Bab 3 Teorema Fungsi Implisit Teorema Fungsi Invers

Indah Yanti

Pendahuluan

(x, z) ∈ ℝn × ℝm

x = (x1, ..., xn) ∈ ℝn dan z = (z1, ..., zm) ∈ ℝm

Untuk Fi : ℝ

n × ℝm ⟶ℝ, dimana i = 1, ..., m, berlaku

𝜕 𝐹1, ⋯ , 𝐹𝑚𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑚

= det

𝜕𝐹1𝜕𝑧1

⋯𝜕𝐹1𝜕𝑧𝑚

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

⋯𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧𝑚

jika semua turunan parsial dalam matriks ada

2012 2

Teorema 3A (TEOREMA FUNGSI IMPLISIT)

Misalkan untuk setiap i = 1, ..., m , fungsi

Fi : ℝn × ℝm ⟶ ℝ

mempunyai turunan parsial yang kontinu. Misalkan terdapat titik (x0, z0) ∈ ℝn × ℝm sedemikian sehingga

𝐹𝑖 𝐱0, 𝐳0 = 0 untuk setiap i = 1, ..., m dan

𝜕 𝐹1, ⋯ , 𝐹𝑚𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑚

𝐱0, 𝐳0 ≠ 0

(1)

2012 3

Teorema 3A (TEOREMA FUNGSI IMPLISIT)

Maka ketiga kondisi berikut terpenuhi a) Terdapat kitaran U ⊆ ℝn dari x0 dan V ⊆ ℝm dari z0

sedemikian sehingga terdapat fungsi tunggal

zi = gi(x) = gi(x1, ..., xn), dimana i = 1, ..., m (2)

didefinisikan untuk setiap x ∈ U dan z ∈ V dan memenuhi

Fi(x, g1(x), ..., gm(x)) = 0 untuk setiap i = 1, ..., m (3)

2012 4

Teorema 3A (TEOREMA FUNGSI IMPLISIT)

b) Jika x ∈ U dan z ∈ V memenuhi

Fi (x, z) = 0 untuk setiap i = 1, ..., m

maka (1) terpenuhi.

c) Fungsi (1) kontinu diferensiabel, dan untuk setiap i = 1, ..., m dan j = 1, ..., n diperoleh

𝜕𝑔𝑖𝜕𝑥𝑗

= −𝜕 𝐹1, ⋯ , 𝐹𝑚

𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑖−1, 𝑥𝑗 , 𝑧𝑖+1, ⋯ , 𝑧𝑚

𝜕 𝐹1, ⋯ , 𝐹𝑚𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑚

(4)

2012 5

Catatan

𝜕 𝐹1, ⋯ , 𝐹𝑚𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑚

𝐱0, 𝐳0 = det

𝜕𝐹1𝜕𝑧1

𝐱0, 𝐳0 ⋯𝜕𝐹1𝜕𝑧𝑚

𝐱0, 𝐳0

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

𝐱0, 𝐳0 ⋯𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧𝑚

𝐱0, 𝐳0

𝜕 𝐹1, ⋯ , 𝐹𝑚

𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑖−1, 𝑥𝑗 , 𝑧𝑖+1, ⋯ , 𝑧𝑚= det

𝜕𝐹1𝜕𝑧1

⋯𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

⋯𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1⋮

𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

⋯𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

⋯𝜕𝐹𝑚𝜕𝑧1

2012 6

Teorema 3A’

Misalkan fungsi

F : ℝn × ℝ ⟶ ℝ

mempunyai turunan parsial yang kontinu. Misalkan terdapat titik (x0, z0) ∈ ℝn × ℝ sedemikian sehingga

𝐹 𝐱0, 𝑧0 = 0 dan

𝜕𝐹

𝜕𝑧𝐱0, 𝑧0 ≠ 0

2012 7

Teorema 3A’

Maka ketiga kondisi berikut terpenuhi

a) Terdapat kitaran U ⊆ ℝn dari x0 dan V ⊆ ℝ dari z0 sedemikian sehingga terdapat fungsi tunggal

z = g(x) = g(x1, ..., xn), dimana i = 1, ..., m

(5)

didefinisikan untuk setiap x ∈ U dan z ∈ V dan memenuhi F(x, g(x)) = 0.

2012 8

Teorema 3A’

b) Jika x ∈ U dan z ∈ V memenuhi

F (x, z) = 0 untuk setiap i = 1, ..., m

maka (5) terpenuhi.

c) Fungsi (5) kontinu diferensiabel, dan untuk setiap i = 1, ..., m dan j = 1, ..., n diperoleh

𝜕𝑔

𝜕𝑥𝑗= −

𝜕𝐹

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝐹

𝜕𝑧

2012 9

Soal 1

Misalkan diketahui sistem persamaan

𝑓 𝑢, 𝑣, 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑢𝑣 + 15 = 0 𝑔 𝑢, 𝑣, 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑢2 + 𝑣2 − 10 = 0

dan titik P(-2, 3, 1, 2) memenuhi sistem, tunjukkan bahwa sistem tersebut mendefinisikan dua fungsi u dan v terhadap x, y di sekitar titik P(1, 2). Carilah ux , uy dan uxx di titik tersebut.

2012 10

Soal 2

Misalkan diketahui sistem persamaan

𝐹1 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 +𝑤2 − 2 𝐹2 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑤2

Tentukan fungsi 𝑧 = 𝑔1 𝑥, 𝑦 dan 𝑤 = 𝑔2 𝑥, 𝑦 di sekitar titik 𝑥0, 𝑦0 yang memenuhi.

2012 11

Soal 3

Diketahui 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥3. Carilah 𝑦 = 𝑓 𝑥 dari 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0

1. Di sekitar titik (5, 10)

2. Di sekitar titik (10, -30)

2012 12

Teorema 3B (TEOREMA FUNGSI INVERS)

Misal 𝑓𝑖: ℝ𝑛 → ℝ mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk

setiap 𝑖 = 1,⋯ , 𝑛. Misal sistem persamaan

𝑓1 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑛 = 𝑥1⋮

𝑓𝑛 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑛 = 𝑥𝑛

(9) mempunyai solusi 𝐱0, 𝐳0 ∈ ℝ𝑛 × ℝ, dimana

𝜕 𝑓1, ⋯ , 𝑓𝑛𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑛

𝐳0 ≠ 0

2012 13

Teorema 3B (TEOREMA FUNGSI INVERS)

maka pernyataan berikut dipenuhi a) Terdapat persekitaran 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 dari 𝐱0 dan 𝑉 ⊆ ℝ𝑛 dari 𝐳0

sedemikian sehingga sistem (9) mempunyai solusi tunggal, yaitu

𝑧𝑖 = 𝑔𝑖 𝐱 = 𝑔𝑖 𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛 (10)

b) Fungsi (10) kontinu diferensiabel, dan untuk setiap 𝑖 = 1,⋯ , 𝑛

dan 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛 diperoleh

𝜕𝑔𝑖𝜕𝑥𝑗

=𝜕 𝑓1, ⋯ , 𝑓𝑛

𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑖−1, 𝐞𝑗 , 𝑧𝑖+1, ⋯ , 𝑧𝑛

𝜕 𝑓1, ⋯ , 𝑓𝑛𝜕 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑛

(11)

2012 14

Catatan

𝐞𝑗 = 0,⋯ , 0𝑗−1

, 1, 0,⋯ , 0𝑛−𝑗

𝜕 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3𝜕 𝑧1, 𝐞2, 𝑧3

= det

𝜕𝑓1𝜕𝑧1

0𝜕𝑓1𝜕𝑧3

𝜕𝑓2𝜕𝑧1

1𝜕𝑓2𝜕𝑧3

𝜕𝑓3𝜕𝑧1

0𝜕𝑓3𝜕𝑧3

𝜕 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3𝜕 𝑧1, 𝑧2, 𝐞3

= det

𝜕𝑓1𝜕𝑧1

𝜕𝑓1𝜕𝑧2

0

𝜕𝑓2𝜕𝑧1

𝜕𝑓2𝜕𝑧2

0

𝜕𝑓3𝜕𝑧1

𝜕𝑓3𝜕𝑧2

1

2012 15

Contoh 3.2.1

Pandang persamaan

𝑓1 𝑧, 𝑤 =𝑧2 + 𝑤2

𝑧= 𝑥

𝑓2 𝑧, 𝑤 = 𝑒𝑧 sin𝑤 = 𝑦

𝑧1 = 𝑧 𝑧2 = 𝑤 𝑥1 = 𝑥 𝑥2 = 𝑦

2012 16