Kapitel 3: Interpretationen - Fachschaftsrat Psychologie · PDF fileSpieß-Vorlesung: Handbuch Interpretationen Seite 5 von 21 Alle Parameter sind signifikant. Das bedeutet, dass Alkohol

Kapitel 3: Interpretationen

1. Interpretation von Outputs allgemein ............................................................................................ 1

2. Interpretation von Signifikanzen ..................................................................................................... 1

2.1. Signifikanztests / Punktschätzer .............................................................................................. 1

2.2. Konfidenzintervalle.................................................................................................................. 2

3. Interpretation von Parametern ....................................................................................................... 2

3.1. Lineare Einfachregression ....................................................................................................... 3

3.2. Nicht lineare Einfachregression ............................................................................................... 4

3.2.1. Beispiel 1: Parabolische Funktion .................................................................................... 4

3.2.2. Beispiel 2: Exponentialfunktion ....................................................................................... 5

3.2.3. Beispiel 3: Kubische Funktion .......................................................................................... 6

3.2.4. Beispiel 4: Inverse Funktion ............................................................................................. 8

3.2.5. Falsche Modellannahmen ............................................................................................... 9

3.3. Multiple Regression ............................................................................................................... 10

4. Dummy-Kodierung ........................................................................................................................ 11

4.1. Einfaktorielle Varianzanalyse als multiple Regression .......................................................... 13

4.2. Mehrfaktorielle Varianzanalyse als multiple Regression ...................................................... 16

4.3. Kovarianzanalyse als multiple Regression ............................................................................. 17

5. Signifikante und nicht signifikante Regressionskoeffizienten ....................................................... 18

6. Wie in der Klausur ......................................................................................................................... 19

Spieß-Vorlesung: Handbuch Interpretationen

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1. Interpretation von Outputs allgemein

Statistikprogramme geben verschiedene Outputs aus, die alle etwas anderes Aussagen. Im Folgenden

werden lediglich Regressionsparameteroutputs interpretiert, weil das wahrscheinlich auch die

einzigen sein werden, die ihr in der Klausur bekommen werdet.

Bei der Interpretation von Outputs geht es um zwei Dinge. Zum einen möchten wir wissen, ob es

einen signifikanten Zusammenhang zwischen dem (den) Prädiktor (Prädiktoren) und dem Kriterium

geht und zum anderen, wie große dieser Zusammenhang ist. Der Wert des Parameterschätzers gibt

uns die Größe des Zusammenhangs an. Sind die Parameterschätzer aber nicht signifikant, würde das

bedeuten, dass der dazugehörige Prädiktor gar keinen Einfluss auf unser Kriterium hat. Deswegen

interpretiert man zuerst die Signifikanzen (schaut zuerst auf die Punktschätzer bzw. auf das

Konfidenzintervall) und dann interpretiert man die Höhe der Parameterschätzer.

Für die Klausur ist es nicht relevant die Größe des Zusammenhanges zu interpretieren! Lediglich die

Richtung (handelt es sich um einen positiven oder negativen Wert) des Effekts ist bei der

Interpretation zu beachten.

2. Interpretation von Signifikanzen

Ich kann über zwei verschiedene Wege eine Aussage über die Signifikanz eines Parameters machen.

Entweder ich errechne einen Punktschätzer und Stelle Hypothesen für die Parameter auf die ich dann

über einen t-Test, F-Test, -Test teste (je nachdem welcher Verteilung der jeweilige Punktschätzer

folgt) oder ich ermittel Konfidenzintervalle für die Parameter. Da es eigentlich egal ist ob ich mir

einen t-Wert und den dazugehörigen p-Wert angucke oder die Konfidenzintervalle interpretiere, wird

standardmäßig oft nur eines von beiden in Outputs angegeben. Es kann sein, dass bei Spieß auch nur

eines von beiden vorkommen wird.

2.1. Signifikanztests / Punktschätzer

Siehe auch Kap.1 „Parameterschätzung & Inferenzstatistik“. Hier nur die Kurzfassung:

- Es wird getestet ob die beibehalten werden muss oder die angenommen werden kann

- „Nicht signifikant“ bedeutet, dass der Parameterschätzer mit relativ hoher

Wahrscheinlichkeit zu der Verteilung der gehört

o Der Erwartungswert der ist 0

o Bedeutet, dass der Wert des Parameters eigentlich 0 ist und damit eigentlich gar

keinen Einfluss auf das Kriterium hat

o Schlussfolgerung: Der zu diesem Parameterschätzer gehöriger Prädiktor hat keinen

Einfluss auf das Kriterium!

- „Signifikant“ bedeutet, dass der Parameterschätzer mit relativ niedriger Wahrscheinlichkeit

zu der Verteilung der gehört. Wenn die ausschließe, muss ich annehmen, dass der

Parameterschätzer zu der Verteilung der gehört


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o Der Erwartungswert der ist der Parameter selbst

o Würde also bedeutet, dass der Wert des Parameters nicht 0 ist und somit nicht

wegfallen würde

o Schlussfolgerung: Der zu diesem Parameterschätzer gehöriger Prädiktor hat

tatsächlich einen Einfluss auf das Kriterium!

- Die Höhe von Wahrscheinlichkeit definiere ich über mein vorher festgelegtes

Signifkanzniveau: I. d. R. liegt das Signifkanzniveau bei 0,05

o Wenn der p-Wert kleiner 0,05 ist, dann halte ich es für unwahrscheinlich, dass die

zutrifft

2.2. Konfidenzintervalle

Ein Konfidenzintervall ist ein Intervall, in der man zu einer bestimmten (vorher festgelegten)

Wahrscheinlichkeit sich sicher sein kann, dass der wahre Wert darin liegt. Beträgt die vorher

festgelegte Irrtumswahrscheinlichkeit bspw. 0,05, dann kann ich zu 95% Sicherheit sagen, dass der

wahre Wert in diesem Intervall liegt. Das Intervall hängt von zwei wesentlichen Dingen ab:

1. Irrtumswahrscheinlichkeit: Je größer ich die Irrtumswahrscheinlichkeit wähle, desto

SCHMALER das Intervall. Ich kann zwar eine genauere Aussage über den wahren Parameter

machen, muss aber auch damit rechnen, dass es eher falsch ist.

2. Standardabweichung, bzw. Standardfehler: Je größer der SE, desto größer das Intervall

Bei der Interpretation ist nun folgendes zu beachten: Das Intervall darf NICHT 0 kreuzen! Hätten wir

einen Parameter, dessen Wert bei bspw. 0,5 liegt und sein 95%-Konfidenzintervall liegt bei -0,5 und

1,5, würde das bedeutet, dass in manchen Fällen der Effekt einen positiven, gar keinen oder einen

negativen Effekt haben kann. In 95% der Fälle weiß man also gar nicht wohin die Fahrt geht! Bedenkt

man, dass die 5% Irrtumswahrscheinlichkeit ja noch dazu kommen, weiß man eigentlich nur, dass

man gar nichts weiß.

3. Interpretation von Parametern

Der Parameter ist in Regressionsmodellen eine Änderungsrate: Er misst um wie viele Einheiten

sich ändert, wenn sich um eine Einheit ändert. Diese Interpretation gilt aber nur unter „ceteris

paribus“, d. h. wenn alle anderen Variablen im Modell konstant gehalten werden. Alle anderen

Variablen im Modell sind zum einen alle anderen Prädiktoren, als derjenige, für den die Aussage

getroffen wird wenn gilt und zum anderen der Fehler , der ja auch eine Variable ist.

Für die Klausur interessiert uns aber nicht die Größe der Änderungsrate, sondern lediglich die

Richtung, also ob die jeweils einen positiven oder negativen Wert angenommen haben.

Es gibt mehrere Regressionsmodelle, deren Outputs sich etwas unterscheiden. Im Folgenden werden

einige Modelle vorgestellt, die evtl. in der Klausur vorkommen könnten. Die meisten Outputs folgen

folgendem Schema:


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3.1. Lineare Einfachregression

Bei der linearen Einfachregression wird ein linearer Zusammenhang zwischen einem kontinuierlich

ausgeprägten Prädiktor und einem kontinuierlich ausgeprägten Kriterium ermittelt.

Das geschätzte Modell sähe dann wie folgt aus:

Beispiel:

(in cm)

Wir überprüfen, ob Körpergröße einen Effekt auf den IQ hat (Interpretation der Signifikanz) und

wenn ja, in welche Richtung dieser Effekt geht (positiver oder negativer Wert).

Nun gilt es die unbekannten Regressionsparameter zu schätzen: Die Konstante und die

Gewichtung unseres Prädiktor , der uns sagt, wie wichtig unser Prädiktor eigentlich ist.

Koeffizientena

Modell

Nicht standardisierte

Koeffizienten

Standardisierte

Koeffizienten

t Sig.

95,0% Konfidenzintervalle

für B

Regressions-

koeffizientB

Std.

Error Beta Untergrenze Obergrenze

1 (Konstante) 83,040 30,736 2,702 ,012 20,080 146,001

Körpergröße ,084 ,170 ,093 ,496 ,624 -,264 ,432

a. Abhängige Variable: IQ

Der erste Blick geht auf die Signifikanzspalte: Die Konstante ist anscheinend signifikant:

und damit ist p kleiner als 0,05. Das ist nicht sonderlich spannend, da dies inhaltlich

einfach nur bedeutet, dass die Regressionsgerade ihren Ursprung im Koordinatensystem nicht bei 0

hat. Das ist für die meisten psychologischen Hypothesen die getestet werden nicht weiter relevant.

Deswegen wird auch eigentlich die Signifikanz der Konstante ignoriert, außerdem wird die Konstante

eh meistens signifikant

ist da schon interessanter! Der Regressionskoeffizient für unseren Prädiktor ist nicht signifikant:

; und damit ist p nicht kleiner als 0,05. Körpergröße hat keinen signifikanten

linearen Einfluss auf den IQ.

Dieselben eben getroffenen Aussagen kann ich auch machen, wenn ich mir das Konfidenzintervall

anschaue. Kreuzen die Werte nicht 0 interpretiere ich die Regressionskoeffizienten als signifikant.


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Das Intervall der Konstante kreuzt nicht 0 (=signifikant), das Intervall des Regressionskoeffizienten für

den Prädiktor aber schon (=nicht signifikant).

Damit erübrigt sich jede weitere Interpretation, also ob es einen negativen oder positiven linearen

Zusammenhang zwischen IQ und Körpergröße gibt, denn anscheinend gibt es ja gar keinen!

3.2. Nicht lineare Einfachregression

Bei nicht linearen Regressionsmodellen wird ein nicht linearer Zusammenhang zwischen

kontinuierlich ausgeprägten Prädiktoren und einem kontinuierlich ausgeprägten Kriterium ermittelt.

Nicht linear ist dabei ein weit gefasster Begriff. Nicht linear kann exponential oder logarithmisch

( oder eine sonstige Transformation des Prädiktors sein. Es geht dabei immer nur um eine

Modellanpassung. Die Frage ist immer, wie der Prädiktor transformiert werden kann, damit er am

besten die Daten wiederspiegeln kann, also der Zusammenhang zwischen Prädiktor und Kriterium

am besten modelliert wird.

3.2.1. Beispiel 1: Parabolische Funktion

Die parabolischen Funktion entspricht einer Funktion zweiten Grades: Es gibt ein Intercept und das x

im ersten und zweiten Grad.

Beispiel:

(in ms)

(in Liter)

(in Liter)

Wir überprüfen also, ob Alkohol einen Effekt auf die Reaktionszeit hat, der irgendwie einer Parabel

gleich kommt:

Koeffizienten

Nicht standardisierte Koeffizienten

Standardisierte

Koeffizienten

t Sig. B Standardfehler Beta

Liter -174,125 48,180 -,542 -3,614 ,005

Liter ** 2 208,456 20,555 1,521 10,141 ,000

(Konstante) 99,848 24,554 4,066 ,002

Abhängige Variable: ms


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Alle Parameter sind signifikant. Das bedeutet, dass Alkohol ganz anscheinend einen quadratischen

Effekt auf die Reaktionszeit hat.

Abbildung 1: Scatterplot für Reaktionszeit auf Alkoholkonsum: Parabel

In der Abbildung sieht man sehr deutlich, wie ein parabolisches Modell (gestrichelte Linie) die Daten

besser repräsentiert, als ein nur einfacher linearer Zusammenhang (durchgehende Linie).

3.2.2. Beispiel 2: Exponentialfunktion

Ein anderer Forscher möchte untersuchen, ob eine Exponentialfunktion für x die Reaktionszeiten

ebenso gut repräsentieren könnte.

Beispiel:

(in ms)

(in Liter)

Wir überprüfen also, ob Alkohol einen exponentiellen Effekt auf die Reaktionszeit hat:


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Achtung: SPSS formt die Gleichung durch den natürlichen Logarithmus um. Das erkenne ich an der

Output-Beschreibung. Es wird also quasi folgendes Modell getestet:

Alle Parameter sind signifikant. Das bedeutet, dass Alkohol anscheinend einen exponentiellen Effekt

auf die Reaktionszeit hat.

Abbildung 2: Scatterplot für Reaktionszeit auf Alkohol: Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion scheint die Daten sogar noch besser zu repräsentieren, als die parabolische

Funktion.

3.2.3. Beispiel 3: Kubische Funktion

Die kubischen Funktion entspricht einer Funktion dritten Grades: Es gibt ein Intercept und das x im

ersten, zweiten und dritten Grad.

Koeffizienten


Standardisierte

Koeffizienten


Liter 1,449 ,030 ,998 49,110 ,000

(Konstante) 33,427 1,268 26,361 ,000

Abhängige Variable:ln(ms).


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Ein Beispiel könnte sein, dass man ein neues Medikament testen möchte:

(in Stunden)

(in Stunden)

(in Stunden)

Wir überprüfen also, ob das neue Medikament über die Zeit hinweg Nebenwirkungen auslöst. Dabei

nehmen wir an, dass diese Nebenwirkungen erst ansteigen, dann wieder abfallen und später wieder

ansteigen.

Abhängige Variable: Beschwerde

Bis auf das Intercept sind alle Regressionsparameter signifikant. Da mich das Intercept eh nicht

interessiert (siehe weiter oben), ist dies auch nicht weiter schlimm. Wichtig sind die

Steigungskoeffizienten der anderen Parameter. Sie sind alle signifikant, was wiederum bedeutet,

dass die Zeit einen kubischen Effekt auf die Beschwerden hat.

Koeffizienten


Koeffizienten

Standardisierte

Koeffizienten


Zeit 705,371 121,695 12,001 5,796 ,000

Zeit ** 2 -729,174 118,596 -29,078 -6,148 ,000

Zeit ** 3 216,942 34,796 17,479 6,235 ,000

(Konstante) -79,251 36,763 -2,156 ,059


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Abbildung 3: Scatterplot für Beschwerden auf Zeit: Kubische Funktion

In der Abbildung sieht man sehr gut, wie die kubische Funktion die Daten repräsentieren kann.

3.2.4. Beispiel 4: Inverse Funktion

Bei einer inversen Funktion eines Parameters, wird die eins durch den Parameter geteilt.

Beispiel:

(BDI-Werte)

(in Sitzungen)

Wir überprüfen also, ob die Depression besonders stark am Anfang der Therapie ist, dann relativ

stark abnimmt, aber dann immer langsamer abnimmt. Es gibt also am Anfang einen großen Effekt

von Therapie und dieser wird dann stetig geringer.


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Koeffizienten


Standardisierte

Koeffizienten


1 / Sitzungen 134,360 17,862 ,915 7,522 ,000

(Konstante) 8,794 1,285 6,841 ,000

Alle Parameter sind signifikant. Das bedeutet, dass Therapiesitzungen anscheinend einen

inversförmigen Effekt auf die Depressionswerte haben.

Abbildung 4: Scatterplot BDI-Werte auf Therapiesitzungen: Inverse Funktion

In der Abbildung erkennt man gut den inversverlaufenden Zusammenhang zwischen Therapie und

Depression. Am Anfang gehen die BDI-Werte noch stark zurück und auch wenn sie auch

kontinuierlich zurückgehen, so gehen sie zum Ende der Therapie hin nicht mehr so stark zurück.

3.2.5. Falsche Modellannahmen

Angenommen ein zweiter Forscher erhebt eine zweite Stichprobe und will den parabolischen

Zusammenhang von Alkohol auf Reaktion replizieren. Er bekommt dabei folgende Ergebnisse:


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Koeffizienten


Standardisierte

Koeffizienten


Liter 67,695 11,917 ,731 5,681 ,000

Liter ** 2 10,666 5,084 ,270 2,098 ,062

(Konstante) 32,069 6,073 5,280 ,000

Abhängige Variable: ms

Der Regressionsparameter für das x zweiten Grades ist nicht signifikant. Daher kann der Forscher

nicht davon ausgehen, dass er hier einen quadratischen Effekt von Alkohol auf die Reaktionszeit

gefunden hat.

Ein anderer Forscher will den kubischen Effekt von dem neuen Medikament über die Zeit hinweg

ebenfalls replizieren und bekommt folgende Ergebnisse:

Abhängige Variable: Beschwerde

Zwar ist der Regressionsparameter für das x dritten Grades signifikant, aber dafür nicht die des

ersten und zweiten Grades. Also kann dieser Forscher nicht davon ausgehen, dass hier ein Effekt von

Zeit auf Beschwerden vorliegt, der einer kubischen Funktion folgt.

Wichtig: Ich kann ausgehend von Nicht-Signifikanz keine weiteren Annahmen über das Modell

machen! Ich kann weder bei dem ersten Ergebnis auf einen linearen Zusammenhang schließen, noch

bei dem zweiten Ergebnis von einem exponentiellen oder quadratischen Zusammenhang ausgehen.

Auf der Grundlage von Nicht-Signifikanz darf keine Interpretation folgen. Wir können nur sagen wie

etwas NICHT ist. Andere Annahmen müssten erst in einem neuen Modell überprüfen werden.

3.3. Multiple Regression

Bei der multiplen Regression wird der Zusammenhang zwischen mehreren kontinuierlich

ausgeprägten Prädiktoren und einem kontinuierlich ausgeprägten Kriterium ermittelt. Dabei kann es

insgesamt Prädiktoren im Modell geben,

Koeffizienten


Standardisierte

Koeffizienten


Zeit 137,558 93,156 ,428 1,477 ,174

Zeit ** 2 -112,032 90,784 -,817 -1,234 ,248

Zeit ** 3 95,158 26,636 1,403 3,573 ,006

(Konstante) 18,780 28,142 ,667 ,521


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Beispiel für Prädiktoren:

(in Tausend EUR)

(in Minuten)

Wir überprüfen, objeweils Einkommen und Lesen einen Effekt auf den IQ haben.

Koeffizientena

Modell


Koeffizienten

Standardisierte

Koeffizienten

t Sig.


für B

Regressions-

koeffizient B Std. Error Beta Untergrenze Obergrenze

1 (Konstante) 78,132 ,947 82,497 ,000 76,189 80,075

Tausend EUR ,443 ,061 ,723 7,325 ,000 ,319 ,567

Minuten ,125 ,045 ,273 2,768 ,010 ,032 ,218

a. Abhängige Variable: IQ

Alle Parameter sind signifikant: Sowohl Einkommen als auch Lesen haben einen positiven (beide

Werte >0) Effekt auf den IQ.

4. Dummy-Kodierung

Bei den ein- und mehrfaktoriellen Varianzanalysen und der Kovarianzanalyse werden normalerweise

die Varianzen von den einzelnen Ausprägungen der Prädiktoren miteinander verglichen und mit Hilfe

eines F-Tests auf Signifikanz überprüft. Es gibt aber noch die Möglichkeit die verschiedenen

Ausprägungen mit Hilfe einer multiplen Regression darzustellen. Dazu muss aber erst das Konzept

der Dummy-Variablen eingeführt werden.

Bisher ging es nur um kontinuierlich ausgeprägte Prädiktoren. Bei den verschiedenen

varianzanalytischen Modellen geht es aber um diskontinuierlich ausgeprägte Prädiktoren (siehe dazu

auch Dokument „Statistik-Regression“ Punkt 1.1. die festen und zufälligen Effekte). Das heißt wir

stecken die verschiedenen Ausprägungen des Prädiktors in Kategorien und vergleichen dann diese

Kategorien miteinander.


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Vorliegender Fall: Ich möchte den Zusammenhang zwischen Schule und Note wissen. Dafür

untersuchen wir 3 verschiedene Schulen (jeweils eine Schule aus Ingolstadt, Leipzig und

Cloppenburg). Schule ist dann ein Beispiel für einen diskontinuierlich ausgeprägten Prädiktor.

Allgemein gilt, dass je eine DV stellvertretend für je eine Ausprägung eines Prädiktors eingesetzt

wird. Dabei gilt, dass man entweder auf der jeweilige Schule ist oder nicht. Entweder man geht in

Ingolstadt zur Schule oder nicht. Entweder Leipzig oder nicht. Entweder Cloppenburg oder nicht. Man

kann nicht in Ingolstadt und Leipzig zur Schule gehen. Eine DV steht jeweils für eine Ausprägung des

Prädiktors. Eine DV kann immer nur eine 1 oder 0 annehmen:

Intuitiv würde man wohl folgende Regressionsgleichung aufstellen:

Dieses Vorgehen ist zwar auf den ersten Blick einleuchtend aber falsch. Die , und

repräsentieren jeweils die Höhe des Effekts der jeweilige Schule auf die Note.

Wie sieht das für Ingolstädter aus?

Das verkürzt sich zu:

Dieses Vorgehen kann ich auch für die Leipziger und Cloppenburger machen. Für Leipziger sieht die

Gleichung wie folgt aus:

Und für Cloppenburger:

Ich setze hier meine

Dummy auf 1, da es sich

hier um einen

Ingolstädter handelt



um einen Ingolstädter

und nicht um einen

Leipziger handelt



um einen Ingolstädter

und nicht um einen

Cloppenburger handelt


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Jetzt haben wir folgendes Problem: Wir können keine der Gleichungen auflösen, denn egal welche

Ausprägung vorliegt, stehen immer zwei Unbekannte in der Gleichung. Eine Gleichung mit zwei

Unbekannten kann aber nicht aufgelöst werden, da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, wie die

Werte zustande kommen! Irgendwie muss also alleine in der Gleichung stehen, denn dann hätten

wir: . Das Intercept gibt den y-Achsenabschnitt an, also wenn gilt. In unserem Beispiel

ist die Schule. Die Schule müsste also die Ausprägung 0 haben, um identifizieren zu können.

Aber die Ausprägung 0 macht für Schule inhaltlich keinen Sinn, also bedeutet das im Umkehrschluss,

dass wir tatsächlich eine DV für eine bestimmte Ausprägung weglassen müssen. repräsentiert

dann die ausgelassene Ausprägung des Prädiktors. Welche DV weggelassen wird, ist rechnerisch

egal.

Für den Fall, dass wir die Ausprägung „Ingolstadt“ weglassen, sieht die Regressionsgleichung wie

folgt aus:

Der geschätzte Effekt für Ingolstadt sieht nun wie folgt aus:

Geschätzter Effekt für Leipzig:

Geschätzter Effekt für Cloppenburg:

Das bedeutet, dass der geschätzte Effekt für Leipzig und Cloppenburg nicht ohne den geschätzten

Effekt für Ingolstadt ermittelt werden kann. Genauer gesagt ermitteln wir den Effekt für Leipzig und

Cloppenburg im Verhältnis zu Ingolstadt. Daher bezeichnen wir unsere Kategorie, die bei der

Dummy-Kodierung wegfällt, auch als Referenzkategorie. Allgemeiner ausgedrückt: Wir ermitteln bei

diskontinuierlich ausgeprägten Prädiktoren, mit Hilfe von Dummy-Variablen, den Effekt einer

bestimmten Ausprägung des Prädiktor im Verhältnis zu der Referenzkategorie.

4.1. Einfaktorielle Varianzanalyse als multiple Regression

Bei der einfaktoriellen Varianzanalyse werden mehrere kategoriale Ausprägungen eines Prädiktors

miteinander verglichen. Wenn der Prädiktor kategoriale Ausprägungen hat, muss ich mein Modell

mit Dummy-Variablen aufstellen. Wie der Name schon sagt gibt es in der einfaktoriellen Varianz-

analyse nur einen Faktor. Faktor ist lediglich nur ein anderes Wort für Prädiktor. In diesem Modell

wird es also nur um EINEN Prädiktor gehen1. Dabei gilt, dass der Prädiktor

Ausprägungen haben kann. ist der Laufindex für die Ausprägungen des Prädiktors und insgesamt

1 Die Betonung liegt hier auf einen Prädiktor, weil Studenten die Anzahl an Prädiktoren gerne mit der Anzahl an

Ausprägungen eines Prädiktors verwechsel


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gibt es Ausprägungen. Für die Anzahl an DV in meinem Modell gilt, dass es immer eine DV weniger

in mein Modell gibt, als es maximale Ausprägungsmöglichkeiten für den Prädiktor gibt:

Nehmen wir das Beispiel aus dem Abschnitt Dummy-Kodierung:

Ich weiß, dass ich eine DV weniger in meinem Modell haben muss, als es maximale

Ausprägungsmöglichkeiten meines Prädiktors gibt:

Ich brauche also 2 DV. Die Konstante in meinem Regressionsmodell repräsentiert nun die übrig

gebliebene Ausprägung des Prädiktors, die nicht durch eine DV dargestellt wird. Diese Ausprägung ist

dann meine Referenzkategorie2.

Nehmen wir an Ingolstadt sei unsere Referenzkategorie. Die Ausprägung 1 (=Ingolstadt) fliegt also

aus unserem Modell raus3:

Wenn wir dieses Modell schätzen kommt folgendes Ergebnis heraus:

Koeffizientena

Modell


Koeffizienten

Standardisierte

Koeffizienten

t Sig.


für B

Regressions-

koeffizient B Std. Error Beta Untergrenze Obergrenze

1 (Konstante) 2,250 ,254 8,853 ,000 1,741 2,759

Ingol_vs_Leipzig 1,179 ,355 ,394 3,319 ,002 ,467 1,890

Ingol_vs_Clopp 2,224 ,364 ,726 6,107 ,000 1,495 2,953

a. Abhängige Variable: Note

2 Welche Ausprägung ich als Referenzkategorie nehme ist, wie bereits erwähnt, egal.

3 Eigentlich könnte man das im Index von der DV weglassen. Das sagt uns nur, dass die DV zum Prädiktor gehört.

Wenn wir nur einen Prädiktor haben (wie in diesem Beispiel) ist diese Info redundant. Aber wenn es mehrere Prädiktoren gibt (=mehrfaktorielle Designs, kommen später) brauchen wir den Hinweis zu welchem Prädiktor die jeweilige DV gehört! Deswegen wird auch hier der Vollständigkeit halber noch das eingefügt


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Alle Ausprägungen sind signifikant, d. h. ich kann die Höhe bzw. die Richtung des Effekts

interpretieren!

Nun können wir unsere Regressionsgleichung aufstellen:

Nun kann man sagen, dass der Effekt, der Ausprägung „Leipzig“ unseres Prädiktors „Schule“ einen

positiven Effekt (da 1,179 > 0) im Vergleich zur Referenzkategorie hat. Und in Cloppenburg Schüler zu

sein, hat einen ebenfalls positiven Effekt (da 2,224 > 0) im Vergleich zu Ingolstadt. Inhaltlich kann

man auch sagen, dass die Noten in Leipzig schlechter sind, als in Ingolstadt und die Noten in

Cloppenburg sind ebenfalls schlechter als in Ingolstadt.

SPSS bspw. nimmt grundsätzlich die Ausprägung mit den höchsten Werten als Referenzkategorie.

Parameterschätzer

Abhängige Variable:Note

Parameter Regressionskoeffizient B Std. Error t Sig.

95%-Konfidenzintervall

Untergrenze Obergrenze

Konstanter Term 4,474 ,261 17,157 ,000 3,952 4,996

Ingolstadt -2,224 ,364 -6,107 ,000 -2,953 -1,495

Leipzig -1,045 ,360 -2,904 ,005 -1,766 -,325

Cloppenburg 0a . . . . .

a. Dieser Parameter wird auf Null gesetzt, weil er redundant ist.

Die Regressionsgleichung, wenn Cloppenburg unsere Referenzkategorie darstellt, sieht dann wie

folgt aus:

Jetzt wäre die Interpretation, dass der Effekt, der Ausprägung „Ingolstadt“ unseres Prädiktors

„Schule“ einen negativen Effekt (da -2,224 < 0) im Vergleich zur Referenzkategorie hat. Und in Leipzig

Schüler zu sein, hat einen ebenfalls negativen Effekt (da -1,045 < 0) im Vergleich zu Cloppenburg.

Inhaltlich kann man auch sagen, dass die Noten in Ingolstadt besser sind, als in Cloppenburg und die

Noten in Leipzig sind ebenfalls besser als in Cloppenburg.

Für die Interpretation ist es egal, was ich als Referenzkategorie wähle! Es ändert sich nur die

Regressionsgleichung, da das Intercept anders gewählt wird und daher auch die Steigungsparameter

anders sind. Das Ergebnis ist aber jedes Mal dasselbe.

Achtung: Bei SPSS steht noch einmal extra die Referenzkategorie als Ausprägung, mit dem Hinweis,

dass dieser Term redundant ist: „Cloppenburg“: Parameter = 0, so weiß ich, dass ich hierfür mein

Intercept betrachten muss. Manche Statistikprogramme haben in ihrem Output nicht so einen Term!

D. h. „Cloppenburg“ würde da nicht stehen! Dann muss man sich einfach erschließen können, dass es


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noch eine dritte Ausprägung des Prädiktors gibt und dass diese die Konstante, darstellt und dass die

anderen beiden Ausprägungen die Änderungsrate von dieser Konstanten sind.

4.2. Mehrfaktorielle Varianzanalyse als multiple Regression

Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse werden mehrere kategoriale Ausprägungen mehrerer

Prädiktors miteinander verglichen. Auch hier muss ich mein Modell mit DV aufstellen. Nach wie vor

gilt, dass jeder Ausprägungen haben kann. Für die Anzahl an DV in meinem Modell gilt

ebenfalls nach wie vor, dass es immer eine DV weniger in mein Modell gibt, als es maximale

Ausprägungsmöglichkeiten für den Prädiktor gibt:

Allerdings gilt das nun für JEDEN Prädiktor!

Ein Beispiel: Ich nehme an aus welchem Land man kommt und welches Geschlecht man hat, hat

jeweils einen Einfluss auf das Gewicht.

(in kg)

hat 2 maximale Ausprägungsmöglichkeiten, also brauche ich für diesen Prädiktor 1 DV

hat 4 maximale Ausprägungsmöglichkeiten, also brauche ich für diesen Prädiktor 3 DV

Das Modell sähe dann wie folgt aus:

Wie man sieht gilt, dass je mehr Prädiktoren es in einem Modell gibt und je mehr

Ausprägungsmöglichkeiten es für jeden Prädiktor gibt, desto größer und damit komplizierter wird das

Modell. Dieses 2 x 3 mehrfaktorielles Modell kann man aber noch aufstellen:

Repräsentiert den

Effekt von Geschlecht

Repräsentiert den

Effekt von Nationalität


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Parameterschätzer

Abhängige Variable:Gewicht

Parameter

Regressions-

koeffizient B Std. Error t Sig.



Konstanter Term 65,200 1,905 34,219 ,000 61,404 68,996

Männlich 4,900 1,704 2,875 ,005 1,505 8,295

Weiblich 0a . . . . .

England 27,900 2,410 11,576 ,000 23,099 32,701

Niederlande -8,650 2,410 -3,589 ,001 -13,451 -3,849

Frankreich -15,850 2,410 -6,576 ,000 -20,651 -11,049

Deutschland 0a . . . . .


Alle Werte sind signifikant, also darf ich auch alle Werte interpretieren. Eingesetzt in unsere

Regressionsgleichung

Das besondere ist nun, dass unsere Referenzkategorie nun zwei Ausprägungen repräsentieren muss,

nämlich eine für den Prädiktor Geschlecht und eine für den Prädiktor Nationalität. In diesem Fall

repräsentiert die Konstante eine weibliche Deutsche.

Geschlecht hat einen Effekt auf das Gewicht. Da der Wert für „Männlich“ positiv ist und die

Konstante unteranderem „weiblich“ repräsentiert, kann ich daraus schließen, dass Männer mehr

wiegen als Frauen (wäre der Wert negativ könnte ich daraus schließen, dass Männer weniger wiegen

als Frauen).

Nationalität hat einen Effekt auf das Gewicht. Engländer wiegen mehr als Deutsche, aber

Niederländer und Holländer wiegen weniger als Deutsche.

Achtung: Ich habe mein Modell hier nicht mit einem Interaktionsterm modelliert, also ob das

Geschlecht und die Nationalität ZUSAMMEN einen Effekt auf das Gewicht haben. Z. B. könnte es ja

sein, dass Deutsche Männer schwerer sind als englische Männer, aber deutsche Frauen sind leichter

als englische Frauen. Interaktionsterme machen die Modellgleichung NOCH komplizierter und die

wird er auch nicht abfragen.

4.3. Kovarianzanalyse als multiple Regression

Bei der Kovarianzanalyse werden mehrere kategoriale Ausprägungen eines oder mehrere

Prädiktoren mit einem zusätzlich kontinuierlich ausgeprägten Prädiktor verglichen. Für die kategorial


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ausgeprägten Prädiktoren gilt wieder, dass wir DV benötigen. Mit der Kovarianzanalyse „rechnet“

man eine ungewollte Einflussgröße heraus um dann die kategorialen Ausprägungen interpretieren zu

können.

Beispiel für eine Kovarianzanalyse:

Ein Forscher will herausgefunden haben, dass Menschen mit Migrationshintergrund weniger

Intelligent sind, als Menschen ohne Migrationshintergrund. Ein zweiter Forscher überlegt sich, ob

nicht eine Dritte Variable einen Einfluss auf diesen Zusammenhang haben könnte und erhebt

zusätzlich noch das monatliche Einkommen.

(Jahreseinkommen in Tausend EUR)

Der Prädiktor Migrationshintergrund muss mit einer DV kodiert werden. Es gibt 2 max.

Ausprägungen, also reicht eine DV. Einkommen geht als stetige Variable in das Modell mit ein:

Parameterschätzer

Abhängige Variable:IQ

Parameter

Regressions-

koeffizient B Std. Error t Sig.



Konstanter Term 62,021 3,309 18,746 ,000 55,317 68,725

Einkommen 1,656 ,149 11,075 ,000 1,353 1,959

Migrationshintergrund -2,988 1,809 -1,652 ,107 -6,653 ,677

Kein Migrationshintergrund 0a . . . . .


Eigentlich würde man davon ausgehen, dass Menschen mit Migrationshintergrund tatsächlich einen

niedrigeren IQ haben, als Menschen ohne Mirgationshintergrund, da einen negativen Wert hat

und unsere Konstante Menschen ohne Migrationshintergrund darstellen. ABER Dieser Wert ist nicht

signifikant! Stattdessen ist der Wert für Einkommen signifikant. Das heißt wie viel jmd. verdient kann

besser den IQ erklären, als der Migrationshintergrund. Vielleicht, weil jmd. mit viel Geld eher an

Bildung heran kommt.

5. Signifikante und nicht signifikante Regressionskoeffizienten

Wie lautet die Interpretation, wenn ich sowohl signifikante, als auch nicht signifikante

Regressionskoeffizienten im Output habe?


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Nehmen wir an, wir hätten zusätzlich noch die Noten aus Hamburg ermittelt und bekommen

folgende Ergebnis:

Parameterschätzer

Abhängige Variable:Note

Parameter

Regressions-

koeffizient B Standardfehler t Sig.



Konstanter Term 2,500 ,265 9,439 ,000 1,972 3,028

Ingolstadt -,250 ,375 -,667 ,507 -,996 ,496

Leipzig ,929 ,370 2,509 ,014 ,191 1,666

Cloppenburg 1,974 ,379 5,201 ,000 1,218 2,729

Hamburg 0a . . . . .


Jetzt ist Hamburg meine Referenzkategorie (wie gesagt, SPSS nimmt immer die Ausprägung mit den

höchsten Werten als Referenzkategorie) und nicht mehr Cloppenburg. Mein Modell sieht nun wie

folgt aus:

Aber Achtung: ist nicht signifikant von der Konstanten verschieden, also p > 0,05. Das bedeutet

inhaltlich, dass sich Ingolstadt nicht signifikant von Hamburg unterscheidet. Der

Regressionskoeffizient von Ingolstadt „liegt“ quasi auf der Konstanten (also auf Hamburg). Deswegen

sollte ich auch nur die Leipzig und Cloppenburg interpretieren: Leipzig hat größere Notenwerte als

Hamburg, was also bedeutet, dass Leipzig schlechter ist als Hamburg. Cloppenburg ist ebenfalls

schlechter als Hamburg, da auch hier die Notenwerte höher sind. Ingolstadt und Hamburg

unterscheiden sich dagegen nicht signifikant voneinander.

6. Wie in der Klausur

In der Forschung überlegt man sich zuerst ein Modell, erhebt die Daten und interpretiert dann die

Ergebnisse. In der Klausur wird das andersherum sein. Ihr bekommt die Daten und musst diese

Interpretieren. Das KANN man das dazugehörige Modell aufschreiben, muss es aber nicht. Zur

Interpretation der Regressionskoeffizienten, bietet es sich aber an, das Modell aufzuschreiben.


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Klausurbeispiel 1)

Ihr bekommt folgenden Output:

Koeffizienten


t Sig. B Standardfehler

(Konstante)

Laerm2

241,5948

-4,5413

2,9155

2,2027

82,87

-2,06

0,0000

0,0401

Laerm3 -5,9514 2,2176 -2,6837 0,0077

Geschl

Alk

Alk^2

2,1225

48,4541

71,6341

1,9371

22,5937

36,5994

1,0957

2,1446

1,9573

0,2741

0,0328

0,0513

In dem Modell gibt es 3 Prädiktoren:

(soll einen quadratischen Einfluss auf das Kriterium haben)

Anscheinend hat der Prädiktor Lärm (die hier nicht weiter definiert wird) einen Effekt.

Lärmdbedingung 1 (repräsentiert durch die Konstante) und hat die geringste Ausprägung im

Kriterium (dass ich hier nicht erkennen kann). Aber Lärmbedingung 2 unterscheidet sich nicht

signifikant von der Lärmbedingung 1 (p > 0,05). Aber Lärmbedingung 3 unterscheidet sich signifikant

von Lärmbedingung 1 (p < 0,05).

Geschlecht hat keinen signifikanten Einfluss auf das Kriterium (p > 0,05).

Es wurde ein parabolischer Zusammenhang zwischen Alkohol und dem Krterium angenommen.

Anscheinend war das eine falsche Annahme, denn damit dieses Modellannahme angenommen

werden kann müssen der Regresisonskoeffizient für „alk“ als auch „alk^2“ signifikant sein. Das ist bei

alk^2 aber nicht der Fall!


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Klausurbeispiel 2)

Ihr bekommt dasselbe Output, aber mit folgendem zusätzlichem Output:

Auf dem Scatterplott sieht man die prädizierten Schätzwerte und die Residuen. Es wäre egal, wären

die Residuen alle gleich verteilt (egal ob sehr nah an der Null-Linie oder sehr weit weg) aber so sind

sie sehr unterschiedlich verteilt, was auf Heteroskedastizität hindeuten könnte. Die Folge? Die KQ-

Schätzer sind noch erwartungstreu, aber nicht mehr effizient oder anders ausgedrückt, die Varianzen

der KQ-Schätzer werden nicht mehr erwartungstreu geschätzt. Das bedeutet ich kann dem t-Wert

und damit den p-Werten nicht mehr trauen. Lösungsvorschlag siehe Kap. 2.

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Kapitel 3: Interpretationen - Fachschaftsrat Psychologie · PDF fileSpieß-Vorlesung: Handbuch Interpretationen Seite 5 von 21 Alle Parameter sind signifikant. Das bedeutet, dass Alkohol