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Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser
Kapitel 1-4 (Ausblick)
Endogenes Wachstum
und endogene
Sparquote
Version: 22.11.2011
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 2
Endogene Wachstumstheorie
Literatur N. Gregory Mankiw, Makroökonomik, 6. Auflage, 2011, Kapitel 8.4
Manfred Gärtner, Macroeconomics, 3rd Edition, 2009, Kapitel 10.6
Problem des Solow-Modells
langfristiges Wachstum des Pro-Kopf-Einkommens nur durch
exogenen technischen Fortschritt möglich
d.h. Wachstum wird angenommen, nicht erklärt
Ursache:
• im Steady-State (ohne technischen Fortschritt) wachsen Pro-
Kopf-Größen nicht
• Sparfunktion (Investitionsfunktion), die wegen der abnehmenden
Grenzerträge des Kapitals einen konkaven Verlauf hat, hat immer
einen Schnittpunkt mit der linearen Funktion der zur Erhaltung
der Kapitalintensität erforderlichen Investitionen.
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 3
Endogene Wachstumstheorie
Endogene Wachstumsmodelle
heben die Annahme der abnehmenden Grenzerträge auf
Produktionsfunktion
𝑌 = 𝐴 ∙ 𝐾
𝐴𝐾-Modell
• Kapital als einziger Produktionsfaktor
• Stand des technischen Wissens (Technologie) 𝐴
• konstanter Grenzertrag (-produktivität) des Kapitals 𝜕𝑌 𝜕𝐾 = 𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
• d.h. eine zusätzliche Einheit 𝐾 erhöht die Produktion 𝑌 um 𝐴 Einheiten,
unabhängig davon, wie viele Einheiten von 𝑌 bereits produziert wurden
• zum Vergleich: bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (𝑌 =𝐴𝐾𝛼𝑁1−𝛼) nimmt die Grenzproduktivität des Kapitals mit der
Kapitalintensität ab: 𝜕𝑌 𝜕𝐾 = A𝛼 𝐾 𝑁 1−𝛼
konstante Grenzproduktivität als zentraler Baustein
der endogenen Wachstumstheorie
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 4
Endogene Wachstumstheorie
bei einem eng gefassten Kapitalbegriff ist es schwer,
von der Annahme abnehmender Grenzerträge
abzuweichen
Eng gefasst heißt, dass 𝐾 nur Sachkapital umfasst
Wenn ein Arbeiter 10 Computer zur Verfügung gestellt
bekommt, produziert er mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht
zehn Mal so viel wie ein Arbeiter mit nur einem Computer.
Abnehmende Grenzerträge bedeuten eben, dass sein Output
um einen Faktor kleiner 10 zunehmen wird.
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 5
Endogene Wachstumstheorie
weitgefasster Kapitalbegriff als ökonomische
Begründung für die Annahme konstanter Grenzerträge
In der Produktionsfunktion spielt nicht nur Sach-, sondern
auch Humankapital eine Rolle
Humankapital beschreibt das Wissen, die Fähigkeiten, die
Ausbildung des Faktors Arbeit
Ungelernte Arbeit spielt keine Rolle mehr
Investitionen in den Faktor Arbeit erhöhen das Humankapital,
ähnlich wie der physische Kapitalstock durch (Anlage-)
Investitionen erweitert wird
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 6
Endogene Wachstumstheorie
weitgefasster Kapitalbegriff als ökonomische
Begründung für die Annahme konstanter Grenzerträge
wichtige Anforderung an die Produktionsfunktion ist, dass der physische Kapitalstock und der Bestand an
Humankapital sich gleichermaßen ausweiten, d.h. dass eine Einheit Humankapital effektiv immer mit der selben Menge
an physischem Kapital arbeitet
Produktionsfunktion: 𝑌 = 𝐴𝐾𝛼 𝐻𝑁 1−𝛼
Humankapital 𝐻 entwickelt sich proportional mit der
Kapitalintensität (Kapitalausstattung je Einheit Arbeit):
𝐻 = 𝐾 𝑁
die Produktionsfunktion lautet dann: 𝑌 = 𝐴𝐾𝛼 𝐾
𝑁𝑁
1−𝛼= 𝐴𝐾
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 7
Endogene Wachstumstheorie
Wachstumsgleichgewicht
dieses Modell wird nicht in Pro-Kopf-Größen formuliert, da
die Beschäftigung bzw. Bevölkerung nicht in der
Produktionsfunktion vorkommen
Investitionen 𝐼 = 𝑆 = 𝑠𝐴𝐾
Veränderung des Kapitalstocks 𝐾+1 − 𝐾 = Δ𝐾 = 𝐼 − 𝛿𝐾
beides zusammen Δ𝐾 = 𝑠𝐴𝐾 − 𝛿𝐾 ⇒ 𝑔𝐾 = Δ𝐾 𝐾 = 𝑠𝐴 − 𝛿
da 𝑔𝑌 = 𝑔𝐴 + 𝑔𝐾, kann die Produktion selbst bei konstanter
Bevölkerung und konstantem technischen Wissen mit 𝑔𝐾
wachsen
d.h. 𝑔𝑌 = 𝑠𝐴 − 𝛿, somit hängt die Wachstumsrate der
Produktion von der Sparquote ab
dieses Ergebnis steht im Widerspruch zum Solow-Modell
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 8
Solow-Modell AK-Modell
f(Kt) 𝜹 Kt sf(Kt)
Pro
du
kti
on
Y
Kapital K
f(Kt/N)
𝜹 Kt/N
sf(Kt/N)
Pro
du
kti
on
je
Bes
ch
äft
igte
n Y
/N
Kapitalintensität K/N
Y*/N
K*/N
Endogene Wachstumstheorie
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 9
Endogene Wachstumstheorie
Sparquote als Determinante langfristigen Wachstums
höhere Sparquoten führen zu höheren Anlageinvestitionen
und zu höheren Investitionen in Humankapital
der Anstieg der Produktivitäten führt dann zu höherem
Wachstum
Wirtschaftswachstum kann sich also selbst bestimmen und
fällt nicht wie „Manna vom Himmel“
• Sparquoten können wirtschaftspolitisch beeinflusst werden
• Sparquoten können endogenisiert werden
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 10
Endogene Wachstumstheorie
Evidenz Nach dem AK-Modell
weisen Länder mit
einer höheren
Sparquote (und
dementsprechend mit
einer höheren
Investitionsquote) ein
höheres Wachstum
des Pro-Kopf-
Einkommens auf.
Quelle: Gärtner
(2009),
Macroeconomics, S.
297
135 Länder,
Durchschnitte über
den Zeitraum 1960-85
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 11
Endogene Sparquote
Bislang: Haushalte sparen/investieren einen
konstanten Teil ihres Einkommens
Jetzt: Haushalte maximieren ihren Nutzen
im Solow Modell bereits diskutiert im Rahmen der Goldenen
Regel der Kapitalakkumulation
• allerdings war das Optimalitätskriterium der maximale Steady State Pro-
Kopf-Konsum
• Goldene Regel nicht unbedingt plausible Annahme, da Steady State erst
nach unendlich langer Zeit erreicht wird.
Periodennutzen 𝑈(𝑐𝑡) mit positiven, aber fallendem
Grenznutzen U
c
U(c)
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 12
Endogene Sparquote
Zwei-Periodenmodell
Gegenwartswert des Gesamtnutzen = Summe der
abdiskontierten Periodennutzen
Υ = 𝑈 𝑐1 + 𝛽𝑈 𝑐2 wobei der Diskontfaktor 𝛽 definiert ist als
𝛽 =1
1+𝜌 und 𝜌 die Diskontrate ist
• der Nutzen aus Periode 2 wir mit der Rate 𝜌 abdiskontiert
• wenn 𝜌 > 0, dann schätzen Haushalte den zukünftigen Konsum geringer
als den heutige (Ungeduld, Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen)
Intertemporale Indifferenzkurven c2
c1
Υ3 Υ2
Υ1
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 13
Endogene Sparquote
Zwei-Periodenmodell
Haushalte maximieren Gegenwartswert des Gesamtnutzen
Allerdings kann der Konsum nicht unbegrenzt ausgeweitet
werden
• Haushalte sind in ihrem Budget restringiert
• In Periode 1 teilen sie ihr Arbeitseinkommen 𝑦 in Konsum 𝑐 und Ersparnis
𝑠 auf: 𝑐1 = 𝑦1 − 𝑠1, wobei 𝑠1 auch negativ sein kann (Kreditaufnahme)
• In Periode 2 wird das Arbeitseinkommen und die aus der Vorperiode
verzinste Ersparnis konsumiert: 𝑐2 = 𝑦2 + 1 + 𝑟 𝑠1
• Intertemporale Budgetrestriktion: 𝑐2 = 1 + 𝑟 𝑦1 − 𝑐1 + 𝑦2 c2
c1
Υ1
Υ3 Υ2
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 14
Endogene Sparquote
Zwei-Periodenmodell
Im Nutzenoptimum ist die Steigung der Indifferenzkurve
gleich der Steigung der Budgetgeraden
• Steigung der Indifferenzkurve entspricht der Grenzrate der Substitution:
𝑑Υ =𝜕Υ
𝜕𝑐1𝑑𝑐1 +
𝜕Υ
𝜕𝑐2𝑑𝑐2 = 0 ⟺
𝑑𝑐2
𝑑𝑐1= −
Υ𝑐1Υ𝑐2
Die GRS gibt die Einheiten des weniger präferierten Gutes an, die ein
Haushalt für die Substitution des präferierten Gutes fordert, um ihn für
den entgangenen Nutzen beim präferierten Gut zu entschädigen.
• Steigung der Budgetgeraden 𝑑𝑐2
𝑑𝑐1= −(1 + 𝑟)
c2
c1
Υ1
Υ3 Υ2 Optimum: 1 + 𝑟 =
Υ𝑐1Υ𝑐2
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 15
Endogene Sparquote
Zwei-Periodenmodell
Spezifikation einer Nutzenfunktion
• 𝑈 𝑐𝑡 = ln 𝑐𝑡
• Υ = ln 𝑐1 +1
1+𝜌ln 𝑐2, Υ𝑐1 = 𝑐1
−1, Υ𝑐2 =1
1+𝜌𝑐2−1
• Optimum: 1 + 𝑟 = (1 + 𝜌)𝑐2
𝑐1
• Keynes-Ramsey-Regel: 𝑐2 = 𝑐11+𝑟
1+𝜌
• eingesetzt in die intertemporale Budgetrestriktion: 𝑐1 = (1+𝜌
2+𝜌)(𝑦1 +
𝑦2
1+𝑟)
c2
c1
Υ1
Υ3 Υ2 Optimum: 1 + 𝑟 =
Υ𝑐1Υ𝑐2
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 16
Endogene Sparquote
Zwei-Periodenmodell
Spezifikation einer Nutzenfunktion
• 𝑐1 =1+𝜌
2+𝜌𝑦1 +
𝑦2
1+𝑟=
1
1+𝛽𝑦1 +
𝑦2
1+𝑟
• Konsum heute = Konsumquote (aus permanenten Einkommen) X
Gegenwartswert des Einkommens
• Annahme, dass Einkommensströme exogen gegeben sind
• Ersparnis: 𝑠1 = 𝑦1 − 𝑐1 = 𝑦1 −1
1+𝛽𝑦1 +
𝑦2
1+𝑟=
1
1+𝛽𝛽𝑦1 −
𝑦2
1+𝑟
• wenn 𝑟 steigt, nimmt die Ersparnis in Periode 1 zu und der Konsum ab
(die Budgetgerade wird steiler) c2
c1
Υ1
Υ3 Υ2 Optimum: 1 + 𝑟 =
Υ𝑐1Υ𝑐2
Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 17
Endogene Sparquote
weiterer Modellaufbau
Unternehmensseite
• Endogenisierung der Produktion und des Einkommens
• gewinnmaximierende Unternehmen entlohnen die Produktionsfaktoren
anhand ihrer Grenzproduktivitäten
• ...
Übergang zum Mehrperiodenmodell
Zentrales Ergebnis wird sein, dass der Kapitalstock im
Ramsey Optimum niedriger sein wird, als bei der Goldenen
Regel
Entsprechend fällt auch der Steady-State Konsum niedriger
aus
• Grund hierfür: Haushalte schätzen zukünftige Konsum niedriger ein als
heutigen (𝜌 > 0)
• in einem Mehrperiodenmodell wird das hohe Konsumniveau der
Goldenen Regel erst nach unendlicher Zeit erreicht