Kani

I. MÉTODO DE KANI

1.1. Generalidades

El método de Kani fue publicado inicialmente por G. Kani en la década de los

años 60, para calcular pórticos planos con miembro de sección transversal constante o

variable pero limitado a tres tipos. En el año 1960 fue modificado por el profesor

Takabeya, logrando reducir el cálculo en un 40 , con la limitante de ser aplicable solo

a estructuras con miembro de sección constante. Posteriormente en el año 2001, es

ampliada por el Prof. Peña Plaza, haciéndolo aplicable a miembros estructurales de

sección transversal constante o variable de cualquier tipo. Esta última versión es la

presentada en este trabajo.

Es un método, basado en las ecuaciones de rotación, sus incógnitas inmediatas

son los desplazamientos rotacionales de las juntas del sistema estructural. Es usado

para el cálculo de estructuras hiperestáticas del tipo pórticos planos. Es iterativo, de

fácil aplicación, presenta autoeliminación de errores en su procedimiento.

1.2. Procedimiento Kani-Takabeya-Peña

1.2.1. Deducción de las Ecuaciones Fundamentales.

Tomando un elemento estructural cualquiera ij.

S.E Mij Mji

i j

Sistema Original

Posición Deformada del elemento

1

iij j

Este sistema puede dividirse en los cuatro casos siguientes:

Caso 0: S.E

Mij Mji

Caso 1:

i Mij1 = EkijCii = Ci/C kij Mi Mji1 = EkijCi = kij Mi Sea: Mi = ECiCaso 2:

j Mij2 = EkijCj = kij Mj Mji2 = EkijCjj = Cj/C kij Mj Sea: Mj = ECj

Caso 3:

Mij3 = - Ekij (Ci + C) ij = (Ci + C)/3C kij Miij Mji3 = - Ekij (Cj + C) ij = (Cj + C)/3C kij Mi

Sea: Mi = -3CEij

Las expresiones de Momentos Definitivos, serán las sumas de los casos anteriores, así se tendrá que:

Mij = Moij + Ci/C kij Mi + kij Mj + (Ci + C)/3C kij Mi (1)

Mji = Moji + Cj/C kij Mj + kij Mi + (Cj + C)/3C kij Mi (2)

Kani definió:

bi = Ci + C/(3C)

bj = Cj + C/(3C)Mi = 2E i (3.1) (3)

2

Mj = 2E j (3.2)

Mi = -6E ij (3.3)

Sustituyendo estas expresiones en (1), se tiene que:

Mij = Moij + Ci/C kij 2Ei + kij 2Ej + (Ci + C)/3C kij (-6E ij) (4)

Comparando esta expresión con la ecuación de rotación siguiente:

Mij = MEij + Ek0 [Cii + Cj – (Ci + C) ij]

Se observa que para que exista una identidad absoluta entre (4) y la Ec de rotación, en (4) kij debe ser igual a k0* C/2

Para una mayor claridad en la exposición del método, se expone la deducción de la formulación de los efectos de giro y desplazabilidad por separado, así se tiene:

1.2.2. Momentos por efectos de giros de las juntas.

Tomando una junta i, cualquiera

Mij II

Por equilibrio estático, se tiene que: Mij III Me Mij – Me = 0

Mij I i

Mij IV

Sustituyendo la expresión (1), se tiene:

Moij + Ci/C kij Mi + kij Mj + (Ci + C)/3C kij Mi – Me = 0 i i i i

Despejando el término que contiene a Mi, se tiene:

Ci/C kij Mi = - [ M0ij – Me + kij Mj + (Ci + C)/3C kij Mi] (5) i i i i

Multiplicando la expresión (3.2) por Ci/C kij y aplicando sumatoria, se tiene:

3

Ci/C kij Mi = Ci/C kij 2E i i i

Ci/C kij Mi = 2E i Ci/C kij i i

2E i = Ci/C kij Mi / Ci/C kij i i

Sustituyendo en (3.2), se tiene:

Mi = Ci/C kij Mi / Ci/C kij i i

Sustituyendo (5)

Mi = - 1/Ci/C kij [ Moij – Me + kij Mj + (Ci + C)/3C kij Mi] i i

Sea:

Factor de Giro: i = - 1/Ci/C kij i

Momento de sujeción: Ms = Moij – Me

bi = Ci + C/3Cbj = Cj + C/3C

Entonces:

Mi = i [Ms + kij Mj + bi kij Mi] i i

Modificación de la Rigidez para elementos con extremos articulados:

Tomando un elemento con sus dos extremos rígidos y otro con un extremo articulado.

i i

Mij = EkijCii Mij = Ekij (Ci – C2/Cj)i

4

Igualando expresiones.

EkijCii = Ekij (Ci – C2 / Cj) i

kij = kij (1 – C2/(Ci Cj)) (6)

5

1.2.3. Algoritmo para la aplicación del Método de Kani a estructuras sin desplazabilidad.

1. Calcular: Moij, Moji, Ms, Ci, C, Cj.

2. Calcular: i = - 1/Ci/C kij i

3. Aplicar la formula:Mi = i [Ms + kij Mj ]

i

4. ¿Se logró la convergencia? SI : continuar

NO : ir al paso (3)

5. Calcular los Momentos Definitivos:Mij = Moij + Ci/C kij Mi + kij Mj

Mji = Moji + Cj/C kij Mj + kij Mi

6

1.2.4. Ejemplo: 1 Aplique el Método de Kani, para calcular los valores de

momento flector, en los extremos de los miembros, de la viga mostrada, cuya sección transversal es de 20 cm x 30 cm.

0,330 t/m

0,60 M 3M 4M 4M 2M 0,60M

Estudio Estático:

IND Uvext + Uvint – GlmbrosIND 10 + 0 – 3*1 07El sistema estructural el hiperestático de grado 7

Estudio Cinemático:

Analizando las características de los apoyos y las formas de vinculación de los miembros, se concluye que no existe compatibilidad de movimiento, por tal motivo el sistema estructural es estable.

Eliminando, los miembros isostáticos, se obtiene:

0,330 t/m

3M 4M 4M 2M

7

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

0,198 t

0,0594 t.m

0,198 t

0,0594 t.m

Momentos primarios

ME12 -0,33*32/12 -0,248 t.m ; ME

21 0,248 tm

Mo21 ME

21 + 1/2* M12 - ME12 0,342 tm

Mo23 ME

23 - 0,44 t m

Mo32 ME

32 0,44 t m

Mo34 ME

34 - 0,44 t m

Mo43 ME

43 0,44 t m

ME45 -0,11 t m ; ME

54 0,11 t m

Mo45 ME

45 + 1/2* M54 - ME54 -0,135 tm

Momentos de Sujeción

Junta 2

Ms2 0,342 - 0,44 -0,098 t m

Junta 3

Ms3 0,44 - 0,44 0,0 t m

Junta 4

Ms4 0,44 – 0,135 0,305 t m

8

Rigideces

Miembro I x 10-6 M4 L M Ko x 10-6 M3 Kij’ x 10-6 M31-2 450 3,0 150 112,52-3 450 4,0 112,5 112,53-4 450 4,0 112,5 112,54-5 450 2,0 225 168,75

Factores de Giro

i -1/Ci/C*Kij j -1/Cj/C*Kij i i

Junta: 2

2 -1/2*112,5 + 112,5x 106 -2222,22 x 106

Junta: 3

3 -1/2*112,5 + 112,5x 106 -2222,22 x 106

Junta: 4

4 -1/2*112,5 + 168,75x 106 -1777,78 x 106

9

35

Momentos por giro

Mi i*Ms + Kij*Mj i

Iteración: 1

Junta:2

M’2 = -2222,22 * [-0,098] = 217,778

Junta:3

M’3 = -2222,22 * [0 + 112,5 x 10-6*217,778] = -54,444

Junta:4

M’4 = -1777,78 * [0,305 + 112,5 x 10-6 * -54,444] = -531,334

Iteración: 2

Junta:2

M’2 = -2222,22 * [-0,098 + 112,5 x 10-6 * -54,444] = 231,389

Junta:3

M’3 = -2222,22 * [0 + 112,5 x 10-6 * 231,389 + 112,5 x 10-6 * -531,334] = 74,986

Junta:4

M’4 = -1777,78 * [0,305 + 112,5 x 10-6 * 74,986] = -557,220

10

-0,098

112,

5x10

-6

0,00 0,305

1 2 3 4 5

112,

5x10

-6

112,

5x10

-6

112,

5x10

-6

112,

5x10

-6

168,

75x1

0-6

2 = -2222,22 M2’217,778231,389199,031195,391194,981194,935194,930194,929194,929

3 = -2222,22 M3’-54,44474,98689,54791,18591,37091,39091,39391,39391,393

4 = -1777,78 M4’-531,334-557,220-560,132-560,460-560,497-560,501-560,502-560,502-560,502

0,44 0,342 -0,44 -0,44 0,44 0,135

Momentos Definitivos

M21 = 0,342 + 2*112,5x10-6 * 194,929 = 0,386 tm

M23 = -0,44 + 2*112,5x10-6 *194,929 + 112,5x10-6 * 91,393 = -0,386 tm

M32 = 0,44 + 2* 112,5x10-6 * 91,393 + 112,5x10-6 * 194,929 = 0,482 tm

M34 = -0,44 + 2*112,5x10-6 * 91,393 + 112,5x10-6 *(-560,502) = -0,482 tm

M43 = 0,44 + 2* 112,5x10-6 * (-560,502) + 112,5x10-6 *91,393 = 0,324 tm

M45 = -0,1353 + 2*168,75 x10-6 (-560,502) = -0,324 tm

11

1.2.5. Ejemplo: 2 Aplique el Método de Kani para calcular los valores de

momento flector, en los extremos de los miembros, del siguiente sistema estructural

Miembros de sección constante: 1-2 y 4-5

Sección: 20 cm x 30 cm

Miembros de sección variable: 2-3 y 3-4

Perfil longitudinal

20 cm

i jPlanta

Ci Cj 12,02 ; C 8,35

ME23 4,406 t.m ; ME

32 4,816 t.m

ME34 4,816 t.m ; ME

43 4,406 t.m

z 8*2*z2-2*z+13

12

1,5 t/m

40 cm

20 cm

1 t/m

2 3 4 53 M 6 M 6 M 3 M 1 M

1 t/m

11 M

Estudio Estático:

IND Uvext + Uvint – GlmbrosIND 10 + 0 – 3*1 07El sistema estructural el hiperestático de grado 7




Momentos primarios

ME12 -1*32/12 -0,75 t.m ; ME

21 0,75 tm

Mo21 ME

21 + 1/2* M12 - ME12 0,875

Mo23 ME

23 - 4,406 t m

Mo32 ME

32 4,816 t m

Mo34 ME

34 - 4,816 t m

Mo43 ME

43 4,406 t m

ME45 -0,75 t m ; ME

54 0,75 t m

Mo45 ME

45 + 1/2* M54 - ME54 -0,875

13

1,5 t/m

1 t/m

2 3 4 53 M 6 M 6 M 3 M

1 t/m

1

1 ton1 ton

0,5 t.m 0,5 t.m


Junta 2

Ms2 -0,875 - 4,406 -3,531 t m

Junta 3

Ms3 4,816 - 4,816 0,0 t m

Junta 4

Ms4 4,406 – 0,875 3,531 t m

Rigideces

Miembro I x 10-5 M4 L M Ko x 10-5 M3 Kij x 10-5 M3 K’ij x 10-5 M31-2 45 3,0 15 15 11,252-3 13,33 6,0 2,22 9,27 -3-4 13,33 6,0 2,22 9,27 -4-5 45 3,0 15 15 11,25

Factores de Giro


Junta: 2

2 -1/4/2*11,25 + 12,02/8,35*9,27*105 -2789,84

Junta: 3

3 -1/12,02/8,35*9,27 + 12,02/8,35*9,27*105 -3746,90

14

Junta: 4

4 -1/12,02/8,35*9,274+4/2*11,25*105 -2789,84

MOMENTOS POR GIRO

Mi i*Ms + Kij*Mj i

Junta: 02

M2 - 2789,84*-3,531 + 9,27x10-5 *M’3

Junta: 03

M2 - 3746,90*0 + 9,27x10-5 * M’2 + M’4

Junta: 04

M2 - 2789,84*3,531 + 9,27x10-5 *M’3

El resultado de las iteraciones, se presenta en la tabla siguiente:

ITERACIONESJUNTA 1 2 3 4 5 6

2 9850.925 10735.812 10009.900 9879.486 9856.056 9851.8473 -3421.597 -614.709 -110.436 -19.840 -3.564 -0.6404 -8966.038 -9691.950 -9822.364 -9845.794 -9850.003 -9850.759

ITERACIONESJUNTA 7 8 9 10 11

2 9851.091 9850.955 9850.930 9850.926 9850.9253 -0.115 -0.021 -0.004 -0.001 0.0004 -9850.895 -9850.920 -9850.924 -9850.925 -9850.925

15

MOMENTOS DEFINITIVOS

M21 0,875 + 4/2*11,25x10-5*9850,93 3,091 t.m

M23 - 4,406 + 12,02/8,35*9,27 x10-5*9850.93 -3,091 t.m

M32 4,816 + 9,27 x10-5*9850.93 5,729 t.m

M34 - 4,816 + 9,27 x10-5*-9850.93 - 5,729 t.m

M43 4,406 + 12,02/8,35*9,27 x10-5*-9850.93 3,091 t.m

M45 - 0,875 + 4/2*11,25x10-5*-9850.93 - 3,091 t.m

16

1.2.6. Momentos por efectos de desplazabilidad de la estructura.

Para facilitar la comprensión de la formulación matemática, setienen las siguientes consideraciones:

1.2.6.1. En un piso todas las columnas tienen la mismaaltura y están empotradas en sus extremos.

Tomando una columna cualquiera ij del sistema complementario.

Mij

i Vij Aplicando momento en la junta j, se tiene:

hij + ij Mj = 0 Mij + Mji + Vij * hij = 0

j Vji Despejando Vij, se tiene:

Mji Vij = -1/hij (Mij + Mji) (7)

Sumando los cortes de todas las columnas de un piso p:

Vij = - ( Mij + Mji)/hij p p

Sustituyendo las expresiones (1) y (2), sabiendo que en el sistema

complementario, no existen momentos primarios, se tiene:

Vij = -1/hij [ (Ci/C) kij Mi + kij Mj + (Ci + C)/3C kij Mi + p p p p

(Cj/C) kij Mj + kij Mi + (Cj + C)/3C kij Mi] p p

Sea:Vp = Vij p

Mp = Mi hp = hij

Agrupando términos semejantes:

17

Vp = Vij = -1/hij [ (Ci/C + 1) kij Mi + (Cj/C + 1) kij Mj p p p

+ (bi + bj) kij Mp] p

Dividiendo entre 3:

Vp * hij / 3 = -[ bi kij Mi + bj kij Mj + (bi + bj)/3 kij Mp] p p p

Despejando al término que contiene a Mp:

(bi + bj)/3 kij Mp = -[ Vp * hij / 3 + bi kij Mi + bj kij Mj] (8) p p p

Según la Ec. (3.3):

Mp = -6E ij ; Mp = -6E /hij (9)

Multiplicando por (bi +bj)/3 kij y aplicando sumatoria:

(bi + bj)/3 kij Mp = - 6 (bi + bj)/3 kij E ij p p

= - 6 (bi + bj)/3 kij E */hij p

Despejando /hij:

/hij = (bi + bj)/3 kij Mp / (-6 (bi + bj)/3 kij E) p p

Sustituyendo en (9):

Mp = -6.E. (bi + bj)/3 kij Mp / (-6 (bi + bj)/3 kij E) p p

Sustituyendo (8):

Mp = -1 / ( (bi + bj)/3 kij) [Vp * hij / 3 + bi kij Mi + bj kij Mj] p p p

Sea: cp = -3/(2 (bi + bj)/2 kij): Factor de corrimiento del piso p. p

Mp = Vp * hij / 3: Momento de piso.

Entonces:

18

Mp = cp [Mp + bi kij Mi + bj kij Mj p p

1.2.6.2. En un piso pueden existir columnas de diferente altura yempotradas en sus extremos.

Sea el caso siguiente:

hij2

hij3

hij1

Se tomará una altura como referencia: hp = hij1 : Altura Patrón.

Definiendo:

Cij1 = hp/hij1 ; Cij2 = hp/hij2 ; Cij3 = hp/hij3

Entonces: hij = hp/Cij

Sustituyendo en (7).

Vij = -1 / hp / Cij*(Mij + Mji)

Sustituyendo las expresiones de momentos definitivos y agrupando términos semejantes.

Vij = -1 / hp / Cij [ (Ci/C + 1) kij Mi + (Cj/C + 1) kij Mj + (bi + bj) kij Mi]

Aplicando sumatoria y dividiendo entre 3

Vp * hp/3 = -[ Cij bi kij Mi + Cij bj kij Mj + Cij (bi + bj)/3 kij Mi]p p p

Despejando el término que contiene a Mi

19

Cij(bi + bj)/3kijMi = -[ Vp*hp/3 + CijbikijMi + CijbjkijMj] (10) p p p

Tomando la expresión: Mi = -6E ij = -6E /hij * hp/hp = -6E Cij /hp (11)

Multiplicando por Cij (bi + bj)/3 kij y aplicando sumatoria, se tiene:

Cij (bi + bj)/3 kij Mi = -6E Cij2 (bi + bj)/3 kij * /hp p p

Despejando /hp:

/hp = Cij (bi + bj)/3 kij Mi / (-6E Cij2 (bi + bj)/3 kij) p p

Sustituyendo (10):

/hp = -[Vp*hij/3 + Cij bi kij Mi + Cij bj kij Mj]/(-6E Cij2 (bi + bj)/3 kij) p p p

Sustituyendo en (11):

Mi = -6ECijVp*hp/3+ Cij bi kij Mi + Cij bj kij Mj/(-6E Cij2 (bi + bj)/3kij) p p p

Mi = -Cij Mp + Cij kij (bi Mi + bj Mj)/( Cij2 (bi + bj)/3kij) p

Mi = Cij Mp

Mp = cp [Mp + Cij kij (bi Mi + bj Mj)]

pc = -3/2 * 1/( Cij2 (bi + bj)/2 kij)

1.2.6.3. En un piso pueden existir columnas de diferente altura y conun extremo articulado.

Se requiere establecer una relación entre una columna con sus dos extremos

empotrados y otra con un extremo articulado.

20

i i ij ij

hij hij

j j

Mij = -EK0 (Ci + C) ij Mij = -EK0 (Ci - C2/Cj) ij Mij = -EK0(Ci + C) /hij Mij = -EK0 (Ci - C2/Cj)/hij

Modificando la rigidez como lo muestra la expresión 6 e igualando las

expresiones, para determinar la relación entre las alturas de las columnas mostradas

arriba, se tiene:

-EK0/hij (Ci+C) = -EK0 (Ci - C2/Cj)/hij

-EK0 (1 – C2 / (Ci Cj))(Ci + C) /hij = -EK0 (Ci - C2/Cj) /hij

hij (Ci - C2/Cj) = hij (1 – C2 / (Ci Cj)) (Ci + C)

hij = hij (Ci Cj - C2 )/ (Ci Cj)*Ci+C Cj / (Ci Cj - C2)

hij = hij (Ci + C)/Ci Sea mij = (Ci + C)/Ci

hij = hij * mij

Si la articulación esta en i, se obtiene en forma análoga que:

hij = hij (Cj + C)/Cj ; mji = (Cj + C)/Cj

hij = hij * mji

Se requiere determinar una expresión para Mi, valida para columnas con un

extremo articulado.

Tomando una columna ij cualquiera.

Mij Aplicando momento en j i Vij

21

+ hij Mj = 0 Mij + Vij * hij = 0

Vij = - Mij / hijj

Sustituyendo la expresión:

Mij = Moj + Ci/C kij Mi + kij Mj + bi kij Mi

Vij = -1/hij [Ci/C kij Mi + bi kij Mi] (12)

Se sabe que: hij = hij (Ci + C)/Ci y Cij = hp/hij hij = hp/Cij

hij = hij Ci/(Ci + C)hij = hp/Cij * Ci/(Ci + C)

Sustituyendo en (12)

Vij = -1 /(hp*Ci)/(Cij (Ci + C))Ci/C kij Mi + bi kij Mi]

Aplicando sumatoria y dividiendo entre 3:

Vp/3 = -1/hp [(Ci + C)/3CiCij Ci/C kij Mi + (Ci + C)/3Ci Cij bi kij Mi] p p

Despejando el término que contiene a Mi

(Ci + C)/3CiCij bi kij Mi = -[Vp * hp/3 + (Ci + C)/3Ci Cij Ci/C kij Mi] p p

(Ci + C)/Ci Cij bi kij Mij = -3 [Vp * hp/3 + Cij bi kij Mi] (13) p p

Tomando la expresión:

Mi = -6E ij = -6E /hij = -6E /hp Cij

Multiplicando por (Ci + C)/Ci Cij bi kij y aplicando sumatoria:

(Ci + C)/Ci Cij bi kij Mi = -6E Cij2 (Ci + C)/Ci bi kij /hp p p

Despejando /hp

22

/hp = (Ci + C)/Ci Cij bi kij Mi / (-6E Cij2 (Ci + C)/Ci bi kij) p p

Sustituyendo en Mi = -6ECij /hp

Mi = -6ECij * (Ci + C)/Ci bi kij Mi / (-6E Cij2 (Ci + C)/Ci bi kij) p p

Sustituyendo (13):

Mi = Cij (-3)*[Vp * hp/3 + Cij bi kij Mi] / ( Cij2 (Ci + C)/Ci bi kij) p p

Mi = Cij*(-3/2)*1/ ( Cij2 (Ci + C)/Ci bi/2 kij) [Vp * hp/3 + Cij bi kij Mi] p p

Sabiendo que: Mp = Vp * hp/3 y mij = (Ci + C)/Ci , entonces:

Mi = Cij * (-3/2) * 1 / ( Cij2 mij bi/2 kij) [Mp + Cij bi kij Mi] p p

1.2.6.4. En un piso pueden existir columnas de diferente altura, algunascon sus dos extremos empotrados y otras con un extremo articulado

Sí dentro de un mismo piso (p) existen columnas con un extremo articulado y

otras, con ambos extremos rígidos, las expresiones de los casos anteriores pueden

integrarse para encontrar una, que sea aplicable en cualquier condición. Así se obtiene:

Mp = ci [Mp + Cij kij (bi Mi + bj Mj] p

Mi = Cij MpDonde:

ci = -3/(2* Cij2 *m*(bi + bj)/2 * kij) p

Con las siguientes condiciones:

m bi bj

1 Ci + C/3C Cj + C/3C

23

i

j

i

Ci + C/Ci Ci + C/3C 0

Cj + C/Cj 0 Cj + C/3C

24

j

i

j

1.2.7. Algoritmo para la aplicación del Método de Kani a estructurasdesplazables en dirección horizontal.

1. Calcular: Moij, Moji, Ms, Ci, C, Cj, Mp.

2. Calcular: i = -1/( Ci/C kij) i

3. Calcular: ci = -3/(2 Cij2 m (bi + bj)/2 kij) p

4. Aplicar: Mp = ci [Mp + Cij kij (bi Mi + bj Mj)] p

5. Aplicar: Mi = i [Ms + kij Mj + kij Cij bi Mp] i i

6. ¿ Se logró la convergencia?SI: ContinuarNO: Ir al paso 4

7. Calculas los momentos definitivos:

Mij = Moij + kij Ci/C Mi + kij Mj + Cij bi kij Mp

Mji = Moji + kij Cj/C Mj + kij Mi + Cij bj kij Mp

25

1.2.8. Ejemplo: 3 Aplique el método Kani para calcular los valores de momento flector

en los extremos de los miembros del siguiente sistema estructural.

S3 S33

4 5 6

S1 S1 3

2

1

1,5 M 4,5 M 1,5 M 2 M 1 M

S1: 40 x 45cm2

S2: 30 x 40cm2

S3: 30 x 30cm2

f’c: 200 kg/cm2

26

1,5 M

0,5 M

3,0 M 0,7 t/m

2,5 M

1,5 M

0,5 t

1,4 t/m0,8 t/m

1,2 t/m 0,5 t/m

S3

S1

S2 S2

7 8

Cálculo de la Indeterminación de la estructura Uvext = 8 Uvint = 2 glmbros = 3*1 = 3

IND = 8 + 2 – 3 = 07

Eliminación de volados

0,7 Y1 Y2 Y1 = 0,147,5 1,5 6 Y2 = 0,56

Volado: 7

FH7 = 1,4 tonFV7 = 1,695 tonM7 = (1,2 – 1,06) * 1,5 /2* 2/3 * 1,5 + 1,06 * (1,5)2 /2 –

0,7*2*0,5

M7 = 0,598 t.m

Volado: 8FH8 = 0,5 ton

0,64t/m 0,5t/m FV8 = 0,855 tonM8 = (0,64 – 0,5) * 1,5/2 * 1/3 * 1,5 + 0,5 * (1,5)2 /2+

0,5 * 0,5 0,5 t

M8 = 0,865

Volado: 4

FV4 = 2,1ton M4 = 1,575ton.m

Volado: 6

FV6 = 0,8tonM6 = 0,4t.m

27

1,2t/m 1,06t/m

1,695 t

1,06 t/m 0,855 t

0,64 t/m

0,598 t.m 0,5 t

1,4 t 7 8 0,865 t.m

0,8 t

2,1t 1,4t/m 0,8t/m1,575 t.m

0,4 t.m

0,7t/m 5 6

Cálculo de Momentos Primarios

Mº78 = ME78 + ½(M87 - ME

87)

ME78 = -0,64*(4,5)2 /12 - 0,42*(4,5)2 /20 = -1,08 – 0,425 = -1,505t.m

ME87 = 0,64*(4,5)2 /12 + 0,42*(4,5)2 /30= 1,08 + 0,284 = 1,364t.m

Mº78 = -1,505 + ½*(0,865 – 1,364) = -1,755 t.m Mº78 = -1,755t.m

Mº45 = ME45 = -1,4*(4,5)2 /12 = - 2,363t.m Mº45 = - 2,363t.m

Mº54 = 2,363t.m

Mº56 = ME56 = -0,8*(3,5)2 /12 = -0,817t.m Mº56 = -0,817t.m

Mº65 = 0,817t.m

Mº41 = 0,7*(4)2 /8 = 1,4t.m Mº41 = 1,4t.m

Mº47 = ME47 = wa2 (6 - 8a + 3a2)L2 /12 ; Mº74 = ME

74 = w.a3 (4 – 3a)L2 /12

aL = 3 a = 3/3,5 = 0,857.

Mº47 = -0,707t.m ; Mº74 = 0,643t.m Mº47 = -0,707t.m

28

1 23

4

Mº74 = 0,643t.m

Cálculo de Momentos de Sujeción

Ms7 = -1,755 + 0,643 – (-0,598) = -0,514Ms4 = -0,707 – 2,363 + 1,4 – (-1,575) = -0,095 Ms5 = 2,363 – 0,817 = 1,546Ms6 = 0,817 – 0,4 = 0,417

Cálculo de la Rigidez de los miembros

MBRO I*10-6M4 LM KM3 K K´1 – 4 3037,5 4,0 759,375 5,063*Kr 3,797*Kr2 – 5 “ 4,0 “ “3 – 6 “ 2,5 1215 8,10*Kr4 – 5 1600 4,5 355,56 2,370*Kr5 – 6 “ 3,5 457,14 3,048*Kr4 – 7 675 3,5 192,86 1,286*Kr5 – 8 “ 3,5 “ “ 0,965*Kr7 – 8 “ 4,5 150 Kr 0,750*Kr

29

Cálculo de factores de giro : i = - 1/2* 1/ Σ kij

Junta 7 :

μ7 = - ½*1/( ¾ + 1,286) = - 0,246

Junta 4 :

μ4 = - ½*1/(1,286 + 2,37 + 3,797) = - 6,709 x10-2

Junta 5 :

μ5 = - ½*1/(0,965 + 3,048 + 5,063 + 2,37) = - 4,368 x10-2

Junta 6 :

μ6 = - ½*1/(3,048 + 8,10) = - 4,485 x10-2

Cálculo de factores de corrimiento

μcp = -3/2*1/[Σ kij C2ij

*(bi + bj)/2*m]

Piso 2

hp = 3,5*1,5 = 5,25

C47 = 5,25/3,5 = 1,5 ; C58 = 5,25/5,25 = 1

μC2 = -3/2*1/[(1,5)2*1*1*1,286 + 12*1/2*3/2*0,965] = -0,415

Piso 1

hp = 4 * 1,5 = 6

C14 = 6/6 =1 ; C25 = 6/4 = 1,5 ; C36 = 6/2,5 = 2,4

μC1 = -3/2*1/[12*1/2*3/2*3,797 + (1,5)2*1*1*5,063 + (2,4)2*1*1*8,10] = -0,0246

30

Cálculo de Momentos de piso

Piso: 2 7 0,643 + F7 M4 = 0 0,643 – 0,707 + 0,7 * 32 - F7 * 3,5 = 0

2 F7 = 0,882

F4 FH = 0 F4 = 1,218 0,707

4

1,4 + 0,882 0,5

Qp2

Vp2 = 1,4 + 0,882 –0,5 = 1,782 Mp2 = 1,782 * 5,25 /3 = 3,119

Piso: 1

1,4 + 0,882 0,5

1,218 + 1,75

Qp1

1,4 t.m F4

1 + M1 = 0 = 1,4 + 0,7 * 42 / 2 - F4

1 * 4 = 0 F4

1 = 1,75

Vp1 = 1,4 + 0,882 + 1,218 + 1,75 – 0,5 = 4,75Mp1 = 4,75 * 6 / 3 = 9,50

31

1

4

FORMULACIÓN A APLICAR EN LAS ITERACCIONES

Momentos por DesplazabilidadM’’p = μcp [Mp+ Σ kij * Cij

*(bi * M’i+ bj *M’j)] p

Piso:2M’’2 = - 0,415 [ 3,119 + 1,5 * 1,286 (M’7 + M’4 ) + 1*0,965* M’5]Piso:1M’’1 = - 0,0246 [ 9,50 + 1*3,797* M’4 +1,5*5,063* M’5+2,4*8,10*M’6]

Momentos por Giro

Mi = i [Ms + kij Mj + bi * kij * Cij * Mp] i i

Junta:7 M’7 = - 0,246 [ - 0,514 +1,286 * M’4 + 1,286 * 1,5 * M”2]

Junta:4M’4 = -6,709x10-2 [ -0,095 + 1,286 * M’7 + 2,37*M’5+1,286*

1 ,5*M”2+3,797*1*M”1]

Junta:5M’5 = - 4,368x10-2 [1,546 + 2,37 * M’4+3,048*M’6+0.965*M”2+5,063*1,5*M”1]

Junta:6M’6 = - 4,485x10-2 [0,417 + 3,048 * M’5

+ 8,10 * 2,4 * M”1] = 0,178

ITERACCIÓN: 1

Momentos por DesplazabilidadPiso:2

M’’2 = - 0,415 [ 3,119 + 1,5 * 1,286 (0 * 1 + 0 * 1 ) + 1*0,965* 0] = -1,294 Piso:1

M’’1 = -0,0246 [ 9,50 ] = - 0,234

32

Momentos por GiroJunta:7 M’7 = - 0,246 [ - 0,514 + 0 + 1,286 * (-1,294) * 1,5 * 1] = 0,740

Junta:4M’4 = -6,709x10-2 [ -0,095 + 1,286 * 0,740 + 1,286*(-1,294) *1,5*1+3,797*(-0,234)]

= 0,170

Junta:5M’5 = - 4,368x10-2 [1,546+2,37*0,170+0,965 (-1,294)*1*1+5,063 (- 0,234)*1,5 * 1]

= 0,047

Junta:6M’6 = - 4,485x10-2 [0,417 + 3,048 * 0,047 + 8,10 * (-0,234)*2,4 * 1] = 0,179

ITERACCIÓN: 2

Momentos por Desplazabilidad

Piso:2

M’’2 = - 0,415 [3,119 + 1,5 * 1,286 (0,74 + 0,170) + 1 * 0,965*0,047] = - 2,042

Piso:1

M’’1 = - 0,0246 [9,50 + 1* 3,797 * 0,170 + 1,5 * 5,063 * 0,047 + 2,4 * 8,10 * 0,179]

= - 0,344

Momentos por Giro

Junta:7M’7 = - 0,246 [ - 0,514 + 1,286 * 0,170 + 1,286 * (-2,042)*1,5 * 1] = 1,042

Junta:4M’4 = - 6,709x10-2 [- 0,095 + 1,286 * 1,042 + 2,37 * 0,047 + 1,286 (-2,042)*1,5 *

1+3,797*(-0,344)*1*1] = 0,261

Junta:5M’5 = - 4,368x10-2 [ 1,546 + 2,37 * 0,261 + 3,048 * 0,179 + 0,965 (-2,042) * 1 * 1 +

5,063 * ( -0,344) * 1,5 * 1] = 0,082

Junta:6M’6 = - 4,485x10-2 [ 0,417 + 3,048*0,082 + 8,10 (-0,344) * 2,4 * 1] = 0,270

33

El procedimiento de las iteraciones continúa hasta lograr la convergencia en los valores de momentos por giro y por desplazabilidad. El cuadro que sigue a continuación muestra el resultado de las iteraciones.

MOM. POR ITERACIONES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

DESPPISO2 -1,294 -2,042 -2,370 -2,511 -2,572 -2,599 -2,611 -2,616 -2,618 -2,619 -2,620 -2,6201 -0,234 -0,344 -0,402 -0,433 -0,448 -0,456 -0,459 -0,461 -0,462 -0,462 -0,463 -0,463

GIRO

JUNTA7 0,741 1,042 1,169 1,222 1,246 1,256 1,260 1,262 1,263 1,263 1,263 1,2634 0,170 0,261 0,302 0,320 0,329 0,333 0,335 0,336 0,336 0,336 0,336 0,3365 0,047 0,082 0,099 0,106 0,110 0,111 0,112 0,112 0,112 0,112 0,112 0,1126 0,179 0,270 0,319 0,344 0,357 0,363 0,366 0,368 0,369 0,369 0,369 0,369


M78 = -1,755 + 2 * 0,75 * (1,263) + 0,75 * 0 + 0 = 0,139 tm

M74 = 0,643 + 2 *1,286 (1,263) + 1,286 * (0,336) + 1,5 *1,286 * (-2,620) = -0,730 tm

M47 = -0,707 + 2 * 1,286 (0,336) + 1,286 * (1,263) + 1,5 * 1,286 (-2,620) = -3,273 tm

M45 = - 2,363 + 2 *2,37 (0,336) + 2,37 (0,112) + 0 = -0,505 tm

M41 = 1,40 + 2 *3,797 (0,336) + 0 + 1 * 3,797 * (-0,463) = 2,194 tm

M58 = 0 + 2 * 0,965 (0,112) + 0 + 1 * 0,965 (-2,620) = -2,312 tm

M56 = -0,817 + 2 * 3,048 (0,112) + 3,048 (0,369) + 0,0 = 0,990 tm

M52 = 0 + 2 * 5,063 (0,112) + 5,063 (0) + 1,5 * 5,063 * (-0,463) = -2,382 tm

M54 = 2,363 + 2 * 2,37 (0,112) + 2,37 (0,336) + 0 = 3,690 tm

M65 = 0,817 + 2 * 3,048 (0,369) + 3,048 (0,112) = 3,408 tm

M63 = 0 + 2 * 8,10 (0,369) + 0 + 2,4 * 8,10 * (-0,463) = -3,023 tm

M25 = 0 + 2 * 0 + 5,063 * 0,112 + 1,5 * 5,063 * (-0,463) = -2,949 tm

M36 = 0 + 2 * 0 + 8,10 * 0,369 + 2,4 * 8,10 (-0,463) = -6,012 tm

34

35

1.2.9. Ejemplo: 4Aplique el Método de Kani para calcular los valores de momento

flector, en los extremos de los miembros, del siguiente sistema estructural.

1 M

S3 3 M

S1 S2 S22 M

S1 2,5 t

2 M

1 M 2 M 1 M 3 M 1 M 2,5 M 1 M

Miembros de sección constante.S1: 35 cm x 35 cm S2: 20 cm x 30 cm S3: 25 cm x 25 cm

Miembros de sección variable.Perfil longitudinal Perfil longitudinal y planta

30 cm

i jPlanta Ci C 8

Cj 32

Ci Cj 12,02 ; C 8,35 jME

89 4,406 t.m ; ME98 4,816 t.m

36

1 t/m

1,5 t/m

2,2 t/m

0,75

t/m

60 cm

20 cm

20 cm i

40 cm

1 2 3 4

5 6 7

8 9

8 9

5 6

2 3

z 8*2*z2-2*z+13

Estudio Estático:

IND Uvext + Uvint – GlmbrosIND 11 + 02 – 3*2 07




1 M

S3 3 M

S1 S2 S22 M

S1 2,5 t

2 M

1 M 2 M 1 M 3 M 1 M 2,5 M 1 M

Momentos primarios

37

1 t/m1,5 t/m

2,2 t/m

0,75

t/m

1 2 3 4

5 6 7

89

1,5 ton

0,75 t/m

1 ton0,125 tm

2,2 ton

1,1 ton

2,2 ton

1,1 tm

0,75 ton

Mo18 ME

18 -3,063 t m

Mo81 ME

81 3,063 t m

Mo56 ME

56 -1,650 t m

Mo65 ME

65 1,650 t m

Mo67 ME

67 -2,246 t m

Mo76 ME

76 2,246 t m

Mo47 ME

47 1,250 t m

Mo74 ME

74 -1,250 t m

Mo69 ME

69 + ½* M96 - ME96 0,375 t m

Mo89 ME

89 + C/Cj* M98 - ME98 -7,752 t m


Junta 5

Ms5 -1,650 + 1,100 -0,550 t m

Junta 6

Ms6 -1,650 – 2,246 + 0,375 -0,221 t m

Junta 7

Ms7 2,246 – 1,100 – 1,250 -0,104 t m

Junta 8

Ms8 -7,752 + 3,063 + 0,125 -4,564 t mMomentos de PisoPiso: 2

38

2,625+0,750 t 0,375 t

Qp2

M6 0 0,75 + 0,375 – F9*3 0

F9 0,375 t

Qp2 2,625 + 0,750 + 0,375 3,75 t Mp2 3,75*7/3 8,75 tm

39

8 9

3,063 tm

2,625 t

3,063 tm

F90,75 tm

0,375 tm

Piso: 1

2,625+0,750 t 0,375 t

Qp1

Qp1 2,625 + 0,750 + 0,375 – 0,375 –1,250 2,125 t Mp1 2,125*4/3 2,833 tm

Rigideces

Miembro I x 10-4 M4 L M K M3 K Kmod2-5 1,333 4,0 1,333 1,229* Kr 0,922* Kr3-6 1,333 4,0 1,333 1,229* Kr4-7 12,51 4,0 3,128 2,883* Kr1-8 12,51 7,0 1,787 1,647* Kr6-9 3,255 3,0 1,085 Kr 0,750* Kr5-6 4,500 3,0 1,500 1,382* Kr6-7 4,500 3,5 1,286 1,185* Kr8-9 4,500 6,0 3,131 2,886* Kr 1,493* Kr

40

8 9

0,375 1,250

1,250

1,250

2,50

1,250

1,250

5 6 7

Factores de Giro


Junta: 5

5 -1/8/8*0,922+2*1,382 -0,271

Junta: 6

5 -1/2*0,75+2*1,185+8/8*1,229+2*1,382 -0,127

Junta: 7

7 -1/2*2,883+2*1,185 -0,123

Junta: 8

8 -1/12,02/8,35*1,493+2*1,647 -0,184

Factores de Corrimiento

Ci -3/2*m*Cij*bi+bj/2*Kij P

Columnas h hp Cij m bi BjPiso 2

1-8 7 7 1 1 1 16-9 3*1,5 4,5 1,556 3/2 0 1

Piso 12-5 4*Ci+C/Ci8

81 2 2/3 0

3-6 4 2 1 2/3 5/34-7 4 2 1 1 1

Piso: 02

C2 -3/2*1/1*12*1*1,647+3/2*1,5562*1/2*0,75 -0,499

Piso: 01

41

C1 -3/2*1/2*12*2/3+0/2*0,922+1*22*2/3+5/3/2*1,229+1*22*1*2,883 - 8,388x10-2

ITERACIONES

MOMENTOS POR DESPLAZABILIDAD

Mp CP*Mp + Cij*Kij*bi*Mi+bj Mj P

Piso: 02

Mp -0,499*8,755 + 1*1,647* M8 + 1,556*0,75* M6

Piso: 01

Mp -8,388x10-2*2,833 + 1*0,922*2/3*M5 + 2*1,229*2/3*M6+ 2*2,883*M7

MOMENTOS POR GIRO

Mi i*Ms + Kij*Mj + Kij*bi*Cij* Mp i i

Junta: 08

M8 - 0,184*-4,57 + 1,647*M2

Junta: 05

M5 - 0,271*-0,55 + 1,382* M6 + 0,922*2/3*M1

Junta: 06

M6 - 0,127*-0,22 + 1,382* M5 + 1,185* M7 + 0,75*1,556*M2

+ 1,229*2/3*2*M1Junta: 07

M7 - 0,123*-0,10 + 1,185* M6 + 2,883*2*M1ITERACIÓN 01

42


Piso: 02

M2 -0,499*8,755 -4,369

Piso: 01

M1 -8,388x10-2*2,833 -0,238

MOMENTOS POR GIRO

Junta: 08

M8 - 0,184*-4,57 + 1,647*-4,369 2,165

Junta: 05

M5 - 0,271*-0,55 + 1,382* 2/3*-0,238 0,189

Junta: 06

M6 - 0,127*-0,22 + 1,382* 0,189 + 0,75*1,556*-4,369 + 1,229*2/3*2*-0,238 0,692

Junta: 07

M7 - 0,123*-0,10 + 1,185*0,692 + 2,883*2*-0,238 0,080

ITERACIÓN 02

43


Piso: 02

M2 -0,499*8,755+1,647*2,165+1,556*0,75*0,692 -6,551

Piso: 01

M1 -8,388x10-2*2,833+0,922*2/3*0,189+2*1,229*2/3*0,692+2*2,883*0,080 - 0,381

MOMENTOS POR GIRO

Junta: 08

M8 - 0,184*-4,57 + 1,647*-6,551 2,826

Junta: 05

M5 - 0,271*-0,55 + 1,382*0,692+0,922*2/3*-0,381 -0,047

Junta: 06

M6-0,127*-0,22+1,382*-0,047+1,185*0,080+0,75*1,556*-6,551+1,229*2/3*2*-0,381 1,074

Junta: 07

M7 - 0,123*-0,10 + 1,185*1,074 + 2,883*2*-0,381 0,126

El resultado de los momentos por giro y por desplazabilidad de once iteraciones, se presenta en la tabla siguiente:

44

MOMENTOS POR

ITERACIONES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

DESP. PISO2 -4.366 -6.547 -7.312 -7.586 -7.684 -7.719 -7.731 -7.735 -7.737 -7.738 -7.7381 -0.238 -0.381 -0.444 -0.468 -0.478 -0.481 -0.482 -0.483 -0.483 -0.483 -0.483

GIRO JUNTA8 2.163 2.824 3.056 3.139 3.168 3.179 3.183 3.184 3.184 3.185 3.1855 0.189 -0.046 -0.179 -0.229 -0.246 -0.252 -0.254 -0.255 -0.255 -0.256 -0.2566 0.692 1.074 1.217 1.267 1.285 1.292 1.294 1.295 1.295 1.295 1.2957 0.081 0.127 0.150 0.160 0.164 0.166 0.166 0.166 0.167 0.167 0.167


M89 -7,752 + 12,02/8,35*1,493*3,185 -0,907 t.m

M81 3,063 + 2*1,647*3,185+1*1*1,647*-7,738 0,810 t.m

M18 3,063 + 1,647*3,185+1*1*1,647*-7,738 -4,436 t.m

M56 -1.650 + 1,382*2*-0,256+1,382*1,295 -0,568 t.m

M65 1,650 + 1,382*2*1,295+1,382*-0,256 4,876 t.m

M52 0 + 8/8*0,922*-0,256+1*2/3*0,922*-0,483 -0,533 t.m

M69 0,375 + 2*0,75*1,295+1,556*1*0,75*-7,738 -6,713 t.m

M67 -2,246 + 2*1,185*1,295+1,185*0,167 1,021 t.m

M76 2,246 + 2*1,185*0,167+1,185*1,295 4,176 t.m

M63 0 + 8/8*1,229*1,295+2*2/3*1,229*-0,483 0,800 t.m

M36 0 + 1,229*1,295+2*5/3*1,229*-0,483 -0,387 t.m

M74 -1,250+2*2,883*0,167+2*1*2,883*-0,483 -3,072 t.m

M47 1,250+2,883*0,167+2*1*2,883*-0,483 -1,054 t.m

45

1.3. Comparación del Método de Kani en su versión original con el Procedimiento Kani-Takabeya-Peña

Para efectos de comparación de los dos procedimientos, se presenta a

continuación el ejemplo N° 3 resuelto en el punto 1.2.8 empleando la metodología

Kani-Takabeya-Peña, ahora usando la versión original del Método de Kani.

La primera parte de ambos procedimientos es idéntica, las variaciones

comienzan en el cálculo de los factores de giro, por lo que se iniciará desde ese punto.

Cálculo de los Factores de Giro

ij = -1/2 * Kij / Di

Di = Kij

Junta: 7

D7 = 0,750 + 1,286

78 = - 0,5 * 0,750/D7 = -0,184

74 = - 0,5 * 1,286/ D7 = -0,316

Junta: 6

D6 = 3,048 + 8,10

65 = - 0,50 * 3,048 / D6 = -0,137

63 = - 0,50 * 8,10 / D6 = -0,363

Junta: 4

D4 = 1,286 + 2,370 + 3,797

47 = - 0,50 * 1,286 / D4 = -0,0862

45 = -0,50 * 2,370 / D4 = -0,159

41 = -0,50 * 3,797 /D4 = -0,255

46

Junta: 5

D5 = 0,965 + 3,048 + 5,063 + 2,370

58 = -0,50 * 0,965 / D5 = - 4,215x10-2

54 = 0,50 * 2,370 / D5 = - 0,104

56 = -0,50 * 3,048 / D5 = -0,133

52 = - 0,50 * 5,063 / D5 = -0,221

Cálculo de Factores de Corrimiento

Cij = -3/2 * cij kij/ Dpi Dpi cij2 (bi + bj) m kij 2

Piso: 2

hp = 3,5*1,5 = 5,25

C47 = 5,25/3,5 = 1,5 ; C58 = 5,25/5,25 = 1

Dp2 = (1,5)2 *1*1*1,286 + 12 * ½ * 3/2 *0,965

C47 = -3/2 * 1,5*1,286 / Dp2 = -0,80

C52 = -3/2 * 1 * 0,965 / Dp2 = -0,40

Piso: 1

hp = 4 * 1,5 = 6

C14 = 6/6 =1 ; C25 = 6/4 = 1,5 ; C36 = 6/2,5 = 2,4

Dp1 = 12 * ½ * 3/2 * 3,797 + (1,5)2 * 1 * 1 * 5,063 + (2,4)2 * 1 * 1 * 8,10

C14 = -3/2 * 1* 3,797 / Dp1 = -0094

47

C25 = -3/2 * 1,5 * 5,063 / Dp1 = -0,187 C36 = -3/2 * 2,4 * 8,10 / Dp1 = -0,479

Cálculo de Momentos de piso (Identico en ambos procedimiento)

Piso: 2

7 0,643 + F7 M4 = 0 0,643 – 0,707 + 0,7 * 32 - F7 * 3,5 = 0

2 F7 = 0,882

F4 FH = 0 F4 = 1,218 0,707

4

1,4 + 0,882 0,5

Qp2

Qp2 = 1,4 + 0,882 –0,5 = 1,782 Mp2 = 1,782 * 5,25 /3 = 3,119

Piso: 1

1,4 + 0,882 0,5

1,218 + 1,75

Qp1

48

Qp1 = 1,4 + 0,882 + 1,218 + 1,75 – 0,5 = 4,75

1,4 t.m 4 F4

1

+ M1 = 0 = 1,4 + 0,7 * 42 / 2 - F4

1 * 4 = 0 1

F41 = 1,75

Mp1 = 4,75 * 6 / 3 = 9,50

ITERACIÓN: 1


Piso 2

M″47 = - 0,80 [ 3,119] = -2,495 M″58 = - 0,40 [3,119 ] = -1,248Piso:1

M″14 = -0,094 [ 9,50 ] = - 0,893

M″25 = -0,187 [ 9,50 ] = - 1,777

M″36 = -0,479 [ 9,50 ] = - 4,551

Momentos por giro

Junta:7

M′74 = - 0,316 [- 0,514 -2,495] = 0,951

M′78 = - 0,184 [- 0,514 -2,495] = 0,554

Junta:4

M′47 = -0,086 [ -0,095 + 0,951 - 2,495 – 0,893] = 0,218

M′45 = -0,159 [ -0,095 + 0,951 - 2,495 – 0,893] = 0,403

M′41 = -0,255 [ -0,095 + 0,951-2,495 – 0,893] = 0,646

49

Junta:5

M′58 = - 0,042 [ 1,546 + 0,403 – 1,248 – 1,777] = 0,0452

M′56 = - 0,133 [ 1,546 + 0,403 – 1,248 – 1,777] = 0,143

M′52 = - 0,221 [ 1,546 + 0,403 – 1,248 – 1,777] = 0,238

M′54 = - 0,104 [ 1,546 + 0,403 – 1,248 – 1,777] = 0,112

Junta:6

M′65 = - 0,137 [0,417 + 0,143 – 4,551] = 0,547

M′63 = - 0,363 [0,417 + 0,143 – 4,551] = 1,449

ITERACIÓN: 2


Piso:2

M′47 = - 0,80 [3,119 + 1,5 (0,951 + 0,218) + 1 (0,0452] = - 3,934

M′58 = - 0,40 [3,119 + 1,5 (0,951 + 0,218) + 1 (0,0452] = - 1,967

Piso:1

M″14 = - 0,094 [9,50 + 1 * 0,646 + 1,5 * 0,238 + 2,4 * 1,449] = - 1,314

M″25 = - 0,187 [9,50 + 1 * 0,646 + 1,5 * 0,238 + 2,4 * 1,449] = - 2,614

M″36 = - 0,479 [9,50 + 1 * 0,646 + 1,5 * 0,238 + 2,4 * 1,449] = - 6,697

Momentos por Giro

Junta:7

M′74 = - 0,316 [- 0,514 + 0,218 – 3,934] = 1,337

M′78 = - 0,184 [- 0,514 + 0,218 – 3,934] = 0,778

Junta:4

M′47 = -0,086 [-0,095 + 1,337 + 0,112 - 3,934 -1,314] = 0,335

M′45 = -0,159 [-0,095 + 1,337 + 0,112 - 3,934 -1,314] = 0,619

M′41 = -0,255 [-0,095 + 1,337 + 0,112 - 3,934 -1,314] = 0,993

50

Junta:5

M′58 = - 0,042 [1,546 + 0,619 + 0,547 - 1,967 - 2,614] = 0,0785

M′56 = - 0,133 [1,546 + 0,619 + 0,547 - 1,967 - 2,614] = 0,249

M′52 = - 0,221 [1,546 + 0,619 + 0,547 - 1,967 - 2,614] = 0,413

M′54 = - 0,104 [1,546 + 0,619 + 0,547 - 1,967 - 2,614] = 0,194

Junta:6

M′65 = - 0,137 [ 0,417 + 0,249 - 6,697 ] = 0,826

M′63 = - 0,363 [ 0,417 + 0,249 - 6,697 ] = 2,189

ITERACIÓN: 3


Piso:2

M″47 = - 0,80 [3,119 + 1,5 (1,337 + 0,335) + 1 *0,0785] = -4,564

M″58 = - 0,40 [3,119 + 1,5 (1,337 + 0,335) + 1 *0,0785] = -2,282

Piso:1

M″14 = -0,094 [9,50 + 1 * 0,993 + 1,5 * 0,413 + 2,4 * 2,189] = -1,538

M″25 = -0,187 [9,50 + 1 * 0,993 + 1,5 * 0,413 + 2,4 * 2,189] = -3,060

M″36 = -0,479 [9,50 + 1 * 0,993 + 1,5 * 0,413 + 2,4 * 2,189] = -7,840

Momentos por Giro

Junta:7

M′74 = - 0,316 [ - 0,514 + 0,335 - 4,564] = 1,499

M′78 = - 0,184 [ - 0,514 + 0,335 - 4,564] = 0,873

Junta:4

M′47 = -0,086 [ -0,095 + 1,499 + 0,194 - 4,564 – 1,538] = 0,387

M′45 = -0,159 [ -0,095 + 1,499 + 0,194 - 4,564 – 1,538] = 0,716

M′41 = -0,255 [ -0,095 + 1,499 + 0,194 - 4,564 – 1,538] = 1,149

51

Junta:5

M′58 = - 0,042 [ 1,546 + 0,826 + 0,716 - 2,286 - 3,060] = 0,0947

M′56 = - 0,133 [ 1,546 + 0,826 + 0,716 - 2,286 - 3,060] = 0,300

M′52 = - 0,221 [ 1,546 + 0,826 + 0,716 - 2,286 - 3,060] = 0,498

M′54 = - 0,104 [ 1,546 + 0,826 + 0,716 - 2,286 - 3,060] = 0,234

Junta:6

M′65 = - 0,137 [ 0,417 + 0,300 – 7,840] = 0,976

M′63 = - 0,363 [ 0,417 + 0,300 – 7,840] = 2,586

El procedimiento de las iteraciones continúa hasta lograr la convergencia en los

valores de momento por giro y por desplazabilidad (ver gráfico), cuando ésto se logre se

calculan los momentos flectores definitivos, en los extremos de los miembros, como

sigue a continuación:


M78 = -1,755 + 2 * 0,943 + 0 + 0 = 0,131 tm

M74 = 0,643 + 2 *1,620 + 0,432 – 5,044 = -0,729 tm

M47 = -0,707 + 2 * 0,432 + 1,620 – 5,044 = -3,267 tm

M45 = - 2,363 + 2 *0,798 + 0,267 + 0 = -0,500 tm

M41 = 1,40 + 2 *1,280 + 0 - 1,769 = 2,191 tm

M58 = 0 + 2 * 0,108 + 0 – 2,52 = -2,304 tm

M56 = -0,817 + 2 * 0,341 + 1,131 + 0 = 0,996 tm

M52 = 0 + 2 * 0,567 + 0 – 3,520 = -2,386 tm

M54 = 2,363 + 2 * 0,267 + 0,798 + 0 = 3,695 tm

M65 = 0,817 + 2 * 1,131 + 0,341 + 0 = 3,420 tm

M63 = 0 + 2 * 2,998 + 0 – 9,016 = -3,020 tm

M25 = 0 + 2 * 0 + 0,567 - 3,52 = -2,953 tm

M36 = 0 + 2 * 0 + 2,998 - 9,016 = -6,018 tm

52

53

54

1.3.1. Análisis de los resultados.

Momento Flector en los extremos de los miembros

ProcedimientoKani-Takabeya-Peña

[t.m]

ProcedimientoKani original

[t.m]

Diferencia%

M78 0,139 0,131 5,755M74 -0,730 -0,729 0,14M47 -3,273 -3,267 0,183M45 -0,505 -0,500 0,99M41 2,194 2,191 0,137M58 -2,312 -2,304 0,346M56 0,990 0,996 -0,606M52 -2,382 -2,386 -0,168M54 3,690 3,695 -0,136M65 3,408 3,420 -0,352M63 -3,023 -3,020 0,099M25 -2,949 -2,953 -0,136M36 -6,012 -6,018 0,1

Teóricamente no debe haber diferencia entre un procedimiento y otro,

motivado a que para la deducción de la formulación se emplea el mismo criterio. La

diferencia entre los resultados es ocasionada por errores por redondeo de decimales que

se acumulan a lo largo de ambos procedimientos, puesto a que se trata de un método

numérico. En general, la única forma de minimizar los errores de redondeo consiste en

incrementar el número de cifras significativas en el cálculo.

55

1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS

Aplique el Método de Kani para calcular los valores de momento flector en los extremos de los miembros, de los siguientes sistemas estructurales.

1)

1,5t/m

1m S2

2,5m S1

1t/m S1

S22m S1 S1

1m

1m 3m 1m 5m 1m

S1: 30cm x 30cmS2: 25cm x 30cmF’c: 210 kg/cm2

56

1m

0,8

t/m

2)

1,6t/m

S3 S3

S3 S3 3,4m

2,3t/m

S1 S1 2m 2t

1m 5m 4m 1m

S1: 35cm x 35cmS2: 30cm x 35cmS3: 25cm x 30cmF’c: 250 kg/cm2

57

S2 S1

0,8

t/m

1,4 m

3)

Kr 0,9Kr 0,7Kr 0,7Kr

2,1t/m 0,8Kr

Kr Kr

1,7m 4,5m 1,8m 3,2m 1,7m

58

1,2t/m1m

1,3Kr

0,95

t/m

3 m

2 m

2,5 m

2 t

4)

1,5t/m

S3 S3

2m 1t/m

S1 S2 3m

1,5m S1 S1

1,5m

1m 3,5m 4,5m 1m

S1: 35cm x 35cmS2: 30cm x 35cmS3: 30cm x 30cmS4: 25cm x 30cm

59

S4 S4 0,5t 1m

2t/m

1t

5)

1,6t/m1,5t

1,2t/m

2,60m S2 S2

S2

2,60m S1 S1 S1

1,5m 5m 3,5m 1,5m

S1: 40cm x 40cmS2: 30cm x 30cmS3: 25cm x 30cmF’c: 25cm x 30cm

60

0,6t/m1m

S3 S3

1,8t/m

6)

1,5t/m

S3

S1 S1 3m

0,8t/m

S2 S2

S1 S1 S1 3m

1t/m

S1: 30cm x 30cmS2: 30cm x 35cmS3: 30cm x 30cm

Todos los elementos son de concreto armado.

61

1m

1t/m

1m 2m 1,5m 5m 1,5m

7)

1,5t/m

S2 S2

S2 S2 S2

2t/m1t/m

S1 S1 S1 3m

1,5t/m

S2 2,5m 0,5 1m 4m 4m 1m

S1: 40cm x 40 cmS2: 30cm x 30 cmF’c: 250 Kg/cm2

62

1m

0,5m

S2

2,5m

S21,5m

8)

2 t/m

3m

2t0,87t/m

2,5m

1,5m 8m 6m 1,5m

Secciones de los miembros:Mbro: 6-7 y 7-8

6 7 7 8

0,40m 0,40m

Perfil Longitudinal Planta

El resto de los miembros tienen sección transversal de 0,30cm x 0,35cm

63

1,5t/m

2m

3m

0,20m 0,20m

6 7 8

4 5

12

3

6

7

7

8

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