kalkulus_turunan parsial

UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK

Turunan Parsial

• Misalkan z = f(x, y) adalah fungsi variabel bebas x dan y. Karena x dan y bebas,

• (i). dapat dimungkinkan x yang berubah-ubah (variabel), sementara y dianggap tetap (konstanta),

• (ii).dapat dimungkinkan y berubah-ubah (variabel)sementara x dianggap tetap (konstanta),

• (iii). dapat dibolehkan x dan y keduanya berubah bersama-sama. Pada dua keadaan pertama, z merupakan fungsi variabel tunggal dan dapat diturunkan menurut aturan-aturan yang biasa.


• Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, z adalah fungsi x dan turunannya ke x.

x

yxfyxxf

x

zyxf

xx

),(),(lim),(

0

disebut turunan (pertama) parsial dari z = f(x, y) ke x.Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, z adalah fungsi y dan turunannya ke y.


y

yxfyyxf

y

zyxf

yy

),(),(lim),(

0

Contoh 1 :Z = 2x2 – 3 xy + 4y2

Perlakukan y sebagai konstan dan turunkan ke x, didapat : = 4x – 3y

Perlakukan x sebagai konstan dan turunkan ke y, didapat : = - 3x + 8y

x

z

y

z


Contoh 2

x

y

y

xz

22

Perlakukan y sebagai konstan dan turunkan ke x, didapat :

2

22

x

y

y

x

x

z

Perlakukan x sebagai konstan dan turunkan ke y, didapat :

x

y

y

x

y

z 22

2


Contoh 3 :Luas segitiga diberikan sebagai K = ½ ab sin C. Jika a = 20, b = 30 dan C = 30o. carilah :a.Laju perubahan K terhadap a, jika b dan C konstanb.Laju perubahan K terhadap C, jika a dan b konstanc.Laju perubahan b terhadap a, jika K dan C konstan

2

3

sin

)sin2

1(2

sin

2;

sin

2 ).(

3150)30)(cos30)(20(2

1cos

2

1 ).(

2

15)30)(sin30(

2

1sin

2

1 ).(

22

0

0

a

b

Ca

Cab

Ca

K

a

b

Ca

Kbc

CabC

Kb

Cba

Ka


2225 yx

z

x

yx

x

x

z

2225z

y

yx

y

y

z

2225

Contoh 4 :Carilah turunan parsial pertama dari z terhadap variabel-variabel bebas x dan y x2 + y2 + z2 = 25 Penyelesaian 1 :Selesaikan z untuk mendapatkan z =

Maka :

dan


TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI.

x

z

)( 2

2

x

z

x (x,y)f

x

zxx

)( 2

x

z

y (x,y)f

xy

zyx

Turunan parsial

dari z = f(x, y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan ke y, menghasilkan turunan parsial kedua :

dan


Dengan cara yang sama dari dapat diperoleh :y

z

dan )( 2

y

z

x (x,y)f

yx

zxy

)(

2

2

y

z

y (x,y)f

y

zyy

Jika z = f(x, y) dan turunan parsialnya kontinu, urutan diferensiasi tak menjadi soal, yaitu :

xy

z

yx

z

22


Contoh : Z = x2 + 3xy + y2

yxx

z32

2)( 2

2

x

z

x (x,y)f

x

zxx

3 )( 2

x

z

y (x,y)f

xy

zyx

yxy

z23

3)( 2

y

z

x (x,y)f

yx

zxy

2)( 2

2

y

z

y (x,y)f

y

zyy

,

,


y

z

x

z

dan 1. Masing-masing fungsi berikut ini, carilah

Latihan Soal

a. z = x2 + 3xy + y2

22 b.

x

y

y

xz

c. z = sin 3x cos 4yd. x2 – 4y2 + 9z2 = 36


2. Untuk masing-masing fungsi berikut, carilah

2

222

2

2

, , ,y

z

xy

z

yx

z

x

z

a. z = 2x2 – 5 xy + y2

b. z = sin 3x cos 4y

22 c.

x

y

y

xz


Diferensial Total dan Turunan Total

Perhatikan fungsi dua variabel bebas x dan y, z = f(x, y), dan definisikan dx = x dan dy = y. Bila x berubah, sedangkan y tetap, z merunakan fungsi x saja dan diferensial parsial z terhadap x didefinisikan sebagai :

dx z = fx(x,y)dx = dx x

z

Dengan cara sama, diferensial parsial z terhadap y didefinisikan oleh dyz = fy (x, y) dy = dy

y

z


Diferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah diferensial parsialnya, yaitu,

Untuk fungsi w = f(x, y, z, …………..,t) diferensial total didefinisikan sebagai :

dyy

zdx

x

zdz

dtt

wdz

z

wdy

y

wdx

x

wdw

..............


Contoh 1 :

Carilah diferensial totalnya :

Penyelesaian :

= 3x2 y + 2xy2 + y3

z = x3y + x2y2 + xy3

x

z

= x3 + 2x2y + 3xy2

y

z

dyyz

dxxz

dz

Maka

= (3x2y + 2xy2+ y3) dx + (x3 + 2x2y + 3xy2) dy


diferensial total fungsi variabel banyak memberikan suatu pendekatan yang baik dari pertambahan total fungsi itu

Contoh 2 :

Di dalam mengukur balok persegi panjang, dimensi yang didapatkan 25, 30, dan 50 cm dengan kemungkinan kesalahan 0,125 cm pada setiap pengukuran. Cari perkiraan kesalahan maksimum pada luas permukaan balok dan persentase kesalahan luas yang disebabkan oleh kesalahan masing-masing pengukuran ?


Penyelesaian :

Luas pengukuran S = 2(xy + yz + xz), maka

dS =

Kesalahan terbesar dari S akan muncul bila kesalahan tiap-tiap pengukuran mempunyai tanda yang sama, misalnya positif. Maka :

dzz

Sdy

y

Sdx

x

S

= 2 (y + z) dx + 2(x + z) dy + 2(y + x) dz

dS = 2(30 + 50)(0, 125) + 2(25 + 50)(0,125) + 2(30 + 25)(0,125) = 52, 5 cm2

Persentase kesalahan (kesalahan/luas)(100) = 5250/700 = 0, 75 %


ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI BERSUSUN.

Jika z = f(x, y) suatu fungsi kontinu dari variabel-variabel x. y. dengan turunan parsialnya z/x dan z/y, kontinu, dan jika x dan y merupakan fungsi variabel t yang diferensiabel x = g(t), y = h(t), maka z adalah fungsi t dan dz/dt, disebut turunan total z ke t, dinyatakan oleh ,

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz


Dengan cara yang sama, w = f(x , y , z, ……) adalah fungsi yang kontinu dari variabel-variabel x, y, z ,…… dengan turunan parsial yang kontinu dan jika x, y, z , …… merupakan fungsi variabel t yang diferensiabel, turunan total w ke t dinyatakan oleh :

.........

dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw


Jika z = f(x, y) adalah fungsi variable x dan y yang kontinu dengan turunan parsialnya z/x dan z/y yang kontinu dan jika x dan y merupakan fungsi-fungsi kontinu x = g(r, s), y = h(r, s) dari variable bebas r dan s, maka z merupakan fungsi r dan s dengan :

Dengan cara yang sama, jika w = f(x, y, z, …….) merupakan fungsi kontinu dari n variable x, y, z, …… dengan turunan parsialnya w/x, w/y, w/z …… yang kontinu dan jika x, y, z,……. Merupakan fungsi yang kontinu dari m variable bebas r, s, t,……, maka :

r

y

y

z

r

x

x

z

r

z

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

dan


............

............

ds

dz

z

w

ds

dy

y

w

ds

dx

x

w

ds

dw

dr

dz

z

w

dr

dy

y

w

dr

dx

x

w

dr

dw

Contoh 3 : Cari dz/dt, bila diketahui

Z = x2 + 3xy + 5y2, x = sin t, y = cos t

x

z

dt

dxdt

dy

= 3x + 10y,

= cost, = - sint

= 2x + 3y, y

z


Contoh 4 : Carilah dz/dt, bila diketahui

Penyelesaian :

Maka ,dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

t

z

= (2x + 3y) cos t – (3x + 10 y) sin t

z = ln (x2 + y2), x = e-t dan y = et

tt edt

dze

dt

dx

yx

x

y

z

yx

x

x

z

,

2,

22222

Maka, dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

t

z


2222222

22

yx

xeyee

yx

xe

yx

x

x

z tttt

Maka :

Documents

kalkulus_turunan parsial