kanuay@hotmail - km.nssc.ac.th · บทที่ 1 เซต หน้า ๏ สรุปเนื้อหาและต ัวอย่าง 7 ๏ ข้อสอบเข ้ามหาว

เซต ระบบจานวนจรง

ฟงกชน

ตรโกณมต

เอกซโพ.+ลอการทม

แคลคลส

เรขาคณตวเคราะห

กาหนดการเชงเสน

ความนาจะเปน

ตรรกศาสตร

จานวนเชงซอน

เมตรกซ

เวกเตอร

สถต ลาดบ+อนกรม

เลม 1

เลม 2

คาชแจง หลงจากผลงานหนงสอเลมแรกของผเขยนคอ “คณตศาสตร O-NET & A-NET” หรอทนกทองเวบหลายทานรจกในอกชอหนงวา “Math E-Book (คณตศาสตร ม.ปลาย)” ไดรบการตอบรบจากผอานเปนอยางด ทางสานกพมพและผเขยนจงมโครงการตอเนอง เปนผลงานชด “ตะลยโจทยขอสอบของแท!” (2 เลมจบ) ดงทผอานไดสมผสอยในขณะน โดยภายในหนงสอชดนแบงออกเปน 15 บทเรยน ดงแผนภาพ ในแตละบทเรยนประกอบดวย 3 สวนประกอบ ไดแก (1) สรปเนอหาและตวอยาง ในสวนนผเขยนคดสรรเฉพาะใจความทสาคญ และจาเปนตองทาความเขาใจใหดกอนฝกทาโจทย มาจากผลงานเลมแรก แตไดตรวจทานและปรบปรงขอความใหมทงหมด รวมทงจดทผเรยนระดบเรมตนมกจะผดบอยกยงคงมการเนนยาอยในเลมนเชนเคย นอกจากนนสงทเพมเตมเขามากคอตวอยางโจทยและการแกปญหา เพอใหผอานเกดความเขาใจในเนอหาไดดยงขน

(2) โจทยขอสอบเขามหาวทยาลย ยกมาครบทกขอตงแตอดตจนถงปจจบน โดยจดแบงเปนกลมตามเนอหาบทเรยนจากงายไปยาก แตสาหรบขอสอบชด 4 ปลาสดจะขอคงไวตามตนฉบบ เพอใหผอานใชฝกฝนหรอทดสอบตนเองในชวงกอนสอบไดอยางสะดวก (อยในตอนทายเลม 2)

(3) โจทยขอสอบเสรมประสบการณ (คดเฉพาะขอทตรงตามหลกสตรปจจบน) ทกขอเปนขอสอบคณตศาสตรระดบประเทศ หลากหลายแนว ในรอบ 12 ป ลวนนาสนใจและเปนขอสอบทคอนขางหายาก ไดแก ขอสอบพนฐานทางวศวกรรม, ขอสอบคดเลอกโอลมปกวชาการรอบแรก, ขอสอบสมาคมคณตศาสตร (ระดบ ม.ปลาย), ขอสอบคดเลอกทน กพ. (ทนคง), และขอสอบโควตามหาวทยาลยเชยงใหม

รายละเอยดในสวนของขอสอบ ๏ รวบรวมขอสอบมาจากหลายแหลงอยางครบถวนทสดเทาทเปนไปได และเรยบเรยงใหตรงตามจดประสงคการใชงานของผอานเปนหลก โดยแยกขอสอบออกเปนกลมๆ ตามบทเรยน และเรยงลาดบขอตามเนอหาจากระดบงายไปสยาก (เหมาะสาหรบทงครผสอนทจะใชอางองเปนแนวทางขอสอบ และโดยเฉพาะอยางยงสาหรบผเรยน ทจะใชหนงสอชดนในการฝกทาขอสอบแตละบทเรยน ใหเกดพฒนาการเปนลาดบๆ ไดเปนอยางด)

๏ โจทยทกๆ ขอ จะมขอความกากบเพออางถงแหลงทมาของขอสอบขอนนๆ (จากขอสอบใด, ฉบบ ป พ.ศ. ใด) ซงจะชวยใหหนงสอเลมนเปนคมอสาหรบสบคนและอางองไดดยงขน และยงถอเปนการขอบพระคณและใหเครดตทานอาจารยผออกขอสอบทกทาน ไวในโอกาสเดยวกนนดวย

๏ สาหรบขอสอบทอาศยความรจากบทอน ทอาจยงศกษาไปไมถง จะมขอความกากบไวใหทราบ

๏ โจทยขอสอบเขามหาวทยาลยทกขอ จะมสญลกษณบอกระดบ “งาย–ปานกลาง–ยาก” เพอเปนเครองมอชวยขณะฝกฝนในขนเรมแรกไดอกทางหนง

สญลกษณ ;Þ หมายถง ขอสอบระดบงาย ไมมการพลกแพลง (ทกคนตองทาได) ไมมสญลกษณ หมายถง ขอสอบระดบปานกลาง ทวไป (ควรฝกทาใหไดมากทสด) สญลกษณ :( หมายถง ขอสอบระดบยาก (แมทาขอเหลานไมไดกไมตองทอใจ)

สวนขอสอบเสรมประสบการณจะเรยงลาดบแตไมแสดงสญลกษณ เพอใหฝกฝนโดยปราศจากสงชนา

๏ วธการเฉลยและการจดหนา ไดปรบปรงใหมทงหมดตามคาแนะนาทไดรบจากผอาน และผลงานชดนไดรบการตรวจพสจนอยางละเอยดแลว มนใจไดในความถกตองและแมนยา ดวยเหตทกลาวมาทงหมดน ผเขยนจงหวงวาทกขนตอนการผลตทไดตงใจเปนอยางมาก จะชวยใหผอานทกทานไดหนงสอทเปนประโยชนและตรงตามความตองการทสด แตหากยงมขอบกพรองประการใดหลงเหลออย ผเขยนยนดนอมรบคาแนะนาเพอใชปรบปรงผลงานในลาดบถดไป ดวยความขอบคณยง ..และทายสดน ขอขอบคณผอานทกทานทเหนคณคาของผลงานชดนครบ คณต มงคลพทกษสข หมายเหต มขอสงสย คาแนะนา หรอพบขอบกพรอง กรณาตดตอท [email protected] อานรายละเอยดเพมเตมเกยวกบผเขยน และสอบถามปญหาหรอโจทยตางๆ ไดท http://math.kanuay.com ยนดตอบทกปญหาเชนเคยครบ :] ขอขอบพระคณอาจารยทกทานทเคยไดมอบวชาความร จนทาใหผมมโอกาสไดสอนพเศษและเขยนหนงสอคมอวชาคณตศาสตรครบ, ขอบพระคณอาจารยผออกขอสอบทกทาน ทไดทาใหเกดเปนผลงานหนงสอชดนได, รวมทงสานกพมพ Science Center (ธรรมบณฑต) ทใหโอกาสนาเสนอผลงานสสาธารณะอกครงหนง ..ไมวาทผานมาและหลงจากนจะเปนอยางไร ผมกจะไมลมเลยวาทนเปนทแรกทหยบยนโอกาสใหครบ

ขอบคณชงและกลา สองอดตหนสวนทชวยจดประกายความคดในการผลตหนงสอมากมาย, เพอนๆ ทมาชวยสอน และแวะเวยนกนมาสรางสสนไมเคยขาด ทาใหชวงเวลาทไดทารานสอนพเศษเปนบรรยากาศทนาจดจามากๆ เลย, และพนวยกยงคดถงนองๆ ทเคยเปนศษยในสานก “get idea” รวมทงกอนหนานนทกๆ คน ดวยนะ! ทสาคญเปนพเศษกคอคณยอวนพ อาสาชวยสารพดทจะชวยได จนไมรจะขอบคณยงไงหมด.. ทงชวยกระตนใหลงมอทางาน (แมจะไมคอยสาเรจ), ชวยคยเปนเพอนทกวนๆ ใหคดไอเดยใหมๆ ออก, แลวกยงชวยตรวจชวยพมพจปาถะ แถมคาแนะนาใหอกดวย จนกระทงเราคดวา ถาไมไดยพชวย งานนคงไมเสรจสนลงดวยดขนาดน ..กหวงวาจะไดอยชวยเหลอกนตอไปทกๆ งานในชวตเราเลยนะ :]

สารบญ

บทท 1 เซต หนา ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 7 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 17 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 37

บทท 2 ระบบจานวนจรง ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 47 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 83 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 117

บทท 3 ตรรกศาสตร ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 147 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 163 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 189

บทท 4 เรขาคณตวเคราะห ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 209 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 225 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 273

บทท 5 ความสมพนธและฟงกชน ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 313 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 335 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 381

บทท 6 ฟงกชนตรโกณมต ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 409 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 431 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 477

บทท 7 เอกซโพเนนเชยล และลอการทม ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 513 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 531 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 567

บทท 8 เมทรกซ ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 597 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 617 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 651

สารบญ

บทท 9 เวกเตอร หนา ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 7 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 23 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 53

บทท 10 จานวนเชงซอน ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 71 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 83 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 107

บทท 11 ลาดบและอนกรม ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 123 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 143 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 171

บทท 12 แคลคลส ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 199 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 223 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 283

บทท 13 ความนาจะเปน ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 327 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 349 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 395

บทท 14 สถต ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 423 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 469 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 549

บทท 15 กาหนดการเชงเสน ๏ สรปเนอหาและตวอยาง 587 ๏ ขอสอบเขามหาวทยาลย 595 ๏ ขอสอบเสรมประสบการณ 603

ขอสอบเขามหาวทยาลยลาสด พรอมเฉลยวธคด ๏ ฉบบ พ.ศ. 2549 613 ๏ ฉบบ พ.ศ. 2550 625 ๏ ฉบบ พ.ศ. 2551 637 ๏ ฉบบ พ.ศ. 2552 651

สรปเนอหาและตวอยาง .. บทท 5

ความสมพนธและฟงกชน

พนฐาน

1. เซต A B คอเซตของคอนดบ ทนาสมาชกตวหนามาจากเซต A และนาสมาชกตวหลงมาจากเซต B โดยตองเขยนจบคสมาชกใหครบทกคเทานน จงสรปไดวา n(A B) n(A) n(B) ดวย

ตวอยาง ถา A {0, 1, 2} และ B {a, z} จะได A B {(0, a),(0, z),(1, a),(1, z),(2, a),(2, z)} ..ซง n(A) 3 , n(B) 2 และ n(A B) 3 2 6

** เซต A B อานวา “เอคณบ” หรอ “ผลคณคารทเซยน (cartesian) ของเซต A กบเซต B” 2. โดยทวไปเซต A B จะไมเทากบ B A (นนคอ A B B A ) แตยงมสงทเทากน คอ n(A B) n(B A) เสมอ

ตวอยาง ถา A {0, 1, 2} และ B {a, z} จะได B A {(a, 0),(a, 1),(a, 2),(z, 0),(z, 1),(z, 2)} ซงจะพบวา A B B A เพราะสมาชกไมเหมอนกน ..แตวา n(A B) n(B A) 6

** เซต A B B A กตอเมอเซต A B หรอมอยางนอยเซตหนงเปน (เพราะผลคณทไดจากเซตวาง จะเปนเซตวางดวยเสมอ) 3. ความสมพนธ (r) คอเซตทมสมาชกเปนคอนดบลวนๆ หรอไมมสมาชกกได (เซตวางถอเปนความสมพนธแบบหนง)

ตวอยาง กาหนดเซตตางๆ ดงน C {(1, 0),(3, 5),(3, a),(a, 5),(0, 1)} D { 0, 1,(3, a),(a, 5)} E { } F { }

เซตทเปนความสมพนธ คอเซต C (เพราะสมาชกทงหมดเปนคอนดบ) และเซต E (เพราะเปนเซตวาง) ..สวนเซตทไมเปนความสมพนธคอเซต D (เพราะ 0 กบ 1 ไมใชคอนดบ) และเซต F (เพราะมสมาชกเปน ซงไมใชคอนดบ)

บทท 5 ตะลยโจทยขอสอบคณตศาสตร 314

4. สญลกษณทใชแทนความสมพนธ แบบบอกเงอนไข คอ r {(x, y) A B | เงอนไข } หมายความวาสมาชกของ r จะอยในรปคอนดบ (x, y) ซงถกหยบมาจากเซต A B (นนคอ x A และ y B เทานน)

ตวอยาง กาหนดให A {0, 1, 2} และ B {3, 4,5,6, 7, 8, 9}

ถา r {(x, y) A B y 2x 1}| จะไดวา r {(1, 3),(2,5)} ถา r {(y, x) B A y 2x 1}| จะไดวา r {(3, 1),(5, 2)} ถา r {(x, y) A B x y }| จะไดวา r {(2, 4)} ถา r {(x, y) A B y 5x }| จะไดวา r

** ถาไมระบเซต A กบ B มาให จะมขอตกลงวาให x และ y เปนจานวนจรงใดๆ ..นนคอ (x, y) R R 5. นอกจากเขยนความสมพนธในรปของเซตแลว ยงเขยนไดอกสองแบบคอ กราฟ (จดหรอเสนบนแกน x, y) และแผนภาพโยงลกศร ตวอยาง กาหนดความสมพนธ r {(1, 2),(2, 5),(3, 8),(7, 8)} จะเขยนกราฟและแผนภาพ ของความสมพนธไดดงน 6. “โดเมน (D) ของความสมพนธ” คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบ “เรนจ หรอพสย (R) ของความสมพนธ” คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ ตวอยาง กาหนดให A { 3, 2, 0, 1, 2} และ B {3, 4,5,6, 7, 8, 9}

ถา r {(x, y) A B y 3x 2 }| ..จะไดวา r {(1, 5),(2, 8)} ดงนน rD {1, 2} และ rR {5, 8}

ถา 2r {(x, y) A B y x }| ..จะไดวา r {( 3, 9),( 2, 4),(2, 4)} ดงนน rD { 3, 2, 2} และ rR {4, 9}

ถา r {(x, y) A B y 5x }| ..จะไดวา r ดงนน rD และ rR

y

x O

1 2 3 7

r r

A B

2 5 8

1 2 3 7

8

5

2

คณต มงคลพทกษสข ความสมพนธและฟงกชน 315

7. ประโยค r {(x, y) A B .....}| สามารถกลาวสนๆ ไดวา “r เปนความสมพนธจาก A ไป B” เนองจาก rD A และ rR B 8. การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธซงบอกเปนเงอนไข (บอกเปนสมการ)

การหาโดเมน ควรพจารณาในรปสมการ y ...(x)... และการหาเรนจ ควรจดรปใหกลายเปน x ...(y)... จากนนจงคอยพจารณาสงเหลาน.. การหาร, การถอดรากทค, การยกกาลงค, และคาสมบรณ เพราะจะมเงอนไข (ขอจากด) เกดขนกบตวแปร กลาวคอ..

• ถามการหารในรป ba c จะไดเงอนไขวา c 0

ตวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน 5r {(x, y) y 3 }x 2|

หาโดเมน พจารณาจากสมการในรป 5y 3x 2

พบวามเศษสวน โดยตวสวนคอ x 2 ดงนนขอจากดทเกดขนไดแก x 2 0 .. นนคอ x 2 จะได rD {2} R (หมายความวา x เปนจานวนจรงใดๆ กได ยกเวนเลข 2)

หาเรนจ จดสมการใหอยในรป 5x 2 y 3

พบวามเศษสวน โดยตวสวนคอ y 3 ดงนนขอจากดทเกดขนไดแก y 3 0 .. นนคอ y 3 จะได rR { 3} R (หมายความวา y เปนจานวนจรงใดๆ กได ยกเวน -3) • ถาม na b โดย n เปนจานวนค จะไดเงอนไขวา a 0> และ b 0> • ถาม na b โดย n เปนจานวนค จะไดเงอนไขวา a 0>

** ถาเปนรากทค หรอยกกาลงค จะไมมเงอนไขใดๆ


ตวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน r {(x, y) y x 1 3 }|

หาโดเมน พจารณาจากสมการในรป y x 1 3 พบวามรากทสอง ซงภายในเปน x 1 ดงนนเงอนไขคอ x 1 0 > หรอยายขางเปน x 1> ดงนน rD [ 1, ) (หมายความวาคา x ในโจทย หามนอยกวา -1 เดดขาด)

หาเรนจ มองสมการในรป y 3 x 1 พบวามรากทสอง ซงอกฝงเปน y 3 ดงนนเงอนไขคอ y 3 0 > หรอยายขางเปน y 3> จะได rR [3, ) (หมายความวาคา y ในโจทยไมมทางนอยกวา 3 แนนอน)

ตวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน 2r {(x, y) y x 2x 3 }|

หาโดเมน พจารณาจากสมการในรป 2y x 2x 3 พบวามยกกาลงสอง แต x เปนตวถกยกกาลง จงไมมขอหามใดๆ ท x ..ดงนน rD R (หมายความวา x เปนจานวนจรงใดๆ กได)

หาเรนจ ควรจดกาลงสองสมบรณ เพอใหพจารณาไดงาย จะไดสมการในรป 2y 2 (x 1) พบวามยกกาลงสอง ซงอกฝงเปน y 2 ดงนนเงอนไขคอ y 2 0 > หรอยายขางเปน y 2> จะได rR [2, ) (หมายความวาคา y ในโจทยไมมทางนอยกวา 2 แนนอน) • ถาม a b จะไดเงอนไขวา a 0>

ตวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน r {(x, y) y x 4 5 }|

หาโดเมน พจารณาจากสมการในรป y x 4 5 พบวามคาสมบรณ แต x เปนตวทอยภายในคาสมบรณ จงไมมขอหามใดๆ ท x ..ดงนน rD R (หมายความวา x เปนจานวนจรงใดๆ กได)

หาเรนจ มองสมการในรป y 5 x 4 พบวามคาสมบรณ ซงอกฝงเปน y 5 ดงนนเงอนไขคอ y 5 0 > หรอยายขางเปน y 5> จะได rR [ 5, ) (หมายความวาคา y ไมมทางนอยกวา -5 แนนอน)


9. หากความสมพนธใดมลกษณะดงตอไปนดวย จะเรยกวาเปนฟงกชน (f) “สมาชกตวหนาแตละตวของคอนดบ จะจบคกบสมาชกตวหลงเพยงแบบเดยวเทานน” หรอกลาววา “สาหรบ x แตละตว จะใหคา y ไดไมเกน 1 แบบเทานน”

• การเปนฟงกชนนน สมาชกตวหนาของคอนดบจะทาหนาทเปนตวแปรตน และสมาชกตวหลงจะเปนตวแปรตาม (หรอเรยกวาคาของฟงกชน) ดงนนคาตวแปรตน (x) แตละคา ไมควรจะใหคาของฟงกชน (y) ออกมาหลายคา ตวอยาง ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม

1r {(0, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 2),(1, 0)} ไมเปนฟงกชน เพราะมทง (1, 3) และ (1, 0)

2r {(0, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 2),(4, 3)} เปนฟงกชน เพราะไมม x ใดทคกบ y มากกวาหนงแบบ r3 เปนฟงกชน เพราะไมม x ใดทคกบ y มากกวาหนงแบบ r4 ไมเปนฟงกชน เพราะมทง (0, 0) และ (0, a)

5r {(x, y) y 2x 3 }| เปนฟงกชน เพราะไมม x ใดทคกบ y มากกวาหนงแบบ (ถาหากเขยนกราฟจะเปนรปเสนตรงเฉยงขนทางขวา)

26r {(x, y) y x 3 }|

ไมเปนฟงกชน เพราะม x ซงใหคา y ไดเกนหนงแบบ เชน (4, 1) และ (4, 1) (ถาหากเขยนกราฟจะเปนรปพาราโบลาตะแคง, เปดขวา) ** การเปนฟงกชนนนหามใชสมาชกตวหนาซา แตสามารถใชสมาชกตวหลงซาได 10. เมอเขยนกราฟของความสมพนธ จะเหนชดวาเปนฟงกชนหรอไม.. ถาลากเสนตรงในแนวตง ณ ตาแหนง x คาใดแลวพบวาตดกราฟเกน 1 ครง แสดงวาไมเปนฟงกชน

ไมเปนฟงกชน เปนฟงกชน

y

x O O

y

x

1 2 3

r3 0 a ก

r4 0 ก a ข

4 3 2


ตวอยาง ความสมพนธทแสดงดวยกราฟตอไปน เปนฟงกชนหรอไม r7 ไมเปนฟงกชน เพราะมทง (9, 1) และ (9, 8) r8 ไมเปนฟงกชน เพราะสามารถลากเสนตรงในแนวตงใหตดกราฟเกนหนงครงได 11. ความสมพนธทเขยนในรป y ...(x)... ได จะเปนฟงกชนเสมอ และถาเซต f เปนฟงกชน มกจะเขยนแทน y ดวยคาวา f (x)

• ความหมายของคาวา f (x) กคอ x เปนคาตวแปรตน (ทเราใสเขาไป) และ f เปนคาของฟงกชน (หรอคา y) ทไดรบออกมา เชน f (2) คอคา y ทไดเมอ x 2 ตวอยาง ความสมพนธ 2f {(x, y) y x 2x 4 }| ถอเปนฟงกชน จงสามารถเขยนแบบยอไดเปน 2f (x) x 2x 4

และเมอพจารณาท x 3 (โดยแทน x ทกตวดวย 3) จะได 2f (3) (3) 2(3) 4 11

ซงประโยค f (3) 11 นหมายความวา ถา x 3 แลวคาของฟงกชน (หรอคา y) จะเปน 11 และยงสรปไดดวยวา กราฟของฟงกชนนจะผานจด (3, 11) 12. ฟงกชนคงตว มสมการเปน f (x) c (กราฟเสนตรงนอน)

• คา c คอระยะตดแกน y ตวอยาง กราฟของฟงกชน f (x) 1 และฟงกชน g(x) 2 เปนดงน fD R fR { 1} gD R gR {2}

y

x O

r7

1 4 5 9

8

5 1

y

x O

r8

1 2 3 -1 -2 -3-4

123

-1 -2

x

y

f

g


13. ฟงกชนเชงเสน มสมการเปน f (x) mx c (กราฟเสนตรงเฉยง)

• คา m คอความชน ถาเปนบวกกราฟเฉยงขน ถาตดลบกราฟเฉยงลง (ขนาดของ m ยงมากเสนกราฟยงตงขน) • คา c คอระยะตดแกน y • พบในความสมพนธระหวางสองสงทเพมลดเปนสดสวนโดยตรงตอกน ตวอยาง กราฟของฟงกชน f (x) 3x 2 และฟงกชน g(x) 6 2x เปนดงน กราฟของ f มความชน 3 และตดแกน y ท 2 fD R และ fR R กราฟของ g มความชน -2 และตดแกน y ท 6 gD R และ gR R 14. ฟงกชนกาลงสอง มสมการเปน 2f (x) ax bx c (กราฟพาราโบลา) หรอจดกาลงสองสมบรณไดเปน 2f (x) a(x h) k

• ถาคา a เปนบวกพาราโบลาหงาย, ถาตดลบพาราโบลาจะควา (ขนาดของ a เปนตวบอกการยดหดของกราฟ ยงมากรปพาราโบลาจะยงแคบ) • จดยอดอยทพกด (h, k) โดย h b/2a สวนคา k สามารถหาไดโดยแทนคา h นลงไปในฟงกชน • คา c คอระยะตดแกน y ตวอยาง กราฟของฟงกชน 2f (x) x 4x 4 และฟงกชน 2g(x) (x 3) 1 เปนดงน กราฟของ f เปนพาราโบลาควา (เพราะ a ตดลบ) จดยอดอยท h b/2a ( 4)/2( 1) 2 แทนคา x 2 ลงไปในสมการ จะได y 8 แสดงวาจดยอดนนคอ (h, k) ( 2, 8) fD R และ fR ( , 8] กราฟของ g เปนพาราโบลาหงาย (เพราะ a เปนบวก) จดยอดอยท (h, k) (3, 1) gD R และ gR [1, )

2 4 6-2 -4-6 -8 24 6

-2-4-6 -8

x

y

f g

2 4 6-2-4 -6 -8

4 812

-4 -8 -12

x

y

(-2,8)

f

(3,1)

g


15. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล มสมการเปน xf (x) a b (กราฟเอกซโพเนนเชยล จากเรองเลขยกกาลง)

• ถาฐาน b มากกวา 1 กราฟเฉยงขน, ถาฐาน b อยระหวาง 0 ถง 1 กราฟเฉยงลง • ถาคา a เปนบวกกราฟจะอยเหนอแกน x, ถาตดลบกราฟจะอยใตแกน x (ขนาดของ a เปนตวบอกการยดหดของกราฟ ยงมากเสนโคงจะยงชน โดยกราฟจะตดแกน y ทจด (0, a)) • พบในปรมาณสงตางๆ ทเพมหรอลดแบบทวคณ เชน เงนฝาก จานวนประชากร แบคทเรย ปรมาณรงส

** กราฟของเอกซโพเนนเชยลไมสมผสกบแกนนอน ดงนนเรนจของฟงกชนนตองเปนชวงเปด ตวอยาง กราฟของฟงกชน xf (x) 2 และฟงกชน xg(x) 3 และฟงกชน xh(x) (1/2) เปนดงน กราฟของ f และ g เฉยงขน (เพราะฐานมากกวา 1) ผานจด (0, 1) โดยกราฟของ g มความชนมากกวา f gD D R และ f gR R (0, ) สวนกราฟของ h นนเฉยงลง (เพราะฐานอยระหวาง 0 ถง 1) โดยมความสมมาตรกบกราฟของ f เพราะฐานเปนสวนกลบของกนและกนพอด และกราฟผานจด (0, 1) เชนกน hD R และ hR (0, )

16. ฟงกชนคาสมบรณ มสมการเปน f (x) a x h k (กราฟรปตวว)

• คลายพาราโบลาคอ ถาคา a เปนบวกกราฟจะหงาย, ถาตดลบกราฟจะควา (ขนาดของ a เปนตวบอกการยดหดของกราฟ ยงมากรปตววจะยงแคบ) • จดยอดอยทพกด (h, k) ตวอยาง กราฟของฟงกชน f (x) 2 x 1 และฟงกชน g(x) x 1 เปนดงน กราฟของ f หงาย (เพราะ a เปนบวก) จดยอดอยท (h, k) (1, 0) fD R และ fR [0, ) กราฟของ g ควา (เพราะ a ตดลบ) จดยอดอยท (h, k) (0, 1) gD R และ gR ( , 1]

x

y

1 2 3 4-1 -2-3-4

1 23 4

-1 -2

f

g

1 2 3 -1 -2 -3

1 234 5

-1 x

y

fgh


17. ในโจทยปญหาเกยวกบการใชงานฟงกชน จะตองรวาเปนฟงกชนรปแบบใด และใชขอมลในโจทยหาคาคงท a, b, c, หรอ m ของฟงกชนใหครบกอน.. เมอทราบสมการของฟงกชนนนแลวจงจะสามารถตอบคาถามได ตวอยาง ถาอณหภมเปนองศาเซลเซยส (C) กบองศาฟาเรนไฮต (F) สมพนธกนแบบเสนตรง และจดเยอกแขงกบจดเดอดของนาโดยปกตจะอยท 32 และ 212 องศาฟาเรนไฮต ตามลาดบ แลว อณหภมรางกาย 37.5 องศาเซลเซยสจะเทากบกองศาฟาเรนไฮต

เนองจาก F กบ C สมพนธกนแบบฟงกชนเสนตรง จงไดสมการวา F m C c เสนตรงนผานจด (C, F) (0, 32) และ (100, 212) จงแทนคาไดดงน 32 m(0) c c 32 และ 212 m(100) 32 m 1.8 ดงนน สมการความสมพนธทไดคอ F 1.8 C 32

อณหภม 37.5 องศาเซลเซยส จะเทากบ F 1.8(37.5) 32 99.5 องศาฟาเรนไฮต

18. โจทยปญหาทเปนสมการกาลงสอง มกจะเกยวกบ “คาสงสดหรอตาสดของฟงกชน (คา y)” เนองจากกราฟเปนรปพาราโบลาซงมการวกกลบ ณ จดยอด (พาราโบลาหงายยอมเกดจดตาสด พาราโบลาควายอมเกดจดสงสด) • เราตองการหาคาสงสดหรอตาสดของสงใด กใหคานนเปนตวแปร y และใหสงทมผลตอการเปลยนแปลงของ y มคาเปนตวแปร x ตวอยาง ถาขายสนคาชนดหนงในขณะนจะไดราคาชนละ 300 บาท และถาเกบไวระยะหนงแลวคอยนาออกขาย จะไดราคาทสงขนชนละ 15 บาทตอระยะเวลาหนงเดอน แตวาจานวนสนคาทขายไดจะลดลงเดอนละ 1 ชนดวย ถาขณะนเรามสนคาอย 50 ชน ควรจะรออกกเดอนจงจะขายสนคาพรอมกนทงหมด แลวไดรายรบมากทสด และไดรายรบกบาท

ให y เปนรายรบทจะได จากการขายสนคา ณ เวลาผานไป x เดอน y (จานวนสนคาทขายได) (ราคาสนคาในขณะนน) นนคอ y (50 x) (300 15x) ซงแจกแจงไดเปน 2y 15000 450 x 15 x

มกราฟเปนรปพาราโบลาควา เกดจดสงสด ณ คา b 450x 152a 2( 15)

เดอน

แทน x ดวย 15 ในสมการ จะได y (50 15) (300 15(15)) 18375 บาท หมายความวา จดยอดหรอจดสงสดคอ (15, 18375)

..สรปวา ควรจะรออก 15 เดอนแลวจงขายสนคาทงหมด จะทาใหไดรายรบมากทสดคอ 18,375 บาท


19. โจทยปญหาทเปนสมการเอกซโพเนนเชยล มกจะเกยวกบจานวนสงมชวต ปรมาณเงน หรอปรมาณสาร ซงจะเปลยนแปลงโดยการคณดวยคาคงทซาๆ ทกชวงเวลาทแนนอน (ไมวาจะเพมหรอลดกตาม) • สมการในรป xy a b ตวแปรแตละตวมความหมายดงน.. a คอปรมาณขณะเรมตน, b คอสดสวนการคณในแตละครง, x คอจานวนครงของการคณ, และ y คอปรมาณทเปนผลลพธ ตวอยาง ฝากเงน 500 บาท โดยไดรบดอกเบยไตรมาสละ 2% เมอเวลาผานไปหนงปครง (รบดอกเบย 6 ครง) จะมเงนเทากบ 6y 500(1.02) 563.08 บาท

** ถาคณใหเพมขน b ตองมากกวา 1 (เชนการไดรบดอกเบย, การขยายจานวนประชากร) แตถาคณใหลดลง b ตองนอยกวา 1 (เชนปรมาณสารลดลงเรอยๆ)

ตวอยาง สารเคมชนดหนงจะสลายตวอยตลอดเวลา โดยความเขมขนของสารจะลงกวาเดม 10% ในทกๆ วน ถาหากเวลาผานไป 3 วนสารลดความเขมขนลงเหลอ 50 หนวย แลว สารนมความเขมขนขณะเรมตนเทากบกหนวย

จากสมการ xy a b ..ในทนไมทราบคา a แตทราบวา b 1 0.1 0.9 (หรอคณ 90% นนเอง) และ x 3 วน, y 50 หนวย

จงแทนคาไดวา 350 a(0.9) ..ดงนน 350 50a 68.60.729(0.9) หนวย

แสดงวา สารนมความเขมขนขณะเรมตน 68.6 หนวย 20. ฟงกชนขนบนได เปนฟงกชนทประกอบขนจากสวนของเสนตรงในแนวนอน หลายๆ เสน (นนคอคา y จะมคาคงท ในชวง x แตละชวง) • พบในอตราคาธรรมเนยมของบรการตางๆ เชน ไปรษณย, รถโดยสารปรบอากาศ, รถไฟ, รถแทกซ ฯลฯ ..ซงเปนตารางทระบคา x เปนชวงๆ แตคา y เปนคาคงท ตวอยาง กาหนดตารางแสดงคาบรการไปรษณยภายในประเทศ (ประเภทสงตพมพ) ดงน

ถาให x แทนนาหนก และ y แทนอตราคาบรการ กราฟของฟงกชนนจะมลกษณะเปนขนบนได ดงตอไปน

พกดนาหนก (กรม) อตรา (บาท) ไมเกน 50 กรม เกน 50 แตไมเกน 100 เกน 100 แตไมเกน 250 เกน 250 แตไมเกน 500 เกน 500 แตไมเกน 1,000 เกน 1,000 แตไมเกน 2,000

2 3 4 6 10 16


เพมเตม

1. จากททราบแลววาถา r เปน “ความสมพนธจาก A ไป B” จะตองตรงตามเงอนไขวา rD A และ rR B แตสาหรบฟงกชน จะมเงอนไขทแตกตางกนออกไปดงน

• “ฟงกชนจาก A ไป B” ( f : A B ) คอฟงกชนซง fD A และ fR B • “ฟงกชนจาก A ไปทวถง B” ( ontof : A B ) คอฟงกชนซง fD A และ fR B • “ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B” ( 1 1f : A B ) คอฟงกชนท fD A และ fR B และสาหรบ y แตละตว จะคกบ x เพยงตวเดยวดวย • “ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B” ( 1 1

ontof : A B ) คอฟงกชนท fD A และ fR B และสาหรบ y แตละตว จะคกบ x เพยงตวเดยวดวย

ตวอยาง เปนฟงกชน เปนฟงกชนจาก A ไป B เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เปนฟงกชน 1-1 จาก A ไป B เปนฟงกชน 1-1 จาก A ไปทวถง B

3

6

9

12

15

x

y

2000 1000 500 250 100 50

0 1 2

a b

1r 0 1 2 3

a b c d

2r

A B A B

a b c

3r

A B

0 1 2 3

0 1 2 3

a b c d

A B

0 1 2

a b c d

4r

A B

5r


** พจารณาจากกราฟของฟงกชน จะทราบวาเปนฟงกชน 1-1 หรอไม โดยลากเสนแนวนอนและดวา ท y แตละคา เสนนตองตดกราฟไมเกนหนงจด จงถอวาเปนฟงกชน 1-1 ตวอยาง ไมเปนฟงกชน เปนฟงกชน แตไมเปน 1-1 เปนฟงกชน 1-1

2. จานวนความสมพนธและจานวนฟงกชน

• จานวนความสมพนธจาก A ไป B กคอจานวนสบเซตทงหมดของเซต A B ..นนคอ n(A) n(B)2 แบบ

• จานวนฟงกชนจาก A ไป B คอจานวนแบบทงหมดทสมาชกแตละตวในโดเมนจะเลอกเรนจมาตวละ 1 คา (สมาชกใน A แตละตวจบคสมาชกใน B ได n(B) แบบ) จานวนฟงกชนจงเทากบการคณ n(B) เปนจานวน n(A) ครง ..นนคอ n(A)(n(B)) แบบ

• จานวนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B นอกจากเงอนไขของฟงกชนจาก A ไป B ในขอทแลว ยงตองเพมเงอนไขวา สมาชกใน B ตองไมถกเลอกซา (แสดงวาเปนไปไดเมอ n(B) ไมนอยกวา n(A) เทานน) ไดคาตอบเปน n(B) (n(B) 1) (n(B) 2) ...

n(A) ตว แบบ

ตวอยาง กาหนด A {1, 2, 3} , B {2, 3} , และ C { 3, 0, 2, 5} จะได

- ความสมพนธจาก A ไป B มอย 3 22 64 แบบ - ความสมพนธภายใน A (แปลวาจาก A ไป A) มอย 3 32 512 แบบ

- ฟงกชนจาก A ไป B มอย 2 2 2 8 แบบ และไมมฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B (เพราะจานวนสมาชกของ A มากกวาของ B) - ฟงกชนจาก B ไป C มอย 4 4 16 แบบ และฟงกชนหนงตอหนงจาก B ไป C มอย 4 3 12 แบบ - ฟงกชนจาก A ไป C มอย 4 4 4 64 แบบ และฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป C มอย 4 3 2 24 แบบ

y

x O O

y

x

y

x O


• จานวนความสมพนธจาก A ไป B ซงบงคบวาโดเมนเทากบ A (แปลวาตองใชสมาชกของ A ใหครบทกตว) สมาชกในโดเมนตวหนง สามารถจบคกบสมาชกของ B กตวกได (แตไมจบเลยไมได) สมาชกตวนจงเลอกคได n(B)2 1 แบบ.. แตตองใชสมาชกทกตวใน A ใหครบ จงเกดการคณกน n(A) ครง ..นนคอ n(B) n(A)(2 1) แบบ

• ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ใชจานวนแบบทงหมด ลบดวยจานวนแบบทไมทวถง ตวอยาง จากตวอยางทแลว A {1, 2, 3} , B {2, 3} , และ C { 3, 0, 2, 5}

- ความสมพนธจาก A ไป B มอย 3 22 64 แบบ แต ความสมพนธจาก A ไป B ซงมโดเมนเปน A มเพยง 3 3 3 27 แบบ

- ความสมพนธภายใน A มอย 3 32 512 แบบ แต ความสมพนธภายใน A ซงมโดเมนเปน A มเพยง 7 7 7 343 แบบ

- ฟงกชนจาก C ไป B ม 2 2 2 2 16 แบบ แต ฟงกชนจาก C ไปทวถง B ม 16 2 14 แบบ (ลบออก 2 แบบ คอแบบทเรนจเปน 2 ลวน กบ 3 ลวน) ** ทงหมดนไมควรทองจา เพราะไมใชสตร ถาโจทยเพมเงอนไขใหแปลกไป กจะทาใหวธการคดเปลยนไปได

ตวอยาง ถา A {0, 1, 2, 3} , B { 2, 1, 0, 1, 2}

- ฟงกชนจาก A ไป B โดยท f (x) x< (แปลวาตวหลง < ตวหนา) จะมอย 3 4 5 5 300 แบบ - ฟงกชนจาก A ไป B โดยท ถา x ไมเปนจานวนเฉพาะแลว f (x) ตองเปนจานวนเฉพาะ มอย 2 2 5 5 100 แบบ 3. ความหมายของฟงกชนเพม และฟงกชนลด ..สาหรบทกๆ 1 2x , x [a, b] ฟงกชน f จะเปนฟงกชนเพมในชวง [a, b] กตอเมอ ถา 2 1x x แลว 2 1f (x ) f (x ) และฟงกชน f เปนฟงกชนลดในชวง [a, b] กตอเมอ ถา 2 1x x แลว 2 1f (x ) f (x ) ** การเขยนกราฟของพหนามดกรมากกวา 2 และหาชวงทเปนฟงกชนเพมหรอลด จะตองคดโดยการหาอนพนธ ซงจะไดศกษาจากบทเรยน “แคลคลสเบองตน” ในระดบ ม.6 4. ลกษณะการเขยนฟงกชนในรป y f (x) กเพอใหใชประโยชนในการแกฟงกชน ดงเชนในตวอยาง


ตวอยาง ถา f (x) 2x 3 ใหหา f (3x 1)

เนองจาก f ( ) 2( ) 3 เสมอ ..จงไดวา f (3x 1) 2(3x 1) 3 6x 5

ตวอยาง ถา f (3x 1) 6x 5 ใหหา f (x)

ให A 3x 1 นนคอ A 1x 3

จะไดวาสมการ f (3x 1) 6x 5 กลายเปน A 1f (A) 6( ) 5 2A 33

ดงนน เมอแทนทตวแปร A ดวยตวแปร x ..ยอมไดวา f (x) 2x 3

ตวอยาง ถา f (3x 1) 6x 5 ใหหา f (2)

ให 2 3x 1 ไดเลย ..นนคอ x 1 แทนคา x 1 ลงในสมการ f (3x 1) 6x 5 กจะไดผลเปน f (2) 6(1) 5 1

ตวอยาง ถา f (x) 2x 3 ใหหา f (3x 1) ในรปของ f (x)

หา f (3x 1) 2(3x 1) 3 6x 5 กอน

จากนนเปลยน x เปน f (x) โดยเราทราบวา f (x) 3f (x) 2x 3 x 2

จงไดวา f (x) 3f (3x 1) 6( ) 5 3 f (x) 42

5. อนเวอรสของความสมพนธ r ใชสญลกษณ 1r โดยมนยามวา 1r {(y, x) | (x, y) r } หรอกลาววา 1r เกดจากการสลบทสมาชกตวหนาและหลงของคอนดบใน r นนเอง (หรอถาเปนความสมพนธแบบเงอนไขสมการ จะเกดจากการสลบตาแหนงระหวางตวแปร x และ y) ตวอยาง ถา r {(3, 7),(4, 8),(5, 9),(6, 7)} จะหาอนเวอรสไดโดยสลบทสมาชกภายในแตละคอนดบ นนคอ 1r {(7, 3),(8, 4),(9,5),(7,6)}

ตวอยาง ถา r {(x, y) y 2x 3 }| จะหาอนเวอรสไดโดยสลบทตวแปรในสมการ นนคอ 1r {(x, y) x 2y 3 }| หรอยายขางสมการใหอยในรปของ y ไดเปน 1 31

2 2r {(x, y) y x }|

หรออาจเขยนเปน 1r {(x, y) y 0.5 x 1.5 }|

หมายเหต ถาตอบวา 1r {(y, x) y 2x 3 }| (สลบท x กบ y กนในสวนหนาของเซต) กใหผลทถกตองเชนกน แตไมนยมและไมควรกระทา เพราะจะสบสนไดงาย


6. 1 rrD R และ 1 rrR D เสมอ

(สาหรบฟงกชนอนเวอรส กเปนแบบนเชนกน คอ 1 ffD R และ 1 ffR D )

ตวอยาง ถา r {(3, 7),(4, 8),(5, 9),(6, 7)} ใหหา 1rD และ 1rR

เนองจาก 1 rrD R ดงนน 1rD {7, 8, 9}

และเนองจาก 1 rrR D ดงนน 1rR {3, 4,5,6}

ตวอยาง ถา r {(x, y) y x 2 }| ใหหา 1rR

จากสมการพบวา x 2> เทานน และเนองจาก 1 rrR D ดงนน 1rR [2, )

7. ฟงกชนผกผน (หรอฟงกชนอนเวอรส) ( 1f ) อนเวอรสของฟงกชน f จะเปนฟงกชน กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนงเทานน ตวอยาง ถา f {(3, 7),(4, 8),(5, 9),(6, 7)} (ฟงกชนนไมเปน 1-1 เพราะมทง (3,7) และ (6,7))

สามารถหาอนเวอรสไดโดยสลบทสมาชกภายในคอนดบ นนคอ 1f {(7, 3),(8, 4),(9,5),(7,6)} แตอนเวอรสทไดน ไมเปนฟงกชน (เพราะมทง (7,3) และ (7,6)) • ประโยคตอไปนเปนหลกการทใชชวยในการแกฟงกชน “ 1f ( ) มความหมายเดยวกบ f ( ) ”

ตวอยาง ถา f (x) 2x 3 ใหหา 1f (x)

จาก f (x) 2x 3 ยอมไดวา 1f (2x 3) x

จากนนใชเทคนคการแกฟงกชนตามเดม โดยให A 2x 3 นนคอ A 3x 2

แทนคาลงใน 1f (2x 3) x ..จะได 1 A 3f (A) 0.5 A 1.52

ดงนน 1f (x) 0.5 x 1.5

หมายเหต อาจใชวธหาอนเวอรสเหมอนในเรองความสมพนธ คอสลบตวแปร x กบ y กน กได ดงน..

ให f (x) y 2x 3 จะไดอนเวอรสเปน x 2y 3 หรอยายขางสมการไดวา y 0.5 x 1.5 ..ดงนน 1f (x) 0.5 x 1.5


ตวอยาง ถา f (x) 2x 3 ใหหา 1f (5)

จาก f (x) 2x 3 ยอมไดวา 1f (2x 3) x ให 2x 3 5 นนคอ x 4 ดงนน แทนคา x ดวย 4 ลงใน 1f (2x 3) x ..จะได 1f (5) 4

ตวอยาง ถา f (x 1) 4x 3 ใหหา 1f (x)

จาก f (x 1) 4x 3 ยอมไดวา 1f (4x 3) x 1

จากนนใชเทคนคการแกฟงกชนตามเดม โดยให A 4x 3 นนคอ A 3x 4

แทนคาลงใน 1f (4x 3) x 1 ..จะได 1 A 3f (A) 1 0.25 A 0.254

ดงนน 1f (x) 0.25 x 0.25

ตวอยาง ถา f (x 1) 4x 3 ใหหา 1f (5)

จาก f (x 1) 4x 3 ยอมไดวา 1f (4x 3) x 1 ให 4x 3 5 นนคอ x 2 ดงนน แทนคา x ดวย 2 ลงใน 1f (4x 3) x 1 ..จะได 1f (5) 1

• สมบตของอนเวอรส คอ 1 1(f ) f 8. กราฟของ 1r (หรอ 1f ) สามารถคดจากกราฟของ r (หรอ f) ได โดยการหมนพลกกราฟ ใชเสนตรง y x เปนแกนกลางในการพลก (ผลทไดจะเกดการสลบทศกนระหวางแกน x กบแกน y) ตวอยาง ถาเราทราบวากราฟของ r เปนดงรปซาย จะหากราฟของ 1r ไดผลดงรปขวา

O

y

x

y

x

r

เสนตรง

r-1

(-3,-1)

(-1,-3)

y = x


ตวอยาง ถาความสมพนธ r มกราฟเปนดงรป ใหหาขนาดพนทของกราฟ 1r r หากราฟของ 1r ไดดงรป จงไดกราฟ 1r r เปนดงรป พนทเทากบ 1 ใน 4 ของวงกลม

21 9(3)4 4 ตารางหนวย

หมายเหต ถาตองการพนท 1r r จะไดรปเปน 3 ใน 4 ของวงกลม นนคอคาตอบเทากบ 27

4 ตารางหนวย

9. “ฟงกชนประกอบ” (หรอฟงกชนคอมโพสท) คอฟงกชนของฟงกชน เชน g(f (x)) จะเขยนแทนดวยสญลกษณ (g f)(x) • ฟงกชน g f จะหาไดกเมอ มสมาชกบางสวนของ fR กบ gD รวมกน ตวอยาง ให f และ g เปนฟงกชนซง f {(0, 3),(1, 4),(2,6)} และ g {(3, 7),(4, 8),(5, 9),(6, 7)} และตองการหา g f จะเขยนแผนภาพไดดงน

จากแผนภาพ พบวาสามารถหา g f ได เนองจากมสมาชกบางสวนของ fR กบ gD รวมกน (คอ 3, 4, 6)

จะได g(f (0)) g(3) 7 , g(f (1)) g(4) 8 , และ g(f (2)) g(6) 7 หรอเขยนเปน (g f)(0) 7 , (g f)(1) 8 , และ (g f)(2) 7 หรอสรปวา g f {(0, 7),(1, 8),(2, 7)} นนเอง

หมายเหต ไมจาเปนตองเขยนแผนภาพกได ในตวอยางนแสดงไวเพอใหเกดความเขาใจทชดเจนยงขนเทานน

0 1

2

3 4 5 6

7 8 9

B C

f g

A

O

y

x

r

3 -3

O

y

x

3

-3

O

y

x

r

3 -3

r-1

O

y

x 3

3


ตวอยาง ถา f (x) 2x 3 และ g(x) 3x 4 ใหหา (g f)(x)

จาก (g f)(x) g(f (x)) g(2x 3) จงไดคาตอบเปน 3(2x 3) 4 6x 5

ตวอยาง ถา (g f)(x) 6x 5 และ g(x) 3x 4 ใหหา f (x)

จาก (g f)(x) g(f (x)) 3(f (x)) 4 แตโจทยกาหนด (g f)(x) 6x 5 ดงนน 3(f (x)) 4 6x 5 ..ยายขางสมการไดคาตอบเปน f (x) 2x 3

ตวอยาง ถา (g f)(x) 6x 5 และ g(x) 3x 4 ใหหาคาของ f (2)

จาก (g f)(2) g(f (2)) 3(f (2)) 4 แต (g f)(2) 6(2) 5 7 ดวย ดงนน 3(f (2)) 4 7 ..ยายขางสมการไดคาตอบเปน f (2) 1

ตวอยาง ถา (g f)(x) 6x 5 และ f (x) 2x 3 ใหหา g(x)

จาก (g f)(x) g(f (x)) g(2x 3) แตโจทยกาหนด (g f)(x) 6x 5 ดงนน g(2x 3) 6x 5 ใชเทคนคการแกฟงกชนตามเดม (คอให A 2x 3 ) ..จะไดผลเปน g(x) 3x 4

ตวอยาง ถา (g f)(x) 6x 5 และ f (x) 2x 3 ใหหา g(1)

จาก (g f)(x) g(f (x)) 6x 5 ตองการ g(1) จงให f (x) 1 ..ซงจะได 2x 3 1 x 2 แทนคา x ดวย 2 ลงใน (g f)(x) g(f (x)) 6x 5 จงไดคาตอบเปน (g f)(2) g(1) 6(2) 5 7

10. สมบตทเกยวกบอนเวอรสและฟงกชนประกอบ คอ 1 1 1(f g) g f


ตวอยาง ถา 3(g f)(x) x 7 และ f (3x 1) x 2 ใหหาคาของ 1(f g) ( 2)

จากสมบต จะได 1 1 1(f g) ( 2) (g f )( 2) นนคอเราตองการหาคา 1 1(g (f ( 2))

จาก f (3x 1) x 2 จะได 1f (x 2) 3x 1 เมอแทนคา x ดวย 0 กจะได 1f ( 2) 3(0) 1 1 แสดงวา คาทเราตองการคอ 1 1 1(g (f ( 2)) (g (1))

จาก 3(g f)(x) g(f (x)) x 7 ..จะได 1 3g (x 7) f (x) เมอแทนคา x ดวย 2 กจะได 1g (1) f (2) แสดงวา คาทเราตองการคอ f (2)

จาก f (3x 1) x 2 ..เมอแทนคา x ดวย 13 กจะได 51

3 3f (2) 2

ดงนนคาตอบทตองการ.. 1 53(f g) ( 2)

11. ถา f gR D จะไดวา gof fD D แตถา f gR D จะไดวา gof fD D เทานน

• หลกในการหาโดเมนและเรนจของ (g f)(x) มดงน (1) เขยน g ของ f(x) (ใหตดเปนคาวา f(x) ไวกอน ยงไมตองใส x ลงไป) และจากนน.. (2) ถาหา gofD ใหพจารณา g(f(x)) ทเราเขยน วารปแบบน f(x) สามารถเปนคาเทาใดไดบาง แลวจงนาขอบเขตทไดนยอนไปคดเปนคา x (ซงกคอโดเมน) (3) ถาหา gofR ใหหาเรนจของฟงกชน f กอน วา f(x) เปนเทาใดไดบาง แลวนามาใสลงใน g(f(x)) ทเขยนไว เพอใหทราบขอบเขตทเปนไปไดของคา g(f(x)) (ซงกคอเรนจ)

ตวอยาง กาหนด 21g(x)

1 x

และ 2f (x) 4 x

ใหหาเซต gofD และ gofR

เรมตน เขยน 21(g f)(x)

1 f(x)

กอน

หาโดเมน; พจารณาเงอนไข มรทและเปนตวสวนดวย ..ดงนน 21 f(x) 0 แยกตวประกอบแลวเขยนเสนจานวน จะได 1 f (x) 1

จากนนจงแทน x ลงไปไดวา 21 4 x 1 นนคอ 20 4 x 1 < เทานน นา 4 ไปลบ และคณดวย –1 จะไดเปน 23 x 4 < ดงนน คา x ทเปนไปไดทงหมด จะอยใน gofD [ 2, 3) ( 3, 2]


หาเรนจ; เรมจากหาเรนจของ f(x) ซงอาจมองไดดงน จาก 2x x 0 >R เสมอ

ดงนน 24 x 4 < .. และจะได 20 4 x 2< < แสดงวา f(x) มคาในชวง [0,2]

จากนนจงนาขอบเขตของคา f นไปใสลงใน g ตอ ไดเปน 20 f (x) 2 0 f (x) 4< < < <

นนคอ 23 1 f (x) 1 < < ..ดงนน 20 1 f (x) 1< <

และดงนน.. 211

1 f (x)

< ..แสดงวา gofR [1, )

** ไมควรคดโดยหา g f ออกมากอนแลวจงหาโดเมนและเรนจ เพราะคาตอบทไดอาจผด เนองจากมบางขนตอนททาใหเงอนไขของโดเมนและเรนจหายไป

ตวอยาง สมมตวา 2g(x) x 6 และ 2f (x) 3 x ตองการหา gofD

หากคดโดยหา g f กอน จะเปน 22 2 2(g f)(x) 3 x 6 3 x 6 9 x

สมมตวาหาโดเมนจากเงอนไข 29 x 0 > จะไดคาตอบคอ x [ 3, 3] แตเปนคาตอบทผด!

เชน เมอเราพจารณาคา (g f)(2) จะพบวา f (2) นนไมนยาม.. ฟงกชน g f จงไมควรม 2 อยในโดเมน

สาเหตทคาตอบผดกเพราะในการหา g f นน มขนตอนทเครองหมายรทถกยกกาลงสองใหหายไป เงอนไขของ x ภายในเครองหมายรทอนน จงหายไปดวย

12. พชคณตของฟงกชน มนยามวา (f g)(x) f (x) g(x) โดยเครองหมาย หมายความถง , , ,

ตวอยาง ถา 1 xf (x) x 2

และ (f g)(x) x 2 ใหหา (f g)(2) และ (fg)(2)

หา f(2) โดยเราทราบวา xf ( ) xx 2

ให x 2x 2

จะได x 4 ..แทนคาลงไปไดเปน f(2) 4

ตอมาหา g(2) จาก (f g)(x) x 2 แทน x ดวย 2 จะได f(g(2)) 4 ..นนคอ 1f (4) g(2) (ตามหลกการของอนเวอรส)

ดงนน 4g(2) 24 2

..สรปคาตอบคอ (f g)(2) f(2) g(2) 4 2 6 และ (fg)(2) f(2) g(2) 4 2 8


13. โดเมนของฟงกชนพชคณตระหวาง f และ g ตองคดจาก f g f gD D D เทานน (โดยเครองหมาย หมายความถง , , , ) ซงในกรณหาร จะตองมเงอนไขวา g(x) 0 ดวย

ตวอยาง ถา x 3f (x) x 1

และ 2

2x 3x 2g(x) x 9

ใหหา fgD

เนองจาก fD {1} R และ gD {3, 3} R ดงนน fg f gD D D {1, 3, 3} R

** ไมควรคดโดยหา fg ออกมากอน เพราะเงอนไขอาจหกลางกนหายไปได

..เชนในตวอยางน 2

2x 3x 2x 3 x 2(fg)(x) x 1 x 3x 9

ถาคดเชนนจะไดโดเมนเปน { 3} R เทานน ซงผด! หมายเหต ในตวอยางนถาตองการหา f gD กบ f gD กไดคาตอบเหมอนกบ fgD ..แตถาตองการ f / gD จะมเงอนไขเพมเตมวา g(x) 0 ดวย

นนคอ x 1, 2 ดงนน f / gD {1, 3, 3, 1, 2} R

ขอสอบเขามหาวทยาลย .. บทท 5

ความสมพนธและฟงกชน 1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ให x และ y เปนตวแปรจรง กราฟของสมการ x y a เมอ a 0 คอกราฟในขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4. 5. 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] กาหนดให 2f {(x, y) | y 4 x } R R g {(x, y) | y x 2 } R R h {(x, y) | y x 2 0 R R และ x 0 }< ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชนทไมใชเซตวาง 1. (f g) h 2. (f g) h 3. (f h) g 4. (f g) h

เฉลย 1. 1 2. 2

y

x O a

-a

a

-a

y

x O a

-a

a

-a

y

x O a

-a

a

-a

y

x O a

-a

a

-a

y

x O a

a

-a

-a


3. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ใหความสมพนธ 2 2

1r {(x, y) | y 2 x } <R R

และ 22r {(x, y) | y x } >R R

จะไดวา 1 2r r คอสวนทแรเงาในขอใด 1. 2. 3. 4. 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 4. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] ให R เปนเซตของจานวนจรง และ 2 2A {(x, y) | x y 16 } <R R 2B {(x, y) | x 4y } <R R C {(x, y) | 4 x 4, y 4 } < <R R ขอใดตอไปนผด 1. A (B C) {(0, 4)} 2. A B 3. (B A) C C 4. C B 5. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] ถา A {(x, y) | 0 x 2, 0 y 2x } < < < <R R

และ yB {(x, y) | 0 y 4, x 2 }2 < < < <R R

แลวขอใดตอไปนถก 1. A เทากบ B 2. A ' เทากบ B 3. A เปนสบเซตแทของ B 4. B เปนสบเซตแทของ A

(0, 2)

y

x O (1,1)

( 1, 1) ( 2,0)

(0, 2)

( 2,0)

(0, 2)

y

x O

(1,1)

( 1, 1) ( 2,0)

(0, 2)

( 2,0)

(0, 2)

y

x O

(1,1)

( 1, 1) ( 2,0)

(0, 2) (1, 1)

( 1,1)

( 2,0)

(0, 2)

y

x O

(1,1)

( 2,0)

(0, 2)

( 1,1)

( 2,0)


6. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] กาหนดรปสเหลยมคางหมทมความสง 3 หนวย ดานๆ หนงอยบนแกน y ดานๆ หนงของดานคขนานอยบนแกน x และดานๆ หนงอยบนเสนตรง x y 3 ความสมพนธในขอใดตอไปนมกราฟเปนบรเวณภายในรป และเสนรอบรปของรปสเหลยมคางหมดงกลาว 1. {(x, y) | x 0 >R R , 0 y 3< < และ y x 3 }> 2. {(x, y) | y 0 >R R , 0 x 3< < และ x y 3 }< 3. {(x, y) | 3 y 0 < <R R และ y x 3 }< 4. {(x, y) | 3 x 0 < <R R และ x y 3 }< 7. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] เซตในขอใดตอไปนเปนเซตวาง 1. 2{(x, y) | x y 1} {(x, y) | y x 0 } R R R R 2. {(x, y) | y x 2 } {(x, y) | y 2 3x } I I R R 3. {(x, y) | y x } {(x, y) | y x } R R R R 4. {(x, y) | 1 x 4 } {(x, y) | y 2 } <R R R R 8. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] :(

กาหนดความสมพนธ 2 2x yr {(x, y) | 0 }4 9 ขอตอไปนขอใดไมถกตอง

1. สามารถหาความสมพนธ 1r ซง 11r r และ 1r เปนฟงกชนจาก R ไป R ได

2. สามารถหาความสมพนธ 2r ซง 2r r และ 2r เปนฟงกชนจาก R ไปทวถง R ได 3. ถา 3r คอ ความสมพนธใดๆ ทเปนสบเซตของความสมพนธ r และ r3D [ 1, 1] แลว จะไดวาความสมพนธ 1

3r ไมเปนฟงกชน 4. กราฟของความสมพนธ r เปนเสนตรง 2 เสนตดกน

5. ความสมพนธ 43r {(x, y) | y x }2 เปนสบเซตของความสมพนธ r

9. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] :( ให 1r และ 2r เปนความสมพนธ กาหนดโดย

1r {(x, y) | y x 3 } <R R 2

2r {(x, y) | x y 9 0 <R R และ y 3 }> ขอใดตอไปนถก 1. 1 2r r 2. 2 1r r 3. 1

1 2r r 4. 12 1r r

เฉลย 3. 4 4. 3 5. 1 6. 1 7. 1 8. 3 9. 4


-4 -2 3 3

-4 -2 3 -2 3

10. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] :( กาหนดให 2A {(x, y) | y x 3 } R R และ B {(x, y) | 2y 3(x 1) 4x } R R คากลาวในขอใดตอไปนถกตอง

1. ( 1, 2) เปนจดสงสดในเซต A ' B 2. 3 3( , )2 4 เปนจดตาสดในเซต A ' B

3. 3 3( , )2 4 เปนจดสงสดในเซต A ' B 4. ( 1, 2) เปนจดตาสดในเซต A ' B

11. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] กาหนดให S { x | x เปนจานวนเตม และ x 5 }<

และ 3 2 2

4x x 4x af (x) x bx 4

โดยท a S, b S

จานวนคลาดบ (a, b) S S ทงหมดททาให f (1) 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 15 2. 18 3. 20 4. 22 12. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] :( ให A {0, 1, 2, 3} และ P(A) คอเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสมพนธจาก A ไปยง P(A) กาหนดโดย r {(a, B) | a 2, a B > และ a 1 B } แลว r มจานวนสมาชกกจานวน 13. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2543] กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 2x 8x 20< ถา A { x S | x เปนจานวนเฉพาะบวก} และ B { x S | x เปนจานวนเตมค } แลว (A B) (B A) มจานวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1. 11 2. 15 3. 21 4. 23 14. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ;Þ กาหนดให ความสมพนธ 1r {(x, y) | y 3 x } R R ,

22r {(x, y) | y }1 x 3

R R

และถาให A และ B แทนโดเมนของ 1r และ 2r ตามลาดบ จะไดวา A B คอเซตซงแสดงดวยเสนจานวนในขอใดตอไปน 1. 2. 3. 4. 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4.


15. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] ;Þ กาหนดให 2r {(x, y) | x y 6y 10 } R R ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. 1rD R และ 1rR { y | y 0 } > 2. 1rD { x | x 0 } > และ 1rR R 3. 1rD R และ 1rR { x | x 1} > 4. 1rD { y | y 1} > และ 1rR R 16. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528]

กาหนดให 2f(x) x 1

ขอความใดตอไปนเปนจรง

1. fD { x | x 1} และ fR { x | 2 x 0 } < 2. fD { x | x 1 และ x 1} และ fR { x | 2 x 0 } < < 3. fD { x | x 1} และ fR { x | x 2 < หรอ x 0 } 4. fD { x | x 1 และ x 1} และ fR { x | x 2 < หรอ x 0 } 17. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] ถา 3 2 2 2r {(x, y) | 2x 3xy x y 0 } R R แลว เรนจของ 1r เทากบขอใด

1. 1 1( , ]3 2 2. 1 1[ , )2 3

3. 1 1( , ) ( , )3 3 4. ( , )

18. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2543]

กาหนดให 2r {(x, y) | y 9 x } และ 21s {(x, y) | y }

x 9

พจารณาขอความตอไปน ก. 1r sD R ข. 1r sR D (0, )

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 19. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] กาหนดความสมพนธ 2 2

1r {(x, y) | x y 1} R R

และ 2 21r {(x, y) | y 1}x 1

R R

ให A เปนโดเมนของ 1r และ B เปนเรนจของ 2r ดงนน A B คอเซตในขอใดตอไปน 1. [0, 1] { 1} 2. (0, 1] { 1} 3. (0, 1] 4. { 1}

เฉลย 10. 3 11. 3 12. 12 13. 2 14. 3 15. 3 16. 4 17. 1 18. 2 19. 2


20. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541]

ถาความสมพนธ 24r {(x, y) | y 2 }(x 1) 4

R R

แลวขอใดตอไปนคอเรนจของ r 1. ( , 2) [3, ) 2. ( , 2) (3, ) 3. ( , 2] [3, ) 4. ( , 2] (3, ) 21. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535] กาหนดให R เปนเซตของจานวนจรง ถา 2 2r {(x, y) | 9x 4y 18x 16y 11 0 } R R แลว r rD R เทากบขอใดตอไปน 1. [ 1, 3] 2. [ 5, 1] 3. [ 1, 1] 4. [ 5, 3] 22. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2542] กาหนดให r เปนความสมพนธในเซตของจานวนจรง

โดยท 22

1 xr {(x, y) | y }1 x

ขอใดตอไปนถก

1. 1r rD [ 1, 1], D [ 1, 1] 2. 1r rD [ 1, 1], D [0, 1]

3. 1r rD [0, 1], D [ 1, 1] 4. 1r rD [0, 1], D [0, 1]

23. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546]

ให 2x 4r {(x, y) | y }x 2

พจารณาขอความตอไปน ก. r4 R ข. 1rR [0, 4) (4, ) ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 24. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532]

ให 2 x , x [ 2, 3]f(x) x 5 , x (3, 8)

และ x 2 , x ( 2, 0]

g(x) 4 x , x (0, 4]

ถาให A เรนจของ f และ B โดเมนของ 1g แลว A B' คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( 2, 0) [2,6] 2. [ 2, 0] (2,6) 3. [2, 6] 4. ( 2, 0)


25. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] ถา 2f {(x, y) | y x 2x 2 และ 3 x 2 } < แลว (1) fR { y | 3 y 6 } < < (2) fR { y | 1 y 6 } < (3) ถา h f โดยท hD { x | 1 x 1} < และ h(x) f(x) แลว 1h เปนฟงกชน 1 1 ขอตอไปนขอใดถกตอง 1. ขอ (1) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (2) ถกเพยงขอเดยว 3. ขอ (3) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (1) และขอ (3) ถกเพยง 2 ขอ 5. ขอ (2) และขอ (3) ถกเพยง 2 ขอ 26. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ถา 2r {(x, y) | y x < และ y 2x }> แลวเรนจของ 1r คอเซตในขอใดตอไปน 1. [0, 2] 2. [0, 4] 3. ( , 0] [2, ) 4. ( , 0] [4, ) 27. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] :( * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนลอการทม” ดวย ให 2

1r {(x, y) | x y 2 0 } < และ 22r {(x, y) | ln y x 0 } >

เรนจของ 1 2(r r ) คอเซตในขอใดตอไปน 1. [1, 2] 2. ( , 0]

3. 1( , 1] [ , 1]2 4. 1( , ] [1, 2]2

28. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] :( กาหนดให r {(x, y) | x y > และ 2 2y x 2x 3 } พจารณาขอความตอไปน ก. rD [1, ) ข. rR ( , ) ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 29. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] :( กาหนดให r {(x, y) | 0 x, 0 y 5 < < < และ 2 2x y 2x 6y 8 } < พจารณาขอความตอไปน ก. rD [0, 3] ข. ถา 0 c และ (3, c) r แลว c 5 ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด เฉลย 20. 1 21. 3 22. 2 23. 3 24. 1 25. 4 26. 3 27. 4 28. 2 29. 4



กาหนดความสมพนธ 21yr {(x, y) | }x 1

พจารณาขอความตอไปน

ก. rD ( , 1) (1, ) ข. 1 1 xr {(x, y) | y }x

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 31. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] ;Þ ถา A {1, 2, 3, 4} และถา r เปนความสมพนธจาก A ไป A ขอใดตอไปนทมความสมพนธเปนฟงกชน แตอนเวอรสของความสมพนธไมเปนฟงกชน 1. 1r {(x, y) A A | y x } 2. 2

2r {(x, y) A A | y x } 3. 3r {(1, 1),(2, 4),(4, 1)} 4. 4r {(1, 1),(2, 4),(3, 3),(4, 1)} 5. 5r {(1, 2),(2, 3),(3, 4),(4, 1)} 32. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] ;Þ * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนตรโกณมต” ดวย กาหนดให D {2,5,6, 7, 8} อนเวอรสของความสมพนธทม D เปนโดเมนในขอใดตอไปน ไมเปนฟงกชน 1. {(x, y) | y sin( (x 5))}6

2. {(x, y) | y x 2 } 3. 2{(x, y) | y x 4x } 4. {(x, y) | y เศษเหลอจากการหาร x ดวย 4 } 33. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] กาหนดให R เปนเซตของจานวนจรง และ I เปนเซตของจานวนเตม

ถา 2A { x | x 2 8 } I และ 1B { x | 1 0 }x R

แลวเซตของความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชนจาก A B ไป B 1. {( 3, 1),( 2, 2),( 1, 3),(1, 4),(2,5)} 2. {( 3, 0),( 2, 1),(1, 1),(2, 2),(3, 3)} 3. {( 3, 1),(0, 2),(1, 1),(2, 3),(3, 4)} 4. {( 3, 1),( 2, 4),(1, 5),(2, 2),(3, 1)}


34. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] ;Þ ถา A B เซตของจานวนจรง และ f {(x, y) A B | y x 2 } ขอความใดถกตองทสด 1. f เปนเพยงความสมพนธ ไมใชฟงกชน เพราะคา x มากกวาหนงคา ใหคา y เทากน 2. f เปนฟงกชน แตไมใชฟงกชน 1 1 เพราะเมอลากเสนขนานกบแกน x เสนนนจะตดกราฟของฟงกชนมากกวาหนงจด 3. f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เพราะจานวนสมาชกของ A และ B เทากน 4. ถกทงขอ 2. และขอ 3. ดงนน f ไมใชฟงกชนชนด “หนงตอหนงทวถง” 5. ไมมคาตอบใดถกตอง 35. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] อนเวอรสของความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. {(x, y) A A | y x } , A {1, 2, 3} 2. 2{(x, y) | x y 1} R R 3. {(x, y) | y x 2 } R R 4. {(x, y) B B | y x 2 } , B { 2, 1, 0, 1, 2} 36. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ f เปนฟงกชน 1 1 จากเซต A ไปทวถงเซต B ขอความในขอใดตอไปนถก 1. A และ B มจานวนสมาชกเทากน 2. A มจานวนสมาชกมากกวา B 3. B มจานวนสมาชกมากกวา A 4. A B 5. จากขอมลทกาหนดให เปรยบเทยบกนไมไดระหวาง A และ B 37. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] ;Þ กาหนดให A {1, 2} ขอความในขอใดตอไปนถกตอง 1. จานวนของความสมพนธทงหมดจาก A ไป A เทากบ 4 2. จานวนของฟงกชนทงหมดจาก A ไป A เทากบ 4 3. จานวนฟงกชนคงทจาก A ไป A เทากบ 1 4. อนเวอรสของแตละฟงกชนจาก A ไป A ไมเปนฟงกชน 38. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] ;Þ ถาเซต A มสมาชก 10 ตว แลวจานวนทงหมดของความสมพนธจาก A A ไป A เทากบขอใดตอไปน 1. 1002 2. 10002 3. 2100 4. 21000

เฉลย 30. 2 31. 3, 4 32. 4 33. 4 34. 2 35. 3 36. 1 37. 2 38. 2


39. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ;Þ ให A {1, 2, 3} , B {2, 3, 4} ขอใดเปนฟงกชน 1 1 จาก A ไปทวถง B 1. {(1, 3),(2, 4),(3, 3)} 2. {(2, 2),(3, 3),(4, 1)} 3. {(1, 1),(2, 2),(3, 3)} 4. {(1, 2),(3, 3),(2, 3)} 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 40. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ;Þ ถาเซต A มสมาชก 8 จานวน เซต B มสมาชก 6 จานวน และ A กบ B มสมาชกรวมกน 3 จานวน แลวฟงกชนหนงตอหนงจากเซต (B A) ไปยงเซต (A B) มจานวนเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 5 3. 10 4. 20 41. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2542] ให A {1, 2, 3} และ B {3, 4} ถา S { f : A B A B | f เปนฟงกชนหนงตอหนง} แลวจานวนสมาชกของ S เทากบขอใดตอไปน 1. 120 2. 240 3. 360 4. 480 42. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] ให A {1, 2, 3} และ B {a, b, c, d} แลว จานวนสมาชกของเซต { f : A B | f ไมเปนฟงกชน 1 1} เทากบขอใดตอไปน 1. 40 2. 34 3. 30 4. 24 43. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] ถา A {1, 2, 3, 4,5,6, 7} และ B {a, b} แลวจานวนของฟงกชนจาก A ไปทวถง B เทากบขอใด 1. 14 2. 63 3. 126 4. 252 44. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543] ให A {1, 2, 3, 4,5} และ B {a, b} และให S { f | f : A B เปนฟงกชนทวถง} จานวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1. 22 2. 25 3. 27 4. 30 45. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ให A {1, 2, 3, 4,5} และ S เปนเซตของฟงกชน f ทงหมด โดยท f : A A เปนฟงกชน 1 1 และทวถง ถา f(1) 3 แลว จานวนสมาชกของ S เทากบขอใดตอไปน 1. 40 2. 48 3. 56 4. 72


46. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] ถา A { 2, 1, 0, 1, 2} แลว จานวนทงหมดของฟงกชน f : A A ซงมคณสมบตวา f(x) 0 สาหรบ x 0 และ f(x) 0 สาหรบ x 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 160 2. 80 3. 64 4. 16 47. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] กาหนดให A {1, 2, 3, 4} และ S { f : A A | f (x) x 1 < ทก x A } จานวนฟงกชนทงหมดทเปนสมาชกของ S เทากบเทาใด 48. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] กาหนดให A {1, 2, 3, 4,5} จานวนฟงกชน f : A A ซงมคณสมบตวา ทก x A , f(x) x หรอ f(x) 3 เทากบขอใดตอไปน 1. 24 2. 29 3. 72 4. 120 49. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] ให A, B และ F เปนเซตซงกาหนดดงน A {1, 2, 3, 4,5,6} B {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F {f : B A | f (x) x ทกเซต x B } จานวนสมาชกของ F เทากบขอใดตอไปน 1. 24 2. 60 3. 100 4. 120 50. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535 และ ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] :( กาหนดให A {1, 2} และ B {1, 2, 3, ..., 10} เซต 1 1{ f | f : A B และม x A อยางนอย 1 ตว ซง f (x) x } มจานวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1. 16 2. 17 3. 18 4. 19 51. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2548] :( ให A {1, 2, 3, 4} และ B {1, 2, 3, 4,5} ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดยท f (1) 2 หรอ f (2) m เมอ m เปนจานวนค แลว จานวนของฟงกชน f ทมสมบตดงกลาว เทากบขอใด 1. 75 2. 150 3. 425 4. 500 52. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] :( ถา A {1, 2, 3, 4,5,6} และ B {1, 2, 3} แลว จานวนฟงกชน f : A B ทงหมดซง f (1) 1 หรอ f (2) 2 หรอ f (3) 3 เทากบขอใดตอไปน 1. 530 2. 612 3. 702 4. 814

เฉลย 39. 5 40. – 41. 3 42. 1 43. 3 44. 4 45. 2 46. 2 47. 96 48. 3 49. 4 50. 2 51. 3 52. 3


53. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ;Þ * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนตรโกณมต” ดวย ให a, b เปนคาคงท และ 2f(x) a sin x bx cos x x สาหรบทกคา x R ถา f(2) 3 แลว f( 2) เทากบคาในขอใดตอไปน 1. 3 2. 1 3. 1 4. 5 54. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525] ขอความใดตอไปนถก

1. r {(x, y) | x , y R R และ x 3y }2x 1

เปนฟงกชน

และม 1r {(x, y) | x , y R R และ x 3y }1 2x

ซงเปนฟงกชน

2. ถา f(x) x 5 และ 2x 25g(x) x 5

จะได f g

3. ถา 2f(x) x 4 , x 2 > และ 2g(x) x 2x 3

จะได 2

2f x 4( )(x) , x 2g x 2x 3

>

4. ถา f(x) x 3 และ x 3 ถา x 3g(x)3 x ถา x 3

> จะได f g

55. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] :(

ถา 2

2x เมอ x 0g(x) x เมอ x 0

>

แลว สาหรบจานวนจรง x ใดๆ คาของ g( x x ) เทากบขอใดตอไปน 1. x( x x ) 2. x( x x ) 3. 2 x( x x ) 4. 2 x( x x ) 56. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] :(

กาหนดให 22 , x 1

f(x) (x 1) , 1 x 2(x 1), x 2

<

>

เซตคาตอบของสมการ f( x ) 4 0 เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1. ( 3,5) 2. ( 6, 1) 3. ( 5, 4) 4. (1, 6) 57. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] :(

กาหนดให f( x ) , x 3

f(x) f(f(x 1)), 3 x 0x 1 , x 0

<

>

ถา h 5 แลว f(3 h) f( h)f( 2)

มคาเทากบเทาใด


58. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] :( ให R เปนเซตของจานวนจรง และ f : R R กาหนดโดย

1 x, x 0

f(1 x) 0 , x 01 x , x 0

ถา 2x y f(y x ) สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ แลวคาของ ( 2) f(3) มคาอยในชวงใดตอไปน 1. ( 4, 2] 2. ( 2, 2] 3. (2, 4] 4. (4,6) 59. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545]

กาหนดให 21f (x) 36 4x3

ถา A { x | x [ 3, 3] และ f (x) {0, 1, 2, 3}} แลว จานวนสมาชกของเซต A เทากบเทาใด 60. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] :(

กาหนดให 1 x , x [0, 1]

f (x) 1 x 1 , x (1, )

พจารณาขอความตอไปน ก. 1f (x) f (x) ทก x (1, ) ข. มจานวนจรง a 0> เพยง 2 จานวนเทานน ซง 1f (a) a ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 61. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ขอความใดไมจรง 1. ไมมจานวนจรง x ใดๆ ทเมอ 2F(x) x 4x 4 แลว F(x) x 2. ถา x และ y เปนจานวนจรงท x y 0 แลว x y x y < 3. ถา r A B แลว r เปนความสมพนธจาก A ไป B 4. มเซต A และ B ซง A B มจานวนสมาชกเทากบ 7 5. ถาเรนจของฟงกชน f เปนสบเซตของโดเมนของฟงกชน g แลว สามารถหา g f ได 62. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล” ดวย ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. ถา A เปนเซตจากด และ f : A B เปนฟงกชน 1 1 แลว B เปนเซตจากด 2. ถา f เปนฟงกชน 1 1 แลวไมจาเปนท 1 1f f f f 3. 2g(x) x เมอ x 0> ไมเปนฟงกชน 1 1 4. xf(x) e เปนฟงกชน 1 1

เฉลย 53. 4 54. 4 55. 4 56. 3 57. 1 58. 1 59. 5 60. 3 61. 1 62. 2


63. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ;Þ ให I เปนเซตของจานวนเตมบวก กาหนดให f {(x, y) | x 2y 12 และ x, y } I แลว f f เทากบเซตในขอใดตอไปน 1. {(8, 5),(4, 4)} 2. {(5, 8),(4, 4)} 3. {(2, 2),(4, 4)} 4. {(6, 3),(4, 4)} 64. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528]

พจารณาฟงกชนตอไปน f(x) x 1 , g(x) x และ 1h(x) x

ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. หา f h ไดเสมอ 2. หา h g ไดเสมอ 3. หา g f ไดเสมอ 4. หา h f ไดเสมอ 65. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] ให R เปนโดเมนและเรนจของฟงกชน f และ g

R R เปนโดเมนของฟงกชน u และ v R เปนเรนจของ u และ v และให a R จงพจารณาวาสญลกษณในขอใดตอไปนแทนจานวนจรง 1. g(u(f(a))) 2. u(g(v(a))) 3. f(u(a, a)) 4. g f u 66. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ;Þ กาหนดฟงกชน f และ g จากเซตของจานวนจรง R ไปยง R

โดย f(x) 1 x และ 1g(x) f(x) แลว (g f)(x) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 x 2. 2 x 3. 11 x

4. 12 x

67. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535] ;Þ ถา f และ g เปนฟงกชน กาหนดโดย 2f {(x, y) | x 2y 5 } R R และ g {(x, y) | 2x y 3 } R R แลว g f คอเซตในขอใดตอไปน 1. 2{(x, y) | x y 2 } R R 2. 2{(x, y) | x 4y 11} R R 3. 2{(x, y) | x 4x 2y 5 } R R 4. 2{(x, y) | 4x 12x 2y 4 0 } R R 68. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525] ;Þ

กาหนด 2f(x) x 6 , 1g(x) x 3

ขอความใดตอไปนถก

1. 26(f g)(x) (x 3)

2. 21(g f)(x) x 3

3. fR R 4. gR {3} { x | x , x 3 } R R 5. gR {0} { x | x , x 0 } R R


69. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ;Þ

กาหนดให f(x) 3x , 2g(x) x 1 และ 2x 2 เมอ x 0h(x) 2x 3 เมอ x 0

>

จะไดวา f (h g)(1) มคาเทากบเทาใด 1. 3 2. 5 3. 6 4. 10 70. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541]

ให 1f(x) x 1

โดยท x 1

ถา I เปนฟงกชนเอกลกษณ และ g (f f)(f I) แลว g(x) เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2(x 1)

(x 2)

3. 2(x 1) x

(x 2)

4. 2(x 1) x

(x 2)

71. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] กาหนดให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรง R ไปยง R

โดย xf(x) 2 และ 21 ถา x 1g(x) x 20 ถา x 1

<

ถา n เปนจานวนเตมบวกทมคานอยทสดททาให (g f)(n) 0 แลว n เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 72. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524]

กาหนด 2f {(x, y) | y x 1 } และ 21g {(x, y) | y }

1 x

ขอตอไปนขอใดถกตอง

1. 12

y(f g) {(x, y) | x }1 y

2. 2xf g {(x, y) | y }

1 x

3. 1(g f)(x) x

4. 1 221g {(x, y) | x 1 }y

5. g/ fD [1, ) 73. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] พจารณาขอความตอไปน (1) ถา 3 3f(x) a x เมอ x 0 แลว ดงนน f f f f (x) x

(2) ถา 2xf(x) x และ g(x) x สาหรบ x R ดงนน f และ g เหมอนกนทกประการ

(3) ถา f(x) x สาหรบ x R ดงนน 1f เปนฟงกชน และ 1f f ขอความใดถกตองทสด 1. มขอทถกตองเพยงขอเดยว 2. มขอทถกตอง 2 ขอ คอ (1) และ (2) 3. มขอทถกตอง 2 ขอ คอ (1) และ (3) 4. มขอทถกตอง 2 ขอ คอ (2) และ (3) 5. ตงแตขอ (1) – ขอ (3) ถกตองทกขอ เฉลย 63. 1 64. 1 65. 3 66. 4 67. 1 68. 4 69. 1 70. 4 71. 3 72. 1 73. 3


74. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] ใหโดเมนของฟงกชน f และ g เปนเซต R ของจานวนจรงทงหมด c R , c 0 กาหนด f(x) x c และ g(x) c สาหรบทก x ขอใดตอไปนผด 1. f(x) g(x) x สาหรบทก x R 2. f g เปนฟงกชนชนด 1 1 3. f gD R 4. อนเวอรสของ f g ไมเปนฟงกชน 75. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] กาหนดฟงกชน f และ g ดงน

x 3f(x) 2

เมอ x R

g(x) x เมอ x R เมอ x 3 คาของ 1 1[(f g)(x) (f g)(2)] /( x 2) เทากบเทาใด

1. 2 2. 6 3. 1 4. 12

76. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ให A {1, 2, 3, 4} , B {1, 3, 4, 5} และ f {(1, 1),(2, 3),(3, 4),(4,5)} แลว ขอความใดถก 1. 1f f เปนฟงกชนจาก A ไป B 2. f f เปนฟงกชนจาก A ไป A 3. 1f f เปนฟงกชนจาก A ไป A 4. 1f f เปนฟงกชนจาก B ไป A 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 77. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2542]

ถา f (x) 4x และ 2g(x) x 1

แลว คา x ททาให (f g)(x) (g f)(x) เทากบเทาใด 78. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] :(

กาหนดให 22 , x 1

f (x) (x 1) , 1 x 2x 1 , x 2

<

>

และ g(x) f (x) 2

ถา k เปนจานวนเตมทนอยทสดททาให g(k) 5 แลว (g f)(k) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 79. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] ;Þ ให f {(x, y) | y 3x 2 } R R และ g {(x, y) | y 2x 7 } R R คาของ 1 1(g f )(2) คอขอใด

1. 176 2. 7

2 3. 16 4. 7

2


80. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] กาหนดให 2f(x) x 2x 1 และ 3 2g(x) x 3x 3x 9 แลว 1(f g )(7) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 1 3. 1 4. 2 81. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2548] * ขอนอาศยเนอหา “เมทรกซ” ดวย

กาหนดให 1f (x) det1 11

1 x เมอ x 1 ขอใดตอไปนถก

1. f เปนฟงกชน 1 1 และ 111f (x) det

1 11

1 x

เมอ x 0 , x 1

2. f เปนฟงกชน 1 1 และ 11 1

f (x) det 111 x

เมอ x 1

3. f ไมเปนฟงกชน 1 1 เนองจากมคา x ททาให 1det 01 11

1 x

4. f ไมเปนฟงกชน 1 1 และ 21(f f)(x) det

1 11

1 x เมอ x 1

82. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] กาหนดให xf (x) , x 11 x

และ xg(x) , x 11 x

ขอใดตอไปนผด 1. 1(f g) (x) x , x 1 2. 1 1(f g )(x) x , x 1

3. 1 x(f g)(x) , x 11 2x

4. 1 x(g f)(x) , x 11 2x

83. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] :( กาหนดให 2r {(x, y) | x y 1} R R และ s {(x, y) | x y } R R ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1. 1 1 1 1r s s r 2. 1 1 1r s r 3. 1 1 1r r r 4. 1 1 1s s s 84. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( ให xf(x) 1 x

แลว 1f (x) เทากบขอใด

1. x1 x

2. x1 x

3. x1 x

4. x1 x

เฉลย 74. 2 75. 1 76. 3 77. 0.2 78. 3 79. 1 80. 2 81. 2 82. 3 83. 3 84. 2


85. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( กาหนดความสมพนธ r {(x, y) | y x x } R R อนเวอรสของ r คอขอใด

1. 1 x , x 0r {(x, y) | y }x , x 0

>R R

2. 1 x , x 0r {(x, y) | y }x, x 0

>R R

3. 1 x , x 0r {(x, y) | y }x , x 0

>R R

4. 1 x , x 0r {(x, y) | y }x , x 0

>R R

86. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2542] กาหนดให f (x) x และ 21A { x | f (x) [f (x)] 2 } R พจารณาคาความจรงของขอความตอไปน ก. 2x A [ x x 6 0 ] ข. 2x A [ x 2x 3 0 ] ขอใดตอไปนถก 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ 87. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] :( กาหนดให 2f (x) (x 1) ทก x 1< และ g(x) 1 x ทก x 1< พจารณาขอความตอไปน

ก. 1 xf (x) 1 ทก x 0< ข. 1 1 1 3(g f )( )4 4

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 88. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] :(

กาหนดให f (x) x เมอ x 0> และ x , 0 x 1g(x) x 1 , 1 x

<

<

พจารณาขอความตอไปน ก. 1g f เปนฟงกชนเพมบน fR ข. 1f g เปนฟงกชนเพมบน gR ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด


89. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2547] * ขอนอาศยเนอหา “ความตอเนองของฟงกชน” ดวย

กาหนดให x 1 , x 0f (x) x 1 , x 0

>

ฟงกชน g ในขอใดตอไปน ทาใหฟงกชน g f ไมตอเนอง 1. g(x) 1 เมอ x ( , 1) [1, )

2. 1g(x) f (x) เมอ x ( , 1) [1, )

3. 2

2(x 1) , x 1g(x) (x 1) , x 1

>

4. 3g(x) x เมอ x ( , 1) [1, ) 90. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2547] :( * ขอนอาศยเนอหา “แคลคลส (อนพนธ)” ดวย กาหนดให 2

xf (x) 1 x

เมอ x ( 1, 1)


ก. 2

11 1 4x , x 0f (x) 2x

0 , x 0

ข. f เปนฟงกชนเพมในชวง ( 1, 1)

ขอใดตอไปนจรง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 91. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546] :( * ขอนอาศยเนอหา “เอกซโพเนนเชยลและลอการทม” ดวย

กาหนดให a 0 และ x

3a(10 ) , x 1g(x) x 1 , x 1

>

ถา gR ( 2.5, ) แลว พจารณาขอความตอไปน

ก. 1g (a 1) log 2 ข. 13

log(4|x|) , x 0g (x) x 1 , x 0

>

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 92. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] :( กาหนดให k เปนคาคงตว และ r {(x, y) | x k x y k y } R R พจารณาขอความตอไปน ก. ถา k 1 แลว r เปนฟงกชน ข. ถา k 1 แลว r เปนฟงกชน ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

เฉลย 85. 2 86. 3 87. 1 88. 1 89. 4 90. 3 91. 4 92. 2


93. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] :( ให 2f(x) x และสาหรบ A R , R เซตของจานวนจรง นยาม 1f (A) { x | f(x) A } ขอความใดตอไปนผด 1. 1f ([ 25, 0]) {0} 2. 1f ([ 1, 1]) [ 1, 1] 3. 1f ([0, 1]) [ 1, 1] 4. 1f ([4, 9]) [2, 3] 94. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ;Þ

กาหนดให 1 1f( x 1) x 12 2 จะไดวา 1f (2) มคาเทากบเทาใด

1. 6 2. 4 3. 2 4. 0 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 95. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543]

ถา (f g)(x) 3x 14 และ 1f ( x 2) x 23

แลว 1(g f)(x) เทากบขอใดตอไปน 1. 3x 4 2. 3x 6 3. 3x 8 4. 3x 10 96. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535] ถา 1 xf (x) x 2

และ (f g)(x 2) 3x 6 แลว g(2) เทากบขอใดตอไปน

1. 56 2. 32 3. 12

5 4. 2411

97. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] ถา f(x) x 1 และ 1 2(g f )(x) 4x 1 แลวเซตคาตอบของสมการ g(x) 0 เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1. [ 4, 1] 2. [ 1, 0] 3. [0, 4] 4. [4,6] 98. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรง R ไปยง R ถา 3f(x) x 1 และ 3 2(f g)(x) x 3x 3x 2 แลวคาของ 1(g f )( 7) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 1 4. 3 99. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] กาหนดให 2f (x) ax b และ g(x 1) 6x c เมอ a, b, c เปนคาคงตว ถา f (x) g(x) เมอ x 1, 2 และ (f g)(1) 8 แลว 1(f g )(16) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 319 2. 619 3. 10 4. 20


100. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] * ขอนอาศยเนอหา “เลขยกกาลง” ดวย ให R เปนเซตของจานวนจรง, f : R R และ g: R R กาหนดโดย 2x 1f(x) a และ g(x) bx 5 ถา 1(f g )( 2) 27 และ (f g)(0) 15 แลว 3f( 1) 4g(2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 35 2. 33 3. 37 4. 39 101. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546] กาหนดให a 0 และ 2f (x) ax , x 0 > และ 3g(x) x

ถา 1(f g)(4) 2 แลว 11

f (64)g (64)


102. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546] กาหนดให f, g เปนฟงกชนซง fD [0, ) โดยท 1 2f (x) x , x 0> และ 21g (x) (f (x)) 1 , x 0> ถา a 0 และ f (a) g(a) 19 แลว 1 1f (a) g (a) เทากบขอใดตอไปน 1. 273 2. 274 3. 513 4. 514 103. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527]

ถา (f g)(x) x , 1g(x) x 33 และ g(h(x)) 2x 1 แลว ขอใดตอไปนถก

1. 1f(x) g (x) และ h(x) 6x 4 2. 1f(x) g (x) และ h(x) 6x 6 3. f(x) 3x 9 และ h(x) 6x 4 4. f(x) 3x 9 และ h(x) 6x 6 104. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] กาหนดให f (x 1) 3x 2 f (x) และ g(3x 1) 2x 8 ถา f (0) 1 แลว 1g (f (2)) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 0 3. 1 4. 2 105. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] กาหนดให f และ g เปนฟงกชน ซง f (x) 0 ทก x

ถา 2(g f)(x) 2 [f (x)] 2 f (x) 4 และ 1 x 1g (x) 3

แลว

พจารณาขอความตอไปน ก. g f เปนฟงกชนคงตว ข. f (100) g(100) 300 ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

เฉลย 93. 4 94. 2 95. 2 96. 2 97. 3 98. 1 99. 4 100. 3 101. 0.5 102. 1 103. 2 104. 1 105. 2


106. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] ให f : R R เมอ R เปนเซตของจานวนจรงบวก และ g: R R ถากาหนดให 2(g f)(x) 3(f(x)) 2f(x) 1 และ 2g(x) x x 2 ขอใดตอไปนผด 1. (g f)(1) 2 2. (g f)(1) 2 3. g( )(1) 2f 4. (g f)(1) 2

107. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2545] กาหนดให f, g เปนฟงกชนทมสมบตวา 1f (g(x)) x 2 ทก x R พจารณาขอความตอไปน ก. f (2x) g(2(x 1)) ทก x R ข. 1g (f (x)) เปนฟงกชนเพมใน R ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 108. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ;Þ

ถา f(x) (3 x)(2 x) และ 1g(x) x 3

แลว โดเมนของ fg คอเซตในขอใดตอไปน 1. 2. ( , 2] 3. ( 3, 2) 4. ( 3, 2] 109. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ;Þ

กาหนดให 21f(x) 3x 12 , g(x) 3 x , 2h(x) x 5x 6

ถา gu h แลว f uR D เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. ( 4, 1) 2. ( 1, 5) 3. (2, 7) 4. (4, 8) 110. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] ขอใดตอไปนผด 1. ถา f เปนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B และ g เปนฟงกชนจากเซต B ไปทวถงเซต C แลว g f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถงเซต C 2. ถา f(x) x และ 2g(x) x แลว gof fogD D 3. ถา 2f(x) x 4x 3 และ g(x) x แลว fog gofR R

4. ถา 2x 1f(x) 3

และ 3 2g(x) x 3x 3x แลว 1 1 1 1f g (1) g f (1)

111. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] ถา 2f(x) x 25 , g(x) 2x และ 2h(x) f(x) g(x) (x 25)(2x) แลว โดเมนของ (g h)(x) คอเซตในขอใดตอไปน 1. { x | x 5 }> 2. { x | 5 x 0 < < หรอ x 5 }> 3. { x | x 5< หรอ x 5 }> 4. { x | x 0 }>


112. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ถา 2f {(x, y) | y x 2x 1} R R

21g {(x, y) | y }1 x

R R

และ h (g f) fg แลว โดเมนของ h คอขอใดตอไปน 1. { x | x 1} 2. { x | x(x 2) 0 } 3. 2{ x | (x 1)(x 2) 0 } 4. 2{ x | x(x 1)(x 2) 0 } 113. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544]

กาหนดให 2f (x) 4 x และ 21g(x)

9 x

จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของ gofR

1. 12 2. 1

4 3. 18 4. 1

14

114. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล” ดวย กาหนดให xf(x) 10 , 2g(x) 1 x r {(x, y) | y (f g)(x)} R R ขอใดตอไปนถก 1. rD [ 1, 1] , rR [0, 1] 2. rD [0, 1] , rR [1, 10] 3. rD [ 1, 1] , rR [1, 10] 4. ไมสามารถหา f g ได 115. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล” ดวย กาหนดให xf (x) 10 และ 2g(x) 100 3x จานวนเตมทมคามากทสดทเปนสมาชกของ gofR มคาเทาใด 116. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543] ให 2f (x) (x 1) และ g(x) x 1

fog gofD R ' คอเซตในขอใดตอไปน 1. [0, 1) 2. [0, 2) 3. [1, ) 4. [2, ) 117. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2542] กาหนดให xf (x) 1 x

และ 2g(x) x 1

ถา gofA D และ gB D แลว (A B') คอเซตในขอใดตอไปน 1. { 1, 1} R 2. ( 1, )

3. 1( , 1) (1, )2 4. ( 1, 1) (1, )

เฉลย 106. 4 107. 1 108. 4 109. 2 110. 1 111. 1 112. 4 113. 3 114. 3 115. 9 116. 1 117. 4


118. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนตรโกณมต” ดวย กาหนดให xf (x) 2 sin 2 และ 2g(x) x 1

เซต f g gof(R D ) R คอเซตในขอใดตอไปน

1. { 1, 1} 2. { 2, 2} 3. [2, 3] [1, 2] 4. [ 2, 1] ( 3, 2] 119. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2545] :( กาหนดให f (x) 5 g(x) โดยท g(x) 5 2x ถา fogD [a, b] แลว 4(a b) เทากบขอใดตอไปน 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 120. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] :( ฟงกชนในขอใดตอไปนเปนตวอยางทแสดงวาขอความ “กาหนดให A เปนเซตใดๆ ถา f : A A เปนฟงกชนทวถง แลว f เปนฟงกชนหนงตอหนง” ไมเปนความจรง 1. f(n) n , n N , N เซตของจานวนเตม 2. f(n) 2n , n N , N เซตของจานวนเตม

3. n ,f(n) n 1 ,

ถา n เปนจานวนเตมคบวก ถา n เปนจานวนเตมคบวก

4. (n 1)2n2

f(n),,

ถา n เปนจานวนเตมคบวก

ถา n เปนจานวนเตมคบวก

121. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( ให { x | x 0 } >R R และ N {0, 1, 2, 3, ...} นยาม f : R R โดย f(x) 2x และ g(0) 1 , g(n 1) f(g(n)) , n N ขอใดตอไปนผด 1. g เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก N ไป R 2. f g เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก N ไป R 3. g fogR R 4. g(n) 2 , n N 122. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] ให I เปนเซตของจานวนเตม ถา f และ g เปนฟงกชนซงกาหนดโดย f (x) 2x และ g(x) x 1 ทก x I แลว เรนจของ (f g) f คอเซตในขอใดตอไปน

1. x{ x | 2 I เปนจานวนเตมค} 2. x{ x | 2 I เปนจานวนเตมค }

3. เซตของจานวนเตมคทงหมด 4. เซตของจานวนเตมคทงหมด


123. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] ให I เปนเซตของจานวนเตม ถา f : I I และ g: I I กาหนดโดย f(x) 2x ทก x I

และ 0g(x) x/2

ถา x เปนเลขค ถา x เปนเลขค

และให F: I I กาหนดโดย F g f f แลว F เปนจรงตามขอใดตอไปน 1. ไมหนงตอหนง และไมทวถง 2. หนงตอหนง แตไมทวถง 3. ไมหนงตอหนง แตทวถง 4. หนงตอหนง และทวถง 124. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2545] กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม และให f, g เปนฟงกชนจาก I ไป I

ซงกาหนดโดย f(x) 2x และ x/2 , xg(x)x , x

เปนจานวนคเปนจานวนค

แลว g f f เปนฟงกชนจาก I ไป I ทมสมบตตามขอใดตอไปน 1. หนงตอหนงและทวถง 2. หนงตอหนงแตไมทวถง 3. ทวถงแตไมหนงตอหนง 4. ไมหนงตอหนงและไมทวถง 125. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2543] :( ให f, g : R R กาหนดโดย xf (x) x 1

และ g(x) จานวนเตมซงนอยทสด ทมากกวาหรอเทากบ x (เชน g(1.01) 2 , g( 6) 6 , g( 7.99) 7 เปนตน) ถา F(x) (f g)(x) และ G(x) (g f)(x) แลวขอใดตอไปนเปนเทจ 1. FD ( , ) 2. FR (0, 1) 3. G(x) 1 เมอ x 0 4. G(x) 0 เมอ x 0

เฉลย 118. 4 119. – 120. 4 121. 3 122. 1 123. 4 124. 1 125. 2


x 2 O

y

(2,4)

y = 2x

x = 2

A x 2 O

y

y = 4

x = 2

4

y/2 = x

B

x 3 O

y

3

y = x – 3

เฉลยวธคด (1) แยกกรณเพอถอดคาสมบรณออก.. ถา x 0, y 0> > จะไดสมการ x y a ถา x 0, y 0> จะไดสมการ x y a ถา x 0, y 0 > จะไดสมการ x y a และถา x 0, y 0 จะไดสมการ x y a ซงนามาประกอบกนทง 4 ควอดรนต ได ขอ 1.

(2) ขอนควรพจารณาดวยกราฟ พจารณาฟงกชน f; 2y 4 x

2 2y 4 x 2 2y x 4 เปนครงวงกลม (คา y หามตดลบ) รศม 2 หนวย เขยนกราฟรวมกบ g และ h ไดดงรป ขอ 1. (f g) {(2, 0)} ดงนน (f g) h ..ขอนเปนเซตวาง

ขอ 2. (f g) h {(2, 0)} h ..เปนฟงกชน และไมใชเซตวาง ตอบ ขอ 2.

ขอ 3. (f h) {( 2, 0)} (f h) g {( 2, 0)} g ..ไมเปนฟงกชน เพราะใน g ม ( 2, 4) ดวย

ขอ 4. (f g) h คอรปกราฟทงหมด ..ไมเปนฟงกชน เพราะในชวง x 2 จะใหคา y หลายคาพรอมๆ กน

(3) 1r มสมการเปน 2 2x y 2 < นนคอวงกลมรศมนอยกวาหรอเทากบ 2 หนวย จดศนยกลางอยท (0,0) 2r มสมการเปน y x> นนคอกราฟรปตววมมฉาก หงาย จดยอดอยท (0,0) และแรเงาดานใน พนท 1 2r r ตรงกบรปใน ขอ 4.

(4) ขอนควรพจารณาดวยกราฟ

ขอ 1. A (B C) A C {(0, 4)} ถก ขอ 2. A B ถก ขอ 3. (B A) C C เพราะใน B A ไมมจด (0, 4) อย ขอ 3. ผด ขอ 4. C B ถก

(5)

เมอเขยนกราฟกจะเหนวา A B ตอบ ขอ 1.

(6) เมอเขยนรปตามทโจทยอธบาย จะเปนดงน ตอบ ตรงกบความสมพนธในขอ 1.

2 -2

-2

f g h

B

0 4 -4

4 A 4

4 -4

-4

C

4 -4

4


1

-1 x y 1

2y x

(7) ขอ 1. ถก ..พจารณาจากกราฟไดดงน จากกราฟพบวา พนทไมซอนทบกน ดงนนเซตในขอน เปนเซตวาง

ขอ 2. ผด ..มจดรวมกน 1 จดคอ (0,2) (ไดจากการแกระบบสมการหาจดตดของ 2 เสนตรง) นนคอ เซตในขอนเทากบ {(0,2)}

ขอ 3. ผด ..เชนจด (0.49, 0.50) เปนจดทอยในทงสองเซต (เพราะ 0.50 0.49 และ 0.50 0.49 )

ขอ 4. ผด ..เชน (1, 2) เปนจดทอยในทงสองเซต

(8) จากสมการ 2 2x y 04 9

จะได 2 29x 4y 0 (3x 2y)(3x 2y) 0 นนคอ 3x 2y หรอ 3x 2y

(เปนสมการเสนตรง 3y x2 กบ 3y x2 )

ขอ 2. ถาเราเลอกให 23r {(x, y) | y x }2

กจะไดวา 2r r จรงๆ และเปนฟงกชนจาก R ไปทวถง R จรงๆ ..ดงนน ขอ 2. ถก

ขอ 1. 1r คอเสนตรง 2y x3 กบ 3y x2

ถาเราให 12r {(x, y) | y x }3 กจะได 1

1r r

และเปนฟงกชนจาก R ไป R จรงๆ ..ขอ 1. ถก

ขอ 3. ผด สามารถกาหนด 3r ทเหมาะสม เพอให 1

3r เปนฟงกชนได

เชน 33r {(x, y) | y x , 1 x 1}2 < <

ขอ 4. ถก ..เปนเสนตรงสองเสนตดกนท (0,0) ขอ 5. ถก ..เพราะสมการของ 4r ทใหมา

จะเปน 3232

x เมอ x 0y x เมอ x 0

>

(9) โดเมนของ 1r คอ x 3> โดเมนของ 2r คอ x 0< ดงนน 1 2r r และ 2 1r r แนนอน (ขอ 1. และ 2. ผด)

และพบวาโดเมนของ 11r คอ R

โดเมนของ 12r คอ x 3>

ดงนน ขอ 3. และ 4. อาจเปนไปไดทงค

แตขอนเขยนกราฟเพอพจารณาไมสะดวก จงใชวธเลอกจดมาตรวจสอบ เพอตดขอทผดทงไป พบวา 1(4, 0) r แต 1

2(4, 0) r แสดงวาขอ 3. ผด ..จงตอบ ขอ 4.

(10) เขยนกราฟของเซต A และ B ไดดงน ดงนนเซต A ' B และ A ' B มกราฟเปนดงน จากรปกราฟพบวา A ' B ไมมจดตาสดและสงสด ดงนน ขอ 1. และ 2. จงผด ..สวน A ' B มจดตาสดเปน (0, 3) ดงนนขอ 4. จงผด ตอบ ขอ 3.

หมายเหต การหาจดในขอ 3. ทาไดโดยแกระบบสมการเพอหาจดตดระหวาง พาราโบลา 2y x 3 และเสนตรง 2y x 3

..หรออาจตรวจสอบโดยทดลองแทนคา 3 3( , )2 4 ท

ใหมา ลงในทงสองสมการ วาสอดคลองจรงหรอไม

-3 -3/2 3

B

A 33


+ – +

–2 0

(11) จาก S { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1,2, 3, 4,5}

ถา f(1) 0 จะได 2 21 1 4 a a 4 01 b 4 b 5

นนคอ a ตองเปน 2 หรอ -2 เทานน และ b เปนจานวนใดกไดทไมใช -5 (เพราะจะเกดสวนเปนศนย)

ดงนน จานวนวธเลอกคา a กบ b จากเซต S เปน 2 กบ 10 แบบ ตามลาดบ ..จงจบคกนได 2 10 20 คอนดบ ตอบ

(12) “r เปนความสมพนธจาก A ไปยง P(A)” หมายความวา.. คาของ a ดงมาจาก {0, 1,2, 3} และเซต B ดงมาจาก P(A) นนคอ B {0, 1,2, 3}

๏ ถา a 2 จะได B เปน หรอ {0} หรอ {1} หรอ {0, 1} ..รวม 4 แบบ

๏ ถา a 3 จะได B เปน หรอ {0} หรอ {1} หรอ {2} หรอ {0, 1} หรอ {0,2} หรอ {1,2} หรอ {0, 1,2} ..รวม 8 แบบ

คอนดบ (a,B) ใน r มทงหมด 12 แบบ ตอบ

(13) เซต S; 2x 8x 20 0 <

(x 10)(x 2) 0 < ..นนคอ S [ 2, 10] จงได A {2, 3,5, 7} และ B { 1, 1, 3,5, 7, 9}

n(A B) 4 6 24

จากนนหาวา (A B) กบ (B A) มตวซากนกตว ..เนองจาก A B {3,5, 7} ดงนน ใน A B กบ B A จะมตวซากน 3 3 9 ตว [ไดแก (3, 3) (3,5) (3, 7) (5, 3) (5,5) (5, 7) (7, 3) (7,5) และ (7, 7) ]

ตอบ 24 9 15

(14) หา r1D ; 3 x 0 x 3 <> หา r2D ; 1 x 3 0 x 3 1

x 2 และ 4

ดงนน A ( , 3] และ B { 2, 4} R และเซต A B จะตรงกบเสนจานวนใน ขอ 3.

(15) จาก 2 2x (y 6y 9) 1 (y 3) 1 พบวาคา y เปนเทาใดกได และจะได x มคาตงแต 1 ขนไปเรอยๆ ..นนคอ 1rD R และ 1rR [1, )

ตอบ ขอ 3.

(16) จาก 2y x 1

จะไดเงอนไข x 1 0

ดงนน x 1 x 1, 1 fD { x | x 1 และ x 1}

จดรปสมการ; 2x 1 y 2x 1y

จะไดวา 2 1 0y > 2 y 0y

>

y ( , 2] (0, ) fR { x | x 2 < หรอ x 0}

ตอบ ขอ 4.

(17) เรนจของ 1r กคอโดเมนของ r; จาก 3 2 2 22x 3xy x y 0

จดรปได 2 2 3(3x 1)y x 2x 2 3

2 x 2xy 3x 1

มเงอนไขตวสวน วา 13x 1 0 x 3

และมเงอนไขกาลงเลขค วา 2 3x 2x 03x 1

> 2x (2x 1) 03x 1

< ..นาไปเขยนเสนจานวน

จะทราบชวงคาตอบเปน ( 1/3, 0] [0, 1/2]

นาทงสองเงอนไขมาอนเตอรเซคกน ตอบ 1 1( , ]3 2


(18) rD คดจาก 2 29 x 0 x 9 0 > < ..ดงนน rD [ 3, 3]

rR เรมคดจาก 2x 0> เสมอ 29 x 9 < 20 9 x 3 < < ..ดงนน rR [0, 3]

1sR คอ sD คดจาก 2x 9 0 (หามเปน 0)

..ดงนน 1sR ( , 3) (3, )

1sD คอ sR เรมคดจาก 2x 9 0 2

21x 9 0 0

x 9

..ดงนน 1sD (0, )

ขอ ก. จาก 1r sD R ก. ถก

ขอ ข. จาก 1r sR D [0, ) ข. ผด

(19) หา A; จาก 2 2y 1 x ดงนนมเงอนไขวา 21 x 0 > นนคอ 2x 1 1 x 1 < < < ..แสดงวา A [ 1, 1]

หา B; จาก 21y 1 x 1

2 1x 1 y 1

2 1x 1y 1

ดงนนมเงอนไขวา 1 1 0y 1 >

นนคอ y 0y 1

> y 0y 1

<

..แสดงวา B ( 1, 0]

A B { 1} (0, 1] ตอบ ขอ 2.

(20) จดรปสมการไดวา 24 2 y(x 1) 4

2 4(x 1) 42 y

ดงนนเงอนไขคอ 4 4 02 y

> เสมอ

4 8 4y 02 y

> 4(y 3) 0y 2

>

..นนคอ rR ( ,2) [3, ) ตอบ

(21) ความสมพนธในขอนมกราฟเปนรปวงร จงจดรปไดดงน..

2 29(x 2x 1) 4(y 4y 4) 11 9 16

2 2(x 1) (y 2) 14 9

..เปนวงรแนวตง

จดศนยกลางอยท (1, 2) , คา b 2 , คา a 3 ..ดงนน rD [1 2, 1 2] [ 1, 3] และ fR [ 2 3, 2 3] [ 5, 1] ตอบ r fD R [ 1, 1]

(22) หาโดเมน จากสมการ 22

1 xy 1 x

จะไดเงอนไขภายในรท วา 21 x 0 > (เพราะตวสวน 21 x 0 เสมออยแลว) ดงนน 2x 1 1 x 1 < < < rD [ 1, 1]

หาเรนจ (เพราะ 1 rrD R นนเอง)

จดรป 2

2 2 2 2 22

1 xy y x y 1 x1 x

2

2 2 2 2 22

1 yx x y 1 y x 1 y

ดงนนเงอนไขคอ 2

22

1 y 0 1 y 01 y

> >

นนคอ 2y 1 1 y 1 < < < แตอยาลมวามการยกกาลงสองเอง ตองมองเงอนไขรทในโจทย คอ y 0> ดวย 1rD [0, 1]

ตอบ ขอ 2.

(23) ขอ ก. ให y 4 ดวามคา x หรอไม..

22x 44 4 x 8 x 4x 2

2x 4 x 4 0 ถา x A จะไดสมการเปน 4A 4A 4 0 ซงถาลองแยกตวประกอบ (ทเปนจานวนจรง) สมการนจะแยกไมได แสดงวาไมมคา x ทสอดคลอง ขอ ก. ผด

ขอ ข. เนองจาก 1 rrR D จงหาไดโดยเงอนไข

x 2 0 (ตวสวน) และ x 0> (ในรท) x 2 x 4 ..จะได [0, 4) (4, )

ขอ ข. ถก ตอบ ขอ 3.


(24) หา fR ; กรณ 2 x 3 < < จะได 0 x 3< < 0 f(x) 6< < และกรณ 3 x 8 จะได 2 f(x) 3 fR [0,6] ( 2, 3) ( 2,6]

หา 1 ggD R ;

กรณ 2 x 0 < จะได 4 g(x) 2 < กรณ 0 x 4 < จะได 0 4 x 4 < 0 g(x) 2< นนคอ 1 ggD R ( 4, 2] [0,2)

ตอบ A B' A B ( 2, 0) [2,6] (ขอ 1.)

(25) 2y x 2x 2 เปนสมการพาราโบลา ทมจดยอดเปนจดตาสด

อยท bx 12a

เขยนกราฟไดดงรป

ดงนน fR [ 3,6] ขอ (1) ถก, (2) ผด

..และถาเปลยนโดเมนเปน [ 1, 1) ฟงกชน h และ 1h จะเปนฟงกชน 1–1 จรง เพราะไมมการวกกลบแลว ขอ (3) ถก

ตอบ ขอ 4.

(26) เขยนกราฟของ r ไดดงน

ตอบ 1 rrR D ( , 0] [2, )

(27) 1r ; สมการคอ 2x (y 2) < 2r ; สมการคอ 2 0y x e 1 >

..นนคอ 2y x 1 > 2x y 1 < กบ 2y x 1 < 2x y 1 > ดงนนกราฟของ 1 2r r เปนดงรปดานชวาน..

แกระบบสมการหาพกดจด A, B ไดเปน 3 1( , )2 2

เรนจของ 1 2r r คอ 1( , ] [1,2]2 ตอบ

(28) จดรปสมการ 2 2y x 2x 3

2 2 2 23 x 2x y 3 1 (x 2x 1) y 2 2(x 1) y 14 4

เปนไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท ( 1, 0) และ a b 2 (นนคอเสนกากบตงฉากกน) วาดกราฟไดดงรป แตโจทยบอกวา x y> ดวย จงม เพยงเสยวขวาเทานน ..จดตด (3/2,3/2) ในรป หาไดโดยแกระบบสมการ

ดงนน rD [1, ) และ r3R ( , ]2

ตอบ ก. ถก, ข. ผด

(-1,-3)

(-3,1) (2,6)

-1

(0,0)

(2,4)

2y x y 2x

r1 2

r2 1 -1

A 1 -1

2

B

(1,0)

(3/2,3/2) (-1,0)

x=y


O

2

3

5 (3,5)

(4,0)

4

x+y-4=0

x-y+2=0

(29) จดรปสมการ 2 2x y 2x 6y 8 < 2 2(x 2x 1) (y 6y 9) 8 1 9 <

2 2(x 1) (y 3) 0 < ดานขวาเปน 0 จงไมใชไฮเพอรโบลา แตเปนเพยงเสนตรงสองเสนตงฉากกน คอ (x 1 y 3)(x 1 y 3) 0 <

(x y 2)(x y 4) 0 <

ในชวง 0 x, 0 y 5< < < จะเขยนกราฟแรเงาไดดงรป

rD [0, 4] ก. ผด

และถา (3, c) r แลว c ไมจาเปนตองเปน 5 กได ..ดงนน ข. ผด ตอบ ขอ 4.

(30) ก. rD ; (เงอนไขคาสมบรณ) 21 0x 1

>

1 0(x 1)(x 1)

>

ดงนน rD ( , 1) (1, ) ขอ ก. ถก

ข. 1 221 1r ; x y 1 xy 1

2 1 x1y 1 yx x

..ซงไมเหมอนกบ 1 xx

ขอ ข. ผด

[เพราะ x มไดทงคาบวกและลบ เชน ถา x 0.5 สองแบบนจะไดคาไมเทากน]

ตอบ ขอ 2.

(31) ขอ 1. คอ 1r {(1, 1),(4,2)} ขอ 2. คอ 2r {(1, 1),(2, 4)}

ตวเลอกทกขอถอเปนฟงกชน แตขอ 1, 2, และ 5. นน อนเวอรสกเปนฟงกชนดวย จงไมใชขอทถก..

ขอทเปนคาตอบคอ ขอ 3. และ 4. เพราะม (1,1) กบ (4,1) อยในเซตเดยวกน อนเวอรสจงไมเปนฟงกชน

(32) “อนเวอรสไมเปนฟงกชน” แปลวา ฟงกชนนไมเปนฟงกชน 1–1

ขอ 1. 1 3{(2, 1),(5, 0),(6, ),(7, ),(8, 1)}2 2

ขอ 2. {(2, 0),(5, 3),(6, 4),(7,5),(8,6)} ขอ 3. {(2, 4),(5,5),(6, 12),(7,21),(8, 32)} (ทงสามขอแรกลวนเปนฟงกชน 1–1)

ขอ 4. {(2,2),(5, 1),(6,2),(7, 3),(8, 0)} ไมเปนฟงกชน 1–1 ตอบ ขอ 4.

(33) เซต A; 28 x 2 8

26 x 10 ดงนน A { 3, 2, 1, 0, 1,2, 3}

เซต B; x 1 0x

ดงนน B ( , 1) (0, )

และจะได A B { 3, 2, 1,2, 3}

ฟงกชนจาก A B ไป B จะตองมโดเมนเปน A B (ขอ 2. กบ 4.) และจะตองมเรนจเปนสบเซตของ B ดวย นนคอ ขอ 4. เทานน

(34) ขอ 1. ไมใช เพราะการเปนฟงกชนนน.. x หลายคาให y เทากนกได ไมผดกฎแตอยางใด!

ขอ 2. ถก (ดรปประกอบ)

ขอ 3. ไมใช เพราะในขอน y 2 ไมได จงไมทวถง B (สวนเหตผลทวาจานวนสมาชกเทาหรอไมนน ไมเกยวกบการเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เลย..)

ขอ 4. ผด (เพราะขอ 3. ผด)

(35) ขอ 1. {(1,2),(1,3),(2,3)} อนเวอรสไมเปนฟงกชน เพราะอนเวอรสจะม (3,1) กบ (3,2) อย..

ขอ 2. อนเวอรสคอ 2y x 1 2 1y x ไมเปน

ฟงกชน เชน ม 1(4, )2 กบ 1(4, )2 อย..

x

y

2


ขอ 3. อนเวอรสคอ x y 2 y x 2

เปนฟงกชน เพราะไมม x ใดทให y มากกวา 1 คา ตอบ ขอ 3.

ขอ 4. {( 2, 0),( 1, 1),(0, 2),(1, 1),(2, 0)} อนเวอรสไมเปนฟงกชน เพราะจะม (0, 2) กบ (0,2) อย และจะม ( 1, 1) กบ ( 1, 1) อย

(36) ฟงกชน 1–1 ทวถง จะเกดการจบคสมาชกทกตวของ A กบทกตวของ B ในแบบตวตอตว ..ดงนน n(A) n(B) แนนอน ขอ 1. ถก

(37) ขอ 1. จาก n(A A) 2 2 4 ..ดงนน จานวนความสมพนธจาก A ไป A เทากบ 42 16

ขอ 2. ถก จานวนฟงกชนจาก A ไป A เทากบ 2 2 4

ขอ 3. ฟงกชนคงท หมายถง f(x) คาคงท ..มอย 2 แบบ คอ {(1,1),(2,1)} กบ {(1,2),(2,2)}

ขอ 4. ผด ..บางแบบเปนฟงกชนได เชน อนเวอรสของ {(1,1),(2,2)} เปนฟงกชน อนเวอรสของ {(1,2),(2,1)} กเปนฟงกชน

(38) จาก n(A A) 10 10 100 ดงนน n((A A) A) 100 10 1000 ..และความสมพนธจาก A A ไป A จะมไดทงหมด n((A A) A) 10002 2 แบบ ตอบ

(39) ฟงกชน 1–1 จาก A ไปทวถง B แปลวา โดเมนเทากบ A และเรนจเทากบ B แตในขอ 1. ถง 4. ไมมขอใดถกตองตามนเลย จงตอบ ขอ 5.

(40) เนองจาก n(B A) 6 3 3 และ n(A B) 8 3 5 ..ดงนน ฟงกชน 1–1 จาก (B A) ไป (A B) มทงหมด 5 4 3 60 แบบ (ไมมขอใดถก)

(41) เนองจาก n(A B) 4 และ n(A B) 3 2 6 ..ดงนน ฟงกชน 1–1 จาก (A B) ไป (A B) มทงหมด 6 5 4 3 360 แบบ ตอบ จานวนสมาชกของ S คอ 360

(42) คดดวยการลบออก นนคอ จานวนแบบทงหมด – จานวนแบบทเปนหนงตอหนง

(4 4 4) (4 3 2) 40 แบบ ตอบ จานวนสมาชกของเซตนคอ 40

(43) คดโดย จานวนฟงกชนจาก A ไป B ทกแบบ ลบออกดวย จานวนฟงกชนจาก A ไปไมทวถง B

2 2 2 2 2 2 2 2 72 2 128 2 126 แบบ ตอบ

หมายเหต ฟงกชนจาก A ไปไมทวถง B ม 2 แบบ คอแบบทเรนจเปน a ลวน กบเรนจเปน b ลวน

(44) คดเชนเดยวกบขอทแลว คอ “วธทงหมด – วธทไมทวถง” (ซงวธทไมทวถง มอย 2 แบบ คอเรนจเปน a ลวน หรอเปน b ลวน) จะได 2 2 2 2 2 2 30 แบบ ตอบ

(45) เนองจากโดเมนและเรนจคอ A เหมอนกน ฟงกชน 1–1 จงเปนฟงกชนททวถงแนนอน

..เลอกคของ 1 ได 2 วธ คอ 4 หรอ 5 เลอกคของ 2 จากตวทเหลอ จงได 4 วธ คของ 3, 4, 5 จะลดเหลอ 3, 2, 1 วธ ตามลาดบ

มฟงกชนทงหมด 2 4 3 2 1 48 แบบ ตอบ จานวนสมาชกของ S คอ 48


f(1)=1 f(2)=2

8 1 8

(46) เลอกคของ 2 ได 2 แบบ คอ 1 หรอ 2 เลอกคของ 1 ได 2 แบบ คอ 1 หรอ 2 เลอกคของ 0 ได 5 แบบ (อะไรกได) เลอกคของ 1 ได 2 แบบ คอ 2 หรอ 1 เลอกคของ 2 ได 2 แบบ คอ 2 หรอ 1 จานวนฟงกชน 2 2 5 2 2 80 แบบ

(47) เลอกคของ 1 ได 2 แบบ คอ 1 หรอ 2 เลอกคของ 2 ได 3 แบบ คอ 1, 2 หรอ 3 เลอกคของ 3 ได 4 แบบ (อะไรกได) เลอกคของ 4 ได 4 แบบ (อะไรกได) จานวนฟงกชน 2 3 4 4 96 แบบ

(48) เลอกคของ 1 ได 4 แบบ (2, 3, 4, 5) เลอกคของ 2 ได 3 แบบ (3, 4, 5) เลอกคของ 3 ได 3 แบบ (3, 4, 5) เลอกคของ 4 ได 2 แบบ (3, 5) เลอกคของ 5 ได 1 แบบ (3) จานวนฟงกชน 4 3 3 2 1 72 แบบ

(49) เลอกโดเมนจาก {1} , {1,2} , {1,2, 3} , {1,2, 3, 4} เลอกเรนจจาก 1, 2, 3, 4, 5, 6 แตเรนจหามอยในโดเมน (f(x) x)

{1} เลอกคได 5 แบบ (2ถง6) {1,2} เลอกคได 4 แบบ (3ถง6) {1,2, 3} เลอกคได 3 แบบ (4ถง6) และ {1,2, 3, 4} เลอกคได 2 แบบ (5,6) จานวนฟงกชน 5 4 3 2 120 แบบ

(50) คาวา “ม” x ซง f(x) x แสดงวา ม f(1) 1 หรอ ม f(2) 2 กได แตเราจะนาจานวนแบบมาบวกกนเลยทนทไมได เพราะจะมบางแบบทถกนบซา ..ตองใชวธเหมอนเรองยเนยนของสองเซต

กรณ f(1) 1 ; เกดขนได 1 9 9 แบบ กรณ f(2) 2 ; เกดขนได 9 1 9 แบบ กรณ f(1) 1 และ f(2) 2 พรอมๆ กน;

เกดขนได 1 1 1 แบบ

(เขยนแผนภาพ ประกอบความเขาใจ ไดดงรป) ตอบ มฟงกชนทงหมด 9 9 1 17 แบบ (นนคอ เซตนมจานวนสมาชกเทากบ 17)

(51) คาวา “หรอ” ควรคดจากทงหมดลบดวยนเสธ

..นนคอ “จานวนฟงกชน A ไป B ทกแบบ” ลบออกดวย “จานวนฟงกชน A ไป B ซง f(1) 2 และ f(2) จานวนค” จะได (5 5 5 5) (4 2 5 5) 425 แบบ

(52) คดวธเดยวกบขอทแลว เพราะมคาวา “หรอ”

..จานวนแบบทงหมด ลบออกดวย จานวนแบบท “f(1)=1 และ f(2)=2 และ f(3)=3”

จะได (3 3 3 3 3 3) (1 1 1 3 3 3) 702 แบบ ตอบ

(53) จาก f(2) 3 จะได 3 a sin2 2b cos 2 4 ..นนคอ a sin2 2b cos 2 1

หาคา f( 2) a sin( 2) 2b cos( 2) 4 a sin2 2b cos 2 4 ( 1) 4 5 ตอบ

หมายเหต sin( 2) sin2 และ cos( 2) cos 2

(54) ขอ 1. x 3y 2x 1

เปนฟงกชน

เพราะเขยนไดในรป y = “xลวนๆ”

หาอนเวอรสไดเปน y 3x 2y 1

..จดรปสมการดงน

2xy x y 3 2xy y x 3


x 3y 2x 1

x 31 2x

เปนฟงกชน แต

ไมตรงกบทโจทยใหมา ..ขอ 1. จงผด

ขอ 2. ถงแม 2x 25g(x) x 5x 5

กยงตองเขยนกากบไวดวยเสมอวา “เมอ x 5 ” (เพราะ g(x) ไมนยามท x 5 เนองจากจะทาใหสวนเปนศนย) ..ดงนน f g ..ขอ 2. จงผด

ขอ 3. f( )(x)g จะตองเพมเงอนไขวา x 3 ดวย

เพราะถา x 3 จะทาใหสวนเปนศนย (คดไดจาก 2x 2x 3 (x 3)(x 1) ) ..ขอ 3. จงผด

ขอ 4. ถก เพราะ x 3 เมอ xx 3 3 x เมอ x 33

>

(55) กรณ x 0> จะได g( x x) g(x x) g(0)

ซง 0 อยในเงอนไขบรรทดบน ของ g

กรณ x 0 จะได g( x x) g( x x) g( 2x)

ซง 2x ในกรณนมคาเปนบวก (ใชเงอนไขบรรทดบนเชนกน)

2g( x x) ( x x) 2 2x 2 x x x 22x 2 x x

2x(x x ) ตอบ

(56) เมอ x 1< ..เปนไปไมไดอยแลว

เมอ 1 x 2 ..จะได 2f( x ) ( x 1) 4

x 1 2 หรอ 2

x 3 หรอ 1 (ซงกรณ –1 เปนไปไมได)

x 3 หรอ 3 ..แตสองคานไมอยในเงอนไข กรณนจงไมมคาตอบ

เมอ x 2> ..จะได f( x ) x 1 4

x 3 x 3 หรอ 3 (ใชไดทงค)

สรป เซตคาตอบคอ { 3, 3} เปนสบเซตของขอ 3.

(57) จาก f(3 h) (3 h) 1 และ f( h) f( h ) f(h) h 1

และ f( 2) f(f( 1)) f(f(f(0))) f(f(1)) f(2) 3

ดงนน จะได (3 h 1) (h 1) 3 13 3

ตอบ

(58) ( 2) f(3) ( 2) f(1 ( 2))

( 2) ( 1 ( 2)) ( 2) (1) 2f(1 ( 2) ) f( 3) f(1 4)

1 4 3 ตอบ ขอ 1.

(59) จดรปสมการไดดงน..

2 21y 36 4x 3y 36 4x3 2 2 2 29y 36 4x 4x 9y 36

2 2x y 19 4

โดยท y 0> (เปนครงวงรดงรป)

..จากกราฟ จะพบวา ถา y {0, 1,2, 3} จะมคา x ทสอดคลองอย 5 คา ตอบ เซต A มจานวนสมาชกเทากบ 5 หมายเหต การคดโดยวธตรงๆ ทาไดโดย

ให 21 36 4x3 เทากบ 0, 1, 2, หรอ 3

แลวแกสมการดวาแตละกรณม x เปนไปไดกคา

(60) ขอนเขยนกราฟจะพจารณาไดเรวขน เมอ 0 x 1< < เปนเสนตรง y 1 x และเมอ x 1 เปนครงพาราโบลา

2y 1 x 1 (y 1) x 1 โดย y 1 เสมอ ..เปดขวา, จดยอดอยท (1, 1)

-3 0 3

1

2

1

1 O

(1/2,1/2)

(2,2)


ขอ ก. ผด ..เพราะกราฟผานจด (2,2) แสดงวา 1f(2) f (2)

ขอ ข. ถก ..คอ 1 1 1f ( )2 2 และ 1f (2) 2

(ม 2 คาเทานน) ตอบ ขอ 3.

(61) ขอ 1. ถา 2F(x) x 4x 4 x จะได 2x 3x 4 0 นนคอ (x 4)(x 1) 0 x 4 หรอ 1 ดงนนมจานวนจรง x ทเปนไปได ขอ 1. ไมจรง

ขอ 2. ถก เพราะ x y x y < เสมอ

ไมวา x, y จะมคาเทาใด (เปนสมบตทควรทราบ)

ขอ 3. ถก (เปนนยามความสมพนธจาก A ไป B) ขอ 4. ถก ..เชนเมอ n(A) 7 , n(B) 1 ขอ 5. ถก (เปนหลกการของ g f ทควรทราบ)

(62) ขอ 1. ไมจรง ..เพราะ f : A B นนไมจาเปนทเรนจจะตองเทากบ B (เรนจของ f เปนเซตจากดจรง แตเรนจของ f เปนเพยงสบเซตของ B ซง B อาจเปนเซตอนนตกได)

ขอ 2. จรง เพราะ 1f f กบ 1f f มจดเรมตนคนละจดกน ( 1f f เรมจากโดเมนของ f ..แต 1f f เรมจากโดเมนของ 1f ซงเปนเรนจของ f) เชน ถา f {(1,2)} จะได 1f {(2, 1)} ดงนน 1f f {(1, 1)} แต 1f f {(2,2)}

ขอ 3. ไมจรง เพราะเปนกราฟพาราโบลาหงาย ทมซกขวาเพยงซกเดยว จงเปนฟงกชน 1–1

ขอ 4. ไมจรง เชน f(1) e และ f( 1) e เชนกน

(63) จาก f {(2,5),(4, 4),(6, 3),(8,2),(10, 1)} จงได f f {(4, 4),(8,5)} ตอบ ขอ 1.

(64) f fD R R g gD R [0, )

และ h hD R {0} R

ขอ 1. ถก ..หา f h ไดเสมอ เพราะ h fR D ขอ 2. ..หา h g ไมไดเสมอไป เพราะ g hR D

(เชน หาคา (h g)(0) ไมได) ขอ 3. ..หา g f ไมไดเสมอไป เพราะ f gR D

ขอ 4. ..หา h f ไมไดเสมอไป เพราะ f hR D

(65) f : R R g : R R u : R R R v : R R R

ขอ 1. f(a) R ..ดงนน u(f(a)) ไมนยาม ขอ 2. v(a) ไมนยาม ขอ 3. ถก u(a, a) R ..ดงนน f (u(a, a)) R ขอ 4. g f u ไมไดบอกลกษณะของตวแปรตน จงบอกไมไดวาคาจะไดออกมาเปนอยางไร (ถาตวแปรตนเปน (a,a) จะไดจานวนจรงออกมา)

(66) กาหนด 1g(x) f(x)

ดงนน 1 1(g f)(x) f(f(x)) 1 1 x

แต 1 x 1 > เสมอ

จงได 1 1(g f)(x) 1 1 x 2 x

ตอบ

(67) ฟงกชน f; จดรปได 25 xy 2

..ดงนน 25 xf(x) 2

ฟงกชน g; จดรปได y 2x 3 ..ดงนน g(x) 2x 3

2 25 x 5 x(g f)(x) g( ) 2( ) 32 2

2 2(5 x ) 3 2 x นนคอ 2y 2 x 2x y 2 ตอบ ขอ 1.


(68) ขอ 1. ผด ..เพราะ 21(f g)(x) 6(x 3)

ซงไมเทากบทโจทยใหมา

ขอ 2. ผด

..เพราะ 2 21 1(g f)(x) (x 6) 3 x 3

ซงไมเทากบทโจทยใหมา

ขอ 3. ผด ..คดจาก 2x 0> เสมอ จงได f(x) 6> เสมอ ดงนน fR [6, )

ขอ 4. ถก เพราะ g(x) มสวนเปน x 3 ..ดงนน x 3 0 x 3 ขอ 5. ผด (คดแลวในขอ 4.)

(69) จาก 2g(1) 1 1 2 ดงนน (h g)(1) h(g(1)) h(2) 2(2) 3 1 และ f (h g)(1) f(1) 3(1) 3 ตอบ

(70) I เปนฟงกชน “เอกลกษณ” หมายความวา I(x) x (คาทไดเทากบตวแปรตนทใสเขาไป)

1(f f)(x) 1( ) 1x 1

x 11 x 1

x 1

x 2

และ 1(f I)(x) xx 1

2x x 1x 1

จะได 2x 1 x x 1g(x) ( )( )x 2 x 1

2x x 1x 2

2(x 1) x

x 2

ตอบ

(71) ถา n เปนจานวนเตมบวก ยอมได

nf(n) 2 เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 เสมอ ดงนน (g f)(n) จะพจารณาทเงอนไขลางของ g เทานน นนคอ 2n(g f)(n) 2 20

ตองการ (g f)(n) 0 ..จะได 2n2 20 0 2n2 20 พบวาคา n ทนอยทสดทใชไดคอ n 3 ตอบ

(72) ขอ 1. และขอ 2.

หา f g ; 21(f g)(x) 11 x

2 22 2 2

x1 1 x x1 x 1 x 1 x

ขอ 2. ผด

และ ขอ 1. ถก เพราะถา f g คอ 2xy

1 x

กยอมได 1(f g) เปน 2yx

1 y

ขอ 3. ผด 2 21 1(g f)(x)

1 (x 1) 2 x

ซงไมเทากบทใหมา

ขอ 4. ผด ตองเปน 12

1g {(x, y) | x }1 y

หรอจะไดวา 1 22

1g {(x, y) | x }1 y

ขอ 5. จาก g/ f g fD D D โดยท f(x) 0

หา gD ; 2 2g1 x 0 x 1 D ( 1, 1)

หา fD ; 2 2x 1 0 x 1 > > fD ( , 1] [1, ) พบวา g fD D (ขอ 5. ผด)

(73) ขอ (1) จาก 3 3f (x) a x

จะได 33 33f f (x) a (a x ) x x

3 3f f f (x) a x และ f f f f (x) x (ขอ (1) ถก)

ขอ (2) ไมเหมอนกน เพราะ f(x) x ไดเมอ x 0 เทานน ..สวนท x 0 นน f(x) ไมนยาม (ขอ (2) ผด)

ขอ (3) จาก y x จะไดอนเวอรสเปน y x เชนกน ..ดงนน 1f (x) x f(x) (ขอ (3) ถก) ตอบ ขอ 3.


(74) ขอ 1. ถา x c> จะได (f g)(x) x 2c ถา x c จะได (f g)(x) x ดงนน (f g)(x) ไมเปน x แนนอน (ขอ 1. ถก) (โจทยระบไวชดเจนดวยวาคา c ไมเปน 0)

ขอ 2. (ผลจากขอ 1.) ถาให x 2c x จะได x c (ซงเปนไปได) แสดงวาฟงกชน f+g มโอกาสใหคา y เทากนได ถาหาก x c ไมเปนฟงกชน 1–1 ขอ 2. ผด

ขอ 3. f g f gD D D R (ขอ 3. ถก)

ขอ 4. (ผลจากขอ 2.) f+g ไมเปนฟงกชน 1–1 ดงนน อนเวอรสของ f+g จงไมเปนฟงกชน (ถก)

(75) หาคา 1(f g)(3) ; จาก g(3) 3 3 ดงนน 1 1(f g)(3) f (3)

ให x 3 32

จะได x 3 ..แสดงวา f(3) 3

1f (3) 3 ..ดงนน 1(f g)(3) 3

หาคา 1(f g)(2) ; จาก g(2) 2 2 ดงนน 1 1(f g)(2) f (2)

ให x 3 22

จะได x 1 แสดงวา f(1) 2

1f (2) 1 ..ดงนน 1(f g)(2) 1

ตอบ คาทตองการคอ 3 1 23 2

(76) f {(1, 1),(2, 3),(3, 4),(4,5)} ดงนน 1f {(1, 1),(3,2),(4, 3),(5, 4)}

ขอ 1. 1f f {(1, 1),(2,2),(3, 3),(4, 4)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B (เพราะ 2 B ) ขอ 2. f f {(1, 1),(2, 4),(3,5)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป A (โดเมนใช A ไมครบ) ขอ 3. (ผลจากขอ 1.) เปนฟงกชนจาก A ไป A จรงๆ ..ดงนน ขอ 3. ถก ขอ 4. 1f f {(1, 1),(3, 3),(4, 4),(5,5)} ไมเปนฟงกชนจาก B ไป A (เพราะ 5 A )

(77) จาก (f g)(x) (g f)(x)

นนคอ 2 24 x 1 4x 1

8 2 8(4x 1) 2(x 1)x 1 4x 1

30x 6 ..ดงนน x 0.2 ตอบ

(78) จาก g(k) 5 f(k) 2 5 f(k) 3

และเนองจาก 22 , k 1

f(k) (k 1) , 1 k 2k 1 , k 2

<

>

ลองแทนคาจานวนเตม k ไลไปเรอยๆ กรณบน f(k)=2 เสมอ จงไมมากกวา 3 อยแลว กรณกลาง ถา k 0 ได f(0) 1 , ถา k 1 ได f(1) 0 แสดงวาไมม k ทใชไดเลย กรณลาง ถา k 2 ได f(2) 3 , ถา k 3 ได f(3) 4 จานวนเตม k ทนอยทสดททาให f(k)>3 คอ 3 และจะได (g f)(3) g(4) f(4) 2 7 ตอบ

(79) ถาให 3x 2 2 จะได 4x 3

นนคอ 4f( ) 23 ..ดงนน 1 4f (2) 3

ถาให 42x 7 3 จะได 17x 6

นนคอ 17 4g( )6 3 ..ดงนน 1 4 17g ( )3 6

ตอบ 1 1 1 4 17(g f )(2) g ( )3 6

(80) หา 1g (7) โดยให 3 2x 3x 3x 9 7

3(x 1) 8 7 3(x 1) 1 (x 1) 1 x 2

g( 2) 7 ..จะได 1g (7) 2 ตอบ 1(f g )(7) f( 2) 1


(81) 1 1 (1 x) xf(x) 11 x 1 x 1 x

ตรวจสอบวาเปน f : 1 1 หรอไม โดยหาอนเวอรสดวาเปนฟงกชนหรอเปลา..

จาก xy 1 x

..สลบ x กบ y เปน yx 1 y

จดรปไดดงน x xy y x y xy x y1 x

พบวาอนเวอรสเปนฟงกชน แสดงวา f เปน 1 1

และจะได 1 xf (x) 1 x

ซงตรงกบขอ 2. ตอบ

หมายเหต ขอ 1. 1

1 x 1 xf (x) 1 x x

ผด

ขอ 2. 1 1 xf (x) 1 1 x 1 x

ถก

(82) หา 1f (x) กบ 1g (x) ไดดงน

1 yf (x); x x xy y1 y

x xxy y x y x 1 1 x

1 xf (x) (x 1)1 x

ซงผลทไดเหมอน g(x) พอด ..แสดงวา 1g (x) f(x) ดวย นนเอง

ขอ 1. 1 1 1 1(f g) (x) (g f )(x) g (g(x)) x ถก ขอ 2. 1 1 1(f g )(x) f (f(x)) x ถก

ขอ 3. 1 1x

x 1 x(f g)(x) f x1 x 1 1 x

x x1 x x 1 2x

..ขอ 3. ผด

ขอ 4. 1 1x

x 1 x(g f)(x) g x1 x 1 1 x

x x1 x x 1 2x

ถก

หมายเหต ทจรงขอ 4. ตองเพมวา 1x 2 ดวย

(83) r มสมการเปน 2x y 1 y x 1 โดยท x 1>

และ 1r มสมการเปน 2y x 1

s มสมการเปน x y

y x โดยท x 0> และ 1s มสมการเปน y x

ขอ 1. และ 2. 1 1r s มสมการเปน 2y x 1 2x 1

1 1 1r s r (ขอ 2. ถก) 1 1s r มสมการเปน 2y x 1 2x 1

(ขอ 1. ถก)

ขอ 3. 1 1r r มสมการเปน 2 2y (x 1) 1 ซงไมเทากบ 1r ขอ 3. ผด ขอ 4. 1 1s s มสมการเปน y x x

(ขอ 4. ถก)

(84) กรณ x 0> จะได xy 1 x

อนเวอรสคอ yx 1 y

x xy y xy 1 x

กรณ x 0 จะได xy 1 x

อนเวอรสคอ yx 1 y

x xy y xy 1 x

x1 ( x)

ดงนน 1 xf (x) 1 x

ตอบ

(85) จาก r มสมการเปน

22

x เมอ x 0y x เมอ x 0

>

เราพบวาเมอ x 0> จะได y 0> ดวย และเมอ x 0 จะได y 0 ดวย

1r มสมการเปน x เมอ x 0y x เมอ x 0

>


(86) จาก f(x) x (y 0) > จะกลายเปน 1 2f (x) x (x 0) > ดงรป ดงนน 2A {x | x x 2 0} {1, 2 R } ( x 2 ไมได เพราะ 1f จะมคาเมอ x 0> ) สรปวา A {1} เทานน

ขอ ก. 21 1 6 0 เทจ ขอ ข. 21 2 3 0 จรง ตอบ ขอ 3.

(87) ขอ ก. จาก 2y (x 1) เมอ x 1 y 0< < ....(1) จะไดอนเวอรสเปน 2 2x (y 1) x (y 1)

x y 1 แตคา y 1< (จากทโจทยบอกวา x 1< ) จงตองใชกรณ x เทานน ..นนคอ x y 1 y 1 x ซงคา x 0< เสมอดวย (จากบรรทดท 1) ทาใหสามารถเขยน x เปน x ได

1f (x) 1 x เมอ x 0< ขอ ก. ถก

ขอ ข. หา 1 21 1f ( ) (x 1)4 4

1 1x 1 x2 2 เทานน

1 1 1f ( )4 2

ตอมาหา 1 1 1 3g ( ) 1 x x2 2 4

แสดงวา 1 1 11 1 3(g f )( ) g ( )4 2 4 ขอ ข. ถก

(88) ขอ ก. จาก 1 2f (x) x เมอ x 0>

จะได 2 2

12 2x ; 0 x 1g f (x) x 1; x 1

<

>

ในชวง x [0, ) กราฟมลกษณะเปน “สวนของพาราโบลา” หงาย ครงซกขวา ..แสดงวาเปนฟงกชนเพมในชวง [0, ) จรงๆ ขอ ก. ถก

ขอ ข. จาก 1 x ; 0 x 1g (x) x 1 ; x 2

<>

(เงอนไขมาจาก gR )

จะได 1 x ;0 x 1f g (x) x 1 ; x 2

<

>

ในชวง x [0, 1) [2, ) กราฟมลกษณะเปน “สวนของพาราโบลา” เปดขวา ครงซกบน ..แสดงวา เปนฟงกชนเพมในชวง [0, 1) [2, ) จรงๆ ขอ ข. ถก

(89) ขอ 1. (g f)(x) 1 ตอเนอง ขอ 2. 1(g f)(x) (f f)(x) x ตอเนอง ขอ 3. 2(g f)(x) x ตอเนอง

ขอ 4. 33

(x 1) ; x 0(g f)(x) (x 1) ; x 0

>

ไมตอเนองท x 0 ดงนน ตอบ ขอ 4.

(90) ขอ ก. จาก 2xy 1 x

อนเวอรสคอ 2yx 1 y

2 2x xy y xy y x 0 ถา x 0 จะใชสตรสมการกาลงสองไดดงน

21 1 1 4xf (x) y 2x

..ตองเลอกใชเครองหมายบวกเทานน เพราะพบวา f(x) เปนบวก เมอ x เปนบวก และ f(x) เปนลบ เมอ x ตดลบ ..ดงนน ก. ผด ขอ ข. พจารณาความชน โดยหาอนพนธ

222 2 2 2

x 1(1 x )(1) (x)( 2x)f(x) (1 x ) (1 x )

พบวาความชนนมคาเปนบวกเสมอ ..ดงนน ข. ถก

(91) พจารณา gR ทละชวง

กรณแรก ถา x 1 จะได x x0 10 10 10a a(10 ) 0 ดงนน gR ชวงแรกนคอ ( 10a, 0)

f(x) f-1(x)


กรณทสอง ถา x 1> จะได 3 3x 1 x 1 0 > > ดงนน gR อกชวงคอ [0, )

..จงสรปไดวา 110 a 2.5 a 4

ขอ ก. 1 1 3g (a 1) g ( )4

ซง 3 ( 2.5, 0)4 จงคดจาก x1 3(10 )4 4 x10 3 x log 3 ก. ผด

ขอ ข. 1g (x) ทโจทยใหมานน “ผดทเงอนไข” คอ เราพบวา gR ( 2.5, 0) [0, )

ดงนนตองเปน 13log 4 x , 2.5 x 0g (x) x 1 , x 0

>

ข. ผด

(92) ขอ ก. จาก x x y y

y y (x x) 0

1 1 4(x x)y 2

1 4x 4 x 1y 2

1 (2 x 1) x2

หรอ 1 x

แต y 1 x ไมได เพราะเปนคาตดลบ y x เทานน จงเปนฟงกชน

ขอ ข. จาก x x y y

y y (x x) 0

1 1 4(x x)y 2

1 4x 4 x 1y 2

1 (2 x 1) x2

หรอ 1 x

ซงสามารถเปนไปไดทง 2 อยาง จงไมเปนฟงกชน (เชน เมอ x=1 จะไดคา y=1 กได, y=0 กได)

ตอบ ขอ 2.

(93) จากนยามทกาหนดให แปลความหมายไดวา 1f (ชวงA) “เซตของคา x ซงทาให 2x A ”

ขอ 1. ชวง A คอ [ 25, 0] 2x [ 25, 0] ดงนนคา x เปน 0 เทานน (ถก)

ขอ 2. ชวง A คอ [ 1, 1] 2x [ 1, 1] ดงนนคา x อยในชวง [ 1, 1] (ถก)

ขอ 3. ชวง A คอ [0, 1] 2x [0, 1] ดงนนคา x อยในชวง [ 1, 1] (ถก)

ขอ 4. ผด ชวง A คอ [4,9] 2x [4,9] ดงนนตองเปน x [ 3, 2] [2, 3]

(94) จากโจทย 1 1 1f ( x 1) x 12 2 .....(1)

ถาให 1 x 1 22 จะได x 6

ดงนน เมอแทนคา x 6 ลงในสมการท (1) จะไดคาตอบคอ 1f (2) 4 ตอบ

(95) จาก 1f( x 2) x 23

ถาให 1A x 23 ..นนคอ x 3(A 2)

จะแทนคาไดวา f(A) 3(A 2) 2 3A 8 f(x) 3x 8

ซงจะได f(g(x)) 3(g(x)) 8 แตโจทยบอกวา (f g)(x) 3x 14 ..ดงนน 3(g(x)) 8 3x 14

1g(x) x 2 g (x) x 2 ตอบ 1(g f)(x) (3x 8) 2 3x 6

(96) จาก (f g)(x 2) 3x 6 .....(1) ถาให x 2 2 จะไดวา x 0 เมอแทน 0 ลงไปท x ในสมการ (1) จะได (f g)(2) 3(0) 6 6

จาก f(g(2)) 6 ดงนน 1f (6) g(2)

หาคา 1 6 6 3f (6) 6 2 4 2

ตอบ 3g(2) 2


(97) จาก f(x) x 1 แสดงวา 1f (x) x 1 แทนคาลงใน 1 2(g f )(x) 4x 1 นนคอ 2g(x 1) 4x 1

ถาแทน x ดวย x 1 จะได 2g(x) 4(x 1) 1 0

2 1(x 1) 4 1x 12

ดงนน เซตคาตอบคอ 1 3{ , }2 2 ตอบ ขอ 3.

(98) หา 1f ( 7) โดยให 3x 1 7 จะได x 2 f( 2) 7 ..นนคอ 1f ( 7) 2

แสดงวาโจทยถามคา g( 2) แทน x ดวย 2 ในสมการ (f g)(x) ..จะไดวา

3 2f(g( 2)) ( 2) 3( 2) 3( 2) 2 0 1g( 2) f (0)

ให 3x 1 0 จะได x 1 ดงนน 1f (0) 1 ตอบ 1 1(g f )( 7) g( 2) f (0) 1

(99) จาก f(1) g(1) และ f(1) g(1) 8 จะไดวา f(1) 4 a b 4 .....(1) และ g(1) 4 (แทน x ดวย 2 ลงใน g)

12 c 4 c 8

และจาก f(2) g(2) (แทน x ดวย 3 ลงใน g) จะไดวา 4a b 18 8 10 .....(2) ..แกระบบสมการ (1), (2) ได a 2 , b 2

2f(x) 2x 2, g(x 1) 6x 8

หาคา 1g (16) จาก 1g (6x 8) x 1 เมอแทน x ดวย 4 กจะได 1g (16) 3 ดงนน 1f(g (16)) f(3) 2(9) 2 20 ตอบ

(100) จาก (fg)(0) 15 จะได 1a 5 15 a 3

และจาก 1(f g )( 2) 27 จะได 1 1f (27) g ( 2) .....(1)

จาก 2x 1f(x) 3 ให 2x 127 3 จะได x 1 นนคอ f(1) 27 1f (27) 1 แทนลงในสมการ (1); จะได 1g ( 2) 1 g(1) 2 b 5 2 b 7

ตอบ 13 f( 1) 4g(2) 3(3 ) 4( 7(2) 5) 1 36 37

(101) เนองจาก 3g(4) 4 64 แสดงวา 1g (64) 4 .....(1) และ 1 1 1(f g)(4) f (g(4)) f (64) 2 .....(2)

โจทยถามคา 11

f (64) 2 0.5g (64) 4

ตอบ

หมายเหต ถาตองการหาคา a จะทาไดดงน 1f (64) 2 f(2) 64 2a(2 ) 64 a 16

(102) จาก 1 2f (x) x จะได f(x) x ดงนน 1 2g (x) ( x) 1 x 1 และจะได g(x) x 1

โจทยกาหนด f(a) g(a) a a 1 19 a a 20 0 ( a 4)( a 5) 0

..แสดงวา a 16 เทานน ตอบ 1 1 2f (16) g (16) 16 16 1 273

(103) ๏ จากกฎทวา 1f ( ) f ( ) ดงนนประโยค f(g(x)) x กคอ 1f (x) g(x) ..แสดงวา 1f(x) g (x) ดวย (ขอ 1. และ 2.)

๏ จาก 1g(x) x 33 จะได

1g(h(x)) h(x) 33

แตโจทยบอกวา g(h(x)) 2x 1

1 h(x) 3 2x 13 h(x) 6x 6

ตอบ ขอ 2.


1

2

4 5 6

A B C

7 8 9

f g

(104) หา f(2) จาก f(0) โดยไลไปทละตว เรมจากแทน x ดวย 0 จะได f(1) 3(0) 2 f(0) 2 1 3 จากนน แทน x ดวย 1 จะได f(2) 3(1) 2 f(1) 3 2 3 8

แสดงวาโจทยถาม 1 1g (f (2)) g (8) จาก 1g (2x 8) 3x 1 ..ให 2x 8 8 พบวาตองเปน x 0 ..ดงนน 1g (8) 1 ตอบ 1 1g (f (2)) g (8) 1

(105) จาก 1 x 1g (x) 3

จะได g(x) 3x 1

นนคอ (g f)(x) 3 f(x) 1

แตโจทยบอกวา 2(g f)(x) 2[(f(x)] 2f(x) 4 ..ดงนน 22[(f(x)] 2f(x) 4 3f(x) 1

3(2f(x) 3)(f(x) 1) 0 f(x) 2 หรอ 1

แตให f(x) 0 ดงนน f(x) 1 เทานน

ขอ ก. (g f)(x) g( 1) 4 เปนฟงกชนคงตว (คอมคาคงทตลอด) ขอ ก. ถก ขอ ข. f(100) g(100) ( 1) (300 1) 298 ขอ ข. ผด

(106) จาก 2g(x) x x 2 จะได 2(g f)(x) (f(x)) f(x) 2 แตโจทยให 2(g f)(x) 3(f(x)) 2f(x) 1 2 23(f(x)) 2f(x) 1 (f(x)) f(x) 2

22(f(x)) f(x) 1 0 (2f(x) 1)(f(x) 1) 0

1f(x) 2 หรอ f(x) 1

แต f : R R ดงนน f(x) 1 เทานน

ขอ 1. (g f)(1) g(1) 2 (ถก) ขอ 2. (g f)(1) g(1) f(1) 2 1 2 (ถก)

ขอ 3. g g(1) 2( )(1) 2f f(1) 1 (ถก)

ขอ 4. ผด (g f)(1) g(1) f(1) 2 1 1

(107) จาก 1f (g(x)) x 2 จะได f(x 2) g(x) และเมอแทน x ดวย x 2 กจะได f(x) g(x 2) .....(1)

ขอ ก. จากสมการ (1) แทน x ดวย 2x จะได f(2x) g(2x 2) ..ดงนน ขอ ก. ถก

ขอ ข. จากสมการ (1) จะได 1g (f(x)) x 2 ซงเปนฟงกชนเพมใน R (เปนเสนตรงเฉยงขน) ..ดงนน ขอ ข. ถก

(108) เนองจาก fg f gD D D

หาโดเมนของ f; (3 x)(2 x) 0 > (x 3)(x 2) 0 < 3 x 2 < <

หาโดเมนของ g; x 3 0 (เปน 0 ไมได) x 3

ดงนน fgD [ 3,2] ( 3, ) ( 3,2] ตอบ

(109) หาเรนจของ f; เรมจาก 23x 0> เสมอ ดงนน 23x 1 1 > เสมอ

23x 1 1 > เสมอ 1f(x) 2 > เสมอ

f1R [ , )2

หาโดเมนของ u; คดจาก u g hD D D และ h(x) 0

gD ; 3 x 0 > x 3 <

hD ; 2x 5x 6 0 > (x 6)(x 1) 0 < 1 x 6 < <

แต h(x) หามเปน 0 จงเหลอเพยง 1 x 6 uD ( 1, 3]

ตอบ f u1R D [ , 3]2 เปนสบเซตของ ขอ 2.

(110) ขอ 1. ผด เชน ในรปน จะเหนวา g f ไมทวถงเซต C


ขอ 2. ถก เพราะได gof fD D [0, ) แต fogD R

ขอ 3. ถก ..แสดงวธคดไดดงน

2 2(f g)(x) (g(x)) 4(g(x)) 3 (g(x) 2) 1 ซง g(x) 0> เสมอ 2(g(x) 2) 0 > เสมอ ดงนน fogR [ 1, )

(g f)(x) f(x) ซง 2f(x) (x 2) 1

f(x) 1 > เสมอ f(x) 0 > เสมอ

ดงนน gofR [0, )

ขอ 4. ถก เนองจาก f(1) 1 , g(1) 1 แสดงวา 1f (1) 1 , 1g (1) 1 ดวย จงทาให 1 1f g (1) 1 และ 1 1g f (1) 1 เทากน

(111) (g h)(x) 2 h(x)

ดงนนมเงอนไขวา h(x) 0> เทานน

..แสดงวา x 25 2x 0 2 >

ซงรทยอมมากกวาหรอเทากบ 0 เสมออยแลว goh hD D f gD D ไดเลย

fD คดจาก 2x 25 0 > fD ( , 5] [5, )

gD คดจาก 2x 0> gD [0, )

ตอบ gohD [5, ) (ขอ 1.)

(112) h gof fg gof f gD D D D D D

๏ fD R (เพราะ x เปนอะไรกได) ๏ gD { 1, 1} R (เพราะสวนหามเปน 0)

๏ gofD ..หาจาก 21(g f)(x) 1 (f(x))

f(x) 1 กบ 1 2x 2x 1 1 กบ 2x 2x 1 1

2(x 1) 1 (จรงอยแลว) กบ x(x 2) 0 ดงนน gofD {0, 2} R

ตอบ hD {0, 2, 1, 1} R (ขอ 4.)

(113) หา gofR โดยเรมคดจาก f; 2 2 2x 0 4 x 4 0 4 x 2 > < < <

20 f(x) 2 0 [f(x)] 4 < < < < 25 9 [f(x)] 9 < <

21 1 1

59 9 [f(x)]

< <

1 1(g f)(x) 59 < < ตอบ ขอ 3.

หมายเหต หามนา f ไปใสใน g เปน 21

9 4 x

แลวคอยคด ..เพราะจะทาใหเงอนไขใน f หายไป

(114) หา rD ; จาก g(x)(f g)(x) 10

พบวา g(x) เปนเทาไรกได ดงนน 21 x เปนเทาไรกได ..นนคอในรท 21 x 0 > 2x 1 <

rD [ 1, 1]

หา Rr; เรมจากเรนจของ g ..โดย 2x 0> เสมอ 21 x 1 < เสมอ 20 1 x 1 < <

นนคอ 0 g(x) 1< < แสดงวา 0 110 (f g)(x) 10< <

rR [1, 10] ตอบ ขอ 3.

(115) จาก 2(g f)(x) 100 3(f(x)) เรมคดโดย xf(x) 10 f(x) 0 เสมอ

2 2f(x) 0 3(f(x)) 0 2100 3(f(x)) 100

2gof0 100 3(f(x)) 10 R [0, 10) <

ตอบ จานวนเตมทมากทสด คอ 9

(116) หา fogD พจารณา 2f(x) (x 1)

พบวาโดเมน (x) ของ f เปนเทาไรกได 2(f g)(x) (g(x) 1) g(x) เปนอะไรกได

fogD จงหาไดจาก gD ทนท ..นนคอ fogD [0, )

หา gofR พจารณา f(x) พบวา f(x) 0> เสมอ

(g f)(x) f(x) 1 1 > เสมอ นนคอ gofR [1, ) ตอบ fog gofD R' [0, 1)


(117) หา gD จากเงอนไขในรท

คอ 2x 1 0 (x 1)(x 1) 0 > > ดงนน gB D ( , 1] [1, )

หา gofD ..เนองจาก 2(g f)(x) (f(x)) 1

แสดงวา f(x) ตองอยในชวง ( , 1] [1, )

กรณซาย x x 1 x1 01 x 1 x

< <

1 0x 1

> ..จะได x 1

กรณขวา x x 1 x1 01 x 1 x

> >

2x 1 0x 1

< ..จะได 1/2 x 1<

ดงนน gofA D [1/2, 1) (1, )

ตอบ A B' ( 1, 1) (1, )

(118) fR [ 2,2] (กราฟ sin มแอมพลจดเปน 1 และถกคณดวย 2)

gD คดจาก 2gx 1 0 D ( , 1] [1, ) >

ดงนน f gR D [ 2, 1] [1,2]

gofR คดจาก 22 f(x) 2 0 [f(x)] 4 < < < < 2

gof0 [f(x)] 1 3 R [0, 3] < <

ตอบ f g gof(R D ) R [ 2, 1] ( 3,2]

(119) จาก g(x) 5 2x จะได f(x) 5 g(x) 5 5 2x

ดงนน (f g)(x) 5 5 2 5 2x

หา fogD คดจากเงอนไขรท 3 อน ดงน

๏ 55 2x 0 x 2 > >

๏ 5 2 5 2x 0 > ..เงอนไขนเปนจรงเสมอ อยแลว เพราะเงอนไขแรกคอ 5 2x 0 >

๏ 5 5 2 5 2x 0 > 5 2 5 2x 5 <

5 2 5 2x 25 < 5 2x 10 5 2x 100 < <

95x 2 < ..ดงนน fog5 95D [ , ]2 2

ตอบ 904(a b) 4( ) 1802 (ไมมขอใดถก)

(120) “p q ” เปนเทจ หมายความวา p เปนจรง แต q เปนเทจ นนคอตองหาตวเลอกท f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง A (โดเมน = เรนจ) แตไมเปนฟงกชน 1–1

ขอ 1. f {...,( 2, 2),( 1, 1),(0, 0),(1, 1), ...} f เปนฟงกชนทวถง และเปน 1–1 ขอ 2. f {...,( 2, 4),( 1, 2),(0, 0),(1,2), ...} f ไมเปนฟงกชนทวถง (เชน f1 D แต f1 R ) ขอ 3. f {(1, 1),(2, 3),(3, 3),(4,5),(5,5), ...} f ไมเปนฟงกชนทวถง (เชน f2 D แต f2 R ) ขอ 4. ถก f {(1, 1),(2, 1),(3,2),(4,2),(5, 3), ...} f เปนฟงกชนทวถง แตไมเปน 1–1 (เชน มทง (3,2) และ (4,2) อยใน f)

(121) จาก g(0) 1 , จะได g(1) f(g(0)) f(1) 2 , g(2) f(g(1)) f( 2) 2 2 ,

g(3) f(g(2)) f( 2 2) 2 2 2 , ..ฯลฯ

ขอ 1. ถก ..เพราะไมม a กบ b ใด ซงไมเทากนและทาให g(a) g(b) ได

g {(0, 1),(1, 2),(2, 2 2),(3, 2 2 2), ...}

ขอ 2. ถก ..เพราะทง f และ g เปนฟงกชน 1–1

f g {(0, 2),(1, 2 2),(2, 2 2 2), ...}

ขอ 3. ผด ..จากทแจกแจงไวในขอ 1. และ 2. จะเหนวาใน gR ม 1 แตใน fogR ไมม 1

ขอ 4. ถก ..เพราะ g(n) ทมคามากทสด จะเขาใกล 2 2 2... ซงมคาเปน 2

หมายเหต ให a 2 2 2...

จะได 2a a2 2a 2a 0

(a)(a 2) 0 นนคอ a 2 เทานน..


(122) (f g)(x) f(x) 2(x 1) 2x 4x 2 โดย x I คอ f g f {...,( 1, 6),(0, 2),(1,2),(2,6), ...} ..ดงนน fog fR { 2, 6, 10, 14, ...}

เทากบเซตในขอ 1. ตอบ

(123, 124) ในขอน fR มแตจานวนคเทานน

..ดงนน f(x)(g f)(x) 2 2x x2 เสมอ

(ซงจะไดผลเปนจานวนเตมทงหมด) ..และ F(x) (g f f)(x) x 2x x

คอ F {...,( 2,2),( 1, 1),(0, 0),(1, 1),(2, 2), ...} เปน “ฟงกชนหนงตอหนง และทวถง” ตอบ

(125) พจารณา f(x) ; คา x เปนอะไรกได (เพราะ x 1 อยแลว)

เมอแทนคาแลวจะพบวา xx 1

เปนเศษสวนทมคา

อยระหวาง -1 กบ 1 เสมอ (นนคอ fR ( 1, 1) )

พจารณา g(x) ; คา x เปนอะไรกได และจะไดคาของ g(x) เปนจานวนเตม “ปดขน” เสมอ (นนคอ gR I )

ขอ 1. fogD R ..ถก

เพราะไมวา x เปนอะไรกหา f g ได ขอ 2. fogR (0, 1) ..ผด ตองได ( 1, 1)

ขอ 3. (g f)(x) 1 เมอ x 0 ..ถก

f(x) 0.1

จะถกปดขนเปน 1 เสมอ

ขอ 4. (g f)(x) 0 เมอ x 0 ..ถก

f(x) 0.1

จะถกปดขนเปน 0 เสมอ

ตอบ ขอ 2.

ขอสอบเสรมประสบการณ .. บทท 5

ความสมพนธและฟงกชน 126. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2547] บรษทผลตกระเปาแหงหนง ถาขายใบละ 40 บาท จะขายได 4000 ใบ ถาขายใบละ 30 บาท จะขายได 8000 ใบ จงสรางฟงกชนเชงเสน f (x) เมอ f (x) เปนจานวนกระเปาทขายได และ x เปนราคาขายตอใบ 1. f (x) 400 x 12000 2. f (x) 200 x 4000 3. f (x) 400 x 20000 4. f (x) 200 x 12000 127. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] สามเหลยมรปหนงมพนทเทากบ 2 ตารางหนวย โดยมดานแตละดานยาว x, y และ y หนวย ซงจะไดวา y เปนฟงกชนของ x สมมตวา y f(x) ดงนน f( 8) f(2) f(4) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 128. [คดโอลมปก / 2534] พนทของอาณาบรเวณทลอมรอบโดยกราฟของ x y 2 เทากบกตารางหนวย 129. [พนฐานวศวะฯ / 2538] จงหาพนททลอมรอบดวยเสนกราฟของสมการ y 1 x 2 และสมการ x 0 1. 2 ตร.หนวย 2. 4 ตร.หนวย

3. 8 ตร.หนวย 4. 16 ตร.หนวย 130. [คดโอลมปก / 2545] กาหนดให 1r {(x, y) | 2 x y 4 } <R R และ 2r {(x, y) | x y 1} >R R พนทของ 1 2r r มคาเทากบกตารางหนวย

เฉลย 126. 3 127. 4 128. 8 129. 2 130. 3


จานวนเงน (ลานบาท) f 0.01 x 0.01

1g x 1

131. [คดโอลมปก / 2547] กาหนดให R เซตของจานวนจรง ถา A เปนบรเวณในระนาบ ซงนยามโดย A {(x, y) | x y x y 2} <R R แลว เราไมสามารถคานวณพนทของ A ไดจากรปหลายเหลยมในขอใด 1. สามเหลยมมมฉากทเทากนทกประการ 6 รป 2. สามเหลยมมมฉากทเทากนทกประการ 2 รป กบสเหลยมมมฉาก ทเทากนทกประการ 2 รป 3. สเหลยมดานขนานทเทากนทกประการ 2 รป กบสเหลยมจตรส 1 รป 4. สเหลยมผนผาทเทากนทกประการ 2 รป กบสามเหลยมหนาจว 1 รป 132. [คดโอลมปก / 2548] ให L เปนเสนตรงทผานจดตดทงสองของเสนโคง 2 เสนคอ 2g(x) 3x และ 3h(x) 2x และเสนตรง L มความชนเทากบ m ใหเอกภพสมพทธ { t | t 1 2 } <U R ขอใดตอไปนถก 1. 2t [ t 8 m ] < 2. 2t [ t 8 m ] 3. 2t [ t 3t 8 4m ] 4. 2t [ t t 8 4m ] 133. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2544] ในการบรหารความปลอดภยในโรงงานมหลกการงายๆ วา “เมอลงทนจดทาระบบความปลอดภยยงสง กจะทาใหอบตเหตนอยลง” จากการศกษาพฤตกรรมของคาใชจายทงสองพบวาสามารถแสดงได

ดงกราฟตอไปน อยากทราบวา จะตองใชเงนลงทนในระบบความปลอดภยเทาใด ถงจะไดผลตอบแทนทคมคาทสด (หนวย : 1000 บาท)

134. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2546] โรงงานแหงหนงมความตองการไฟฟาเฉลย 1,000 kW ซงปจจบนโรงงานซอไฟฟาจากการไฟฟาฯ ในราคา 2 บาท/kWh แตในขณะนบรษทกาลงคดจะเปลยนจากการซอไฟฟามาเปนการผลตไฟฟาใชเองโดยใชเครองยนตดเซล หากการทาเชนนมคาใชจายตอปเปน 50,000 1,975 n บาท เมอ n เปนจานวนชวโมงทางาน จงหาวาโรงงานนควรจะทางานอยางนอยกชวโมงตอป จงจะคมคากบการเปลยนมาผลตไฟฟาใชเอง 1. 1,500 ชวโมง 2. 1,750 ชวโมง 3. 2,000 ชวโมง 4. 2,250 ชวโมง


f(x)

x

18 16 14 12 10 8 6 4 2

0 1 2 3

135. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2548] นกศกษาคณะวศวกรรมศาสตรระดบปรญญาโทคนหนง ตองการซอเลเซอรพรนเตอรสาหรบการพมพวทยานพนธ โดยเลเซอรพรนเตอรเครองนมราคา 15,000 บาท และตลบหมกมราคาตลบละ 2,000 บาท (หนงตลบสามารถพมพเอกสารได 1,000 หนา) แตถาไมซอเครองพรนเตอรจะตองไปจางรานพมพเอกสารในราคาหนาละ 8 บาท ถาหากนกศกษาคนนซอเครองพรนเตอรดงกลาวแลว เขาควรจะพมพเอกสารกหนาจงจะคมคากวาไปจางรานพมพเอกสาร 136. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] จากขอทแลว ให h เปนฟงกชนทเปนคาบ โดยทคาบของ h เทากบ 2 และ h(x) f(x) ทก x [ 1, 1) จงหา h(100) 137. [พนฐานวศวะฯ / 2536] ฟงกชน f (x) ของกราฟตอไปน คออะไร 1. xf (x) 2 x 2. 2f (x) 2x 1 3. 2f (x) x x 1 4. 3 2f (x) x 2x 3x 1 138. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] ถา 0 p 1< < คาสงสดของ p(1 p) เทากบเทาใด 1. 0 2. 1

3. 12 4. 1

4

5. ไมมคาตอบทถกใหไวในขอ 1. ถง 4. ขางบน 139. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543]

คาสงสดของ 2 22 1 2 1(11 )(7 )x x2x 2x เทากบเทาไร และเกดขน ณ จดใด

140. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547]

จากรป จด P มพกดเปน (t, 0) เมอ 110 t 3

เสนตรง PBA ขนานกบแกน y จงหาคาของ t ททาใหสวนของเสนตรง AB มความยาวมากทสด

เฉลย 131. 4 132. 3 133. 100 134. 3 135. 2625 136. -3 137. 4 138. 4 140. 11/6

t p O

B

A y=x(4–x)

y=x/3

x

y


141. [คดโอลมปก / 2535] ให 2f(x) x 4x 3 คาในขอใดตอไปนมคามากทสด 1. คาตาสดของฟงกชน g(x) f(x) f(x) 2. คาตาสดของฟงกชน h(x) 2f(x) 3. คาสงสดของฟงกชน k(x) f(x) f(x) 4. คาสงสดของฟงกชน p(x) 1 f(x) 142. [คดโอลมปก / 2535] ฟงกชนตอไปน คใดเปนฟงกชนเดยวกน 1. 1f {(x, y) | x y 2 } และ 2

1f {(x, y) | y (x 2) }

2. 2

1x x 1g {(x, y) | y }x 1

และ

31 2

x 1g {(x, y) | y }x 1

3. 1h {(x, y) | xy x 1} และ 11h {(x, y) | x }y 1

4. 11F {(x, y) | y }1 x

และ 1

1 xF {(x, y) | y }1 x

143. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนลอการทม” ดวย ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. 1r {(x, y) | x y } R R 2. 2r {(x, y) | xy 0 } R R 3. 2

3r {(x, y) | x ln y } R R 4. 4r {(x, y) | x y 1} R R 144. [คดโอลมปก / 2534] อนเวอรสของความสมพนธใดไมเปนฟงกชน

1. 11r {(x, y) | y x }x R R

2. 22

2r {(x, y) | x 5 8 2y y }3 R R

3. 2 2

3x yr {(x, y) | 1 , xy 0 }4 9 R R

4. 4r {(x, y) | y x x } R R 145. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] ให 2 2r {(x, y) | 9y 4x 8x 36y 4 0 } R R จงพจารณาขอความตอไปน ก. r rD R ( , 4) ข. r เปนฟงกชน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ


146. [คดโอลมปก / 2546] กาหนดให 4 2 2r {(x, y) | 16x 16y 5 8x 16y } R R พจารณาขอความตอไปน ก. r เปนฟงกชน ข. r rD R ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ 147. [โควตา มช. / 2540] กาหนดความสมพนธ r {(x, y) | y เปนเศษทเหลอจากการหาร x ดวย 9 } และกาหนดโดเมนของ r เปนเซต rD {3, 12, 36} จงหาอนเวอรสของ r 148. [โควตา มช. / 2545] ถา A { x | 0 x 1 2 } < <R และ 2B { x | 9 x } <R แลว A B เทากบเซตในขอใด

1. fD เมอ x 1f {(x, y) | y }x 1

R R

2. gR เมอ 2g {(x, y) | y x 3 } R R 3. เซตคาตอบของอสมการ 4 2x 10x 9 0 > 4. เซตคาตอบของอสมการ 3 2x 2x 3x 0 > 149. [โควตา มช. / 2538] โดเมนของความสมพนธ 2r {(x, y) | (x 1)y x 5x 6 } R R คอขอใด 1. [2, 3] 2. ( 1, 2] [3, ) 3. ( , 2] [3, ) 4. ( , 1) ( 1, 2] [3, ) 150. [โควตา มช. / 2546]

กาหนดให 2f(x) x 1

และ f fA { x | x และ x D R } I

จงหาจานวนสมาชกของ A 151. [คดโอลมปก / 2535]

กาหนด xf(x) x 1

ถา A คอเรนจของ f และ B [ 1, 1] แลว A B เทากบเซตในขอใด 1. ( 1, 1) 2. ( 1, 0] 3. [0, 1] 4. ( 1, 1]

เฉลย 141. 4 142. 3 143. 1 144. 1 145. 1 146. 1 148. 3 149. 4 150. 0 151. 3


152. [โควตา มช. / 2537] กาหนด xf(x) 1 x

เซตในขอใดคอ f fD R

1. R 2. {0}R 3. [0, 1) 4. ( 1, 1) 153. [คดโอลมปก / 2545] กาหนดให 2r {(x, y) | x y xy 1 0 } R R และ A { x | x 5 } <I จงหาจานวนสมาชกในเซต 1rD A

154. [โควตา มช. / 2542] กาหนดความสมพนธ 2r {(x, y) | y x y 4x 0 } R R ขอใดตอไปนถก

1. โดเมนของ r คอ 1 1{ x | x }4 4 < <R

2. เรนจของ r คอ { 2, 2} R 3. (0, 0) ไมเปนสมาชกของ r

4. ถา x 0 แลว 21 1 4xy 2x

155. [คดโอลมปก / 2535]

จงหาเรนจของฟงกชน 2x x 1{(x, y) | y }x 1

R R

(ตอบในรปชวงหรอยเนยนของชวง) 156. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนลอการทม” ดวย

กาหนดให 2

2x x 1f(x) x 1

และ xg(x) log( 2 2 )

ถาให A เปนโดเมนของ g และ B เปนเรนจของ f แลวขอใดตอไปนผด 1. A B [ 2, 2] 2. A ' B B (0, ) 3. A ' B' ( , 0) (2, ) 4. A ( 1, 0) B' 157. [คดโอลมปก / 2548] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล” ดวย กาหนด 21 xr {(x, y) | y 10 } R R

และ 2x 4x y 2s {(x, y) | 0 }x 2

R R

และ 1 1r sh(x) 5 2x , x D D จงหาความยาวของ AB เมอ A และ B เปนจดปลายของ h


158. [โควตา มช. / 2543] ถา A {(x, y) | y x } < และ 2B {(x, y) | y x 6 } > แลว เรนจของ A B เปนสบเซตของเซตในขอใด 1. ( 5, 5) 2. ( 7, 4) 3. ( , 0) 4. ( 2, ) 159. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2542] กาหนดความสมพนธ 1r , 2r ดงน 1r {(x, y) | x y 2 } <R R

22r {(x, y) | y x 1} >R R และให 1 2r r r จงหาเรนจของ 1r , 2r และโดเมนของ 1r 160. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนลอการทม” ดวย กาหนด 2

1r {(x, y) | ln(y x ) 0 } > และ 2 xy 1r {(x, y)| 3} แลว r1 r2R R เทากบขอใดตอไปน 1. { y | 0 y 2}< < 2. { y | 0 y 3}< < 3. { y | 1 y 3}< < 4. { y | 1 y 4}< < 161. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] ถา 2r {(x, y) | y x และ xy 1} ><R R แลวเรนจของ 1r คอขอใดตอไปน 1. ( , 1] (0, ) 2. ( , 0) (0, ) 3. ( , 1] [1, ) 4. ( , 0) [1, ) 162. [คดโอลมปก / 2535] สาหรบทก x R ให f(x) x x ขอใดตอไปนผด 1. มชวง J R ซงถา 1 2x , x J และ 1 2x x แลว 1 2f(x ) f(x )

2. มชวง I R ซงถา 1 2x , x I และ 1 2x x แลว 1 21 2

f(x ) f(x ) 2x x

3. fR [0, ) 4. f fD R ( , 0] 163. [คดโอลมปก / 2534] ให A {a, b, c} และ P(A) คอเพาเวอรเซตของ A ถา s คอจานวนฟงกชน f จาก P(A) ไป A และ t คอจานวนฟงกชนหนงตอหนง g จาก A ไป P(A) แลว s t เทากบเทาใด 1. 6225 2. 5226 3. 2625 4. 2526

เฉลย 152. 4 153. 7 154. 1 156. 3 157. 5 158. 2 160. 4 161. 4 162. 4 163. 1


164. [คดโอลมปก / 2547] กาหนดให f(x) x , 4g(x) 1 x ถา A { x |(g f)(x) 0 } และ B { x | g(x) 0 } แลว ความสมพนธจาก A ไป B มทงหมดกความสมพนธ 1. 2 2. 4 3. 8 4. 16 165. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] ให f {(a, 1),(b, 1),(c, 2),(d, 3),(e, 4),(f, 2)} ถา A {a, b, c} และ Af {(x, y) f | x A } จงหา Af ทกฟงกชนทเปนฟงกชนหนงตอหนง 166. [คดโอลมปก / 2544] กาหนดให A {1, 2, 3, ..., 10} และ r เปนความสมพนธภายใน A

โดยท r {(a, b) | a เปนจานวนเฉพาะ หรอ ba เปนจานวนเฉพาะ }

จานวนสมาชกของ r เปนเทาใด 167. [คดโอลมปก / 2545] กาหนดให A {0, 1,2, ..., 9} B {(a, b) A A | a b } C {(a, b) A A | a b } > จานวนเซต D ทเปนไปไดทงหมดซงมสมบตวา B D C เทากบขอใด 1. 202 2. 352 3. 452 4. 552 168. [คดโอลมปก / 2534] กาหนด 2f(x) x 4x และ A { x | f(f(x)) f(x)} R แลว P(A) มสมาชกกตว 169. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] กาหนด A {1, 2, 3, 4} และนยาม f : A A โดย

x 1 , x 3f(x) 1 , x 4

<

จงหาฟงกชน g : A A ทมสมบต g(1) 3 และ g f f g 170. [คดโอลมปก / 2540] กาหนดให f เปนฟงกชน 2f(3x 5) 18x 57x 48 จะได 2(f f)( 1) f (1) มคาเทาใด 1. 3 2. 5 3. 2 4. 1


171. [คดโอลมปก / 2549] ถา 2f(2x 1) 4x 14x แลว ผลบวกของรากทงหมดของสมการ f(x) 0 เทากบเทาใด

1. 94 2. 94 3. 5 4. 5

172. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] ให f เปนพหนามทสอดคลอง 2 4 2f(x 1) x 5x 3 สาหรบจานวนจรง x ใดๆ จงหา 2f(x 1) 173. [คดโอลมปก / 2549] กาหนดให f : I I เปนฟงกชนทสอดคลองกบ (1) f(f(n)) 4n 15 และ (2) n n 1f(2 ) 2 5 สาหรบทก n I คาของ f(1659) เทากบเทาใด 174. [คดโอลมปก / 2547] กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทนยามดงตอไปน f(x) x 2 และ 2 2g(x) (x 4)

ถา h เปนฟงกชนซง gh f และ H { x | h h(x) R หาคาไมได } แลว จงหาเซต H

175. [คดโอลมปก / 2543] กาหนดให 2 3r {(x, y) | (y x ถา y 0) และ (y x ถา y 0)} > คาของ 1r ( 4) จะเทากบขอใด 1. 16 2. 16 3. 64 4. 64 176. [คดโอลมปก / 2538] ถา f(x) x 2 และ 1 2(f g)(x) 3x 5 แลว เซตคาตอบของอสมการ g(x) 0 คอขอใด 1. [ 1, 1] 2. ( , 1) (1, ) 3. ( 1, 1) 4. ( , 1] [1, ) 177. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545] กาหนด 3f(x 1) x 1 และ 1(g f )(x) 3x แลวเซตคาตอบของ g(x) 3 เทากบขอใดตอไปน 1. {1} 2. {0} 3. { 1} 4. เซตของจานวนจรง เฉลย 164. 2 166. 45 167. 3 168. 16 170. 1 171. 3 173. 3323 175. 4 176. 3 177. 1


178. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] กาหนด f และ g เปนฟงกชนซง 2f(x) x x 2 , 2(f g)(x) 4x 2x 2 จงพจารณาขอความตอไปน ก. g เปนฟงกชนเพม ข. 2g(f(x)) 4 2x 2x ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ 179. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2544] ให f เปนฟงกชน ทมฟงกชนอนเวอรสคอ 1 2f {(x, x 1) | x 0 } > และ g เปนฟงกชน ซงม g f (x) 2x 3 ทก x ใน fD จงหา f g(x) 180. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] ให f และ g เปนฟงกชนเชงเสน ซงมกราฟตดกนทจด (1, 1) , (f g)(1) 5 และ (f g)(2) 3 จงหา f(x) , g(x) , 1f (x) และ (g f)(x) 181. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548]

กาหนดให f เปนฟงกชนทกาหนดโดย x 1f(x) x 1

ทก x {1, 1} R

แลว 11

1 1(f f )(x)f f

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 1x 1

4. 1x 1

182. [คดโอลมปก / 2547] กาหนดให f เปนฟงกชนซง f(n) แทนจานวนคอนดบ (x,y) ทงหมด ทสอดคลองกบ x 2y n โดยท x, y และ n เปนจานวนเตมทไมเปนลบ และ g เปนฟงกชนซงนยามสาหรบแตละจานวนจรง t โดย 3 2g(t) 2t t 2t 3 จงหาคาของ 1(g f)(5) 183. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2549] กาหนดให f(x) และ g(x) เปนฟงกชนทนยามบนเซตของจานวนจรง และสอดคลองกบสมการ f(x g(y)) 2x y 5 สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ จงหาฟงกชน g(x f(y)) ในเทอมของ x และ y


184. [คดโอลมปก / 2534] ถาสาหรบทกจานวนจรงบวก x

2 x[f(x 1)] k (k เปนคาคงททเปนจานวนจรงบวก)

จงหาคาของ 12y2

29 y[f( )]y

1. k 2. 2k 3. 2k 4. y k 185. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] ให f : R R กาหนดโดย 3f(x) ax b สมมตวา 3 f(1) 1 < < และ 1 f(2) 4 < < ขอใดตอไปนถกตอง

1. 4 f(3) 3 < < 2. 3 48 f(3) 177 7 < <

3. 1 f(3) 23 < < 4. 5 52 f(3) 37 7 < <

186. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] กาหนดให g และ h เปนฟงกชนทกาหนดโดย 2g(x) 5x 1 และ h(x) 2x 1 ขอใดตอไปนผด

1. goh1D [ , )2 2. hogD ( , )

3. gohR [1, ) 4. hogR [0, ) 187. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] กาหนดให f และ g เปนฟงกชนซง f(3x 2) 2x 3

และ

2

3x เมอ x 0g(x)x 1 เมอ x 0

>

ดงนน fog fogD R เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน 1. ( 4, 2) 2. ( 3, 1) 3. ( 2, 0) 4. ( 1, 1) 188. [คดโอลมปก / 2546] จงหาฟงกชน f : R R ทงหมด ทมสมบตวา 2 3x f(x) f(1 x) 1 x x ทก x R 189. [คดโอลมปก / 2547] กาหนดให R เซตของจานวนจรง ถา f : R R สอดคลองเงอนไขดงน 2x f(x) f(1 x) 2x x ทก xR

แลว ผลคณ 1 f(2004) f(2546)2545 มคาเทากบเทาใด

เฉลย 178. 4 181. 1 182. 1.5 184. 3 185. 3 186. 4 187. 2 189. 2003


190. [คดโอลมปก / 2548]

กาหนดให 12 f( ) 4 f(2x) 10x 2x เมอ x เปนจานวนจรง แลว f(5) เทากบเทาใด

191. [คดโอลมปก / 2539] กาหนดให f : {0} R R โดยทสาหรบ x ใดๆ ใน {0}R

1 1x f( x) f(x ) x จะได f(x) เทากบเทาใด 192. [คดโอลมปก / 2544] กาหนดให f : R R โดยท สาหรบจานวนจรงบวก x ใดๆ

2 x xx f( ) x f( ) x 13 3

แลว 2f( )3 มคาเทาใด

1. 310 2. 5

10 3. 710 4. 9

10

193. [คดโอลมปก / 2534] กาหนดให af (n) n(n 1)(n 2)...(n a) เมอ a, n เปนจานวนเตมบวก และ a n

คาของ 31

2

f (27)f f (26)

เทากบเทาใด

194. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543]

ให 2f(x) 2x , xg(x) 4 , h(x) (f g)(x) , 2h (x) (h h)(x) และ n n 1h (x) (h h )(x) สาหรบ n เปนจานวนนบซง n 2 แลว 20h (x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. x 2. 20x 3. 50x 4. 20

x2

195. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2546] กาหนดให เอกภพสมพทธคอเซตของจานวนจรง

2x 9f(x) x 3

, g(x) x 3 และ x 4 ถา x 50h(x)

h(h(x 8)) ถา x 50

>

จงหาคา f g(1) h(4) 196. [คดโอลมปก / 2549] กาหนดให f : I R เปนฟงกชนสอดคลองกบ

1 f(x 1)f(x) 1 f(x 1)

สาหรบทก x I

ถา f(1) 3 แลวคาของ f(2548) f(2549) เทากบเทาใด


f(x)

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

x

197. [คดโอลมปก / 2549] ถา f : I I เปนฟงกชนทสอดคลองกบ f( 100) 15,000 และ f(n) f(n 1) 3n 2 สาหรบทกจานวนเตม n คาของ f(0) เทากบเทาใด 198. [คดโอลมปก / 2534]

กาหนดให 11f(x) 1 x และ n n n 1(f f f )(x) 1 เมอ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1

แลว 8 2f (1) f (3) เทากบขอใด 1. 2

11 2. 0 3. 15 4. 1

199. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2544] สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนดให n n 1 n 2 n 3 3 2f(n) 1 2 3 4 ... (n 2) (n 1) n

จงหาคาตาสดของ f(n 1)f(n) สาหรบ n 6>

200. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] กาหนดฟงกชน f ทนยามบนเซตของจานวนนบดงน

n เมอ n เปนจานวนค2f(n)2n 3 เมอ n เปนจานวนค

จงหาเซตคาตอบของสมการ f(f(n)) 37 201. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2542] กาหนดให f : R R เปนฟงกชน นยามโดย f(a b) f(a) f(b) ทกๆ a, b R และ f(2) 4 จงหา f(0) , f(1) , f( 1) 202. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2544] ฟงกชน f เปนสบเซตจาก R ไป R นยามวาเปน “ฟงกชนเชงเสน (linear function)” ถามคณสมบตตอไปน (i) f (x y) f (x) f (y) (ii) f (x) f ( x) โดยท เปนคาคงทจานวนจรงใดๆ ขอใดตอไปนเปนฟงกชนเชงเสน 1. 2. 3. 4.

เฉลย 190. -29/3 192. 3 193. 702 194. 4 195. 53 196. 3.5 197. 50 198. 1 199. 732/209 200. {7, 34, 148} 201. 0, 2, -2 202. 3


ส

x

y y

เฉลยวธคด (126) ความชน 8000 4000m 40030 40

(พจารณาจากความชน เลอกตอบขอ 3. ไดทนท)

สรางสมการไดดงน.. y 4000 400(x 40) f(x) y 400x 20000 ตอบ ขอ 3.

(127)

จากทฤษฎบทปทาโกรส จะได 2 2ส y (x/2)

ดงนนพนทสามเหลยม 2 21 (x) y (x/2) 22

ซงถา x 8 จะได 2 22 y ( 2) 2 y 2

ถา x 2 จะได 2 21 y (1) 2 y 5

ถา x 4 จะได 2 22 y (2) 2 y 5

ดงนน f( 8) f(2) f(4) 2 5 5 7 ตอบ

(128) ถอดคาสมบรณโดยพจารณาเครองหมายของ x กบ y ในแตละควอดรนต

ควอดรนตท 1 ไดสมการเปน x y 2 ควอดรนตท 2 ไดสมการเปน x y 2 ควอดรนตท 3 ไดสมการเปน x y 2 ควอดรนตท 4 ไดสมการเปน x y 2

เมอเขยนกราฟ จะไดเปนรป สเหลยมจตรสดงน

และมพนทเทากบ 1 4 42 8 ตารางหนวย

(129) สมการ y 1 x 2 ไดแก (y 1) (x 2) และ (y 1) (x 2) เปนเสนตรงสองเสนกากบาท ผานจด (2, 1) ดงรป

พนท 1 4 22

4 ตารางหนวย ตอบ

(130) เขยนกราฟของ 1r และ 2r ไดดงน

ดงนนกราฟของ 1 2r r เปนดงน

แกระบบสมการหาจดตดทงส ไดเปน 5 3( , )3 2

ดงนนพนทแรเงาเทากบ 4 เทาของสามเหลยมเลกๆ 1 34 ( 1 )2 2 3 ตารางหนวย

(131) ประเดนสาคญของขอนคอ การถอดคาสมบรณในกรณตางๆ ใหถกตอง ๏ ควอดรนตท 1; x และ y เปนบวกทงค จะไดอสมการเปน (x) (y) (x y) 2 <

x y 1 <

๏ ควอดรนตท 3; x และ y ตดลบทงค จะไดอสมการเปน (x) (y) (x y) 2 <

x y 1 >

O 2

2

-2

-2

2

3

-1

2 -2

4

-4

1 -1

r1 r2


O

บาท

n 2,000

2000n

50000+1975n

๏ ควอดรนตท 2; x ตดลบ และ y เปนบวก ถา x y 0 > จะไดอสมการ ( x) (y) (x y) 2 < y 1 < ถา x y 0 จะไดอสมการ ( x) (y) (x y) 2 < x 1 >

๏ ควอดรนตท 4; x เปนบวก และ y ตดลบ ถา x y 0 > จะไดอสมการ (x) ( y) (x y) 2 < x 1 < ถา x y 0 จะไดอสมการ (x) (y) (x y) 2 < y 1 >

นามาเขยนกราฟ รวมทกกรณไดดงน

และสามารถตดพนท ตามแบบทระบในขอ 1, 2, 3. ดงรป แตไมสามารถตดแบงไดตามขอ 4. ตอบ

(132) แกระบบสมการหาจดตด โดย 2 33x 2x

3 2 22x 3x 0 x (2x 3) 0

จะได x 0 หรอ 3x 2

แสดงวาจดตดทงสองคอ (0, 0) และ 3 27( , )2 4

ดงนนความชน 27/4 0m 4.53/2 0

..เอกภพสมพทธ t 1 2 1 t 3 < < <

ขอ 1. ผด เชน 20 8 8 มากกวา 4.5

ขอ 2. ผด เพราะ 2 2t 8 4.5 t 12.5 แตในชวง 1 t 3 < < ไมมคาใดททาให 2t 12.5 เลย

ขอ 3. ถก เพราะในชวง 1 t 3 < < จะได 2t 3t 8 มคาในชวง 23[ , 12]4

ซงนอยกวา 18 เสมอ

ขอ 4. ผด เพราะในชวง 1 t 3 < < จะได 2t t 8 มคาในชวง 31[ , 14]4

ซงนอยกวา 18 เสมอ

(133) จดทคมคากคอ จดทคาระบบความปลอดภย เทากบคาอบตเหตพอด

10.01x 0.01 x 1

2100x 1 (x 1) 100x 1

จะได x 1 10 เทานน (ตดลบไมได) x 11 ..ดงนน f g 0.1 ลานบาท

คดเปนหนวยพนบาทกคอ 100 พนบาท ตอบ

(134) ปรมาณไฟฟาทใชในเวลา n ชวโมง

1,000n kWh ..คดเปนราคา 2 1,000n บาท คาใชจายในการผลตไฟฟา 50,000 1,975n บาท จะคมทนท 2,000n 50,000 1,975n

n 2,000 ชม. ตอบ (หมายความวา เกน 2,000 ชม. ไปแลว จงจะไมขาดทน)

x+y=0


(135) สมมตพมพเอกสาร a หนา จะไดวา พมพเองเสยเงน 15,000 2a บาท ควรนอยกวาหรอเทากบ จางพมพ 8a บาท

จาก 15,000 2a 8a < ได a 2,500> หนา แตถาพมพ 2,500 หนา จะตองใชหมกถง 3 ตลบ และเสยเงน 21,000 บาท (โดยมหมกเหลออย)

ควรพมพมากกวา 21,000 2,6258 หนา ตอบ

(หมายถง พมพในชวง 2,626 ถง 3,000 หนา)

(136) อาศยสมบตเกยวกบฟงกชนคาบ คอ การหาคาฟงกชนนน สามารถเปลยนตาแหนงคา x โดยลดลงหรอเพมขนเปนจานวน n ครงของคาบได

คาบของ h ในขอนเปน 2 ..จงไดวา h(100) h(100 50(2)) h(0) ดงนน h(100) h(0) f(0) 3 ตอบ

(137) ลองแทน x 3 ขอ 1. 3f(x) 2 3 11 ขอ 2. 2f(x) 2(3) 1 19 ขอ 3. 2f(x) 3 3 1 13 และขอ 4. 3 2f(x) 3 2(3) 3(3) 1 19 ดงนนมขอ 1. กบ 3. ไมถกแนนอน

ตอไปลองแทน x 2 จะไดวา ขอ 2. 2f(x) 2(2) 1 9 และขอ 4. 3 2f(x) 2 2(2) 3(2) 1 7 ดงนน ตอบ ขอ 4.

(138) ให 2y p(1 p) p p พบวาเปนสมการพาราโบลาควา จงไดวา

คาสงสดของ y เกดเมอ B 1 1p 2A 2( 1) 2

..และคาสงสดนนเทากบ 1 1 1(1 )2 2 4 ตอบ

(139) ให 22 1A x 2x

จะไดวา โจทยถามคาสงสดของ (11 A)(7 A) ซง 2(11 A)(7 A) 77 4A A เปนฟงกชนกาลงสองรปพาราโบลาควา

คาสงสดจงเกดเมอ 4A 22

คาสงสด (11 2)(7 2) 81 ตอบ

และเกดเมอ 22 1A 2x 2x

24x 4x 1 0 2(2x 1) 0 1x 2 ตอบ

(140) จาก A BAB y y

t(4 t) t/3 211 t t3

สมการทไดเปนฟงกชนพาราโบลาควา

คามากทสดยอมเกดเมอ 11/3 11t 2 6

ตอบ

(หรอจะคดจากอนพนธ d(AB) 0dt กได)

(141) พจารณาฟงกชน f(x) เปนพาราโบลาหงาย มจดตาสดอยท B 4x 22A 2

นนคอ พกด (2, 1) เขยนกราฟไดดงน

ขอ 1. ฟงกชน f(x) f(x)

จะมคาเปนสองเทาของเดม ถาหาก f(x) เปนบวก และจะมคาเปน 0 ถาหาก f(x) ตดลบ ดงนนคาตาสดของฟงกชนนคอ 0

(2,-1)


ขอ 2. ฟงกชน 2f(x) ยอมมคาตาสดเปนสองเทาของเดม คอ 2 ขอ 3. ฟงกชน f(x) f(x)

จะมคาตดลบเปนสองเทาของเดม ถา f(x) ตดลบ และจะมคาเปน 0 ถาหาก f(x) เปนบวก ดงนนคาสงสดของฟงกชนนคอ 0 ขอ 4. ฟงกชน 1 f(x) ยอมเกดคาสงสด ณ คาตาทสดของ f(x) ดงนนคาสงสดของฟงกชนนคอ 1 ( 1) 2

ตอบ ขอ 4.

(142) ขอ 1. ผด ..ถงแมยกกาลงสองแลวไดสมการเหมอนกนกตาม แตฟงกชนแรก คา x 2> เทานน (เปนพาราโบลาหงาย ซกขวาซกเดยว) สวนอกฟงกชน คา x เปนจานวนจรงใดกได (เปนพาราโบลาหงาย เตมรป)

ขอ 2. ผด ..ถงแมนา x 1 คณทงเศษและสวนของฟงกชนแรก แลวจะไดผลเหมอนกบอกฟงกชนกตาม ..เพราะฟงกชนแรกนนหาคาไดท x 1 แตอกฟงกชนไมนยามท x 1 (สวนเปน 0)

หมายเหต เราไมสามารถตด x 1 ในเศษและสวนทง เพราะ 0 หาร 0 ไมเทากบ 1

ขอ 3. ถก ..เพราะทงสองฟงกชนลวนมเงอนไข y 1 และ x 0 เชนเดยวกน

ขอ 4. ผด ..ถงแมนา 1 x คณทงเศษและสวนของฟงกชนแรก แลวจะไดผลเหมอนกบอกฟงกชนกตาม (เหตผลเหมอนกบขอ 2.) ..เพราะฟงกชนแรกนนหาคาไดท x 1 แตอกฟงกชนไมนยามท x 1 (สวนเปน 0)

(143) ขอ 1. เปนฟงกชน เพราะไมม x คาใดท ทาใหเกด y พรอมกนมากกวา 1 คาเลย ( x 0> เทานน และจะได y 0< เทานน) ขอ 2. ไมเปนฟงกชน เพราะท x 0 จะได y เปนจานวนจรงใดกได ขอ 3. ไมเปนฟงกชน เชนท x 0 จะได y 1 หรอ 1 ขอ 4. ไมเปนฟงกชน เชนท x 0 จะได y 1 หรอ 1

(144) ขอ 1. อนเวอรสคอ 1x y y

ไมเปนฟงกชน ..เชน ถา x 2.5 จะได y 2 หรอ y 0.5 กได

ขอ 2. อนเวอรสคอ 22y 5 8 2x x3

จดรปสมการเปน 23(y 5) 2 8 2x x ยกกาลงสองทงสองขาง ไดเปน

2 29(y 5) 4(8 2x x ) 2 29(y 5) 4(x 1) 36

2 2(y 5) (x 1) 14 9

เปนกราฟวงร ครงซกบนเทานน ( y 5> เสมอ) ดงนนขอนจงถอวาเปนฟงกชน

ขอ 3. อนเวอรสคอ 2 2y x 14 9

เปนกราฟวงรทมจดศนยกลางท (0,0) แตมเงอนไข xy 0 ดวย แสดงวามกราฟอยใน ควอดรนตท 1 (x,y เปนบวกทงค) กบ 3 (x,y ตดลบทงค) เทานน

(2,-2)

(2,-2)

(2,2)


และตองไมมกราฟบนแกน x, แกน y (เพราะจะทาให xy 0 ) ..ขอนจงสรปไดวา เปนฟงกชน

ขอ 4. อนเวอรสคอ x y y

นนคอ

22

y เมอ y 0x y เมอ y 0

>

เขยนกราฟไดดงรป และถอวาเปนฟงกชน

(145) จดรปสมการ;

2 29(y 4y 4) 4(x 2x 1) 4 36 4

2 29(y 2) 4(x 1) 36 2 2(y 2) (x 1) 14 9

เปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง จดศนยกลางอยท (1,2) จดยอด (1, 4) กบ (1, 0) แตโจทยบอกวาเปนความสมพนธจาก R ไป R ดงนนกราฟของความสมพนธนมเพยงโคงบนเทานน (โคงลางไมมจดใดใชไดเลย เพราะ y ทโคงลางไมมากกวา 0)

ขอ ก. r rD R [4, ) ( , 4) R ..จรง ขอ ข. r เปนฟงกชน (เพราะกราฟมเพยงโคงบนเทานน) ..จรง

(146) จดรปสมการ;

4 2 2(16x 8x ) (16y 16y) 5 4 2 2116(x x ) 16(y y) 52

4 2 21 1 116(x x ) 16(y y ) 5 1 42 16 4

2 2 21 116(x ) 16(y ) 04 2

2 2 21 1(x ) (y ) 04 2

เปนไปไดเมอทงสองวงเลบเปน 0 พรอมกนเทานน

นนคอ 2 1x 4 และ 1y 2

จะได 1 1 1 1r {( , ),( , )}2 2 2 2

..พบวาเปนฟงกชนซงโดเมนกบเรนจไมเทากน ตอบ ขอ ก. จรง และขอ ข. จรง

(147) พจารณาการหาร x ดวย 9 ..ถา x 3 จะไดเศษ (y) เทากบ 3 ..ถา x 12 จะไดเศษ (y) เทากบ 3 ..ถา x 36 จะไดเศษ (y) เทากบ 0 ดงนน r {(3, 3),(12, 3),(36, 0)} ตอบ อนเวอรสของ r คอ {(3, 3),(3, 12),(0, 36)}

(148) A [ 1, 1] และ B ( , 3] [3, ) ดงนน A B ( , 3] [ 1, 1] [3, )

ขอ 1. หาโดเมนจากเงอนไข x 1 0 x 1 > > และ x 1 0 x 1 ดงนน fD [ 1, 1) (1, ) ..ขอ 1. ผด

ขอ 2. หาเรนจจากสมการ 2y 3 x จะไดเงอนไขวา y 3 0 y 3 > > ดงนน gR [ 3, ) ..ขอ 2. ผด

ขอ 3. แยกตวประกอบได 2 2(x 9)(x 1) 0 > (x 3)(x 3)(x 1)(x 1) 0 >

เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน ( , 3] [ 1, 1] [3, ) .. ขอ 3. ถก

ขอ 4. แยกตวประกอบได x(x 3)(x 1) 0 > เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน [ 1, 0] [3, ) ..ขอ 4. ผด

(149) จากสมการในโจทยคอ 2x 5x 6y x 1

ดงนนจะมเงอนไข 2 สวน คอ (1) 2x 5x 6 0 (x 2)(x 3) 0 > >

x ( ,2] [3, ) และ (2) x 1 0 x { 1} R นาสองเงอนไขทไดมารวมกน (อนเตอรเซค) จะไดโดเมนเปน ( , 1) ( 1,2] [3, ) ตอบ


(150) ..จากสมการ 2y x 1

มเงอนไขวา x 1 0 ..นนคอ x 1 และ 1

แสดงวา fD { 1, 1} R

..จดรปสมการไดเปน 2x 1y

จงไดเงอนไขวา 2 1 0y > 2 y 0y

>

แสดงวา fR ( , 2] (0, ) ..ดงนน f fD R ( 2, 0] และเนองจากใน f fD R ไมมจานวนเตมบวกเลย จงได A ตอบ จานวนสมาชกของ A เทากบ 0

(151) จากสมการ xy x 1

กรณ x 0> จะได xy x 1

yxy y x x y 1

ดงนน y y0 0y 1 y 1

> <

จงไดเรนจในกรณนคอ f1R [0, 1)

กรณ x 0 จะได xy x 1

yxy y x x y 1

ดงนน y y0 0y 1 y 1

จงไดเรนจในกรณนคอ f2R ( , 1) (0, )

f1 f2A R R ( , 1) [0, ) คาตอบทถกคอขอ 3.

(152) เนองจาก x เปนเทาใดกได ไมมขอหาม (เพราะสวนไมมทางเปน 0 อยแลว) ดงนน fD R

และหาเรนจโดยแยก 2 กรณดงน

กรณ x 0> จะไดสมการเปน xy 1 x

ยายขางไดเปน yx 1 y

ดงนน y y0 0 y [0, 1)1 y y 1

<>

กรณ x 0 จะไดสมการเปน xy 1 x

ยายขางไดเปน yx y 1

ดงนน y 0 y ( 1, 0)y 1

..สรปรวมกน (ยเนยน) ทงสองกรณ จะได fR ( 1, 1)

ตอบ f fD R ( 1, 1)

(153) 1rD กคอ rR ซงหาไดดงน..

กรณ y 0 สมการจะกลายเปน 1 0 ซงเปนเทจ แสดงวา y เทากบ 0 เปนไปไมได

กรณ y 0 จะไดสมการกาลงสอง

ใชสตรชวยในการจดรปไดเปน 2y y 4yx 2y

แสดงวาเงอนไขคอ 2y 4y 0 > y ( , 4] (0, )

1r rR ( , 4] (0, ) D

และ 1rD A { 5, 4, 1,2, 3, 4,5}

มจานวนสมาชกเทากบ 7 ตว

(154) ขอ 2. จดรปสมการเปน 2yx y 4

จะพบวาหา x ไดเสมอไมวา y จะมคาเทาใด (สวนไมมทางเปน 0) ดงนน เรนจของ r คอ R (ขอ 2. ผด) ..จากสมการ 2(x)y (1)y (4x) 0 ถาหาก x 0 จะได y 0 ดวย แสดงวา (0, 0) เปนสมาชกของ r (ขอ 3. ผด)

และถาหาก x 0 จะเปนสมการกาลงสอง

ใชสตรสาเรจชวยจดรป จะได 21 1 16xy 2x

(ดงนน ขอ 4. ผด)


หาโดเมนคาอนๆ (นอกจาก 0) ไดจาก

สมการ 21 1 16xy 2x

ในรทตองไมตดลบ.. นนคอ 21 16x 0 > 216x 1 0 (4x 1)(4x 1) 0 < <

จะได 1 1x4 4 < < ..ดงนน ขอ 1. ถก

(155) จากโจทย จะได 2xy y x x 1

20 x (y 1)x (y 1)

ใชสตร; 2(y 1) (y 1) 4(y 1)x 2

พบวามเงอนไขรท ดงนนขอบเขตของ y หาไดจาก 2(y 1) 4(y 1) 0 >

2y 2y 1 4y 4 0 > 2y 2y 3 0 > (y 3)(y 1) 0 > fR ( , 1] [3, )

(156) เซต A; จาก xg(x) log( 2 2 )

จะไดเงอนไขวา x2 2 0 x2 2 1x 2

สรปวา g1 1A D ( , )2 2

เซต B; จาก 2

2x x 1f(x) x 1

2x 11 1 1x 1 x x

เราทราบวารปแบบ 1x x มคาในชวง

( , 2] [2, ) เสมอ (เปน 2 เมอ x 1 และมากขนเมอ x เปนจานวนจรงบวกอนๆ, เปน 2 เมอ x 1 และนอยลงเมอ x เปนจานวนจรงลบอนๆ)

ดงนน 1 1 1[ , 0) (0, ]1 2 2x x

และ 1 1 3f(x) 1 [ , 1) (1, ]1 2 2x x

สรปวา f1 3B R [ , 1) (1, ]2 2

ตอบ ขอทผดคอขอ 3. (เพราะใน A ' B' ม 1 อยดวย)

(157) 1 1r sx D D กคอ r sx R R

หาเรนจของ r; เนองจาก 21 x 1 < เสมอ

จะได 20 1 x 1< <

ดงนน 21 x1 10 10

< < rR [1, 10]

หาเรนจของ s; เศษสวนเทากบ 0 แปลวาเศษเปน 0 จะได 2x 4x y 2 0

2 2y 2 x 4x 4 (x 2) แสดงวา y 2 0 < เสมอ.. y 2 < ..แตในโจทยมสวนเปน x 2 ดวย แสดงวา x 2 จงได 2y 2 4(2) 2 14

sR ( ,2] { 14}

ดงนน r sx R R [1,2] จะไดพกดจด A และ B เปน (1, 3) กบ (2, 1) ตอบ ระยะ 2 2AB 1 2 5 หนวย

(158) ในขอนเปนอสมการ จงควรพจารณาจากกราฟ

จะได A B มกราฟดงน แกระบบสมการหาจดตดไดเปน

2x x 6 (x 3)(x 2) 0 ดงนนจดตดจดบน จะมคา x 3 นนคอจด (3, 3) จงไดเรนจของ A B เทากบ [ 6, 3] ตอบ เปนสบเซตของขอ 2.

-6

-6

A B


(159) ๏ หาเรนจของ 1r ไดดงน จาก x y 2 < จะได 2 y x > แต x 0> เสมอ ดงนนยอมไดวา 2 y 0 >

y 2 2 y 2 < < < ตอบ r1R [ 2,2]

๏ หาเรนจของ 2r ไดดงน จาก 2y x 1> จะได 2y 1 x > แต 2x 0> เสมอ ดงนนยอมไดวา y 1 0 >

y 1 > ตอบ r2R [ 1, )

หมายเหต อาจหาเรนจของ 1r , 2r โดยการเขยนกราฟกได

๏ หาโดเมนของ 1r กคอเรนจของ r หาไดจากการ เขยนกราฟดงน

ตอบ 1 rrD R [ 1,2]

(160) จาก 2ln(y x ) 0 > จะได 2 0y x e 1 > นนคอ 2y x 1> ...แสดงวา y 1> เสมอ (สวนเงอนไขภายใน log กคอ 2y x 0 เปนจรงแนนอน เนองจากเราคด 2y x 1 > อยแลว) r1R [1, )

จาก xy 1 3 จะได xy 1 3 ...แสดงวา y 1 3 < เสมอ

3 y 1 3 < < 2 y 4 < < r2R [ 2, 4]

ดงนน r1 r2R R [1, 4] และคาตอบคอ ขอ 4.

(161) ..กราฟ 2y x< เปนพาราโบลาหงาย จดยอดอยท (0,0) และแรเงาดานนอกโคง ..กราฟ xy 1> เปนโคงไฮเพอรโบลามมฉากตะแคง อยในควอดรนตท 1 และ 3 และแรเงาพนทภายในโคงทงสอง

ดงนน จะเขยนกราฟของ r ไดดงรป ตอบ 1 rrR D ( , 0) [1, )

(162) พจารณาสมการ y x x

เมอ x 0> จะไดสมการเปน y x x 2x เมอ x 0 จะไดสมการเปน y x x 0 เขยนกราฟคราวๆ ไดดงรป ขอ 1. ถก ..ถาหาก J อยในชวง ( , 0) จะไดคา y (เปน 0) คงท ขอ 2. ถก ..ถาหาก I อยในชวง [0, ) จะไดความชนเทากบ 2 ขอ 3. ถก ..เพราะ fR [0, ) พอด ขอ 4. ผด ..เพราะ

f fD R [0, ) ( , 0) R

(163) จาก n(A) 3 และ 3n(P(A)) 2 8 ดงนน 8s 3 3 3 ... 3 3 6561 และ t 8 7 6 336 จงไดคาตอบเปน s t 6225 ตอบ

2 -2

2

-2

1 -1

r1 r2

-1

2

-1

r

(1,1)

y=0 y=2x


(164) จาก (g f)(x) 0 จะได 21 x 0 2x 1 ดงนน x 1 เทานน

(คา x ตดลบใชไมได เพราะจะหา f ไมได) ..จะได A { 1}

จาก g(x) 0 จะได 41 x 0 4x 1 ดงนน x 1 หรอ 1 ..จะได B { 1, 1}

ตอบ ความสมพนธจาก A ไป B มทงหมด 1 22 4 แบบ

(165) Af สามารถมสมาชกไดเพยง (a, 1),(b, 1),(c,2) เทานน (เพราะ x ตองอยใน A) แตตองการฟงกชนหนงตอหนง จงเขยนไดแบบตางๆ ดงน

Af {(a, 1)} หรอ Af {(b, 1)} หรอ Af {(c,2)} หรอ Af {(a, 1),(c,2)} หรอ Af {(b, 1),(c,2)} ตอบ

(166) กรณ a เปนจานวนเฉพาะ; จะได a เปน 2, 3, 5, หรอ 7 ..และ b เปนจานวนใดกได ดงนนม (a,b) ทงหมด 4 10 40 แบบ

กรณ a ไมเปนจานวนเฉพาะ

จะได ba ตองเปนจานวนเฉพาะ;

นนคอ (a,b) สามารถเปน (1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (4,8) ..รวม 5 แบบ

จานวนสมาชกของ r เทากบ 40 5 45

(167) สมาชกของ B ไดแก (0,0), (1,1), (2,2), …, (9,9) รวม 10 ตว สมาชกของ C ไดแก (0,0), (1,0), (2,0), ถง (9,0) และ (1,1), (2,1), (3,1), จนถง (9,1) และ (2,2), (3,2), (4,2), จนถง (9,2) และ ฯลฯ ไปจนถง (8,8), (9,8), และ (9,9) รวม 10 9 8 ... 1 55 ตว

..เซต D จะตองม (0,0), (1,1), (2,2), …, (9,9) รวม 10 ตว อยในนน สวนอก 45 ตวทเหลอจะอยกตวกได ไมอยเลยกได (เปรยบเสมอนการหาสบเซตนนเอง) ..จงมเซต D ทเปนไปไดทงหมด 452 แบบ ตอบ

(168) จาก f(f(x)) f(x) จะได 2(f(x)) 4(f(x)) f(x)

2(f(x)) 3(f(x)) 0 f(x)(f(x) 3) 0 f(x) 0 หรอ f(x) 3

นนคอ 2x 4x 0 หรอ 2x 4x 3 แกสมการได x 0, 4, 3, หรอ 1 ดงนน A {0, 4, 3, 1} ตอบ P(A) มสมาชก 42 16 ตว

(169) จากเงอนไขของ f จะได f {(1,2),(2, 3),(3, 4),(4, 1)} สมมต g {(1, 3),(2, a),(3, b),(4, c)} ..จะได g f {(1, a),(2, b),(3, c),(4, 3)} .....(1) f g {(1, 4),(2, f(a)),(3, f(b)),(4, f(c))} .....(2) แต g f f g ..สมการ (1) เทากบสมการ (2) ดงนน a 4 และ b f(a) f(4) 1 และ c f(b) f(1) 2 ตอบ g {(1, 3),(2, 4),(3, 1),(4,2)}

(170) จาก 2f(3x 5) 18x 57x 48 .....(1)

๏ ถาให 3x 5 1 จะได 4x 3

แทนคา 4x 3 ลงในสมการ (1) จะได f( 1) 4

ถาให 3x 5 4 จะได x 3 แทนคา x 3 ลงในสมการ (1) จะได f(4) 39

(f f)( 1) f(f( 1)) f(4) 39

๏ ถาให 3x 5 1 จะได x 2 แทนคา x 2 ลงในสมการ (1) จะได f(1) 6 ตอบ 2 2(f f)( 1) f (1) 39 6 3


(171) ให A 2x 1 ..จะได A 1x 2

แทนคาลงใน 2f(2x 1) 4x 14x จะกลายเปน 2 2A 1 A 1f(A) 4( ) 14( ) A 5A 62 2

..ดงนน 2f(x) x 5x 6

รากของสมการ 2x 5x 6 (x 6)(x 1) 0 คอ 6 กบ 1 ตอบ ผลบวกเทากบ 6 1 5

(172) จาก 2 2 2 2f(x 1) (x ) 5(x ) 3 แทนคา 2x ดวย 2x 2 จะได 2 2 2 2f(x 1) (x 2) 5(x 2) 3 4 2 2x 4x 4 5x 10 3 4 2x x 3 ตอบ

(173) จากเงอนไขท (2) คอ n n 1 nf(2 ) 2 5 2 2 5 ถาใหจานวนเตมบวก nx 2 กจะได f(x) 2x 5 ตรวจสอบ f(f(x)) 2(2x 5) 5 4x 15 สอดคลองกบเงอนไขขอ (1) พอด.. แสดงวาคดไดถกตอง

ตอบ f(1659) 2(1659) 5 3323

(174) จาก 2 2 2g(x) (x 4) x 4

ดงนน 2x 4h(x) x 2x 2

..เมอ x 2

..และเนองจาก h(x) ไมนยามท x 2 จงสรปไดวา h h(x) จะหาคาไมได 2 กรณคอ

(1) เมอ x 2 (เพราะจะทาใหหา h(x) ในขนแรกไมได) (2) เมอ h(x) 2 ..นนคอ x 0 หรอ 4 (เพราะจะทาใหหา h(h(x)) ไมได)

ตอบ H { 4, 0,2}

(175) ความหมายของ 1r ( 4) a กคอ r (a) 4 ..ดงนนเราตองหาวา คา x เปนเทาใด จงไดคา y เทากบ 4

เนองจาก y ตดลบจงตองใชเงอนไข 3y x แทนคาไดดงน 3( 4) x 64 x

x 64 (หมายความวา r (64) 4 ) และจะไดคาตอบ 1r ( 4) 64 ตอบ

(176) จาก f(x) x 2 จะได 1f (x) x 2 และจาก 1 2(f g)(x) 3x 5 จะได 2 2g(x) 2 3x 5 g(x) 3x 3

แกอสมการ 23x 3 0 3(x 1)(x 1) 0 ดงนนเซตคาตอบคอ ( 1, 1) ตอบ

(177) จาก 1(g(f (x)) 3x จะได 1 1g (3x) f (x) .....(1) โจทยถามคา x ททาให g(x) 3 ..นนคอ 1x g (3) แทนคา x ดวย 1 ในสมการท (1) จะได 1 1g (3) f (1)

จาก 3f(x 1) x 1 จะได 1 3f (x 1) x 1 แทนคา x ดวย 0 จะได 1f (1) 1 ดงนนคาตอบคอ 1 1x g (3) f (1) 1 ตอบ ขอ 1.

(178) จาก 2f(x) x x 2 จะได 2f(g(x)) (g(x)) g(x) 2 ..แตโจทยกาหนดให 2f(g(x)) 4x 2x 2 ดงนน 2 2(g(x)) g(x) 2 4x 2x 2

2 2(g(x)) g(x) (4x 2x) 0 21 1 4(4x 2x)g(x) 2

21 (4x 1) 1 4x 1g(x) 2 2


1 (4x 1) 2x 1 เมอ x 1/42g(x) 1 ( 4x 1) 2x เมอ x 1/42

>

หรอ

1 (4x 1) 2x เมอ x 1/42g(x) 1 ( 4x 1) 2x 1 เมอ x 1/42

>

..ดงนน ขอ ก. ผด เพราะไมไดเปนฟงกชนเพมตลอด g(x) จะมกราฟเปนตว V หงายหรอควากได

สวนขอ ข. ผด เพราะ g(f(x)) จะตองเปนฟงกชนทม 2 เงอนไข (และมได 2 คาตอบดวย)

(179) จาก 1 2f (x) x 1 (เมอ x 0> ) จะได f(x) x 1 และจาก g f (x) 2x 3 ..แทน x ดวย 1f (x) จะได 1 1g f (f (x)) 2 f (x) 3

2 2g(x) 2(x 1) 3 2x 5

ตอบ 2 2f g(x) (2x 5) 1 2x 4

(180) กราฟของ f และ g ตดกนทจด (1, 1) แปลวา f(1) 1 และ g(1) 1 สมมตวา f(x) ax b (เพราะเปนเสนตรง) จาก f(1) 1 จะได a b 1 .....(1) และจาก (f g)(1) f( 1) 5 จะได a b 5 .....(2) แกระบบสมการได a 2 และ b 3

..นนคอ f(x) 2x 3 และ 1 x 3f (x) 2

ตอบ

สมมตวา g(x) cx d (เพราะเปนเสนตรง) จาก g(1) 1 จะได c d 1 .....(1) และจาก (f g)(2) 1 g(2) 3 จะได 1 2c d 3 .....(2) แกระบบสมการได c 3 และ d 4 ..นนคอ g(x) 3x 4 และ (g f)(x) 3(2x 3) 4 6x 13 ตอบ

(181) จากฟงกชนในโจทยคอ x 1y x 1

จะไดอนเวอรสเปน y 1x y 1

xy x y 1 xy y x 1 x 1y x 1

แสดงวา 1 x 1f (x) x 1

เทากบ f(x) พอด

จงทาให 11

1 1(f f )(x) 0f f

ตอบ

(182) f(5) คอจานวนคอนดบของจานวนเตม (x,y) ทสอดคลองกบ x 2y 5 โดย x, y 0> ซงไดแก (1,2) , (3, 1) , (5, 0) ..ดงนน f(5) 3

โจทยถามคาของ 1 1(g f)(5) g (3) หาไดโดยให 3 22t t 2t 3 3

3 22t t 2t 6 0 2(2t 3)(t 2t 2) 0

วงเลบหลงไมมคาตอบเปนจานวนจรง

..แสดงวา g(t) 3 เมอ 3t 2 เทานน

ดงนน 1 1 3(g f)(5) g (3) 2 ตอบ

(183) ขอนใชหลกของการแทนคาตวแปรตน เพอแกฟงกชน จาก f(x g(y)) 2x y 5 .....(1) แทน y ดวย 0 จะได f(x g(0)) 2x 5 แลวแทน x ดวย x g(0) จะได f(x) 2x 2g(0) 5 .....(2) แลวแทน x ดวย x g(y) จะได f(x g(y)) 2x 2g(y) 2g(0) 5 ซงสมการนเทากบสมการท (1) ..นนคอ 2x y 5 2x 2g(y) 2g(0) 5

จงจดรปไดเปน yg(y) g(0) 2 .....(3)

ในตอนนเราทราบ f และ g จากสมการท (2) และ (3) แลว จงหาคาตอบไดดงน


x f(y)g(x f(y)) g(0) 2

.....(จากสมการท 3)

x 2y 2g(0) 5g(0) 2

...(จากสมการ 2)

x 5y2 2 ตอบ

(184) โจทยถามคาของ

12 12y y2

2 29 y 9[f( )] [f( 1)]y y

แตโจทยกาหนด 2 x[f(x 1)] k

เมอแทน x ดวย 3y กจะไดวา

3y29[f( 1)] ky

ยกกาลงสองทงสองขาง ไดเปน 3 12y y2 2

2 29 9[f( 1)] [f( 1)] ky y

ดงนนคาตอบคอ 2k ตอบ

(185) จาก f(1) a b และ f(2) 8a b โจทยตองการทราบคา f(3) 27a b

เราคานวณได 26 19f(3) f(2) f(1)7 7

(วธคานวณดไดในหมายเหตทายขอน)

จากโจทย จะได 26 26 104f(2)7 7 7 < <

และได 19 19 57f(1)7 7 7< <

เมอนามาบวกกนกจะได 1 f(3) 23 < < ตอบ หมายเหต จาก f(1) a b และ f(2) 8a b จะได f(2) f(1) 7a และ f(2) 8f(1) 7b ..จงไดวา f(3) 27a b

27 1[f(2) f(1)] [f(2) 8f(1)]7 7

(186) พจารณา 2(g h)(x) 5(h(x)) 1 พบวาคา h(x) เปนเทาใดกได นาไปหา (g h)(x)

ไดเสมอ ..แสดงวา goh h1D D [ , )2

(ขอ 1. ถก)

และเนองจากเรนจ h(x) 2x 1 คอตงแต 0 ขนไป จงไดวา 25(h(x)) 1 1 > ..นนคอ gohR [1, ) (ขอ 3. ถก)

พจารณา (h g)(x) 2 g(x) 1 พบวาคา g(x) ตองเปน 1/2 ขนไปเทานน จงจะหา (h g)(x) ได ดงนน 2 15x 1 2 >

ซงพบวาเปนจรงเสมอทกคา x อยแลว ..แสดงวา hogD ( , ) R (ขอ 2. ถก)

และเนองจากเรนจ 2g(x) 5x 1 คอตงแต 1 ขนไป จงไดวา 2 g(x) 1 1 > ..นนคอ hogR [1, ) ขอ 4. ผด

(187) ถาให A 3x 2 จะได A 2x 3

แทนลงไปใน f(3x 2) 2x 3

จะได A 2 2 5f(A) 2( ) 3 A3 3 3

ซงหมายความวา 2 5f(x) x3 3

จะได 2

3

2 5x , x 03 3(f g)(x) 2 5(x 1) , x 03 3

>

ดงนน fogD R

เพราะใช x เปนจานวนจรงใดกไดทกคา

และหา fogR โดยแยกคดทละกรณ ไดดงน..

กรณ x 0> ..จะได 2x 0> 22 5 5x3 3 3 >

แสดงวา fogR ในกรณนคอ 5[ , )3

กรณ x 0 ..จะได 3x 0 3x 1 1 32 5 7(x 1)3 3 3

แสดงวา fogR ในกรณนคอ 7( , )3

สรปรวมทงสองกรณ fog7 5R ( , ) [ , )3 3

ดงนน fog fog7 5D R [ , )3 3

..เปนสบเซตของขอ 2. ตอบ


(188) จาก 2 3x f(x) f(1 x) 1 x x .....(1) แทนคา x ดวย 1 x จะไดสมการเปน

2 3(1 x) f(1 x) f(x) 1 (1 x) (1 x) 2 3(1 x) f(1 x) f(x) 1 x 2x x .....(2)

แกระบบสมการโดยนา (1 x) คณสมการท (1) 2 2 3 4(x x ) f(x) (1 x) f(1 x) 1 x x 2x x

นาไปบวกกบสมการท (2) ไดผลเปน 2 2 3 4( 1 x x ) f(x) 2 2x x x x

..ดงนน 2 3 4

22 2x x x xf(x) 1 x x

22 x ตอบ

(189) โจทยกาหนด x f(x) f(1 x) x(2 x) .....(1) เมอแทน x ดวย 1 x จะได (1 x) f(1 x) f(x) (1 x)(1 x) .....(2)

นา (1 x) คณสมการท (1) แลวลบดวยสมการท (2) จะไดเปน

2(x x 1) f(x) (1 x)[ x(2 x) (1 x)] 2 2(x x 1) f(x) (1 x)(x x 1)

f(x) 1 x

ตอบ 1 ( 2003)( 2545) 20032545

(190) จาก 12 f( ) 4 f(2x) 10x 2x .....(1)

แทนคา x ดวย 12x จะไดสมการเปน

1 52 f(2x) 4 f( ) 2x x .....(2)

แกระบบสมการโดยนา 2 คณสมการท (1)

แลวบวกกน จะได 56 f(2x) 20x 6x

จากนนสามารถแทนคา x ดวย 2.5 เพอหา f(5)

ตอบ 50 2 6 29f(5) 6 3

(191) จากโจทย 1 1f( x) f( ) xx x .....(1)

เมอแทนคา x ดวย 1x จะไดสมการกลายเปน

1 1x f( ) f( x)x x .....(2)

แกระบบสมการ (1) กบ (2) โดย

นา x คณสมการท (1) ไดเปน 21f( x) x f( ) xx

จากนนบวกกบสมการท (2)

ไดเปน 2 12f( x) x x 2x 1f( x) 2 2x

และสดทาย เมอแทนคา x ดวย x

กจะไดคาตอบ 2x 1f(x) 2 2x ตอบ

(192) จาก 2 x xx f( ) x f( ) x 13 3 .....(1)

แทนคา x ดวย x จะได 2 x xx f( ) x f( ) x 13 3 .....(2)

แกระบบสมการ โดยนา x คณสมการท (1)

ไดเปน 3 2 2x xx f( ) x f( ) x x3 3

แลวลบดวยสมการท (2)

..จะได 3 2x(x x) f( ) x 2x 13 2

3x x 2x 1f( )3 x x

ดงนนคาตอบคอ 2

32 2 2(2) 1 7f( )3 102 2

หมายเหต เนองจากขอนโจทยถาม 2f( )3 ซงมคา

เปนตวเลข จงสามารถแทนคา x ดวย 2 และดวย 2 ไดเลยทนท จะไดสมการเปน 2 24 f( ) 2 f( ) 33 3 และ 2 24 f( ) 2 f( ) 13 3

ตามลาดบ จะชวยใหแกระบบสมการไดงายยงขน

(193) จาก 32

f (27) 27 26 25 24 27f (26) 26 25 24

ดงนน 31 1

2

f (27)f f(27) 27 26 702f (26)


(194) จาก 2x xh(x) 2( )4 2 (เมอ x 0> )

จะได 2 2( ) xh (x) (h h)(x) 2 4x

และ 3 2 4( ) xh (x) (h h )(x) 2 8x

..ฯลฯ

สรปไดวา nnxh (x) 2 นนคอ 20

20xh (x) 2 ตอบ

(195) จาก 5f g(1) f(g(1)) f(2) 51

และ h(4) h(h(12)) h(h(h(20)))

5ครงh h h h(28) h h ... h(36)

6ครง 7 ครงh h ... h(44) h h ... h(52)

6ครง 7 ครงh h ... h(48) h h ... h(56)

6ครงh h ... h(52)

สงเกตไดวาเมอ x เพมไปถงคา 52 จะเกดการวนกลบมาเปน 52 อกครงได (52 48 56 52 ) โดยท h ลดหายไปทละ 1 ตว ฉะนนเมอวนไปอก 5 รอบ จะไดผลเปน..

h(52) 48 ตอบ 5 48 53

(196) จาก f(1) 3

1 f(1) 1 3f(2) 21 f(1) 1 3

1 f(2) 1 2 1f(3) 1 f(2) 1 2 3

1 1/31 f(3) 1f(4) 1 f(3) 1 1/3 2

1 1/21 f(4)f(5) 31 f(4) 1 1/2

ดงนน f(6) f(2) 2 และ f(7) f(3) 1/3 ฯลฯ ..ฟงกชนนมคาเพยง 4 แบบ หมนเปลยนกนไป ตอบ f(2548) f(2549) f(4) f(1) 3.5

(197) จาก f(n 1) f(n) 3n 2 ดงนน f( 99) f( 100) 3( 100) 2 15000 3( 100) 2

f( 98) f( 99) 3( 99) 2 15000 3( 100 99) 2(2)

f( 97) f( 98) 3( 98) 2 15000 3( 100 99 98) 2(3) ฯลฯ.. จนกระทง f(0) 15000 3( 100 99 ... 1) 2(100)

ตอบ f(0) 15000 3( 5050) 2(100) 50

(198) จากสมการ n n n 1(f f f )(x) 1 จะได n n 1(f (x))(1 f (x)) 1

นนคอ nn 1

1f (x) 1 f (x)

..จาก 11 1f(1) 1 1 2

จะได 21 1

21 1 2f (1) 1 f(1) 31

และ 32 2

31 1 3f (1) 1 f (1) 51

และ 43 3

51 1 5f (1) 1 f (1) 81

..สงเกตไดวาจานวนทเปนคาเศษและสวนนน มคาสบเนองกน โดยแตละจานวนมคาเทากบผลบวกของสองจานวนกอนหนา (หรอเรยกวาเปน “ลาดบฟโบนกช”) เรมจาก 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

89, … ดงนนจะไดวา คาของ 834f (1) 55

..และจาก 11 1f(3) 1 3 4

ดงนน 21 1

41 1 4f (3) 1 f(3) 51

คาตอบคอ 8 234 4 2f (1) f (3) 55 5 11 ตอบ


(199) จาก 1f(1) 1 1 2 1f(2) 1 2 3 3 2 1f(3) 1 2 3 8 4 3 2 1f(4) 1 2 3 4 22 5 4 3 2 1f(5) 1 2 3 4 5 65 6 5 4 3 2 1f(6) 1 2 3 4 5 6 209 7 6 5 1f(7) 1 2 3 ... 7 732 8 7 6 1f(8) 1 2 3 ... 8 2780

พบวา f(2) 3 3f(1) 1 และ f(3) 8 2.67f(2) 3

และ f(4) 22 2.75f(3) 8 และ f(5) 65 2.95f(4) 22

และ f(6) 209 3.22f(5) 65

และ f(7) 732 3.50f(6) 209

และ f(8) 2780 3.80f(7) 732

จากการอปนยทางคณตศาสตร

เราสรปไดวา f(n 1)f(n) มคามากขนเรอยๆ

ดงนนเมอ n 6>

คาของ f(n 1)f(n) ทตาทสดคอ f(7) 732

f(6) 209 ตอบ

(200) จาก f(f(n)) 37 ถามาจากกรณบน แสดงวา f(n) 74 ซงเปนไปได ถามาจากกรณลาง แสดงวา f(n) 17 ซงกเปนไปไดเชนกน

จาก f(n) 74 ถามาจากกรณบน จะได n 148 (OK) ถามาจากกรณลาง จะได n 35.5 (เปนไปไมได)

จาก f(n) 17 ถามาจากกรณบน จะได n 34 (OK) ถามาจากกรณลาง จะได n 7 (OK)

ตอบ เซตคาตอบคอ {7, 34, 148}

(201) จาก f(a b) f(a) f(b) แทนคา a ดวย 0 และแทนคา b ดวย 2 จะได f(2) f(0) f(2) ..ดงนน f(0) 0

จาก f(a b) f(a) f(b) แทนคา a และ b ดวย 1 จะได f(2) f(1) f(1) 4 2 f(1) ..ดงนน f(1) 2

จาก f(a b) f(a) f(b) แทนคา a ดวย 2 และแทนคา b ดวย -1 จะได f(1) f(2) f( 1) 2 4 f( 1) ..ดงนน f( 1) 2

ตอบ f(0) 0 , f(1) 2 , f( 1) 2

(202) จากขอ (i) ถา x 0, y 0 จะไดวา f(0) f(0) f(0) 2f(0)

f(0) 0 เทานน จงมขอ 1. กบ 3. ทเปนไปได

ตอมาพจารณาจากขอ (ii) f( x) f(x) f(2) 2f(1), f(3) 3f(1), f(4) 4f(1), ...

พบวา f(3) f(2) f(1), f(4) f(3) f(1), ... แสดงวา ความชนเทาเดมตลอดทกคา x คอเปนกราฟเสนตรง

ตอบ ขอ 3.


จานวนเชงซอน 1. มการสมมตจานวนแบบใหมขนนอกเหนอจากจานวนจรง โดยนยามให i 1 เรยกวา “จานวนจนตภาพ” • ระบบจานวนทใหญทสดประกอบจากจานวนจรงและจานวนจนตภาพ อยในรป a b i (โดย a และ b เปนจานวนจรง) เรยกวา “จานวนเชงซอน” (หรอเซต C ) ซงม a เปนสวนจรง และ b เปนสวนจนตภาพ • นยมแทนตวแปรทเปนจานวนเชงซอนดวย z และถา z a bi สามารถเขยนวา a Re (z) และ b Im (z) ได ตวอยาง ตวอยางของจานวนเชงซอน เชน 3 4 i , 2 i , 2 i , 3 i เปนตน สวนจรงคอ 3, 2 , , 0 ตามลาดบ และสวนจนตภาพคอ 4, 1, 2 , 3 ตามลาดบ

ตวอยาง จานวนจรงทงหมดถอเปนจานวนเชงซอนดวย เชน 5 5 0 i , 2 2 0 i , 0 i เหลานลวนเปนจานวนเชงซอน ซงมสวนจนตภาพเทากบ 0 2. สามารถใชคอนดบ (a, b) หรอเวกเตอรทชจากจดกาเนดมายง (a, b) แทนจานวนเชงซอน z a bi ได และแผนภาพจะเปลยนจากเสนจานวนในแกนนอน 1 มต (จานวนจรง) กลายเปน “ระนาบเชงซอน” 2 มต (มแกนจรงกบแกนจนตภาพ) ตวอยาง รปแสดงตาแหนงของจานวนเชงซอน (3, 2) หรอ 3 2 i 3. ในการคานวณเราปฏบตเหมอนกบ i เปนตวแปรหนงเพยงเทานน (แตเมอใดทพบ 2i จะตองทราบวา มคาเปน 1 )

im

re O 3

(3,-2) -2


• นยามการเทากน a bi c di กตอเมอ a c และ b d • นยามการบวก (a bi) (c di) (a c) (b d)i • นยามการคณ (คณแจกแจงใหครบทกค) 2(a bi) (c di) ac ad i bc i bd i (ac bd) (ad bc)i ตวอยาง จากสมการ (x 4) (y 2)i 3 เทยบสมประสทธของสวนจรง และของสวนจนตภาพ ไดเปน x 4 3 และ y 2 0 ดงนน x 1 และ y 2

ตวอยาง ถากาหนด 1z 3 2 i และ 2z 4 i จะได 1 2z z (3 2 i) (4 i) 7 i และ 1 2z z (3 2 i) (4 i) 1 3 i และ 2

1 2z z (3 2 i) (4 i) 12 3 i 8 i 2 i 14 5 i

** (1) ในระบบจานวนเชงซอนจะไมมการเปรยบเทยบมากกวา, นอยกวา (2) สมการ a b ab จะไมเปนจรง ถาหาก a, b มคาตดลบพรอมกนทงสองจานวน 4. สมบตของจานวนเชงซอน เหมอนกบสมบตของจานวนจรงทกประการ นนคอสมบตปด, การสลบทการบวกและคณ, การเปลยนกลมการบวกและคณ, การแจกแจง, และการมเอกลกษณกบอนเวอรส

• เอกลกษณการบวกคอ 0 หรอ 0 0 i หรอ (0, 0) และเอกลกษณการคณคอ 1 หรอ 1 0 i หรอ (1, 0) (เชนเดยวกบระบบจานวนจรง) • อนเวอรสการบวกของ z a bi คอ z a bi • อนเวอรสการคณของ z a bi คอ 1 1 1z a biz

ซงสามารถคานวณคาไดโดย นา a bi คณทงเศษและสวน จะได 2 22 2 2 2

aa bi b1 a ba bi a b a b i

ตวอยาง ถา z 3 2 i จะได อนเวอรสการบวกของ z คอ z 3 2 i

และอนเวอรสการคณของ z คอ 1 1 1z z 3 2 i

2 23 213 13

3 2 i 3 2 i1 i3 2 i 3 2 i 3 2

คณต มงคลพทกษสข จานวนเชงซอน 73

ตวอยาง ถากาหนด 1z 3 2 i และ 2z 4 i

จะได 12

3 2 i 3 2 i 4 izz 4 i 4 i 4 i

2

210 1117 17

12 3 i 8 i 2 i 10 11i i1716 4 i 4 i i

และจะได 21

4 i 4 i 3 2 izz 3 2 i 3 2 i 3 2 i

2

2 210 1113 13

12 8 i 3 i 2 i 10 11i i133 2

• ทฤษฎบททเกยวของกบอนเวอรสการคณ ไดแก 1 1 1

1 2 1 2(z z ) z z และ n 1 1 n n(z ) (z ) z

ตวอยาง ถา z 1 2 i ใหหาคา 25 z

จะได 22 25 5 55 z (1 4) 4 iz (1 2 i)

3 45 5

5( 3 4 i)5 i3 4 i 25

5. กาลงของ i มเพยง 4 แบบ หมนเปลยนกน คอ 1i i 2i 1 3i i 4i 1 5i i 6i 1 7i i 8i 1 ..ฯลฯ (เราสามารถลดทอนเลขชกาลงของ i ลงได เหลอเพยงเศษจากการหารดวย 4)

ตวอยาง คาของ 26 27 28i i i จะเทากบ 2 3 4i i i ( 1) ( i) (1) i

ตวอยาง ใหหาคาของ 12

10(1 i)(1 i)

วธท 1 เนองจาก 2 2(1 i) 1 2 i i 2 i และ 2 2(1 i) 1 2 i i 2 i

ดงนน 12 66

5510(1 i) (2 i) 64 i 2 i( 2 i) 32 i(1 i)

วธท 2 เนองจาก 1 i 1 i 1 i 2 i i1 i 1 i 1 i 2

ดงนน 1012

210

(1 i) 1 i (1 i)1 i(1 i)

1110(i) (2 i) 2 i 2 i (เพราะวา 11 3i i i )


6. ในเศษสวนหนงๆ เมอมจานวนเชงซอน a bi เปนตวสวน จะนา “สงยค” ของ a bi คอ a bi มาคณทงเศษและสวน เพอใหตวสวนกลายเปนจานวนจรง 2 2(a b ) • สญลกษณทใชแทนสงยคของ z คอ z โดยมนยามวา ถา z a bi แลว จะได z a bi ตวอยาง สงยคของ 1z 2 3 i คอ 1z 2 3 i สงยคของ 2z 1 i คอ 2z 1 i สงยคของ 3z 3 i 2 คอ 3z 3 i 2 สงยคของ 4z 5 คอ 4z 5 สงยคของ 5z 5 i คอ 5z 5 i

7. สมบตของสงยค (1) z z กตอเมอ z เปนจานวนจรงเทานน (2) z z เสมอ (3) แจกแจงเขาภายในเลขยกกาลงได 1 1(z ) (z) และ n n(z ) (z) เมอ n เปนจานวนนบ (4) แจกแจงเขาระหวางการบวกลบได 1 2 1 2z z z z (5) แจกแจงเขาระหวางการคณหารได 1 2 1 2z z z z และ 1 2 1 2z z z z

ตวอยาง สงยคของ (2 3i)( 1 i)(3i 2) (5i) คอ (2 3i)( 1 i)

( 3i 2) ( 5i)

ตวอยาง ใหหา 1

2z เมอ 1 2 2z z z i และ 1z 1 2 i

จาก 1 2 2z z z i ..แยกตวประกอบได 2 1z (z 1) i

นนคอ 21

iz z 1

ใสสงยคทงสองขางของสมการ ไดเปน 21

iz z 1

ดงนนหาอนเวอรสไดเปน 1 12

z 1 2 iz 2i i

8. คาสมบรณของจานวนจรงและจานวนเชงซอนใดๆ คอระยะหางจากจดนนไปถงจดกาเนด (0, 0) ..ดงนน 2 2z a bi a b

ตวอยาง คาสมบรณของ 5 คอ 5 (ระยะทางจากจด (5,0) ไปยงจดกาเนด) คาสมบรณของ 3 i คอ 3 (ระยะทางจากจด (0,-3) ไปยงจดกาเนด) ..เขยนเปนสญลกษณไดวา 5 5 และ 3 i 3


O

z (a,b)

re

r

im

a

b

ตวอยาง คาสมบรณของ 2 3 i คอ 2 22 3 13 (ระยะทางจากจด (2,3) ไปยงจดกาเนด)

คาสมบรณของ 3 4 i คอ 2 23 ( 4) 5 (ระยะทางจากจด (3,-4) ไปยงจดกาเนด)

คาสมบรณของ 1 i คอ 2 2( 1) ( 1) 2 (ระยะทางจากจด (-1,-1) ไปยงจดกาเนด) ..เขยนเปนสญลกษณไดวา 2 3 i 13 , 3 4 i 5 , และ 1 i 2

9. สมบตของคาสมบรณ (1) z 0> เสมอ (2) 2zz z เสมอ (มคาเปน 2 2a b เชนเดยวกน)

(3) z z z เสมอ (มคาเปน 2 2a b เชนเดยวกน)

(4) แจกแจงเขาภายในเลขยกกาลงได 11 zz และ nn zz เมอ n เปนจานวนนบ (5) แจกแจงเขาระหวางการคณหารได 1 2 1 2z z z z และ 1 2 1 2z z z z

** ทสาคญคอคาสมบรณแจกแจงเมอมการบวกลบไมได

ตวอยาง คาของ z เมอ 3

2(2 2 3 i)(3 4 i)z (2 i) (1 i)

คดไดดงน

1/2 31/2 3

2 22 2 3 i 3 4 i(2 2 3 i) (3 4 i)

(2 i) (1 i) 2 i 1 i

1/2 32

(4) (5) 25 2( 5) ( 2)

ตวอยาง คาของ z เมอ 5

62 i(1 3 i)(1 2 i)

คดไดดงน

5566

2 i 1 3 i2 i(1 3 i)(1 2 i) 1 2 i

56

(2)(2) 6481( 3)

10. การอางถงพกด (a, b) ของจานวนเชงซอน อาจจะกลาวไดอกแบบเปน (r, ) โดยท r แทน “ระยะหางจากจดกาเนด หรอคาสมบรณ” และ แทน “ทศทาง หรออารกวเมนต” (มมวดทวนเขมนาฬกาจากแกน +x) เรยกรปแบบ (r, ) นวา “รปเชงขว”


ซงความสมพนธระหวางสองระบบนเปนดงน a r cos 2 2 zr a b

b r sin batan

• เขยนจานวน z a bi ในรปแบบเชงขวไดวา z (r cos ) (r sin ) i หรอจดรปไดเปน z r (cos i sin ) (ซงสามารถกลาววา r Abs (z) และ Arg (z) ได) ** บางตาราใชสญลกษณ z r หรอ z r cis เพอความสะดวกในการเขยนและคานวณ ตวอยาง ใหเขยนจานวนตอไปนในรปเชงขว • 5 เนองจากจานวน 5 อยทพกด (5,0) จงได r 5 5 และมม 0 ..สรปวา 5 5(cos 0 i sin 0 ) (หรอเขยนยอๆ วา 5 0 ..หรอ 5 cis 0 )

• 3 i เนองจากจานวน 3 i อยทพกด (0,-3) จงได r 3 i 3 และมม 270 ..สรปวา 3 i 3(cos 270 i sin270 ) (หรอเขยนยอๆ วา 3 270 ..หรอ 3 cis 270 )

• 2 2 i เนองจากจานวน 2 2 i อยทพกด (2, 2) จะได 2 2r 2 2 2 2 และ 2

2tan 1

โดยจดนอยในควอดรนตท 1 ดงนนมม 45 ..สรปวา 2 2 i 2 2 (cos 45 i sin 45 ) (หรอเขยนยอๆ วา 2 2 45 ..หรอ 2 2 cis 45 )

• 3 i เนองจากจานวน 3 i อยทพกด ( 3, 1)

จะได 2 2r ( 3) 1 2 และ 13tan

โดยจดนอยในควอดรนตท 2 ดงนนมม 150 ..สรปวา 3 i 2(cos 150 i sin 150 ) (หรอเขยนยอๆ วา 2 150 ..หรอ 2 cis 150 )


ตวอยาง ใหเขยนจานวนตอไปนในรป a b i • 5(cos 0 i sin 0 ) แทนคาของ cos และ sin ลงไป.. ไดผลเปน 5(cos 0 i sin 0 ) 5(1 i (0)) 5

• 3(cos 270 i sin 270 ) แทนคาของ cos และ sin ลงไป.. ไดผลเปน 3(cos 270 i sin 270 ) 3(0 i ( 1)) 3 i

• 2 2 (cos 45 i sin 45 ) แทนคาของ cos และ sin ลงไป.. ไดผลเปน

1 12 22 2 (cos 45 i sin 45 ) 2 2 ( i ( )) 2 2 i

• 2(cos 150 i sin 150 ) แทนคาของ cos และ sin ลงไป.. ไดผลเปน

3 12 22(cos 150 i sin 150 ) 2( i ( )) 3 i

11. รปเชงขวสามารถนามาใชประโยชนในการคณ หาร ยกกาลง และถอดรากของจานวนเชงซอน ไดสะดวก ..โดยมทฤษฎดงน • ถา 1 1 1 1z r (cos i sin ) และ 2 2 2 2z r (cos i sin ) แลว (1) การคณ 1 2 1 2 1 2 1 2z z r r (cos( ) i sin( ))

(2) การหาร 1 11 2 1 22 2

z r( )(cos( ) i sin( ))z r

(3) การยกกาลง n nz r (cos(n ) i sin(n )) (เรยกวา ทฤษฎบทของเดอมวฟ) ตวอยาง ถา 1z 2 2 3 i และ 2z 3 i

ใหอาศยรปเชงขวเพอหาคาของ 1 2z z และ 12zz

แปลง 1z และ 2z ใหอยในรปเชงขวไดดงน 2 2

1z 2 (2 3) 4 และมมมเทากบ 60 2 2

2z ( 3) 1 2 และมมมเทากบ 150 ดงนน 1z 4 60 และ 2z 2 150

จะได 1 2z z (4 2) (60 150 ) 8 210 นนคอ 8(cos 210 i sin210 ) 4 3 4 i

และจะได 12z 4( ) (60 150 ) 2 ( 90 )z 2

ซงกคอ 2 i (เพราะวามม 90 คอ i )


ตวอยาง ถา z 3 i ใหอาศยรปเชงขวเพอหาคาของ 4z

แปลงเปนรปเชงขวได z 2 150 ใชทฤษฎบทของเดอมวฟ ไดเปน 44z 2 (150 4) 16 600 16 240 นนคอ 16(cos 240 i sin240 ) 8 8 3 i

12. การถอดรากท n ของ z จะมอย n คาตอบเสมอ เพราะมาจากสมการ n(ราก) z • ถา z r (cos i sin ) จะได..

รากท n ของ z คาตอบแรกคอ n n nr (cos( ) i sin( ))

และคาตอบทเหลอจะมขนาดเปน n r เทากนหมด แตจะอยทมมตางกน ซงหาคามมไดจากการแบงวงกลม 360 ออกเปน n สวนเทาๆ กน โดยทมมม n นเปนจดๆ หนง ในบรรดาคาตอบดวย

ตวอยาง ถา z 64 i ใหหารากทสามทงหมดของ z

แปลงเปนเชงขว ได z 64 90 ดงนนรากทสาม (คาตอบแรก) คอ 1/ 364 (90 /3) 4 30 นนคอ 2 3 2 i

อกสองคาตอบหาไดโดยบวกมมเขาไป เพอใหเกดการตดแบงวงกลม (ขนาดรศม 4 หนวย) ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน นนคอ สวนละ 120 องศา ..ดงนนคาตอบทสองคอ 4 (30 120 ) 4 150 นนคอ 2 3 2 i และคาตอบทสามคอ 4 (150 120 ) 4 270 นนคอ 4 i ..สรปรากทงสาม ไดแก 2 3 2 i , 2 3 2 i , 4 i

ตวอยาง ใหหารากทสทงหมดของ z 2 2 3 i

แปลงเปนเชงขว ได z 4 120

ดงนนรากทส (คาตอบแรก) คอ 1/44 (120 /4) 2 30 นนคอ 6 22 2 i

อกสามคาตอบหาไดโดยบวกมมเขาไป เพอใหเกดการตดแบงวงกลมรศม 2 หนวย ออกเปน 4 สวนเทาๆ กน นนคอ สวนละ 90 องศา ..ดงนนคาตอบทสองคอ 2 120 นนคอ 62

2 2 i

คาตอบทสามคอ 2 210 นนคอ 6 22 2 i

และคาตอบทสคอ 2 300 นนคอ 622 2 i

..สรปรากทงส ไดแก 6 22 2 i

, และ 62

2 2 i

4 30

2 30


13. สมการพหนามดกร n จะอยในรป n n 1 n 2n n 1 n 2 0a x a x a x ... a 0

และจะหาคาตอบได n คาตอบเสมอ (นบคาทซากนดวย) • ใน n คาตอบน อาจเปนจานวนจรงและจานวนเชงซอนปนกนอย เมอแยกคาตอบทเปนจานวนจรงออก จนเหลอเพยงดกรสอง

แลวอาศยสตร 2B B 4ACx 2A

กจะหาคาตอบทเหลอซงเปนจานวนเชงซอนได

ตวอยาง ใหหาเซตของคาตอบทงหมดของสมการ 2x 4x 7 0

แยกตวประกอบในใจไมสาเรจ จงใชสตรดงน 2 24 4 4(1)(7) 4 12

2(1) 2B B 4ACx 2A

4 2 32 2 3 2 3 i

ดงนนเซตคาตอบคอ { 2 3 i, 2 3 i }

** หากไมตองการใชสตร จะคดโดยการจดกาลงสองสมบรณกได เชนในขอน จาก 2x 4x 7 0 ..จะได

2x 4x 4 7 4 นนคอ 2(x 2) 3 ถอดรากทสองไดเปน x 2 3 ดงนน x 2 3 2 3 i

ตวอยาง ใหหาเซตของคาตอบทงหมดของสมการ 3 2x 3x 9x 13 0

ใชวธแยกตวประกอบใดๆ (เชน การหารสงเคราะห) จะไดผลเปน 2(x 1)(x 4x 13) 0 ซงวงเลบหลงมดกรสอง แตแยกตวประกอบในใจไมสาเรจ

จงใชสตรไดวา 24 ( 4) 4(1)(13)2(1)x

4 36 4 6i2 2 2 3 i

ดงนน เซตคาตอบของสมการนคอ { 1, 2 3 i, 2 3 i }


• จากสตร 2B B 4ACx 2A

ทาใหทราบวา

ในสมการทสมประสทธทงหมดเปนจานวนจรง ถา a b i เปนคาตอบหนงของสมการแลว จะตองมสงยคคอ a b i เปนอกคาตอบหนงดวยเสมอ ตวอยาง ใหหาเซตของคาตอบทงหมดของสมการ 4 3 2x 3x 6x 6x 4 0 เมอทราบวาม 1 i เปนคาตอบหนง

สมการในโจทยขอน มสมประสทธทงหมดเปนจานวนจรง การม 1 i เปนคาตอบหนง จงทราบวาตองม 1 i เปนอกคาตอบดวย ..นนคอม (x (1 i))(x (1 i)) เปนตวประกอบของพหนาม

และเนองจาก (x (1 i))(x (1 i)) (x 1 i)(x 1 i) 2x 2x 2 จงนา 2x 2x 2 ไปหารพหนามในโจทย เพอแยกตวประกอบ (หารโดยการตงหารยาว) ไดผลเปน.. 2 2(x 2x 2)(x x 2) 0

จากนนหาสองคาตอบทเหลอไดจากสตร 2( 1) ( 1) 4(1)(2) 1 7 71

2(1) 2 2 2x i

ดงนน เซตคาตอบของสมการนกคอ 7 71 12 2 2 2{ 1 i, 1 i, i , i }

ตวอยาง ใหหาผลบวกของคาสมบรณของรากสมการ 5 4x 3 i x 4x 12 i 0

จดกลมพหนามดงน 5 4(x 3 i x ) (4x 12 i) 0 จะได 4x (x 3 i) 4 (x 3 i) 0 แสดงวา ตวประกอบคอ 4(x 4)(x 3 i) 0 ดงนน x 3 i หรอ 4x 4

คาตอบ x 3 i มคาสมบรณเทากบ 3 สวนอก 4 คาตอบ เปนรากทสของ 4 4 180 ทกๆ คาตอบจงตองมคาสมบรณเทากบ 4 4 2

..ดงนนผลบวกคาสมบรณ 3 2 2 2 2 3 4 2 หมายเหต สมการนม 3 i เปนคาตอบ แตไมมสงยคคอ 3 i เปนคาตอบดวย ..กเพราะวาสมประสทธของพหนามไมไดเปนจานวนจรงทงหมด


14. ทฤษฎบทเศษเหลอ และทฤษฎบทตวประกอบ (หารลงตว) ของพหนาม ทเคยไดศกษาในเรองจานวนจรง ยงคงใชไดกบจานวนเชงซอนดวย (การหารสงเคราะหกยงใชไดเชนกน) ตวอยาง ถาพหนาม 3 2x (5 2 i) x (7 10 i)x k หารดวย x 2 i ลงตว แสดงวาคา k เทากบเทาใด

จากทฤษฎบทตวประกอบ.. ถาพหนาม p(x) หารดวย x 2 i ลงตว กแสดงวา p( 2 i) 0 นนคอ 3 2( 2 i) (5 2 i)( 2 i) (7 10 i)( 2 i) k 0

8i 20 8i 14i 20 k 0 จะไดคาตอบเปน k 14 i

ตวอยาง ให p(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสาม ซงมสมประสทธเปนจานวนจรง และสมประสทธของ 3x เปน 1 ถา x 2 หาร p(x) เหลอเศษ 5 และ 1 3 i เปนรากหนงของ p(x) แลว รากทเปนจานวนจรงของ p(x) มคาเทาใด

จากโจทย จะไดรปแบบ 3 2p(x) x Bx Cx D และเนองจาก 1 3 i เปนรากของ p(x) จงไดวา 1 3 i เปนรากของ p(x) ดวย

แสดงวา p(x) (x 1 3 i)(x 1 3 i)(x c) 2(x 2x 4)(x c) แต x 2 หาร p(x) เหลอเศษ 5 หมายความวา p(2) 5 ..เมอแทนคาลงไป กจะได 3

4c

ดงนน รากทเปนจานวนจรงของ p(x) คอ c ..มคาเทากบ 34 นนเอง


จานวนเชงซอน 1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ ให R เปนเซตของจานวนจรงทงหมด C เปนเซตของจานวนเชงซอนทงหมด Q เปนเซตของจานวนตรรกยะทงหมด I เปนเซตของจานวนเตมทงหมด ขอความในขอใดตอไปนถก 1. C Q 2. R C 3. R Q I 4. R I Q 5. R Q I 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ;Þ กาหนดเอกภพสมพทธ {1, 1, i, i} U โดยท i 1 ขอใดมคาความจรงเปนเทจ 1. 2z [ z 1 ] 2. 36z [ z 1 ]

3. 1z [ z ]z 4. 3z [ z z 0 ]

3. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] ;Þ กาหนดให 9 10 126z i i ... i เมอ 2i 1 แลว 12 z เทากบขอใดตอไปน 1. 1 i 2. 1 i 3. 1 i 4. 1 i 4. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525] ;Þ ถา x, y เปนจานวนจรงทสอดคลองสมการ (x y i)(2 3i) 5 3i จะไดวา x y มคาเทากบเทาใด

1. 4013 2. 2213 3. 2813

4. 813 5. ไมมขอใดใน 1. ถง 4. ทถก

5. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ;Þ ถา (x, y) เปนจานวนเชงซอน ซง (x, y) (3, 4) (20, 15) แลว จานวนเชงซอน (x, y) เทากบขอใดตอไปน 1. 20 15( , )25 25 2. 20 15( , )4 3 3. 20 15( , )3 4

4. 20 15( , )7 7 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4.

เฉลย 1. 2 2. 4 3. 4 4. 2 5. 5



ถาจานวนเชงซอน ( 5, 2) หารดวยจานวนเชงซอน (x, y) แลวไดผลลพธเปน 17 1( , )10 10

จานวนเชงซอน (x, y) เทากบขอใดตอไปน 1. (1, 3) 2. (3, 1) 3. ( 3, 1) 4. (3, 1) 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 7. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] ;Þ

จานวนเชงซอน 10i(i 1)(i 2)(i 3)(i 4)

เขยนใหอยในรป a bi ไดดงขอใดตอไปน

1. 4 1 i17 17 2. 4 1 i17 17 3. 5 5 i17 17

4. 5 5 i17 17 5. 4 5 i17 17


สวนจรงของจานวนเชงซอน 122i( )1 i คอขอใดตอไปน

1. 64 2. 16 3. 16 4. 64 9. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] ;Þ

คาของ 4

53

(1 i)1(1 )(3 i)2(i)

เทากบขอใดตอไปน

1. 1 (7 i)6 2. 1 (1 7i)12 3. 4 ( 1 i)5 4. 4 (7 i)25

10. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ;Þ สบเซตของจานวนเชงซอนในขอใดตอไปน ทสมาชกทกตวมอนเวอรสการคณอยในเซตนน

1. {1, 1 i, 1 i} 2. 1{1, cos 1 i sin 1, }cos 1 i sin 1

3. 1{1, 1 i, }1 i

4. {1, cos 1 i sin 1, cos 1 i sin 1}


2 2x y [ x y (x iy)(x iy) ] เปนจรงเมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนชนดใด 1. จานวนเตม 2. จานวนตรรกยะ 3. จานวนอตรรกยะ 4. จานวนจนตภาพ 5. จานวนเชงซอน 12. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] ถา z เปนจานวนเชงซอนซง (1 i)(z 1) 1 แลว สวนจรงของจานวนเชงซอน 15z (z z) เทากบขอใด

1. 32 2. 3

2 3. 12 4. 1

2


13. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] กาหนดให 1z และ 2z เปนจานวนเชงซอน ถา 1 2z z เปนจานวนจรง และ 2 2

1 2z 2z เปนจานวนจนตภาพแท แลว 1 1z z มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 22 22(z z ) 2. 2

2 21 (z z )2

3. 2 22z z 4. 2 21 z z2

14. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2542] ถา z 2 2 3 i เมอ 2i 1 แลว 17z อยในควอดรนตในขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 15. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] ให z 1 3 i แลว 6 6z z เทากบเทาใด 16. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539]

กาหนดให 1 3z i2 2 สวนจรงของ 51

1 z เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 12 3. 1

2 4. 1

17. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2543] ถา 1z cos 12 i sin 12 และ 2z cos 16 i sin 16

แลว 15

12

zz


1. 1 3 i2

2. 1 3 i2

3. 3 i2

4. 3 i2


ถา 1z และ 2z เปนจานวนเชงซอนซง 41z (cos i sin )16 16

และ 21

2z 2 i z

แลว 2z มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 1 3. i 4. i 19. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543] กาหนดให 1z และ 2z เปนจานวนเชงซอนท 1 2 22z z 1 z

และ 61z (cos i sin )18 18

ขอใดตอไปนคออนเวอรสการคณของ 2z

1. 3 i12 2 2. 3 i1

2 2 3. 3 i 4. 3 i

เฉลย 6. 4 7. 1 8. 1 9. 4 10. 4 11. ถกทกขอ 12. 4 13. 2 14. 3 15. 128 16. 3 17. 1 18. 1 19. 4



ถา 32 z 1 3 i และ 18

27z a b ii z

เมอ a, b เปนจานวนจรง

แลว a b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 0 3. 1 4. 2 21. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] กาหนดให A และ B เปนจานวนเชงซอน ถา A cos x i sin x , x [0, ] และ B เปนอนเวอรสการคณของ A

ดงนน ก. 2 2A B 0 กตอเมอ x 4 หรอ 3

4

ข. 2 2A B 0 กตอเมอ x 0 หรอ ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. ถกทงค 2. ก. ถก แต ข. ผด 3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. และ ข. ผดทงค 22. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] ขอความใดตอไปนไมจรง

1. คาของ a และ b ซงเปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 1(a bi)(1 2i) 2 i

อยในชวง [0, 1] 2. จานวนเชงซอน z ททาให 2z z มอยเพยงสองตวเทานน คอ z (0, 0) และ z (1, 0)

3. เซตคาตอบของสมการ 3z 1 0 คอ 1 3 1 3{ 1, i, i}2 2 2 2

4. กาหนดให B { 1, 1, i, i} เซต B กบการคณ มสมบตปด, เปลยนกลม, มเอกลกษณ และมอนเวอรส 23. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ;Þ รากทสามทกแบบของ 1 มคาเทากบเทาใด

1. ( 1, 0) , 1 3( , )2 2 และ 1 3( , )2 2 2. ( 1, 0) , 1 3( , )2 2 และ 1 3( , )2 2

3. (1, 0) , 1 3( , )2 2 และ 1 3( , )2 2 4. (1, 0) , 1 3( , )2 2 และ 1 3( , )2 2

5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 24. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] ;Þ รากทสองทกแบบของ i มคาเทากบเทาใด

1. 1 i 1 i,2 2

2. 1 i 1 i,2 2

3. 1 i 1 i,2 2

4. 1 i 1 i,2 2

5. ไมมคาตอบทถกตอง


25. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ;Þ รากท 6 ของ 64 ทไมเปนจานวนจรง เปนจรงตามขอใดตอไปน 1. ม 4 ราก คอ 3 i และ 2 i 2. ม 4 ราก คอ 1 3 i และ 1 3 i 3. ม 6 ราก คอ 1 3 i , 1 3 i และ 2 i 4. ม 6 ราก คอ 3 i , 3 i และ 2 i 26. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] ให , และ เปนรากทงสามของสมการ 32 z 1 i ถา และ เปนรากทอยในควอดรนตท 1 และ 2 ตามลาดบ แลว 4 4 44 2 เทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. (1 3 3) i 3. 4 3 i 4. 1 3 3 27. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] กาหนดให 1z , 2z , 3z เปนรากของสมการ 3(1 i) z 2 โดยท 1z , 2z , 3z อยในควอดรนตท 1 , 2 , 3 ตามลาดบ

21 3 2z z z มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 i 2. 2 i 3. 2 4. 2 28. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] ถา 1z และ 2z เปนรากของสมการ 3(z 2 3) 8 i ซงมขนาดเปนจานวนเตม แลว 1 2z z เทากบขอใดตอไปน 1. 3 i 2. 3 i 3. 3 3 i 4. 3 3 i 29. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน ถา 1 3 i เปนรากท 5 ของ z แลว รากท 2 ของ z คอจานวนในขอใดตอไปน 1. 2 2( 3 i), 2 2( 3 i) 2. 2 2( 1 3 i), 2 2(1 3 i) 3. 2 2( 3 i), 2 2( 3 i) 4. 2 2( 1 3 i), 2 2(1 3 i) 30. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ให a และ b เปนรากท 6 ของ 1 โดยท 3 3a b ถา A และ B ตามลาดบ เปนเวกเตอรแทนจานวนเชงซอน 3a และ 3b ในระนาบเชงซอน และ เปนมมระหวางเวกเตอรทงสอง แลว cos มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 12 3. 3

2 4. 1

เฉลย 20. 2 21. 2 22. 2 23. 1 24. 1 25. 4 26. 3 27. 1 28. 4 29. 4 30. 1


31. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2547] ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 14z i 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ 22z i 0 แลว จานวนสมาชกของ A B เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 32. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535] ;Þ ให 1z และ 2z เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ 1z เปนสงยคของจานวนเชงซอน 1z จงพจารณาขอความตอไปน ก. 1 1z z ข. 1 2 1 2z z z z ค. 1 2 1 2z z z z ขอใดตอไปนถก 1. ขอ ก. หรอขอ ข. หรอขอ ค. ถกเพยงขอเดยวเทานน 2. ขอ ก. และขอ ข. เทานนทถก 3. ขอ ข. และขอ ค. เทานนทถก 4. ขอ ก. และขอ ค. เทานนทถก 33. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ ให z, 1z , 2z เปนจานวนเชงซอนใดๆ ขอความในขอใดตอไปนผด 1. 2z z z 2. ถา a สวนจนตภาพของ 1z และ b สวนจนตภาพของ 2z แลว a b สวนจนตภาพของ 1 2z z 3. z z

4. ถา สวนจนตภาพของ ztan สวนจรงของ z แลว z z (cos i sin )

5. z z> 34. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] กาหนดให 1z และ 2z เปนรากของสมการ 2x 2 2 3 i คาของ 2 2

1 2z z เปนเทาใด 1. 4 3 2. 8 3 3. 4 4. 8 5. 4 4 3 35. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525]

จงหาคาสมบรณของจานวนเชงซอน z จากสมการ 23 4i2 i z2 i 1 2i

1. 2 3 2. 3 2 3. 2 2 4. 3 3 5. ไมมขอใดใน 1. ถง 4. ทถก



ถา 3 iz 2

แลว คาของ 2

6 3z i

z z 2


37. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2542] ;Þ ถา z เปนจานวนเชงซอนซง 6(7 24 i)(3 4 i)z 1 แลว z z มคาเทาใด 38. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] ;Þ ถา z เปนจานวนเชงซอนซง z 0 และ 3(5 12 i) z ( 3 4i) 130 z แลว z (คาสมบรณของ z) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 12 3. 1

2 4. 2

39. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2548] ถา 1z 4 (cos 145 i sin 145 ) และ 2z 3 (cos 115 i sin 115 ) แลว คาของ 2

1 2z z เทากบเทาใด 40. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] ถา z เปนจานวนเชงซอนจานวนหนง ทอยในควอดรนตทหนงบนระนาบเชงซอน ม 2z 5 และสวนจนตภาพเทากบ 1 แลว อนเวอรสการคณของ z เปนสงยคของจานวนในขอใด

1. 2 i5 2. 2 i

5 3. 4 i

5 4. 2 i

5

41. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543] ถา z เปนจานวนเชงซอน ซง z 3 4i และ z 1 30 แลว สวนจนตภาพของ z อยในเซตใดตอไปน 1. { 4, 4} 2. { 21, 21} 3. { 3, 3} 4. { 24, 24} 42. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน ซง z 1 2 5 และ 2z 7 24 i

แลว ผลบวกของสวนจรงและสวนจนตภาพของ z1 i


1. 11 2. 4 3. 4 4. 11 43. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531]

จานวนเชงซอน z ซง z 1 1z (3 2i)

และ z z 29 คอจานวนในขอใด

1. 5 2i 2. 2 5i 3. 5 2i , 2 5i 4. 2 5i , 5 2i

เฉลย 31. 3 32. 4 33. 5 34. 4 35. 3 36. 0.5 37. 0.2 38. 1 39. 7 40. 1 41. 2 42. 2 43. 4



ให z a b i ซง b 0 ถา z สอดคลองกบ 2

2z 4z 32 1z 64

และ z z 61

แลว a b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 45. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] :( สาหรบจานวนเชงซอน z a bi และ w c di ใดๆ นยาม z w ac bdi กาหนดให z 2 2i ถา w เปนอนเวอรสของ z ภายใตการดาเนนการ แลว 2 2w z มคาเทากบเทาใด 46. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546] :( กาหนดจานวนเชงซอน 1z a , 2z b(cos i sin ) โดยท a 0 , b 0 และ 0 2 ถา 1 2 1 2 1 22 i|z z |sin c z z d z z โดยท c, d เปนจานวนจรง แลว 5c 2d มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 47. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2545] :( กาหนดให cos i cos เมอ cos 0 และ 22 cos 1

ถา z เปนจานวนเชงซอนมสมบตวา z 2 และอารกวเมนตของ z

เทากบ 4

แลว 2z z 1 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2 i 2. 3 2 i 3. 3 2 i 4. 3 2 i 48. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] :(

กาหนดให z x y i และ 1 1 1z a bi a ci

เมอ a, b, c, x และ y เปนจานวนจรง แลว 2 2x y เทากบจานวนในขอใดตอไปน

1. 2 2 2 2

2 2(a b )(a c )4a (b c)

2.

2 2 2 22 2 2

(a b )(a c )4a (b c )

3. 2 2 2 2

2 2(a b )(a c )4a (b c)

4.

2 2 2 22 2 2

(a b )(a c )4a (b c )


49. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] ;Þ พจารณาขอความตอไปน ก. ถา 1z และ 2z เปนรากของสมการ 2z 2z 4 0 แลว 1

2

z 1z

ข. ถา 1z และ 2z เปนรากของสมการ 2z i แลว 1 2z z 0 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. และ ข. ผด 50. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] ในระบบจานวนเชงซอน ขอใดตอไปนผด 1. ผลคณของรากทงสของสมการ 4x 1 เทากบ 1 2. ถา z เปนรากของสมการ 2x 6x 18 0 แลว z z 18

3. ถา 10A { z | z 1} และ 1B { z | A }z แลว A B

4. ถา 2i เปนรากของสมการ 3 2x x ax b 0 โดยท a, b เปนจานวนจรง แลว a b 51. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ;Þ กาหนดให 3 2A { x | x 2x 9x 18 0 } C และ 4B { x | x 81 0 } C ดงนนเซต (A B) (B A) เทากบขอใดตอไปน 1. { 3, 2, 3} 2. { 3, 2, 3} 3. {2, 3} 4. {3, 3} 52. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ เซตทกาหนดใหในขอใดตอไปน เปนเซตคาตอบของสมการ 3 2w 2w 2w 1 0

1. 1 3 1 3{ i, i}2 2 2 2 2. 3 1 3 1{ 1, i, i}2 2 2 2

3. 1 3 1 3{ 1, i, i}2 2 2 2 4. 3 1 3 1{ i, i}2 2 2 2

5. { 1, 1 3 i, 1 3 i} 53. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2543] ;Þ ให 1 2 3 4z , z , z , z เปนรากของสมการ 4 2z z 2 0

1 2 3 4z z z z มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 5/22 4. 9/42

เฉลย 44. 3 45. 6.75 46. 2 47. 2 48. 1 49. 3 50. 3 51. 2 52. 3 53. 4


54. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ;Þ ผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการ 4 2z 5z 36 0 ในระบบจานวนเชงซอน มคาเทาใด 1. 5 2. 10 3. 13 4. 36 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 55. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] คาสมบรณของรากของสมการ 2 2z (1 z ) 16 อยในเซตใดตอไปน

1. 1 3{0, , 2, }2 2 2. 4{1, , 7, 11}3

3. 3 3{ , , 4, 5}4 5 4. 5{ ,6, 9, 16}4

56. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] คาสมบรณของรากของสมการ 5 4z 3iz 4z 12i 0 เปนสมาชกของเซตใดตอไปน

1. 3{ 2, , 3, 5, 11}2 2. {0, 1, 3, 2, 4}

3. 1 5{ , 5, , 6, 10}2 2 4. 3 5{ , , 7, 8, 9}2 3

57. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ;Þ ให R เปนเซตของจานวนจรง และ C เปนเซตของจานวนเชงซอน เซตใดตอไปนเปนเอกภพสมพทธททาใหประพจน 4 2x [ x 3x 10 0 ] มคาความจรงเปนเทจ 1. เซตของจานวนอตรรกยะ 2. { x | x 2 } R 3. { z | 1 z 2 } <C 4. { z | 2 z 3 } <C 58. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2548] พจารณาขอความตอไปน ก. เซตคาตอบของ 4 3 2x 2x x 4x 6 0 คอ { 2, 2, 1 2 i, 2 i }

ข. 6 61 3 i 1 3 i 22 2

<

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 59. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2542] พจารณาขอความตอไปน ก. ถา 3 2A { x | (1 i)x (1 2i)x (1 i) x (1 2i) 0 } R แลว A [ 1.5, 1.5]

ข. ถา z เปนจานวนเชงซอนซง 6 1z i8 แลว z เทากบ 12

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด



ถา 393 i4 4 เปนคาตอบหนงของสมการ 2ax 3x c 0 โดยท a และ c เปนจานวนจรง

แลว เศษทเหลอจากการหาร 2ax 3x c ดวย x 2 เทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 12 3. 16 4. 20 61. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ถา (2 i) เปนรากหนงของสมการ f(x) 0 เมอ 3 2f(x) 2x ax bx 10 แลว ขอใดตอไปนถก 1. f(1) 8 , f( 1) 0 2. f(1) 0 , f( 1) 8 3. f(1) 4 , f( 1) 0 4. f(1) 0 , f( 1) 4 62. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ให 3 2f(x) x ax bx 10 โดยท a, b เปนจานวนจรง และ f(1 2i) 0 จงหาสวนจรงของ 10f(i ) 63. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ 4 3 2f (x) x 6x 15x ax b ถาจานวนเชงซอน 1 i และ 2 i เปนรากของ f (x) แลว a b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 10 2. 8 3. 8 4. 10 64. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2542] ให P(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสาม ซงมสมประสทธเปนจานวนจรง และสมประสทธของ 3x เปน 1 ถา x 2 หาร P(x) เหลอเศษ 5 และ (1 3 i) เปนรากหนงของ P(x) แลว รากทเปนจานวนจรงของ P(x) คอคาในขอใดตอไปน 1. 3

4 2. 43 3. 54 4. 4

5

65. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] :( * ขอนอาศยเนอหา “แคลคลส (อนพนธ)” ดวย กาหนด 4 3 2f(x) x bx cx dx e และ f(2 3 i) 0 , f(1) 0 , f(2) 9 แลว f (0) มคาเทาไร

เฉลย 54. 2 55. 1 56. 1 57. 2 58. 3 59. 1 60. 4 61. 1 62. 8 63. 2 64. 1 65. 4


66. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2547] :( * ขอนอาศยเนอหา “แคลคลส (อนพนธ)” ดวย ให 3 2f (x) x ax bx c เมอ a, b, c เปนจานวนจรง ถา x 3 หาร f (x) แลวเหลอเศษ 10 และ 1 i เปนรากหนงของ f (x) แลว คาของ f (1) เทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 2 3. 0 4. 1 67. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2545] :( กาหนดให จานวนเชงซอน 1 2 3z , z , z เปนจดยอดของรปสามเหลยมดานเทารปหนง

ถา 3 12 1

z z cos i sinz z 3 3

, 1 2z z 1 i , 2 3z z 2 2 i , 3 1z z 3 4 i แลว


ก. 3 21 2

z z cos i sinz z 3 3

ข. 2 2 21 2 3z z z 6 7 i

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 68. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] :( กาหนดให 1z , 2z , 3z เปนจานวนเชงซอน ซงมสมบตวา 1 2 3z z z 1 และ 1 2 3z z z 0 และให Re(z) แทนสวนจรงของจานวนเชงซอน z พจารณาขอความตอไปน

ก. 1 21Re(z z ) 2 ข. 1 2z z 3

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 69. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] :( กาหนดให 1 2 3z , z , z เปนจานวนเชงซอน

ซงสอดคลอง 1 2 3z z z 1 และ 1 2 31 2 3

1 1 1z z z z z z


ก. 1 21 2

1 1(1 z )(1 z ) (1 )(1 )z z

ข. ถา 1z 1 และ 2z 1 แลว 3 3z i z i 4 ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

เฉลย 66. 1 67. 4 68. 3 69. 2


เฉลยวธคด (1) ขอ 2. ถก เพราะจานวนจรงทงหมด ถอเปนจานวนเชงซอนดวย

ขอ 1. ผด ..ตองเปน C Q Q เพราะจานวนตรรกยะทงหมด ถอเปนจานวนจรง และจานวนจรงทงหมด ถอเปนจานวนเชงซอนดวย ขอ 3. ผด ..ตองเปน Q I Q เพราะจานวนเตมทงหมด ถอเปนจานวนตรรกยะ ขอ 4. ผด ..เพราะเซต R I จะมสมาชกเปนจานวนอตรรกยะดวย ขอ 5. ผด ..ตองเปน ' R Q Q ( 'Q คอเซตของจานวนอตรรกยะ)

(2) ขอ 1. ถก ..เชน 21 1 ขอ 2. ถก ..เพราะ 36( 1) 1 และ 36 36 4( i) i i 1

ขอ 3. ถก ..เชน 1 1 11

ขอ 4. ผด เพราะ 3i i i i 0

(3) เนองจาก 9 10 11 12i i i i 0 และ 13 14 15 16i i i i 0 ..ไปเรอยๆ

..ดงนนคาของ z จะคดไดจาก 125 126i i 1 2i i i 1

ตอบ 1 2( 1 i)22z 1 ii 1 2

(4) 5 3i 5 3i 2 3ix yi 2 3i 2 3i 2 3i

2 210 6i 15i 9 1 21 i13 132 3

ดงนน 1 21x y 13 13 2213

(5) จากโจทยคอ (x y i)(3 4i) 20 15i

ดงนน 20 15ix y i 3 4i

20 15i 3 4i3 4i 3 4i

60 80i 45i 609 16

120 35i 24 7 i25 5 5

นนคอ 24 7(x, y) ( , )5 5 ตอบ ขอ 5.

(6) จากโจทยคอ ( 5 2i) 17 1 i(x y i) 10 10

5 2i 10( 5 2i)x y i 17 1 17 ii10 10

2 210( 5 2i)( 17 i)

17 1

10(85 5i 34i 2)290

87 29i 3 i29

นนคอ (x, y) (3, 1) ตอบ

(7) จาก 2(i 1)(i 2) i 3i 2 1 3i และ 2(i 3)(i 4) i 7 i 12 11 7 i

ดงนน

10i (i 1)(i 2)(i 3)(i 4)

210 10

i (1 3i)(11 7 i) i (11 40i 21i )

10 1i ( 10 40i) i ( 1 4i)

2 21 i 4 4 1 ii 4 17 171 4

ตอบ

(8) 12 12

122 6 6

2i (2i) (2i)( )1 i ((1 i) ) (2i)

6 6(2i) 64i 264i 64 ตอบ สวนจรงคอ 64 (จานวนนมแตสวนจรง)


(9) เนองจาก 2(1 i) 2i ดงนน 4 2(1 i) (2i) 4 และเนองจาก 53 1i i i

..จงไดวา โจทยกลายเปน 41(1 )(3 i)2i

4 8i (2 i)(3 i)(1 )(3 i)2

8 86 3i 2i 1 7 i

8(7 i) 4 (7 i)50 25

ตอบ

(10) ๏ อนเวอรสการคณของ 1 คอ 1 11

๏ อนเวอรสการคณของ 1 i

คอ 2 21 1 i 1 1 i1 i 2 21 1

(ดงนน ขอ 1. และ 3. ผด)

๏ อนเวอรสการคณของ cos 1 i sin 1

คอ 1cos 1 i sin 1

2 2cos 1 i sin 1cos 1 sin 1

cos 1 i sin 1 ดงนน ขอ 4. ถก

(11) เนองจาก 2 2x y (x iy)(x iy) เสมอ ไมวา x และ y จะเปนจานวนประเภทใดกตาม

..ดงนน ขอ 1. ถง 5. สามารถใชเปนเอกภพสมพทธไดหมดทกขอ (เพราะแตละขอกสามารถทาให x y เปนจรงได) ตอบ ถกทกขอ

(12) จาก 1 1(z 1) z 11 i 1 i

ดงนน 1 1 i 3 iz 1 11 i 2 2 2

..จะไดวา 15 153 iz (z z) ( )( i)2 2

3 i 3 1( )(i) i2 2 2 2

ตอบ สวนจรงคอ 12

(13) สมมตวา 1z a bi , 2z c di

๏ โจทยบอกวา 1 2z z เปนจานวนจรง แสดงวา b d 0 b d .....(1) ดงนนให 2z c bi

๏ โจทยบอกวา 2 21 2z 2z เปนจานวนจนตภาพแท

2 2 2 2 2 21 2z 2z (a 2abi b ) 2(c 2cbi b )

2 2 2(a 2c b ) (2ab 4cb)i แสดงวา 2 2 2a 2c b 0 2 2 2a b 2c .....(2)

๏ โจทยถาม 1 1z z ซงกคอ 2 2a b ดงนน ตองหาตวเลอกซงมคาเทากบ 22c

ขอ 1. 2 2 22 22(z z ) 2(2c) 8c (ผด)

ขอ 2. 2 2 22 2

1 1(z z ) (2c) 2c2 2 ขอ 2. ถก

ขอ 3. 2 22 22z z 2c 2b (ผด)

ขอ 4. 2 22 2

1 1 1z z c b2 2 2 (ผด)

(14) จากโจทย 2z 4 3

ดงนน 17 17 34z 4 3

ซงมม 34 4103 3 ..อยใน 3Q ตอบ

(15) จากโจทย 4z 2 3

จะได 4z 2 ( )3

ดงนน 6 6 6 624 24z z 2 2 ( )3 3

6 62 0 2 0 64 64 128 ตอบ


(16) จาก 1 3z i2 2 1 60

ดงนน 5 5z 1 (60 5) 1 31 300 i2 2

และจะได 51 1

31 z 3 i2 2

2 2

33 i2 233( ) ( )2 2

33 i2 2

3

1 3 i2 6

ตอบ สวนจรงเทากบ 12

(17) จากโจทย จะได 1 2z 1 12 , z 1 16

15 15151

2

z 1 (12 16 ) ( 1 ( 4 ))z 1

1 ( 60 ) cos( 60 ) i sin( 60 )

1 3 icos 60 i sin60 2

ตอบ

(18) 4 4

1z (1 ( /16)) 1 (( /16) 4)

1 ( /4) 1 1 i2 2 1 (1 i)2

ดงนน 21

2z 2 i z 22 i 1 (1 i)2

2 22(1 i)2 i 2 i (1 i) 11 1

ตอบ 1

(19) 6 61

6z (1 ) 1 118 18 3

1 3 i2 2

และ จากสมการ 1 2 22 z z 1 z ยายขางเพอดงตวรวม.. 1 2 22 z z z 1

2 21 1

1 1z z2z 1 2z 1

..กลบเศษสวน ไดเปน 1

2 11 3z 2 z 1 2( i) 1 3 i2 2

ตอบ

(20) จาก 3 1 3z i 1 ( )2 2 3

ดงนน

618

27 9

1 ( ) 1 2z 3i 1 31 z i 1 ( )3

1 1 1 ii ( 1) i 1 2

ตอบ 1 1a b 02 2

(21) โจทยกาหนด A 1 x

..ดงนน 1B 1 ( x)A

นนคอ B cos( x) i sin( x) cos x i sin x

ขอ ก. จาก 2 2A B 0 จะได (cos 2x i sin2x) (cos 2x i sin2x) 0

2 cos2x 0 32x ,2 2

(อยาลมขยายชวงเปน 2x [0,2 ] )

..นนคอ x 4 หรอ 3

4 ขอ ก. ถก

ขอ ข. จาก 2 2A B 0 จะได (cos 2x i sin 2x) (cos 2x i sin 2x) 0

2 sin2x 0 2x 0, ,2

..นนคอ x 0 หรอ 2 หรอ ขอ ข. ผด

(22) ขอ 1.

1a bi (1 2i)(2 i)

12 i 4i 2

2 24 3i1 4 3 i4 3i 25 254 3

..ดงนน ขอ 1. จรง

ขอ 2. ถา z a bi จะได z a bi และ 2 2 2z a b 2abi ดงนนจาก 2z z จะไดวา 2 2a b a .....(1) และ 2ab b .....(2)

จากสมการ (2) จะได (b)(2a 1) 0

นนคอ b 0 หรอ 1a 2


แทน b 0 ในสมการ (1) จะได 2a a (a)(a 1) 0

a 0 หรอ 1

แทน 1a 2 ในสมการ (1)

จะได 21 1b4 2 2 3b 4 3b 2

ดงนนคา z ทงหมดทสอดคลองเงอนไข ไดแก

(0, 0) , (1, 0), 1 3( , )2 2 , 1 3( , )2 2

ขอ 2. ไมจรง ขอ 3. จาก 3z 1 1 180

..จะได 1 3z 1 60 i2 2

หรอ z 1 (60 120 ) 1 180 1

หรอ 1 3z 1 (60 240 ) 1 300 i2 2

..ดงนน ขอ 3. จรง ขอ 4. จรง ..เซต B มคณสมบตครบทง 4 อยาง ๏ มสมบตปด เพราะสมาชกตวใดกตามคณกน แลวผลลพธจะยงคงอยในเซตนเสมอ ๏ เปลยนกลมการคณได เพราะเปนสบเซตของจานวนเชงซอน ซงมสมบตเปลยนกลมการคณ ๏ เอกลกษณการคณคอ 1 อยในเซตน ๏ อนเวอรสการคณของแตละสมาชกกอยในเซตน

(23) เราทราบวา 3( 1) 1 ..แสดงวารากท 3 รากหนงของ 1 คอ 1

สวนอก 2 คาตอบหาไดจากการ แบงวงกลมทม ( 1, 0) เปนคาตอบ ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน ..ดงนนอก 2 คาตอบคอ 1 60 และ 1 ( 60 )

นนคอ 1 3( , )2 2 กบ 1 3( , )2 2 ตอบ ขอ 1.

(24) เนองจาก i 1(cos 90 i sin90 ) ดงนน รากทสองของ i

คอ 1 i1(cos 45 i sin 45 ) 2

และ 1 i1(cos 135 i sin 135 ) 2

ตอบ ขอ 1.

(25) เนองจาก 64 64 180 ดงนน รากทหกของ 64 รากหนง คอ 6 64 (180 /6) 2 30

และมรากทงหมดเปนดงรป (วงกลมมรศม 2 หนวย และ

อยหางกนจดละ 360 606 )

..คาตอบไดแก 2i , 3 i ตอบ ขอ 4.

(26) จากโจทย 3 1 1z i2 2 1 45

แสดงวา z ไดแก 3 1 (45 /3) 1 15 1(Q ) หรอ 1 (15 120 ) 1 135 2(Q ) หรอ 1 (15 240 ) 1 225 3(Q )

..และจะได คาของ 4 4 44 2 4 (15 4) 1 (135 4) 2 (255 4) 4 60 1 540 2 1020 4 60 1 180 2 300 (2 2 3 i) ( 1) (1 3 i) 4 3 i ตอบ

(27) จาก 3 2 2 0z 1 ( 315 )1 i 2 315

จะได z 1 ( 105 ) 3Q หรอ 1 15 1Q หรอ 1 135 2Q ดงนน 2

1 3 2z z z 1 ( 90 ) 1 270 i i 2 i ตอบ

2


(28) z 2 3 คอรากทสามของ 8 i ..ซง 8 i 8 270 มรากทสามไดแก 2 90 2 i , 2 210 3 i , และ 2 330 3 i

..ดงนน z 2 3 2 i , 3 i , 3 3 i ตวทมขนาดเปนจานวนเตมคอ 2 3 2 i (ขนาด=4) กบ 3 i (ขนาด=2) ตอบ (2 3 2 i) ( 3 i) 3 3 i

(29) 5 5z ( 1 3 i) (2 120 ) 32 600 32 240

ดงนน รากทสองของ z ไดแก 32 120 กบ 32 (120 180 )

..นนคอ 1 332 ( i)2 2 กบ 1 332( i)2 2

ตอบ 2 2( 1 3 i) และ 2 2(1 3 i)

(30) a และ b เปนรากท 6 ของ 1 นนคอ 6a 1 , 6b 1 ดงนน 3 2(a ) 1 , 3 2(b ) 1 แสดงวา 3a และ 3b ยอมเปนรากทสองของ 1

..แต 3 3a b แสดงวามตวหนงเปน 1 และอกตวหนงเปน 1 (เพราะรากท 2 ของ 1 มเพยงสองคานเทานน) ทามมกน 180

cos cos 180 1 ตอบ

(31) แกระบบสมการ 22z i และ 14z i โดยนาสมการมาหารกน ไดเปน 8z 1 (ทหารกนไดเพราะทราบวา z 0 แนนอน)

นา 8z 1 หารออกจาก 14z i จะได 6z i และนา 6z i หารออกจาก 8z 1 อกครง

จะได 2 1z i 1 270i

z 1 135 หรอ 1 315 ตอบ 2 คาตอบ

หมายเหต การหารซาๆ เพอลดทอนกาลงลง (นากาลงมาลบกนเรอยๆ) กเหมอนวธหา ห.ร.ม. ของ 14 กบ 22 นนเอง ..จงไดกาลงสดทายเปน 2 แสดงวาตองม 2 คาตอบ

(32) ขอ ก. ถก ถา z a bi จะได z a bi ซง 2 2z z a b เสมอ

ขอ ข. ผด ..เชน 1z 1 i , 2z 1 i จะได 1 2z z 2i 2

แตวา 1 2z z 2 2 2 2

ขอ ค. ถก (เปนสมบตทควรทราบ)

(33) ขอ 1. ถง 4. ถกหมดทกขอ และเปนสงทควรทราบอยแลว

ขอ 5. ผด ..เพราะ z เปนจานวนจรง แต z เปนจานวนเชงซอน ..ซงจานวนเชงซอนจะไมสามารถเปรยบเทยบมากกวา, นอยกวา ได

(34) จาก 2x 2 2 3 i

จะได 2 2 2x 2 2 3 i (2) (2 3) 4

หมายความวา ทกรากของสมการจะมขนาดเปน 4

ตอบ 2 21 2z z 4 4 8

(35) 22 2 2 2

(2 i)(2 i) (3 4i)(1 2i)z 2 1 1 2

4 4i 1 3 2i 8 14 2 i5 5 5

ดงนน 2 2 214 2z ( ) ( ) 8 2 25 5

ตอบ z 2 2


(36) จาก 3 i 3 1z i 12 2 4 4

และ 6 6z (1 30 ) 1 180 1 และ 3 3z (1 30 ) 1 90 i

6 3z z 2 1 i 2 1 i 2

..โจทยถามคาของ 2

6 3z i

z z 2

ดงนน ตอบ 21 0.52

(37) จากสมการในโจทย จะได 67 24 i 3 4 i z 1

6 6 125 5 z 1 z 125

ตอบ 2 1z z z 0.25

(38) เนองจาก z z

จะไดวา 35 12i z 3 4i 130 z 3(13) z (5) 130 z

โจทยบอกวา z 0 จงยายไปหารได 2 130z 265 z 2 ตอบ

(คา z ไมมทางตดลบ)

(39) ในขอนควรคดแบบเวกเตอร

2 2 21 2 1 1 2 2z z z 2 z z cos z

เมอ มมระหวาง 1 2z , z 22 2

1 2z z 4 2(4)( 3)cos 30 3 16 12 3 7 ตอบ

หมายเหต วธคดแบบพสจนโดยตรง (ไมใชเวกเตอร) ใหดในเฉลยขอ 68

(40) สมมต z a b i โจทยบอกวา b 1 , a 0 (เพราะอยใน Q1)

..จากสมการ 2z 5 จงได 2a 1 5

a 2 เทานน

..ดงนน z 2 i 1 1 2 iz 2 i 5

และสงยคของ 1z กคอ 2 i5 นนเอง ตอบ

(41) สมมต z a bi จะได 2 2z a b 3 4i 5 .....(1)

และ 2 2z 1 (a 1) b 30 .....(2)

แกระบบสมการไดดงน 2 2 2 2a b 25, a 2a 1 b 30

2a 1 25 30 a 2 ..ดงนน 24 b 25 b 21

ตอบ สวนจนตภาพอยในเซต { 21, 21}

(42) สมมตวา z a bi

จาก 2z 7 24i

จะได 2 2 2z 7 24i 7 24 25

นนคอ 2 2a b 25 .....(1)

จาก z 1 2 5

จะได 2 2(a 1) b 2 5 นนคอ 2 2(a 1) b 20 .....(2)

แกระบบสมการโดย (2)–(1); 2a 1 5 a 3

และจะได b 4 หรอ 4 ..แสดงวา z 3 4i หรอ z 3 4i แตเมอตรวจสอบกบสมการ 2z 7 24i พบวามเพยง z 3 4i เทานนทสอดคลอง

2 23 4i (3 4i)(1 i) 1 7 iz

1 i 1 i 21 1

ตอบ 1 7 42 2


(43) สมมตวา z a b i

..สมการแรกคอ a bi 1 1a bi 3 2i

2 2 2 2(a 1) b (a 3) (b 2) 2 2 2 2a 2a 1 b a 6a 9 b 4b 4 4a 4b 12 0 a b 3 .....(1)

และสมการทสองคอ 2 2z z a b 29 .....(2) แกระบบสมการโดยแทน (1) ลงใน (2) จะไดคาตอบเปน b 5 , a 2 หรอ b 2 , a 5 ตอบ ขอ 4.

(44) สมมตวา z a bi

สมการทโจทยใหมาคอ (z 8)(z 4) 1(z 8)(z 8)

z 4 z 8 2 2 2 2(a 4) b (a 8) b

2 2(a 4) (a 8) 2 2a 8a 16 a 16a 64 a 6

อกสมการคอ 2 2z z 61 a b 61 ดงนน 2b 61 36 b 5 แตโจทยบอกวา b 0 ดงนน b 5 เทานน ตอบ a b 6 5 11

(45) สมมตเอกลกษณคอ x yi จะไดเงอนไขเปน z (x yi) z

ax byi a bi นนคอ ax a x 1 และ by b y 1 เอกลกษณของการดาเนนการนคอ 1 i

หาอนเวอรส (w) ของ z ดงน ..จาก z อนเวอรส เอกลกษณ จะได ( 2 2i) (c di) 1 i

2c 2di 1 i 1c 2 และ 1d 2

..จะได 2 2 2 2 1 1w w c d 0.752 4

และ 2 2 2 2z z ( 2) ( 2) 2 4 6

ตอบ 2 2w z 6.75

(46) จากโจทย จะได 1 2z a, z b, และ 1 2z a, z b(cos i sin )

..สมการในโจทยจงกลายเปน 2 i ab sin cab(cos i sin ) dab(cos i sin ) จดกลมสวนจรง กบสวนจนตภาพ (2ab sin )i (c d)ab cos (c d)ab sin i

เนองจากโจทยกาหนดวา a, b, cos , sin 0 ดงนน เมอเทยบสวนจรง จะได c d 0 และเทยบสวนจนตภาพ จะได c d 2 ..นนคอ c 1 และ d 1 ตอบ 5c 2d 3

(47) จาก 2 12 cos 1 cos 2

แสดงวา 1 1 5i 1 42 2

จาก z z 2

แสดงวา 2 2z 21

.....(1)

และจาก z z 4

แสดงวา 5z 4 4 3z 2

.....(2)

..ดงนน 3z 2 2i2

จะได 2z z 1 4 2i 1 3 2i ตอบ


(48) จากโจทย (a ci) (a bi)1z (a bi)(a ci)

(a bi)(a ci)z (a ci) (a bi)

และเนองจาก 22 2x y z z z ..จงได

2 2 (a bi)(a ci) (a bi)(a ci)x y (a ci) (a bi) (a ci) (a bi)

((a bi)(a bi))((a ci)(a ci))(2a (b c)i)(2a (b c)i)

2 2 2 2

2 2(a b )(a c )(2a) (b c)

ตอบ ขอ 1.

(49) ขอ ก. 2 4 16z 2

1 3 i

จะพบวา 1 2z z ดงนน 12

z 1z อยางแนนอน

..ขอ ก. ผด

ขอ ข. เนองจาก 2z i 1 ดงนน z 1

หมายความวา ทกรากของสมการน จะมขนาดเปน 1 ..จงได 1 2z z 1 1 0 ..ขอ ข. ถก

(50) ขอ 1. เนองจาก 1 1 0 ดงนน รากท 4 ทงหมดของ 1 ไดแก 1, 1 , i, i (หาไดจากการแบงวงกลมหนงหนวยเปน 4 สวนเทากน โดยม 4 1 (0 /4) 1 0 เปนจดแบงดวย) ผลคณเทากบ (1)( 1)(i)( i) 1 ถกตอง

ขอ 2. ใชสตรได 6 36 72z 3 3i2

2 2z z 3 3 18 ถกตอง

ขอ 3. ผด ..เซต A มสมาชกเปนรากท 10 ของ 1 อย 10 คา

..เซต B มสมาชกเปนคา z ททาให 101( ) 1z

แตสมการนกแปลวา 10 1z 11 เชนกน

ดงนนสมาชกของ B ยอมเหมอนกบ A ทกประการ (นนคอ A B )

ขอ 4. แทน x ดวย 2i จะได 3 2(2i) (2i) 2ai b 0

8i 4 2ai b 0 8 2a 0 และ 4 b 0

..นนคอ a 4 และ b 4 ถกตอง

(51) เซต A; 2(x 2)(x 9) 0

A {2, 3i, 3i}

เซต B; 2 2(x 9)(x 9) 0 2(x 3)(x 3)(x 9) 0

B {3, 3, 3i, 3i}

ตอบ (A B) (B A) { 3,2, 3}

(52) จากการหารสงเคราะห หรอดงตวรวม จะแยกตวประกอบเปน 2(w 1)(w w 1) 0 ..ดงนน w 1

หรอ 1 1 4 1 3w i2 2 2

ตอบ ขอ 3.

(53) จากสมการ 4 2z z 2 0 ใชสตรหาคาตอบไดเปน

2 1 1 8 1 7z i2 2 2

..ดงนน 22

2 1 7z 22 2

จงได 1/ 4z 2 (เทากนทงสคาตอบ)

ตอบ 1/ 4 1/ 4 1/4 1/ 4 1/ 4 9/42 2 2 2 4 2 2

(54) แยกตวประกอบเปน 2 2(z 9)(z 4) 0 ดงนน 2z 9 หรอ 2z 4

z 3i, 3i, 2, 2 ตอบ ผลบวกของคาสมบรณคอ 3 3 2 2 10


(55) จาก 2 2z (1 z ) 16 นนคอ 4 2z z 16 0

ใชสตรไดเปน 2 1 1 64 1 63z i2 2 2

2 2 21 63z ( ) ( ) 16 42 2

..แสดงวา z 2 ตอบ อยในเซตขอ 1.

(56) จดรปไดดงน 4z (z 3i) 4(z 3i) 0

4(z 4)(z 3i) 0 ..แสดงวา 4z 4 หรอ z 3i

ถา 4z 4 จะได 4z 4 z 2

(มขนาดเปน 2 เหมอนกนทง 4 คาตอบ) และถา z 3i จะได z 3

ตอบ อยในเซตขอ 1.

(57) พจารณาสมการ 4 2x 3x 10 0 จะได 2 2(x 5)(x 2) 0 2x 5 หรอ 2 ดงนน x 5 i หรอ 5 i หรอ 2 หรอ 2

ขอ 2. เปนเทจ เพราะถา x R จะพบวา ในชวง x 2 ไมม

คาใดทาใหสมการเปนจรงไดเลย

ขอ 1. จรง ..คอ 2 , 2 ขอ 3. จรง ..คอ 2 , 2 (เพราะถอเปนจานวนเชงซอนดวยเชนกน) ขอ 4. จรง ..คอ 5 i , 5 i

(58) ขอ ก. ผด ถาสมประสทธเปนจานวนจรงทกตว คาตอบทเปนจานวนเชงซอนจะตองเปนสงยคกน

ขอ ข. ถก จากสมบต < เสมอ

จะได 6 6

6 61 3 i 1 3 i 1 1 22 2

<

(59) ขอ ก. จดรปสมการไดดงน 2 2(1 i)x [x 1] (1 2i)[x 1] 0

2[(1 i)x (1 2i)] [x 1] 0

คาตอบของสมการคอ 1 2ix , 1, 11 i

แตมเงอนไข x R เทานน ..จงได A {1, 1} เปนสบเซตของชวง [ 1.5, 1.5] จรงๆ ..ขอ ก. ถก

ขอ ข. จะได 6 6 1 1|z | |z| i8 8

ดงนน 6 1 1|z| |z| 8 2 จรงๆ ..ขอ ข. ถก

ตอบ ขอ 1.

(60) สมการนม 3 39 i4 4 เปนคาตอบ

แสดงวาม 3 39 i4 4 เปนคาตอบดวย

(เพราะสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง)

ดงนนพหนามคอ 3 39 3 39(x i)(x i)4 4 4 4

2 3 9 39x x 02 16 16

นา 2 คณ เพอปรบสมประสทธใหตรงตามโจทย ..ไดเปน 22x 3x 6 0 ตอบ เศษเหลอเทากบ 22( 2) 3( 2) 6 20

(61) 2 i เปนรากหนง แสดงวา 2 i เปนรากดวย (เพราะสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง)

ดงนน f(x) (x (2 i))(x (2 i))(cx d) (x 2 i)(x 2 i)(cx d) 2(x 4x 5)(cx d) เทยบสมประสทธกบ 3 2f(x) 2x ax bx 10 จากตวแรกสด และตวทายสด พบวา c ตองเปน 2 และ d ตองเปน 2 เทานน

2f(x) (x 4x 5)(2x 2) 3 22x 6x 2x 10 ตอบ f(1) 8 และ f( 1) 0


(62) จาก f(1 2i) 0 ..แสดงวา 1 2i เปนคาตอบ ของสมการ 3 2x ax bx 10 0 และจะไดวา 1 2i เปนคาตอบดวย (เพราะสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง)

สมมตอกคาตอบทเหลอเปน c จะได f(x) (x 1 2i)(x 1 2i)(x c) 2(x 2x 5)(x c) เทยบสมประสทธได 5( c) 10 แสดงวา c 2

2f(x) (x 2x 5)(x 2) 3 2x 0x x 10

ดงนน 10 2f(i ) f(i ) f( 1) 1 1 10 8 (มแตสวนจรง) ตอบ 8

(63) เนองจากสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง แสดงวาสงยคของคาตอบทใหมาทง 2 คา จะเปนคาตอบดวย f(x) (x 1 i)(x 1 i)(x 2 i)(x 2 i) 2 2(x 2x 2)(x 4x 5) 4 3 2x 6x 15x 18x 10 ตอบ a b 18 10 8

(64) เนองจากสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง และ 1 3 i เปนรากหนงของ P(x) แสดงวาตองมสงยคคอ 1 3 i เปนรากดวย

สมมตรากทเหลอ (ทเปนจานวนจรง) คอ c จะได P(x) (x c)(x 1 3 i)(x 1 3 i) 2(x c)(x 2x 4)

หาคา c จากทฤษฎบทเศษเหลอ คอ P(2) 5 5 (2 c)(4 4 4)

..ดงนน 3c 4 ตอบ

(65) 2 3 i เปนคาตอบ แสดงวา 2 3 i เปนคาตอบดวย (เพราะสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง) และนอกนนอกคาตอบคอ 1 (เพราะ f(1) 0 )

ดงนน f(x) เขยนไดในรป f(x) (x 2 3 i)(x 2 3 i)(x 1)(x a) 2(x 4x 7)(x 1)(x a) แต f(2) 9 จงหาคา a ไดดงน 9 (4 8 7)(2 1)(2 a) a 1

..สรปวา 2f(x) (x 4x 7)(x 1)(x 1) 2 2(x 4x 7)(x 1) โจทยถามคา f (0) d “สมประสทธของ x” ( 4)( 1) 4 ตอบ

(66) ถา f (x) ม 1 i เปนรากหนงแลว แสดงวาตองม 1 i เปนรากดวย ดงนนจะได

2f(x) k(x 1 i)(x 1 i) k(x 2x 2)

แตโจทยให 2f(x) 3x 2ax b เทยบสมประสทธได k 3, a 3, b 6

..จากทฤษฎบทเศษเหลอ จะได 3 2f(3) 10 (3) 3(3) 6(3) c c 8

ตอบ f(1) 1 3 6 8 4

(67) ขอ ก. 3 2 3 11 2 2 1

z z z z1z z z z

1 3 1 31 i i2 2 2 2

..ดงนน ก. ผด

ขอ ข. 2 1 2 3 11

2 3

z z z z (i 1)(3 4i) 3z 2iz z 2 2i 2

2 1 2 2 32

3 1

z z z z (i 1)(2 2i) 16 12z iz z 3 4i 25 25

2 2 3 3 13

1 2

z z z z (2 2i)(3 4i)z 6 8iz z 1 i

จะได 2 2 21 2 3

407 262z z z i50 25

..ดงนน ข. ผด ตอบ ขอ 4.


(68) เนองจากขนาด 1z , 2z , 3z เปน 1 และบวกกนเปน 0 แสดงวา 1z , 2z , 3z อยบนวงกลมหนงหนวย และหางเปนระยะเทาๆ กน ..คอหางกน 120

ดงนน ถาให 1z 1 จะได 2 3z 1 ( 120 ), z 1 ( 120 )

ขอ ก. 2z 1 ( 120 ) ดงนน 1 2z z 1 ( ( 120 )) 1 ( 120 )

1 2Re(z z ) 1cos( 120 )

1cos 120 2 เสมอ ..ขอ ก. ผด

ขอ ข. คาของ 1 2z z (cos i sin ) (cos( 120 ) i sin( 120 )) cos cos( 120 ) i sin sin( 120 ) cos cos cos 120 sin sin 120

i sin sin cos 120 cos sin 120

3 3 3 3( cos sin ) i( sin cos )2 2 2 2

3 ( 3 cos sin ) i( 3 sin cos )2

ดงนน คาของ 1 2z z

2 2 2 23 3 cos sin 3 sin cos2

(พจนกลางคอ 2 3 sin cos หกลางกนแลว)

2 23 4 cos 4 sin 32 ..ขอ ข. ถก

หมายเหต ขอ ข. อาจจะคานวณแบบเวกเตอร (เหมอนในเฉลยขอ 39) กได ..นนคอ

2 21 2z z 1 1 2(1)(1)cos(120 ) 3

(69) จากโจทยคอ 1 2 3z z z 1 .....(1)

และ 1 2 31 2 3

1 1 1z z z z z z .....(2)

ขอ ก. ซายมอ 1 2 1 21 z z z z

1 23

11 z z z (จาก (1))

ขวามอ 1 2 1 2

1 1 11 z z z z

31 2

1 11 zz z (จาก (1))

ถา ซายมอ = ขวามอ

จะได 1 2 33 1 2

1 1 11 z z 1 zz z z

1 2 31 2 3

1 1 1 z z zz z z ตรงกบ (2)

ดงนน ขอ ก.ถก

ขอ ข. จาก (1) จะได 2 31

1z z z .....(1a)

จาก (2) จะได 2 3 12 3 1

1 1 1z z zz z z

3 22 3 1

2 3 1

z z 1z z zz z z

2 3 1 2 3 11

1z z z (z z ) zz

21 11

2 31 1 1

1 z 1 zzz z 1 z z (1 z )

11 1

1 z 1 1z z

.....(2a)

ถาให 1

1 Az จะไดสมการ (1a) 2 3z z A

และสมการ (2a) 2 3z z A 1 สามารถแกระบบสมการโดยใชวธเดาคา ไดคาตอบเปน 2 3(z , z ) (A, 1) หรอ (1, A) แตโจทยบอกวา 2 2

1

1z 1 z A z เทานน

และ 3z ตองเปน 1 เสมอ..

..จงได 3 3z i z i 2 2 2

ดงนน ขอ ข. ผด หมายเหต แกระบบสมการในขอ ข. ไดดงน..

23 3 3

3

A z A 1 z (A 1)z A 0z

23

A 1 A 2A 1 4Az 2

3(A 1) (A 1)z A2

หรอ 1

2z 1 หรอ A (ตามลาดบ)


จานวนเชงซอน 70. [โควตา มช. / 2540]

จงหาสวนจนตภาพของจานวนเชงซอน 10(1 i)z 1 i

71. [พนฐานวศวะฯ / 2541]

กาหนดให i 1 จงหาคา 2016

(i 1)(i 1)

1. 4 2. 4 3. 4 i 4. 4 i 72. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2539] จงหาคาของ 2 n1 2 i 3 i ... (n 1)i เมอ n เปนพหคณของ 4 และ i 1

1. n1 (1 i)2 2. n1 (1 i)2

3. n1 (i 1)2 4. n 11 (1 i)2

5. n 1(1 i)2

73. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2539] จานวนเชงซอน (x, y) จะมคาเปนเทาไร ถาผลคณระหวางจานวนเชงซอนนกบจานวนเชงซอน ( 17/10, 1/10) เทากบ ( 5, 2) 74. [พนฐานวศวะฯ / 2536] ถา (x y i)(2 i) 7 4 i เมอ x และ y เปนจานวนจรง จงหาวา x 2y มคาเทาใด

1. 31 5 2. 22 3 3. 13 5 4. 14 3

75. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] จงหาคาจานวนจรง x และ y จากสมการ 2x 3iy 4ix 2y 5 10i (x y 2) (y x 3)i

เฉลย 70. 16 71. 2 72. 1 73. 3 – i 74. 3 75. 1, -2



สมการจานวนเชงซอน 213 x 4 y i 2(cos i sin )4 42 โดยท i 1

คาของ x จากสมการนจะเทากบเทาใด

1. 2 23 2 2. 2

3 2 3. 1 22 3 2 4. 1

6

77. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2540] ให 2B { | i cot sin cot 0, 0 2 }4

< <

จงเขยน B แบบแจกแจงสมาชก 78. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2544] กาหนดให a, b, c, d, x และ y เปนจานวนเตมบวกทสอดคลองกบ

2x 1 (a b i) i (a b i) 0

47 (x 3y)i 0 1 47 c i

เมอ i 1

จงหาคา x และ y 79. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2540]

จงหาคาสมบรณของจานวนเชงซอน x จากสมการ

22 i 3 4 i x2 i 1 2 i

80. [โควตา มช. / 2538]

ถา 5i (3i 1)w 3 i

แลว จานวนเชงซอน w คอขอใด

1. 3 4i 2. 3 4i 3. 4 3i 4. 4 3i 81. [โควตา มช. / 2541]

จงหาสวนจนตภาพของจานวนเชงซอน 4 i (3 4i)z 1 i

82. [โควตา มช. / 2537]

สวนจนตภาพของ (2 i) (3 4i)3 4i

มคาเทากบขอใด

1. 115 2. 115 3. 11 i

5 4. 11 i5

83. [พนฐานวศวะฯ / 2535] กาหนดให A 1 2 i , B 2 3 i , C 3 4 i

จงหาคาของ (B C) CA

โดยท B คอสงยคของ B และ C คอคาสมบรณของ C

1. 6 8 i 2. 7 9 i 3. 6 8 i 4. 7 9 i



กาหนดให i 1 i 3 i 5 i 7 i 9 i 11 i 13 i 15A i i i i i i i i

แลว 8 8A (A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 282 3. 282 4. 292 85. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2543] เลขจานวนเชงซอนใชอยางแพรหลายในงานคานวณดานวศวกรรม ขอใดตอไปนเปนคณสมบตทไมถกตองของจานวนเชงซอน (กาหนดให z, 1z และ 2z เปนจานวนเชงซอน)

1. 1 1(z) (z ) 2. 11z z 3. 1 2 1 2z z z z < 4. 1 2 1 2z z z z < 86. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] ให f เปนฟงกชนซงกาหนดโดย a bf(z) เมอ z a b i เปนจานวนเชงซอน ขอใดตอไปนถกตอง 1. f(z z) f(z) f(z) 2. f(z z) f(z) f(z)

3. 1 f(z)f( )z z z

เมอ z 0 4. 2 2[f(z)] f(z )

87. [โควตา มช. / 2539]

ถา z เปนจานวนเชงซอนซงเปนคาตอบของสมการ 4 2i 3 i2 z

แลว จงหาคาสมบรณของ z 88. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] จงหาจานวนเชงซอน z ทงหมดซง 2z z 89. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547]

ให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองสมการ z 2 4i 2z i

ขอใดตอไปนถกตอง 1. z z i(z z) 2. z 1 5 3. 2z เปนจานวนจนตภาพแท 4. 3z(1 i) 8 0 90. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543]

จงหาจานวนเชงซอน z ทงหมดซง 22

1 z i1 z

เฉลย 76. 4 78. 52, 17 80. 2 81. 7 82. 1 83. 2 84. 4 85. 4 86. 3 89. 3



ถา z เปนจานวนเชงซอนซงสอดคลองสมการ 1 1 1z i

และ 1 i 1z i

แลว 2000(z 1) มคาเทากบเทาใด 92. [พนฐานวศวะฯ / 2540] จงหาคาของ jln j กาหนดให j 1 และ jz x j y r e

โดยท 2 2r x y และ 1tan (y/x) 1. /2 2. /2e 3. /2 4. /2e 93. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2546]

จงหาคาของ 351 3( i)2 2 เมอ i 1

94. [โควตา มช. / 2542]

ให 8 (cos 80 i sin 80 )z 2 (cos 56 i sin56 )

สวนจรงของ 5z คอคาในขอใด

1. 16 3 2. 16 3. 16 4. 16 3 95. [โควตา มช. / 2543]

จงหาสวนจรงของ 5(cos 27 i sin27 ) ( 3 i)

1 i

96. [โควตา มช. / 2548]

ถา z cos i sin และ n เปนจานวนเตมบวก แลว n 4n1(z )z มคาเทากบขอใด

1. 416 sin n 2. 416 sin n 3. 416 cos n 4. 416 cos n 97. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2542]

กาหนดให x 2(cos i sin )8 8 และ 3 10

251z (2x x )2

จงเขยน z ในรป a b i เมอ a, b R 98. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2539] รากทสามของ 1 มคาเทาไร 99. [โควตา มช. / 2539] จงหารากท 3 ของจานวนเชงซอน i ซงอยในควอดรนตท 4 100. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] จงหารากท 4 ของ 1296 มาใหหมด


101. [โควตา มช. / 2546] ถา 1z เปนรากทอยในควอดรนตท 1 ของสมการ 3z 1 0

แลว คาของ 1 1181

z zz i

เทากบขอใด

1. 32 2. 1

2 3. 2 4. 0

102. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2548] ในระบบจานวนเชงซอน จงหาคา x ททาให 6x 1 0 103. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] ถา w เปนรากทสามของ 4 2 ( 1 i) และเปนรากทสของ 8(1 3 i) แลว w เทากบขอใดตอไปน

1. 3 32(cos i sin )12 12 2. 5 52(cos i sin )12 12

3. 11 112(cos i sin )12 12 4. 13 132(cos i sin )12 12

104. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] ให 1, , 2 เปนรากทสามของ 1 จงพจารณาขอความตอไปน ก. 2 2(1 )(1 ) 4 ข. 2 4 5(1 )(1 )(1 )(1 ) 9 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ 105. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] สาหรบจานวนเชงซอน x a b i และ y c d i ใดๆ นยาม x y 2ac bd i ถา u เปนจานวนเชงซอนซง 3u 64 i จงหาอนเวอรสของ u ภายใต 106. [โควตา มช. / 2547] ถา a และ b เปนคาตอบของสมการ 2x 4x 7 0 แลว คาของ 4( a b i) เทากบขอใดตอไปน 1. 98 2. 98 3. 196 4. 196 107. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] จงแกสมการ 2x 3ix 4 0

เฉลย 92. 3 94. 2 95. 2 96. 2 101. 1 103. 3 104. 1 106. 4


108. [โควตา มช. / 2537] จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x 1 3 i 0 โดยเขยนคาตอบในรป a b i 109. [โควตา มช. / 2540] ถา 2i เปนคาตอบหนงของสมการ 3 2x 3x 4x 12 0 แลว จงหาผลบวกของคาตอบทเหลอทงหมดของสมการน 110. [โควตา มช. / 2545] ถาจานวนเชงซอน 1z เปนคาตอบหนงของสมการ 3 2z z 3z 5 0 และ 1z (2 2i) 3 แลว 1 1z z มคาเทากบขอใด 1. 4 2. 4 3. 2 4. 2 111. [พนฐานวศวะฯ / 2533] เซตคาตอบของสมการ 4 3 22x 3x 2x 1 0 คอขอใด

1. 1{ 1, , 1 3 i, 1 3 i }2 2. 1 1 3 1 3{ 1, , i, i }2 2 2 2 2

3. 1 1 3 1 3{ 1, , i, i }2 2 2 2 2 4. 1{ 1, , 2 3 i, 2 3 i }2

112. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] จงหาเซตคาตอบของสมการตอไปน 4 3 2x 6x 4x 3x 10 0 113. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2546] จงหารากทเปนไปไดทงหมดของสมการ 4 3 2x 5x 9x x 14 0 114. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2545] รากของสมการ 4 3 2x 5x 8x 82x 120 0 ทเปนไปไดทงหมดไดแกอะไรบาง 115. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] จงแกสมการ 5 4 3 2x x 13x 13x 36x 36 0 โดยใหคาตอบทเปนไปไดทงหมด 116. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545] กาหนดให C แทนเซตของจานวนเชงซอน

z iA { z | 1} C และ 3 2B { z | z 3z 3z 2 0} C แลว A B มจานวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 117. [โควตา มช. / 2544]

จงหาคา 221z z เมอ z เปนรากของสมการ 1z 1z



ให z เปนจานวนเชงซอนซง 1z 3z

ดงนน 771z z มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 3 3. 3 i 4. 3 i 119. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546]

ให z เปนจานวนเชงซอน ซง 221z 1z

คาของ 2z z 1 เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 2 120. [พนฐานวศวะฯ / 2538] ถา 5 3 2f (x) x 9x 8x 72 และ x 1 i 3 เปนรากคาตอบหนงของสมการ f (x) 0 จงหาคาผลรวมของรากคาตอบของสมการ f (x) 0 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 121. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2542] ให a, b เปนจานวนจรง ซง a b i เปนรากท 3 ของ 1 และ a b i 1 และ 4 3 2 2f(z) z mz nz rz p โดยท p เปนจานวนเฉพาะบวก m, n, r เปนจานวนจรง ถา f(a b i) 0 , f(1) 48 และสมการ f(z) 0 มคาตอบทเปนจรงอยางนอย 1 คาตอบ จงหา a b i และคา p ทงหมดทเปนไปได 122. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2549] กาหนดให 1z , 2z , 3z , 4z และ 5z เปนจานวนเชงซอนทตางกนทงหมด โดยทคาสมบรณของแตละจานวนมคาเทากบหนง และ 1 2 3 4 5z z z z z 0

จงหาสวนจรงของ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 13 4 5 1 2

z z z z z z z z z zz z z z z

เฉลย 110. 4 111. 2 116. 2 117. 1 118. 1 119. 4 120. 1 122. -5/2


เฉลยวธคด

(70) จากโจทย 10 5(1 i) (2i)z 1 i 1 i

32 i 32 i(1 i) 16( 1 i)1 i 2

ดงนน สวนจนตภาพเทากบ 16 ตอบ

(71) จากโจทย 2 102 8

[(i 1) ][(i 1) ]

10

28

(2i) (2i) 4( 2i)

ตอบ

(72) ถา n เปนพหคณของ 4 จะแจกแจงไดดงน ..จาก 2 n1 2 i 3 i ... (n 1)i

n/ 4 วงเลบ

(1 2 i 3 4 i) (5 6 i 7 8 i) ... (n 1)

n/ 4 วงเลบ

( 2 2 i) ( 2 2 i) ... (n 1)

n ( 2 2 i) (n 1)4

n (1 i) 12 ตอบ ขอ 1.

หมายเหต ในขอนอาจมองเปนอนกรมผสม คอมอนกรมเลขคณต 1, 2, 3, 4, ... คณกบอนกรมเรขาคณต 2 3 4i, i , i , i , ... เมอนา i คณ แลวตงสองสมการลบกน จะกลายเปนอนกรมเรขาคณต ซงใชสตรในการหาผลบวกได

(73) จาก 17 1(x y i)( i) 5 2 i10 10

จะได 10( 5 2 i)x y i 17 i

2 210( 5 2 i)( 17 i)

17 1

10(87 29 i)290

3 i ตอบ

(74) วธท 1 (แกระบบสมการ) จาก (x y i)(2 i) (2x y) (x 2y)i เทยบสมประสทธได 2x y 7 และ x 2y 4

แกระบบสมการได 18x 5 , 1y 5

18 2 16 1x 2y 35 5 5 5 ตอบ

วธท 2 (ยายขางไปหาร) 7 4 i 7 4 i 2 i(x y i) 2 i 2 i 2 i

14 7 i 8i 4 18 i4 1 5

ดงนน 18x 5 , 1y 5

18 2 16 1x 2y 35 5 5 5 ตอบ

(75) สวนจรงซายเทากบขวา; 2x 2y 5 x y 2 x 3y 7 .....(1)

สวนจนตภาพซายเทากบขวา; 3y 4x 10 (y x 3) 3x 2y 7 .....(2)

แกระบบสมการได x 1 และ y 2 ตอบ

(76) แปลงดานขวามอของสมการไดดงน

21 1 1 1 1 12 i 2 i 2 i2 2 4 22 2

..ดงนน เทยบสมประสทธกบฝงซายมอไดวา 13x 2 และ 4y 2 ตอบ 1x 6


(77) จาก 2i cot sin cot 04

2(cot )(i sin 1) 04

..กรณ 2i sin 14

เปนไปไมได

เนองจาก 2sin 4 เปนจานวนจรง

..ดงนน cot 0 เทานน

นนคอ 3B { , }2 2 ตอบ

(78) จากสมการเมทรกซในโจทย จะได..

(ตาแหนง 11) 3x (a b i) 47 i นนคอ 3 2 2 3x a 3a b i 3ab b i 47 i

3 2x a 3ab .....(1) และ 2 30 3a b b 47 .....(2)

(ตาแหนง 12) 1 c (ตาแหนง 21) 47 47 (ตาแหนง 22) c i (x 3y)i ..แสดงวา x 3y 1 ....(3)

แกระบบสมการไดดงน;

จากสมการท (2) ได 3 2

2 b 47 b 47a 3b 3 3b

โจทยกาหนดวา a และ b เปนจานวนเตมบวก พบวาม b ทใชไดเพยงตวเดยว คอ b 1 และได a 4

..แทน a, b ในสมการ (1) จะได x 64 12 52 แทน x ในสมการ (3) จะได y 17 ตอบ x 52 และ y 17

(79)

2 2 i 3 4 ix 2 i 1 2 i

2 2 2 2(2 i)(2 i) (3 4i)(1 2i)2 1 2 1

(3 4i) (3 4i)(1 2i)5

(3 4i)(2i)

5

..ดงนน 2 (3 4i)(2i) 5 2x 25 5

2x 2 x 2 ตอบ

(80) 5i (3 i 1) 5 ( 3 i 1)w 3 i 3 i

5 ( 3 i 1)(3 i) 3 4i10 ตอบ

(81) จากโจทย 2(3 4i)z 1 i

2(3 4i)(1 i)2 1 7i


(82) จาก (2 i) (3 4i) (2 i) (3 4i)3 4i 3 4i

2(2 i) (3 4i)

25

(2 i) ( 7 24i)25

(10 55i)25

2 11 i5 5


(83) (B C) (2 3 i) (3 4 i) 5 i ,

2 2C 3 4 5

..ดงนน หาคาของ 2 2(5 i)(5) (5 i)(1 2 i)(5)1 2i 1 2

(5 i)(1 2 i) 7 9 i ตอบ

(84)

i 1 i 3 i 5 i 7 i 9 i 11 i 13 i 15A i

8i 8i

8 8i 8 2 45

ดงนน A 8 2 ( 45 ) ..และ 8 8 8 8A (A) (8 2) (45 8) (8 2) ( 45 8)

8 8(8 2) (360 ) (8 2) ( 360 ) 8 8(8 2) (8 2) 7/2 8 292 (2 ) 2 ตอบ


(85) ขอ 1, 2. เปนสมบตทถกตองและควรทราบ ขอ 3. ถกตอง เชนเดยวกบสมบตของจานวนจรง ขอ 4. ผด ..เพราะวา 1 2 1 2z z z z เสมอ

(86) ขอ 1. ซายมอ af(z z) f(2a) 2a 2

ขวามอ a ab bf(z) f(z) a b2 2 ไดคาไมเทากน ..ดงนน ขอ 1. ผด

ขอ 2. ซายมอ 2 2 2 2 2 2f(z z) f(a b ) a b a b

ขวามอ a ab bf(z) f(z) ( )( ) 2 2 aba b 2 ไดคาไมเทากน ..ดงนน ขอ 2. ผด

ขอ 3.

ซายมอ 2 2 2 2 2 2a b i1 a bf( ) f( )z a b a b a b

2 2a ba b

ขวามอ 2 2a bf(z)

z z a b

เทากนพอด ..ดงนน ขอ 3. ถก

ขอ 4. ซายมอ 2 2 2 2a b ab[f(z)] ( ) a b 2 ขวามอ 2 2 2 2 2f(z ) f(a 2abi b ) a b 2 ab

ไดคาไมเทากน ..ดงนน ขอ 4. ผด

(87) จะได 4 2 i 10 10 i2 z 1 i3 i 10

z 2 (1 i) 1 i

ดงนน 2 2z 1 1 2 ตอบ

(88) สมมต z a b i จาก 2z z จะได 2 2a b i (a b ) 2ab i เทยบสวนจรงเทากน และสวนจนตภาพเทากน ไดเงอนไขวา 2 2a a b .....(1) และ b 2ab .....(2)

จากสมการท (2) จะได 0 b(2a 1)

นนคอ b 0 หรอ 1a 2

นาไปแทนในสมการท (1).. ๏ ถา b 0 จะได 2a a 0 a(a 1) นนคอ a 0 หรอ 1

๏ ถา 1a 2 จะได 2 1 1 3b b4 2 2

ตอบ z 0 หรอ 1

หรอ 1 32 2 หรอ 1 3

2 2

(89) ให z a b i

จะไดสมการเปน a bi 2 4i 2a bi i

a bi 2 4i 2a 2bi 2i เทยบสวนจรงเทากน และสวนจนตภาพเทากน ไดเปน a 2 2a a 2 และ b 4 2b 2 b 2 ดงนนคาตอบของสมการคอ z 2 2 i

ขอ 1. ซายมอ z z ( 2 2 i) ( 2 2 i) 4i ขวามอ i(z z) i(( 2 2 i) ( 2 2 i)) 4i ไมเทากน ..ดงนน ขอ 1. ผด

ขอ 2. z 1 3 2i 13

..ดงนน ขอ 2. ผด

ขอ 3. 2 2z ( 2 2 i) 8i ..ดงนน ขอ 3. ถก

ขอ 4. ซายมอ 3 4( 2 2i)(1 i) 8 ( 2)(1 i) 8 2( 2)(2i) 8 ( 2)( 4) 8 16 ไมเทากบ 0 ..ดงนน ขอ 4. ผด

(90) จดรปสมการในโจทยไดดงน

2 21 z i(1 z ) 2 21 z i i z 2 2z i z i 1 2z (1 i) i 1 2 i 1z 1 i

ดงนน 22 2

2 i(i 1)(1 i)z i21 1


..และเนองจาก i 1 90 แสดงวา z 1 (90 /2) 1 45

ตอบ 2 2z i2 2 หรอ 2 2 i2 2

(91) เพอความสะดวกในการแกระบบสมการ

จงให 1a b i z i

จะไดสมการเปน 2 2(a 1) b 1 และ 2 2a (b 1) 1

แกระบบสมการโดย.. 2 2 2 2(a 1) b a (b 1)

2 2 2 2a 2a 1 b a b 2b 1 2(a b) 0 ..นนคอ a b

แทนลงในสมการใดสมการหนง จะได 22b 2b 1 1

2b(b 1) 0 ..แสดงวา b 0 หรอ 1 และจะได a 0 หรอ 1 ตามลาดบ

สรปวา 1 0z i หรอ 1 1 iz i

แต 1 0z i เปนไปไมได

(เพราะเศษเปน 1 ไมมทางหารได 0)

ดงนน 1 1 iz i

เทานน

..จะได 1 1 iz i 1 i 2

1 i 1 iz 1 i 12 2

จงทาให 2 1000

2000 20002000

1 i ((1 i) )(z 1) ( )2 2

1000 1000

2000 1000 1000(2i) i 12 2 2 ตอบ

(92) จาก j 1 1 2 ..ดงนน

j 2j 1e

คาของ jj 22ln j j ln j j ln e j ln e2

ซง 2j 1 และ ln e 1 ตอบ 2

(93) 35 351 3( i) (1 300 )2 2

351 (35 300 ) 1 (35 5 60 ) 351 (175 60 ) 1 (174 60 60 ) 1 (29 360 60 ) 1 60

1 3 i2 2 ตอบ

(94) จากโจทย z 4 (cos 24 i sin24 ) จงได 5z 32(cos 120 i sin 120 ) มสวนจรงเทากบ 32 cos 120 16 ตอบ

(95) 5(cos 27 i sin27 ) ( 3 i)

1 i

(cos 135 i sin 135 )( 3 i)2

( 1/ 2)(1 i)( 3 i)2

1 ( 4 2i)2 2 i

ตอบ สวนจรงเทากบ 2

(96) ถา z cos i sin

จะได 1 1 cos i sinz cos i sin

ดงนน nn1z (cos n i sin n ) (cos n i sin n )z

2i sin n

ตอบ n 4 4 4n1(z ) (2i sin n ) 16 sin nz

(97) จาก x 2 ( )8

จงได 2x 2 2 ( )8 และ 3 3x 2 2 ( )8

..ดงนน 251z (2 2 (cos i sin )8 82

103 32 2 (cos i sin ))8 8

1010

25(2 2) 3 3((cos cos ) i (sin sin ))2 8 8 8 8


10101 ((2 sin sin ) i(2 sin cos ))4 8 4 82

10

1010

( 2) (sin i cos )8 82

1051 3 3(cos i sin )2 8 8

51 30 1 7( ) ( )2 8 32 4

ตอบ 1 1z i32 2 32 2

(98) เนองจาก 1 1 0 ดงนน รากทสามไดแก 3 1 (0 /3) 1 0 1

และ 1 31 120 i2 2

และ 1 31 240 i2 2

ตอบ 1, 1 3 i2 2 , 1 3 i2 2

(99) เนองจาก i 1 270 รากทสามจงไดแก 1 90 , 1 210 , 1 330

คาทอยใน 4Q คอ 3 11 330 i2 2 ตอบ

(100) เนองจาก 41296 6 และ 1296 1296 180

..จงไดคาตอบแรกคอ 6 (180 /4) 6 45 3 2 3 2 i คาตอบทเหลอ

ไดจากการบวกมมไปทละ 360 904

นนคอ 6 135 , 6 225 และ 6 315

ตอบ 3 2 3 2 i , 3 2 3 2 i , 3 2 3 2 i , และ 3 2 3 2 i

(101) สมการคอ 3z 1 ..แสดงวา z เปนรากทสามของ 1 และเนองจาก 1 1 180

รากทสามทอยใน 1Q กคอ 1 31 60 i2 2

โจทยถาม 1 118 61

3 i3 iz z 31 iz i ( 1) i 2

ตอบ ขอ 1.

(102) จาก 6x 1 0 จะได 6x 1 ..แสดงวา x เปนรากท 6 ของ 1

และเนองจาก 1 1 180 จงไดคาตอบแรกคอ 6 1 (180 /6) 1 30

3 1 i2 2

คาตอบทเหลอ ไดจากการบวกมมไปทละ 360 /6 60 นนคอ 1 90 , 1 150 , 1 210 , 1 270 , และ 1 330

ตอบ 3 1 i2 2 , i , 3 1 i2 2 ,

3 1 i2 2 , i , และ 3 1 i2 2

(103) วธท 1 เนองจาก 4 2( 1 i) 4 2 ( 2 135 ) 8 135 ดงนนรากทสามของจานวนนไดแก 2 45 , 2 165 , 2 285 และเนองจาก 8(1 3 i) 8(2 300 ) 16 300 ดงนนรากทสของจานวนนไดแก 2 75 , 2 165 , 2 255 , 2 345

ตอบ 11 11w 2 165 2(cos i sin )12 12


วธท 2 เนองจาก 3w 4 2( 1 i) 8 135 และ 4w 8(1 3 i) 16 300 นาสองสมการมาหารกน

จะได 16w (300 135 ) 2 1658

ตอบ 11 112(cos i sin )12 12

(104) รากทสามของ 1 ไดแก 1 0 , 1 120 , และ 1 240

แสดงวาในทน 1 31 120 i2 2

และ 2 1 31 240 i2 2

ขอ ก. 2 2(1 )(1 ) (1 3 i)(1 3 i) 1 3 4 ..ขอ ก. ถก

ขอ ข. เนองจาก 3 1 ดงนน 2 4 5(1 )(1 )(1 )(1 ) 2 2(1 )(1 )(1 )(1 ) 2 3 2(1 ) ซง 2 1 และ 3 1 จงไดผลลพธเทากบ 2(1 1 1) 9 ..ขอ ข. ถก

(105) เนองจาก 64 i 64 90 ดงนนคา u ซงเปนรากทสามของ 64 i ไดแก.. 4 30 2 3 2 i หรอ 4 150 2 3 2 i หรอ 4 270 4 i

ตอมา พจารณาการดาเนนการ x y 2ac bd i การหาอนเวอรส จะตองทราบเอกลกษณกอน ..สมมต e m n i คอเอกลกษณ จะได x e x 2am bn i a b i

ดงนน 1m 2 และ n 1 ..นนคอ 1e i2

..สมมตอนเวอรสของ a b i คอ p q i จะได (a b i) (p q i) e

12ap bq i i2

ดงนน 1p 4a และ 1q b

สรปวาอนเวอรสของ a b i คอ 1 1 i4a b

ตอบ อนเวอรสของ u คอ 1 1 i28 3

(กรณ u 4 i ไมมอนเวอรส เพราะได 1/a ไมเปนจานวนจรง)

(106) คาตอบของสมการ

คอ 4 16 28x 2 3 i2

ดงนน 22a b 2 3 7

จะได 4 4( a b i) ( 7 7 i) 4 4( 7) (1 i) 2(49)(2i) 196 ตอบ

(107) จาก 2x 3ix 4 0 จะได 2 2x 3ix 4 i 0 ..แยกตวประกอบไดเปน (x 4 i)(x i) 0 ดงนน x 4 i หรอ x i ตอบ

(108) ยายขางสมการไดเปน 2x 1 3 i แสดงวา x คอรากทสองของ 1 3 i ..และเนองจาก 1 3 i 2 120 จงได x 2 60

ตอบ เซตคาตอบคอ 2 6 2 6{ i , i }2 2 2 2


(109) เนองจากสมประสทธทกตวเปนจานวนจรง ดงนน สมการทม 2i เปนคาตอบหนง จะตองม 2i เปนคาตอบดวย

..และเนองจาก 2(x 2i)(x 2i) x 4 นาไปหารออกจาก 3 2x 3x 4x 12 (เพอหาอกคาตอบทเหลอ) จะได 3 2 2x 3x 4x 12 (x 3)(x 4)

ตอบ ผลบวกของคาตอบทไมใช 2i คอ 3 2i

(110) จากสมการ 3 2z z 3z 5 0 แยกตวประกอบไดเปน 2(z 1)(z 2z 5) 0

ดงนน z 1 หรอ 2 4 20z 1 2i2

..ตรวจสอบกบเงอนไข 1z (2 2i) 3

พบวา 1 (2 2i) 5 3

และ ( 1 2i) (2 2i) 3

และ ( 1 2i) (2 2i) 5 3

..แสดงวา 1z 1 2i ตอบ 1 1z z 2

(111) สงเกตจากตวเลอก พบวา 1 กบ 12 เปน

คาตอบอยางแนนอน จงนาไปหารออกไดเปน 2(x 1)(2x 1)(x x 1) 0

..ซง 2x x 1 0 นนไดคาตอบเปน 21 1 4 1 3x i2 2 2

ตอบ ขอ 2.

(112) จากการหารสงเคราะห พบวาหารลงตวดวยคา c 2 และ 5 และสมประสทธทเปนผลหารคอ 1, 1, 1 แสดงวา สมการกลายเปน

2(x 2)(x 5)(x x 1) 0 ..ในสวน 2x x 1 0 ใชสตรหาคาตอบไดเปน

1 1 4 1 3x i2 2 2

ตอบ เซตคาตอบคอ 1 3 1 3{ 2, 5, i, i}2 2 2 2

(113) จากการหารสงเคราะห คา c ทหารลงตวคอ 2 และ 1 และสมประสทธทเปนผลหารคอ 1, 4, 7 แสดงวาสมการ 4 3 2x 5x 9x x 14 0 กคอ 2(x 2)(x 1)(x 4x 7) 0 นนเอง

..ซง 2x 4x 7 0 ใชสตรหาคาตอบไดเปน 24 4 4(1)(7)x 2 3 i2(1)

ตอบ รากทเปนไปไดทงหมดคอ 2, 1 , 2 3 i , 2 3 i

(114) จากการหารสงเคราะห พบวาคา c ทหารไดลงตวไดแก 3 และ 4 และสมประสทธทเปนผลหารคอ 1, -6, 10

แสดงวาสมการ 4 3 2x 5x 8x 82x 120 0 จะกลายเปน 2(x 3)(x 4)(x 6x 10) 0

..ซง 2x 6x 10 0 ใชสตรหาคาตอบไดเปน 6 36 40x 3 i2

ตอบ รากของสมการคอ 3, 4 , 3 i , 3 i

(115) 4 2x (x 1) 13x (x 1) 36(x 1) 0

4 2(x 1)(x 13x 36) 0 2 2(x 1)(x 9)(x 4) 0

ดงนน x 1 หรอ 2x 9 หรอ 2x 4

ตอบ x 1 หรอ 3 i หรอ 3 i หรอ 2 i หรอ 2 i


(116) เซต B; จาก 3 2z 3z 3z 2 0 หารสงเคราะหไดเปน 2(z 2)(z z 1) 0 ดงนน z 2

หรอ 1 1 4 1 3z i2 2 2

1 3B { 2 , i}2 2

สมาชกของ A B กคอสมาชกของ B ซงสอดคลองกบ z i 1 ดวย ..พจารณา กรณ z 2 จะไดวา 2 i 5 ..มากกวา 1

กรณ 1 3z i2 2 มขนาดเปน 1

แตถาถกลบดวย i กจะทาใหขนาดไมถง 1

กรณ 1 3z i2 2 มขนาดเปน 1

และถาถกลบดวย i ขนาดกจะมากกวา 1

ดงนน 1 3A B { i}2 2

มสมาชกเพยง 1 ตว ตอบ หมายเหต อาจแกสมการของเซต B ไดอกวธ ..จาก 3 2z 3z 3z 1 1 3(z 1) 1 และเนองจาก 1 1 180

..ดงนน 1 3z 1 1 60 i2 2

1 3z i2 2

หรอ z 1 1 180 1 z 2

หรอ 1 3z 1 1 300 i2 2

1 3z i2 2

(117) วธท 1 ถา z cos i sin

จะได 1 1 cos i sinz cos i sin

ดงนน 1 1z 2 cos 1 cosz 2

และจะได 221z 2 cos2z

22(2 cos 1) 1 ตอบ

วธท 2

จาก 1z 1z

ยกกาลงสองไดเปน 221z 2 1z

ดงนน 221z 1 2 1z

ตอบ 221z 1z

(118) จาก 2 221 1z (z ) 2 3 2 1zz

จะได 3 23 21 1 1 1z (z )(z ) (z )z zz z

(1)( 3) ( 3) 0

..ดงนน 7 4 37 4 31 1 1 1z (z )(z ) (z )z z zz

10 (z ) 3z ตอบ

(119) จาก 221z 1z ..จะได 4 2z z 1 0

2 1 1 4 1 3z i2 2 2

ดงนน 2 1 3z i 12 2

..จงไดวา z 1 ดวย

และได 2 1 3 i 1z 1 2 2

ตอบ 2z 1 1 2z 1

(120) 1 i 3 เปนคาตอบ แสดงวา สงยคคอ 1 i 3 ตองเปนคาตอบดวย

จาก 2(x 1 i 3)(x 1 i 3) x 2x 4 นาไปหารยาวออกจาก f(x) ไดผลเปน

2 3 2(x 2x 4)(x 2x 9x 18) 0 แยกตวประกอบ

2 2(x 2x 4)(x 2)(x 9) 0 ดงนนคาตอบคอ 1 3 i, 1 3 i, 2, 3i, 3i และผลบวกคาตอบ เทากบ 0 ตอบ


(121) ถา z a b i เปนรากท 3 ของ 1 กแสดงวา 3z 1 นนคอ 3z 1 0 2(z 1)(z z 1) 0 แตโจทยบอกวา z 1 ..จงไดวา z เปนรากของสมการ 2z z 1 0

ตอบ 1 1 4 1 3z a b i i2 2 2

สมการ 4 3 2 2f(z) z mz nz rz p 0 มสมประสทธเปนจานวนจรงลวน และ f(a b i) 0 ..แสดงวา f(a b i) 0 ดวย

นนคอ 4 3 2 2z mz nz rz p ม 2z z 1 เปน ตวประกอบ ..หรอเขยนไดในรป

4 3 2 2 2 2z mz nz rz p (z z 1)(dz ez f)

จากการพจารณาสมประสทธ จะได d 1 และ 2f p อยางแนนอน

4 3 2 2 2 2 2z mz nz rz p (z z 1)(z ez p ) แต f(1) 48 จงไดวา 2(3)(1 e p ) 48

2e p 15 .....(1)

โจทยกาหนดวา 2 2z ez p 0 ตองมคาตอบ เปนจานวนจรง

ถาคาตอบคอ 2 2e e 4pz 2

เปนจานวนจรง

กแสดงวา 2 2e 4p 0 > แทนคาจากสมการท (1) ลงไป ไดเปน 2e 4e 60 0 >

(e 10)(e 6) 0 > e 6 > หรอ e 10<

นนคอ 2p 9< หรอ 2p 25>

ตอบ คา p ทเปนไปไดคอจานวนเฉพาะบวกทงหมด

(122) เนองจาก ขนาด 1z , 2z , 3z , 4z และ 5z เปน 1 และรวมกนเปน 0 ..แสดงวา

1z , 2z , 3z , 4z และ 5z อยบนวงกลมหนงหนวย และหางเปนระยะเทาๆ กน คอหางกน 72

..ดงนน ถาให 1z 1 จะได 2 3z 1 ( 72 ), z 1 ( 144 )

และ 2 21 2z z ( 1 1 2(1)(1)cos 72 ) ( 36 )

(หาขนาดไดจากกฎของ cos, และหามมไดจากททราบวา ผลบวกจะตองชไปในทศกงกลางพอด)

..นนคอ 1 2z z ( 2 2 cos 72 ) ( 36 )

1 23

( 2 2 cos 72 ) ( 36 )z zz 1 ( 144 )

( 2 2 cos 72 ) ( 108 ) ซงพจนอนๆ อก 4 พจนกจะไดคาเหมอนกนนดวย เพราะผลตางมมระหวางตวเศษและสวนเปน -108˚ เทากน

..ดงนน

1 2 2 3 3 4 4 5 5 13 4 5 1 2

z z z z z z z z z zz z z z z

5 ( 2 2 cos 72 ) ( 108 ) (นา 5 คณไดเลย เพราะเปนการบวกเวกเตอรในทศทางเดยวกนทงหมด)

..มสวนจรงเทากบ 5 ( 2 2 cos 72 )cos( 108 )

1 1cos 725 (2 )cos( 108 )2

5 2 cos 36 cos( 108 ) 52 ตอบ


ลาดบและอนกรม

พนฐาน

1. ลาดบ คอฟงกชนใดๆ ซงโดเมนเปนเซตจานวนนบ 1, 2, 3, 4, ... และนยมนาคาของฟงกชนมาเขยนเรยงกนโดยคนดวยจลภาค (ลกนา) ในรป 1 2 3 4a , a , a , a , ... จงมลกษณะของการเปน “ลาดบ”

• เรยก 1a วา พจนท 1 ของลาดบ, เรยก 2a วาพจนท 2 ของลาดบ, ฯลฯ • พจนท n ใดๆ ของลาดบ (คอ na ) เรยกวาพจนทวไป และนยมเขยนแสดงรปแบบของลาดบดวย na น

ตวอยาง ฟงกชน 2f (x) x 1 เมอนามาแปลงเปนลาดบ จะเขยนไดในรป 2na n 1

(เปลยนจากตวแปรตน x เปน n เพอใหทราบวาเปนจานวนนบเทานน, และเปลยนสญลกษณจากฟงกชน f (x) เปนลาดบ na )

หรอเขยนแจกแจงลาดบไดเปน 0, 3, 8, 15, 24, 35, ... (แทนคา n ดวย 1, 2, 3, 4, ... ตามลาดบ) ** ความแตกตางระหวางฟงกชนกบลาดบคอ ฟงกชนจะนยามทคา x เปนชวงตอเนอง (กราฟเปนเสน) แตลาดบจะนยามทคา n เปนจานวนนบเทานน (กราฟเปนจดๆๆ)

ตวอยาง จากตวอยางทแลว คาของ 1f (1) a , คาของ 2f (2) a , คาของ 3f (3) a , ฯลฯ.. (เทากนเสมอทกคาของโดเมนทเปนจานวนนบ) แตคาของ f (1.5) ยงหาได ในขณะทคาของ 1.5a นนไมนยาม กราฟของฟงกชน กราฟของลาดบ

x

f(x)

1 2 3 4 -1-2-3-4

2 46 8

-2 -4

n

an

1 2 3 4

2 468

-2 -4


ตวอยาง ลาดบทมรปทวไปเปน na 13 6 n กคอลาดบเดยวกบ 7, 1, 5, 11, 17, ... (สามารถเขยนลาดบไดสองลกษณะ คอแบบเปนสมการ และแบบแจกแจง, แตถาเปนฟงกชนจะแจกแจงไมได)

ซงพจนท 20 ของลาดบ na 13 6 n กคอ 20a 13 6(20) 107

2. ลาดบทมจานวนพจนทแนนอน เชน 8 พจน, 15 พจน (หรอ n พจนกได) จะเรยกวา “ลาดบจากด” สวนลาดบทมจานวนพจนมากจนนบไมได จะเรยกวา “ลาดบอนนต”

ตวอยาง ลาดบ 0, 3, 8, 15, 24 เปนลาดบจากด (ม 5 พจน) ลาดบ 0, 3, 8, 15, 24, ..., 99 เปนลาดบจากด (ม 10 พจน) ลาดบ 20, 3, 8, 15, 24, ..., n 1 เปนลาดบจากด (ม n พจน) ลาดบ 20, 3, 8, 15, 24, ..., n 1, ... เปนลาดบอนนต ลาดบ 0, 3, 8, 15, 24, ... เปนลาดบอนนต 3. ลาดบทเราพบบอย มสองประเภท คอลาดบเลขคณต และลาดบเรขาคณต • ลาดบเลขคณต คอลาดบท “ผลตางของพจนตดกนเปนคาคงตว” เรยกคานวา ผลตางรวม (d) • ลาดบเรขาคณต คอลาดบท “ผลหารของพจนตดกนเปนคาคงตว” เรยกคานวา อตราสวนรวม (r)

ตวอยาง ถามวาลาดบตอไปนเปนลาดบเลขคณตหรอเรขาคณต และใหบอกคา d หรอ r ดวย

2,6, 10, 14, ... เปนลาดบเลขคณต d 4 14, 10,6, 2, ... เปนลาดบเลขคณต d 4 2,6, 18,54, ... เปนลาดบเรขาคณต r 3 54, 18,6, 2, ... เปนลาดบเรขาคณต r 1/3

5, 3, 1, 1, ... เปนลาดบเลขคณต d 2 2.5, 1, 0.5, 2, ... เปนลาดบเลขคณต d 1.5

0.25, 0.5, 1, 2, ... เปนลาดบเรขาคณต r 2 0.25, 0.5, 1, 2, ... เปนลาดบเรขาคณต r 2 3, 6, 12, 24, ... เปนลาดบเรขาคณต r 2

1 5 13, , 3, , ...3 3 3 เปนลาดบเลขคณต 4d 3

89,6, 4, , ...3 เปนลาดบเรขาคณต 2r 3

2 1 1 1, , , , ...3 3 6 12 เปนลาดบเรขาคณต 1r 2

** คา d คดจากพจนหลงลบดวยพจนทอยกอนหนา และคา r คดจากพจนหลงหารดวยพจนทอยกอนหนา

คณต มงคลพทกษสข ลาดบและอนกรม 125

4. ลาดบเลขคณต จะมสมการเปนฟงกชนเสนตรง มความชนเทากบ d สวนลาดบเรขาคณต จะมสมการเปนฟงกชนเอกซโพเนนเชยล มฐานเทากบ r

ตวอยาง ถามวาลาดบตอไปนเปนลาดบเลขคณตหรอเรขาคณต และใหบอกคา d หรอ r ดวย

na 8n 5 เปนลาดบเลขคณต d 8 na 4n เปนลาดบเลขคณต d 4

na 8 3n เปนลาดบเลขคณต d 3 na 8 3n เปนลาดบเลขคณต d 3

na 2 n เปนลาดบเลขคณต d 1

n4n 2a 3

เปนลาดบเลขคณต 4d 3

n

na 5 เปนลาดบเรขาคณต r 5 n 1

na 8 5 เปนลาดบเรขาคณต r 5 n 2

na 8 ( 5) เปนลาดบเรขาคณต r 5 n

na 8 5 เปนลาดบเรขาคณต 1 1r 5 5

n n5a 2 เปนลาดบเรขาคณต 1r 2

nn n 4

5 2a 3

เปนลาดบเรขาคณต 2r 3

5. พจนทวไปของลาดบเลขคณต คอ n 1a a (n 1)d

ตวอยาง ใหหาพจนทวไปของลาดบเลขคณต 2,5, 8, 11, 14, ...

คดจากสมการ n 1a a (n 1)d จะได na (2) (n 1)(3) 3n 1

ตวอยาง ใหหาพจนท 6 และพจนท 23 ของลาดบเลขคณต 2,5, 8, 11, 14, ...

ในทน d 3 ดงนนพจนท 6 เทากบ 14 3 17 และพจนท 23 คดจากสมการ 23 1a a 22 d จะได 23a (2) 22(3) 68

หรอหาจากพจนทวไป (ซงคดไวในตวอยางทแลว) กได โดยแทนคา 23a 3(23) 1 68


ตวอยาง ลาดบเลขคณต 2,5, 8, 11, 14, ... มพจนทมคาเทากบ 68 หรอไม ถามใหตอบดวยวาเปนพจนทเทาใด

หาพจนทวไปได na (2) (n 1)(3) 3n 1 ถาพจนนนมคา 68 จะได 3n 1 68 n 23 แสดงวาคา 68 อยในลาดบน และเปนพจนท 23 (แตถาคานวณแลวได n ไมใชจานวนนบ กแสดงวาคานนไมไดอยในลาดบ) ตวอยาง ใหหาพจนท 20 ของลาดบเลขคณตซงมพจนท 11 เทากบ 22 และพจนท 18 เทากบ -6

“พจนท 11 เทากบ 22” จะได 1a 10 d 22 “พจนท 18 เทากบ -6” จะได 1a 17 d 6 แกระบบสมการ (โดยนาสมการมาลบกน) ได d 4 และ 1a 62

ดงนน พจนท 20 มวธคดหลายแบบ เชน 20 18a a d d 6 4 4 14 หรอ 20 1a a 19 d 62 19( 4) 14

หรอหาพจนทวไป.. na 62 (n 1)( 4) 66 4 n จากนนจงแทนคา 20a 66 4(20) 14 กได

6. พจนทวไปของลาดบเรขาคณต คอ (n 1)

n 1a a r

ตวอยาง ใหหาพจนทวไปของลาดบเรขาคณต 5, 10, 20, 40, ...

คดจากสมการ (n 1)n 1a a r

จะได (n 1) nn

5a (5) (2) 22

ตวอยาง ใหหาพจนท 6 และพจนท 11 ของลาดบเรขาคณต 5, 10, 20, 40, ...

ในทน r 2 ดงนนพจนท 6 เทากบ 40 2 80 และพจนท 11 คดจากสมการ 10

11 1a a r จะได 10

11a (5) (2) 5120 (หรอหาจากพจนทวไป ซงคดไวในตวอยางทแลวกได)


ตวอยาง ใหหาพจนท 20 ของลาดบเรขาคณตซงมพจนท 11 เทากบ 1/2 และพจนท 18 เทากบ -64

“พจนท 11 เทากบ 1/2” จะได 101a r 1/2

“พจนท 18 เทากบ -64” จะได 171a r 64

แกระบบสมการ (โดยนาสมการมาหารกน) ได r 2 และ 111a 1 / 2

ดงนน พจนท 20 มวธคดหลายแบบ เชน 20 18a a r r 64 ( 2) ( 2) 256

หรอ 19 19 820 1 11

1a a r ( 2) 2 2562

(หรอหาพจนทวไปกอน จากนนจงแทนคา n 20 กได) 7. อนกรม คอผลบวกของแตละพจนในลาดบ (อนกรมเลขคณต คอผลบวกของพจนในลาดบเลขคณต อนกรมเรขาคณต คอผลบวกของพจนในลาดบเรขาคณต) • สญลกษณ nS ใชแทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม ..นนคอ n 1 2 3 nS a a a ... a

ตวอยาง ใหหาคา 4S ของลาดบซงม 2na n 1

เนองจาก 4 1 2 3 4S a a a a (หาคา 1a ถง 4a ไดจากพจนทวไปทโจทยกาหนด) จงได 4S 0 3 8 15 26

ตวอยาง ใหหาคา 7a ของลาดบซงม 3nS n 2n 1

เนองจาก 7 1 2 3 7S a a a ... a และ 6 1 2 3 6S a a a ... a จงไดวา 7 7 6a S S

แทนคาจากทโจทยกาหนด จะได 3 37a [(7) 2(7) 1] [(6) 2(6) 1]

330 205 125

8. สตรอนกรมเลขคณต n 1 n

nS (a a )2 หรอ n 1nS (2a (n 1)d)2

และสตรอนกรมเรขาคณต n

1n

a (r 1)S r 1

หรอ n

1n

a (1 r )S 1 r


ตวอยาง ใหหาคาของอนกรมเลขคณตตอไปน

• 1 2 3 ... 22

ม 22 พจน ดงนน 22 1 2222S (a a )2

นนคอ 2222S (1 22) 2532

• 20 17 14 ... 16 หาจานวนพจนจากรปทวไปของลาดบ คอ 20 (n 1)( 3) 16 ดงนน n 13

จะได 13 1 1313 13S (a a ) (20 16) 262 2

• 7 3 1 5 9 ... พจนท 18 หาพจนสดทายจากรปทวไปของลาดบ คอ 18a 7 17(4) 61

จะได 18 1 1818 18S (a a ) ( 7 61) 4862 2

ตวอยาง ถา 1 4 7 10 ... พจนท n 425 แสดงวาอนกรมเลขคณตนมกพจน

แทนคาในสตร n 1 nnS (a a )2

จะได n425 (1 [1 (n 1)(3)])2

แกสมการ n425 (3n 1) 850 n(3n 1)2

แจกแจง แลวแยกตวประกอบไดดงน 20 3n n 850 0 (3n 50)(n 17) แตเนองจาก n ตองเปนจานวนนบเทานน แสดงวาจานวนพจน (n) เทากบ 17 ตวอยาง ใหหาคาของอนกรมเรขาคณตตอไปน

• 3 6 12 24 ... พจนท 10

จะได 1010

110

3(( 2) 1)a (r 1)S 1023r 1 ( 2) 1

• 1 13 1 ...3 81

หาจานวนพจนจากรปทวไปของลาดบ

คอ n 11 13 ( )3 81 ดงนน n 6

จะได 66

16

3(1 (1/3) )a (1 r )S 1 r 1 (1/3)

63 1 364( )(1 )2/3 813


เพมเตม

1. ในลาดบอนนตลาดบหนงนน ถา n ยงมคามากขนจนเขาใกล แลว (เขยนเปนสญลกษณ n ) คาของ na อาจจะยงเขาใกลจานวนจรงคาหนง (เชน na L ) จะเรยกจานวนจรง (L) นนวาเปน “ลมตของลาดบ”

• ประโยค “ nnlim a L

” หมายความวา “ถา n เขาใกล แลว na จะเขาใกล L”

ตวอยาง ลาดบ nn12a หรอ 1 1 1 1

42 8 16, , , , ... พบวา เมอ n มากขนจนเขาใกล แลว คาของ na จะเขาใกล 0 ..จงกลาววา “ลมตของลาดบนเทากบ 0” และเขยนเปนสญลกษณ nn

lim a 0

ตวอยาง ลาดบ n

2n 1n 2b หรอ 5 9 13 2001 20037 11

4 5 76 8 1002 10031, , , , , , ..., , , ... พบวา เมอ n มากขนจนเขาใกล แลว คาของ nb จะเขาใกล 2 ..จงกลาววา “ลมตของลาดบนเทากบ 2” และเขยนเปนสญลกษณ nn

lim b 2

2. ลาดบทหาคาลมตได เรยกวา “ลาดบลเขา” (convergent) • ลาดบทไมมลมต (คาของ na ไมไดเขาใกลจานวนใดจานวนหนงเปนพเศษ) หรอลาดบทลมตหาคาไมได (คาของ na พงออกส ) จะเรยกวา “ลาดบลออก” (divergent)

ตวอยาง ลาดบ nn12a และ n

2n 1n 2b

เปนลาดบลเขา เพราะมลมตเปน 0 และ 2 ตามลาดบ และสามารถกลาวไดวา ลาดบนลเขาส 0, หรอลเขาส 2

เมอเขยนกราฟจะเหนการลเขาไดชดเจนยงขน

n

an

1 2 3 4

0.5

5 60 n

bn

1 2 3 4

2

5 60

1


ตวอยาง ลาดบ na n หรอ 1, 2, 3, 4, ... พบวาถา n แลว na ดวย แสดงวา nn

lim a

หาคาไมได

สวนลาดบ nb cos n หรอ cos , cos 2 , cos 3 , ... พบวามคาเปน 1, 1, 1, 1, ... สลบกนไปตลอด ไมไดเขาใกลจานวนใดเปนพเศษเลย แสดงวา nn

lim b

ไมมคา หรอ ลาดบนไมมลมต

ทงลาดบ na และ nb เปนลาดบลออก เพราะไมไดมลมตเปนจานวนจรง

3. การหาคาลมต สามารถใชสมบตการกระจาย แจกแจงไดทกรปแบบ ทงการบวก ลบ คณ หาร ยกกาลง หรอถอดราก (หลกการนใชไดเมอ ลมตกอนและหลงการแจกแจงหาคาไดทงหมด เทานน)

ตวอยาง ถาลาดบ nn

31 2n 14n2 n 2a

จะไดวา nnn n n n

31 2n 14n2 n 2lim a lim lim lim

0 (2) (0) 0

4. ลมตของลาดบเลขคณตและเรขาคณต • ลาดบเลขคณต .. ลมตหาคาไมไดเสมอ (นอกจากกรณท d 0 )

ตวอยาง ลาดบเหลานเปนลาดบเลขคณต na 8n 5 , na 4n , na 8 3n , na 8 3n ,

na 2 n , n4n 23a

จะพบวาเมอ n มคาเขาใกล แลว ลาดบจะมคาเขาใกล หรอ ดวย ดงนนลาดบเหลาน “ลมตหาคาไมได” และเปนลาดบลออก ** นอกจากลาดบเลขคณต ซงลมตจะหาคาไมไดเสมอแลว ลาดบทมรปทวไปเปนพหนามดกรมากกวา 1 ลมตกจะหาคาไมไดเชนกน (เชน 2

na 5n 7n 1 เปนตน)

n

an

1 2 3 4

8 6 4 2

5 60 n

bn

0

1

1 2 3 4 5 6

-1


• ลาดบเรขาคณต .. nnlim (r )

เมอ r เปนคาคงท จะมได 4 กรณ คอ

(1) ไมมลมต ..เมอ r 1< r 1 r 1 (2) เปน 0 ..เมอ 1 r 1 1 r 0 0 r 1 r 0 (3) เปน 1 ..เมอ r 1 (4) หาคาไมได ..เมอ r 1 r 1 r 1 ตวอยาง ใหหาลมตของลาดบตอไปน

• nna 3

ลาดบนมคาเปน 3, 9, 27, 81, 243, ... จะพบวาเมอ n มคาเขาใกล แลว ลาดบจะมคาเขาใกล ดวย ดงนนลาดบน “ลมตหาคาไมได”

• nna ( 2)

ลาดบนมคาเปน 2, 4, 8, 16, 32, ... จะพบวาลาดบมลกษณะกวดแกวง กวางขนเรอยๆ ไมไดลเขาหาคาใดเปนพเศษ ดงนนลาดบน “ไมมลมต”

n

an

n

an

n

an

n

an

n

an

n

an

n

an


• nna ( 1)

ลาดบนมคาเปน 1, 1, 1, 1, 1, ... จะพบวาลาดบมลกษณะกวดแกวง สลบกนอยระหวาง -1 กบ 1 และไมไดลเขาหาคาใดเปนพเศษ ดงนนลาดบน “ไมมลมต”

• nna 1

ลาดบนมคาเปน 1, 1, 1, 1, 1, ... จะพบวาลาดบมคาเปน 1 เสมอ (ไมวา n จะมคามากเพยงใด) ดงนนลมตของลาดบน เทากบ 1

• nna (0.9)

ลาดบนมคาเปน 0.9000, 0.8100, 0.7290, 0.6561, 0.59049, ... จะพบวาเมอ n ยงมคาเขาใกล คาของลาดบจะยงเขาใกล 0 ดงนนลมตของลาดบน เทากบ 0

• nn

12a ( )

ลาดบนมคาเปน 1 1 1 1 142 8 16 32, , , , , ...

จะพบวาเมอ n ยงมคาเขาใกล คาของลาดบจะยงเขาใกล 0 ดงนนลมตของลาดบน เทากบ 0

• nn

12a ( )

ลาดบนมคาเปน 1 1 1 1 142 8 16 32, , , , , ...

ถงแมวาลาดบนจะมลกษณะกวดแกวง ..แตพบวา เมอ n ยงมคาเขาใกล การแกวงจะยงแคบลง และคาของลาดบจะยงเขาใกล 0 ดงนนลมตของลาดบน เทากบ 0 ตวอยาง ลาดบเรขาคณตตอไปน มลมตเปน 0

nna 8 5 , n n

5a 2 , n

n n 45 ( 2)a 3

เพราะคา r (อตราสวนรวม) มคาอยระหวาง -1 กบ 1 ..หรอแสดงวธคานวณไดดงน

nnn n n1lim (8 5 ) lim (8) lim ( ) (8)(0) 05

n nn n n5 1lim ( ) lim (5) lim ( ) (5)(0) 02 2

n nn 4n n n

5 5281 3 81

5 ( 2)lim lim lim (0) 03


ตวอยาง ลาดบเรขาคณตตอไปน เปนลาดบลออก n 1

na 8 5 , n 2na 8 ( 5)

เพราะคา r (อตราสวนรวม) มากกวา 1 หรอนอยกวา -1 หรอแสดงวธคานวณไดดงน

n 1 nn n n

8 85 5lim (8 5 ) lim ( ) lim (5 ) ( )( )

หาคาไมได

n 2 n

n n nlim (8 ( 5) ) lim (200) lim ( 5)

n

n200 lim ( 5)

ไมมลมต (เพราะกวดแกวงแบบกวางออก) 5. ลมตของลาดบ “ตรรกยะ” (พหนามหารกน) • รปแบบ

nP(n)lim Q(n)

เมอ P และ Q เปนพหนาม จะมได 3 กรณ คอ

(1) เปน 0 ..เมอดกรของ P นอยกวาของ Q (2) มคาเปนสมประสทธตวแรกหารกน ..เมอดกรของ P เทากบของ Q (3) หาคาไมได ..เมอดกรของ P มากกวาของ Q ตวอยาง ใหหาลมตของลาดบตอไปน

• 3

n 2 45n 2n 1a 7n 8n

จะได 3

n 2 4n n5n 2n 1lim a lim 7n 8n

นาดกรสงสดคอ 4n หารทงเศษและสวน จะได..

43

2n

5 2 1n nn7n

0 0 0lim 08 0 8

(หรอสรปวาเปน 0 เพราะดกรของเศษนอยกวาของสวน)

• 3 2

n 32n n 3a 5n n

จะได 3 2

n 3n n2n n 3lim a lim 5n n


3

2n

31n n1n

2 2 0 0 2lim 5 5 0 5

(หรอสรปวาเปน 2/5 เพราะดกรของเศษเทากบของสวน และสมประสทธนาของเศษคอ 2 สมประสทธนาของสวนคอ 5)


• 5

n 51 2n 3na (3n 1)

จะได 5

n 5n n1 2n 3nlim a lim (3n 1)


5 45 5n

1 2n n

1n

3 3 1lim (3 ) (3) 81

(หรอสรปวาเปน -1/81 เพราะดกรของเศษเทากบของสวน และสมประสทธนาของเศษคอ -3 สมประสทธนาของสวนคอ 35) 6. ตวอยางเพมเตม • การหาลมตของลาดบทคลายๆ ตรรกยะ.. จะใชหลกการเดยวกนคอ ถาดกรของเศษไมเทากบของสวน จะตอบไดทนท (เปน 0 หรอหาคาไมได แลวแตกรณ) แตถาดกรเทากน ใหนาดกรนนหารทงเศษและสวน เพอจดรปแลวคานวณตอ

ตวอยาง ใหหาลมตของลาดบ n3n 3a 2n 4

นา n หารทงเศษและสวน จะได

nn n n

3n4n

33n 3lim a lim lim2n 4 2

3 0 32 0 2

ตวอยาง ใหหาลมตของลาดบ 2

n3n 2n 4 1a 5n 2n 1

นา n (ซงกคอ 2n ดวย) หารทงเศษและสวน จะได 2

nn n3n 2n 4 1lim a lim 5n 2n 1

n

2

2

2 4 1n nn2 1n n

3 3 0 3lim 55 05

ตวอยาง ใหหาลมตของลาดบ n n 1

n n2 5a 5 9

นา n5 หารทงเศษและสวน จะได n n 1

n nn n2 5lim a lim 5 9

n

n n

2595

( ) 5 0 5lim 51 01


7. อนกรมใดๆ สามารถเขยนในรปสญลกษณแทนการบวก คอ (ซกมา) ได และมสมบตของซกมาอย 3 ขอ ดงน..

(1) ผลบวกของคาคงท เทากบการคณดวยจานวนครง n

i 1k n k

(2) สมประสทธดงออกมาได n n

i ii 1 i 1

k a k a

(3) แจกแจงไดสาหรบการบวก และการลบ n n n

i i i ii 1 i 1 i 1

(a b) a b

ตวอยาง ลาดบ n

1na หรอ 1 1 142 31, , , , ...

จะเขยนเปนอนกรมไดวา 1 1 142 31 ...

และมความหมายเดยวกนกบสญลกษณ i 1

1i

ตวอยาง ลาดบ na 3n 2 เมอเขยนเปนอนกรม จะได 1 4 7 10 ... หรอเขยนดวยสญลกษณไดวา

i 1(3 i 2)

ตวอยาง ใหเขยนผลบวกตอไปนในรปซกมา • 1 2 2 3 3 4 4 5 ... 50 51

จะไดเทากบ 50

i 1((i)(i 1))

• 1 3 7 15 ... พจนท n รปทวไปของลาดบ 1,3,7,15,… คอ n2 1

ดงนนคาตอบขอนคอ n ii 1

(2 1)

• 1 4 9 16 ... 400 รปทวไปของลาดบ 1,4,9,16,… คอ 2n

ดงนนคาตอบขอนคอ 20 2i 1

(i )

8. สตรคานวณผลบวกของพหนาม กาลง 1 ถง 3 •

n

i 1i n(n 1)

2

(ถาพจนทวไปเปนกาลง 1 จะใชสตรอนกรมเลขคณตกได)

• n 2i 1

i n(n 1)(2n 1)6

• 2n 3

i 1i n(n 1)

2


ตวอยาง ใหหาคาผลบวกตอไปน

• 1 2 3 4 ... 75 ผลบวกนมคาเทากบ

75

i 1(75)(76)i 28502

(หรอใชสตรอนกรมเลขคณตกได)

• 1 4 9 16 ... 400 ผลบวกนเขยนไดในรป 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 20

จงมคาเทากบ 20 2i 1

(20)(21)(41)i 28706

• 3 3 3 3 31 2 3 4 ... 27

ผลบวกนมคาเทากบ 227 3i 1

(27)(28)i 1428842

ตวอยาง ใหหาคาผลบวกตอไปน

• ผลบวก 12 พจนแรกของอนกรม ซงมพจนทวไปเปน 2na n 2n 4

จะได 12 12 12 122 2

12i 1 i 1 i 1 i 1

S (i 2i 4) i 2i 4

12 12 122i 1 i 1 i 1

i 2 i 4

(12)(13)(25) (12)(13)6 22 (12) (4)

758 • 1 2 2 3 3 4 4 5 ... 50 51

จะได 50 50 2

50i 1 i 1

S ((i)(i 1)) (i i)

50 502i 1 i 1

(50)(51)(101) (50)(51)6 2i i

44200 • 1 3 1 2 4 3 3 5 5 ... 20 22 39 จะได

20 20 3 2i 1 i 1

((i)(i 2)(2i 1)) (2i 3i 2i)

2(20)(21) (20)(21)(41) (20)(21)2 6 22 3 2

96390 9. คาของอนกรมอนนต ใชสญลกษณเปน S

ซงมทมาจาก i nni 1S a lim S

นนเอง

• อนกรมทหาคา S ได เรยกวาอนกรมลเขา (convergent) และอนกรมทหาคา S ไมได เรยกวาอนกรมลออก (divergent)


** ลาดบลเขาหรอออก พจารณาทคา nnlim a

(ลาดบลเขาคอหา “คาของพจนอนนต” ได) สวนอนกรมลเขาหรอออก พจารณาทคา nn

lim S

(S )

(อนกรมลเขาคอหา “ผลบวกไปจนถงพจนอนนต” ได) • อนกรมซงลเขา (หาคา S ได) จะมลกษณะเบองตนดงน (ถาไมตรงตามเงอนไขขอใดขอหนง อนกรมจะลออกทนท)

(1) nnlim a 0

(ลาดบลเขาส 0)

และ (2) nnlim r 1

(r คออตราสวนของพจนตดกน)

ตวอยาง อนกรมตอไปนเปนอนกรมลออก (ไมสามารถหาผลบวกถงพจนทอนนตได) เพราะลมตของพจนทวไปไมเปน 0 ( nn

lim a 0

)

• 1 2 3 4 5 ... n ... • n1 2 4 8 16 ... 2 ... • 1 4 7 10 ... (3n 2) ... • 1 2 2 3 3 4 4 5 ... n(n 1) ... • 3 5 62 4 n 1n1 4 52 3 ... ...

• 22

3 6 1811 27 n 2442 10 24 70 3n n... ...

ตวอยาง อนกรมตอไปนเปนอนกรมลออก (ไมสามารถหาผลบวกถงพจนทอนนตได) เพราะอตราสวนของพจนตดกนทพจนอนนต ไมไดนอยกวา 1 ( nn

lim r 1

)

• 1 1 1 1 14 52 3 6 ...

(ลาดบ nr คอ 3 52 44 53 6, , , , ... ดงนน nn

lim r 1

)

** ถาอนกรมลเขา แสดงวาลาดบตองลเขาส 0 แนนอน แตลาดบทลเขาส 0 อนกรมอาจจะลออกกได 10. อนกรมเลขคณตและเรขาคณตอนนต • อนกรมเลขคณต .. S หาคาไมไดเสมอ (ยกเวนอนกรม 0 0 0 0 ... )

• อนกรมเรขาคณต .. S หาคาไดกเมอ 1 r 1 เทานน และคาทไดคอ 1aS 1 r

(ถาอนกรมลออก แตใชสตรนคานวณ กจะไดตวเลขทผด)


ตวอยาง ใหหาคาของอนกรมเรขาคณตตอไปน • n31 1 1

2 6 18 2 3... ...

จะได 1a 1 / 2 3S 1 r 1 1 / 3 4

• n 1n

( 1)1 1 142 8 2... ...

จะได 1a 1 / 2 1S 1 r 1 ( 1 / 2) 3

• 843 93 2 ...

จะได 1a 3S 91 r 1 2 / 3

• 3 3426 3 ...

จะได 1a 6S 41 r 1 ( 1 / 2)

• 2 31 1 1

0.9 (0.9) (0.9)1 ...

เปนอนกรมลออก เพราะคา r มากกวา 1

ตวอยาง ใหแปลงทศนยม 2.6747474... เปนเศษสวน

เนองจาก 2.6747474... 2.6 (0.074 0.00074 0.0000074 ...) ในวงเลบเปนอนกรมเรขาคณตอนนต ซงมคา r 0.01 จงไดวา 0.074

1 0.012.6747474... 2.6 ( )

26 13247410 990 495

ตวอยาง ชายคนหนงเดนลากทอนไมไปตามแนวราบ กาวแรกเขาเดนไดระยะทาง 0.5 เมตร และดวยความลาทาใหกาวถดไปไดระยะทางเพยง 80% ของกาวกอนหนาเสมอ เมอเขาเดนครบ 10 กาว จะอยหางจากจดเรมตนเทาใด และถาปลอยใหเดนไปเรอยๆ จะไดระยะทางไมเกนเทาใด ลาดบแสดงระยะทางแตละกาวคอ 2 30.5, 0.5 0.8, 0.5 (0.8) , 0.5 (0.8) , ... เปนลาดบเรขาคณตทมคา r เปน 0.8

คาถามแรก ถามคา 10S จะได 10 10

110

a (1 r ) (0.5)(1 (0.8) )S 1 r 1 0.8

2.23 เมตร

และคาถามทสอง ถามคา S จะได 1a 0.5S 2.51 r 1 0.8

เมตร

สรปวา.. เมอเขาเดนครบ 10 กาว จะอยหางจากจดเรมตนประมาณ 2.23 เมตร และถาเดนไปเรอยๆ จะไดระยะทางไมเกน 2.5 เมตร


11. สรปอนกรมรปแบบตางๆ เกยวกบ “เลขคณต” • ถาพจนทวไปเปนพหนามกาลงหนง จะเปนอนกรมเลขคณต (ใชสตรเลขคณต หรอสตร กาลงหนงกได) • ถาพจนทวไปเปน “เลขคณต + เลขคณต” กยงคงเปนอนกรมเลขคณตเหมอนเดม

• ถารปทวไปเปนพหนามดกรสองหรอสาม จะอยในรป “เลขคณต เลขคณต” (คานวณโดยใชสตร กาลงสอง, กาลงสาม) หมายเหต ..ถาผลตางของผลตาง (ลบกนสองชน) เปนคาคงท แสดงวาเปนพหนามดกรสอง ..ถาผลตางโดยลบกนสามชนเปนคาคงท แสดงวาเปนพหนามดกรสาม เหลานหารปทวไปไดโดยเขยนรปทวไปของพหนาม แลวแกระบบสมการเพอหาสมประสทธแตละตว ตวอยาง ใหหาผลบวก 25 พจนแรกของอนกรมตอไปน 4 11 20 31 44 ...

อนกรมนไมใชทงเลขคณตและเรขาคณต ทดลองหาผลตางครงแรกไดเปน 7, 9, 11, 13, … ซงมผลตางชนทสองเปน 2, 2, 2, … พบวาผลตางสองชนเปนคาคงท แสดงวา อนกรมนมพจนทวไปเปนพหนามดกรสอง (ในรป 2

na A n B n C )

แกระบบสมการหาคา A, B, C โดยแทนคา n เปน 1, 2, 3 ดงน 1a A B C 4 ______ (1)

2a 4A 2B C 11 ______ (2)

3a 9A 3B C 20 ______ (3) จะไดผลเปน A 1 , B 4 , และ C 1

แสดงวาพจนทวไปคอ 2na n 4 n 1

และคาของอนกรมนเทากบ 25 2i 1

(i 4 i 1)

25 25 252i 1 i 1 i 1

i 4 i 1

(25)(26)(51) (25)(26)6 24 (25)(1) 6800

• ถาพจนทวไปของอนกรมเปน 1 เลขคณต เรยกวาอนกรมฮารโมนก จะไมไดศกษาในระดบชนน

• ถาพจนทวไปของอนกรมเปน 1เลขคณต เลขคณต

จะคานวณโดยแยกเปนเศษสวนยอยลบกน


ตวอยาง ใหหาคาของอนกรมตอไปน 1 1 1 1...3 5 5 7 7 9 61 63

เนองจาก 1 1 1 13 5 2 3 5

และ 1 1 1 1

5 7 2 5 7

และพจนอนๆ กแยกไดในลกษณะเดยวกน คาของอนกรมจงเทากบ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 5 7 72 3 2 2 9 2 61 63...

1 1 1 1 1 1 1 1 15 5 7 72 3 9 61 63...

101 1 12 3 63 63

ตวอยาง ใหหาคาของอนกรมตอไปน 1 1 1 ...3 5 7 5 7 9 7 9 11

คาของอนกรมนเทากบ 1 1 1 1 1 1 1 1 14 5 7 4 5 7 43 5 7 9 7 9 9 11 ...

1 1 1 1 1 1 14 5 7 5 73 5 7 9 7 9 9 11 ...

1 1 14 3 5 60

หมายเหต ในขอนคดวาลบกนหกลางหมดทงแถวได เพราะคาทบวกลบกนยงนอยลงเรอยๆ เขาส 0 ..แตถาคาทบวกลบกนยงมากขนเรอยๆ จะตดทงไมได และอนกรมจะลออก

เชน 2 3 3 4 4 5 5 6 6 ... แบบนจะหกลางเหลอ 2 ไมได เพราะคาทบวกลบกนยงมากขนเรอยๆ ตองตอบวาอนกรมนลออก

ตวอยาง ใหหาคาของอนกรมตอไปน 1 1 1 1...5 73 5 7 9 80 81

เนองจาก 1 3 523 5

และ 1 5 725 7

และพจนอนๆ กแยกไดในลกษณะเดยวกน

คาของอนกรมจงเทากบ 3 5 5 7 7 9 80 812 2 2 2...

3 5 5 7 7 9 ... 80 812

3 81 9 32 2

..แตถาโจทยขอนเปลยนเปนใหหาผลบวกอนนต จะตองตอบวาอนกรมลออก เพราะจะเกดลกษณะ 3 5 5 7 7 9 ...

2

ซงคาทบวกลบกนยงมากขนเรอยๆ

(หรอถาคานวณ nS กอน กจะพบวาลาดบ nS ลออก จงทาใหหาคา S ไมได)


12. สรปอนกรมรปแบบตางๆ เกยวกบ “เรขาคณต” • ถาพจนทวไปเปนเลขยกกาลง จะเปนอนกรมเรขาคณต (คานวณโดยเขยนแจกแจงออกมา แลวใชสตรเรขาคณต) • ถาพจนทวไปเปน 1 เรขาคณต , “เรขาคณต เรขาคณต”, หรอ 1

เรขาคณต เรขาคณต

กยงคงเปนอนกรมเรขาคณตเหมอนเดม • ถาพจนทวไปเปน “เรขาคณต + เรขาคณต” ใหแยก คดทละสวน (เพราะซกมาแจกแจงผลบวกได)

ตวอยาง ใหหาคาของ i 2i 1i 2

23( )

พจนทวไปเปนเลขยกกาลง แสดงวาเปนอนกรมเรขาคณต ..เมอเขยนพจนตางๆ ออกมา จะไดผลดงน

i 2i 1i 2

23

1 2 4( ) ...27 81 243

(ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต, คา r เทากบ 2/3)

1/27 11 2/3 9

ตวอยาง ใหหาคาของ n n 2n 1

12(2 (0.2) ( ) )

จากสมบตของซกมาซงสามารถแจกแจงผลบวก, ผลลบ จะได n n 2 n n 2

n 1 n 1 n 11 12 2(2 (0.2) ( ) ) 2 (0.2) ( )

เมอเขยนพจนตางๆ ออกมา จะไดอนกรมเรขาคณตดงน n 2 3

n 10.2 1(0.2) 0.2 (0.2) (0.2) ... 41 0.2

และ n 2 3 4 5n 1

1 1 1 12 2 2 2

1/8 1( ) ( ) ( ) ( ) ... 41 1/2

สรปคาตอบ n n 2n 1

12

1 1 1(2 (0.2) ( ) ) 2( )4 4 2


13. อนกรมผสม (ทงเลขคณตและเรขาคณต) • ถาพจนทวไปเปน “เลขคณต เรขาคณต” หรอ เลขคณต เรขาคณต จะเรยกวา “อนกรมผสม”

(คานวณไดโดยนาคา r ของเรขาคณตมาคณ แลวตงสมการลบกน เพอใหสวนทเปนเลขคณตหายไป เหลอแตเรขาคณตลวนๆ) • ถาพจนทวไปเปน เรขาคณต เลขคณต จะไมไดศกษาในระดบชนน

ตวอยาง ใหหาคา n

5 3n 211 72 8 8 22 ... ...

พจารณาจากพจนทวไปทโจทยใหมา สวนทเปนเลขคณตคอ 3n+2 (5, 8, 11, 14, …) สวนทเปนเรขาคณตคอ n

1 1 1 1 142 2 8 16( , , , , ...)

จงทราบวาควรเขยนเศษสวนในรปน 5 8 11 1442 8 16S ... ______ (1)

ถาคณสมการนดวยคา 12r จะได 5 81 11 14

42 8 16 32S ... ______ (2)

นา (1) - (2) โดยใหพจนทมสวนเทากนเขาลบกน จะได 5 3 3 31

42 2 8 16S ...

ซงในวงเลบเปนอนกรมเรขาคณตอนนต จงใชสตรไดเปน..

3/452 1 1/2 4

..ดงนนจงไดคาตอบ S 8

ตวอยาง ใหหาคาของ S 3 1 5 2 7 4 9 8 ... 21 512

สวนทเปนเลขคณตคอ 3, 5, 7, 9, …, 21 สวนทเปนเรขาคณตคอ 1, 2, 4, 8, …, 512

จงนาคา r 2 คณสมการน จะได 2 S 3 2 5 4 7 8 9 16 ... 21 1024 ตงลบสมการโดยใหพจนทมตวคณเทากนเขาลบกน จะได S 3 1 (2 2 2 4 2 8 ... 2 512) 21 1024

ซงในวงเลบเปนอนกรมเรขาคณต จงใชสตรไดเปน..

94(2 1)3 ( ) 21504 194572 1

..ดงนนจงไดคาตอบ S 19457


ลาดบและอนกรม 1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ;Þ พจนแรกทเปนจานวนเตมลบของลาดบเลขคณต 200, 182, 164, 146, ... มคาตางจากพจนท 10 เทากบขอใดตอไปน 1. 54 2. 38 3. 22 4. 20 2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] ;Þ ให m เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาใหพจนท m ของลาดบเลขคณต 2, 5, 8, ... มคามากกวา 1,000 จานวนในขอใดตอไปนเปนตวหารของ m 1. 67 2. 111 3. 166 4. 167 3. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ;Þ ให x, y, z, w เปนพจน 4 พจนเรยงกนในลาดบเรขาคณต โดยท x เปนพจนแรก ถา y z 6 และ z w 12 จงหาคาสมบรณของพจนท 5 ของลาดบน 4. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] กาหนดให a, b, c เปน 3 พจนเรยงตดกนในลาดบเรขาคณต และมผลคณเปน 27 ถา a, b 3, c 2 เปน 3 พจนเรยงตดกนในลาดบเลขคณต แลว a b c มคาเทากบเทาใด 5. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ให na เปนพจนท n ของลาดบเรขาคณต โดยม r เปนอตราสวนรวม

ถา 1 2 n1 2 2 3 n n 1

a a a... 2na a a a a a

แลว r คอขอใดตอไปน

1. 12 2. 1

2 3. 2 4. 2

เฉลย 1. 1 2. 4 3. 48 4. 13 5. 1


6. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] :( กาหนดพจนท n ของลาดบคอนเวอรเจนตในรป n

np qa n 1

(p, q เปนจานวนจรง)

ถาผลบวกของ 10 พจนแรกมากกวาผลบวกของ 8 พจนแรก เปนจานวนเทากบคาของพจนท 109

และ 17a 6 แลว คาของ p และ q เปนเทาใด

1. 2p 3 , q 6 2. 2p 3 , q 3 3. 2p 3 , q 6

4. 2p 3 , q 3 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4.

7. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2548] ;Þ นายแดงนาเงนไปฝากธนาคารออมสน โดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนตอไปฝากเพมขนเดอนละ 5 บาท ทกเดอน เมอครบ 2 ป นายแดงนาเงนไปฝากทงหมดเทาใด 8. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543] ให 5, x, 20, ... เปนลาดบเลขคณตทมผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ 5, y, 20, ... เปนลาดบเรขาคณตทมพจนท 6 เปน b โดยท y 0 แลว a b มคาเทาใด 1. 205 2. 395 3. 435 4. 845 9. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] ถา S {200,201, 202, ..., 400} แลวผลบวกทงหมดของจานวนในเซต S ทหารดวย 8 ลงตว แตหารดวย 12 ไมลงตว เทากบขอใดตอไปน 1. 2,700 2. 5,400 3. 7,122 4. 10,800 10. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณตอนกรมหนงเทากบ 430 ถาพจนท 10 ของอนกรมนคอ 79 แลวผลบวก 3 พจนแรกมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 44 2. 45 3. 46 4. 47 11. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] กาหนดให log x , log (x 2) , log (x 16) เปนสามพจนแรกทเรยงกนของลาดบเลขคณต ถา 10a เปนพจนท 10 และ 10S เปนผลบวก 10 พจนแรกของลาดบน แลว ขอใดตอไปนถก 1. 10a 9 log5 8 log 3 , 10S 5 [9 log5 7 log 3] 2. 10a 9 log5 8 log 3 , 10S 5 [9 log 7 2 log 3] 3. 10a 9 log 7 log 3 , 10S 5 [9 log5 7 log 3] 4. 10a 9 log 7 log 3 , 10S 5 [9 log 7 2 log 3] 12. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกททาใหผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

7 15 23 ... มคาเทากบ 217 แลว n n 1 2n

82 2 ... 2

2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 127 2. 128 3. 127.5 4. 128.5



จงหาผลบวก n พจนของอนกรม 1 1 1 1 (n 2) x...1 x 1 x 1 x 1 x

1. n(2 (n 3) x)2(1 x)

2.

nn 1

1 (1 x)x (1 x)(1 x)

3. 2n(2 x)2(1 x )

4. n1 x

5. n x1 x

เมอ n 2< และเปน n1 x

เมอ n 3>

14. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ;Þ ผลบวกของอนกรมอนนต 0.2 0.067 0.00067 0.0000067 ... เทากบเทาใด

1. 53198 2. 67

212 3. 96245

4. 123397 5. 562999

15. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] กาหนดให A เปนอนกรม 2 31 m m m ... และ B เปนอนกรม 2 4 61 m m m ... ถาอนกรม A และ B ตางกเปนอนกรมคอนเวอรเจนตทงค และผลบวกของอนกรม A เปนสองเทาของผลบวกของอนกรม B แลว m จะมคาเทากบเทาใด 1. 1 2. 1 m 1 3. 1 4. m หาคาไมได 16. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536]

จานวนเตมบวก m ทมากทสด ททาใหอนกรม m m 1 m 2 m 31 1 1 1 ...2 2 2 2

มผลบวกมากกวา 0.01 เปนสมาชกของเซตใดตอไปน 1. {1, 2, 3} 2. {4,5,6} 3. {7, 8, 9} 4. {10, 11, 12} 17. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539]

ถาอนกรม x 2x 3x

x x 2 x 32 2 21 ...1 2 (1 2 ) (1 2 )

มผลบวกเทากบ 9

แลว อนกรม 2 3 42 2 2 2log x (log x) (log x) (log x) ... เปนจรงตามขอใดตอไปน

1. มผลบวกเทากบ 2

11 log 3


log 31 log 3


log 31 log 3

4. เปนอนกรมไดเวอรเจนต

เฉลย 6. 4 7. 3780 8. 2 9. 2 10. 2 11. 4 12. 3 13. 1 14. 1 15. 4 16. 2 17. 4


18. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] คาของ n433 3 333log 3 log 3 log 3 log 3 ... log 3 เทากบเทาใด

1. 1 (n 1)log 32 2. n (n 1)log 32

3. 1 (n 1)2 4. n (n 1)2

19. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] พจนในขอใดเปนผลบวกของอนกรม

42 81 1 1

aa alog b log b log b ...

1. log ba 1

2. a1log b

3. 1a

2 log b 4. 21a

2 log b

5. อนกรมทกาหนดใหเปนอนกรมไดเวอรเจนต จงไมสามารถหาผลบวกได 20. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] ถา n เปนจานวนเตมบวก ซงทาให n3

22 221 log 2 log 2 ... log 2 n 21

แลว 2 n1 2 2 ... 2 มคาเทากบขอใด 1. 63 2. 127 3. 255 4. 511 21. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] ถา log2

2 4 5 nln(log 3) ln(log 3) ln(log 4) ... ln(log (n 1)) (10 )(ln 36) แลว คาของ n เทากบขอใดตอไปน 1. 12 2. 36 3. 64 4. ขอ 1, 2 และ 3 ไมมขอใดถก 22. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523]

ถา 114 10 (13 n)3 3 3

1 1 1 1log( ... ) 03 3 3 3 แลว n จะมคาเทากบเทาใด

1. 5 2. 15 3. 25 4. 35 5. ไมมคาตอบทถกตอง 23. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] คาของ x ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ 42 83 33 3[ log x log x log x log x ... ] 1

คอขอใดตอไปน 1. 0 x 3 2. x 3 3. 0 x 3 3 4. x 3 3


24. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] ถา a เปนผลรวมของอนกรม

42 8 161 1 1 1

22 2 2log 2 log 2 log 2 log 2 ...

และ b เปนผลรวมของอนกรม 2 2 2 2log 2 log 4 log 8 log 162 2 2 2 ... แลว a b มคาเทากบเทาใด 25. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543]

ถา 3 2A 2 2

แลว 1 1 2 1 3 1 6det (4(A )) det(4(A ) ) det (4(A ) ) ... det (4(A ) ) มคาเทาใด


กาหนดให A คอ เมทรกซ 1 11 1

ถา nn

1a det ( A)2 เมอ n เปนจานวนเตมบวก

แลว อนกรม nn 1

a

เปนจรงตามขอใดตอไปน

1. เปนอนกรมไดเวอรเจนต 2. มผลบวกเปน 0 3. มผลบวกเปน 1 4. มผลบวกเปน 2 27. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] สาหรบ x ( 1, 1) ให S(x) เปนผลบวกของอนกรม 2 31 x x x ...

จงหาคาขอบเขตบนนอยสดของเซต A เมอ 1A { | x ( 1, 1)}S(x)

28. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ถา 2 3f(x) 1 x x x ... ทกจานวนจรง x ซงทาใหอนกรมลเขา (คอนเวอรท) และ 2g(x) 1 x ทกจานวนจรง x แลวขอใดตอไปนเปนจรง เมอ D แทนโดเมนของ f g 1. D ( , ) และ (g f)(x) 1 x ทก x D 2. D ( 1, 1) และ (g f)(x) 1 x ทก x D 3. D ( , ) และ (g f)(x) 1 x ทก x D 4. D ( 1, 1) และ (g f)(x) 1 x ทก x D 29. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] ลกปงปองตกจากโตะสง 4 ฟต ถาทกครงทลกปงปองตกกระทบพนจะกระดอนขน

เปนระยะทาง 34 ของความสงทตกลงมา ระยะทางทงหมดทลกปงปองเคลอนทในแนวดงเปนกฟต

1. 16 ฟต 2. 24 ฟต 3. 28 ฟต 4. 32 ฟต เฉลย 18. 4 19. 4 20. 3 21. 3 22. 3 23. 3 24. 0 25. 15.75 26. 3 27. 2 28. 4 29. 3


30. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] กาหนดใหสามเหลยมดานเทารปท n 1 เกดจากการลากเสนตอจดกงกลางดานทงสามของสามเหลยมดานเทา รปท n ถากระบวนการสรางรปสามเหลยมดานเทานเกดขนไมสนสด และผลบวกของเสนรอบรปของสามเหลยมดานเทารปท 1 เปน p พจนในขอใดตอไปนเปนผลบวกของเสนรอบรปทงหมดของสามเหลยมเหลาน

1. 3p2 2. 2p 3. 3p

4. 4p 5. 6p 31. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] ให a 3 , a , a 2 เปน 3 พจนเรยงกนตามลาดบเรขาคณตทมอตราสวนเปน r

ดงนน n 1n 1

a r


1. 8 2. 9 3. 16 4. 18 32. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2547]

กาหนดให r 1 sin 8 ผลบวกของอนกรมในขอใดตอไปนเทากบ 1

1 r

1. nn 0

r

2. n n

n 0( 1) r

3. n 1n 0

1r

4.

nn 1n 0

( 1)r


กาหนดให k 1n

nk 1

1S 10

และ k 1

k 1

1S 10

จานวนเตมบวก n ททาให 5n

1S S (10 )9 เทากบเทาใด

34. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] อนกรมเรขาคณตอนกรมหนง มพจนทสองเทากบ 4 และมผลบวกของอนกรมเทากบ 16 ผลบวก 3 พจนแรกของอนกรมนเทากบคาในขอใด 1. ผลตางรวมของอนกรมเลขคณต 1 17 33 49 65 ...

2. 5

k 1(k 1)

3.

4 2k 1

(k 4)

4. ขอ 1, 2 และ 3 ไมมขอใดถก 35. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535] พจารณาขอความ ก. 2 19 203 3 4 3 4 ... 3 4 4 1 ข. 1 2 2 3 3 4 ... 19 20 2660 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. และ ข. ถก 2. ก. และ ข. ผด 3. ก. ถก แต ข. ผด 4. ก. ผด แต ข. ถก


36. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2543] ถาลาดบเลขคณต 1 2 3a , a , a , ... มพจนท 10 และพจนท 15 เปน 19 และ 34 ตามลาดบ

แลว 20

ii 1

(a 2 i)


1. 30 2. 15 3. 10 4. 20 37. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2542]

ถา f (x) x 1 แลว 30 2

n 10(f f)(n )


1. 9028 2. 9030 3. 9128 4. 9170 38. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2543]

ถา 10

ii 1

x 8

, 10

ii 1

y 4

และ 10

i ii 1

(5 x)(y 2) 76

แลว 10

i ii 1

(x y ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 60 2. 30 3. 30 4. 60 39. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] จงหาผลบวกของ 18 พจนแรกของอนกรม 1 9 25 49 81 ... 1. 7,734 2. 7,751 3. 7,753 4. 7,770 40. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( นายออมทรพยนาเงนไปฝากธนาคารออมสนเดอนแรก 100 บาท เดอนถดๆ ไปเขาฝากเพมขน เดอนละ 100 บาท ทกๆ เดอน ธนาคารออมสนคดดอกเบยไมทบตนใหในอตรารอยละ 0.20 บาทตอเดอน เมอครบปนายออมทรพยจะมเงนรวมเทากบเทาใด 1. 1,527.20 บาท 2. 7,872.80 บาท 3. 8,127.20 บาท 4. 9,436.00 บาท 41. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ถา 2 3 10

a a a alog (ax) 2 log (a x) 3 log (a x) ... 10 log (a x) 110 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 10a 2. 5a 3. 52a 4.

54a

เฉลย 30. 2 31. 4 32. 4 33. 6 34. 3 35. 1 36. 3 37. 3 38. 4 39. 4 40. 2 41. 2



กาหนดให n n 2

n 2

1 เมอ n 1, 2a a 2 เมอ n 3,5, 7, ...

2a เมอ n 4,6, 8, ...

ดงนน 101

ii 1

a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 50(50)(51) 2 1 2. 2 50(51) 2 1 3. 49(50)(51) 2 1 4. 2 49(51) 2 1 43. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ;Þ

ถาผลบวกของอนกรมอนนต 2 2 2 21 1 1 1 ...1 2 3 4 เทากบ S

อนกรมอนนต 2 2 2 22 2 2 2 ...2 4 6 8 จะมลกษณะตามขอใด

1. เปนอนกรมคอนเวอรเจนต ซงมผลบวกเทากบ S

2. เปนอนกรมคอนเวอรเจนต ซงมผลบวกเทากบ 3 S4



5. หาผลบวกไมได เพราะเปนอนกรมไดเวอรเจนต 44. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525]

ผลบวกอนนตของ nn 1

3 7 15 2 11 ... ...4 16 64 4


1. 23 2. 43 3. 2

4. 83 5. 103


เราทราบวา 1 1 1n(n 1) n n 1

ดงนนอนกรม nn 1

5 3[ ]2 n(n 1)

มผลบวกเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2 3. 4 4. 5



ให a เปนจานวนจรง กาหนดพจนท n ของอนกรมคอ 1 (n 2) a1 a

ถาพจนท m คอ 1 38 a1 a

แลว ผลบวก m พจนแรกของอนกรมนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 40 740 a1 a

2. 40 790 a1 a

3. 20 720 a1 a

4. 20 760 a1 a


อนกรม n 1

n 3n 1

n2sin(n ) ( 1)

( 1) 5

มผลบวกเทากบเทาใด

1. 0 2. 14 3. 54

4. 23 5. 53

48. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] :( 7 2

n 1(n 4n 1)

มคามากกวา

nn 2n 1

n( 1) cos n3( 1)

อยเทาใด


จงหาผลบวกของอนกรมอนนต 1 1 1 1log2 log 4 log 8 log 16 ...4 8 16 32

1. 1 log22 2. log2

3. 1 log24 4. หาคาไมได เพราะเปนอนกรมไดเวอรเจนต

50. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546] :( ให x เปนจานวนจรง ซง |x| 1

ถาอนกรม 2 2 2 3 31 1 11 (1 x)( ) (1 x x )( ) (1 x x x )( ) ...2 2 2 มผลบวกเทากบ 167

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 13 2. 1

4 3. 13 4. 1

4

เฉลย 42. 2 43. 3 44. 4 45. 2 46. 1 47. 4 48. 33 49. 2 50. 4


51. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( กาหนดให na เปนพจนท n ของลาดบเลขคณต ซง na 0 ขอใดตอไปนผด

1. 1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1

1 1 1 1 n 1...a a a a a a a a a a

2. อนกรม 1 2 2 3 n 1 n

1 1 1... ...a a a a a a

เปนอนกรมไดเวอรเจนต

3. ถา 1 2 3 na a a ... a

แลว 1 2 2 3 n 1 n n 1

1 1 1 n...a a a a a a a a

4. ถา na n , n 1, 2, 3, ..., 9

แลว 1 2 2 3 8 9

1 1 11 ... 1a a a a a a

52. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] ขอใดตอไปนถก

1. ถา 1 2 3a a a ... เปนอนกรมเรขาคณตและ n

n kk 1

S a

แลว nnlim S

หาคาไดเสมอ

2. ถา na เปนพจนท n ของลาดบซงมพจน n 1 na a สาหรบทกๆ n แลวลาดบนเปนลาดบไดเวอรเจนต 3. ให na เปนลาดบซงกาหนดโดย na 1 เมอ n เปนเลขค

และ n 2n 1a n 3

เมอ n เปนเลขค แลว na เปนลาดบคอนเวอรเจนต

4. 42 35 12 22 35 451 ...3 3 83 3

53. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] ขอความใดตอไปนเปนจรง

1. อนกรม 4 n2 31 1 1 1 1...2 2 22 2 เปนอนกรมไดเวอรเจนต

2. ถา a 0 แลวอนกรม 2 3a a a( ) ( ) ...1 a 1 a 1 a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

ซง nn 1

a( ) 1 a1 a

3. 1 2 3 4ln ln ln ln ...2 3 4 5 เปนอนกรมไดเวอรเจนต

4. ถา na เปนลาดบคอนเวอรเจนต ซง nnlim a 0

แลว n10 a n< <

สาหรบทกคาของ n


54. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525] ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. อนกรมทไดจากลาดบไดเวอรเจนตยอมเปนอนกรมไดเวอรเจนต และอนกรมทไดจากลาดบคอนเวอรเจนตยอมเปนอนกรมคอนเวอรเจนต 2. ถา na เปนพจนท n ของลาดบไดเวอรเจนต จะตองไดวา nn

lim a

เปนอนนต

3. ถา na เปนพจนท n ของลาดบคอนเวอรเจนต จะไดวา 1 2 3a , a , a , ... เปนลาดบคอนเวอรเจนตดวย 4. ถา na เปนพจนท n ของลาดบ ซงม n 1 na a สาหรบทก n จะไดวาลาดบนจะเปนลาดบไดเวอรเจนต 5. ผลบวกอนนตของอนกรมเรขาคณตทม a เปนพจนแรก และ r 1 เปนอตราสวนรวมคอ a

1 r

55. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] กาหนดอนกรม 1 2 3 na a a ... a ... โดย na R , n 1, 2, 3, ... ให nS ผลบวก n พจนแรกของอนกรม ขอใดตอไปนถก 1. ถา 2n 1a 2 และ 2na 2 , n 1, 2, 3, ... แลว อนกรมนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตทมผลบวกเทากบ 0

2. ถา n1a (n 3)(n 4)

แลว อนกรมนเปนอนกรมคอนเวอรเจนต

และมผลบวกเทากบ 14

3. ถา n 1n

a ra (r เปนคาคงตว), n 2, 3, 4, ... และ r 1

แลว อนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนต 4. ถาอนกรมทกาหนดใหมคณสมบตวา n 1 nS S สาหรบทกๆ n จะไดวาอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนต 56. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] ให 1a , 2a , 3a , ... เปนลาดบของจานวนจรง และ n 1 2 nS a a ... a ทกจานวนนบ n ขอใดตอไปนผด 1. ถา n 1

na 2 ทกจานวนนบ n แลว nnS 2 1 ทกจานวนนบ n

2. ถา nnlim S

หาคาไดแลว nnlim a 0

3. ถา n 1n

1a ( )2 ทกจานวนนบ n แลว nn

2lim S 3

4. ถา nnlim a 0

แลว nn 1

a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

เฉลย 51. 3 52. 4 53. 3 54. 3 55. 2 56. 4


57. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] กาหนดให (1) 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... เปนลาดบอนนต

(2) 1 2 3 na a a ... a ... เปนอนกรมอนนตทไดจากลาดบใน (1) และให n 1 2 3 nS a a a ... a เปนผลบวกยอยของอนกรมใน (2) ขอตอไปนขอใดไมถกตอง 1. 2n 2n 1 2nn n

lim (S S ) lim a

2. ถาอนกรมใน (2) เปนอนกรมเรขาคณต จะหาคา nnlim S

ไดเสมอ

3. ถาอนกรมใน (2) เปนอนกรมคอนเวอรเจนตแลว nnlim a 0

4. แม nnlim a 0

กไมจาเปนทอนกรมใน (2) เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

5. ถา n1a n ใน (1) แลว ลาดบใน (1) จะเปนลาดบคอนเวอรเจนต

58. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] ;Þ f(n) ซงกาหนดในขอใดตอไปนเปนพจนท n ของลาดบคอนเวอรเจนต 1. (2n 1)f(n) cos 2

2. f(n) cos n

3. (2n 1)f(n) sin 2

4. nf(n) ( 1)

59. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] ;Þ ลาดบในขอใดเปนลาดบไดเวอรเจนต

1. 2 2n

1 1a sin cosn n 2. 1, 13 , 1

5 , 17 , ...

3. n 1n

n 1a ( 1) ( )n

4. nn

1a ( )2

60. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] ;Þ ลาดบของผลบวกยอยของอนกรมอนนตในขอใดตอไปน เปนลาดบคอนเวอรเจนต 1. cos n 2. sin(2n 1) 2

3. n( 1) 4. n12

61. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] พจารณาขอความตอไปน

ก. ลาดบซงมพจนท n เทากบ n 1n 1 n 1

เปนลาดบไดเวอรเจนต

ข. ลาดบซงมพจนท n เทากบ n1 r

1 r

เมอ r 1 เปนลาดบไดเวอรเจนต

ค. n1 1 1 1... ( ) ...10 100 1,000 10 เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

ขอใดตอไปนถก 1. ถกเฉพาะขอ ก. และ ข. 2. ถกเฉพาะขอ ก. และ ค. 3. ถกเฉพาะขอ ข. และ ค. 4. ถกทง ก., ข. และ ค.


62. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] ;Þ สาหรบจานวนเตมบวก n ใดๆ

ให n1n1n

nMn 1

และ n na det(M )

แลว nnlim a


1. มคาเปน 0 2. มคาเปน 1 3. มคาเปน 2 4. หาคาไมได 63. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2535] ถาสาหรบแตละจานวนเตมบวก n

ให nz เปนจานวนเชงซอน กาหนดโดย n n1z 1 3i2

แลวลาดบ n n na z z เปนจรงตามขอใดตอไปน

1. มลมตเปน 4 2. มลมตเปน 8 3. มลมตเปน 10 4. เปนลาดบไดเวอรเจนต 64. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525] ;Þ ให 1 2 3a , a , a , ... เปนลาดบทนยามโดย

n2

1a n

1 n

เมอ n เปนจานวนค

เมอ n เปนจานวนค

จงหาคาของ nnlim a

1. 1 2. 0 3. 1 และ 0 4. 5. ไมมขอใดในขอ 1. ถง 4. ทถก 65. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] ;Þ

ลมตของลาดบ na เมอ 2

n 23n 2n 5a 86n


1. 12 2. 56 3. 17

2

4. 8 5. ไมมคาตอบทถกตอง 66. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ;Þ

ถา 2

n 2n n 1a 3n 1

และ

n nn n

2 5b 5 9

แลวลมตของลาดบทมพจนท n เปน n n n na b a b มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 13 3. 0 4. 1

เฉลย 57. 2 58. 1 59. 3 60. 4 61. 3 62. 3 63. 3 64. 5 65. 3 66. 4



จงหาคาของ n 1 n 1n 1 n 1n

5 3lim 2 5


ลมตของลาดบ 1

1 3n 2

43

(1 n )(3 n )a5 n n


1. 15 2. 3

5 3. 1

4. 0 5. ลมตหาคาไมได 69. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] :(

ลมตของลาดบ 3

n 4n n 1a 5 n 3 2n


1. 15 2. 1

3 2 3. 0

4. 1 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 70. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544]

ถา c เปนจานวนจรง ซง 3 2 n 1

3 n 2n n 1

3cn n cn ( 2)lim (2n 1) 3

แลว c มคาเทาใด


สาหรบแตละจานวนเตม n 4> กาหนดให 4

n 3 3 3 3n 1a 1 2 3 ... n

ลาดบ na เปนจรงตามขอใดตอไปน 1. มลมตเปน 1 2. มลมตเปน 2 3. มลมตเปน 4 4. เปนลาดบไดเวอรเจนต 72. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] กาหนดพจนท n ของลาดบสองลาดบดงน

n 2 2 2 2n(1 2 3 ... n)a 3(1 2 3 ... n )

และ n

3n 2 3n 1b n 2 n 1

n nnlim (a b )


1. 11 3 2. 1 3 3. 1 12 3 4. 1 32


คาขอบเขตบนนอยสดของเซต 2(1 2 ... n){ | nn

เปนจานวนเตมบวก } ใน R


1. 1 2. 12 3. 1

4 4. 0


74. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2548] :( ถา na เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมล ม n พจน 1, 2, 2, 3, 3, 3, ..., n, n, n, ..., n

แลว nn

alim n เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 12 3. 1

3 4. 23

75. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2536] ให R เปนเซตของจานวนจรง และ A { a | a 0 R และ a 1} สาหรบทก a A นยาม af : R R โดย x 1

af (x) a

อนกรม a an 1

f (log n)

มคณสมบตตามขอใดตอไปน

1. คอนเวอรเจนตทก a A 2. ไดเวอรเจนตทก a A 3. คอนเวอรเจนตทก a A ซง 0 a 1 และไดเวอรเจนตทก a A ซง a 1 4. ไดเวอรเจนตทก a A ซง 0 a 1 และคอนเวอรเจนตทก a A ซง a 1 76. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ถา 1a , 2a , ... เปนลาดบคอนเวอรเจนตและมลมตเปน 1

แลวอนกรม 1 n 1 nn 1

a (a a )


1. มผลบวกเปน 1a 2. มผลบวกเปน 0 3. มผลบวกเปน 1 4. เปนอนกรมไดเวอรเจนต 77. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] * ขอนอาศยเนอหา “แคลคลส (ปรพนธ)” ดวย

ถา 2n 2n0

1a dxx เมอ n เปนจานวนเตมบวก

แลว อนกรม nn 1

(1 2n)a


1. เปนอนกรมไดเวอรเจนต 2. มผลบวกเปน 23

3. มผลบวกเปน 12 4. มผลบวกเปน 1

78. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] :( * ขอนอาศยเนอหา “แคลคลส (อนพนธ)” ดวย ให 8 6f (x) x x และ f คออนพนธของ f ถา n{a } เปนลาดบซงม nn

lim a 1

แลว nnlim (f f )(a )


1. 68 2. 92 3. 150 4. 192

เฉลย 67. 25 68. 4 69. 2 70. 4.8 71. 3 72. 3 73. 2 74. 4 75. 2 76. 3 77. 2 78. 4



จงหาลมตของลาดบอนนต 3, 3 3 , 3 3 3 , 3 3 3 3 , ... 1. 3 2. 3 3 3. 9 4. 0 80. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] :( ให b และ c เปนจานวนจรงคงทสองจานวน นยามลาดบ na โดยท 1a 1 และสาหรบจานวนเตมบวก n ใดๆ n

n 1 na a cb

ถาลาดบ na มลมตเทากบ 2 และ 33a 2 แลว c 2b มคาเทาใด

81. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] :( กาหนดให 1f(x) x และ n 1 n 1f (x) (f f )(x) , n 2> ถา n 1 2 3 na f(2) f (2) f (2)... f (2) และ n nb ln a แลวลาดบ nb มลมตเทากบขอใดตอไปน 1. 2(ln 2) 2. ln 2

3. 1 ln 22 4. หาไมไดเพราะลาดบนเปนลาดบไดเวอรเจนต

82. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] ให R เปนเซตของจานวนจรง และ f : R R นยามโดย

x2 ถา x 0f(x)

x ถา x 0

>

อนกรมในขอใดตอไปนหาผลบวกได

1. n 1

(f f)( n)

2.

n 1(f f)(n)

3.

n 1(f f)( n)

4.

n 1

1( )(n)f

เฉลย 79. 3 80. 1 81. 2 82. 2


เฉลยวธคด (1) พจนท 10 คอ 10a 200 9( 18) 38 ดงนน 11a 20, 12a 2, 13a 16 แสดงวาคา 38 กบ 16 เปนคาทโจทยกลาวถง ..และมผลตางเทากบ 38 ( 16) 54 ตอบ

หมายเหต วธคานวณหาพจนแรกทตดลบอาจทาดงน 200 (n 1)( 18) 0 n 12.11 แสดงวา n 13 จะเปนพจนแรกทตดลบ และมคา 13a 200 12( 18) 16 นนเอง

(2) ลาดบ 2,5,8, ... มคา na 2 (n 1)(3) จงไดเงอนไขวา 2 (n 1)(3) 1000

998n 1 3 332.67 n 333.67

m เปนจานวนเตมทนอยทสดทสอดคลองเงอนไขน แสดงวา m 334 ..และตวหารของ m คอ ขอ 4.

(3) สมมตให x, y, z, w เปน x, xr, 2xr , 3xr จะไดวา 2xr xr 6 xr (1 r) 6 .....(1) และ 2 3xr xr 12 2xr (1 r) 12 .....(2)

สมการ (1) (2); r 2 ..ดงนน x 3 และพจนท 5 มคาเปน 4 4xr 3( 2) 48 ตอบ

(4) เงอนไขลาดบเรขาคณต b ca b .....(1)

เงอนไขผลคณ abc 27 .....(2) เงอนไขลาดบเลขคณต b 3 a c 2 b 3 .....(3)

แกระบบสมการ (1),(2) ได b 3, ac 9 แทนคา b ลงในสมการ (3) จะได a c 10 ..โจทยถามคา a b c จงตอบ 10 3 13

หมายเหต ในขอนไมจาเปนตองแกหา a, c ตอ ..แตสมมตถาแกสมการตอ จะไดผลเปน a 1, c 9 หรอ a 9, c 1 กได

(5) จากโจทย จะไดสมการเปน 2

1 1 12 2 3

1 1 1 1 1 1

a a r a r ...a a r a r a r a r a r

n 1

1n 1 n

1 1

a r 2na r a r

1 1 1 1... 2n1 r 1 r 1 r 1 r

n 2n1 r

11 r 2

ตอบ 1r 2

(6) ..จาก 17a 6 จะได p q 7

2 6

.....(1)

..จาก 10 8 109S S a นนคอ 9 10 109a a a

จะได 9p q 10p q 109p q10 11 110

คณดวย 110; 99p 11q 100p 10q 109p q

90p 20q 0 …..(2)

แกระบบสมการได 2p 3 และ q 3 ตอบ

(7) โจทยขอนใหหาคาของอนกรมเลขคณต 100 105 110 พจนท 24

1 2424 (a a )2

24 (100 (100 23 5)) 3,7802 ตอบ

(8) ลาดบเลขคณต; 20 5d 7.52

1212a S (5 (5 11 7.5)) 5552

ลาดบเรขาคณต; 2 20r r 25

(เพราะคา y 0 ) 5

6b a 5( 2) 160

ตอบ a b 555 160 395


(9) คดจาก “ผลบวกจานวนทหาร 8 ลงตวทงหมด” ลบออกดวย “ผลบวกจานวนทหารดวย 8 และ 12 ลงตวทงค” (แปลวา หาร ค.ร.น. คอ 24 ลงตว)

(200 208 216 ... 400) (216 240 264 ... 384)

..เนองจาก 200 8(25) และ 400 8(50) ดงนนวงเลบแรกม 26 พจน และเนองจาก 216 24(9) และ 384 24(16) ดงนนวงเลบหลงม 8 พจน

ใชสตรอนกรมเลขคณตคานวณผลบวก

ไดเปน 26 8(200 400) (216 384)2 2

7800 2400 5400 ตอบ

(10) จากเงอนไข 10 1 1010S (a a ) 4302

ยายขางไดเปน 1 10a a 86 ..แตโจทยบอกวา 10a 79 ดงนน 1a 86 79 7 และ 79 7 9d d 8 ตอบ ผลบวกสามพจนแรกคอ 7 15 23 45

(11) เงอนไขของลาดบเลขคณต คอ log(x 2) log x log(x 16) log(x 2)

2 2x 2 x 16 x 4x 4 x 16xx x 2

1x 3

11a log( )3 และ 7 1d log( ) log( ) log 73 3

..จงได 101a log( ) 9 log 7 9 log 7 log 33

และ 1010 1S (log( ) (9 log 7 log 3))2 3

5(9 log 7 2 log 3) ตอบ ขอ 4.

(12) จากสตร n 1 nnS (a a )2

จะได n n217 (7 7 (n 1)(8)) (8n 6)2 2

2 314n 3n 217 0 n 7, 4

แต n ตองเปนจานวนนบ n 7 เทานน

..แสดงวาโจทยถาม 7 8 9 14 8(2 2 2 2 ) 2 7 8 7 8

88

2 (2 1) 2 (2 1)22 1 2

82 12

127.5 ตอบ

(13) รปทวไปทาใหทราบวา เปนอนกรมเลขคณต เพราะอยในรปแบบ n ดกร 1 เทานน..

พบวาคา xd 1 x

(จากสมประสทธของ n)

และคา 11 xa 1 x

(จากการแทนคา n ดวย 1)

..ดงนน nn 1 x 1 (n 2) xS 2 1 x 1 x

n 2 (n 3) x2 1 x

ตอบ (ขอ 1.)

(14) ในวงเลบนเปนอนกรมเรขาคณตอนนต 0.2 (0.067 0.00067 0.0000067 ...)

1 0.0675 1 0.01

1 67

5 1000 10

1 67 535 990 198 ตอบ

(15) ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต

จะได A1S 1 m

, B 21S 1 m

แตโจทยกาหนด A BS 2S

ดงนน 21 2

1 m 1 m

..ซง m 1 แนนอน จงนา 1 m คณทงสองขาง

ไดเปน 21 1 m

m 1 ซงเปนไปไมได

..ดงนน ตอบ ขอ 4.


หมายเหต m 1 เพราะวาคาอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณตอนนต ทหาคาได ตองมคาในชวง ( 1, 1) เทานน

(16) อนกรมเรขาคณต m(1 / 2 )

1 (1 / 2)

m2

3(2 )

..โจทยกาหนด m2 0.013(2 )

m 22 0.03 m2 66.67

แสดงวาคา m มากทสดคอ 6 6(2 64) ตอบ อยในเซตขอ 2.

(17) อนกรมแรกเปนเรขาคณตซงม x

x2r 1 2

จงไดสมการวา xx

1 921 1 2

xx x

1 2 91 2 2

x2 8 x 3

ดงนน อกอนกรมหนงเปนอนกรมเรขาคณต ทมคา 2 2r log x log 3 พบวาคา r นอยกวา 1 จงเปนอนกรมไดเวอรเจนต ตอบ ขอ 4.

หมายเหต ถาใชสตรคานวณจะไดผลเหมอนขอ 3. แตทจรงอนกรมนหาคาไมได จงหามใชสตร เพราะผลทไดจะไมเปนจรง..

(18) จากโจทย

3 3 3 3log 3 2 log 3 3 log 3 4 log 3 3... n log 3

3(1 2 3 4 ... n)(log 3) n (n 1)2 ตอบ

(19) จากโจทย

1 1 1a a a1 1 1log b log b log b ...2 4 8

1a1 1 1( ...)(log b)2 4 8 (อนกรมเรขาคณต)

1 1a a1/2( )(log b) log b1 1/2

ซงตรงกบ ขอ 4.

(เพราะ 21 1 1a aa

22 log b log b log b2 )

(20) จากสมการทใหมา จะได

22 2 21 2 log 2 3 log 2 ... n log 2 n 21

21 2 3 ... n n 21 2n(n 1) n 212

2 2n n 2n 42

2n n 42 0 (n 7)(n 6) 0 n 7 เทานน

(เพราะโจทยกาหนดวาเปนจานวนเตมบวก)

ตอบ 8

2 7 (1)(2 1)1 2 2 ... 2 2552 1

(21) ซายมอ

2 3 4 n 1ln(log 3 log 4 log 5 ... log n) log 3 log 4 log5 lognln( ... )log2 log 3 log 4 log(n 1)

2lognln( ) ln(log n)log2

และคาของ 1log 2 log 2 1 110 10 2 2

..ดงนน สมการกลายเปน 21ln(log n) (2 ln6)2

2log n 6 6n 2 64 ตอบ

(22) จากโจทย อยในรป log( ) 0 แสดงวา 010 1 ..นนคอ ตวสวนทงหมดคณกนไดเปน 1

4 ... (13 n)10113 3 33 1

11 10 (13 n)4 ... 03 3 3

12 11 10 ... (13 n) 0 ดงนน 13 n 12 (ผลบวกจงมคาเปน 0 ได) ตอบ n 25


(23) จากโจทย จะได

3 3 3 31 1 1log x log x log x log x ... 12 4 8

31 1 1(log x)(1 ...) 12 4 8

31(log x)( ) 11 1/2

33log x 2

32x 3

..แตเนองจาก x อยใน log จงไดวา x 0 เสมอ ตอบ 0 x 3 3

(24) 2 2 21 1 1a log 2 log 2 log 2 ...2 4 8

1 1 1 ...2 4 8 1/21 1/2

1

1 1 1b 2 4 8 ...

1 1 1 ...2 4 8 1/2 11 1/2

ตอบ a b 0

(25) คาของ 2 2 2 2

2 3 64 4 4 4A A A A

1 1 1 116 2 4 8 64

6(1/2)(1 (1/2) ) 116 16(1 )1 (1/2) 64

63 6316 15.7564 4 ตอบ

(26) A 1 1 2

ดงนน n

n1a A2 2 n1(( ) A )2

n1(( )(2))4 n1( )2

และคาของ n1 1 1 1a ...2 4 8 16

1/2 11 1/2

ตอบ

(27) สตรอนกรมเรขาคณต จะได 1S(x) 1 x

ดงนน A { 1 x | x ( 1, 1)} (0,2) ตอบ ขอบเขตบนนอยสดของ A คอ 2

(28) 1f(x) 1 ( x)

11 x

เมอ 1 x 1

2 1(g f)(x) (1 x )( ) 1 x1 x

โดยท g f f g f gD D D D ( 1, 1) ( 1, 1) R ตอบ ขอ 4.

(29) รวมระยะทางทงหมดไดดงน

3 3 3 3 3 34 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ...4 4 4 4 4 4

ลง ขน ลง ขน ลง

2 33 3 34 2(( )4 ( ) 4 ( ) 4 ...)4 4 4

34 2( )1 3/4

4 2(12) 28 ฟต ตอบ

(30) จากกฎทวาเสนตรงเชอมจดกงกลางของ 2 ดาน จะยาวเปนครงหนงของดานทเหลอเสมอ ..ทาใหเราทราบวา หากสามเหลยม รปนอกสดมเสนรอบรปยาว p แลว สามเหลยมชนถดไปยอมม

เสนรอบรปยาว p2

และผลรวมเสนรอบรปทกรป

คอ p p p pp ... 2p2 4 8 1 1/2

ตอบ

a a

a

a/2

a/2 a/2


(31) เงอนไขของลาดบเรขาคณต a 2 aa a 3

2 2a a 6 a a 6

แสดงวาลาดบนคอ 9, 6, 4 ..ซงม 2r 3

โจทยถามคา n 1 2n 1

2 2ar 6 6( ) 6( ) ...3 3

6 181 2/3

ตอบ

(32) ทดลองแจกแจงซกมา แลวใชสตรหาผลบวก

ขอ 1. 2 11 r r 1 r

ขอ 2. 2 11 r r 1 r

ขอ 3. 2 31 1 1 (1 / r) 1r 1 (1 / r) r 1r r

ขอ 4. 2 31 1 1 (1 / r) 1r 1 (1 / r) r 1r r

พบวามขอทนาจะถกอย 2 ขอ คอขอ 2. กบ 4. ..แตทจรงแลวขอ 1. กบ 2. นนผด เพราะเปนอนกรมอนนตทมอตราสวนรวมมากกวา 1 จะไม

สามารถหาผลบวกถงอนนตได (sin 0.กวา)8

ตอบ ขอ 4.

(33) แจกแจงได 1 1S 1 10 100

ดงนนคาของ n

nn

1(1 0.1 ) 10S (1 0.1 )1 0.1 9

และคาของ 1 10S S 1 0.1 9

..โจทยบอกวา 5

n10S S 9

5

n10 10 10 10(0.1)9 9 9 9

5n n 510 10(0.1) 10(0.1) 109 9

n 6(0.1) 10 n 6 ตอบ

(34) อนกรมนคอ 24 4 4r 4r ... 16r

(4 / r) 161 r

24 16r 16r 24r 4r 1 0 2(2r 1) 0

1r 2

ผลบวก 3 พจนแรกเทากบ 8 4 2 14

ขอ 1. ผลตางรวมเทากบ 16 (ผด) ขอ 2. 0 1 2 3 4 10 (ผด) ขอ 3. 3 0 5 12 14 ขอ 3. ถก

(35) ขอ ก. 2 3 193(1 4 4 4 ... 4 )

201(4 1)3 4 1

204 1 ถก

ขอ ข. เขยนรปทวไป ใสซกมาแลวคานวณดงน 19 2i 1

i(i 1) i i

(19)(20)(39) (19)(20)6 2

2470 190 2660 ถก

(36) จากพจนท 10 และ 15 จะไดสมการเปน

119 a 9d และ 134 a 14d แกระบบสมการได d 3 และ 1a 8 รปทวไปคอ na 8 (n 1)( 3) 11 3n

ดงนน 20 20

ii 1 i 1

(a 2i) (11 3i 2i)

20

i 1(11 i)

20(21)220 102 ตอบ

(37) 30 302 2

n 10 n 10(f f)(n ) f(n 1)

30 30 9 302 2 2

n 10 n 1 n 1 n 10(n 2) n n 2

30(31)(61) 9(10)(19) (21)(2)6 6

9455 285 42 9128 ตอบ


(38) จากสมการ (5 x)(y 2) 76 แจกแจงได 5 y 2 x xy 10 76 แทนคา.. 5(4) 2( 8) xy (10)(10) 76

xy 60 ตอบ

(39) 2 2 2 2

18S 1 3 5 7 ... พจนท 18

18 2i 1

(2i 1)

18 2i 1

(4i 4i 1)

24 i 4 i 1(18)

(18)(19)(37) (18)(19)4( ) 4( ) 186 2

8436 684 18 7770 ตอบ

(40) สวนของเงนตน 100 200 300 ... 1,200

12 (100 1,200) 7,8002 บาท

สวนของดอกเบย 0.2(1) 0.2(1 2) 0.2(1 2 3)

... 0.2(1 2 3 ... 12) 0.2 [(1) (1 2) (1 2 3)

... (1 2 3 ... 12)] 1(2) 2(3) 3(4) 12(13)0.2 [ ... ]2 2 2 2 12 2i 1

i(i 1)0.2 0.1( i i)2

12(13)(25) 12(13)0.1( ) 72.806 2 บาท

ตอบ เขาจะมเงนรวม 7,872.80 บาท

(41) ซายมอ

a a a a(log a log x) (4 log a 2 log x) a a a a(9 log a 3 log x) ... (100 log a 10 log x)

a(1 4 9 ... 100) (1 2 3 ... 10)log x

a10(11)(21) 10(11) log x6 2

a385 55 log x

..ดงนน สมการคอ a385 55 log x 110

alog x 5 5x a ตอบ

(42) ถา n เปนจานวนค จะได 1a 1 , 3 1a a 2 3 , 5 3a a 2 5 (ดงนน na n )

ถา n เปนจานวนค จะได 2a 1 , 4 2a 2a 2 , 6 4a 2a 4

(ดงนน n 12na 2

)

..จะได

101i

i 1a (1 3 5 ... 101)

(1 2 4 8 ...พจนท 50)

501(2 1)51(1 101)2 2 1

2 50(51) 2 1 ตอบ

(43) จาก 2 2 2 22 2 2 2 ...2 4 6 8

2 2 2 2 22 1 1 1 1 1( ...) S22 1 2 3 4

ดงนน ขอ 3. ถก

(44) จากรปทวไปคอ nn 1

2 14 เราจงทราบวา

ควรจะแยกคดเปนอนกรมเรขาคณต 2 อนกรม

คอ n

n 1 n2 44 2 และ n 1

14 ดงน..

จาก 3 7 151 ...4 16 64

1 1 1 1 1(2 1) (1 ) ( ) ( ) ...4 2 16 4 64

1 1 1 1 1(2 1 ...) (1 ...)2 4 4 16 64

1 142

2 1 4 84 3 31 1

ตอบ

(45) n5 1 1 1 1( ) 5( ...)2 2 4 8 16

1/25( ) 51 1/2

3 1 1 1 1 1 1( ) 3(( ) ( ) ( ) ...)n(n 1) 1 2 2 3 3 4

3(1) 3 ตอบ 5 3 2


(46) จากพจนท m ทกาหนดมา เมอเทยบกบรปทวไป จะได m 2 38 m 40 ..และเมอสงเกตรปแบบของรปทวไป จะพบวาอนกรมนเปนอนกรมเลขคณต (เปน n ดกร 1)

จงใชสตร n 1 nnS (a a )2

4040 1 a 1 38 aS 2 1 a 1 a

2 37 a 40 740 a20 1 a 1 a

ตอบ

หมายเหต ถาไมไดสงเกตวาเปนอนกรมเลขคณต จะหาผลรวมดวยสตรซกมากได

(47) พจารณา sin(n )2 จะเปนลาดบดงน

3 5sin , sin , sin , ...2 2 2 ซงมคา 1, 1, 1, 1, ...

จงไดวา n 1

n 3

sin(n ) ( 1)2( 1)

เปนลาดบดงน

1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ...1 1 1 1

ซงมคา 2, 2, 2, 2, ... เทากนทกพจน

..แสดงวา โจทยถามคาของ n

n 1

25

2 32 2 2 ...5 5 5

2/5 21 2/5 3

ตอบ

(48) อนกรมแรกคอ

2 2(n 4n 1) n 4 n 1

7(8)(15) 7(8)4( ) 7 356 2

และอกอนกรมคอ

nnn 2

( 1) cos n3 ( 1)

1 2 31 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ...3 ( 1) 3 (1) 3 ( 1)

1 2 32 2 2( ) ( ) ( ) ...3 3 3 2/3( ) 21 2/3

ตอบ มคาตางกนอย 33

(49) จากโจทย จะได 1 2 3 4log2 log2 log2 log2 ...4 8 16 32

1 2 3 4(log2)( ...)4 8 16 32

ให 1 2 3 4S ...4 8 16 32 .....(1)

จะได 1 1 2 3S ...2 8 16 32 .....(2)

สมการ (2)–(1); 1 1 1 1 1S ...2 4 8 16 32

1/4 11 1/2 2

S 1 ..คาตอบขอนจงเปน log2 ตอบ

(50) ให 2 21 1S 1 (1 x)( ) (1 x x )( )2 2

นา 12 คณทงสองขาง จะได

2 2 31 1 1 1S 1( ) (1 x)( ) (1 x x )( )2 2 2 2

ลบกนได 22

1 x x 1S 12 2 1 (x / 2)2

2 4S 1 (x / 2) 2 x

โจทยกาหนดให 16S 7

ดงนน 4 16 1x2 x 7 4

ตอบ

(51) ขอ 1. ซายมอ

3 2 4 32 12 1 3 2 4 3

a a a aa aa a a a a a

n n 1n n 1

a a... a a

3 2 4 32 1 a a a aa ad d d

n n 1a a... d

n 1a ad

n 1n 1

a ad( a a )

n 1

(n 1)dd( a a )

ขวามอ

..ดงนน ขอ 1. ถก


ขอ 2. (ผลจากขอ 1.) nn 1

n 1S a a

nn n 1 1

n 1lim S lim a (n 1)d a

ซงหาคาไมได เพราะดกรของ n ในเศษมากกวาสวน ..ดงนน ขอ 2. ถก

ขอ 3. ผด ..ตองได n 1

n 1a a

(ผลจากขอ 1.)

ขอ 4. แทนคาในขอ 1. ดวย n 9

จะได 99 1

8S a a

8 8 249 1

ซงโจทยกบอกวา 91 S 1 ..ดงนน ขอ 4. ถก

(52) ขอ 1. ผด nn

lim S

ของอนกรมเรขาคณต

(กคอ S ) จะหาไดเมอคา r อยในชวง ( 1, 1)

ขอ 2. ผด ..เชน nna n 1

พบวา

n 1 na a เสมอ แตลมตของ na หาคาไดคอ 1

ขอ 3. ผด ..ลาดบยอยสองลาดบ มลมตไมเทากน คอ 1 กบ 0 ดงนนเปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 4. ให 42 35 12 22 35S 1 ...3 33 3

จะได 42 31 1 5 12 22S ...3 3 33 3

ลบกนได 42 32 4 7 10 13S 1 ...3 3 33 3

ดงนน 42 31 2 1 4 7 10( S ) ...3 3 3 33 3

ลบกนอกครง 2 34 1 1 1S 1 1 ...9 3 3 3

13

11 1

52

5 9 45S ( )( )2 4 8 ..ดงนน ขอ 4. ถก

(53) ขอ 1. ผด ..เปนอนกรมคอนเวอรเจนต เพราะเปนเรขาคณตทมคา r อยในชวง ( 1, 1)

ขอ 2. ผด ..จาก a เปนบวก

จะได ar 1 a

มคาในชวง (0, 1) แนนอน จงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต ซงมคาเทากบ

1 11

aa aa1 r 1 a

a a1 a a

ขอ 3. ถก

n1 2 3 nS ln ln ln ... ln2 3 4 n 1

ln 1 ln2 ln2 ln 3 ... ln n ln(n 1) ln 1 ln(n 1) ln(n 1)

nn nS lim S lim( ln(n 1))

..หาคาไมได

ขอ 4. ผด ..เชน n1a n 5

จะไดวา nnlim a 0

แต n1a n

(และยงม n บางคาท na 0 หรอหาคาไมไดดวย)

(54) ขอ 1. ผด ..อนกรมทไดจากลาดบคอนเวอรเจนต ไมจาเปนตองเปนอนกรมคอนเวอรเจนตเสมอไป (เชนเมอ nn

lim a

เปนจานวนจรงซงไมใช 0)

ขอ 2. ผด ..ไมจาเปน อาจเปนลาดบทมคากวดแกวง เชน 1, 1, 1, 1, ...

ขอ 3. ถก ..เพราะถา nnlim a L

ยอมไดวา nnlim a L

ซงเปนจานวนจรงเชนกน

ขอ 4. ผด ..อาจลเขาหาคาใดอยกได

เชน n1a 3 n

พบวา n 1 na a เสมอ แตเปนลาดบทลเขาส 3

ขอ 5. ผด ..ตองแกเงอนไขเปน 1 r 1


(55) ขอ 1. ลาดบนคอ 2, 2, 2, 2, ... ไมมลมต ..อนกรมจงเปนไดเวอรเจนต (หรออาจพจารณาจากลาดบของผลบวกยอยดงน

nS 2, 0,2, 0, ... จะเหนไดวาไมสามารถหา S )

ขอ 2. ผลบวกคอ 1 1 1 ...4 5 5 6 6 7

1 1 1 1 1 1 ...4 5 5 6 6 7

14

..ดงนน ขอ 2. ถก

ขอ 3. n 1 1 2n 2 3

a a ar ...a a a

แตอตราสวนรวมคอ 2 31 2

a a 1...a a r

1 1r เปนอนกรมเรขาคณต “คอนเวอรเจนต”

ขอ 4. ผด ..เชน 1 1 11 ...2 4 8

พบวา n 1 nS S เสมอ

แตอนกรมนกหาคาได เทากบ 12

1 21

(56) ขอ 1. n 1

nS 1 2 4 8 ... 2

n(1)(2 1)

2 1

n2 1 ถกตอง

ขอ 2. ถก ..หากอนกรมเปนคอนเวอรเจนต แสดงวาลาดบตองลเขาส 0 เสมอ

ขอ 3. 1 1 1S 1 ...2 4 8

12

1 231 ( )

ถกตอง

ขอ 4. ผด ..ถงแมลาดบจะลเขาส 0 กไมจาเปนทอนกรมจะเปนคอนเวอรเจนต

(57) ขอ 1. ถก ..เพราะ 2n 2n 1 2nS S a เสมอ (เชน 10 9 10S S a )

ขอ 2. ผด ..อนกรมเรขาคณต จะหา S ไดเมอ คา r อยในชวง ( 1, 1) เทานน

ขอ 3. ถก ..เปนสงทควรทราบ อนกรมซงหา S ได จะมคา nn

lim a 0

เสมอ

ขอ 4. ถก ..เปนสงทควรทราบ ถา nn

lim a 0

ไมจาเปนตองหา S ไดเสมอไป

ขอ 5. ถก ..ลาดบ n1a n หาลมตได (เปน 0)

(58) ขอ 1. ลาดบ 3 5cos , cos , cos , ...2 2 2

นนคอ 0, 0, 0, ... เปนลาดบคอนเวอรเจนต ขอ 1. ถก

ขอ 2. ลาดบ cos , cos 2 , cos 3 , ... นนคอ 1, 1, 1, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 3. ลาดบ 3 5sin , sin , sin , ...2 2 2

นนคอ 1, 1, 1, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 4. ลาดบ 1, 1, 1, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต

(59) ขอ 1. na 1 เสมอ เปนลาดบคอนเวอรเจนต

ขอ 2. ลาดบยอยลเขาหา 0 ..กคอ nnlim a 0

เปนลาดบคอนเวอรเจนต

ขอ 3. ลาดบยอยลเขาหา 1 (กวดแกวง) เปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 4. ลาดบยอยลเขาหา 0 ..กคอ nnlim a 0

เปนลาดบคอนเวอรเจนต

(60) ขอ 1. cos cos 2 cos 3 ... 1 1 1 1 ...

nS 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 2. 3 5sin sin sin ...2 2 2

1 1 1 1 ... nS 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต


ขอ 3. 1 1 1 1 ... nS 1, 0, 1, 0, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 4. 1 1 1 1 ...2 4 8 16

n1 3 7 15S , , , , ...2 4 8 16

เปนลาดบคอนเวอรเจนต (ลเขาส 1) ตอบ ขอ 4.

(61) ขอ ก. ผด ..นา n 1 หารทงเศษและสวน

จะได n 1n 1

1a1

ดงนน nnlim a 1

ขอ ข. ถก ..เพราะคา nr จะลเขาเมอ 1 r 1 เทานน

ขอ ค. ถก ..เพราะเปนอนกรมเรขาคณต

ซงมคา 1r 10 อยในชวง 1 r 1 พอด

ตอบ ขอ 3.

(62) n1 1a ( )(n 1) (n)( )n n

n 1 1n

12 n

nnlim a 2 0 2

ตอบ

(63) n n n n1 1z z (1 3i)(1 3i)2 2

2 2n1(1 ) (3)2

n n nn nlim a lim z z

2 2nn1lim((1 ) 3 )2

2(1 0) 9 10 ตอบ

(64) nn

lim a

เมอ n เปนจานวนค คอ 1

nnlim a

เมอ n เปนจานวนค คอ 0

(คดจาก 2n

1n1n

lim 1

0 00 1

)

ลมตของลาดบยอยมคาไมเทากน ดงนน na ไมมลมต ตอบ ขอ 5.

(65) เนองจาก 2n

523 n na 86

ดงนน nn3 0 0 17lim a 86 2

ตอบ

(66) จาก 2

n2

1 11 n na 13 n

..ดงนน nn

1lim a 3

จาก n

nn

2( ) 15b 91 5

..ดงนน nn

1lim b 11

ตอบ n n n nnlim (a b a b )

1 1( ) ( 1) ( )( 1) 13 3

(67) ให n 1 n 1

n n 1 n 15 3a 2 5

นา n5 หารเศษและสวน จะได n

n n

3153

2 15 5

5 ( )a 2( )

ดงนน nn 15

5 0lim a 250

ตอบ

(68) นา 4n หารทงเศษและสวน

จะได 2 3 2

n4

113

103

31 1( )( n )n n na5 n 1n

ดงนน nn(0 0)(0 0)lim a 0 0 1

0 01

ตอบ

(69) นา n หารทงเศษและสวน

จะได 1 16 2

1 12 4n

1 n na5n n 3 2

ดงนน nn1 0 0 1lim a 0 0 3 2 3 2

ตอบ


(70) ซายมอ 3 23n

3cn n cnlim 8n 1

2

n3

c13c 3cn nlim 1 88 n

และขวามอ n 1

n 2n 1

( 2) 4 83 2 3 93

3 92 51 ( )3

3c 9 c 4.88 5 ตอบ

(71)

เนองจาก2

3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 ... n 2

ดงนน 4

n 2n 1a n(n 1)2

4

4 3 24(n 1)

n 2n n

ตอบ nnlim a 4

(ดจากสมประสทธนา)

(72) จาก

nn n

n(n 1)n 2lim a lim n(n 1)(2n 1)3

6

n

n 1lim 2n 1 2

และ nn n( 3n 2 3n 1)lim b lim ( n 2 n 1)

..คณดวย 3n 2 3n 1 n 2 n 13n 2 3n 1 n 2 n 1

จะได n

1 ( n 2 n 1)lim 1 ( 3n 2 3n 1)

..นา n หารทงเศษและสวน

ได n

2 11 1 1 1 1n nlim 2 1 3 3 33 3n n

ดงนน ตอบ n nn1 1lim (a b ) 2 3

(73) เนองจาก n(n 1)1 2 3 ... n 2

ดงนน 2 2(1 2 ... n) n(n 1)

n 2n

1 12 2n

..พบวาเมอคา n มากขน

คาของ 1 12 2n กจะยงมากขนดวย

คอ 1 12 2 , 1 1

2 4 , 1 12 6 , ...

ตอบ ขอบเขตบนนอยสดคอ n

1 1 1lim( )2 2n 2

(74) 1, 2, 2, 3, 3, 3, , n, n, n, , n 1 พจน 2 พจน 3 พจน n พจน

na คาเฉลยเลขคณต ผลรวมขอมล จานวนขอมล

(1) (2 2) (3 3 3) (n n n n)1 2 3 n

21 4 9 ... n

1 2 3 ... n

n(n 1)(2n 1)2n 16

n(n 1) 32

ดงนน nn n

a 22n 1lim limn 33n

ตอบ

(75) จาก a(log n) 1

a af (log n) a na

ดงนน a an 1

f (log n) a 2a 3a ...

เปนอนกรมเลขคณต ซงไดเวอรเจนตเสมอ (ขอ 2.)

(76) คาของ 1 n 1 nn 1

a (a a )

1 2 1 3 2 4 3a (a a ) (a a ) (a a ) ...

2 3 2 4 3a (a a ) (a a ) ...

3 4 3a (a a ) ... ฯลฯ

..พบวา ผลบวกสดทายจะมคาเปน a นนคอ 1 ตอบ ขอ 3.


(77) 22n 12 2n

n 00

xa x dx ( )2n 1

2n 12 02n 1

2n 12

1 2n

คาของ 2n 1

2n 1n 1

2(1 2n)( ) (2 )1 2n

5 731/21 1 1 1 2...2 2 2 1 1/4 32

ตอบ ขอ 2.

(78) เนองจาก 7 5f (x) 8x 6x ..ดงนน

7 5n n nn n

lim (f f )(a ) lim f(8a 6a )

7 5 8 7 5 6n n n nn

lim [(8a 6a ) (8a 6a ) ]

ซงโจทยกาหนด nnlim a 1

ตอบ 8 6(8 6) (8 6) 192

(79) วธท 1 ลมตคอ 3 3 3 3 ... x .....(1)

จะได x3 3 3 ... 3

และยกกาลงสองไดเปน 2x3 3 3 ... 9 .....(2)

แตเนองจาก (1) = (2); 2

2xx x 9x 09 (x)(x 9) 0

x 9 (เพราะไมเทากบ 0 แนๆ ) ตอบ 9

วธท 2 ลาดบนคอ 13 , 11 23 ,

1 11 2 43 , …

ดงนนลมตตองมคาเทากบ 1 1 11 ...2 4 83

..พจารณาทกาลง พบวาเปนอนกรมเรขาคณตอนนต

ซงมคาเทากบ 1 21 1/2

ตอบ 23 9

(80) 1a 1 2a 1 cb 2

3a 1 cb cb ดงนน 2 3 n

na 1 cb cb cb ... cb และ 2 3

nnlim a 1 cb cb cb ...

cb1 21 b

(โจทยกาหนด)

cb 1 b .....(1)

จาก 23

3a 1 cb cb 2

จะได 31 (1 b) (1 b)(b) 2

2 32 b 2 1b 2

..ดงนน แทนคาลงในสมการท (1)

จะได 1 b 1c 1 2 1b b

ตอบ c 2b ( 2 1) ( 2) 1 1

(81) จาก 1f(2) 2

2 1 1f (2) f(f(2)) 2

3 1 2f (2) f(f (2)) 2 ..ฯลฯ

จงได n na 2 2 2 ... f (2)

n1 1 1 1...2 4 8 22

ดงนน n n n

1 1 1 1b ln a ( ... )ln22 4 8 2

ตอบ nn1/2lim b ( ) ln2 ln21 1/2

(82) เนองจากแตละขอ คา n เปนจานวนเตมบวกเสมอ ดงนนขอ 2. กบ 4. ใชเงอนไขบน แตขอ 1. กบ 3. ใชเงอนไขลาง (เพราะเปน –n)

ขอ 1. (f f)( n) f( n) n หาผลบวกไมได เพราะเปนอนกรมเลขคณต 1 2 3 4 ...

ขอ 2. n nf(n) f(n) 2 2 หาผลบวกได 1/21 1 1 1 1 1 ... 2( ) 22 2 4 4 8 8 1 1/2

ขอ 3. f( n) f( n) ( n)( n) 2n หาผลบวกไมได เพราะเปนอนกรม 2 2 21 2 3 ...

ขอ 4. n1 1

f(n) 2 n2 หาผลบวกไมได

เพราะเปนอนกรมเรขาคณตทม r 2 คอ 2 4 8 16 ...


ลาดบและอนกรม 83. [โควตา มช. / 2545] กาหนดให 1 2 3a , a , a , ... เปนลาดบเลขคณต ถา 1 5 9 13a a a a 220 แลว 1 7 13a a a มคาเทากบขอใด 1. 55 2. 110 3. 135 4. 165 84. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] กาหนดให 1 2 3 97a , a , a , ..., a เปนลาดบเลขคณต ซงม d เปนผลตางรวม และ 1 3 5 97 2 4 6 96a a a ... a a a a ... a ดงนน 51a มคาเทากบขอใดตอไปน 1. d 2. d 3. 2d 4. 2d 85. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] ลาดบเลขคณตชดหนงมทกพจนเปนจานวนเตมบวก ถาผลบวก 9 พจนแรกมคาเทากบพจนท 43 ของลาดบ และพจนท 5 มคานอยกวา 20 แลว พจนท 15 มคาเทาใด 86. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] ถาผลบวกของสพจนแรกของลาดบเลขคณตลาดบหนงเทากบ 44 และอตราสวนระหวาง

ผลคณของพจนทหนงกบพจนทส และผลคณของพจนทสองกบพจนทสาม เทากบ 514

แลว ผลคณของสพจนนนเทากบขอใดตอไปน 1. 4580 2. 4480 3. 4380 4. 4280 87. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] พจารณาขอความตอไปน ก. ถา 1a , 2a , 3a เปนลาดบเลขคณต แลว 1 2a a , 1 3a a , 2 3a a เปนลาดบเลขคณตดวย ข. ถา 1a , 2a , 3a เปนลาดบเรขาคณต แลว 2

1a , 22a , 2

3a เปนลาดบเรขาคณตดวย ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ

เฉลย 83. 4 84. 4 85. 59 86. 2 87. 1


88. [พนฐานวศวะฯ / 2541] แผนฟลมกรองแสงชนดหนง กรองแสงออกได 20 เปอรเซนต ถาตองการนาแผนฟลมกรองแสงชนดนไปตดรถยนตเพอใหกรองแสงออกไดประมาณ 60 เปอรเซนต โดยใชแผนฟลมชนดนซอนกน อยากทราบวาจะตองใชแผนฟลมชนดนกชน สมมตใหแสงผานกระจกได 100 เปอรเซนต 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 89. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2547] ผจดการโรงงานแหงหนงวางแผนทจะนาเงนรายไดในแตละปไปฝากธนาคาร เพอจะใชเปน

เงนลงทนในอก 4 ปขางหนา โดยจะเรมฝากเงนในปหนา เปนปแรก 100,000 200,000 และ 300,000 บาท ตาม ลาดบ (ดงแผนภมกระแสเงนสด) อยากทราบวาในปท 4 ถา อตราดอกเบยเงนฝากคงท 10% ตอป ผจดการคนนจะมเงน เกบรวมเปนเทาใด (คดเปนหนวยพนบาท)

90. [พนฐานวศวะฯ / 2539] เชอกเสนหนงยาว 10 m นามาตดแบงครงความยาว แลวนาสวนทแบงแลวมาตดแบงครงอก นาสวนทถกตดแบงครงแลวมาตดแบงครงไปเรอยๆ ถามวาจะตองตดอยางนอยทสดกครง ความยาวของเชอกทถกแบงครงสดทายจงจะเหลอไมถง 1 mm (กาหนดให log 2 0.301 ) 1. 12 2. 13 3. 14 4. 15 91. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] ให na เปนลาดบเรขาคณตทมอตราสวนรวมเปนจานวนเตมทไมเทากบ 1 ถา 6a เปนจานวนเตม และ 6 9a a 52 แลว 1a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2243 2. 2

243 3. 181 4. 1

81

92. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] ให na เปนลาดบเรขาคณตของจานวนจรงบวก

ซงม 2 3 4 55a a a a 8 และ 4 5 6 7

5a a a a 32

แลว 1 2 3 9a a a ... a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 511128 2. 511

384 3. 513128 4. 513384

93. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] ให 1 2 3a , a , a , ... เปนลาดบเลขคณต และ 1 2 3b , b , b , ... เปนลาดบเรขาคณต โดยท 1a 0 และ n nb a 2 สาหรบทกจานวนนบ n

ดงนน 10 20 301

b 3 a ba


1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

0 1 2 3 4 ปท

100,000

200,000

300,000


94. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2547] จงหาตวเลขในตาแหนงทขาดหายไปของลาดบตอไปน 125, 726, ......, 40328, 362889 1. 5027 2. 5037 3. 5047 4. 5067 95. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] ให na เปนลาดบของจานวนจรงบวก ทสอดคลองสมการ n n 1log alog a

n n 1(a ) (a ) (n 1)

โดย 1a 8 , 2a 16 แลว 2 2544log a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 254434( )4 2. 254334( )4 3. 254343( )3 4. 254443( )3

96. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] ในลาดบเลขคณตทมผลตางรวมเปนบวก ถาผลบวกของพจนท 1 กบพจนท 7 มคาเทากบ 26 และผลคณของพจนท 2 กบพจนท 6 มคาเทากบ 69 แลว ผลบวก 6 พจนแรกของลาดบนมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 69 2. 67 3. 65 4. 63 97. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2539] ถาผลบวกของ 50 พจนแรกของลาดบเลขคณตเทากบ 200 และผลบวกของ 50 พจนถดไปเทากบ 2700 จงหาพจนแรก 1. 45 2. 45 3. 20.5 4. 20.5 5. 21.5 98. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2542] จงหาสพจนแรกของอนกรมเลขคณต ซงมผลบวก n พจนแรกเปน n (3n 5)2

99. [คดโอลมปก / 2538] ให {1,2, 3, ...,65}U และ X { x | U ห.ร.ม. ของ x กบ 65 เทากบ 1 } ผลบวกของสมาชกในเซต X ทงหมดมคาตรงกบขอใด 1. 2145 2. 1560 3. 650 4. 585 100. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] ให a เปนจานวนเตมบวกท 4 และ 7 หารลงตว และผลบวกของจานวนเตมตงแต 9 ถง a ท 7 หารลงตว แต 4 หารไมลงตว มคาเทากบ 7091 แลว a มคาเทากบเทาใด

เฉลย 88. 3 89. 705.1 90. 3 91. 1 92. 2 93. 3 94. 3 95. 3 96. 4 97. 3 99. 2 100. 364


101. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] มหลอดไฟอยดวงหนง หลอดไฟดวงนถกควบคมใหสวางหรอดบ ตามเงอนไขดงน สวาง 1 วนาท, ดบ 3 วนาท, สวาง 5 วนาท, ดบ 7 วนาท, … เปนเชนนไปเรอยๆ จงใหเหตผลวา ณ วนาทท 500 หลอดไฟดวงนสวางหรอดบ 102. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] ถา 1 2 na , a , ..., a เปนลาดบเรขาคณตทม n พจน โดยท 3a 3 และผลบวกของ 3 พจนสดทายเปน 3 เทาของผลบวกของ 3 พจนแรก แลว na มคาเทาใด 103. [โควตา มช. / 2539]

ให nS เปนผลบวกของ n พจนแรก ของอนกรม nn 1

a

ถา nnS 3 แลว จงหา 1 2 3 4a , a , a , a

1. 1 2 2 2, , ,3 9 27 81 2. 1 2 2 2, , ,3 9 27 81

3. 1 1 1 1, , ,3 9 27 81 4. 1 1 1 1, , ,3 9 27 81


จงหาผลบวกจนถง n พจน ของ 1 1 1 1 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) ...2 2 4 2 4 8


ให 2 2 1001 1 1 1 1 1S (1 ) (1 ) ... (1 ... )2 2 22 2 2

ถาเขยน S A B เมอ A เปนจานวนเตม และ 0 B 1< แลว A มคาเทากบเทาใด 106. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547]

กาหนดให 2

3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 ... n 2

จงหาคาของผลบวก 3 3 3 32 4 6 ... (2m) 107. [โควตา มช. / 2543]

กาหนด x 2 x 4 x 6 2... 6x x x x

จงหาคาของ x

108. [คดโอลมปก / 2548]

เซตคาตอบของอสมการ 2 3 10

1 1 1... 1log x log x log x < คอชวงใด

1. (0, 1) 2. [10!, ) 3. (0, 1) (1, ) 4. (0, 1) [10!, )


109. [คดโอลมปก / 2539]

จานวนเตมบวก n ททาให 1 1 1 1... 8n n 11 2 2 3 3 4

มคาเทาใด 1. 70 2. 75 3. 80 4. 85 110. [คดโอลมปก / 2538]

คาของ 2 3 81 1 1 1(2 )(2 )(2 )...(2 )2 1 2 1 2 1 2 1

ตรงกบขอใดตอไปน

1. 5113 2. 171 3. 256 4. 2573

111. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2542] กาหนดให a {1} R และ n3

2 2 2 2a a aalog a log a log a ... log a 2550

คาของ 1 3 5 ... (2n 1)2 4 6 ... 2n


1. 4950 2. 5051 3. 5152 4. 5253

112. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2543] ในการวดการเปลยนแปลงของการทดลองทางวศวกรรม บอยครงทคาทวดไดจะอยในรปของลาดบ ขอใดตอไปนไมถกตองเกยวกบลาดบ 1. โดเมนของลาดบเปนจานวนเตมบวก 2. ลาดบเรขาคณตคอลาดบทมอตราสวนของพจนท n+1 กบพจนท n คงท 3. คาลมตของลาดบคอคาเพยงจานวนเดยว ทพจนท n ของลาดบมคาเขาใกล หรอเทากบ เมอ n มคามากขนอยางอนนต 4. ลาดบไดเวอรเจนตคอลาดบอนนตทมคาลมตของลาดบเปนจานวนจรง 113. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2541]

จงหาคา x xx xx

3 3lim 3 3


จงหาคาของ 5 35n

4n nlim 3 cos(n )5n 38

โดยท n เปนจานวนเตมบวก

1. 0 2. 0.8 3. 2.4 4. 115. [โควตา มช. / 2543]

จงหา 5

6ncos n (3n 1)(1 2n)lim 8n

เฉลย 101. สวาง 102. 9 103. 2 105. 199 107. 26 108. 4 109. 3 110. 2 111. 2 112. 4 113. -1 114. 3 115. 12



ถา 3

3n4 3n(2n 1) 9n (3n 1)y lim 1 3(n 1) 9n (n 1)

จงหาวา y มคาเทาใด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 117. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2541]

จงหาคา m m 1

0 1 mn n 1x 0 1 n

a x a x ... alim b x b x ... b

เมอ 0 0a , b 0 และ m, n เปนเลขจานวนเตมบวก โดยตอบแยกเปน 2 กรณ คอเมอ m n และเมอ m n 118. [โควตา มช. / 2538]

จงหาคาของ nnn

2n(1 5 )lim (n 1)5

119. [โควตา มช. / 2545]

กาหนดลาดบ n

n2 5a 2n 3

และ

nn

2b n

แลว nn n

alim b มคาเทากบขอใด

1. 52 2. 53 3. 12 4. 1

3

120. [โควตา มช. / 2541]

กาหนด 2

n n 1n 1a 4

เมอ n 1,2, 3, ... จงหา n 1

n n

alim a


ถา n 3

n 1 3n4n 2 9n (2n 2)A lim 2 5n (n 4)

จงหาคา A

1. 0 2. 3. 1/2 4. 18/5 122. [โควตา มช. / 2540]

ให 2f(x) x จงหาคาของ n

1 1 1lim n [ f( ) f( )]10 n 10 เมอ n เปนจานวนเตมบวก

123. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2541] จงหาคา

nlim n ( n 1 n)


124. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] กาหนดให ลาดบ

n n nna 9 3 1 3

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ลาดบ na ไมมลมต 2. ลาดบ na มลมตเทากบ 0

3. ลาดบ na มลมตเทากบ 12 4. ลาดบ na มลมตเทากบ 1


1n n n3

nlim (8 4 ) 2


1. 0 2. 13 3. 1

4 4. 18

126. [โควตา มช. / 2546] ให n{ S } เปนลาดบของจานวนจรงทกาหนดโดย n 1

n n 1S S 4 สาหรบ n 1, 2, 3, ... และ 0

1S 3

จงหาคาของ n2nn

6Slim 3 5 2


นยาม n

i 1 2 ni 1

A A A ... A

และ n

i 1 2 ni 1

A A A ... A

กาหนดให n8n 210A [ , ], nn 2n 1

I

จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ii n

10A [ , 4]n

ข. i

i n

8n 2A [0, ]2n 1

ค. i ii 1 i n i 1 i n

A A

ขอใดตอไปนถกตอง 1. มขอความทถก 1 ขอ 2. มขอความทถก 2 ขอ 3. ถก 3 ทงขอความ 4. ผดทกขอ 128. [โควตา มช. / 2540]

กาหนดให 1 2 na a ... a ... เปนอนกรมเรขาคณตซงม 29a 5 และ 3

27a 25

จงหาผลบวกของอนกรมน

เฉลย 116. 3 118. -2 119. 3 120. 0.25 121. 3 122. 0.2 123. 0.5 124. 3 125. 2 126. 0.4 127. 3 128. 7.5



คาของ x ททาให 2 3 31 2x 2x 2x ... 2 คอขอใด

1. 1x 5 2. 1x 3 3. 1x 3 4. 3x 7 5. 1x 5

130. [โควตา มช. / 2541]

จงหาคาของ x ททาให x 2x 3x 12(3 ) 2(3 ) 2(3 ) ... 4

131. [คดโอลมปก / 2548]

กาหนดให 2 4 6x x x1 ...4 16 64 เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

จงหาผลบวกของคา x ทงหมดทสอดคลองสมการ 2 4 6

212xx x x1 ... (8x 9x 2)4 16 6410 10 0


กาหนดอนกรม kk 0

m

และอนกรม 2k

k 0m

ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนตทงค

และผลบวกของอนกรมแรกเปนสเทาของผลบวกของอนกรมหลง แลว m มคาเทาใด 133. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545] สาหรบจานวนนบ n ใดๆ กาหนด na 1 2 ... n และ n 1 2 nb a a ... a

แลว n2 2 2n

blim 1 2 ... n มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 12 4. หาคาไมได

134. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] ให 1 2 3 100a , a , a , ..., a เปนลาดบเลขคณต โดยท 51 535 a a 16

ดงนน 100

nn 1

a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 200 2. 400 3. 600 4. 800 135. [พนฐานวศวะฯ / 2539] ให na n สาหรบ n เปนเลขค และ n/2

na 2 สาหรบ n เปนเลขค

จงหาคา 100

nn 1

a เมอกาหนดให 252 x

1. 22500 2(x 1) 2. 42500 2(x 1) 3. 25050 2(x 1) 4. 45050 2(x 1)


136. [โควตา มช. / 2537]

จงหาผลบวกของอนกรม n nn 0

( 1) cos ( )3

137. [โควตา มช. / 2547]

จงหาผลบวกของ nn 1

11 cos n3

138. [โควตา มช. / 2538]

ผลบวกของอนกรม n 1 nn 1n 1

( 1) e3


1. e3 e

2. e3 e

3. 3e3 e

4. 3e3 e

139. [โควตา มช. / 2544]

จงหา n n

n2 3n5 13 35 2 3lim ...6 66 6

140. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] ตอไปนขอใดถกตอง 1. ลาดบคอนเวอรเจนต ไดแก ลาดบทมลมตเปน 0 2. ลาดบไดเวอรเจนต ไดแก ลาดบทมลมตเปนจานวนไมจากด 3. ผลบวกของอนกรมอนนต ไดแก ลมตของลาดบผลบวกยอยของอนกรมนน เมอลาดบดงกลาวมลมต

4. n

n1 r 1lim 1 r 1 r

5. n 3i 1

n(n 1)(n 2)i 4

141. [โควตา มช. / 2542] ขอใดตอไปนผด

1. n nn 1

(2 3 ) 1.50

2. ถา na แทนพจนท n ของลาดบ 2,6,24, 120, ... แลว 9998

a 100a

3. ให S { x | x เปนจานวนเตมทหารดวย 7 ลงตว และ 100 x 500}< < ผลบวกของสมาชกทงหมดใน S มคาเทากบ 17,157

4. 20 2i 1

(2i 1) 1066

เฉลย 129. 1 130. 2 131. 2/3 132. ไมม 133. 3 134. 2 135. 1 136. 2/3 137. 0.75 138. 3 139. 1.5 140. 3 141. 4


142. [โควตา มช. / 2548]

จงหา n

n i 1

1 3ilim (1 )n n


2 2 2 21 2 2 3 3 4 ... 19 20 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 40130 2. 41230 3. 42130 4. 43120 144. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] ผลบวกของอนกรมจากด 1 40 3 38 5 36 ... 39 2 มคาเทากบเทาใด 145. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] 100 i 3i 1

( 1) i


1. 507451 2. 507500 3. 522700 4. 522749 146. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2549] สาหรบจานวนเตมบวก m ใดๆ 2 2 2 m1 2 ... m (m 1)(2m 1)6

กาหนดให 2 2 2 2A 1 4 7 ... (3n 2) และ 2 2 2 2B 2 5 8 ... (3n 1) จงหาคาของ A B และ A B และคาของ A และ B 147. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545]

กาหนดให nlog(n 1)a logn

เมอ n 2, 3, 4, ..., 2001

และ 2001

n 2 na1y log 10

ดงนน y10 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2log 2002 2. 10log 2002 3. 100log 2001 4. 2001log 2001 148. [คดโอลมปก / 2543]

กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกค ททาให n k 1

k 1

k 3( 1) ln( ) 2 ln6 ln23k 1

จะไดวา n คอจานวนในขอใดตอไปน 1. 21 2. 23 3. 25 4. 27


149. [คดโอลมปก / 2548] จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา n 23a 16n 4

แลว nn 1

a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต และมผลบวกเทากบ 0.35

ข. กาหนดให 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... เปนลาดบเลขคณต ถา 3a 24 และ 2 2 2

4 2 32a 2a a แลว 15

nn 1

a มคาเทากบ 585

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 150. [โควตา มช. / 2548]

จงหาผลบวกของอนกรม nn 1

8 7( )5 (n 3)(n 4)

151. [คดโอลมปก / 2549] สาหรบจานวนเตมบวก n กราฟพาราโบลา 2 2y (n 3n 2)x (2n 3)x 1 ตดแกน x ทจด n(a , 0) และจด n(b , 0) คาของ

2550n n

n 1a b


1. 25512552 2. 1275

2552 3. 25492551 4. 17252551


ให 2 2n 1

2n 1a n (n 1)

และ n n

n 1b (ln2 )(ln2)

แลว a b มคาเทาใด 153. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2545]

ถา n 3

n 1n 1

n2sin(n ) ( 1)a 5( 1)

และ b เปนผลรวมของอนกรม 3 7 151 ...4 16 64

แลว a b มคาเทาใด 154. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2537]

จงหาผลบวกของอนกรมอนนต 2n 1n 1

1 1 1 1log2 log 8 log 32 ... log2 ...2 10 50 2 5

เฉลย 142. 2.5 143. 2 144. 5740 145. 2 147. 1 148. 1 149. 3 150. 0.25 151. 2 153. 10/3



ถาผลบวกของอนกรม 2 3a 2a 3a ... มคาเปน 34

แลว 2 3 91 2 3 9...a a a a มคาเปนเทาใด


จงหาคาอนกรม 1 1 11 ...1 2 1 2 3 1 2 3 4


ให 1 1 1 1A 2 1 ...2 8 16 32

และ 1 1 1 1B 1 ...3 6 10 15

จงหาผลบวกของอนกรม A และผลบวกของอนกรม B 158. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2546] จากขอทแลว A B เปนอนกรมคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนต เพราะเหตใด 159. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2548] จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาไมจรงใหยกตวอยางคาน (1) ถาลาดบ n{a } และ n{b } ไมลเขา (diverges) แลว ลาดบ n n{a b } ไมลเขา

(2) ถาลาดบ n{a } ลเขาหา 0 แลว อนกรม nn 1

a

ลเขา (converges)

(3) ถาลาดบ n{a } และ n n{a b } ลเขา แลว ลาดบ n{b } ลเขา (4) ถาลาดบ n{a } เปนลาดบทมขอบเขต (มจานวนจรง B ซง na B< ) แลว ลาดบ n{a } ลเขา (5) ถาลาดบ n{a } ไมลเขา และ k เปนจานวนจรงใดๆ แลว ลาดบ n{ka } ไมลเขา 160. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2541] รปสเหลยมจตรสรปหนงมความยาวของแตละดานเทากบ a ถกบรรจดวยสเหลยมจตรสซงมมมอยทจดกงกลางของแตละดานของสเหลยมภายนอก ดงแสดงในรป ถาสเหลยมดงกลาวเกดขนอยาง

ไมสนสด จงหาผลรวมของเสนรอบรปสเหลยมทงหมดทเกดขน

1. 4 2 a1 2

2. 2 14 2 a

3. 4 2 a2 1 4. 1 2

4 2 a

a

a


Cn

Cn+1

161. [พนฐานวศวะฯ / 2541] วงกลม n 1C สรางจากวงกลม nC โดยท n 1, 2, 3, ... โดยการสรางสเหลยมจตรส บรรจในวงกลม nC แลวสรางวงกลม n 1C บรรจในสเหลยมจตรสดงกลาว ดงแสดงในรป

ถาวงกลม 1C มเสนผานศนยกลาง d จงหาผลบวกของเสนรอบวงของวงกลมทงหมด

1. (2 2) d 2. 2( 2 1) d

3. ( 2 1) d2

4. 2 d2 1

162. [คดโอลมปก / 2549] กาหนดให 1 2 3 nA {a , a , a , ..., a , ...} เปนลาดบของจานวนจรง นยามลาดบ A ดงน 2 1 3 2 4 3 n 1 nA {a a , a a , a a ..., a a , ...} ถา ( A) {1, 1, 1, ...} และสมมตวา 25a 1,000 และ 49a 1,900 แลวคาของ 1a เทากบเทาใด 1. 772 2. 748 3. 700 4. 676 163. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2539] ให OA และ OB เปนเสนตรง 2 เสนทตางกน ให 1P เปนจดๆ หนงบน OA ลาก 1 2PP ใหตงฉากกบ OB ทจด 2P แลวลาก 2 3P P ใหตงฉากกบ OA ทจด 3P ทาเชนนตอไปเรอยๆ ไมรจบ ถา 1 2PP ยาว a หนวย และ 2 3P P ยาว b หนวย จงหาผลบวกของความยาวของเสนตงฉากทงหมด เฉลย 156. 2 157. 15/4, 2 158. คอนเวอรเจนต 159. ขอ(3)จรงขอเดยว 160. 3 161. 4 162. 4


เฉลยวธคด (83) จาก 1 5 9 13a a a a 220 จะได 14a (4 8 12)d 220

14a 24 d 220 .....(1)

โจทยถาม 1 7 13a a a 1 13a (6 12)d 3a 18 d

ซงพบวา หาไดโดยนา 34 คณสมการท (1)

ตอบ 3220 1654

(84) จากสมการในโจทย ยายพจนซายมาลบทางขวา จะได

97 2 1 4 3 96 95a (a a ) (a a ) ... (a a ) d d ... d 48d นนคอ 1 1a 96d 48d a 48d โจทยถาม 51 1a a 50d 48d 50d 2d ตอบ

(85) ผลบวก 9 พจนแรกมคาเทากบพจนท 43

จะได 1 19 (2a 8d) a 42d2 18a 6d 0

..โจทยกาหนดวาทกพจนเปนจานวนเตมบวก

13a d4 แสดงวา d ตองหารดวย 4 ลงตว

และในทานองเดยวกน

14d a3 แสดงวา 1a ตองหารดวย 3 ลงตว

( 1a เปนจานวนเตมบวก จงไดวา d เปนจานวนเตมบวกดวย)

เรมทดลองจากกรณ 1a 3 (นอยทสดทเปนไปได) จะได d 4 นนคอลาดบเปน 3, 7, 11, 15, 19, ... พบวาตรงตามเงอนไข “พจนท 5 มคานอยกวา 20” แตถา 1a 6 หรอมากกวานน จะทาให d มากดวย และพจนท 5 มคาเกน 20

สรปวาลาดบเลขคณตนสามารถเปน 3, 7, 11, 15, 19, ... เพยงแบบเดยว ตอบ 15a 3 14(4) 59

(86) เพอความสะดวก จงใหสพจนนนเปน x 3c, x c, x c, x 3c จะไดผลบวก 4x 44 x 11

และอตราสวนของผลคณคอ (x 3c)(x 3c) 5(x c)(x c) 14

2 2 2 214(x 9c ) 5(x c ) 2 29x 121c 0

แทนคา x 11 จะได 2c 9 (แสดงวา c 3 หรอ 3 กได)

โจทยถามผลคณสพจน คอ (x 3c)(x 3c)(x c)(x c) 2 2 2 2(x 9c )(x c ) (121 81)(121 9) 4480 ตอบ

(87) ขอ ก. กาหนดให 2 1 3 2a a a a .....(1) พจารณาลาดบ 1 2a a , 1 3a a , 2 3a a ผลตางคอ 1 3 1 2 3 2(a a ) (a a ) a a และ 2 3 1 3 2 1(a a ) (a a ) a a ..จากสมการ (1) จงไดวา

1 3 1 2 2 3 1 3(a a ) (a a ) (a a ) (a a ) ..ผลตางเทากน ลาดบ 1 2a a , 1 3a a , 2 3a a จงเปนลาดบเลขคณต (ขอ ก. ถก) ขอ ข. กาหนดให 2 1 3 2a /a a /a .....(2) พจารณาลาดบ 2

1a , 22a , 2

3a อตราสวนคอ 2 2 2

2 1 2 1a /a (a /a ) และ 2 2 2

3 2 3 2a /a (a /a ) ..จากสมการ (2) จงไดวา 2 2 2 2

2 1 3 2a /a a /a ..อตราสวนเทากน ลาดบ 2

1a , 22a , 2

3a จงเปนลาดบเรขาคณต (ขอ ข. ถก)

(88) ตองการกรองแสง เหลอประมาณ 0.40 1 ชน เหลอแสง 0.80 2 ชน เหลอ 0.80 0.80 0.64 3 ชน เหลอ 0.80 0.64 0.512 4 ชน เหลอ 0.80 0.512 0.4096 ดงนน ตอบ 4 ชน


(89) คดเปนหนวยพนบาท จะไดวา ปท 1 ฝาก 100 ..ถงปท 2 (บวกดอกเบย) เปน 1.1 100 110 ฝากเพมอก 200 เปน 310 ..ถงปท 3 เปน 1.1 310 341 ฝากเพมอก 300 เปน 641 ..ถงปท 4 เปน 1.1 641 705.1 พนบาท ตอบ

(90) 10 เมตร 410 มลลเมตร

ตดครงแรกเหลอ 410

2 , ตดครงทสองเหลอ 42

102 ,

ครงทสามเหลอ 43

102 , ฯลฯ

4n 4

n10 1 2 10 n log2 42

4n 0.301 ..ซง 4 130.301 กวา

ตองตด 14 ครงขนไป ตอบ

(91) จาก 6 9a a 52 จะได 3

6 6a a r 52 36a (1 r ) 52

ซงโจทยกาหนดให r เปนจานวนเตมทไมใช 1, และ 6a เปนจานวนเตม ..พบวาเปนไปไดกรณเดยวคอ r 3 และ 6a 2 เทานน

..ดงนน 61 5

a 2 2a r 243 243

ตอบ

(92) จาก 2 3 4 55a a a a 8

จะได 2 32

5a (1 r r r ) 8

และจาก 4 5 6 75a a a a 32

จะได 2 34

5a (1 r r r ) 32

สองสมการหารกนไดเปน 242

a 1ra 4

..โจทยกาหนดใหแตละพจนเปนจานวนจรงบวก

ดงนน 1r 2 เทานน

แทนคาลงในสมการ จะได

11 1 1 1 5a ( )(1 )2 2 4 8 8

15 2 8 2a 8 1 15 3

..ดงนน 9

9(2/3)(1 (1/2) )S 1 1/2

4 1 511(1 )3 512 384 ตอบ

(93) 1 2 3b , b , b , ... คอ 1 2 3a 2, a 2, a 2, ... เปนลาดบเรขาคณต

จงไดวา 2 31 2

a 2 a 2a 2 a 2

22 3 1(a 2) (a 2)(a 2)

22 2 2(a 2) (a d 2)(a d 2)

2 2 22 2(a 2) (a 2) d

ดงนน d 0

สรปไดวาลาดบเลขคณตนนมคาเทากนทกพจน เชน a, a, a, a, ... ลาดบเรขาคณตจงมคาเทากนทกพจนดวย คอ a 2, a 2, a 2, a 2, ...

คาของ 10 20 301

b 3 a ba

(a 2) 3a (a 2) 3a

ตอบ

(94) พจารณาหลกหนวย พบวาเลขเรยง 5 6 ? 8 9 ใชหลกการอปนยจะไดวา ตองเปนเลข 7 เทานน

หลกทเหลอ 12 72 ? 4032 36288

ถาลองหารดจะพบวา 72 362886, 912 4032

และ 4032 56 7 872

..ดงนน สวนทหายไปคอ 72 7 504 ตอบ 5,047

หมายเหต เขยนรปทวไปไดวา

n(n 4)!a 12 10 (n 4) (n 4)! (n 4)5!


(95) จาก n n 1log alog an n 1(a ) (a )

ใส log ทงสองขาง จะได

n n n 1 n 1(log a )(log a ) (log a )(log a )

..นนคอ n 1 nn n 1

log(a ) log(a )log(a ) log(a )

(ทกๆ n 1 )

อตราสวน log ของพจนตดกนมคาเทากน แสดงวาลาดบ nlog a เปนลาดบเรขาคณต ..โจทยบอก 1log a log8 , 2log a log 16

จงไดอตราสวนรวมเปน log 16 4 log2 4log8 3 log2 3

และได 25432544log a log8 (4/3)

ตอบ 2543

25432 2544

log8 (4/3) 4log a 3( )log2 3

(96) เพอใหคานวณงาย จงเขยนสตรโดยใช 4a ซงเปนพจนกลาง จะได ผลบวก; 4 4(a 3d) (a 3d) 26

4a 13

ผลคณ; (13 2d) (13 2d) 69 d 5 แตโจทยกาหนดวา d เปนบวกเทานน จงได d 5 แสดงวา 1a 13 3(5) 2 และ 6a 13 2(5) 23

..ดงนน ผลบวก 6 พจนแรก คอ 1 66 (a a )2

3(21) 63 ตอบ

(97) ผลบวก 50 พจนแรก; 1 5050 (a a ) 2002

ผลบวก 50 พจนถดไป; 51 10050 (a a ) 27002

สองสมการลบกน จะได..

51 1 100 5050 [(a a ) (a a )] 25002

51 1 100 50[(a a ) (a a )] 100 [ 50d 50d ] 100 d 1

แทนคาลงในสมการแรก..

1 150 (a (a 49)) 2002

1a 20.5 ตอบ

(98) จาก nnS (3n 5)2

จะได 11S (3 5) 42

และ 22S (6 5) 112

ดงนน 1a 4 และ 2a 11 4 7 ตอบ สพจนแรกของอนกรมน ไดแก 4, 7, 10, 13

(99) เนองจาก 65 13 5 ดงนน จานวนนบ x ซง ห.ร.ม. ของ x กบ 65 เปน 1 กคอจานวนทไมม 13 หรอ 5 เปนตวประกอบ

..ในขอนหมายถง จานวนนบทไมอยใน {13,26,39,52,65} และไมอยใน {5,10,15,20,…,65} นนเอง

X {1,2, 3, ...,65} ({5, 10, 15, ...,65} {13,26, 39,52}) และผลบวกของสมาชกใน X หาไดจาก (1 2 3 ... 65) (5 10 15 ... 65) (13 26 39 52) ใชสตรอนกรมเลขคณต

65 13 4(1 65) (5 65) (13 52)2 2 2

2145 455 130 1560 ตอบ

(100) เนองจาก a เปนจานวนเตมบวกท 4 และ 7 หารลงตว แสดงวา a 4 7 n โดยท n เปนจานวนนบ

ผลบวกจานวนเตมตงแต 9 ถง a ท 7 หารลงตว แต 4 หารไมลงตว ไดแก (14 21 28 ... a) (28 56 ... a) 7091

..ในแตละวงเลบเปนอนกรมเลขคณต วงเลบแรกเรมจาก 14 7 2 ไปถง a 7 4n จงม 4n 1 พจน วงเลบหลงเรมจาก 28 ไปถง a 28 n จงม n พจน

ดงนนจะไดสมการเปน 4n 1 n(14 28n) (28 28n) 70912 2


(4n 1)(7 14n) n(14 14n) 7091 242n 7 7091 n 13

ตอบ a 4 7 13 364

(101) อนกรมของเวลาสวาง/ดบ เปนดงน S 1 3 5 7 ... ซงจะพบวา 1S 1 (หมดชวงท 1 กนเวลารวม 1 วนาท),

2S 4 (หมดชวงท 2 กนเวลาไปอก รวมเปน 4 วนาท),

3S 9 (หมดชวงท 3 กนเวลาไปอก รวมเปน 9 วนาท),

4S 16 , ฯลฯ ..นนคอ 2nS n

..เนองจาก 222S 22 484

และ 223S 23 529 ..ดงนน

ตอบ ณ วนาทท 500 สถานะของหลอดไฟกาลงอยภายในชวงท 23 นนคอ หลอดไฟกาลงสวางอย

(102) โจทยกาหนด

n 2 n 1 n 1 2 3(a a a ) 3(a a a ) จะได n 3 n 2 n 1 2

1 1 1 1 1 1(a r a r a r ) 3(a a r a r ) n 3 2 2

1 1a r (1 r r ) 3 a (1 r r ) n 3r 3 .....(1)

แต 23 1a a r 3 .....(2)

สมการท (1) คณดวย (2) จะได n 11a r 9

ตอบ n 1n 1a a r 9

(103) จาก 11 1

1a S 3 3

2 2 11 1 2a S S 9 3 9

3 3 21 1 2a S S 27 9 27

และ 4 4 31 1 2a S S 81 27 81

ดงนน ตอบ ขอ 2.

(104) จาก

1 1 1 1 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) ...2 2 4 2 4 8

1 1 1(2 1) (2 ) (2 ) (2 ) ...2 4 8

ดงนน ผลบวก n พจนคอ

n 11 1 1 1(2n) (1 ... )2 4 8 2

n1(1 1/2 )(2n) ( )1 1/2

n12n 2(1 )2 n

12(n 1 )2 ตอบ

(105) จากการสงเกต ถาภายในแตละวงเลบถกบวกดวยพจนสดทาย จะไดคาเปน 2 เสมอ

ดงนน 2 1001 1 1S (2 ) (2 ) ... (2 )2 2 2

2 1001 1 1200 ( ... )2 2 2

1001/2(1 1/2 )200 1 1/2

1001200 (1 )2 100

1199 2

ซง 10010 12 พอด.. จงได A 199 ตอบ

(106) จาก 3 3 3 32 4 6 ... (2m)

3 3 3 3(2 1) (2 2) (2 3) ... (2 m) 3 3 3 3 3(2 )(1 2 3 ... m )

2m(m 1)8 2

2 22m (m 1) ตอบ

(107) แตละพจนในฝงซายเปนลาดบเลขคณตทมคานอยลงๆ จนถง 2 เราสามารถเขยนสมการใหมโดย

ยอนลาดบ ไดเปน x 22 4 6 ... 6x x x x

..นา x คณ ไดเปน 2 4 6 ... (x 2) 6x

(จะเหนไดวา จานวนพจนเทากบ x 22 พจน)

ใชสตรอนกรมเลขคณต; x 2( )(2 (x 2)) 6x4

x 2( )(x) 6x4

แต x ไมมทางเปน 0 แนนอน จงตดทงสองขางได x 2( ) 6 x 264

ตอบ


(108) จากอสมการในโจทย จะได x x xlog 2 log 3 ... log 10 1 <

xlog (2 3 ... 10) 1 <

ถา x 1 จะได 110! x< ..นนคอ x [10!, ) ถา 0 x 1 จะได 110! x> ..นนคอ x (0, 1) ตอบ (0, 1) [10!, )

(109) จากสมการ

1 1 11 2 2 3 3 4

1... 8n n 1

จะได 1 2 2 3 3 41 1 1

n n 1... 81

1 n 1 8 n 1 91

n 80 ตอบ

(110) จากโจทย จะได

1 1 1 1 1(2 )(2 )(2 )(2 )...(2 )3 5 9 17 257

5 9 17 33 513( )( )( )( )...( )3 5 9 17 257

จะเหนวาเศษสวนตดกนไปไดเปนทอดๆ 513 1713 ตอบ

(111) จากโจทย จะไดสมการเปน

a a a a2 log a 4 log a 6 log a ... 2n log a 2550

2 4 6 ... 2n 2550 n (2 2n) 25502 n(n 1) 2550

..ซง 2550 50 51 ดงนน n 50

โจทยถามคา 1 3 5 ... 992 4 6 ... 100

50 50[ (1 99)] [ (2 100)]2 2

50(50)(50) (50)(51) 51 ตอบ

(112) ตอบ ขอทผดคอ ขอ 4. ..เพราะลาดบไดเวอรเจนต คอลาดบท “ไมมลมต” หรอ “หาคาไมได” (ถาไดเปนจานวนจรงเรยกวาคอนเวอรเจนต)

สวนขออนๆ ถกตอง และเปนสงทควรทราบอยแลว

(113) จดรปโดยนา x3 คณทงเศษและสวน

จะไดเปน 2x2xx

3 1lim 3 1

0 10 1

1 ตอบ

(114) นา 5n หารทงเศษและสวน

จะได 5 3 25n n

5

14 44n n nlim lim 38 55n 38 5 n

และ n nlim 3 cos(n ) 3 lim cos(n )

n

3 lim { 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , }

3 1 3

ตอบ 4 3 2.45

(115) แยกคดทละสวนเพราะลมตแจกแจงผลลบได

๏ 6ncos nlim 08n

เพราะ cos n มคา 1, 1 เทานน แตตวสวนมากขนเรอยๆ เมอหารกนแลวจงเขาส 0

๏ 5 5

6n n(3n 1)(1 2n) (3 1/n)(1/n 2)lim lim 88n

5(3)( 2) 128

ตอบ 0 ( 12) 12

(116) 2 4 3

4 3n4 6n 3n 27n 9nlim 1 3n 3 9n 9n

นา 4n หารเศษและสวน หรอดจากสมประสทธนา

..จะไดคาตอบเปน 27 39 ตอบ


(117) จาก m m 1

0 1 mn n 1x 0 1 n

a x a x ... alim b x b x ... b

mm

0 1 mn nx 0 1 n

a a /x ... a /xxlim x b b /x ... b /x

m

0nx 0

a xlim b x

ตอบ ถา m n จะไดลมตเปน (หาคาไมได) ถา m n จะไดลมตเปน 0

(118) n nn nn n n

2n(1 5 ) 2n 1 5lim lim lim(n 1)5 n 1 5

nn n2 1lim lim ( 1)1 1/n 5

2 (0 1) 2 ตอบ

(119) n

nnn nn

(2 5)(n)alim limb (2n 3)(2 )

n

nn n2 5nlim lim2n 3 2

nn n

1lim lim (1 (5/2 ))2 (3/n)

1 1 0.52 ตอบ

(120) จาก 2

n n 1n 1a 4

จะได

2n 1 n

(n 1) 1a 4

ดงนน 2 n 1

n 1n 2n nn

(n 1) 1a 4lim lim ( )a 4 n 1

2 n 1

n2n(n 1) 1 4lim ( )4n 1

11 0.254 ตอบ

(121) 4 3 n

4 3 nn4n 18n 18n 2lim 5n 20n 2 2

นา n2 ไปหารทงเศษและสวน จะไดเปน 4 3n

4 3nn

4n 18n 18n 12lim 5n 20n 22

ซงถา n แลว 4 nn 2 (นอยกวามากๆๆๆ) 4nn

nlim 02 ดงนน ตอบ 1

2

(122) พจารณาเฉพาะ 1 1 1f( ) f( )10 n 10

จะไดเปน 2 21 1 1( ) ( )10 n 10

1 1 1 1 1 1( )( )10 n 10 10 n 10

1 2 1( )( )n 10 n

..ดงนน โจทยถาม n

1 2 1lim n [( )( )]n 10 n

n

2 1 2lim ( ) 0 0.210 n 10 ตอบ

(123) จาก

nlim n( n 1 n)

นา ( n 1 n) คณทงเศษและสวน จะได

n

n 1 nlim n( )n 1 n

n

nlim n 1 n

นา n หารทงเศษและสวน จะได

n 1n

1 1 1lim 1 1 21 1

ตอบ

(124) ให nx 3 จะไดวา

2nn x

lim a lim [ x x 1 x]

2 2

2x(x x 1) (x )lim

x x 1 x

2xx 1lim

x x 1 x

..จากนนนา x หารทงเศษและสวน

x 2

11 xlim 1 11 ( ) 1x x

1 0 121 0 0 1

ตอบ ขอ 3.


(125) ให nx 2 จะไดวา 1 1

n n n 3 23 3n xlim (8 4 ) 2 lim (x x ) x

3 2 3

2 1 1 2x 3 2 3 23 3 3 3

(x x ) xlim(x x ) (x x ) (x) (x)

2

2 1 1 2x 3 2 3 23 3 3 3

xlim(x x ) (x x ) (x) (x)

จากนนนา 2x หารทงเศษและสวน

(โดยท 2

2 3 3x (x ) และ 1

3 3x (x ) )

2 1 1 2x 2 23 3 3 3

1lim(1 1/x) (1 1/x) (1/x ) (1/x )

1 11 1 1 3

ตอบ

(126) จาก n 1

n n 1S S 4

จะได 01 0

1S S 4 13

12 1

1S S 4 1 43

23 2

1S S 4 1 4 163 ..ฯลฯ

ดงนน n n

n1(4 1)1 4S 3 4 1 3

..โจทยถาม n2nn

6Slim 3 5 2

n

n2nn n2 4 2lim lim (3/4 ) 53 5 2

2 0.40 5

ตอบ

(127) 1A [ 10,2] ,

214A [ 5, ]5 , 3

10 22A [ , ]3 7 , ...

n n10 8n 2A [ lim( ), lim( )] [0, 4]n 2n 1

(เปนชวงทไมเกดขนจรงเพราะเกดทอนนต)

ก. n n 1 n 210A A A A [ , 4)n ถก

ข. n n 1 n 28n 2A A A A (0, ]2n 1

ถก

ค.i 1 i 1

10 8n 2[ , 4) (0, ]n 2n 1

(0, 4) (0, 4) ถก

..ดงนน ตอบ ถก 3 ขอ

(128) หาคา 32

27/25a 3r a 9/5 5

ดงนน 21

9/5aa 3r 3/5

ผลบวกอนกรมน 1a 3 7.51 r 1 3/5

ตอบ

(129) จะได 2 3 31 2(x x x ...) 2

x 31 2( )1 x 2

x 11 x 4

4x 1 x

ตอบ 1x 5

หมายเหต คา x ตองอยในชวงเปด ( 1, 1) เทานน

(130) นา 2 หาร

จะได x 2x 3x1 1 1 1...3 83 3

ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต ไดดงน x

x1/3 1

1 1/3 8

อาจมอง x1 A3 เพอแกสมการงายขน

เมอแกสมการเรยบรอย จะได x1 13 9

(ซงตรวจสอบแลวใชได ไมผดเงอนไขของอนกรมเรขาคณตอนนต) ..ดงนน x 2 ตอบ


(131) คาของ 2 4 6x x x1 ...4 16 64

2 21 4

1 x /4 4 x

ดงนนสมการคอ 2212x4

(8x 9x 2)4 x10 10 0

2212x4

(8x 9x 2)4 x10 10

2 24 12x

4 x 8x 9x 2

2 28x 9x 2 3x(4 x ) 3 23x 8x 3x 2 0

(3x 1)(x 1)(x 2) 0 1x 3 หรอ 1 หรอ 2

..ตรวจสอบกบคา r ของอนกรม วาตรงเงอนไข 1 r 1 หรอไม (ถา r ไมไดอยในชวงน อนกรมจะไมคอนเวอรเจนต)

จาก 2xr 4 พบวา 1x 3 กบ 1 ใชได..

(แต x 2 ใชไมได เพราะจะทาให r 1 )

ตอบ ผลบวกคา x เทากบ 1 213 3

(132) จาก k 2 3k 0

m 1 m m m ...

11 m

(หาคาไดเมอ 1 m 1 )

และ 2k 2 4 6k 0

m 1 m m m ...

21

1 m

(หาคาไดเมอ 21 m 1 )

จะได 21 14( )1 m 1 m

21 m 4 4m 2m 4m 3 0

(m 3)(m 1) 0 m 3 หรอ 1 แตคา m ทงสองน ไมสอดคลองกบเงอนไขทจะทาใหอนกรมในโจทยทงสองหาคาได

ตอบ ไมมคาตอบททาใหเปนไปตามโจทยได

(133) จาก 2n

n(n 1) 1a (n n)2 2

จะได 2 2n

1 1b (n n) [ n n ]2 2

ดงนน n n2 2 2 2n n

b blim lim1 2 ... n n

2

2nn n1 lim2 n

2n

1 nlim (1 )2 n

n

(n)(n 1) / 21 lim (1 )2 (n)(n 1)(2n 1) / 6

n

1 3lim (1 )2 2n 1

1 1(1 0)2 2 ตอบ

(134) จาก 51 535 a a 16 จะได 1 15(a 50d) (a 52d) 16

14a 198d 16 12a 99d 8

โจทยถาม 100

n 1n 1

100a (2a 99d)2

50(8) 400 ตอบ

(135) 100

n 1 2 3 100n 1

a a a a a

1 2 501 2 3 2 99 2 1 2 3 50(1 3 5 99) (2 2 2 2 ) 5050 2(1 2 )(1 99)2 1 2

50 22,500 2(2 1) 2,500 2(x 1) ตอบ

(136) แจกแจงซกมาไดดงน (อยาลมท n 0 ดวย)

2 31 cos( ) cos ( ) cos ( ) ...3 3 3

1 1 11 ...2 4 8 (อนกรมเรขาคณต)

1 21 ( 1/2) 3

ตอบ


(137) จากโจทย แจกแจงซกมาไดดงน

2 31 1 11 ( cos cos 2 cos 3 ...)3 3 3

2 31 1 11 ( ...)3 3 3

1/3 11 ( ) 1 0.751 ( 1/3) 4

ตอบ

(138) แจกแจงซกมาได 1 2 3 4e e e e ...1 3 9 27

พบวาเปนอนกรมเรขาคณตอนนต

(คา er 3 อยในชวง ( 1, 1) จงหาคาอนกรมได)

ตอบ e 3e1 ( e/3) 3 e

(139) จากโจทยจะไดคาเปน n n

nn 1

2 36

สามารถแยกเปนอนกรมเรขาคณตบวกกน ดงน

n nn nn 1 n 1

2 36 6

n nn 1 n 1

1 13 2

1/3 1/2 1 1 1.51 1/3 1 1/2 2

ตอบ

(140) ขอ 1. ผด ..มลมตเปนจานวนจรงใดกได (ไมจาเปนตองเปน 0)

ขอ 2. ผด ..อาจเปนลาดบทกวดแกวงคงท หรอแกวงกวางขนกได (ขอเพยงไมไดมแนวโนมเขาหาคาใดเปนพเศษ)

ขอ 3. ถก (เขยนเปนสญลกษณไดวา nn

S lim S

)

ขอ 4. ผด ..จะเปนจรงเมอ 1 r 1 เทานน (ลาดบเรขาคณตอนนต) แตถา r ไมอยในชวงน จะหาคาลมตไมได

ขอ 5. ผด ..ตองเปน n(n 1)(n 2)6

(141) ขอ 1. จาก n nn 1 n 1

1 12 3

เมอแจกแจงแลวจะไดอนกรมเรขาคณตอนนต

1 1 1 1 1 1( ...) ( ...)2 4 8 3 9 27

1/2 1/3 11 1.51 1/2 1 1/3 2


ขอ 2. 21

a 6 3a 2 , 32

a 24 4a 6 ,

43

a 120 5a 24

ถาเราใชหลกการอปนย กยอมไดวา 9998

a 100a

ดงนน ขอ 2. ถก ขอ 3. S {105, 112, 119, ..., 497} ซง 105 7 15 และ 497 7 71 ดงนน S มสมาชก 57 ตว เปนลาดบเลขคณต

ผลบวกเทากบ 57 (105 497) 171572


ขอ 4. 20 202 2i 1 i 1

(2i 1) (4i 4i 1)

24 i 4 i 1

20(21)(41) 20(21)4 4 206 2

10660 ดงนน ขอ 4. ผด

(142) จากโจทย n n

n i 1 i 1

1 3lim ( 1 i)n n

n

n(n 1)1 3lim (n )n n 2

n

n 13lim (1 )2 n

31 (1) 2.52 ตอบ


(143) คาของ 2 2 2 21 2 2 3 3 4 ... 19 20

เมอเขยนดวยสญลกษณซกมา

จะไดเปน 19 2n 1

n(n 1)

..สามารถคานวณคาไดดงน

19 192 3 2n 1 n 1

n(n 1) (n 2n n)

3 2n 2 n n

219 20 19 20 39 19 2022 6 2

2(190) 4940 190 41230 ตอบ

(144) 1, 3,5, ..., 39 และ 40, 38, 36, ...,2 เปนลาดบเลขคณต

หารปทวไป และใสซกมาไดเปน 20

n 1(2n 1)(42 2n)

คานวณไดดงน 20 2n 1

( 4n 86n 42)

20 21 41 20 214( ) 86( ) 42(20)6 2

11480 18060 840 5740 ตอบ

(145) ลองแจกแจง และจดกลมไดดงน 100 i 3 3 3 3 3 3i 1

( 1) i 1 2 3 4 ... 100

3 3 3 3(2 4 6 ... 100 ) 3 3 3 3(1 3 5 ... 99 )

50 503 3n 1 n 1

(2n) (2n 1)

3 3(8n 8n 50 2n 1

12n 6n 1)

50 51 101 50 51(12 ) (6 ) (1 50)6 2

[50 51 (202 3)] (1 50) 507500 ตอบ

(146) 2 2 2 2 2A B 1 2 4 5 7 2 2... (3n 2) (3n 1) 2 2 2 2 2(1 2 3 4 ... (3n) ) 2 2 2 2(3 6 9 ... (3n) ) 2 2 2 2 2(1 2 3 4 ... (3n) ) 2 2 2 23 (1 2 ... n )

3n n( (3n 1)(6n 1)) 9( (n 1)(2n 1))6 6

36n n

2 2 2 2A B (1 2 ) (4 5 ) 2 2... ((3n 2) (3n 1) ) ( 1)(3) ( 1)(9) ( 1)(15)... ( 1)(6n 3) ( 1)(3 9 15 ... (6n 3)) เปนอนกรมเลขคณต

n( 1) (3 (6n 3))2 23n

..ดงนน 3 2

3 2(6n n) ( 3n ) 3 nA 3n n2 2 2

และ 3 2

3 2(6n n) ( 3n ) 3 nB 3n n2 2 2

หมายเหต อาจใชสตรซกมาคานวณ เพอความสะดวกยงขน นนคอ..

n n2 2i 1 i 1

A (3 i 2) (9 i 12 i 4)

(n)(n 1)(2n 1) (n)(n 1)9 12 4n6 2

และ n n2 2i 1 i 1

B (3 i 1) (9 i 6 i 1)

(n)(n 1)(2n 1) (n)(n 1)9 6 n6 2

(147) จาก 2001 2001

nn 2 n 2na

1y log alog 10

2 3 4 2001log a log a log a ... log a 2 3 4 2001log(a a a ... a )

log 3 log 4 log5 log2002log( ... )log2 log 3 log 4 log2001

log2002log( )log2

ดงนน y2

log200210 log 2002log2 ตอบ


(148) แจกแจงผลบวกซกมา จะได 4 5 6 7ln( ) ln( ) ln( ) ln( )2 3 4 5

n 2 n 3... ln( ) ln( )n n 1

n 34 6 8ln( ... )2 4 6 n 1

n 25 7 9ln( ... )3 5 7 n

n 3 n 2ln( ) ln( )2 3

n 3 3ln( )2 n 2

..ดงนนสมการคอ n 3 3ln( ) 2 ln6 ln232 n 2

n 33 36ln( ) ln( )2 n 2 23

n 33 362 n 2 23

n 3 24

n 2 23

n 21 ตอบ

(149) ขอ ก.

จาก n 23 3a (4n 2)(4n 2)16n 4

3 1 1( )4 4n 2 4n 2

ดงนน

nn 1

3 1 1 1 1 1 1a ...4 2 6 6 10 10 14

3 1 3 0.3754 2 8

..ขอ ก. ผด

ขอ ข. จาก 2 2 2

4 2 32a 2a a จะได 2 2 22( 24 d) 2( 24 d) ( 24)

2 2 22 [( 24 d) ( 24 d) ] ( 24) 22(2d)( 48) ( 24) d 3

จงได 1a 24 6 18

ดงนน 15

nn 1

15a ( 18 ( 18 14( 3)))2

585 ..ขอ ข. ถก

(150) แยกคดทละสวน เพราะซกมาแจกแจงผลลบได

n 2 3n 1

8 1 1 1( ) 8( ...)5 5 5 5

1/58( ) 21 1/5

n 1

7 1 1 1( ) 7( ...)(n 3)(n 4) 4 5 5 6 6 7

1 1 1 1 1 17( ...)4 5 5 6 6 7

1 77( )4 4

ตอบ 7 12 0.254 4

(151) จดตดแกน x ของกราฟ หาไดโดยให y เปน 0 ..นนคอ 2 20 (n 3n 2)x (2n 3)x 1

0 [(n 1)x 1][(n 2)x 1] 1x n 1

หรอ 1x n 2

(หมายเหต ถานกตวประกอบไมออก

ใหใชสตร 2b b 4acx 2a

)

..ดงนน 2550 2550

n nn 1 n 1

1a b (n 1)(n 2)

1 1 1...2 3 3 4 2551 2552

1 1 1 1 1 1...2 3 3 4 2551 2552

1 1 12752 2552 2552 ตอบ

(152) หาคา a ไดดงน

2 2 2 2 2 2 2 23 5 7 9a ...1 2 2 3 3 4 4 5

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 ...1 2 2 3 3 4

21 11


และหาคา b ไดดงน (สมมตวา ln2 k ) n

n 1b n(ln2)(ln2)

n

n 1k n k

2 3k(k 2k 3k ...) .....(1) นา k คณ จะได 2 3 4kb k(k 2k 3k ...) ....(2) สมการท (1) ลบดวย (2);

2 3 4b kb k(k k k k ...) kk( )1 k

(รวมอนกรมอนนตได เพราะ k ln2 1 ) 2kb ( )1 k

ตอบ 2ln2a b 1 ( )1 ln2

(153) แจกแจง a (โดยแทน n ดวย 1, 2, 3, …) ไดดงน

1 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1a ...5(1) 5( 1) 5(1) 5( 1)

1 2 3 42 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ...5 5 5 5

2/5 21 2/5 3

และหาคา b ไดดงน 3 7 15b 1 ...4 16 64

1 1 1 1 1(2 1) (1 ) ( ) ( ) ...4 2 16 4 64

1 1 1 1 1(2 1 ...) (1 ...)2 4 4 16 64

2 1( ) ( )1 1/2 1 1/4

4 84 3 3

ตอบ 10a b 3

(154) จากโจทย 1 3 5 7log2 log2 log2 log2 ...2 10 50 250

log2 3 5 71 ...2 5 25 125

พจารณาเฉพาะในวงเลบหลง ไดดงน

ให 3 5 7S 1 ...5 25 125

นา 5 หาร จะได; 1 1 3 5S ...5 5 25 125

สองสมการลบกน; 4 2 2 2S 1 ...5 5 25 125

..พบวา เปนอนกรมเรขาคณตอนนต 2/54 1 3S 1 15 1 1/5 2 2

ดงนน 3 5 15S 2 4 8

ตอบ log2 15 15 log22 8 16

(155) จาก 2 3 3a 2a 3a ... 4 .....(1)

นา a คณ; 2 3 4 3a 2a 3a ... a4 .....(2)

สมการ (1) ลบดวย (2); 2 3 3a a a ... (1 a)4

a 3 (1 a)1 a 4

(คานวณไดเมอ 1 a 1 เทานน) 24a 3 6a 3a

(3a 1)(a 3) 0 ..ดงนน 1a 3 เทานน

หาคา 2 3 91 2 3 9S ...a a a a

2 3 91(3) 2(3 ) 3(3 ) ... 9(3 ) ….(3) นา 3 คณ จะได

2 3 4 103S 1(3 ) 2(3 ) 3(3 ) ... 9(3 ) .....(4) สมการ (3) ลบดวย (4);

2 3 9 102 S 1(3) 1(3 ) 1(3 ) ... 1(3 ) 9(3 )

9

103(3 1) 9(3 )3 1

1017(3 ) 32

..ดงนน 1017(3 ) 3S 4

ตอบ


(156) จาก 1 1 1 1S 1 ...3 6 10 15

4 1 1 1 ...3 6 10 15

9 1 1 ...6 10 15

16 1 ...10 15

25 ...15

จะเหนวา 2

nnS 1 2 ... n

เสมอ

ดงนนคาของ 2

nn nnS lim S lim 1 2 ... n

2

n n(n 1)2

nlim

2

2n2 nlim 2n n

ตอบ

(157) 1 1 1 1A (2 1 ...)2 4 8 4

2 1 1 15( ) 41 1/2 4 4 4

ตอบ

1 1 1 1B 1 ...3 6 10 15

คานวณไวแลวในขอทแลว ไดคาตอบเทากบ 2 ตอบ

(158) ตอบ เปนอนกรมคอนเวอรเจนต เพราะทง A และ B ตางกหาคาได จงทาให A B หาคาไดดวย..

(เทากบ 15 724 4 )

(159) ตอบ (1) ไมจรง เชน n

na 2 และ nnb (2 )

จะทาใหลาดบ n{a } และ n{b } ไมลเขา แตลาดบ n n{a b } ลเขาหา 0

(2) ไมจรง

เชน n1a n จะทาใหลาดบ n{a } ลเขาหา 0

แตอนกรม nn 1

a

ไมลเขา

(3) จรง เพราะเปนไปไมไดเลยท n nn

lim(a b )

กบ nnlim a

เปนจานวนจรง แต nnlim b

ไมเปนจานวนจรง

(4) ไมจรง เชน n

na ( 1) จะทาใหลาดบ n{a } มขอบเขต (เพราะ na 1< เสมอ) แตลาดบ n{a } ไมลเขา

(5) ไมจรง เชน k 0 ยอมทาใหลาดบ n{ka } ลเขาเสมอ

(160) ความยาวดานนอกสด a จะไดเสนรอบรปนอกสด 4a

ความยาวดานถดไป 2 2a a a4 4 2

จะไดเสนรอบรปชนทสอง 4a2

..ดงนน เสนรอบรปรวม 24a 4a4a 2 ( 2)

4a 4 2 a1 2 11 ( )2

(ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต)

a/2

a/2


d d

2 2 d/2

O

a

P1

P2

P3

b

c B

A (161) เสนรอบวง วงนอกสด d

รศมวงถดไป d2 2 เสนรอบวง d

2

ดงนน ผลบวกคอ 2d dd 2 ( 2)

d 2 d1 2 11 ( )2

ตอบ


(162) เนองจาก ( A) {1, 1, 1, ...} ถาให 2 1a a m จะได A {m,m 1,m 2, ...} และได 1 1 2 3A {a , a m, a (m 1), a (m 2), ...} 1 1 1{a , a m, a 2m (1), 1 1a 3m (1 2), a 4m (1 2 3), ...}

ดงนน 25 1a a 24m (1 2 ... 23) 1000 1a 24m 276 1000 .....(1) และ 49 1a a 48m (1 2 ... 47) 1900 1a 48m 1128 1900 .....(2)

..นา 2 คณสมการท (1) แลวลบดวยสมการท (2) จะได 1 1a 576 100 a 676 ตอบ

(163) ผลบวกทตองการคอ a b c ... แต b a cos , 2c b cos a cos , ฯลฯ จงไดผลบวกเปน 2a a cos a cos ...

a a1 cos 1 b/a

2a

a b

ตอบ


Documents

kanuay@hotmail - km.nssc.ac.th · บทที่ 1 เซต หน้า ๏ สรุปเนื้อหาและต ัวอย่าง 7 ๏ ข้อสอบเข ้ามหาว