely esetén léteznek olyan a, b > 0 és N > 0 számok, hogy minden n > N esetén a < xn < b.Ekkor

limn→∞

n√xn = 1.

Speciálisan, tetszoleges a > 0 eseténlimn→∞

n√a = 1.

6. Tetszoleges a ∈ R esetén

limn→∞

an

n!= 0.

7.limn→∞

n!nn = 0.

8. Tetszoleges k ∈ N esetén

limn→∞

nk

n!= 0.

9.

limn→∞

(1 +

1n

)n

= e.

10. Legyen (pn)n∈N egy olyan sorozat, mely vagy +∞–hez, vagy −∞–hez divergál, ekkor

limn→∞

(1 +

1pn

)pn

= e.

11. Tekintsük az xn = qn, n ∈ N úgynevezett geometriai sorozatot.

– ha |q| < 1, akkor az (xn)n∈N sorozat konvergens és limn→∞ xn = 0;– ha q = 1, akkor az (xn)n∈N sorozat konvergens és határértéke 1;– ha q > 1, akkor az (xn)n∈N sorozat +∞–hez divergál;– ha q = −1, akkor az (xn)n∈N sorozat korlátos és divergens;– ha q < −1, akkor az (xn)n∈N sorozat nem korlátos és divergens.

12. Legyen (xn)n∈N olyan konvergens sorozat, melyre limn→∞ xn ∈] − 1, 1[. Ekkor

limn→∞

xnn = 0.

13. Legyen k ∈ N és q ∈ R, q > −1. Ekkor

limn→∞

qnnk =

{0, ha q ∈] − 1, 1[

+∞, ha q > 1.

14. Legyen (xn)n∈N olyan konvergens sorozat, melynek határértéke x ∈ R. Legyen továbbá,

σn =x1 + . . . + xn

n(n ∈ N)

az (xn)n∈N sorozat úgynevezett számtani-közép–sorozata. Ekkor a (σn)n∈N sorozat is konvergens és

limn→∞

σn = x.

1.1. Valós számsorozatok korlátossága és monotonitása

1. Írjuk fel az alább (xn)n∈N valós számsorozatok elso öt elemét.

3

(a)

(xn)n∈N =

(1n

)n∈N

(b)

(xn)n∈N =

(n − 1

n

)n∈N

(c)(xn)n∈N =

((−1)n)

n∈N

(d)(xn)n∈N =

(n2 − 1

)n∈N

(e)(xn)n∈N =

((−1)nn2

)n∈N

(f)

(xn)n∈N =

(1 + (−1)n

2

)n∈N

(g)(xn)n∈N =

( n√2)n∈N

(h)

(xn)n∈N =

(12n

)n∈N

(i)

(xn)n∈N =

(1 − n

n2

)n∈N

(j)

(xn)n∈N =

(2n

2n+1

)n∈N

(k)

(xn)n∈N =

(2n − 1

2n

)n∈N

2. Vizsgáljuk meg korlátosság, monotonitás és konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat.

(a) (1n

)n∈N

(b) ((−1)n)

n∈N

(c)(n)n∈N

(d) ( nn + 1

)n∈N

(e) ((−1)n+1

n + 1

)n∈N

(f)((−1)nn)n∈N

(g) (1√

n

)n∈N

(h)(n!)n∈N

(i) (n2 − 22n + 121

)n∈N

3. Mutassuk meg, hogy ha (xn)n∈N és (yn)n∈N (szigorúan) monoton növekedo/

csökkeno sorozatok, akkor (xn + yn)n∈N is (szigorúan) monoton növekedo/

csökkeno.

4. Mutassuk meg, hogy ha (xn)n∈N (szigorúan) monoton növekedo/csökkeno sorozat, akkor (−xn)n∈N (szigorúan) monotoncsökkeno/növekedo.

5. Írjuk fel zárt alakban az alábbi rekurzívan megadott valós számsorozatokat.

(a)

x1 = 1 xn+1 = xn +12n (n ∈ N)

(b)x1 = 1 xn+1 =

xn

n + 1(n ∈ N)

(c)x1 = 2 xn+1 = (−1)n+1 xn

2(n ∈ N)

(d)x1 = −2 xn+1 =

nxn

n + 1(n ∈ N)

(e)x1 = x2 = 1 xn+2 = xn+1 + xn (n ∈ N)

4

(f)x1 = 2, x2 = −1 xn+2 =

xn+1

xn(n ∈ N)

1.2. Valós számsorozatok konvergenciája

1. Ha limn→∞ xn = x0, akkor igazoljuk, hogy az (|xn|) sorozat |x0|-hoz konvergál.

2. Adjunk meg olyan korlátos valós sorozatot, mely divergens.

3. Adjunk meg olyan (xn)n∈N valós divergens sorozatot, melyre az (|xn|)n∈N sorozat konvergens.

4. Legyenek (xn)n∈N és (yn)n∈N divergens sorozatok.

(a) Igaz–e, hogy az (xn + yn)n∈N sorozat is divergens?

(b) Igaz–e, hogy az (xn + yn)n∈N sorozat konvergens?

(c) Igaz–e, hogy az (xn · yn)n∈N sorozat divergens?

(d) Igaz–e, hogy az (xn · yn)n∈N sorozat konvergens?

5. Adjunk példát olyan (xn)n∈N és (yn)n∈N sorozatokra, melyekre

limn→∞

xn = +∞ és limn→∞

yn = −∞

úgy, hogy

(a) limn→∞(xn + yn) = +∞;

(b) limn→∞(xn + yn) = −∞;

(c) limn→∞(xn + yn) = c, ahol c egy elore rögzített valós szám.

(d) az elozo esetek egyike sem teljesül.


limn→∞

xn = 0 és limn→∞

yn = −∞

úgy, hogy

(a) limn→∞(xnyn) = +∞;

(b) limn→∞(xnyn) = −∞;

(c) limn→∞(xnyn) = c, ahol c egy elore rögzített valós szám;

(d) az (xnyn)n∈N sorozat korlátos és divergens;

(e) az (xnyn)n∈N sorozat nem korlátos és divergens.


limn→∞

xn = 0 és limn→∞

yn = 0

úgy, hogy

(a) limn→∞(

xnyn

)= +∞;

(b) limn→∞(

xnyn

)= −∞;

(c) limn→∞(

xnyn

)= c, ahol c egy elore rögzített valós szám;

(d) a fentiek egyike sem teljesül.

5

8. Tegyük fel, hogy az (xn)n∈N és az (yn)n∈N sorozatokra

limn→∞

xnyn = 0

teljesül. Következik-e ebbol, hogy legalább az egyik sorozat nullsorozat?

9. Legyen (xn)n∈N egy valós számsorozat, és

αn =x1 + · · · + xn

n(n ∈ N) .

Mutassuk meg, hogy

(a) ha az (xn)n∈N sorozat korlátos, akkor

lim infn→∞

xn ≤ lim infn→∞

αn ≤ lim supn→∞

αn ≤ lim supn→∞

xn;

(b) ha az (xn)n∈N sorozat konvergens, akkor az (αn)n∈N sorozat is konvergens és

limn→∞

αn = limn→∞

xn.

(c) következik-e az (αn)n∈N sorozat konvergenciájából az (xn)n∈N sorozat konvergenciája?

10. Legyen (xn)n∈N egy pozitív valós számokból álló, konvergens sorozat és

βn = n√x1 · · · xn (n ∈ N) .

Mutassuk meg, hogy ekkor a (βn)n∈N sorozat is konvergens és

limn→∞

βn = limn→∞

xn.

11. Legyenek α, β ∈ R rögzítettek és

x1 = α, x2 = β, és xn =xn−1 + xn−2

2(n ≥ 3) .

Mutassuk meg, hogy az így megadott (xn)n∈N sorozat konvergens, és határozzuk meg a határértékét.

12. Legyen x1 ∈ R \ {0} tetszoleges és

xn+1 =12

(xn +

2xn

)(n ∈ N) .

Igazoljuk, hogy az (xn)n∈N sorozat konvergens és limn→∞ xn =√

2.

13. Bizonyítsuk be, hogy a (n(−1)n)n∈N sorozat divergens!

14. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak. A hamis állításokat ellenpéldával támasszuk alá.

(a) Van legalább egy olyan valós számsorozat, ami konvergens.

(b) Van legalább egy olyan valós számsorozat, ami divergens.

(c) Minden valós számsorozat vagy monoton növekedo vagy monoton csökkeno.

(d) Van olyan Cauchy-sorozat, ami nem korlátos.

(e) Minden monoton sorozatnak van korlátos részsorozata.

(f) Minden valós számsorozatnak van korlátos részsorozata.

(g) Ha egy valós számsorozat minden részsorozata korlátos, akkor ez a sorozat konvergens.

6

(h) Ha az (xn)n∈N sorozat konvergens, akkor az (xn+10)n∈N sorozat is az, de a két sorozat határértéke nem feltétlenül egyezikmeg.

(i) Ha az (xn)n∈N és (yn)n∈N sorozatokra az teljesül, hogy (xn − yn)n∈N nullsorozat, akkor ezek a sorozatok Cauchy-sorozatok.

(j) Ha egy valós számsorozatnak van két különbözo szigorúan monoton csökkeno részsorozata, akkor ez a sorozat szig-orúan monoton csökkeno.

(k) Ha egy valós számsorozatnak minden részsorozata Cauchy-sorozat, akkor ez a sorozat konvergens.

15. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi sorozatok.

(a) (n − 2

n

)n∈N

(b) (n + 1999

n2

)n∈N

(c) ( n3n + 2

)n∈N

(d) (πn2 + 12n − 5

)n∈N

(e) (3n2 − 2n + 5

2n2 + 8

)n∈N

(f) (2n2 + 12

3 − n − 3n2

)n∈N

(g) (1 − 3n2

n − 2

)n∈N

(h) (−2n2 − 5n + 12

2 − 8n

)n∈N

(i) (n3 − n + 3

n2 − 1

)n∈N

(j) (n5 − 25n3

7n9 − 2n7

)n∈N

(k) ((n + 4)3 − n(n + 6)2

n3

)n∈N

(l) ((n + 12n − 1

)·

(1 −

1n

))n∈N

16. Számítsuk ki a következo sorozatok határértékét.

(a) √ 2nn + 1

n∈N

(b) (n

√n2 + 1

)n∈N

(c) √1 + 2n1 +√

n

n∈N

(d) 4√n3 + n − n

√n2 + 1 −

√n

n∈N

(e) √n

√n −√

n − 1

n∈N

(f) √n

√n −√

n + 1

n∈N

(g) √n + 1 −√

n√

n −√

n − 1

n∈N

(h) √n + 1 −√

n√

n +√

n − 1

n∈N

(i) n√8 − 1n√2 − 1

n∈N

7

17. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét.

(a) (√n + 1 −

√n)n∈N

(b) (√n + 2 −

√n)n∈N

(c) (√n + π −

√n)n∈N

(d) ( √n2 + 1 −

√n2 − 1

)n∈N

(e) (√n(√

n + 1 −√

n))

n∈N

(f) (√n +√

n −√

n)

n∈N

(g) (√n +

3√n2 −

√n)

n∈N

(h) ( √2n2 + 3n −

√2n2 − 2

)n∈N

(i) n √1 +1n−

√1 −

2n

n∈N

(j) (n −√

nn + n)n∈N

(k) (1

√n1 + 1 −

√n2 + n

)n∈N

18. A rendor-elv felhasználásával határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét.

(a) (n√

n3 + 3n)

n∈N

(b) (2n√

n2 − 16)

n∈N

(c) ( n√3n + 2n

)n∈N

(d) (2n + sin(2n)3n + cos(3n)

)n∈N

(e) (sin(n)

n

)n∈N

(f) 3 sin(n) + 7 cos(

n2

)+ 6n2

1 − 2nn

n∈N

(g) (sin2(n)n + 1

)n∈N

(h) (n + cos(n)

2n + 1

)n∈N

(i) (n2 − cos(n)n + sin(n)

)n∈N

(j) ((n + 1)2 − (n − 1)2

2n + 1cos(n)

)n∈N

(k) (n + cos(n)

n2 + 1

)n∈N

(l) (2n2 + n cos(n) − 1

n2 − sin(n)

)n∈N

(m) (n sin(n2 + 1)

n2 + 3

)n∈N

(n) (n√

n3 + n2 + 2n + 11)

n∈N

(o) (n√

n2 + 2n + 1)

n∈N

(p) n

√1n

n∈N

(q) (n−3√

n2)

n∈N

(r) ( n√3 · 11n + 20 · 5n + 19 · πn

)n∈N

(s) (2n√

10n2 + 55)

n∈N

(t) n

√1

n2 + 10n + 7

n∈N

8


(a) ((1 +

1n + 2

)n)n∈N

(b) (1 +1

n − 12

)n+5n∈N

(c) ((1 +

4n

)n)n∈N

(d) ((n + 4n + 1

)n)n∈N

(e) ((1 −

5n

)n)n∈N

(f) ((n + an − a

)n)n∈N

(g) ((0, 9999 +

1n

)n)n∈N

(h) ((1, 1 +

1n

)n)n∈N

(i) ((1 +

1n2

)n)n∈N

(j) ((1 −

1n2

)n)n∈N

(k) ((3n − 23n + 5

)n)n∈N

(l) (5n − 35n + 3

)−n−2n∈N

(m) (1 − 5n

)3n+2n∈N

(n) (1 +3

n + 2

)11nn∈N

(o) (1 − 11n

)3n+8n∈N

(p) (2n − 12n + 1

)4n+1n∈N

(q) (( n2n + 1

)n)n∈N

(r) (n − 1n + 1

)2n+1n∈N

(s) (1 +5

n + 1

)n−1n∈N

(t) (1 − 2n

)23nn∈N

(u) (1 +3n

)n−2012n∈N

(v) ((1 +

en

)en)n∈N

20. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét.

(a) (2n+1 + 3n

2n + 3n+1

)n∈N

(b) (2n + 3n+1

2n+1 + 3n

)n∈N

(c) (2 − 4n

7n+1

)n∈N

(d) (5n − 32 − 3n

)n∈N

9

(e) (7n+2 + (−1)n

7n − 7

)n∈N

(f) (6 · 7n + 7−n

9 · 7n − 7−n

)n∈N

(g) (52n−3 − 4 · 6n+10

21+4n + 7n+1

)n∈N

(h) (32n+5 − 4 · 5n+1

(−2)1+3n + 9n+2

)n∈N

(i) ((−1)n + 22n

3n+1 + 5n

)n∈N

(j) ((−2)n + 20n−1

(−20)n+1 + 2n−1

)n∈N

(k) (2n − 3n

3n + 1

)n∈N

(l) (22n − 3 · 3n

)n∈N

(m) (πn + en−1

2πn−2 + 5en+5

)n∈N

(n) (en − e2n

en + e2n

)n∈N

(o) (en+1 + sin(n)

en − 1

)n∈N

(p) (3n · 6n

2−nn!

)n∈N

(q) (

1011

)n(9

10

)n+

(1112

)n

n∈N


(a) 3√

n2 sin(n!)n + 1

n∈N

(b) (1 + a + a2 + . . . + an

1 + b + b2 + . . . + bn

)n∈N

(c) (1n2 +

2n2 + . . . +

n − 1n2

)n∈N

(d) (1n−

2n

+3n

+ . . . +(−1)nn

n

)n∈N

(e) (12

n3 +22

n3 + . . . +(n − 1)2

n3

)n∈N

(f) (12

n3 + . . . +(2n − 1)2

n3

)n∈N

(g) (12

+ . . . +2n − 1

2n

)n∈N

(h) (1

1 · 2+ . . . +

1n(n + 1)

)n∈N

(i) (n(1 − cos

(1n

)))n∈N

(j) (n2

n − 1sin

(1n

))n∈N

(k) ((ln(n))100

n

)n∈N

(l) ( 5√ln(n)√

n

)n∈N

22. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi sorozatok.

10

(a) ((−1)n−1

(2 +

3n

))n∈N

;

(b) ((−1)n 1

n+

1 + (−1)n

2

)n∈N

;

(c) (1 +

nn + 1

cos(nπ

2

))n∈N

;

(d) (1 + 2(−1)n+1 + 3(−1)n(n−1)

)n∈N

;

(e) (n − 1n + 1

cos(2nπ

3

))n∈N

;

(f) (n(−1)n)

n∈N;

(g) (1 + n sin

(nπ2

))n∈N

(h) ((−1)n + 22n

3n+1 + 5n

)n∈N

(i) ((−2)n + 20n−1

(−20)n+1 + 2n−1

)n∈N

(j) (2n − 3n

3n + 1

)n∈N

(k) (22n − 3 · 3n

)n∈N

(l) (πn + en−1

2πn−2 + 5en+5

)n∈N

(m) (en − e2n

en + e2n

)n∈N

(n) (en+1 + sin(n)

en − 1

)n∈N

11

2. fejezet

Valós sorok


2.1. Definíció. Legyen (xn)n∈N egy valós számsorozat, akkor az a ∈ R ∪ {−∞,+∞} bovített valós számot az (xn)n∈N sorozattorlódási pontjának nevezzük, ha az (xn)n∈N sorozatnak létezik olyan (xnk ) részsorozata, melyre xnk → a.

2.1. Tétel. Az (xn)n∈N sorozatnak az a ∈ R ∪ {−∞,+∞} bovített valós szám pontosan akkor torlódási pontja, ha az a tetszolegeskörnyezetében végtelen sok sorozatelem van.

2.1. Megjegyzés. Mivel minden valós számsorozatnak van monoton részsorozata, ezért van torlódási pontja is a bovített valósszámok halmazában.

2.2. Definíció. Az (xn)n∈N sorozat torlódási pontjai halmazának a pontos alsó, korlátját az (xn)n∈N sorozat limes inferiorának,míg az (xn)n∈N sorozat torlódási pontjai halmazának pontos felso korlátját az (xn)n∈N sorozat limes superiorának nevezzük, éslim inf xn-nel illetve lim sup xn-nel jelöljük.

2.2. Megjegyzés. Tetszoleges (xn)n∈N valós számsorozat esetén

lim inf xn ≤ lim sup xn

teljesül.

2.2. Tétel. Egy (xn)n∈N valós számsorozat pontosan akkor konvergens, ha

lim inf xn = lim sup xn

teljesül.

2.3. Definíció. Legyen (xn)n∈N egy valós számsorozat, és képezzük az alábbi sorozatot

σ1 = x1 σn = x1 + . . . + xn, (n ∈ N)

ekkor a (σn)n∈N sorozatot az (xn)n∈N sorozatból képzett sornak nevezzük, és a továbbiakban∑∞

n=1 xn-nel jelöljük. Ha létezik alimn→∞ σn határérték, akkor azt mondjuk, hogy a

∑∞n=1 xn sor konvergens. A

∑∞n=1 xn sort abszolút konvergensnek nevezzük,

ha a∑∞

n=1 |xn| sor konvergens. Ha a∑∞

n=1 xn sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergensneknevezzük.

2.3. Tétel. Ha egy valós sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

2.4. Tétel. Ha a∑∞

n=1 xn sor konvergens, akkor limn→∞ xn = 0.

2.5. Tétel (Összehasonlító kritérium). Legyenek∑∞

n=1 xn és∑∞

n=1 yn olyan nemnegatív tagú sorok, hogy xn ≤ yn teljesül mindenn ∈ N esetén. Ekkor,

12

(i) ha∑∞

n=1 yn konvergens, akkor∑∞

n=1 xn is konvergens;

(ii) ha∑∞

n=1 xn divergens, akkor∑∞

n=1 yn is divergens.

2.6. Tétel. Legyenek∑∞

n=1 xn és∑∞

n=1 yn olyan pozitív tagú sorok, melyekre létezik és pozitív a limn→∞xnyn

határérték. Ekkor a∑∞n=1 xn és a

∑∞n=1 yn sorok egyszerre konvergensek, illetve egyszerre divergensek.

2.7. Tétel (Cauchy–féle gyökkritérium). Legyen∑∞

n=1 xn egy valós sor.

(i) Ha lim supn→∞n√|xn| < 1, akkor az

∑∞n=1 xn sor abszolút konvergens.

(ii) Ha lim infn→∞n√|xn| > 1, akkor az

∑∞n=1 xn sor divergens.

2.8. Tétel (D’Alembert–féle hányadoskritérium). Legyen∑∞

n=1 xn egy olyan valós sor, melynek minden tagja nullától külön-bözo.

(i) Ha lim supn→∞|xn+1 ||xn |

< 1, akkor az∑∞

n=1 xn sor abszolút konvergens.

(ii) Ha lim infn→∞|xn+1 ||xn |

> 1, akkor az∑∞

n=1 xn sor divergens.

2.9. Tétel (A harmonikus sor). Legyen α ∈ R++, ekkor a∞∑

n=1

1nα

sor abszolút konvergens, ha α > 1 és divergens, ha α ≤ 1.

2.10. Tétel (A geometriai sor). Legyen q ∈ R olyan, hogy |q| < 1, ekkor a∞∑

n=1

qn sor konvergens, és

∞∑n=1

qn =q

1 − q.

2.11. Tétel (Leibniz-féle kritérium alternáló sorokra). Legyen (xn)n∈N egy monoton nullsorozat, ekkor a∑∞

n=1(−1)nxn sor kon-vergens.

2.12. Tétel (Cauchy-féle ritkítási kritérium). Legyen (xn)n∈N egy nemnegatív tagú, monoton csökkeno valós számsorozat. Ekkora∑∞

n=1 xn valós sor pontosan akkor konvergens, ha a∑∞

n=1 2nx2n sor konvergens.

2.1. Alapfogalmak

1. Igazoljuk, hogy lim inf(−1)n = −1, és lim sup(−1)n = 1.

2. Igazoljuk, hogy lim inf −xn = − lim sup xn, és lim sup−xn = − lim inf xn.

3. Tegyük fel, hogy a∑∞

n=1 xn és∑∞

n=1 yn nemnegatív tagú sorok divergensek. Mit állíthatunk a

∞∑n=1

min {xn, yn} és a∞∑

n=1

max {xn, yn}

sorok konvergenciájáról?

4. Bizonyítsuk be, hogy a∞∑

n=0

1n!

sor konvergens, és összege nem nagyobb, mint 3.

5. Legyen (xn)n∈N egy olyan valós számsorozat, melyre minden k ∈ N esetén

limn→∞

(xn+1 + xn+2 + · · · + xn+k) = 0

teljesül. Igaz-e, hogy ekkor a∑∞

n=1 xn sor konvergens?

6. Határozzuk meg az alábbi sorok összegét

13

(a)∞∑

n=1

1n(n + 1)

(b)∞∑

n=1

2n + 1n2(n + 1)2

(c)∞∑

n=1

100 · (0, 9)n

(d)∞∑

n=1

(−1)n 13n

(e)∞∑

n=1

1(3n − 2)(3n + 1)

(f)∞∑

n=1

6(2n + 1)(2n − 1)

(g)∞∑

n=1

4(4n − 3)(4n + 1)

(h)∞∑

n=1

40n(2n − 1)2(2n + 1)2

(i)∞∑

n=1

1√

n−

1√

n + 1

(j)∞∑

n=1

2n + 1n2(n + 1)2

(k)∞∑

n=1

1ln(n + 2)

−1

ln(n + 1)

(l)∞∑

n=1

1n√2−

1n+1√2

7. Igazoljuk, hogy a következo sorok divergensek

(a)∞∑

n=1

√n + 1 −

√n

(b)∞∑

n=1

n + 1n

(c)∞∑

n=1

n√

0, 2

8. A sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritérium segítségével igazoljuk, hogy az alábbi sorok konvergensek.

(a)∞∑

n=1

sin(nx)2n ,

ahol x ∈ R adott;

(b)∞∑

n=1

cos(nx) − cos((n + 1)x)x

;

(c)∞∑

n=1

cos(xn)n2

ahol x ∈ R adott.

9. A sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritérium segítségével igazoljuk, hogy az alábbi sorok divergensek.

(a)∞∑

n=1

1n

;

14

(b)

1 +12−

13

+14

+15−

16

+ · · ·

(c)∞∑

n=1

1√

n(n + 1)

10. Mit állíthatunk két sor összegérol, ha

(a) az egyik konvergens, a másik divergens;

(b) mindketto divergens?

2.2. Konvergenciakritériumok

1. Határozzuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek, abszolút konvergensek és melyek divergensek.

(a)∞∑

n=1

1√

n;

(b)∞∑

n=1

110n + 3

;

(c)∞∑

n=1

(−1)n 1√

n;

(d)∞∑

n=1

n!5n ;

(e)∞∑

n=1

13n − 1

;

(f)∞∑

n=1

1nn ;

(g)∞∑

n=1

100n

n!;

(h)∞∑

n=1

3nn!nn ;

(i)∞∑

n=1

(−1)n+1 1n√3

;

(j)∞∑

n=1

(−1)n+1 2n

n2 ;

(k)∞∑

n=2

√n + 2 −

√n − 2

nα

(l)∞∑

n=1

a√

n;

(m)∞∑

n=1

1(a · n + b)α

;

(n)∞∑

n=1

1ln(n)

;

(o)∞∑

n=2

1n ln(n)

;

(p)∞∑

n=3

1n ln(n) ln(ln(n))

;

(q)∞∑

n=2

n +√

nn2 − n

;

(r)∞∑

n=1

n + an

;

(s)∞∑

n=1

11 + an ;

15

(t)∞∑

n=1

(n√a − 1

);

(u)∞∑

n=1

(n√a − 1 −

1n

);

(v)∞∑

n=1

3n−1

3n − 1;

(w)∞∑

n=1

10n + 1n(n + 1)(n + 2)

;

(x)∞∑

n=1

n√nn2 ;

(y)∞∑

n=1

n + 2n

n22n ;

2. Döntsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek.

(a)∞∑

n=1

1(n + 1)

√n

;

(b)∞∑

n=1

7n(6n + 1)3 ;

(c)∞∑

n=1

n(n + 1)2 ;

(d)∞∑

n=1

1√

n√

n√

n;

(e)∞∑

n=1

2n3n + 4

;

(f)∞∑

n=1

2n3n ;

(g)∞∑

n=1

πn

n3 ;

(h)∞∑

n=1

1000n(1, 1)n ;

(i)∞∑

n=1

√n + 1 −

√n

n;

(j)∞∑

n=1

12n3 + 3

;

(k)∞∑

n=1

(−1)n 110√n

(l)∞∑

n=1

110n! ;

(m)∞∑

n=1

1(n + 1)

√n

;

(n)∞∑

n=1

n3(√

2 + (−1)n)

3n ;

(o)∞∑

n=1

7n(6n + 1)3 ;

(p)∞∑

n=1

n(n + 1)2 ;

(q)∞∑

n=1

1√

n√

n√

n;

(r)∞∑

n=1

1ln(n) + 1

;

(s)∞∑

n=1

12n3 + 3

;

(t)∞∑

n=1

2 + (−1)n

(1, 00001)n ;

16

(u)∞∑

n=1

(−1)n+1 110√n

;

(v)∞∑

n=1

2n3n + 4

;

(w)∞∑

n=1

2n3n ;

(x)∞∑

n=1

πn

n3 ;

(y)∞∑

n=1

1000n(1, 1)n ;

(z)∞∑

n=1

√n + 1 −

√n

n;

3. Döntsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek.

(a)∞∑

n=1

an · n;

(b)∞∑

n=1

n5

2n + 3n ;

(c)∞∑

n=1

110n! ;

(d)∞∑

n=1

(−1)n ln(1 +

1n

);

(e)∞∑

n=1

2n sin(

13n

);

(f)∞∑

n=2

1ln(n)ln(n) ;

(g)∞∑

n=1

n!en

nn+1000 ;

(h)∞∑

n=1

n2e−√

n;

(i)∞∑

n=1

n − 1n!

;

(j)∞∑

n=1

2n − 13n ;

(k)∞∑

n=1

cos(nπ);

(l)∞∑

n=1

cos(nπ)5n ;

(m)∞∑

n=1

ln(1n

);

(n)∞∑

n=1

ln( nn + 1

);

(o)∞∑

n=1

(1 −

1n

)n

;

(p)∞∑

n=1

( eπ

)n

(q)∞∑

n=1

12√

n + 3√n;

(r)∞∑

n=1

3n +√

n;

(s)∞∑

n=1

sin2(n)2n ;

(t)∞∑

n=1

1 + cos(n)n2 ;

17

(u)∞∑

n=1

n + 1n2 √n

;

(v)∞∑

n=1

( n3n + 1

)n;

(w)∞∑

n=1

1√

n3 + 2;

(x)∞∑

n=1

11 + ln(n)

;

(y)∞∑

n=1

11 + ln2(n)

;

(z)∞∑

n=1

1 − nn2n

4. Vizsgáljuk meg az alábbi két sort konvergencia szempontjából.

(a)∞∑

n=1

11 + 2 + · · · + n

(b)∞∑

n=1

112 + 22 + · · · + n2

5. Mely x ∈ R számok esetén lesznek a következo sorok konvergensek?

(a)∞∑

n=1

xn

3n ;

(b)∞∑

n=1

(x − 4)n;

(c)∞∑

n=1

4nxn;

(d)∞∑

n=1

(x + 3)n

2n+1 ;

(e)∞∑

n=1

xnn

(f)∞∑

n=1

xn

(g)∞∑

n=1

xn

n · 2n

(h)∞∑

n=1

3n + (−1)n

nxn

(i)∞∑

n=1

xn

αn , (α > 0 adott)

(j)

∞∑n=1

xn

αn + βn

(α, β > 0 adottak)

(k)∞∑

n=1

xn

n

(l)∞∑

n=1

x2n−1

2n − 1

(m)∞∑

n=1

2n−1x2n−1

(4n − 3)2

(n)∞∑

n=1

(−1)n−1xn

n

(o)∞∑

n=1

(n + 1)5x2n

(2n + 1)

(p)∞∑

n=1

(−1)n(2n + 1)2xn

18

(q)∞∑

n=1

xn

n!

(r)∞∑

n=1

x2n

(2n)!

(s)∞∑

n=1

x2n+1

(2n + 1)!

(t)∞∑

n=1

(−1)n x2n

(2n)!

(u)∞∑

n=1

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!

(v)∞∑

n=1

n!xn

(w)∞∑

n=1

xn

nn

(x)∞∑

n=1

( n2n + 1

)2n−1xn

(y)∞∑

n=1

3n2xn2

(z)∞∑

n=1

nn + 1

( x2

)n

6. Vizsgáljuk meg, hogy mely x ∈ R számok esetén lesznek a következo sorok konvergensek?

(a)∞∑

n=1

n!xn

nn

(b)∞∑

n=1

xn−1

n · 3n ln(n)

(c)∞∑

n=1

xn!

(d)∞∑

n=1

n!xn!

(e)∞∑

n=1

n · (x − 1)n

(f)∞∑

n=1

(x − 3)n

n · 5n

(g)∞∑

n=1

(x − 1)2n

n · 9n

(h)∞∑

n=1

(x + 3)n

n2

(i)∞∑

n=1

(x − 2)n

(2n − 1)2n

(j)∞∑

n=1

(x − 3)n

(n + 1) ln(n + 1)

(k)∞∑

n=1

(sin(x))n

(l)∞∑

n=1

(ln(x))n

(m)∞∑

n=1

(−1)n

2·

(1

3 + sin(x)

)n

7. Igazold, hogy ha a∑∞

n=1 xn pozitív tagú sor konvergens, akkor a∑∞

n=1 x2n sor is konvergens. Igaz–e a megfordítás?

8. Bizonyítsd be, hogy ha a∑∞

n=1 x2n és

∑∞n=1 y

2n sorok konvergensek, akkor

19

(a) a∞∑

n=1

|xnyy| sor is konvergens; (b) a∞∑

n=1

(xn + yn)2 sor is konvergens.

9. Igazoljuk, hogy ha a∑∞

n=1 xn pozitív tagú sor konvergens, akkor az alábbi sorok mindegyike konvergens.

(a)∞∑

n=1

x2n

(b)∞∑

n=1

xnxn+1

(c)

∞∑n=1

(xn − xn+1)

és∞∑

n=1

(xn − xn+1) = x1.

Igaz-e a fenti állítások valamelyikének a megfordítása?

10. Adjunk meg olyan∑∞

n=1 xn konvergens és olyan∑∞

n=1 yn divergens sorokat, melyekre

(a)lim sup

n→∞

n√|xn| = lim sup

n→∞

n√|yn|;

(b) minden n ∈ N esetén

lim supn→∞

∣∣∣∣∣ xn+1

xn

∣∣∣∣∣ ≤ 1 és lim supn→∞

∣∣∣∣∣yn+1

yn

∣∣∣∣∣ ≤ 1.

(c) minden n ∈ N esetén

lim supn→∞

∣∣∣∣∣ xn+1

xn

∣∣∣∣∣ ≥ 1 és lim supn→∞

∣∣∣∣∣yn+1

yn

∣∣∣∣∣ ≥ 1.

11. Írjuk fel az alábbi végtelen szakaszos tizedes törteket két egész szám hányadosaként.

(a)0, 1

(b)0, 9

(c)0, 25

(d)3, 14

(e)−4, 263

(f)0, 1984

(g)0, 023

(h)0, 234

(i)1, 414

20

3. fejezet

Valós függvények


3.1. Definíció. Legyen D ⊂ R egy nemüres halmaz, ekkor az f : D→ R függvényt valós függvénynek nevezzük.

3.2. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D→ R függvény alulról/felülrol korlátos, ha létezik olyan K ∈ R konstans, hogy

f (x) ≥ K, illetve f (x) ≤ K

teljesül minden x ∈ D esetén. Azt mondjuk továbbá, hogy az f : D → R függvény korlátos, ha mind alulról, mind felülrolkorlátos.

3.1. Megjegyzés. Az f : D → R függvény pontosan akkor korlátos (alulról/felülrol), ha az f (D) ⊂ R halmaz korlátos (alul-ról/felülrol).

3.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D→ R valós függvény monoton növekedo/csökkeno, ha minden olyan x, y ∈ D esetén,melyre x ≤ y,

f (x) ≤ f (y), illetve f (x) ≥ f (y)

teljesül. Ha a fenti egyenlotlenségek minden x , y esetén szigorúak, akkor szigorú monoton növekedésrol, illetve szigorúmonoton csökkenésrol beszélünk.

3.4. Definíció. Az f : D → R függvény folytonos az x0 ∈ D pontban, ha bármely ε ≥ 0 esetén van olyan δ ≥ 0, hogy ha x ∈ Dés |x − x0| ≤ δ, akkor | f (x) − f (x0)| ≤ ε teljesül.

3.1. Tétel (Átviteli elv). Az f : D → R függvény pontosan akkor folytonos az x0 ∈ D pontban, ha tetszoleges (xn) D–belielemekbol álló, x0–hoz konvergáló sorozat esetén limn→∞ f (xn) = f (x0).

3.2. Megjegyzés. Az f : D→ R függvény pontosan akkor nem folytonos az x0 ∈ D pontban, ha van olyan (xn) D–beli elemekbolálló, x0–hoz konvergáló sorozat, melyre limn→∞ f (xn) , f (x0).

3.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D → R függvény az A ⊂ D halmazon egyenletesen folytonos, ha bármely ε ≥ 0 eseténlétezik olyan δ ≥ 0, hogy ha x, y ∈ A és |x − y| ≤ δ, akkor | f (x) − f (y)| ≤ ε teljesül.

3.3. Megjegyzés (Egyenletes folytonosság⇒ folytonosság). Ha az f : D → R függvény az A ⊂ D halmazon egyenletesenfolytonos, akkor az A halmaz minden pontjában folytonos.

3.2. Tétel (Folytonosság és muveletek). Ha az f , g : D→ R függvények folytonosak az x0 ∈ D pontban, akkor

(i) az f + g függvény is folytonos az x0 pontban;

(ii) tetszoleges λ ∈ R esetén a λ f függvény is folytonos az x0 pontban;

21

(iii) az f · g függvény is folytonos az x0 pontban;

(iv) ha tetszoleges x ∈ D esetén g(x) , 0, akkor azfg

függvény is folytonos az x0 pontban.

3.3. Tétel (Az összetett függvény folytonossága). Legyenek f : D → R és g : f (D) → R adott függvények. Ha az f függvényfolytonos az x0 ∈ D pontban, a g pedig az f (x0) ∈ f (D) pontban, akkor a g ◦ f függvény folytonos az x0 pontban.

3.4. Tétel. Legyen f : D→ R folytonos függvény, K ⊂ D kompakt halmaz. Ekkor az f (K) halmaz is kompakt.

3.5. Tétel. Legyen K ⊂ R kompakt halmaz, f : K → R folytonos függvény. Ekkor f felveszi K–n a minimumát és a maximumát.

3.6. Tétel (Heine). Legyen K ⊂ R kompakt halmaz, f : K → R folytonos függvény, ekkor f egyenletesen folytonos K.

3.6. Definíció. Legyen ∅ , D ⊂ R, f : D→ R, x0 ∈ D′. Azt mondjuk, hogy

– az f függvénynek az x0 pontban a határértéke α, ha tetszoleges ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ D és |x − x0| < δ,akkor | f (x) − α| < ε. Erre a limx→x0 f (x) = α jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek az x0 pontban a határértéke +∞, ha tetszoleges K ∈ R esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ D és|x − x0| < δ, akkor f (x) > K. Erre a limx→x0 f (x) = +∞ jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek az x0 pontban a határértéke −∞, ha tetszoleges k ∈ R esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ D és|x − x0| < δ, akkor f (x) < k. Erre a limx→x0 f (x) = −∞ jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek a +∞–ben a határértéke α, ha tetszoleges ε > 0 esetén létezik olyan K ∈ R, hogy ha x ∈ D és x ≥ K, akkor| f (x) − α| < ε. Erre a limx→+∞ f (x) = α jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek a −∞–ben a határértéke α, ha tetszoleges ε > 0 esetén létezik olyan k ∈ R, hogy ha x ∈ D és x ≤ k, akkor| f (x) − α| < ε. Erre a limx→−∞ f (x) = α jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek a +∞–ben a határértéke +∞, ha tetszoleges K ∈ R esetén létezik olyan K∗ ∈ R, hogy ha x ∈ D és x ≥ K∗,akkor f (x) ≥ K. Erre a limx→+∞ f (x) = +∞ jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek a +∞–ben a határértéke −∞, ha tetszoleges k ∈ R esetén létezik olyan K∗ ∈ R, hogy ha x ∈ D és x ≥ K∗,akkor f (x) ≤ k. Erre a limx→+∞ f (x) = −∞ jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek a −∞–ben a határértéke +∞, ha tetszoleges K ∈ R esetén létezik olyan k∗ ∈ R, hogy ha x ∈ D és x ≤ k∗,akkor f (x) ≥ K. Erre a limx→−∞ f (x) = +∞ jelölést alkalmazzuk.

– az f függvénynek a −∞–ben a határértéke −∞, ha tetszoleges k ∈ R esetén létezik olyan k∗ ∈ R, hogy ha x ∈ D és x ≤ k∗,akkor f (x) ≤ k. Erre a limx→−∞ f (x) = −∞ jelölést alkalmazzuk.

3.7. Tétel (Átviteli–elv). Legyen ∅ , D ⊂ R, f : D→ R, illetve x0 ∈ D′ és α ∈ R∪{−∞,+∞}. Ekkor limx→x0 f (x) = α pontosanakkor teljesül, ha tetszoleges (xn)n∈N D–beli, x0–hoz konvergáló sorozat esetén limn→∞ f (xn) = α teljesül.

3.8. Tétel (Folytonosság és függvényhatárérték kapcsolata). Legyen ∅ , D ⊂ R, f : D → R és x0 ∈ D. Ekkor az f függvénypontosan akkor folytonos az x0 pontban, ha létezik a limx→x0 f (x) határérték, és

limx→x0

f (x) = f (x0).

22

Nevezetes függvényhatárértékek

1. Legyen n ∈ N, a0, a1, . . . , an−1 ∈ R, an , 0 és

P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0.

Ekkor

limx→+∞

P(x) =

{+∞, ha an > 0−∞, ha an < 0

és

limx→−∞

P(x) =

+∞, ha an > 0 és n páros−∞, ha an < 0 és n páros−∞, ha an > 0 és n páratlan+∞, ha an < 0 és n páratlan

2. Legyen a > 0, ekkor

limx→+∞

ax =

{+∞, ha a > 1

0, ha a < 1és lim

x→−∞ax =

{0, ha a > 1

+∞, ha a < 1

3.limx→0

sin(x)x

= 1.

4.lim

x→+∞x

1x = 1 és lim

x→0+xx = 1.

5.

limx→+∞

(1 +

1x

)x

= limx→−∞

(1 +

1x

)x

= e és limx→0+

(1 + x)1x = e.

6. Legyen 1 , α > 0, ekkor

limx→0

αx − 1x

= ln(α).

7. Legyenek α > 0 és a ∈ R, ekkor

limx→a

αx − αa

x − a= αa ln(α).

3.1. Valós függvények korlátossága és monotonitása

1. Legyenek a, b ∈ R, a , 0 rögzítettek. Vizsgáljuk meg korlátosság és monotonitás szempontjából az f (x) = ax + b (x ∈ R)módon értelmezett függvényt.

2. Korlátos-e az f (x) = 5 − x2 (x ∈ R) módon megadott függvény?

3. Legyenek a, b, c ∈ R, a , 0. Vizsgáljuk meg az

f (x) = ax2 + bx + c (x ∈ R)

függvényt korlátosság szempontjából.

4. Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket korlátosság szempontjából.

23

(a)

f (x) =1x

(x ∈]0,+∞[)

(b)f (x) = x2 − 4x + 6 (x ∈ R)

(c)

f (x) = −2x + 3x − 1

(x ∈]1,+∞[)

(d)

f (x) =1

1 + x2 (x ∈ R)

5. Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket monotonitás szempontjából.

(a)

f (x) =1x

(x ∈]0,+∞[)

(b)f (x) = |x − π| (x ∈ R)

(c)f (x) = xn (

x ∈ R, n ∈ N rögzített)

(d)f (x) = sign(x) (x ∈ R)

(e)f (x) = x +

√|x| (x ∈ R)

(f)f (x) = x2 + x + 1 (x ∈ R)

3.2. Valós függvények folytonossága

1. Adjunk példát olyan f , g : D→ R függvényekre, melyekre az alábbiak egyidejuleg teljesülnek.

(a) f , g nem folytonos az x0 ∈ D pontban és f + g folytonos x0–ban.

(b) f , g nem folytonos az x0 ∈ D pontban és f · g folytonos x0–ban.

(c) f a D halmaz egyetlen pontjában sem folytonos, és az | f | függvény a D minden pontjában folytonos.

(d) f a D halmaz egyetlen pontjában sem folytonos, és az f 2 függvény a D minden pontjában folytonos.

2. Legyen ∅ , D ⊂ R és f , g : D→ R függvények, x0 ∈ D.

(a) Igaz-e, hogy az f + g függvénynek az x0 szakadási helye, ha f folytonos az x0 pontban, g azonban nem?

(b) Igaz-e, hogy az f + g függvénynek az x0 szakadási helye, ha az x0 pont szakadási helye mind az f , mind a g füg-gvénynek?

3. Legyen ∅ , D ⊂ R és f , g : D→ R függvények, x0 ∈ D.

(a) Igaz-e, hogy az f · g függvénynek az x0 szakadási helye, ha f folytonos az x0 pontban, g azonban nem?

(b) Igaz-e, hogy az f · g függvénynek az x0 szakadási helye, ha az x0 pont szakadási helye mind az f , mind a g füg-gvénynek?

4. Legyen ∅ , D ⊂ R, f : D → R és x0 ∈ D. Válasszuk ki az alábbi állítások közül azokat, melyek ekvivalensek az ffüggvény x0 pontbeli folytonosságával.

(a) Minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0 és olyan x ∈ D, hogy |x − x0| < δ(ε) és | f (x) − f (x0)| < ε.

(b) Van olyan δ > 0, melyhez létezik olyan ε > 0, hogy minden olyan x ∈ D esetén, melyre | f (x) − f (x0)| < ε, az teljesül,hogy |x − x0| < δ.

(c) Minden δ > 0 esetén van olyan ε > 0, hogy minden olyan x ∈ D esetén, melyre |x − x0| < ε, az teljesül, hogy| f (x) − f (x0)| < δ.

(d) Minden ε > 0 és minden δ > 0 esetén van olyan olyan x ∈ D esetén, melyre |x − x0| < δ és | f (x) − f (x0)| < ε. Mindenδ > 0 esetén van olyan ε > 0, hogy minden olyan x ∈ D esetén, melyre |x− x0| < δ, az teljesül, hogy | f (x)− f (x0)| < ε.

(e) Minden n ∈ N esetén van olyan δn > 0 szám, hogy ha x ∈ D olyan, hogy |x − x0| < δn, akkor | f (x) − f (x0)| < 1n .

(f) Minden olyan (xn)n∈N, D-beli sorozat esetén, melyre f (xn)→ f (x0), az teljesül, hogy xn → x0.

24

(g) Minden olyan (xn)n∈N, D-beli sorozat esetén, melyre xn → x0, az teljesül, hogy f (xn)→ f (x0).(h) Van legalább két különbözo olyan (xn)n∈N, D-beli sorozat, melyre xn → x0, úgy, hogy f (xn)→ f (x0).

5. Legyen [a, b] ⊂ R és f : [a, b]→ R egy folytonos függvény. Igazoljuk, hogy ekkor az

(a)m(x) = inf { f (ξ) | a ≤ ξ ≤ x} (x ∈ [a, b])

(b)M(x) = sup { f (ξ) | a ≤ ξ ≤ x} (x ∈ [a, b])

módon megadott m,M : [a, b]→ R függvények is folytonosak.

6. Legyen [a, b] ⊂ R és f , g : [a, b]→ R folytonos függvények. Igazoljuk, hogy ekkor az

(a)φ(x) = min { f (x), g(x)} (x ∈ [a, b])

(b)ψ(x) = max { f (x), g(x)} (x ∈ [a, b])

módon megadott φ, ψ : [a, b]→ R függvények is folytonosak.

7. Legyen f : [a, b] → R egy folytonos függvény és x1, . . . , xn ∈ [a, b]. Mutassuk meg, hogy ekkor van olyan ξ ∈]a, b[,melyre

f (ξ) =f (x1) + · · · + f (xn)

nteljesül.

8. Adjunk példát olyan f : R→ R függvényre, melyre

(a) f nem folytonos az {1, 2, 3} halmaz pontjaiban, minden más pontban azonban folytonos.(b) f nem folytonos a [0, 1] halmaz pontjaiban, minden más pontban azonban folytonos.(c) f csak az x0 = 0 pontban folytonos.(d) f folytonos a {−1, 0, 1} halmaz pontjaiban, minden más pontban azonban nem folytonos.(e) f az x0 = 0 pontot kivéve mindenhol folytonos és az x0 = 0 pontban megszüntetheto szakadása van.(f) f az x0 = π pontot kivéve minden pontban folytonos és az x0 = 0 pontban elsofajú, nem megszüntetheto szakadása

van.(g) f az x1,2 = π, 2π pontokat kivéve minden pontban folytonos és az x1 = π pontban másodfajú, míg az x2 = 2 pontban

elsofajú szakadása van.

9. Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából.

(a)f (x) = |x| (x ∈ R)

(b)f (x) = ax + b

(x ∈ R, a, b ∈ R rögzítettek

)(c)

f (x) = ax2 + bx + c(x ∈ R, a, b, c ∈ R rögzítettek

)(d)

f (x) =∣∣∣x2 − 4

∣∣∣ (x ∈ R)

(e)f (x) = xr (

x ∈]0,+∞[, r ∈ Q rögzített)


25

(a)

f (x) =

x2 − 4x + 2

ha x , −2

0 ha x = −2

(b)

f (x) =

x2 − 4x + 2

ha x , −2

−4 ha x = −2


(a)

f (x) =

{2x − 1, ha x ≥ 0

x2 − 2x, ha x > 0

(b)

f (x) =

2x − 1 ha x ≤ 1x2 − 5x ha x > 1

(c)

f (x) =

2x − 1 ha x < 42 ha x = 4x2 − 12x + 39 ha x > 4


(a)

f (x) =

sin (πx) ha x < 22 ha x = 2

1x − 2

ha x < 2

(b)

f (x) =

sin(x), ha − π ≤ x ≤ π

|x − π| , egyébként

(c)

f (x) =

√∣∣∣x2 − 2

∣∣∣, ha −√

3 ≤ x ≤√

3√|x| + 1, egyébként

(d)

f (x) =

x − 1√

x − 1, ha x > 1

5 − 3x, ha − 2 ≤ x ≤ 16

x − 4, ha x < −2


(a)

f (x) =

1 ha x ∈ Q0 ha x ∈ R \ Q

(b)

f (x) =

x2 ha x ∈ R \ Q0 ha x ∈ Q

26

(c)

f (x) =

{x2, ha x ∈ Q√|x|, ha x ∈ R \ Q

(d)

f (x) =

{x, ha x ∈ Q

x + 1, ha x ∈ R \ Q


(a)f (x) = sgn(x) (x ∈ R)

(b)f (x) = [x] (x ∈ R)

(c)f (x) = {x} (x ∈ R) ,

(d)f (x) = sgn(x2 − 3x + 2) (x ∈ R)

ahol [x] az x valós szám egészrészét, míg {x} az x valós szám törtrészét jelöli.

15. Vizsgájuk meg az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából.

(a)f (x) = sgn(3x2 − x) (x ∈ R)

(b)f (x) = sgn(x(1 − x2)) (x ∈ R)

(c)

f (x) =

x2, ha x ∈ [0, 1]2 − x, egyébként

(d)

f (x) =

x, ha x ∈ [−1, 1]1, egyébként

(e)

f (x) =

x, ha x ∈ [−1, 1]x3, egyébként

(f)

f (x) =

x2 + 1, ha x ∈ [0, 1]√|x| + 3, egyébként

16. Vizsgáljuk meg, hogy a következo függvényeket folytonosság szempontjából.

(a)f (x) = x2 (x ∈ R)

(b)f (x) =

√x (x ∈ [0,+∞[)

(c)f (x) = |x| (x ∈ R)

(d)

f (x) =

1

(1 + x)2 , ha x , −1

0, ha x = −1

(e)

f (x) =

x

(1 + x)2 , ha x , −1

11, ha x = −1

(f)f (x) = sgn(x2 − 2x + 1) (x ∈ R)

(g)f (x) = sgn(3x2 − x) (x ∈ R)

(h)f (x) = sgn(x(1 − x2)) (x ∈ R)

27

(i)

f (x) =

x2, ha x ∈ [0, 1]2 − x, egyébként

(j)

f (x) =

x, ha x ∈ [−1, 1]1, egyébként

(k)

f (x) =

x, ha x ∈ [−1, 1]x3, egyébként

(l)

f (x) =

x2 + 1, ha x ∈ [0, 1]−√|x|, egyébként

(m)

f (x) =

3x − 5, ha x , 12, ha x = 1

(n)

f (x) =

x2 + 2x, ha x ≤ −2x3 − 6x, ha x > −2

(o)

f (x) =

x − 6x − 6

, ha x < 0

2, ha x = 0√

4 + x2, ha x > 0

(p)

f (x) =

x3 + 2, ha x < 25, ha x = 2x2 + 5, ha x > 2

17. Hogyan válasszuk meg az α és β számokat, hogy az alábbi függvények folytonosak legyenek?

(a)

f (x) =

x2 − 6x + 4, ha x < −2

αx + β, ha −2 ≤ x ≤ 3√

2x + 3, ha x > 3

(b)

f (x) =

−x2 − αx + 4, ha x < −2

6, ha x = −2−2x + β, ha x > −2

(c)

f (x) =

α2x − α, ha x > 34, ha x ≤ 3

(d)

f (x) =

αx − β, ha x ≤ −12x2 + 3αx + β, ha − 1 < x < 14, ha x > 1

(e)

f (x) =

x2 − 2, ha x < 1αx − 4, ha x ≥ 1

(f)

f (x) =

αx, ha x < 35, egyébként

(g)

f (x) =

αx, ha 0 ≤ x < 23x2, egyébként

28

(h)

f (x) =

5x3 − 10x2

x − 2, ha x , 2

α, ha x = 2

(i)

f (x) =

x2 − 1, ha x < 32αx, egyébként

(j)

f (x) =

x, ha x < −2αx2, egyébként

18. Az alábbi függvények nincsenek értelmezve minden x ∈ R pontban. Hogyan válasszuk meg ezeket a függvényértéket,hogy az f : R→ R függvény minden pontban folytonos legyen?

(a)

f (x) =x2

x − 2(b)

f (x) =x2 − 9x − 3

(c)

f (x) =x2 + 3x − 10

x − 2(d)

f (x) =x3 − 1x2 − 1

(e)

f (x) =x2 − 16

x2 − 3x − 4(f)

f (x) =1 + x3

1 + x(g)

f (x) =

√7 + x − 3x2 − 4

(h)f (x) = sin

(π

x

)(i)

f (x) = x sin(π

x

)(j)

f (x) =x

sin(x)

(k)

f (x) =1 − cos(x)

x2

(l)

f (x) =10x − 1

x

(m)

f (x) =sin(x)|x|

(n)

f (x) =5 cos(x)4x − 2π

(o)

f (x) =10|x|−1

x

(p)

f (x) =x − 1

x − 4√x

(q)f (x) = (1 + |x|)

1x

(r)f (x) = (1 + 2x)

1x

(s)

f (x) =|x|

1 − 2|x|

(t)

f (x) =ln(1 + x) − ln(1 − x)

x

19. Legyenek b, c ∈ R adottak. Határozzuk meg az összes olyan a valós számot, melyre az f függvény folytonos, ha

29

(a)

f (x) =

sin(x), ha x ≤ cax + b, ha x > c

(b)

f (x) =

2 cos(x), ha x ≤ cax2 + b, ha x > c

20. Igazoljuk, hogy az x2 − 3x + 1 = 0 egyenletnek van gyöke a [0, 2] intervallumban.

21. Mutassuk meg, hogy az x3 + 15x − 1 = 0 egyenletenek van három gyöke a [−4, 4] intervallumban.

22. Igazoljuk, hogy az alábbi egyenletek mindegyikének van legalább egy megoldása a valós számok körében.

(a)cos(x) = x

(b)x + sin(2x) =

√π

23. Mutassuk meg, hogy minden páratlan fokszámú valós polinomnak van legalább egy valós gyöke.

24. Legyen n ∈ N és a0, a1, . . . , an ∈ R olyanok, hogy a0 · an < 0. Mutassuk meg, hogy ekkor a

P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 (x ∈ R)

polinomnak van legalább egy valós gyöke.

25. Legyenek a, b ∈ R tetszolegesek, de rögzítettek és definiáljuk az f : R→ R függvényt az

f (x) = (x − a)2 · (x − b)2 + x (x ∈ R)

módon. Mutassuk meg, hogy ekkor van olyan ξ ∈ R, melyre f (ξ) =a + b

2teljesül.

26. Legyenf (x) = x4 − 10x + 2 (x ∈ R) .

Mutassuk meg, hogy létezik olyan ξ ∈ R, melyre f (ξ) = η teljesül, ha

(a) η = π (b) η = −√

3 (c) η = 5000000

27. Legyen f (x) = tg(x). Tudjuk, hogy

tg(π

4

)= 1 és tg

(3π4

)= −1.

Ennek ellenére nem létezik olyan x ∈[π4 ,

3π4

], melyre f (x) = 0 teljesülne. Miért nem mond ez ellent a Bolzano-tételnek?

28. Legyen f : [0, 1]→ [0, 1] egy folytonos függvény.

(a) Mutassuk meg, hogy van olyan ξ ∈ [0, 1], melyre f (ξ) = ξ teljesül.

(b) Igaz-e az (a) állítás, ha az f függvényrol nem tesszük fel, hogy folytonos?

(c) Mit tudunk mondani akkor, ha f : [0, 1]→ R, azaz, ha nem tudjuk, hogy az f függvény a [0, 1] intervallumba képez?

(d) Érvényben marad-e az állítás, ha f : ]0,+∞[→]0,+∞[?

30

3.3. Valós függvények határértéke

1. Legyen ∅ , D ⊂ R, f , g : D→ R, x0 ∈ R a D halmaz torlódási pontja. Igazoljuk, hogy

(a) ha az f függvénynek létezik az x0 pontban a határértéke, a g függvénynek pedig nem, akkor az ( f + g) függvényneksem létezik a határértéke az x0 pontban;

(b) ha limx→x0 f (x) = 0, és az x0 pontnak van olyan környezete, melyen a g függvény korlátos, akkor az f · g függvényneklétezik x0-ban a határértéke és limx→x0 f (x)g(x) = 0;

(c) ha az f függvénynek létezik az x0 pontban a határértéke és limx→x0 f (x) , 0, a g függvénynek pedig nem létezikx0-ban a határértéke, akkor az f · g függvénynek nem létezik az x0 pontban a határértéke.

2. Az f függvény gráfja a következo ábrán látható.

��

��

1 2 3

Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e az alábbi határértékek.

(a)limx→1

f (x)(b)

limx→2

f (x)(c)

limx→3

f (x)

3. Az f függvény gráfja a következo ábrán látható.

��

��

−2 −1 10

−1

1

Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e az alábbi határértékek.

(a)lim

x→−2f (x)

(b)lim

x→−1f (x)

(c)limx→0

f (x)

4. Az f függvény gráfja a következo ábrán látható. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igazakat.

(a)

limx→0

f (x) létezik

(b)

limx→0

f (x) = 0

31

��

��

��

��

��

��

��

��

1−1

−1

1

(c)limx→0

f (x) = 1

(d)limx→1

f (x) = 1

(e)limx→1

f (x) = 0

(f)limx→x0 f (x) létezik

minden x0 ∈] − 1, 1[ esetén

5. Az f függvény gráfja a következo ábrán látható. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igazakat.

��

��

��

��

��

��

��

��

1−1

−1

1

2 3

(a)limx→2

f (x) létezik

(b)limx→0

f (x) = 0

(c)limx→3

f (x) = 0

(d)limx→1

f (x) = 0

(e)limx→2

f (x) = 0

(f)limx→x0 f (x) létezik

minden x0 ∈] − 1, 1[ esetén

(g)limx→x0 f (x)létezik

minden x0 ∈]1, 3[ esetén

6. Legyen x0 ∈ R és f , g : R→ R olyan függvények, melyekre

limx→x0

f (x) = 5 és limx→x0

g(x) = 2.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

(a)

limx→x0

f (x) · g(x)

(b)

limx→x0

( f (x) + 3g(x))

32

(c)

limx→x0

f 2(x) · g(x)

(d)

limx→x0

f (x)f (x) − g(x)

.

7. Legyenek f , g : R→ R olyan függvények, melyekre

limx→4

f (x) = 0 és limx→4

g(x) = −3.


(a)limx→4

(g(x) + 3)

(b)limx→4

x f (x)

(c)limx→4

g2(x)

(d)

limx→4

g(x)f (x) − 1

.

8. Legyenek f , g : R→ R olyan függvények, melyekre

limx→0

f (x) =12

és limx→0

g(x) =√

2.


(a)limx→0−g(x)

(b)limx→0

( f (x) + g(x))

(c)limx→0

x + f (x)

(d)limx→0

f (x) · g(x)

(e)

limx→0

1f (x)

(f)

limx→0

f (x) cos(x)x − 1

.

9. Legyen x0 ∈ R és f , g : R→ R olyan függvények, melyekre

limx→x0

f (x) = 7 és limx→x0

g(x) = −3.


(a)limx→x0

( f (x) + g(x))

(b)limx→x0

f (x) · g(x)

(c)limx→x0

4g(x)

(d)

limx→x0

f (x)g(x)

.

10. A határérték definíciójának felhasználásával igazoljuk az alábbiakat.

(a)

limx→1

x3 − 1x2 − 1

=32

(b)

limx→4

(3x − 5) = 7

33

(c)

limx→3

x2 − 9x − 3

(d)

limx→2

x − 2√

x + 2 − 2= 4

(e)

limx→0

x[1x

]= 1

11. Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e az alábbi határértékek.

(a)

limx→0

1x

(b)

limx→α

1(x − α)2 (α > 0 adott)

(c)

limx→0

sin(1x

)

(d)

limx→0

|x|x

(e)

limx→1

21

x−1

12. Mutassuk meg, hogy a

χQ(x) =

{1, ha x ∈ Q0, ha x < Q

módon értelmezett χQ : R→ R ún. Dirichlet-függvénynek egyetlen pontban sem létezik a határértéke.

13. Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket.

(a)

limx→+∞

3x2 + 77x − 54x3 + 11x2 − 3x + 18

(b)

limx→+∞

11x2 − 10x + 922x2 + 30x − 48

(c)

limx→+∞

−3x5 + 20x4 − 2x3 + 8x2 − 17x + 26x4 + 78x3 − 43x2 + 45x + 17

(d)

limx→−∞

2x2 + 20x + 3x2 − 152x + 28

(e)

limx→−∞

2x3 + 96x2 − 4x + 1713x2 + 22x + 6

(f)

limx→−∞

5x2 − 49x + 23−11x + 2

(g)

limx→−∞

7x8 − 38x7 + 4x5 − 16x3 + x2 − 25x11 − 22x10 + 3x9 − 8x8 + 56x2 − 12

(h)

limx→+∞

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(5x − 1)5

34

(i)

limx→+∞

(2x − 3)20(3x + 2)30

(2x + 1)50

(j)

limx→+∞

(x + 1)(x2 + 1) · · · (xn + 1)

((nx)n + 1)n(n+1)

2

(n ∈ N adott)

14. Határozzuk meg a következo határértékeket.

(a)

limx→1

x2 − 3x + 2x2 + x − 2

(b)

limx→−1

x2 − xx2 + 8x + 7

(c)

limx→1

x2 − 11x + 10x2 − x

(d)

limx→2

x2 − x − 2x2 + x − 6

(e)

limx→5

x2 − 8x + 15x2 − 6x + 5

(f)

limx→3

x2 − 4x + 3x2 − 2x + 3

(g)

limx→2

x2 − 4x + 4x3 + 5x2 − 14

(h)

limx→0

x2 − 4x + 4x3 + 5x2 − 14

(i)

limx→0

x2 + xx5 + 2x4 + x3

15. Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e az alábbi határértékek.

(a)lim

x→+∞

√x2 + 10x + 2 −

√x2 + 2

(b)lim

x→+∞

√x + 10 −

√x

(c)lim

x→+∞

√2x2 + 3x −

√2x2 + 10

(d)lim

x→+∞

√x3 + x2 −

√x3

(e)lim

x→+∞

√6x2 + 2x −

√3x2 + 20x

(f)

limx→+∞

√2x2 + 10x − 2 − x

(g)

limx→+∞

√x +

√x +√

x√

x + 1

(h)

limx→+∞

√x + 3√x + 4√x√

2x + 1

16. Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket.

(a)

limx→+∞

(1 +

1x

)3x+10

(b)

limx→+∞

(1 −

1x

)2x+5

(c)

limx→+∞

(1 +

2x

)2x+5

(d)

limx→+∞

(1 +

2x

) x2−5

35

(e)

limx→+∞

( xx + 1

)x+1

(f)

limx→+∞

(2x + 12x + 2

)2x

(g)

limx→+∞

(x + 1x + 2

)x+3

(h)

limx→+∞

(1 +

2x + 3

)x+4

17. Legyenek α, β ∈ R, β > 0, igazoljuk, hogy

(a)

limx→α

x2 − α2

x − α= 2α

(b)

limx→β

√x −√β

x − β=

12√β

18. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

(a)

limx→0

1 −√

xx − 1

(b)

limx→α

x2 − α2

x4 − α4

(c)

limh→0

(x + h)2 − x2

h

(d)

limx→0

(x + h)2 − x2

h

(e)

limx→0

12 + x

−12

x

(f)

limx→0

(2 + x)3 − 8x

19. Számítsuk ki a következo határértékeket.

(a)

limx→0

x2 − 12x2 − x − 1

(b)

limx→1

x2 − 12x2 − x − 1

(c)

limx→+∞

x2 − 12x2 − x − 1

20. Határozzuk meg a következo függvényhatárértékeket.

(a)

limx→0

sin(x)x

(b)

limx→2

sin(x)x

(c)

limx→+∞

sin(x)x

(d)

limx→0

sin(αx)βx

(e)

limx→0

sin(αx)sin(βx)

(f)

limx→0

x sin(1x

)(g)

limx→+∞

x sin(1x

)(h)

limx→0

1 − cos(x)x2

(i)

limx→0

n√1 + x − 1x

(n ∈ N adott)

(j)

limx→π

√1 − tg(x) +

√1 + tg(x)

sin(2x)

36

(k)

limx→0

tg(x) − sin(x)sin3(x)

(l)

limx→−1

sin(x2 − x + 2)x + 1

(m)

limx→1

sin(1 −√

x)x − 1

(n)

limx→0

sin (1 − cos(x))x

(o)

limx→0

sin(sin(x))x

(p)

limx→2

sin(x2 − 4)x − 2

(q)

limx→0

sin(x)sin(√

x)

(r)

limx→0

sin(x2 + x)x

(s)

limx→9

sin(√

x − 3)

x − 9

21. Legyenek α, β > 0 adott valós számok, határozzuk meg a következo függvényhatárértékeket.

(a)

limx→0

αx − βx

x

(b)

limx→0

αx + βx

2

(c)

limx→α

αx − xα

x − α

22. Határozzuk meg az f : R→ R függvény x0 ∈ R pontbeli határértékét, ha tudjuk, hogy

(a)lim

x→0+

3√

4 f (x) = 2 x0 = 0+

(b)

limx→1

3x2 + 1f (x)

= +∞ x0 = 1

(c)

limx→−2

5 − x2√f (x)

= 0 x0 = 0

(d)

limx→0

4 − f (x)x

= 0 x0 = 0

(e)lim

t→−4

(t lim

x→0f (x)

)= 2 x0 = 0

23. Legyen f : [−1, 1]→ R egy olyan függvény, melyre minden x ∈ [−1, 1] esetén√5 − 2x2 ≤ f (x) ≤

√5 − x2

teljesül. Mutassuk meg, hogy ekkor létezik a limx→x0 f (x) határérték és számítsuk ki az értékét.

24. Legyen f : [−1, 1]→ R egy olyan függvény, melyre minden x ∈ [−1, 1] esetén

x2 ≤ f (x) ≤ x4

teljesül. Melyek azok az x0 ∈ [−1, 1] pontok, melyekben a fentiek alapján a limx→x0 f (x) határérték létezhet? Számítsukki ezeket a határértékeket.

37

25. Legyenek a, b, c ∈ R, a , 0. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik az

ax2 + bx + c = 0

másodfokú egyenlet gyökeivel, ha rögzített b és c paraméterek esetén a-val nullához tartunk.

26. Határozzuk meg az α, β valós számokat, ha tudjuk, hogy

limx→+∞

(αx + β −

x3 + 1x2 + 1

)= 0

teljesül.

27. Az f függvény gráfja az alábbi ábrán látható. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igazakat.

��

��

��

��

��

��

��

��

1−1

−1

1

2 3

2

(a) limx→1+ f (x) = 1

(b) limx→2 f (x) nem létezik

(c) limx→ f (x) = 2

(d) limx→1− f (x) = 1

(e) limx→ f (x) = −2

(f) limx→0− f (x) = limx→0+ f (x)

(g) limx→1 f (x) nem létezik

(h) limx→x0 f (x) létezik minden x0 ∈] − 1, 1[ esetén

(i) limx→x0 f (x) létezik minden x0 ∈]1, 3[ esetén

(j) limx→3+ f (x) nem létezik

(k) limx→1− f (x) = 1

(l) limx→1− f (x) nem létezik.

38

4. fejezet

Valós függvények differenciálszámítása


4.1. Definíció. Legyen ]a, b[⊂ R valódi intervallum, és f :]a, b[→ R egy valós függvény, akkor a

ϕ (x, x0) =f (x) − f (x0)

x − x0(x , x0, x, x0 ∈]a, b[)

módon definiált függvényt az f függvény x, x0 pontokhoz tartozó differenciahányados függvényének nevezzük.

4.1. Megjegyzés (A differenciahányados függvény geometriai interpretációja). Az f függvény x, x0 pontokhoz tartozó ϕ (x, x0)differenciahányados függvénye éppen az f függvény görbéjének (x, f (x)) és (x0, f (x0))) pontjaihoz tartozó szelo meredeksége.

4.2. Definíció. Legyen D ⊂ R nemüres, nyílt halmaz, x0 ∈ D Azt mondjuk, hogy az f : D → R függvény az x0 ∈ D pontbandifferenciálható, ha létezik és véges az alábbi határérték

f ′(x0) = limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

.

4.2. Megjegyzés (A differenciálhányados geometriai interpretációja). f ′ (x0) éppen az f függvény görbéjéhez az (x0, f (x0))pontban húzott érinto meredeksége.

4.3. Definíció. Legyen ]a, b[⊂ R valódi intervallum, ha az f :]a, b[→ R függvény differenciálható az x0 ∈]a, b[ pontban, akkoraz

y = f ′ (x0) · (x − x0) + f (x0)

egyenletu egyenest az f függvény görbéje (x0, f (x0))-beli érintojének nevezzük.

4.1. Példa. Legyen c ∈ R egy rögzített konstans és f : R→ R, f (x) = c. Ekkor minden x0 ∈ R esetén

limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

= limx→x0

c − cx − x0

= limx→x0

0 = 0.

Tehát f ′(x) = 0 (x ∈ R).

4.2. Példa. Tekintsük az f : R→ R, f (x) = x függvényt, ekkor tetszoleges x0 ∈ R esetén

limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

= limx→x0

x − x0

x − x0= lim

x→x01 = 1,

azaz f ′(x) = 1 (x ∈ R).

4.1. Tétel (Differenciálhatóság⇒ folytonosság). Legyen D ⊂ R nemüres, nyílt halmaz, x0 ∈ D Ha a f : → R függvénydifferenciálható az x0 ∈ D pontban, akkor f folytonos is az x0 pontban.

39

4.3. Megjegyzés (Folytonosság; differenciálhatóság). Az elozo tétel megfordítása nem igaz, ugyanis az f (x) = |x| függvényfolytonos a 0 pontban, de ott nem differenciálható, hiszen nem létezik a

limx→0

|x| − |0|x − 0

= limx→0

|x|x

határérték.

4.2. Tétel (Differenciálhatóság és muveletek). Legyen D ⊂ R nemüres, nyílt halmaz és x0 ∈ D. Ha az f , g : D→ R függvényekdifferenciálhatóak az x0 ∈ D pontban, akkor az f + g, λ · f (λ ∈ R tetszoleges konstans), f · g, és ha g(x) , 0 teljesül az x0 pontvalamely környezetében, akkor az f /g függvény is differenciálható az x0 pontban, továbbá

(i)( f + g)′ (x0) = f ′ (x0) + g′ (x0) ;

(ii)(λ · f )′ (x0) = λ · f ′ (x0) ;

(iii)( f · g)′ (x0) = f ′ (x0) · g (x0) + f (x0) · g′ (x0) ;

(iv) (fg

)′(x0) =

f ′ (x0) g (x0) − f (x0) g′ (x0)g2 (x0)

;

4.3. Tétel (Az összetett függvény differenciálhatósága). Legyen D ⊂ R nemüres, nyílt halmaz, x0 ∈ D és g : D → R ésf : g (D) → R olyan függvények, hogy g differenciálható az x0 pontban, f pedig differenciálható a g(x0) pontban. Ekkor azf ◦ g függvény differenciálható az x0 pontban, továbbá

( f ◦ g)′ (x0) = f ′ (g (x0)) · g′ (x0) .

4.4. Tétel (Az inverz függvény differenciálhatósága). Legyen ]a, b[⊂ R valódi intervallum, ha az f :]a, b[→ R függvény szig-orúan monoton, folytonos ]a, b[-n, és létezik f ′ (x0) és az nem nulla, akkor az f −1 függvény differenciálható az f (x0) pontbanés (

f −1)′

( f (x0)) =1

f ′ (x0),

azaz (f −1

)′(y0) =

1f ′

(f −1 (y0)

) .Néhány elemi függvény differenciálhányadosfüggvénye

(a)[c]′ = 0

(b)xµ = µxµ−1 (µ ∈ R rögzített)

(c) [ax]′ = ax ln(a) (a > 0 rögzített)

(d)

ln′(x) =1x

(e)sin′(x) = cos(x)

(f)cos′(x) = − sin(x)

(g)

tg′(x) =1

cos2(x)

(h)

ctg′(x) = −1

sin2(x)

40

(i)sinh′(x) = cosh(x)

(j)cosh′(x) = sinh(x)

(k)

tanh′(x) =1

cosh2(x)

(l)

coth′(x) = −1

sinh2(x)

(m)

arcsin′(x) =1

√1 − x2

(n)

arccos′(x) =1

√1 − x2

(o)

arctg′(x) =1

1 + x2

(p)

arcctg′(x) = −1

1 + x2

4.1. Valós függvények differenciálszámítása

1. A differenciálhányados definíciójából kiindulva határozzunk meg az alábbi függvények differenciálhányadosfüggvényeit.

(a)2

(b)x2

(c)x3

(d)1x

(e)√

x

(f)3√x

2. Számítsuk ki az f ′(1), f ′(2) és f ′(3) értékeket, ha

f (x) = (x − 1)(x − 2)2(x − 3)3 (x ∈ R) .

3. Számítsuk ki az f ′(0) értéket, haf (x) = x(x − 1)(x − 2) · · · (x − 1000) (x ∈ R)

4. Legyen

f (x) =x3

3+

x2

2− 2x (x ∈ R) ,

milyen x0 ∈ R értékekre teljesül, hogy

(a)f ′(x0) = 0

(b)f ′(x0) = −2

(c)f ′(x0) = 10.

5. Legyen

f (x) =2x3

3+

x2

2− x − 1 (x ∈ R) .

Határozzuk meg az f függvény gráfján azokat a pontokat, melyekhez húzott érinto meredeksége

(a)0

(b)−1

(c)5

6. Határozzuk meg azf (x) = x + sin(x) (x ∈ R)

módon megadott f függvény gráfján azokat a pontokat, melyekhez húzott érinto meredeksége nulla.

41

7. Legyen c ∈ R adott. Határozzuk meg az a, b ∈ R konstansokat úgy, hogy az f függvény differenciálható legyen a cpontban, határozzuk meg az f ′(c) értéket is, ha

(a)

f (x) =

sin(x), ha x ≤ cax + b, ha x > c

(b)

f (x) =

x2, ha x ≤ cax + b, ha x > c

(c)

f (x) =

1|x|, ha x ≤ c

ax + b, ha x > c

8. Határozzuk meg a következo függvények differenciálhányados függvényeit.

(a)4x3

(b)6x2 − x4

(c)x3 + x2 + x + 1

(d)1 − x3

(e)3√

x2

(f)7√

x5 +√

x

(g)

84√

x3

(h)

4x2 − 164√

x2

(i)

x9 +√

x

(j)

4x4 − x2 + 0, 96

9. Határozzuk meg az alábbi függvények differenciálhányados függvényeit.

(a)x3

3−

3x4

2+

13x5

5− 2x6 +

4x7

4

(b)

3x73−4x

134

+ 9x23 − 6x

12 + 4x−

12 −

47

x−72

(c)3√

x2 +2x3 +

x3√

x2

5+

mn

m√xn −

pp√xq

+1√

x

(d)

27x3 −81x2 3√

x2

2+ 12x2 +

12x 3√x2

2

(e)5x2

5√x2

+ 30 15√x +63√x

(f)

x6√

x5 −18x2 6√

x5

17+

3x3 3√x10

10. A szorzat differenciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következo függvények differenciálhányados függvényeit.

42

(a)

−12

x(x2 − 2)

(b)(4x2 + x − 1)(x2 + 3x + 5)

(c)(ax − 1)(x2 + 5x + 6)

(d)(√

x − 1)(

3√x +4√x +

5√x)

(e)

(x2 + 10)(√

x +1√

x+ 3)

(f)ex √x

(g)(x2 + x + 1) ln(x)

(h) (√x − 4√x

)(sin(x) + sinh(x) − 1)

(i)ln(x)(ex − 2x)

(j)2x · x2 − 10

(k)(x − 1)(x − 2)(x − 3)

(l) (√

x +1√

x

) (1x

+1

x100 + x100)

(m)(a + bx)(c + dx)

(n)

x3(2x2 √x

11−

27x23 6√x

+163

)(o)

3√x

x 3√x5

+18x√

x11

+27

6√x5

7

(p)

ex(x3 − 3x2 + 6x − 6

)(q)

eax (a sin(x) − cos(x))

(r)eax (a cos(x) + sin(x))

11. A hányados differenciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következo függvények differenciálhányados füg-gvényeit.

(a)x − 1x − 2

(b)x

x + 1

(c) √x

x + 3

(d)1 − xx + 5

(e) √x

√x + 2

(f)−x

1 − x

(g)1

a2 − ax + x2

(h)a2 − x2

a2 + x2

(i)5 + 3x + x2

5 − 3x + x2

(j)ex

x + 1

(k)x

ln(x)

(l) √x

ex

(m)ex

√x

(n)e · ln(x)

(o)ex ln(x)

(p)2 + ln(x)

x2

(q)2ex − 4ex + 1

(r)ex − aex + a

(s)x2 − 4

4√x +√

x + 1

(t)sin(x)

sinh(x)

(u)sin(x) + sinh(x)cos(x) + cosh(x)

43

(v)2x + x2

3x + x3

(w)10x + ex + πx

ln(x) +√

x + 100√x

(x)1

a − bx + cx2

12. Az összetett függvény differenciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következo függvények differenciálhányadosfüggvényeit.

(a)(x + 12)12

(b)(x2 + 1)5

(c)2(x2 + 5)8

(d)(x9 − 3)6

(e)10(x3 − 5x)3

(f)(x + 1)3

(g)2(x2 − 1)8

(h)(x4 + 2)6

(i) √x2 + 1

(j)(3x3 + 7)7

(k)3√

x3 + 3

(l) √ex − 4

(m)e−2x

(n)e2 − e−x

(o)e√

x+1

(p)e4 ln(x)

(q)eax

(r)(ex − e−x)2

(s)xx3+1000

(t)3√

e2x

(u)ln(x3 + x)

(v)ln(4)

(w)ln(4x + 1)

(x)ln(x3 − 2)

(y)ln(x6 + 3x4 + 1)

(z)(ln(x))2


(a)ln(5x − 7)

(b)ln(x2ex)

(c)ln(3 + x) − ln(3 − x)

(d)sin

(3x2 + 20x − 19

)(e)

cosh(√

x + x2 + 200)

(f)

tg(

x + 1x2 + x + 1

)(g)

tg (sin(5x))

(h)sin

(6x2 − 3x + 2

)(i)

cos( 4√

2x + 1)

(j)sinh(5x)

(k)4 sinh

(3x + ex) + 5 cosh

(x2 − 2x

)(l)

cosh2(6x +

1x−

1x2

)(m)

tanh2(5x2)

(n)sinh(2x3 − 3x − 4)

44

(o)sinh (cos(x))

(p)sin(x)sinh(x) + coth(x)tg(x)

(q) √x +

√x +√

x

(r)x

√4 − x2

(s)sinn(x) · cos(nx)

(t)

tg( x2

)− ctg

( x2

)(u)

3

√(1 − x3

1 + x3

)


(a) (6x2 −

x5

5

)4

(b)3√

(3x − 2x2)2

(c)4√

(2x2 − x3)3

(d)3x(4 − 3x)

44√2x3 − x3

(e)3√

4 + 2√

3x + 3x2

(f)4√

(3 + 43√2x)3

(g)

4

√(2√

x −2√

x+

3√x)3

(h)5√

(a + x2)4 ·3√

(a + x2)2

(i) √(a2 + ax + x2)(a − x)

(j)(5 + 3x)

√6x − 5

(k)(3x2 + 5ax − 2a3)

√a2 + 3x2

(l)27x√

6x − 5

(m)x(a2 + x2)

√a2 − x2

(n)a4 + a2x2 − 4a4√

a2 − x2

(o) (x +

√1 + x2

) √1 + x2

(p) (3x7 +

2x5

) √(3 − 5x2)5

(q)1x

√a2 − x2

(r)1

2x2√

3x + x2

(s)81x2

2√

5 + 3x

(t)7x2√

5 + 2x

(u) (7 −

6x2

)7

√(3 +

6x2

)6

(v) (2

3x3 +2827

x) √

7x2 − 9

(w)18

x4√

7x2 − 9

45


(a)6(5 − x2)

(5 − 3x + x2)2

(b)√

a2 − x2

x

(c)x

x +√

1 + x2

(d)√

1 + x2 + x√

1 + x2 − x

(e) √1 + x +

√1 − x

√1 + x −

√1 − x

(f) √(4x3 − 5)3

3√

(5x2 + 1)2

(g)10x

93√(

2 −√

x)4

(h)

−27

x4√(

3x + 5x6)5


(a)ln

( x1 − x2

)(b)

ln(

x√

1 + x2

)(c)

ln √1 + x −

√1 − x

√1 + x +

√1 + x

(d)

ln(1 − x1 + x

)

(e)

ln(x +

√1 + x2

)(f)

ln

x2 − 2√(6 − 2x3)2

(g)

x2(x3 − 4)3√(

ln(x)2)17. Az összetett függvény differenciálási szabályát alkalmazva, határozzuk meg a következo függvények differenciálhányados

függvényeit.

(a)

tg(x) −tg(x3)

3

(b) (cos(x3) +

23

)sin

(x3

)(c)

tg4(x)4−

tg2(x)2− ln (cos(x))

(d)1

sin2(x) cos6(x)

(e)(3 cos(4x) − 7) ctg(x)

sin3(2x)

(f)sin2(x)

a + b cos2(x)

18. Határozzuk meg az alábbi függvények tizedik deriváltját.

46

(a)1√

x(b)

3√x

(c)13√x

(d)3√

x2

(e)(a + bx)10

(f)x

a ± bx

(g)x√

a + bx

(h)1

a2 − b2x2

(i)x

a2 − b2x2

(j) (a +√

bx)10

(k)ea+bx

(l)ea2+b2 x2

(m)ax

(n)exx10

(o)ln(a + bx)

(p)ln(a2 + b2x2)

(q)sin(ax)

(r)cos10(x)

19. A következoekben jelöljön f egy differenciálható valós függvényt. Határozzuk meg a ϕ függvény differenciahányadosfüggvényét, ha

(a)ϕ(x) = f (x2) (x ∈ R)

(b)ϕ(x) = f (sin2(x)) + f (cos2(x)) (x ∈ R)

(c)ϕ(x) = f (ex) + e f (x) (x ∈ R)

(d)ϕ(x) = f ( f (x)) (x ∈ R)

20. Határozzuk meg azf ′

ffüggvényt, ha

(a)

f (x) = x

√1 − x1 + x

(b)

f (x) =

(x +

√1 + x2

)n

(c)f (x) = (x − x1)α1 · (x − x2)α2 · · · (x − xn)αn

21. Legyen n ∈ N és tekintsük az

f (x) =

xn sin(1x

), ha x , 0

0, ha x = 0

módon megadott f : R→ R függvényt. Mely esetben lesz az f függvény

(a) folytonos az x = 0 pontban?

(b) differenciálható az x = 0 pontban?

(c) folytonosan differenciálható az x = 0 pontban?

47

22. Vizsgáljuk meg, hogy mely pontokban differenciálhatóak az alábbi függvények.

(a)f (x) = [x] sin(πx) (x ∈ R)

(b)

f (x) =

x∣∣∣∣∣cos

(π

x

)∣∣∣∣∣ , ha x , 0

0, ha x = 0(x ∈ R)

(c)f (x) =

√sin(x2)

(x ∈ [−

√π,√π]

)(d)

f (x) =x

1 + e1x

(x ∈ R)

(e)f (x) =

√1 − e−x2 (x ∈ R)

(f)f (x) = |ln (|x|)| (x ∈ R \ {0})

23. Legyenek c,m ∈ R adottak. Hogyan határozzuk meg az α, β valós számokat úgy, hogy az

f (x) =

m2

|x|, ha |x| > c

αx2 + β, ha |x| ≤ c

módon értelmezett f : R→ R függvény differenciálható legyen?

24. Milyen összefüggésnek kell ahhoz fennálnia az a, b, c együtthatók között, hogy az

f (x) = ax2 + bx + c (x ∈ R)

egyenletu parabola érintse az x-tengelyt.

25. Definiáljuk az f : [0, 1]→ R függvényt az

f (x) =

x, ha 0 ≤ x < 10, ha x = 1

módon. Mutassuk meg, hogy

(a) f (0) = f (1) = 0

(b) f differenciálható a ]0, 1[ intervallumon

(c) minden x ∈]0, 1[ esetén f ′(x) , 0

(d) miért nem mond ellent (c) a Rolle-féle középértéktételnek?

26. Határozzuk meg az α, β, γ valós konstansokat úgy, hogy az

f (x) =

3, ha x = 0−x2 + 3x + α, ha x ∈]0, 1[βx + γ, ha x ∈ [1, 2]

módon megadott f : [0, 2]→ R függvényre teljesüljenek a Lagrange-féle középértéktétel feltételei.

27. Az alábbiakban megadtunk néhány [a, b] ⊂ R intervallumot, ezeken értelmezett f , g : [a, b] → R függvényeket. Határoz-zuk meg azokat a ξ ∈]a, b[ pontokat, melyekkel fennáll a Cauchy-féle középértéktétel.

48

(a)f (x) = x g(x) = x2 [a, b] = [−2, 0]

(b)f (x) = x g(x) = x3 [a, b] ⊂ R tetszoleges

(c)

f (x) =x3

3− 4x g(x) = x2 [a, b] = [0, 3]

(d)f (x) = cos(x) g(x) = sin(2x) [a, b] = [0, 2π]

4.2. Teljes függvényvizsgálat

28. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából az alábbi függvényeket.

(a)2 + x − x2

(b)3x − x3

(c)x + sin(x)

(d)x + 1x + 2

(e)x2 − ln(x2)

(f)xαe−x

29. Legyenek

f (x) =x

√x2 + a2

g(x) =d − x√

b2 − (d − x)2(x ∈ R)

illetveh(x) =

x

c1√

x2 + a2−

d − x

c2√

b2 − (d − x)2(x ∈ R) ,

ahol a, b, d ∈ R, c1, c2 > 0 adottak. Mutassuk meg, hogy

(a) f szigorúan monoton növekedo

(b) g szigorúan monoton csökkeno

(c) h szigorúan monoton növekedo.

30. Legyenf (x) = 3 + 4 cos(x) + cos(2x) (x ∈ R) .

(a) Melyek azok az x ∈ R pontok, melyekref (x) < 0

teljesül?

(b) Az (a) részben miért elegendo a [0, 2π] intervallumra szorítkozni?

31. Vizsgáljuk meg a következo függvényeket konvexitás szempontjából.

(a)3x2 − x3

(b)x4 − 14x3 + 60x2 + 27

(c)1

1 + x2

(d) √1 + x2

(e)e−x2

(f)ln(1 + x2)

32. Alább néhány függvény gráfja látható. Mindegyik esetében döntsük el az alábbiakat.

49

(a) Felveszi-e az f függvény a minimumát az [a, b] intevallumon?

(b) Felveszi-e az f függvény a maximumát az [a, b] intevallumon?

(c) Létezik-e az f függvénynek lokális minimumhelye az ]a, b[ intervallumon?

(d) Létezik-e az f függvénynek lokális maximumhelye az ]a, b[ intervallumon?

��

��

��

��

a bx1 x2

��

��

��

��

a bx1

a x1 b

��

��

a x1 b

��

��

��

��

��

��

a x1 b

��

��

��

��

a x1 b

33. Az alább megadott f függvények mindegyike felveszi a maximumát és a minimumát is a megadott intervallumokon.Határozzuk meg, hogy az f függvénynek hol vannak szélsoértékhelyei és határozzuk meg a szélsoértékeket is.

(a)

f (x) =2x3− 5 (x ∈ [−2, 3])

(b)f (x) = −x − 4 (x ∈ [−4, 1])

(c)f (x) = 4 − x2 (x ∈ [−3, 1])

(d)f (x) = x2 − 1 (x ∈ [−1, 2])

(e)

f (x) = −1x2 (x ∈ [1/2, 2])

(f)f (x) =

3√x (x ∈ [−1, 8])

(g)

f (x) =√

4 − x2 (x ∈ [−2, 1])

(h)f (x) = 2 − |x| (x ∈ [−1, 3])

(i)f (x) = |x − 5| (x ∈ [4, 7])

(j)

f (x) = |x − 2| + |x + 3|(x ∈ [−5, 5])

(k)

f (x) = |x − 1| − |x − 5|(x ∈ [−2, 7])

(l)f (x) = |x + 2| − |x − 3| (x ∈ R)

(m)f (x) = |x + 1| + |x + 3| (x ∈ R)

34. Az alábbi esetekben meg van adva az f függvény differenciálhányados függvénye. Ez alapján határozzuk meg az ffüggvény stacionárius pontjait, majd osztályozzuk azokat.

(a)f ′(x) = x(x − 1)

(b)f ′(x) = (x − 1)2(x + 2)

(c)f ′(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

(d)f ′(x) = (x − 7)(x + 1)(x + 5)

50

(e)

f ′(x) =x + 2

3√x

(f)f ′(x) = (x − 1)(x + 2)

(g)f ′(x) = (x − 1)2(x + 2)2

(h)

f ′(x) =x − 3√

x

35. Határozzuk meg, hogy a következo függvényeknek mely pontokban van szélsoértékhelyük.

(a)2 + x − x2

(b)(x − 1)3

(c)2x3 − 9x2 + 12x − 1

(d)(x − 1)α

(e)2x2 − x4

(f)x(x − 1)2(x − 2)3

(g)

x +1x

(h)√

x +1√

x(i)

3√

x(1 − x)2

(j)xα(1 − x)β

(k)(x + 10)10e−x

(l)ex2−1

(m)xe−x

(n)√

x ln(x)

(o)ex sin(x)

36. Vizsgáljuk meg, hogy a következo függvényeknek mely pontokban van szélsoértékhelyük.

(a)x3 − 6x2 + 9x − 4

(b)2x

1 + x2

(c)x2 − 3x + 2x2 + 2x + 1

(d) √2x − x2

(e)x

3√x − 1

(f)ln2(x)

x(g)

cos(x) +cos(2x)

2(h)

101 + sin2(x)

(i)

arctg(x) −ln(1 + x2)

2(j)

|x| e−|x−1|

(k)x3 + x

x4 − x2 + 1(l)

(x + 3)3

(x + 2)2

(m)a(x − b)4

(n)(x − 1)(2 − x)2

(o)x3 + x2 + 1

(p)(x − a)4(x − b)5

(q)x

ln(x)(r)

sinn(x) sinm(a − x)

(s)sinn(x) cosm(a − x)

(t)ex

sin(x − a)(u)

cos(x) + cos(2x) + cos(3x)51

37. Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket monotonitás szempontjából és határozzuk meg a stacionárius pontjaikat is, illetveosztályozzuk azokat.

(a)f (x) = −x2 − 3x + 3

(b)f (x) = −x3 + 2x2

(c)f (x) = 3x2 − 4x3

(d)f (x) = 3x3 + 16x

(e)f (x) = −3x2 + 9x + 5

(f)f (x) = 2x3 − 18x

(g)f (x) = 6x − x3

(h)f (x) = (x + 7)3

(i)f (x) = x4 − 8x2 + 16

(j)

f (x) =3x4

2− x6

(k)f (x) = x

√8x2

(l)

f (x) =x + 8

3√x

(m)

f (x) =x2 − 4

3√x

(n)f (x) = x4 − 4x3 + 4x2

(o)f (x) = 15x3 − x5

(p)f (x) = x2

√5 − x

(q)

f (x) =x3

3x2 + 1

(r)f (x) =

3√x2(x + 5)

(s)f (x) =

3√x2(x2 − 4)

38. Legyenf (x) = x3 + αx2 + βx + γ (x ∈ R) .

Hogyan válasszuk meg az α, β, γ valós konstansokat úgy, hogy az f függvénynek az x = 1 pont inflexiós pontja legyen?

39. Az alábbi feladatokban meg van adva az f függvény differenciálhányados függvénye. Ez alapján határozzuk meg f ′′-at ésvizsgáljuk meg az f függvényt konvexitás szempontjából.

(a)f ′(x) = 2 + x − x2

(b)f ′(x) = x(x − 3)2

(c)f ′(x) = x(x2 − 12)

(d)f ′(x) = (8x − 5x2)(4 − x)2

(e)f ′(x) = x2 − x − 6

(f)f ′(x) = x2(2 − x)

(g)f ′(x) = (x − 1)2(2x + 3)

(h)f ′(x) = (x2 − 2x)(x − 5)

(i)f ′(x) = cos(x)

(j)f ′(x) = sin(x)

(k)

f ′(x) =1

3√

(x + 1)2

(l)

f ′(x) =x − 1

3√x2

52

40. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot a következo függvényeken.

(a)2x2 − 8

(b)x2

2+ x − 4

(c)30x2 − 1800x + 29000

(d)1 + 6x − x2

(e)x3 + 6x2 + 9x

(f)

x3 +3x2

2+ 6x

(g)8x − 2x2

(h)x2 + x + 1

(i)x2 − x4

(j)−3x2 + 2x − 5

(k)3x − 2x + 5

(l)−x2 − 4x + 3

(m)2x2 − 2x + 2

(n)x2 + 6x + 4

(o)x2 − 4x + 9

(p)x3 − 3x2 + 3x + 1

41. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot a következo függvényeken.

(a)1

1 + x2

(b)1 − x1 + x

(c)

2x +1

x − 2

(d)2x

1 + x2

(e)e−x2

(f)ex

x + 1

(g)1 − e−x

(h)1 + x + ex

(i)(1 + x2)e−x2

(j)√

x ln(x)

(k)3√

x + 1

(l) √2x − x2

(m)sin2(x)

(n)sin(x2)

(o)

sin(1x

)(p)

sin(x) sin(1x

)

42. Hajtsunk végre egy teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken.

53

(a)x + arctg(x)

(b)x + e−x

(c)(x − 3)

√x

(d)

sin(x) +sin(3x)

3(e)

2x − tg(x)

(f)x4

1 + x3

(g)x

(1 − x)2(1 + x)

(h) √1 − e−x2

(i)sin(x) sin(3x)

43. Egy felül nyitott, négyzet alapú doboz készítéséhez 2m2 területu lemezt használhatunk fel. Hogyan válasszuk meg a dobozméreteit, hogy a térfogata a legnagyobb legyen és mekkora ez a legnagyobb térfogat?

44. Egy felül nyitott, henger alakú, 0, 5 literes méroedényt szeretnénk készíteni. Hogyan válasszuk meg az edény alapjának asugarát és a magasságát, hogy minél kevesebb lemezt használjunk fel és mennyi lesz a feljhasznált lemezmennyiség?

45. Egy tuzfal mellett 600m2-es téglalap alakú területet akarunk elkeríteni. Csak három oldalon kell kerítést készítenünk, merta negyedik oldal a tuzfal. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a kerítés hossza a leheto legkisebb legyen ésmennyi ez a minimális hossz?

46. A ferde hajítás távolságát megadó képlet

s =v2

0 sin (2α)

g,

ahol v0 az elhajított test kezdosebessége, α a kezdosebesség irányának a vízszintessel bezárt szöge (0 < α < π2 ), g pedig

a nehézség gyorsulás (lásd a 4.1. ábrát). Milyen α érték mellet lesz legnagyobb a hajítás távolsága és mekkora ez amaximális távolság?

α

v0

4.1. ábra. Ferde hajítás

47. Egy csarona keresztmetszete a 4.2. ábrán látható. A keresztmetszet 2m2 kell, hogy legyen. Hogyan válasszuk meg acsatorna r és h méretét, hogy a kerület a leheto legkisebb legyen? Mekkora lesz a minimális kerület?

48. Valamely mennyiséget n-szer megmérünk. Legyenek a mérési eredmények x1, . . . , xn. A mennyiség valósi értéke legjobbbecslésének azt az x számot tekintjük, amelytol a mérési eredmények eltérésének a négyzetösszege a legkisebb. Másszóval, bevezetve az

A = (x − x1)2 + · · · + (x − xn)2

jelölést, keressük azt az x értéket, amelyre A minimális.

54

��

��

��

��

��

��

��

h

r

4.2. ábra. Csatorna

49. Egy országúttól a távolságra van az A község és b távolságra a B község. A két település vetületének távolsága az országú-ton d. Mindkét községhez az országút egyazon pontjából kiinduló egyenes beköto utat kell építeni úgy, hogy a két bekötoút együttes hossza a legkisebb legyen. Hogyan válasszuk meg ezt a pontot (lásd a 4.3. ábrát)?

��

��

��

��

��

A

B

b

a

d

4.3. ábra. Beköto út építése

50. Határozzuk meg a K kerületu téglalapok közül azt, mely a legnagyobb területet határolja.

51. Határozzuk meg a T területu téglalapok közül azt, melynek a legkisebb a kerülete.

52. Tegyük fel, hogy egy háromszögnek adva van két oldalának a hosszúsága, legyenek ezek a és b. Hogyan válasszuk megezen oldalak bezárt szögét, ha azt szeretnénk, hogy a háromszög területe a leheto legnagyobb legyen?


(a)

limx→0

sin(αx)sin(βx)

(b)

limx→0

xctg(x) − 1x2

(c)

limx→0

cosh(x) − cos(x)x2

(d)

limx→ π

2

tg(3x)tg(x)

(e)

limx→0

ln(1 + ax)x

(f)

limx→0

1 − cos(x)x2

(g)lim

x→0+

√x ln(x)

(h)

limx→+∞

ln(x)3√x

(i)

limx→π

sin(x)1 − cos(x)

(j)

limx→0

(1x−

1sin(x)

)

55

(k)

limx→0

x(ex + 1) − 2(ex − 1)x3

(l)

limx→3

3x − x3

x − 3

(m)

limx→3

x2 − 3x + 2x4 − 4x + 3

(n)

limx→1

x4 − 3x + 2x5 − 4x + 3

(o)

limx→2

x3 − 2x2 − 4x + 8x4 − 8x2 + 16

(p)

limx→−1

x3 − 2x + 1x5 − 2x − 1

(q)

limx→2

(x2 − x − 2)20

(x3 − 12x + 16)10

(r)

limx→1

x100 − 2x + 1x50 + 2x + 1

(s)

limx→0

√1 − cos(x2)1 − cos(x)

(t)

limx→0

1 −√

cos(x)1 − cos(

√x)

(u)

limx→0

tg(x) − xx − sin(x)

(v)

limx→0

3tg(4x) − 12tg(x)3 sin(4x) − 12 sin(x)

(w)

limx→0

ln(sin(ax))ln(cos(bx))

(x)

limx→0

cos(sin(x)) − cos(x)x4

(y)

limx→+∞

ln(x)xα

(α > 0)

(z)

limx→0

e−1x2

x100


(a)

limx→a

xm − am

xn − an

(b)

limx→1

mxm+1 − (m + 1)xm + 1x2 − 2x + 1

(c)

limx→1

x3 − 1x3 − 2x2 + 2x − 1

(d)

limx→5

x3 − 8x2 + 17x − 10x4 − 5x3 − 2x2 + 11x − 5

(e)

limx→−1

x3 − 5x2 + 2x + 8x4 − 2x3 − 16x2 + 2x + 15

(f)

limx→2

x4 − 5x2 + 4x4 − 3x3 − 4

(g)

limx→−3

x4 + 3x3 − 7x2 − 27x − 18x4 − 3x3 − 7x2 + 27x − 18

(h)

limx→c

ax2 − 2acx + ac2

bx2 − 2bcx + bc2

(i)

limx→2

x3 − x2 − 8x + 12x3 − 4x2 + x + 6

(j)

limx→a

√a + x −

√2a

√x + 2a −

√3a

(k)

limx→a

√x3 − a3√

x − a(l)

limx→a

√a −√

a −√

x − a√

x2 − a2

(m)

limx→a

ax − bx

ln(1 − x)(n)

limx→a

an − xn

ln(an) − ln(xn)

56

(o)

limx→1

1 − x + ln(x)

1 −√

2x − x2

(p)

limx→1

x − (n + 1)xn+1 + nxn+2

(1 − x2)(q)

limx→1

xx − x1 − x + ln(x)

(r)

limx→0

ex − 1ex ln(1 − x)

(s)

limx→0

x − sin(x)x3

(t)

limx→0

sin(x) − x cos(x)sin3(x)

(u)

limx→0

sin(x) − cos(x) + 1sin(x) + cos(x) − 1


(a)

limx→0

1 − cos(x)cos(x) sin2(x)

(b)

limx→0

(ex − e−x)2

x2 cos(x)(c)

limx→0

tg(a + x) − tg(a − x)arctg(a + x) − arctg(a − x)

(d)

limx→0

ln(tg(x))ln(tg(2x))

(e)

limx→1

2x2 − 1

−1

x − 1

(f)

limx→1

xx − 1

−1

ln(x)

(g)

limx→1

1sin2(x)

−1x2

(h)

limx→0

12x2 −

1xtg(x)

(i)

limx→0

1ln(x + 1)

−1x

57

5. fejezet

Határozatlan integrál


5.1. Definíció. Legyen ]a, b[⊂ R nemüres, nyílt intervallum, f :]a, b[→ R függvény. Az F :]a, b[→ R függvényt az f függvényprimitív függvényének vagy határozatlan integráljának nevezzük, ha

F′(x) = f (x)

teljesül minden x ∈]a, b[ esetén. Az F függvényre a továbbiakban az∫

f vagy az∫

f (x)dx jelölést használjuk.

5.1. Tétel. Ha f , F :]a, b[→ R és F′ = f , akkor G :]a, b[→ R pontosan akkor primitív függvénye f -nek, ha létezik olyan C ∈ R,hogy

F(x) = G(x) + C (x ∈]a, b[)

5.2. Tétel (A határozatlan integrál linearitása). Legyenek f , g :]a, b[→ R olyan függvények, melyekre létezik∫

f és∫g, legyenek

továbbá α, β ∈ R tetszoleges konstansok. Ekkor létezik∫α · f + β · g is, és létezik olyan C ∈ R, hogy∫

α · f (x) + β · g(x)dx = α

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx + C.

5.3. Tétel (A parciális integrálás tétele). Ha az f , g :]a, b[→ R függvények differenciálhatóak ]a, b[-n, és létezik∫

f ′ · g, akkorlétezik

∫f · g′ is, és létezik olyan C ∈ R konstans, hogy∫

f (x) · g′(x)dx = f (x) · g(x) −∫

f ′(x) · g(x)dx + C. (x ∈]a, b[)

5.4. Tétel (A helyettesítéses integrálás tétele). Ha f :]a, b[→ R, g :]c, d[→ R olyan függvények, melyek esetén létezik g′ :]c, d[→]a, b[ és létezik

∫f is, akkor létezik

∫( f ◦ g) · g′ is, és van olyan C ∈ R, hogy∫

f (g(x)) · g′(x)dx =

((∫f)◦ g

)(x) + C =

∫f (t)dt

∣∣∣∣∣t=g(x)

+ C. (x ∈]c, d[)

5.5. Tétel. Legyen f :]a, b[→ R differenciálható ]a, b[-n, α ∈ R \ {−1}, ekkor f α · f ′ függvénynek létezik a primitív függvénye]a, b[-n és ∫

f α(x) · f ′(x)dx =f α+1(x)α + 1

+ C,

teljesül valamely C ∈ R konstanssal.

5.6. Tétel. Ha f : [a, b]→ R folytonos [a, b]-n, f (x) , 0 (x ∈ [a, b]), f differenciálható ]a, b[-n, akkor azf ′

ffüggvénynek létezik

a primitív függvénye, és létezik olyan C ∈ R, hogy∫f ′(x)f (x)

dx = ln (| f (x)|) + C.

58

5.7. Tétel. Legyen f : R → R függvény, α, β ∈ R, α , 0 tetszolegesek. Ha létezik∫

f , akkor létezik∫

f (αx + β) dx is, és létezikolyan C ∈ R konstans, hogy ∫

f (αx + β) dx =F (αx + β)

α+ C, (x ∈ R)

ahol F jelöli az f függvény primitív függvényét.

Alapintegrálok

1. ∫ex dx = ex

2. ∫ax dx =

1ln a

ax

3. ∫ln(x) dx = x ln(x) − x

4. ∫loga(x) dx =

1ln a

(x ln(x) − x)

5. ∫xα dx =

1α+1 xα+1 haα , −1,ln |x| haα = −1 ,

6. ∫cos(x) dx = sin(x)

7. ∫sin(x) dx = − cos(x)

8. ∫tg(x) dx = − ln | cos(x)|

9. ∫ctg(x) dx = ln | sin(x)|

10. ∫arccos(x) dx = xarccos(x) −

√1 − x2

11. ∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) +

√1 − x2

12. ∫arctg(x) dx = xarctg(x) −

12

ln(1 + x2)

13. ∫arcctg(x) dx = xarcctg(x) +

12

ln(1 + x2)

59

14. ∫cosh(x) dx = sinh(x)

15. ∫sinh(x) dx = cosh(x)

16. ∫tanh(x) dx = ln | cosh(x)|

17. ∫coth(x) dx = ln | sinh(x)|

18. ∫arcosh(x) dx = x arcosh(x) −

√x2 + 1

19. ∫arsinh(x) dx = x arsinh(x) −

√x2 + 1

20. ∫artanh(x) dx = x artanh(x) +

12

ln |1 − x2|

21. ∫arcoth(x) dx = x arcoth(x) +

12

ln |x2 − 1|

22. ∫dx

cos2 x= tg(x)

23. ∫dx

sin2 x= −ctg(x)

24. ∫1

√1 − x2

dx = arcsin(x)

25. ∫1

√1 − x2

dx = − arccos(x)

26. ∫dx

1 + x2 = arctg(x)

27. ∫dx

1 + x2 = −arcctg(x)

28. ∫dx

cosh2 x= tanh(x)

29. ∫dx

sinh2 x= − coth(x)

60

30. ∫dx

√x2 + 1

= arsinh(x)

31. ∫dx

√x2 − 1

= arcosh(x)

32. ∫dx

1 − x2 = artanh(x)

33. ∫dx

x2 − 1= −arcoth(x)

Feladatok

1. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényét.

(a) ∫x5dx

(b) ∫x−3dx,

(c) ∫√

xdx,

(d) ∫3√

x2dx,

(e) ∫14√x

dx

(f) ∫√

x 3√xdx,

(g) ∫ √x

3√xdx,

(h) ∫x

5√x4

dx,

(i) ∫ √x 3√xdx,

(j) ∫(3 − x2)3dx,

(k) ∫x2(5 − x4)dx,

(l) ∫(1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x)dx,

(m) ∫ (1 − x

x

)2

dx,

(n) ∫x + 1√

xdx,

(o) ∫x2

1 + x2 dx,

(p) ∫x2

1 − x2 dx,

(q) ∫ √x2 + 1 −

√x2 − 1

√x4 − 1

dx

(r) ∫ 4√

x 5√x6√x

dx,

(s) ∫3x4 +

4x5 dx,

(t) ∫x4 − 4x3 + 2 3√x

5√x4

dx

61

2. Számítsuk ki a következo függvények határozatlan integráljait.

(a) ∫5xdx,

(b) ∫2exdx,

(c) ∫6 sin(x) + 5 cos(x)dx,

(d) ∫2 · 5x + 4 sin(x) − 3 cos(x)dx,

(e) ∫tg2(x)dx,

(f) ∫ctg2(x)dx,

(g) ∫cos(x)2 − 51 + cos(2x)

dx,

(h) ∫1 + cos(2x)cos(x)2 − 1

dx,

(i) ∫5 cos(2x)

sin(x) + cos(x)dx

3. A parciális integrálás tételének segítségével határozzuk meg a következo függvények primitív függvényeit.

(a) ∫ln(x)dx,

(b) ∫xn ln(x)dx, (n , −1)

(c) ∫√

x ln2(x)dx,

(d) ∫xe−xdx,

(e) ∫x2e−2xdx,

(f) ∫(x2 + 2) ln(x)dx,

(g) ∫(x − 1)exdx,

(h) ∫(x2 + x + 1)exdx,

(i) ∫x2ex+1dx,

(j) ∫x3e−x2

dx,

(k) ∫x cos(x)dx,

(l) ∫x2 sin(2x)dx,

(m) ∫x sinh(x)dx,

(n) ∫x3 cosh(3x)dx,

(o) ∫e√

xdx,

(p) ∫x sin(

√x)dx,

(q) ∫x

cos2(x)dx,

(r) ∫xex

(x + 1)2 dx,

(s) ∫ex cos(x)dx,

(t) ∫e2x sin(3x)dx,

(u) ∫e2x sin2(x)dx,

(v) ∫ (ex − cos(x)

)2 dx,

62

4. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit.

(i) ∫cos2(x) − 51 + cos (2x)

dx,

(ii) ∫1 + cos (2x)cos2(x) − 1

dx,

(iii) ∫2 cos (2x)

sin(x) + cos(x)dx,

(iv) ∫3

cos2(x)−

75 sin2(x)

dx,

(v) ∫4 sinh(x) + 2 cosh(x)dx

(vi) ∫5

sinh2(x)dx,

(vii) ∫5 tanh2(x)dx,

(viii) ∫coth2(x)dx,

(ix) ∫cosh2(x) − 2cosh (2x) + 1

dx,

(x) ∫1

sinh(x) cosh(x)dx

5. Az 5.7. Tétel segítségével határozzuk meg a következo függvények primitív függvényeit.

(a) ∫(3x + 2)3 dx,

(b) ∫(5x − 4)5 dx,

(c) ∫4√7x − 16dx,

(d) ∫1

(−3x + 4)4 dx

(e) ∫(2x − 3)10dx,

(f) ∫3√1 − 3xdx,

(g) ∫1

√2 − 5x

dx,

(h) ∫1

(5x − 2)52

dx

(i) ∫e5x+4dx,

(j) ∫23

e3x−2dx,

(k) ∫34x−7dx,

(l) ∫52−3xdx,

(m) ∫sin (6x + 4) dx,

(n) ∫cos (−4 − 5x) dx,

(o) ∫1

sin2 (3x + 2)dx,

(p) ∫sinh (2 − 7x) dx

6. Az 5.7. Tétel segítségével számítsuk ki az alábbi függvények határozatlan integráljait.

63

(a) ∫x2(2x3 + 4)2dx,

(b) ∫sin(x) cos(x)dx,

(c) ∫ln(x)

xdx,

(d) ∫(2x3 + 4)5x2dx

(e) ∫x2

√6x3 + 1dx,

(f) ∫x

√x2 + 1

dx,

(g) ∫5x2

3√3x3 + 18

dx,

(h) ∫ex√

1 − exdx

(i) ∫x

√1 − x2

dx,

(j) ∫x2 3√

1 + x2dx,

(k) ∫x

3 − 2x2 dx,

(l) ∫x

(1 + x2)2 dx

7. Az 5.6. Tétel felhasználásával határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit.

(a) ∫xex2

ex2+ 1

dx,

(b) ∫ex

ex + 2dx,

(c) ∫ln5(x)

xdx,

(d) ∫1

x ln(x) ln (ln(x))dx,

(e) ∫sin5(x) cos(x)dx,

(f) ∫sin(x)√cos3(x)

dx,

(g) ∫sinh(x)

cosh2(x)dx,

(h) ∫1

sin2(x) 4√

ctg(x)dx

(i) ∫2x

x2 + 7dx

(j) ∫5x2

x3 + 4dx,

(k) ∫4 sin(x)

5 cos(x) + 4dx,

(l) ∫5 sin (2x)

sin2(x) + 12πdx,

(m) ∫− sin (2x)

5 + cos2(x)dx

(n) ∫1

cos2(x)tg(x)dx,

(o) ∫1

sin2(x)ctg(x)dx,

(p) ∫tg(x)dx

(q) ∫1

x ln(x)dx,

(r) ∫e2x

e2x + 3dx

64

8. A parciális törtekre bontás tételének felhasználásával határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit.

(a) ∫A

αx + βdx, (A, α , 0)

(b) ∫A

(αx + β)n dx, (A, α , 0, n , 1)

(c) ∫Ax

(αx + β)n dx, (A, α , 0)

(d) ∫4

3x − 5dx,

(e) ∫5

2 − 3xdx,

(f) ∫5

(2x − 4)6 dx,

(g) ∫14

(6 − 4x)7 dx,

(h) ∫x

(2x + 3)4 dx,

(i) ∫5x

(3x − 4)6 dx

(j) ∫2

x + 3dx,

(k) ∫5

(x + 1)2 dx,

(l) ∫x2

x + 1dx,

(m) ∫x + 1

x2 + x + 1dx,

(n) ∫x + 2x2 − 1

dx,

(o) ∫3x − 4

x2 − x − 6dx,

(p) ∫x2

(x − 3)(x + 2)2 dx,

(q) ∫1

x2 + α2 dx (α , 0)

(r) ∫1

α2 + β2x2 dx, (αβ , 0)

(s) ∫2x + 3

(x − 2)(x + 5)dx,

(t) ∫x

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx,

(u) ∫1

x2 − x + 2dx,

(v) ∫1

(x − 2)(x + 4)dx,

(w) ∫14

(x − 3)(x + 2)(x − 4)dx,

(x) ∫5x − 3

(x − 1)(x − 3)2 dx,

(y) ∫5

x(x2 + 4)dx,

(z) ∫2x2

x4 − 1dx

9. Határozzuk meg az alábbi függvények határozatlan integrálját a helyettesítéses integrálás tételének segítségével.

(a) ∫1

x + adx

(b) ∫(2x − 3)10dx

65

(c) ∫3√1 − 3xdx

(d) ∫1

√2 − 5x

dx

(e) ∫1

(5x − 2)52

dx

(f) ∫ 5√1 − 2x + x2

1 − xdx

(g) ∫e−x + e−2xdx

(h) ∫(x + 4)2012dx

(i) ∫cos(2x + 7)dx

(j) ∫e8x−13dx

(k) ∫2

1 − 2xdx

(l) ∫(2x − 1)7dx

(m) ∫sin(7x − 3)dx

(n) ∫(9 + x2)2dx

(o) ∫√

3x + 12dx

(p) ∫sin(√

2x + 8)dx

(q) ∫eπx−3dx

(r) ∫2

3x − 5dx

(s) ∫(1 − x)200dx

10. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következo függvények primitív függvényeit.

(a) ∫cos(1 − x)dx

(b) ∫e3x−1dx

(c) ∫√

2x + 1dx

(d) ∫x√

1 + 3xdx

(e) ∫x2√

x + 1dx

(f) ∫x

√2 − 3x

dx

(g) ∫sin3(x)dx

(h) ∫x

3√x − 1dx

(i) ∫cos(x)sin3(x)

dx

(j) ∫cos(2x)

√4 − sin(2x)dx

(k) ∫sin(x)

(3 + cos(x))2 dx

(l) ∫sin(x)√cos3(x)

dx

66

(m) ∫sin(√

x + 1)√

x + 1dx

(n) ∫xκ−1 sin(xκ)dx

(o) ∫x5

√1 − x6

dx

(p) ∫x

4√1 + xdx

(q) ∫ √(x2 + 1)3dx

(r) ∫x2 3

√(8x3 + 27)2dx

(s) ∫sin(x) + cos(x)3√sin(x) − cos(x)

dx


(a) ∫esin(x) cos(x)dx,

(b) ∫(3x2 + 2) sin(x2 + 2x − 4)dx,

(c) ∫e2x

1 + ex dx,

(d) ∫1

x2 + α2 dx, (α , 0)

(e) ∫1x2 sin

(1x

)dx,

(f) ∫1

√x(x + 1)

dx,

(g) ∫1

ex + e−x dx,

(h) ∫1

√1 + e2x

dx,


(a) ∫1√

α2 − β2x2dx,

(b) ∫1√

α2 + β2x2dx,

(c) ∫1√

β2x2 − α2dx

(d) ∫1

√9 − 16x2

dx,

(e) ∫1

√4 + 25x2

dx,

(f) ∫1

√114x2 − 4

dx

(g) ∫ √1 − x2dx,

(h) ∫ √1 + x2dx,

(i) ∫ √x2 − 1dx

(j) ∫ √α2 − β2x2dx,

(k) ∫ √α2 + β2x2dx,

(l) ∫ √β2x2 − α2dx

67

(m) ∫ √36 − 49x2dx,

(n) ∫ √1 + 9x2dx,

(o) ∫ √169x2 − 114dx


(a) ∫(7x + 5)−10dx

(b) ∫e4x−9dx

(c) ∫1

−10x − 4dx

(d) ∫cos(8x + 7)dx

(e) ∫1

(−10x + 7)10 dx

(f) ∫1

5x − 7dx

(g) ∫1

(−2x + 8)7 dx

(h) ∫e−3x+7dx

(i) ∫(8x − 3)3dx

(j) ∫(x − 2)10dx

(k) ∫(x + 5)3dx

(l) ∫(2x − 1)7dx

(m) ∫sin(7x − 3)dx

(n) ∫e3x−2dx

(o) ∫cos(1 − x)dx

(p) ∫1

7x + 5dx

(q) ∫2x

√1 + x2dx

(r) ∫x cos(x2)dx

(s) ∫4x

√2x2 + 1

dx

(t) ∫sin(√

x)√

xdx

(u) ∫2xex2−5dx


(a) ∫−2x sin(1 − x2)dx

(b) ∫cos(x)

1 + sin(x)dx

(c)

∫5x

√1 − x2dx

68

(d) ∫x3

x4 + 3dx

(e) ∫1

√x(1 +

√x)

dx

(f) ∫x3

3√x4 + 16

dx

(g) ∫(1 + sin(x))7 cos(x)dx

(h) ∫sin(ln(x))

xdx

(i) ∫e2x

√e2x + 1

dx

(j) ∫xe−x2

dx

(k) ∫x sin(x2 − 3)dx

(l) ∫x3

√x4 + 1dx

(m) ∫5x3

√1 − x3dx

(n) ∫cos(x)

(5 + sin(x))2 dx

(o) ∫x4(1 + x5)3dx

(p) ∫1

x + x ln2(x)dx

(q) ∫ex cos(ex)dx

(r) ∫(3x + 2)

√4x + 1dx

(s) ∫2x − 5√

3x + 1dx

(t) ∫sin

(√5x + 3

)dx

(u) ∫7

x +√

x − 12dx

(v) ∫2e2x + 3ex

e2x + 1dx

(w) ∫5e2x − 8ex

2e2x + 9ex − 5dx

(x) ∫cosh(

√x)

√x

dx

15. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit, a helyettesítéses integrálás tételének segítségével.

(a) ∫e√

2x−4dx

(b) ∫ex − 9ex+3 dx

(c) ∫x3

√x2 + 1dx

(d) ∫x2

√1 − x2

dx

(e) ∫2x − 1

x2 − x − 7dx

(f) ∫x − 1

x2 − 2x + 7dx

(g) ∫4x2

x3 − 1dx

(h) ∫3x2

x3 − 6dx

69

(i) ∫8x

x2 − 4dx

(j) ∫x2

x3 + 2dx

(k) ∫sinh(x)

1 − cosh(x)dx

(l) ∫sinh(x) cosh(x)dx

(m) ∫sin(2x) cos(2x)dx

(n) ∫sinh(3x) cosh(3x)dx

(o) ∫sin4(x) cos(x)dx

(p) ∫sinh3(x) cosh(x)dx

(q) ∫x3

√x4 + 1dx

(r) ∫1

√x(1 +

√x)2

dx

(s) ∫5x

√1 − x2dx

(t) ∫x3

√x4 + 16

dx

(u) ∫5x2

√1 − x3dx

(v) ∫cos(x)

(5 + sin(x))2 dx

(w) ∫(x2 + 2x)(x3 + 3x2 − 4)4dx

16. A helyettesítéses integrálás tételének segítségével határozzuk meg a következo függvények primitív függvényeit.

(a) ∫(x3 + 2) cos(x4 + 8x)dx

(b) ∫2 sin(x) sin(cos(x))dx

(c) ∫(−16x3 − 16) sin(2x4 + 4x2)dx

(d) ∫−

92

x2 sin(−3x3 − 9)dx

(e) ∫3 cos(x) cos(sin(x))dx

(f) ∫(−x4 − 2x3)7(−4x3 − 6x2)dx

(g) ∫16x(8x2 + 4)dx

(h) ∫28x3 cos(7x4 + 5)dx

(i) ∫27x2 cos(9x3 + 12)dx

(j) ∫x

√2x + 2

dx

(k) ∫x√

2x + 3dx

(l) ∫x

√4x + 1

dx

(m) ∫x2 3√

2x − 2dx

(n) ∫x2 3√−3x − 2dx

(o) ∫x√

10x − 10dx

70

(p) ∫x√

5x + 2dx

(q) ∫x3(x2 + 1)99dx

(r) ∫x3(−2x2 − 5)dx

(s) ∫x

(−x2 − 3)2 dx

(t) ∫x5(x2 − 5)45dx

(u) ∫x3

(−2x2)13 dx

(v) ∫x3

(3 − 3x)40 dx

71

6. fejezet

Riemann-integrál


Legyen [a, b] ⊂ R egy zárt intervallum és f : [a, b]→ R egy korlátos függvény.

6.1. Definíció. Legyen n ∈ N. AP = {xi | a = x0 < x1 < . . . < xi < . . . < xn = b}

halmazt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük.Az xi pontokat a P felosztás osztópontjainak hívjuk, míg az [xi−1, xi], i = 1, . . . , n intervallumokat a felosztás részinterval-

lumainak mondjuk.Továbbá, a

∆xi = xi − xi−1 (i = 1, . . . , n)

jelölés bevezetése mellett a‖P‖ = sup {∆xi | i = 1, . . . , n}

számot a felosztás finomságának nevezzük.

6.2. Definíció. Felosztások egy (Pk)k∈N sorozatát normális felosztásszorozatnak mondjuk, hogy

limk→∞‖Pk‖ = 0.

6.3. Definíció. Legyen P1, illetve P2 az [a, b] intervallum felosztásai. Abban az esetben, ha

P1 ⊂ P2

teljesül, azt mondjuk, hogy a P2 felosztás finomítása a P1 felosztásnak.

6.4. Definíció. Legyen P az [a, b] intervallum egy felosztása és

Mi = supx∈[xi−1,xi]

f (x) és Mi = infx∈[xi−1,xi]

f (x) (i = 1, . . . , n) .

6.1. Megjegyzés. Az f függvény korlátossága miatt minden i = 1, . . . , n esetén léteznek és végesek.

6.5. Definíció. A fenti jelölések megtartása mellett legyenek

σ( f , P) =

n∑i=1

mi∆i Σ( f , P) =

n∑i=1

Mi∆i és O( f , P) =

n∑i=1

(Mi − mi)∆i.

Ezeket a mennyiségeket rendre az f függvény P felosztásához tartozó alsó, felso, illetve oszcillációs összegének nevezzük.

72

6.6. Definíció. Továbbá, ha minden i = 1, . . . , n esetén ξi ∈ [xi−1, xi], akkor az

I( f , P) =

n∑i=1

f (ξi)∆xi

számot az f függvény P felosztásához és a ξ1, . . . , ξn pontokhoz tartozó integrálközelíto összegének mondjuk.

6.7. Definíció. Legyen f : [a, b]→ R egy korlátos függvény. Ekkor az

I( f ) = sup {σ( f , P) | P az [a, b] felosztása} ,

illetve azI( f ) = inf {σ( f , P) | P az [a, b] felosztása} ,

számokat az f függvény [a, b] intervallum feletti alsó, illetve felso Darboux-integráljának nevezzük.

6.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [a, b]→ R függvény Riemann-integrálható, ha

I( f ) = I( f )

teljesül. Ezt a közös értéket az f függvény [a, b] intervallum feletti Riemann-integráljának mondjuk és rá az

b∫a

f (x)dx

jelölést használjuk.

6.2. Megjegyzés (A Riemann-integrál geometriai jelentése). Azb∫

af (x)dx Riemann-integrál annak a tartománynak az elojeles

területe, melyet az y = f (x) görbe, az x-tengely, valamint az x = a és y = b egyenletu egyenes határol.

f

a b

6.1. Tétel (Riemann-integrál és muveletek). Legyenek f , g : [a, b]→ R Riemann-integrálható függvények, λ ∈ R. Ekkor

— az f + g függvény is Riemann-integrálható és

b∫a

( f + g)(x)dx =

b∫a

f (x)dx +

b∫a

g(x)dx;

— a λ · f függvény is Riemann-integrálható és

b∫a

(λ · f )(x)dx = λ

b∫a

f (x)dx;

73

— ha minden x ∈ [a, b] esetén f (x) ≤ g(x) teljesül, akkor

b∫a

f (x)dx ≤

b∫a

g(x)dx;

— ha [c, d] ⊂ [a, b], akkor az f függvény Riemann-integrálható a [c, d] intervallumon is;

— ha c ∈]a, b[, akkorb∫

a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx;

— ha K ≥ 0 olyan, hogy| f (x)| ≤ K (x ∈ [a, b]) ,

akkor ∣∣∣∣∣∣∣∣∣b∫

a

f (x)dx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ K(b − a).

6.2. Tétel (Newton–Leibniz). Legyen f : [a, b]→ R egy folytonos függvény és jelölje F : [a, b]→ R az f függvény egy primitívfüggvényét. Ekkor

b∫a

f (x)dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a).

6.3. Tétel (Helyettesítéses integrálás tétele). Legyen ϕ : [a, b] → [A, B] egy olyan szigorúan monoton növekedo, folytonosandifferenciálható függvény, melyre ϕ(a) = A és ϕ(b) = B. Ha az f : [ϕ(a), ϕ(b)]→ R függvény folytonos, akkor

ϕ(b)∫ϕ(a)

f (x)dx =

b∫a

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

6.4. Tétel (Parciális integrálás tétele). Legyenek f , g : [a, b]→ R olyan differenciálható függvények, melyek deriváltjai Riemann-integrálhatóak. Ekkor

b∫a

f (x)g′(x)dx =[f (x)g(x)

]ba −

b∫a

f ′(x)g(x)dx.

Legyenek ϕ, ψ : [a, b]→ R olyan folytonos függvények, melyekre

ϕ(x) ≤ ψ(x) (x ∈ [a, b])

teljesül és jelölje S annak a síkidomnak a területét, melyet az y = ϕ(x), y = ψ(x) görbék valamint az x = a és x = b egyenesekhatárolnak.

a b

ϕ

ψ

74

Legyen ϕ : [a, b] → R egy folytonosan differenciálható függvény, ekkor a ϕ függvény által meghatározott görbedarabívhossza,

L(ϕ) =

∫ b

a

√1 + (ϕ′(x))2dx.

a b

ϕ

Legyen ϕ : [a, b]→ R egy folytonos függvény és forgassuk meg az x tengely körül az

a ≤ x ≤ b 0 ≤ y ≤ ϕ(x)

tartományt. A forgás során súrolt pontok egy S forgástestet alkotnak, melynek térfogata

V(S ) = π

∫ b

aϕ2(x)dx.

a b

ϕ

6.9. Definíció. Legyen a valós, b pedig bovített valós szám, úgy, hogy a < b teljesül. Legyen továbbá f : [a, b[→ R egy olyanfüggvény, mely minden x ∈ [a, b[ esetén Riemann-integrálható az [a, x] intervallumon. Értelmezzük az F : [a, b[→ R függvénytaz

F(x) =

x∫a

f (t)dt (x ∈ [a, b[)

formulával. Ha az F függvénynek a b pontban létezik és véges a baloldali határértéke, akkor azt mondjuk, hogy azb∫

af (x)dx

improprius integrál konvergens és ebben az esetben

b∫a

f (x)dx = limx→b−

F(x).

75

6.10. Definíció. Legyen a bovített valós, b pedig valós szám, úgy, hogy a < b teljesül. Legyen továbbá f : ]a, b] → R egy olyanfüggvény, mely minden x ∈]a, b] esetén Riemann-integrálható az [x, b] intervallumon. Értelmezzük az F : ]a, b] → R függvénytaz

F(x) =

b∫x

f (t)dt (x ∈]a, b])

formulával. Ha az F függvénynek az a pontban létezik és véges a jobboldali határértéke, akkor azt mondjuk, hogy azb∫

af (x)dx

improprius integrál konvergens és ebben az esetben

b∫a

f (x)dx = limx→a+

F(x).

6.11. Definíció. Legyenek a, b bovített valós számok úgy, hogy a < b. Legyen továbbá f : ]a, b[→ R egy olyan függvény, mely az]a, b[ intervallum minden zárt részintervallumán Riemann-integrálható. Tegyük fel, hogy van olyan c ∈]a, b[, mely esetén az

c∫a

f (x)dx és az

b∫c

f (x)dx

improprius integrálok konvergensek. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy azb∫

af (x)dx improprius integrál is konvergens és

b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx.

Feladatok

Riemann-integrál

1. A Newton–Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat.

(a)4∫

2

x3dx,

(b)7∫

2

√xdx,

(c)−2∫−4

1x2 dx,

(d)6∫

2

13√x

dx,

(e)8∫

2

5x

dx,

(f)120∫

12

7x

dx,

(g)10∫

6

2x − 3

dx,

(h)2∫−1

2x − 3

dx,

76


(a)π/4∫0

sin(x)dx,

(b)2π∫

0

cos(x)dx,

(c)π/3∫0

sin(3x)dx,

(d)

1∫12

1sin2(x)

dx,

(e)

4∫2

exdx


(a)6∫

2

3xdx,

(b)7∫−4

11 + x2 dx,

(c)4∫

2

sinh(x)dx,

(d)3∫

12

cosh(x)2

dx,

4. A parciális integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat.

(a)2∫

0

xexdx,

(b)3∫

2

x2e2xdx,

(c)π4∫

− π4

x sin(x)dx,

(d)π3∫

− π3

x2 cos(x)dx,

(e)e2∫

e

x2 ln(x)dx

(f)1∫

12

ex sin(x)dx,

(g)0∫−1

e2x cos(x)dx,

(h)4∫

2

x sinh(x)dx,

(i)10∫

1

x2 cosh(x)dx,

5. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat.

(a)

2∫1

(3x + 4)3dx,

(b)

3∫2

1(2x + 1)4 dx,

77

(c)3∫

2

x2√

x3 − 2dx,

(d)2∫

1

e3x

e3x + 1dx,

(e)0∫−1

3ex+1 dx,

(f)4∫

1

x√

5x − 4dx,

(g)2∫

12

2x2√

1 + x2dx,

(h)4∫

3

3x2√

x2 − 1dx,

6. Számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat.

(a) ∫ 3

0sign(x − x3)dx

(b) ∫ 2

0e[x]dx

(c) ∫ 6

0[x] sin

(πx6

)dx

(d) ∫ π

0xsign(cos(x))dx

(e) ∫ 1

0sign (sin(ln(x))) dx

(f) ∫ n+1

1ln ([x]) dx

ahol n ∈ N, n > 1 rögzített és [x] jelöli az x valós szám egészrészét.

7. Legyen f : R→ R egy olyan folytonos függvény, melyre minden x ∈ R esetén∫ x

0f (t)dt = −

12

+ x2 + x sin(2x) +12

cos(2x)

teljesül. Határozzuk meg az f(π4

)és az f ′

(π4

)értékeket.

8. Legyen f : R→ R egy folytonos függvény, melyre∫ x

cf (t)dt = cos(x) −

12

(x ∈ R) .

Határozzuk meg a c konstans értékét és az f függvényt.

9. Legyen f : R→ R egy folytonos függvény, melyre∫ x

0f (t)dt =

∫ 1

xt2 f (t)dt +

x16

8+

x18

9+ c (x ∈ R) .

Határozzuk meg a c konstans értékét és az f függvényt.

10. Definiáljuk az f : R→ R függvényt az

f (x) = 3 +

∫ x

0

1 + sin(t)2 + t2 dt (x ∈ R)

78

képlettel, legyen továbbáp(x) = a + bx + cx2.

Határozzuk meg az a, b, c konstansokat, ha tudjuk, hogy

p(0) = f (0) p′(0) = f ′(0) p′′(0) = f ′′(0).

11. Számítsuk ki az f (2) értéket, ha

(a) ∫ x

0f (t)dt = x2(1 + x)

(b) ∫ x2

0f (t)dt = x2(1 + x)

(c) ∫ f (x)

0t2dt = x2(1 + x)

(d) ∫ x2(1+x)

0f (t)dt = x

12. Magyarázzuk meg, hogy az alábbi integrálok esetében az x változó megadott helyettesítése miért vezet hamis eredményre.

(a) ∫ 1

−11dx t = x

23

(b) ∫ 1

−1

11 + x2 dx x =

1t

(c) ∫ π

0

11 + sin2(x)

dx t = tg(x)

(d) ∫ 3

0x

3√1 − x2dx x = sin(t)

13. Számítsuk ki az alábbi integrálokat.

(a) ∫ 2

0f (x)dx ahol f (x) =

x2 ha x ∈ [0, 1]2 − x ha x ∈]0, 2]

(b) ∫ 1

0f (x)dx ahol f (x) =

x ha x ∈ [0, t]t(1 − x)

1 − tha x ∈]t, 1]

és t ∈]0, 1[ rögzített.

14. Számítsuk ki az alábbi, paramétertol függo integrálokat és ábrázoljuk az I(α) függvény, ha

(a)

I(α) =

∫ 1

0x|x − α|dx

(b)

I(α) =

∫ π

0

sin2(x)1 + 2α cos(x) + α2 dx

15. Legyen a ∈]0,+∞[ rögzített és f : [−a, a]→ R egy folytonos függvény. Igazoljuk, hogy ha az f függvény páros, akkor∫ a

−af (x)dx = 2

∫ a

0f (x)dx,

ha az f függvény páratlan, akkor pedig ∫ a

−af (x)dx = 0

teljesül. Adjunk geometriai magyarázatot ezekre az eredményekre.

79

16. Legyen f : [0,+∞[→ R egy pozitív, folytonos függvény és

Φ(x) =

∫ x

0t f (t)dt∫ x

0f (t)dt

(x ∈]0,+∞[) .

Igazoljuk, hogy az így megadott Φ : ]0,+∞[→ R függvény monoton növekedo.

17. Legyen f : [a, b] → R egy olyan függvény, melyre az | f | függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon. Igaz-e,hogy ekkor az f függvény is Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon?

Improprius integrálok

1. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok.

(a)+∞∫2

1x2 dx,

(b)+∞∫1

1x

dx,

(c)+∞∫0

11 + x2 dx,

(d)+∞∫0

125 + x2 dx,

(e)+∞∫−∞

21 + x2 dx,

(f)+∞∫5

13√

x4dx,

(g)+∞∫1

1x3 dx,

(h)+∞∫3

1(x − 2)3 dx,

(i)+∞∫5

2(x − 3)(x + 4)

dx,

(j)+∞∫3

5(x − 1)(x + 5)

dx,

(k)−2∫−∞

1(x + 1)(x − 3)

dx,

(l)+∞∫1

e−xdx,

(m)+∞∫2

5e−2xdx,

(n)3∫

−∞

exdx,

(o)+∞∫1

ex

e2x + 1dx,

(p)+∞∫

10

xexdx,

(q)+∞∫1

1x ln(x)

dx

80


(a)5∫

0

1√

25 − x2dx,

(b)10∫−10

1√

100 − x2dx,

(c)1∫

0

1√

xdx,

(d)

3∫−2

1√|x|

dx,

(e)

8∫0

13√x

dx


(a)3∫−2

13√x

dx,

(b)1∫−2

1√

1 − xdx,

(c)1∫−1

2x√

1 − x2dx,

(d)1∫

0

ln(x)dx,

4. Döntsük el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek konvergensek.

(a)+∞∫2

sin(x)dx

(b)+∞∫2

cos2(x)x2 dx

(c)+∞∫3

1x + ex dx

(d)+∞∫3

1x − ex dx

(e)+∞∫1

e−x

xdx

(f)+∞∫1

e−x2dx

(g)+∞∫0

x22xdx

(h)+∞∫0

e−xxndx (n ∈ N)

81

Területszámítás

1. Határozzuk meg az y =√

x függvény és az x-tengely által határolt területet az a = 0-tól a b = 6 abszcisszájú pontig.

2. Határozzuk meg az y =1

1 − x2 függvény görbéje, az x-tengely és az a = 0, b = 0, 5 abszcisszájú pontokhoz tartozóordinátatengelyek által meghatározott síkrész területét.

3. Határozzuk meg az y =1x

függvény görbéje és az x-tengely közé eso területet a következo intervallumok felett:

(a) [0, a], ahol a > 0 adott;

(b) [a,+∞[, ahol a > 0 adott;

(c) [3, 10]

(d) [−2,−1].

4. Határozzuk meg az y = x2 függvény görbéje és az y = x + 2 egyenes által határolt területrészt.

5. Határozzuk meg az y = sin(x) függvény görbéje és az x-tengely által határolt területet a

82

(a) [0, π]; (b) [0, 2π];

intervallumok felett.

6. Határozzuk meg az y = x2 és az y2 = x görbék által határolt területet.

7. Számítsuk ki az origó középpontú r > 0 sugarú körlap területét.

8. Legyenek a, b > 0 adottak. Határozzuk meg az a kistengelyu és b nagytengelyu ellpiszis területét.

9. Legyen a > 0 adott. Határozzuk meg azx3 + y3 − 3axy = 0

egyenletu, ún. Descartes-féle levél által határolt korlátos tartomány területét.

83

10. Határozzuk meg az x =12

egyenletu egyenes és az

x3 + (x − 1)y2 = 0

egyenletu cisszoid által határolt korlátos tartomány területét.

11. Határozzuk meg az alábbi görbékkel határolt síkidom területét.

(a)x = 2x − x2, x + y = 0

(b)y = 2x, y = 2, x = 0

(c)

y = |ln(x)| , y = 0, x =1

10, x = 10

(d)y = (x + 1)2, x = sin(πy), y = 0

(e)

y = x, y = x + sin2(x) (x ∈ [0, π])

(f)

y =a3

a2 + x2 , y = 0

(g)

y2 = x2(a2 − x2

)12. Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát.

(a)y =

√x3 (x ∈ [0, 4])

(b)y2 = 2px (x ∈ [0, x0])

(c)y = a cosh

( xa

)(x ∈ [0, a])

(d)y = ex (x ∈ [0, x0])

(e)

x =y2

4−

ln(y)2

(y ∈ [1, e])

(f)

y = a ln(

a2

a2 − x2

)(x ∈ [0, a/2])

(g)

y = ln (cos(x))(x ∈

[0,π

4

])

84

7. fejezet

Többváltozós függvények


Többváltozós függvények folytonossága

7.1. Definíció. Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres halmaz, f : D → Rm függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonosaz x0 ∈ D pontban, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ D olyan, hogy ‖x − x0‖Rn < δ, akkor

‖ f (x) − f (x0)‖Rm < ε.

Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos a D halmazon.

7.1. Tétel (Átviteli elv). Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres halmaz, f : D → Rm. Az f függvény akkor és csakis akkorfolytonos az x0 ∈ D pontban, ha tetszoleges (xn)n∈N D halmazbeli elemekbol álló, x0-hoz konvergáló sorozat esetén az ( f (xn))n∈Nsorozat f (x0)-hoz konvergál.

7.1. Megjegyzés. Legyen D ⊂ Rn nemüres halmaz, f : D → Rm. Az f függvény akkor és csakis akkor nem folytonos az x0 ∈ Dpontban, ha van olyan (xn)n∈N D halmazbeli elemekbol álló, x0-hoz konvergáló sorozat, melyre az ( f (xn))n∈N sorozat nem f (x0)-hoz konvergál.

7.2. Tétel. Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres halmaz. Ha az f , g : D→ Rm függvények folytonosak az x0 ∈ D pontban, akkor

(i) az f + g függvény is folytonos az x0 pontban;

(ii) tetszoleges λ ∈ R esetén a λ f függvény is folytonos az x0 pontban;

7.3. Tétel (Az összetett függvény folytonossága). Legyenek n,m, k ∈ N, D ⊂ Rn nemüres halmaz és legyenek f : D → Rm ésg : f (D) ⊂ Rm → Rk adott függvények. Ha az f függvény folytonos az x0 ∈ D pontban, a g pedig az f (x0) ∈ f (D) pontban,akkor a g ◦ f : D→ Rk függvény folytonos az x0 pontban.

Többváltozós függvények határértéke

7.2. Definíció. Legyenek n,m ∈ N, ∅ , D ⊂ Rn, f : D → Rm, x0 ∈ D′ és α ∈ Rm. Azt mondjuk, hogy az f függvénynekaz x0 pontban a határértéke α, ha tetszoleges ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ D és ‖x − x0‖Rn < δ, akkor‖ f (x) − α‖Rm < ε. Erre a limx→x0 f (x) = α jelölést alkalmazzuk.

7.4. Tétel (Átviteli elv). Legyenek n,m ∈ N, ∅ , D ⊂ Rn, f : D → Rm, illetve x0 ∈ D′ és α ∈ Rm. Ekkor limx→x0 f (x) = α

pontosan akkor teljesül, ha tetszoleges (xn)n∈N D–beli, x0–hoz konvergáló sorozat esetén limn→∞ f (xn) = α teljesül.

7.5. Tétel (Határérték és muveletek). Legyenek n,m ∈ N, ∅ , D ⊂ Rn, x0 ∈ D′ f , g : D → Rm, illetve α, β ∈ Rm. Ha az f és gfüggvényeknek létezik a határértéke az x0 pontban és

limx→x0

f (x) = α és limx→x0

g(x) = β,

akkor

85

(i) az f + g függvénynek is létezik az x0 pontban a határértéke

limx→x0

( f (x) + g(x)) = α + β;

(ii) tetszoleges λ ∈ R esetén a λ · f függvénynek is létezik az x0 pontban a határértéke és

limx→x0

λ · f (x) = λ · α.

7.6. Tétel (Határérték és folytonosság). Legyenek n,m ∈ N, ∅ , D ⊂ Rn, f : D → Rm és x0 ∈ D. Ekkor az f függvénypontosan akkor folytonos az x0 pontban, ha létezik a limx→x0 f (x) határérték, és

limx→x0

f (x) = f (x0).

Feladatok


(a)

f (x, y) =

√x2 + y2

((x, y) ∈ R2

)(b)

f (x, y) = x2 − y2((x, y) ∈ R2

)(c)

f (x, y) =√

xy (x, y ∈ [0,+∞[)

(d)

f (x, y) =

(x2 + y2) sin(

1x2+y2

)((x, y) , (0, 0))

0 ((x, y) = (0, 0))

(e)

f (x, y) =

x sin(

1y

)+ y sin

(1x

), (x, y) ∈ R2, xy , 0

0, xy = 0

(f)

f (x, y) =

1 y ≥ x0 y < x

(g)f (x, y) = sign(x2 + y2 − 1)

((x, y) ∈ R2

)(h)

f (x, y, z) = x + 2y + z((x, y, z) ∈ R3

)(i)

f (x, y) = x2e−(x2−y)((x, y) ∈ R2

)(j)

f (x, y) =

sin(

1xy

)xy , 0

0 xy = 0

(k)f (x, y) = ln

(1 − x2 − y2

) ((x, y) ∈ R2, x2 + y2 < 1

)86

(l)

f (x, y) =1xy

(x, y ∈ [0,+∞[)

(m)

f (x, y) =

xyx2+y2 (x, y) , (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

(n)

f (x, y) =

x2y

x4+y2 (x, y) , (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

(o)

f (x, y) =

xy x2−y2

x2+y2 (x, y) , 0

0 (x, y) = (0, 0)

(p)

f (x, y, z) =

xyzx2+y2+z2 (x, y, z) , (0, 0, 0)

0 (x, y, z) = (0, 0, 0)

2. Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e a következo határértékek, amennyiben igen, számítsuk ki oket.

(a)

lim(x,y)→(5,1)

xyx2 + y2

(b)lim

(x,y,z)→(2,1,−1)3x2z + xy cos(πx − πz)

(c)

lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4

(d)

lim(x,y)→(0,0)

xyx + y

(e)

lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) cos(

1x2 + y2

)(f)

lim(x,y)→(0,0)

√x2 + y2 sin

1√x2 + y2

(g)

lim(x,y)→(0,0)

1√x2 + y2

(h)

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

(i)

lim(x,y)→(0,α)

sin(xy)x

(j)

limx→ +∞y→ +∞

sin(

πx2x + y

)(k)

limx→ +∞y→ +∞

x2 + y2

x4 + y4

(l)lim

x→ +∞y→ +∞

x + y

x2 − xy + y2

87

8. fejezet

Többváltozós függvények differenciálszámítása


Fréchet-differenciálhatóság

8.1. Definíció. Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, f : D → Rm függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvényFréchet-differenciálható az x0 ∈ D pontban, ha létezik egy olyan A ∈ L(Rn,Rm) lineáris leképezés, hogy

limx→x0

‖ f (x) − f (x0) − A(x − x0)‖Rm

‖x − x0‖Rn= 0

teljesül. Ebben az esetben az A lineáris leképezést az f függvény x0 pontbeli differeciálhányadosának nevezzük és rá a további-akban az f ′(x0) jelölést használjuk.

8.1. Tétel (Differenciálhatóság =⇒ folytonosság). Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, f : D → Rm függvény.Ha az f függvény Fréchet-differenciálható az x0 ∈ D pontban, akkor f folytonos az x0 ∈ D pontban.

8.1. Megjegyzés. Az elozo tétel megfordítása nem igaz, hiszen az

f (x, y) =

xy√

x2 + y2, ha (x, y) , (0, 0)

0, ha (x, y) = (0, 0)

módon megadott f : R2 → R függvény folytonos a (0, 0) pontban, azonban ebben a pontban nem differenciálható.

Iránymenti és parciális differenciálhatóság

8.2. Definíció. Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, x0 ∈ D f : D→ Rm függvény és v ∈ Rn. Ha létezik a

limt→0

f (x0 + tv) − f (x0)t

határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban a v irány mentén differenciálható. Ebben az esetben a fentihatárértékre a Dv f (x0) jelölést alkalmazzuk.

8.2. Tétel (Differenciálhatóság =⇒ iránymenti differenciálhatóság). Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz,f : D → Rm függvény. Ha az f függvény az x0 pontban (totálisan) differenciálható, akkor ebben a pontban tetszoleges v ∈ Rn

irány mentén is differenciálható ésDv f (x0) = f ′(x0) · v

teljesül.

88

8.3. Definíció. Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, f : D → Rm függvény. Legyen továbbá minden i = 1, . . . , nesetén

ei = (0, . . . , 0,i

1, 0, . . . , 0).

Ha létezik a Dei f (x0) iránymenti derivált, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban az i-edik változója szerint

parciálisan differenciálható az x0 ∈ D pontban. Ebben az esetben a Dei f (x0) jelölés helyett általában a∂ f∂xi

(x0) jelölést fogjuk

használni.

8.3. Tétel (Fréchet-differenciálhatóság =⇒ parciális differenciálhatóság). Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz,f : D → Rm függvény. Ha az f függvény az x0 ∈ D pontban (totálisan) differenciálható, akkor az f függvény ebben a pontbanmindegyik változója szerint parciálisan is differenciálható és

f ′(x0) =

∂ f1∂x1

(x0) . . .∂ f1∂xn

(x0)...

. . ....

∂ fm∂x1

(x0) . . .∂ fm∂xn

(x0)

.8.4. Tétel. Legyenek n,m ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, f : D → Rm függvény. Ha az f függvény az x0 ∈ D pontegy környezetében mindegyik változója szerint parciálisan differenciálható és ezek a parciális deriváltak folytonosak az x0 ∈ Dpontban, akkor az f függvény az x0 ∈ D pontban differenciálható.

8.5. Tétel (Differenciálhatóság és muveletek). Legyenek n,m ∈ N, λ ∈ R D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, x0 ∈ D. Ha azf , g : D→ Rm függvények differenciálhatóak az x0 ∈ D pontban, akkor

— az f + g függvény is differenciálható az x0 pontban és

( f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0);

— a λ · f függvény is differenciálható az x0 pontban és

(λ · f )′(x0) = λ · f ′(x0).

8.6. Tétel (Az összetett függvény differenciálási szabálya). Legyenek n,m, k ∈ N, D ⊂ Rn nemüres, nyílt halmaz, x0 ∈ D,f : D → Rm és g : f (D) → Rk függvények. Ha az f függvény differenciálható az x0 ∈ D pontban, a g függvény pedig azf (x0) ∈ f (D) pontban, akkor a g ◦ f függvény differenciálható az x0 pontban és

(g ◦ f )′(x0) = g′ ( f (x0)) · f ′(x0).

Lokális szélsoértékszámítás

8.4. Definíció. Legyen D ⊆ Rn egy halmaz, x0 a D halmaz egy pontja, f : D → R pedig egy függvény. Akkor mondjuk, hogyaz f függvénynek az x0 pontban lokális minimuma (maximuma) van, ha van az x0-nak olyan környezete, melynek D-beli xpontjaiban f (x) ≥ f (x0) ( f (x) ≤ f (x0)) teljesül. Más szóval, létezik olyan δ > 0, hogy ha x a D halmaz olyan pontja, melyrefennáll az ‖x − x0‖ < δ egyenlotlenség, akkor

f (x) ≥ f (x0), illetve f (x) ≤ f (x0)

teljesül. Ha itt x , x0 esetén szigorú egyenlotlenség teljesül, akkor szigorú minimumról, illetve szigorú maximumról beszélünk.A „lokális” jelzot „globális” váltja fel, ha ezek a feltételek bármely δ > 0 esetén, azaz, a D halmaz minden x pontjában teljesül-nek. A lokális (globális) minimumhelyet és maximumhelyet közösen szélsoértékhelynek nevezzük, magát az f (x0) függvényértéketpedig a megfelelo szélsoérték értékének mondjuk.

8.7. Tétel. Legyen D ⊆ Rn egy halmaz, x0 a D halmaz egy belso pontja, f : D→ R pedig egy x0-ban parciálisan differenciálhatófüggvény. Ha az f függvénynek az x0 pontban lokális szélsoértéke van, akkor f ′(x0) = 0.

89

8.5. Definíció. Legyen D ⊆ Rn egy halmaz, x0 a D halmaz egy belso pontja, f : D → R pedig egy x0-ban parciálisan dif-ferenciálható függvény. Ha az x0 pontban az f függvény összes parciális deriváltja nulla, akkor az x0 pontot az f függvénystacionárius pontjának nevezzük.

8.2. Megjegyzés. A fenti tétel feltételei mellett tehát az f függvénynek csak stacionárius pontokban lehet lokális szélsoértéke.

8.8. Tétel. Legyen D ⊆ Rn nyílt halmaz, f : D → R egy C2(D)-osztályú függvény, s a D-beli x0 pont legyen az f stacionáriuspontja. Ha az

f ′′(x0) =

∂2 f∂x2

1

(x0) . . .∂2 f

∂x1∂xn...

. . ....

∂2 f∂xn∂x1

. . .∂2 f∂x2

n

mátrix

— pozitív definit, akkor az f függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van;

— negatív definit, akkor az f függvénynek az x0 pontban lokális maximuma van;

— indefinit, akkor az f függvénynek az x0 pontban nincs lokális szélsoértéke.

90

Feladatok

1. Számítsuk ki a következo függvények elsorendu parciális deriváltjait.

(a)f (x, y) = x3 − 2x2y2 + 4xy3 + y4 + 10

(b)f (x, y) = x4 + 6

√y − 10

(c)f (x, y, z) = x2y − 10y2z3 + 43x − 7tg(4y)

(d)

f (x, y) = x7 ln(y2) +9x3 −

5√y4

(e)f (x, y) = (x2 + y2)exy

(f)f (x, y, z) = xyz

(g)f (x, y) = exy ln(1 + y)

(h)f (x, y, z) = ex+yz

(i)f (x, y) = ln(xy2)

(j)f (x, y) = tg2(x + y)

(k)

f (x, y) =

√x2 + ln(5x − 3y2)

(l)f (x, y) = cos(x2 + 2xy) + sin(y2 − 4x + 1 − y)

(m)

f (x, y) =ln(1 + y)1 + xy

(n)f (x, y) =

√1 + xy

(o)f (x, y) =

xx2 + y2

(p)f (x, y, z) = z3 + 5xyz − 2xy − 2xz

(q)f (x, y) = x2ey + y2ex + exy

91

(r)

f (x, y) =9x

x3 + 5y

(s)

f (x, y, z) =x sin(y)

z2

2. Számítsuk ki az alábbi függvények másodrendu parciális deriváltjait.

(a)f (x, y) = xe−x2y2

(b)f (x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + f y2

(c)f (x, y, z) = z3 + 5xyz − 2xy − 2x2z3 + 11

(d)f (x, y) = cos(2x) − x2e5y + 3y2

(e)f (x, y, z) = z3y2 ln(x)

(f)f (x, y, z) = exy+z

(g)

f (x, y) = cos(

xy

)(h)

f (x, y, z) = ex+y+z

(i)f (x, y, z) = exyz

(j)f (x, y) = ln(xy)

3. Állítsuk elo a megadott parciális deriváltakat.

(a)

∂4 f∂x4 (x, y),

∂4 f∂x2∂y2 (x, y),

∂4 f∂y4 (x, y),

ha f (x, y) = x − y + x2 + 2xy + y2 + x3 − 3x2y − y3 + x4 − 4x2y2 + y4

(b)∂3 f∂x2∂y

(x, y) ha f (x, y) = x ln(xy)

(c)∂6 f

∂x3∂y3 (x, y) ha f (x, y) = x3 sin(y) + y3 sin(x)

(d)∂3 f

∂x∂y∂z(x, y, z) ha f (x, y, z) = arctg

(x + y + z − xyz

1 − xy − xz − yz

)(e)

∂3 f∂x∂y∂z

(x, y, z) ha f (x, y, z) = exyz

(f)∂4 f

∂x∂y∂ξ∂η(x, y, ξ, η) ha f (x, y, ξ, η) = ln

1√(x − ξ)2 + (y − η)2

(g)

∂m+n f∂xm∂yn (x, y) ha f (x, y) = (x − x0)m(y − y0)n

92

(h)∂m+n f∂xm∂yn (x, y) ha f (x, y) =

x − yx + y

(i)∂m+n f∂xm∂yn (x, y) ha f (x, y) = (x2 + y2)ex+y

(j)∂m+n+k f∂xm∂yn∂zk (x, y, z) ha f (x, y, z) = xyzex+y+z

(k)∂3 f

∂x∂y∂z(x, y, z) ha f (x, y, z) = xyz

(l)

∂6 f∂x3∂y3 (x, y),

∂6 f∂x∂y5 (x, y),

∂6 f∂x5∂y

(x, y),∂6 f

∂x2∂y4 (x, y)

ha f (x, y) = cos(x) cosh(y)

(m)∂n+m+k f∂xm∂yn∂zk (x, y, z) ha f (x, y, z) = eαx+βy+γz

4. Határozzuk meg az f függvény x0 pontbeli v iránymenti deriváltját, ha

(a)f (x, y) = |x + y|, x0 = (0, 0), v = (1, 0)

(b)f (x, y) = |x + y|, x0 = (0, 0), v = (0, 1)

(c)f (x, y) =

√|xy|, x0 = (0, 0), v = (1, 0)

(d)

f (x, y) =

√x3y5, x0 = (0, 0), v = (0, 1)

(e)f (x, y) = 3√xy, x0 = (0, 0), v = (1, 0)

(f)f (x, y) = 3√xy, x0 = (0, 0), v = (0, 1)

(g)f (x, y) = x cos(y),

x0 ∈ R2 tetszoleges, v = (2, 1)

(h)f (x, y, z) = x2 + z + y3z2 − xyz,

x0 ∈ R3 tetszoleges, v = (−1, 0, 3)

(i)

f (x, y) = xexy + y, x0 = (2, 0), v =

−12,

√3

2

93

(j)

f (x, y) = x2 − y2, x0 = (1, 2), v =

(1√

2,

1√

2

)(k)

f (x, y, z) = sin(x2) + zey, x0 = (0, 0, 1),

v =

(1√6, 1√

6, 2√

6

)(l)

f (x, y, z) = exyz, x0 = (1, 1, 1),

v =

(1√3, 1√

3,− 1√

3

)5. Mutassuk meg, hogy az

u(x, t) =1

2a√πt

e−

(x − t)2

4a2t (x ∈ R, t ∈]0,+∞[)

módon megadott függvényre minden (x, t) ∈ R×]0,+∞[ esetén

∂u∂t

(x, t) = a2 ∂2u∂x2 (x, t)

teljesül.

6. Legyenek α, β, γ ∈ R és

u(x, y, z) =1√

(x − α)2 + (y − β)2 + (z − γ)2

((x, y, z) ∈ R3 \ {(α, β, γ)}

).

Mutassuk meg, hogy ekkor minden (x, y, z) , (α, β, γ) esetén

∂2u∂x2 (x, y, z) +

∂2u∂y2 (x, y, z) +

∂2u∂z2 (x, y, z) = 0

teljesül.

7. Határozzuk meg a következo függvények stacionárius pontjait és osztályozzuk azokat.

(a)f (x, y) = x2 + (y − 1)2

(b)f (x, y) = (x − y + 1)2

(c)f (x, y) = x2 − (y − 1)2

(d)f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y

(e)f (x, y) = 2x2 + y2 − 2xy + 4x − 2y + 5

(f)f (x, y) = (x2 − 6x)(y2 − 4y)

(g)f (x, y) = (y2 − x2)(y2 − 2x2)

(h)f (x, y) = x(2y − 3)

(i)f (x, y) = x2 + 12y2 − 3x + 10y + 100

(j)f (x, y) = x3 + y3

(k)f (x, y) = x3 + y3 − 3xy

(l)f (x, y) = x3 − 3xy2 − 3x2 + 3y2 + 4x + y − 1

(m)f (x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2

(n)f (x, y) = x4 + y4 − 2x2y2 − 26x2 − 10y2

94

(o)

f (x, y) = 1 −√

x2 + y2

(p)f (x, y) = xy ln(x2 + y2)

(q)f (x, y) = ex2+y2

(r)

f (x, y) =1

1 + x2 + y2

(s)f (x, y) = (x2 + y2)e−(x2+y2)

(t)f (x, y) = (x2 + y2)ex2−y2

(u)f (x, y) = ln(9 + x2 + y2)

(v)f (x, y) = x + y + sin(x) + sin(y)

8. Határozzuk meg az alábbi függvények feltételes szélsoértékeit a megadott feltételek mellett.

(a) f (x, y) = 5x − 3yx2 + y2 = 136

(b) f (x, y) = xyx + y = 1

(c) f (x, y, z) = xyzx + y + z = 1

(d) f (x, y) = x2 − y2

(x, y) ∈{(u, v) ∈ [0,+∞[ | u2 + v2 ≤ 1

}(e) f (x, y, z) = sin(x) sin(y) sin(z)

x + y + z = π

(f) f (x, y, z) = 4xyzx2 + 2y2 + z − 4 = 0

9. Határozzuk meg a z2 − xy = 1 egyenletu felület azon pontját, mely a legközelebb van az origóhoz.

10. Határozzuk meg az y2 = 4x görbe azon pontjait, melyek a legközelebb vannak a (0, 1) koordinátájú ponthoz.

11. Legyen a ∈ R és n ∈ N. Bontsuk fel az a valós számot n tag szorzatára úgy, hogy a tagok reciprokösszege minimális legyen.

12. Legyen a ∈ R és n ∈ N. Bontsuk fel az a valós számot n tag összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege minimális legyen.

13. Legyen K > 0 adott. Határozzuk meg a K kerületu téglalapok közül azt, amely a legnagyobb területet határolja.

14. Egy felül nyitott téglatest alakú kád térfogata V > 0. Milyen méretek mellett lesz a kád felszíne minimális?

15. Egy félhenger alakú, felül nyitott kád felszíne S > 0. Milyen méretek mellett lesz a kád térfogata maximális?

16. Melyik az a téglalap, melynek kerülete K > 0 és amelyet valamelyik oldala mentén megforgatva a legnagyobb térfogatúfogástest keletkezik?

95

Documents

Kalkulus példatármath.unideb.hu/media/gselmann-eszter/kalkulus/Kalkulus_peldatar.p… · Debreceni Egyetem Termeszettudom´ anyi´ es´ Technologiai´ Kar Kalkulus példatár Gselmann